Capitolo 00: Elementi di teoria dei giochi

Stefano Vannucci

April 15, 2002

1 Giochi: introduzioneUno dei temi centrali di questo manuale è il problema del coordinamento dellescelte ottimizzanti di più agenti. Il caso più semplice si ha naturalmente quandole scelte ottimizzanti individuali possono essere definite independentemente dalprocesso di coordinamento. Questo consente —come abbiamo fatto in capitoliprecedenti— di studiare prima le scelte ottimizzanti e poi la loro combinazioneo coordinazione. Ma ci sono casi in cui la scelta ottima di ogni agente dipendechiaramente dalla previsione di quello che faranno gli altri. In tal caso non èpossibile definire le scelte ottimizzanti individuali prima, cioè a prescindere dalprocesso di coordinamento. E’ qui che si rende utile la teoria dei giochi.Un gioco è un modo di rappresentare gli effetti delle interazioni —cioè dell’

adattamento reciproco dei comportamenti— entro una popolazione di sistemiadattivi detti giocatori [un sistema adattivo è un oggetto in grado di assumerenormalmente più configurazioni o stati, e di adattarsi cioè di reagire regolar-mente a certi stimoli provenienti dall’ambiente esterno passando da uno statoall’altro]. La teoria dei giochi descrive e studia i metodi per risolvere i giochi,cioè per calcolare gli esiti previsti delle interazioni rappresentate dai giochi stessi.Ci sono molti tipi di gioco. I giochi possono essere distinti innanzitutto in

base al loro formato cioè ai dettagli che essi forniscono sulle interazioni rap-presentate. Da questo punto di vista, una distinzione fondamentale è tra igiochi che si limitano a descrivere i possibili esiti dell’interazione e quelli cheinvece descrivono esplicitamente anche i possibili comportamenti dei giocatori.In questo capitolo prenderemo in considerazione esclusivamente questi ultimi.Per questo tipo di giochi, la distinzione essenziale è la seguente: le azioni dei gio-catori possono essere determinate sequenzialmente cioè in successione oppuresimultaneamente.Ma i giochi dovrebbero servire a produrre analisi, spiegazioni e predizioni.

Pertanto, una volta introdotti i giochi devono essere risolti. Che cosa si intendedunque per risolvere un gioco, cioè determinarne le soluzioni? Bisogna innanz-itutto specificare una ben definita regola per risolvere un gioco, cioè introdurreun appropriato concetto di soluzione, ed applicarlo al gioco da risolvere. Ci sonovari concetti di soluzione molto usati, e noi ne considereremo alcuni qui di se-guito. Al momento della specificazione del concetto di soluzione c’è però un’altra

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distinzione fondamentale che si impone e cioè quella tra giochi non-cooperativie giochi cooperativi. Nei giochi non-cooperativi si ipotizza che i giocatori nonsiano in grado di stipulare accordi vincolanti sul modo di comportarsi, nei giochicooperativi si ipotizza al contrario che lo siano. Questa distinzione intuitivaviene incorporata nella analisi dei giochi proprio attraverso la selezione del tipodi concetto di soluzione. In questo capitolo noi ci limitereremo peraltro a con-siderare giochi— e quindi concetti di soluzione— di tipo non-cooperativo.

2 Interazioni sequenziali: EsempiConsideriamo qui di seguito alcuni esempi di interazioni sequenziali.

Esempio 1: Interessi, informazione e abilità individuali contro co-ordinazione efficiente: prendere o rilanciare?Uno sperimentatore recluta due studenti -I e II- per un esperimento in cui

propone di donare loro del denaro in modo tale che muovendo a turno e ri-lanciando anziché prendere i due studenti possono far aumentare il guadagnocomplessivo, ma allo stesso tempo ciascuno dei due ha interesse a prendere primadell’altro.In particolare, lo sperimentatore utilizza le regole seguenti, descrivendole

chiaramente ai due studenti. I può ritirare immediatamente 2 Euro: in tal casoII non riceverà alcunché. Oppure I può rilanciare: a quel punto II può ritirare2 Euro (nel qual caso I riceverà 1 Euro), oppure a sua volta rilanciare. Se IIrilancia, I può a sua volta ritirare 4 Euro (il che consentirà a II di ottenere1Euro), oppure rilanciare. Se I rilancia, II può ritirare 4 Euro (il che consentiràad I di ottenere 2 Euro), oppure rilanciare a sua volta, e così via, fino a cheI potrà ritirare 100 Euro (e consentire così a II di ottenere 49 Euro), oppurerilanciare per un’ultima volta. Se I rilancia, II può concludere l’esperimentoritirando 100 Euro, lasciando così ad I la possibilità di ritirarne altri 50, oppureaccontentandosi di 99 Euro, consentendo così ad I di riceverne altrettanti.

Esempio 2: Deterrenza economica:entrata in un mercato monop-olisticoUn’ impresa I valuta se avviare o meno una linea di produzione penetrando

così in un mercato dominato da un monopolista M, che potrebbe a sua voltareagire o limitandosi ad accettare la nuova situazione di più bassi profitti oppurepraticando un forte ribasso dei prezzi che comporterebbe un bilancio in perditanetta per tutte e due le imprese.

Esempio 3: Deterrenza militare: la guerra fredda secondo il dottorStranamoreUno stato nazionale A è dotato di una superiore potenza militare conven-

zionale rispetto allo stato nazionale B che è però in grado eventualmente direagire scatenando una guerra atomica di distruzione totale. A deve decidere

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se avviare o meno un attacco convenzionale — o comunque con un potenzialedistruttivo ‘limitato’— contro B. Si noti che una variante notevole di questasituazione è quella in cui B è dotato di un affidabile dispositivo automatico dirisposta nucleare ‘totale’ ad un attacco: la distinzione tra i due casi gioca unruolo centrale e paradossale nella trama del famoso film di Stanley Kubrick ‘Dr.Strangelove’ (‘Il dottor Stranamore’).[Nel film, ambientato in piena guerra fredda tra USA ed URSS, la sequenza

degli eventi cruciali è la seguente. I Sovietici sono finalmente riusciti a costruirel’arma deterrente perfetta, un ordigno denominato ‘fine del mondo’ in gradodi scatenare in modo automatico un contrattacco nucleare di massima intensitàcontro tutte le principali città USA in caso di un qualsiasi attacco nucleare suuna qualsiasi parte del territorio dell’URSS per quanto disabitata. L’esistenzadell’ordigno viene però assurdamente tenuta segreta dai Sovietici in ossequio allavanità del Primo Segretario del PCUS che vuole dare l’annuncio all’imminentecongresso del partito per dare più risonanza alla notizia. Negli USA, un gen-erale guerrafondaio impazzisce e scatena dalla sua base un attacco nuclearecontro l’URSS. Informati del fatto, i rappresentanti diplomatici sovietici esitanoa rivelare l’esistenza della nuova arma per timore di irritare il Primo Segre-tario. I ‘falchi’ statunitensi d’altronde, sostenitori dell’efficacia della strategiamilitare del ‘primo colpo’, provano —con successo— a ritardare l’ordine di bloccarel’attacco perchè convinti di poter mostrare la bontà della loro dottrina e cioè dipoter danneggiare seriamente l’URSS evitando la ritorsione punitiva da partedei Sovietici. Il risultato prevedibile di questa catena di eventi è naturalmentela catastrofe nucleare].

