Libro - Elementi Di Analisi delle Funzioni E Analisi Complessa

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Politecnico di Torino, settembre 2004Dipartimento di Matematica

Elementi di Analisifunzionale e complessa

Luciano Pandolfi

otto editore

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ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE ECOMPLESSA

LUCIANO PANDOLFI

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA

POLITECNICO DI TORINO

Luciano Pandolfi

Elementi di Analisi funzionale e complessa

Prima edizione settembre 2004

C©2004, OTTO editore – Torino

[email protected]

http://www.otto.to.it

È vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuato,

compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata.

INDICE

1. Le funzioni olomorfe 9

1.1. Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Radici n–me di numeri complessi . . . . . . . . . . . 13

1.1.2 Esponenziale, logaritmo, formule di Eulero . . . . . . 14

1.2. Limiti e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Derivata e integrale di funzioni da R in C . . . . . . . 18

1.3. Curve nel piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Funzioni da R2 in R2 e funzioni da C in C . . . . . . . . 22

1.5. La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1 Esempi di funzioni olomorfe e formule di derivazione 29

1.5.2 Osservazione sui “teoremi fondamentali . . . . . . .

del calcolo differenziale" . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.3 La matrice jacobiana e le funzioni olomorfe . . . . . 34

1.5.4 Serie di potenze e serie di Laurent . . . . . . . . . . . 37

1.6. Funzioni olomorfe e trasformazioni conformi . . . . . . 42

1.6.1 La rappresentazione delle funzioni olomorfe . . . . . 44

1.7. Integrale di curva di funzioni olomorfe . . . . . . . . . . 47

1.8. Il teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.9. Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.9.1 Curve equipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.9.2 Il caso della funzione z → z . . . . . . . . . . . . . . 56

1.9.3 La funzione logaritmo e le potenze . . . . . . . . . . 57

1

1.10. Indice e omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.11. Convergenza uniforme sui compatti . . . . . . . . . . . 67

1.12. La formula integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . 69

1.12.1 La proprietà della media . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.12.2 Funzioni olomorfe rappresentate mediante integrali . 72

1.13. Analiticità delle funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . 74

1.13.1 Funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.13.2 Zeri e estensioni di funzioni olomorfe . . . . . . . . 77

1.14. Teorema di Morera e principio di riflessione . . . . . . . 81

1.15. Teoremi di Weierstrass e di Montel . . . . . . . . . . . . 84

1.16. Massimo modulo e teorema di Liouville . . . . . . . . . 87

1.17. Le singolarità isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.18. Formula di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1.19. Singolarità e zeri ad infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.20. Il metodo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.20.1 Calcolo di integrali impropri . . . . . . . . . . . . . 107

1.20.2 Il Principio dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . 112

1.20.3 I teoremi di Hurwitz e Rouché e della mappa aperta . 113

1.21. Trasformazioni conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.21.1 Il teorema di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1.22. Monodromia e polidromia . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1.22.1 Punti di diramazione di funzioni olomorfe . . . . . . 128

1.22.2Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. Funzioni armoniche 135

2.1. Funzioni armoniche e funzioni olomorfe . . . . . . . . . 135

2.2. Proprietà della media e teorema di Gauss . . . . . . . . . 137

2.3. Il problema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.3.1 La formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2

3. La trasformata di Laplace 145

3.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.2. Proprietà della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . 147

3.3. Trasformata di Laplace, derivata ed integrale . . . . . . . 150

3.4. Alcune trasformate fondamentali . . . . . . . . . . . . . 154

3.5. Il problema dell’antitrasformata . . . . . . . . . . . . . 155

3.5.1 Antitrasformata di funzioni razionali . . . . . . . . . 155

4. Misura e integrazione secondo Lebesgue 157

4.1. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.2. Anelli ed algebre di insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3. Misure di insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.4. Insiemi misurabili secondo Lebesgue . . . . . . . . . . . 167

4.4.1 Insiemi limitati e misurabili secondo Lebesgue . . . . 168

4.4.2 Insiemi illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.5. Insiemi nulli e proprietà che valgono quasi ovunque . . . 174

4.6. Funzioni misurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.7. Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.7.1 L’integrale delle funzioni semplici . . . . . . . . . . 181

4.7.2 L’integrale delle funzioni positive . . . . . . . . . . . 183

4.7.3 Funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.7.4 Integrale ed insiemi nulli . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.8. Integrale di Lebesgue ed integrale di Riemann . . . . . . 188

4.9. Limiti di successioni di funzioni e integrale . . . . . . . 191

4.10. Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.10.1Le relazioni tra spazi Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 205

4.11. I teoremi di Fubini e Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.11.1 Convoluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4.12. Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.13. La funzione integrale su R . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.13.1Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3

5. Spazi di Banach 215

5.1. Introduzione all’analisi funzionale . . . . . . . . . . . . 215

5.1.1 L’equazione Ax = φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5.1.2 L’equazione λx − Ax = y . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.1.3 L’equazione di Fredholm a nucleo degenere . . . . . 221

5.1.4 L’equazione di prima specie . . . . . . . . . . . . . . 223

5.1.5 Ricapitolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.2. Spazi lineari normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.2.1 Dimostrazioni posposte . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.3. Spazi prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.4. Gli esempi principali di spazi di Banach . . . . . . . . . 237

5.4.1 Gli esempi di spazi lineari normati . . . . . . . . . . 237

5.4.2 Le dimostrazioni della completezza . . . . . . . . . . 242

5.4.3 Teorema del doppio limite . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.5. Sottospazi di spazi lineari normati . . . . . . . . . . . . 252

5.5.1 Identità approssimate e dimostrazione . . . . . . . .

del teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.6. La compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


5.7. Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

5.7.1 Proprietà geometriche degli operatori lineari . . . . . 266

5.7.2 La continuità degli operatori lineari . . . . . . . . . . 270

5.7.3 Funzionali lineari continui ed iperpiani . . . . . . . . 275

5.7.4 Lo spazio L(X,Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

5.7.5 Inversi di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5.8. Il teorema di Baire e le sue conseguenze . . . . . . . . . 289

5.8.1 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.8.2 Appendice: Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . 298


5.9. Lo spazio duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

5.9.1 Applicazioni: Insiemi convessi . . . . . . . . . . . . 312

5.9.2 Applicazioni: Funzioni convesse . . . . . . . . . . . 316


4

5.10. Convergenza debole e debole stella . . . . . . . . . . . . 328

5.10.1Dimostrazioni posposte . . . . . . . . . . . . . . . . 339

5.11. Esempi di spazi duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5.11.1 Relazione tra le convergenze debole e debole stella . 352

5.12. Lo spettro di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

5.12.1 Proiezioni spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

5.13. Trasformazioni non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.13.1 Teorema delle contrazioni e applicazioni . . . . . . . 368

5.13.2 I differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

6. Spazi di Hilbert 377

6.1. Prodotto interno e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

6.1.1 Esempi di prodotti interni e di spazi di Hilbert . . . . 382

6.2. Teorema delle proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

6.3. Complementi ortogonali e proiezioni ortogonali . . . . . 389

6.3.1 Sistemi ortonormali e calcolo di proiezioni . . . . . . 393

6.3.2 Serie di Fourier astratte . . . . . . . . . . . . . . . . 397

6.4. Il duale di uno spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 399

6.5. L’operatore aggiunto di un operatore tra spazi di Hilbert . 401

6.5.1 L’aggiunto di un operatore limitato . . . . . . . . . . 403

6.5.2 Operatori aggiunti ed operatori chiusi . . . . . . . . . 404

6.5.3 Operatori da H in sé; operatori autoaggiunti . . . . . 407


6.6. Operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

6.6.1 Lo spettro degli operatori compatti . . . . . . . . . . 417

6.6.2 Operatori compatti tra spazi diversi. Valori singolari . 419

6.6.3 Proprietà geometriche degli autovalori e valori singolari 422

6.6.4 Operatori compatti ed equazioni integrali di Fredholm 425


5

7. Distribuzioni e trasformata di Fourier 441

7.1. La trasformata di Fourier di funzioni . . . . . . . . . . . 441

7.2. Le proprietà della trasformata di Fourier . . . . . . . . . 443

7.2.1 Il teorema di Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . 444

7.3. L’antitrasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 447

7.4. La trasformata di Fourier su L2(R ) . . . . . . . . . . . 451

7.5. Lo spazio S e il suo duale . . . . . . . . . . . . . . . . 455

7.6. La trasformata di Fourier su S ′ . . . . . . . . . . . . . . 459

7.6.1 Le operazioni sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . 464

7.6.2 Operazioni e trasformata di Fourier . . . . . . . . . . 467

7.6.3 Convoluzione di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . 468

7.7. Il caso delle funzioni di più variabili . . . . . . . . . . . 474

6

L’ENS est l’un des meilleurs estabilissements de Francepour les estudes littéraires. On y entre pour apprendre àpenser et non pas pour apprendre à “communiquer”.

Arthur Muller, primo classificato al concorso 2003 perl’ammissione all’ENS, Le Figaro, 23.07.03

1. LE FUNZIONI OLOMORFE

1.1. RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI

E’ nota la definizione seguente del campo dei numeri complessi:

– gli elementi del campo sono le coppie di numeri reali,

z = (x, y) =√

x2 + y2

(x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

)

=√

x2 + y2(cos θ, sin θ) .

Si sa che il numero

ρ =√

x2 + y2

si chiama modulo del numero complesso z mentre θ si chiama argomento di z.

Il modulo del numero complesso z si indica col simbolo |z|.

L’argomento di z è identificato a meno di multipli di 2π se z = (0, 0). Ogni θ

si considera argomento di (0, 0).

Se z = (0, 0) e θ ∈ [−π, π), allora θ è unico e si chiama argomento principale

di z.

Per indicare l’argomento principale di z si usa il simbolo “Arg” (con l’iniziale

maiuscola),

Arg z .

9


−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

y

a+ib

c+id

(a+c)+i(b+d)

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

r

ρ

ψ

φ

rρ

φ+ψ

Fig. 1.1. Le operazioni.

– L’operazione di addizione tra numeri complessi si definisce “per componenti”:

se z = (x, y) e w = (a, b) allora si definisce

z + w = (x + a, y + b) .

– L’operazione di moltiplicazione è definita come segue: se z = ρ(cos θ, sin θ),

w = r(cos φ, sin φ) allora

zw = ρr (cos(θ + φ), sin(θ + φ)) .

E’ immediato verificare che il risultato non varia sommando multipli di 2π a θ

oppure a φ.

E’ noto, e facile da verificare, che in questo modo si definisce un campo, che si chiama

campo dei numeri complessi. Si sa inoltre che se z = (x, y) e w = (a, b) allora si ha

zw = (xa − yb, xb + ya) .

Invece, non esiste una rappresentazione semplice per la somma in coordinate polari.

Le operazione sono rappresentate nella figura 1.1.

Il campo dei numeri complessi si indica col simbolo C.

Ricordiamo che se z = (x, y), il numero (x,−y) si indica col simbolo z e si chiama

il coniugato di z. Si vede facilmente che

10


|z|2 = zz .

L’elemento neutro rispetto all’addizione è (0, 0) mentre quello rispetto alla molti-

plicazione è (1, 0). Invece il numero complesso i = (0, 1), che si chiama unità

immaginaria, ha la seguente proprietà:

i2 = ii = (−1, 0) .

Osservazione 1.1. In molti testi, specialmente di ingegneria, si “definisce” i

mediante l’uguaglianza i2 = −1. Ciò è ambiguo, perché quest’equazione ha le due

soluzioni i e −i.

Notiamo ora che

z = (x, y) = (x, 0)(1, 0) + (y, 0)(0, 1)

e che la trasformazione da R in C che ad x fa corrispondere il numero (x, 0) è un

omomorfismo (i numeri complessi (x, 0) si chiamano anche numeri complessi reali ).

Ciò suggerisce di rappresentare ogni numero complesso z = (x, y) come segue: se

y = 0 invece di scrivere (x, 0) si scrive semplicemente x e invece di scrivere (0, 1) si

scrive i. In questo modo,

z = (x, y) = (x, 0)(1, 0) + (y, 0)(0, 1) = 1x + iy

e, sottintendendo 1, si trova la rappresentazione

z = x + iy

che si chiama la rappresentazione algebrica dei numeri complessi. Si chiama invece

rappresentazione trigonometrica la rappresentazione

z =√

x2 + y2(cos θ + i sin θ)

cos θ = x√x2+y2

sin θ = y√x2+y2

.

Si calcola facilmente che l’opposto di z = x + iy rispetto alla moltiplicazione, ossia

il numero che si indica col simbolo

11


1z

=1

x + iy,

è il numero

x − iy

x2 + y2=

z

|z|2 .

Con la notazione trigonometrica, l’opposto di

z = r(cos θ + i sin θ)

è

1z

=1r

(cos(−θ) + i sin(−θ)) =1r(cos θ − i sin θ)

(si noti che l’ultima espressione scritta è una rappresentazione algebrica ma non una

rappresentazione trigonometrica del numero 1/z).

Il numero reale x si chiama la parte reale di z = x + iy mente il numero reale y si

chiama la parte immaginaria di z = x + iy. Essi si indicano con i simboli

e z , Im z .

Notiamo infine: un argomento di un prodotto è la somma degli argomenti; un

argomento di un quoziente è la differenza tra l’argomento del numeratore e

quello del denominatore.

Osservazione 1.2. Va notato esplicitamente che le affermazioni precedenti valgono

pur di scegliere un opportuno argomento. Non valgono per l’argomento principale.

Infatti, se z = w = i, Arg zw = −π mentre invece Arg z + Arg w = +π.

Interpretazione fisica delle operazioni

E’ utile vedere le relazioni tra le operazioni introdotte tra i numeri complessi e le leggi

della fisica. Per l’addizione ciò è facile: essa corrisponde all’addizione di vettori,

fatta componente per componente. La moltiplicazione si incontra invece estendendo

la legge di Ohm alle correnti alternate.

12


Va inoltre notato che quando (x, y) ed (x ′, y′) sono due vettori del piano, ad essi si

associano:

– il prodotto scalare xx′ + yy′;

– il prodotto vettoriale, che è un vettore di R3, uguale a (xy′ − x′y)k.

I due numeri (xx′ + yy′) e xy′ − x′y si ritrovano calcolando il prodotto zw con

z = x + iy, w = x′ + iy′:

zw = (xx′ + yy′) + i(xy′ − x′y).

1.1.1 Radici n–me di numeri complessi

Sia z un numero complesso. Si chiamano radici n–me di z i numeri w tali che w n = z.

Se z = 0 si vede subito che c’è una sola radice n–ma, w = 0. Invece, ogni z = 0 ha

n radici n–me. Se


ciascuno dei numeri

n√

r

(cos(

θ + 2kπ

n

)+ i sin

(θ + 2kπ

n

))

verifica wn = z, qualunque sia il numero intero (positivo o meno) k. E’ facile vedere

però che soltanto i valori di k

k = 0 , 1 , . . . , n − 1

danno valori distinti. Dunque z = 0 ha esattamente n radici n–me le quali sono vertici

di un poligono regolare di n lati e appartengono alla circonferenza di centro 0 e raggion√

|z|.

Ciascuna delle funzioni

f(z) = |z|1/nei(Argz+2kπ/n)

si chiama una determinazione della radice n–ma.

13


1.1.2 Esponenziale, logaritmo, formule di Eulero

Si definisce

ez = ex+iy = exeiy

dove ex è il valore noto dai corsi relativi alle funzioni di variabile reale mentre e iy è

ancora da definire. Si definisce

eiy = cos y + i sin y .

In questo modo,

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y) . 1.1

Dunque, la rappresentazione trigonometrica

r(cos θ + i sin θ)

si può anche scrivere come

elog r+iθ .

Si vede immediatamente che, se y = 0, allora ez = ex+i0 = ex + i0, numero

complesso reale e, usando le formule di trigonometria, si vede subito che vale

ez+w = ezew .

Vale inoltre:

∣∣ex+iy∣∣ = ex .

In particolare, l’equazione ez = 0 non ha soluzioni.

La funzione esponenziale ha sul piano complesso una proprietà inattesa: la funzione

ez è periodica di periodo 2πi.

Dalla 1.1 seguono immediatamente le formule d’Eulero

cos y =eiy + eiy

2, sin y =

eiy − e−iy

2i.

14


Queste suggeriscono di estendere le funzioni trigonometriche al piano complesso,

definendo

cos z =eiz + eiz

2, sin z =

eiz − e−iz

2i.

Si suggerisce di risolvere le equazioni

cos z = w , sin z = w

rispetto a z notando che ambedue le funzioni cos z e sin z sono suriettive (e quindi

in particolare illimitate).

Conviene ora introdurre il logaritmo di numeri complessi. Sia z = 0. I logaritmi

(in base e) di z sono quei numeri w tali che ew = z. Si rappresenti z in forma

trigonometrica,


e w in forma algebrica,

w = x + iy .

Allora, w è un logaritmo di z quando

ex(cos y + i sin y) = r(cos θ + i sin θ) .

Questo avviene se

x = log r , y = θ + 2kπ

con k numero intero qualsiasi. Dunque, ogni numero complesso non nullo ha infiniti

logaritmi (e quindi, la funzione ew prende ogni valore non nullo):

log z = log |z| + i arg z

ove arg z è uno qualsiasi degli argomenti di z e log |z| è il logaritmo del numero reale

|z| definito nei corsi precedenti.

La non unicità del logaritmo dipende dal fatto che esso è definito come inverso di una

funzione periodica.

15


Si chiama logaritmo principale di z il numero

Log z = log |z| + iArg z

(si noti l’uso dell’iniziale maiuscola).

Dunque, ciascuna delle funzioni

log z = log |z| + i(2kπ + Argz) 1.2

verifica

z = elog z=log |z|+i(2kπ+Argz) .

Per questa ragione, si dice che ciascuna delle funzioni in 1.2 è una determinazione del

logaritmo.

Definito il logaritmo, è facile definire le potenze zα ad esponente α qualsiasi, reale

o complesso. Se α = 0 si pone z0 = 1 (salvo il caso z = 0. Al simbolo 00 non si

attribuisce significato). Altrimenti si definisce

zα = eαlog z .

Si vede facilmente che se α è intero positivo, α = n, si ritrova z n; se α = 1/n si

ritrovano le radici n–me. In generale però la potenza ha infiniti valori.

Si calcolino per esercizio le potenze ii, 1i, (−1)i individuando la cardinalità

dell’insieme dei loro valori.

Osservazione importante

Abbiamo notato che vale la formula

ez+w = ezew .

La formula corrispondente,

log zw = log z + log w

vale, ma va interpretata come uguaglianza di insiemi.

Se A e B sono insiemi di numeri complessi, definiamo

A + B = a + b , a ∈ A , b ∈ B .

16


Notiamo ora che

log zw = log |zw| + i (arg(zw) + 2kπ)

= log |z| + log |w| + i (arg z + argw + 2kπ)

= log |z| + i (arg z + 2nπ) + log |w| + i (argw + 2mπ) = log z + log w .

La formula corrispondente NON vale se si intende di lavorare con i logaritmi

principali, come mostra l’esempio seguente:

Esempio 1.3. Il logaritmo principale di i è

Log i = iπ/2

e

2Log i = iπ .

Invece,

Log(−1) = Log(i2) = −iπ = 2Log i .

1.2. LIMITI E CONTINUITÀ

La funzione

z → |z|

è una norma su C (l’immediata verifica si lascia per esercizio) e quindi è possibile

definire una topologia su C, introducendo gli intorni . L’intorno di z 0 di raggio r è

l’insieme

z | |z − z0| < r .

Geometricamente si tratta di un disco (privato della circonferenza) di centro z 0 e

raggio r.

Definiti gli intorni, e quindi la topologia, è ovvia la definizione di limite di una

successione (zn): si dice che lim zn = z0 quando per ogni ε > 0 esiste Nε tale

che per ogni n > Nε vale

|zn − z0| < ε .

17


Sia zn = xn + iyn, z0 = x0 + iy0. Si provi per esercizio che lim zn = z0 se e solo se

limxn = x0 e anche lim yn = y0.

Si lascia per esercizio di adattare la definizione di limite e di continuità nota dal corso

di topologia al caso delle funzioni da R in C, da C in R e da C in C.

Per esercizio, si mostri che sono continue le seguenti funzioni:

z → z , z → |z| , z → e z , z → Im z , z → z . 1.3

Di conseguenza sono continui tutti i polinomi. Si studi invece la continuità della

funzione

z → Arg z ,

mostrando che questa è continua salvo che nei punti dell’asse reale negativo.

Osservazione 1.4. Di conseguenza, anche le determinazioni del logaritmo sono

continue in tutti i punti, salvo quelli dell’asse reale negativo. Asserto analogo vale

per le determinazioni della radice n–ma.

1.2.1 Derivata e integrale di funzioni da R in C

Sia t → z(t) = x(t) + iy(t) una funzione definita su un intervallo (a, b) e sia t0 ∈(a, b). Ovviamente, definiremo

z′(t0) = limh→0

z(t0 + k) − z(t0)h

= x′(t0) + iy′(t0) . 1.4

Vediamo due esempi:

Esempio 1.5. Sia α = a + ib un numero complesso e sia

z(t) = x(t) + iy(t) = eαt = eat(cos bt + i sin bt) .

Si verifica immediatamente che

x′(t) = ax(t) − by(t) , y′(t) = ay(t) + bx(t)

18


e quindi

z′(t) = ax(t) − by(t) + i[ay(t) + bx(t)] = (a + ib)(x(t) + iy(t)) = αeαt .

Si ritrova quindi l’usuale formula di derivazione dell’esponenziale.

Esempio 1.6. La funzione z → Arg z è discontinua nei punti dell’asse reale

negativo. Inoltre, per ogni numero complesso α,

Arg αt =

Arg α se t > 0

(Arg α) − π se t < 0 .

E’ quindi derivabile in ogni t = 0, con derivata nulla. Ne segue che ciascuna delle

funzioni

log αt = log |αt| + i[Arg(αt) + 2kπ] = log (|α||t|) + i[Arg(αt) + 2kπ]

è derivabile per t = 0 e la derivata è

ddt

log αt =1

|αt| |α|sgn t =1t

.

Se z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b], definiamo∫ b

a

z(t) dt =∫ b

a

x(t) dt + i

∫ b

a

y(t) dt .

E’ immediato dalla definizione che:

e

∫ b

a

z(t) dt =∫ b

a

e z(t) dt ,

Im

∫ b

a

z(t) dt =∫ b

a

Im z(t) dt ,

∫ b

a

z(t) dt =∫ b

a

z(t) dt .

Sia ora (zn(t)) una successione di funzioni continue su [a, b], convergente uniforme-

mente a z0(t). Applicando il teorema di scambio tra limiti ed integrali di Riemann

alla parte reale ed alla parte immaginaria, si vede che

lim∫ b

a

zn(t) dt =∫ b

a

z0(t) dt .

19


Sia ora z(t, s) una funzione di due variabili reali t ed s, con (t, s) ∈ [a, b] × [c, d],

a valori complessi. Applicando alla parte reale e alla parte immaginaria di z i

corrispondenti teoremi relativi alle funzioni a valori reali si trova che se z(t, s) è

continua nelle due variabili,

s →∫ b

a

z(t, s) dt 1.5

è continua in s. Se z(t, s) è di classe C1((a, b)× (c, d)) allora la funzione è derivabile

e, dalla 1.4,

dds

∫ b

a

z(t, s) dt =∫ b

a

∂

∂sz(t, s) dt .

1.3. CURVE NEL PIANO COMPLESSO

Chiameremo curva parametrica una funzione t → z(t) continua da un intervallo

limitato e chiuso [a, b] in C. Diremo che la curva è chiusa quando z(a) = z(b) e

diremo che è semplice se z(t) = z(t′) può solo aversi per t = t′ oppure per t = a e

t′ = b (in questo caso la curva è semplice e chiusa).

Diremo che la curva è regolare quando

z′(t) = x′(t) + iy′(t)

esiste per ogni t ∈ (a, b) con |z ′(t)| = 0 per ogni t.

Se la derivata non esiste, oppure è nulla, solamente in un numero finito di punti e in

tali punti esistono finiti i limiti di z ′(t) da destra e da sinistra, diremo che la curva è

regolare a tratti . Una curva regolare a tratti si dirà un cammino.

Una curva regolare a tratti ottenuta giustapponendo segmenti si chiamerà una

poligonale. Chiameremo poligono una poligonale chiusa.

L’immagine della funzione z(t) si chiama il sostegno della curva. La curva è chiusa

quando z(a) = z(b), ed è semplice se la condizione a < t ′ < t′′ < b implica che

z(t′) = z(t′′).

20


Una curva semplice e chiusa si chiama anche curva di Jordan e divide il piano in due

regione, una limitata e una illimitata. La regione limitata si dice interna alla curva.

Quest’asserto, apparentemente semplice, è invece di dimostrazione molto difficile.

Però in pratica, e anche per gli usi teorici, le curve che è necessario usare sono “molto

semplici” (per esempio poligonali, circonferenze, ellissi o riunione di un numero finito

di archi di tali curve). In tal caso è facile individuare la regione interna ed è anche

facile vedere se la curva è orientata positivamente. Ciò avviene quando, al passare

del parametro t da a a b, il punto mobile sulla curva vede la regione interna alla sua

sinistra (regola d’Ampère).

Se non esplicitamente detto il contrario, assumeremo sempre che le curve con cui

si lavora siano orientate positivamente.

La regione interna ad una curva di Jordan si chiama anche regione di Jordan.

Notiamo esplicitamente questa proprietà: se γ è una curva di Jordan il cui sostegno è

conenuto nella regione di Jordan Ω, e se Ωγ indica la regione intera a γ, vale

Ωγ ⊆ Ω .

Questa proprietà generalmente non vale se Ω non è di Jordan.

Un’ulteriore proprietà che è bene conoscere è la seguente: se due curve

z = z(t) , t ∈ [a, b] , ζ = ζ(τ) τ ∈ [α, β]

sono semplici ed hanno la medesima immagine allora esiste un cambiamento di

parametro

t = t(τ)

tale che

ζ(τ) = z(t(τ))

e inoltre la funzione τ → t(τ) è crescente oppure decrescente da [α, β] su [a, b] (e

quindi è anche continua). Detto in altro modo, a meno di riparametrizzazioni, il

sostegno di una curva semplice è sostegno solamente di una seconda curva, che si

ottiene dalla prima cambiando il verso di percorrenza. Questa proprietà permette

21


di semplificare il nostro linguaggio come segue: dato per esempio un quadrato,

esiste un’unica curva che lo ha per sostegno e che è orientata positivamente. Allora

chiameremo “curva” il quadrato, intendendo con ciò di considerare quella curva

semplice che è orientata positivamente e che ha il quadrato assegnato come sostegno.

Potremo ricorrere a questa semplificazione di linguaggio solamente quando il sostegno

che consideriamo è sostegno di una curva semplice e chiusa.

Una curva si indicherà con una lettera greca minuscola, per esempio γ. Se la curva è

semplice e chiusa, la sua regione interna si indica col simbolo Ωγ .

Richiamiamo il teorema seguente:

Teorema 1.7 (Formula di Green). Siano u(x, y) e v(x, y) di classe C 1 in una

regione di Jordan Ω e sia γ una curva semplice e chiusa in Ω. Vale:∫γ

u dx + v dy =∫

Ωγ

[vx(x, y) − uy(x, y)] dx dy .

Si sa inoltre che questa formula si estende al caso in cui si abbiano due curve, γ nella

regione Ω e η nella regione Ωγ . In questo caso la formula di Green assume la forma∫γ

u dx + v dy −∫

η

u dx + v dy =∫

Ωγ−Ωη

[vx(x, y) − uy(x, y)] dx dy . 1.6

Da questa forma faremo discendere tutti i risultati relativi alle funzioni olomorfe che

vedremo.

1.4. FUNZIONI DA R2 IN R2 E FUNZIONI DA C IN C

Dato che i numeri complessi sono coppie di numeri reali, ogni funzione

(x, y) → (u(x, y), v(x, y) ) 1.7

si può intendere come funzione a valori complessi

(x, y) → u(x, y) + iv(x, y)

22


e si può anche voler rappresentare il suo dominio con le notazioni dei numeri

complessi,

(x, y) = x + iy = z .

Essendo

x =z + z

2, y =

z − z

2i

la funzione in 1.7 si può anche rappresentare come

f(z) = u

(z + z

2,z − z

2i

)+ iv

(z + z

2,z − z

2i

)1.8

Notiamo, infatti, che z è funzione di z.

Notiamo subito una dissimmetria tra l’insieme di partenza e l’insieme d’arrivo: la

relazione di coniugio appare nella formula 1.8 soltanto applicata alla variabile z.

Anche la via opposta si può seguire: se w = f(z) si può scrivere

w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

con u e v le parti reale ed immaginaria di f e x, y le parti reale ed immaginaria di

z. Ciò suggerisce che la teoria delle funzioni di variabile complessa sia un modo

diverso di formulare la teoria delle funzioni da R2 in sé. In realtà vedremo che le

cose non sono così semplici. Però, almeno al livello della rappresentazione grafica

l’identificazione appena presentata è utile. Una funzione da C in sé si rappresenta:

– rappresentando su R2 (insieme di arrivo) l’immagine di una griglia tracciata

su R2 (insieme di partenza);

– rappresentando in R3 il grafico della funzione

(x, y) → |u(x, y) + iv(x, y)|

e tracciando su tale grafico le linee identificate da

arg f(z) = cost .

Di una terza rappresentazione diremo più avanti.

Consideriamo alcuni esempi.

23


– Esempio 1. Sia

u(x, y) = x , v(x, y) = −y .

Con notazione complessa questa funzione si rappresenta come

z → z .

– Esempio 2. Sia

u(x, y) = x2 + y2 , v(x, y) = 0 .


z → zz .

– Esempio 3. Sia

u(x, y) = x2 + y2 , v(x, y) = 2xy .


z → zz − i

2(z2 − z2) .

– Esempio 4. Sia

u(x, y) = x2 − y2 , v(x, y) = 2xy .


z → z2 .

Notiamo che ciascuna delle funzioni degli esempi precedenti, come funzione delle

due variabili reali x ed y, è di classe C1. Cerchiamo però di calcolare il limite del

rapporto incrementale

limz→z0

f(z) − f(z0)z − z0

.

Nel case dell’esempio 4 questo si riduce a

24


limz→z0

z2 − z20

z − z0= lim

z→z0

(z − z0)(z + z0)z − z0

= 2z0 .

Dunque, il limite esiste in ciascun punto z0. Invece nel caso dell’esempio 2 il limite

esiste solo per z0 = 0. Infatti, se z0 = 0 si ha

limz→0

zz

z= lim

z→z0z = 0 .

Se però z0 = 0 si trova

limz→z0

zz − z0z0

z − z0= lim

z→z0

z − z0

z − z0z + z0

z − z0

z − z0

.

Dato che

limz→z0

z0z − z0

z − z0

esiste, uguale a z0, rimane da capire se esiste anche il limite del primo addendo.

Scrivendo

z − z0

z − z0=

x − x0 + i(y0 − y)x − x0 + i(y − y0)

si vede che il limite non esiste. Infatti, calcolando il limite lungo la retta y = y 0 si

trova +1 mentre calcolandolo lungo la retta x = x0 si trova −1.

Si ritrovi l’esistenza del limite quando z0 = 0, per questa via.

In modo analogo si vede che il limite non esiste nemmeno nel caso delle funzioni degli

esempi 2 e 3.

Quando il limite del rapporto incrementale esiste, naturalmente lo chiameremo deri-

vata. Gli esempi precedenti mostrano che questo concetto di derivata apparentemente

non ha relazioni con le derivate nel campo reale. Una relazione in realtà esiste, e la

vedremo ai paragrafi 1.5. e 1.5.3.

Possiamo ora spiegare quale è l’oggetto della così detta Teoria delle funzioni. Per

antonomasia si chiama in questo modo la teoria delle funzioni di variabile complessa,

che sono derivabili in ciascun punto di una regione. La derivata si intende nel senso

del limite del rapporto incrementale, il rapporto essendo calcolato per mezzo del

quoziente di numeri complessi.

25


1.5. LA DERIVATA

I numeri complessi costituiscono un campo e quindi è lecito studiare i rapporti

incrementali

f(z0 + h) − f(z0)h

.

L’esistenza di una norma su C permette di studiarne il limite per h → 0. Se questo

esiste finito, si chiama la derivata di f(z) in z0.

In pratica, la derivabilità in un solo punto ha ben poco interesse nella teoria delle

funzioni di variabile complessa. Piuttosto, interessa studiare le funzioni che sono

derivabili in ciascun punto di una regione.

Si noti che gli intorni dei punti in C sono dischi: h tende a zero prendendo tutti i

valori in dischi centrati in 0. In particolare, se la derivata esiste, i limiti calcolati con

h = x + i0 ed x → 0 e con h = 0 + iy ed y → 0 esistono e sono uguali. Dunque, se

esiste f ′(z0) esistono anche ambedue le derivate parziali in (x0, y0) sia di u(x, y) che

di v(x, y). Queste non sono indipendenti, come ora vediamo.

Teorema 1.8. Se f ′(z) esiste per ogni z in Ω, z = x + iy, allora valgono le

uguaglianze

ux(x, y) = vy(x, y) , uy(x, y) = −vx(x, y) 1.9

e inoltre

f ′(x + iy) = ux(x, y) + ivx(x, y) = vy(x, y) − iuy(x, y)

=12ux(x, y) + vy(x, y) − i[uy(x, y) − vx(x, y)] =

12

[∂f

∂x− i

∂f

∂y

].

1.10

DIMOSTRAZIONE

Il calcolo è immediato:

limh→0 h∈R

u(x + h, y) + iv(x + h, y) − u(x, y) − iv(x, y)

h= ux(x, y) + ivx(x, y)

e questo limite deve essere uguale sia ad f ′(z) che a

limk→0 k∈R

u(x, y + k) + iv(x, y + k) − u(x, y) − iv(x, y)

ik= −iuy(x, y) + vy(x, y) .

26


Dunque valgono le uguaglianze 1.9 e le espressioni 1.10 per la derivata.

Le equazioni 1.9 sono importantissime e vanno sotto il nome di condizioni di

Cauchy–Riemann.

Vicevera:

Teorema 1.9. Siano u(x, y) e v(x, y) due funzioni di classe C 1 su una regione Ω. Si

definisca

f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Se le funzioni u(x, y) e v(x, y) soddisfano alle condizioni di Cauchy–Riemann su Ω,

allora la funzione f(z) è derivabile ed f ′(z) è continua.

DIMOSTRAZIONE

Sia h = α + iβ. Scriviamo

f(z + h) − f(z) = u(x + α, y + β) − u(x, y) + i[v(x + α, y + β) − v(x, y)] .

Essendo le due funzioni u e v di classe C 1, si può applicare ad esse il teorema della

media

u(x + α, y + β) − u(x, y) = ux(x1, y1)α + uy(x1, y1)β

v(x + α, y + β) − v(x, y) = vx(x2, y2)α + vy(x2, y2)β

con (x1, y1) e (x2, y2) punti opportuni nel rettangolo di vertici (x, y), (x+α, y), (x, y+β),

(x + α, y + β).

Quando α e β tendono a zero sia (x1, y1) che (x2, y2) tendono ad (x, y).

Usando le condizioni di Cauchy–Riemann scriviamo

f(z + h) − f(z) = [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)]α + [uy(x1, y1) + ivy(x2, y2)]β

= [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)]α + [−vx(x1, y1) + iux(x2, y2)]β

= [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)]α + i[ux(x2, y2) + ivx(x1, y1)]β

= [ux(x1, y1) + ivx(x2, y2)](α + iβ)

+i [ux(x2, y2) − ux(x1, y1)] + i[vx(x1, y1) − vx(x2, y2)]β .

27


Essendo β = Imh, vale |β/h| < 1 e inoltre la parentesi graffa tende a zero per h → 0

perché, per ipotesi, le funzioni u e v sono di classe C 1. La parentesi quadra tende a

[ux(x, y) + ivx(x, y)] così che

f ′(z) = limh→0

f(z + h) − f(z)

h= [ux(x, y) + ivx(x, y)] .

Ciò prova l’esistenza della derivata in ciascun punto. Inoltre, da questa formula si vede

che f ′(z) è continua perché sia ux(x, y) che vx(x, y) sono funzioni continue.

Le funzioni f(z) che sono derivabili con continuità su una regione Ω si chiamano

funzioni olomorfe.

E’ bene dire che il requisito della continuità nella definizione precedente potrebbe

rimuoversi, grazie al seguente risultato, che non proviamo:

Teorema 1.10. se la funzione continua f(z) è derivabile in ciascun punto della

regione Ω allora la sua derivata f ′(z) è continua.

Introduciamo infine due notazioni. L’uguaglianza 1.10 suggerisce di introdurre la

notazione ∂/∂z, definita da

∂

∂zf(z) =

12

[∂

∂x− i

∂

∂y

]f(x + iy) =

12

[∂f

∂x− i

∂f

∂y

]= f ′(z)

mentre le condizioni di Cauchy–Riemann 1.9 suggeriscono l’introduzione della

notazione ∂/∂z, definita da

∂

∂zf(z) =

12

[∂

∂x+ i

∂

∂y

]f(x+iy) =

12

[∂

∂xf + i

∂

∂yf

]=

12[ux+ivx+iuy−vy] .

E quindi le condizioni di Cauchy–Riemann si scrivono

∂

∂zf(z) = 0 .

Notiamo due conseguenze immediate delle condizioni di Cauchy–Riemann:

Teorema 1.11. Sia f(z) una funzione olomorfa su una regione Ω. Supponiamo

inoltre che essa prenda valori reali. Allora, essa è costante.

28


DIMOSTRAZIONE

Se la funzione prende valori reali allora v(x, y) è identicamente zero e quindi u x(x, y)

ed uy(x, y) sono identicamente nulle su Ω per le condizioni di Cauchy–Riemann e

quindi anche u(x, y) è costante.

Lemma 1.12. Sia f(z) olomorfa su un disco D su cui |f(z)| è costante. Allora f(z)

stessa è costante su D.

DIMOSTRAZIONE

Per ipotesi, su D vale

|f(x + iy)|2 = |u(x, y) + iv(x, y)|2 = u2(x, y) + v2(x, y) = c .

Proviamo che f(z) stessa è costante. Questo è ovvio se c = 0. Sia quindi c > 0.

Derivando e usando le condizioni di Cauchy–Riemann si trova

0 = 2[uux + vvx] = 2[uux − vuy] , 0 = 2[uuy + vvy ] = 2[uuy + vux] .

Moltiplicando la prima per u e la seconda per v e sommando si trova

0 = (u2 + v2)ux = cux

e quindi ux = 0, perché c > 0. In modo analogo si vede che uy = 0 e quindi u è

costante. Dalle condizioni di Cauchy–Riemann segue che anche v è costante.

1.5.1 Esempi di funzioni olomorfe e formule di derivazione

Dal teorema 1.11, le funzioni

z → e z , z → Im z , z → |z| , z → Argz

non sono olomorfe. Abbiamo già notato che l’ultima non è nemmeno continua

sull’asse reale negativo; e, è del tutto ovvio che una funzione olomorfa è continua.

La dimostrazione è la stessa come per le funzioni di variabile reale. Dunque in

particolare log z non è olomorfa in una regione che interseca l’asse reale negativo.

29


Inoltre, le usuali regole di derivazione della somma, del prodotto, del quoziente e

della funzione composta valgono anche per funzioni di variabile complessa, con

le medesime dimostrazioni come nel caso delle funzioni di una variabile reale. Di

conseguenza, dato che f(z) = z è ovviamente derivabile, con derivata uguale ad 1, i

polinomi sono funzioni olomorfe e, al di fuori dei poli, sono anche funzioni olomorfe

le funzioni razionali.

Mostriamo:

Teorema 1.13. La funzione z → ez è olomorfa su C e coincide con la sua funzione

derivata.

DIMOSTRAZIONE

Infatti,ez = ex+iy = [ex cos y] + i[ex sin y] .

Dunque, per questa funzione,

u(x, y) = [ex cos y] , v(x, y) = [ex sin y] .

E’ immediato verificare che queste funzioni sono di classe C 1 su C, e verificano le

condizioni di Cauchy–Riemann.

Dalla 1.10 si trova immediatamente che la derivata di e z è

ux(x, y) + ivx(x, y) = ex cos y + iex sin y = ez .

Di conseguenza, grazie alle formule di Eulero, le funzioni trigonometriche sono

olomorfe e si vede facilmente che per esse valgono le usuali regole di derivazione,

come nel caso reale.

Si è notato che la funzione Log z non è continua e quindi nemmeno olomorfa su C, e

ciò mostra che è necessaria una certa cautela nel derivare funzioni inverse. Se però si

sa “a priori” che g(z) è la funzione inversa della funzione olomorfa f(z) e che g(z)

stessa è olomorfa, allora si può applicare la regola della derivazione della funzione

composta all’uguaglianza

f(g(z)) = 1

30


e trovare per g ′(z) l’usuale formula,

g′(z) = 1/f ′(g(z)) . 1.11

Torneremo su questo problema al paragrafo 1.5.3.

Studiamo ora le determinazioni di log z, usando direttamente le condizioni di Cauchy–

Riemann. Più avanti ritroveremo questi stessi risultati in modo meno diretto, ma più veloce

e più generale.

Il fatto che le funzioni logaritmo e radice non siano continue su C, non vieta che esse siano

olomorfe su regioni più piccole. Per capire se ciò accade, conviene scrivere le condizioni di

Cauchy–Riemann in coordinate polari. Notiamo prima di tutto che se

x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ,

derivando la seconda rispetto ad x si trova

0 = ρx sin θ + ρ(cos θ)θx

e quindi

θx = −ρx

ρ

sin θ

cos θ= −ρx

ρ

y

x= − x

ρ2

y

x= − y

ρ2. 1.12

Infatti si calcola immediatamente, da ρ =p

x2 + y2,

ρx =x

ρ, ρy =

y

ρ.

In modo analogo si vede che

θy =x

ρ2. 1.13

Osservazione 1.14. Per la validità di queste formule si richiede ρ = 0. Noi le abbiamo

provate supponendo anche cos θ = 0, sin θ = 0 ma questa condizione immediatamente si

rimuove. Infatti, studiando lo jacobiano della trasformazione (ρ, θ) → (x, y) si vede che

questo non si annulla per ρ = 0 e quindi ρ(x, y) e θ(x, y) sono di classe C1 sul piano (x, y)

privato dell’origine; e quindi ivi si estendono per continuità le formule che abbiamo trovato.

Sia ora

f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Sia U(ρ, θ) la funzione che nel punto (ρ, θ) prende come valore u(ρ cos θ, ρ sin θ). In modo

analogo definiamo V (ρ, θ). E’ immediato notare che U e V sono di classe C1, nelle variabili ρ

e θ, se e solo se rispettivamente u e v sono di classe C1 nelle variabili x ed y. Inoltre,

31


Uρ = ux cos θ + uy sin θ .

Se valgono le condizioni di Cauchy–Riemann,

Uρ = vy cos θ − vx sin θ .

Analogamente,

Vθ = −vxρ sin θ + vyρ cos θ .

Si intende che le funzioni u e v sono calcolate nel punto x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

Dunque, se le condizioni di Cauchy–Riemann valgono, si ha anche

ρUρ = Vθ e analogamente ρVρ = −Uθ . 1.14

Viceversa, le 1.14 implicano le condizioni di Cauchy–Riemann. Infatti,

ux = Uρx

ρ− Uθ

y

ρ2

vy = Vρy

ρ+ Vθ

x

ρ2= −1

ρUθ

y

ρ+ ρUρ

x

ρ2

da cui

ux = vy e analogamente uy = −vx .

Introduciamo ora

F (ρ, θ) = U(ρ, θ) + iV (ρ, θ) .

Con questa notazione, le 1.14 valgono se e solo se

iρFρ = Fθ . 1.15Usiamo 1.15 per studiare la funzione

f(z) =√

ρ[cos θ/2 + i sin θ/2]

nella regione

ρ > 0 , −π ≤ θ < π . 1.16

E’ ovvio che la funzione, come funzione delle due variabili reali ρ e θ, equivalentemente x ed

y, è di classe C1. Si vede che è olomorfa notando che su questa regione vale la condizione 1.15.

Analogo discorso vale per ogni determinazione di z1/n.

In modo analogo si tratta la funzione

f(z) = log |z| + iArg z + 2kπi ,

32


con k fissato, ancora sulla regione 1.16. Applicando il teorema della funzione implicita alle

relazioni

x = ρ cos θ , y = ρ sin θ

valide per ρ > 0 e −π ≤ θ < π, si vede che la funzione (ρ, θ), come funzione di x e di y, è di

classe C1 e quindi lo stesso vale per ciascuna funzione log |z|+iArg z+2kπi, in −π < θ < π.

Un calcolo immediato mostra che la condizione 1.15 è soddisfatta e quindi mostra che ciascuna

delle funzioni log z è olomorfa.

Usando la 1.11 si vede ora che ciascuna delle determinazioni della funzione log z, letta su su

π < Argz < π, ha per derivata 1/z, per ogni z nella regione 1.16. Infatti,

eLog z+2kπi = z

e quindi

1 = eLog z+2kπi ddz

(Log z + 2kπi) =ddz

(Log z + 2kπi) z ,

ddz

(Log z + 2kπi) =1

z.

Osserviamo ora un fatto imbarazzante: θ = −π non ha una relazione intrinseca con le funzioni

logaritmo (e nemmeno con le radici), ma solo dipende dalla nostra scelta per l’argomento

principale. Avessimo scelto per esempio 0 ≤ θ < 2π avremmo trovato funzioni olomorfe

nel piano privato dell’asse reale positivo; avessimo scelto π/2 ≤ θ < 5π/2 avremmo trovato

funzioni olomorfe ovunque, salvo che sull’asse immaginario positivo.

Più avanti diremo qualcosa di più su questo problema. Per ora limitiamoci a notare ciò.

1.5.2 Osservazione sui “teoremi fondamentali del calcolo differenziale”

Nella teoria delle funzioni di una variabile reale, si chiamano “teoremi fondamentali

del calcolo differenziale” varie formulazioni del teorema di Rolle: sia f(x) continua

per x ∈ [a, b], a valori in R e tale che f(a) = f(b) = 0. Sia inoltre f(x) derivabile in

ciascun punto di (a, b). Esiste un punto c ∈ (a, b) nel quale la derivata si annulla.

In particolare una funzione da R in sé, derivabile e periodica, ha derivata nulla in

infiniti punti.

E’ importante notare che asserti analoghi non valgono per le funzioni olomorfe.

33


Esempio 1.15. La funzione f(z) = ez è olomorfa e periodica. Si è visto che la sua

derivata è

f ′(z) = ez

mai nulla.

E’ importante discutere la ragione di ciò. Ricordiamo che la dimostrazione del

teorema di Rolle si basa sul teorema di Fermat, che a sua volta dipende dalla regola

dei segni: il prodotto di numeri di segno concorde è positivo. Noi non abbiamo

introdotto una relazione d’ordine tra i numeri complessi. E’ però possibile introdurne

infinite. Per esempio si può introdurre l’ordinamento lessicografico: x + iy viene

prima di x′ + iy′ se x < x′ oppure se x = x′ ma y < y′. In questo modo i numeri

“positivi”, ossia maggiori di 0, sono quelli di parte reale strettamente positiva oppure

quelli con la parte reale nulla e parte immaginaria positiva. Queste proprietà non sono

conservate facendo il prodotto. Per esempio, i · i = −1. In generale, la regola dei

segni non vale tra i numeri complessi, qualsiasi sia la relazione d’ordine che si

voglia usare.

E’ appena il caso di notare che i problemi che si incontrano con la continuità e la

derivabilità della funzione inversa hanno un’origine analoga. Si ricordi infatti che

il teorema della funzione monotona interviene (in modo alquanto nascosto) nella

dimostrazione della derivabilità della funzione inversa di una funzione da R in sé.

1.5.3 La matrice jacobiana e le funzioni olomorfe

Siano u(x, y) e v(x, y) rispettivamente la parte reale ed immaginaria di una funzione

olomorfa f(z). La funzione (x, y) → (u(x, y), v(x, y)) è una trasformazione da R 2

in sé, la cui matrice jacobiana è

J =

ux(x, y) uy(x, y)

vx(x, y) vy(x, y)

=

ux(x, y) uy(x, y)

−uy(x, y) ux(x, y)

e quindi lo jacobiano è

u2x(x, y) + u2

y(x, y) .

34


Dunque:

Teorema 1.16. Sia f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione olomorfa. Lo

jacobiano è non nullo in un punto (x, y) se e solo se f ′(x + iy) = 0. In tale punto lo

jacobiano è positivo.

Si ricordi che lo jacobiano è positivo quando la trasformazione a cui esso corrisponde

conserva l’orientazione di R2; equivalentemente, quando l’area orientata di un

triangolo ha il medesimo segno prima e dopo la trasformazione.

Possiamo ora esaminare nuovamente il problema della derivazione della funzione

inversa di una funzione olomorfa.

Teorema 1.17. Sia f(z) olomorfa su una regione Ω, e con derivata non nulla. La

funzione è localmente invertibile e la sua inversa è olomorfa.

DIMOSTRAZIONE

Sia

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Si è appena visto che lo jacobiano della trasformazione di classe C 1 su R2

(x, y) → (u(x, y), v(x, y))

non si annulla e quindi la trasformazione è localmente invertibile. Inoltre, la

trasformazione inversa, che indichiamo col simbolo

(u, v) → (x(u, v), y(u, v)) ,

è di classe C1.

Si è visto che la matrice jacobiana della trasformazione è

J =

24 ux(x, y) uy(x, y)


35

e si vede immediatamente che

J ′J =

24 u2

x + u2y 0

0 u2x + u2

y

35

35


così che

J−1 =1

u2x + u2

y

J =1

u2x + u2

y

24 ux(x, y) uy(x, y)


35 .

D’altra parte, J−1 calcolato nel punto (u, v) che proviene da (x, y) è24 xu(u, v) xv(u, v)

yu(u, v) yv(u, v)

35

così che

xu = yv , yu = −xv ,

ossia la trasformazione (u, v) → (x(u, v), y(u, v)) è di classe C 1 e verifica le condizioni

di Cauchy–Riemann. Per il teorema 1.9, la funzione

g(u + iv) = x(u, v) + iy(u, v) ,

inversa della funzione f(x + iy), è olomorfa.

Esempio 1.18. La funzione f(z) = ez è olomorfa e si è visto che la sua derivata

è ancora ez e quindi non si annulla. Fissiamo un punto z0 ed il valore ez0 . Il

teorema 1.17 afferma che esistono un intorno U di z0 ed un introno V di ez0 ed

un’unica funzione g(z) definita su V a valori in U , tale che e g(z) = z. Dunque,

g(z) è una delle determinazioni della funzione log z. Per esempio, se z0 = 0 e

quindi ez0 = 1 allora g(z) = Log z; se z0 = 2πi e quindi ancora ez0 = 1,

g(z) = Log z + 2πi. Inoltre, sempre dal teorema 1.17, la funzione inversa g(z)

è olomorfa e, dalla formula 1.11, per ogni determinazione del logaritmo, ossia per

ogni k,

ddz

(Log z + 2kπi) =1z

.

Si ritrova quindi quanto già visto al paragrafo 1.5.1: tutte le determinazioni della

funzione log z sono derivabili, con derivata 1/z.

Osservazione 1.19. Con riferimento all’esempio 1.18, sia z0 = i. In questo

caso, ez0 = −1 e si è visto che esiste una funzione olomorfa g(z) tale che

36


eg(z) = z, definita in un intorno di −1. Questa funzione quindi differisce da ciascuna

delle funzioni Log z + 2kπi, che sono discontinue sull’asse reale negativo. Questa

“stranezza” verrà chiarita al paragrafo 1.9.3 e all’esempio 1.58.

1.5.4 Serie di potenze e serie di Laurent

Abbiamo visto fino ad ora degli esempi particolari di funzioni olomorfe. Una classe

di funzioni olomorfe è offerta dalle serie di potenze

f(z) =+∞∑n=0

an(z − z0)n . 1.17

Una funzione siffatta è sempre definita in z0 e, può essere, in nessun altro punto. In

tal caso ovviamente essa non è una funzione olomorfa. Vale però:

Teorema 1.20 (di Abel). Se la serie 1.17 converge in un punto z1 = z0 allora essa

converge in ogni punto z tale che

|z − z0| < |z1 − z0|

DIMOSTRAZIONE

Per semplicità di notazioni, sia z0 = 0. Per provare la convergenza di una serie di

numeri complessi, è sufficiente provare la convergenza della serie dei moduli. Sia

allora |z| < |z1| e studiamo la serie (di numeri positivi)

+∞Xn=0

|anzn| =+∞Xn=0

|an| |z|n .

Dato che |z| < |z1| (disuguaglianza stretta) esiste r tale che

|z| < r < |z1| ossia|z||z1|

<r

|z1|= q ∈ (0, 1).

Dunque,

+∞Xn=0

|an||z|n ≤+∞Xn=0

(|an| |z1|n)

˛˛ z

z1

˛˛n

≤+∞Xn=0

(|an| |z1|n) qn .

La serieP+∞

n=0 |an| |z1|n per ipotesi converge e quindi il suo termine generale tende a

zero. In particolare, esiste M tale che

|an| |z1|n < M

37


e quindi+∞Xn=0

|an| |z|n ≤ M

+∞Xn=0

qn < +∞ .

Di conseguenza,

z |+∞∑n=0

an(z − z0)n converge

è un disco centrato in z0 (che potrebbe essere ridotto al solo punto z0, o essere tutto

il piano complesso). Il suo interno si dice disco di convergenza della serie, e il suo

raggio R, 0 ≤ R ≤ +∞ si dice raggio di convergenza.

Esaminando la dimostrazione del teorema 1.20 si vede che in realtà abbiamo provato

un risultato molto più forte:

Teorema 1.21 (di Abel). Il raggio di convergenza R di una serie di potenze sia

strettamente positivo. In questo caso la serie converge assolutamente in ogni punto

interno al disco di convergenza, e converge uniformemente in ogni compatto contenuto

nel disco di convergenza. In particolare, la somma della serie è una funzione continua

nel disco di convergenza.

Se z è tale che |z − z0| > R la serie non converge in z.

Vedremo (al paragrafo 1.15.) che questo teorema implica:

Teorema 1.22. Il raggio di convergenza di una serie di potenze sia strettamente

positivo. La serie di potenze definisce una funzione olomorfa nel disco di convergenza.

Il raggio di convergenza di una serie di potenze si calcola facendo uso delle stesse

formule che sono note per le serie di potenze reali: se i coefficienti an non sono mai

nulli e se esiste

lim|an|

|an+1|

allora questo limite, finito o meno, è uguale al raggio di convergenza.

In generale, il raggio di convergenza si può calcolare con la seguente formula di

Hadamard:

1R

= lim sup n√|an| ,

38


la cui dimostrazione è posposta.

Si noti che nella formula di Hadamard si usano le “regole” 1/0 = +∞, 1/(+∞) = 0.

La formula di Hadamard ha una conseguenza importante. Dato che

lim n√

n = 1 ,

le due serie

+∞∑n=0

an(z − z0)n ,

+∞∑n=0

nan(z − z0)n−1

hanno il medesimo raggio di convergenza. Dunque, quando R > 0, si pone il

problema di sapere se la seconda serie rappresenti la derivata della prima. La risposta

è affermativa, perché vale il teorema seguente, che verrà provato al paragrafo 1.15.

Teorema 1.23. Sia f(z) =∑+∞

n=0 an(z−z0)n e sia positivo il raggio di convergenza

della serie. Allora, in ogni punto del disco di convergenza, vale

f ′(z) =+∞∑n=0

nan(z − z0)n−1 .

La ragione per cui non proviamo ora i due teoremi 1.22 e 1.23 è che, più avanti,

proveremo un risultato molto più generale, di cui essi possono considerarsi dei

corollari.

Più in generale si chiamano serie di Laurent le serie di potenze con esponenti interi

sia positivi che negativi, ossia le serie della forma

+∞∑n=−∞

an(z − z0)n ,

ovviamente mai definite per z = z0. Per definizione, la somma della serie di Laurent

è la somma delle due serie di potenze una in z e l’altra in 1/z,

+∞∑n=−∞

an(z − z0)n =−1∑

n=−∞an(z − z0)n +

+∞∑n=0

an(z − z0)n

e quindi le proprietà delle serie di Laurent discendono immediatamente da quelle delle

serie di potenze. La serie di potenze positive di 1/(z−z0) converge per |1/(z−z0)| <

r ossia per |z − z0| > 1/r = r, la serie di potenze positive di (z − z0) converge per

39


|z−z0| < R; e quindi la serie di Laurent converge se r ≤ R. Se r < R chiameremo

corona di convergenza la corona circolare

r < |z − z0| < R .

In tale corona la serie converge assolutamente, e converge uniformemente nei

compatti in essa contenuti.

Inoltre:

Teorema 1.24. La somma di una serie di Laurent è olomorfa nella corona di

convergenza e

ddz

+∞∑n=−∞

an(z − z0)n =+∞∑

n=−∞nan(z − z0)n−1 .

Dimostrazione della formula di Hadamard.

Per semplicità di notazioni sia z0 = 0 e sia

α = lim sup n√|an| .

Studiamo prima di tutto il caso α = +∞. Mostriamo che in questo caso il raggio di

convergenza è nullo. Sia z = 0 e scegliamo β ∈ (0, |z|). Scegliamo un qualsiasi k

tale che kβ > 1 e notiamo che, per infiniti n, vale

n√|an| > k e quindi |anzn| > (kβ)n .

La serie di potenze quindi non converge.

Consideriamo ora il caso in cui

lim sup n√

|an| = α ∈ (0, +∞) .

Sia z un numero per cui

|z| >1α

.

Vogliamo provare che la serie di potenze non converge in z. Ciò implicherà che il

raggio di convergenza non supera 1/α.

Sia r un numero tale che

1α

< r < |z| .

40


Da (1/r) < α segue che per infiniti indici vale

1r

< n√|an|

e quindi

|z|nrn

< |anzn| .

Essendo |z| > r si ha

lim sup |anzn| = +∞

e la serie non converge.

Dunque, R ≤ 1/α.

Se α = 0 è ancora vero che R < 1/α, pur di intendere 1/α = +∞.

Ricapitolando, a questo punto sappiamo che

R ≤ 1α

, intendendo

1∞ = 010 = ∞ .

Proviamo la disuguaglianza opposta.

Consideriamo ancora prima di tutto il caso α > 0 e sia |z| < 1/α. Proviamo che in

tal caso la serie converge. Se α = +∞ allora z = 0 e niente va provato. Sia quindi

0 < α < +∞.

Essendo |z| < 1/α, avremo

|z| =c

α, |anzn| = |an|

cn

αncon 0 ≤ c < 1 .

Sia ε > 0. Esiste Nε tale che per n > Nε si ha

n√|an| < α + ε 1.18

e quindi

|anzn| =|an|αn

cn <(1 +

ε

α

)n

cn .

A questa disuguaglianza si arriva per ogni ε > 0. Essendo c ∈ (0, 1), si può scegliere

ε tale che

(1 +

ε

α

)c < 1 .

41


In questo modo si vede che i termini della serie di potenze sono dominati da quelli di

una serie numerica convergente, e quindi la serie

+∞∑n=0

anzn

converge.

Consideriamo infine il caso α = 0 e z qualsiasi. In questo caso la 1.18 vale con α = 0.

Si sia scelto ε tale che ε|z| = c < 1. Si ha

|anzn| < cn

e ancora la convergenza della serie di potenze segue per confronto con la serie

geometrica.

In ambedue i casi R ≥ 1/α e quindi l’uguaglianza.

1.6. FUNZIONI OLOMORFE E TRASFORMAZIONI CONFORMI

Sia (x, y) → (u(x, y), v(x, y)) una trasformazione di classe C 1. Conviene spesso

rappresentarla mediante la notazione complessa, associando alla coppia (x, y) il

numero complesso z = x + iy e introducendo w = u + iv, così che la trasformazione

si rappresenta anche come

w = f(z) .

Conviene vedere questa funzione come trasformazione dal piano della variabile z al

piano della variabile w.

Supponiamo che il dominio di f(z) sia una regione Ω.

Siano γ e γ due curve in Ω, parametrizzate da

z = z(t) , z = z(t) ,

con t ∈ [a, b] in ambedue i casi (si sa che questa condizione non è restrittiva).

Supponiamo che le due curve si intersechino in un punto in cui le due

parametrizzazioni sono derivabili, ossia che per un valore t 0 ∈ (a, b) valga

z(t0) = z(t0) = z0 = x0 + iy0 .

42


Le due rette

z = z0 + z′(t0)(t − t0) , z = z0 + z′(t0)(t − t0)

sono, per definizione, le rette tangenti alle due curve nel punto di intersezione. Per

“angolo tra le due curve” si intende quello formato dalle loro tangenti nel punto

comune. Facendo uso della notazione dei numeri complessi, è facile esprimere tale

angolo: questo è l’angolo tra i vettori rappresentati da z ′(t0) e z′(t0). Questo è, per

definizione, l’argomento del quoziente dei numeri complessi corrispondenti,

Argz′(t0)z′(t0)

.

Indichiamo ora con γf la curva immagine di γ mediante la trasformazione f , ossia la

curva

γf : w = f(z(t)) t ∈ [a, b] .

Analoga notazione usiamo per la trasformata mediante f di γ. Supponendo che la

funzione f(z) sia olomorfa e che f ′(z0) sia diversa da zero, è possibile calcolare

l’angolo tra γf e γf ,

Argf ′(z0)z′(t0)f ′(z0)z′(t0)

= Argz′(t0)z′(t0)

.

Abbiamo così provato che

Teorema 1.25. Una funzione olomorfa conserva l’angolo tra le curve nei punti nei

quali la sua derivata non si annulla.

Una trasformazione da una regione di R2 che conserva gli angoli si dice conforme e

quindi

Teorema 1.26. Se f(z) è olomorfa su Ω, e se la sua derivata non si annulla, essa

definisce una trasformazione conforme su Ω.

43


−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

20

1

2

3

4

5

6

7

8

−6−4

−20

24

6

−1

−0.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fig. 1.2. A sinistra |z2|, a destra | cos z|. Le linee sono le immagini di una griglia

x = cost, y = cost.

Abbiamo già notato che se u(x, y), v(x, y) sono parti reali ed immaginarie di una

funzione olomorfa f(x + iy) allora lo jacobiano della trasformazione è u 2x(x, y) +

u2y(x, y), strettamente positivo se f ′(z) non si annulla.

Dunque, una funzione olomorfa la cui derivata non si annulla su Ω definisce

una trasformazione conforme che inoltre conserva l’orientazione. Un esempio di

trasformazione conforme che non conserva l’orientazione è la trasformazione z → z.

Le trasformazioni conformi che conservano l’orientazione si chiamano anche

trasformazioni conformi dirette.

1.6.1 La rappresentazione delle funzioni olomorfe

Accenniamo ora a come rappresentare graficamente le funzioni olomorfe. Il grafico

naturalmente non serve, perché il grafico è un insieme di R 4. E’ però possibile

rappresentare il grafico di z → |f(z)|, che è in R3 e spesso su tale grafico si disegnano

le linee

Arg f(z) = cost

oppure l’immagine di una famiglia di linee del piano della variabile z. Le figure che

seguono mostrano alcuni esempi.

Un altro metodo consiste nel tracciare una famiglia di linee sul piano z e le loro

immagini sul piano w, o viceversa una famiglia di linee sul piano w e le loro

44


−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

4

5

−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.5

00.5

10.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Fig. 1.3. A sinistra |Logz|, a destra | sin z|. Le linee sono le immagini di una griglia

r = cost, θ = cost.

controimmagini sul piano z. Il caso della funzione f(z) = z 2/10 è mostrato nella

figura 1.4.

La figura 1.4 mostra una griglia di rette e semirette mutuamente ortogonali nel piano

Im z > 0. Queste si trasformano in due famiglie di parabole, mutuamente ortogonali,

dato che f ′(z) = 2z = 0. Queste parabole riempiono tutto il piano w.

La circonferenza

eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π

sotto l’azione di f(z) = z2 è ancora una circonferenza,

eiθ , 0 ≤ θ ≤ 4π ,

che però è percorsa due volte, anche se ovviamente ciò non può vedersi dalla figura.

Se però si rappresenta l’immagine di una circonferenza centrata nel punto (0, 1/5),

come in figura 1.5 si vede immediatamente che l’immagine è una curva non semplice,

che gira due volte intorno all’origine.

Pensiamo ora di disegnare l’immagine di una famiglia di circonferenze di centro

(0, 0) mediante le funzioni f(z) = z e g(z) = 1/z. Si trova ancora una famiglia

di circonferenze col medesimo centro, e da questo punto di vista le due funzioni

sembrano indistinguibili. Però, f(z) = z trasforma la regione interna di una

circonferenza nella regione interna della circonferenza corrispondente mentre g(z)

la trasforma nella regione esterna.

45


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

16

Fig. 1.4. Immagine di rette, sotto l’azione di f(z) = z 2/10.

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 1.5.

46


−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2N

Fig. 1.6.

Analoga osservazione può farsi, per esempio, per le funzioni e z ed e−z e ciò

suggerisce di considerare la regione esterna ad un disco come “intorno di ∞”. Tec-

nicamente, di sostituire il piano complesso con la corrispondente compattificazione

di Alexandrov. Un modo comodo di fare ciò consiste nel considerare una sfera il cui

polo SUD tocca R2 (insieme di partenza della funzione) in (0, 0). Il polo NORD viene

ad avere il ruolo di ∞. Il piano R2 si rappresenta sulla sfera, mediante la proiezione

stereografica, dal polo NORD. La corrispondenza ottenuta è bicontinua tra il piano e

la sfera privata del polo NORD e la sfera stessa, usata in questo modo, si chiama sfera

di Riemann, si veda la figura 1.6.

