A cura della Dott.ssa Anna De Pascale

GUIDA PER LA PREPARAZIONE ALLA PROVA SCRITTADELL’ESAME DI DEMOGRAFIA

Corso della prof.ssa Alessandra De Rose

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PRESENTAZIONE

Questa dispensa, giunta ormai alla seconda edizione, raccoglie gran parte degli esercizi da me utilizzati durante le lezioni di Demografia al fine di esemplificare le più comuni tecniche di analisi demografica e le problematiche correnti legate al trattamento dei dati di popolazione.Gli esercizi, raccolti per comodità didattica in capitoli corrispondenti grosso modoai principali ambiti tematici del corso, sono illustrati nel loro completo svolgimentorichiamando, ove necessario, le formule matematiche sulle quali si basano i calcoli. La guida si propone, essenzialmente, di fornire uno strumento utile allapreparazione della prova scritta dell’esame di Demografia ed è consultabiledirettamente presso il sito web della facoltà di Economia:http://omegacentauri.eco.uniroma1.it/ecolatina/ alla pagina della Prof.ssaAlessandra De Rose, da cui è possibile scaricarla direttamente in formato World.Tutti gli esercizi, da me impostati nello svolgimento di base, sono stati raccolti esvolti dalla Dott.ssa Anna De Pascale che ha apportato modifiche alla precedenteedizione di questo sussidio didattico, curata da Roberto Alicandri e AntonioMoroni, aggiungendo i passaggi matematici in precedenza omessi e integrandolacon semplici esercizi di base, tuttavia molto utili per acquisire dimestichezzanell’uso dei principali strumenti demografici(“piramide delle età”, tavola dimortalità, proiezione demografica.). Mi auguro che la nuova edizione di questadispensa agevoli ulteriormente gli studenti nella preparazione dell’esame diDemografia. Invito, ovviamente, a segnalarmi, con la massima semplicità, eventuali errori edincongruenze, in modo da poter apportare le opportune correzioni in manieratempestiva.

Alessandra De Rose

INDICE

CAPITOLO 1

STRUTTURA ED INDICI DELLA POPOLAZIONE.......................

CAPITOLO 2

MORTALITÀ......................................................................

CAPITOLO 3

FECONDITÀ.......................................................................

CAPITOLO 4

CONGIUNTURA DEMOGRAFICA............................................

CAPITOLO 5

PREVISIONI........................................................................

4

PREFAZIONE

Prima di iniziare ad addentrarci nelle varie specificità della materia che quivogliamo illustrare e esemplificare numericamente, dobbiamo gettare le basi percomprendere che cosa studia la demografia.La demografia è lo studio della popolazione. Per popolazione si intende un insiemedi individui, stabilmente costituito, legato da vincoli di riproduzione ed identificatoda caratteristiche territoriali, politiche, giuridiche, etniche o religiose.Avendo definito preliminarmente l’oggetto di studio della nostra materia, possiamoa questo punto tentare di dare una definizione pratica ed operativa di demografia, laquale studia i processi che determinano il formarsi, conservarsi ed estinguersi dellepopolazioni. Tali processi sono quelli di riproduttività, mortalità e mobilità.Dunque il nostro studio focalizzerà la sua attenzione sul ripartirsi ed aggregarsidella popolazione in coppie, famiglie e comunità. Così come la struttura per sesso eper età della popolazione dipende strettamente dal combinarsi di fecondità emortalità, così il combinarsi di vincoli affettivi determina la moltitudine di assettistrutturali possibili delle popolazioni.

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CAPITOLO 1

STRUTURA ED INDICI DELLA POPOLAZIONE

Uno degli aspetti cruciali della demografia è lo studio della struttura per età di una popolazione.La globalità dei fenomeni demografici è imprescindibilmente dipendente dall’età e quindicorrelata con la struttura per età di una popolazione.Per confrontare strutture per età relative a popolazioni diverse si usa esprimere la frequenza diciascuna classe in percentuale. Ciò può avvenire con riferimento alla popolazione totale oppure aidue sessi separatamente.Questa distribuzione, rappresentata da una serie di istogrammi con base proporzionaleall’ampiezza dell’intervallo di età e superficie proporzionale alla numerosità della popolazionedelle classi stesse, può essere denominata come una piramide di età.Per altri fenomeni demografici sarà d’altronde utile sintetizzare con indici significativi ladistribuzione della popolazione per età. I dati necessari per elaborare tali indici sono comunque glistessi che occorrono per la costruzione della piramide di età, cioè la ripartizione percentuale dellapopolazione in classi.

L’età media è la media delle età ponderata con l’ammontare della popolazione in ciascuna classe

di età. Se chiamiamo n l’ampiezza di ciascuna classe di età:

nxx

nxx

P

Pnxx

,

,)2

1(

L’età mediana è l’età che bipartisce esattamente la popolazione i cui componenti siano ordinatisecondo la scala progressiva delle età.

L’indice di vecchiaia (IV) è un indicatore sintetico del grado di invecchiamento della popolazionee si ottiene rapportando l’ammontare della popolazione anziana con quella dei bambini:

100140

65

P

P

L’indice demografico di dipendenza (ID) è un indicatore di rilevanza economica, con questoindice poniamo in rapporto le persone non autonome per ragioni demografiche con le persone che

si presume debbano sostenerli con la loro attività: 1006415

65140

P

PP

L’indice di struttura della popolazione attiva (IS) è un indicatore del grado di invecchiamento del

settore produttivo della popolazione: 1003915

6440

P

P

L’indice di ricambio della popolazione in età attiva (IR) è dato dal rapporto tra coloro che stanno

per andare in pensione e coloro che stanno per entrare nel mondo del lavoro: 1001915

6460

P

P

6

L’indice del carico di figli per donna feconda (IC) si ottiene ponendo a rapporto i bambini nati da

poco con le donne in età feconda: 4415

40

P

Pf

Definiamo infine rapporto di mascolinità il rapporto tra l’ammontare della popolazione di sesso

maschile e quella femminile: 100P

PF

M

7

ESERCIZIO 1.1

Nel 1980 la popolazione A e la popolazione B presentano le seguenti strutture per classi di età:

CLASSI DI ETA’ POPOLAZIONE A (in migliaia)

POPOLAZIONE B(in migliaia)

0-4 676 1.972 5-9 522 2.18910-14 439 2.33415-19 373 2.21620-24 321 2.00525-29 275 1.96930-34 236 1.95235-39 200 1.86440-44 169 1.85545-49 142 1.82750-54 117 1.78155-59 94 1.59360-64 73 1.13665-69 53 1.362 70+ 53 2.359Tot. 3.743 28.414

Si tenga presente, inoltre, che l’ ammontare della popolazione femminile in età feconda (15-49anni) risulta pari rispettivamente a 847.000 nel paese A e a 6.819.000 nel paese B. Si calcolino iprincipali indici sintetici della struttura per età in modo da qualificare lo stadio evolutivoraggiunto dalle popolazioni. Si commentino i risultati ottenuti in modo da evidenziare le differentiimplicazioni demografiche e socio economiche.

SOLUZIONE

Per poter valutare lo stadio delle due popolazioni, avendo a disposizione la struttura per età, sipossono calcolare i seguenti indici sintetici:

ETA’ MEDIANA

ETA’ MEDIA

INDICE DI VECCHIAIA

INDICE DEMOGRAFICO DI DIPENDENZA

INDICE DI STRUTTURA DELLA POPOLAZIONE ATTIVA

INDICE DI RICAMBIO

INDICE DEL CARICO DI FIGLI PER DONNA FECONDA

8

ETA’ MEDIANA:

Popolazione A

14,1816372010

16375,187151520105,187116375,1871

2

3743

2 190140

XPPPP

x

P 0-19 indica la popolazione A (in migliaia) che ha un’ età compresa tra 0 e 19 anni P 0-14 indica la popolazione A (in migliaia) che ha un’ età compresa tra 0 e 14 anniQuesti due valori ci interessano perché, come vediamo, sono inseriti nell’ ultima espressione cheè, appunto, quella che ci permette di calcolare l’ età mediana della popolazione A.In pratica P 0-19 è la classe in cui cade Px = 1871,5. Il secondo estremo di questa classe è, in realtà,anche il secondo estremo della classe di età 15-19 che, possiamo indicare semplicemente con P x +

n , in modo da poter indicare la classe P0-14 con P (x, x + n) –1.