Esempio 4: ContrattazioneDue giocatori possono acquisire 100 Euro, ma solo se saranno capaci di

trovare un accordo su come dividerseli, usando la seguente procedura.Il giocatore 1 comincia proponendo una ripartizione dei 100 Euro. Il gio-

catore 2 può accettare o rifiutare. Se accetta, la proposta di 1 viene messa inatto ed il gioco si conclude. Altrimenti, 2 deve fare una controproposta, che1 a sua volta può accettare o rifiutare. (Naturalmente si possono pensare ver-sioni più complicate, e più realistiche, di questo tipo di interazioni ammettendoun numero qualsiasi—eventualmente indefinito— di turni alternati di proposta econtroproposta).

Quale sarà l’esito in ciascuna di queste situazioni se i giocatori hanno mododi adattare al meglio i propri comportamenti al comportamento altrui, graziead un ragionamento intelligente in grado di anticipare l’analogo comportamentointelligente degli altri oppure attraverso un processo di aggiustamento per ten-tativi ed errori? La teoria dei giochi propone di rispondere a questa domandarappresentando ognuna di quelle situazioni come un gioco e risolvendolo, cioèidentificando le possibili soluzioni del gioco così ottenuto.

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3 Giochi in forma estesa (con informazione per-fetta)

Quando le azioni dei giocatori sono determinate sequenzialmente come nei prece-denti esempi 1-4 il formato di solito utilizzato per rappresentare il gioco cor-rispondente è la cosiddetta forma estesa. Consideriamo qui il caso più semplicein cui in ogni momento ciascun giocatore è in grado di osservare tutte le mosseche vengono effettuate e ricorda tutte le mosse precedenti: si parla in tal casodi forma estesa con informazione perfetta.La forma estesa con informazione perfetta consiste delle componenti elencate

qui sotto• un insieme -di solito finito- di giocatori : indichiamolo con N = {1, .., n}• un insieme di storie : indichiamolo conH. L’insieme delle storie include una

storia iniziale ed è (parzialmente) ordinato secondo una relazione di precedenza≺: se una storia h precede una storia k si scrive h ≺ k e si dice anche che kè una continuazione di h. In particolare una continuazione k di una storia hsi dice continuazione immediata di h se k non è a sua volta continuazione diuna continuazione di h. L’ insieme H di tutte le storie si suddivide pertantoin due sottoinsiemi: il sottoinsieme Z delle storie concluse cioè delle storie chenon ammettono continuazioni e quello H \ Z di tutte le altre storie ossia lestorie non concluse, dette anche turni di mossa (Una mossa corrisponde aduna coppia ordinata di storie di cui la seconda è una continuazione immediatadella prima). Inoltre la relazione di precedenza ≺ è tale che la storia inizialeprecede tutte le altre, e per ogni storia conclusa z esiste una e una sola sequenzamassimale —cioè non estendibile— di storie totalmente ordinate secondo l’ordinedi precedenza e che si inizi con la storia iniziale e finisca con z. Il numero distorie di tale sequenza che conduce alla storia conclusa z si dice anche lunghezzadi z• una regola di ripartizione delle storie non concluse—cioè dei turni di mossa—

tra giocatori ed eventualmente coalizioni di giocatori, cioè una funzione < :H \ Z → ℘(N)• le preferenze di ciascun giocatore tra le storie concluse ovvero un pro-

filo (<i)i∈N di relazioni di preferenza definite sull’insieme Z. Spesso -ma nonnecessariamente- le preferenze dei giocatori sono tali da ammettere una rapp-resentazione mediante altrettante funzioni di utilità (ui)i∈N ovvero funzioni avalori reali ui : Z → R tali che per ogni x, y ∈ Z ui(x) ≥ ui(y) se x <i y.

-Nota: Una descrizione equivalente dei giochi in forma estesa.Per descrivere i giochi in forma estesa viene spesso usata una rappresen-

tazione del tutto equivalente che impiega nozioni prese dalla teoria dei grafisemplici orientati . Un grafo semplice orientato (senza anelli) consiste di uninsieme di vertici e di un insieme di archi orientati -cioè dotati di verso - checongiungono coppie ordinate di vertici distinti, cioè escono da un vertice dettovertice di partenza ed entrano in un altro detto vertice di arrivo, in modo taleche ogni coppia di vertici è congiunta al più da un arco. Così ogni vertice ha un

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certo numero di archi in entrata o ingressi ed un certo numero di archi in uscitao semplicemente uscite. Una sequenza di archi orientati concatenati in modoche il vertice d’arrivo di un arco sia il vertice di partenza dell’arco successivosi dice un sentiero dal vertice di partenza del primo arco al vertice di arrivodell’ultimo arco (se esiste); una sequenza di archi concatenata ‘a caso’ cioè am-mettendo che vertici d’arrivo -o di partenza-di un arco possano esserlo anchedel successivo si dice un cammino (che va dal vertice non concatenato del primoarco della sequenza al vertice non concatenato dell’ultimo arco della sequenza,se esiste). Un albero è un grafo semplice orientato tale che per ogni coppia divertici opportunamente ordinata esiste uno ed un solo cammino dal primo alsecondo vertice. Si dicono radici di un albero i vertici senza ingressi, e fogliei vertici senza uscite. Un gioco in forma estesa si può dunque rappresentaremediante un albero con una sola radice, o arborescenza. In particolare, dunque,data una foglia qualsiasi ci sarà uno ed un solo sentiero dalla radice alla foglia.Le storie corrispondono ai vertici, la storia iniziale corrisponde all’ unica radicedell’albero, e le storie concluse alle foglie. Una storia precede un’altra storiase il vertice che rappresenta la prima si trova sul sentiero che va dalla radiceal vertice che rappresenta la seconda. La funzione di ripartizione ovviamenteripartirà tra i giocatori le storie non concluse ovvero i vertici dotati di uscite. Aciascuna foglia è associato un profilo di valori di utilità cioè una lista di numeri–uno per ciascun giocatore— che rappresentano appunto i rispettivi valori diutilità.