La funzioni da C in sé possono quindi rappresentarsi anche come funzioni da C nella

sfera o dalla sfera in sé.

1.7. INTEGRALE DI CURVA DI FUNZIONI OLOMORFE

Ricordiamo che col termine curva intenderemo sempre un arco regolare a tratti a valori

in R2, ossia una funzione continua t → z(t) = x(t) + iy(t) definita per t ∈ [a, b],

ovunque derivabile salvo un numero finito di punti. In tali punti, e negli estremi a e

47


b, richiederemo l’esistenza dei limiti direzionali della derivata. Richiederemo inoltre

che

|z′(t)| = 0 ,

salvo al più in un numero finito di punti.

Introduciamo la notazione

∫γ

f dz. 1.19

Se f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), e se γ è parametrizzata da

z(t) = x(t) + iy(t) ,

definiamo∫γ

f dz =∫ b

a

f(z(t))z′(t) dt =∫ b

a

[u(x(t), y(t))+ iv(x(t), y(t))][x′(t)+ iv′(t)] dt .

Sviluppando i calcoli si trova∫γ

f dz =∫ b

a

[u(x(t), y(t))x′(t) − v(x(t), y(t))y′(t)] dt +

i

∫ b

a

[u(x(t), y(t))y′(t) + v(x(t), y(t))x′(t)] dt

=∫

γ

u dx − v dy + i

∫γ

v dx + u dy .

Si trova quindi ∫γ

f dz =∫

γ

u dx − v dy + i

∫γ

v dx + u dy ,

la somma di due integrali di forme differenziali.

Osservazione 1.27. Alla stessa espressione si perviene definendo l’integrale come

limite delle somme di Riemann

n∑i=0

f(z(ti))z′(ti)(ti+1 − ti) .

Omettiamo i dettagli della dimostrazione.

48


E’ noto che gli integrali delle forme differenziali non mutano cambiando la

parametrizzazione di γ; cambiano segno cambiando il verso di percorrenza su

γ. Dunque queste stesse proprietà valgono per l’integrale 1.19.

Proviamo ora:

Lemma 1.28. Sia φ(t), t ∈ [a, b], una funzione continua a valori complessi. Vale:∣∣∣∣∣∫ b

a

φ(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|φ(t)| dt .

DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con z0 il numero

z0 =

Z b

a

φ(t) dt .

Si sa che

|z0| =z0z0

|z0|

e quindi

˛˛Z b

a

φ(t) dt

˛˛ = |z0| =

z0

|z0|z0 =

Z b

a

z0

|z0|φ(t) dt .

La funzione t → z0|z0|

φ(t) è ancora una funzione a valori complessi, ma l’uguaglianza

precedente mostra che il suo integrale è reale. Dunque, l’integrale della sua parte

immaginaria è nullo e quindi˛˛Z b

a

φ(t) dt

˛˛ =

Z b

a

e

z0

|z0|φ(t)

ffdt

≤Z b

a

˛˛ z0

|z0|φ(t)

˛˛ dt =

Z b

a

|φ(t)| dt .

Osservazione 1.29. La disuguaglianza precedente vale perché stiamo consideran-

do l’integrale su un segmento dell’asse reale. Non ha invece alcun senso scrivere∣∣∣∫γ f(z) dz∣∣∣ ≤

∫γ|f(z)| dz, con γ generica curva. Infatti in tal caso l’integrale

a destra prende valori complessi anche se l’integrando è reale. La formula che

sostituisce la disuguaglianza sbagliata precedente è data dal prossimo teorema.

49


Ricordiamo ora che

Lγ =∫ b

a

|z′(t)| dt

è per definizione la lunghezza della curva regolare a tratti γ : z = z(t), t ∈ [a, b]. Dal

lemma precedente segue:

Teorema 1.30. Sia γ : z = z(t), t ∈ [a, b] una curva regolare a tratti e sia f(z) una

funzione da C in C, continua sul sostegno della curva γ. Sia M tale che

|f(z(t))| ≤ M , t ∈ [a, b] .

Vale: ∣∣∣∣∫

γ

f(z) dz

∣∣∣∣ ≤ MLγ .

DIMOSTRAZIONE

Si applichi il Lemma 1.28 alla funzione f(z(t))z ′(t). Si trova˛˛Z

γ

f(z(t))z′(t) dt

˛˛ ≤

Z b

a

|f(z(t))| |z′(t)|dt ≤ MLγ .

1.8. IL TEOREMA DI CAUCHY

Ricordiamo che se u(x, y) e v(x, y) sono funzioni di classe C 1, allora la funzione

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

è olomorfa quando valgono le condizioni di Cauchy–Riemann, ossia quando

ux = vy , uy = −vx .

Si sa che queste sono le condizioni perché siano chiuse le forme differenziali

v dx + u dy , u dx − v dy

e ciò suggerisce di applicare alle funzioni olomorfe la teoria, nota, delle forme

differenziali.

50


Sia γ una curva semplice e chiusa contenuta in una regione di Jordan Ω. Usando la

formula di Green si trova:

Teorema 1.31 (di Cauchy). Sia f(z) olomorfa in una regione di Jordan Ω e sia γ

una curva semplice e chiusa in Ω. Vale∫γ

f(z) dz = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Dalla formula di Green si vede cheZγ

f dz = −Z

Ωγ

[vx + uy] dx dy + i

ZΩγ

[ux − vy ] dx dy .

Le condizioni di Cauchy–Riemann mostrano che ambedue gli integrali su Ω γ sono

nulli.

Osservazione 1.32. Notiamo:

– Se due curve γ ed η hanno le proprietà che giustificano la formula 1.6, la

formula 1.6 implica che ∫γ

f(z) dz =∫

η

f(z) dz . 1.20

– il teorema 1.31 può provarsi senza fare uso di risultati relativi alle forme

differenziali, e nella sola ipotesi che f(z) sia derivabile in ciascun punto di

Ω; ossia, le ipotesi di continuità delle derivate possono rimuoversi.

Vediamo infine un esempio di calcolo di integrale.

Esempio 1.33. Sia f(z) = (z − z0)n e sia γ la circonferenza

γ : z(t) = z0 + eit , t ∈ [0, 2kπ] .

Il numero k è intero positivo. Si osservi che la circonferenza è orientata positivamente

e che essa è semplice solo quando k = 1.

51


Si ha: ∫γ

(z − z0)n dz =∫ 2kπ

0

eintieit dt = i

∫ 2kπ

0

ei(n+1)t dt

= i

∫ 2kπ

0

[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt .

Se n = −1 si vede che l’integrale vale 2π. Altrimenti si vede che l’integrale vale 0,

sia per n ≥ 0 che per n < −1.

Se k = 1 l’uguaglianza a zero dell’integrale segue dal teorema di Cauchy 1.31 quando

n ≥ 0. Il fatto che l’integrale sia nullo anche per n ≤ −2 mostra che la condizione

del teorema 1.31 è solo sufficiente.

Se n = −1, ossia quando si integra la funzione 1/(z − z0), si trova

12πi

∫γ

1z − z0

dz = k ,

numero dei giri che la circonferenza fa intorno all’origine. Si chiama questo l’indice

della circonferenza rispetto al suo centro. Vedremo in seguito come generalizzare

quest’osservazione.

1.9. PRIMITIVE

Sia f(z) una funzione da C in C, definita su una regione Ω. NON si richiede che la

regione Ω sia di Jordan. Si chiama primitiva di f(z) una funzione F (z), anch’essa

definita su Ω, e tale che

F ′(z) = f(z) ∀z ∈ Ω .

Ovviamente

Teorema 1.34. Se la funzione continua f(z) ammette primitiva su Ω e se γ è una

curva chiusa, allora

∫γ

f dz = 0 .

52


In generale, se γ non è chiusa, l’integrale dipende dai soli estremi di γ.

DIMOSTRAZIONE

Basta notare cheZγ

f dz =

Z b

a

f(z(t))z′(t) dt =

Z b

a

F ′(z(t))z′(t) dt

=

Z b

a

ddt

F (z(t)) dt = F (z(b)) − F (z(a)) .

Se la curva è chiusa si ha z(b) = z(a) e l’integrale è nullo. In generale, si vede che

l’integrale dipende dai soli estremi della curva.

Vale anche il viceversa:

Teorema 1.35. Sia f(z) una funzione continua su Ω. Se∫γ

f dz

è nullo su tutte le curve chiuse in Ω allora la funzione f(z) ammette una primitiva.

DIMOSTRAZIONE

Si fissi un punto z0 ∈ Ω. Ogni z ∈ Ω si connette a z0 mediante una poligonale (si ricordi

che Ω è un aperto connesso). Indichiamo con Pz una poligonale che connette z0 con

z e sia

F (z) =

ZPz

f dz .

La funzione F (z) è univoca perché per ipotesi l’integrale non dipende dalla particolare

poligonale scelta per connettere z 0 con z, ma solo dai suoi estremi; e quindi solo da z,

dato che z0 si intende fissato.

Mostriamo che F (z) è derivabile, con derivata f(z).

Per calcolare F (z + h) scegliamo una poligonale che congiunge z 0 con z e

estendiamola a z + h mediante il segmento

z + th , t ∈ [0, 1] .

53


Sia S tale segmento. Allora,

F (z + h) − F (z)

h=

1

h

ZS

f dz =1

h

Z 1

0

f(z + th)h dt =

Z 1

0

f(z + th) dt .

Essendo f(z) continua, il limite dell’ultimo integrale per h → 0 è

F ′(z) =

Z 1

0

f(z) dt = f(z) .

Osservazione 1.36. Si noti che il teorema precedente può dimostrarsi anche

richiedendo che l’integrale di f(z) sia nullo sulle sole poligonali chiuse. E’ sufficiente

per questo che esso sia nullo quando γ è un triangolo.

In particolare, dal teorema di Cauchy si vede che:

Teorema 1.37. Sia f(z) olomorfa su Ω e sia γ una curva in Ω la cui regione interna

Ωγ è contenuta in Ω.

La funzione f(z) ammette primitiva in Ωγ .

Naturalmente, se una primitiva esiste, ne esistono infinite. Vale però:

Teorema 1.38. Se F (z) e G(z) sono definite sulla medesima regione Ω ed hanno

derivata uguale, la loro differenza è costante su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Sia H(z) = F (z) − G(z). Vale H ′(z) = 0 su Ω.

Sia H(z) = U(z)+ iV (z). La condizione H ′(z) = 0 e l’espressione 1.10 per la derivata

mostrano che

Ux = 0 , Vx = 0 .

Dalle condizioni di Cauchy–Riemann si trova anche che

Uy = 0 , Vy = 0

54


e quindi U e V ammettono ambedue le derivate parziali in ciascun punto di Ω, e queste

sono nulle. E quindi le funzioni sono costanti.

Concludiamo con alcune osservazioni.

Osservazione 1.39. Sia f(z) olomorfa su una generica regione Ω. Non è vero che

f(z) debba ammettere primitive su Ω, come mostra l’esempio della funzione f(z) =

1/z. Sia Ω = C − 0. Certamente f(z) ammette primitiva nella regione Ωγ , se γ

non gira intorno all’origine. Ma, se γ gira intorno all’origine, la primitiva non esiste

perchè l’integrale di f(z) su una circonferenza di centro l’origine non è nullo, si veda

l’Esempio 1.33.

Le condizioni del teorema 1.37 sono solamente sufficienti, come mostra il caso della

funzione

f(z) =1zn

, z ∈ C − 0 ,

con n intero maggiore di 1 ed Ω = C − 0 (si veda ancora l’Esempio 1.33). In

questo caso la primitiva esiste ed è

F (z) =1

(1 − n)zn−1.

Ricordiamo ora che la funzione Logz è derivabile, con derivata uguale a 1/z. Si sa

che l’integrale di quest’ultima funzione su una generica curva chiusa γ in C − 0

puó non essere nullo; ma ciò non contraddice il teorema 1.37 perchè la funzione Logz

non è olomorfa su C − 0.

1.9.1 Curve equipotenziali

Sia F (z) una primitiva di f(z) e sia

F (x + iy) = U(x, y) + iV (x, y) , f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) .

Supponiamo inoltre che f(z) non si annulli su Ω.

55


Ricordiamo le formule

F ′(z) = Ux + iVx = −iUy + Vy = u + iv .

Uguagliando F ′(z) af f(z) si trova

∇U = (u,−v) , ∇V = (v, u) 1.21

ossia U e V sono i potenziali rispettivamente dei campi vettoriali

ui− vj , vi + uj .

Consideriamo le curve equipotenziali γ1 e γ2 implicitamente definite da

U(x, y) = c , V (x, y) = d

(usando il teorema delle funzioni implicite si vede che queste equazioni definiscono

implicitamente due curve nell’intorno dei punti (x, y) nei quali F ′(x + iy) = f(x +

iy) = 0).

Non necessariamente queste curve si intersecano. Supponiamo che esse si

intersechino per x = x0 ed y = y0.

Si sa che ∇U(x0, y0) è ortogonale alla γ1 e che ∇V (x0, y0) è ortogonale alla γ2.

Usiamo 1.21 per calcolare il prodotto scalare di questi vettori:

∇U(x0, y0) · ∇V (x0, y0) = 0 ,

ossia, le curve equipotenziali rispettivamente del potenziale U e del potenziale V

sono mutuamente perpendicolari nei punti in cui si intersecano.

1.9.2 Il caso della funzione z → z

L’esempio 1.33 mostra che la funzione f(z) = 1/z non ha primitiva su una regione

di Jordan che contiene 0, dove pero’ non è definita. Questa funzione è olomorfa e

quindi ammette primitiva, uguale a −1/z 2, in qualunque regione di Jordan che non

contiene 0.

E’ naturale chiedersi se una funzione ovunque definita e continua debba avere

primitiva. L’esempio che ora studiamo mostra che ciò non accade.

56


La funzione che a z associa il suo coniugato z è continua su C. Si è già visto, al

paragrafo 1.4., che non è olomorfa. Mostriamo che essa non ammette primitiva.

Se fosse F ′(z) = z, allora F (x + iy) = U(x, y) + iV (x, y) ed F ′(x + iy) = f(x +

iy) = x − iy.

Si ricordi che F ′(x + iy) = Ux(x, y) + iVx(x, y) e quindi

Ux(x, y) = x , Vx(x, y) = −y .

Dunque, U(x, y) = (x2/2) + φ(y). Essendo Uy = −Vx = y si trova che φ(y) =

(y2/2). Dunque,

U(x, y) =x2 + y2

2.

Invece, da Vx(x, y) = −y, si trova

V (x, y) = −xy + ψ(y)

e quindi

Vy(x, y) = −x + ψ′(y) = Ux(x, y) = +x .

Quest’ultima uguaglianza è impossibile, e quindi la primitiva F (x + iy) di f(z) = z

non esiste. Vedremo al paragrafo 1.13. che avremmo potuto dedurre ciò dal fatto che

la derivata di una funzione olomorfa è ancora una funzione olomorfa.

1.9.3 La funzione logaritmo e le potenze

Abbiamo già definito i logaritmi dei numeri complessi non nulli e quindi le funzioni

logaritmo,

log z = log |z| + iArg z + 2kπi , 1.22

una funzione per ciascun valore dell’intero k. Abbiamo notato che queste sono

funzioni olomorfe, con derivata 1/z, a parte che nei punti dell’asse reale negativo.

Però abbiamo notato che l’asse reale negativo entra in queste questioni solo a causa

della particolare scelta dell’argomento principale; e quindi le funzioni logaritmo, così

definite, hanno proprietà che non sono indipendenti dal modo scelto per rappresentare

la funzione. Vediamo ora un modo diverso di introdurre la funzione logaritmo, che

57


−15 −10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Ω

Fig. 1.7.

mostra che in realtà non si incontrano problemi se si decide di lavorare in una regione

di Jordan Ω qualsiasi, ma che non contiene l’origine. Si noti che tale regione può

spiraleggiare intorno all’origine, come nella figura 1.7.

Consideriamo la funzione 1/z su Ω. Questa funzione è olomorfa su Ω e quindi è

dotata di primitiva per il teorema 1.37. Si noti che per questo si usa l’ipotesi che Ω è

una regione di Jordan che non contiene 0.

Si fissi un punto z0 ∈ Ω e sia w0 uno dei suoi logaritmi,

w0 = log |z0| + iArg z0 + 2k0πi

per un certo numero intero k0. Sia Pz una poligonale che connette il punto z0 fissato

col generico punto z ∈ Ω, senza uscire da Ω.

Consideriamo la funzione

L(z) = w0 +∫

Pz

1ζ

dζ .

Questa è una funzione olomorfa su Ω che in z0 prende il valore w0 ed è primitiva di

1/z; ossia, la derivata di L(z) è 1/z e quindi la sua differenza dalla funzione 1.22

log |z| + iArg z + 2k0πi

58


−15 −10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Ω

Fig. 1.8.

è costante sulla regione in cui ambedue sono definite e derivabili. Se Ω interseca

l’asse reale negativo, ciò non avviene su tutta Ω, si veda la figura 1.8. Le due funzioni

coincidono sulla sola parte tratteggiata di Ω. Esse certamente non coincidono sulla

parte rimanente, perché L(z) traversa l’asse reale negativo con continuità.

Ricapitolando queste considerazioni, chiameremo la funzione L(z) una funzione

logaritmo su Ω, e la chiameremo il logaritmo principale se è stata costruita

scegliendo k0 = 0. Essa si indicherà col simbolo log z oppure, nel caso del

logaritmo principale, col simbolo Log z.

Dato che elog |z|+iArg z+2k0πi = z, lo stesso vale per L(z) nella parte tratteggiata di

Ω. Vedremo che ciò vale anche nella parte rimanente di Ω, si veda il paragrafo 1.13.2

e l’esempio 1.58. Dunque, quando un punto mobile z ∈ Ω traversa l’asse reale

negativo, la funzione L(z) passa dall’una all’altra determinazione della funzione

log z.

Ponendo

za = eaLogz

si trova che le potenze za sono definite e sono funzioni olomorfe in ogni regione di

Jordan che non contiene l’origine. Se la regione contiene l’asse reale positivo, allora

za prende valori reali su tale asse.

59


Sia ora Ω una regione di Jordan e sia f(z) una funzione olomorfa su Ω, che non si

annulla. Fissiamo un punto z0 ∈ Ω e la poligonale Pz congiunga z0 col generico

punto z ∈ Ω. Si definisce

Log f(z) =∫

Pz

f ′(ζ)f(ζ)

dζ

e questa funzione è olomorfa su Ω. Ciò fatto, si definisce, per ogni α ∈ C,

fα(z) = eαLog f(z) :

su Ω si possono definire tutte le potenze di f(z), e queste vengono ad essere funzioni

olomorfe di z; ricordiamo, purché f(z) non si annulli si Ω, e purché Ω sia una

regione di Jordan.

1.10. INDICE E OMOTOPIA

Passiamo ora a considerare un’altra funzione importantissima nello studio delle

funzioni olomorfe. Questa funzione associa un numero intero alla coppia costituita

da una curva e da un punto z0 che non gli appartiene. Questo numero rappresenta,

intuitivamente, il numero dei giri che la curva fa intorno a z 0, considerati positivi se

la curva ruota in senso antiorario, negativi altrimenti.

Si veda l’esempio 1.33 per un caso particolare.

Sia Ω una regione di Jordan e sia z0 un suo punto. Sia γ una curva chiusa, semplice

o meno, il cui sostegno è in Ω e non passa per il punto z0. Definiamo

I(γ, z0) =1

2πi

∫γ

1z − z0

dz ,

si vedano le considerazioni dell’Esempio 1.33.

Dato che la curva γ non incontra z0, l’integrale è ben definito ed è una funzione di

classe C∞ di z0, almeno finché z0 non incontra il sostegno di γ. Mostriamo che

questa funzione prende valori interi e quindi è costante se z0 si muove su una

curva senza toccare γ.

60


Teorema 1.40. La funzione I(γ, z0) prende valori interi.

DIMOSTRAZIONE

Sia z(t), t ∈ [a, b] una parametrizzazione della curva γ. Ricordiamo che implicitamente

supponiamo sempre che le parametrizzazioni (continue su [a, b]) siano derivabili con

continuità, salvo un numero finito di punti. Si ha:

I(γ, z0) =1

2πi

Zγ

1

z − z0dz =

1

2πi

Z b

a

z′(t)

z(t) − z0dt .

Si ha

φ(t) =

Z t

a

z′(t)

z(t) − z0dt , t ∈ [a, b] .

La funzione a valori complessi di variabile reale t è continua e continuamente

derivabile, perché z(t) = z0 per ogni t. Inoltre,

φ′(t) =z′(t)

z(t) − z0, φ(a) = 0 , φ(b) = I(γ, z0) .

Si ha

ddt

e−φ(t)(z(t) − z0) = e−φ(t) ˘−φ′(t)(z(t) − z0) + z′(t)¯

= 0 .

Dunque, la funzione e−φ(t)(z(t) − z0) è costante. Uguagliando i valori assunti per a e

per b si trova

e−φ(a)(z(a) − z0) = (z(a) − z0) = e−φ(b)(z(b) − z0) .

Ricordando che la curva γ è chiusa, ossia che z(a) = z(b), e che z(a)− z0 = 0 si trova

e−φ(b) = 1, ossia si trova che esiste un intero k per cui

φ(b) = 2kπi

e quindi I(γ, z0) = k, con k intero, come si voleva.

Questo prova che I(γ, z0) è sempre un numero intero. Esso si chiama l’indice della

curva γ rispetto al numero z0 che non le appartiene.

61


−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z0

•

Fig. 1.9.

Giustifichiamo ora l’interpretazione intuitiva dell’indice come “numero dei giri” della

curva intorno a z0. Ciò si è già visto nel caso in cui γ sia una circonferenza percorsa

k volte. Se γ è una curva percorsa k volte, per l’additività dell’integrale, l’indice è k

volte l’indice che si ottiene percorrendo la curva una sola volta. Sia quindi γ semplice.

Scegliamo una piccola circonferenza C di centro z0, contenuta in Ωγ . Il teorema di

Cauchy ci dice che I(γ, z0) = I(C, z0) = 1 e ciò mostra l’interpretazione dell’indice

come “numero dei giri”, nel caso di una curva percorsa più volte.

Nel caso della curva γ in figura 1.9, che gira più volte intorno a z0, senza ripercorrere

se stessa, si arriva alla medesima interpretazione spezzando la curva in tante curve

semplici e chiuse.

Se la curva γ è semplice e se z0 è nella regione esterna alla curva allora il suo indice

è 0. Invece, se z0 è nella regione interna allora il suo indice è +1 oppure −1. Più in

generale, il complementare del sostegno di una curva γ è unione di un numero finito

di regioni semplicemente connesse. Si è già notato che l’indice rimane costante se z 0

varia senza incontrare γ. Dunque, I(γ, z0) è costante in ciascuna delle regioni nelle

quali γ divide C, si veda la figura 1.9

62


Per finire, consideriamo il caso seguente, che ci interesserà in seguito. Sia γ una curva

semplice e chiusa orientata positivamente, il cui sostegno appartiene alla regione

di Jordan Ω su cui una funzione f(z) è olomorfa. Si è già introdotta la curva γ f ,

immagine di γ mediante la funzione f(z): se γ ha parametrizzazione z = z(t),

t ∈ [a, b], allora γf ha parametrizzazione f(z(t)), t ∈ [a, b].

La curva γf è chiusa perché γ lo è, ma può essere che non sia semplice.

Supponiamo che f(z) non si annulli su γ e consideriamo

12πi

∫ b

a

f ′(z(t))z′(t)f(z(t))

dt .

Quest’integrale è uguale ad ambedue gli integrali seguenti:

12πi

∫γ

f ′

fdz ,

12πi

∫γf

1w

dw

e l’ultimo integrale è I(γf , 0). Si ha quindi che

I(γf , 0) =1

2πi

∫γ

f ′

fdz .

Segue un semplice metodo grafico per il calcolo di (1/2πi)∫γ(f ′/f) dz (quando f(z)

non si annulla sul sostegno di γ) che è alla base di molti metodi grafici dell’ingegneria:

si disegna la curva γf e se ne conta il numero dei giri intorno all’origine.

Naturalmente, i metodi grafici sono sempre approssimati. E’ notevole il fatto che,

in questo caso, il metodo grafico dà in realtà valori esatti. Infatti, è intuitivamente

evidente, e si giustificherà in seguito, che il valore dell’integrale “varia di poco”

quando γ “varia di poco”, purchè la deformazione applicata a γ non conduca γ f ad

incontrare 0, ossia non conduca γ ad incontrare uno zero di f(z). Dato che l’indice

prende valori interi, esso rimane costante sotto l’azione di piccole perturbazioni su γ,

quali quelle che si incontrano nella rappresentazione numerica di γ e di γ f .

La giustificazione rigorosa di questo argomento conduce alla teoria dell’omotopia.

Siano γ1 e γ2 due curve diverse. Non è restrittivo assumere che il parametro vari nel

medesimo intervallo [a, b]. Diciamo che esse sono omotope se esiste una funzione

63


−3 −2 −1 0 1 2 3−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ1

γ2

Fig. 1.10.

continua H(t, s) di due variabili reali s ∈ [0, 1], t ∈ [a, b], a valori complessi, tale

che H(0, t) parametrizzi γ1 mentre H(1, t) parametrizzi γ2.

Se le due curve appartengono ad una regione Ω, si dice che esse sono omotope in Ω

se i valori della funzione H(s, t) appartengono ad Ω.

Per ogni valore intermedio s0 ∈ [0, 1], la funzione H(s0, t) parametrizza una curva e

per s ∼ 0 la curva è “vicina” a γ1 mentre per s ∼ 1 è vicina a γ2. Quindi la H(s, t)

parametrizza una deformazione continua di γ1 in γ2.

Nei casi più importanti, le curve γ1 e γ2 hanno gli estremi comuni oppure sono chiuse.

Se esse hanno estremi comuni, si richiede anche che H(s, a) ed H(s, b) siano costanti.

In tal caso una deformazione continua di γ1 su γ2 è illustrata dalla figura 1.10.

Se le due curve γ1 e γ2 sono chiuse, nel parlare di omotopia si sottintende che ciascuna

delle curve t → H(s, t) sia chiusa.

Richiediamo ora che le due curve γ1 e γ2 siano omotope rispetto ad una regione Ω

che non contiene zeri della funzione f(z). In tal caso, indicando con γ s la curva di

parametrizzazione t → H(s, t), si trova che

64


s → 12πi

∫γs

f ′

fdz

è continua per s ∈ [a, b] e quindi, prendendo valori interi, costante. Ciò giustifica

le considerazioni precedenti e suggerisce una diversa formulazione del teorema di

Cauchy, teorema 1.31. Ricordiamo che due curve sono omotope in una regione Ω

quando i valori di H(s, t) appartengono ad Ω per ogni s e per ogni t. Si ha:

Teorema 1.41 (forma omotopica del teorema di Cauchy). Siano γ1 e γ2 curve

tra loro omotope in una generica regione Ω su cui f(z) è olomorfa. Supponiamo che

le due curve siano chiuse o che abbiano gli stessi estremi. Allora vale∫γ1

f(z) dz =∫

γ2

f(z) dz

DIMOSTRAZIONE

(cenno) La dimostrazione del teorema è alquanto noiosa, ma l’idea della dimostrazione

è semplice e ci limitiamo a presentarla. Sia H(s, t) la funzione continua tale che H(0, t)

parametrizza γ1 e H(1, t) parametrizza γ2.

Non è restrittivo assumere t ∈ [0, 1].

Dividiamo il quadrato [0, 1] × [0, 1] in tanti piccoli quadrati, come nella figura 1.11 a

sinistra e consideriamo l’immagine mediante H(t, s) dei lati di tutti i quadrati ottenuti.

Si trova una struttura del tipo di quella nella figura 1.11 a destra (le immagini dei lati

sono state disegnate rettilinee per comodità di disegno, ma potrebbero non esserlo).

I lati dei quadrati si trasformano in curve chiuse e su tali curve l’integrale è nullo. Som-

mando ciascuno degli integrali sui singoli quadrati e tenendo conto delle cancellazioni

si trova l’asserto.

Vediamo ora un caso estremo: per definizione, una curva non può essere para-

metrizzata da una funzione costante. Supponiamo però che esista una funzione

H(s, t) continua su [0, 1] × [a, b] e tale che H(0, t) parametrizzi una curva γ mentre

H(1, t) = z0 per ogni t ∈ [a, b]. In questo caso si dice che la curva γ è omotopa al

punto z0.

65


−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

x

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Ω

γ1

γ2

Fig. 1.11.

E’ ancora vero che

s → 12πi

∫γs

f ′

fdz

dipende con continuità da s e inoltre, per s → 0, il limite è ora 0; e quindi la funzione

è identicamente zero. Vale quindi

Corollario 1.42. Se γ è omotopa ad un punto nella generica regione Ω allora

∫γ

f dz = 0

per ogni funzione f(z) olomorfa su Ω.

Sottolineiamo che né il teorema 1.41 né il corollario 1.42 richiedono che Ω sia una

regione di Jordan. Si potrebbe provare che tutti i teoremi che valgono per regioni

di Jordan valgono anche per le regioni che sono semplicemente connesse secondo la

definizione seguente: una regione Ω si dice semplicemente connessa se ogni curva di

Jordan di sostegno in Ω è omotopa ad un punto di Ω.

66


1.11. CONVERGENZA UNIFORME SUI COMPATTI

Ricordiamo che se

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

è continua, abbiamo definito∫γ

f dz =∫

γ

u dx − v dy + i

∫γ

v dx + u dy .

Se γ è parametrizzata da

z = z(t) = x(t) + iy(t) , t ∈ [a, b]

si trova ∫γ

f dz =∫ b

a

u(x(t), y(t))x′(t) − v(x(t), y(t))y′(t) dt

+i

∫ b

a

v(x(t), y(t))x′(t) + u(x(t), y(t))y′(t) dt

ossia si trova la somma di quattro integrali di funzioni continue su [a, b], intervallo

limitato e chiuso. Dunque, a tali integrali si possono applicare tutte le proprietà note

per gli integrali di funzione di variabile reale. In particolare, se (u n(x, y)) è una

successione che converge uniformemente ad u(x, y) allora

limn

un(x(t), y(t)) = u(x(t), y(t))

e il limite è uniforme su [a, b]. Dunque,

lim∫ b

a

un(x(t), y(t))x′(t) dt =∫ b

a

u(x(t), y(t))x′(t) dt

lim∫ b

a

un(x(t), y(t))y′(t) dt =∫ b

a

u(x(t), y(t))y′(t) dt .

Analogo argomento vale se (vn(x, y)) converge uniformemente a v(x, y).

Sia ora (fn(z)) una successione di funzioni della variabile complessa z, convergente

uniformemente ad f(z). Si sa che ciò avviene se e solo se le parti reali, rispettivamente

67


immaginarie, delle fn(z) convergono rispettivamente alla parte reale ed immaginaria

di f(z). Dunque:

Teorema 1.43. Sia (fn(z)) una successione di funzioni continue su una regione Ω,

e sia γ una curva il cui sostegno è in Ω. Supponiamo che esista una funzione f(z),

definita sul sostegno di γ, tale che

limn

fn(z) = f(z) ,

uniformemente sul sostegno di γ. Allora vale

lim∫

γ

fn(z) dz =∫

γ

f(z) dz .

In pratica non è comodo studiare la convergenza di una successione di funzioni sul

sostegno di una singola curva. Si presenta però frequentemente il caso seguente: una

successione di funzioni continue (fn(z)) converge ad una funzione f(z) in ogni punto

di Ω, ma non uniformemente. E’ però possibile provare che per ogni compatto K

contenuto in Ω la convergenza è uniforme; ossia, per ogni ε > 0 esiste N = N(ε, K)

tale che se n > N allora vale

|fn(z) − f(z)| < ε ∀z ∈ K .

In tal caso si dice che la successione (fn(z)) converge uniformemente sui compatti

di Ω.

La convergenza uniforme sui compatti ovviamente implica la continuità della funzione

limite f(z) e inoltre implica la convergenza uniforme sui sostegni di curve che

sono contenuti in Ω, perchè i sostegni di curve sono compatti. Dunque permette

l’applicazione del teorema 1.43.

Un caso importante in cui si ha convergenza uniforme sui compatti è quello delle serie

di Laurent nei compatti contenuti nella corona di convergenza. In questo caso si ha:

Corollario 1.44. Sia∑+∞

k=−∞ an(z − z0)n una serie di Laurent la cui corona

di convergenza è non vuota e sia γ una curva il cui sostegno è nella corona di

68


convergenza. Sia φ(z) una funzione continua su γ. In tal caso si ha:

∫γ

φ(ζ)

[+∞∑

k=−∞ak(ζ − z0)k

]dζ =

+∞∑k=−∞

ak

∫γ

φ(z)(ζ − z0)k dζ .

Se in particolare si sceglie φ(z) = 1 si trova

∫γ

[+∞∑

k=−∞ak(ζ − z0)k

]dζ =

+∞∑k=−∞

ak

∫γ

(ζ − z0)k dζ.

Asserti analoghi valgono per le serie di Taylor, naturalmente riformulati rispetto al

disco di convergenza.

1.12. LA FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY

Sia f(z) olomorfa sulla regione di Jordan Ω e sia γ una curva di Jordan in Ω. La

formula integrale di Cauchy mostra in particolare che i valori di f(z) nella regione

interna a γ sono univocamente individuati dai valori che la f(z) assume sul sostegno

di γ e inoltre vengono ad essere espressi mediante una semplice formula integrale. Si

noti che niente di analogo vale per funzioni di classe C 1 di due variabili reali.

Più avanti vedremo che anche i valori che f(z) assume nella regione esterna a γ

sono individuati dai valori che essa assume sul sostegno di γ. Però, nessuna formula

semplice permette di trovarli.

La formula integrale di Cauchy vale per curve chiuse, anche non semplici, di sostegno

in Ω. In tale forma lo enunciamo anche se, di regola, lo useremo nel caso delle curve

semplici.

Teorema 1.45 (formula integrale di Cauchy). Sia f(z) olomorfa in una regione

di Jordan Ω e sia γ una curva in Ω. Sia z ∈ Ω un punto che non appartiene al sostegno

di γ. Vale:

I(γ, z)f(z) =1

2πi

∫γ

f(ζ)ζ − z

dζ . 1.23

69


DIMOSTRAZIONE

Limitiamoci a provare il teorema per il caso delle curve semplici. In questo caso,

I(γ, z) = 0 quando z è nella regione esterna a γ e in tal caso l’integrale è nullo per il

teorema di Cauchy, teorema 1.31. Dunque, in tal caso l’uguaglianza è verificata. Sia

allora z ∈ Ωγ , la regione interna a γ. In questo caso I(γ, z) = 1 e dobbiamo provare

che

f(z) =1

2πi

Zγ

f(ζ)

ζ − zdζ .

Sia Cr una circonferenza di raggio r e centro z, con r così piccolo che C r sia contenuta

nella regione Ωγ . Il teorema di Cauchy mostra che

1

2πi

Zγ

f(ζ)

ζ − zdζ =

1

2πi

ZCr

f(ζ)

ζ − zdζ .

In particolare, la funzione di r,

r → 1

2πi

ZCr

f(ζ)

ζ − zdζ

è costante e quindi

limr→0+

1

2πi

ZCr

f(ζ)

ζ − zdζ

ff=

1

2πi

Zγ

f(ζ)

ζ − zdζ .

Il limite si calcola facilmente notando che

1

2πi

ZCr

f(ζ)

ζ − zdζ =

1

2πi

ZCr

f(ζ) − f(z)

ζ − zdζ +

1

2πi

ZCr

f(z)

ζ − zdζ

=1

2πi

ZCr

f(ζ) − f(z)

ζ − zdζ + f(z)

(se la curva non è semplice, l’addendo f(z) viene moltiplicato per I(γ, z)). Basta quindi

calcolare

limr→0

1

2πi

ZCr

f(ζ) − f(z)

ζ − zdζ .

E’ immediato notare che questo limite è nullo. Infatti, il modulo del rapporto

incrementale ˛˛f(ζ) − f(z)

ζ − z

˛˛

è limitato, diciamo da M = 2|f ′(z)|, per |ζ − z| piccolo. Dunque, per il teorema 1.30,

70


vale ˛˛Z

Cr

f(ζ) − f(z)

ζ − zdζ

˛˛ ≤ 2πrM .

Il membro destro tende a zero per r → 0 e ciò prova l’uguaglianza richiesta.

La formula 1.23 si chiama formula integrale di Cauchy e, ripetiamo, non ha analogo

per le funzioni di variabile reale.

La formula integrale di Cauchy ha una conseguenza interessante: supponiamo che

f(z) sia olomorfa in |z| < 1 e continua in |z| ≤ 1. Supponiamo inoltre che f(e it) = 0

per ogni t. In tal caso, la funzione f(z) è identicamente zero.

Infatti, per ogni z0 di modulo minore di 1 vale

f(z0) =1

2πi

∫|z|=r

f(ζ)ζ − z0

dζ .

Questa formula vale per ogni r con |z0| < r < 1. Scrivendo esplicitamente la

parametrizzazione della circonferenza, si trova

f(z0) =1

2πi

∫ 2π

0

f(reit)reit − z0

ireit dt .

Passando al limite per r tendente ad 1 si vede che

f(z0) =12π

∫ 2π

0

f(eit)eit − z0

eit dt = 0 .

E’ importante sapere che in realtà la sola condizione f(e it) = 0 per t ∈ [α, β] con

α < β implica che f(z) è identicamente zero.

1.12.1 La proprietà della media

Scriviamo la formula integrale di Cauchy nel caso speciale in cui γ è una circonferenza

di raggio r centrata in z0. Vale

f(z0) =1

2πi

∫γ

f(ζ)ζ − z0

dζ .

Introducendo la parametrizzazione

ζ(t) = reit = r[cos t + i sin t] , t ∈ [0, 2π]

71


si trova

f(z0) =12π

∫ 2π

0

f(z0 + reit) dt . 1.24

Questa formula mostra che f(z0) può interpretarsi come media dei valori che la

funzione prende sulla circonferenza di centro z 0 e raggio 1. Per questa ragione

la particolare forma 1.24 della formula integrale di Cauchy si chiama formula della

media.

Osserviamo ora che l’integrale che figura nella formula della media è su un intervallo

dell’asse reale; e quindi, scrivendo

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

e prendendo la parte reale dei due membri, si trova

u(x0, y0) =12π

∫ 2π

0

u(x0 + r cos t, y0 + r sin t) dt , 1.25

ossia la proprietà della media vale anche per le parti reali (e immaginarie) di

funzioni olomorfe.

1.12.2 Funzioni olomorfe rappresentate mediante integrali

Abbiamo visto che le serie di potenze identificano una classe di funzioni olomorfe.

L’integrale che figura nella formula di Cauchy suggerisce una seconda classe di

funzioni olomorfe, dotate di una semplice rappresentazione. Sia h(ζ) una funzione

continua sul sostegno di γ (non necessariamente chiusa).

Sia f(z) definita da

f(z) =1

2πi

∫γ

h(ζ)ζ − z

dζ . 1.26

In questo modo, f(z) è ben definita per ogni z che non appartiene al sostegno di γ.

Inoltre, la funzione

z → h(ζ)ζ − z

dζ

è di classe C∞ ed ha derivate rispetto a z limitate uniformemente al variare di ζ su γ

e di z in un intorno di un punto z0 che non interseca γ. Dunque è lecito scambiare il

72


segno di derivata e quello di integrale, ottenendo che

f ′(z) =1

2πi

∫γ

h(ζ)(ζ − z)2

dζ . 1.27

La funzione f ′(z) è continua e ciò mostra che f(z) è olomorfa. Abbiamo così

un’ulteriore classe di funzioni olomorfe, dotate di una semplice rappresentazione.

La funzione f ′(z) in 1.27 può nuovamente derivarsi e la sua derivata è nuovamente

continua, ossia anche f ′(z) è olomorfa.

Sia ora f(z) olomorfa su Ω e sia z0 un punto di Ω. Sia C una circonferenza contenuta

in Ω, di centro z0. La 1.26 vale con h(ζ) = f(ζ) e con γ = C. Dunque anche la 1.27

vale e quindi f ′(z) è nuovamente olomorfa. Iterando quest’osservazione si trova:

Teorema 1.46. Sia f(z) olomorfa in Ω. Essa ammette derivate di ogni ordine, e

tutte le derivate sono olomorfe.

Torniamo ora a considerare la situazione descritta dalla Formula integrale di Cauchy.

In questo caso è a priori noto che la funzione f(z) è olomorfa anche nei punti di γ e

la formula 1.23 mostra, nel caso delle curve semplici, che

limz→z0

12πi

∫γ

f(ζ)ζ − z

dζ = f(z0)

anche se z0 è un punto del sostegno di γ. Si potrebbe immaginare che il limite esista

anche nel caso di una generica funzione, definita mediante la formula 1.26. In genere

ciò non accade e, più ancora, se questo limite esiste esso può essere diverso da h(z 0)

perfino se h(z) è continua su C.

Esempio 1.47. Sia h(z) = z e sia γ: z = eit, t ∈ [0, 2π]. L’integrale

12πi

∫γ

ζ

ζ − zdζ =

12πi

∫ζ

1ζ

1ζ − z

dζ

si calcola immediatamente notando che

1ζ

1ζ − z

= −1z

1ζ

+1z

1ζ − z

.

Dunque,

12πi

∫γ

ζ

ζ − zdζ = −1

z

[1

2πi

∫γ

1ζ

dζ

]+

1z

[1

2πi

∫γ

1ζ − z

dζ

]

73


1z

[−I(γ, 0) + I(γ, z)] = 0

per ogni z nella regione interna a γ, ossia nel disco |z| < 1. Dunque,

f(z) =1

2πi

∫γ

ζ

ζ − zdζ ≡ 0 :

la funzione f(z) è olomorfa in |z| < 1 e continua in |z| ≤ 1, ma i suoi valori su

|z| = 1 non coincidono con quelli di h(z) = z.

Per molte applicazioni è importante lo studio del comportamento di f(z) per z

tendente a γ.

1.13. ANALITICITÀ DELLE FUNZIONI OLOMORFE

Si è visto al teorema 1.46 che una funzione olomorfa ammette derivate di ogni ordine,

e queste sono tutte olomorfe. Mostriamo che vale anche di più. Una funzione f(z)

definita su una regione Ω si dice analitica su Ω quando è sviluppabile in serie di Taylor

(con raggio di convergenza non nullo) di centro z 0 per ogni z0 ∈ Ω.

Vedremo, al paragrafo 1.15., che una funzione analitica è anche olomorfa. Andiamo a

provare:

Teorema 1.48. Se f(z) è olomorfa su Ω, essa è anche analitica su Ω e inoltre, se

z0 ∈ Ω, vale

f(z) =+∞∑n=0

fn(z − z0)n , fn =1

2πi

∫C

f(ζ)(ζ − z0)n+1

ove C è una qualunque circonferenza di centro z0 e contenuta in Ω.

DIMOSTRAZIONE

Sia C una circonferenza di centro z0 e contenuta in Ω. Usando la formula integrale di

Cauchy, si scriva

f(z) =1

2πi

ZC

f(ζ)

ζ − zdζ =

1

2πi

ZC

f(ζ)

(ζ − z0) − (z − z0)dζ

=1

2πi

ZC

f(ζ)

ζ − z0

»1 − z − z0

ζ − z0

–−1

dζ .

74


Dato che ζ è sulla circonferenza mentre z è nel disco, |(z − z 0)/(ζ − z0)| < 1 e quindi

1

2πi

ZC

f(ζ)

ζ − z0

»1 − z − z0

ζ − z0

–−1

dζ =1

2πi

ZC

f(ζ)

ζ − z0

+∞Xn=0

„z − z0

ζ − z0

«n

dζ

=

+∞Xn=0

»1

2πi

ZC

f(ζ)

(ζ − z0)n+1

–(z − z0)

n .

Questa è la formula che volevamo provare.

Si noti che lo scambio della serie con l’integrale è lecito perché per z e z 0 fissati la

serie+∞Xn=0

f(ζ)

ζ − z0

„z − z0

ζ − z0

«n

converge uniformemente su C.

In particolare si trova una nuova dimostrazione del teorema 1.46:

Teorema 1.49. Se f(z) è olomorfa su Ω, essa è ivi di classe C∞ e per le successive

derivate vale la formula di rappresentazione seguente:

f (n)(z0) =n!2πi

∫C

f(ζ)(ζ − z0)n+1

dz

ove C è una circonferenza di centro z0 contenuta in Ω.

Inoltre, ogni derivata di f(z) è a sua volta una funzione olomorfa.

Notiamo ora che, a rigore, l’uguaglianza

f(z) =1

2πi

+∞∑n=0

[∫C

f(ζ)(ζ − z0)n+1

](z − z0)n

ha senso solo se z ∈ Ω; ma niente vieta che il disco di convergenza della serie

fuoriesca da Ω. In tal caso la serie fornisce un’estensione analitica della funzione f(z).

1.13.1 Funzioni armoniche

Una funzione u(x, y) a valori reali delle due variabili reali x ed y si dice armonica

su una regione Ω se è ivi di classe C2 e se per ogni (x, y) ∈ Ω vale

∆u = uxx + uyy = 0 .

75


Sia f(z) = f(x + iy) olomorfa su Ω. Si è visto che essa ammette derivate di ogni

ordine e quindi anche la sua parte reale u(x, y) è di classe C∞. Inoltre, la sua derivata

f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y) è olomorfa e quindi verifica le condizioni di Cauchy–

Riemann, che ora si scrivono:

(ux)x = (vx)y , (vx)x = −(ux)y .

La derivata f ′(z) può anche rappresentarsi come f ′(z) = vy(x, y) − iuy(x, y) e

scrivendo le condizioni di Cauchy–Riemann si trova

(vy)x = −(uy)y , (uy)x = (vy)y .

Confrontando queste uguaglianze si vede che

∆u = 0 , ∆v = 0

ossia,

Teorema 1.50. Le parti reali ed immaginarie di funzioni olomorfe sono funzioni

armoniche.

Al paragrafo 2.1. proveremo il viceversa:

Teorema 1.51. Sia Ω una regione di Jordan e sia u(x, y) armonica su Ω. Esiste una

funzione v(x, y) armonica su Ω e tale che f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) è olomorfa

su Ω.

Le funzioni v(x, y) con la proprietà detta sopra si chiamano funzioni armoniche

coniugate di u(x, y).

Questo teorema può sempre applicarsi “localmente” ossia in un intorno di ciascun

punto di Ω. Di conseguenza:

Corollario 1.52. Le funzioni armoniche su Ω sono di classe C∞(Ω).

Un ulteriore conseguenza del teorema 1.51 e del teorema della media è:

76


Teorema 1.53 (della media). Sia u(x, y) armonica su Ω. Essa verifica la proprietà

della media: per ogni (x0, y0) ∈ Ω e per ogni cerchio di raggio r e centro (x0, y0) e

contenuto in Ω vale la 1.25.

1.13.2 Zeri e estensioni di funzioni olomorfe

Le serie di potenze hanno una proprietà importante:


n=0 an(z − z0)n una serie di potenze con raggio

di convergenza non nullo e non identicamente nulla. Il punto z 0 non è punto di

accumulazione di zeri di f(z).

DIMOSTRAZIONE

L’assero è ovvio se a0 = 0 perché in tal caso f(z0) = a0 = 0. Sia quindi a0 = 0 e sia

ak il primo coefficiente non nullo. Si può scrivere

f(z) = (z − z0)kφ(z) , φ(z) =

+∞Xn=k

an(z − z0)n−k .

Si ha φ(z0) = ak = 0 e φ(z) è continua. Dunque, in un intorno di z 0 non si annulla.

In tale intorno il primo fattore (z − z 0) ha l’unico zero z0. Dunque, z0 non è punto di

accumulazione di zeri.

Ricordando che le funzioni olomorfe sono analitiche, il teorema precedente può

riformularsi come segue:

Corollario 1.55. Una funzione olomorfa su Ω, che ha una successione (z n) di zeri

convergente a z0 ∈ Ω, è identicamente nulla in un intorno di z0.

In realtà vale di più:

Teorema 1.56. Sia f(z) olomorfa sulla regione Ω e sia (zn) una successione di zeri

di f(z), convergente ad un punto z0 ∈ Ω. Allora, f(z) è identicamente nulla su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che una regione è un aperto connesso.

77


Per il Corollario 1.55, esiste un intorno V di z0 su cui f(z) è nulla. Su quest’intorno,

ogni derivata di f(z) è nulla.

Indichiamo con Z l’insieme

Z = z | ∂i

∂zif(z) = 0 ∀i .

L’insieme Z contiene V e quindi non è vuoto. Inoltre è chiuso perché ciascuna delle

derivate parziali di f(z) è una funzione continua.

Mostriamo che Z è aperto, così che avremo Z = Ω. Sia per questo z ∈ Z. Mostriamo

che tutto un intorno di z è contenuto in Z. Per questo, sviluppiamo f(z) in serie di

Taylor di centro z:

f(z) =+∞Xn=0

1

n!f (n)(z)(z − z)n .

L’uguaglianza vale in un intorno W di z.

Dato che z ∈ Z, tutti i coefficienti della serie sono nulli e quindi f(z) = 0 su W . Ciò

mostra che W ⊆ Z e completa la dimostrazione.

Notiamo che il teorema precedente non vieta che una successione di zeri di una

funzione olomorfa non nulla f(z) possa avere punti di accumulazione. In tal caso

però tali punti non sono interni alla regione su cui f(z) è olomorfa.

Il teorema 1.56 ha conseguenze importanti.

Teorema 1.57 (principio di permanenza). Siano f(z) e g(z) due funzioni

olomorfe sulla stessa regione Ω e supponiamo che f(z) = g(z) su un insieme dotato

di punti di accumulazione appartenenti ad Ω. Il tal caso, f(z) = g(z) su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Perchè, per il teorema 1.56, f(z) − g(z) è identicamente nulla.

Il teorema precedente vale se, per esempio, f(z) e g(z) sono uguali sul sostegno di

una curva in Ω. Ora, se z = x + i0, allora vale

sin2 z + cos2 z = 1

78


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

Ω

Fig. 1.12.

e le funzioni a destra e a sinistra dell’uguaglianza sono olomorfe su C. Dunque

l’eguaglianza vale per ogni z in C.

Esempio 1.58. Torniamo ad esaminare la primitiva di 1/z, in una regione di Jordan

Ω come in figura.

La primitiva che si è indicata con L(z) al paragrafo 1.9.3 coincide con Logz nel

primo/secondo quadrante, e quindi ivi verifica

eL(z) = z .

Per il Principio di permanenza, tale uguaglianza vale ovunque L(z) è definita e quindi

anche nel terzo quadrante. Dunque, nei punti del terzo quadrante essa è uguale a

log |z| + i[Argz + 2kπ]

per un qualche valore di k che certamente non è 0, perché Logz è discontinuo quando

z traversa l’asse reale negativo, mentre L(z) è continua. Dunque L(z) passa dai

valori di una determinazione del logaritmo a quelli di un’altra.

L’applicazione del teorema precedente richiede una certa cautela. Supponiamo che

f(z) e g(z) siano olomorfe su due regioni Ω1 ed Ω2 tra loro diverse, ma con

79


intersezione non vuota e supponiamo che f(z) e g(z) siano uguali sul sostegno di una

curva contenuta in Ω1 ∩ Ω2. Il teorema precedente NON implica che le due funzioni

debbano essere uguali su Ω1 ∩ Ω2. Implica che debbano essere uguali soltanto sulla

componente connessa di Ω1 ∩Ω2 che contiene il sostegno della curva. E’ importante

notare questo nella dimostrazione del teorema seguente che permette di chiarire una

stranezza delle funzioni di variabile reale. Per illustrarla, consideriamo la serie di

Taylor

log (1 + x) =+∞∑n=1

(−1)n+1 xn

n.

Questa serie ha raggio di convergenza 1 e si capisce che il raggio non possa superare

1 perché per x = −1 la funzione non è definita.

Consideriamo invece la serie di Taylor

11 + x2

=+∞∑n=0

(−1)nx2n .

Anche questa serie ha raggio di convergenza 1 nonostante che la funzione somma

abbia estensione di classe C∞ su R e, guardando le cose soltanto sulla retta reale,

non si capisce perché il raggio di convergenza non possa superare 1. Ciò si capisce

esaminando la funzione 1/(1 + z2) sul piano complesso: essa non è definita per x =

±i. Quest’osservazione ha una validità generale. Infatti, il teorema seguente mostra

che la convergenza di una serie di Taylor sul piano complesso trova solamente ostacoli

nelle singolarità della funzione.

Per chiarire meglio questo punto, chiamiamo punto regolare per la funzione f(z)

un punto z0 interno alla regione Ω su cui f(z) è olomorfa; diciamo che z 0 è

una singolarità eliminabile se z0 appartiene alla chiusura di Ω e se f(z) ammette

estensione olomorfa ad un intorno di z0 (il punto z0 stesso incluso). Ogni altro punto

della frontiera di Ω si dirà punto singolare di f(z).

Si noti che un punto z0 che è una singolarità eleminabile per f(z) è un punto regolare

per l’estensione olomorfa di f(z). Per questo non useremo il termine “singolarità”

(senza aggettivo) per indicare le singolarità eliminabili.


n=0 fn(z − z0)n una serie di Taylor con raggio di

convergenza R > 0. Esiste un punto singolare z tale che |z − z0| = R.

80


DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione si fa per assurdo. Sia D il disco di convergenza e sia C la sua

circonferenza. Sia w un punto di C. Se w non è singolare, si trova un disco D w di

centro w e una funzione g(z) tale che g(z) è olomorfa in D w e coincide con f(z) in

D ∩ Dw . Se nessun punto della frontiera di D è singolare, si costruisce in questo

modo una copertura della circonferenza C, che è compatta. Dunque, per il teorema di

Heine-Borel, si trova un numero finito di dischi D1 = Dw1 , D2 = Dw2 ,. . . ,Dn = Dwn

che coprono C. Ordiniamoli in modo che i loro centri si susseguano per esempio in

verso antiorario.

Sia gi(z) la funzione che abbiamo definita sul disco D i.

Due dischi consecutivi Di e Di+1 hanno una parte comune su cui sono definite sia g i

che gi+1. Queste due funzioni coincidono ambedue con f(z) in (D i ∩Dj)∩D e quindi

coincidono ovunqe su Di ∩ Dj perchè esso è un insieme connesso.

Sia ora φ(z) la funzione definita su Ω = D ∪ (∪D i) da:

φ(z) =

8<: f(z) su D

gi(z) su Di.

Come abbiamo visto, la funzione φ(z) è olomorfa su Ω.

Sviluppiamo questa funzione in serie di potenze di centro z 0. Ovviamente, si ritrova la

stessa serie di potenze di f(z). Per il teorema 1.48, il raggio di convergenza della serie

così ottenuta è maggiore di R e ciò non può darsi. Dunque, almeno uno dei punti di C

è singolare per f(z).

1.14. TEOREMA DI MORERA E PRINCIPIO DI RIFLESSIONE

Il teorema di Morera inverte il teorema di Cauchy.

Teorema 1.60 (di Morera). Sia Ω una regione qualsiasi e supponiamo che f(z)

sia continua su Ω. Supponiamo che su ogni poligono P valga

81


∫P

f(z) dz = 0 . 1.28

Allora, la funzione f(z) è olomorfa su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Si sa che se vale la condizione 1.28 allora la funzione f(z) ammette una primitiva F (z),

ossia si sa che esiste una funzione olomorfa F (z) definita su Ω e tale che

F ′(z) = f(z) .

Si sa che le derivate delle funzioni olomorfe sono esse stesse olomorfe (si veda il

teorema 1.49) e quindi f(z) è olomorfa.

Il principio di riflessione di Schwarz, la cui dimostrazione usa il teorema di Morera,

permette di estendere funzioni olomorfe, in modo da conservare l’olomorfia, in

presenza di opportune proprietà di simmetria. Noi presentiamo la forma più semplice

di tale principio.

Se Ω è una regione, poniamo

Ω∗ = z | z ∈ Ω .

Dunque, Ω∗ è ottenuta da Ω mediante riflessione rispetto all’asse reale. In particolare,

Ω = Ω∗ quando Ω è simmetrica rispetto all’asse reale.

Sia f(z) olomorfa su Ω e sia

g(z) = f(z) .

Ovviamente, g(z) è continua su Ω∗. Mostriamo che è anche olomorfa, facendo vedere

che la sua derivata è funzione continua di z. Ciò si vede come segue: sia z ∈ Ω ∗, così

che z ∈ Ω. Si ha:

limh→0

f(z + h) − f(z)h

= limh→0

[f(z + h) − f(z)

h

]= f ′(z) ,

funzione continua di z.

82


Supponiamo ora Ω = Ω∗, che f(z) sia olomorfa su Ω e e che prenda valori reali

sull’asse reale. Allora,

g(z) = f(z)

è olomorfa e coincide con f(z) sull’asse reale e quindi coincide con f(z) ovunque, si

veda il teorema 1.57. Dunque, f(z) gode della seguente proprietà di simmetria:

f(z) = f(z) .

Invertiamo questa costruzione per ottenere un teorema di estensione:

Teorema 1.61 (principio di riflessione di Schwarz). Sia Ω una regione

contenuta in Im z > 0 e sia f(z) olomorfa su Ω. Supponiamo che f(z) sia anche

continua su Ω ∪ z ∈ ∂Ω , Im z = 0 e che ivi prenda valori reali. In tal caso la

funzione

g(z) =

f(z) se z ∈ Ω ∪ z ∈ ∂Ω , Im z = 0

f(z) se z ∈ Ω∗

è olomorfa.

DIMOSTRAZIONE

Illustriamo l’idea della dimostrazione, senza entrare in tutti i dettagli del calcolo. La

funzione g(z) è definita e continua sulla regione

Ω ∪ Ω∗ ∪ z ∈ ∂Ω Im z = 0 .

Per ipotesi g(z) è olomorfa su Ω e si è già notato che è olomorfa su Ω ∗. Dobbiamo

provare che essa è anche olomorfa sui punti interni all’insieme

z ∈ ∂Ω , Im z = 0 .

Per mostrare l’olomorfia, usiamo il teorema di Morera. Sia P un qualsiasi poligono

nel dominio di g(z). Siano P +ε , P−

ε i due poligoni in figura 1.13, ottenuti “tagliando” P a

distanza ε, sopra e sotto l’asse reale. L’integrale di g(z) lungo P +ε e lungo P −

ε è nullo.

83


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

Pε+

Pε−

Fig. 1.13.

Quando ε tende a zero,

0 = limε→0

ZP+

ε

g(z) dz +

ZP−

ε

g(z) dz

ff=

ZP

g(z) dz

dato che gli integrali sui segmenti paralleli tendono ad elidersi.

L’arbitrarietà di P prova che g(z) è olomorfa sul suo dominio.

1.15. TEOREMI DI WEIERSTRASS E DI MONTEL

I due teoremi di Weierstrass e di Montel riguardano successioni di funzioni.

Teorema 1.62 (di Weierstrass). Sia (fn(z)) una successione di funzioni olomorfe

sulla medesima regione Ω e supponiamo che (fn(z)) converga ad una funzione f(z)

uniformemente sui compatti di Ω. In tal caso, f(z) è olomorfa e inoltre vale

f ′(z) = lim f ′n(z) ,

anche tale limite essendo uniforme sui compatti.

84


DIMOSTRAZIONE

Per provare che f(z) è olomorfa basta lavorare localmente, nell’intorno D di ciascun

punto z di Ω. In tale intorno si usa il teorema di Morera. Notiamo prima di tutto che

f(z) è continua, come limite uniforme di una successione di funzioni continue. Sia P

un poligono in D. La successione (fn(z)) converge ad f(z) uniformemente su P e

quindi

ZP

f(z) dz = lim

ZP

fn(z) dz .

Ciascuno degli integrali a destra è nullo perché ciascuna funzione f n(z) è olomorfa e

D è una regione di Jordan. Dunque

ZP

f(z) dz = 0

per ogni poligono P ed f(z) è olomorfa.

Fissiamo ora un compatto K ⊆ Ω. Vogliamo provare che (f ′n(z)) converge

uniformemente a f(z) su K.

Per il teorema di Heine–Borel, il compatto K è coperto da un numero finito di dischi,

ciascuno dei quali è contenuto in Ω e quindi basta provare la convergenza uniforme su

ciascuno di tali dischi. Fissiamo l’attenzione su uno di essi, che indichiamo con D e sia

D un disco con lo stesso centro di D e raggio maggiore, ancora contenuto in Ω. Sia C

la circonferenza di D. Sapendo già che f(z) è olomorfa, per ogni z ∈ D vale

f ′(z) =1

2πi

ZC

f(ζ)

(ζ − z)2dζ = lim

1

2πi

ZC

fn(ζ)

(ζ − z)2dζ = lim f ′

n(z) ,

il limite essendo uniforme per z ∈ D.

Osservazione 1.63. Applicando questo teorema alle serie di potenze ed alle serie di

Laurent si trovano dimostrazioni dei teoremi 1.23 e 1.24. Si noti infatti che la catena di

argomenti che conducono al teorema di Weierstrass non fa uso né delle serie di Taylor

né delle serie di Laurent.

85


Il teorema di Montel è invece un teorema di compattezza. La dimostrazione si basa

sul teorema di Ascoli-Arzelà, che si assume noto dai corsi di topologia 1.

Teorema 1.64. Una successione di funzioni di due variabili reali che è equilimi-

tata ed equicontinua su un insieme K ammette una s.successione uniformemente

convergente.

Usando questo risultato, possiamo provare:

Teorema 1.65 (di Montel). Sia (fn(z)) una successione limitata di funzioni

olomorfe sulla regione Ω. Essa ammette una s.successione che è convergente

uniformemente sui compatti di Ω.

DIMOSTRAZIONE

Si sa dai corsi di topologia che esiste una successione (K r) di s.insiemi compatti di Ω

tali che

Kr ⊆ int Kr+1 , ∪Kr = Ω .

Mostreremo che per ogni r si può estrarre dalla (fn(z)) una s.successione uniforme-

mente convergente su Kr. Accettiamo per un attimo questo fatto e mostriamo come si

costruisce la s.successione cercata: si applica questo procedimento a (f n(z)) e K1 e si

costruisce una successione (fnk,1(z)) convergente uniformemente su K1. Non si co-

nosce il comportamento di questa successione fuori di K 1. Si applica quindi di nuovo il

procedimento a (fnk,1(z)) e K2, costruendo la successione (fnk,2(z)) uniformemente

convergente su K2 (e quindi anche su K1).

Si itera il procedimento e si sceglie come s.successione quella diagonale, ossia quella

delle funzioni (fnk,k(z)), si ricordi la dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzelà.

Il procedimento descritto è riassunto dalla tabella seguente:

1Si veda il teorema 5.54 per il caso delle funzioni di una sola variabile. La dimostrazione per

funzioni di più variabili è la medesima.

86


fn1,1(z) fn2,1(z) fn3,1(z) fn4,1(z) . . .

fn1,2(z) fn2,2(z) fn3,2(z) fn4,2(z) . . .

fn1,3(z) fn2,3(z) fn3,3(z) fn4,3(z) . . ....

In questa tavola:

– alla prima riga c’è una s.successione della (fn(z)) e ciascuna riga riporta

una s.successione di quella che figura alla riga precedente.

– dunque la “successione diagonale” (fnr ,r) è s.successione della (fn).

– La successione che figura alla riga i–ma converge su K i e quindi anche

su Kj , con j < i.

– la successione diagonale è s.successione di ciascuna (fni,j) (per cia-

scun j), alterata nei soli primi elementi. E quindi essa converge su ciascun

insieme Kj .

Per concludere, basta mostrare come estrarre dalla (fn(z)) una s.successione con-

vergente su un assegnato compatto K. Per ipotesi, su K la successione (f n(z)) è

limitata, |fn(z)| < MK . Se si prova che anche la successione (f ′n(z)) è limitata allo-

ra la fn(z) è sia equilimitata che equicontinua e la s.successione cercata esiste per il

teorema di Ascoli-Arzelà.

La limitatezza di f ′n(z) si vede come segue. Sia P un poligono in Ω che racchiude

K. Per ogni z ∈ K vale

f ′n(z) =

1

2πi

ZP

f(ζ)

(ζ − z)2dζ ≤

LP maxP |fn(z)|

2π

ff· max

ζ∈P,z∈K

1

|ζ − z|2 < M .

1.16. MASSIMO MODULO E TEOREMA DI LIOUVILLE

Abbiamo visto che le funzioni olomorfe soddisfano al teorema della media,

f(z0) =12π

∫ 2π

0

f(z0 + reit) dt

87


da cui segue

|f(z0)| ≤12π

· 2π( max|z−z0|=r

|f(z)|) :

Il massimo del modulo di f(z) su una circonferenza è al più uguale al numero |f(z 0)|.

In realtà può provarsi di più:

Teorema 1.66 (Principio del massimo modulo). Sia f(z) olomorfa su una

regione Ω. Se la funzione |f(z)| ammette un punto di massimo relativo z 0 che

appartiene ad Ω, allora la funzione f(z) è costante su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Per il Lemma 1.12 basta provare che il modulo di f(z) è costante in un intorno di z 0.

Infatti in tal caso f(z) è costante in un intorno di z 0 e quindi anche su Ω. Se ciò non

accade, in ogni disco di centro z0 esiste z tale che

|f(z)| < |f(z0)| .