A tal punto l’ espressione:

1871,5 1637

15 5 18,142010 1637

X-骣= + �琪 -桫

dovrebbe risultare più comprensibile:15 è il primo estremo della classe 15-195 indica l’ ampiezza delle classi di età che figurano nel testo dell’ esercizio1871,5 è Px

1637 indica la popolazione A (in migliaia) che ha un’ età compresa tra 0 e 14 anni (P 0-14)2010 indica la popolazione A (in migliaia) che ha un’ età compresa tra 0 e 19 anni (P 0-19)

Popolazione B:

9,331268514637

126851420753014637142071268514207

2

28414

2 340290

XPPPP

x

ETA’ MEDIA

nxx

nxx

P

Pnxx

,

,)2

1(

Popolazione A:

x = (2,5 · 676) + (7,5 · 522) + (12,5 · 439) +……+ (67,5 · 53) + (85* · 53)/3743 = 22,89

* l’ ultima classe di età 70+ viene chiusa considerandola come classe 70 – 100, la cuiampiezza è pertanto pari a 30. Quindi :

1( )

2x n+ =

1(70 30) 85

2+ =

Popolazione B:

x = (2,5 · 1972) + (7,5 · 2189) + (12,5 · 2334) +……+ (67,5 · 1362) + (85* · 2359)/28.414 =36,46

9

INDICE DI VECCHIAIA: 65

0 14

100P

P+

-

Popolazione A:

IV(A) = 106

· 100 6,48%1637

=

Popolazione B:

IV(B) = 57,29%

INDICE DEMOGRAFICO DI DIPENDENZA: 0 14 65

15 64

100P P

P- +

-

+

Popolazione A:

Id (A) = 1637 106

1002000

+ = 87,15%

Popolazione B:

Id (B ) = 56,14%

INDICE DI STRUTTURA DELLA POPOLAZIONE-ATTIVA: 1003915

6440

P

P

Popolazione A:

IS (A) = 595

100 42,35%1405

�

Popolazione B:

IS (B) = 81,87%

INDICE DI RICAMBIO: 1001915

6460

P

P

Popolazione A:

IR (A) = 73

100 19,57%373

�

Popolazione B: IR (B) = 1,26%

INDICE DEL CARICO DI FIGLI PER DONNA FECONDA: 4915

40

fP

P

Popolazione A:

10

IC (A) = 676

·1000 0,798847.000

=

Popolazione B:

IC (B) = 0,289

ESERCIZIO 1.2

Data la popolazione di un paese (dati in migliaia) rilevata al tempo t+10

11

Classi di età anno t Anno t+10M F M+F M F M+F

0 446 421 867 335 315 6501 - 4 1.826 1.795 3.621 1.324 1.256 2.5805 - 9 2.366 2.252 4.618 l.590 1.509 3.099

10 - 14 2.142 2.041 4.183 1.811 1.721 3.53215 - 19 1.961 1.889 3.850 2.179 2.073 4.25220 - 24 2.081 2.013 4.094 2.298 2.198 4.49625 - 29 1.755 1.752 3.507 2.314 2.222 4.53630 - 34 1.917 1.939 3.856 2.040 1.977 4.01735 - 39 1.805 1.845 3.650 1.840 1.814 3.65440 - 44 1.840 1.822 3.662 2.023 2.016 4.03945 - 49 1.757 1.871 3.628 1.641 1.690 3.33150 - 54 1.228 1.357 2.585 1.817 1.903 3.72055 - 59 1.430 1.574 3.004 1.621 1.752 3.37360 - 64 1.371 1.539 2.910 1.534 1.736 3.27065 - 69 1.043 1.263 2.306 1.294 1.631 2.92570 - 74 715 988 1.703 728 1.017 1.74575 - 79 476 780 1.256 795 898 1.42880 - 84 159 260 419 265 674 1.07185 - 89 79 130 209 133 449 71490 - 94 56 91 147 93 157 25095 - 99 24 39 63 40 67 107

TOTALE 26.476 27.661 54.137 27.714 29.075 56.789

Si richiede di:

Calcolare il rapporto di mascolinità (almeno per le tre prime classi di età). Costruire le piramidi delle età (con almeno le prime tre classi di età) per l'anno t e per

l'anno t+10 in modo che siano tra loro correttamente confrontabili. Calcolare gli indici di vecchiaia delle due popolazioni.

SOLUZIONE

1) RAPPORTO DI MASCOLINITA' : 100PM

PFETA’ TEMPO t TEMPO t+100 446/ 421 = 105,94 335/ 315 = 105,371 – 4 1.826/1.795 = 101,73 1.324/1.256 = 105,415 - 9 2.366/2.252 = 105,06 1.590/1.509 = 105,37

2) PIRAMIDE DELLE ETA’Le classi di età sono di diversa ampiezza; occorre pertanto dividere l'ammontare di popolazione diciascuna classe di età per l'ampiezza (modulo della classe). I valori ottenuti devono essere, inoltre,rapportati al totale della popolazione. In altre parole occorre calcolare la densità di frequenza:

12

dx = X

totale

P

P a dove “a” indica l’ ampiezza della classe

Costruzione della piramide delle età per l’ anno t

Md0 = 446

·100 0,8254.137·1

=

Fd0 = 421

·100 0,7854.137·1

=

Md1-4 = 1.826

·100 0,8454.137·4

=

Md5-9 = 1.795

·100 0,8354.137·4

=

……………………………..Dopo avere ultimato i calcoli possiamo compilare la seguente tabella:

ANNO t

Classi di età a M F d x M d x

F

0 1 446 421 0,82 0,781 – 4 4 1.826 1.795 0,84 0,835 - 9 5 2.366 2.282 0,87 0,83

La piramide delle età sotto riportata è stata costruita considerando tutte le classi di età. Ai finidell’ esercizio è consigliabile, comunque, considerare almeno le prime quattro/cinque classi.

Piramide delle età - Popolazione Anno t

Per costruire la piramide delle età relativa all’ anno t+10 basterà seguire il procedimento appenaillustrato per l’ anno t:ANNO t+10

Classi di età a M F d x M d x

F

0 1 335 315 0,59 0,55

5

13

1 – 4 4 1.324 1.256 0,58 0,555 - 9 5 1.590 1.509 0,56 0,53

Piramide delle età - Popolazione Anno t+10

3) INDICE DI VECCHIAIA: 65

0 14

100P

P+

-

%9,4510013289

6102tIV

%6,831009861

8240)10( tIV

14

ESERCIZIO 1.3

Data la composizione secondo il sesso e l’ età della popolazione al 1/1/1990 si costruisca lacorrispondente piramide delle età:

ETA’ Mx Fx POP. TOTALE<1 289.062 273.365 562.4271-4 1.166.949 1.100.508 2.267.4575-9 1.573.812 1.490.691 3.064.50310-14 1.911.556 1.814.127 3.725.68315-24 4.708.819 4.526.658 9.235.47725-44 8.268.594 8.220.710 16.489.30445-64 6.700.686 7.195.262 13.895.94865+ 3.349.052 4.986.578 8.335.630

27.968.530 29.607.899 57.576.429

Poiché le classi hanno una diversa ampiezza bisogna calcolare la densità di frequenza( quando le classi hanno uguale ampiezza ciò, invece, non è necessario; si usano direttamente le frequenze

assolute o si possono calcolare le frequenze relative nel modo seguente:.

·100.

freq assoluta

tot popolazione).

Ricordiamo, innanzitutto, la formula per calcolare la densità di frequenza:

dx = X

totale

P

P a dove “a” indica l’ ampiezza della classe

Md<1 = 289.062

·100 0,5057.576429·1

=

Fd<1 = 273.365

·100 0,4857.576.429·1

=

Md1-4 = 1.166.949

·100 0,5157.576.429·4

=

Fd1-4 = 0,48…………………………………….

Md65+ = 3.349.052

·100 0,1557.576. 40429·

=

Fd65+ = 4.986.578

·100 0,1557.576. 40429·

=

Si noti che la classe d’ età 65+ è stata chiusa supponendo che avesse un’ ampiezza pari a 40.

15

Possiamo costruire la seguente tabella:ETA’ a Mx Fx d x

M d x F

<1 1 289.062 273.365 0,50 0,481-4 4 1.166.949 1.100.508 0,51 0,485-9 5 1.573.812 1.490.691 0,55 0,5210-14 5 1.911.556 1.814.127 0,66 0,6315-24 10 4.708.819 4.526.658 0,82 0,7925-44 20 8.268.594 8.220.710 0,72 0,7145-64 20 6.700.686 7.195.262 0,58 0,6365+ 40 3.349.052 4.986.578 0,15 0,22Disegnare la piramide delle età: essa presenterà una base molto ristretta per effetto della sempre più contenuta natalità.

ESERCIZIO 1.4

16

Sia data la distribuzione per età della popolazione infantile di Etiopia e Svezia:

Classi dietà

Etiopia Popolazionetotale

Svezia Popolazionetotale

Maschi Femmine Etiopia Maschi Femmine Svezia0-1 1.190 1.175 2.365 250 235 485

1-2 900 900 1.800 265 255 5202-3 830 725 1.555 300 300 6003-4 670 600 1.270 375 385 7604-5 500 475 975 400 430 830

4.090 3.875 7.965 3.195

Per le due popolazioni si costruiscano le piramidi di età e si commentino i risultati; si calcolino: l’ età media e l’ età mediana.

Poiché le classi di età hanno tutte la stessa ampiezza non occorre calcolare la densità di frequenza.

Calcoleremo, invece, la frequenza relativa: fx = .

·100.

freq assoluta

tot popolazione

1) Piramidi di età

Etiopia

M f 0-1 = 1.190

·1000 149,47.965

=

F f 0-1 = 1.175

·1000 147,527.965

=

M f 1-2 = 112,99

……………………………………………

Classi di età Etiopia M f x F f x

Maschi Femmine0-1 1.190 1.175 149,44 147,51-2 900 900 112,99 112,992-3 830 725 104,2 91,023-4 670 600 84,11 75,334-5 500 475 62,77 59,6

4.090 3.875Disegnare la piramide delle etàSvezia

M f 0-1 = 250

·1000 78,243.195

=

17

F f 0-1 = 235

·1000 73,553.195

=

M f 1-2 = 82,94

……………………………Classi di età Svezia M f x

F f x

Maschi Femmine0-1 250 235 78,24 73,551-2 265 255 82,94 79,812-3 300 300 93,9 93,93-4 375 385 117,37 120,54-5 400 430 125,2 134,6

1.590 1.605

Disegnare la piramide delle età

CAPITOLO 2

FECONDITA’

La misura base di fecondità è il tasso specifico di fecondità, espresso dal rapporto tra i nati vivi da

donne in età x e l’ammontare medio delle donne con la medesima età: 1000x

xx D

NVf

La somma dei tassi specifici si definisce tasso di fecondità totale (TFT).

