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L’implicazione logica

Le espressioni “Se…allora” o “Condizione per …. è che”, “perché …. è necessario” sono

alcune delle locuzioni che segnalano la presenza di un’implicazione, un connettivo logico

che mette in relazioni due proposizioni, in modo che, se la prima è vera, è vera anche la

seconda.

Consideriamo l’enunciato:

“Se starò bene, allora domani andrò al cinema”

nel quale le proposizioni semplici P=” starò bene” e Q =“Domani andrò al cinema” sono

legate dal connettivo “se…allora”. Questo enunciato afferma che la sola condizione

perché io domani vada al cinema (vero) è che stia bene (vero).

L’implicazione si indica:

P implica Q

oppure

P Q

dove P e Q sono due proposizioni: in particolare P è l’antecedente, e Q è il conseguente.

Quindi la relazione può essere riassunta nella seguente:

( )P Q P Q

Esempio 10

Se starò bene (V), allora domani andrò al cinema (V)

Ma se non starò bene (F), allora è possibile che possa andare al cinema o non possa

andare (V/F)

Cioè il verificarsi di P implica il verificarsi di Q, ma se P non si verifica, Q si può verificare

o non verificare, per cui il solo non andare al cinema (F) se starò bene (V) non si può

verificare.

Tavola di verità:

P Q P Q

V V V

V F F

F V V

F F V

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Quindi

1) Se starò bene (V), allora domani andrò al cinema (V) (si può verificare (V))

2) Se starò bene (V), allora domani non andrò al cinema (F) non si può verificare

(F))

3) Se non starò bene (F), allora domani non andrò al cinema (V) (si può verificare

(V))

4) Se non starò bene (F), allora domani non andrò al cinema (F) (si può verificare

(V))

Attenzione:

Nella risoluzione di quesiti coinvolgenti l’implicazione materiale è importante non

sbagliare l’individuazione della proposizione antecedente e quella conseguente.

Nell’espressione “Condizione perché domani vada al cinema è che stia bene”

l’antecedente è “starò bene” e il conseguente è “domani andrò al cinema” come

nell’espressione “se … allora”.

Enunciati coniugati

Insieme alla implicazione P Q , che chiameremo principale, detta anche modus

ponens in logica classica, si possono ottenere le seguenti implicazioni, dette enunciati

coniugati

1) “Se domani andrò al cinema, allora starò bene” (implicazione inversa o reciproca)

2) “Se domani non starò bene, non andrò al cinema” (implicazione contraria)

3) “Se domani non andrò al cinema, allora non starò bene” (implicazione

controinversa o controminale o contrapposta), detta anche modus tollens in

logica classica

L’implicazione diretta e controminale sono logicamente equivalenti, mentre ciò non è

vero per le implicazioni inversa e contraria.

L’implicazione logica (modus ponens) può anche essere considerata come una

condizione sufficiente. P Q , in quanto è sufficiente che si verifichi P perché si possa

verificare Q. Essa non è necessaria, perché abbiamo visto che Q si può verificare anche

se P non si verifica.

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Modalità di risoluzione dei quiz con implicazione logica:

CONDIZIONE SUFFICIENTE

Supponiamo di considerare l’implicazione logica P Q e supponiamo che la

condizione di verità per P sia sufficiente per il verificarsi di Q (in pratica il modus

ponens visto in precedenza).

La logica classica afferma che l’unica deduzione certa è che Q P , cioè il non

verificarsi di Q consente di affermare che non si è verificato Q (cioè in pratica la

proposizione controminale, o modus tollens).

Le proposizioni non deducibili sono:

P Q (contraria)

Q P

P Q

Q P (inversa)

Test n° 1

Se bevo tutta l’acqua della borraccia (A), allora rimarrò senza acqua(B). In base alla

affermazione precedente si può concludere che:

A) Se non bevo tutta l’acqua della borraccia, allora rimarrò senza acqua

B) Se bevo tutta l’acqua della borraccia, allora non rimarrò senza acqua

C) Se non bevo tutta l’acqua della borraccia, allora non rimarrò senza acqua

D) Se non rimango senza acqua, allora non ho bevuto tutta l’acqua della borraccia.