Sia z1 uno di tali punti e supponiamo che, inoltre, valga

z | |z − z0| < 2|z1 − z0| ⊆ Ω .

Sia γ la circonferenza parametrizzata da

z0 + |z0 − z1|eit , 0 ≤ t ≤ 2π .

Il punto z1 appartiene a questa circonferenza e quindi, per la continuità di |f(z)|, esiste

ε > 0 ed esiste un arco della circonferenza su cui

|f(z0 + reit)| < |f(z0)| − ε , φ0 < t < φ1 .

Usiamo ora la formula della media come segue:

|f(z0)| =

˛˛ 1

2π

Z 2π

0

f(z0 + reit) dt

˛˛

≤˛˛ 1

2π

Z φ1

φ0

f(z0 + reit) dt

˛˛+˛˛ 1

2π

Zt/∈[φ0,φ1]

f(z0 + reit) dt

˛˛

≤ 1

2π

([φ1 − φ0][|f(z0)| − ε] + [2π − (φ1 − φ0)]|f(z0)|

)

≤ |f(z0)| − εφ1 − φ0

2π< |f(z0)|

88


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

z0

z1

Fig. 1.14.

e, ricordiamo, ε > 0. Ciò non può darsi e dunque f(z) ha modulo costante in un

intorno di z0, e quindi è essa stessa costante su Ω.

Si noti che l’asserto analogo per il minimo non vale. Infatti, il modulo della funzione

f(z) = z ha minimo per z = 0, senza essere costante. Però, applicando il principio

del massimo modulo alla funzione g(z) = 1/f(z) si vede immediatamente

Corollario 1.67. Sia f(z) olomorfa non costante e priva di zeri in Ω. Allora, |f(z)|

non raggiunge minimo in Ω.

Una conseguenza interessante di questi risultati è la seguente:

Teorema 1.68. Supponiamo che una curva di livello per |f(z)| sia una curva

semplice e chiusa. Allora f(z), se non è costante, ammette almeno uno zero nella

regione interna a γ.

89


DIMOSTRAZIONE

Sia γ la curva di livello. Su γ vale

|f(z)| = c

e, dal principio del massimo, nei punti della regione interna vale

|f(z)| ≤ c .

Se c = 0 allora f(z) stessa è nulla. Sia quindi c > 0. Se la funzione non si annulla

nella regione interna a γ, anche il minimo del modulo viene assunto so γ, ossia nella

regione interna vale

c ≤ |f(z)| .

Dunque, |f(z)| è costante e quindi f(z) stessa è costante, per il Lemma 1.12.

Il principio del massimo si trasferisce dalle funzioni olomorfe alle loro parti reali,

ossia alle funzioni armoniche, come segue:

Teorema 1.69. Sia u(x, y) armonica non costante su Ω. Allora, u(x, y) non

raggiunge né massimo né minimo su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Sia v(x, y) una funzione armonica coniugata di u(x, y) e consideriamo la funzione

olomorfa f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).

Si applichi il principio del massimo modulo alla funzione olomorfa e mai nulla

g(z) = ef(z) .

Si sa che |g(z)| non ammette né punti di massimo né punti di minimo e

|g(x + iy)| = eu(x,y) .

L’asserto segue per la monotonia dell’esponenziale su R.

90


Osservazione 1.70. Si noti che l’asserto relativo alle funzioni armoniche parla di

massimo e minimo della funzione, e non del suo modulo.

Supponiamo ora che una funzione f(z) sia olomorfa su C. Una tale funzione si dice

intera. Ovviamente il principio del massimo vale anche per le funzioni intere, ma in

tal caso può anche dirsi di più:

Teorema 1.71 (di Liouville). Una funzione intera e limitata è costante.

DIMOSTRAZIONE

Una funzione intera ammette sviluppo di Taylor, per esempio di centro 0, e raggio di

convergenza +∞,

f(z) =

+∞Xn=0

fnzn , ∀z ∈ C .

Si sa che

fn =1

2πi

ZCR

f(ζ)

ζn+1dζ

con CR circonferenza di centro l’origine e raggio R. Dunque su C R vale |ζ|n+1 = Rn+1.

Di conseguenza, se |f(z)| < M per ogni z, vale

|fn| ≤1

2π· 2πR · M

Rn+1=

M

Rn.

Questa diseguaglianza vale per ogni R e quindi

|fn| ≤ infR>0

M

Rn.

Se n > 0 l’estremo inferiore è nullo e quindi f n = 0 per ogni n > 0. Vale cioè f(z) = f0,

costante.

Il teorema di Liouville è un teorema assai potente. Per esempio vedremo più avanti

come dedurne la conseguenza seguente:

Corollario 1.72. Sia f(z) una funzione intera. Supponiamo che f(z) non prenda

valori su un segmento. Allora, f(z) è costante.

91


Ora invece usiamolo per provare:

Teorema 1.73 (fondamentale dell’ algebra). Sia p(z) un polinomio. Se il suo

grado è positivo esso ammette zeri.

DIMOSTRAZIONE

Se p(z) ha grado almeno 1 allora

lim|z|→+∞

1

p(z)= 0 . 1.29

Se p(z) non si annulla, la funzione

f(z) =1

p(z)

è intera e, per 1.29, limitata. Dunque costante. Il suo limite essendo nullo, anche

la funzione è identicamente zero. Ciò contrasta con la definizione di f(z), perché

f(z)p(z) = 1. Dunque p(z), se ha grado almeno 1, deve annullarsi.

Concludiamo notando che anche il teorema di Liouville si estende alle funzioni

armoniche, applicandolo alla funzione olomorfa

g(x + iy) = eu(x,y)+iv(x,y) .

Se la funzione armonica u(x, y) è definita per ogni (x, y) e limitata, la funzione g(z)

è intera e limitata e quindi costante; e quindi anche u(x, y) è costante:

Teorema 1.74. Una funzione u(x, y) armonica su R2 e limitata è costante.

1.17. LE SINGOLARITÀ ISOLATE

Nella sezione 1.13. abbiamo definito i punti singolari di una funzione olomorfa. Niente

vieta che l’insieme dei punti singolari abbia punti di accumulazione. Noi vogliamo ora

studiare il caso in cui ciò non avviene, caso che può ridursi al seguente: una funzione

92


f(z) è olomorfa in un disco D, escluso il suo centro z0. In tal caso diremo che z0 è

una singolarità isolata di f(z).

Caratterizziamo prima di tutto le singolarità eliminabili.

Ricordiamo che z0 è singolarità eliminabile se f(z) ha estensione olomorfa ad un

intorno di z0.

Teorema 1.75 (di Riemann). Sia z0 una singolarità isolata di f(z). Il punto z0 è

singolarità eliminabile se e solo se la funzione |f(z)| è limitata in un suo intorno.

DIMOSTRAZIONE

Se f(z) ammette estensione olomorfa anche in z 0 allora |f(z)| è limitato in un intorno

di z0. Per provare il viceversa, introduciamo la funzione

h(z) =

8<: 0 se z = z0

(z − z0)2f(z) altrimenti.

Questa funzione è continua in un disco D contenente z 0, incluso il punto z0 perché

f(z) è limitata in un intorno di z0. Proveremo che h(z) è olomorfa. Accettando questo,

notiamo che h(0) = 0 e che h′(0) = 0, perchè f(z) è limitata e quindi h(z) è infinitesi-

ma, per z → z0, di ordine maggiore di 1. Dunque h(z) è sviluppabile in serie di Taylor

di centro z0,

h(z) =

+∞Xn=0

hn(z − z0)n

con h0 = 0 e h1 = 0,

h(z) = (z − z0)2

+∞Xn=2

hn(z − z0)n

Per z = z0 si trova quindi che

f(z) = g(z) , g(z) =

+∞Xn=2

hn(z − z0)n ,

e g(z) è analitica anche in z0. Dunque, il punto z0 è una singolarità eliminabile di f(z).

93


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

x

y

Tε

Fig. 1.15.

Per completare la dimostrazione dobbiamo mostrare che h(z) è olomorfa 2. Si noti

che questo segue perché h(z) è ovunque derivabile; ma non avendo provato questo

teorema, non vogliamo usarlo. Facciamo quindi uso del teorema di Morera: sia T un

qualsiasi triangolo in D e mostriamo cheZT

h(z) dz = 0 .

Ciò è ovvio se T non racchiude z0. Altrimenti, decomponiamolo in tre triangoli con un

vertice comune in z0 come nella figura 1.15 a sinistra.

Basta provare che l’integrale è nullo su ciascuno di essi.

Si consideri uno di essi, indentato vicino al vertice z 0, come nella figura 1.15 a destra,

mediante un “piccolo” triangolo T ε. Sia ε il perimetro di Tε e sia Tε il trapezio residuo.

L’integrale di h(z) sul trapezio è nullo, e l’integrale sul triangolo T ε è maggiorato da

ε maxTε

||h(z)||

e questo tende a zero per ε → 0. Infatti, essendo f(z) limitata in un intorno di z 0, anche

h(z) lo è. Dunque,ZT

h(z) dz = limε→0

ZTε

h(z) dz +

ZTε

h(z) dz

ff= 0 .

2non è difficile vedere che h(z) è ovunque derivabile, e quindi olomorfa per il teorema 1.10.

Non avendo però provato questo risultato, non vogliamo usarlo.

94


Ciò completa la dimostrazione.

Il teorema precedente mostra in particolare che se z0 è un punto singolare (non una

singolarità eliminabile) di f(z) allora

lim supz→z0

|f(z)| = +∞

e suggerisce di studiare separatamente i due casi

limz→z0

|f(z)| = +∞ ,

e in tal caso si dice che z0 è un polo di f(z), e il caso

limz→z0 |f(z)| non esiste.

In quest’ultimo caso si dice che z0 è singolarità essenziale di f(z).

Esaminiamo prima di tutto il caso del polo.

Teorema 1.76. Un punto z0 è un polo per f(z) se e solo se esiste un intorno D di

z0 su cui la funzione f(z) si rappresenta come

f(z) =+∞∑

n=−k

fn(z − z0)n , 1.30

con k numero positivo.

DIMOSTRAZIONE

E’ immediato verificare che se f(z) si rappresenta come richiesto, con k numero

positivo, allora limz→z0 |f(z)| = +∞. Viceversa, se z0 è un polo,

g(z) =1

f(z)

tende a zero per z → z0 e quindi in z0 ha singolarità eliminabile. Si può quindi scrivere,

per z = z0,

g(z) =+∞Xn=k

gn(z − z0)n

e k > 0 perchè g(z) tende a zero per z → z0.

95


Mettendo in evidenza (z − z0)k,

g(z) = (z − z0)kφ(z)

con φ(z0) = 0 e quindi con 1/φ(z) olomorfa in un intorno di z 0, incluso z0. Dunque

f(z) =1

(z − z0)k

1

φ(z)=

1

(z − z0)k

+∞Xn=0

φn(z − z0)n

e questa è la rappresentazione richiesta.

Il numero k in 1.30 si chiama ordine del polo, se f−k = 0. Si confronti con la nota

definizione di ordine di uno zero, come quel numero k > 0 per cui

f(z) =+∞∑n=k

fn(z − z0)n

se fk = 0.

Passiamo ora a studiare il caso della singolarità essenziale. Ovviamente in questo caso

f(z) ha un comportamento “assai disordinato” quando z → z 0. Il teorema seguente,

di dimostrazione assai difficile, mostra che il comportamento è il peggiore che si possa

immaginare:

Teorema 1.77 (di Picard). Sia z0 una singolarità essenziale di f(z) e sia D un

disco di centro z0. L’immagine di D mediante f(z) è uguale a tutto C, escluso al più

un numero.

Non possiamo provare questo teorema, ma possiamo provarne una versione più

semplice:

Teorema 1.78 (di Casorati-Weierstrass). Sia z0 singolarità essenziale di f(z)

e sia D un disco di centro z0. L’immagine di D è densa in C.

DIMOSTRAZIONE

Per assurdo, sia f(D) non denso in C. In tal caso esiste un punto w che non è di

accumulazione per f(D). Il punto w può appartenere o meno ad f(D). Studiamo

96


prima di tutto il caso in cui w ∈ f(D).

Se w = f(z1), z1 ∈ D, allora

w = lim f(zn)

per ogni successione (zn) tendente a z1. Ma, w non è di accumulazione per l’insieme

dei numeri f(zn) e quindi si ha f(zn) = w per ogni n (escluso un numero finito

al più). Dal teorema 1.57 segue che f(z) è costante e quindi che z0 è singolarità

eliminabile.

Studiamo ora il caso in cui w /∈ f(D). In tal caso esiste r > 0 tale che

|f(z) − w| > r ∀z ∈ D

e quindi la funzione olomorfa

g(z) =1

f(z) − w

verifica

|g(z)| <1

r.

Essa ha quindi una singolarità eliminabile in z 0 e quindi

g(z) = (z − z0)k

+∞Xn=0

gn(z − z0)n , g0 = 0 ,

si veda il teorema 1.75. Dunque,

f(z) = w +1

(z − z0)kφ(z)

con φ(z) olomorfa in D (incluso il punto z0). Dunque, f(z) ha in z0 una singolarità

eliminabile, se k = 0, oppure un polo.

Esempi di funzioni con singolarità essenziali sono forniti in particolare dalle serie di

Laurent convergenti in un disco privato del suo centro, come per esempio

e1/z =+∞∑n=0

1n!

1zn

.

97


Infatti, sappiamo che sia nel caso del polo che della singolarità eliminabile il

corrispondente sviluppo in serie di potenze ha al più un numero finito di potenze

negative. Mostreremo che questo caso è del tutto generale:

Teorema 1.79. Sia z0 una singolarità isolata di f(z). Se z0 è singolarità essenziale

di f(z) allora vale

f(z) =n=+∞∑n=−∞

fn(z − z0)n

e la serie converge in un intorno di z0, privato del punto z0.

Invece di provare direttamente questo teorema, è conveniente dedurlo dallo studio di

un caso più generale.

1.18. FORMULA DI LAURENT

Ricordiamo che la formula integrale di Cauchy è immediata conseguenza del teorema

di Cauchy e che questo vale per funzioni olomorfe in regioni di Jordan. Abbiamo però

esteso il teorema di Cauchy a regioni di forma Ωγ1 − Ωγ2 , delimitate da due curve di

Jordan. Si ha in tal caso

∫γ1

f(z) dz =∫

γ2

f(z) dz 1.31

se γ1 e γ2 sono come nella figura 1.16, a sinistra.

Ricordiamo brevemente la dimostrazione, che poi useremo per estendere la formula

integrale di Cauchy. Si considera la curva γε della figura 1.16, a destra (per evitare

complicazioni supponiamo che γ1 e γ2 siano semplici così che anche γε si può segliere

semplice). Per essa vale

∫γε

f(z) dz = 0 .

Al limite per ε tendente a zero si trova che vale 1.31.

98


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

γ1

γ2

x

y

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x

y

γε

Fig. 1.16.

Sia ora z un punto della regione interna a γε. Si può scrivere la formula integrale di

Cauchy

f(z) =1

2πi

∫γε

f(ζ)ζ − z

dζ

(si ricordi, curva semplice). Al limite per ε → 0 questa uguaglianza si riduce a

f(z) =1

2πi

∫γ2

f(ζ)ζ − z

dζ − 12πi

∫γ1

f(ζ)ζ − z

dζ . 1.32

Osservazione 1.80. Si noti che abbiamo scritto un segno “−” di fronte al secondo

integrale perché per convenzione il simbolo∫

γ indica l’integrale sulla curva percorsa

in verso positivo, mentre il secondo integrale si calcola sulla γ1 percorsa in verso

negativo.

Applichiamo la formula 1.32 al caso in cui f(z) è olomorfa in una corona circolare di

centro z0, come in figura 1.17.

In questo caso per γ1 e γ2 si scelgono due circonferenze concentriche di centro z 0 e

la 1.32 mostra che

f(z) = f2(z) − f1(z)

con

f2(z) =1

2πi

∫γ2

f(ζ)ζ − z

dζ , f1(z) =1

2πi

∫γ1

f(ζ)ζ − z

dζ .

99


−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ω

Fig. 1.17.

La f2(z) si sviluppa in serie di Taylor, esattamente come si è già visto al

paragrafo 1.13.:

f2(z) =1

2πi

∫γ2

f(ζ)ζ − z0 + z0 − z

=

12πi

∫γ2

1ζ − z0

f(ζ)1 − z−z0

ζ−z0

dζ =1

2πi

∫γ2

f(ζ)ζ − z0

+∞∑n=0

(z − z0

ζ − z0

)n

dζ

=+∞∑n=0

(1

2πi

∫γ2

f(ζ)(ζ − z0)n+1

dζ

)(z − z0)n .

Si noti che questo calcolo si giustifica perché∣∣∣∣z − z0

ζ − z0

∣∣∣∣ < 1

dato che ζ appartiene a γ2, la circonferenza il cui disco contiene la corona circolare.

Un argomento analogo si applica all’espressione della f1(z), ma tenendo conto ora

del fatto che ζ è sulla circonferenza γ1 che lascia fuori la corona circolare e quindi

ora

∣∣∣∣ζ − z0

z − z0

∣∣∣∣ < 1 .

100


Dunque,

f1(z) =1

2πi

∫γ1

f(ζ)ζ − z0 + z0 − z

=1

2πi

∫γ1

1z0 − z

· f(ζ)1 − ζ−z0

z−z0

dζ

=1

2πi

(− 1

z − z0

)∫γ1

f(ζ)+∞∑n=0

(ζ − z0

z − z0

)n

dζ

= −+∞∑n=0

1(z − z0)n+1

(1

2πi

∫γ1

f(ζ)(ζ − z0)n dζ

)1

(z − z0)n+1.

Ora notiamo che, per la formula 1.31, il valore degli integrali non muta se γ1 e γ2

vengono sostituite da una qualunque circonferenza C di centro z 0 e contenuta nella

corona circolare. Tenendo conto di ciò, scriviamo

−f1(z) =+∞∑n=0

(1

2πi

∫γ1


)1

(z − z0)n+1

=+∞∑n=0

(1

2πi

∫C


)1

(z − z0)n+1

=+∞∑n=1

(1

2πi

∫C

(ζ − z0)n−1f(ζ) dζ

)1

(z − z0)n

=−1∑

n=−∞

(1

2πi

∫C

f(ζ)(ζ − z0)n+1

dζ

)(z − z0)n .

Sommando f2(z) e −f1(z) si trova infine

f(z) =+∞∑

n=−∞

(1

2πi

∫C

f(ζ)(ζ − z0)n+1

dζ

)(z − z0)n . 1.33

Questa formula, valida quando f(z) è olomorfa in una corona circolare, si chiama

formula di Laurent.

Argomenti del tutto analoghi a quelli incontrati nella dimostrazione del teorema 1.59

mostrano che la funzione f(z) ha punti singolari sulla circonferenza esterna della

regione di convergenzae anche su quella interna, se essa non è ridotta ad un solo punto.

Se la corona di convergenza si riduce ad un disco privato del suo centro z 0 allora la

formula di Laurent vale, ma il punto z0 potrebbe essere una singolarità eliminabile.

Comunque sia, abbiamo provato:

101


Teorema 1.81. Una funzione olomorfa f(z) di cui z0 è singolarità isolata, ammette

una serie di Laurent di centro z0 il cui raggio di convergenza r vale 0.

Osservazione 1.82. Osserviamo che una funzione olomorfa ammette un’unica serie

di Taylor di centro un punto z0. Essa però può ammettere più serie di Laurent

convergenti in corone circolari diverse, ma con lo stesso centro. Per esercizio, si

calcolino le serie di Laurent della funzione

f(z) =1

z(z − 1)(z + 2)

di centro z0 = 0.

Sappiamo già che se la funzione ha in z0 una singolarità eliminabile, allora la serie è

di Taylor, mentre se z0 è un polo allora la serie di Laurent è troncata da sotto. Dunque:

Teorema 1.83. sia z0 una singolarità isolata della funzione olomorfa f(z). La

singolarità isolata z0 è punto singolare essenziale se e solo se la serie di Laurent di

f(z) che converge in un disco di centro z0 privato del centro ha infiniti termini di

esponente negativo.

Concludiamo con un’osservazione concernente il coefficiente f−1 della serie di

Laurent 1.33. Per esso vale

f−1 =1

2πi

∫C

f(ζ) dζ .

Quindi, se si riesce a sviluppare una funzione in serie di Laurent, allora è immediato

il calcolo di tale integrale, e anche di altri integrali ad esso correlati.

Esempio 1.84. Consideriamo funzione

f(z) =1

1 − z,

che è già in forma di serie di Laurent di centro z0 = 1. Se C è la circonferenza di

raggio 2 e centro 0 si trova:

102


∫C

f(ζ) dζ = −2πi .

Come altro esempio, consideriamo la funzione

f(z) = e1/z =+∞∑n=0

1n!

1zn

.

In questo caso si vede che f−1 = 1.

Sia C una circonferenza di centro z0, singolarità isolata di f(z). Il numero

f−1 =1

2πi

∫C

f(ζ) dζ

si chiama il residuo della funzione f(z) in z0.

Il residuo di f(z) in z0 si indica col simbolo

Res(f, z0) .

1.19. SINGOLARITÀ E ZERI AD INFINITO

Nello studio del limite di una funzione olomorfa f(z) per z tendente a +∞ conviene

usare una terminologia analoga a quella che si usa per z → z 0. Ciò si fa introducendo

la funzione

g(z) = f(1/z)

e dicendo che f(z) ha ad infinito una singolarità isolata se ciò accade per g(z) in

z0 = 0; e parlando di singolarità eliminabile, polo o singolarità essenziale, a seconda

del comportamento di g(z) in z0 = 0. La serie di Laurent di f(z) ad infinito si

costruisce a partire dalla serie di Laurent di g(z) a 0. Se

g(z) =+∞∑

n=−∞gnzn

allora la serie di Laurent

+∞∑n=−∞

fnzn , fn = g−n , 1.34

103


si chiama la serie di Laurent di f(z) ad infinito. Dunque, se infinito è una singolarità

essenziale di f(z) allora la sua serie di Laurent ha infiniti termini con esponente

positivo. Se infinito è un polo allora la serie 1.34 ha solo un numero finito di termini

con esponente positivo. Si ha invece una singolarità eliminabile ad infinito quando

fn = 0 per n > 0.

Chiameremo residuo ad infinito il numero3

Res(f,∞) = − 12πi

∫C

f(ζ) dζ = −Res(

1z2

g(z), 0)

.

In questo caso C è una circonferenza di centro 0 e raggio così grande da racchiudere

tutte le singolarità “al finito” di f(z). Dunque,

Res(f,∞) = −f−1.

Si noti quindi che il residuo ad infinito può essere non nullo anche se infinito è una

singolarità rimuovibile.

Sia ora z0 ∈ C un polo di f(z). Si sa che si può scrivere

f(z) =−1∑

n=−r

fn(z − z0)n + φ(z)

con φ(z) regolare in z0. La funzione razionale

−1∑n=−r

fn(z − z0)n

si chiama la parte principale di f nel polo z0.

Se infinito è un polo, la funzione f(z) è in particolare olomorfa per |z| > R con R

sufficientemente grande e quindi, per |z| > R,

f(z) =k∑

n=0

fnzn + ψ(z)

con ψ(z) olomorfa (e nulla) ad infinito. In questo caso, il polinomio

3come sempre il verso di percorrenza su C è quello positivo, ossia antiorario.

104


k∑n=0

fnzn

si chiama la parte principale di f ad infinito.

Sia ora f(z) una funzione che ha solo singolarità polari sia al finito che all’infinito.

Allora i poli sono in numero finito N e se Pm(z) è la parte principale dell’m–mo polo,

f(z) −N∑

m=1

Pm(z)

è intera e nulla ad infinito, ossia, per il teorema di Liouville, è identicamente zero. Si

ha dunque:

Teorema 1.85. Una funzione analitica le cui singolarità, al finito ed all’infinito,

sono poli, è razionale.

Sia quindi f(z) una funzione razionale e sia R un raggio così grande che la

circonferenza CR di centro 0 e raggio R racchiuda tutti i poli al finito. Consideraimo

i due integrali

12πi

∫CR

f(z) dz , − 12πi

∫CR

f(z) dz .

L’integrale di sinistra è la somma dei residui nei poli al finito mentre quello di destra

è il residuo ad infinito. Dunque:

Teorema 1.86. La somma dei residui in tutti i poli (al finito e ad infinito) di una

funzione razionale è nulla.

Se la serie di potenze 1.34 non ha termini con esponente positivo, diremo che la

funzione f(z) ha estensione olomorfa ad infinito, in particolare diremo che ha uno

zero ad infinito se essa ha solamente termini con esponente negativo. E il primo di

essi che è non nullo individua l’ordine dello zero.

105


1.20. IL METODO DEI RESIDUI

Sia Ω una regione in cui f(z) è analitica, a parte che nei punti singolari isolati zn, in

numero finito o meno. Sia γ una curva semplice e chiusa in Ω, che non incontra punti

singolari di f(z). Si noti che γ racchiude al più un numero finito di punti singolari

perché questi, essendo isolati, possono solo accumularsi su punti di ∂Ω.

Una semplice iterazione della formula 1.31 mostra che vale∫γ

f(z) dz =∑∫

Ci

f(z) dz

ove Ci sono circonferenze centrate nei punti singolari z i ∈ Ωγ di f(z), così piccole

da non debordare da Ωγ e da non intersecarsi l’una con l’altra. La sommatoria è estesa

ai punti singolari zi ∈ Ωγ . Dunque:

Teorema 1.87 (dei residui). Sia γ una curva semplice e chiusa in Ω, che non

incontra i punti singolari di f(z). Alora vale∫γ

f(z) dz = 2πi∑

Res(f, zi) ,

la somma essendo estesa ai soli punti singolari che sono racchiusi da γ.

Questo teorema è particolarmente importante per il calcolo di integrali impropri di

funzioni di variabile reale. Facciamo una premessa

Premessa sugli integrali impropri

Sia f(z) una funzione di variabile reale che, per semplicità, assumiamo continua. Per

definizione,∫ +∞

−∞f(x) dx = lim

S→−∞

∫ 0

−S

f(x) dx + limT→+∞

∫ T

0

f(x) dx .

L’integrale improprio esiste quando ambedue i limiti esistono finiti.

Si chiama valore principale dell’integrale improprio il numero

limT→+∞

∫ T

−T

f(x) dx .

106


E’ ovvio che se l’integrale improprio esiste allora esiste anche il suo valore

principale ed essi coincidono; ma il valore principale può anche esistere senza che

esista l’integrale improprio, come si vede considerando la funzione

f(x) = sin x .

Essendo la funzione dispari il valore principale è nullo, mentre l’integrale improprio

non esiste.

Il metodo dei residui può spesso usarsi per il calcolo del valore principale di

un integrale improprio, mentre frequentemente si richiede il valore dell’integrale

improprio stesso. Dunque prima di usare il metodo dei residui per il calcolo di

un integrale improprio, è necessario accertarsi che questo esista.

Un caso in cui nessuna verifica preliminare è richiesta è il caso di una funzione pari,

f(x) = f(−x) .

In tal caso

∫ 0

−T

f(x) dx =∫ T

0

f(x) dx

e quindi l’integrale improprio esiste se e solo se esiste il suo valore principale.

1.20.1 Calcolo di integrali impropri

Mostriamo un esempio semplice:

Esempio 1.88. Sia f(x) = 1/(1+ x2). Si sa che questa funzione ammette integrale

improprio e che

∫ +∞

−∞f(x) dx = π .

Mostriamo come si possa ritrovare questo valore usando il metodo dei residui.

La funzione f(x) è la restrizione all’asse reale della funzione

f(z) =1

1 + z2= −1

2i

z − i+

12

i

z + i

e quindi

Res(f, i) = − i

2.

107


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

y

x

Fig. 1.18.

Integriamo la funzione f(z) sulla curva in figura 1.18

L’integrale è ∫ R

−R

11 + x2

dx −∫

ΓR

11 + z2

dz = 2πiRes(f, i) = π .

Passando la limite per R → +∞ si trova∫ +∞

−∞

11 + x2

dx = π + limR→+∞

∫ΓR

11 + z2

dz .

Il risultato segue da qui se possiamo provare che l’ultimo limite è nullo.

Questo semplice esempio mostra che, per poter usare facilmente il metodo dei residui

per il calcolo di integrali impropri, dovremo dare metodi efficienti per il calcolo

dei residui; e dovremo dare criteri che assicurano che gli integrali su opportune

semicirconferenze tendono a zero quando il raggio tende a +∞. Al secondo problema

rispondono i due risultati seguenti:

Lemma 1.89 (del grande cerchio). Sia f(z) analitica su C salvo che nei punti

singolari zn, in numero finito o meno. Se però zn è infinito, sia

lim |zn| = +∞ .

108


Siano Rn raggi tali che Rn = |zk| per ogni n e per ogni k,

limRn = +∞ .

Se esistono numeri positivi M ed ε per cui

|f(z)| <M

|z|1+εper |z| = Rn ,

allora vale

lim∫|z|=Rn

f(z) dz = 0 .

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione è immediata, notando che˛˛Z

|z|=Rn

f(z) dz

˛˛ ≤ 2πR · M

R1+ε

e il membro destro tende a zero.

Questo lemma si applica facilmente al caso dell’Esempio 1.88.

Osservazione 1.90. Si noti:

– se il lemma del grande cerchio si vuol applicare per integrare per esempio su

una semicirconferenza nel semipiano superiore, allora basta supporre che le

condizioni valgano per e z > −σ con σ > 0;

– la disuguaglianza |f(z)| < [M/|z|1+ε] vale anche per ogni z = x reale e

quindi nelle ipotesi del Lemma del grande cerchio, l’integrale improprio di

f(x) esiste.

Il secondo risultato si applica quando si devono calcolare integrali di funzioni della

forma

f(z)eiωz

lungo semicirconferenze nel semipiano Im z > 0 quando ω > 0, nel semipiano

Im z < 0 quando ω < 0.

Indicando con ΓR la semicirconferenza in figura 1.19, si ha

109


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

y

x

ΓR

Fig. 1.19.

Lemma 1.91 (di Jordan). Sia f(z) analitica con sole singolarità isolate in

Im z > 0. Supponiamo inoltre

lim|z|→+∞

f(z) = 0 , 1.35

il limite essendo calcolato nel semipiano Im z ≥ 0. Sia ω > 0. Il tal caso,

limR→+∞

∫ΓR

eiωzf(z) dz = 0 .

La dimostrazione è posposta.

Osservazione 1.92. Si noti:

– Dalla condizione 1.35 segue che f(z) ha solamente un numero finito di punti

singolari in Im z > 0.

– Il lemma di Jordan permette di asserire che esiste il valore principale

dell’integrale improprio di f(x). Niente dice sull’integrale improprio stesso.

Si confronti con l’Osservazione 1.90.

110


Esaminiamo ora il primo problema, di dare formule semplici per il calcolo dei residui.

Ciò è possibile nel caso in cui il punto singolare z0 è un polo. In questo caso,

f(z) =+∞∑

n=−k

fn(z − z0)n , f−k = 0 .

Da questa formula dobbiamo ricavare il coefficiente f−1. E’ immediato vedere che,

se il polo ha ordine k,

f−1 = Res(f, z0) = limz→z0

1(k − 1)!

dk−1

dzk−1

[(z − z0)kf(z)

].

Nel caso del polo di ordine 1 si trova in particolare

limz→z0

(z − z0)f(z) .

Quest’ultima espressione assume un aspetto ancora più semplice nel caso particolare

in cui la funzione è data in forma di quoziente,

f(z) =n(z)d(z)

.

Sia z0 un polo di ordine 1 di f(z) e supponiamo n(z0) = 0, così che d(z) ha uno zero

semplice in z0. In questo caso,

limz→z0

(z − z0)f(z) = limz→z0

(z − z0)n(z)d(z)

=n(z0)d′(z0)

.

Dimostrazioni posposte

Dimostriamo il Lemma di Jordan.

Parametrizziamo ΓR come

ΓR : z(t) = Reit , 0 ≤ t ≤ π

e sia Γ+R la circonferenza ottenuta per t ∈ [0, π/2], Γ−

R quella ottenuta per t ∈ [π/2, π].

Mostriamo

limR→+∞

∫Γ+

R

eiωzf(z) dz = 0 , limR→+∞

∫Γ−

R

eiωzf(z) dz = 0 .

Consideriamo il primo limite (il secondo si tratta in modo analogo). Sia

M+R = max

Γ+R

|f(z)| .

111


Per ipotesi,

limR→+∞

M+R = 0 .

Usando il lemma 1.28, stimiamo l’integrale come segue:∣∣∣∣∣∫

Γ+R

eiωzf(z) dz

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∫ π/2

0

eiωReit

f(Reit)iReit dt

∣∣∣∣∣≤∫ π/2

0

R∣∣eiωR cos t−ωR sin tf(Reit)

∣∣ dt ≤ RM(R)∫ π/2

0

e−ωR sin t dt .

Ora notiamo che

− sin t ≤ −2t/π per 0 ≤ t ≤ π/2

e quindi

R

∫ π/2

0

e−ωR sin t dt ≤ R

∫ π/2

0

e−ωRt/2π dt =2π

ω

[1 − e−ωR/4

]rimane limitato per R → +∞, perché ω > 0. Dunque,

limR→+∞

M(R)∫ π/2

0

e−ωR sin t dt = 0

come si voleva.

L’integrale su Γ−R si tratta in modo analogo.

1.20.2 Il Principio dell’argomento

Sia f(z) una funzione olomorfa in una regione Ω, nulla in un punto z 0,

f(z) = (z − z0)kφ(z) , φ(z0) = 0 .

Essendo

f ′(z) = k(z − z0)k−1φ(z) + (z − z0)kφ′(z)

si vede che f ′(z)/f(z) ha polo semplice, con residuo uguale a k, l’ordine dello zero.

In modo analogo si vede che se

f(z) = (z − z0)−kφ(z) , φ(z0) = 0

112


la funzione f ′(z)/f(z) ha ancora un polo semplice in z0, con residuo −k, essendo k

l’ordine del polo di f(z) in z0. Dunque, se C è una circonferenza (semplice) di centro

z0 che non racchiude altri zeri o punti singolari di f(z) oltre a z 0, si ha

12πi

∫C

f ′(z)f(z)

dz =

k se z0 è uno zero di ordine k

−k se z0 è un polo di ordine k.

Supponiamo ora che γ sia una curva semplice e chiusa in Ω, che non incontra né zeri

né punti singolari di f(z). Supponiamo inoltre che i punti singolari siano poli. In tal

caso,

12πi

∫γ

f ′(z)f(z)

dz = Z − P 1.36

ove Z è la somma delle molteplicità degli zeri racchiusi da γ e P è la somma delle

molteplicità dei poli racchiusi da γ. Quest’affermazione va sotto il nome di Principio

dell’argomento perché, cambiando la variabile di integrazione,

12πi

∫γ

f ′(z)f(z)

dz =1

2πi

∫γf

1ζ

dζ

ove γf è l’immagine di γ mediante f ,

γf : ζ = f(z(t)) , t ∈ [a, b] .

Dunque, il membro destro di 1.36 rappresenta l’indice della curva γf rispetto

all’origine ossia, intuitivamente, il numero dei giri che un punto mobile sulla curva

γf compie intorno all’origine: detto in modo intuitivo, la “variazione dell’argomento”

di ζ quando ζ percorre γf .

1.20.3 I teoremi di Hurwitz e Rouché e della mappa aperta

Il Principio dell’argomento è alla base di numerosi metodi grafici dell’ingegneria ed

ha importanti conseguenze teoriche. Tra queste proviamo i teoremi di Hurwitz e di

Rouché.

Teorema 1.93 (di Hurwitz). Sia (fn(z)) una successione di funzioni olomorfe su

Ω, convergente ad f(z) uniformemente sui compatti di Ω. Supponiamo che la funzione

f(z) non sia identicamente nulla e che z0 sia uno zero di f(z). In ogni intorno di z0

113


si annullano tutte le funzioni fn(z), a parte un numero finito di esse. Inoltre, Sia D

un intorno di z0 su cui f(z) si annulla solo in z0. Per n sufficientemente grande, il

numero degli zeri di fn(z) in D, contati tenendo conto della molteplicità, è uguale

alla molteplicità dello zero z0 di f(z).

DIMOSTRAZIONE

Sia D un disco, intorno di z0. Supponiamo che

D = z | |z − z0| < r .

Sia C la circonferenza di D.

Si sa che gli zeri di f(z) sono isolati perché f(z) non è identicamente nulla e quindi

il raggio r si può scegliere in modo che f(z) non si annulli su C. La convergenza di

(fn(z)) ad f(z), uniforme su C, mostra che per n grande anche fn(z) non si annulla su

C. Dunque, il numero degli zeri può calcolarsi applicando il Principio dell’argomento

su C:

limn

»1

2πi

ZC

f ′n(z)

fn(z)dz

–=

1

2πi

ZC

f ′(z)

f(z)dz = N ≥ 1 .

Dato che

1

2πi

ZC

f ′n(z)

fn(z)dz

prende valori interi e il limite è N , la successione deve essere definitivamente uguale

a N . Ciò completa la dimostrazione.

Osservazione 1.94. Si noti che l’ipotesi f(z) non identicamente nulla non può

rimuoversi: la successione delle funzioni costanti

fn(z) = 1/n

converge uniformemente alla funzione nulla, e nessuna delle fn(z) ammette zeri.

Un secondo risultato importante mostra che gli zeri variano con continuità perturbando

la funzione.

114


Teorema 1.95 (di Rouché). Siano g(z) ed h(z) funzioni olomorfe in una regione

di Jordan Ω e sia γ una curva semplice e chiusa in Ω.

Supponiamo che sul sostegno di γ valga la disuguaglianza stretta

|h(z)| < |g(z)| . 1.37

In tal caso la somma delle molteplicità degli zeri di g(z) nella regione Ωγ uguaglia la

somma delle molteplicità degli zeri di g(z) − h(z), ancora in Ωγ .

DIMOSTRAZIONE

Vediamo prima di tutto un argomento intuitivo, che però sarebbe lungo giustificare

completamente. Notiamo che

arg(g − h) = arg

„g

»1 − h

g

–«= arg g + arg

»1 − h

g

–.

La 1.37 mostra che

˛˛h(z)

g(z)

˛˛ < 1 ,

ossia che i punti

w = 1 − h

g

hanno parte reale positiva. Dunque, la curva parametrizzata da (1 − h/g) non gira in-

torno all’origine, e quindi, percorrendola, la variazione dell’argomento è zero. Dunque,

si intuisce che percorrendo γg−h l’argomento debba variare di tanto quanto varia per-

correndo γg. E quindi, le due funzioni g e g − h avranno il medesimo numero di zeri

racchiusi da γ.

Vediamo ora la dimostrazione rigorosa. Si noti che la disuguaglianza stretta 1.37

implica che né g(z) né

ψ(z) = g(z) − h(z)

hanno zeri sul sostegno di γ. Possiamo quindi usare il Principio dell’argomento e provareZγ

ψ′(z)

ψ(z)dz =

Zγ

g′(z)

g(z)dz

115


ossia

Zγ

»ψ′(z)

ψ(z)− g′(z)

g(z)

–dz = 0 .

Ora,

ψ′(z)

ψ(z)− g′(z)

g(z)=

ψ′(z)g(z) − ψ(z)g′(z)

g(z)ψ(z)

h(z)g′(z) − h′(z)g(z)

g(z)[g(z)− h(z)]=

φ′(z)

φ(z)

ove

φ(z) =ψ(z)

g(z)=

g(z) − h(z)

g(z).

Va quindi provato che

Zγ

φ′(z)

φ(z)dz = 0 . 1.38

Di nuovo, quest’integrale ha senso perché né g(z) né h(z) si annullano su γ.

Scriviamo ora la disuguaglianza 1.37 nella forma

|g(z) − ψ(z)| < g(z) ossia |1 − φ(z)| < 1

sul sostegno di γ. Questa disuguaglianza ora mostra che la curva γ φ ha sostegno nel

disco di centro 1 e raggio 1: non gira intorno all’origine e quindi l’integrale in 1.38 è

effettivamente nullo, come dovevamo provare.

Si ricordi ora il teorema di Brower: una funzione h(z) dal disco chiuso z | |z| ≤ 1in sé che è continua, ammette un punto fisso; ossia, esiste un punto z0 di norma

minore o uguale ad 1, tale che h(z0) = z0. Ripetiamo che questo teorema vale sotto

la sola ipotesi che f(z) sia continua, e la sua dimostrazione è difficile. Se però h(z) è

olomorfa una semplice dimostrazione può dedursi dal teorema di Rouché:

Corollario 1.96. Sia h(z) olomorfa su una regione Ω che contiene z | |z| ≤ 1.

Supponiamo che

|z| ≤ 1 =⇒ |h(z)| < 1 .

Allora, la funzione h(z) ha un punto fisso z0 e uno solo. Inoltre, |z0| < 1.

116


DIMOSTRAZIONE

Si noti che se h(z0) = z0 allora

|z0| = |h(z0)| < 1 .

Dobbiamo provare l’esistenza di z0, ossia dobbiamo provare che che la funzione h(z)−

z ha un unico zero. Confrontiamo h(z) con la funzione

g(z) = z ,

che ha un unico zero. Vale

|z| = 1 =⇒ |h(z)| < |z| = |g(z)|

e quindi g(z) = z e g(z) − h(z) = z − h(z) hanno il medesimo numero di zeri; ossia

h(z) = z ha esattamente una soluzione.

Diamo ora un’ulteriore dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra.

Corollario 1.97 (fondamentale dell’algebra). Un polinomio di grado n > 0 ha

esattamente n zeri complessi.

DIMOSTRAZIONE

L’ipotesi è che il polinomio ha grado n e quindi può scriversi come

zn + h(z) , h(z) = an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 .

Il polinomio zn ha esattamente n zeri (si ricordi che nell’uso del principio dell’argomento

gli zeri vanno contati tenendo conto delle molteplicità).

Vale

lim|z|→+∞

h(z)

zn= 0

e quindi

|h(z)| < |zn|

su ogni circonferenza |z| = R, con R sufficientemente grande. Da qui l’asserto.

117


Illustriamo ora una ulteriore differenza importante tra le funzioni “regolari” di una

variabile reale, e quelle “regolari”, nel senso della variabile complessa. Consideriamo

la funzione

f(x) = x2 ,

da R in sé. Questa funzione, non costante, è analitica nel senso delle funzioni di

variabile reale (è addirittura un polinomio). Il suo dominio è un aperto mentre la sua

immagine non è aperta. Proviamo che nel caso delle funzioni olomorfe ciò non può

aversi:

Teorema 1.98 (della mappa aperta). Una funzione olomorfa e non costante

trasforma aperti in aperti.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che i punti di accumulazione degli zeri di una funzione olomorfa su Ω e non

identicamente nulla non si accumulano su punti di Ω. Di conseguenza, anche l’insieme

z | f(z) = w

non ha punti di accumulazione in Ω, salvo nel caso in cui f(z) è costante.

Sia ora w0 un punto di f(Ω), z0 un punto per cui f(z0) = w0 e sia r > 0 tale che

D = z | |z − z0| < r ⊆ Ω .

Avendo notato che f−1(w0) non ha punti di accumulazione in Ω, si vede che, per r

abbastanza piccolo, f(z) = w0 se z ∈ D.

Vogliamo mostrare che w0 è interno a f(Ω).

Indichiamo con C la circonferenza |z − z0| = r, così che f(z) − w0 per |z − z0| ≤ r si

annulla solo per z = z0.

Sia

m = minC

|f(z) − w0| > 0 , Dm = w | |w − w0| < m/2 .

Proviamo che Dm ⊆ Ω. Sia per questo w1 ∈ Dm e studiamo l’equazione

f(z) = w1 .

118


Scrivendo

f(z) − w1 = [f(z) − w0] + [w0 − w1] = g(z) − h(z)

si vede che su C vale

|w0 − w1| = |h(z)| <m

2< m < |f(z) − w0| = |g(z)| .

Dunque, per il teorema di Rouché, g(z) ed f(z) − w 1 hanno il medesimo numero di

zeri racchiusi da C. Dato che per ipotesi g(z) = f(z)−w0 si annulla, anche f(z)−w1

si deve annullare; ossia esiste z1 ∈ D ⊆ Ω tale che f(z1) = w1, come si voleva.

E’ conseguenza del teorema precedente che una trasformazione olomorfa

invertibile ha inversa continua.

1.21. TRASFORMAZIONI CONFORMI

Ricordiamo che una trasformazione olomorfa f(z) tra due regioni Ω ed Ω ′ è conforme

diretta se la sua derivata non si annulla. Conviene rinforzare questa definizione,

richiedendo che f(z) sia olomorfa, invertibile e con inversa olomorfa. Si noti che

se g(z), inversa olomorfa di f(z), esiste allora

g(f(z)) = z da cui g′(f(z))f ′(z) = 1 1.39

e quindi f ′(z) non si annulla. Si è imposto in più la biunivocità, proprietà che la

condizione f ′(z) = 0 non assicura globalmente: la funzione f(z) = ez ha derivata

priva di zeri, pur essendo periodica.

Da ora in poi, parlando di trasformazione conforme tra due regioni Ω ed Ω ′

intenderemo sempre una trasformazione f(z) olomorfa e invertibile da Ω in Ω ′, con

inversa olomorfa e quindi con derivata non nulla.

Vogliamo prima di tutto studiare le trasformazioni conformi da D = z | |z| < 1 in

sé. E’ facile trovare alcune di queste trasformazioni. Tra queste le rotazioni.

w = Rβ(z) = eiβz

119


con β numero reale fissato, e anche le trasformazioni che indichiamo con T a,

w = Ta(z) =z − a

1 − az

con |a| < 1.

E’ facile vedere che Ta trasforma D in sé notando che se |z| = 1 allora

|Taz| =∣∣∣∣ z − a

1 − az

∣∣∣∣ = 1|z|

∣∣∣∣z − a

z − a

∣∣∣∣ = 1 .

Per il principio del massimo, |Taz| ≤ 1 su D. Dunque, Ta trasforma D in D. Per

mostrare che è suriettiva e iniettiva, notiamo che essa è invertibile: sia |w| ≤ 1 e

risolviamo l’equazione

z − a

1 − az= w .

Questa è risolta da

z =w + a

1 + aw= T−aw

e

| − a| = |a| < 1 .

Dato che T−1a = T−a, anche T −1

a è olomorfa e quindi, da 1.39, Ta ha derivata non

nulla, ossia è conforme.

Si noti che per a = 0 si ritrova il caso particolare della trasformazione identità, z → z.

Le trasformazioni Ta si chiamano trasformazioni di M’obius.

Ricapitolando, abbiamo trovato due famiglie di trasformazioni conformi da D in

D, la famiglia R delle rotazioni e la famiglia T delle trasformazioni di M ’obius di

parametro a, |a| < 1.

Osservazione 1.99. Nel definire Ta abbiamo imposto la condizione |a| < 1. Per

questa ragione, trasformazioni di M’obius e rotazioni vanno considerate separata-

mente. Avessimo permesso invece |a| = 1 avremmo ritrovato le rotazioni come

particolari trasformazioni di M’obius:

120


z − eiβ

1 − e−iβz=

1e−iβ

z − eiβ

eiβ − z= −eiβ .

Calcoliamo la composizione di due trasformazioni di M’obius,

w =z − a

1 − az, z =

ζ − b

1 − bζ.

La trasformazione composta è

w =1 + ab

1 + ab· ζ − [(a + b)/(1 + ab)]

1 − (a + b)/(1 + ab)ζ

e

∣∣∣∣1 + ab

1 + ab

∣∣∣∣ = 1 ,

∣∣∣∣ a + b

1 + ab

∣∣∣∣ < 1

(l’ultima disuguaglianza è immediata perché si sa che la trasformazione composta

trasforma il disco in sé). Dunque, TaTb = RβT(a+b)/(1+ab) per un certo valore di

β ∈ R,

β =1 + ab

1 + ab.

Ossia, componendo trasformazioni di M’obius si trovano nuovamente trasformazioni

di M’obius, seguite da una rotazione. Equivalentemente, componendo trasformazioni

di M’obius si trovano trasformazioni di M’obius precedute da una rotazione. Infatti,

eiρ z − a

1 − az=

(eiρz) − aeiρ

1 − [aeiρ](eiρz).

Vogliamo provare che tutte le trasformazioni conformi di D in sé sono di tale forma.

Per questo abbiamo bisogno di premettere:

Lemma 1.100 (di Schwarz). Sia f(z) olomorfa su D a valori in D. Se f(0) = 0

allora vale

|f(z)| ≤ |z| , |f ′(0)| ≤ 1. 1.40

Se inoltre esiste z0 ∈ D per cui

|f(z0)| = |z0|

121


oppure se

|f ′(0)| = 1

allora f(z) è una rotazione.

DIMOSTRAZIONE

Si noti che |f(z)| ≤ 1 per il principio del massimo modulo e che le due condizio-

ni f(0) = 0 e |f(z)/z| ≤ 1 implicano che |f ′(0)| ≤ 1. Dunque basta provare che

|f(z)| ≤ |z|.

Introduciamo la funzione

F (z) =

8><>:

f(z)/z z = 0

f ′(0) z = 0 .

Dal teorema di Riemann, questa funzione è olomorfa perché f(z) si annulla in z = 0.

Leggiamo la funzione F (z) nel disco di raggio 1 − ε. Sulla circonferenza vale

|F (z)| =|f(z)|1 − ε

≤ 1

1 − ε

perchè, come si è notato, |f(z)| ≤ 1.

Ancora per il principio del massimo modulo, la disuguaglianza |F (z)| ≤ 1/(1 − ε) vale

per ogni ε ∈ (0, 1) e per ogni z tale che |z| < 1 − ε. Dunque, per ogni z ∈ D vale˛˛f(z)

z

˛˛ ≤ inf

ε∈(0,1)

1

1 − ε= 1 .

Ciò prova 1.40.

Supponiamo ora di sapere che per un certo z 0 ∈ D vale

|f(z0)| = |z0|, ossia |F (z0)| = 1 .

Per il principio del massimo modulo, F (z) è costante, F (z) = a con |a| < 1 e quindi

f(z) = az

è una rotazione.

In modo analogo si procede se

|f ′(0)| = 1 ossia |F (0)| = 1 .

122


Proviamo ora:

Teorema 1.101. Sia f(z) una trasformazione conforme da D = z | |z| < 1 in sé.

Esiste a ∈ C, con |a| < 1 e β ∈ R tale che

f(z) = Ta(Rβ(z))

ossia, f = TaRβ .

DIMOSTRAZIONE

Sia a = f(0) e consideriamo la trasformazione g(z),

g(z) = (Taf)(z) =f(z) − f(0)

1 − f(0)f(z).

Questa funzione manda D in sé, perché |a| = |f(0)| < 1 e inoltre g(0) = 0. Dunque,

per il Lemma di Schwarz, |g ′(0)| ≤ 1.

Consideriamo ora la trasformazione h(z) inversa di g(z). Anch’essa è una trasfor-

mazione conforme da D in sé e inoltre h(0) = 0 cosí che anche per essa vale

|h′(0)| ≤ 1.

Essendo

h′(z) =1

g′(w), w = h(z)

si ha, per z = 0,

h′(0) =1

g′(0)

e quindi valgono contemporaneamente le disuguaglianze

|g′(0)| ≤ 1 , |g′(0)| ≥ 1 .

Si ha dunque

|g′(0)| = 1 .

Per la seconda parte del Lemma di Schwarz, g(z) è una rotazione, g(z) = R β(z) per

qualche β ∈ R. Dunque,

f(z) =`T−f(0)Rβ

´(z) .

123


In modo più esplicito, abbiamo provato che se f(z) è una trasformazione conforme

da D in sé, esiste β ∈ C, |β| = 1 per cui

f(z) =(βz) + f(0)1 − f(0)(βz)

.

Un’ulteriore conseguenza del Lemma di Schwarz permette di rinforzare moltissimo il

teorema di Liouville. Indichiamo col simbolo Π+ il semipiano

Π+ = z | e z > 0

e notiamo che la trasformazione S,

w = S(z) =z − 1z + 1

, 1.41

trasforma Π+ in D ed è invertibile, la sua inversa essendo data da

z =w + 11 − w

da D in Π+; ossia, S è una trasformazione conforme di Π+ in D.

Proviamo ora:

Teorema 1.102. Sia f(z) una funzione intera che non prende valori in un segmento.

La funzione f(z) è costante.

DIMOSTRAZIONE

Non è restrittivo assumere che il segmento sia

x + i0 , x ∈ [0, 1] .

Dunque, f(z) = x + i0, x ∈ [0, 1], per ogni z.


φ(z) =z

z − 1= 1 − 1

1 − z.

Notiamo che

φ(z) = −x + i0 , x > 0 se e solo se z ∈ [0, 1].

124


Dunque,

g(z) = φ(f(z))

non prende valori sull’asse reale negativo e dunque si può definire la funzione

g1/2(z) ,

olomorfa su C, si veda il paragrafo 1.9.3. La funzione g1/2(z) prende valori in Π+ e

quindi componendola con la trasformazione S in 1.41 si trova una funzione intera a

valori in D, e quindi limitata. Per il teorema di Liouville essa è costante e quindi f(z)

stessa è costante.

1.21.1 Il teorema di Riemann

Il teorema di Riemann mostra una condizione topologica perché una regione sia

conforme ad un disco. Prima di enunciarlo, è bene notare che non tutte le regioni

possono essere trasformate biunivocamente su un disco mediante una trasformazione

olomorfa. Infatti:

Esempio 1.103. Nessuna funzione olomorfa trasforma in modo biunivoco C su una

regione limitata: infatti una tale funzione sarebbe intera e limitata e quindi costante,

ossia non biunivoca.

E’ un po’ più macchinoso vedere il caso seguente: sia D = z | |z| < 1 e sia D 0 il

disco D privato dell’origine.

Nessuna funzione olomorfa f(z) può trasformare in modo biunivoco D 0 su D. Infatti,

se ciò accadesse, il punto 0 non sarebbe di accumulazione per le singolarità di

f(z), che non cadono in punti di D0, e la f(z) stessa è limitata; e quindi f(z) si

estenderebbe in modo olomorfo a 0. Però, f(0) non può essere interno a D, se si

vuole che f(z) sia biunivoca; e quindi

|f(0)| = 1 = sup|z|<1

|f(z)| .

Per il principio del massimo modulo, f(z) viene ad essere costante, e quindi non

biunivoca.

Enunciamo ora il teorema di Riemann in generale. Il teorema verrà quindi provato in

un caso particolare.

125


Teorema 1.104 (di Riemann). Sia Ω una regione semplicemente connessa che

non è tutto il piano complesso. Esiste una funzione olomorfa che trasforma Ω su D in

modo biunivoco.

DIMOSTRAZIONE

(Il teorema si prova nel caso particolare in cui Ω è una regione di Jordan Ω γ .)

Fissiamo un punto z0 ∈ Ωγ . Essendo Ωγ limitata, essa è contenuta in un disco DR

di raggio R e centro 0. La trasformazione conforme z → z/(R + 1) trasforma D R in

D = z | |z| < 1 e quindi Ωγ in D. Applicando una trasformazione di M ’obius, si trova

una trasformazione da Ωγ in D, che trasforma z0 in 0. La trasformazione così costruita

è inoltre iniettiva. Non è però suriettiva.

Sia F la famiglia delle trasformazioni olomorfe ed iniettive da Ω γ a D, che trasfor-

mano z0 in 0. Il teorema è dimostrato se si riesce a provare che F contiene una

trasformazione suriettiva.

Si noti che se f(z) ∈ F allora |f(z)| < 1 e quindi, per il teorema di Montel, ogni

successione in F contiene s.successioni convergenti uniformemente sui compatti di

Ωγ . Inoltre, se f(z) ∈ F ,

|f ′(z0)| =1

2π

˛˛Z

C

f(ζ)

(ζ − z0)2

˛˛ ≤ 1

r

se C è una circonferenza di raggio r e centro z 0, contenuta in Ωγ . Dunque,

MF = sup|f ′(z0)| , f ∈ F < +∞ .

Sia (fn(z)) una successione in F , tale che

lim |f ′n(z0)| = MF .

Per il teorema di Montel, si può supporre che essa converga ad una funzione olomorfa

f0(z), uniformemente sui compatti di Ωγ e quindi, per il teorema di Weierstrass e per

la continuità della funzione modulo,

|f ′0(z0)| = lim |f ′

n(z0)| = MF , f0(z0) = 0 .

Proviamo che la funzione f0(z) è iniettiva, e quindi che appartiene a F . Fissiamo un

punto z2 ∈ Ωγ e mostriamo che f(z1) = f(z2) per ogni altro punto z1 = z2 di Ωγ .

126


Sia s = |z1 − z2|/2. La funzione fn(z) è iniettiva e quindi

ψn(z) = fn(z) − fn(z2) , n > 0

non si annulla sul disco di centro z1 e raggio s. Ciò vale per ogni indice n e quindi

nemmeno ψ0(z) si annulla, per il teorema di Hurwitz; ossia, f0(z1) = f0(z2).

Ciò prova che f0(z) è iniettiva e quindi f0(z) appartiene ad F .

Proviamo ora che la funzione f0(z) è anche suriettiva, completando così la dimostra-

zione del teorema. Per assurdo supponiamo che non lo sia e sia a uno dei valori di D

che essa non assume.


φ(z) =

sa − f0(z)

1 − af0(z).

Dato che Ωγ è una regione di Jordan, e che il radicando non si annulla su Ω γ , è possi-

bile definire una determinazione della radice quadrata, in modo da avere φ(z) olomorfa

su Ωγ , si veda il paragrafo 1.9.3. La φ(z) è quindi olomorfa e, essendo ottenuta appli-

cando ad f(z) prima la trasformazione di M’obius Ta e poi una determinazione della

radice quadrata, è iniettiva. Essa non apparterrà a F perché in generale φ(z 0) = 0.

Applichiamo dunque a φ(z) la trasformazione di M ’obius che riporta φ(z0) in 0. Si trova

g(z) =φ(z) −

√a

1 −√

aφ(z)

e la funzione g(z) è ora un elemento di F .

Calcoliamo g ′(z0). Procediamo in due passi:

g′(z) =φ′(z)

h1 −

√aφ(z)

i+ [φ(z) −

√a]

√aφ′(z)h

1 −√

aφ(z)i2

così che

g′(z0) =1

1 − |√

a|2 φ′(z0) .

Ora calcoliamo

φ′(z) =1

2

s1 − af0(z)

a − f0(z)

−1 + |a|2

[1 − af0(z)]2f ′0(z)

127


così che

φ′(z0) = − 1

2√

a

`1 − |

√a|2´ `

1 + |√

a|2´f ′0(z) .

Combinando insieme queste uguaglianze si trova

g′(z0) = −»1 + |√a|2

2√

a

–f ′(z0) , |g′(z0)| = MF ·

»1 + |√a|2

2√

a

–.

Ora,

»1 + |a|2√

a

–> 1

perché 1+ |√

a|2−2|√

a| > 0, l’uguaglianza essendo stretta, dato che |a| < 1. Dunque,

|g′(z0)| > MF , in contrasto con la definizione del numero MF .

La contraddizione trovata prova il teorema.

Abbiamo provato il teorema di Riemann in un caso particolare. In questo caso può

dirsi di più:

Teorema 1.105. Sia Ωγ una regione di Jordan e sia f(z) una funzione olomorfa che

è conforme da Ωγ su D. La funzione f(z) può estendersi con continuità a ∂Ωγ .

Non proviamo questo teorema.

1.22. MONODROMIA E POLIDROMIA

Possiamo solo accennare informalmente a questo argomento, sui cui è però bene avere

qualche nozione.

1.22.1 Punti di diramazione di funzioni olomorfe

Un punto z0 ∈ ∂Ω, Ω dominio di una funzione olomorfa f(z), si dice punto di

diramazione quando ogni suo intorno contiene una curva chiusa γ la cui immagine

γf non è chiusa. Dunque, f(z) è discontinua in ogni intorno di z 0. Vedremo più

avanti una definizione più generale di punto di diramazione.

128


Si noti che z0 = 0 è punto di diramazione per le funzioni z → |z|1/nei(Arg z)/n e

z → Log z.

I punti di diramazione si incontrano spesso trattando le funzioni inverse di funzioni che

non sono biunivoche e questo suggerisce un modo di trattare le funzioni che è stato

introdotto da Riemann. Accenniamo all’idea, considerando l’esempio della funzione

Log z. Consideriamo prima di tutto la funzione

f(x + iy) = ex(cos y + i sin y)

che trasforma ogni striscia

(2k − 1)π ≤ y < (2k + 1)π

su tutto il piano complesso privato dell’origine.

Fissiamo l’attenzione sulla striscia

−π ≤ y < π.

Quando si rappresenta l’immagine della striscia sul piano complesso in realtà si

considera la trasformazione da R2 in R2 data da

(x, y) → (ex cos y, ex sin y) .

Consideriamo invece la trasformazione da R2 in R3

(x, y) → (ex cos y, ex sin y, y) = (ξ, η, ζ) . 1.42

In questo modo l’immagine di y → ex+iy con x fissato è una spira di un’elica.

La successiva striscia è caratterizzata da

π ≤ y < 3π

e la trasformazione 1.42 rappresenta ora y ∈ [π, 3π), con lo stesso valore di x, nella

successiva spira; e la striscia π ≤ y < 3π ha immagine che ora non si sovrappone a

quella calcolata prima.

In questo modo si ha una rappresentazione dell’esponenziale come funzione biunivoca

da C su una superficie di R3; e quindi la funzione inversa viene ora ad essere univoca.

129


−5

0

5

10−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14

0

2

4

6

8

10

12

14

x

y

z

Fig. 1.20.

La superficie che abbiamo costruito si chiama la superficie di Riemann della funzione

log x.

Costruzioni analoghe, ma un po’ più complesse, possono farsi per le funzioni radice.

1.22.2 Funzioni analitiche

Sia f(z) una funzione olomorfa su una regione Ω. Si è già notato che sviluppando

la funzione in serie di Taylor con centro un punto z 1 di Ω, può essere che la serie

converga su un disco che fuoriesce da Ω. In tal caso usando la serie si trova

un’estensione di f(z). Per studiare meglio questo fenomeno, introduciamo questo

termine: chiamiamo elemento analitico (più semplicemente elemento) la coppia di

una regione Ω e di una funzione f(z) olomorfa su Ω. Se Ω è un disco e quindi f(z) è

sviluppabile in serie di Taylor su Ω, l’elemento si chiamerà canonico.

Due elementi (Ω1, f1(z)) e (Ω2, f2(z)) si dicono equivalenti se Ω1 ∩ Ω2 = ∅ e se

f1(z) = f2(z) ∀z ∈ Ω1 ∩ Ω2 .

Se Ei, i = 1,. . . ,n sono elementi canonici e se ciascuno è equivalente al precedente,

l’insieme degli Ei si chiama una catena. L’elemento E1 si dirà il primo elemento della

130


catena ed En l’ultimo. Diremo anche che la catena è una funzione analitica ottenuta

da E1 per prolungamento lungo catene di cerchi.

In generale, chiameremo funzione analitica secondo Weierstrass l’insieme di tutti gli

elementi canonici che fanno parte di tutte le catene che si ottengono prolungando per

catene di cerchi un elemento dato.

La definizione di funzione analitica secondo Weierstrass dipende quindi dal

primo elemento che è stato scelto. Si prova però che scegliendo come primo

elemento un altro elemento della stessa funzione analitica, la funzione analitica

non cambia.

Esempio 1.106. Si consideri la funzione

f(z) =√|z|ei(Arg z)/2

che è olomorfa nella regione |Arg z| < π. Fissiamo z0 e sviluppiamo la funzione in

serie di Taylor, di centro z0. Si trova

f(z) = [(z − z0) + z0]1/2 = f(z0)+∞∑n=0

1/2

n

(z − z0)n

e questa serie ha raggio di convergenza uguale ad 1.

Sia z0 è il punto indicato in figura 1.21. La serie definisce una funzione olomorfa

anche attraverso un segmento dell’asse reale negativo. Dunque, l’estensione così

ottenuta di f(z) coincide con la funzione data nei punti del terzo quadrante, ma non

in quelli del quarto.

Si confronti con quanto detto ai paragrafi 1.9.3 e 1.13.2.

L’esempio precedente mostra che elementi diversi della medesima catena possono

prendere valori diversi nel medesimo punto. Ciò suggerisce di definire monòdroma

o univalente una funzione analitica secondo Weierstrass che ha la seguente ulteriore

proprietà: siano (Di, fi) e (Dj , fj) elementi diversi. Se z0 ∈ Di ∩ Dj allora vale

fi(z0) = fj(z0); altrimenti la funzione si dice polìdroma.

Possiamo ora dare la seguente definizione generale di singolarità isolata: il punto z 0

sia di accumulazione per il dominio Ω di un elemento (Ω, f(z)) . Diciamo che il punto

131


−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−6

−4

−2

0

2

4

6 y

x

Fig. 1.21.

z0 è una singolarità isolata se è possibile estendere f(z) ad un intorno di z 0, escluso

z0, mediante una catena di cerchi che però non coprono z 0. Va osservato che questa

definizione fa riferimento ad una catena. Niente vieta che una diversa catena produca

un’estensione ad un intorno di z0, incluso il punto z0.

Esempio 1.107. Sia z0 = 1 e sia

f(z) =1

1 +√

z

ottenuta scegliendo

√z =

√|z|ei[π+(Arg z)/2] . 1.43

Si vede che il punto z0 = 1 è singolare per f(z) nonostante che

g(z) =1

1 +√|z|ei(Arg z)/2

sia regolare in z0 = 1, e sia un’estensione per catene di cerchi di 1.43.