18

La cadenza delle fecondità viene indicata calcolando l’età media della donna alla nascita di un

figlio:

49

1549

15

cx

x

xx

x fa

f

=

=

=

Il tasso di riproduttività (R) rappresenta la capacità di una generazione reale o fittizia disostituzione e si stima attraverso la sua fecondità. Una generazione di donne si riproduce se ognidonna mette al mondo almeno una figlia. Allora se il TFT è il numero medio di figli e se 0,485 è ilrapporto tra nati femmine e totale dei nati, TFTR 485,0 esprime il tasso di riproduttivitànell’ipotesi che non ci siano morti fra le donne fino al termine della vita feconda.

ESERCIZIO 2.1

A partire dai seguenti dati:

PIEMONTE VENETOEtà Pop.femminile Nati vivi Pop.femminile Nati vivi

01/01/1979 01/01/1980 1979 01/01/1979 01/01/1980 1979

19

15-19 144613 150387 3868 170155 175990 217120-24 133356 133526 10407 153081 156101 1181725-29 146868 141913 13594 152420 152257 1507830-34 161438 164130 7780 151475 154449 898835-39 162493 155708 2527 148370 145866 332540-44 163486 167778 617 141087 144199 90545-49 161010 160262 41 134740 135686 65

ipotizzando nulla la fecondità alle altre età, calcolare: il tasso specifico di fecondità generale; il TFT per le due regioni; l’età media alla nascita.

SOLUZIONE

1) Tasso specifico di fecondità generale

Occorre, innanzitutto, calcolare la popolazione media, che si ottiene facendo, per ogni classe dietà:

'79 '80

2

P P+

Quindi, per la classe 15-19 avremo:

144.613 150387147.500

2

+=

Per la classe 20-24:

133.356 133.526133.441

2

+=

e così via fino all’ ultima classe.

Tasso specifico di fecondità del Piemonte

XX

X

Nf

P=

15 1915 19

15 19

3.868·1000 ·1000 26,22

147.500

Nf

P-

--

= = =

20 24

10.407·1000 78

133.441f - = =

e così via fino all’ultima classe

ETA’ POP.MEDIA NATI VIVI NEL ‘79Xf

15-19 147.500 3.868 26,2220-24 133.441 10.407 7825-29 144.390,5 13.594 94,130-34 162.784 7.780 47,835-39 159.100,5 2.527 15,940-44 165.632 617 3,7

20

45-49 160.636 41 0,3266

Tasso specifico di fecondità del Veneto

Si procede nel medesimo modo. Nella tabella sotto sono riportati i risultati:

ETA’ POP.MEDIA NATI VIVI NEL ‘79Xf

15-19 173.072,5 2.171 12,520-24 154.591 11.817 76,425-29 152.338,5 15.078 9930-34 152.962 8.988 58,835-39 147.118 3.325 22,640-44 142.643 905 6,345-49 135.213 65 0,5

275,8

2) TFT

TASSO DI FECONDITA’ TOTALE DEL PIEMONTE49

15

( ) 26,22 78 94,15 47,8 5,8 3,72 0,3) 266

266·5* 1330

XX

TFT f=

= = + + + + + + =

=

* moltiplichiamo per 5 perché le classi di età hanno ampiezza pari a 5.

TASSO DI FECONDITA’ TOTALE DEL VENETO

275,8·5 1379TFT = =

3) ETA’ MEDIA ALLA NASCITA

PIEMONTE

49

1549

15

cx

x

xx

x fa

f

=

=

=

cx indica il valore centrale della classe.

Per la classe 15-19 esso è pari a 17,5. Si perviene a questo risultato nel modo seguente:

20 1517,5

2

+=

21

Per la classe 20-24 cx sarà paria a:25 20

22,52

+=

e così via fino all’ ultima classe di età

Dopo aver calcolato i valori centrali di ogni classe applichiamo la formula dell’ età media allanascita scritta sopra:

[(17,5·26,22) (22,5·78) ........(47,5·0,3)] / 266 26,78a = + + =

VENETO

49

1549

15

cx

x

xx

x fa

f

=

=

=

Procediamo come prima. I valori centrali di ogni classe li abbiamo già calcolati, per cuiapplichiamo la formula dell’ età media alla nascita e otteniamo:

[(17,5·12,5) (22,5·76,4) ........(47,5·0,5)] / 275,8 27.96a = + + =

ESERCIZIO 2.2

Sia data una generazione di donne italiane di ammontare iniziale pari a 550 e le nascite messe almondo nel corso della loro vita riproduttiva:

età nascite donne

15-19 15 52820-24 120 521

22

25-29 275 51330-34 215 51235-39 80 51040-44 15 49645-49 2 451

a) calcolare il numero medio di figli per donnab) calcolare il TFT

SOLUZIONE

a) Numero medio di figli per donna:

3127,1550

722

fTot

Tot

P

NN

b) Tasso di fecondità totale49

15x

TFT fx=

=

Calcoliamo per ogni classe di età il tasso specifico di fecondità:

15 1915 19

15 19

20 2420 24

20 24

150,028

528

1200,230

521

Nf

P

Nf

P

--

-

--

-

= = =

= = =

…e così via fino all’ ultima classe:

età nascite donne xf

15-19 15 528 0,02820-24 120 521 0,23025-29 275 513 0,53630-34 215 512 0,4235-39 80 510 0,15740-44 15 496 0,03045-49 2 451 0,004

722 1,405

Si noti che i tassi specifici di fecondità non sono stati moltiplicati per 1000 in quanto il numero delle donne non è espresso in migliaia.

TFT= (0,028+0,230+0,536+……)·5=7,025

23

ESERCIZIO 2.3

Sono noti:a) la popolazione femminile in età feconda di due paesi A e B;b) i tassi specifici di fecondità di un paese C;c) i tassi generici di fecondità generale di A,B e C.

Classi di età Popolazione femminile Tassi specificidì fecondità(in migliaia) (%o)

24

A B Paese C

15 - 19 1.888,9 1.700,9 3020 - 24 2.013,2 1.339,8 12625 - 29 1.751,8 1.492,4 12330 - 34 1.939,4 1.633,5 8535 - 39 1.845,2 1.636,4 4840 - 44 1.882,5 1.421,6 1745 - 49 1.870,9 1.132,9 2Totale pop.15-49 13.191,9 10.357,5Tasso generico difecondità(%o) 68,69 80,03 75,00

Determinare quali sarebbero i livelli di fecondità generale nei due paesi A e B se le duepopolazioni assumessero la fecondità specifica del paese C.Mettere a confronto i risultati ottenuti.

SOLUZIONE

Assumendo che le due popolazioni A e B abbiano i tassi specifici di fecondità di C, ricordandoche:

i xx

i x

Nf

P=

abbiamo la possibilità di risalire al numero dei nati dalle donne delle diverse classi di età.Infatti:

15 19 301.888,9

xf - = =

1888,9·30 56.667x = =L’ incognita x rappresenta il nostro i xN ( numero di nati da donne appartenenti alla classe di età 15-19).Procediamo allo stesso modo per tutte le altre classi di età. Possiamo costruire una tabella per unamaggiore leggibilità dei risultati:

1888,9·30= 56667 1700,9·30= 510272013,2·126= 253663,2 1339,8·126= 168814,81751,8·123= 215471,4 1492,4·123= 183565,21939,4·85= 164849 1633,5·85= 138847,51845,2·48= 88569,6 1636,4·48= 78547,21882,5·17= 32002,5 1421,6·17= 24167,21870,9·2= 3741,8 1132,9·2= 2265,8

Nati teorici (A) 814964,5 Nati teorici (B) 647234,7

25

Tasso generale di fecondità (%o) teorico:

A) TOTALE NATI TEORICI DI A

TOTALE NATI TEORICI DI B = 78,61

9,13191

5,814964

B) TOTALE NATI TEORICI DI B

TOTALE POPOLAZIONE B = 49,62

5,10357

7,647234

Confronto tra i risultati

TASSO GENERICO DI FECONDITA' 68,691,11

TASSO GENERALE DI FECONDITA' TEORICO 61,78

TASSO GENERICO DI FECONDITA' 80,031,28

TASSO GENERALE DI FECONDITA' TEORICO 62,49

A

B

I

I

= = =

= = =

ESERCIZIO 2.4

Usando i dati della tabella seguente relativa all'Italia 1981 calcolare:

1) i tassi specifici di fecondità per età2) il tasso di fecondità totale 3) età media al parto4) il tasso lordo di riproduttività .

26

Classi di età Pop.femm.media‘81( in migliaia)

Nati Età x 1981xF l

15-19 2303 40,7 15 98420-24 2046 187,8 20 98325-29 1906 205,9 25 98130-34 2004 128,3 30 97935-39 1778 45,2 35 97640-44 1921 11,3 40 97245-49 1813 0,8 45 96550-54 50 95455-59 55 937TOTALE 13771 620,0

1) TASSI SPECIFICI DI FECONDITA’ PER ETA’:

15

20

45

40,717,67

2303187,8

91,792046

..................................