L’affermazione corretta è la D. Q P

L’affermazione A corrisponde alla falsità dell’antecedente; non si può dire nulla sul

conseguente, che può essere vero o falso.

L’affermazione B corrisponde a P Q

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L’affermazione A corrisponde a P Q . Sembrerebbe corretta, ma, anche non

bevendo l’acqua della borraccia potrei rimanere senza acqua, ad esempio se la

borraccia ha un foro.

Test n° 2

Se farai come ti dico, andrà tutto bene.

Alla luce di tale affermazione, è certamente corretta anche una (ed una sola) delle

seguenti. Quale?

A) Se non farai come ti dico, non potrà che andar male;

B) Purtroppo la cosa non è andata bene, è evidente che non hai fatto come ti avevo

suggerito;

C) Se avessi seguito il mio consiglio, forse le cose non sarebbero andate come

speravi, ma nemmeno troppo male;

D) La cosa è andata bene, me ne compiaccio, perché questo significa che hai fatto

esattamente come ti avevo indicato.

L’affermazione corretta è la B. Q P

L’affermazione A corrisponde alla falsità dell’antecedente; non si può dire nulla sul

conseguente, che può essere vero o falso.

L’affermazione B corrisponde a P Q

L’affermazione C introduce una probabilità, e quindi non può essere una deduzione

logica

L’affermazione A corrisponde a Q P , cioè all’implicazione inversa, che non è

logicamente equivalente.

Test n° 3

L'affermazione "quando corro a lungo consumo grassi" è equivalente a:

A) non consumo grassi pur avendo corso a lungo;

B) o corro a lungo o consumo grassi;

c) se consumo grassi vuol dire che ho corso a lungo;

d) a volte capita che non consumi grassi pur avendo corso a lungo;

e) se non consumo grassi allora non ho corso a lungo

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L’affermazione corretta è la E. Q P

L’affermazione A corrisponde a P Q

L’affermazione B corrisponde al connettivo EX OR che non è un’implicazione

L’affermazione C corrisponde a Q P , cioè all’implicazione inversa, che non è

logicamente equivalente.

L’affermazione D sembra corrispondere a P Q , ma in realtà non è una deduzione

perché introduce una probabilità (a volte)

CONDIZIONE NECESSARIA

Consideriamo ora una implicazione differente:

Solo se P allora Q

Allora la condizione che si verifichi P è necessaria perché si verifichi Q

La condizione necessaria è l’enunciato fondamentale per la conseguenza, ma da solo

potrebbe non bastare a giustificarla.

La logica classica afferma che le uniche deduzione certe sono

Q P , cioè l’implicazione inversa e

P Q implicazione contraria

Infatti esse sono, come abbiamo visto prima, equivalenti logicamente.

Diciamo che P è condizione necessaria per Q scriviamo Q P (o anche P Q

quando il verificarsi di Q implica automaticamente il verificarsi di P.

Test n° 4

Se il motore funziona, allora la macchina parte

Alla luce di tale affermazione, quali affermazioni sono sicuramente vere

A) Se il motore non funzione, allora la macchina parte

B) Se il motore funziona, allora la macchina non parte

C) Se la macchina parte allora il motore funziona

D) Se il motore non funziona, allora la macchina non parte

Riformuliamo logicamente la frase:

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Solo se il motore funziona allora la macchina parte oppure È necessario che il motore

funzioni, perché la macchina parta

Le affermazioni corrette sono la C (implicazione inversa) e la D (implicazione

contraria)

L’affermazione A corrisponde a P Q , che non presuppone la necessarietà del

verificarsi di P

L’affermazione B corrisponde a P Q , cioè alla falsità della implicazione

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE

Complicazione logica

La complicazione logica di due proposizioni P e Q è vera se entrambe sono vere o se

entrambe sono false e falsa nelle altre situazioni.