Quest’osservazione suggerisce di estendere come segue la definizione di punto di

diramazione.

132


Sia z0 un punto singolare isolato di una funzione analitica secondo Weierstrass. Si

dice che il punto z0 è un punto di diramazione se ogni intorno di z0 contiene una

catena di cerchi della funzione i cui domini coprono una circonferenza centrata in z 0

e col primo elemento che è diverso dall’ultimo.

Esempio 1.108. La funzione

f(z) =√

z =√|z|ei(Arg z)/2

ha z0 = 0 come punto di diramazione, perché, come si è visto sopra, estendendo per

catene di cerchi si passa dall’una all’altra determinazione della radice. Osservazione

analoga vale per la funzione Log z.

Osservazione 1.109. I punti di diramazione non sono stati considerati nello studio

dei punti singolari di funzioni olomorfe. Infatti, con riferimento ad un singolo

elemento olomorfo (Ω, f), essi non sono punti singolari isolati: ogni loro intorno

contiene punti nei quali la funzione f(z) è discontinua.

Mostriamo infine che una funzione analitica secondo Weierstrass, se non ha punti

singolari in una regione di Jordan Ω coincide con un elemento olomorfo.

Teorema 1.110 (di monodromia). Sia Ω una regione di Jordan contenuta nel

dominio di una funzione analitica secondo Weierstrass. La funzione è univalente su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Illustriamo l’idea della dimostrazione. Si fissi un punto z 0 ∈ Ω. Se la funzione non è

univalente, è possibile trovare z1 ∈ Ω e due curve γa e γb congiungenti z0 con z1, tali

che l’estensione di f(z) da z0 a z1 lungo catene di cerchi centrati in γa, rispettivamente

in γb, conduce a valori f1, f2, tra loro diversi. Dobbiamo provare che ciò non accade.

Non è restrittivo assumere che le due curve siano semplici e prive di punti comuni, a

parte gli estremi.

Indichiamo con γ la curva di Jordan ottenuta connettendo γ b a γa e sia d la distanza di

γ da ∂Ω. Indichiamo con Ωγ la regione interna a γ e siano

γ0 = γa , γ1 , . . . , γn−1 , γn = γb

133


curve con γi ∈ Ωγ per i = 0 e i = n, distanti l’una dall’altra meno di d.

Si noti che Ωγ ⊆ Ω perché Ω è regione di Jordan.

Prolungando f(z) da z0 a z1 lungo γa = γ0 e lungo γ1, si trova in z1 il medesimo valore

f(z1) perché ciascun cerchio della catena centrato su punti di γ 0 interseca il sostegno

di γ1 e viceversa, dato che i raggi di convergenza delle serie che si ottengono sono

almeno uguali a d.

Lo stesso accade per γ1 e γ2 e quindi anche prolungando lungo una catena di cerchi

centrati in γ1 si ritrova lo stesso valore di f(z1).

Dopo un numero n di passi si vede che il valore di f(z 1) che si trova prolungando lungo

una catena di cerchi centrati su γb coincide con quello che si trova prolungando con

cerchi centrati su γa. E quindi la restrizione ad Ω della funzione f(z) è univalente.

Osservazione 1.111. Il teorema precedente non vieta che seguendo curve che

congiungono z0 con z1 e che escono da Ω, si trovi un valore diverso per f(z1).

134

2. FUNZIONI ARMONICHE

In generale si chiama funzione armonica una funzione u(x1, . . . , xn) di classe

C2 su un aperto Ω ⊆ Rn e che ivi verifica l’equazione di Laplace

ux1,x1 + · · · + uxn,xn= 0 .

La teoria delle funzioni armoniche è importantissima per le applicazioni, e

ricchissima di risultati. Noi ci limitiamo a presentare poche proprietà delle

funzioni armoniche di due variabili, facendole discendere da quelle delle

funzioni olomorfe.

2.1. FUNZIONI ARMONICHE E FUNZIONI OLOMORFE

Si è già notato che le parti reali ed immaginarie di funzioni olomorfe sono funzioni

armoniche. Proviamo ora il viceversa:

Teorema 2.1. Sia Ω una regione di Jordan e sia u(x, y) armonica su Ω. Esiste una

funzione armonica v(x, y) tale che

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) 2.1

è olomorfa.

135


DIMOSTRAZIONE

Se v(x, y) esiste, allora v(x, y) deve verificare

vx = −uy , vy = ux . 2.2

Per costruire v(x, y) fissiamo (x0, y0) ∈ Ω e sia P(x,y) una poligonale in Ω che

congiunge (x0, y0) con (x, y). Costruiamo v(x, y) ponendo

v(x, y) =

ZP(x,y)

[vx dx + vy dy]

Naturalmente, questa formula non può usarsi direttamente, perché l’integrando

dipende da v(x, y); ma, le 2.2 suggeriscono di definire

v(x, y) =

ZP(x,y)

[−uy dx + ux dy] .

La funzione così costruita è univoca perché Ω è una regione di Jordan e la forma

differenziale

−uy dx + ux dy

è esatta, dato che u(x, y) è armonica.

Dunque la v(x, y) così costruita è di classe C 1 e, con dimostrazione analoga a quella

del teorema 1.9., si vede che verifica 2.2, come richiesto. Dunque, v(x, y) è la parte

immaginaria della funzione olomorfa f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).

Fissato un punto (x, y) ∈ Ω, il teorema precedente può applicarsi in un suo intorno e

quindi:

Corollario 2.2. Ogni funzione armonica è localmente parte reale di una funzione

olomorfa. Dunque, ogni funzione armonica è in particolare di classe C ∞.

Di conseguenza, per le funzioni armoniche valgono i teoremi che abbiamo provato per

le parti reali di funzioni olomorfe,

– il teorema della media;

136


– il principio sia del massimo che del minimo;

– il teorema di Liouville.

La funzione v(x, y) che si associa ad u(x, y) in modo che la funzione 2.1 sia olomorfa

si chiama funzione armonica coniugata di u(x, y). Essa non è unica (si vede dalla

dimostrazione del teorema 2.1 che v(x, y) muta cambiando (x0, y0)). Non è difficile

provare che due funzioni armoniche su un regione Ω, coniugate della stessa

funzione armonica u(x, y) hanno differenza costante.

Conviene ora elencare alcune funzioni armoniche. Naturalmente sono funzioni

armoniche i polinomi di grado 0 oppure 1, e sono funzioni armoniche i polinomi

u(x, y) = x2 − y2 , u(x, y) = xy .

Ma non tutti i polinomi sono funzioni armoniche: u(x, y) = x2 + y2 non lo è. Ciò

nonostante,

Log (x2 + y2) = 2eLogz

è armonica sul complementare di arg z = −π. Sulla stessa regione è anche armonica

la funzione

u(x, y) = arctany

x.

Un calcolo diretto mostra che in realtà queste funzioni sono armoniche su R 2− (0, 0).

2.2. PROPRIETÀ DELLA MEDIA E TEOREMA DI GAUSS

Si è visto che per le funzioni armoniche vale la proprietà della media

u(x0, y0) =12π

∫ 2π

0

u(x0 + r cos t, y0 + r sin t) dt . 2.3

Naturalmente si intende che il disco di centro (x0, y0) e raggio r sia contenuto in Ω.

Vale anche il viceversa:

137


Teorema 2.3. Sia Ω una regione di Jordan e sia u(x, y) una funzione di classe

C2(Ω). Se per ogni (x0, y0) ∈ Ω vale l’uguaglianza 2.3 almeno per ogni r

sufficientemente piccolo, allora la funzione u(x, y) è armonica su Ω.

DIMOSTRAZIONE

Dobbiamo provare che ∆u = 0 su Ω. Notiamo che è sufficiente provare cheZD

∆u(x, y) dx dy = 0 2.4

per per ogni disco D ⊆ Ω con raggio abbastanza piccolo. Infatti se in un punto (x 0, y0)

fosse ∆u(x0, y0) > 0, per continuità si avrebbe anche ∆u(x, y) > 0 su un opportuno

disco D, e quindi l’integrale 2.4 non potrebbe essere nullo.

Derivando rispetto ad r i due membri di 2.3. Si trova:

0 =

Z 2π

0

[ux(x0 + r cos t, y0 + r sin t) cos t + uy(x0 + r cos t, y0 + r sin t) sin t] dt

=

ZCr

∂u

∂nds ,

ove Cr indica la circonferenza parametrizzata da

t → (x0 + r cos t, y0 + r sin t) , t ∈ [0, 2π]

ed n = n(t), parametrizzata da

n(t) = (x0 + cos t, y0 + sin t) , t ∈ [0, 2π] ,

la sua normale esterna. Si usi ora il teorema di Gauss:

0 =

ZCr

∂u

∂nds =

ZD

∆u(x, y) dx dy .

Ciò è quanto volevamo provare.

Nella dimostrazione precedente abbiamo usato il teorema di Gauss in un caso

particolare: il caso in cui la regione è una circonferenza. Si sa che esso vale più

in generale e ciò permette di provare:

138


Teorema 2.4. Sia Ω una regione di Jordan. Supponiamo u(x, y) ∈ C 2(Ω), continua

sulla chiusura di Ω. La funzione u(x, y) è armonica se e solo se∫γ

∂

∂nu ds = 0 2.5

per ogni curva di Jordan regolare a tratti, il cui sostegno è in Ω.

DIMOSTRAZIONE

Nelle ipotesi che abbiamo detto, per il teorema di Gauss vale

ZΩγ

∆u(x, y) dx dy =

Zγ

∂

∂nu ds .

E quindi, se u(x, y) è armonica, valeZγ

∂

∂nu ds = 0 ;

se, viceversa, la 2.5 vale per ogni γ, curva di Jordan con sostegno in Ω, scegliendo per

γ le circonferenze, si trova

ZD

∆u(x, y) dx dy = 0

per ogni disco in Ω e quindi ∆u = 0 in Ω.

2.3. IL PROBLEMA DI DIRICHLET

Si chiama problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace il problema seguente: è

data una curva di Jordan γ (regolare a tratti) e una funzione g(x, y) continua sul suo

sostegno. Si vuole una funzione u(x, y) armonica in Ωγ , continua nella chiusura di

Ωγ e tale che

u|γ = g ;

Dunque, si vuole che la u risolva

∆u = 0 in Ωγ , u|γ = g .

139


Si parla di problema di Poisson quando è data anche una funzione continua h(x, y) in

Ωγ e si vuol risolvere

∆u = h in Ωγ , u|γ = g . 2.6

Più avanti potremo studiare il problema dell’esistenza di soluzioni del problema di

Dirichlet. Per ora, limitiamoci a studiare alcune proprietà delle soluzioni, se queste

esistono. Proviamo:

Teorema 2.5. Se esiste una soluzione u(x, y) di 2.6, essa è unica.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che, per la definizione che abbiamo dato di soluzione, la u(x, y) è continua

nella chiusura di Ωγ .

Siano u1(x, y) e u2(x, y) due diverse soluzioni di 2.6 e definiamo

w(x, y) = u1(x, y) − u2(x, y) .

La w(x, y) è una soluzione del problema di Dirichlet

∆u = 0 in Ωγ , u|γ = 0 .

In particolare, è una funzione armonica. Essendo continua sulla chiusura di Ω γ , essa

ivi raggiunge massimo e minimo; essendo armonica, massimo e minimo sono raggiunti

su γ = ∂Ωγ e quindi sono ambedue nulli: la funzione w(x, y) è nulla e quindi u 1(x, y) =

u2(x, y).

Nello stesso modo si può vedere che le soluzioni “dipendono con continuità” dal dato

g. Consideriamo per questo i due problemi di Poisson

∆u = h in Ωγ , u|γ = g1 , 2.7

∆u = h in Ωγ , u|γ = g2 . 2.8

con la medesima funzione h(x, y). Supponiamo che esistano u1(x, y), soluzione

di2.7 e u2(x, y), soluzione di2.8. Sia ha:

140


Teorema 2.6. Le funzioni u1(x, y) e u2(x, y) verificano la diseguaglianza

supΩγ

|u1(x, y) − u2(x, y)| ≤ maxγ

|g1(x, y) − g2(x, y)| .

DIMOSTRAZIONE

Introduciamo ancora la funzione w(x, y) = u1(x, y) − u2(x, y). Questa funzione è

armonica in Ωγ e continua sulla sua chiusura e inoltre su γ vale w(x, y) = g 1(x, y) −

g2(x, y). Dunque, dal principio del massimo e del minimo per le funzioni armoniche,

si ha

minγ

[g1(x, y) − g2(x, y)] ≤ w(x, y) ≤ maxγ

[g1(x, y) − g2(x, y)] .

2.3.1 La formula di Poisson

Ricordiamo che la formula della media permette di esprimere il valore u(0, 0) di una

funzione armonica su un disco centrato in (0, 0), mediante i valori u(R cos t, R sin t),

che la funzione assume su una circonferenza di centro (0, 0). Chiediamoci ora se si

riesce a trovare una formula che, per mezzo di tali valori, esprima anche u(x, y), per

ogni (x, y) tale che

x2 + y2 < R2 .

In tal caso si trova una formula risolutiva per il problema di Diriclet nel disco.

Si sa che questo può farsi per la funzione olomorfa f(x + iy) di cui u(x, y) è parte

reale. Sia f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) e scriviamo

u(x, y) + iv(x, y) =1

2πi

∫C

f(ζ)ζ − (x + iy)

dζ ,

C : t → Reit , t ∈ [0, 2π] .

Passando alle parti reali, a sinistra si trova u(x, y) ma a destra si trova un’espressione

complicata, che fa intervenire sia i valori di u(x, y) che quelli di v(x, y) perché il

fattore

12π

1Reit − (x + iy)

Reit

141


non prende valori reali se x = 0, y = 0. Allora, abbandoniamo un momento lo studio

delle funzioni armoniche e torniamo a considerare la formula integrale di Cauchy, che

scriviamo con x0 = 0, y0 = 0:

f(z) =12π

∫ 2π

0

f(Reit)Reit

Reit − zdt .

Chiediamoci se sia possibile modificarla in modo da far comparire f(z) moltiplicata

per un fattore reale. Per questo notiamo che

12π

∫ 2π

0

f(Reit)zeit

zReit − R2dt =

12πi

∫C

f(ζ)z

zζ − R2dζ = 0

dato che il denominatore è nullo soltanto per ζ = R2/|z|, punto esterno alla

circonferenza. Dunque, vale anche

f(z) =12π

∫ 2π

0

f(Reit)[

Reit

Reit − z− zReit

zReit − R2

]dt

=12π

∫ 2π

0

f(Reit)[

R

Reit − z− z

zeit − R

]eit dt

=12π

∫ 2π

0

f(Reit)R2 − |z|2

R2 + |z|2 − 2e [(Rz)e−it]dt .

Sia ora

z = reiθ ossia

x = r cos θ

y = r sin θ .

La formula precedente si scrive

u(x, y) + iv(x, y)

=12π

∫ 2π

0

[u(R cos t, R sin t) + iv(R cos t, R sin t)]R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − t) + r2dt .

Nella formula precedente l’integrando è la funzione f(z) moltiplicata per una

funzione a valori reali.

Prendendo ora le parti reali dei due membri si trova la formula di Poisson

u(x, y) =12π

∫ 2π

0

u(R cos t, R sin t)R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − t) + r2dt .

142


Osservazione 2.7. Si noti che se ζ = Reit e z = reiθ allora

R2 − 2Rr cos(θ − t) + r2 = |ζ − z|2 .

Esaminando i vari passi del calcolo precedente, si vede che questa formula è

giustificata se u(x, y) è olomorfa in una regione Ω che contiene il disco |ζ| ≤ R,

e vale se x2 + y2 < R. Di fatto, una volta trovata questa formula, è possibile provare

di più:

Teorema 2.8. Sia g(x, y) una funzione continua sulla circonferenza x 2 + y2 = R2

e si definisca u(x, y) nel disco che essa delimita mediante la formula

u(x, y) =12π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − t) + r2g(cos t, sin t) dt ,

x = r cos θ

y = r sin θ .

Allora, la funzione u(x, y) è armonica nel disco aperto, è continua nel disco chiuso e

la sua restrizione alla circonferenza restituisce la funzione g(x, y).

Ossia, u(x, y) risolve il problema di Dirichlet

∆u = 0 , per x2 + y2 ≤ R2 ,

u(x, y) = g(x, y) per x2 + y2 = R2 .

Vedremo che facendo uso di questo risultato sarà possibile provare l’esistenza di

soluzioni del problema di Dirichlet in casi molto più generali.

Il problema di Dirichlet in regioni di Jordan

Proviamo ora che il problema di Dirichlet è risolubile in ogni regione di Jordan. Sia

per questo γ una curva semplice e chiusa, regolare a tratti e sia g(x, y) una funzione

continua sul suo sostegno. Indicando con Ωγ la regione interna a γ, vale

Teorema 2.9. Esiste un’unica funzione u(x, y) ∈ C 2(Ωγ) e tale che

∆u = 0 in Ωγ , u = g su γ . 2.9

143


DIMOSTRAZIONE

L’unicità si è già provata nel teorema 2.5. E’ da provare l’esistenza. Per questo

facciamo uso del teorema di Riemann, teorema 1.104 e del teorema 1.105.

Indichiamo con z = x + iy i punti di Ωγ e del sostegno di γ e con w = ξ + iη quelli del

disco

D = w | |w| < 1 .

Sia φ(z) una trasformazione olomorfa e biunivoca da Ω γ al disco. Per il teorema

1.105, questa funzione ha estensione continua su γ e trasforma γ sulla circonferenza.

Indichiamo con G(w) la funzione

G(w) = g(φ−1(w)) .

Questa funzione è continua sulla circonferenza e quindi, per il teorema 2.8, esiste

una funzione armonica U(ξ, η) nel disco aperto, continua nel disco chiuso e che sulla

circonferenza restituisce G.

Sia V (ξ, η) una funzione coniugata di U(ξ, η) e sia F (ξ, η) = U(ξ, η) + iV (ξ, η). Sia

f(x + iy) = F (φ(x + iy)) = u(x, y) + iv(x, y) .

La funzione u(x, y) è armonica su Ωγ e su γ restituisce U e quindi la funzione g. E’

dunque la soluzione del problema 2.9.

144

3. LA TRASFORMATA DI LAPLACE

La trasformata di Laplace è una trasformazione che associa a certe funzioni

di una variabile reale, definite su R e nulle per argomento negativo una

funzione olomorfa. La trasformata di Laplace è uno strumento importante per

esempio nello studio delle equazioni differenziali.

Talvolta è necessario studiare la trasformata di Laplace di funzioni di n

variabili. Noi ci limiteremo a trattare il caso delle funzioni di una sola

variabile.

Molto spesso nelle applicazioni la variabile da cui dipende la funzione f è il

tempo e, per questa ragione, la indicheremo col simbolo t.

3.1. DEFINIZIONI

Descriviamo prima di tutto una classe di funzioni per le quali si può definire la

trasformata di Laplace. Questa non è la classe più generale possibile, ma è sufficiente

per la maggior parte delle applicazioni.

Ripetiamo che a noi interessano funzioni f(t) definite su R, nulle per t < 0. Diciamo

che una tale funzione f , a valori reali oppure complessi, è a crescita esponenziale se

è limitata su ogni intervallo [0, T ], T > 0, e inoltre esiste un numero reale r tale che

limt→+∞ e−rtf(t) = 0 ;

145


Equivalentemente, una funzione è a crescita esponenziale se esistono numeri reali M

ed r tali che

|f(t)| ≤ Mert t > 0 . 3.1

Si chiama ordine di esponenziale della funzione f il numero

αf = infr | ∃Mr per cui |f(t)| < Mrert .

Si noti che se r > αf allora esiste M per cui vale 3.1. Invece, se r = αf , la 3.1

può non valere, come si vede considerando la funzione f(t) = te t che ha ordine di

esponenziale 1, ma è un infinito di ordine maggiore di 1.

La classe delle funzioni per cui definiremo la trasformata di Laplace è la classe delle

funzioni, a valori reali oppure complessi, ma di una variabile reale, continue a tratti,

a crescita esponenziale e nulle per t < 0.

Osservazione 3.1. Nelle applicazioni è frequentemente necessario considerare la

trasformata di Laplace di funzioni che prendono per valori vettori di Cn o addirittura

matrici. La trasformata di Laplace si calcola elemento per elemento. Quello che va

sottolineato è comunque che le funzioni di cui si calcola la trasformata di Laplace

sono nulle per t < 0.

La trasformata di Laplace di f è la funzione

f(λ) =∫ +∞

0

e−λtf(t) dt .

Il numero λ è complesso e il dominio di f(λ) è l’insieme dei numeri λ per cui

l’integrale converge.

Per indicare la trasformata di Laplace si usa anche il simbolo L(f)(λ) o sem-

plicemente la lettera maiuscola corrispondente a quella che si usa per indicare

la funzione: F (λ).

146


3.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

Vale:

Teorema 3.2. La trasformata di Laplace è definita sul semipiano e λ > α f ed è

ivi una funzione olomorfa.

DIMOSTRAZIONE

L’esistenza degli integrali

Z T

0

e−λtf(t) dt

per ogni T > 0 è ovvia. L’esistenza di

limT→+∞

Z T

0

e−λtf(t) dt

segue dal teorema del confronto. Per vederlo, non è restrittivo supporre che f prenda

valori reali. In tal caso, posto λ = x+iy, va provata l’esistenza dei due integrali impropriZ +∞

0

f(t)e−xt cos yt dt ,

Z +∞

0

f(t)e−xt sin yt dt

Sia e λ = x > αf e sia r ∈ (αf , x). Sia M tale che

|f(t)| < Mert .

Allora,

|e−λtf(t)| ≤ Me(−x+r)t

e l’esponente è negativo. Dunque ambedue gli integrali convergono e inoltre˛˛Z +∞

0

f(t)e−xt cos yt dt

˛˛ ≤ M

x − αf,

˛˛Z +∞

0

f(t)e−xt sin yt dt

˛˛ ≤ M

x − αf3.2

Per provare che f(λ) è olomorfa, usiamo il teorema di Morera. Mostriamo prima di

tutto che la funzione f(λ) è continua per λ > αf . Fissiamo ε > 0 e mostriamo che

esiste δ > 0 tale che se |λ1 − λ2| < δ allora |f(λ1)− f(λ2)| < ε. Per fissare le idee sia

e λ1 > e λ2 > a + σ > a > αf . Dato che l’integrale è di variabile reale, usando il

Lemma 1.28, si ha

147


|f(λ1) − f(λ2)| =

˛˛Z +∞

0

he−λ1t − e−λ2t

ieatˆe−atf(t)

˜dt

˛˛

≤ supt≥0

˛e−e (λ1−a)t

h1 − e−e (λ1−λ2)t

i ˛· L(|f |)(a) .

Notiamo che e (λ1 − a) > 0 e e (λ1 − λ2) > 0 così che

˛1 − e−e (λ1−λ2)t

˛< 2 ∀t ≥ 0 ,

˛1 − e−e (λ1−λ2)t

˛≤˛1 − e−e (λ1−λ2)T

˛∀t ≥ T .

Fissiamo T tale che per t > T valga

2e−e (λ1−α)t < 1 .

Ciò può farsi perché e (λ1 − a) > σ > 0. Fissato questo valore per T , scegliamo δ

tale che se e (λ1 − λ2) < δ valga

˛1 − e−e (λ1−λ2)T

˛· L(|f |)(a) < ε .

Si ha quindi che se, in particolare, |λ 1 − λ2| < δ allora vale |f(λ1) − f(λ2)| < ε, ossia

la continuità di f(λ).

Sia ora γ una curva chiusa di sostegno in e λ > αf . Scambiando l’ordine di

integrazione, si ha:Zγ

f(λ) dλ =

Zγ

»Z +∞

0

e−λtf(t) dt

–dλ =

Z +∞

0

»Zγ

e−λt dλ

–f(t) dt = 0 .

L’ultimo integrale è nullo perché la funzione λ → e −λt è olomorfa su C per ogni valore

di t.

In particolare, la formula 3.2 mostra che:

Corollario 3.3. Se f(λ) è una trasformata di Laplace allora

limeλ→+∞

f(λ) = 0 .

Osservazione 3.4. Abbiamo provato che la trasformata di Laplace esiste per

e λ > αf . In realtà si potrebbe provare che la trasformata di Laplace esiste in

un semipiano e λ > α, con α ≤ αf .

148


La trasformata di Laplace è lineare nel senso detto dal teorema seguente di ovvia

dimostrazione:

Teorema 3.5. Siano f e g due funzioni continue a tratti e a crescita esponenziale.

Se e λ > maxαf , αg ed a, b sono numeri, vale

L(af + bg)(λ) = af(λ) + bg(λ) .

Sia ora

g(t) = f(t − h) con h > 0 .

Allora

g(λ) = e−λhf(λ) .

Osservazione 3.6. Si noti che, essendo f(t) = 0 per t < 0, allora f(t−h) = 0 per

t < h. Questo fatto è essenziale per provare la formula precedente.

Sia invece

g(t) = f(at) con a > 0 .

Allora vale

g(λ) =1af(λ/a) .

Le semplici dimostrazioni sono omesse.

Sia ora f(t) una funzione periodica su R, continua a tratti e limitata:

f(t + T ) = f(t) .

La restrizione di f(t) a t ≥ 0 ammette trasformata di Laplace, definita su e λ > 0:

f(λ) =∫ +∞

0

e−λtf(t) dt =+∞∑n=0

∫ (n+1)T

nT

e−λtf(t) dt

=+∞∑n=0

∫ T

0

e−λ(nT+s)f(nT + s) dt =+∞∑n=0

∫ T

0

e−λ(nT+s)f(s) ds

+∞∑n=0

e−λnT

[∫ T

0

e−λsf(s) ds

]=[∫ T

0

e−λsf(s) dt

]· 11 − e−λT

.

L’ultima uguaglianza è ottenuta sommando la serie geometrica, grazie al fatto che

|e−λT | < 1, perché e λ > 0.

149


E’ invece un po’ più delicato provare:

Teorema 3.7. Vale

ddλ

f(λ) =∫ +∞

0

e−λt[−tf(t)] dt = L(−tf(t)) .

Omettiamo la dimostrazione notando che, invece di scambiare una derivata con

un’integrale improprio, si arriva più facilmente al risultato mediante la formula

integrale di Cauchy per rappresentare la derivata di una funzione olomorfa, e quindi

scambiando l’ordine di integrazione.

3.3. TRASFORMATA DI LAPLACE, DERIVATA ED INTEGRALE

Le relazioni della trasformata di Laplace con l’integrale si vedono meglio introducen-

do la convoluzione di due funzioni. La convoluzione verrà studiata in generale nel

paragrafo 4.11.1 ed è

(f ∗ g)(t) =∫ +∞

−∞f(t − s)g(s) ds .

In questa parte a noi interessano funzioni nulle per argomenti negativi e quindi

(f ∗ g)(t) =∫ t

0

f(t − s)g(s) ds .

Dato che le funzioni si assumono continue a tratti, l’esistenza dell’integrale è ovvia.

Inoltre,

Lemma 3.8. Se f e g sono a crescita esponenziale lo stesso vale per f ∗ g.

DIMOSTRAZIONE

Sia r tale che

|f(t)| < Mert , |g(t)| < Mert ∀t > 0

Allora,

|f(t − s)g(s)| ≤ M2ert

e quindi

0 ≤ limt→+∞

e−(r+1)t

˛˛Z t

0

f(t − s)g(s)ds

˛˛ = 0 .

150


In particolare, se g(t) ≡ 1 per t ≥ 0 (ed è nulla per t < 0), f ∗ g è una primitiva di f .

Dunque:

Corollario 3.9. Ogni primitiva di una funzione a crescita esponenziale è essa stessa

a crescita esponenziale.

Proviamo ora:

Teorema 3.10. Vale:

L(f ∗ g)(λ) = f(λ)g(λ) .

DIMOSTRAZIONE

Si deve calcolare l’integrale iteratoZ +∞

0

e−λt

»Z t

0

f(t − s)g(s)ds

–dt .

Scambiando prima l’ordine di integrazione e poi facendo la trasformazione di variabile

t − s = r nell’integrale più interno si trova:Z +∞

0

e−λt

»Z t

0

f(t − s)g(s)ds

–dt =

Z +∞

0

»Z +∞

s

e−λtf(t − s) dt

–g(s) ds

=

Z +∞

0

»Z +∞

0

e−λ(r+s)f(r) dr

–g(s)ds

=

Z +∞

0

»Z +∞

0

e−λrf(r) dr

–e−λsg(s)ds = f(λ)g(λ) .

In particolare:

Corollario 3.11. Sia h(t) = 1 per t ≥ 0, h(t) = 0 per t < 0. La sua trasformata di

Laplace è

h(λ) =1λ

e quindi

L(∫ t

0

f(s) ds

)(λ) =

1λ

f(λ) .

151


DIMOSTRAZIONE

La prima affermazione discende daZ +∞

0

e−λt dt =1

λ

per ogni e λ > 0 mentre la seconda discende dal teorema 3.10, notando cheZ t

0

f(s) ds =

Z t

0

h(t − s)f(s) ds .

La funzione h(t) introdotta nel lemma precedente si chiama funzione di Heaviside.

Vediamo infine le relazioni tra la trasformata di Laplace e la derivazione. Supponiamo

f(t) continua per t ≥ 0, derivabile per t > 0 (e nulla per t < 0). La derivata basta

che sia continua a tratti e che esista con l’eccezione di un numero finito di punti.

Supponiamo che f ′(t) sia a crescita esponenziale così che anche f(t) lo è, si ricordi

il Corollario 3.9. Allora:

Teorema 3.12. Se e λ > αf , αf ′ vale

L(

ddt

f

)(λ) = λf(λ) − f(0) .

DIMOSTRAZIONE

Integrando per partiZ T

0

e−λtf ′(t) dt = e−λT f(T ) − f(0) + λ

Z T

0

e−λtf(t) dt .

L’asserto segue passando al limite per T → +∞, ricordando che e λ > α f .

Esempio 3.13. Si consideri l’equazione differenziale

x′ = ax + f .

Si può provare che se f ha crescita esponenziale lo stesso vale per x; e quindi,

calcolando la trasformata di Laplace dei due membri,

x(λ) =x0

(λ − a)−1+

1(λ − a)−1

f(λ) .

152


In modo analogo può trattarsi per esempio un’equazione integrale del tipo

x(t) =∫ t

0

k(t − s)x(s) ds + f(t) .

Se sia k che f hanno crescita esponenziale, lo stesso avviene per x e quindi

x(λ) =1

1 − k(λ)f(λ) .

Si noti però che l’uso formale di questo metodo può condurre a perdere soluzioni,

come si vede studiando l’equazione

tx′′ + x′ + tx = 0 . 3.3

La trasformata di Laplace di tf(t) è − ddλ

f(λ) e

L(f ′′)(λ) = λL(f ′)(λ) − f ′(0) = λ2f(λ) − λf(0) − f ′(0)

così che

L(tf ′′)(λ) = − ddλ

λ2f(λ) − λf(0) − f ′(0)

= −2λf(λ) − λ2 d

dλf(λ) + f(0) .

Dunque, trasformando, si trova che se x risolve 3.3 e inoltre se la sua derivata seconda

ammette trasformata di Laplace, allora vale[−2λx(λ) − λ2 d

dλx(λ) + x(0)

]+ [λx(λ) − x(0)] − d

dλx(λ) = 0

e quindi x(λ) risolve

(1 + λ2)x(λ) + λx(λ) = 0 .

Quest’equazione si risolve facilmente per separazione di variabili e le soluzioni sono

le funzioni

x(λ) =c√

1 + λ2, c ∈ C .

Dunque, le funzioni x(t) trovate sono tutte multiple una dell’altra. Però, l’equazio-

ne 3.3 è del secondo ordine e quindi deve avere una seconda famiglia di soluzioni,

linearmente indipendenti da quella che abbiamo trovato. Questa famiglia di soluzioni

non si trova mediante la trasformata di Laplace perché si tratta di funzioni illimitate

per t → 0+, e non integrabili, e quindi prive di trasformata di Laplace.153


3.4. ALCUNE TRASFORMATE FONDAMENTALI

Le due tabelle seguenti mostrano le regole di calcolo che abbiamo già incontrato e

alcune trasformate “fondamentali” nel senso che si incontrano più frequentemente

nelle applicazioni. Si intende che le funzioni sono nulle per t < 0 e nella tabella

seguente se ne indica la restrizione a t ≥ 0.

funzione trasformata

af(t) + bg(t) af(λ) + bg(λ)

f ′(t) f(λ) − f(0)

(f ∗ g)(t) f(λ)g(λ)

∫ t

0 f(s) ds 1λ f(λ)

f(t − h) con h > 0 e−λhf(λ)

f(at) con a > 0 1a f(λ/a)

−tf(t) ddλ

f(λ)

f(t) = f(t + T )[∫ T

0e−λsf(s) dt

]· 1

1−e−λT

funzione trasformata

11λ

tnn!

λn+1

eat 1λ − a

tneat n!(λ − a)n+1

sin ωtω

λ2 + ω2

cosωtλ

λ2 + ω2

sinh ωtω

λ2 − ω2

coshωtλ

λ2 − ω2

154


La verifica delle formule precedenti è immediata: si calcolano direttamente le 1) e 3)

e si usa la formula di trasformazione dell’integrale per la 2) e per la 4). Le regole 5) e

6) si ottengono dalla 3) mediante le formule di Eulero.

3.5. IL PROBLEMA DELL’ANTITRASFORMATA

Notiamo che più funzioni possono avere la medesima trasformata. Se però imponiamo

alle funzioni continue a tratti ed a crescita esponenziale di essere continue da

sinistra (oppure da destra) allora la corrispondenza tra funzioni e trasformate è 1–

1. Ciò nonostante, il problema di caratterizzare quelle funzioni olomorfe che sono

trasformate di Laplace è molto difficile e in realtà trova una soluzione accettabile

aumentando lo spazio di “oggetti” per i quali può calcolarsi la trasformata fino ad

introdurre la trasformata di “distribuzioni”, come vedremo per la “trasformata di

Fourier”.

Qui limitiamoci a dire che esiste una formula che talvolta permette di calcolare

l’antitrasformata di Laplace. Sia F (λ) una funzione olomorfa in un semipiano

e λ > α e sia c > α. Consideriamo la funzione

f(t) =1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞e+λtF (λ) dλ

(ossia, si intende di calcolare l’integrale sulla retta e λ = c). Se |F (λ)| < M|λ|1+ε

con ε > 0, allora l’integrale converge e la trasformata di Laplace di f(t) è proprio

F (λ). Però, la condizione sul comportamento di F (λ) per |λ| → +∞ lungo una

retta verticale è molto restrittiva e il calcolo dell’integrale è in generale macchinoso.

Quindi per il calcolo dell’antitrasformata di Laplace si ricorre all’uso delle tavole di

trasformate, combinato con le regole di calcolo che abbiamo visto. C’è però un caso

importantissimo per le applicazioni, che è necessario conoscere, ed è il caso in cui

F (λ) è una funzione razionale.

3.5.1 Antitrasformata di funzioni razionali

Sia F (λ) = n(λ)d(λ) una funzione razionale, ossia il quoziente di due polinomi. Se

essa deve essere una trasformata di Laplace, il grado del denominatore deve essere

155


strettamente maggiore di quello del numeratore; in tal caso la funzione razionale si

chiama strettamente propria. Questa ovvia condizione necessaria è anche sufficiente:

Teorema 3.14. Una funzione razionale è una trasformata di Laplace se e solo se è

strettamente propria.

DIMOSTRAZIONE

Infatti, ogni funzione razionale strettamente propria si rappresenta come

n(λ)

d(λ)=

nXi=1

"piX

j=1

Ai,j

(λ − λi)j

#.

La tavola delle trasformate che abbiamo visto al paragrefo 3.4. mostra che ciascun

addendo è una trasformata di Laplace.

In particolare, l’antitrasformata di Laplace delle funzioni razionali strettamente

proprie è combinazione lineare di polinomi, esponenziali e funzioni seno e coseno

e loro prodotti.

Un caso particolarmente importante è il caso in cui la funzione razionale ha solamente

poli semplici. In questo caso

n(λ)d(λ)

=n∑

i=1

Ai

(λ − λi)

ove n è il grado del denominatore ed A i è il residuo del polo semplice λi. Nel caso

in cui n(λ) e d(λ) non hanno zeri comuni,

Ai =n(λi)d′(λi)

e quindi l’antitrasformata è

n∑i=1

n(λi)d′(λi)

eλit .

156

4. MISURA E INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE

4.1. INTRODUZIONE

In questo capitolo si presentano gli elementi di una teoria dell’integrazione, dovuta

a Lebesgue, più generale di quella di Riemann. E’ noto che esistono funzioni, come

la funzione di Dirichlet, che non sono integrabili secondo Riemann. Vedremo che

la funzione di Dirichlet è integrabile secondo Lebesgue, ma la ragione per introdurre

questo nuovo integrale non è di allargare la classe delle funzioni integrabili. La ragione

invece è la seguente: in numerosi problemi dell’Analisi matematica è necessario

scambiare il segno di limite, o di serie, con quello di integrale, si pensi per esempio

alle serie di Fourier. Tipicamente, le serie di Fourier non convergono uniformemente,

condizione che è richiesta per lo scambio di limiti ed integrali di Riemann. E’ questa

la ragione che ha indotto a costruire integrali più generali di quello di Riemann.

Consideriamo la funzione di Dirichlet da questo punto di vista.

Esempio 4.1. La funzione di Dirichlet è definita su 0 ≤ x ≤ 1 da:

f(x) =

1 se x = q è razionale

0 altrimenti.

Essa è limite di una successione (fk) di funzioni integrabili secondo Riemann. Si

ricordi infatti che i razionali sono numerabili. Sia (qr) la successione dei razionali e

157


sia

fk(x) =

1 se x = qr con r ≤ k

0 altrimenti.

Ovviamente,

lim fk(x) = f(x) , lim∫ 1

0

fk(x) dx = 0 .

Non possiamo però dire che

lim∫ 1

0

fk(x) dx =∫ 1

0

lim fk(x) dx =∫ 1

0

f(x) dx

perché la funzione f(x) non è integrabile.

Se vogliamo dare un senso alla formula precedente, dovremo costruire una teoria

dell’integrazione che permetta di integrare anche la funzione di Dirichlet.

Si osservi che se la formula precedente deve valere, allora l’integrale della funzione

di Dirichlet deve essere nullo.

La funzione di Dirichlet è la funzione caratteristica dei razionali di [0, 1] e quindi il suo

integrale è la “misura” dell’insieme di tali razionali. Dunque, l’insieme dei razionali

di [0, 1] deve avere “misura di Lebesgue” nulla. Si ricordi che tale insieme non è

misurabile secondo Peano-Jordan. D’altra parte la teoria della misura di Peano-Jordan

è insufficiente anche per la trattazione del solo integrale di Riemann. Per vedere questo

enunciamo la seguente caratterizzazione dell funzioni integrabili secondo Riemann.

Diciamo che un insieme I ⊆ R è nullo se per ogni ε > 0 esiste una successione di

intervalli aperti (ar, br), disgiunti o meno, tali che:

∑r

(br − ar) < ε , I ⊆⋃

(ar, br) .

Si nota facilmente che un insieme che ha misura zero secondo Peano-Jordan è anche

un insieme nullo secondo la definizione precedente, ma non viceversa. Si prova infatti

che l’insieme dei razionali di [0, 1], non misurabile secondo Peano-Jordan, è però un

insieme nullo secondo la definizione precedente, si veda l’Esempio 4.27.

158


Vale:

Teorema 4.2 (di Riemann-Lebesgue). Una funzione limitata f(x) definita su un

intervallo limitato (a, b) di R è integrabile secondo Riemann se e solo se l’insieme dei

suoi punti di discontinuità è un insieme nullo.

Osservazione 4.3. Si noti che questo teorema implica che la funzione di Dirichlet

non è integrabile secondo Riemann. Infatti essa è discontinua in ciascun punto di

[0, 1] e [0, 1] non è un insieme nullo. Si sa inoltre che ogni unione di intervalli aperti

può rappresentarsi come unione disgiunta di intervalli aperti. Nella definizione di

insieme nullo è però più comodo, ed ovviamente non restrittivo, non richiedere che gli

intervalli siano disgiunti.

Passiamo ora ad introdurre la teoria dell’integrazione secondo Lebesgue. Conviene

premettere alcune nozioni di teoria degli insiemi.

4.2. ANELLI ED ALGEBRE DI INSIEMI

Sia S una famiglia non vuota di s.insiemi di un assegnato insieme Ω. In S

consideriamo le due operazioni di intersezione e di differenza simmetrica. Diciamo

che la famiglia di insiemi S è un anello di insiemi se è chiusa rispetto a tali operazioni:

A , B ∈ S =⇒

AB ∈ S ,

A ∩ B ∈ S .

Dato che

A − B = A(A ∩ B) , A ∪ B = (AB)(A ∩ B) ,

si vede che se S è un anello di insiemi allora esso è chiuso rispetto alle operazioni di

unione e di differenza e inoltre

∅ = A − A ∈ S .

159


Dato che ∅ è l’identità rispetto all’operazione , si vede che un anello di insiemi è

un anello (secondo la definizione incontrata nel corso di Algebra) rispetto alle due

operazioni + = e · = ∩.

Si sa che un anello con identità moltiplicativa si chiama un’algebra; e l’identità rispetto

all’operazione di intersezione è Ω. Dunque un’anello di s.insiemi di Ω che contiene

anche Ω si chiama un’algebra di insiemi.

Si osservi ora che

A ∩ B = ˜(A ∪ B) , AB =

˜(A ∩ B)∩ (A ∪ B) ,

dove la tilde (˜) indica il complementare. Dunque:

Teorema 4.4. Sia S una famiglia di s.insiemi di Ω e valga:

Ω ∈ S , A , B ∈ S =⇒

A ∪ B ∈ S

A ∈ S .

La famiglia S è un’algebra di insiemi.

Il teorema precedente dà una definizione alternativa di algebra di insiemi, che risulta

più comoda per le applicazioni.

Un anello, rispettivamente un’algebra, di insiemi si dice σ-anello, rispettivamente

σ-algebra quando è chiusa rispetto alle unioni numerabili di suoi elementi.

Usando le proprietà delle operazioni tra insiemi si vede che un σ-anello è anche

chiuso rispetto alle operazioni di intersezione, differenza, differenza simmetrica, di

successioni di suoi elementi.

Ricordando la proprietà di additività dell’integrale di Riemann,∫A∪B

=∫

A

+∫

B

che dovrà valere anche per l’integrale di Lebesgue, si capisce l’interesse che anelli ed

algebre di insiemi hanno nella teoria dell’integrazione.

160


Osservazione 4.5. E’ opportuno sottolineare la differenza tra la definizione di

topologia e quella di σ-algebra. Una topologia in Ω contiene l’insieme vuoto ed

Ω, e contiene l’unione degli elementi di ciascun suo s.insieme. Contiene inoltre le

intersezioni degli elementi dei suoi s.insiemi finiti. Invece, una σ-algebra contiene,

oltre ad Ω e ∅, sia le unioni che le intersezioni degli elementi dei suoi s.insiemi che

sono finiti o numerabili.

Si vede facilmente:

Teorema 4.6. Sia S una famiglia non vuota di s.insiemi di Ω. Esistono un minimo

anello, algebra, σ-anello, σ-algebra contenenti S.

Da ora in poi ci limiteremo a considerare il caso

Ω = (a, b) ⊆ R −∞ ≤ a < b ≤ +∞

oppure

Ω =n∏

i=1

(ai, bi) ⊆ Rn , −∞ ≤ ai < bi ≤ +∞ .

Consideriamo il caso Ω = (a, b) ⊆ R. Ricordiamo che ogni aperto di R è unione

finita o numerabile di intervalli aperti, due a due disgiunti. Però la famiglia degli

intervalli aperti non è un anello (infatti, per esempio, la differenza di due aperti non è

un aperto). E’ invece un anello la famiglia delle unioni finite di intervalli

[a, b) 4.1

aperti a destra e chiusi a sinistra e

Teorema 4.7. Ogni aperto di R è unione numerabile di intervalli come in 4.1, due

a due disgiunti.

Un risultato analogo vale anche in Rn:

161


Teorema 4.8. Ogni aperto di Rn è unione numerabile di insiemi, due a due disgiunti,

della forma

n∏i=1

[xi, yi) .

Questo teorema suggerisce di chiamare insieme elementare di Rn un insieme della

forma

n∏i=1

[xi, yi) .

Chiameremo insieme semplice l’insieme vuoto oppure un insieme che è unione finita

di insiemi elementari. Si noti che un insieme semplice può rappresentarsi in più modi

come unione di insiemi elementari.

Come si è detto, la famiglia degli insiemi semplici di Rn è un anello; e, se si decide

di lavorare soltanto con quelli che sono contenuti in un dato insieme elementare, si ha

un’algebra.

La minima σ-algebra che contiene tutti gli insiemi semplici di Rn, e che contiene Rn

stesso, si chiama la σ-algebra di Borel di Rn, e i suoi elementi si chiamano boreliani.

Da ciò che abbiamo detto, non è difficile provare che sia gli insiemi aperti che gli

insiemi chiusi sono boreliani.

4.3. MISURE DI INSIEMI

Sia Ω un insieme. Si chiama misura su Ω una funzione A → m(A) dai s.insiemi di Ω

nei reali non negativi, tale che:

– Il dominio della funzione è un anello S di s.insiemi di Ω;

– se A, B sono elementi disgiunti di S, ossia tali che A ∩ B = ∅, allora

m(A ∪ B) = m(A) + m(B) .

162


La misura si chiama σ-additiva se è una misura e inoltre per ogni successione (A r) di

elementi di S, due a due disgiunti, ossia tali che Ar ∩ Ak = ∅ per r = k, vale

⋃Ar ∈ S =⇒ m

(+∞⋃r=1

Ar

)=

+∞∑r=1

m(Ar) .

Osservazione 4.9. In generale, l’unione degli A r non è un elemento dell’anello. In

tal caso niente si richiede alle misure degli Ar.

Talvolta conviene permettere ad una misura di prendere valori in [0, +∞]. Per

contrasto, la misura si dice finita se essa prende valore in [0, +∞). La misura si

chiama probabilità se prende valori in [0, 1].

Teorema 4.10. Se m è una misura e se esiste A tale che m(A) < +∞, allora

m(∅) = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Infatti,

A ∪ ∅ = A , A ∩ ∅ = ∅ così che m(A) = m(A) + m(∅) .

Semplificando m(A) segue m(∅) = 0.

Presentiamo ora alcuni lemmi che saranno utili in seguito e che mostrano una proprietà

di “continuità” delle misure σ–additive.

Lemma 4.11. Sia S un anello e sia m una misura finita su S. La misura è σ-additiva

se per ogni successione (Yr) di elementi di S “decrescente all’insieme vuoto”, ossia

tale che

Yr+1 ⊆ Yr ,

+∞⋂r=1

Yr = ∅ ,

vale

limm(Yr) = m(∅) .

163


DIMOSTRAZIONE

Siano gli Ar insiemi disgiunti di S e si sappia che

A =

+∞[r=1

Ar ∈ S .

Dobbiamo provare che

m(A) =

+∞Xr=1

m(Ar) .

Introduciamo per questo gli insiemi

Xk =

k[r=1

Ar .

Vale

A = Xk ∪ [A − Xk] , m(A) = m(Xk) + m(A − Xk) . 4.2

Per costruzione,

Yk+1 = A − Xk+1 ⊆ A − Xk = Yk ,

+∞\k=1

Yk =

+∞\k=1

[A − Xk] = ∅ .

Dunque, per ipotesi,

lim m(A − Xk) = m(∅)

e quindi

lim m(A − Xk) = 0

perché la misura è finita. La proprietà di additività della misura mostra che

m(Xk) =

kXr=1

m(Ar)

e la successione

k →kX

r=1

m(Ar)

cresce e quindi ammette limite. Dunque, da 4.2,

m(A) = limk

kXr=1

m(Ar) + lim m (A − Xk) =

+∞Xr=1

m(Ar)


164


Il risultato seguente, che useremo in seguito, si potrebbe provare in modo analogo:

Lemma 4.12. Se per ogni successione (Ar) crescente di insiemi, ossia per ogni

successione tale che

Ar ⊆ Ar+1

vale

m

(+∞⋃r=1

Ar

)= limm(Ar) ,

allora la misura è σ-additiva.

Osservazione 4.13. L’ipotesi che la misura sia finita non è richiesta nel Lem-

ma 4.12; è invece essenziale1 nel Lemma 4.11. Infatti, se Ω = R e se Yr = [r, +∞)

allora m(Yr) = +∞ per ogni r mentre m(∩Yr) = m(∅) = 0.

I due lemmi precedenti possono invertirsi. Vale infatti:

Lemma 4.14. Sia (Ar) una successione crescente e sia (Br) una successione

decrescente di elementi di S. Sia rispettivamente

A =+∞⋂r=1

Ar , B =+∞⋃r=1

Br .

Sia m una misura σ-additiva su S. Allora

m(A) = limr

m(Ar) , m(B) = limr

m(Br) .

Consideriamo ora gli insiemi elementari contenuti in un dato insieme elementare J ⊆

Rn. Definiamo

m(∅) = 0 , m

(n∏

i=1

[xi, yi)

)=

n∏i=1

(yi − xi) . 4.3

1In realtà questa condizione potrebbe indebolirsi un po’, richiedendo che m(Yr) < +∞ per un

indice r.

165


Estendiamo quindi questa misura all’algebra S delle unioni finite di insiemi

elementari, ossia all’algebra degli insiemi semplici contenuti in J , imponendo

m(I1 ∪ I2) = m(I1) + m(I2) se I1 ∩ I2 = ∅ . 4.4

Osservazione 4.15. Si noti che uno stesso insieme semplice può rappresentarsi in

più modi come unione di insiemi elementari disgiunti:

[0, 1) = [0, 1/2)∪ [1/2, 1) .

Se n = 1 è facile provare che il valore che m associa ad un insieme non dipende dal

modo con cui esso si rappresenta. Lo stesso vale in dimensione maggiore di 1, ma la

dimostrazione è macchinosa.

Vogliamo provare che la misura m che abbiamo introdotta è σ-additiva:

Teorema 4.16. La misura definita da 4.3 e da 4.4 è σ-additiva.

DIMOSTRAZIONE

La misura è finita perché m(J) < +∞. Possiamo quindi applicare il Lemma 4.11 e

provare che per ogni successione di insiemi semplici decrescente a ∅, la successione

delle misure converge a 0:

+∞\k=1

Ak = ∅ =⇒ lim m(Ak) = 0 .

Si noti che la successione m(Ak) decresce. Sia per assurdo

m(Ak) > α > 0 ∀k .

Fissiamo ε ∈ (0, α/4).

Sia k = 1 e consideriamo l’insieme semplice A1. Possiamo rappresentarlo come unio-

ne finita di insiemi elementari disgiunti, ciascuno della formaQn

i=1[ai, bi). Inoltre, esso

contiene l’insieme semplice A2. Sostituendo ciascuno insieme elementareQn

i=1[ai, bi)

con un insieme elementareQn

i=1[ai, bi − σ) si trova ancora un insieme elementare,

diciamo J1, e si può scegliere σ > 0 così piccolo che

m(J1 ∩ A2) > α − ε .

166


Inoltre,

J1 ⊆ J1 ⊆ A1 .

L’insieme J1 ∩ A2 è ancora un insieme semplice. Indichiamolo col simbolo A2,

A2 = J1 ∩ A2 .

Ripetiamo la stessa costruzione, ma a partire dall’insieme A2. Si costruisce un insieme

J2 tale che

J2 ⊆ J2 ⊆ A2 ⊆ A2 , m(J2 ∩ A3) > α − ε − ε/2 .

Si noti che J 2, essendo contenuto in A2, è sia s.insieme di A2 che di J1.

Iterando questa costruzione, si trova una successione (Jk) con queste proprietà:

i) Jk ⊆ Jk ⊆ Ak;

ii) Jk ⊆ A1 per ogni k, e quindi i Jk sono limitati;

iii) Jk ⊆ Jk−1;

iv) m(Jk − Ak+1) > α −“Pk

i=1 ε/2k”

> α − ε > 0 e quindi nessuno dei J k è vuoto.

Grazie alle proprietà ii)–iv), segue dal teorema di Cantor che gli insiemi J k hanno un

punto comune x0 che, per la proprietà i) appartiene a ciascuno degli A k. Ciò contrasta

con l’ipotesi. La contraddizione trovata mostra che deve aversi

lim m(Ak) = 0 .

Dunque, la misura è σ-additiva.

4.4. INSIEMI MISURABILI SECONDO LEBESGUE

Estendiamo ora la famiglia degli insiemi cui si può attribuire una misura. Per fissare

le idee, supponiamo di lavorare in R2, ma la stessa costruzione può farsi in ogni

dimensione.

Considereremo prima di tutto il caso degli insiemi limitati e quindi estenderemo la

definizione ad insiemi illimitati.

167


4.4.1 Insiemi limitati e misurabili secondo Lebesgue

Fissiamo un insieme semplice Q e lavoriamo ora soltanto con suoi s.insiemi. A

ciascun insieme A ⊆ Q associamo un numero che si chiama la sua misura esterna, in

simboli m∗(A), come segue:

m∗(A) = inf

∑

m(Rj), Rj elementare,⋃i≥1

Rj ⊇ A

.

Nella definizione precedente, l’insieme degli Rj può essere finito o numerabile.

Si nota immediatamente che se S è un insieme elementare, e quindi anche se è un

insieme semplice, allora

m∗(S) = m(S) .

Ovviamente:

Corollario 4.17. Se A ⊆ B allora m∗(A) ≤ m∗(B).

La funzione m∗ è quindi una funzione monotona d’insieme, che però non è una misura

perché non è additiva. Per essa vale solamente:

Teorema 4.18. La funzione m∗ è subadditiva; ossia per ogni famiglia Aj finita o

numerabile di s.insiemi di Q e per ogni insieme A tale che

A ⊆⋃j≥1

Aj

vale

m∗(A) ≤∑j≥1

m∗(Aj) . 4.5

DIMOSTRAZIONE

Si fissi ε > 0. Sia R(j)i una famiglia finita o numerabile di insiemi elementari per cui

Aj ⊆[i≥1

R(j)i

Xi≥1

m(R(j)i ) ≤ m∗(Aj) + ε/2j .

Essendo

A ⊆[j>1

[i≥1

R(j)i ,

168


segue

m∗(A) ≤Xj≥1

Xi≥1

m(R(j)i ) ≤

Xj≥1

hm∗(Aj) +

ε

2j

i≤ ε +

Xj≥1

m∗(Aj) .

L’asserto segue perché questa diseguaglianza vale per ogni ε.

Osservazione 4.19. In generale, la disuguaglianza in 4.5 è stretta, anche se gli Aj

sono due a due disgiunti.

Indichiamo ora col simbolo L la famiglia dei s.insiemi di Q con questa proprietà:

A ∈ L se per ogni ε > 0 esiste un insieme semplice Iε tale che

m∗(AIε) < ε .

Gli insiemi di L si dicono misurabili secondo Lebesgue.

Si osservi il procedimento che abbiamo fatto: si è usato m∗ per definire una “misura da

sopra” che permetta di valutare quanto bene un dato insieme A si possa approssimare

con insiemi semplici. Gli insiemi misurabili secondo Lebesgue sono quelli che si

approssimano tanto bene quanto si vuole con insiemi semplici.

Proveremo che L è una σ-algebra. Nel fare ciò introdurremo anche una misura σ-

additiva λ su L, che estende m, e che si chiama la misura di Lebesgue. La misura λ

è la restrizione di m∗ alla famiglia di insiemi L ed è quindi subadditiva. Proveremo

che L è una σ-algebra e che λ è una misura σ-additiva. Per questo:

Lemma 4.20. Se A ∈ L allora A = Q − A ∈ L.

DIMOSTRAZIONE

Sia ε > 0 e sia R un insieme semplice tale che

m∗(AR) < ε .

Si noti che Q − R è ancora un insieme semplice, e che

(Q − A)(Q − R) = AR .

Dunque,

m∗((Q − A)(Q − R)) < ε .

169


Proviamo ora che L è un’algebra di insiemi.

Teorema 4.21. Siano A, B in L. Allora, A ∪ B ∈ L.

DIMOSTRAZIONE

Sia ε > 0 e siano RA ed RB insiemi semplici e tali che

m∗(ARA) < ε/2 , m∗(BRB) < ε/2 .

Notiamo che RA ∪ RB è ancora un insieme semplice e che

(A ∪ B)(RA ∪ RB) ⊆ (ARA) ∪ (BRB) .

La subadditività della misura esterna mostra che

m∗ ((A ∪ B)(RA ∪ RB)) < ε .

Dunque, A ∪ B ∈ L.

Si è così provato che L è un’algebra di insiemi. Come si è detto, su L definiamo la

funzione

λ(A) = m∗(A) .

Mostreremo che questa è una misura σ-additiva, che si chiama la misura di Lebesgue.

Vale:

Teorema 4.22. La funzione d’insieme λ, definita su L, è una misura.

DIMOSTRAZIONE

Va provato che λ è additiva. Osserviamo per questo che se A e B sono s.insiemi

qualsiasi di Q allora vale

A ⊆ B ∪ (AB) =⇒ m∗(A) − m∗(B) ≤ m∗(AB) .

Scambiando il ruolo di A e di B si vede che

|m∗(A) − m∗(B)| ≤ m∗(AB) . 4.6

170


Usiamo questa proprietà per mostrare che λ è additiva, come segue: Siano A e B

disgiunti, elementi di L. Fissiamo ε > 0 ed insiemi semplici R A ed RB tali che

m∗(ARA) < ε , m∗(BRB) < ε .

Si sa già che A ∪ B ∈ L. Inoltre, essendo A e B disgiunti,

RA ∩ RB ⊆ (ARA) ∪ (BRB)

e quindi

m(RA ∩ RB) = m∗(RA ∩ RB) ≤ m∗(ARA) + m∗(BRB) < 2ε .

Inoltre,

(A ∪ B)∆(RA ∪ RB) ⊆ (A∆RA) ∪ (B∆RB)

e quindi

m∗ ((A ∪ B)∆(RA ∪ RB)) ≤ m∗(A∆RA) + m∗(B∆RB) < 2ε .

Dunque, usando 4.6, si ha

|m∗(A ∪ B) − m∗(RA ∪ RB)| < 2ε

e quindi

λ(A ∪ B) = m∗(A ∪ B) ≥ m(RA ∪ RB) − 2ε

= m(RA) + m(RB) − m(RA ∩ RB) − 2ε ≥ m∗(A) + m∗(B) − 4ε .

L’arbitrarietà di ε mostra che

λ(A ∪ B) ≥ m∗(A) + m∗(B) = λ(A) + λ(B) ;

ma, per la subadditività della misura esterna,

λ(A ∪ B) = m∗(A ∪ B) ≤ m∗(A) + m∗(B) = λ(A) + λ(B)

e quindi l’additività.

Proviamo ora:

171


Teorema 4.23. L’algebra di insiemi L è una σ-algebra.

DIMOSTRAZIONE

Sia (An) una successione in L. Dobbiamo provare che ∪+∞n=1An ∈ L. Mostriamo prima

di tutto che non è restrittivo assumere che gli An siano due a due disgiunti. Definiamo

per questo

Bn = An −n−1[i=1

Ai .

Ciascuno degli insiemi Bn è in L, perché L è un’algebra di insiemi; e i B n sono due a

due disgiunti. Inoltre,

+∞[n=1

An =

+∞[n=1

Bn .

Dunque, eventualmente sostituendo ciascun An col corrispondente Bn, si suppone da

ora in poi che gli An siano due a due disgiunti.

Si è vistro che λ su L è una misura e quindi

nXk=1

λ(Ak) = λ

n[

i=1

Ak

!= m∗

n[

i=1

Ak

!≤ m∗

+∞[i=1

Ak

!≤ λ(Q) .

Ciò prova che la seriePn

k=1 λ(Ak) converge.

Fissiamo ora ε > 0 e sia Nε tale che

+∞Xk=Nε

λ(Ak) < ε/2 .

Essendo L un’algebra,

Nε−1[k=1

Ak ∈ L

e quindi esiste un insieme semplice R per cui

m∗

"Nε−1[k=1

Ak

#R

!< ε/2 .

Ora,

∞[k=1

Ak

!R ⊆

" Nε−1[k=1

Ak

!R

#["+∞[

k=Nε

Ak

#.

172


Dunque,

m∗

"+∞[k=1

Ak

#R

!≤ ε

2+

+∞Xk=Nε

λ(Ak) < ε .

Dunque,+∞[k=1

Ak ∈ L .

Sappiamo ora che L è una σ-algebra. Completiamo questi argomenti provando:

Teorema 4.24. La misura di Lebesgue λ è σ-additiva.

DIMOSTRAZIONE

Sia An una successione di insiemi due a due disgiunti di L. Si vuol provare

λ

+∞[n=1

An

!=

+∞Xn=1

λ(An) .

Si sa già che per ogni N vale l’uguaglianza

NXn=1

λ(An) ≤ λ

N[

n=1

An

!≤ λ

+∞[n=1

An

!.

Dunque,

+∞Xn=1

λ(An) ≤ λ

+∞[n=1

An

!.

L’uguaglianza discende dalla subadditività di m ∗, e quindi di λ.

Osservazione 4.25. Chiaramente, L è una σ-algebra che contiene tutti gli insiemi

semplici, e quindi L contiene la σ-algebra dei boreliani. L’inclusione è propria.

4.4.2 Insiemi illimitati

Vogliamo ora estendere la definizione di misura di Lebesgue includendo anche insiemi

illimitati. Per questo dovremo permettere alla misura di prendere il valore +∞.

Rappresentiamo Rn come unione disgiunta dei quadrati

Qn,k = (x, y) | n ≤ x < n + 1 , k ≤ y < k + 1

173


con n e k interi qualsiasi. Diciamo che A è misurabile se A ∩ Qn,k è misurabile per

ogni scelta di n e di k. In tal caso, definiremo

λ(A) =+∞∑

n,k=−∞λ(A⋂

Qn,k

).

4.5. INSIEMI NULLI E PROPRIETÀ CHE VALGONO QUASI OVUNQUE

Sia A un insieme con questa proprietà: per ogni ε > 0 esistono insiemi semplici Rn

tali che

A ⊆⋃n≥1

Rn ,∑n≥1

m(Rn) < ε .

Un insieme con questa proprietà si è chiamato un insieme nullo. Ovviamente:

– ogni insieme nullo è misurabile secondo Lebesgue e la sua misura di Lebesgue

è 0 e viceversa;

– ogni s.insieme di un insieme nullo è un insieme nullo.

Gli insiemi nulli sono quindi “invisibili” per la misura di Lebesgue. Questo suggerisce

di dire che una proprietà che vale in tutti i punti di un insieme Ω, salvo che in quelli

di un insieme nullo, vale quasi ovunque su Ω e si scrive brevemente che essa vale q.o.

Ω. Per esempio diremo che una funzione è continua q.o. su Ω se l’insieme dei suoi

punti di discontinuità è un insieme nullo.

Osservazione 4.26. Naturalmente esistono anche dei boreliani che hanno misura

nulla; ma un boreliano che ha misura nulla può contenere dei s.insiemi che non sono

boreliani. Si chiama completa una misura per la quale ogni s.insieme di un insieme

di misura zero è misurabile (e quindi ha misura zero). La misura di Lebesgue definita

su L è completa mentre la sua restrizione ai boreliani non lo è.

Si vede facilmente che ogni insieme costituito da un solo punto è nullo. La σ-additività

della misura implica che ogni unione numerabile di insiemi nulli è un insieme nullo.

In particolare, l’insieme dei razionali è nullo. E’ interessante provare ciò direttamente:

174


Esempio 4.27. Sia (qn) la successione dei razionali in [0, 1]. Fissiamo ε > 0 ed

associamo a qn l’intervallo

Rn =(qn − ε

2n, qn +

ε

2n

).

Chiaramente, l’unione degli Rn contiene i razionali di [0, 1] e∑+∞

i=1 λ(Rn) < ε.

Dunque, l’insieme dei razionali di [0, 1] è un insieme nullo.

E’ bene sapere che esistono anche insiemi non numerabili che sono nulli. Per esempio,

è un insieme nullo l’insieme di Cantor. Ciò si vede facilmente notando che la somma

degli intervalli che si tolgono, ossia la misura del complementare in [0, 1] dell’insieme

di Cantor, vale 1.

Ricordiamo infine che il concetto di insieme nullo si è già incontrato nell’enunciato

del teorema di Riemann-Lebesgue.

Enunciamo ora formalmente un’osservazione già fatta, ed una sua conseguenza:

Teorema 4.28. Sia (An) una successione di s.insiemi di Ω:

1. se λ(An) = 0 per ogni n allora λ (∪An) = 0;

2. se per ogni n vale λ(An) = λ(Ω) < +∞ allora λ (∩An) = λ(Ω).

DIMOSTRAZIONE

La prima proprietà si è già notata, e discende dalla σ-additività della misura. La secon-

da immediatamente discende dalla prima, passando ai complementari. Infatti, essendo

Ω di misura finita, λ(An) = 0 e quindi

λ“[

An

”= 0 ossia λ(Ω) = λ

„[An

«= λ

“\An

”.

L’esempio Ω = [0, +∞), An = [n, +∞) mostra che la condizione λ(Ω) < +∞ non

si può rimuovere dall’ultimo enunciato.

175


4.6. FUNZIONI MISURABILI

Da ora in poi, con “misura” intenderemo sempre la misura di Lebesgue.