0,80,44

18,3

f

f

f

= =

= =

= =

Classi di età

Pop.femm.media‘81( in migliaia)

Nati Età x 1981xF l Xf

15-19 2303 40,7 15 984 17,6720-24 2046 187,8 20 983 91,7925-29 1906 205,9 25 981 108,0330-34 2004 128,3 30 979 64,0235-39 1778 45,2 35 976 25,4240-44 1921 11,3 40 972 5,8845-49 1813 0,8 45 965 0,4450-54 50 95455-59 55 937TOTALE 13771 620,0 313,25

2) TASSO DI FECONDITA’ TOTALE

TFT = 313,5·5 = 1566,25

3) ETA’ MEDIA AL PARTO

27

49

1549

15

cx

x

xx

x fa

f

=

=

=

( ) ( ) ( )17,67·17,5 91,79·22,5 ........ 0, 44·47,527,6

313,5

a = + + +轾臌 =

4) TASSO LORDO DI RIPRODUTTIVITA’

R = 0,485 · TFT

R = 0,485 · 1566,25 = 759,63

CAPITOLO 3

MORTALITA’

28

Per un’analisi statistica della morte e della sua incidenza per età e per sesso lo strumento piùcompleto è la tavola di mortalità che descrive l’eliminazione per morte di una generazione di natifino all’estinzione dell’ultimo dei componenti.Forniamo analiticamente le funzioni di base di tale tavola:

La probabilità di morte )( xq esprime il rischio di morire di un individuo che ha raggiunto l’età x,entro il compleanno x+1. Quindi sarà data dal rapporto tra i decessi avvenuti in età tra x e x+1 egli individui esposti a tale rischio, ovvero quelli che hanno raggiunto il compleanno x. Unesempio esplicato tramite il diagramma di Lexis1 sarà certamente più efficace. Graficamente ilnumeratore è espresso dal parallelogramma BDEC, mentre il denominatore sarà rappresentato dalsegmento BD.

Quanto detto vale quando stiamo trattando dei dati che si riferiscono ad una generazione e chequindi ci forniscono tutti i valori per ogni triangolo del diagramma di Lexis. Nel caso invece che idati si riferiscano a contemporanei, ciò che noi stiamo trattando sono i valori riferiti ai quadrati, ad

esempio se ci riferiamo alla generazione del1978 ciò che avremo a disposizione sarà iltotale dei decessi e quindi graficamente ilquadrato DCEF. In tal caso per ottenere ciòche a noi realmente serve per il calcolo dellaprobabilità di morte ovvero i dati deitriangoli adotteremo l’ipotesi che i decessi siequidistribuiscano all’interno di DCEF e chequindi DCE = DEF.

La probabilità di sopravvivenza )( xp

esprime la probabilità per un individuo cheha raggiunto l’età x di raggiungere anchel’età x+1 e quindi non è altro che il

complemento all’unità della probabilità di morte:

xx qp 1

I decessi sono gli individui che muoiono tra i compleanni x e x+1: xxx qld

dove xl rappresenta i sopravviventi.

Gli anni vissuti )( xL esprimono il numero di anni vissuti tra i compleanni x e x+1:

xxx dlL 5,01 oppure:

21

xxx

llL

tale relazione è approssimativamente valida per tutte le età esclusa l’età 0.

1 Poiché per illustrare i procedimenti di calcolo della tavola di mortalità usiamo il diagramma di Lexis (dal nome dellostudioso che lo impiegò a tal fine nel secolo scorso), i primi esercizi di questa sezione serviranno per acquisire unamaggiore dimestichezza nel realizzare il diagramma che, ricordiamo, pur essendo comunemente impiegato perdescrivere il formarsi e l’ estinguersi di una popolazione, è impiegato per descrivere altri fenomeni demografici,giacché la sua utilità consiste nel porre in luce le relazioni tra tempo di calendario ed età degli individui oggetto, osoggetto, di eventi demografici.

x+1 C E

xB D F

1977 1978

29

Il numero di anni vissuti )( xT esprime il numero totale di anni vissuti dai sopravviventi a partiredall’età x fino all’estinzione della generazione.

La probabilità di sopravvivenza prospettiva p~ , utilizzata nel calcolo delle proiezioni

demografiche è data dal rapporto fra gli anni vissuti a due successive età: x

x

L

Lp 1~

La speranza di vita o vita media all’età x )( xe esprime il numero medio di anni che restano davivere ai sopravviventi all’età x:

x

xx l

Te

e quindi la speranza di vita alla nascita )( 0e è data da:

0

00 l

Te

La mortalità infantile è la frequenza delle morti che intervengono nel solo primo anno di vita. Perdeterminare tale frequenza si usa confrontare il numero dei bambini morti prima di compiere unanno con il numero dei nati vivi:

100000

N

Mm

t

t

ma il rapporto così istituito non fornisce una misura esatta della mortalità infantile, in quanto ibambini che muoiono nel loro primo anno di vita durante l’anno t derivano solo in parte dai natidello stesso anno, poiché provengono anche dai nati dell’anno t-1. Per operare un calcolo piùesatto possiamo seguire la strada di calcolare la mortalità infantile aggiustando il numeratore

0Mt includendovi tutti i morti sotto un anno di età e avvenuti sia nell’anno 0 sia nell’anno 1, la

formula quindi diviene: 10000

01000

N

MMm

Occorre utilizzare dei modelli per analizzare certi fenomeni tenendo ferme altre condizioni. Unodi questi modelli è la popolazione stazionaria. Le caratteristiche di questo modello sono lastruttura per età costante e l’uguaglianza tra nati e morti derivanti da una legge di fecondità e unalegge di mortalità costanti:

30

00 0 0

0

0 0 0

0

0

se è noto e ricordo che e per cui posso ricavare facilmente :

e ·

(tasso di natalità e di mortalità coincidono)

Per calcolarli:

1n = m = ·100(oppur

x x

x

P L

TP L T

l

T l

n l n m

e

=

= �

=

= �

0 0 0

0

0

65

0 15

e ‰)

Se non conosco il valore di e ,ma sono noti i valori di T e l :

·100 (oppure ‰)

IV =

ln m

T

T

T T

= =

-

31

ESERCIZIO 3.1

Disporre sul diagramma di Lexis i seguenti dati:

- nati vivi nel 1970: 901.472;- morti a 0 anni nel 1970, nati nel 1970: 22.315;- morti nel 1970, nati parte nel 1970 e parte nel 1969: 4.324;- morti a 1 anno nel 1971: 5.100;- morti nel 1972, nati nel 1970: 3.700;- morti tra 0 e 3 anni nati nel 1971: 30.300;- morti di un anno nel triennio 1970-1972: 12.000;- morti tra 1 e 3 anni nati nel 1969: 8.500;- popolazione di 1 anno al 31/12/1972: 850.000;- popolazione di 2 anni al 1/1/1971: 740.000

SOLUZIONE

1) nati vivi nel 1970: 901.472;2) morti a 0 anni nel 1970, nati nel 1970: 22.315;3) morti nel 1970, nati parte nel 1970 e parte nel 1969: 4.324;4) morti a 1 anno nel 1971: 5.100;5) morti nel 1972, nati nel 1970: 3.700;6) morti tra 0 e 3 anni nati nel 1971: 30.300;7) morti di un anno nel triennio 1970-1972: 12.000;8) morti tra 1 e 3 anni nati nel 1969: 8.500;9) popolazione di 1 anno al 31/12/1972: 850.000;10) popolazione di 2 anni al 1/1/1971: 740.000

ABABFABEFFGLMMGNRBCSTEHNIEFQRHNLP

3 O P Q R S

2 I L M N T

1 E F GG H

A BB C D

0 1,1,70 1,1,71 1,1,72 1,1,73

32

ESERCIZIO 3.2

Disporre sul Diagramma di Lexis i seguenti dati:

- nati vivi nel 1970- morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1970;- morti in età 0 anni nel 1971 appartenenti alla generazione del 1970- totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione del 1970 deceduti nel 1970-71- morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1969;- contemporanei di 0 anni viventi al 31/12/1970 appartenenti alla generazione del

1970;- totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione 1969-70 deceduti nel 1970;- appartenenti alla generazione del a1970 sopravvissuti e coetanei al primo

compleanno

SOLUZIONE

Età

2

1

A' C E

A B

0 1 ,1 ,70 1,1 ,71 1 ,1 ,72 T em po

33

1. nati vivi nel 19702. morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1970;3. morti in età 0 anni nel 1971 appartenenti alla generazione del 19704. totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione del 1970 deceduti nel

1970-715. morti in età 0 anni nel 1970 appartenenti alla generazione del 1969;6. contemporanei di 0 anni viventi al 31/12/1970 appartenenti alla generazione

del 1970;7. totale morti di 0 anni appartenenti alla generazione 1969-70 deceduti nel

1970;8. appartenenti alla generazione del a1970 sopravvissuti e coetanei al primo

compleanno

AB

ABC

BCE

ABCE

AA'C

CB

AA'CB

CE

34

ESERCIZIO 3.3

Evento: nascite

Disporre sul Diagramma di Lexis i seguenti dati:

- numero di donne di età 20 al 1/1/1974: 368572;- numero di donne di età 20 al 1/1/1975: 385283;- numero di donne di età 20 al 1/1/1976: 385882;- numero di nati da donne di 20 anni nel corso del 1974: 34965;- numero di nati da donne di 20 anni nel corso del 1975, di cui:

15203 da donne nate nel 1955 e 1030 da donne nate nel 1954

SOLUZIONE

Eta

1030

34965

368572

385283

15205 385882

20 1,1,74 1,1,75 1,1,76 1,1,77 Tempo

35

ESERCIZIO 3.4

Evento: matrimonio

Disporre sul Diagramma di Lexis i seguenti dati:- numero di matrimoni celebrati nel 1960 e ancora intatti al 31/12/1980: 250000;- numero di divorzi di matrimoni celebrati nel 1960 che si sciolgono tra 20 e 21

anni:500.