3.1 Esempi 1-4: Rappresentazioni in forma estesa

Vediamo dunque come si possono rappresentare le interazioni sequenziali degliesempi 1-4 precedenti come giochi in forma estesa:

Esempio 1:Prendere o rilanciareData la natura sperimentale dell’interazione considerata in questo esem-

pio, le regole del gioco sono in pratica già contenute nella descrizione stessadell’esperimento. Come il lettore ricorderà, muovendo a turno e rilanciandoanziché prendere i due giocatori possono far aumentare il guadagno complessivo,ma allo stesso tempo qualora accada che qualcuno prende anziché rilanciare al-lora ciascuno dei due giocatori ha interesse ad essere il primo a prendere.Se indichiamo con la notazione hi(I) (hi(II)) che la storia non conclusa hi

è un turno di mossa del giocatore I (del giocatore II, rispettivamente), e conla notazione (x; y)j la j-esima storia conclusa zj il cui esito corrispondente dàil profilo di vincite o valori di utilità (x; y)(ove x rappresenta la vincita di Ied y la vincita di II) possiamo rappresentare l’interazione tra I e II con ilseguente gioco in forma estesa (arricchito per comodità illustrativa di una es-plicita etichettatura delle mosse con ‘rilancia’ o ‘prende’; introdurremo senz’altrouna analoga etichettatura —che è a rigor di termini ridondante per la descrizionedel gioco— anche negli altri esempi):

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Figura 1

Esempio 2: Entrata in un mercato monopolisticoSupponiamo l’utile sia di 100 unità in caso di monopolio, di 30 unità ciascuno

nel caso l’impresa I entri nel mercato senza che l’impresa M reagisca, e la perditasia di 10 unità ciascuno nel caso che M reagisca all’entrata di I con un forteribasso dei prezzi. Usando la notazione già descritta sopra, e cioè indicando conla notazione hi(I) (hi(M)) che la storia non conclusa hi è un turno di mossadel giocatore I (del giocatore M , rispettivamente), e con la notazione (x; y)jla j-esima storia conclusa zj il cui esito corrispondente è la suddivisione (x; y),possiamo rappresentare l’interazione tra I ed M con il seguente gioco in formaestesa

Figura 2

Esempio 3: Deterrenza militareA può attaccare B con armi convenzionali o nucleari ma di impatto dis-

truttivo ‘limitato’ che possiamo rappresentare come una perdita di 1 in unaappropriata unità di misura (ad esempio percentuale attesa di vittime nellapopolazione civile). Se B reagisce scatenando una guerra nucleare ‘totale’ laperdita sarà—poniamo— di 50 unità sia per A che per B, altrimenti A ricaveràun vantaggio dalla sua aggressione (di 2 unità, ad esempio). Si noti che il giocodella deterrenza militare nel caso che B possa effettivamente scegliere se reagireo meno è molto simile al gioco della deterrenza economica dell’esempio 2, valea dire

Figura 3

Si noti che il gioco precedente corrisponde allo scenario che hanno in mentei ‘falchi’ che sostengono l’efficacia della dottrina del ‘primo colpo’.Se però —come accade nel ‘Dottor Stranamore’ per effetto della presenza dell’

ordigno ‘fine del mondo’— la reazione di B è automatica allora l’interazione traA e B si può rappresentare in forma estesa come un gioco ‘degenere’ con un sologiocatore attivo, e cioè:

Figura 4

Esempio 4:ContrattazioneSupponiamo per comodità che solo suddivisioni intere dei 100 Euro siano

ammissibili. La storia iniziale corrisponde al primo turno di mossa del giocatore1 che ha a disposizioni 101 mosse corispondenti alle 101 proposte di suddivisioneammissibili dei 100 Euro. A ciascuna di tali proposte segue un turno di mossa di

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2 che può decidere se accettare o rifiutare la proposta di 1 e— se rifiuta— fare unacontroproposta che 1 può accettare o rifiutare. Se 1 rifiuta la controproposta di2 i due giocatori perdono i 100 Euro.Indichiamo con la notazione hi(1) (hi(2), rispettivamente ) che la storia non

conclusa hi è un turno di mossa del giocatore 1 (del giocatore 2, rispettivamente),con la coppia di numeri interi (x; y) di somma 100 la proposta di suddivisioneche attribuisce x Euro ad 1 ed y Euro a 2, con no e sı̀ rispettivamente il rifiutoe l’accettazione da parte di un giocatore di una proposta dell’altro giocatore,Inoltre, indichiamo la relazione di precedenza immediata tra due storie con

una freccia diretta da una storia verso una sua continuazione immediata. Otte-niamo così la seguente rappresentazione in forma estesa

Figura 5

3.2 Come risolvere un gioco non-cooperativo in forma es-tesa con informazione perfetta: induzione a ritroso edequilibrio perfetto per sottogiochi

Il modo tipico di risolvere un gioco in forma estesa con informazione perfettaconsiste nell’uso di una procedura di analisi a ritroso del gioco, cioè a partiredalle ultime mosse. Infatti, consideriamo il giocatore A a cui spetti l’ultimamossa di una possibile partita del gioco, arbitrariamente scelta purché tale daterminare in una storia conclusa di lunghezza massima. Per questo giocatore,all’ultimo turno di mossa, è chiaro in che cosa consista una scelta ottima. Sitratta semplicemente di scegliere una delle mosse alternative che corrispondonoad un esito migliore per chi sceglie. Ma allora diventa ben definita anche lascelta ottima per il giocatore B a cui spetta il turno di mossa immediatamenteprecedente, qualora B preveda che chi muoverà dopo (A incluso) a sua volta faràuna scelta ottima per se stesso. Basterà infatti anticipare gli esiti di ogni possi-bile mossa in vista delle scelte ottime di chi farà le mosse successive, paragonarli,e scegliere una mossa che conduce ad uno degli esiti migliori.Questa procedura di calcolo per risolvere un gioco in forma estesa G(con un

numero finito di storie concluse) può essere descritta come segue.1. Scegliere una qualsiasi storia conclusa h di lunghezza massima e consid-

erare la storia h0 che precede immediatamente h ;2. Identificare il giocatore i al quale la funzione di ripartizione assegna h0;3. Paragonare i valori di utilità per il giocatore i di tutte le storie concluse

che seguono immediatamente h0, selezionare una di quelle col valore di utilitàmassimo — indichiamola con h∗— e trascriverla in un apposito registro;4. Considerare il gioco ridotto Gh

0che si ottiene cancellando tutte le storie

che seguono h0, trasformando pertanto h0 in una storia conclusa, ed assegnandoad h0 il profilo di valori di utilità attribuiti alla storia h∗ nel gioco G originario;5. Ripetere i passi precedenti per Gh

0.