Definita la misura di Lebesgue, si può introdurre l’integrale di Lebesgue, come si

è visto nei corsi di probabilità per il caso delle misure “astratte”. Prima di tutto

si definisce la classe delle funzioni misurabili. Una funzione f(x) su Rn si dice

misurabile quando per ogni r è misurabile l’insieme

x | f(x) > r.

E’ immediato mostrare che una funzione è misurabile se e solo se sono misurabili gli

insiemi

x | f(x) ≥ r , x | s < f(x) ≤ r

o, equivalentemente, se sono misurabili le contrimmagini dei boreliani. Dunque:

Teorema 4.29. Sia f una funzione misurabile. Allora |f | è misurabile.

DIMOSTRAZIONE

Infatti,

|f(x)| ≥ c quando

8>>><>>>:

f(x) ≥ c

oppure

f(x) ≤ −c

e quindi l’insieme degli x per cui f(x) ≥ c è l’unione di due insiemi misurabili e quindi

è misurabile.

Si prova inoltre:

Teorema 4.30. Il limite puntuale o anche q.o. di una successione di funzioni

misurabili è una funzione misurabile.

176


DIMOSTRAZIONE

Proviamo prima di tutto che l’asserto vale per il limite superiore. Sia quindi

f(x) = lim supn

fn(x) .

Per definizione, f(x) = lim supn fn(x) vuol dire

f(x) = limk

φk(x) , φk(x) = supn≥k

fn(x) .

Si osservi che la successione di funzioni φk(x) decresce e quindi ammette limite.

Studiamo l’insieme x | f(x) ≥ r. Si ha:

x | f(x) ≥ r = x | φk(x) ≥ r per ogni k =\k≥1

x | φk(x) ≥ r .

Ora, ricordando la definizione di φk(x),

x | φk(x) ≥ r = x | supn≥k

fn(x) ≥ r

e

supn≥k

fn(x) ≥ r ⇐⇒ ∀ε ∃nε ≥ k per cui fnε (x) ≥ r − ε .

Dunque, x | sup

n≥kfn(x) ≥ r

ff=\ε>0

x | ∃nε ≥ k per cui fnε(x) ≥ r − ε

=\ε>0

[n≥k

x | fn(x) ≥ r − ε .

Combinando le uguaglianze precedenti si trova che

x | f(x) ≥ r =\k≥1

\ε>0

[n≥k

x | fn(x) ≥ r − ε =\ε>0

\k≥1

[n≥k

x | f(x) ≥ r − ε .

Per ogni r, l’insieme a destra è misurabile e quindi lim sup f n è misurabile.

In modo analogo si vede che lim inf fn è misurabile e quindi, se (fn) ammette limite f ,

la funzione f è misurabile.

Osservazione 4.31. Si è già notato, e si prova facilmente, che se B è un

boreliano di R ed f una funzione misurabile, allora f −1(B) è misurabile secondo

177


Lebesgue. Invece, la contrimmagine di un insieme misurabile secondo Lebesgue

può non essere misurabile secondo Lebesgue. Di conseguenza, la composizione

di funzioni misurabili non è generalmente una funzione misurabile. Invece,

f(g(x)) è misurabile se g è misurabile secondo Lebesgue ed f è “misurabile secondo

Borel”, ossia antitrasforma semirette in boreliani. E’ questa una delle ragioni per cui

l’introduzione della classe L degli insiemi misurabili secondo Lebesgue non permette

di “dimenticare” i boreliani.

Le funzioni misurabili hanno importanti relazioni con le funzioni continue, espresse

dai due teoremi seguenti, che non proviamo:

Teorema 4.32 (di Lusin). Sia f una funzione misurabile su un insieme limitato Ω.

Per ogni ε > 0 esiste un insieme chiuso Fε tale che

– λ(Ω − Fε) < ε;

– la restrizione di f ad Fε è uniformemente continua.

Osservazione 4.33. Una funzione misurabile può essere ovunque discontinua,

come è il caso della funzione di Dirichlet. E’ interessante vedere direttamente che

la funione di Dirichlet su [0, 1] verifica la proprietà del teorema di Lusin. Per

questo, introduciamo gli insiemi Rn costruiti all’esempio 4.27. Questi sono aperti

e quindi aperta è la loro unione. Sia Fε il complementare di ∪n≥1Rn. Allora,

λ( (0, 1) − Fε) < ε e la restrizione di f ad Fε è identicamente nulla perché Fε non

contiene razionali. Dunque, è ivi uniformemente continua.

La funzione di Dirichlet stessa è invece ovunque discontinua.

Un secondo teorema che lega le funzioni misurabili a concetti propri delle funzioni

continui è:

Teorema 4.34 (di Egorov-Severini). Sia Ω un insieme di misura finita e sia (fn)

una successione di funzioni misurabili su Ω, convergente q.o. ad una funzione f . Per

178


ogni ε > 0 esiste un insieme Fε misurabile e tale che:

– λ(Ω − Fε) < ε,

– la restrizione ad Fε delle funzioni fn è una successione di funzioni

uniformemente convergente ad f .

Le funzioni misurabili hanno anche una relazione importante con le funzioni a

codominio finito.

Chiameremo funzione semplice una funzione della forma

s(x) =r∑

j=1

ajχAj (x) 4.7

dove gli Aj sono insiemi misurabili secondo Lebesgue e con χAj si intende la

funzione caratteristica di Aj .

Si ricordi che la funzione caratteristica di un insieme A è

χA(x) =

1 se x ∈ A

0 se x /∈ A .

Dunque, una funzione semplice è una funzione misurabile che ha codominio

finito.

Vale:

Teorema 4.35. Sia f una funzione misurabile. Esiste una successione di funzioni

semplici (sn) convergente ad f . Inoltre, si può imporre alla (sn) di essere una

successione monotona, crescente oppure decrescente.

Se la funzione f è limitata allora la convergenza è uniforme.

DIMOSTRAZIONE

Supponiamo prima di tutto che f sia limitata,

−M ≤ f(x) ≤ M .

179


Dividiamo [−M, M ] con i punti

−M + k2M

n, 0 ≤ k ≤ n .

Sia quindi

An,k =

x | f(x) ∈

»−M + k

2M

n,−M + (k + 1)

2M

n

«ff, 0 ≤ k < n .

Ciascuno degli An,k è misurabile. Definiamo sn ponendo

sn(x) = −M + k2M

nx ∈ An,k

così che

|sn(x) − f(x)| ≤ 2M

n.

Si trova in questo modo una successione crescente (s n) convergente unifor-

memente ad f .

In modo analogo si costruisce una successione decrescente.

Se f non è limitata, si costruisce prima la successione (fN ),

fN (x) =

8>>><>>>:

f(x) se −N ≤ f(x) ≤ N

−N se f(x) < −N

+N se f(x) > N .

La (fN ) converge ad f , non uniformemente; si approssima ciascuna f N con una suc-

cessione di funzioni semplici (sn,N), come si è fatto sopra. E’ facile costruire ora una

successione che converge ad f in ciascun punto.

La costruzione di una successione decrescente che approssima f è analoga.

Segue:

Teorema 4.36. le operazioni algebriche applicate a funzioni misurabili producono

funzioni misurabili.

DIMOSTRAZIONE

Si approssimino le funzioni misurabili mediante funzioni semplici, si eseguano le

operazioni e si usi il teorema 4.30.

180


Osservazione 4.37. Abbiamo visto che il valore assoluto di una funzione misurabile

è misurabile. Il viceversa non vale perché esistono insiemi che non sono misurabili

secondo Lebesgue. Se A è uno di tali insiemi, la funzione f(x) = 1 su A, f(x) = −1

su A non è misurabile, mentre |f(x)| è misurabile, essendo identicamente 1.

4.7. INTEGRALE DI LEBESGUE

Vogliamo ora definire l’integrale di Lebesgue. Il teorema 4.35 suggerisce di definire

prima l’integrale delle funzioni semplici e quindi l’integrale di una funzione misura-

bile f come limite degli integrali delle funzioni semplici che la approssimano. Per

evitare però di incontrare il simbolo +∞ − ∞, conviene seguire la via seguente:

definito l’integrale delle funzioni semplici, prima si definisce l’integrale di funzioni

positive e poi si estende la definizione al caso dell’integrale di generiche funzioni

misurabili.

4.7.1 L’integrale delle funzioni semplici

Sia s(x) una funzione semplice,

s(x) =r∑

j=1

ajχAj (x) , Ai ∩ Aj = ∅ se i = j .

Il suo integrale è definito da ∫Ω

s(x) dx =r∑

j=1

ajλ(Aj) .

Osservazione 4.38. Una stessa funzione semplice può rappresentarsi in più

modi. E’ però vero che il valore dell’integrale non dipende dalla particolare

rappresentazione usata per calcolarlo.

E’ del tutto ovvio che le usuali proprietà dell’integrale, linearità, monotonia ed

additività, valgono per l’integrale delle funzioni semplici definito sopra; ed è ancora

vero che il prodotto di funzioni semplici integrabili è integrabile.

181


Sia inoltre

s+(x) = maxs(x), 0 , s−(x) = −mins(x), 0 .

Ambedue queste funzioni sono semplici, e vale∫Ω

s(x) dx =∫

Ω

s+(x) dx −∫

Ω

s−(x) dx ,∫Ω

|s(x)| dx =∫

Ω

s+(x) dx +∫

Ω

s−(x) dx .

Infine, sia s(x) una funzione semplice. L’insieme

x | |s(x)| > t

è un insieme misurabile. Ha quindi senso definire la funzione di distribuzione di s(x)

ponendo

λs(t) = λ(x | |s(x)| > t) .

E’ immediatamente evidente che la funzione di distribuzione è monotona decrescente

(non in modo stretto) ed è quindi integrabile secondo Riemann. Inoltre, la funzione

di distribuzione di una funzione semplice è costante a tratti. Le discontinuità cadono

nei valori assunti dalla s(x) e quindi sono un numero finito.

Vale:

Teorema 4.39. Supponiamo che la funzione semplice s prenda valori non negativi.

Allora,

∫ +∞

0

λs(t) dt =∫

Ω

s(x) dx .

DIMOSTRAZIONE

Conviene introdurre a0 = 0, A0 = ∅.

La funzione di distribuzione λs è costante a tratti e

ai < t ≤ ai+1 =⇒ λs(t) = λ(Ai+1) + λ(Ai) + · · · + λ(Ar) ,

t > ar =⇒ λs(t) = 0 .

Dunque,

182


Z +∞

0

λs(t) dt = (a1 − a0)

rXi=1

λ(Ai) + (a2 − a1)

rXi=2

λ(Ai)

+ · · · + (aj+1 − aj)rX

i=j+1

λ(Ai) + . . . + (ar − ar+1)λ(Ar)

=rX

j=1

(aj − aj−1)rX

i=j

λ(Ai) =rX

j=1

aj

rXi=j

λ(Ai) −rX

j=1

aj−1

rXi=j

λ(Ai)

=

rXj=1

aj

rXi=j

λ(Ai) −r−1Xj=0

aj

rXi=j+1

λ(Ai)

= −a0

rXi=1

λ(Ai) +

r−1Xj=1

ajλ(Aj) + arλ(Ar) =

ZΩ

s(x) dx .

4.7.2 L’integrale delle funzioni positive

Sia f(x) una funzione misurabile, non negativa. Sia (sn) una qualsiasi successione

di funzioni semplici crescente ad f . Definiamo∫Ω

f(x) dx = limn

∫Ω

sn(x) dx .

Naturalmente, perché la definizione abbia senso dobbiamo provare che essa è

indipendente dalla particolare successione di funzioni semplici scelta. Premettiamo

un lemma che verrà utile anche in seguito:

Lemma 4.40. Sia (sn) una successione crescente di funzioni semplici non negative

e sia s(x) una funzione semplice. Se

lim sn(x) ≥ s(x) ∀x ∈ Ω

allora

limn

∫Ω

sn(x) dx ≥∫

Ω

s(x) dx .

DIMOSTRAZIONE

Non è restrittivo assumere s(x) ≥ 0. Se λ(Ω) = +∞, scegliamo una successione (B r)

di insiemi tutti di misura finita, crescente e tale che

+∞[r=1

Br = Ω .

183


Proviamo:

limn

ZBr

sn(x) dx ≥Z

Br

s(x) dx 4.8

per ogni r. Ciò fatto, la diseguaglianza su Ω seguirà da

limn

ZΩ

sn(x) dx ≥ limn

ZBr

sn(x) dx ≥Z

Br

s(x) dx

per ogni r.

Ricapitolando, basta lavorare su un fissato insieme B di misura finita. Proviamo

che su tale insieme vale

limn

ZB

sn(x) dx ≥Z

B

s(x) dx .

Fissiamo ε > 0 e consideriamo gli insiemi

An = x ∈ B | sn(x) ≥ s(x) − ε .

Chiaramente, la successione di insiemi (An) cresce,

+∞[n=1

An = B .

Dunque, dal Lemma 4.14, lim[λ(B − An)] = 0. Inoltre,

sn(x) ≥ (s(x) − ε)χAn(x) .

Dunque, ZB

sn(x) dx ≥Z

B

(s(x) − ε)χAn(x) dx =

ZB

s(x)χAn(x) dx − ελ(An)

=

ZB

s(x) dx −Z

B−An

s(x) dx − λ(B)ε .

Si ricordi che s(x) è una funzione semplice, e quindi è limitata, |s(x)| < C. Dunque,

limn

˛˛Z

B−An

s(x) dx

˛˛ ≤ lim

n[Cλ(B − An)] = 0 .

Quindi, per n abbastanza grande ZB−An

s(x) dx < ε

184


e

ZB

sn(x) dx ≥Z

B

s(x) dx − [λ(B) + 1]ε .

La disuguaglianza richiesta segue dall’arbitrarietà di ε.

Possiamo ora provare:

Lemma 4.41. Due successioni (sn) ed (sn), ambedue crescenti e convergenti alla

medesima funzione f non negativa, verificano

limn

∫Ω

sn(x) dx = limn

∫Ω

sn(x) dx .

DIMOSTRAZIONE

Basta provare

limn

ZΩ

sn(x) dx ≥ limk

ZΩ

sk(x) dx .

L’uguaglianza segue invertendo il ruolo di (s n) e di (sn).

Si noti che

limn

sn(x) = f(x) ≥ sk(x)

per ogni k. Dunque, dal Lemma 4.40, si ha che

limn

ZΩ

sn(x) dx ≥Z

Ω

sk(x) dx .

per ogni k. Passando al limite rispetto a k si trova la disuguaglianza voluta.

Osservazione 4.42. Ovviamente, dovremo anche svincolarci dalla condizione che

l’integrale è stato costruito a partire da successioni crescenti. Ciò sarà conseguenza

dei teoremi relativi allo scambio di limiti e integrali, che vedremo.

Dato che le usuali proprietà di monotonia, linearità e additività rispetto al

dominio valgono per gli integrali delle funzioni semplici, queste si trasferiscono

agli integrali delle funzioni positive.

185


Osservazione 4.43. Per il modo come abbiamo definito l’integrale delle funzioni

misurabili positive, ∫Ω

f(x) dx ≥ 0

e, può essere, +∞. Diremo che f(x) è integrabile se l’integrale è finito.

4.7.3 Funzioni integrabili

Sia ora f una generica funzione misurabile. Associamole le due funzioni

f+(x) = max0, f(x) , f−(x) = max0,−f(x)

così che

f+(x) ≥ 0 , f−(x) ≥ 0

e inoltre

f(x) = f+(x) − f−(x) , |f(x)| = f+(x) + f−(x) .

Diciamo che la funzione f è integrabile se ambedue le funzioni f+ ed f− sono

funzioni (positive) integrabili, e quindi con integrale finito, e in tal caso poniamo∫Ω

f(x) dx =∫

Ω

f+(x) dx −∫

Ω

f−(x) dx .

Osservazione 4.44. Talvolta conviene estendere la definizione di funzione integra-

bile. Se accade che una sola delle due funzioni f+ oppure f− ha integrale +∞,

allora diremo che f(x) ha integrale +∞ oppure −∞. Il termine “integrabile” si

riserva però al caso di funzioni il cui integrale è finito.

E’ immediato dalla definizione di integrale:

Teorema 4.45. Una funzione f(x) misurabile è integrabile se e solo se |f(x)| è

integrabile.

Si noti che niente di simile avviene per l’integrale di Riemann.

E’ ancora vero che valgono le usuali proprietà dell’integrale:

186


Teorema 4.46. Siano f(x) e g(x) funzioni integrabili. Vale

–∫Ω[αf(x) + βg(x)] dx = α

∫Ω

f(x) dx + β∫Ω

g(x) dx;

– se f(x) ≤ g(x) allora∫Ω

f(x) dx ≤∫Ω

g(x) dx;

– vale∣∣∫

Ω f(x) dx∣∣ ≤ ∫Ω |f(x)| dx;

– se Ω = Ω1 ∪ Ω2 con Ω1 e Ω2 misurabili allora∫Ω

f(x) dx =∫

Ω1

f(x) dx +∫

Ω2

f(x) dx .

4.7.4 Integrale ed insiemi nulli

Chiaramente, una funzione semplice q.o. nulla ha integrale zero. Infatti, sia |f(x)| = 0

q.o. Ogni funzione semplice maggiorata da f ha integrale nullo; e quindi, se (s n) è

una successione crescente di funzioni semplici che converge ad f ,∫Ω

|f(x)| dx = lim∫

Ω

sn(x) dx = 0 .

Più ancora:

Teorema 4.47. Una funzione f(x) ≥ 0 q.o. ha integrale nullo se e solo se è

nulla q.o.

DIMOSTRAZIONE

Già si è provato che se f è q.o. nulla su Ω allora il suo integrale è nullo. Mostriamo il

viceversa. Sia dunque

f(x) ≥ 0 q.o. x ∈ Ω ,

ZΩ

f(x) dx = 0 .

Introduciamo gli insiemi

A = x | f(x) = 0 An = x | f(x) ≥ 1/n .

La successione di insiemi (An) è crescente e A = ∪nAn. Dunque,

λ(A) = lim λ(An).

187


Ma,

0 ≤ 1

nλ(An) ≤

ZAn

f(x) dx ≤Z

Ω

f(x) dx = 0 .

Dunque, λ(An) = 0 per ogni n, così che anche λ(A) = 0.

Inoltre, sia

An = x | |f(x)| > n .

Teorema 4.48. Se f(x) è integrabile allora

limn

λ(An) = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Basta studiare il caso in cui f(x) ≥ 0. In tal caso vale

0 ≤ nλ(An) ≤Z

An

f(x) dx ≤Z

Ω

f(x) dx

e quindi

0 ≤ limn

λ(An) ≤ limn

1

n

ZΩ

f(x) dx = 0 .

Usa chiamare ∩An l’insieme su cui “f è infinita”; e quindi dire che “una funzione

integrabile è finita q.o.”.

4.8. INTEGRALE DI LEBESGUE ED INTEGRALE DI RIEMANN

Ricordiamo che l’integrale di Riemann si definisce per funzioni limitate definite su

insiemi limitati.

Sia l’integrale di Riemann che quello di Lebesgue si ottengono “approssimando”

la funzione da integrare f con “funzioni semplici”; ma, nel caso dell’integrale di

Riemann, le “funzioni semplici” si ottengono “affettando” il dominio, e quindi sono

funzioni costanti a tratti. Nel caso dell’integrale di Lebesgue le funzioni semplici si

ottengono “affettando” il codominio: sono ancora funzioni che prendono un numero

188


finito di valori ma gli insiemi su cui esse sono costanti sono generici insiemi misurabili

secondo Lebesgue. Esistono però relazioni tra i due integrali. Infatti, il teorema di

Riemann-Lebesgue, Teorema 4.2, mostra che una funzione integrabile di Riemann è

continua q.o., e quindi misurabile. Essendo anche limitata e definita su un insieme

limitato, essa è anche integrabile secondo Lebesgue, e non è difficile vedere che

i due integrali hanno lo stesso valore. La definizione di integrale improprio è

invece sostanzialmente diversa dalla costruzione di Lebesgue, ed esistono funzioni

che ammettono integrale improprio senza avere integrale di Lebesgue. Tra queste

anche funzioni importanti per le applicazioni, come per esempio le funzioni

f(x) =sinx

x, f(x) = sin x2 .

Si sa che queste funzioni ammettono integrale improprio, senza essere assolutamente

integrabili; e quindi non possono avere integrale di Lebesgue, per il Teorema 4.45.

Ciò nonostante, se l’integrale di Lebesgue di una funzione f esiste, questo ha sempre

una relazione con un opportuno integrale di Riemann. Vale infatti il teorema seguente,

che generalizza il teorema 4.39. Introduciamo la funzione di distribuzione della

funzione misurabile f ,

λf (t) = λ(x ∈ Ω | |f(x)| > t) .

Chiaramente la funzione λf è definita su [0, +∞) e decrescente; e quindi integrabile

nel senso dell’integrale improprio di Riemann, può essere con integrale uguale a +∞.

Vale

Teorema 4.49. Sia f(x) una funzione misurabile su Ω, q.o. non negativa. Allora,∫Ω

f(x) dx =∫ +∞

0

λf (t) dt .

DIMOSTRAZIONE

Limitiamoci a provare il teorema nel caso in cui la funzione f(x) è limitata, 0 ≤ f(t) ≤

M e λ(Ω) < +∞. In questo caso λf (t) = 0 per t > M . Inoltre,

189


Z M

0

λf (t) dt

si approssima in questo modo: dato ε > 0 si divida [0, M ], dominio di integrazione, in

segmenti [ti, ti+1], 0 ≤ i ≤ n, di lunghezza minore di ε/M . Essendo λf decrescente,

vale

n−1Xi=0

λf (ti)[ti+1 − ti] ≥Z M

0

λf (t) dt ≥n−1Xi=0

λf (ti+1)[ti+1 − ti] . 4.9

Consideriamo la somma a sinistra. Notando che t 0 = 0 si ha

n−1Xi=0

λf (ti)[ti+1 − ti] = λf (t0)(t1 − t0) + λf (t1)(t2 − t1)

+λf (t2)(t3 − t2) + · · · + λf (tn−1)(tn − tn−1)

= t1[λf (t0) − λf (t1)] + t2[λf (t1) − λf (t2)]

+ · · · + tn[λf (tn−2) − λf (tn−1)] + tnλf (tn−1) .

Ora, λf (tn) = λf (M) = 0 così che

λf (ti) − λf (ti+1) = λ (x | ti < f(x) ≤ ti+1) .

Sia

Ai = x | ti < f(x) ≤ ti+1 .

La somma di sinistra in 4.9 è

n−1Xi=0

tiλ(Ai) =

ZΩ

sr(x) dx

con sr(x) funzione semplice minorante f(x). In modo analogo si vede che la somma

di destra è l’integrale di una funzione semplice S r(x) maggiorante f(x). D’altra parte,

ambedue gli integrali

ZΩ

Sr(x) dx ,

ZΩ

sr(x) dx

tendono a

Z M

0

λf (t) dt

e

190


ZΩ

sr(x) dx ≤Z

Ω

f(x) dx ≤Z

Ω

Sr(x) dx .

Passando al limite su r si trovaZ M

0

λf (t) dt =

ZΩ

f(x) dx .

4.9. LIMITI DI SUCCESSIONI DI FUNZIONI E INTEGRALE

Abbiamo detto che la ragione per introdurre un integrale più generale di quello di

Riemann è di trovare teoremi migliori per lo scambio del segno di limite e di integrale.

Questi teoremi mostriamo ora.

Teorema 4.50 (di Beppo Levi o della convergenza monotona). Sia (fn) una

successione crescente di funzioni misurabili, che verifica

fn(x) ≥ 0 , lim fn(x) = f(x) q.o. x ∈ Ω .

Allora,

lim∫

Ω

fn(x) dx =∫

Ω

f(x) dx .

Non si esclude che l’integrale di f(x) possa essere +∞.

DIMOSTRAZIONE

Escludendo da Ω i punti nei quali la successione (f n) non converge ad f , si vede che

basta studiare il caso in cui (fn) converge ad f su Ω.

La funzione non negativa f , essendo limite di funzioni misurabili, è misurabile e quindi

il suo integrale esiste, può essere uguale a +∞.

Da

ZΩ

fn(x) dx ≤Z

Ω

f(x) dx

si vede che se il limite degli integrali delle f n è +∞ allora f ha integrale uguale a +∞.

Ciò prova, in questo caso, l’uguaglianza cercata.

191


Si noti che questo caso si presenta se, in particolare, una delle f n ha integrale uguale

a +∞. Per completare la dimostrazione, bisogna considerare il caso

lim

ZΩ

fn(x) dx = α ∈ R

e mostrare che

ZΩ

f(x) dx = α .

Si è visto, al Teorema 4.35 che le funzioni f ed fn possono approssimarsi da sotto

mediante funzioni semplici. Sia (ξr) una successione di funzioni semplici che converge

crescendo ad f :

ξr−1 ≤ ξr(x) ≤ f(x) , limr

ξr(x) = f(x) ∀x ∈ Ω .

Per ciascuna fj consideriamo una funzione semplice s j tale cheZΩ

|fj(x) − sj(x)| ds <1

j.

Sostituendo sj con maxs1 , . . . , sj, si può supporre che la successione (sj) sia

crescente.

Introduciamo ora la successione (ηj,r), dipendente dal doppio indice (j, r),

ηj,r(x) = minsj(x), ξr(x) .

Per ogni r fissato,

ηj+1,r(x) ≥ ηj,r(x) e limj

ηj,r(x) = ξr(x) .

Dunque, per il Lemma 4.40,

limj

ZΩ

ηj,r(x) dx ≥Z

Ω

ξr(x) dx .

Quindi,

lim

ZΩ

fn(x) dx ≥ limj

ZΩ

ηj,r(x) dx ≥Z

Ω

ξr(x) dx .

Passando al limite su r si trova

lim

ZΩ

fn(x) dx ≥Z

Ω

f(x) dx .

192


La disuguaglianza opposta è ovvia e ciò prova che vale il teorema.

Osservazione 4.51. Il teorema di Beppo Levi può applicarsi anche se le funzioni

non hanno segno costante, purché valga

g(x) ≤ fn(x) ≤ fn+1(x) , lim fn(x) = f(x)

con g(x) funzione integrabile. Infatti, basta applicare il teorema alla successione

(fn−g) ed alla funzione f−g. Si può applicare anche se le funzioni fn sono negative

(o almeno maggiorate da una funzione g integrabile) e convergono, decrescendo ad

f . Basta infatti applicare il teorema alla successione (−fn) ed alla funzione −f .

Però, senza condizioni di questo tipo l’asserto del teorema non vale, come mostrano

gli esempi seguenti:

Es. 1. Sia

fn(x) =

n se 0 ≤ x ≤ 1

n

0 altrimenti.

Allora, lim fn(x) = f(x) = 0 q.o., ma gli integrali delle fn valgono tutti 1.

Si noti che la successione (fn) non è monotona.

Es. 2. Sia

fn(x) =

1n se 0 ≤ x ≤ n

0 altrimenti.

Allora, lim fn(x) = f(x) = 0 per ogni x, ma gli integrali delle fn valgono tutti 1.

Ancora, la successione (fn) non è monotona.

Es. 3. Sia

fn(x) =1n

193


per ogni x. La successione (fn) è ora una successione di funzioni positive con limite

f(x) = 0; ma la successione è decrescente. Ciascuna delle fn ha integrale +∞

mentre f ha integrale nullo.

Il teorema di Beppo Levi talvolta si usa direttamente; più spesso se ne usano le

conseguenze seguenti:

Teorema 4.52 (Lemma di Fatou). Sia (fn) una successione di funzioni integrabili

su Ω e sia

fn(x) ≥ 0 q.o. x ∈ Ω , f(x) = lim fn(x) q.o. x ∈ Ω .

Allora vale

∫Ω

f(x) dx ≤ lim inf∫

Ω

fn(x) dx .

DIMOSTRAZIONE

La funzione f è non negativa e quindi il suo integrale esiste, eventualmente +∞.

Inoltre,

ZΩ

f(x) dx =

ZΩ

hlim

nfn(x)

idx =

ZΩ

»lim

kinf

m>kfm(x)

–dx .

Si noti che la successione

k → infm>k

fm(x)

è crescente. Si può quindi usare il teorema di Beppo Levi e si vede che l’ultimo integrale

è uguale a

limk→+∞

ZΩ

infm>k

fm(x) dx = lim infk→+∞

ZΩ

infm>k

fm(x) dx ≤ lim infk→+∞

ZΩ

fk(x) dx .

Proviamo infine:

Teorema 4.53 (di Lebesgue o della convergenza dominata). Sia g una

funzione non negativa tale che

194


∫Ω

g(x) dx < +∞ .

Siano fn(x), f(x) misurabili su Ω e tali che q.o. x ∈ Ω valga

lim fn(x) = f(x) , |fn(x)| ≤ g(x) .

Allora vale

lim∫

Ω

fn(x) dx =∫

Ω

f(x) dx .

In particolare, la funzione f(x) è integrabile.

DIMOSTRAZIONE

Applichiamo il teorema di Fatou alle funzioni non negative g − f n. Si trovaZΩ

[g(x) − f(x)] dx ≤ lim inf

ZΩ

[g(x) − fn(x)] dx

=

ZΩ

g(x)dx + lim inf

ZΩ

[−fn(x)] dx =

ZΩ

g(x)dx − lim sup

ZΩ

fn(x) dx

ossia

ZΩ

f(x) dx ≥ lim sup

ZΩ

f(x) dx .

Procedendo in modo analogo con le funzioni

g + fn

si trova

ZΩ

f(x) dx ≤ lim inf

ZΩ

fn(x) dx .

L’uguaglianza cercata segue combinando tali disuguaglianze.

In particolare ciò mostra che˛˛Z

Ω

f(x) dx

˛˛ < +∞ e

ZΩ

|f(x)| dx < +∞ .

Di conseguenza:

195


Corollario 4.54. Sotto le ipotesi del Teorema 4.53 si ha:

lim∫

Ω

|fn(x) − f(x)| dx = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Dal Teorema 4.53 si sa che la funzione f(x) ha integrale finito. Dunque,

|fn(x) − f(x)| → 0 q.o. x ∈ Ω , |fn(x) − f(x)| ≤ g(x) + |f(x)| .

Essendo g(x) + |f(x)| integrabile, ancora dal teorema della convergenza dominata si

trova

lim

ZΩ

|fn(x) − f(x)| dx = 0 .

4.10. DISUGUAGLIANZE

Proviamo ora alcune importanti disuguaglianze per gli integrali.

Ricordiamo che una funzione f definita su R è convessa quando

f

(n∑

i=1

αixi

)≤

n∑i=1

αif(xi) 4.10

con n numero naturale qualsiasi e con

αi ≥ 0 ,

n∑i=1

αi = 1 .

Ricordiamo inoltre che ogni funzione convessa su R è continua e quindi misurabile.

Il grafico di una funzione convessa sta sopra a ciascuna delle sue tangenti. Però una

funzione convessa non è necessariamente derivabile. Più in generale vale la proprietà

seguente: se (t0, f(t0)) è un punto del grafico, si trova sempre almeno una retta (non

verticale) per tale punto, che è sotto al grafico. Ossia, esiste un coefficiente angolare

m tale che

f(t) ≥ f(t0) + m(t − t0) ∀t ∈ R . 4.11

196


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Fig. 4.1.

Proviamo:

Teorema 4.55. Siano h(x), g(x) due funzioni misurabili. Sia inoltre

g(x) ≥ 0 ,

∫Ω

g(x) dx = 1 .

Sia f convessa su R e siano integrabili ambedue le funzioni

h(x)g(x) , f(h(x))g(x) .

Sotto queste ipotesi vale

f

(∫Ω

h(x)g(x) dx

)≤∫

Ω

f(h(x))g(x) dx . 4.12

DIMOSTRAZIONE

Usiamo la disuguaglianza 4.11. Scegliendo

t = h(x)

si ha

f(h(x)) ≥ f(t0) + m(h(x) − t0) .

197


Moltiplicando i due membri per g(x), che è non negativa, si trova

f(h(x))g(x) ≥ f(t0)g(x) + m(h(x) − t0)g(x) . 4.13

Scegliamo ora

t0 =

ZΩ

h(x)g(x)dx

così che ZΩ

h(x)g(x) − t0g(x) = 0 ,

dato cheRΩ

g(x)dx = 1. Integrando ambedue i membri di 4.13 il coefficiente di m si

annulla e, ricordando che g ha integrale 1, si trova la 4.12.

La 4.12 si chiama disuguaglianza di Jensen.

La disuguaglianza di Jensen talvolta si usa direttamente; più spesso si usa la sua

conseguenza seguente. Per illustrarla, dobbiamo introdurre una ulteriore definizione.

Due numeri p, q in (1, +∞) si dicono esponenti coniugati se

1p

+1q

= 1 ; equivalentemente se q =p

p − 1.

Se p = 1 il suo esponente coniugato è, per definizione, +∞ mentre l’esponente

coniugato di +∞ è, per definizione, 1.

Si noti che p = 2 coincide col suo coniugato.

Si ha:

Teorema 4.56. Sia p > 1 e q il suo esponente coniugato. Siano |f(x)| p e |g(x)|q

integrabili su Ω. Allora f(x)g(x) è integrabile su Ω e vale:

∫Ω

|f(x)g(x)| dx ≤[∫

Ω

|f(x)|p]1/p [∫

Ω

|g(x)|q]1/q

. 4.14

DIMOSTRAZIONE

La disuguaglianza è ovvia se uno degli integrali a destra è nullo perché in tal caso la

corrispondente funzione è nulla q.o., e quindi anche l’integrale a sinistra è nullo. Con-

sideriamo quindi il caso in cui ambedue gli integrali a destra sono positivi. Dividendo i

198


due membri per

»ZΩ

|f(x)|p–1/p »Z

Ω

|g(x)|q–1/q

si vede che basta provare

ZΩ

f(x)g(x) dx ≤ 1 ,

ove

f(x) =|f(x)|

[RΩ|f(x)|p dx]1/p

, g(x) =|g(x)|

[RΩ|g(x)|q dx]1/q

.

Queste funzioni sono non negative eZΩ

fp(x) dx = 1 ,

ZΩ

gq(x) dx = 1 .

Essendo p > 1, la funzione t → |t|p è convessa su R e:

p(1 − q) + q = 0 .

Scriviamo allora:»ZΩ

f(x)g(x) dx

–p

=

»ZΩ

f(x)[g(x)]1−q[g(x)]q dx

–p

≤Z

Ω

hf(x)[g(x)]1−q

ip

[g(x)]q dx =

ZΩ

fp(x) [g(x)]p(1−q)+q dx

=

ZΩ

fp(x) dx = 1 .

La diguaglianza 4.14 si chiama disuguaglianza di H’older. Nel caso p = 2 la

disuguaglianza si chiama disuguaglianza di Schwarz. Da essa si deduce:

Teorema 4.57. Sia p ≥ 1 e siano f , g funzioni misurabili. Vale[∫Ω

|f(x) + g(x)|p]1/p

≤[∫

Ω

|f(x)|p]1/p

+[∫

Ω

|g(x)|p]1/p

. 4.15

DIMOSTRAZIONE

Ci sono due casi nei quali la disuguaglianza è ovvia: il primo è il caso in cui uno dei

due integrali a destra è +∞ e l’altro è il caso p = 1. Dunque studiamo il caso in cui

199


questo l’estremo superiore essenziale di una funzione f . Esso si indica col simbolo

ess sup f ed è definito da

ess sup f = inf r | λ(x | f(x) > r) = 0 .

Si definisce quindi

L∞(Ω) = f | ess sup |f | < +∞ .

La notazione L∞ è giustificata dal risultato seguente, che non proviamo:

Teorema 4.59. Vale

limp→+∞

[∫Ω

|f(x)|p dx

]1/p

= ess sup |f | .

E’ immediato verificare che L∞(Ω) è uno spazio lineare, e che

ess sup |f + g| ≤ ess sup |f | + ess sup |g| ,

disuguaglianza che in questo caso sostituisce quella di Minkowski. Analogamente, se

f ∈ L1(Ω) e g ∈ L∞(Ω), vale∫Ω

|f(x)g(x)| dx ≤ (ess sup |g|)∫

Ω

|f(x)| dx ,

disuguaglianza che sostituisce quella di H’older.

E’ utile per il seguito sapere che la disuguaglianza di H’older può invertirsi:

Teorema 4.60. Sia g una funzione misurabile su Ω e supponiamo che esista un

numero M che gode della seguente proprietà: per ogni funzione misurabile e limitata

f si ha: ∣∣∣∣∫

Ω

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ M

[∫Ω

|f(x)|p dx

]1/p

. 4.16

Allora g ∈ Lq(Ω) e, più precisamente,[∫Ω

|g(x)|q dx

]1/q

< M . 4.17

201


DIMOSTRAZIONE

Si noti che la 4.16 vale sempre seZΩ

|f(x)|p dx = +∞

e in tal caso non dà informazioni. Dunque consideriamo soltanto le funzione f per cuiZΩ

|f(x)|p dx < +∞ .

Sia R > 0 e sia

ΩR = x ∈ Ω | |x| < R .

Introduciamo le funzioni

gn(x) =

8<: g(x) se |g(x)| < n e se x ∈ ΩR

0 altrimenti .

Scegliamo

fn(x) =h|gn(x)|q/p

isgn gn(x) .

Si noti che

ZΩ

|fn(x)|p dx =

ZΩ

|gn(x)|q dx

e che

fn(x)gn(x) = |gn(x)|1+q/p = |gn(x)|q = |g(x)|q x ∈ ΩR .

Usando 4.16 si trova:ZΩ

fn(x)gn(x) dx =

ZΩ

fn(x)g(x)dx ≤ M

»ZΩ

|fn(x)|p dx

–1/p

= M

»ZΩ

|gn(x)|q dx

–1/p

.

Dunque, ZΩ

|gn(x)|q dx =

ZΩ

fn(x)gn(x) dx ≤ M

»ZΩ

|gn(x)|q dx

–1/p

.

Dividendo si trova

»ZΩ

|gn(x)|q dx

–1/q

< M .

202


Essendo g(x) = lim gn(x) per ogni x ∈ Ω, dal Lemma di Fatou si trova:»ZΩR

|g(x)|q dx

–1/q

≤ lim infn

»ZΩ

|gn(x)|q dx

–1/q

≤ M .

La 4.17 segue passando al limite per R → +∞.

Osservazione 4.61. L’ipotesi di limitatezza sulle funzioni f è stata solo imposta

perché così il teorema diventa di uso più facile.

Una diversa dimostrazione della disuguaglianza di Jensen

Ha interesse vedere una dimostrazione della disuguaglianza di Jensen, basata diret-

tamente sulla 4.10. Limitiamoci a considerare il caso di funzioni limitate definite su

insiemi di misura finita.

Notiamo che la composizione di una funzione convessa su una funzione semplice è

ancora una funzione semplice. Premettiamo:

Lemma 4.62. Siano s e ξ funzioni semplici su Ω e sia f una funzione convessa su

R. Supponiamo inoltre

ξ(x) ≥ 0 ,

∫Ω

ξ(s) ds = 1 . 4.18

Vale:

f

(∫Ω

s(x)ξ(x) dx

)≤∫

Ω

f(s(x))ξ(x) dx . 4.19

DIMOSTRAZIONE

Rappresentiamo

s(x) =

nXi=1

siχAi(x) , ξ(x) =

nXi=1

ξiχAi(x)

con Ai ∩ Aj = ∅ se i = j (e i medesimi insiemi Ai in ambedue le rappresentazioni,

come sempre può farsi).

Si ha:

ZΩ

s(x)ξ(x)dx =

nXi=1

si [ξiλ(Ai)] .

203


I numeri αi = ξiλ(Ai) verificano

αi ≥ 0 ,

nXi=1

αi =

nXi=1

ξiλ(Ai) =

ZΩ

ξ(x) dx = 1 .

Dunque possiamo usare la disuguaglianza 4.10, ottenendo

f

„ZΩ

s(x)ξ(x)dx

«= f

nX

i=1

si [ξiλ(Ai)]

!

≤nX

i=1

ξiλ(Ai)f(si) =

ZΩ

f(s(x))ξ(x)dx .

Osservazione 4.63. Si noti che la condizione 4.18 è quella che permette l’uso

della 4.10. Ha quindi un ruolo cruciale nella dimostrazione del lemma precedente,

e del teorema successivo.

Proviamo ora il teorema, considerando il caso in cui le funzioni non sono semplici.

Ricordiamo che stiamo solo studiando il caso in cui le due funzioni h e g sono

limitate, su un insieme Ω di misura finita.

Si costruiscono successioni crescenti di funzioni semplici, (sn(x)), (ξn(x)),

convergenti uniformemente rispettivamente a h(x) e g(x).

Vorremmo usare il lemma precedente, ma la ξn potrebbe non avere integrale uguale

ad 1. Per ovviare a ciò sostituiamo ξn con ξn,

ξn(x) =ξn(x)∫

Ωξn(x) dx

.

Essendo

lim∫

Ω

ξn(x) dx =∫

Ω

g(x) dx = 1 ,

vale ancora

lim ξn(x) = g(x) ,

e il limite è ancora uniforme. Si può ora applicare la 4.19:

f

(∫Ω

sn(x)ξn(x) dx

)≤∫

Ω

f(sn(x))ξn(x) dx .

La f è continua su R perché è convessa e ([f(sn(x))ξn(x)

]) è una successione di

funzioni limitata. Si ha quindi

204


limn

f(sn(x)) = f(h(x)) ,

lim f

(∫Ω

sn(x)ξn(x) dx

)= f

(∫Ω

h(x)g(x) dx

),

lim∫

Ω

f(sn(x))ξn(x) dx =∫

Ω

f(h(x))g(x) dx .

Segue dunque la 4.12.

Osservazione 4.64. La dimostrazione che abbiamo presentato ora è più diretta,

perché usa soltanto l’usuale definizione di funzione convessa. Però l’estensione al

caso delle funzioni illimitate su insiemi illimitati richiederebbe delle considerazioni

alquanto delicate.

4.10.1 Le relazioni tra spazi Lp(Ω)

La disuguaglianza di H’older permette di studiare quali relazioni intercorrano tra spazi

Lp(Ω), sul medesimo insieme Ω, ma con esponenti diversi. E’ immediato costruire

esempi di funzioni in Lp(R) che non sono in Lr(R) per ogni scelta degli esponenti p

ed r. Però:

Teorema 4.65. Se λ(Ω) < +∞ e se p < q allora Lq(Ω) ⊆ Lp(Ω).

DIMOSTRAZIONE

Vogliamo provare che se f ∈ Lq(Ω) allora si ha anche f ∈ Lp(Ω), purché sia p < q. Si

noti che |f |p = (|f |q)p/q e che (q/p) > 1. Il suo esponente coniugato è

q

q − p.

Dunque, dalla disuguaglianza di H ’older,ZΩ

|f(x)|p dx =

ZΩ

|f(x)|p · 1 dx

≤»Z

Ω

( |f(x)|p)q/p dx

–p/q

·»Z

Ω

(1)q/(q−p) dx

–(q−p)/q

< +∞ .

Se invece Ω ha misura infinita, nessuno dei due spazi include l’altro, come facilmente

si vede nel caso Ω = R. Infatti, f(x) = e−|x|/[√|x|] è in L1(R) ma non in L2(R).

205


Invece, f(x) = 1/(1 + |x|) è in L2(R) ma non in L1(R). Vale però:

Teorema 4.66. Sia 1 ≤ p < r < +∞ e sia f ∈ Lp(Ω) ∩ Lr(Ω). Allora, f

appartiene anche a Lq(Ω) per ogni q intermedio tra p ed r: p < q < r.

DIMOSTRAZIONE

Proviamo che nelle ipotesi del teorema vale la diseguaglianza seguente, da cui

immediatamente segue l’asserto:

ZΩ

|f(x)|q dx ≤»Z

Ω

|f(x)|r dx

– q−pr−p

»ZΩ

|f(x)|p dx

– r−qr−p

. 4.20

Si noti che un punto q del segmento (p, r) si rappresenta come

q = αr + βp , α =q − p

r − p, β =

r − q

r − p.

Inoltre,

α + β = 1 ,1

α> 1 ,

1

β> 1

e quindi possiamo usare la disuguaglianza di H ’older come segue:ZΩ

|f(x)|q dx =

ZΩ

|f(x)|αr|f(x)|βp dx

≤»Z

Ω

(|f(x)|αr)1/α dx

–α »ZΩ

“|f(x)|βp

”1/β

dx

–β

< +∞ .

Questa è la diseguaglianza cercata.

La 4.20 si chiama disuguaglianza di interpolazione.

Mostriamo infine:

Teorema 4.67. Sia f ∈ Lp(Ω) ∩ L∞(Ω). Allora, f ∈ Lr(Ω) per ogni r > p.

DIMOSTRAZIONE

Dividendo per ess sup |f |, e alterando il valore di f su un insieme di misura nulla, si

può supporre |f(x)| ≤ 1 su Ω. In questo caso,

|f(x)|r ≤ |f(x)|p e quindiZ

Ω

|f(x)|r ≤Z

Ω

|f(x)|p < +∞ .

206


4.11. I TEOREMI DI FUBINI E TONELLI

Abbiamo definito l’integrale di Lebesgue su un insieme misurabile Ω di R n. Esten-

dendo f(x) = 0 per x /∈ Ω si trova che ci si può sempre ricondurre a lavorare con

funzioni definite su tutto Rn, cosa che ora conviene fare.

Talvolta una funzione è data come “funzione di due variabili”

f(x, y) , x ∈ Rm , y ∈ Rk m + k = n .

Ci si può chiedere sotto quali condizioni l’integrale “doppio” di f(x, y), ossia

l’integrale su Rn, si può scrivere come “integrale iterato”. A questa domanda risponde

il teorema seguente:

Teorema 4.68 (di Fubini). Sia f(x, y) integrabile su Rm+k = Rn. Definiamo

fx(y) = f(x, y) , y ∈ Rk , fy(x) = f(x, y) , x ∈ Rm .

Allora:

– le funzioni fx(y) ed fy(x) sono misurabili su Rk q.o. x ∈ Rm e su Rm

q.o. y ∈ Rk;

– le funzioni fx(y) ed fy(x) sono integrabili su Rk q.o. x ∈ Rm e su Rm

q.o. y ∈ Rk;

– Posto

Φ(x) =∫

Rk

f(x, y) dy , Ψ(y) =∫

Rm

f(x, y) dx ,

le due funzioni Φ e Ψ sono integrabili, rispettivamente su Rm e su Rk;

– vale:

∫Rn

f(x, y) d(x, y) =∫

Rk

Ψ(y) dy =∫

Rm

Φ(x) dx .

Il teorema precedente richiede di saper che la funzione f(x, y) è integrabile su R n.

Talvolta ciò non è noto. L’ipotesi che la funzione f(x, y) sia integrabile su R n può

207


venir rimossa a patto di assumere f(x, y) ≥ 0 e che almeno uno dei due integrali

iterati sia finito:

Teorema 4.69 (di Tonelli). Sia f(x, y) misurabile e q.o. non negativa su Rn =

Rm+k. Sia inoltre∫Rm

[∫Rk

f(x, y) dy

]dx < +∞ oppure

∫Rk

[∫Rm

f(x, y) dx

]dy < +∞ .

In tal caso la funzione f(x, y) è integrabile su Rn e vale∫Rn

f(x, y) d(x, y) =∫

Rm

[∫Rk

f(x, y) dy

]dx =

∫Rk

[∫Rm

f(x, y) dx

]dy .

La dimostrazione di questi teoremi è piuttosto complessa, e viene omessa.

Mostriamone però un’applicazione importante.

4.11.1 Convoluzioni

In questa parte si usa una una proprietà importante della misura di Lebesgue, che è

l’invarianza per traslazioni. E’ immediatamente evidente dalla definizione di misura

che per ogni α reale e per ogni insieme misurabile A vale

λ(A) = λ(α + A)

dove

α + A = x | x = α + a , a ∈ A .

Conseguenza di questo è che∫Rn

f(x + α) dx =∫

Rn

f(x) dx .

Siano f e g due funzioni definite su Rn. Si chiama convoluzione delle due funzioni la

funzione

(f ∗ g)(x) =∫

Rn

f(x − y)g(y) dy ,

definita per quei valori di x per i quali l’integrale esiste finito.

208


Per esempio, sia n = 1 e sia f(x) = 0, g(x) = 0 per x < 0. In questo caso,

(f ∗ g)(x) =∫ x

0

f(x − s)g(s) ds ,

un integrale che si incontra, per esempio, nella soluzione delle equazioni differenziali

ordinarie e che già abbiamo incontrato al paragrafo 3.3..

Vogliamo dare condizioni sotto le quali la convoluzione è definita q.o., ed è una

funzione integrabile.

Vale:

Teorema 4.70. Se f e g sono integrabili su Rn allora la loro convoluzione è

definita q.o.; è una funzione integrabile e vale:∫Rn

|(f ∗ g)(x)| dx ≤[∫

Rn

|f(x)| dx

] [∫Rn

|g(x)| dx

]. 4.21

DIMOSTRAZIONE

Applichiamo i teoremi di Fubini e Tonelli alla funzione

F (x, y) = |f(x − y)g(y)| .

La F (x, y) è non negativa e uno dei suoi integrali iterati è finito. Infatti,ZRn

»ZRn

|f(x − y)g(y)|dx

–dy

=

ZRn

»ZRn

|f(x − y)|dx

–|g(y)|dy =

»ZRn

|f(x)| dx

– »ZRn

|g(y)|dy

–< +∞

(si noti che abbiamo usato l’invarianza per traslazione della misura di Lebesgue).

Per il teorema di Tonelli, esiste ZRn×Rn

|F (x, y)|d(x, y) .

Ricordando che una funzione misurabile e assolutamente integrabile è anche inte-

grabile, si vede che si può applicare il teorema di Fubini. Quindi per q.o. x ∈ R n

esiste

ZRn

F (x, y) dy =

ZRn

f(x − y)g(y)dy = (f ∗ g)(x) .

Inoltre,

209


ZRn

|(f ∗ g)(x)|dx =

ZRn

˛˛Z

Rn

f(x − y)g(y)dy

˛˛ dx

≤Z

Rn

»ZRn

|f(x − y)g(y)|dy

–dx =

ZRn

»ZRn

|f(x − y)g(y)|dx

–dy

=

ZRn

»ZRn

|f(x − y)|dx

–|g(y)|dy =

»ZRn

|g(y)|dy

– »ZRn

|f(x)| dx

–,

Vale quindi la 4.21.

La disuguaglianza 4.21 si chiama disuguaglianza di Young.

Osservazione 4.71. Si è provato che la convoluzione è definita q.o. Si osservi che

in generale essa non è ovunque definita, come prova l’esempio seguente. Sia

f(x) =e−|x|√|x|

= g(x) .

Sia f che g sono integrabili, e quindi la loro convoluzione è definita q.o.; ma non è

definita per x = 0 perché

(f ∗ g)(0) =∫ +∞

−∞

e−2|y|

|y| dy = +∞ .

4.12. ESTENSIONI

Si noti il metodo che abbiamo seguito per introdurre l’integrale di Lebesgue: prima

abbiamo definito una misura σ-additiva e quindi la classe delle funzioni misurabili

rispetto a tale misura. Abbiamo visto che ogni funzione misurabile si approssima

mediante funzioni semplici e abbiamo usato ciò per definire l’integrale.

Sia ora Ω un insieme qualsiasi e sia F una σ-algebra di s.insiemi di Ω. Sia µ una

misura σ-additiva definita su F . E’ ancora possibile definire le funzioni da Ω in R che

sono misurabili, come quelle funzioni tali che per ogni t ∈ R si ha:

x ∈ Ω | f(x) > t ∈ F .

E’ facile vedere che ogni funzione misurabile si approssima mediante funzioni

semplici e quindi definirne l’integrale. Tutte le proprietà delle funzioni misurabili e dei

210


loro integrali si estendono a questo contesto “astratto”. Si noti però che gli enunciati

che contengono “q.o.” valgono solo se la misura è completa; ossia se ogni s.insieme di

un insieme di misura zero è misurabile (e quindi ha misura zero). Altrimenti bisogna

richiedere che la proprietà corrispondente valga ovunque su Ω.

4.13. LA FUNZIONE INTEGRALE SU R

Vogliamo presentare i risultati che intercorrono tra l’integrazione e la derivazione per

le funzioni di una variabile reale. Si tratta di risultati dalla dimostrazione alquanto

complessa e quindi ci limitiamo a presentarli senza dimostrazione, a parte il seguente.

Supponiamo che f sia integrabile e non negativa. In questo caso

A →∫

A

f(s) ds = φ(A)

è una misura e l’additivitá dell’integrale mostra che si tratta di una misura σ-additiva.

Se f prende anche valori negativi, si ottiene una funzione d’ insieme definita su L;

ossia una funzione che associa un numero ad ogni elemento di L . Questa funzione

ha l’ulteriore proprietà che se (Ai) è una successione di insiemi due a due disgiunti

allora

φ

(+∞⋃i=1

Ai

)=

+∞∑i=1

φ(Ai)

e questa uguaglianza vale anche se f non prende valori soltanto positivi. Anzi,

dato che una funzione è integrabile se e solo se è assolutamente integrabile, la serie

converge assolutamente.

Osserviamo però che per studiare la funzione φ(A) non è restrittivo assumere f(x) ≥

0 q.o. x. Infatti, se ciò non avviene, si studiano separatamente

φ+(A) =∫

A

f+(x) dx , φ−(A) =∫

A

f−(x) dx

con

f+(x) = maxf(x), 0 , f−(x) = max−f(x), 0 .

211


Vale:

Teorema 4.72. Sia f(x) da R in sé una funzione q.o. non negativa e integrabile su

(a, b). Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se λ(A) < δ allora φ(A) < ε.

DIMOSTRAZIONE

Limitiamoci a considerare il caso in cui −∞ < a < b < +∞ (l’estensione al caso

dell’intervallo illimitato non è difficile e si lascia al lettore).

Se 0 ≤ f ≤ M l’asserto è ovvio. Altrimenti, definiamo

fN (x) = minf(x), N .

Vale

limN

fN (x) = f(x) , 0 ≤ fN (x) ≤ f(x)

e per ipotesi f(x) è integrabile. Dunque, per il teorema della convergenza dominata,

limN

Z b

a

[f(x) − fN (x)] dx = 0 .

Fissiamo N tale che

0 ≤Z b

a

[f(x) − fN (x)] dx < ε/2

e scriviamoZA

f(x) dx =

ZA

[f(x) − fN (x)] dx +

ZA

fN (x) dx <ε

2+ Nλ(A) .

La disuguaglianza richiesta vale se λ(A) < ε/(2N).

Se f non è positiva il risultato precedente si può applicare sia alle funzioni f+ ed f−

che alla funzione |f |, ottenendo un asserto analogo per la funzione d’insieme φ(A).

Al risultato precedente si può dare un’espressione più “esplicita” (valida anche se f

non ha segno costante): per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni famiglia finita

di intervalli (xi, xi+1), 1 ≤ i ≤ n, tra loro disgiunti e tali che

n∑i=1

(xi+1 − xi) < δ

212


valen∑

i=1

|f(xi+1) − f(xi)| < ε .

Una funzione con tale proprietà si dice assolutamente continua. Dunque, ogni funzio-

ne integrale di una funzione che è integrabile secondo Lebesgue è assolutamente

continua. In particolare, se f è integrabile secondo Lebesgue su un intervallo

(a, b), la sua funzione integrale è continua. In questa definizione non si richiede che

la funzione f(x) abbia segno costante.

Viceversa, per funzioni di una variabile reale, vale:

Teorema 4.73. Sia f(x) definita su [a, b] ed assolutamente continua. Allora f ′(x)

esiste q.o. su (a, b) e inoltre

f(x) − f(a) =∫ x

a

f ′(s) ds .

E’ bene sapere che l’insieme delle funzioni q.o. derivabili e continue è assai più ampio

di quello delle funzioni assolutamente continue: per esempio ogni funzione monotona

e continua è q.o. derivabile. Però l’integrale della derivata in generale non restituisce

la funzione. Esistono, infatti, esempi di funzioni f(x) continue su [0, 1], strettamente

crescenti con f(0) = 0, f(1) = 1 e con

f ′(x) = 0 q.o. x ∈ (0, 1) .

In tal caso,

f(1) − f(0) = 1 >

∫ 1

0

f ′(s) ds = 0 .

4.13.1 Estensioni

I risultati visti al paragrafo precedente per le funzioni di una variabile possono

estendersi a funzioni di più variabili e al caso di una generica misura σ-additiva su

un insieme Ω. Sia µ una misura σ-additiva definita su una σ-algebra F di s.insiemi di

213


un’assegnato insieme Ω, come si è detto al paragrafo 4.12.. Sia f (per semplicità non

negativa) una funzione integrabile su Ω e sia

φ(A) =∫

A

f(x)dµ . 4.22

Vale ancora l’analogo del teorema 4.72: per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se

µ(A) < δ allora φ(A) < ε. La dimostrazione è uguale a quella del teorema 4.72.

Una funzione φ definita su F a valori non negativi 2 e che ha questa proprietà si dice

assolutamente continua rispetto a µ.

Viceversa, vale il risultato seguente, che ci limitiamo ad enunciare nel caso delle

funzioni d’insieme non negative:

Teorema 4.74 (di Radon-Nikodym). Sia µ una misura σ-additiva finita, de-

finita su una σ-algebra F di s.insiemi di un assegnato insieme Ω. Sia φ una

funzione di insieme non negativa definita su F , assolutamente continua rispetto a

µ. Esiste una funzione f , integrabile rispetto alla misura µ, per la quale vale la

rappresentazione 4.22.

Se g è una seconda funzione integrabile per cui

φ(A) =∫

A

g(x) dx

allora f = g q.o. su Ω.

2Ci limitiamo a considerare funzioni non negative. Sarebbe possibile studiare il caso di generiche

funzioni di insieme, ma questo richiederebbe l’introduzione di una decomposizione analoga a

quella che si trova decomponendo f = f+ + f−, anche senza sapere che la φ è rappresentata

come in 4.22.

214

5. SPAZI DI BANACH

5.1. INTRODUZIONE ALL’ANALISI FUNZIONALE

L’Analisi funzionale è nata quando, tra la fine del XIX secolo e il primo trentennio

del XX, sono stati raccolti in un’unica teoria molti risultati provenienti da varie parti

dell’analisi matematica; in particolare, dalla teoria delle equazioni integrali della

forma

x(s) = µ

∫ b

a

K(s, ξ)x(ξ) dξ + y(s) , s ∈ [a, b] 5.1

ove µ è un parametro e K(s, ξ), y(s) sono funzioni note mentre la funzione x(s) è

incognita.

L’intervallo [a, b] è limitato. Equazioni di questo tipo si chiamano equazioni di

Fredholm di seconda specie e si incontrano per esempio nella soluzione di problemi

di elasticità (problemi che hanno stimolato i primi studi di Fredholm).

La funzione K(s, ξ) si chiama il nucleo dell’equazione di Fredholm.

Si chiama equazione di Fredholm di prima specie l’equazione∫ b

a

K(s, ξ)x(ξ) dξ = y(s) , s ∈ [a, b] 5.2

che pure si incontra nelle applicazioni, ma che ha una teoria sostanzialmente più

delicata, per una ragione che vedremo.

215

5. SPAZI DI BANACH

Come introduzione all’analisi funzionale, vediamo come sia possibile trattare l’equa-

zione di Fredholm (di prima o di seconda specie) quando il nucleo è degenere, ossia

quando

K(s, ξ) =m∑

i=1

ai(s)bi(ξ) , s , ξ ∈ [a, b] . 5.3

Per semplicità supporremo che le funzioni a(s) e b(ξ) siano continue su [a, b].

Nel caso del nucleo degenere la soluzione dell’equazione di Fredholm si riduce ad un

problema di algebra lineare e quindi richiamiamo alcune nozioni che dovremo usare.

5.1.1 L’equazione Ax = φ

Ricordiamo che C indica l’insieme dei numeri complessi e che Cn indica il prodotto

cartesiano di n copie di C. In Cn esistono infinite basi, ciascuna di n elementi. Si

chiama base canonica la base e1 , . . . , en, avendo indicato con ei il vettore le cui

componenti sono tutte nulle, salvo la i–ma, che vale 1.

Se x è un vettore di Cn, scriveremo

x = col[

x1 . . . xn

],

intendendo con ciò che

x =n∑

i=1

xiei .

Affermazioni del tutto analoghe valgono per Cm. Per evitare ambiguità, indicheremo

con ε1 , . . . , εm la sua base canonica. Anzi, per chiarezza indicheremo con lettere

romane i vettori di Cn e con lettere greche quelli di Cm.

Sia A una matrice m × n,

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

...

am1 am2 . . . amn

.

216

5. SPAZI DI BANACH

L’espressione Ax = φ si usa per rappresentare in modo compatto il sistema di m

equazioni in n incognite

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = φ1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = φ2

...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = φm .

5.4

Vogliamo ricordare le condizioni, note dai corsi precedenti, perché:

1. L’equazione Ax = φ ammetta al più una soluzione;

2. L’equazione Ax = φ ammetta almeno una soluzione;

3. L’equazione Ax = φ ammetta esattamente una soluzione per ogni φ ∈ Cm.

Consideriamo prima di tutto il problema 1), unicità di soluzione. Si noti la

formulazione del problema di unicità: non si richiede che una soluzione debba

esistere per ogni φ; si richiede che se una soluzione esiste allora questa sia unica.

Se per la medesima φ si hanno due soluzioni x ′ ed x′′ tra loro diverse, allora y =

x′ − x′′ verifica

Ay = A(x′ − x′′) = Ax′ − Ax′′ = φ − φ = 0 .

Dunque, se per una φ la soluzione non è unica, allora esiste y = 0 e tale che Ay = 0.

E viceversa:

Teorema 5.1. Se per una φ il problema 5.4 ammette soluzione e questa è unica,

allora

kerA = x | Ax = 0 = 0 .

Viceversa, se kerA = 0 allora il problema 5.4 ammette soluzione unica per ogni φ.

Osservazione 5.2. Si noti che il problema dell’unicità, come è stato enunciato,

sembra dipendere dalla scelta di φ. Ossia, si potrebbe pensare che la soluzione di 5.4

sia unica per alcune φ ma non per altre. Invece, il teorema precedente mostra che si

ha unicità di soluzione per ogni φ se e solo se si ha unicità di soluzione per una φ.

217

5. SPAZI DI BANACH

L’insieme

kerA = x | Ax = 0

si chiama il nucleo di A.

Passiamo ora a studiare il problema dell’esistenza di soluzioni. Chiamiamo

immagine di A l’insieme

im A = Ax | x ∈ Cn .

Dunque, im A è esattamente l’insieme dei vettori φ per i quali l’equazione 5.4 è

risolubile.

Si ricordi che im A è un s.spazio di Cm. Ora un generico s.spazio V di Cm può

caratterizzarsi descrivendone gli elementi; e ciò abbiamo fatto per definire im A; ma

può anche identificarsi per mezzo del suo s.spazio ortogonale V ⊥.

Definizione 5.3. Un vettore ψ ∈ Cm si dice ortogonale a V quando è ortogonale a

tutti gli elementi di V ; e V ⊥ è il s.spazio di tutti i vettori ψ ortogonali a V .

Indicando col simbolo 〈φ, ψ〉 il prodotto interno dei vettori φ e ψ,

V ⊥ = ψ | 〈φ, ψ〉 = 0 ∀φ ∈ V .

Quando V = imA, è facile identificare V ⊥. Introduciamo per questo la matrice A∗,

aggiunta di A. Si sa che A∗ verifica

〈Ax, φ〉 = 〈x, A∗φ〉 . 5.5

Teorema 5.4. si ha

(im A)⊥ = kerA∗ , im A = (kerA∗)⊥ .

DIMOSTRAZIONE

Se φ ⊥ im A allora per ogni x vale

〈Ax,φ〉 = 0 ossia 〈x, A∗φ〉 = 0 ∀x ∈ Cn ;

218

5. SPAZI DI BANACH

e quindi A∗φ = 0. Viceversa, se A∗φ = 0 allora per ogni x ∈ Cn vale

0 = 〈x,A∗φ〉 = 〈Ax,φ〉 ∀x ∈ Cn

e quindi φ ⊥ im A. Ciò prova la prima uguaglianza. La seconda si può provare in

modo analogo, ma può anche dedursi dalla prima, ricordando che`V ⊥´⊥ = V per

ogni s.spazio di Cm.

E quindi:

Teorema 5.5. L’equazione 5.4 è risolubile se e solo se φ ⊥ (kerA∗) .

Questo teorema assume un aspetto particolarmente semplice se vogliamo che

l’equazione 5.4 sia risolubile per ogni φ:

Teorema 5.6. L’equazione 5.4 è risolubile per ogni φ se e solo se kerA∗ = 0.

Si può dunque enunciare:

Teorema 5.7 (alternativa di Fredholm). La matrice A identifica una trasforma-

zione iniettiva se e solo se la matrice A∗ identifica una trasformazione suriettiva; La

matrice A identifica una trasformazione suriettiva se e solo se la matrice A∗ identifica

una trasformazione iniettiva.

L’alternativa di Fredholm si incontra anche in situazioni più generali dello studio di

sistemi di n equazioni in m incognite. Però, nel caso particolare del problema 5.4 si

può essere anche più precisi e notare che se kerA = 0 e inoltre A è suriettiva, allora

deve essere n = m.

Osservazione 5.8. L’alternativa di Fredholm per le matrici è utile perché in pratica

è assai più semplice verificare l’unicità di soluzione piuttosto che l’esistenza di

soluzione.