SOLUZIONE

- numero di matrimoni celebrati nel 1960 e ancora intatti al 31/12/1980: 250000 AB- numero di divorzi di matrimoni celebrati nel 1960 che si sciolgono tra 20 e 21

anni:500. ABCD

N.B. In questo caso non parliamo di generazione, ma di coorte di matrimonio: insieme dimatrimoni celebrati nel 1960.Sull’ asse delle y poniamo la durata e non l’ età perché l’ evento origine non è la nascita di unindividuo.

Età

1 C D

250.

000

0 A B

1,1,80 1,1,81 1,1,82 tempo

36

ESERCIZIO 3.5

Per una popolazione chiusa ai movimenti migratori, si dispone delle seguenti informazioni:

- viventi in età compresa tra 0 ed 1 anno alla data 1.1.1998: 8.702;- morti tra 0 ed 1 anno nel 1997, provenienti dai nati nello stesso anno: 202 ;- morti tra 0 ed 1 anno nel 1998, provenienti dai nati nel 1997: 20;- nati nel 1998 : 8.873;- morti tra 0 ed 1 anno nel 1998, provenienti dai nati nello stesso anno: 179 .

Calcolare:

- nati nel 1997;- sopravviventi al primo compleanno per la generazione del 1997;- viventi in età 0-1 anno all'1.1.1999 ;- mortalità infantile per la generazione del 1997;- mortalità infantile per l'anno 1998.

SOLUZIONE

904.8202702.8N1997

1997 1 8702 20 8682l = - =

694.8179873.8P 1999.1.110

9,2410008904

202021000

1997

199801997

199701997

0

N

MMm

4,2210008873

179

8904

201000

1998

199801998

1997

199701997

0

N

M

N

Mm

Età

1

20

202 8.7

02

179

0 8.873

1,1,97 1 ,1 ,98 1,1,99 t empo

37

E SERCIZIO 3.6

Nel biennio 1971-1972 una popolazione ha dato luogo ai seguenti flussi:

Anno Nati vivi Anno decesso Anno nascita Morti in età 0

1971 400.000 1971 1970 1.3001972 390.000 1971 10.030

1972 1971 1.1141972 9.100

Utilizzando opportunamente questi dati, completare le prime tre righe della seguente tavola dimortalità riferita allo stesso intervallo di tempo.

x xl xd xq1000 xp1000 xL xe

0 97.7711 1462 999,123 96.953 71,14

SOLUZIONE

Età

1

1.300 1.11410.030 9.100

0 400.000 390.000tempo

38

14,97286,2710001000

278602786,0100000

02786,0400000

111410030

0

0

0

p

d

q

9706814697214

50,99850,110001000

50,1100097214

1461000

972142786100000

2

1

1

1

l

p

q

l

969838597068

971412

9706897214

851000

88,097068

88.012,99910001000

3

1

2

2

l

L

d

q

08,72

6996397689937197026

6899371

970262

9698397068

2

22

322

333

2

l

Te

TLT

leT

L

91,71

7191309

97,72

7093538

0

00

100

1

11

211

l

Te

TLT

l

Te

TLT

x xl xd xq1000 xp1000 xL xe

0 100.000 2.786 27,86 972,14 97.771 71,911 97.214 146 1,50 998,50 97.141 72,972 97.068 85 0,88 999,12 97.026 72,083 96.983 60 0,62 999,38 96.953 71,14

ESERCIZIO 3.7

39

Avendo a disposizione i dati sotto riportati:

Morti per età ed anno di nascita

morti 1977 morti 1978Età anno di nascita morti Età anno di nascita morti

0 1977 11.966 0 1978 10.9001976 1.457 1977 1.195

1 1976 380 1 1977 2981975 316 1976 347

Popolazione all’1.1.78

Età Popolazione

0 794.4381 925.587

1) disporre opportunamente i dati sulla schema di Lexis

2) calcolare il troncone 0-1 tavola della mortalità 1977-78, nell’ipotesi di popolazione chiusa alle migrazioni limitatamente ai valori delle funzioni che è possibile calcolare.

SOLUZIONE

316 347

380 298

1

1457 1195

11966 10900

0

1977 1978

794438

925587

40

Etàxl 1000xq xd xL

0 100000 16,3206 1632 985311 98368 0,7851 78

0,000785380925587

347380

0163206,011966794438

119511966

1

0

q

q

41

ESERCIZIO 3.8

Disporre sullo schema di Lexis i seguenti dati:

Italia – Morti per età ed anno di nascita nel triennio 1977-79

Età Anno di nascita Morti

1977 0 1977 11.9661976 1.457

1 1976 3801975 316

1978 0 1978 10.9001977 1.195

1 1977 2981976 347

1979 0 1979 9.4511978 1.049

1 1978 2871977 295

Italia - Nati vivi nel triennio 1977-79

Anno NV

1977 741.1031978 709.0431979 670.221

Calcolare inoltre, nell'ipotesi di movimento migratorio nullo:

a) il tasso specifico di mortalità tra 1 e 2 anni per l'anno 1979;

b) la probabilità di morte tra 1 e 2 anni relativa alla generazione nata nel 1977.

SOLUZIONE

42

1

1

( ) 287 295) 1000 0,82

0,5 ( ) 0,5·(727644 696807)

( ) 298 295) 1000 0,81

727942

d BCDEa m

EB DC

d ABDEb q

AB

+= =�

+�+

= =�

SPIEGAZIONE

Tasso specifico di mortalità tra 1 e 2 anni per l’ anno 1979

Per giungere al risultato EB=727644 procediamo nel modo seguente:

1977 1977nati nel 1997= 741103-11966=729137NV M-

A ciò sottraiamo i morti nel 1978 nati nel 1977 ed otteniamo AB:

729137-1195=727942 (AB)

Ad AB sottraiamo i morti di un anno nel 1978 nati nel 1977 e troviamo finalmente EB:

727942 298 727644- = (EB)

Per trovare, invece, DC, procediamo così:

1978 1978nati nel 1978=709043-10900=698143NV M- (viventi al 1/1/1979)

Poi: 698143 1049 697094( )BC- =

A BC sottraiamo i morti di un anno nel 1979 nati nel 1978:

2 E D

316 347 295

380

1 A B C

1457 1195 1049

0 741103 409043 670221

1,1,77 1,1,78 1,1,79 1,1,80

11966 10900 9451

298 287

43

697047 287 696807( )DC- =

Probabilità di morte tra 1 e 2 anni relativa alla generazione nata nel 1997:

1

( ) 298 2951000 0,81

727942

d ABDEq

AB

+= =�

298 = i morti di 1 anno nel 1978 nati nel 1977295 = i morti di 1 anno nati nel 1977 e morti nel 1979

44

ESERCIZIO 3.9

Dalla generazione italiana di nati vivi nel 1977 (741.103 unità), 726.819 di bambini di 3 annicompiuti risultano ancora viventi all’ 1/1/1981.I decessi all’età di 3 anni, negli anni di calendario 1980 e 1981 sono così ripartiti:

Anni di calendario Generazione1976 1977 1978

1980 141 1821981 134 129

1. si dispongano questi dati sul diagramma di Lexis;2. si calcolino, con riferimento alla generazione del 1977, la probabilità dimorte a 3 anni

compiuti e il tasso specifico di mortalità alla stessa età (q3, m3);

SOLUZIONE

1)

ET A'

4

141 134

3 182 72

68

19

129

2

1

0

T empo

45

2)

33

3

33

3

182 134·1000 ·1000 0,4347

726.819 182

182 134·1000 ·1000 0,4348

726.819

dq

l

dm

L

+= = =

+

+= = =

Si vede che i due indicatori di mortalità sono praticamente identici. Ciò perché i decessi dibambini di 3 anni, appartenenti alla generazione del 1977, avvenuti nel 1980 sono pococonsistenti (182) e perciò il denominatore di 3q e 3m sono molto simili.

46

ESERCIZIO 3.10

A partire dal seguente estratto della tavola di mortalità relativa alla popolazione maschile italianadel 1990:

si determinino:

1) l’ammontare dei sopravviventi a 91 e 96 anni ( 91l e 96l );

2) i decessi tra 92 e 93 anni e tra i 97 e i 98 anni ( 92d , 97d );

3) la probabilità di morte a 90 anni ( 90q );

4) la probabilità di sopravvivenza a 90 anni ( 90p );

5) la speranza di vita a 90 anni ( 90e ).

SOLUZIONE

EtàXl Xd

90 8.395 182791 1.54692 5.02193 3.744 1.02794 2.717 80395 1.914 60996 44697 85998 544 21499 331 139100 192 86101 106 51102 55 28103 27 15104 13 13

EtàXl Xd

90 8.395 1.82791 6.568 1.54692 5.021 1.27793 3.744 1.02794 2.717 80395 1.914 60996 1.305 44697 859 31598 544 21499 331 139100 192 86101 106 51102 55 28103 27 15104 13 13

47

1) l’ammontare dei sopravviventi a 91 e 96 anni:

91 90 90

96 95 95

8.395 1.827 6.568

1.914 609 1.305

l l d

l l d

= - = - =

= - = - =

2) i decessi tra 92 e 93 anni e tra i 97 e i 98 anni:

92 92 93 5.021 3.744 1.277d l l= - = - =

97 97 98 859 544 315d l l= - = - =

3) la probabilità di morte a 90 anni:

9090

90

187·1000 ·1000 217.62‰

8.395

dq

l= = =

4) la probabilità di sopravvivenza a 90 anni:

si ricorda che la probabilità di sopravvivenza è il complemento a 1 (o a mille) della corrispondenteprobabilità di morte:

90 901000 1000 217.63 782.37‰p q= - = - =

5) la speranza di vita a 90 anni:

la speranza di vita a 90 anni indica il numero di anni che si attende di vivere ancora, in media, unnovantenne della generazione considerata. Indicando con XT , XL , Xl , rispettivamente, la serieretrocumulata degli anni vissuti, gli anni vissuti e i sopravviventi, si ha:

90 90 91 92 1040

90 90

90 91 91 92 92 93

90

91 92 93 104

90

.......