Si esprime in questo modo:

P Q

che si legge “P se e solo se Q” e significa che se “se e solo se” si verifica la condizione

P, allora l’evento Q accade, mentre se l’evento P non accade non accade neanche Q.

P Q Principale

P Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ha il significato di condizione necessaria e sufficiente

Se e solo se P allora Q

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Allora la condizione che si verifichi P è necessaria e sufficiente perché si verifichi Q.

Essa si indica con

P Q

Si può dedurre con certezza:

1) Q P (implicazione inversa)

2) P Q (implicazione contraria)

3) Q P (implicazione controminale o modus tollens)

Test n° 5

Solo se si è sereni, equilibrati e spensierati, allora si è allegri. Se si è sereni, equilibrati

e spensierati, si è allegri. Se le precedenti affermazioni sono vere, quale delle

seguenti affermazioni è errata?

A) Essere sereni, equilibrati e spensierati è condizione necessaria per essere allegri

B) Chi non è allegro, non può essere sereno, equilibrato e spensierato

C) Chi è allegro non può non essere sereno, equilibrato e spensierato

D) Essere sereni, equilibrati e spensierati è condizione necessaria, ma non sufficiente

per essere allegri

La A è vera (Solo se si è sereni, equilibrati e spensierati, allora si è allegri)

La B è vera (Q P )

La C è vera (logicamente uguale alla B per la doppia negazione)

La D è falsa perché la condizione è anche sufficiente (Se si è sereni, equilibrati e

spensierati, si è allegri.

Altri esempi su condizione necessaria, sufficiente e “necessaria

e sufficiente”

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Esempio n° 1

P: Sono in montagna

Q: Sto sciando

n questo caso P è condizione necessaria per Q.

Infatti se sto sciando devo trovarmi necessariamente in montagna (Q P , cioè

l’implicazione inversa)

analogamente, se non mi trovo in montagna sicuramente non posso sciare (

P Q implicazione contraria)

Notiamo però che se mi trovo in montagna non è assolutamente detto che io stia

sciando: cioè, se P è verificata non possiamo dire se anche Q lo è.

Esempio n° 2

P: A è un quadrato

Q: A è un quadrilatero

Dato che ogni quadrato è un quadrilatero, è evidente che P è sufficiente per Q

(e quindi se A non è un quadrilatero, non è sicuramente un quadrato (modus

tollens)).

Esempio n° 3

a) due triangoli sono congruenti se e solo se vale un qualsiasi criterio di

congruenza dei triangoli;

b) due rette sono parallele se e solo se due angoli alterni sono congruenti, come

spiegato dal criterio del parallelismo;

c) una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

In tutte queste proposizione P è condizione necessaria e sufficiente per Q

ESEMPIO 4

“Se F è un quadrato è un rettangolo”

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Il fatto di essere un quadrato è condizione sufficiente, ma non necessaria per essere

un rettangolo, ma essere un rettangolo non basta per essere sicuro di essere un

quadrato. L’insieme dei quadrati è un sottoinsieme di quello dei rettangoli

La condizione sufficiente si può scrivere anche

P Q

(P sottoinsieme di Q)

ESEMPIO 5

“Se ho più di 40 anni (P) allora ho più di 30 anni (Q)”

Gli individui che appartengono all’insieme P sono un sottoinsieme di quelli che

appartengono a Q, per cui se ho 40 anni necessariamente ho anche 30 anni, ma l’avere

più di 30 anni non è sufficiente per dire che ho più di 40 anni (potrei averne 34 ad

esempio).

Quindi P Q implica che P è condizione sufficiente, ma non necessaria al verificarsi

di Q. Analogamente Q è condizione necessaria, ma non sufficiente per il verificarsi di P.

Esempio 6

“Sara afferma che tutti gli studenti di medicina hanno frequentato il liceo scientifico.

Quale delle seguenti condizioni è necessario si verifichi affinché l’affermazione di

Sara risulti falsa?