6. Applicare ripetutamente la procedura 1-5 fino a che il gioco ridotto ot-tenuto si riduce alla storia iniziale di G.

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La procedura appena descritta è di solito denominata algoritmo di Zermelo-Kuhn o anche induzione a ritroso.La lista completa delle storie selezionate nel corso di una applicazione dei

passi 1-6 costituisce una soluzione del gioco originario. Questo tipo di soluzioneviene detta equilibrio perfetto per sottogiochi. Una sequenza di storie così cal-colata che si inizia con la storia iniziale di G, termina con una storia conclusadi G ed è tale che ogni storia della sequenza precede immediatamente nelladefinizione di G il termine successivo della sequenza si dice anche un sentiero diequilibrio perfetto per sottogiochi. La storia che conclude un tale sentiero si diceanche un esito di equilibrio perfetto per sottogiochi. L’intuizione rappresentatada un equilibrio perfetto per sottogiochi è che i giocatori scelgono in manieraottimale in ogni circostanza, anche in quelle che di fatto non si verificherannomai finché tutti si atterranno al comportamento di equilibrio. In altre parole siescludono così dalle soluzioni quei comportamenti che risulterebbero subottimaliqualora dovessero essere messi in atto, ossia i comportamenti che corrispondonoa minacce e promesse non credibili.

Applichiamo dunque l’algoritmo di induzione a ritroso per risolvere i giochiin forma estesa degli esempi 1-4 della sezione precedente

Esempio 1: Prendere o rilanciareIl gioco in forma estesa da risolvere — chiamiamolo per comodità G1— è

dunque

Figura 6

Consideriamo l’ultima storia non conclusa, e cioè h100 che è un turno dimossa del giocatore II. Poiché II preferisce per ipotesi 100 Euro a 99 Euro,e dunque preferirà prendere piuttosto che rilanciare è facile controllare che ilprimo passo dell’induzione a ritroso dà il seguente gioco ridotto G11 :

Figura 7

Applichiamo ora di nuovo la procedura di induzione a ritroso a G11 e con-sideriamone l’ultima storia non conclusa,che corrisponde precisamente a h99 ecioè la penultima storia non conclusa del gioco originario. Ma h99 è un turnodi mossa del giocatore I che preferisce 100 Euro a 50 Euro, e dunque prenderàpiuttosto che rilanciare. Otteniamo dunque il gioco ridotto G12:

Figura 8

Ripetendo più volte la nostra procedura ci troveremo infine ad applicarla algioco ridotto G1∗seguente

Figura 9

8

Naturalmente, alla storia h0 di questo gioco ridotto il giocatore I prenderà(perchè preferisce 2 Euro ad 1 Euro). Pertanto l’unico equilibrio perfetto persottogiochi del nostro gioco G1 corrisponde alla regola di comportamento per cuitutti i due i giocatori scelgono di prendere ogni volta che spetti a loro muovere.L’unico sentiero di equilibrio perfetto per sottogiochi è dunque quello che vadalla storia iniziale alla prima storia conclusa, ovvero quello in cui I prendeimmediatamente.L’esito di equilibrio perfetto corrispondente è dunque (2;0). Sinoti che si tratta di un esito Pareto inefficiente (i due giocatori potrebbero inlinea di principio coordinarsi per rilanciare ad oltranza e concludere il giocoall’ultima storia conclusa ottenendo così 99 Euro ciascuno!).

Esempio 2: Entrata in un mercato monopolisticoIl gioco in forma estesa da risolvere è -ricordiamo- il seguente (chiamiamolo

G2 per comodità di riferimento)

Figura 10

Applicando l’induzione a ritroso e ragionando come nell’esempio precedente,è facile verificare che M preferirà non ribassare sia alla storia h1 cioè dopol’eventuale entrata di I, che (ovviamente) a h2 cioè nel caso in cui I non entri.Otteniamo pertanto il seguente gioco ridotto G2∗ :

Figura 11Naturalmente alla storia iniziale h0 di G2∗ il giocatore I sceglierà di entrare.Pertanto l’unico equilibrio perfetto per sottogiochi di G2 corrisponde alla

seguente regola di comportamento: I entra sul mercato, ed il monopolista Mnon effettuerà in alcun caso ribassi di prezzo. L’esito di equilibrio perfettocorrispondente è la situazione in cui i profitti sono (30; 30).

Esempio 3: Deterrenza militareIl gioco da risolvere è ora

Figura 12

Applicando l’induzione a ritroso ripetutamente e ragionando come nell’esempioprecedente si verifica facilmente che l’unico equilibrio perfetto per sottogiochicorrisponde alla regola di comportamento per cui A effettua un attacco limitatoe B tratta in ogni caso, anche se attaccato. L’unico sentiero di equilibrio perfettoè pertanto quello in cui A attacca e B accetta di trattare anziché scatenare unaguerra nucleare. Si tratta dello scenario implicito nel ragionamento dei ‘falchi’statunitensi nel ‘Dottor Stranamore’. In presenza dell’ordigno ‘fine del mondo’però il gioco rilevante è come sappiamo

Figura 13

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La soluzione di equilibrio perfetto di questo gioco elementare è naturalmenteche A opta per l’azione diplomatica.

Esempio 4: ContrattazioneIl numero delle storie e delle mosse di questo gioco è considerevolmente più

elevato che negli esempi precedenti.

Figura 14

Ma l’applicazione dell’induzione a ritroso ed il calcolo degli equilibri perfettiper sottogiochi rimane relativamente semplice anche se più laboriosa. Si puòverificare che gli esiti di equilibrio perfetto per sottogiochi sono esattamente duee precisamente (0; 100) e (1; 99).