219

5. SPAZI DI BANACH

5.1.2 L’equazione λx − Ax = y

Sia ora X = Y e quindi A una matrice quadrata, e studiamo l’equazione

λx − Ax = y , ossia (λI − A)x = y 5.6

ove I indica la matrice identità. Naturalmente quest’equazione è un caso particolare

di 5.4 e quindi si tratta di adattare a questo caso particolare i risultati già trovati. In

particolare:

Teorema 5.9. L’equazione 5.6 ammette una e una sola una soluzione per ogni y se e

solo se l’equazione

(λI − A∗)ψ = φ

ammette esattamente una soluzione. Ciò avviene se e solo se

det(λI − A) = 0 . 5.7

Si noti che la condizione 5.7 è specifica del caso n = m e quindi non ha analogo tra i

risultati trovati prima.

L’insieme dei numeri λ per cui vale l’unicità di soluzione si chiama l’insieme

risolvente della matrice A e si indica col simbolo ρ(A); il suo complementare si

chiama lo spettro della matrice e si indica col simbolo σ(A). Gli elementi di σ(A) si

chiamano gli autovalori di A.

Si noti che

det(λI − A)

è un polinomio di grado n ≥ 1; e quindi lo spettro di una matrice non è vuoto.

Gli autovalori sono in generale numeri complessi, anche se la matrice A è reale. Si

ricordi che se la matrice A è reale allora λ ∈ σ(A) se e solo se λ ∈ σ(A).

In generale si ha che se λ ∈ σ(A) allora λ ∈ σ(A∗).

Si lascia per esercizio di enunciare risultati analoghi per l’equazione

x = µAx + y . 5.8

220

5. SPAZI DI BANACH

Notiamo però che quest’equazione è risolubile in modo banale quando µ = 0 perché

in tal caso essa si riduce a x = y.

5.1.3 L’equazione di Fredholm a nucleo degenere

Studiamo ora l’equazione 5.1 nel caso particolare in cui il nucleo ha forma 5.3, ossia

nel caso del nucleo degenere.

Si noti che il parametro µ moltiplica l’integrale, così che l’equazione di Fredholm così

scritta viene ad essere di seconda specie per ogni valore di µ. Avessimo invece scritto

λx(s) =∫ b

a

K(s, ξ)x(ξ) dξ + y(s) , s ∈ [a, b]

per λ = 0 avremmo trovato un’equazione di prima specie.

L’equazione 5.1 si scrive

x(s) = µ

m∑r=1

ar(s)∫ b

a

br(ξ)x(ξ) dξ + y(s) 5.9

ossia

x(s) = µ

m∑r=1

ar(s)xr + y(s) , xr =∫ b

a

br(ξ)x(ξ) dξ .

I numeri xi dipendono dalla funzione incognita x(s) e quindi non sono noti; però,

moltiplicando i due membri dell’uguaglianza per b i(s) e integrando da a a b, si trova

che essi risolvono

xi = µ

m∑r=1

kirxr + yi ,

kir =∫ b

a bi(s)ar(s) ds

yi =∫ b

a bi(s)y(s) ds .5.10

Dunque, i numeri xi risolvono un sistema della forma 5.8. Introduciamo allora la

matrice K i cui elementi sono kir e i vettori x e y, i cui elementi sono rispettivamente

i numeri xi e yi e scriviamo il sistema 5.10 come

(I − µK)x = y . 5.11

Dunque ogni soluzione dell’equazione di Fredholm 5.9 identifica una soluzione x

di 5.11 e si vede anche che vale il viceversa: se x risolve 5.11 allora

x(s) = µm∑

r=1

ar(s)xr + y(s)

221

5. SPAZI DI BANACH

risolve l’equazione 5.9. Mostriamo infatti che questa funzione, sostituita a destra ed a

sinistra di 5.9, verifica l’uguaglianza. A sinistra si trova

µ

m∑r=1

ar(s)xr + y(s)

mentre sostituendo a destra e tenendo conto di 5.10 (e scambiando il nome degli indici)

si trova

µ

m∑r=1

ar(s)∫ b

a

br(ξ)

µ

m∑i=1

ai(ξ)xi + y(ξ)

dξ + y(s)

= µ

m∑r=1

ar(s)

µ

m∑i=1

krixi + yr

+ y(s) = µ

m∑r=1

ar(s)xr + y(s) ,

come si voleva.

Possiamo quindi trasferire all’equazione integrale di Fredholm i risultati che abbiamo

enunciato per i sistemi di equazioni lineari:

Teorema 5.10. L’equazione di Fredholm 5.1 con nucleo degenere ammette al più

una soluzione se e solo se l’equazione

ψ = µK∗ψ + φ 5.12

è risolubile per ogni φ; l’equazione di Fredholm è risolubile per ogni funzione y(x)

se e solo se l’equazione 5.12 ammette unicità di soluzione.

Il teorema precedente dà una specie di “alternativa di Fredholm”, per l’equazione

integrale, ma trascritta mediante le matrici. E’ però facile vedere che l’equazione 5.12

corrisponde all’equazione integrale

ψ(ξ) = µ

∫ b

a

K(ξ, s)ψ(ξ) dξ + φ(ξ) , 5.13

equazione che si chiama aggiunta della 5.1. Possiamo quindi enunciare l’alternativa

di Fredholm per le equazioni integrali di Fredholm a nucleo degenere:

Teorema 5.11. Quando il nucleo è degenere, la 5.1 ammette unicità di soluzione se

la sua aggiunta è risolubile per ogni φ(s); la 5.1 è risolubile per ogni y(s) se la sua

aggiunta ammette unicità di soluzione.

222

5. SPAZI DI BANACH

Ancora, è assai più facile verificare l’unicità piuttosto che l’esistenza di soluzioni, e

ciò spiega l’interesse di questo teorema.

5.1.4 L’equazione di prima specie

Le considerazioni precedenti possono tutte ripetersi nel caso dell’equazione di prima

specie 5.2. In tal caso, invece della 5.10 si trova l’equazione

m∑r=1

kirxr = yi

ossia

Kx = y . 5.14

Per vedere la differenza tra questa e l’equazione 5.11, esaminiamo il caso particolare

in cui

kir =∫ b

a

bi(ξ)ar(ξ) dξ =

0 se i = r

kii = 0 se i = r .

In tal caso la 5.11 e la 5.14 divengono rispettivamente

(1 − µk11)

(1 − µk22). . .

(1 − µkmm)

x1

x2

...

xm

=

y1

y2

...

ym

,

k11

k22

. . .

kmm

x1

x2

...

xm

=

y1

y2

...

ym

.

Ambedue queste equazioni sono, in principio, facilmente risolubili e le soluzioni

sono, rispettivamente,

y1/[1 − µk11]

y2/[1 − µk22]...

ym/[1 − µkmm]

,

y1/k11

y2/k22

...

ym/kmm

.

223

5. SPAZI DI BANACH

In generale, al crescere dell’indice i, i numeri k ii divengono “velocemente” piccoli

e quindi nel caso dell’equazione di prima specie, gli errori commessi nella misura di

y(s), e quindi nel calcolo degli yi, si amplificano velocemente. Ciò non accade per

il caso dell’equazione di seconda specie, salvo nel caso in cui 1/µ è circa uguale ad

uno dei numeri kii; e anche in questo caso la sola componente i–ma può provocare

dei problemi numerici.

Queste considerazioni mostrano che, almeno nel caso del nucleo degenere, la

soluzione delle equazioni integrali di prima specie è assai più delicata della soluzione

di quelle di seconda specie.

5.1.5 Ricapitolazione

Ora poniamoci alcuni problemi, la cui soluzione guiderà la scelta degli argomenti di

analisi funzionale che studieremo. Il primo è questo: tutti i nuclei espressi mediante

polinomi sono degeneri. Ma per esempio

k(t, s) = esξ

non è un nucleo degenere. Quindi possiamo chiedere se sia possibili approssimare

nuclei abbastanza regolari mediante nuclei degeneri. A questo problema risponderà il

teorema di Weierstrass, teorema 5.43.

Per applicare il teorema 5.11 è necessario ricondursi alla situazione matriciale del

teorema 5.10. In tal caso l’unicità di soluzione si ha quando 1/µ non è un’autovalore

della matrice A. Se però il nucleo non è degenere, ciò certamente non può farsi; e

allora ci si chiede se l’alternativa di Fredholm, opportunamente reinterpretata, continui

a valere e, in caso affermativo, come sia possibile verificare l’unicità di soluzione.

Vorremo infine capire se anche nel caso dei nuclei non degeneri l’equazione di prima

specie sia più delicata di quella di seconda, e chiarire la ragione di ciò.

Fatte queste premesse, passiamo ad uno studio sistematico dell’Analisi Funzionale.

224

5. SPAZI DI BANACH

5.2. SPAZI LINEARI NORMATI

Richiamiamo, dai corsi precedenti, le definizioni di spazio lineare e di norma. In

questo corso gli spazi lineari avranno sempre, come campo scalare, il campo R o, più

frequentemente, C. Per indicare genericamente uno di questi due campi useremo il

simbolo F, specificando, se necessario, quando si intende F = R oppure F = C.

Definizione 5.12 (di spazio lineare). Si dice che X è uno spazio lineare su F

quando è un gruppo commutativo (rispetto ad un’operazione usualmente indicata

col segno +) ed inoltre esiste un’operazione (usualmente indicata con notazione

moltiplicativa) che ad ogni coppia (α, x) ∈ F × X associa un elemento di X e che

verifica le seguenti proprietà:

α(x + y) = αx + αy ∀α ∈ F , ∀x , y ∈ X

(α + β)x = αx + βx ∀α , β ∈ F , ∀x ∈ X

1x = x ∀x ∈ X .

Regole di calcolo che discendono dalla precedente definizione sono:

0x = 0 ∀x ∈ X

(−αx) = −(αx) ∀α ∈ F , ∀x ∈ X

α0 = 0 ∀α ∈ F .

Ricordiamo alcuni esempi di spazi lineari.

Esempio 5.13. Gli spazi Rn e Cn sono esempi di spazi lineari rispettivamente

su R e su C. (lo spazio C è anche uno spazio lineare su R). Gli spazi dei

polinomi, delle funzioni continue, delle funzioni integrabili secondo Riemann; lo

spazio delle successioni; o quello delle successioni convergenti; o quello delle

successioni limitate; o quello delle successioni convergenti a zero sono sono spazi

lineari su R oppure su C a seconda che sia R oppure C l’insieme dei valori.

Sia X uno spazio lineare su F e sia G un suo s.insieme finito o meno. Si dice che G è

un insieme di generatori se per ogni x ∈ X esistono un numero naturale n; elementi

225

5. SPAZI DI BANACH

g1 , . . . , gn ∈ G; scalari α1 , . . . , αn ∈ F, tali che

x =n∑

i=1

αigi .

Se in X esiste un insieme G finito di generatori, si dice che X ha dimensione finita;

si dice che ha dimensione infinita altrimenti.

La dimensione di X è il numero degli elementi di uno dei generatori di X che ha il

minimo numero di elementi.

Gli spazi Rn hanno dimensione n; lo spazio Cn ha dimensione n su C e dimensione

2n su R.

Ha dimensione finita lo spazio dei polinomi di grado al più n. Se come campo scalare

si prende il campo cui appartengono i coefficienti, la dimensione è n + 1. Nonostante

questi esempi importanti, in questo corso noi studieremo solamente spazi lineari di

dimensione infinita.

Ricordiamo ora la definizione di norma.

Definizione 5.14. Sia X uno spazio lineare su F. Si chiama norma su X una

funzione, che si indica col simbolo ||x||, da X in R (anche quando il campo scalare è

C), che soddisfa:

||x|| ≥ 0 ∀x ∈ X

||x|| = 0 se e solo se x = 0

||αx|| = |α| · ||x|| ∀α ∈ F , ∀x ∈ X

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x , y ∈ X .

L’ultima proprietà della norma si chiama disuguaglianza triangolare.

Quando ci sia possibilità di confusione, si scrive || · ||X per la norma dello spazio X .

Uno spazio lineare dotato di norma si chiama uno spazio lineare normato e da ora in

poi scriveremo semplicemente s.l.n..

Se X è uno s.l.n., la funzione

226

5. SPAZI DI BANACH

d(x, y) = ||x − y||

è una distanza per la quale

d(x + z, y + z) = d(x, y) ;

ossia, è una distanza invariante per traslazioni .

L’introduzione di una norma su X permette di definire:

1. gli intorni B(x0, ε) = x | ||x − x0|| < ε, con ε > 0;

2. gli insiemi aperti di X , e quindi una topologia su X : A ⊆ X è aperto se esso

contiene un intorno di ciascun suo punto;

3. gli insiemi limitati : un insieme si dice limitato quando è contenuto in un

intorno di 0;

4. la convergenza di successioni: si dice che la successione (xn) converge ad x0,

limxn = x0 ,

se per ogni ε > 0 esiste Nε tale che da n > Nε segue

||xn − x0|| < ε ossia xn ∈ B(x0, ε).

In modo del tutto analogo si definiscono limiti e continuità di funzioni che operano tra

s.l.n-ti: per esempio f(·) da X in Y è continua nel punto x0 ∈ X se è ivi definita e se

per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

||x − x0||X < δ , x ∈ domf(·) , segue ||f(x) − f(x0)||Y < ε .

Esattamente come nel caso dei valori assoluti e dei moduli dei numeri complessi, si

prova:

Teorema 5.15. Vale:

∣∣∣∣ ||x|| − ||y||∣∣∣∣ ≤ ||x − y|| 5.15

227

5. SPAZI DI BANACH

DIMOSTRAZIONE

Va provato che:

− ||x − y|| ≤ ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y|| . 5.16

Usando la disuguaglianza triangolare si vede che

||x|| ≤ ||x − y|| + ||y|| ed anche ||y|| ≤ ||y − x|| + ||x|| ,

ossia la 5.16.

E’ conseguenza della 5.15:

Teorema 5.16. La norma, come trasformazione dallo s.l.n. X a R, è uniformemente

continua.

Inoltre:

Teorema 5.17. Sia f(x) una funzione da uno s.l.n. X ad uno s.l.n. Y . Si equivalgono

le condizioni

limx→x0

f(x) = 0 e limx→x0

||f(x)||Y = 0

Introduciamo ora la seguente definizione:

Definizione 5.18. Diciamo che una successione (xn) di elementi di X è fondamen-

tale quando per ogni ε > 0 esiste un indice Nε tale che, per ogni n, m maggiori di

Nε, vale

||xn − xm|| < ε .

Con la stesa dimostrazione che si conosce per le successioni di numeri reali, si prova

che ogni successione convergente è fondamentale.

Lo s.l.n. X si dice completo se ogni successione fondamentale è convergente.

228

5. SPAZI DI BANACH

Si vede facilmente che tutte le regole di calcolo dei limiti che valgono in R n o in Cn

valgono in qualunque s.l.n. (ma ovviamente il teorema della funzione monotona, che

dipende dalla relazione di ordine, non ha corrispondente). Importanti eccezioni sono

le seguenti: si sa che sia Rn che Cn sono spazi completi. Invece:

Teorema 5.19. Esistono s.l.n-ti non completi.

Questo teorema suggerisce:

Definizione 5.20. Uno spazio lineare normato e completo si chiama spazio di

Banach.

Vedremo in seguito esempi di spazi di Banach. Dovrebbe essere noto, come

conseguenza del teorema dei limiti, che lo spazio lineare C(a, b) è completo. Per

una dimostrazione si veda il paragrafo 5.4.2.

Si sa che esistono successioni (qn) la cui immagine è densa in Rn o in Cn. Invece:

Teorema 5.21. Esistono s.l.n-ti nei quali nessuna successione ha immagine densa.

L’ultimo teorema suggerisce la seguente definizione:

Definizione 5.22. Sia X uno s.l.n. Se esiste una successione (xn) a valori in X la

cui immagine è densa in X , lo spazio X si dice separabile.

Il teorema 5.21 può quindi enunciarsi dicendo che esistono s.l.n-ti non separabili.

Per concludere quest’introduzione, ricordiamo che sul medesimo s.l.n. X possono

introdursi più norme. Per esempio su Cn sono norme tra loro diverse le seguenti. Se

x = col[

x1 . . . xn

]:

||x||p =

[n∑

i=1

|xi|p]1/p

, (se p ≥ 1) ||x||∞ = max|xi| , i = 1 . . . , n .

229

5. SPAZI DI BANACH

(E’ facile provare che || · ||1 e || · ||∞ sono norme. Gli altri casi sono più difficili. Si

noti però che || · ||2 è l’usuale norma euclidea).

Tuttavia, su Cn, la proprietà

limxn = x0 5.17

è indipendente dalla particolare norma che si usa per verificarla.

Invece:

Teorema 5.23. Esistono s.l.n-ti X sui quali si possono definire due diverse norme,

|| · ||1 e || · ||2, tali che la 5.17 valga per una norma, ma non per l’altra.

Questo teorema suggerisce di definire:

Definizione 5.24. Siano || · ||1 e || · ||2 due norme sul medesimo s.l.n. X . Si dice che

le due norme sono equivalenti se la condizione

lim ||xn − x0||1 = 0 per ogni x0

implica la condizione

lim ||xn − x0||2 = 0 per ogni x0,

e viceversa.

E’ importante poter decidere se due norme sono equivalenti. Il teorema seguente dà

un test utile:

Teorema 5.25. Sia X uno s.l.n. e siano || · ||1 e || · ||2 due norme su X . Esse sono

equivalenti se e solo se esistono due numeri m ed M tali che

m > 0 , e inoltre m||x||1 ≤ ||x||2 ≤ M ||x||1 . 5.18

230

5. SPAZI DI BANACH

Osservazione 5.26. Si ricordi che i chiusi nella topologia di uno spazio metrico

sono tutti e soli gli insiemi sequenzialmente chiusi. Dunque, le due norme sono

equivalenti quando subordinano la stessa topologia.

Abbiamo notato che esistono spazi lineari normati e non completi. E’ bene sapere:

Teorema 5.27. Sia X uno s.l.n. Si costruisce uno s.l.n. X con queste proprietà:

– X è completo;

– un s.spazio X0 di X , denso in X , è isometricamente isomorfo ad X .

L’ultima affermazione vuol dire che esiste un isomorfismo J tra X ed X 0 tale che

x ∈ X , x = Jx , x ∈ X0 =⇒ ||x||X = ||X||X .

5.2.1 Dimostrazioni posposte

Passiamo ora alla dimostrazione dei teoremi che abbiamo enunciato.

Dimostrazione del TEOREMA 5.19. Un esempio di spazio lineare normato non

completo si costruisce come segue: i suoi elementi sono le funzioni x(·) continue

su [−1, 1] con l’usuale struttura lineare. La norma è

||x(·)|| =∫ 1

−1

|x(s)| ds .

E’ facile vedere che la successione (xn):

xn(t) =

−1 se −1 ≤ t ≤ − 1n

nt se − 1n ≤ t ≤ 1

n

1 se 1n ≤ t ≤ 1

è fondamentale. Per ogni t, la successione numerica (xn(t)) converge al numero

sgn(t). Essendo la successione (xn) limitata, segue che

lim∫ 1

−1

|xn(s) − sgn(s)| ds = 0 .

231

5. SPAZI DI BANACH

Se fosse anche limxn(·) = φ(·) nello spazio in cui stiamo lavorando, ossia con φ(·)continua avremmo∫ 1

−1

|φ(s) − sgn(s)| ds ≤ lim ||φ − xn|| + lim∫ 1

−1

|xn(s) − sgn(s)| ds = 0 ;

ossia, φ(t) = sgn(t) q.o. t ∈ [−1, 1]. Ciò non può aversi perché φ(·) dovrebbe essere

continua mentre la funzione segno ha un salto.

Dimostrazione del TEOREMA 5.21. Un esempio di s.l.n. non separabile è il

seguente, che si indica col simbolo l∞: i suoi elementi sono le successioni (xn)

limitate e la norma è

||(xn)||∞ = sup |xn| .

Sia S una successione di elementi di l∞, S = (x(n)). Notiamo che per ogni n

il simbolo x(n) indica un elemento di l∞, ossia una successione (x(n)k ) di indice k.

Mostriamo che l’immagine di S non è densa in l∞ costruendo un elemento y = (yk) ∈l∞ che dista almeno 1 da ciascun elemento x(n) della successione S. Costruiamo y

specificandone gli elementi yk. Per scegliere y1, primo elemento della successione y,

si guarda il primo elemento della successione x(1) e si pone:

y1 =

0 se |x(1)

1 | > 1

2 altrimenti .

In questo modo, qualunque siano i successivi elementi di y, si ha

||y − x(1)|| ≥ 1 .

Per scegliere yk si guarda la k-ma successione x(k) e si pone

yk =

0 se |x(k)

k | > 1

2 altrimenti .

Indipendentemente dai valori degli yr con r = k, ||y − x(k)|| ≥ 1. Dunque, la

successione y ∈ l∞ che abbiamo costruita verifica

||y − x(k)|| ≥ 1

per ogni k; e quindi la successione S non è densa in l∞.

232

5. SPAZI DI BANACH

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.5

0

0.5

1

1.5

Fig. 5.1.

Dimostrazione del TEOREMA 5.23. Si consideri lo spazio lineare che indichiamo

con X , i cui elementi sono funzioni continue su [−1, 1], con le due norme

||x||1 =∫ 1

−1

|x(s)| ds , ||x||∞ = max[−1,1]

|x(t)| .

La norma || · ||∞ corrisponde alla convergenza uniforme.

Sia (xn) una successione in X . Se essa converge ad x0 per || · ||∞, ossia se converge

uniformemente, allora vale anche

lim∫ 1

−1

|xn(t) − x0(t)| dt = 0

e quindi anche lim ||xn − x0||1 = 0. Esitono però successioni convergenti in || · ||1ma non nella norma della convergenza uniforme. Sia xn(·) la funzione il cui grafico è

disegnato in figura 5.1:

xn(t) =

0 t < − 1n

n(t + 1

n

)− 1

n ≤ t ≤ 0

−n(t − 1

n

)0 ≤ t ≤ 1

n

0 t > 1n .

233

5. SPAZI DI BANACH

L’area del triangolo tende a zero, e quindi limxn = 0 in || · ||1; ma la successione

(xn) non è fondamentale in || · ||∞.

Dimostrazione del TEOREMA 5.25. Proviamo la condizione sufficiente. Si sappia

che xn → x0 in || · ||2, ossia si sappia che

||xn − x0||2 → 0 .

Dalla prima disuguaglianza in 5.18 segue

m||xn − x0||1 ≤ ||xn − x0||2 → 0 ,

ossia xn → x0 in || · ||1 perché m > 0.

Se si sa che xn → x0 in || · ||1, segue la convergenza in || · ||2 dalla seconda delle 5.18.

Proviamo il viceversa. Si sappia che ogni successione convergente in || · || 2 converge,

ed ha il medesimo limite, anche in || · ||1; ma supponiamo per assurdo che la prima

disuguaglianza in 5.18 non valga per nessuna scelta di m > 0. In tal caso, per ogni n

esiste xn tale che

||xn||2 = 1 e ||xn||1 > n .

Definiamo yn = xn/n. E’ ovvio che (yn) tenda a zero in ||·||2 mentre invece ||yn||1 ≥1 per ogni n; e quindi (yn) non converge a zero rispetto a || · ||1. Questo non si dà, per

ipotesi, e quindi esiste m > 0 per cui vale la prima diseguaglianza in 5.18.

Analogamente si vede che se la convergenza in || · ||1 implica la convergenza in || · ||2allora vale la seconda disuguaglianza in 5.18 per un certo M .

Dimostrazione del TEOREMA 5.27. La costruzione di X è del tutto simile alla

costruzione di Cantor dei numeri reali, e viene solamente accennata. Si considera

l’insieme delle successioni fondamentali in X e in questo insieme si stabilisce la

relazione di equivalenza

(xn) ∼ (yn) se lim(xn − yn) = 0 .

Si vede facilmente che questa è una relazione di equivalenza. Indichiamo con [(x n)]

la classe di equivalenza cui (xn) appartiene. Si vede facilmente che l’insieme delle

234

5. SPAZI DI BANACH

classi di equivalenza diviene uno spazio lineare se dotato delle operazioni

[(xn)] + [(yn)] = [(xn + yn)] , α[(xn)] = [(αxn)] .

In questo spazio, che indichiamo con X , si introduce la norma

|| [(xn)] || = lim ||xn|| .

Questa definizione ha senso perché se (xn) è fondamentale allora (||xn||) è una

successione fondamentale di numeri, come si vede facilmente dal Teorema 5.15. Si

vede inoltre che la norma così definita dipende dalla classe di equivalenza e non dal

rappresentante, ed ha effettivamente le proprietà di una norma su X .

Lo spazio X0 è quelo delle classi di equivalenza che hanno un rappresentante costante.

E’ immediato verificare che X0 ed X sono isometrici.

Notiamo ora che X0 è denso in X perché ogni elemento [(xn)] di X si approssima

mediante la successione ( [(yn)]r ) così costruita: yn = xn se n < r; altrimenti

yn = xr.

5.3. SPAZI PRODOTTO

Ricordiamo che il prodotto cartesiano X × Y di due insiemi X ed Y è l’insieme

delle coppie ordinate (x, y), il cui primo elemento è in X ed il secondo in Y .

Se X ed Y sono spazi lineari, si può rendere X × Y uno spazio lineare definendo

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) , α(x, y) = (αx, αy) .

Se inoltre X ed Y sono dotati di norma, rispettivamente || · ||X e || · ||Y , si possono

definire norme su X × Y . Per esempio

||(x, y)||p = [||x||pX + ||y||pY ]1/p ∀p ≥ 1 , ||(x, y)||∞ = max||x||X+||y||Y .

E’ un fatto che non proviamo, il seguente: le norme precedenti su X × Y sono

equivalenti.

Come casi particolari, si possono considerare i casi

235

5. SPAZI DI BANACH

Y = X oppure X = F

perché, ricordiamo, il valore assoluto su R o il modulo su C, sono norme. Tenendo

presente questi due casi particolari, possiamo provare:

Teorema 5.28. Le due trasformazioni

(x, y) → x + y da X × X → X

(α, x) → αx da F × X → X

sono continue.

DIMOSTRAZIONE

Per provare la prima affermazione, si fissa (x0, y0) e si nota che, lavorando con || · ||1

su X × Y , la disuguaglianza triangolare implica

||(x + y) − (x0 + y0)||X = ||(x − x0) + (y − y0)||X ≤ ||x − x0||X + ||y − y0||X

= ||(x − x0, y − y0)||1 = ||(x, y) − (x0, y0)||1 . 5.19

Segue da qui la continuità della trasformazione (x, y) → x + y.

Per provare la continuità del prodotto, fissiamo (α 0, x0) con α0 = 0 e valutiamo:

||αx − α0x0||X = ||(α − α0)x + α0(x − x0)||X

≤ |α − α0| · ||x||X + |α0| · ||x − x0||X .

Si ha quindi

||αx − α0x0||X < ε

se si sceglie

||x − x0||X ≤ ε/2α0

(e quindi anche ||x||X ≤ ||x0||X + ε/2α0) ed anche

|α − α0| <ε

2[||x0||X + ε/2α0].

In particolare quindi se si sceglie la coppia (α, x) in un intorno di (α 0, x0) la cui esplicita

determinazione si lascia al lettore.

Il caso α0 = 0 si lascia per esercizio.

236

5. SPAZI DI BANACH

Osservazione 5.29. Si noti la stretta somiglianza della dimostrazione del teorema

precedente con le usuali dimostrazioni sui limiti della somma e del prodotto di funzioni

di una variabile; e si noti, da 5.19, che la somma è anche uniformemente continua;

una proprietà che invece non vale per il prodotto.

Il teorema precedente implica che in particolare sono continue le trasformazioni

x −→ x0 + x , x −→ α0x

(con x0 ed α0 fissati) dette rispettivamente traslazioni ed omotetie .

5.4. GLI ESEMPI PRINCIPALI DI SPAZI DI BANACH

Mostriamo ora gli esempi di spazi lineari normati che sono più importanti per le

applicazioni. Essi sono tutti spazi completi, ossia spazi di Banach. La dimostrazione

della completezza viene vista successivamente.

Sottolineiamo da subito che gli spazi che si incontrano nelle applicazioni hanno un

simbolo standard, che indica sia lo spazio vettoriale che la norma su esso.

5.4.1 Gli esempi di spazi lineari normati

Introduciamo ora gli esempi più importanti di s.l.n. con i simboli comunemente usati

per indicarli.

– Il simbolo C([a, b]) (più semplicemente C(a, b)).

Questo simbolo indica lo s.l.n. i cui elementi sono le funzioni continue sull’intervallo

[a, b] chiuso e limitato. La struttura lineare è quella usuale e la norma è quella della

convergenza uniforme:

||x|| = max[a,b]

|x(t)| .

237

5. SPAZI DI BANACH

In generale, se K è un compatto di Fn, con C(K) si intende lo spazio delle funzioni

continue su K , con norma maxK |x(t)|.

I valori assunti dalla funzione sono numeri o vettori; talvolta sono matrici.

Osservazione 5.30. Sottolineiamo nuovamente che che ciascuno dei simboli se-

guenti indica uno spazio lineare con la norma che è ad esso associata nella definizione

corrispondente. Quindi, per esempio, non useremo il simbolo C(a, b) per indicare lo

spazio delle funzioni continue con una norma integrale, per esempio quella introdotta

nella dimostrazione del Teorema 5.23. Per questo, in quella dimostrazione abbiamo

indicato genericamente con X tale s.l.n..

– I simboli lp, 1 ≤ p ≤ +∞.

Questi simboli indicano spazi di successioni. Gli elementi sono le successioni (xn)

tali che:∑

|xn|p < +∞ se 1 ≤ p < +∞, ||(xn)||p =[∑

|xn|p]1/p

sup |xn| < +∞ se p = +∞, ||(xn)||∞ = sup |xn| .

E’ immediato verificare che gli spazi di successioni appena descritti sono s.l.n-

ti rispetto alle usuali operazioni di somma elemento per elemento e di prodotto

α(xn) = (αxn). La verifica è diretta se p = 1 oppure p = +∞ mentre fa uso

della disuguaglianza di Minkovski per le serie se 1 < p < +∞.

– il simbolo c0.

Si usa per per indicare lo s.l.n. delle successioni (xn) tali che limxn = 0. La norma

in c0 è

||(xn)|| = sup |xn| .

Dunque c0 è un s.spazio di l∞.

– I simboli Lp(a, b) ed Lp(a, b), 1 ≤ p ≤ +∞.

Il simbolo Lp(a, b) si usa per indicare gli s.l.n-ti i cui elementi sono le funzioni f(·)tali che, rispettivamente,

238

5. SPAZI DI BANACH

∫ b

a

|f(x)|p dx , ess sup |f(t)| < +∞

(si ricordi il paragrafo 4.10.). Però le funzioni

f(·) →[∫ b

a

|f(x)|p dx

]1/p

, ess sup |f(t)|

non sono norme su questi spazi: una funzione nulla in tutti i punti salvo uno ha nulli sia

l’integrale che l’estremo superiore essenziale. Si rimedia a questo problema definendo

una relazione di equivalenza, f ∼ g, con

f ∼ g ⇐⇒ f(t) = g(t) q.o. t ∈ (a, b).

E’ chiaro che due funzioni equivalenti hanno i medesimi integrali, finiti o meno, ed il

medesimo estremo superiore essenziale. Si definisce una struttura lineare sull’insieme

delle classi di equivalenza ponendo

[f ] + [g] = [f + g] , α[f ] = [αf ]

(è facile vedere che questa definizione dipende solo dalle classi di equivalenza e non

dai rappresentanti scelti per definire le operazioni). Quindi, per 1 ≤ p ≤ +∞, si

definiscono i simboli Lp(a, b) come gli spazi lineari delle classi di equivalenza di

elementi di Lp(a, b) (stesso esponente p), dotati delle norme

|| [f ] ||p =

[∫ b

a

|f(x)|p dx

]1/p

1 ≤ p < +∞ , || [f ] ||∞ = ess sup |f(t)| .

Si vede facilmente che queste funzioni dipendono solo dalla classe di equivalenza e

non dai rappresentanti usati per calcolarle.

Osserviamo nuovamente che gli spazi sopra introdotti sono s.l.n-ti grazie alla disu-

guaglianza di Minkowski per gli integrali (si veda ancora il paragrafo 4.10.); e che per

p = 1 è equivalente integrare x(·) o il suo valore assoluto.

Definizioni analoghe si danno per funzioni di più variabili. Se queste sono definite su

un insieme K il simbolo che si usa è Lp(K).

Osservazione 5.31. Mentre nella definizione di C(K) l’insieme K deve essere

compatto, tale condizione non è richiesta nella definizione di L p(K).

239

5. SPAZI DI BANACH

Bisogna sapere:

Teorema 5.32. Esistono successioni (xn(·)) di funzioni misurabili e limitate su un

intervallo [a, b] e tali che: 1) la successione di numeri (xn(t)) non converge per

nessun valore di t; ma 2) esiste una funzione integrabile x0 tale che

limn

∫ b

a

|xn(t) − x0(t)| dt = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Mostriamo un esempio di successione di funzioni con le proprietà del teorema, e con

x0(t) ≡ 0. Sia [a, b] = [0, 1].

Costruiamo la successione in due passi; e quindi le funzioni verranno a dipendere da

due indici n ed r. Ovviamente sarà possibile riscrivere la successione in modo da farla

dipendere da un solo indice.

Al passo n dividiamo l’intervallo [0, 1] in n intervalli uguali, I n0 , In

1 ,. . . , In−1n . definiamo

quindi le funzioni xn,r, 0 ≤ r ≤ (n − 1) come segue:

xn,r(t) = (−1)n

8<: (−1)r se t ∈ In

r

0 altrimenti.

L’integrale di |xn,r| vale 1/n, e quindi vale la proprietà 2) con x 0 = 0; e si vede im-

mediatamente che in ogni punto t infinite funzioni prendono il valore +1, infinite altre

prendono il valore −1; e quindi vale anche la proprietà 1).

Osservazione 5.33. Nonostante il teorema 5.32, nel seguito sempre confonderemo

le funzioni con le loro classi di equivalenza, e quindi scriveremo f per indicare la

classe di equivalenza [f ] di cui f è un rappresentante.

– il simbolo W 1,p(Ω) (spazi di Sobolev).

Sia Ω ⊆ Rn un aperto (limitato o meno). Si usa il simbolo W 1,p(Ω) per indicare lo

spazio delle (classi di equivalenza di) funzioni u(·) ∈ Lp(Ω) tali che esistono funzioni

(ossia, classi di equivalenza) g1, g2,. . . , gn in Lp(Ω), tali che∫Ω

u(x)∇φ(x) dx =∫

Ω

[g1(x) . . . gn(x)

]φ(x) dx

240

5. SPAZI DI BANACH

per ogni funzione φ di classe C∞ a supporto compatto in Ω.

La funzione gi si chiama la i-ma derivata parziale debole di u.

Lo spazio W 1,p(Ω) si dota della norma

||u|| =

∫

Ω

|u(x)|p dx +n∑

j=1

∫Ω

|gj(x)|p dx

1/p

oppure della norma ad essa equivalente

||u||Lp(Ω) +n∑

j=1

||gj ||Lp(Ω) .

Se n = 1 allora esiste una sola derivata parziale debole e vale il seguente teorema, che

non proviamo:

Teorema 5.34. Se n = 1 ed Ω = (a, b), ogni funzione u ∈ W 1,p(a, b) è

assolutamente continua; e la sua derivata debole coincide con la derivata usuale,

calcolata q.o.

Se n = 1 una norma equivalente alle precedenti ed un po’ più comoda da usare è[|u(a)|p +

∫ b

a

|u′(x)|p dx

]1/p

.

Osservazione 5.35. Se n > 1 l’esistenza di tutte le derivate deboli non implica la

continuità della funzione.

Quando p = 2 si usa anche il simbolo H 1(Ω), invece di W 1,2(Ω). Questo simbolo

non va confuso con quello che si usa per denotare gli spazi di Hardy, che ora

definiamo.

– I simboli Hp(D) (spazi di Hardy)

Col simbolo D indichiamo il disco D = z | |z| < 1 del piano complesso. Col

simbolo Hp(D), 1 ≤ p < +∞, si indica lo spazio lineare i cui elementi sono le

funzioni olomorfe φ(z) tali che

supr<1

∫ 2π

0

|φ(reit)|p dt con ||φ|| = supr<1

[∫ 2π

0

|φ(reit)|p dt

]1/p

.

241

5. SPAZI DI BANACH

Col simbolo H∞(D) si indica lo spazio delle funzioni olomorfe limitate su D e norma

||φ|| = supD |φ(z)|.

Definizioni analoghe si danno sostituendo a D il semipiano Π+,

Π+ = z | e z > 0 .

In questo caso l’integrazione sulla circonferenza si sostituisce con l’integrazione sulle

rette parallele all’asse immaginario (e il fattore (1/2π) che compare nella definizione

della norma si sostituisce col fattore 1/π):

supx>0

[1π

∫ +∞

−∞|φ(x + iy)|p dy

]1/p

.

Invece, la norma di H∞(Π+) è

||φ||H∞(Π+) = supx>0

|φ(x + iy)| .

5.4.2 Le dimostrazioni della completezza

Ricordiamo che si chiama Spazio di Banach uno s.l.n. che è anche completo e

che esistono s.l.n-ti che non sono completi, si veda il Teorema 5.19. Inoltre, al

paragrafo 5.4.1 abbiamo presentato numerosi esempi di s.l.n-ti.

Vale:

Teorema 5.36. Tutti gli s.l.n-ti presentati al paragrafo 5.4.1 sono completi.

Per provare questo teorema dovremo esaminare separatamente i vari spazi del

par. 5.4.1, fissare l’attenzione su una generica successione (xn) fondamentale e

associarle in qualche modo un elemento x0 dello spazio, che intuiamo essere il limite

della successione. Dobbiamo quindi provare che effettivamente x 0 = lim xn; ossia

dobbiamo provare:

a) la funzione x0 appartiene a X ;

b) la funzione x0 è limite di (xn) nella norma di X .

Questo richiederà dimostrazioni diverse a seconda dello spazio che consideriamo.

242

5. SPAZI DI BANACH

Prima di studiare le singole dimostrazioni, ricordiamo:

Lemma 5.37. Sia X uno s.l.n. e sia (xn) una successione fondamentale in X . La

successione (xn) è limitata, ossia esiste M tale che

||xn|| < M ∀n .

Completezza degli spazi l∞, c0, L∞(Ω) e C(K)

Si ricordi che l’insieme K del simbolo C(K) è un compatto di Fn mentre nessuna

condizione si impone all’insieme Ω che compare nel simbolo L∞(Ω); e notiamo che

sia l∞ che c0 sono spazi di funzioni sull’insieme Ω = N.

Le dimostrazioni della completezza di questi spazi sono tra loro simili, basate sul

Teorema del doppio limite, provato in appendice.

Indichiamo con X uno degli spazi che stiamo considerando e sia (xn) una successione

fondamentale. Gli spazi che stiamo considerando sono accomunati da questo: sono

spazi di funzioni su un certo insieme (indicheremo con t i suoi elementi) e la norma è

definita in modo tale che se (xn) è fondamentale allora ciascuna delle funzioni (xn(t))

è una successione fondamentale di numeri; e quindi converge. Questa affermazione si

interpreta se X = L∞(Ω) in questo modo: gli elementi della successione sono classi

di equivalenza [xn] di funzioni. Si fissa un rappresentante, che ancora indichiamo xn,

in ciascuna classe. Il limite della successione di numeri (xn(t)) esiste q.o. su Ω.

Dunque, per ogni valore di t (o q.o. su Ω se X = L∞(Ω)) si può definire

y(t) = limxn(t) :

una funzione che si spera appartenga allo spazio che stiamo considerando e che sia

limite di (xn). Proviamo:

a) la funzione y appartiene ad X .

Questo è facile se X non è né C(K) né c0. Infatti in tal caso basta notare che y

è una funzione limitata come limite puntuale di una successione (xn) che, essendo

fondamentale, è limitata: |xn(t)| < M per ogni t e per ogni n. Inoltre, se X =

L∞(Ω), la funzione y può costruirsi a partire da un qualsiasi rappresentante delle

classi di funzioni [xn], e ne è limite puntuale q.o.; e dunque è misurabile.

243

5. SPAZI DI BANACH

Se X = C(K) allora la continuità di y seguirà dalla convergenza uniforme

della successione di funzioni continue (xn), che proveremo al punto b), grazie al

Corollario 5.40.

Sia X = c0. In questo caso ciascuna delle successioni xn = xn(k) tende a zero

per k → +∞, e, come proveremo al punto b), la successione stessa converge

uniformemente ad y = (y(k)). Il Teorema del doppio limite, teorema 5.39, mostra

che limk y(k) = 0, ossia che y ∈ c0.

Proviamo ora

b) la funzione y è limite della successione (xn).

La funzione y è stata costruita come limite puntuale di xn(t). Mostriamo che in

realtà il limite è nel senso della norma. Per questo fissiamo ε > 0 ed un numero Nε

tale che se n, m sono maggiori di Nε allora valga

||xn − xm|| < ε .

Valutiamo ora |y(t) − xn(t)| per n > Nε come segue:

|y(t)−xn(t)| ≤ |y(t)−xn+r(t)|+ |xn+r(t)−xn(t)| ≤ |y(t)−xn+r(t)|+ ε . 5.20

Questa disuguaglianza vale per ogni t e per ogni r > 0. Esiste r (dipendente da t) tale

che |y(t) − xn+r(t)| < ε. Il numero r esiste perché y(t) (per il valore fissato di t) è

limite della successione di numeri (xn+r(t)) (l’argomento precedente vale q.o. su Ω

se X = L∞(Ω)).

Dunque,

|y(t) − xn(t)| ≤ infr|y(t) − xn+r(t)| + ε < 2ε .

Completezza dello spazio H∞(D)

Se (xn) è una successione fondamentale in H∞(D), essa è anche una successione

fondamentale in L∞(D) e quindi converge in L∞(D) ad una funzione x0, che è

limitata. Per provare la completezza di H∞(D) basta mostrare che x0 è olomorfa.

Ciò discende dal Teorema di Weierstrass, Teorema 1.62.

Ciò prova che x0 ∈ H∞, x0 = lim xn, come si voleva.

244

5. SPAZI DI BANACH

Non proveremo la completezza degli spazi H p(D), proprietà che vale per ogni

p ∈ [1, +∞].

Completezza degli spazi lp con 1 ≤ p < +∞

Indichiamo col simbolo (xn) = (xn(k)) una successione di elementi di lp. Sia essa

fondamentale. Da

|xn(k) − xm(k)| =

[+∞∑r=0

|xn(r) − xm(r)|p]1/p

segue che per ogni k la successione numerica (xn(k)) è fondamentale e quindi

convergente. Ciò induce a definire la successione x0 con

x0(k) = limn

xn(k) .

Proviamo ora

a) la successione x0 appartiene ad lp.

Notiamo per questo che la successione (xn) di lp, essendo fondamentale, è limitata:

esiste M indipendente da n e tale che[+∞∑k=0

|xn(k)|p]1/p

≤ M .

Segue che per ogni ν vale[ν∑

k=0

|x0(k)|p]1/p

= limn

[

ν∑k=0

|xn(k)|p]1/p

≤ M .

Passando al limite rispetto a ν, si vede che x0 ∈ lp.

b) vale x0 = lim xn in lp.

Si fissi ε > 0 e sia N = N(ε) tale che se n, m superano N allora vale

||xn − xm|| < ε .

Per n, m maggiori di Nε e per ogni ν vale

245

5. SPAZI DI BANACH

[ν∑

r=0


≤[

+∞∑r=0


< ε .

Tenendo fermi ν ed n, si passi al limite per m → +∞. Si trova:[ν∑

r=0

|xn(r) − x0(r)|p]1/p

≤ ε

e questa disuguaglianza vale per ogni ν. Prendendo l’estremo superiore rispetto a ν si

vede che, quando n > N(ε), vale

||xn − x0||lp ≤ ε .

Questo volevamo provare.

Completezza degli spazi Lp(Ω), p < +∞

In questa parte conviene distinguere tra gli elementi [x] di Lp(Ω), ossia le classi di

equivalenza, e i loro rappresentanti.

Sia ([xn]) una successione fondamentale di Lp(Ω). Il primo passo per mostrarne la

convergenza è di costruire una funzione x0, la cui classe di equivalenza è candidata ad

essere limite di ([xn]). Gli esempi precedenti suggeriscono di costruire x0 calcolando

il limite puntuale dei valori di opportuni rappresentanti delle classi [xn]. Questo

metodo però non può applicarsi nel caso di Lp(Ω) perché si sa che una successione

di funzioni che converge in media può non convergere in nessun punto, si veda il

Teorema 5.32. Usiamo quindi una strategia diversa.

Ricordiamo una proprietà generale delle successioni fondamentali: una successione

fondamentale che ha una sottosuccessione convergente è essa stessa convergente.

Consideriamo una successione ([xn]) di elementi di Lp(Ω) e per ogni classe fissiamo

un rappresentante che indichiamo xn. In questo modo si trova una successione (xn)

di funzioni definite q.o. su Ω, e tali che per ogni ε > 0 esiste N = N(ε) con questa

proprietà: se n, è maggiore di Nε allora per ogni m vale[∫Ω

|xn(s) − xn+m(s)| ds

]1/p

< ε .

Facciamo vedere che una successione di funzioni (xn) con tale proprietà ammette una

sottosuccessione convergente q.o.

La sottosuccessione si costruisce con la regola seguente:

246

5. SPAZI DI BANACH

– si fissa ε = 1 ed il numero N(1). Si sceglie n1 = N(1) + 1;

– si fissa ε = 1/2 e si sceglie n2 = N(1/2) + 1;

– in generale, con ε = 1/2k, si sceglie nk = N(1/2k) + 1.

Si considera quindi la sottosuccessione (yk) = (xN(k)+1).

La successione (yk) gode della seguente proprietà:

||yr − yr+1||Lp(Ω) ≤12r

.

Proviamo che la successione di funzioni (yk) converge q.o. E’ strumentale a ciò

introdurre la serie telescopica

∞∑k=1

zk , zk = yk+1 − yk .

Essendo

m∑k=1

zk = ym+1 − y1 ,

per provare la convergenza della successione, basta provare quella della serie.

La costruzione della successione (yk) implica la convergenza assoluta della serie:

∞∑k=1

[∫Ω

|zk(s)|p ds

]1/p

≤∞∑

k=1

12k

= 1 . 5.21

Consideriamo la successione di funzioni

gn(s) =n∑

k=1

|zk(s)| .

Questa successione è monotona crescente e quindi esiste

g(s) = lim gn(s) =+∞∑k=1

|zk(s)|

e inoltre, dalla disuguaglianza di Minkowski,[∫Ω

|gn(s)|p dx

]1/p

≤n∑

k=1

[∫Ω

|zk(s)|p dx

]1/p

<+∞∑k=1

12k

= 1 .

Dunque, dal teorema della convergenza monotona, |g(s)|p è integrabile su Ω.

Questo implica che la funzione g(s) è finita q.o. su Ω (si veda il paragrafo 4.7.4).

247

5. SPAZI DI BANACH

Dunque, per q.o. x ∈ Ω, la serie numerica

+∞∑k=1

|zk(s)|

converge; e dunque anche la serie numerica

+∞∑k=1

zk(s)

converge q.o. su Ω. Ciò mostra che la successione (yk(s)) converge q.o. su Ω e

permette di definire una funzione

x0(s) = lim yk(s) =+∞∑k=1

zk(s) + y1(s) .

La 5.21 mostra che x0 ∈ Lp(Ω). Inoltre,

[∫Ω

∣∣∣∣∣x0(s) −n∑

k=1

zk(s) − y1(s)

∣∣∣∣∣p

ds

]1/p

≤+∞∑

k=n+1

[∫Ω

|zk(s)|p ds

]1/p

≤+∞∑

k=n+1

12k

→ 0 .

Ciò prova che la successione di classi di equivalenza ([yk]) converge alla classe di

equivalenza ([x0]). Ciò è quanto volevamo provare.

Osserviamo che, in particolare, abbiamo anche provato un teorema sulla convergenza

in media:

Teorema 5.38. Sia 1 ≤ p < +∞. Se una successione di funzioni (xn) in Lp(Ω)

converge in media di ordine p ad x0 allora esiste una sottosuccessione della (xn) che

converge ad x0 q.o. su Ω.

Completezza degli spazi di Sobolev

Ricordiamo: sia Ω è un aperto di Rn e siano u ∈ Lp(Ω) una funzione a valori scalari

e v ∈ Lp(Ω) una funzione a valori vettori n–dimensionali. Si dice che

v = ∇u

se per ogni φ di classe C∞ ed a supporto compatto in Ω vale∫Ω

u(s)∇φ(s) ds = −∫

Ω

v(s)φ(s) ds .

In questo caso si dice che u ∈ W 1,p(Ω) e

248

5. SPAZI DI BANACH

||u||W 1,p(Ω) =[∫

Ω

|u(s)|p ds +∫

Ω

|v(s)|p ds

]1/p

.

Dunque, se (un) è fondamentale in W 1,p(Ω), le due successioni (un) e (vn) = (∇un)

sono fondamentali in norma Lp(Ω); e dunque convergenti,

un → u0 , vn → v0 .

Passando al limite si trova quindi

−∫

Ω

v0(s)φ(s) ds = − lim∫

Ω

∇un(s)φ(s) ds

= lim∫

Ω

un(s)∇φ(s) ds =∫

Ω

u0(s)∇φ(s) ds

per ogni funzione φ di classe C∞(Ω), a supporto compatto.

Dunque u0 ∈ W 1,p(Ω) ha per gradiente v0, ed (un) converge ad u0 in W 1,p(Ω).

Ciò prova la completezza di W 1,p(Ω).

5.4.3 Teorema del doppio limite

Il Teorema del doppio limite riguarda una successione di funzioni (xn), definite su

un qualsiasi insieme Ω. Per esempio, per ogni n la xn può essere una successione

(xn(k)), oppure può essere una funzione xn(t) definita su un intervallo [a, b].

Indichiamo genericamente con t gli elementi di Ω.

Le funzioni prendono valori in uno spazio completo.

Supponiamo che per ogni n esista

limt

xn(t) = Ln .

In questa scrittura può essere t → t0 oppure t → +∞, |t| → +∞ e simili. Per

sottolineare questo, scriviamo genericamente

limt→α

xn(t) = Ln . 5.22

Vale allora:

Teorema 5.39 (del doppio limite ). Per ogni n, esista finito il limite Ln definito

in 5.22.

249

5. SPAZI DI BANACH

Se (xn) converge ad x0 uniformemente su Ω allora esiste finito

limt→α

x0(t) = L0

e vale

L0 = limn

Ln ;

ossia vale

limn

[limt→α

xn(t)]

= limt→α

[limn

xn(t)]

.

DIMOSTRAZIONE

Proviamo prima di tutto che L0 = limt→α x0(t) esiste finito. Dato che le funzioni pren-

dono valori in uno spazio completo, basta provare che per ogni ε > 0 esiste un intorno

Iε di α tale che:

t′ , t′′ ∈ Iε =⇒ ||x0(t′) − x0(t

′′)|| < ε .

Valutiamo ||x0(t′) − x0(t

′′)|| come segue:

||x0(t′) − x0(t

′′)|| ≤ ||x0(t′) − xn(t′)|| + ||xn(t′) − xn(t′′)|| + ||xn(t′′) − xm(t′′)|| .

Usando la convergenza uniforme, si scelgano n, m così grandi da avere

||x0(t′) − xn(t′)|| < ε , ||xn(t′′) − xm(t′′)|| < ε .

Con n ed m ormai fissati, si usi l’esistenza del limite finito

limt→α

xn(t) = Ln .

Ciò implica che esiste un intorno Iε di α tale che se t′ ∈ Iε, t′′ ∈ Iε, allora

||xn(t′) − xn(t′′)|| < ε .

Si noti che Iε dipende anche da n, ma n è stato scelto, a sua volta, dipendente dal

solo ε.

A questo punto sappiamo che esiste finito

L0 = limt→α

x0(t) .

250

5. SPAZI DI BANACH

Proviamo ora che

L0 = limn

Ln .

Valutiamo ||L0 − Ln|| come segue:

||L0 − Ln|| ≤ ||L0 − x0(t)|| + ||x0(t) − xn(t)|| + ||xn(t) − Ln|| .

Sia ε > 0 fissato. Esiste un intorno Iε di α tale che

t ∈ Iε =⇒ ||L0 − x0(t)|| < ε .

Scegliamo t ∈ Iε.

Fissiamo ora Nε tale che

n > Nε =⇒ ||x0(t) − xn(t)|| < ε .

Il numero Nε esiste, e non dipende da t, grazie alla convergenza uniforme.

Infine, da Ln = limt→α xn(t), esiste un intorno I ′ε ⊆ Iε di α tale che, per t ∈ I ′

ε vale

||xn(t) − Ln|| < ε .

L’intorno I ′ε dipende, oltre che da ε, anche da n. Comunque, da questa proprietà

deduciamo che per ogni n esistono valori di t ∈ I ε per cui

||xn(t) − Ln|| < ε

e quindi, per n > Nε, vale

||L0 − Ln|| ≤ 2ε + inft∈Ω

||xn(t) − Ln|| ≤ 3ε .

Ciò è quanto dovevamo provare.

In particolare si ha:

Corollario 5.40. Una successione (xn) di funzioni continue definite su un qua-

lunque insieme Ω ivi converga uniformemente ad x0. Allora x0 è continua

su Ω.

251

5. SPAZI DI BANACH

5.5. SOTTOSPAZI DI SPAZI LINEARI NORMATI

Sia X uno s.l.n., la cui norma indicheremo col simbolo || · ||. Sia Y un s.spazio di X .

Ricordiamo che questo significa

∀y1 , y2 ∈ Y , ∀α , β ∈ F =⇒ αy1 + βy2 ∈ Y .

In particolare, Y stesso è uno spazio lineare e viene ad essere uno s.l.n. se ad Y si

restringe la funzione norma definita su X . In tal caso diremo che Y è un s.spazio

dello s.l.n. X e diremo che la norma su Y è quella indotta dalla norma di X . Notiamo

che talvolta potrà essere necessario considerare su Y una norma diversa da quella

indotta da X . Ciò va sempre esplicitamente specificato per evitare ambiguità. In caso

contrario assumeremo sempre che la norma su Y sia quella indotta dalla norma di X .

Quando X ha dimensione finita, i sottospazi sono le controimmagini di 0 sotto

l’azione di trasformazioni lineari; e si sa che:

Teorema 5.41. In dimensione finita, tutte le trasformazioni lineari sono continue; e

quindi tutti i s.spazi sono chiusi.

Invece, se X ha dimensione infinita, esso ammette sia s.spazi chiusi che non chiusi.

Esempi di s.spazi chiusi sono ovviamente 0 ed X stesso. Vediamo un esempio di

s.spazio non chiuso.

Esempio 5.42. Si considera lo spazio C(a, b) ed in esso il s.spazio Y dei polinomi.

E’ chiaro che Y non è chiuso perchè la restrizione ad [a, b] della funzione esponenziale

è limite uniforme di polinomi. Infatti, la serie di Taylor

+∞∑k=0

tk

k!= et

converge uniformemente sui compatti.

E’ importante sapere che non soltanto funzioni “regolari” possono approssimarsi

uniformemente con polinomi. Anzi

252

5. SPAZI DI BANACH

Teorema 5.43 (di Weierstrass). Sia f una funzione continua su un intervallo

limitato e chiuso [a, b], a valori reali. Esiste una successioni pn di polinomi a

coefficienti reali che converge ad f , uniformemente su [a, b].

La dimostrazione di questo teorema è importantissima perché permette di introdurre

il concetto di “identità approssimata”. Ad essa è dedicato il paragrafo 5.5.1.

Una ulteriore proprietà puramente algebrica degli spazi lineari è la seguente: ogni

loro s.spazio ammette complementare. Ricordiamo che un spazio lineare Z è un

complementare di un spazio lineare Y (ambedue s.spazi di X) se:

Z ∩ Y = 0 , Z + Y = X ;

equivalentemente, se ogni elemento x di X si rappresenta in modo unico come somma

di un elemento di Z e di uno di Y .

Quando si lavora con spazi normati, è naturale chiedere se tutti i s.spazi chiusi

ammettano complementare, anch’esso chiuso. In dimensione finita la risposta è

affermativa. Invece:

Teorema 5.44. Esistono s.l.n-ti X, completi, dotati di s.spazi chiusi i quali sono privi

di complementare chiuso.

Quando un s.spazio Y è dotato di complementare Z , la dimensione (finita o meno) di

Z si chiama la codimensione di Y .

Particolarmente importanti sono i sottospazi chiusi di codimensione 1, e anche i

s.insiemi della forma

x0 + H ,

con H sottospazio chiuso di codimensione 1. Si chiamano tali s.insiemi gli iperpiani

di X .

253

5. SPAZI DI BANACH

La dimostrazione del Teorema 5.44 consiste nella esplicita costruzione di un s.spazio

chiuso privo di complementare, per esempio di l p, con 1 ≤ p < 2 oppure con p > 2.

La costruzione è alquanto macchinosa e viene omessa.

Osservazione 5.45. E’ bene ricordare che gli spazi l p, 1 ≤ p ≤ +∞, sono

completi. Si veda il paragrafo 5.4.2 per la dimostrazione. E’ anche bene sapere

che ogni s.spazio chiuso di l2 ammette complementare. Si veda il paragrafo 6.15

per la dimostrazione.

5.5.1 Identità approssimate e dimostrazione del teorema di Weierstrass

Una famiglia di funzioni hν(s) che gode delle proprietà 0–3 seguenti si chiama

identità approssimata. Le proprietà richieste sono:

0. per ciascun valore di ν, la funzione s → hν(s) è integrabile su R;

1. hν(s) ≥ 0 per ogni s;

2.∫ +∞−∞ hν(s) ds = 1 per ogni ν > 0;

3. per ogni ε > 0 si ha:

limν→0+

∫ −ε

−∞hν(s) ds = 0 , lim

ν→0+

∫ +∞

+ε

hν(s) ds = 0 .

La ragione del termine “identità approssimata” è espressa dal teorema seguente, che

prova che la famiglia hν “approssima” l’identità rispetto alla convoluzione. Per una

giustificazione più precisa si veda il paragrafo 7.6.3.

Teorema 5.46. Sia hν(s) un’identità approssimata e sia f(x) una funzione

uniformemente continua e limitata su R. Sia u(ν, x) la funzione

u(ν, x) =∫ +∞

−∞hν(x − s)f(s) ds =

∫ +∞

−∞hν(s)f(x − s) ds .

Vale:

limν→0+

u(ν, x) = f(x) .

Il limite è uniforme su R.

254

5. SPAZI DI BANACH

DIMOSTRAZIONE

La proprietà 1. dice che l’integrale di h ν(s) vale 1. Dunque, si può scrivere

u(ν, x) − f(x) =

Z +∞

−∞hν(s)[f(x − s) − f(x)] ds

=

Z −ε

−∞hν(s)[f(x − s) − f(x)] ds +

Z +∞

ε

hν(s)[f(x − s) − f(x)] ds

+

Z +ε

−ε

hν(s)[f(x − s) − f(x)] ds .

Il numero ε deve ancora determinarsi.

Si fissa un numero σ e si usa l’uniforme continuità di f su R per scegliere ε = ε σ in

modo tale che

|f(x − s) − f(x)| < σ s ∈ (−ε, ε) .

Le proprietà 1. e 2. implicano che l’integrale su (−ε, ε) ha modulo minore di σ per ogni

ν > 0.

Fissato tale numero εσ si usino le proprietà 1. e 3. e la limitatezza di f su R per

trovare νσ tale che, se ν ∈ (0, νσ), ciascuno degli integrali rimanenti sia in modulo

minore di σ.

Le identità approssimate che si incontrano più spesso in pratica si costruiscono come

segue: si assegna una funzione integrabile h(s), non negativa. Dividendola per il suo

integrale, si può assumere

∫ +∞

−∞h(s) ds = 1 .

L’identità approssimata si ottiene ponendo

hν(s) =1ν

h(s/ν) .

La figura 5.2 mostra i grafici di alcune delle funzioni hν(s) così ottenute a partire dalla

funzione

1π(1 + s2)

(sinistra)exp−(s2)√

π(destra).

255

5. SPAZI DI BANACH

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

s

y

ν=1

ν=.5

ν=.3

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

s

y

ν=1

ν=.5

ν=.3

Fig. 5.2. Esempi di identità approssimate

Osservazione 5.47. Implicitamente abbiamo supposto che ν sia un parametro con-

tinuo. Talvolta ν prende valori naturali, e l’identità approssimata è una successione

di funzioni. In questo caso il limite per ν → 0+ si sostituisce col limite per ν → +∞.

Diciamo infine che, così come si introducono le identità approssimate su R, si possono

anche introdurre le proprietà approssimate su Rn. Le modifiche alla definizione (e alla

costruzione a partire da una data funzione positiva) sono ovvie e vengono lasciate al

lettore.

Veniamo ora alla dimostrazione del teorema 5.43.

La dimostrazione del Teorema di Weierstrass è suggerita da certe considerazioni

sull’equazione del calore, che conducono ad introdurre gli integrali

1√4πt

∫ +∞

−∞e−s2/4tf(x − s) ds = u(t, x) . 5.23

La famiglia delle funzioni

1√4πt

e−s2/4t

è un’identità approssimata (il cui parametro si indica con t perché nelle applicazioni

all’equazione del calore indica il tempo). Essa è ottenuta a partire dalla funzione

h(s) =1√π

e−s2: ht(s) =

1√4t

h

(s√4t

).

Si veda la figura 5.2, a destra.

256

5. SPAZI DI BANACH

Sia ora f una funzione continua su [a, b]. Estendiamola in modo qualsiasi ad una

funzione continua su R, nulla per x < a − 1 e per x > b + 1. Indichiamo ancora con

f la funzione così estesa.

E’ chiaro che la funzione f è uniformemente continua su R. Sia u(t, x) la funzione

definita in 5.23. Si vede facilmente che questa funzione è continua per t > 0 ed x ∈ R.

Applichiamo il Teorema 5.46, ottenendo

f(x) = limt→0+

u(t, x) = limt→0+

1√4πt

∫ +∞

−∞e−(x−s)2/4tf(s) ds .

Ora facciamo intervenire la condizione che f è nulla per s < a − 1 e per s > b + 1.

Si ha così

u(t, x) =1√4πt

∫ b+1

a−1

e−(x−s)2

4t f(s) ds .

Si fissi σ > 0 e tσ tale che

|u(tσ, x) − f(x)| < σ/2 . 5.24

Il numero tσ esiste, grazie al Teorema 5.46.

La disuguaglianza 5.24 vale per ogni x ∈ R. Limitiamoci però a considerare i valori

di x in [a − 1, b + 1]. Si rappresenti

e−s24tσ =

+∞∑k=0

1k!

(− s2

4tσ

)k

e la convergenza è uniforme sui compatti. Dunque, esiste Nσ tale che∣∣∣∣∣e− s24tσ −

Nσ∑k=0

1k!

(− s2

4tσ

)k∣∣∣∣∣ < σ

√4πtσ

4(b − a)M, s ∈ [a − b − 1, b − a + 1]

con M = max |f |.

Si ha quindi:∣∣∣∣∣u(tσ, x) − 1√4πtσ

∫ b+1

a−1

Nσ∑k=0

1k!

(− (x − s)2

4tσ

)k

f(s) ds

∣∣∣∣∣=

1√4πtσ

∣∣∣∣∣∫ b+1

a−1

[e−

(x−s)2

4tσ −Nσ∑k=0

1k!

(− (x − s)2

4tσ

)k]

f(s) ds

∣∣∣∣∣257

5. SPAZI DI BANACH

=1√

4πtσ

∣∣∣∣∣∫ x−a+1

x−b−1

[e−

r24tσ −

Nσ∑k=0

1k!

(− r2

4tσ

)k]

f(x − r) dr

∣∣∣∣∣ < σ/2 .

Combinando questa disuguaglianza con 5.24 si vede che la funzione f(x) si

approssima uniformemente su [a, b] mediante i polinomi

1√4πtσ

∫ b+

a−1

Nσ∑k=0

1k!

(− (x − s)2

4tσ

)k

f(s) ds .

Il teorema si estende a funzioni di n variabili, sostanzialmente con la medesima

dimostrazione. Si ricorre per questo al seguente risultato:

Teorema 5.48 (di Tietze). Ogni funzione continua su un compatti di R n ammette

estensione continua e limitata ad R n.

Si fa quindi uso dell’identità approssimata

ht(x) =1

n/2√

4πte

|x|n4t . 5.25

Si noti che troncando la serie della funzione e |x|n si trovano polinomi in |x|.

Osservazione 5.49. I punti x ∈ R2 si possono anche leggere come punti x + iy del

piano complesso e gli argomenti precedenti possono adattarsi al caso delle funzioni a

valori complessi. Però, gli approssimanti che si ottengono troncando la serie di Taylor

dell’identità approssimata 5.25 sono polinomi in√

x2 + y2 e non in z = x + iy. Non

si trova quindi un’approssimazione mediante polinomi della variabile complessa z.

5.6. LA COMPATTEZZA

Ricordiamo che un s.insieme K dello s.l.n. X si dice relativamente compatto quando

ogni successione (xn) a valori in K ammette s.successioni (xnk) convergenti. K

si dice compatto quando è relativamente compatto e chiuso. Il teorema di Bolzano-

Weierstrass può riformularsi dicendo che se Φ = R oppure Φ = C allora ogni

s.insieme limitato e chiuso di Fn è compatto. Si ricordi che questa proprietà è

258

5. SPAZI DI BANACH

cruciale per la dimostrazione del teorema di Weierstrass sull’esistenza di massimi e

minimo.