( ) / 2 ( ) / 2 ( ) / 2 .......

..........0,5

T L L L Le

l l

l l l l l l

l

l l l l

l

+ + += = =

+ + + + + += =

+ + + += +

Sostituendo:

90

6.568 5.021 3.744 .......... 130,5 3,29

8.395e

+ + + += + = anni

Saremmo potuti arrivare alla soluzione anche in un altro modo, ossia calcolando 90T come

sommatoria degli XL . Per calcolare gli XL avremmo applicato la formula:

1) 1 0,5X X XL l d+= + , oppure la formula:

2) 1

2X X

X

l lL ++

=

48

Applicando la 2) avremmo avuto:

90 9190

8.395 6.5687.481,5

2 2

l lL

+ += = =

e così via fino a 103L . Per quanto riguarda, invece, 104L , non essendo noto 105l , avremmo dovutoapplicare necessariamente la formula 1), per cui:

104 104 1040,5 13 0,5·13 6,5L l d= + = - =

90T = 90 91 92 104.......L L L L+ + +

90 7.481,5 5.794,5 4.382,5 ........... 6,5 27593,5T = + + + + =

900

90

27593,53,29

8.395

Te

l= = =

49

ESERCIZIO 3.11

Per il periodo 1951-'52 disponiamo per l'Italia del Nord e del Sud delle seguenti tavole disopravvivenza

Italia del Nord Italia del Sud lx lx

Età Maschi Femmine Maschi Femmine

0 100.000 100.000 100.000 100.0001 94.429 95.543 91.758 92.4575 93.415 94.603 89.496 90.105

10 93.018 94.286 88.977 89.66415 92.674 94.039 88.576 89.32020 92.134 93.686 87.982 88.84225 91.413 93.199 87.197 88.20230 90.559 92.614 86.332 87.42535 89.547 91.874 85.382 86.53240 88.248 90.954 84.282 85.49745 86.311 89.673 82.763 84.18950 83.266 87.800 80.493 82.43255 78.814 85.081 77.043 79.92660 72.628 81.016 72.083 76.22465 64.429 74.832 65.308 70.49370 53.410 65.084 55.992 61.53675 39.096 50.765 43.412 48.24180 23.245 32.891 27.964 31.56685 9.995 16.032 13.166 15.68290 2.761 5.338 3.980 5.38595 439 1.016 614 952

100 31 77 29 48

1) Calcolare la speranza di vita alla nascita delle quattro popolazioni;

2) Calcolare la probabilità di morte a 60 anni 605 q per tutte le popolazioni ed effettuare iconfronti (con i numeri indici) tra i due sessi per una stessa ripartizione geograficae tra gli stessi sessi delle due ripartizioni.

SOLUZIONE

1)

0

10551100

...5,7)(3)(5,0)(

l

lllllle rispettivamente:

50

M F

ITALIA NORD 64,58 69,08

ITALIA SUD 63,40 65,47

2)

60

6560

60

60605 l

ll

l

dq

M F

ITALIA NORD 0,112890 0,076331

ITALIA SUD 0,093989 0,075186

I confronti per le ripartizioni sono dati rispettivamente da:

100605

605 M

F

q

q

ITALIA NORD 67,62

ITALIA SUD 79,99

e da:

100)(

605

)(605 NORD

SUD

q

q

M 83,26

F 98,50

51

ESERCIZIO 3.12

Nella tabella che segue figurano le probabilità di morte tratte dalla tavola di mortalità abbreviatadella popolazione italiana (maschi) del 1990-92.

Età xa q xl

0 0,031579 100.0001 0,0039285 0,00245010 0,00245315 0,005423

Completare la tavola calcolando:

a) la serie dei sopravviventi xl

b) la serie dei decessi ),( axxd

SOLUZIONE

521005423,095990

9599023696226

236002453,096226

9622623696462

236002450,096462

9646238096842

380003928,096842

968423158100000

3158031579,0100000

155

15

105

10

5

5

14

1

0

d

l

d

l

d

l

d

l

d

d

Età xl xa d

0 100.000 3.1581 96.842 3805 96.462 23610 96.226 23615 95.990 521

52

ESERCIZIO 3.13

Dato il seguente troncone di una tavola di mortalità, calcolare le probabilità, per un individuo inetà 10 anni esatti:

1) di sopravvivenza fino all'età di 15 anni;2) di morire prima di raggiungere i 19 anni;3) di morire tra i 15 ed i 19 anni.

N.B. Fornire i risultati richiesti approssimati, ma con un congruo numero di decimali.

Età xl xd xp xq

0 100.000 7.186 0,92814 0,071861 92.814 1.420 0,98470 0,015302 91.394 600 0,99343 0,006573 90.794 400 0,99559 0,004414 90.394 325 0,99641 0,003595 90.069 309 0,99657 0,003436 89.760 233 0,99740 0,002607 89.527 195 0,99782 0,002188 89.332 165 0,99815 0,001859 89.167 144 0,99839 0,0016110 89.023 130 0,99854 0,0014611 88.893 124 0,99861 0,0013912 88.769 125 0,99859 0,0014113 88.644 134 0,99849 0,0015114 88.510 150 0,99830 0,0017015 88.360 174 0,99803 0,0019716 88.186 200 0,99773 0,0022717 87.986 228 0,99741 0,0025918 87.758 249 0,99716 0,0028419 87.509 264 0,99698 0,00302

SOLUZIONE

1) 99255,010

15 l

l

2) 01701,0110

19 l

l

3) 00956,010

1915 l

ll

53

ESERCIZIO 3.14

Disponendo del troncone finale di una tavola di mortalità (Italia 1970-72 : maschi), calcolare :

1) Il numero di anni vissuti nella classe di età 80-84 anni;2) l'ammontare di anni vissuti in età superiore agli 80 anni;3) la speranza di vita (o vita media) a 80 anni;4) la vita probabile (o età mediana alla morte) a 80 anni;5) la probabilità di morire tra 90 e 95 anni;6) la probabilità per un uomo che compie 85 anni di sopravvivere per 20 anni.

MASCHI

Età Sopravviventi Morti Probabilità dimorte

Probabilità disopravvivenza

x xl xd xq1000 xp1000

80 28.998 3.067 105,77 894,2381 25.931 2.971 114,58 885,4282 22.960 2.871 125,06 874,9483 20.089 2.754 137,10 862,9084 17.335 2.610 150,56 849,4485 14.725 2.434 165,29 834,7186 12.291 2.226 181,14 818,8687 10.065 1.992 197,95 802,0588 8.073 1.740 215,57 784,4389 6.333 1.481 233,85 766,1590 4.852 1.226 252,65 747,3591 3.626 986 271,83 728,1792 2.640 769 291,27 708,7393 1.871 582 310,84 689,1694 1.289 426 330,44 669,5695 863 302 349,98 650,0296 561 207 369,37 630,6397 354 138 388,55 611,4598 216 88 407,43 592,5799 128 55 425,99 574,01100 73 32 444,16 555,84101 41 19 461,92 538,08102 22 11 479,23 520,77103 11 5 496,08 503,92104 6 3 512,44 487,56105 3 2 528,31 471,69106 1 1 543,69 456,31

SOLUZIONE

54

1) 1081772

...2

8584818084

808480

llllLL

ii

105

8080

1

80 8180

105 106105

106 106 106

80

2)

2

27.464,52

........................................

22

0,5 1,5

27464,5 ............. 1,5 168.858,5

xi

x xx

T L

l lL

l lL

l lL

L l d

T

=

+

=

+=

+= =

+= =

= + =

= + + =

3) 82,580

8080

l

Te

4) annietral

858414499280

5) %06,8710090

9590

l

ll

6) %02,010085

105 l

l

55

CAPITOLO 4

CONGIUNTURA DEMOGRAFICA

Una popolazione varia in un lasso di tempo tramite l’apporto positivo delle nascite (N) e delleimmigrazioni (I) e tramite quello negativo dei decessi (M) e delle emigrazioni (E). Possiamochiamare la differenza tra nascite e morti come saldo naturale (SN=N-M) mentre definiremo saldomigratorio la differenza tra immigrati ed emigrati (SM=I-E); ci riferiremo invece al saldo totalefacendo riferimento alla differenza tra gli ammontari complessivi della popolazione ma in periodidiversi (ST= PPt 0 ).