4 Dalla forma estesa alla forma strategicaCosì come l’abbiamo definito sopra, un equilibrio perfetto per sottogiochi è unparticolare modo di specificare una sequenza completa di mosse dei giocatorinel senso che di ogni storia non conclusa viene specificata una ben determinatacontinuazione immediata. Va sottolineato che ciò è vero anche di quelle storienon concluse che non possono mai verificarsi se tutti i giocatori si attengonoal piano di azione descritto dall’equilibrio perfetto considerato cioè si muovonolungo il sentiero di equilibrio. In particolare, un equilibrio perfetto specifica perogni giocatore un particolare piano completo d’azione e cioè come continuaretutte quelle storie che gli sono assegnate dalla funzione di ripartizione del gioco.Naturalmente un giocatore qualsiasi ha in generale a disposizione diversi pianicompleti d’azione così intesi-di equilibrio o meno:tali piani completi d’azione sidicono anche strategie.Supponiamo ora di considerare la situazione seguente. I giocatori interagis-

cono sì muovendo sequenzialmente ai loro turni di mossa secondo le regole di ungioco G in forma estesa, ma devono scegliere le mosse che a turno attuerannonel corso della ‘partita’ una volta per tutte all’inizio del gioco. In altri termini sideve supporre che ogni giocatore scelga una strategia in modo tale che lo svolgi-mento del gioco venga dettato dalla lista delle strategie scelte, senza possibilitàdi revisione delle scelte iniziali durante il gioco. In tali circostanze, ciò che contasono appunto le strategie a disposizione dei giocatori, ed i risultati che ogni pos-sibile profilo o combinazione di strategie produce ossia la forma strategica delgioco in forma estesa G. In altri termini, le informazioni sulla sequenza dei turnidi mossa date dalla regola di ripartizione di G servono qui solo a costruire lestrategie: una volta determinate le strategie e gli esiti risultanti dalle loro com-binazioni, ogni ulteriore dettaglio sulle circostanze della costruzione delle singolestrategie a partire dalla forma estesa è irrilevante.Si consideri il gioco in forma estesa di deterrenza economica dell’esempio 2

della sezione precedente: in quel gioco le strategie del giocatore I— l’impresa

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che è potenziale entrante— coincidono con le possibili mosse (‘entrare’, ‘non en-trare’) poiché I ha un solo turno di mossa corrispondente alla storia iniziale.Il monopolista M ha però 2 turni di mossa, in corrispondenza delle 2 possibilimosse iniziali di I. Le strategie di M sono pertanto 4 e cioè ‘ribassare se I en-tra e non ribassare se I non entra’, ‘ribassare in ogni caso’, ‘non ribassare inogni caso’, ‘ribassare se I non entra e non ribassare se I entra’ (quest’ultimastrategia è alquanto bizzarra, ma è pur sempre una possibilità). Così, partendoda un gioco in forma estesa G, abbiamo costruito con la forma strategica di Gun esempio di gioco in un ulteriore, diverso formato più astratto della formaestesa e adatto a rappresentare interazioni simultanee piuttosto che sequenziali.Si tratta del formato detto appunto forma strategica(o forma normale).

5 Interazioni simultanee: EsempiVediamo qui di seguito alcuni semplici ma significativi esempi di interazionisimultanee.

Esempio 5: Interessi individuali contro coordinazione efficiente:ildilemma del ciclistaDue ciclisti avversari che si trovano da soli in testa hanno la possibilità di

iniziare una ‘fuga’ decidendo di cooperare ‘tirando’ e segnalando così di volersiassumere l’onere di porsi a turno in posizione di testa, oppure di defezionarecercando di mandare avanti l’altro per sfruttarne lo sforzo. La situazione è taleche ciascuno dei due preferirebbe nell’ordine sfruttare l’altro, cooperare, noncooperare, venire sfruttato.

Esempio 6: Coordinazione pura: il (doppio) dilemma dello stu-dente bugiardoAlla vigilia dell’ultimo appello di Istituzioni di Economia dell’anno acca-

demico due studenti capaci ma poco motivati decidono di passare la notte aduna festa studentesca. Il giorno seguente, stanchi, arrivano tardi all’esame mavanno dal docente per chiedergli un rinvio, raccontando di essere stati attardatidalla foratura di una ruota dell’auto, di ritorno dalla campagna dove avevanoassistito il nonno malato di uno dei due. Il docente, dopo un attimo di per-plessità, decide di concedere il rinvio al giorno successivo. L’indomani i duestudenti vengono fatti accomodare — a cellulari spenti—in due aule separate,dove viene loro consegnato il testo della prova scritta, identico per entrambi. Laprova consiste nella risposta a due domande, da 5 e 25 punti rispettivamentee cioè: 1) domanda da 5 punti: rappresentare il dilemma del ciclista come ungioco e risolverlo 2) domanda da 25 punti: quale ruota?

Esempio 7: Coordinazione e ‘complementarità strategica’: i livellidi attività in un’economia.

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In una certa economia le imprese decidono simultaneamente i propri livelli diattività sapendo che i costi di transazione associati alla ricerca di partners com-merciali e/o di acquirenti dei propri beni o servizi diminuiscono all’aumentaredei livelli di attività altrui.

Esempio 8: Antagonismo puro (per passatempo): carta-forbici-pietra.Due giocatori scelgono ciascuno un oggetto da mimare tra carta forbici e

pietra e lo mimano simultaneamente. Vince chi mima l’oggetto vincente tra idue mimati dai giocatori: la pietra batte le forbici che battono la carta che battela pietra...

Esempio 9: L’importanza delle convenzioni nella contrattazione:‘falchi’ e ‘colombe’Due animali si contendono un territorio. Ciascuno dei due può adottare o un

comportamento da ‘falco’ cioè aggressivo e tale da cercare il combattimento, oun comportamento da ‘colomba’ cioè evitare il combattimento. Così due ‘falchi’finiscono per combattere infliggendosi a vicenda seri danni, due ‘colombe’ si sud-dividono il territorio, mentre se un ‘falco’ incontra una ‘colomba’ il primo otterràil territorio e l’altro si ritirerà senza combattere. Ciascuno dei due naturalmentepreferisce nell’ordine: ottenere il territorio senza combattere, condividerlo senzacombattere, ritirarsi senza combattere, essere ferito in combattimento.

Esempio 10: Coordinazione con interesse comune ma senza coin-cidenza di interessi: caccia al cinghialeDue (gruppi di) cacciatori devono decidere se collaborare in una battuta di

caccia al cinghiale ripartendosi i ruoli di battitore e tiratore, o dedicarsi perconto proprio alla caccia delle lepri. Ciascuno dei due sa che cacciare da solo ilcinghiale è inefficace, mentre cacciare in solitudine lepri è più vantaggioso checacciarle simultaneamente ad altri.Inoltre, ciascuno preferisce mezzo cinghialea molte lepri, molte lepri a poche lepri, e poche lepri a niente.