A) Nessun studente di medicina deve aver frequentato il liceo scientifico

B) Deve esistere almeno uno studente che ha frequentato lo scientifico, ma non

è iscritto a medicina

C) Deve esistere almeno uno studente di medicina che non frequenta il liceo

scientifico

D) Tutti gli studenti che non sono iscritti a medicina devono aver frequentato il

liceo scientifico

La risposta corretta è la A

Infatti esiste una implicazione nascosta: “Se uno studente è iscritto a medicina, allora

deve avere frequentato il liceo scientifico” dove P=” essere iscritto a medicina” è

l’antecedente e Q = “ha frequentato il liceo scientifico”.

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Esempio 7

“Per diventare Presidente della Repubblica(P) bisogna avere 50 anni (Q)”

È equivalente ha solo se si ha 50 anni, si può diventare Presidente della Repubblica,

cioè avere 50 anni è una condizione necessaria per diventare presidente, ma

ovviamente non sufficiente perché ciò si verifichi (non tutte le persone con più di

50 anni diventano Presidenti della Repubblica).

(REQUISITI NECESSARI SONO PRESENTI NEI BANDI DI CONCORSO)

Per parteciparvi, infatti può essere richiesto di:

- Essere cittadino italiano

- Avere meno di 40 anni

- Essere in possesso di diploma di maturità, etc.

Esempio 8

“Se F è un rettangolo è un quadrato”

Essere un rettangolo è condizione necessaria, ma non sufficiente per essere un

quadrato (infatti la figura deve avere i 4 lati uguali)

Esempio 9

Se e solo se piglierai una votazione di almeno 60/100, otterrai il diploma di maturità”

E’ una condizione necessaria e sufficiente; è necessaria in quanto, se non si verifica

P l’evento Q non accade ed è sufficiente nel senso che, se si ha quella condizione

l’evento accade certamente.

L’implicazione è detta logica se esiste un nesso casuale tra antecedente e conseguente.

Se invece considerassi le proposizioni:

Esempio 11

P1= “Se 3+5=8, allora la terra è un pianeta”

P2= “Se 3+5=7 allora la terra è un pianeta”

P3= “Se 3+5=8 allora la terra è un satellite”

P4= “Se 3+5=7 allora la terra è un satellite”

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Nel linguaggio comune difficilmente queste proposizioni potrebbero essere considerate

sensate e nemmeno vere. Dal punto di vista della logica matematica invece l proposizioni

hanno un senso ben preciso e si può vedere, dalla tavola di verità dell’implicazione logica

che P1, P2, P4 sono vere e che la sola P3 è falsa.

Quando l’antecedente non è in connessione causale con il conseguente, l’implicazione

assume un significato diverso e viene chiamata implicazione materiale.

Attenzione:

Osserviamo che nel linguaggio comune il significato del connettivo “se…allora” varia è

può capitare di trovare casi in cui quest’uso è più vicino a quello dell’implicazione

materiale.

Supponiamo, per esempio, che un amico debba cercare di risolvere un problema molto

difficile e che noi siamo convinti che non riuscirà a risolverlo.

Esempio 12

Possiamo esprimere la nostra opinione in modo scherzoso dicendo:

“Se risolverai questo problema, allora mi mangerò una scarpa”

In questa implicazione l’antecedente e il conseguente non sono in alcun modo connessi

da una relazione causale e la seconda affermazione è falsa, perché non è possibile che

una persona si mangi una scarpa. Ciò determina, per la verità dell’implicazione, (riga 4

della tavola di verità) la falsità dell’antecedente. In questo modo esprimiamo all’amico la

nostra convinzione che non riuscirà a risolvere il problema.

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Equivalenza tra proposizioni

Due enunciati legati da connettivi si dicono logicamente equivalenti se presentano uguali

tavola di verità.

P Q P P Q P Q

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

P Q P Q P Q Q P P Q Q P

V V V V V V

V F F F V F

F V F V F F

F F V V V V

P Q P Q P Q P Q P Q ( ) ( )P Q P Q

V V V F F V F V

V F F F V F F F

F V F V F F F F

F F V V V V V V

P Q P Q

P Q P Q Q P

( ) ( )P Q P Q P Q

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