Dall’equazione della popolazione otteniamo che EIMNPPt 0 però I ed E sonotermini ignoti, ma la loro somma ovvero il saldo migratorio può essere stimato: MNPPSMEI t 0 .Possiamo calcolare con riferimento alla popolazione il tasso di incremento aritmetico conoscendo

l’ammontare della popolazione all’inizio ed alla fine di un certo periodo: 10000

0

Pt

PPr T

, il

tasso di incremento geometrico: 10

tt

P

Pr e il tasso di incremento continuo:

t

P

P

r

t

0

ln

Il saldo migratorio appena visto può essere anche espresso in termini di tasso migratorio:

2

0 PPt

SM

smt

dove t esprime il numero degli anni o frazioni di anno intercorrenti tra le due

rilevazioni della popolazione.Possiamo calcolare di tutti e tre i saldi presi in considerazione, ovvero quello totale, quellonaturale e quello migratorio, sia il valore medio annuo sia il valore relativo medio annuo. Nelprimo caso metteremo in relazione il saldo con il lasso di tempo t trascorso tra le due rilevazioni:

t

SM

t

SN

t

ST,, mentre nel secondo caso i saldi verranno messi in relazione con la popolazione

media del periodo preso in considerazione:

2

,

2

,

2000 PP

SMPP

SNPP

ST

ttt

Possiamo anche rapportare rispettivamente il saldo naturale e quello migratorio con il saldo totaleper calcolare il contributo in termini percentuali della dinamica naturale e di quella migratoria

rispetto all’evoluzione totale:

100,100

00

00

ST

SMSM

ST

SNSN

Per confrontare dei fenomeni demografici in due popolazioni l’uso dei tassi generici può portare arisultati equivoci in quanto la struttura delle età delle due popolazioni può essere fortementediversa. Il calcolo dei tassi standardizzati col metodo della popolazione tipo consente dineutralizzare questa distorsione dovuta alla struttura delle età. Questa tecnica consiste nelsostituire alle due popolazione, che fungono da pesi nel calcolo dei tassi specifici, unapopolazione presa come modello e detta appunto popolazione tipo. In altre parole alle duepopolazioni a e b attribuiamo un’identica struttura per età di una qualsiasi altra popolazione c. I

56

tassi standardizzati calcolati come detto sono adesso comparabili in quanto la loro differenza nonè più imputabile ai pesi, ma solo al divario fra i singoli tassi specifici.

57

ESERCIZIO 4.1

Nella seguente tabella si trovano riportate le cifre relative alla popolazione dell'Eire e dellaGermania.

POPOLAZIONE IN MIGLIAIA NATALITA' MORTALITA' ( ‰ ) ( ‰ )

1.1.94 1.1.95 1994 1995

EIRE 3.335 3.385 21,5 9,7

GERMANIA 61.325 61.500 9,5 11,6

Calcolare, in modo che siano confrontabili tra loro, gli incrementi registrati nel corso del 1994:

Totale Naturale Migratorio

SOLUZIONE

INCREMENTO TOTALEApplichiamo la formula del tasso di incremento continuo medio annuo, la più utilizzata poichéquesta misura del tasso di incremento demografico rispecchia un modello di accrescimento dellapopolazione più aderente alla realtà:

0

3.385ln ln3.335

14,91

t

Ec

P

Pr

t

骣琪桫= = =

0

61.500ln ln61.325

2,851

t

Gc

P

Pr

t

骣琪桫= = =

INCREMENTO NATURALE

8,117,95,21)( EirSN

1,26,115,9)( GerSN

INCREMENTO MIGRATORIO

1,38,119,14)( EirSM

9,41,28,2)( GerSM

58

ESERCIZIO 4.2

I tassi specifici di mortalità per età (sessi riuniti) dell'Unione sovietica degli anni 1972-73 e1975-76 sono sotto elencati. A fianco delle serie di tassi è riportata la struttura per età dellapopolazione al 1970 dello stesso paese. Esprimere la variazione della mortalità nel tempo usandocome popolazione tipo quella dell'ultima colonna.

Tassi di mortalità x 1000 Struttura %Età x 1972-73 1975-76 per età Px

0-4 7,2 8,7 8.5005-9 0,7 0,7 10.100

10-14 0,5 0,5 10.40015-19 1,0 1,0 9.10020-24 1,6 1,7 7.10025-29 2,1 2,1 5.70030-34 2,8 3,0 8.70035-39 3,6 3,8 6.90040-44 4,8 513 7.90045-49 6,2 6,9 5.10050-54 8,6 9,3 3.80055-59 12,5 13,4 5.00060-64 18,0 18,9 4.10065-69 27,2 28,0 3.00070 e + 75,5 75,0 4.600

100.000

SOLUZIONE

Usiamo la popolazione del 1970, a questa applichiamo i tassi specifici di mortalità del 1972-73 e, successivamente, quelli del 1975-76. Per ogni classe di età utilizziamo la formula seguente:

xx Pm

Nella tavola di mortalità abbiamo, però, xm ‰ per cui dobbiamo dividere, innanzitutto, quei valori per 1000:

1972-73

Classe di età 0-4: 7, 2

8.500 61,21000

�

Classe di età 5-9: 0,7

.100 7,11000

0=�

……………………………………….

1975-76

Classe di età 0-4: 8,7

.500 741000

=�

Classe di età 5-9:0,7

7,11000

0. 100=�

………………………………………

Tutti i risultati sono riportati nelle ultime due colonne di questa tabella:

59

Età x xm ‰ xP xx Pm 1972-73 1975-76 1972-73 1975-76

0-4 7,2 8,7 8.500 61,2 74,05-9 0,7 0,7 10.100 7,1 7,1

10-14 0,5 0,5 10.400 5,2 5,215-19 1,0 1,0 9.100 9,1 9,120-24 1,6 1,7 7.100 11,4 12,125-29 2,1 2,1 5.700 12,0 12,030-34 2,8 3,0 8.700 24,4 26,135-39 3,6 3,8 6.900 24,8 26,240-44 4,8 5,3 7.900 37,9 41,945-49 6,2 6,9 5.100 31,6 35,250-54 8,6 9,3 3.800 32,7 35,355-59 12,5 13,4 5.000 62,5 67,060-64 18,0 18,9 4.100 73,8 77,565-69 27,2 28,0 3.000 81,6 84,070 e + 75,5 75,0 4.600 347,3 345,0

Somma: 100.000 823 858

La mortalità è aumentata del 2,1%, poiché:

8581 100 2,1%

823- �

60

ESERCIZIO 4.3

In base ai risultati degli ultimi tre censimenti demografici, la popolazione residente nella regionedel Molise registra i seguenti valori:

X Censimento 16 ott.1961 358.052XI Censimento 24 ott.1971 319.807XII Censimento 25 ott.1981 328.371

In base alle risultanze anagrafiche, si sono registrati, nei due intervalli intercensuali, i seguentidati di movimento naturale:

16.10.61- 24.10.71 24.10.71-25.10.81

Nati vivi 58.116 45.026Morti 34.495 34.158

Inoltre, tra il 24.10.71 ed il 25.10.81, le registrazioni anagrafiche per trasferimento di residenzaammontano ad 88.699 iscrizioni ed a 84.003 cancellazioni. Per i due intervalli intercensuali sicalcolino i valori relativi medi annui del saldo totale, del saldo naturale e del saldo migratoriocalcolato. Inoltre si metta a confronto la popolazione residente anagrafica con quella censita il 25ott.1981.

SOLUZIONE

A) VALORI MEDI-ANNUI

(SALDO TOTALE)

1961-71 319.807 358.052

3816,8610,02

-= -

1971-81 328.371 319.807

856,410

-=

Per quanto riguarda il primo calcolo abbiamo preso in considerazione il valore 10,02 in quanto trail X e l’XI censimento non trascorrono esattamente dieci anni.

(SALDO NATURALE)

1961-71 58.116 34.495

2.357,3810,02

-=

1971-81 45.026 34.158

1.086,810

-=

B) VALORI RELATIVI MEDI ANNUI

(SALDO TOTALE)

61

1961-71 3816,86

1000 11,26358.052 319.807

2

--�

+

1971-81 856,4

1000 2,64319.807 328.371

2

�+

(SALDO NATURALE)

1961-71 2.357,38

1000 6,95358.052 319.807

2

�+

1971-81 1.086,8

1000 3,35319.807 328.371

2

�+

(SALDO MIGRATORIO CALCOLATO)

1961-71 ( 11,26) (6,95) 18,21- - = -1971-81 71,0)35,3()64,2(

C) POPOLAZIONE RESIDENTE ANAGRAFICA AL 25.10.81 PSMSNP t0

319.807 10.868 (88.699 84.003) 335.371+ + - =

D) DIFFERENZA TRA POPOLAZIONE RESIDENTE ANAGRAFICA E POPOLAZIONERESIDENTE CENSITA

335.371 328.371 7.000

- =

62

ESERCIZIO 4.4

Siano noti i seguenti dati relativi alla regione Lazio:

ANNO POP. RESIDENTE PERIODO NATI MORTI

INTERCENSUALE

1961 4.689.482 1961-71 677.189 397.5091971 4.970.681 1971-81 553.289 432.7851981 5.428.714

per i due periodi calcolare:

a) il saldo totale assolutob) il saldo naturale assolutoe) il saldo migratorio assolutod) il contributo, in termini percentuali, della dinamica naturale e

di quella migratoria all'evoluzione totale

SOLUZIONE

1) SALDO TOTALE ASSOLUTO: 0tP P-

Periodo intercensuale 1961-71:

4.970.681 4.689.482 281.199- =

Periodo intercensuale 1971-81:

5.428.714 4.970.681 458.033- =

2) SALDO NATURALE ASSOLUTO: N M-

Periodo intercensuale 1961-71:

677.198 397.509 279680- =

Periodo intercensuale 1971-81: 553.289 432.785 120.504- =

3) SALDO MIGRATORIO ASSOLUTO:

Ricordiamo che: 0 0t tP P SN SM SM P P SN ST SN= + + - - = -�

63

Periodo intercensuale 1961-71:

281.199 279.680 1.519- =

Periodo intercensuale 1971-81:

458.033 120.504 337.529- =

4) CONTRIBUTO PERCENTUALE DELLA DINAMICA NATURALE:

SN % = 100SN

ST

Periodo intercensuale 1961-71

279.680100 99,46

281.199�

Periodo intercensuale 1971-81:

120.504100 26,31

458.033�

CONTRIBUTO PERCENTUALE DELLA DINAMICA MIGRATORIA

SM % = 100SM

ST

Periodo intercensuale 1961-71:1.519

100 0,54281.199

�

Periodo intercensuale 1971-81:

337.529100 73,69

458.033�

TABELLA RIASSUNTIVA:

ST SN SM

Valori assoluti

1961-71 281.199 279.680 1.5191971-81 458.033 120.504 337.529

Contributo percentuale

1961-71 100,0 99,46 0,541971-81 100,0 26,31 73,69

64

ESERCIZIO 4.5

All’1/1/1990 la popolazione residente italiana ( 0P ) ammontava a 57.576.429 unità. Sapendo chedurante il 1990 si sono verificati i seguenti eventi registrati nelle anagrafi comunali:

nati vivi (N)morti (M)immigrati (I)emigrati (E)

580.761544.397173.47357.067

si calcolino gli anni vissuti dalla popolazione residente italiana durante il 1990.