6 Giochi in forma strategicaIn ciascuno degli esempi di cui sopra l’interazione rilevante è di tipo simultaneoe puo essere rappresentata adeguatamente da un appropriato gioco in formastrategica G . Le componenti di un gioco in forma strategica possono esseredescritte come segue:• un insieme N (di solito finito) di giocatori• un insieme Si di strategie per ogni giocatore i ∈ N• un insieme X di possibili risultati

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• una regola — detta funzione di risultato e indicata qui con f : Qi∈N Si →X—che associa ad ogni combinazione o profilo di strategie (una strategia perogni giocatore) un risultato• le preferenze dei giocatori tra i possibili risultati, e cioè un profilo (<i)i∈N

di relazioni di preferenza definite suX. Tali relazioni di preferenza possono essererappresentabili da altrettante funzioni di utilità (ui)i∈N nel senso definito sopranella descrizione dei giochi in forma estesa.In particolare, in un gioco in forma strategica due strategie di uno stesso

giocatore si dicono equivalenti se danno luogo allo stesso risultato per qualsiasicombinazione delle strategie degli altri giocatori. Un gioco in forma strategicasi dice in forma strategica ridotta se non esiste alcun giocatore con due o piùstrategie equivalenti. Inoltre, quando i giocatori sono due, i giochi in formastrategica possono essere rappresentati convenientemente mediante bimatricicioè matrici bidimensionali con coppie ordinate di numeri in ogni casella, le cuirighe rappresentano le strategie di un giocatore e le colonne quelle dell’altro (v.sotto per gli esempi).

6.1 Esempi 5-10:Rappresentazioni in forma strategica

Esempio 5: Interessi individuali contro coordinazione efficienteIl dilemma del ciclista può essere rappresentato come un gioco in forma

strategica usando ad esempio la seguentematrice in cui C e D denotano rispettivamente le strategie di cooperazione

e di defezione, il giocatore 1 controlla le righe ed il giocatore 2 le colonne

1\2 C DC a bD c d

Le preferenze dei giocatori devono essere tali che 1 preferisce nell’ordine(c, a, d, b) e 2 preferisce nell’ordine (b, a, d, c). Più spesso si attribuiscono ai gio-catori delle funzioni di utilità sugli esiti i cui valori rispettino tali ordini di pref-erenza, ad esempio u1(a) = u2(a) = 3, u1(b) = u2(c) = 0, u1(c) = u2(b) = 5,u1(d) = u2(d) = 1. In questo modo il gioco può essere rappresentato in modopiù compatto dalla seguente bimatrice ove in ogni casella il primo numero rap-presenta il valore di utilità o vincita del giocatore 1, ed il secondo numero ilvalore di utilità o vincita del giocatore 2 :

1\2 C DC 3; 3 0; 5D 5; 0 1; 1

Esempio 6: Coordinazione pura: il (doppio) dilemma dello stu-dente bugiardo

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Il problema dei due studenti è, evidentemente, che solo se saranno in gradodi indicare la stessa ruota dell’auto renderanno credibile il loro racconto e su-pereranno l’esame. Si tratta dunque di riuscire a coordinarsi senza comunicarenella scelta della risposta tra le quattro possibili: anteriore sinistra(AS), ante-riore destra(AD), posteriore sinistra(PS) e posteriore destra(PD). Ponendo perentrambi gli studenti uguale ad 1 il valore di utilità della promozione ed ugualea zero il valore di utilità della bocciatura, l’interazione tra i due studenti puòessere dunque rappresentata dal gioco seguente:

1\2 AS AD PS PDAS 1; 1 0; 0 0; 0 0; 0AD 0; 0 1; 1 0; 0 0; 0PS 0; 0 0; 0 1; 1 0; 0PD 0; 0 0; 0 0; 0 1; 1

Esempio 7: Coordinazione e ‘complementarità strategica’: i livellidi attività in un’economia.Supponiamo per semplicità di avere n imprese ciascuna con la stessa capacità

produttiva k (ove k è un certo numero intero positivo). La situazione considerataè tale che sarà tanto più facile per tutti trovare acquirenti per i propri prodotti eservizi quanto più tutte le imprese sceglieranno livelli alti di attività. Viceversa,il declino del livello medio di attività porterà in media ad una maggiore difficoltànel trovare partners commerciali con un accumulo di scorte invendute e unaumento della capacità inutilizzata. In particolare, possiamo ragionevolmenteipotizzare—per fissare le idee— che l’utile di un’ impresa sia una funzione crescentedella media dei livelli di attività altrui, e del proprio livello di attività. In talcaso l’interazione tra imprese può essere rappresentata dal seguente gioco informa strategica (i cui esiti si riducono a profili di strategie e la cui funzione dirisultato si riduce alla funzione identica)

({1, .., n} , (Si = {0, 1, .., k})i∈N ,X =Qi∈N Si, h = Id, (ui)i∈N ),

ove per ogni i ∈ N e per ogni s = (s1, .., sn) ∈Qi∈N Si

ui(s) =α(si)n−1

Pj∈N,j 6=i sj

ed α(.) è una opportuna funzione a valori reali non decrescente.

Nel caso di 2 imprese e 3 livelli di attività (A=alto=6, M=medio=3, B=basso=1)e ponendo α(A) = 1,α(M) = possiamo ad esempio rappresentare l’interazionecol gioco definito dalla seguente bimatrice

1\2 A M BA 6; 6 3; 5 1; 3M 5; 3 3; 3 1; 2B 3; 1 2; 1 1; 1

Esempio 8: Antagonismo puro (per passatempo): carta-forbici-pietra

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Se indichiamo con 1, 0,−1 rispettivamente il valore della vittoria del pareggioe della sconfitta per i due giocatori e con C,F, P rispettivamente la scelta dimimare carta, forbici e pietra, possiamo rappresentare questa interazione colgioco in forma strategica definito dalla seguente bimatrice:

1\2 C F PC 0; 0 −1; 1 1;−1F 1;−1 0; 0 −1; 1P −1; 1 1;−1 0; 0

Esempio 9: L’importanza delle convenzioni nella contrattazione:‘falchi’ e ‘colombe’Denotiamo con F e C rispettivamente le strategie denominate ‘falco’ e

‘colomba’. Assegnando opportuni valori numerici alle vincite dei giocatori incorrispondenza dei diversi esiti procedendo ad esempio come nell’esempio 5 (e osservando incidentalmente che in questo esempio è particolarmente appro-priato interpretare tali valori numerici come aumenti di possibilità riproduttiverispetto alla media associati agli esiti dell’interazione), è possibile rappresentarela situazione col gioco in forma strategica determinato dalla seguente bimatrice