Sfortunatamente, l’analogo del Teorema di Bolzano-Weierstrass non vale in spazi di

Banach di dimensione infinita; anzi:

Teorema 5.50. Sia X uno spazio normato. Se una sfera

x | |x − x0| = ε

è compatta allora lo spazio ha dimensione finita.

Il Teorema 5.50 implica in particolare:

Corollario 5.51. Sia dimX = +∞. Se K è relativamente compatto, allora K non

ha punti interni.

Infatti, se K contiene punti interni esso contiene una palla chiusa, che deve essere

compatta perché ogni s.insieme chiuso di un compatto è esso stesso compatto. Ciò

non può darsi se dimX = +∞.

E’ però vero che:

Teorema 5.52. Se il s.insieme K di X è compatto, allora esso è limitato.

Infatti, se K è illimitato esso contiene l’immagine di una successione (xn) tale che

||xn|| → +∞; e si vede facilmente che (xn) non ammette s.successioni convergenti.

Ricapitolando, in dimensione infinita gli insiemi compatti (rispetto alla topologia della

norma) sono pochi (e ciò avrà conseguenze nefaste nei problemi di ottimizzazione) e

difficili da caratterizzare. Di conseguenza i teoremi che caratterizzano gli insiemi

compatti sono importanti. Il prototipo ed il più utile di essi è il Teorema di Ascoli-

Arzelà, che caratterizza gli insiemi compatti di C(a, b) (ricordiamo che con questo

simbolo si intende in particolare che l’intervallo [a, b] è limitato e chiuso).

259

5. SPAZI DI BANACH

Sia K compatto contenuto in C(a, b). Abbiamo già notato, nel Teorema 5.52 che K

deve essere limitato; ossia deve esistere R > 0 tale che

||x|| = max[a,b]

|x(t)| < R ∀x ∈ K .

Trattandosi di limitatezza nella norma della convergenza uniforme, usa anche dire che

K è uniformemente limitato.

Ricordiamo che ogni funzione x ∈ C(a, b) è uniformemente continua perché [a, b]

è limitato e chiuso; ossia, per ogni ε > 0 esiste un numero δ, che dipende da ε e dalla

funzione x, tale che

|x(t′) − x(t′′)| < ε , ∀t′ t′′ ∈ [a, b] per cui |t′ − t′′| < δ.

Si dice che l’insieme K è equicontinuo quando δ si può scegliere dipendente da ε ma

non dall’elemento x ∈ K; ossia:

Definizione 5.53. Si dice che l’insieme K è equicontinuo quando per ogni ε > 0

esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ K e per ogni t′, t′′ in [a, b] tali che |t′ − t′′| < δ

si ha:

|x(t′) − x(t′′)| < ε .Vale:

Teorema 5.54 (di Ascoli-Arzelà). Gli insiemi relativamente compatti di C(a, b)

sono tutti e soli quelli uniformemente limitati ed equicontinui.


Proviamo i teoremi enunciati.

Dimostrazione del TEOREMA 5.50. Basta mostrare una successione di elementi

di norma 1 priva di sottosuccessioni fondamentali. Notiamo il seguente lemma (di

immediata dimostrazione) che verrà utile anche in seguito:

Lemma 5.55. Sia (xn) una successione tale che ||xn − xm|| ≥ σ > 0 per ogni

coppia n ed m. La successione (xn) non ha s.successioni fondamentali.

260

5. SPAZI DI BANACH

Per costruire una successione (xn) con le proprietà richieste dal lemma, facciamo

intervenire:

Lemma 5.56 (Lemma di Riesz). Sia M un s.spazio chiuso di X , diverso da X .

Per ogni ε > 0, esiste un elemento x ∈ X di norma 1, che dista da M più di 1 − ε.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che la distanza d(x,M) di x da M è

d(x,M) = inf||x − m|| | m ∈ M .

Essendo M = X, ed M chiuso, esiste x1 = M a distanza positiva da M :

d(x1, M) = d > 0 .

La definizione di distanza mostra che per ogni σ > 0 esiste v σ ∈ M tale che

||x1 − vσ|| < d(1 + σ) .

Sia

y = x1 − vσ .

Ovviamente,

δ = ||y|| = ||x1 − vσ|| ≤ d(1 + σ)

e inoltre d(y,M) = d(x1, M) perché vσ ∈ M ; ossia

d(y,M) = d(x1, M) = d ≥ 1

1 + σ||x1 − vσ|| =

1

1 + σ||y|| .

In particolare,

||y|| ≤ d(1 + σ) . 5.26

Scegliamo ora

x0 =y

||y||e notiamo che

d(x0, M) = d

„y

||y|| , M«

= inf˛˛˛˛ y

||y|| − m

˛˛˛˛ | m ∈ M

= inf 1

||y|| ||y − (m||y||) || | m ∈ M = inf 1

||y|| ||x1 − (vσ + m||y||) || | m ∈ M

= inf 1

||y|| ||x1 − m|| | m ∈ M =d

||y|| >1

1 + σ.

261

5. SPAZI DI BANACH

L’ultima disuguaglianza discende da 5.26.

L’asserto segue se si è preventivamente scelto σ tale che 11+σ

> 1 − ε.

E’ ora facile costruire una successione di elementi di norma 1, priva di s.successioni

convergenti: si sceglie x1 = 0 qualsiasi e si definisce

M1 = spanx1 = tx1 | t ∈ F .

Si sceglie quindi x2, di norma 1, con

d(x2, M1) >12

.

In particolare vale ||x2 − x1|| > 1/2.

Definiti x1,. . . , xk, si sceglie xk+1 di norma 1, distante almeno 1/2 dallo spazio

generato dai vettori x1,. . . , xk.

Essendo dimX = +∞, X = span x1 , . . . xk e quindi questa costruzione

conduce ad una successione (xn) i cui elementi distano due a due almeno 1/2, e

quindi priva di s.successioni convergenti.

Dimostrazione del TEOREMA 5.52. La dimostrazione è analoga a quella che vale

in dimensione finita: se A non è limitato, per ogni n esiste an ∈ A, con ||an|| > n.

La successione (an) è priva di s.successioni convergenti.

Dimostrazione del TEOREMA 5.54. Proviamo la parte necessaria. Si è già detto che

se K è compatto allora deve essere limitato. Proviamo che se è compatto in C(a, b)

allora esso è anche equicontinuo. Facciamo uso del lemma seguente:

Lemma 5.57. Sia K compatto in uno spazio di Banach X e sia ε > 0. Esiste un

insieme finito di elementi k1,. . .ks di K , tali che

K ⊆⋃

B(ki, ε) , B(ki, ε) = x ∈ X | ||x − ki|| < ε .

262

5. SPAZI DI BANACH

DIMOSTRAZIONE

Per assurdo sia K compatto e sia ε0 > 0 un numero tale che la proprietà non valga.

Scelto un qualsiasi x1 ∈ K, B(x1, ε0) non copre K; e quindi esiste x2 ∈ K che

dista da x1 più di ε0. Ancora perchè ε0 non soddisfa alla proprietà detta nel lemma,

B(x1, ε0)∪B(x2, ε0) non copre K. Dunque esiste x3 in K che dista più di ε0 sia da x1

che da x2.

Iterando questo procedimento, si trova una successione (x n) i cui punti distano l’uno

dall’altro almeno ε0, e quindi priva di s.successioni convergenti. Ciò contrasta con la

compattezza di K.

Proviamo ora che l’insieme K , compatto in X = C(a, b), è equicontinuo. Si fissi

ε > 0 e si fissino k1, . . . , kr tali che

K ⊆ ∪B(ki, ε) .

Ciascuna delle funzioni ki è una funzione uniformemente continua e quindi l’insieme

delle ki, che sono in numero finito, è equicontinuo: esiste δ > 0 tale che se |t ′−t′′| < δ

allora |ki(t′) − ki(t′′)| < ε per ogni i.

Sia ora x ∈ K qualsiasi e ki0 una funzione dell’insieme k1 , . . . , kr che dista da x

meno di ε. Valutiamo:

|x(t′) − x(t′′)| ≤ |x(t′) − ki0(t′)| + |ki0(t

′) − ki0(t′′)| + |ki0(t

′′) − x(t′′)| < 3ε .

Questa disuguaglianza vale per |t′ − t′′| < δ e per ogni x ∈ K . Notando che δ non

dipende da x ∈ K segue l’equicontinuità.

Proviamo ora la condizione sufficiente: proviamo che se K ⊆ C(a, b) è sia limitato

che equicontinuo allora K è relativamente compatto.

Fissiamo prima di tutto una successione iniettiva (tn) la cui immagine è densa in

[a, b]. Consideriamo quindi una qualunque successione (xn) di elementi di K e

consideriamo la successione di numeri (xn(t1)). Questa è una successione di numeri

limitata perché K è limitato. Dunque ammette una s.successione convergente.

Indichiamo col simbolo x(1)n (t1) questa successione di numeri e consideriamo la

successione di funzioni (x(1)n ). Valutiamo queste funzioni nel punto t2 ottenendo la

263

5. SPAZI DI BANACH

successione di numeri (x(1)n (t2)). Estraiamo da questa una successione convergente,

che indichiamo col simbolo (x(2)n (t2)). Consideriamo quindi la successione di

funzioni (x(2)n ) e la successione di numeri (x(2)

n (t3)). Iteriamo il procedimento.

In questo modo si definiscono induttivamente le successioni di funzioni (x (1)n ),

(x(2)n ),. . . , ciascuna delle quali è s.successione delle precedenti. Dunque, la succes-

sione (x(k)n (tr)) è una successione di numeri che converge per ogni r ≤ k. Inoltre,

(x(1)n ) è s.successione della (xn).

Consideriamo ora la tabella seguente:

x(1)1 x

(1)2 x

(1)3 x

(1)4 x

(1)5 . . .

x(2)1 x

(2)2 x

(2)3 x

(2)4 x

(2)5 . . .

x(3)1 x

(3)2 x

(3)3 x

(3)4 x

(3)5 . . .

x(4)1 x

(4)2 x

(4)3 x

(4)4 x

(4)5 . . .

......

......

...

Si ha:

– in ogni casella compare una delle funzioni della successione;

– gli elementi della prima riga costituiscono una s.successione della (xn);

– ciascuna delle successive righe contiene gli elementi di una s.successione di

quella che compare alla riga precedente;

– se si calcolano gli elementi della riga i–ma per t = tj , con j ≤ i, si trova una

successione di numeri che converge.

Queste proprietà implicano che la successione diagonale (x(n)n ) è una successione

di funzioni con questa proprietà: le successioni di numeri (x(n)n (tk)) convergono,

per ogni k.

Notiamo che per ora abbiamo usato la sola limitatezza dell’insieme K . Usiamo ora

l’equicontinuità per provare che la successione diagonale è fondamentale (e quindi

convergente in C(a, b) che, come si è detto, è uno spazio completo).

264

5. SPAZI DI BANACH

Sia ε > 0. Si vuol provare l’esistenza di Nε tale che se n, m sono maggiori di Nε

allora vale

||xn − xm|| < 3ε ossia |xn(t) − xm(t)| < 3ε ∀t ∈ [a, b].

Si fissi δ > 0 tale che se |t′ − t′′| < δ allora ogni x ∈ K verifica

|x(t′) − x(t′′)| < ε .

Rappresentiamo l’intervallo [a, b], che è limitato, come unione finita di intervalli di

lunghezza minore di δ:

[a, b] =ν⋃

s=1

[as, bs] , bs − as < δ .

Per ciascun intervallo [as, bs], fissiamo uno dei punti della successione (tn) che gli

appartiene. Indichiamolo col simbolo ts.

Sia t ∈ [a, b] qualsiasi e sia s tale che t ∈ [as, bs]. Valutiamo, usando

l’equicontinuità,

|x(n)n (t) − x(m)

m (t)| ≤ |x(n)n (t) − x(n)

n (ts)| + |x(n)n (ts) − x(m)

m (ts)|

+|x(m)m (ts) − x(m)

m (t)| ≤ 2ε + |x(n)n (ts) − x(m)

m (ts)| .

Per ogni s, esiste Ns tale che, se n, m sono maggiori di Ns, vale

|x(n)n (ts) − x(m)

m (ts)| < ε

ed i punti ts sono in numero finito e non dipendono dal punto t. Dunque, la

dimostrazione si completa scegliendo Nε = maxN1 , . . . , Nν.

Il procedimento di estrarre la successione diagonale, dovuto a Cantor, va sotto il nome

di metodo diagonale di Cantor.

5.7. OPERATORI LINEARI

Siano X ed Y due s.l.n-ti e sia f una trasformazione da X in Y . Non si richiede che

il dominio di f sia tutto X . Per dire che f opera tra due s.l.n-ti, si dice che f è un

operatore.

265

5. SPAZI DI BANACH

Si chiamano funzionali le trasformazioni che operano da X , s.l.n. sul campo scalare

F, nel campo scalare F stesso.

Siano ora X ed Y due spazi lineari sul medesimo campo scalare. Si dice che f è un

operatore lineare da X in Y quando

– domf è un sottospazio (non si richiede chiuso) di X ;

– vale f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) per ogni x, y in X e per ogni α, β in F.

Quando si lavora con operatori lineari, invece della notazione f(x) usa indicare

l’operatore con una lettera maiuscola, per esempio F , A; e scrivere Fx, Ax invece

di F (x), A(x); ossia si usa la “notazione moltiplicativa” nota dall’Algebra lineare.

Studiamo ora le proprietà degli operatori lineari.

5.7.1 Proprietà geometriche degli operatori lineari

Si ricordi che il grafico di una trasformazione y = f(x) da un insieme X ad un

insieme Y è l’insieme delle coppie

(x, y) | y = f(x) .

Invece, l’immagine ed il nucleo 1 sono rispettivamente s.spazi di Y e di X ,

imf = y | y = f(x) , ker f = x | f(x) = 0 .

Si provi per esercizio:

Teorema 5.58. Siano X ed Y due s.l.n-ti e sia f una trasformazione da X in Y .

Vale:

– la trasformazione f è lineare se e solo se il suo grafico è un s.spazio di X×Y ;

– se f è lineare sia la sua immagine che il suo nucleo sono s.spazi.

1Il termine “nucleo” per indicare l’insieme degli zeri di una funzione si usa solamente se la

funzione è lineare.

266

5. SPAZI DI BANACH

Notiamo ora:

Teorema 5.59. Un operatore lineare da X in Y che ha immagine limitata è

identicamente zero.

DIMOSTRAZIONE

Infatti, l’immagine di un operatore lineare è un sottospazio: questo è limitato se e solo

se è il sottospazio 0.

Col simbolo B(x0, r) indichiamo la palla

B(x0, r) = x | ||x − x0|| ≤ r .

Lemma 5.60. Sia x0 ∈ domA. Vale

B(x0, r) ∩ (domA) = x0 + B(0, r) ∩ (domA) .

DIMOSTRAZIONE

Infatti, con L = domA,

B(x0, r) ∩ L = x ∈ L | ||x − x0|| < r .

Sia x ∈ B(x0, r) ∩ L. Essendo x0, x nel sottospazio L, y = x − x0 è in L e verifica

||y|| < r; ossia,

x = x0 + y , y ∈ B(0, r) ∩ L .

Dunque, B(x0, r)∩L ⊆ x0+B(0, r)∩L. L’inclusione opposta si vede in modo analogo.

Siano x0 ed x1 due punti di uno s.l.n. X . Il segmento di estremi x0 ed x1 è per

definizione l’insieme dei punti

x = tx0 + (1 − t)x1 , t ∈ [0, 1] .

Sia K ⊆ X un insieme. Si dice che K è convesso quando il segmento che unisce due

qualsiasi punti di K è contenuto in K; ossia quando

x0 , x1 ∈ K , t ∈ [0, 1] =⇒ tx0 + (1 − t)x1 ∈ K .

267

5. SPAZI DI BANACH

Ovviamente, ogni palla è un insieme convesso. Invece, la superficie sferica

S(x0, r) = x | ||x − x0|| = r

non è convessa.

Gli insiemi convessi di R sono tutti e soli gli intervalli (limitati o meno).

Il risultato seguente è di ovvia dimostrazione:

Teorema 5.61. Sia A lineare da X in Y . Se K ⊆ domA è convesso in X , allora

AK è convesso in Y .

Le palle centrate in 0 sono insiemi che hanno in più una proprietà di simmetria: se

x ∈ B(0, r) allora αx ∈ B(0, r) per ogni α tale che |α| ≤ 1.

In generale, un insieme K si dice equilibrato se

|α| ≤ 1 , x ∈ K =⇒ αx ∈ K .

Si dice che K è equilibrato rispetto ad un suo punto x0 se

K = x0 + K , con K insieme equilibrato.

Si vede immediatamente:

– un insieme di C equilibrato rispetto a z0 e che contiene z ′ contiene anche il

disco di centro z0 e raggio |z ′−z0|. Affermazione analoga vale per gli insiemi

equilibrati di R, sostituendo i dischi con gli intervalli simmetrici rispetto a z 0.

In particolare:

Lemma 5.62. Un insieme equilibrato di R oppure di C che è illimitato è

uguale, rispettivamente, a R oppure a C.

– Se A è un operatore lineare da X in Y e se K è equilibrato in X , allora AK

è equilibrato in Y ; se K è equilibrato rispetto ad x0 allora AK è equilibrato

rispetto ad Ax0.

268

5. SPAZI DI BANACH

Torniamo a considerare un operatore lineare A da uno s.l.n. X in un s.l.n. Y e

consideriamo le palle B(0, 1), B(0, r′) e B(x0, r) di X . Si ha:

AB(0, r) = r(AB(0, 1)) , AB(x0, r) = Ax0 + r(AB(0, 1)) :

Lemma 5.63. Un operatore lineare A che è limitato su una palla è limitato su ogni

altra palla.

D’altra parte, con S(0, 1) = x | ||x|| = 1,

x ∈ B(0, r) = ||x|| x

||x|| ,x

||x|| ∈ S(0, 1) .

Dunque:

Lemma 5.64. Vale:

sup||x||X≤1

||Ax||Y = sup||x||X=1

||Ax||Y .

In particolare, un operatore lineare A è limitato su una palla se e solo se è limitato

sulla sfera S(0, 1).

Un operatore lineare che è limitato su una palla, non può “crescere troppo

velocemente”. Infatti:

Teorema 5.65. Sia A lineare da X in Y e sia

MA = sup||x||X≤1

||Ax||Y < +∞ .

Per ogni x ∈ X vale

||Ax||Y ≤ MA||x||X . 5.27

Viceversa, se esiste M tale che ||Ax||Y ≤ M ||x||X allora l’operatore lineare A è

limitato su ogni palla.

DIMOSTRAZIONE

Il viceversa è ovvio e quindi basta provare che se A è limitato su B(0, 1), allora vale la

disuguaglianza 5.27. Basta considerare il caso x = 0. Se x = 0, x/||x|| ∈ B(0, 1) e

269

5. SPAZI DI BANACH

quindi

1

||x|| ||Ax|| =

˛˛˛˛A x

||x||

˛˛˛˛ ≤ MA .

Questa è la disuguaglianza cercata.

Dunque, se A è limitato su una palla, per esso vale

lim||x||X→0

||Ax||Y = 0

ed è quindi continuo in 0. Viceversa, il teorema della limitatezza locale mostra che se

A è continuo a 0 allora è limitato su una palla B(0, r), e quindi su ogni altra palla.

Vale dunque:

Teorema 5.66. Un operatore lineare A da X in Y è continuo a zero se e solo se è

limitato su una qualsiasi palla; equivalentemente, se e solo se esiste un numero M

per cui vale

||Ax||Y ≤ M ||x||X .

Ciò suggerisce un punto di partenza per lo studio della continuità degli operatori

lineari. Prima di fare ciò, ricordiamo, dal Teorema 5.59 che l’unico operatore lineare

e limitato da X in Y è quello identicamente zero; e quindi il termine “limitato”

riferito ad operatori lineari rimane libero, e può essere usato con un significato diverso.

Chiamiamo quindi operatore lineare limitato un operatore lineare che è limitato su una

(qualsiasi) palla; ossia uno per il quale vale la disuguaglianza 5.27. Dunque:

Teorema 5.67. Un operatore lineare A da X in Y è continuo a zero se e solo se è

limitato.

5.7.2 La continuità degli operatori lineari

E’ noto:

Teorema 5.68. Se dimX < +∞ e se la trasformazione A è lineare da X in Y

allora A è continua.

270

5. SPAZI DI BANACH

Gli esempi seguenti mostrano che, se X ha dimensione infinita, allora esistono sia

operatori lineari continui che non continui. Un esempio banale di operatore lineare

continuo è quello che ad ogni elemento di X associa lo 0 di Y , ossia il funzionale

nullo. Un esempio meno banale è il seguente:

Esempio 5.69. Sia X = C(a, b), Y = F e sia

domA = X , Ax = x(a) .

Essendo

||Ax − Ay||F = |x(a) − y(a)| ≤ ||x − y||X

si vede che A è addirittura uniformemente continuo.

Mostriamo ora un esempio di funzionale lineare non continuo.

Esempio 5.70. Su C(−1, 1) si consideri l’operatore lineare Ψ definito da

domΨ = x derivabili in 1 , Ψx = x′(1) .

Quest’operatore, chiaramente lineare, non è continuo. Per mostrare ciò si consideri

la successione delle funzioni xn

xn(t) = tn/n .

Da ||xn|| < 1/n segue che

limxn = x0 = 0

mentre per ogni n si ha:

Ψxn = 1 ;

ossia,

lim Ψxn = Ψx0

e quindi Ψ non è continuo.

Si noti che l’esempio precedente mostra che anche funzionali lineari importanti per

le applicazioni possono essere discontinui; e, l’esempio specifico spiega perchè il

problema della derivazione numerica è assai delicato.

271

5. SPAZI DI BANACH

Esempi di operatori lineari, rispettivamente continui e non continui, tra s.l.n-ti

ambedue di dimensione infinita sono i seguenti:

Esempio 5.71. Sia X = Y = C(a, b) e sia A con dominio uguale ad X ,

(Ax)(t) =∫ t

a

x(s) ds .

E’

||Ax − Ay||Y = max[a,b]

∣∣∣∣∫ t

a

[x(s) − y(s)] ds

∣∣∣∣ ≤ (b − a) · ||x − y||X ;

e nuovamente si vede che l’operatore A è uniformemente continuo.

Un esempio di operatore lineare discontinuo è il seguente:

Sia X = L2(0, 1), Y = C([0, 1]). Il dominio di A sia lo spazio lineare delle classi di

equivalenza dotate di rappresentante continuo. Sia

Ax = y , y(t) ≡ x(1) .

Le (classi di equivalenza delle) funzioni

xn(t) = tn

costituiscono una successione in L2(0, 1), convergente a 0; mentre, per ogni x,

Axn ≡ 1 .

Passiamo ora a studiare le proprietà degli operatori lineari che sono anche continui.

Abbiamo notato che gli operatori lineari continui degli esempi precedenti sono anche

uniformemente continui. Come ora vedremo, è questo un fatto generale.

Teorema 5.72. Siano X ed Y due s.l.n-ti e sia A lineare da X in Y . Vale:

– l’operatore A è continuo in ciascun punto del suo dominio se e solo se è

continuo in un punto;

– l’operatore A è continuo se e solo se è uniformemente continuo;

– l’operatore A è continuo se e solo se è limitato.

272

5. SPAZI DI BANACH

DIMOSTRAZIONE

Proviamo che se A è continuo in un punto x 0 allora esso è continuo in qualunque altro

punto x1. Ovviamente, sia x0 che x1 devono appartenere al dominio di A. Sia ε > 0 e

sia B(x0, δ) tale ce

x ∈ B(x0, δ) ∩ domA =⇒ ||Ax − Ax0|| < ε .

Sia ora x ∈ B(x1, δ) ∩ domA. Usando il Lemma 5.60 si vede che

x = x1 + (x′ − x0) , x′ ∈ domA , x′ ∈ B(x0, δ) .

Dunque,

||Ax − Ax1|| = ||A(x1 − (x′ − x0)) − Ax1|| = ||A(x′ − x0)|| = ||Ax′ − Ax0|| < ε .

Ciò prova la continuità in x1 e prova anche che il numero δ nel punto x 1 è il medesimo

usato in x0. Essendo x1 arbitrario, si ha la continuità uniforme.

In particolare, la continuità in un qualsiasi punto x 0 equivale alla continuità in 0, e quindi

alla limitatezza, si veda il Teorema 5.67.

Frequentemente conviene verificare la continuità di un operatore verificando

direttamente che è limitato.

Come si è visto, l’operatore lineare A è continuo se e solo se

MA = sup||x||X≤1

||Ax||Y < +∞ .

Ci si può chiedere se l’estremo superiore sia in realtà un massimo. E’ facile

immaginare che l’estremo superiore non sarà un massimo se il dominio di A non è

chiuso. Però:

Teorema 5.73. Esistono s.l.n-ti completi X ed operatori lineari continui A con

dominio uguale ad X e tali che

max||Ax||Y | ||x||X ≤ 1

non esiste.

273

5. SPAZI DI BANACH

DIMOSTRAZIONE

Si scelga X = L1(0, 1) ed il funzionale

Lx =

Z 1

0

sx(s) ds .

E’ immediato verificare che questo funzionale è continuo e che

||x|| ≤ 1 =⇒ |Lx| ≤ 1 ;

anzi, si vede che

sup||Lx||Y , | ||x||X ≤ 1 = 1 .

Infatti, se

xn(t) =

8<: 0 se 0 ≤ t ≤ 1 − 1/n

n se 1 − 1n≤ t ≤ 1

allora:

lim Lxn = 1 .

Mostriamo che se ||x||L1(0,1) ≤ 1 allora non vale Lx = 1. Sia infatti x tale che Lx = 1.

In questo caso x non è zero q.o. e quindi esiste δ ∈ (0, 1) tale cheZ δ

0

|x(s)| ds = α > 0 .

sottolineiamo che il numero δ si può scegliere minore di 1. Si scriva ora:

1 =

Z 1

0

sx(s) ds =

Z δ

0

sx(s) ds +

Z 1

δ

sx(s) ds

≤ δ

Z δ

0

|x(s)| ds +

Z 1

δ

|x(s)| ds

=

Z 1

0

|x(s)| ds − (1 − δ)

Z δ

0

|x(s)| ds

ossia

Z 1

0

|x(s)| ds ≥ 1 + (1 − δ)α .

Dunque ||x|| > 1 e quindi il massimo non viene raggiunto.

274

5. SPAZI DI BANACH

Infine, introduciamo due operatori particolari, ed i loro simboli: col simbolo 0, riferito

ad operatori che operano da X in Y , si intende l’operatore nullo, ossia quello che

associa ad ogni x ∈ X l’elemento 0 di Y . Col simbolo I , riferito ad operatori da X in

X , si intende l’operatore identità , ossia quell’operatore che ad ogni x di X associa se

stesso:

Ix = x .

5.7.3 Funzionali lineari continui ed iperpiani

Proviamo:

Teorema 5.74. Sia Ψ un funzionale lineare definito su X non identicamente nullo,

continuo o meno. Il suo nucleo ammette complementare di dimensione 1.

DIMOSTRAZIONE

Sia x0 tale che Ψx0 = 0. Si noti che per ogni x ∈ X

nx = x − x0Ψx

Ψx0∈ ker Ψ .

Ogni x ∈ X si rappresenta come

x = nx + αxx0 , αx =Ψx

Ψx0.

Questa rappresentazione è unica perché se si ha anche

x = n′x + α′

xx0

allora sottraendo si trova

0 = (nx − n′x) + (αx − α′

x)x0 .

Applicando il funzionale Ψ ai due membri si trova

0 = (αx − α′x)Ψx0

e quindi αx = α′x, perché Ψx0 = 0. E dunque si ha anche nx = n′

x.

Ciò prova che βx , β ∈ C è uno spazio complementare di kerΨ.

275

5. SPAZI DI BANACH

Osservazione 5.75. Il teorema precedente non richiede la completezza di X e

nemmeno richiede la chiusura di kerΨ. Per esempio, sia X lo s.l.n. delle funzioni

continue su [−1, 1] e derivabili su (−1, 1), dotato della norma del massimo. Questo

spazio non è completo. Sia

Ψx = x′(0) .

Il funzionale Ψ è ovunque definito, e non è continuo, come facilmente si vede

riadattando gli argomenti presentati nell’esempio 5.70.

Il nucleo di Ψ è l’insieme delle funzioni di C 1(−1, 1) la cui derivata è nulla in 0.

Non è difficile mostrare che questo spazio lineare è denso in C(−1, 1) e quindi in

C1(−1, 1). Ciò nonostante ammette complementare: ogni x ∈ X si rappresenta in

modo unico come

x(t) = [x(t) − x′(0)t] + x′(0)t

somma di un elemento di kerΨ e di un multiplo di x0, x0(t) = t /∈ kerΨ.

Se Ψ è una qualsiasi trasformazione continua tra s.l.n-ti X ed Y , l’insieme degli zeri

di Ψ è chiuso, come controimmagine continua di un chiuso. Il viceversa vale nel caso

particolare dei funzionali lineari:

Teorema 5.76. Sia Ψ un funzionale lineare su uno s.l.n. Esso è continuo se e solo

se il suo nucleo è chiuso.

DIMOSTRAZIONE

Se il nucleo di Ψ è tutto X allora Ψ è costante e quindi continuo. Altrimenti, sia x 0 /∈

kerΨ. Dato che ker Ψ è chiuso e diverso da X, esiste δ > 0 tale che

δ = dist(x0, kerΨ) .

Sia B(x0, δ/2) = x | ||x − x0|| < δ/2. L’immagine ΨB(x0, δ/2) di B(x0, δ/2) è

un insieme equilibrato di R oppure di C, che non contiene 0, perché B(x 0, δ/2) non

interseca kerΨ. Per il Lemma 5.62, ΨB(x0, δ/2) è limitato, e quindi Ψ è continuo.

276

5. SPAZI DI BANACH

Si chiamano iperpiani i sottospazi chiusi di codimensione 1 e gli insiemi che si

ottengono da essi per traslazione. Dunque:

Teorema 5.77. Gli iperpiani sono tutti e soli gli insiemi della forma

H = x | Ψx = c

ove Ψ è un funzionale lineare e continuo.

DIMOSTRAZIONE

Se ψ è un funzionale lineare continuo, il suo nucleo è chiuso, come contrimmagine

dell’insieme chiuso 0.

Viceversa, sia N un spazio lineare chiuso di codimensione 1. Costruiamo un funzionale

lineare Ψ che ha N per nucleo, e che quindi è continuo per il Teorema 5.76.

Essendo N di codimensione 1, esiste x0 /∈ N tale che ogni elemento di X si

rappresenta in modo unico come

x = n + αx0 , n ∈ N .

Il funzionale cercato è quello che ad x associa il numero α.

Ossia, gli iperpiani sono gli insiemi di livello di funzionali lineari e continui.

Se Ψ è un funzionale lineare continuo, definiamo i due semispazi

H+ = x | Ψ(x) > c , H− = x | Ψ(x) < c .

I due semispazi H+ ed H− sono ovviamente disgiunti (perché le disuguaglianze sono

strette). Le loro chiusure, che si chiamano anche semispazi chiusi, hanno in comune i

punti dell’iperpiano x | Ψ(x) = c.

E’ opportuno notare che le notazioni H+ ed H− non hanno significato intrinseco.

Infatti, il funzionale Ψ che il teorema 5.77 associa ad H non è unico. Se, per esempio,

c = 0, allora si identifica lo stesso iperpiano H sia col funzionale Ψ che col funzionale

−Ψ; e lo scambio di Ψ con −Ψ scambia tra di loro i due semispazi.

277

5. SPAZI DI BANACH

Notiamo infine che il teorema 5.76 vale per i funzionali. Non vale per generici

operatori lineari, come mostra l’esempio seguente.

Esempio 5.78. Sia X = Y = C(0, 1) e sia

domA = C1(0, 1) , Ax = x′ .

Argomenti analoghi a quelli visti all’esempio 5.70 mostrano che A non è continuo.

Il suo nucleo è il s.spazio i cui elementi sono le funzioni costanti, e quindi è chiuso

nonostante che l’operatore A non sia continuo.

5.7.4 Lo spazio L(X, Y )

Siano X ed Y due s.l.n-ti ed A, B due operatori lineari da X in Y . Definendo

dom(A + B) = (domA) ∩ (domB) , (A + B)x = Ax + Bx ,

si ottiene chiaramente un operatore lineare A + B; ma in generale dom(A + B),

domA e domB sono diversi e quindi non è possibile dare una struttura di spazio

lineare all’insieme di tutti gli operatori lineari da X in Y . Per esempio, B + (−B)

non è in generale l’operatore 0, perchè l’operatore 0 è definito su X mentre B +(−B)

è solo definito su domB; e quindi A+B +(−B) non è, in generale, l’operatore A. Se

però ci si limita a considerare soltanto gli operatori lineari e continui si può ottenere

di più. Vale infatti:

Teorema 5.79. Sia A un operatore lineare e continuo da X in Y . Se Y è completo

allora l’operatore A ammette un’unica estensione continua alla chiusura del suo

dominio.

DIMOSTRAZIONE

Presentiamo i punti salienti della dimostrazione (del tutto analoga a quella che si usa

per costruire l’estensione per continuità di funzioni reali), per mostrare il ruolo della

completezza di Y .

Se x0 è un punto della chiusura del dominio di A, esiste una successione (x n) conver-

gente ad x0, xn ∈ domA (si noti che se x0 ∈ domA allora si può scegliere xn = x0 per

ogni n).

278

5. SPAZI DI BANACH

Per la continuità di A si ottiene

||Axn − Axm||Y = ||A(xn − xm)||Y ≤ M ||xn − xm||X . 5.28

La successione (xn) è fondamentale in X, essendo per ipotesi convergente. Dunque,

anche la successione (yn), yn = Axn è fondamentale, però nello spazio Y . Essendo

Y completo, si ha

lim Axn = y0 .

Si definisce quindi

Ax0 = y0.

Se (x′n) è una seconda successione convergente ad x0, vale

||Axn − Ax′n||Y ≤ M ||xn − x′

n||X → 0

e quindi

lim Axn = lim Ax′n ;

ossia il valore y0 dipende solo da x0, e non dalla particolare successione (conver-

gente ad x0) scelta per calcolarlo. Dunque l’operatore A che abbiamo costruito è un

operatore univoco.

Ovviamente, A estende A: se x0 ∈ domA, scegliendo xn = x0 per ogni n si vede che

Ax0 = Ax0 .

Si prova facilmente che l’operatore A è lineare, ed è limitato.

Lasciamo per esercizio la dimostrazione della linearità e proviamo la limitatezza: se

xn → x0 ed Axn → y0,

||Ax0||Y = lim ||Axn||Y ≤ M lim ||xn||X = M · ||x0||X 5.29

(si ricordi che la norma è continua).

Ricapitolando, A è (l’unica) estensione continua di A alla chiusura del suo dominio.

In particolare, se il dominio di A è denso in X , allora A è definito su X .

Naturalmente, in pratica identificheremo A con A (usando il simbolo più semplice A

per ambedue gli operatori).

279

5. SPAZI DI BANACH

Da ora in poi, lavorando con operatori lineari e continui, assumeremo di averli

estesi per continuità alla chiusura del dominio; e se non diversamente detto,

assumeremo che il dominio sia X . Lavorando con operatori definiti su X , sia A+B

che αA (definito da (αA)x = α(Ax) per ogni x) hanno dominio X e sono continui.

Dunque, l’insieme degli operatori lineari continui su X è uno spazio lineare. Ciò che

è più importante, esso può essere dotato di norma, come segue:

||A|| = sup||x||X≤1

||Ax||Y . 5.30

Si lascia al lettore la facile verifica che quella appena definita è una norma.

Conviene notare una conseguenza utile della definizione 5.30:

Corollario 5.80. Per ogni x ∈ X vale:

||Ax||Y ≤ ||A|| · ||x||X . 5.31

Se anche Z è uno s.l.n. completo, e B è lineare e continuo da Y a Z , allora vale

||BA|| ≤ ||B|| · ||A|| . 5.32

DIMOSTRAZIONE

Infatti, se ||ξ||X ≤ 1, allora vale ||Aξ||Y ≤ ||A||. Se x = 0 allora ξ = x/||x||X ha norma

1 e quindi

||A|| ≥ ||Aξ||Y =1

||x||X· ||Ax||Y

ossia la 5.31.

La 5.31 mostra che:

||BAx|| ≤ ||B|| · ||Ax||Y ≤ ||B|| · ||A|| · ||x||X .

Prendendo l’estremo superiore per ||x||X ≤ 1, si trova la 5.32.

La disuguaglianza 5.32 nel caso in cui Z = Y = X mostra

||A2|| ≤ ||A||2

280

5. SPAZI DI BANACH

e, più in generale,

||An|| ≤ ||A||n .

Conviene mostrare subito un modo equivalente per il calcolo di ||A||:

Teorema 5.81. Vale:

||A|| = minM | ||Ax||Y ≤ M ||x|| . 5.33

DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con M0 il numero

M0 = infM | ||Ax||Y ≤ M ||x||

e proviamo che M0 = ||A||, ossia che

M0 = sup||x||X≤1

||Ax||Y .

Ciò in particolare mostra che l’estremo inferiore è un minimo.

La 5.31 implica che M0 ≤ ||A||. Per mostrare la disuguaglianza opposta, fissiamo

δ > 0 arbitrario. Vale, per ogni x,

||Ax||Y ≤ (M0 + δ) · ||x||X

e quindi, se ||x||X ≤ 1,

||Ax||X ≤ (M0 + δ) · ||x||X ≤ M0 + δ .

Dunque, la disuguaglianza

||A|| ≤ M0 + δ

vale per ogni δ > 0. Passando all’estremo inferiore rispetto a δ si trova

||A|| ≤ M0 5.34

e quindi l’uguaglianza 5.33.

281

5. SPAZI DI BANACH

Possiamo ora tornare a considerare la diseguaglianza 5.29. Essa può ora scriversi

||Ax0|| ≤ M ||x0|| M = sup||x||≤1 x∈domA

||Ax||

ossia

||A|| ≤ M .

Però, A estende A e quindi ||A|| ≥ M . dunque:

Corollario 5.82. La norma dell’operatore A, estensione per continuità di A, è

sup||x||≤1 x∈domA

||Ax|| .

Ossia, il calcolo della norma di un operatore lineare continuo definito su X può

effettuarsi a partire da una sua restrizione ad un sottospazio denso in X .

Si lascia per esercizio di provare la seguente ulteriore caratterizzazione di ||A||:

Teorema 5.83. Vale:

||A|| = sup||x||=1

||Ax||Y = supx =0

||Ax||Y||x||X

.

Quando sia X che Y sono s.l.n-ti completi, ossia spazi di Banach, lo spazio degli

operatori lineari e continui da X in Y , normato nel modo che abbiamo appena

introdotto, si indica col simbolo L(X, Y ) oppure B(X, Y ). Due casi sono di uso

particolarmente frequente e ad essi si riservano simboli speciali: il caso in cui X = Y

ed il caso, importantissimo, X = F. Nel primo caso si usa il simbolo L(X) invece di

L(X, X); nel secondo caso si usa il simbolo X ∗ o X ′ invece di L(X, F). Lo spazio

X∗ si chiama lo spazio duale di X .

Infine, esaminiamo il problema della completezza dello spazio L(X, Y ). La dimo-

strazione del teorema seguente usa la completezza dello spazio Y ma non quella

dello spazio X . Per questa dimostrazione abbiamo bisogno di ricordare che una

successione fondamentale è anche limitata; e che la successione (An) è limitata in

L(X, Y ) quando esiste un numero M , indipendente da n, tale che

||An|| < M .

282

5. SPAZI DI BANACH

Teorema 5.84. Lo spazio L(X, Y ) è completo.

DIMOSTRAZIONE

Dobbiamo mostrare che ogni successione (An) fondamentale in L(X, Y ) è anche con-

vergente. Sia allora (An) fondamentale. Per definizione di norma in L(X, Y ), per ogni

ε > 0 esiste Nε tale che per n, m maggiori di Nε vale

||An − Am|| ≤ ε ossia sup||x||X≤1

||(An − Am)x||Y ≤ ε . 5.35

Segue che la successione (Anx) di elementi di Y è fondamentale per ogni x di norma

minore o uguale ad 1; e quindi per ogni x ∈ X. Ciò permette di definire l’operatore B

dato da

Bx = lim Anx .

Proviamo la linearità e la continuità di B e poi proviamo che lim A n = B.

Da

B(αx + βy) = lim An(αx + βy) = lim αAnx + βAny = αBx + βBy

segue la linearità. La continuità segue perché, se ||x|| ≤ 1,

||Bx|| = || lim Anx|| = lim ||Anx|| ≤ M ||x||

con M indipendente da n perchè la successione (A n), essendo fondamentale, è

limitata.2

Mostriamo ora che B = lim An, ossia che

lim ||B − An|| = 0 . 5.36

E’:

||B − An|| = sup||x||≤1

||(B − An)x||Y .

Sia ε > 0 e sia Nε tale che, per n, m maggiori di Nε, valga 5.35. Fissato x con ||x|| < 1,

scriviamo

||Bx − Anx||Y = ||(B − Am)x + (Am − An)x||Y ≤ ||(B − Am)x||Y + ε . 5.37

2Si noti che in questa dimostrazione si usa anche la continuità della norma.

283

5. SPAZI DI BANACH

Notiamo che questa disuguaglianza vale per ogni x con ||x|| ≤ 1 e per tutti gli

m > Nε.

Notiamo ora l’esistenza di un opportuno m > N ε (dipendente sia da x che da ε) per

cui vale anche

||(B − Am)x|| < ε .

Dunque, la 5.37 dà:

||Bx − Anx||Y ≤ infm||(B − Am)x||Y + ε ≤ 2ε ∀n > Nε .

Ciò prova 5.36.

5.7.5 Inversi di un operatore

In dimensione finita, l’equazione

Ax = y , x , y ∈ Cn

con x, y vettori ed A trasformazione lineare, è risolubile per ogni y se e solo se

kerA = 0

ed in tal caso esiste l’operatore inverso A−1 di A che è lineare e che verifica ambedue

le condizioni AA−1 = I

A−1A = I ;

anzi, se un operatore indicato con A−1 soddisfa una delle due uguaglianze precedenti

esso soddisfa anche la seconda ed è l’operatore inverso di A, si veda il paragrafo 5.1.23.

La situazione è più complessa in dimensione infinita. Infatti:

Esempio 5.85. Un operatore può avere nucleo nullo senza essere suriettivo. Per

esempio, sia X = Y = l2. Un operatore con tali proprietà è l’operatore S dato da:

Sx = S(x1, x2, x3, . . .) = (0, x1, x2, x3, . . .) .

3Si ricordi che x ed y appartengono ambedue a Cn. Se essi appartengono a spazi diversi allora

l’ultima affermazione è falsa.

284

5. SPAZI DI BANACH

Un operatore può avere nucleo non nullo ed essere suriettivo: per esempio,ancora

con X = Y = l2, Un operatore con tali proprietà è l’operatore T dato da:

Tx = T (x1, x2, x3, . . .) = (x2, x3, . . .) .

Dato che kerS = 0, si può definire un operatore A inverso di S, con dom A = im S

(si noti che, in quest’esempio particolare, A è la restrizione di T ad im S). Dunque, A

verifica

ASx = x ∀x ∈ l2

ma non verifica SAx = x per ogni x di l2.

Invece, si verifica facilmente l’esistenza di un operatore lineare B che verifica TBx =

x per ogni x ∈ l2. Non vale però BTx = x per ogni x ∈ l2 nonostante che si stiano

considerando trasformazioni da l2 in sé.

Queste considerazioni suggeriscono la seguente definizione:

Definizione 5.86. Sia K un operatore lineare, limitato o meno, da X in Y . Se un

operatore A, con dominio im K , verifica

AKx = x ∀x ∈ X ,

l’operatore A si chiama inverso sinistro di K . Se un operatore lineare B verifica

KBy = y ∀y ∈ Y

l’operatore B si chiama inverso destro di K .

Un operatore che è sia inverso destro che sinistro di K si chiama inverso di K e si

indica col simbolo K−1.

Si noti che la definizione di linearità è stata esplicitamente richiesta nella definizione

di inverso destro, ma non in quella di inverso sinistro. Ciò perché:

Teorema 5.87. Un operatore lineare K da X in Y ammette inverso sinistro se e

solo se kerK = 0. In tal caso l’inverso sinistro è unico, ed è lineare.

285

5. SPAZI DI BANACH

DIMOSTRAZIONE

Se esiste l’inverso sinistro A di K allora per ogni x ∈ domK vale:

x = AKx

e quindi se Kx = 0 si ha anche x = 0. Dunque, l’esistenza dell’inverso sinistro implica

kerK = 0, ossia che K è iniettivo.

Viceversa, sia kerK = 0. Allora K, essendo lineare, è (univoco e) iniettivo. Il suo

inverso sinistro è l’operatore che a Kx associa x.

La definizione di inverso sinistro mostra che il suo grafico in Y × X è l’insieme

(Kx, x) | x ∈ X. Questo è un s.spazio percé l’operatore K è lineare; e quindi anche

l’inverso sinistro, avendo per grafico un s.spazio, è lineare, si veda il teorema 5.58.

Per contrasto si noti che l’inverso destro non è unico e che possono anche esistere

operatori B non lineari che verificano l’uguaglianza KBy = y per ogni y:

Esempio 5.88. Sia X = Y = l2. Sia T l’operatore introdotto nell’esempio 5.85.

Per ogni numero naturale n e per ogni numero reale α, definiamo Bn,α ponendo

Bn,α(y1, y2, y3, . . .) = (αyn1 , y1, y2, y3, . . .) .

L’operatore Bn,α è non lineare se n > 1 ed è lineare se n = 1. Per ogni scelta di n e

di α si ha: TBn,αy = y per ogni y ∈ l2.

In particolare si vede la non unicità dell’inverso destro perfino con la condizione che

esso debba essere lineare.

Le considerazioni precedenti suggeriscono di privilegiare lo studio dell’inverso

sinistro. Approfondendo tale studio, notiamo che non c’è relazione tra continuità di

un operatore e continuità del suo inverso sinistro, come ora vediamo:

Esempio 5.89. Mostriamo l’esempio di un operatore continuo ed invertibile, con

inverso sinistro non continuo.

Sia X = Y = l2 e sia A l’operatore definito da

A(x1, x2, x3, x4, . . .) = (x1,12x2,

13x3,

14x4, . . .) .

286

5. SPAZI DI BANACH

E’ facile vedere che l’operatore A è continuo e iniettivo, e che il suo inverso sinistro,

definito su im A, è l’operatore non continuo B:

B(y1, y2, y3, . . .) = (y1, 2y2, 3y3, . . .) .

Per avere un esempio di operatore illimitato il cui inverso è limitato, si scambino i

ruoli degli operatori A e B appena introdotti.

E’ facile dare un test per la limitatezza dell’inverso sinistro: sia B inverso sinistro di

A. Per definizione, l’operatore B è limitato se e solo se esiste ρ > 0 tale che

||By||X ≤ ρ||y||Y ∀y ∈ domB .

Un elemento y è in domB se e solo se esiste x per cui y = Ax e quindi la

disuguaglianza precedente equivale a

m||x||X ≤ ||Ax||Y 5.38

(con m = 1/ρ > 0). Questa condizione implica anche che kerA = 0. Dunque:

Teorema 5.90. L’operatore A ammette inverso sinistro continuo se e solo se esiste

m > 0 (disuguaglianza stretta!) per cui vale 5.38.

La condizione 5.38 non è di facile verifica ed in generale non è facile costruire

l’espressione esplicita dell’inverso. Un caso semplice ed importante è il seguente:

Teorema 5.91. Sia A ∈ L(X), con ||A|| < 1 (disuguaglianza stretta!) e si consideri

l’operatore I − A. L’operatore I − A è iniettivo e suriettivo, ossia invertibile, ed è

(I − A)−1 =+∞∑k=0

Ak . 5.39

DIMOSTRAZIONE

Sia q < 1 tale che ||A|| < q, ossia tale che ||Ax|| ≤ q||x|| per ogni x. Vale:

||(I − A)x|| = ||x − Ax|| ≥˛˛ ||x|| − ||Ax||

˛˛ = ||x|| − ||Ax|| ≥ (1 − q)||x|| .

287

5. SPAZI DI BANACH

Dunque, l’operatore I −A ammette l’inverso sinistro continuo, per il Teorema 5.90. Per

trovare un’espressione per l’inverso sinistro consideriamo la serie in 5.39 (suggerita

dalla serie geometrica!) Mostriamo prima di tutto che essa converge in L(X). Per

questo consideriamo la successione delle somme parziali

Sn =nX

k=1

Ak .

Si ha:

||Sn − Sn+m|| =

˛˛˛˛ n+mXk=n+1

Ak

˛˛˛˛ ≤ n+mX

k=n+1

||Ak|| ≤n+mX

k=n+1

qk .

Essendo q ∈ [0, 1) si ha che la successione delle somme parziali è fondamentale e

quindi convergente in L(X).

Notiamo che, in particolare,

||Ak|| ≤ ||A||k ≤ qk così che limk

Ak = 0 .

Per definizione +∞Xk=1

Ak

!x =

lim

k

nXk=1

Ak

!x = lim

k

nX

k=1

Akx

!=

+∞Xk=1

Akx .

Dunque: +∞Xk=0

Ak

!(I − A)x =

+∞Xk=0

Akx −+∞Xk=0

Ak+1x

= lim

(nX

k=0

Akx −nX

k=0

Ak+1x

)= limx − Ak+1x = x

e quindi la serie in 5.39 rappresenta l’inverso sinistro di (I − A). Con calcoli analoghi

si vede che è anche inverso destro, e quindi inverso. In particolare segue che I − A è

suriettivo.

La serie 5.39 si chiama serie di von Neumann.

Sottolineiamo ora che un operatore ammette inverso quando ammette sia inverso

destro che sinistro; in particolare quando è sia iniettivo che suriettivo. Conviene

indebolire un po’ questa definizione.

288

5. SPAZI DI BANACH

Definizione 5.92. Sia A lineare da X in Y con dominio denso in X e con

immagine densa in Y . Sia A iniettivo. L’inverso sinistro di A, definito su im A

ed a valori in dom A, si chiama inverso di A.

Il simbolo A−1 si usa anche per indicare l’inverso di A, nel senso generalizzato che

abbiamo ora definito.

Notiamo infine:

Teorema 5.93. Siano A e B operatori lineari ambedue invertibili con

im B ⊆ dom A .

Siano continui gli operatori inversi A−1 e B−1. Allora (AB)−1 esiste e vale

(AB)−1 = B−1A−1 .

DIMOSTRAZIONE

Immediato, notando che dom AB = dom B e che

B−1A−1ABx = x ∀x ∈ domA .

5.8. IL TEOREMA DI BAIRE E LE SUE CONSEGUENZE

Una semplice osservazione che vale in R2 è la seguente: gli iperpiani per 0 in questo

caso sono rette di equazione y = mx oppure x = 0. Esse sono parametrizzate dal

punto in cui intersecano la circonferenza x2 + y2 = 1. Dunque R2 non è unione di

una famiglia numerabile di rette per 0; e questa osservazione si generalizza a rette

qualsiasi, ed a dimensione n > 2. Vediamo come questo risultato si estende ad un

generico spazio di Banach.

Proveremo il teorema seguente, non ovvio nemmeno in dimensione finita:

Teorema 5.94 (di Baire). Sia X uno spazio di Banach e sia (An) una successione

di s.insiemi di X , ciascuno dei quali è chiuso e privo di punti interni. Allora,

289

5. SPAZI DI BANACH

⋃An = X .

Rimandando alla fine di questo paragrafo la dimostrazione, illustriamo varie

conseguenze importanti di questo teorema.

Notiamo prima di tutto che un s.spazio di X , diverso da X stesso, non ha punti interni.

Dunque vale in un generico spazio di Banach la proprietà che abbiamo notato sopra

per R2, che conviene enunciare come segue:

Teorema 5.95. Sia (Xn) una successione di s.spazi di uno spazio di Banach X .

Se X = ∪Xn allora esiste n0 tale che X = Xn0 .

Il Teorema di Baire è un potente strumento per lo studio delle proprietà degli operatori

lineari tra due spazi di Banach X ed Y . Esso talvolta si usa direttamente; più spesso

interviene grazie ai quattro teoremi seguenti. Il primo che presentiamo va sotto il nome

di Teorema di Banach-Steinhaus. Esso concerne s.insiemi A di L(X, Y ). Ricordiamo

che L(X, Y ) è uno spazio normato e quindi ha senso investigare quando A è un

s.insieme limitato di L(X, Y ). Ciò avviene se esiste M tale che ||A|| ≤ M per ogni

A ∈ A.

Fissiamo ora un qualsiasi elemento x ∈ X e consideriamo l’insieme dei “valori”

Ax, A ∈ A. Questo è un s.insieme di Y che è limitato se l’insieme A è limitato in

L(X, Y ). Infatti, ||Ax||Y ≤ ||A|| · ||x|| ≤ M · ||x|| per ogni A ∈ A. Il teorema di

Banach-Steinhaus permette di invertire questa proprietà:

Teorema 5.96 (di Banach-Steinhaus). Sia A un s.insieme di L(X, Y ).

Supponiamo che per ogni x ∈ X esista un numero Mx tale che

||Ax|| ≤ Mx ∀A ∈ A . 5.40

(Sottolineiamo: Mx indipendente da A ∈ A). In questo caso A è un s.insieme

limitato di L(X, Y ).

DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con Xn ⊆ X l’insieme

Xn = x | ||Ax|| ≤ n ∀A ∈ A .

290

5. SPAZI DI BANACH

La condizione 5.40 mostra che

[Xn = X .

Consideriamo ora un operatore A ∈ A. Essendo A continuo, l’insieme x | ||Ax|| ≤ n

è chiuso e quindi

Xn =\

A∈Ax | ||Ax|| ≤ n

è esso stesso chiuso. Abbiamo quindi una famiglia di chiusi la cui unione è X. Per il

Teorema di Baire, uno almeno deve avere punti interni. Sia esso X N . Esiste x0 ∈ XN

ed esiste ε > 0 per cui

x0 + x | ||x|| ≤ ε ⊆ XN .

Dunque, se ||x|| < ε si ha

||Ax|| ≤ ||A(x + x0)|| + ||Ax0|| ≤ N + ||Ax0|| = N + Mx0 = M ,

con M indipendente da A. Ciò prova la limitatezza del s.insieme A di L(X, Y ).

Il Teorema di Banach-Steinhaus permette di passare da un’informazione puntuale,

la limitatezza dell’insieme dei valori assunti in ciascun punto x, ad una limitatezza

uniforme sulla sfera x | ||x|| ≤ 1. Per questo esso va anche sotto il nome di

Teorema della limitatezza uniforme.

In dimensione finita una trasformazione lineare invertibile non può “schiacciare” un

aperto trasformandolo in un s.insieme di un s.spazio proprio. Si ricordi il ruolo

importante di questa proprietà nella dimostrazione del teorema della funzione inversa

e della funzione implicita.

Una proprietà analoga vale anche in spazi di Banach:

Teorema 5.97 (della mappa aperta). Siano X ed Y spazi di Banach e sia A ∈

L(X, Y ). Se A è suriettiva allora l’immagine di ogni aperto di X è un aperto di Y .

291

5. SPAZI DI BANACH

Posponiamo la dimostrazione presentando invece due conseguenze del Teorema di

Baire che si provano più facilmente mediante il teorema della Mappa aperta. Esse

riguardano questo problema: abbiamo visto che gli operatori lineari tra X ed Y

possono essere discontinui se X ha dimensione infinita. Gli esempi che abbiamo

visto di operatori discontinui sono però esempi di operatori il cui dominio non è tutto

X . Ci chiediamo se quando il dominio è tutto lo spazio allora l’operatore debba essere

continuo. La risposta è negativa:

Teorema 5.98. Siano X ed Y spazi di Banach. Esistono operatori lineari da X in

Y , definiti su X e non continui.

Si veda l’osservazione 5.133.

Però:

Teorema 5.99 (di Banach). Siano X ed Y spazi di Banach e sia A ∈ L(X, Y ) una

trasformazione lineare iniettiva da X in Y . Se l’immagine di A è chiusa allora la

trasformazione lineare A−1 (definita su imA) è continua.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che, per definizione di L(X, Y ), un operatore A ∈ L(X, Y ) ha dominio

uguale ad X.

L’immagine di una trasformazione lineare è un s.spazio e in questo caso l’immagine è

chiusa; dunque l’immagine di A è essa stessa uno spazio di Banach. Sostituendo Y

con imA, possiamo supporre che A sia anche suriettiva.

La trasformazione inversa di A−1, che è A, è suriettiva: per il teorema della mappa

aperta, A =`A−1

´−1 ∈ L(X, Y ) trasforma aperti in aperti; e quindi A−1 è continua.

Diamo infine un test importante per provare la continuità direttamente di un operatore

(e non del suo operatore inverso).

292

5. SPAZI DI BANACH

Si prova facilmente che se A ∈ L(X, Y ) (e quindi domA = X) allora il grafico di A

è chiuso in X × Y .

Vale anche l’implicazione opposta:

Teorema 5.100 (del grafico chiuso). Siano X ed Y spazi di Banach e sia A un

operatore lineare da X in Y , con dominio uguale ad X . Se il grafico di A è chiuso

allora A è continuo.

DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con G il grafico di A. Per ipotesi, G è un s.spazio chiuso dello spazio di

Banach X × Y ; e quindi è esso stesso uno spazio di Banach.

Introduciamo i due operatori, ovviamente lineari e continui:

P : G → Y , P (x,Ax) = Ax

Π : G → X , Π(x,Ax) = x .

Oltre che continuo, l’operatore Π è suriettivo, perché domA = X per ipotesi; ed è

iniettivo perchè se Ax1 = Ax2 allora x1 = x2. Dunque esiste Π−1 e, per il Teorema di

Banach, Π−1 è continuo. Dunque,

Ax = P (Π−1x)

è continua.

Bisogna notare che esistono anche operatori lineari il cui grafico è chiuso ma che

non sono continui. Naturalmente, il loro dominio non sarà tutto lo spazio. Definiamo

quindi:

Definizione 5.101. Sia A uno operatore lineare tra due spazi di Banach X ed Y .

L’operaore A si dice chiuso quando il suo grafico è chiuso in X × Y .

L’esempio seguente mostra che operatore chiusi ma non continui non solo esistono

ma sono anche importanti per le applicazioni:

293

5. SPAZI DI BANACH

Esempio 5.102. Sia X = Y = C(0, 1) e sia

domA = C1(0, 1) , Ax = x′ .

Se x ∈ domA, vale

x(t) = x(0) +∫ t

0

x′(s) ds .

Come si verifica facilmente, l’operatore A non è continuo. Proviamo che il suo

grafico è chiuso. Consideriamo quindi una successione nel grafico che è convergente

e mostriamo che essa converge ad un punto del grafico. Sia quindi

(xn, Axn) → (x0, y0) .

Dobbiamo provare che x0 ∈ domA e che Ax0 = y0.

Si noti che y0 è limite uniforme delle funzioni continue Axn e quindi y0 è una funzione

continua. Dunque dobbiamo provare che si può scrivere

x0(t) = x0(0) +∫ t

0

y0(s) ds .

Questa uguaglianza segue da

xn(t) = xn(0) +∫ t

0

x′n(s) ds

e da xn → x0 uniformemente su [0, 1]

x′n → y0 uniformemente su [0, 1].

Osserviamo infine:

Corollario 5.103. Siano X , Y e Z tre spazi di Banach. Sia A ∈ L(X, Y ) e sia B

un operatore lineare chiuso da Y in Z . Se

im A ⊆ dom B

allora l’operatore composto BA è continuo.

DIMOSTRAZIONE

Si vede facilmente che BA è definito su X, ed è chiuso. Dunque è continuo.

294

5. SPAZI DI BANACH

5.8.1 Proiezioni

Un operatore P ∈ L(X) si dice una proiezione se

P 2 = P .

Si noti che le proiezioni vengono sempre a coppie. Infatti,

Teorema 5.104. L’operatore P è una proiezione se e solo se l’operatore I − P è

una proiezione. Inoltre, imP ∩ im(I − P ) = 0.

DIMOSTRAZIONE

Infatti,

(I − P )(I − P ) = I − P − P + P 2 = I − P

se e solo se P 2 = P ossia se e solo se P è una proiezione.

Se x = Px′ = (I − P )x′′ allora

Px′ = x′′ − Px′′ da cui Px′ = Px′′ − P 2x′′ = Px′′ − Px′′ = 0

e quindi x = Px′ = 0.

Inoltre:

Teorema 5.105. L’immagine di una proiezione è un s.spazio chiuso di X .

DIMOSTRAZIONE

Sia infatti (Pxn) una successione in imP , Pxn → y0. Dobbiamo provare che y0 ∈ imP .

Poniamo yn = Pxn e notiamo che

Pyn = P 2xn = Pxn → y0

e d’altra parte, essendo P continua, Pyn = P 2yn → Py0. Dunque, y0 = Py0 ∈ imP .

Di conseguenza, ogni proiezione identifica sempre una coppia di s.spazi chiusi:

l’immagine di P e quella di (I−P ). Questi s.spazi hanno in comune solo l’elemento

0. Inoltre, ogni x si rappresenta come

x = Px + (I − P )x .

295

5. SPAZI DI BANACH

Questa formula suggerisce un legame tra operatori di proiezione e complementare.

Vale infatti:

Teorema 5.106. L’immagine di una proiezione P è un s.spazio chiuso di X , dotato

di complementare chiuso. Viceversa, sia X1 un s.spazio di X chiuso e dotato di

complementare chiuso X2. Esiste una proiezione P la cui immagine è X1.

DIMOSTRAZIONE

Sia P una proiezione ed X1 = imP . Definiamo

X2 = im(I − P ) .

Si è già visto che X1 ∩ X2 = 0 e

X1 + X2 = Px + (I − P )y | x ∈ X , y ∈ Y = X .

Dunque, l’immagine di P è un s.spazio dotato di complementare.

Viceversa, sia

X = X1 ⊕ X2 ,

somma diretta di due s.spazi chiusi. Questo vuol dire che per ogni x esistono x 1 ed x2

unici e tali che

x = x1 + x2 . 5.41

Si definisca Px = x1 = x1 + 0. Segue da qui che P (Px) = x1.

L’operatore P è lineare perchè se x ′ = x′1 + x′

2, x′′ = x′′1 + x′′

2 , allora αx′ + βx′′ =

α(x′1 + x′

2) + β(x′′1 + x′′

2 ) = (αx′1 + βx′

2) + (αx′′1 + βx′′

2 ); e quindi P (αx′ + βx′′) =

(αx′1 + βx′

2) = αPx′ + βPx′′. Se possiamo provare la continuità di P , abbiamo che P

è una proiezione.

L’operatore P è definito su X e quindi, per provare che è continuo, basta provare

che è chiuso. Sia quindi (xn) una successione convergente ad x0 e sia yn = Pxn.

Supponiamo che (yn) converga ad y0.

L’uguaglianza 5.41 mostra l’esistenza di un elemento zn ∈ X2 tale che

xn = Pxn + zn = yn + zn .

Di conseguenza, anche la successione (zn) converge, a z0 = x0 − y0.

296

5. SPAZI DI BANACH

I s.spazi essendo chiusi, vale y0 ∈ X1, z0 ∈ X2. Essendo inoltre

x0 = y0 + z0 , si ha Px0 = y0 .

Segue da qui che l’operatore P è chiuso e quindi continuo; dunque è una proiezione.

Si consideri ora un esempio.

Esempio 5.107. Sia X = R2 normato dalla usuale norma

||(ξ, η)|| =√

ξ2 + η2

e siano

X1 = (ξ, 0) | ξ ∈ R , X2 = r(cos θ, sin θ) | r ∈ R

ove θ ∈ (0, π/2) è fissato. Dunque, X2 è una retta per l’origine, non coincidente con

X1.

Ogni punto x = (ξ, η) può rappresentarsi nella forma

x = (ξ − η

sin θcos θ, 0) +

η

sin θ(cos θ, sin θ) ,

si veda la figura seguente.

L’operatore P :

P (ξ, η) = (ξ − η

sin θcos θ, 0)

è una proiezione.

L’operatore P dipende dalla scelta di θ, P = Pθ .

La norma di Pθ è

maxξ2+η2=1

∣∣ξ − ηsin θ cos θ

∣∣√ξ2 + η2

≥ |cotg θ| .

Dunque,

limθ→0

||Pθ|| = +∞ .

297

5. SPAZI DI BANACH

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 5.3.

5.8.2 Appendice: Applicazioni

Il Teorema di Baire e le sue conseguenze sono strumenti potenti per provare l’esistenza

di oggetti dalle proprietà “strane”. Mostriamo due esempi.

Si costruiscono “esplicitamente”, come somma di serie uniformemente convergenti

di funzioni continue, delle funzioni che, pur essendo continue, non hanno derivata in

nessun punto. Una dimostrazione, dovuta a Banach, dell’esistenza di tali funzioni si

basa sul Teorema di Baire.

Teorema 5.108. Esistono funzioni continue su un intervallo [a, b], ovunque prive di

derivata.

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo in C(0, 1) il s.insieme An i cui elementi sono funzioni f con questa

proprietà: esiste x ∈ [0, 1 − 1n] ed esiste h ∈ (0, 1 − x) tale che

|f(x + h) − f(x)| ≤ nh .