SOLUZIONE

Il concetto di anni vissuti in un anno di calendario, in assenza di altre informazioni, coincide conquello di popolazione media aritmetica o persone-anno. Un metodo per determinarli velocementeè quello di calcolare, mediante l’equazione della popolazione, la popolazione italiana al31/12/1990 ( 1P ) e quindi di definire la consistenza al 30/06/1990 ( mP ) come semisomma di 0P e

1P :

0 1( ) ( ) 57.576.429 (580.761 540.397) (173.473 57.067) 57.729.199tP P N M I E P= + - + - + - + - =�

0 1 57.576.429 57.729.19957.652.814

2 2m

P PP

+ += = =

65

ESERCIZIO 4.6

Dal censimento 21/4/1931 a quello del 20/10/1991, la popolazione italiana residente è passata da41.043.000 ( 0P ) a 56.778.000 ( tP ) unità.1) Con quale tasso medio di incremento geometrico si è accresciuta la popolazione durante l’intervallo t considerato?2) Se l’ incremento medio annuo rimanesse invariato in quanti anni il suo ammontare inizialeraddoppierebbe?

SOLUZIONE

1) 0

1 1000ttg

Pr

P= -

Occorre innanzitutto esprimere in anni l’intervallo di tempo t intercorrente tra i 2 censimenti. Trail 21/4/1931 e il 20/10/1991 sono trascorsi 60 anni e mezzo meno un giorno.Supponendo che ogni anno sia composto da 365 gg e, pertanto, ogni mese da 30,4 gg (365 /12) , sideduce che:

60,49756.778.000

1 1000 5,3787941.043.000gr = - � ‰

2) log 2 log 2

129,213log(1 ) log(1 0,00537879)g

tr

= = =+ + anni

66

CAPITOLO 5

PREVISIONI

Quanto visto finora è necessario per riuscire a descrivere, misurare e mettere in relazione letendenze demografiche del passato con la situazione attuale. Ma alla demografia si chiede diprevedere anche l’andamento futuro ed è qui che entrano in gioco le previsioni demografiche.Le informazioni necessarie per una proiezione demografica sono:

1. l’ammontare della popolazione e la sua distribuzione per età e per sesso a un tempo tscelto come anno base per la proiezione;

2. le tavole di mortalità;3. i tassi specifici di fecondità e, se possibile, di migratorietà4. ipotesi sul futuro andamento di mortalità, fecondità e migrazioni

Le proiezioni, effettuate separatamente per ciascun sesso, vengono sommate alla fine delleoperazioni. La proiezione completa della popolazione tra il tempo t e il tempo t+1 prevede iseguenti passi:

a) stima della popolazione per ciascuna età al tempo t+1 derivante dalla popolazione altempo t: si applica alla popolazione in età x al tempo t la probabilità di sopravvivenzaprospettiva:

1,1/1/ 1 ,1/1/

1

x t x t x

xx

x

P P p

Lp

L

+ +

+

=

=

b) stima del numero dei nati tN al tempo t: a partire dalla popolazione femminile per etànota al tempo t e da quella stimata al tempo t+1 secondo il punto precedente, si determinala popolazione femminile media in età feconda. A questi contingenti di popolazione siapplicano i tassi specifici di fecondità previsti per l’anno di proiezione considerato.L’ammontare di nascite ottenuto dovrà poi essere ripartito tra i due sessi sulla basedell’indice di mascolinità che, alla nascita è una costante di natura biologica ed è pari a105-106 nati maschi ogni 100 nate femmine;

c) determinazione della popolazione nella prima classe di età al tempo 1/1/t+1, ovvero dellapopolazione 0,1/1/ 1tP + . Una volta stimati i nati tN , se indichiamo con Np la probabilità disopravvivenza prospettiva per i nati, si avrà che:

0,1/1/ 1 ·t t NP N p+ = dove 0

0N

Lp

l= essendo 0L i viventi a zero anni, rapportati all’ammontare

iniziale delle nascite che, nella tavola, equivalgono a 0l .

Si consiglia di vedere l’esempio riportato a pag.120 del libro “Introduzione alla Demografia”di Alessandra De Rose. Carocci editore

67

ESERCIZO 5.1

Noto l'ammontare della popolazione femminile in età 0-4 anni al 1 gennaio dell'anno t, tP = 4.310(in migliaia), prevedere quale sarà l'ammontare della popolazione femminile in età 0-9 cinqueanni più tardi (al 1 gennaio dell'anno t+5), dopo aver formulato le seguenti ipotesi:

a) la popolazione è chiusa ai movimenti migratori ;

b) le condizioni di mortalità nel quinquennio t,t+5 saranno quelle descritte da una tavola dimortalità dalla quale si possono desumere i seguenti valori per gli xL (viventi in età compresa trax ed x+1)

Età xL

0 98.0201 97.4552 97.3483 97.2834 97.2325 97.1866 97.1467 97.1118 97.0809 97.052

c) le condizioni di fecondità nel periodo considerato saranno le seguenti:

Classi di età Popolazione femminile Tassi specificimedia del quinquennio di fecondità (dati in migliaia) ( xf 1000)

15-19 3.780 26,720-24 4.030 118,125-29 3.500 124,030-34 3.880 76,635-39 3.690 33,140-44 3.760 9,645-49 3.740 0,8

SOLUZIONE

5 5 6 9

5 9 0 40 1 4

... 97.186 97.146 ... 97.0524.310 4294

... 98.020 97.455 ... 97.232t t L L L

P PL L L

+- -

+ + + + + += � �

+ + + + + + (popolazione

prevista per i prossimi 5 anni)

Ora dobbiamo prevedere le nascite per i prossimi 5 anni. Moltiplichiamo, innanzitutto, lapopolazione media del quinquennio per i tassi specifici di fecondità.

68

Età Pop. fem. media Tassi specifici Nascite medie quinquennio fecondità annue previste (in migliaia) (*1000)

(1) (2) )2()1()3(

15 – 19 3.780 26,7 100.92620 - 24 4.030 118,1 475.94325 - 29 3.500 124,0 434.00030 - 34 3.880 76,6 297.20835 - 39 3.690 33,1 122.13940 - 44 3.760 9,6 36.09645 - 49 3.740 0,8 2.992

1.469.304

, 4

1.469.304 57.346

1.000t tN + = =

(moltiplichiamo per 5 perché 5 è l’ampiezza della classe; dividiamo per 1000 perché i tassispecifici di fecondità sono originariamente moltiplicati per 1000),

di cui femmine: 3563485,07346 4

5 00,4 , 4

0

487.3383.563 3.473

5 5 100.000

it i

t t

LP N

l+ =

+= � �鬃

(nascite previste per i prossimi 5 anni)

Popolazione di 0-9 anni prevista tra 5 anni:

50,9 3.473 4.294 7.767tP + = + =

69

ESERCIZIO 5.2

La popolazione di un paese sviluppato ha fatto registrare, nel periodo 1990-96, i seguenti flussi dinascite:

Anno Nascite

1990 71.0001991 67.0001992 64.0001993 60.0001994 58.5001995 57.0001996 54.000

Valutare il numero di bambini che si iscriveranno alla prima elementare nell’anno 1997 (bambiniche compiono 6 anni nel corso del 1997), nell’ipotesi che le condizioni di mortalità siano quelledella seguente tavola:

x xl

0 100.0001 98.2002 98.0503 97.9204 97.9005 97.8856 97.8707 97.855

SOLUZIONE

6 7

1997 66 1991 1991

0 0

97.870 97.8552 67.000 65.5682

100.000

l lL

P N Nl l

++

= � � �

70

ESERCIZIO 5.3

La popolazione residente in Italia al 31.12.1981 era di 56,4 milioni; al 31.12.1988 di 57,5 milioni.Calcolare il tasso continuo annuo di incremento nonché il numero di anni necessario al raddoppioe prevedere l’ammontare della popolazione al 31.12.1999 nell’ipotesi che il tasso di incrementorimanga costante.

SOLUZIONE

1) 0

57,5ln ln56,4

2,767

t

c c

P

Pr r

t

骣 骣琪 琪桫 桫= = = =

%o

2) tempo raddoppio2 = 2512ln

rt ( questa formula si applica se il tasso di incremento è

continuo)*

3) 0,00276 111999 1988 59.272.283P P e= � ( popolazione al 31/12/1999 nell’ ipotesi che il tasso di

incremento resti immutato)

2* Spieghiamo analiticamente come siamo giunti a tale risultato:

t

P

P

r

t

0

ln da cui:

r

P

P

t

t

0

ln ma a noi interessa il raddoppio della popolazione quindi: 2

0

P

Pt e perciò

avremo: r

t2ln

71

72