1\2 F CF −1;−1 2; 0C 0; 2 1; 1

Esempio 10: Coordinazione con interesse comune ma senza coin-cidenza di interessi: caccia al cinghialeQuesta interazione è caratterizzata dal fatto che esiste un interesse comune

ben definito e cioè un esito che è unanimemente preferito da tutti e due i gio-catori, ma anche un conflitto di interessi nella valutazione degli altri esiti. Seattribuiamo dei valori di utilità convenzionali di 9,8,7,0 alla suddivisione delcinghiale, ed alla cattura di molte, poche e nessuna lepre rispettivamente, pos-siamo rappresentare questa interazione con il gioco in forma strategica definitodalla bimatrice seguente:

1\2 C LC 9; 9 0; 8L 8; 0 7; 7

6.2 Come risolvere un gioco non-cooperativo in forma strate-gica: eliminazione iterata di strategie strettamentedominate, eliminazione iterata di strategie debolmentedominate, ed equilibrio di Nash

Ci sono vari modi ‘naturali’di risolvere un gioco non-cooperativo in forma strate-gica, ciascuno con vari pregi e difetti a seconda delle circostanze. Due concetti

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elementari di soluzione usano i concetti di strategia strettamente dominata, edi strategia debolmente dominata, rispettivamente.Una strategia si ∈ Sidi un giocatore i ∈ N del gioco in forma strategica G si

dice strettamente dominata se esiste inG un’altra strategia ti ∈ Si a disposizionedi i e che dia un risultato per i strettamente migliore di si qualunque sia lacombinazione delle strategie altrui.Una strategia si ∈ Si di un giocatore i ∈ N del gioco in forma strategica

G si dice debolmente dominata se esiste in G un’altra strategia ti ∈ Si a dis-posizione di i e tale che dia un risultato per i non peggiore di si qualunque siala combinazione delle strategie altrui, e strettamente migliore di si per almenouna combinazione di strategie altrui.La soluzione di G per eliminazione iterata delle strategie strettamente dom-

inate consiste nella ricerca di strategie (strettamente) dominate e nella loroeliminazione. Una volta che si sia trovata in in gioco una strategia (stretta-mente) dominata e la si sia eliminata, ci ritroviamo con un gioco ridotto cioècol gioco iniziale privato però di quella strategia. Il concetto di soluzione chestiamo considerando prevede che si applichi la stessa procedura di ricerca edeliminazione delle strategie (strettamente) dominate anche al gioco ridotto cosìottenuto, e così via fino a che il gioco ridotto prodotto da queste successiveeliminazioni risulti privo di strategie (strettamente) dominate. La procedura dieliminazione iterata appena illustrata può essere descritta più precisamente nelmodo seguente:

1. Ordinare i giocatori e per ogni giocatore ordinare le sue strategie: quindiconsiderare la prima strategia del primo giocatore e confrontarla con tutte lealtre strategie del primo giocatore fino a che non si identifica una strategia che ladomina strettamente o ne è strettamente dominata: in tal caso andare al passo2 della procedura. Se non ce ne sono, ripetere con la seconda strategia, con laterza ecc. e poi eventualmente col secondo giocatore, col terzo giocatore ecc.finché non se ne trova una (nel qual caso si va al passo 2 indicato qui sotto), osi è esaurita la lista delle strategie di ciascun giocatore nel qual caso l’algoritmotermina.2. Eliminare la strategia strettamente dominata, passando cosi da G al suo

gioco ridotto G0ed applicare a G0 il passo 1 della procedura.

La soluzione di G secondo tale procedura consiste dell’insieme di tutti i pro-fili/combinazioni di strategie che non sono state eliminate quando la proceduraè terminata. Qualche volta tale procedura dà dei risultati molto precisi (cfr. l’esempio 5) altre volte no (cfr. gli altri esempi). Chiaramente, è senz’altro pos-sibile che le soluzioni ammesse siano molte: nel caso limite, possono addiritturacoincidere con l’insieme di tutti i profili di strategie del gioco, il che —bisognaammettere— non è di grande aiuto. L’eliminazione iterata delle strategie debol-mente dominate consiste nella procedura analoga applicata pero’ alla classe piùampia delle strategie debolmente dominate. Pertanto, è un concetto di soluzionepiù selettivo, ma presenta comunque problemi analoghi. Inoltre l’eliminazione

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iterata delle strategie debolmente dominate dà risultati che possono essere di-versi a seconda dell’ordine in cui vengono eliminate le strategie, come risulta dalsemplice esempio seguente:

1\2 S DA 3; 5 2; 5M 2; 0 0; 2B 0; 2 2; 0

In questo gioco, sia M che B sono strategie debolmente dominate dallastrategia A (perchè (3, 2) > (2, 0) e (3, 2) > (0, 2)). Se si applica la procedura dieliminazione iterata delle strategie debolmente dominate usando —ad esempio—l’ordine (A,M,B) delle strategie del giocatore 1 si dovrà cominciare eliminandoM ottenendo così il gioco ridotto

1\2 S DA 3; 5 2; 5B 0; 2 2; 0

Nel nuovo gioco però non solo B è ancora debolmente dominata da A, ma lastrategia D del secondo giocatore risulta ora debolmente dominata da S. Per-tanto, con questa specificazione della procedura di eliminazione delle strategiedebolmente dominate, l’unica soluzione è il profilo di strategie (A,S). Appli-cando però la specificazione della procedura basata —ad esempio— sull’ordine(A,B,M) è facile verificare con un ragionamento del tutto analogo che l’unicasoluzione è (A,D).Un concetto di soluzione alternativo per i giochi non-cooperativi in forma

strategica— e quello più largamente usato— è l’equilibrio di Nash. Un equilib-rio di Nash di un gioco in forma strategica G è un profilo di strategie di Gtale che la strategia di ogni giocatore nel profilo dà un risultato non migliora-bile rispetto alla combinazione delle strategie altrui nel profilo stesso, ossia lastrategia di ogni giocatore è una risposta ottima alla combinazione di strategiealtrui descritta dal profilo. In altri termini, un profilo di strategie è un equi-librio di Nash quando non ammette deviazioni unilaterali vantaggiose per alcungiocatore. In particolare, un equilibrio di Nash si dice stretto quando ogni suastrategia componente è l’unica risposta ottima alla combinazione delle strategiealtrui.In generale, un gioco in forma strategica può non avere equilibri di Nash. Ed

anche qualora un equilibrio di Nash esista calcolarlo può non essere semplice.Nei giochi a due giocatori e con un numero finito ( non troppo grande) di strate-gie, però, calcolare gli equilibri di Nash è facile. Basta identificare—se esistono—quelle caselle della bimatrice del gioco (v. sopra) tali che la prima entrata hail valore massimo tra le prime entrate della sua stessa colonna, e la secondaentrata ha il valore massimo tra le seconde entrate della sua stessa riga.Per quanto riguarda la relazione tra i vari concetti di soluzione considerati in

questa sezione, è facile dimostrare che una strategia strettamente dominata diun gioco non può mai essere una risposta ottima a qualche profilo di strategie al-trui di quel gioco e dunque non può essere componente di un equilibrio di Nash.Pertanto, gli equilibri di Nash formano un sottoinsieme dei profili di strategie

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strettamente non dominati. Ovvero, l’eliminazione iterata delle strategie stret-tamente dominate non elimina alcun equilibrio di Nash. E’ invece possibile cheuna strategia debolmente dominata di un gioco sia componente di un equilibriodi Nash, come illustrato dall’esempio seguente:

1\2 t1 t2s1 2; 1 1; 0s2 2; 0 1; 1s3 2; 2 2; 3

In questo gioco, i profili di strategie (s1, t1) e (s3, t3) sono equilibri di Nash.D’altra parte, è immediata la verifica che la strategia s1 del giocatore 1 è debol-mente dominata dalla strategia s3.Pertanto l’eliminazione iterata delle strategie debolmente dominate può com-

portare l’eliminazione di qualche equilibrio di Nash.Vediamo ora come si possono risolvere i giochi degli esempi 5-10 usando i

concetti di soluzione introdotti sopra. Per i giochi definiti da bimatrici (a cuisi riducono essenzialmente tutti i nostri esempi), potremo avvalerci di un’utilenotazione, e cioè:a)indicheremo il fatto che la strategia S è strettamente dominata da una

strategia T con una doppia freccia da S verso T.Analogamente,b)indicheremo con una freccia semplice da S a T il fatto che S è debolmente

dominata da T.Infine,c) indicheremo con una freccia semplice da un esito x ad un esito y l’esistenza

di una deviazione unilaterale vantaggiosa da x ad y (che, ricordiamo, implica ilfatto che x non può essere un esito di equilibrio di Nash).Con questa notazione,un profilo di strategie è un equilibrio di Nash quando dall’esito corrispondentenon escono frecce.

Esempio 5: Il dilemma del ciclistaE’ facile verificare che per ciascuno dei giocatori C è strettamente dominata

da D, poichè (5, 1)À (3, 0) :1\2 C ⇒ D¸ C 3; 3 0; 5D 5; 0 1; 1

Pertanto (D,D) non solo è l’unica soluzione per eliminazione iterata dellestrategie strettamente dominate ( e dunque per eliminazione iterata delle strate-gie debolmente dominate ), ma è anche l’unico equilibrio di Nash del gioco (unequilibrio di Nash di questo tipo si dice anche un equilibrio di strategie domi-nanti).

Esempio 6: Il dilemma dello studente bugiardo

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E’ immediata la verifica (farla!) che in questo gioco nessuna strategia èstrettamente o debolmente dominata. Però esistono sia esiti privi di deviazioniunilaterali vantaggiose sia esiti che ammettono deviazioni unilaterali vantag-giose. E’ facile verificare che da ogni esito del tipo (0; 0) ogni giocatore hauna deviazione unilaterale vantaggiosa (basta adeguarsi alla scelta dell’altro,qualunque essa sia!).

1\2 AS AD PS PDAS 1; 1 0; 0 0; 0 0; 0AD 0; 0 1; 1 0; 0 0; 0PS 0; 0 0; 0 1; 1 0; 0PD 0; 0 0; 0 0; 0 1; 1

Pertanto gli equilibri del gioco sono tutti i profili ‘simmetrici’ cioè quelli incui i due giocatori scelgono la stessa strategia: (AS,AS), (AD,AD), (PS, PS),(PD,PD). Tutti e quattro sono equilibri di Nash stretti. Il problema dei duestudenti sta, appunto, nel coordinare le proprie scelte in modo da determinareuno di questi equilibri. Non è un problema semplice, purtroppo per loro.

Esempio 7: I livelli di attività in un’economiaQuesto gioco

1\2 A M BA 6; 6 3; 5 1; 3M 5; 3 3; 3 1; 2B 3; 1 2; 1 1; 1

ha una struttura simile al precedente. Per considerazioni analoghe a quellefatte per l’esempio 6, gli equilibri di Nash del gioco sono i tre profili sim-metrici (A,A),(M,M), (B,B) (Lasciamo al lettore di verificarlo). Si noti chesolo l’equilibrio Pareto-efficiente (A,A) è stretto.

Esempio 8:Carta-forbici-pietraIn questo gioco nessuna strategia è dominata (strettamente o debolmente),

ed ogni esito ammette deviazioni unilaterali vantaggiose, come è immediatocontrollare usando la notazione c) descritta sopra.

1\2 C F PC ↓ 0; 0 −→ ↓ −1; 1 ← 1;−1F 1;−1 −→ ↓ 0; 0 −→ ↑ ↑ −1; 1P ↑ −1; 1 ← 1;−1 0; 0

Ne consegue che non esistono equilibri di Nash di questo gioco (per ottenereequilibri di Nash appropriati a questo tipo di interazioni bisogna considerare lacosiddetta ‘estensione mista’ di questo gioco, e considerare anche le cosiddette‘strategie miste’ cioè distribuzioni di probabilità sull’insieme delle strategie delgioco che stiamo considerando qui).

Esempio 9: ‘Falchi’ e ‘colombe’

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Anche in questo gioco non esistono strategie dominate. Se usiamo ancorauna volta la notazione descritta sopra per le deviazioni unilaterali vantaggiose,otteniamo

1\2 F CF ↓ −1;−1→ 2; 0C 0; 2 ←− 1; 1 ↑

Pertanto il gioco ammette due equilibri di Nash asimmetrici, e precisamente(C,F ) e (F,C). Sono tutti e due equilibri stretti.

Esempio 10: Caccia al cinghialeQuesto gioco non ha strategie dominate. Con la solita notazione, le devi-

azioni unilaterali vantaggiose sono:1\2 C LC 9; 9 ←− 0; 8L ↑ 8; 0 7; 7

Gli equilibri di Nash del gioco sono pertanto i due profili simmetrici (C,C), (L,L).Sono entrambi equilibri di Nash stretti.

E’ da osservare che in quasi tutti i giochi considerati negli esempi prece-denti le soluzioni sono più di una. D’altra parte poichè in generale alcuni esitisono esclusi, le predizioni così ottenute possono essere sottoposte a controllisperimentali.

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