298

5. SPAZI DI BANACH

Si prova che:

– L’insieme An è chiuso e privo di punti interni.

Accettando queste proprietà che proveremo più avanti, il Teorema di Baire mostra che

esiste una funzione continua f(x) che non appartiene a ∪A n.

Se f /∈ ∪An allora per ogni x e per ogni h vale

|f(x + h) − f(x)| > nh

e ciò per ogni n; ossia il rapporti incrementale è illimitato e quindi la derivata f ′(x) non

esiste, e ciò per ogni x.

Per completare la dimostrazione, mostriamo che gli insiemi A n sono chiusi e privi di

punti interni.

Proviamo prima di tutto che An è chiuso. Sia per questo fk → f (uniformemente su

[0, 1]), con fk ∈ An. Dunque, esiste xk ∈ [0, 1 − 1/n] tale che

|fk(xk + h) − fk(xk)| ≤ nh .

Passando ad una s.successione, si può assumere xk → x0 ∈ [0, 1 − 1/n]. Vale:

|f(x0 + h) − f(x0)|

≤ |f(x0 + h) − fk(x0 + h)| 5.42

+|fk(x0 + h) − fk(xk + h)| 5.43

+|fk(xk + h) − fk(xk)| 5.44

+|fk(xk) − fk(x0)| 5.45

+|fk(x0) − f(x0)| . 5.46

Il termine5.44 verifica

|fk(xk + h) − fk(xk)| ≤ nh

Essendo f limite uniforme di fk, per k sufficientemente grande i due addendi 5.42 ed5.46

sono minori di un prefissato ε > 0.

Usiamo ora il Teorema di Ascoli-Arzelà: essendo convergente, la successione (f k) è

equicontinua e: ||(x0+h)−(xk+h)|| → 0. Dunque, per k grande, anche gli addendi 5.43

e5.45 sono minori di ε.

299

5. SPAZI DI BANACH

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

Fig. 5.4.

Ricapitolando, la funzione f verifica, per ogni ε > 0,

|f(x0 + h) − f(x0)| ≤ nh + 4ε e, essendo ε arbitrario, |f(x0 + h) − f(x0)| ≤ nh .

Ciò prova che ciascuno degli insiemi An è chiuso. Proviamo ora che ciascuno di essi è

privo di punti interni. Fissato n ed f ∈ An, proviamo che per ogni ε > 0 esiste ζ /∈ An

che dista da f meno di ε.

Si sa che esistono funzioni g continue e lineari a tratti tali che

||f − g|| < ε/2 .

Basta quindi provare che data una qualunque g continua e lineare a tratti si può

costruire ζ /∈ An, che dista meno di ε/2 da g. Sia per questo

φ(x) = distanza di x dall’intero più vicino.

Il grafico di φ(x) è in figura 5.4:

Fissiamo quindi una funzione g lineare a tratti. Essa è lipschitziana e quindi soddisfa

|g(x) − g(x′)| < r|x − x′| per un r opportuno. Sia ζ la funzione

ζ(x) = g(x) + εφ(mx) .

300

5. SPAZI DI BANACH

Chiaramente, per ogni m, ||g − ζ|| ≤ ε/2. Vogliamo mostrare che, per un’opportuna

scelta di m, ζ /∈ An. Notiamo

|ζ(x) − ζ(x′)| ≥˛˛ ε|φ(mx) − φ(mx′)| − |g(x) − g(x′)|

˛˛

=

˛˛ εm|x − x′| − |g(x) − g(x′)|

˛˛ ≥ (εm − r)|x − x′|

se m > r/ε, con x′ tale che |x − x′| < 1/2m. Se ora m verifica anche m > (n + r)/ε,

allora ζ /∈ An. Ciò completa la dimostrazione.

Sia ora f(x) una funzione continua su [−π, π]. Si associ ad essa la serie

+∞∑n=−∞

fneinx , fn =12π

∫ +π

−π

f(s)e−ins ds

che si chiama la serie di Fourier della funzione f(x). Sotto ipotesi di regolarità, per

esempio se la funzione f(x) è di classe C1 e inoltre f(−π) = f(π), la serie converge

ad f(x) e questa condizione può indebolirsi, ma non fino alla sola continuità. Infatti:

Teorema 5.109. Esiste una funzione continua f su [−π, π] tale che f(0) = f(2π)

e tale che inoltre la serie di Fourier ad essa associata non converge in nessun punto.

DIMOSTRAZIONE

Indichiamo con CP (−π, π) il s.spazio di C(−π, π) i cui elementi sono funzioni continue

che verificano

f(−π) = f(π) .

Si vede facilmente che questo è un s.spazio chiuso di C(−π, π), e quindi esso stesso

uno spazio di Banach.

Studiamo le somme parziali della serie di Fourier. Indichiamo per questo con F N

l’operatore definito su CP (−π, π) da

(FNf)(x) =NX

n=−N

fneinx =1

2π

Z π

−π

f(s)NX

n=−N

ein(x−s) ds .

Si provi che

DN (x) =NX

n=−N

einx =sin(N + 1/2)x

sin x/2.

La funzione DN (x) si chiama nucleo di Dirichlet.

301

5. SPAZI DI BANACH

Dunque,

(FNf)(x) =1

2π

Z π

−π

f(s)sin[(N + 1/2)(x − s)]

sin[(x − s)/2]ds .

Facciamo vedere che esiste una funzione f ∈ CP (−π, π) tale che

supN

|(FN f)(x)| = +∞

per ogni x. Ciò vuol dire che la serie di Fourier di questa funzione f non converge per

nessun valore di x.

Per completare la dimostrazione basta quindi provare l’esistenza di f . Supponiamo

che tale funzione f non esista. Allora esiste un punto x 0 ∈ [−π, π] tale che per ogni

f ∈ CP (−π, π) si ha:

supN

|(FNf)(x0)| < +∞ .

In tal caso per ogni f ∈ CP (−π, π) esiste Mf per cui

|(FNf)(x0)| < Mf

per ogni N . E quindi, per il teorema di Banach–Steinhaus, esiste M = M(x 0),

indipendente da N , tale che

|(FNf)(x0)| < M(x0)||f ||CP (−π,π) .

Indicando con Fx0,N il funzionale che ad f ∈ CP (−π, π) associa (FNf)(x0), la

disuguaglianza precedente si scrive

||Fx0,N || < M(x0) ; 5.47

ossia, la famiglia dei funzionali lineari e continui F x0,N è limitata. Calcoliamo

esplicitamente la norma del funzionale Fx0,N e mostriamo che ciò non vale.

Per semplicità limitiamoci a fare il calcolo con x 0 = 0. In questo caso

F0,Nf =1

2π

Z π

−π

DN (t)f(t) dt .

e

|F0,N f | ≤ 1

2π

Z π

−π

|DN (t)f(t)|dt ≤„

1

2π

Z π

−π

|DN (t)|dt

«||f ||CP (−π,π)

302

5. SPAZI DI BANACH

così che

||F0,N || ≤ 1

2π

Z π

−π

|DN (t)|dt . 5.48

In realtà vedremo che vale l’uguaglianza. Accettando ciò,

||F0,N || =1

2π

Z π

−π

|DN (t)|dt =1

2π

Z π

−π

˛˛ sin[(N + 1/2)t]

sin t/2dt

˛˛

>1

π

Z π

−π

˛˛ sin[(N + 1/2)t]

t

˛˛ dt =

2

π

Z (N+1/2)π

0

| sin t|t

dt

≥ 2

π

N−1Xk=0

Z (k+1)π

kπ

| sin t|t

dt ≥N−1Xk=0

2

(k + 1)π2

Z (k+1)π

kπ

| sin t| dt

=4

π2

2nXk=0

1

(k + 1)−→ +∞ .

Ciò contrasta con la 5.47 e mostra che la funzione f esiste.

Accenniamo ora alla dimostrazione del fatto che l’uguaglianza vale nella formula 5.48.

Per mostrare ciò è sufficiente trovare una successione di funzioni (f k) di norma al più

uguale ad 1 e tale che

limk

|F0,Nfk| =1

2π

Z π

−π

|DN (t)| dt 5.49

Introduciamo per questo la funzione

y(x) = sign DN (x)

e una successione (fk) di funzioni continue convergente puntualmente ad y e inoltre

limitata da 1. L’uguaglianza 5.49 vale per questa successione di funzioni.



Dimostrazione del TEOREMA 5.94, Teorema di Baire.

Premettiamo un’osservazione: Sia Bn una successione di palle contenuta ciascuna

nella precedente:

Bn = x | ||x − xn|| < εn ⊆ x | ||x − xn−1|| < εn−1 = Bn−1

303

5. SPAZI DI BANACH

così che

||xn − xn+m|| < εn .

Sia lim εn = 0. Da

||xn − xn+m|| < εn

si vede che la successione (xn) è fondamentale ossia convergente,

limxn = x .

Il punto x appartiene alla chiusura di Bn per ogni n:

x ∈⋂n

cl Bn .

Sia ora (An) una successione di insiemi chiusi e (Bn) una successione di palle con le

proprietà appena dette e tali che, inoltre,

(cl Bn) ∩ An = ∅ . 5.50

Allora, x non appartiene a An per nessun n, grazie alla 5.50:

x /∈⋃

An .

Per provare il Teorema di Baire, costruiamo una successione di palle Bn che ha le

proprietà dette sopra rispetto alla successione di insiemi (An), chiusi e privi di punti

interni. Ciò porterà a trovare che x /∈ ∪An e quindi ∪AN = X . Scegliamo x1 /∈ A1 e

una palla B1 di centro x1 e raggio minore di 1, tale che (cl B1) ∩ A1 = ∅. Sia ε1 > 0

il suo raggio. Non è restrittivo assumere ε1 < 1.

La palla B1 esiste perché A1 è chiuso e, essendo privo di punti interni, non è uguale

ad X .

La palla B1 non è contenuta in A2 perché A2 non ha punti interni. Dunque in

B1 esite un punto x2 /∈ A2 e quindi interno al complementare dell’insieme chiuso

A2. Possiamo quindi scegliere una palla B2 di centro x2, contenuta in B1 e di raggio

minore di ε1/2 < 1/2, tale che (cl B2) ∩ A2 = ∅.

Sia ε2 > 0 il raggio di B2.

Procedendo per induzione, scelti i punti x1, . . . , xk e le corrispondenti palle B1, . . . ,

Bk, scegliamo in Bk un punto xk+1 /∈ Ak+1 e una sfera di centro xk+1 e raggio

304

5. SPAZI DI BANACH

minore di εk/2 < 1/2k, tale che (cl Bk+1) ∩ Ak+1 = ∅. Sia εk+1 > 0 il raggio di

questa sfera.

La costruzione dei punti xk e delle palle Bk può farsi perché gli Ak non hanno punti

interni e sono chiusi.

Dato che εk → 0, esiste x = limxk e x ∈ ∩ncl Bn, ossia x ∈ cl Bn. Se fosse

x ∈ ∪Ak allora avremmo x ∈ Aj per almeno un indice j. E quindi avremmo

contemporaneamente x ∈ Aj , x ∈ cl Bj . Ciò contrasta con la costruzione di Bj

e quindi x /∈ ∪Ak. Ossia

⋃Ak = X ,

come si voleva provare.

Dimostrazione del TEOREMA 5.97, Teorema della mappa aperta.

In questa dimostrazione interverrà la “differenza algebrica” di insiemi C, D di Y :

C − D = c − d | c ∈ C , d ∈ D =⋃

d∈D

(C − d) .

Si noti che C − C = ∅ (e anche che C − C = 0, salvo nel caso in cui C ha un unico

elemento).

Se C ha interno non vuoto anche

C − D =⋃

d∈D

(C − d)

ha interno non vuoto grazie alla continuità delle traslazioni, per ogni insieme D (e

quindi anche per D = C).

Inoltre, se C contiene punti interni, allora (cl C) − (cl C) contiene un intorno di 0.

Proviamo ora il teorema 5.97. Ricordiamo che per definizione, un operatore A ∈L(X, Y ) ha dominio uguale ad X .

Per provare che l’operatore A, suriettivo, trasforma aperti in aperti, è sufficiente

mostrare che l’immagine di una palla

BX,r = x ∈ X | ||x|| < r

305

5. SPAZI DI BANACH

contiene una palla BY,σ,

BY,σ = y ∈ Y | ||y|| < σ .

Ciò prova che A0 è interno ad im A e, per traslazione, si trova che Ax0 è interno ad

im A per ogni x0 (nuovamente, si usa la continuità delle traslazioni).

Precisamente, proveremo che esiste un intorno W di 0 in Y che è contenuto in

A(BX,2). Useremo per questo l’inclusione seguente, che vale per ogni r > 0 ed

r′ > 0:

BX,r − BX,r′ ⊆ BX,r+r′ . 5.51

Consideriamo le palle

BX,2n = x ∈ X | ||x|| < 2n .

Dato che

X =⋃n

BX,2n

e che A è suriettivo, si trova

Y =⋃n

cl (A(BX,2n))

e quindi, per il teorema di Baire almeno uno degli insiemi cl (A(BX,2n)) ha

punti interni. Moltiplicando per numeri positivi si vede che ciascuno degli insiemi

cl (A(BX,r)) contiene punti interni, grazie alla continuità della moltiplicazione per

scalari.

Da 5.51 si ha che

cl A(BX,r) − cl A(BX,r) ⊆ cl [A(BX,r) − A(BX,r)] ⊆ cl A(BX,2r)

e quindi ciascun insieme cl A(BX,2r) contiene un intorno di 0. Naturalmente, r è

arbitrario: ogni insieme cl A(BX,r) contiene un opportuno intorno di 0.

Rimane da provare che A(BX,r) stesso contiene un intorno di 0. Sia W un intorno

di 0 contenuto in clA(BX,1). Completiamo la dimostrazione mostrando che W ⊆A(BX,2). Per questo basta provare

306

5. SPAZI DI BANACH

cl A(BX,1) ⊆ A(BX , 2) .

Ciò mostriamo ora. Sia per questo y ∈ cl A(BX,1). Mostriamo che y ∈ A(BX,2).

Si sa che cl A(BX,1/2) contiene un intorno di 0. Dunque esiste x1 ∈ BX,1 tale che

||y − Ax1|| è così piccolo da aversi y − Ax1 ∈ cl A(BX,1/2).

In modo analogo, cl ABX,1/4 contiene un intorno di 0 e quindi esiste x2 ∈ BX,1/2

per cui (y − Ax1) − Ax2 ∈ cl A(BX,1/4). Iterando questo procedimento per ogni n

si trova

x1 ∈ BX,1 tale che y − Ax1 ∈ cl A(BX,1/2) cioè ||y − Ax1|| ≤ 1/2

x2 ∈ BX,1/2 tale che (y − Ax1) − Ax2 ∈ cl A(BX,1/4) cioè ||(y − Ax1) − Ax2|| ≤ 1/4

...

xn ∈ BX,1/2n tale che y − Pnk=1 Axn ∈ cl A(BX,1/2n ) cioè ||y − P

nk=1 Axn|| ≤ 1/2n .

Sia ora

x =+∞∑i=1

xi così che ||x|| ≤+∞∑i=1

12n

< 2 .

Per questo vettore x vale

||y − Ax|| = lim ||y − Axn|| ≤ lim12n

= 0 , ossia y = Ax con ||x|| < 2 .

Ciò mostra che ogni y ∈ cl A(BX1 ) è anche in A(BX,2) e conclude la dimostrazione.

5.9. LO SPAZIO DUALE

Abbiamo già visto la relazione tra i funzionali lineari e continui su X e la nozione

geometrica di iperpiano. Ciò suggerisce di studiare più a fondo i funzionali lineari

continui, sia singolarmente che nel loro insieme, studiando le proprietà dello spazio

di Banach X∗.

E’ ovvio che il funzionale 0, quello che ad ogni elemento di X associa l’elemento

nullo del campo scalare, è in X ∗. Non è affatto ovvio che esistano altri elementi di

X∗. Infatti:

307

5. SPAZI DI BANACH

Teorema 5.110. Esistono spazi lineari X , dotati di una metrica rispetto alla quale

le operazioni di somma e moltiplicazioni per scalari sono continue e su cui nessun

funzionale lineare diverso da 0 è continuo.

Ossia, in tal caso, nello spazio X non si trovano iperpiani.


E’ quindi estremamente importante sapere che se X è uno spazio di Banach allora X ∗

ha “molti” elementi. Ciò è conseguenza del teorema seguente:

Teorema 5.111 (di Hahn-Banach). Sia X uno s.l.n. e sia Y un suo s.spazio. Sia

L0 un funzionale lineare continuo su Y . Esiste un’estensione di L ad X tale che

||L||X∗ = sup|Ly| | y ∈ Y , ||y||X = 1 .

Ossia, ogni funzionale lineare e continuo su Y può estendersi ad X senza alterarne la

norma.

Si noti che nell’enunciato precedente si può assumere che Y sia chiuso, perché

l’operatore L0 si può estendere per continuità alla chiusura del suo dominio.

Per certe applicazioni (allo studio degli insiemi convessi, si veda il paragrafo 5.9.1)

è necessario provare una versione un po’ più generale del Teorema 5.111; ossia è

necessario provare i due teoremi seguente:

Teorema 5.112. Sia X uno spazio lineare su R. Esista una funzione p: X → R

1. positivamente omogenea, ossia tale che p(tx) = tp(x) per ogni x e per ogni

t ≥ 0;

2. subadditiva, ossia tale che p(x + y) ≤ p(x) + p(y) per ogni x, y in X .

Sia Y un s.spazio di X e sia L0 un funzionale lineare definito su Y , tale che

L0x ≤ p(x) ∀x ∈ Y .

308

5. SPAZI DI BANACH

Esiste un’estensione L di L0 ad X che verifica

Lx ≤ p(x) ∀x ∈ X .

Teorema 5.113. Sia X uno spazio lineare su C e sia p da X in R una funzione tale

che:

1. p(tx) = |t| · p(x) per ogni x in X e per ogni t ∈ C;

2. p(x + y) ≤ p(x) + p(y).

Sia Y un s.spazio di X e sia L0 un funzionale lineare definito su Y , tale che

|L0x| ≤ p(x) ∀x ∈ Y . 5.52

Esiste un’estensione L di L0 ad X che verifica

|Lx| ≤ p(x) ∀x ∈ X .

Posponiamo le dimostrazioni, notando che la dimostrazione del Teorema 5.113 si

ridurrà, con un opportuno artificio, a quella del Teorema 5.112.

Dimostrazione del TEOREMA 5.111. La dimostrazione discende immediatamente

dai Teoremi 5.112 e 5.113. Sia

M = sup|L0x| | x ∈ Y , ||x|| = 1 , p(x) = M ||x|| .

Nel caso reale, dal Teorema 5.112 si vede l’esistenza di L, funzionale lineare su X ,

che estende L0 e tale che

Lx ≤ M ||x||

e quindi anche

−Lx = L(−x) ≤ M || − x|| = M ||x||

ossia

|Lx| ≤ M ||x|| . 5.53

309

5. SPAZI DI BANACH

Nel caso complesso la disuguaglianza 5.53 figura direttamente nell’enunciato del

Teorema 5.113. Dunque il Teorema 5.111 vale.

Mostriamo ora alcune conseguenze importanti. La prima è che X ∗, duale di X , ha

“molti” elementi. Più precisamente,

Teorema 5.114. Per ogni x0 = 0 in X ed ogni m ∈ F, esiste L ∈ X∗ tale che

Lx0 = m , ||L|| =m

||x0||. 5.54

DIMOSTRAZIONE

Si sceglie come spazio Y la retta per 0 ed x0,

Y = λx0 | λ ∈ F .

Il s.spazio ha dimensione 1 e su esso è facile definire

L0(λx0) = λm .

Il funzionale L0 verifica 5.54 sui soli elementi di Y . Si usa quindi il Teorema di Hahn-

Banach per estendere L ad X.

In particolare si può segliere m = 1 oppure m = ||x0|| oppure m = ||x0||2. In

particolare, con quest’ultima scelta si trova

||L|| = ||x0|| .

Invece, scegliendo m = ||x0||, si trova

Corollario 5.115. Sia x0 ∈ X . Vale:

||x0|| = max||L||X∗=1

|Lx0| .

DIMOSTRAZIONE

Si fissi x0 = 0 in X. Per ogni L ∈ X∗ di norma 1 si ha:

|Lx0| ≤ ||x0|| , ossia sup||L||X∗=1

||Lx0|| ≤ ||x0|| .

310

5. SPAZI DI BANACH

Il funzionale definito in 5.54 con m = ||x0|| ha norma 1 e per esso

|Lx0| = ||x0|| .

Osservazione 5.116. L’asserto del corollario precedente somiglia alla definizione

della norma di un funzionale,

||L|| = sup||x||=1

|Lx| 5.55

Ma abbiamo provato che In generale, l’estremo superiore in 5.55 non è un massimo,

si veda il teorema 5.73.

Ciò mostra una prima differenza importante tra uno spazio ed il suo duale, che

commenteremo in seguito nel contesto del Teorema di Banach-Alaoglu, Teorema 5.150.

Il Teorema 5.114 in particolare afferma che se un elemento x0 è diverso da 0 allora

esiste un funzionale L di X ∗ che “lo vede non nullo”; e, traslando, se x1 = x0, esiste

un L ∈ X∗ tale che

Lx1 = Lx0 .

Dunque, X∗ ha così tanti elementi da distinguere quelli di X . Geometricamente,

abbiamo provato l’esistenza di un iperpiano che non contiene ambedue gli elementi

x0 ed x1. Questa osservazione può essere estesa fino a “separare” mediante iperpiani

due insiemi convessi tra loro disgiunti. Prima di studiare gli insiemi convessi conviene

però introdurre una notazione comoda per indicare l’azione degli elementi di X ∗ su

X . Invece di scrivere Lx, Ax ecc, usa scrivere4

〈〈f, x〉〉

4In realtà la notazione comunemente usata è 〈·, ·〉. Noi usiamo la notazione 〈〈·, ·〉〉 perché la

notazione 〈·, ·〉 si usa anche per indicare i “prodotti interni” nel contesto degli spazi di Hilbert.

Dato che vedremo una relazione tra funzionali lineari e prodotti interni, è opportuno essere

precisi nel distinguere gli uni dagli altri.

311

5. SPAZI DI BANACH

per indicare il valore che il funzionale f ∈ X ∗ assume sull’elemento x ∈ X (si

noti: l’elemento di X∗ è scritto prima di quello di X . In altri testi si trova scritto

dopo). Inoltre, per distinguere immediatamente gli elementi di X da quelli di X ∗, usa

indicare questi ultimi con lettere greche, o con simboli del tipo x∗, y∗ ecc. se i simboli

x, y,. . . si riservano agli elementi di X .

5.9.1 Applicazioni: Insiemi convessi

Per semplicità supponiamo che il campo scalare sia R.

Ricordiamo che un insieme A non vuoto si dice convesso quando ogni segmento di

estremi in A è tutto contenuto in A; ossia quando

x , y ∈ A =⇒ tx + (1 − t)y ∈ A ∀t ∈ [0, 1] .

Si verifica facilmente che gli iperpiani ed i semispazi sono insiemi convessi e che

l’intersezione di una qualsiasi famiglia di insiemi convessi è un insieme che, se non è

vuoto, è convesso.

Siano ora A e B due insiemi e sia x∗ ∈ X∗. Si dice che l’iperpiano

x | 〈〈x∗, x〉〉 = α

separa i due insiemi A e B se

A ⊆ x | 〈〈x∗, x〉〉 ≤ α , B ⊆ x | 〈〈x∗, x〉〉 ≥ α .

Si dice che la separazione è stretta se esiste ε > 0 tale che

A ⊆ x | 〈〈x∗, x〉〉 ≤ α − ε , B ⊆ x | 〈〈x∗, x〉〉 ≥ α .

E’ ovvio che in generale due insiemi disgiunti non possono essere separati da

iperpiani, si veda la figura 5.5 a sinistra. Per avere buoni risultati di separazione

dovremo lavorare con insiemi convessi. La figura 5.5 a destra mostra che insiemi

convessi e disgiunti non possono, in generale, separarsi strettamente.

Valgono però i due teoremi seguenti, la cui dimostrazione viene posposta:

312

5. SPAZI DI BANACH

y

x

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−3

−2

−1

0

1

2

3

y

x

Fig. 5.5.

Teorema 5.117. Sia A ⊆ X un convesso aperto. Se x0 /∈ A allora esiste un

iperpiano che separa x0 da A; ossia esiste x∗ ∈ X∗ tale che

〈〈x∗, x〉〉 ≤ 〈〈x∗, x0〉〉 ∀x ∈ A .

e

Teorema 5.118. Siano A, B convessi e disgiunti. Si ha:

– Se A è aperto, esiste un iperpiano che separa A e B;

– se A è chiuso e B è compatto allora esiste un iperpiano che separa

strettamente A e B.

Di conseguenza:

Teorema 5.119. Sia H un s.spazio chiuso dello spazio di Banach X . Vale H = X

se e solo se esiste x∗ ∈ X∗, x∗ = 0, tale che

H ⊆ kerx∗ .

DIMOSTRAZIONE

Se H = X, esiste x0 /∈ H e quindi per la seconda affermazione del Teorema 5.118,

x0 si separa strettamente da H : esistono ε > 0 ed x∗ tale che

〈〈x∗, x0〉〉 ≤ α − ε , 〈〈x∗, h〉〉 ≥ α , ∀h ∈ H .

313

5. SPAZI DI BANACH

Essendo H un s.spazio, segue

α ≤ 〈〈x∗,−h〉〉 = −〈〈x∗, h〉〉 .

Dunque, 〈〈x∗, h〉〉 = α per ogni h ∈ H . Essendo H un s.spazio, 0 appartiene ad H e

quindi 〈〈x∗, 0〉〉 = α, ossia α = 0. Si ha dunque

〈〈x∗, h〉〉 = 0 ∀h ∈ H ,

come volevamo.

Il viceversa è ovvio.

Inoltre,

Teorema 5.120. Se X ∗ è separabile, anche X lo è.

DIMOSTRAZIONE

Sia x∗n un s.insieme denso in X ∗. Si scelgano elementi xn ∈ X di norma 1 e tali che˛

˛〈〈x∗n, xn〉〉

˛˛ ≥ 1

2λn , λn = ||x∗

n|| .

Combinando linearmente gli xn, con coefficienti razionali, si trova un s.insieme A nu-

merabile di X. Procedendo per assurdo, mostriamo che A è denso in X, che pertanto

è separabile.

Se A non fosse denso in X, la sua chiusura sarebbe un s.spazio H di X diverso da

X. Dunque, per il Teorema 5.119, si potrebbe trovare φ∗ ∈ X∗ tale che

A ⊆ H ⊆ kerφ∗ .

Si sa che φ∗ = lim x∗nk

per una opportuna successione (x∗nk

) così che

0 = lim ||φ∗ − x∗nk

||X∗ ≥ lim

˛˛〈〈φ∗ − x∗

nk, xnk〉〉

˛˛

= lim

˛˛〈〈x∗

nk, xnk〉〉

˛˛ ≥ lim

1

2λn

e quindi lim λn = 0. D’altra parte, mentre

0 = ||φ∗||X∗ = lim ||x∗nk

||X∗ = lim λnk .

314

5. SPAZI DI BANACH

La contraddizione trovata completa la dimostrazione.

Osservazione 5.121. Invece, il duale di uno spazio separabile può non essere

separabile. Mostreremo infatti che l∞ è isometricamente isomorfo al duale di l1.

Si sa già che l∞ non è separabile mentre è facile verificare che l1 lo è.

Un’ulteriore conseguenza importante del Teorema 5.118 è la seguente: ogni insieme

A, anche non convesso, è contenuto nell’intersezione dei semispazi che lo contengono.

Se A è convesso vale:

Teorema 5.122. Un insieme A non vuoto è convesso e chiuso se e solo se è

intersezione dei semispazi chiusi che lo contengono.

DIMOSTRAZIONE

L’intersezione di una famiglia di chiusi è un chiuso e l’intersezione di una famiglia di con-

vessi, se non è vuota, è un convesso. Dunque, se l’insieme non vuoto A è intersezione

dei semispazi chiusi che lo contengono, A è convesso e chiuso.

Viceversa, sia B l’intersezione dei semispazi chiusi che contengono l’insieme A. In

generale, B ⊇ A. Dobbiamo provare che se A è convesso e chiuso allora vale l’ugua-

glianza. Per questo basta notare che se x 0 /∈ A allora, per il Teorema 5.118, esiste

un iperpiano che separa strettamente A da x 0. E quindi x0 non appartiene nemmeno

a B.

Si chiamano iperpiani di supporto all’insieme convesso e chiuso A quelli che godono

della seguente proprietà: esiste x0 ∈ A tale che

A ⊆ x | 〈〈x∗, x〉〉 ≤ 〈〈x∗, x0〉〉 .

Più precisamente, in questo caso si dice che l’iperpiano è di supporto nel punto x 0.

Naturalmente, se esiste un iperpiano di supporto ad A in x0 allora x0 non è interno ad

A. Più precisamente:

315

5. SPAZI DI BANACH

Teorema 5.123. Sia A un convesso con interno non vuoto. Per ogni x 0 ∈ ∂A, esiste

almeno un iperpiano di supporto ad A in x0.

DIMOSTRAZIONE

Usiamo la proprietà seguente degli insiemi convessi, che non proviamo: se A è

convesso ed il suo interno è non vuoto allora l’interno di A è convesso e denso

in A.

Dunque int A è un convesso, ovviamente separato da x 0 ∈ ∂A: per il Teorema 5.117,

esiste x∗ tale che

〈〈x∗, x〉〉 < 〈〈x∗, x0〉〉 ∀x ∈ intA

e la disuguaglianza, non stretta, si estende per continuità ad A.

L’iperpiano di supporto è

x | 〈〈x∗, x〉〉 = 〈〈x∗, x0〉〉 .

Osservazione 5.124. Il teorema precedente può anche estendersi al caso in

cui l’interno di A è vuoto. Essendo A convesso, si prova l’esistenza di un più

piccolo s.spazio (traslato) contenente A. Il teorema si può enunciare in tale

s.spazio. Non insistiamo su ciò.

La figura 5.6 mostra che uno stesso iperpiano può essere di supporto in infiniti

punti, e che in un punto si possono avere infiniti iperpiani di supporto.

Abbiamo dunque due modi di descrivere un insieme convesso e chiuso, tra loro

equivalenti: il primo consiste nell’elencare i punti dell’insieme ed il secondo consiste

nell’elencare gli iperpiani di supporto all’insieme. Questo secondo modo assume un

aspetto particolare nel caso in cui l’insieme A è l’epigrafo di una funzione, caso che

ora andiamo a studiare.

5.9.2 Applicazioni: Funzioni convesse

Ancora, supponiamo di lavorare in spazi lineari su R e studiamo certe proprietà

delle funzioni convesse definite su uno spazio di Banach X . Per semplicità

316

5. SPAZI DI BANACH

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Fig. 5.6.

supporremo che esse siano definite su insiemi, ovviamente convessi, dotati di punti

interni.

Ricordiamo che si chiama epigrafo di una funzione f definita su X , a valori reali,

l’insieme

Epi(f) = (x, t) | t ≥ f(x) ⊆ X × R .

E’ facile provare:

Teorema 5.125. La funzione f è convessa se e solo se il suo epigrafo è un insieme

convesso.

Un iperpiano di supporto in (x0, t0) alla chiusura dell’epigrafo di f è rappresentato da

una coppia (x∗, φ) ∈ X∗ × R tale che, per ogni punto (x, t) dell’epigrafo, valga

〈〈x∗, x〉〉 + φ · t ≤ 〈〈x∗, x0〉〉 + φ · t0

ossia

〈〈x∗, (x − x0)〉〉 ≤ (−φ) · (t − t0) . 5.56

Notiamo che se φ = 0 si ha

〈〈x∗, x〉〉 ≤ 〈〈x∗, x0〉〉 ∀x ∈ domf .

317

5. SPAZI DI BANACH

In questo caso x0 deve appartenere alla frontiera di domf . Supponendo di lavorare in

punti interni al dominio, avremo φ = 0 e si ha −φ > 0. Infatti: se x∗ = 0 allora

deve essere

0 ≤ (−φ)(t − t0) ∀t ≥ t0 ossia −φ > 0.

Dunque non è restrittivo assumere −φ = 1 perché dividendo i due membri per −φ si

vede che la 5.56 può scriversi

〈〈x∗, x − x0〉〉 ≤ t − t0 .

Supponiamo ora che l’epigrafo di f sia chiuso. In questo caso t 0 = f(x0) mentre

t ≥ f(x). Dunque:

Teorema 5.126. Se l’epigrafo di f è chiuso allora il funzionale (x ∗, 1) ∈ X∗ ×R è

di supporto all’epigrafo di f in (x0, f(x0)) se e solo se

〈〈x∗, x − x0〉〉 ≤ f(x) − f(x0) ∀x ∈ domf . 5.57

La 5.57 si scrive anche

f(x) ≥ 〈〈x∗, x − x0〉〉 + f(x0)

e quindi, se f(x) è convessa,

– il grafico è sopra a tutti gli iperpiani di supporto;

– il numero f(x) è l’estremo superiore dei valori delle funzioni lineari affini il

cui grafico è sotto quello di f . L’estremo superiore è un massimo, in ogni

punto x, se l’epigrafo è chiuso.

La 5.57 e la pratica con i grafici delle funzioni da R in R suggerisce:

Definizione 5.127. Un funzionale x∗ che verifica 5.57 si chiama un sottodifferen-

ziale di f in x0.

L’insieme dei sottodifferenziali di f in x0 si chiama il sottodifferenziale di f in x0.

Il sottodifferenziale di f in x0 si indica col simbolo ∂f(x0).

318

5. SPAZI DI BANACH

Osserviamo che il sottodifferenziale può essere l’insieme vuoto ma, come si è già

notato, in tal caso il punto x0 deve appartenere alla frontiera del dominio di f :

Esempio 5.128. Sia X = R e sia domf = [0, +∞), f(x) = −√

x. Si vede

facilmente che ∂f(0) = ∅.

Invece, come si è notato il sottodifferenziale è non vuoto nei punti interni al

dominio di f .

La proprietà di avere epigrafo chiuso è ovviamente importante nei problemi di

ottimizzazione e merita una definizione specifica:

Definizione 5.129. Una funzione (anche non convessa) con epigrafo chiuso si chia-

ma semicontinua inferiormente. Una funzione f si dice semicontinua superiormente

se −f è semicontinua inferiormente.

E’ facile immaginare che il sottodifferenziale sia uno strumento utile per il calcolo dei

minimi. Infatti,

Teorema 5.130. Sia f convessa e sia non vuoto il suo sottodifferenziale in x 0. Il

punto x0 è punto di minimo se e solo se 0 ∈ ∂f(x0).

DIMOSTRAZIONE

Immediate, leggendo la 5.57 con x∗ = 0.


Dimostrazione del TEOREMA 5.110.

Indichiamo con X l’insieme delle (classi di equivalenza di) funzioni f(x) definite su

(0, 1) e tali che

∫ 1

0

√|f(x)| dx < +∞ .

319

5. SPAZI DI BANACH

La disuguaglianza

√a + b ≤

√a +

√b ∀a ≥ 0 , b ≥ 0 5.58

permette di provare che X è uno spazio vettoriale e che

d(f, g) =∫ 1

0

√|f(x) − g(x)| dx

è una distanza invariante per traslazioni su X (per provare la disuguaglianza

triangolare si usa la 5.58).

Si può provare che lo spazio X è completo.

Lo spazio X ha una proprietà curiosa: l’unico convesso (non vuoto) di X che è

anche aperto è X stesso. Accettando questa proprietà, che proveremo in seguito, si

vede che l’unico funzionale L lineare e continuo su X è quello nullo. Infatti, per ogni

ε > 0, l’insieme L−1(−ε, ε) non è vuoto, perché contiene 0; è convesso perchè L è

lineare e, se L è anche continuo, è aperto; e quindi è tutto lo spazio X . Dunque,

LX ⊆⋂ε>0

(−ε, ε) = 0 ;

ossia, L è il funzionale nullo.

Per completare la dimostrazione, consideriamo un aperto V di X , non vuoto e

convesso e proviamo che V = X . A meno di traslazioni, si può supporre 0 ∈ V .

Dunque può trovarsi r > 0 tale che

B(0, r) = x | d(x, 0) < r ⊆ V .

Fissiamo una qualsiasi f ∈ X e sia n tale che

1√n

d(f, 0) < r .

Consideriamo ora la funzione integrale

F (x) =∫ x

0

√|f(s)| ds .

Vale F (0) = 0 ed F (1) = d(f, 0). La continuità di F implica l’esistenza di un primo

punto x1 tale che

F (x1) =∫ x1

0

√|f(s)| ds =

1n

d(f, 0) ;

320

5. SPAZI DI BANACH

di un primo punto x2 tale che∫ x2

x1

√|f(s)| ds =

1n

d(f, 0) .

Analogamente, si trovano esattamente n punti x i tali che∫ xi

xi−1

√|f(s)| ds =

1n

d(f, 0) (ove x0 = 0).

Per 1 ≤ i ≤ n definiamo le funzioni

gi(s) =

nf(s) se xi−1 < s < xi

0 altrimenti.

In questo modo,

d(gi, 0) =√

n

nd(f, 0) =

1√n

d(f, 0) < r ,

ossia gi ∈ B(0, r) ⊆ V . Inoltre,

nf =n∑

i=1

gi ossia f =1n

n∑i=1

gi .

L’ultima uguaglianza mostra che anche f appartiene al convesso V .

L’arbitrarietà di f implica che V = X .


La dimostrazione del Teorema 5.112 fa uso del Lemma di Zorn, che ora enunciamo.

Sia F un insieme parzialmente ordinato. Chiamiamo catena ogni s.insieme di F che

è totalmente ordinato.

Sia M un qualsiasi s.insieme di F e sia z ∈ F . Diciamo che z è un maggiorante di

M se per ogni m ∈ M vale m ≤ z; diciamo che z0 è un elemento massimale di M

se z0 ∈ M e se, inoltre, le condizioni m ∈ M ed m ≥ z0 implicano m = z0.

Un elemento massimale di M confrontabile con tutti gli elementi di M si chiama un

massimo.

Si noti che un elemento massimale z0 può non essere un massimo perché M può

contenere elementi non confrontabili con z0. E quindi un insieme M parzialmente

ordinato può avere più elementi massimali, ma ha al più un massimo.

321

5. SPAZI DI BANACH

Invece, una catena ha al più un solo elemento massimale che è anche il suo massimo.

Il Lemma di Zorn si enuncia come segue:

Lemma 5.131 (di Zorn). Sia F parzialmente ordinato. Se ogni catena di Fammette maggioranti, allora esiste in F un elemento massimale.

Osservazione 5.132. Si noti che l’enunciato del Lemma di Zorn non richiede che

ogni catena debba avere massimo; ossia, nell’applicare il Lemma di Zorn, basta

mostrare l’esistenza in F di maggioranti delle singole catene.

Possiamo ora provare il Teorema 5.112. In questo caso Φ = R.

Notiamo che l’enunciato del teorema non fa alcun riferimento alla presenza

di norme su X; e quindi nessuna considerazione topologica può usarsi nella

dimostrazione.

L’idea della dimostrazione del Teorema 5.112 è la seguente: si prova che se Y = X

allora esiste un’estensione lineare propria L1 di L0 e che L1, definito sul sottospazio

Y1 propriamente contenente Y0, soddisfa ancora alla disuguaglianza

L1x ≤ p(x) ∀x ∈ Y1 .

Per indicare che vale questa disuguaglianza, diremo che L 1 è dominata da p.

Questa è la parte tecnica della dimostrazione, che vedremo in seguito. Accettando ciò,

si indichi con F la famiglia di tutte le estensioni di L0 dominate da p; ossia, L ∈ Fse L estende L0 ed Lx ≤ p(x) per ogni x nel dominio di L.

In F si introduce una relazioni d’ordine parziale ponendo

L1 ≤ L2 se L2 estende L1.

Si vede immediatamente che ogni catena C in F ammette come maggiorante quell’ele-

mento L ∈ F il cui dominio è l’unione dei domini di tutti gli elementi della catena Ce così definito: se x ∈ domL allora esiste L′ ∈ C (non unico) il cui dominio contiene

x. Si definisce

Lx = L′x .

322

5. SPAZI DI BANACH

Si è detto che L′ non è unico; ma l’essere C una catena prova che la trasformazione L

appena definita è univoca e lineare.

E’ ovvio che L è dominato da p.

Discende dal Lemma di Zorn che F ha un elemento massimale L: un’estensione L di

L0, dominata da p, non ulteriormente estendible, e quindi con dominio X .

Proviamo ora la parte tecnica della dimostrazione, consistente nella costruzione

dell’estensione L1. Prima però notiamo:

Osservazione 5.133. Sia X uno spazio di Banach di dimensione infinita e sia e nun sistema linearmente indipendente di elementi, tutti di norma 1. Definiamo

L0en = n

e quindi estendiamo L0 a

span en = ∑finita

αiei .

L’argomento precedente basato sul lemma di Zorn può ripetersi anche senza far

intervenire la funzione p(x) e conduce a provare l’esistenza di un funzionale L

definito su X e che estende L0. Ciò mostra che esistono funzionali lineari non

continui, il cui dominio è tutto lo spazio X .

Veniamo ora a costruire una opportuna estensione L 1 di L0, dominata da p.

Essendo Y0 = X , esiste x0 /∈ Y0. Scegliamo per Y1 lo spazio lineare generato da Y0

e dal x0,

Y1 = y + tx0 | y ∈ Y0 , t ∈ R .

Se vogliamo che L1 sia un’estensione lineare di L0, dovrà essere

L1(y + tx0) = L1y + tL1x0 = L0y + tL1x0

e il problema si riduce a trovare un valore ξ per L1x0, in modo tale che L1 sia

dominato da p. Si vuole cioè che valga

L0y + tξ ≤ p(y + tx0) , ∀y ∈ Y0 , t ∈ R .

323

5. SPAZI DI BANACH

Distinguiamo i due casi t > 0 e t < 0. Se t > 0 allora si richiede

L0y

t+ ξ ≤ p(

y

t+ x0) ossia ξ ≤ p(

y

t+ x0) − L0

y

t; 5.59

Se t < 0 si richiede

L0y

t+ ξ ≥ − 1

−tp(y + tx0) = −p(−y

t− x0) ,

ossia

ξ ≥ −L0y0

t− p(−y

t− x0) . 5.60

Dunque è da provare l’esistenza di un numero ξ che verifica la 5.59 per t > 0 e la 5.60

per t < 0.

Notiamo che, essendo y arbitrario in Y0, anche y/t, t > 0 e −y/t, t < 0 sono arbitrari

elementi di Y0. Dunque, le 5.59, 5.60 equivalgono a

supy∈Y0

−L0y − p(−y − x0) ≤ ξ ≤ infy∈Y0

p(y + x0) − L0y .

Dunque il numero ξ esiste se si può provare che

−L0y − p(−y − x0) ≤ −L0y + p(y + x0) ∀y , y ∈ Y0 .

Quest’eguaglianza equivale a

L0(y − y) ≤ p(y + x0) + p(−y − x0)

e questa vale certamente perché, per ipotesi, L0 è dominato da p. Dunque si ha:

L0(y − y) ≤ p(y − y) = p(y + x0 − x0 − y) ≤ p(y + x0) + p(−x0 − y) .

Ciò completa la dimostrazione nel caso in cui F = R.


Il caso F = C si fa discendere dal precedente, procedendo come segue.

Si nota che se X è uno spazio lineare complesso, allora esso è anche uno spazio

lineare reale. Indichiamo allora con i simboli X (R) ed Y0,(R) gli spazi lineari reali i

cui elementi sono quelli di X e di Y0. Sia inoltre L0,(R) il funzionale lineare definito

su Y0,(R) da

324

5. SPAZI DI BANACH

L0,(R)x = eL0x .

La 5.52 mostra che L0,(R) è dominato da p e quindi che esiste un’estensione L (R) di

L0,(R) ad X(R), ancora dominata da p. Inoltre, essendo LRx ≤ p(x) per ogni x ∈ X ,

vale anche

L(R)(−x) ≤ p(−x) = p(x)

ossia,

− p(−x) ≤ L(R)(x) ≤ p(x) . 5.61

Definiamo ora l’operatore

Lx = L(R)x − iL(R)(ix) .

Si verifica immediatamente che quest’operatore è lineare su X (con F = C). Inoltre,

se x ∈ Y0, vale

Lx = eL0x − ie [iL0x] = eL0x − ie ieL0x − Im L0x = L0x .

Dunque, L estende L0 e inoltre vale |Lx| ≤ p(x) per ogni x ∈ X . Infatti se ciò non

fosse potrebbe trovarsi x0 tale che

|Lx0| > p(x0) .

Con θ = arg Lx0 avremmo

LRx0 = eLx0 = |eiθLx0| = |Lx0| > p(x0) .

Ciò contrasta con 5.61.

La dimostrazione è ora completa.


Ricordiamo che si è supposto F = R.

Sia A un convesso aperto. A meno di una traslazione, si può supporre 0 ∈ A.

Definiamo il seguente funzionale pA su X :

pA(x) = inft > 0 | x ∈ tA

dove con tA si intende l’insieme ty | y ∈ A.

325

5. SPAZI DI BANACH

E’ chiaro che il funzionale pA è non negativo, positivamente omogeneo. Inoltre, esso

è subadditivo. Infatti, sia ε > 0 e siano t1 = pA(x) + ε, t2 = pA(y) + ε. Vale quindi

(x + y) ∈ [pA(x) + ε]A + [pA(y) + ε]A = [pA(x) + pA(y) + 2ε]A .

Dunque, per ogni ε > 0 vale pA(x+y) ≤ pA(x)+pA(y)+2ε. La subadditività segue

dall’arbitrarietà di ε.

Consideriamo ora un punto x0 /∈ A ed il s.spazio

X0 = tx0 | t ∈ R .

La convessità di A implica la convessità di A ∩ X0 e quindi l’insieme t | tx0 ∈ Aè un segmento a cui non appartiene 1. Si definisca il funzionale lineare L 0 su X0,

L0(tx) = t .

Questo funzionale verifica

L0(x0) = 1 , L0(tx0) ≤ pA(tx0) .

La prima proprietà è immediata e la seconda è ovvia se t < 0. Che essa valga anche

se t > 0 si vede notando che pA(x0) ≥ 1 e quindi

L0(tx0) = t ≤ tpA(x0) = pA(tx0) .

Per il Teorema di Hahn–Banach, il funzionale L0 si estende ad un funzionale L

lineare e continuo su X , che ancora verifica 〈〈L, x〉〉 ≤ pA(x) e quindi

〈〈L, x〉〉 ≤ pA(x) ≤ 1 ∀x ∈ A , 〈〈L, x0〉〉 = 1 .

Il funzionale pA si chiama il finzionale di Minkowski del convesso A.


Il Teorema 5.118 è immediata conseguenza del Teorema 5.117. Studiamo prima il caso

in cui A è aperto. Fissiamo a0 ∈ A e b0 ∈ B e sia x0 = a0 − b0. Sia inoltre

C = A − B = a − b | a ∈ A , b ∈ B =⋃b∈B

(A − b) .

326

5. SPAZI DI BANACH

E’ facile vedere che C è aperto (anche se B non lo è); e che x 0 ∈ C. Dunque,

0 ∈ D = C − x0 mentre x0 /∈ D. Infatti, se fosse x0 ∈ D, esisterebbero a ∈ A,

b ∈ B per cui

x0 = a − b − x0 ossia a = b

mentre per ipotesi A e B sono disgiunti.

Dunque, per il Teorema 5.117, x0 si separa da D con un funzionale x∗:

〈〈x∗, d〉〉 ≤ 〈〈x∗, x0〉〉 ∀d ∈ D .

Dunque,

〈〈x∗, (a − b + x0)〉〉 < 〈〈x∗, x0〉〉 ∀a ∈ A , b ∈ B ;

Ossia,

〈〈x∗, a〉〉 < 〈〈x∗, b〉〉 .

Ciò prova la prima parte del teorema.

La dimostrazione della seconda parte si riconduce a quella della prima, grazie al

lemma seguente:

Lemma 5.134. Siano K e C due s.insiemi di X , K compatto e C chiuso. Se K ∩C = ∅, allora esiste una sfera B di X tale che

(K + B) ∩ C = ∅ .

DIMOSTRAZIONE

Per ogni k ∈ K esiste una opportuna sfera B ε(k) tale che k +2Bε(k) ∩ (C +Bε(k)) = ∅.

L’unione degli aperti k i +2Bε(k) copre K e quindi esistono ki, in numero finito, diciamo

n, tali che

K ⊆n[

i=1

`ki + 2Bε(ki)

´.

Sia B la sfera di minimo raggio tra le sfere B ε(ki). Allora,S`

ki + 2Bε(ki)

´non interseca

C + B e quindi vale anche:

K + B ⊆+∞[i=1

`ki + Bε(ki) + B

´⊆

n[i=1

`ki + Bε(ki) + Bε(ki)

´

e quest’insieme non interseca C.

327

5. SPAZI DI BANACH

E’ ora facile provare la seconda parte del Teorema 5.113. Sia Bε una sfera tale che

A1 = A + Bε non intersechi B. Gli insiemi A1 e B verificano le ipotesi della prima

parte del teorema e quindi esiste x∗ tale che

sup〈〈x∗, a〉〉 | a ∈ A1 ≤ inf〈〈x∗, b〉〉 | b ∈ B .

Ciò prova che x∗ separa A e B. Proviamo ora che la separazione è stretta. Notiamo

che

〈〈x∗, A1〉〉 = 〈〈x∗, x〉〉 | x ∈ A1

è un intervallo aperto di R. Infatti, sia α = 〈〈x∗a0〉〉 ∈ 〈〈x∗, A1〉〉 e Bσ = x | ||x|| <

σ una sfera tale che a0 + Bσ ∈ A1. Allora, 〈〈x∗, (a0 + Bσ)〉〉 è un intervallo non

ridotto ad un sol punto perché il funzionale x∗ non è zero; e dunque α è interno ad

〈〈x∗, A1〉〉. D’altra parte, 〈〈x∗, A〉〉 è compatto e contenuto nell’aperto 〈〈x∗, A1〉〉 e

quindi ha distanza positiva dall’insieme 〈〈x∗, B〉〉, che non interseca 〈〈x∗, A1〉〉. Ciò

prova che la separazione è stretta.

Osservazione 5.135. Abbiamo enunciato i teoremi di separazione assumendo F =

R per semplicità. Tali teoremi possono estendersi al caso F = C. In questo caso le

diseguaglianze valgono tra le parti reali. Si hanno cioè condizioni del tipo

supeLa | a ∈ A ≤ infeLb | b ∈ B .

5.10. CONVERGENZA DEBOLE E DEBOLE STELLA

Si è visto che in uno spazio di Banach di dimensione infinita i compatti sono “rari”.

D’altra parte, si sa dai corsi precedenti che la proprietà di compattezza è cruciale nello

studio dei problemi di minimo. Infatti:

Teorema 5.136 (di Weierstrass). Una funzione f continua su un insieme

compatto K ammette sia minimo che massimo.

328

5. SPAZI DI BANACH

Accenniamo alla dimostrazione, che dovrebbe essere nota: per provare l’esistenza del

minimo, si costruisce una successione minimizzante (kn) in K , ossia una successione

tale che

lim f(kn) = inff(k) | k ∈ K .

Si usa la compattezza di K per estrarre una sottosuccessione (knr ) convergente a

k0 ∈ K; e la continuità di f per concludere

f(k0) = lim f(knr ) = inff(k) | k ∈ K . 5.62

Ciò prova che k0 è punto di minimo.

Osservazione 5.137. Alla medesima conclusione si giunge se la funzione f , invece

di essere continua, ha soltanto epigrafo chiuso, ossia è semicontinua inferiormente.

Infatti in tal caso da knr → k0, f(knr) → inff(k) | k ∈ K. Se l’epigrafo è chiuso

si ha

(k0, inff(k) | k ∈ K) ∈ Epif ;

ossia, invece della 5.62, vale

f(k0) ≤ lim f(knr ) = inff(k) | k ∈ K .

Ovviamente la disuguaglianza stretta non può valere, e quindi, nella sola ipotesi di

semicontinuità inferiore, segue la 5.62; ossia segue che k0 è punto di minimo.

E’ facile vedere che:

– se un insieme è compatto in una topologia, tale rimane anche in topologie

meno fini;

– se una funzione è continua oppure semicontinua inferiormente rispetto ad una

topologia, tale rimane anche in topologie più fini.

329

5. SPAZI DI BANACH

Dunque in uno spazio di Banach conviene introdurre topologie meno fini di quella

della norma, in modo da avere più insiemi compatti; ma sufficientemente fini in modo

tale che almeno opportune classi di funzioni continue rimangano, se non continue,

almeno semicontinue inferiormente.

Noi ci limiteremo ad introdurre concetti di convergenza per topologie meno fini di

quella della norma. Non descriveremo invece la topologia.

Definizione 5.138. Sia (xn) una successione in uno spazio di Banach X . Diciamo

che (xn) converge debolmente ad x0 se

lim〈〈x∗, xn〉〉 = 〈〈x∗, x0〉〉 ∀x∗ ∈ X∗ .

Per indicare la convergenza debole si usa uno dei due simboli

w− limxn = x0 oppure xn x0 .

La definizione stessa di convergenza debole mostra che:

Teorema 5.139. Ogni x∗ ∈ X∗ è continuo rispetto alla convergenza debole di

successioni di X .

Supponiamo ora di sapere che stiamo lavorando nello spazio di Banach X ∗, duale

dello spazio di Banach X . In X ∗ si può definire la convergenza debole, come sopra,

facendo intervenire il suo duale; ma si può anche definire la convergenza debole stella,

come segue:

Definizione 5.140. Sia (x∗n) una successione in X ∗. Diciamo che (x∗

n) converge in

senso debole stella ad x∗0 se

lim〈〈x∗n, x〉〉 = 〈〈x∗

0 , x〉〉 ∀x ∈ X .

Per indicare la convergenza debole stella si usa uno dei due simboli

w∗− limx∗n = x0 oppure x∗

n x0 .

330

5. SPAZI DI BANACH

(la notazione con la mezza freccia è la stessa per la convergenza debole e la

convergenza debole stella. Il contesto evita ambiguità).

E’ facile vedere che la convergenza in norma implica la convergenza debole,

rispettivamente debole stella. Il viceversa, in dimensione infinita, non vale.

Esempio 5.141. Sia X = L2(0, 2π). Vedremo che (L2(0, 2π))∗ è isometricamente

isomorfo ad L2(0, 2π) stesso. In particolare ogni g ∈ L2(0, 2π) si interpreta come

elemento di (L2(0, 2π))∗, quell’elemento definito da

f −→∫ 2π

0

g(x)f(x) dx .

Si sa, dalla teoria della serie di Fourier, che ogni f ∈ L2(0, 2π) si rappresenta

f(x) =k=+∞∑k=−∞

fkeikx , fk =1√2π

∫ 2π

0

f(x)e−ikx dx = 〈〈ek, f〉〉

con ek = eikx. Si sa, dalla teoria della serie di Fourier, che

lim fk = 0 .

Questo vuol dire che,

w∗− lim ek = 0 .

Ma,

||ek||2 =√

2π

e quindi la successione (ek) non tende a zero in norma.

Vale però:

Teorema 5.142. Il teorema di unicità del limite vale sia per la convergenza debole

che per la convergenza debole stella.

DIMOSTRAZIONE

Se

w− lim xn = x0 ed anche w− lim xn = y0

331

5. SPAZI DI BANACH

allora si ha

〈〈x∗, (x0 − y0)〉〉 = lim〈〈x∗, xn〉〉 − 〈〈x∗, xn〉〉 = 0

per ogni x∗ ∈ X∗. Dunque x0 ed y0 sono indistinguibili da elementi di X ∗. E’

conseguenza del Teorema di Hahn-Banach che x 0 = y0.

L’asserto relativo alla convergenza debole stella è invece elementare: sia

w∗− lim x∗n = x∗

0 ed anche w∗− lim x∗n = y∗

0 .

Si ha

〈〈[x∗0 − y∗

0 ], x〉〉 = lim〈〈x∗n, x〉〉 − 〈〈x∗

n, x〉〉 = 0

per ogni x ∈ X. E quindi x∗ = y∗.

Esistono alcune relazioni importanti tra la convergenza debole, oppure debole stella,

e le proprietà che valgono in norma. Tra queste:

Teorema 5.143. Ogni successione convergente in senso debole stella è limitata nella

norma di X∗.

DIMOSTRAZIONE

Sia x ∈ X. Se w∗− lim x∗n = x∗ allora

lim〈〈x∗n, x〉〉 = 〈〈x∗, x〉〉 .

Dunque, per ogni x ∈ X esiste un numero Mx, dipendente da x, tale che

|〈〈x∗n, x〉〉| < Mx .

Il teorema di Banach-Steinhaus mostra che l’insieme dei funzionali x ∗n è limitato nella

norma di X∗.

Un asserto analogo vale anche per la convergenza debole, ed anzi il risultato relativo

alla convergenza debole è un corollario del precedente. Per provarlo, abbiamo bisogno

332

5. SPAZI DI BANACH

di una premessa. Ogni x ∈ X si può vedere come funzionale lineare continuo su X ∗.

Basta associare ad esso il funzionale

x∗ → 〈〈x∗, x〉〉 . 5.63

Dunque, ogni elemento x ∈ X si può porre in corrispondenza con un elemento jx ∈

(X∗)∗, duale di X∗.

Lo spazio (X∗)∗ si chiama il biduale di X e si indica col simbolo X ∗∗.

Vale:

Teorema 5.144. La trasformazione j da X in X ∗∗ definita in 5.63 è isometrica.

DIMOSTRAZIONE

Dobbiamo provare che

||x||X = ||jx||X∗∗ ,

ossia:

||x||X = sup||x∗||X∗

|〈〈x∗, x〉〉| .

Questo è l’asserto del Corollario 5.115.

Osservazione 5.145. In particolare segue che j è una trasformazione iniettiva.

Vedremo che, in generale, essa non è suriettiva.

Possiamo ora provare:

Corollario 5.146. Ogni successione debolmente convergente in X è limitata in

norma.

DIMOSTRAZIONE

Sia (xn) una successione in X, debolmente convergente ad x 0. Ciò vuol dire che

lim〈〈x∗, xn〉〉 = 〈〈x∗, x0〉〉 ∀x∗ ∈ X∗ ,

333

5. SPAZI DI BANACH

ossia

lim〈〈jxn, x∗〉〉 = 〈〈jx0, x∗〉〉 ∀x∗ ∈ X∗ .

Dunque, la successione (jxn) converge in X∗∗ a jx0, nel senso debole stella ed è

quindi limitata in X ∗∗. Il Teorema 5.144 implica che (xn) è limitata in X.

Osservando con attenzione la dimostrazione del Teorema 5.143 si vede che:

Teorema 5.147. vale:

– se w− limxn = x0 allora lim inf ||xn||X ≥ ||x0||X ;

– se w∗ − limx∗n = x∗

0 allora lim inf ||x∗n||X∗ ≥ ||x∗

0||X∗ .

DIMOSTRAZIONE

Proviamo l’asserto relativo alla convergenza debole stella.

Per ogni x, con ||x||X ≤ 1, vale

〈〈x∗n, x〉〉 ≤ ||x∗

n||X∗

e dunque

〈〈x∗0, x〉〉 = lim〈〈x∗

n, x〉〉 ≤ lim inf ||x∗n||X∗ .

Da qui:

||x∗0||X∗ = sup

||x||X=1

〈〈x∗0, x〉〉 = sup

||x||X=1

lim〈〈x∗n, x〉〉 ≤ lim inf ||x∗

n||X∗ .

L’asserto relativo alla convergenza debole si deduce dall’asserto relativo alla

convergenza debole stella mediante il Teorema 5.144:

||x0||X = sup||x∗||X∗=1

〈〈x∗, x0〉〉 = sup||x∗||X∗=1

lim〈〈x∗, xn〉〉 = sup||x∗||X∗=1

lim〈〈jxn, x∗〉〉 ≤

sup||x∗||X∗=1

lim inf ||jxn||X∗∗ ||x∗||X∗ = lim inf ||jxn||X∗∗ = lim inf ||xn||X .

Il Teorema 5.147 può riformularsi dicendo che la norma di X è debolmente

semicontinua inferiormente e la norma di X ∗ è debolmente stella semicontinua

inferiormente.

334

5. SPAZI DI BANACH

Grazie al Teorema di Weierstrass, segue che la norma ammette minimo sugli insiemi

che sono compatti rispetto alla convergenza debole oppure debole stella.

Proviamo ora:

Teorema 5.148. Sia A un insieme sequenzialmente debolmente chiuso in X . Allora,

A è anche chiuso in norma. Se A è sequenzialmente debolmente stella chiuso in X ∗,

esso è anche chiuso nella norma di X ∗.

DIMOSTRAZIONE

Sia A chiuso rispetto alla convergenza debole. Sia (x n) una successione in A, che

converge in norma ad un x0.

La convergenza in norma implica la convergenza debole, e quindi (x n) converge de-

bolmente ad x0. Dato che A è debolmente chiuso, si ha x0 ∈ A; e quindi A è chiuso

in norma. L’assero relativo alla convergenza debole stella si prova in modo analogo.

L’esempio 5.141 mostra che la superficie di una sfera di L2(0, 2π), pur essendo chiusa

in norma, non è debolmente chiusa. Combinando questo col teorema precedente si

vede che che la topologia della convergenza debole è effettivamente meno fine di

quella della norma.

Vale:

Teorema 5.149. Sia A un sottoinsieme di uno spazio di Banach X . Sia A convesso

e chiuso rispetto alla norma. L’insieme A è anche chiuso rispetto alla convergenza

debole.

DIMOSTRAZIONE

Sia (xn) una successione a valori in A, debolmente convergente ad x 0. Dobbiamo

provare che x0 appartiene ad A. Ciò discende dai teoremi di separazione: se x 0 /∈ A,

allora esiste x∗ ∈ X∗ che separa x0 da A. Inoltre, la separazione è stretta perché

l’insieme A è chiuso in norma e l’insieme costituito dal solo punto x 0 è compatto.

335

5. SPAZI DI BANACH

Dunque, esiste ε > 0 tale che

〈〈x∗, x0〉〉 + ε < inf 〈〈x∗, x〉〉 | x ∈ A ≤ inf〈〈x∗, xn〉〉 .

Ciò contrasta con l’ipotesi che (xn) converge debolmente ad x0.

E’ bene notare esplicitamente che l’asserto analogo per la topologia debole stella

non vale. Però nella topologia debole stella successioni compatte si identificano

facilmente:

Teorema 5.150 (di Alaoglu). Ogni successione limitata in X ∗ ammette

s.successioni convergenti in senso debole stella.


L’asserto analogo non vale in X e ciò suggerisce di dare un nome particolare agli

spazi X tali che jX = X∗∗.

Definizione 5.151. Se uno spazio X è isometrico al suo biduale, lo spazio X si dice

riflessivo.

In uno spazio riflessivo, la convergenza debole equivale alla debole stella e quindi:

Teorema 5.152. Ogni successione limitata in uno spazio riflessivo ammette s.suc-

cessioni debolmente convergenti.

Il Teorema 5.149 ha un corollario che bene illustra la geometria della convergenza

debole:

Corollario 5.153 (di Mazur). Sia (xn) una successione debolmente convergente

ad x0. Esiste una successione (sn) in X , tale che:

– sn =∑n

k=1 λkxk per opportuni numeri λk ∈ [0, 1] tali che∑n

k=1 λk = 1;

– la successione (sn) converge ad x0 in norma.

336

5. SPAZI DI BANACH

Ossia, x0 è limite in norma di una successione ottenuta da combinazioni convesse

degli xn.

DIMOSTRAZIONE

Sia A = coxn, il più piccolo convesso chiuso contenente gli xn. Per il Teorema 5.149,

x0 appartiene ad A. Da qui segue l’asserto.

Applichiamo ora il Teorema 5.149 allo spazio X×R. Sia A l’epigrafo di una funzione

convessa e continua su X . L’insieme A è convesso e chiuso e quindi sequenzialmente

chiuso. Dunque vale:

Teorema 5.154. Una funzione convessa e continua in norma è anche semicontinua

inferiormente rispetto alla convergenza debole.

Questo teorema ed il Teorema di Alaoglu mostrano che il Teorema di Weierstrass può

applicarsi alla minimizzazione di funzionali convessi su insiemi limitati e chiusi su

spazi riflessivi; e ciò è importantissimo nella teoria dell’ottimizzazione.

Per completare queste considerazioni, mostriamo che, in contrasto con l’asserto del

Teorema di Alaoglu, in un generico spazio di Banach esistono successioni limitate

che non ammettono s.successioni convergenti nella topologia debole; e quindi che

esistono spazi di Banach che non sono riflessivi. Infatti:

Teorema 5.155. Esistono successioni limitate in L1(0, 1), prive di s.successioni

debolmente convergenti; e quindi L1(0, 1) non è riflessivo.

DIMOSTRAZIONE

Si è visto al Teorema 5.139 che ogni elemento x∗ ∈ X∗ è continuo rispetto alla con-

vergenza debole in X. Se ogni successione limitata avesse s.successioni debolmen-

te convergenti, allora, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, ogni elemento di X ∗

raggiungerebbe massimo su

337

5. SPAZI DI BANACH

x |Z 1

0

|x(s)|ds ≤ 1

ff.

L’esempio riportato al Teorema 5.73 mostra che ciò non accade.

Osservazione 5.156. Ciò mostra una profonda differenza tra lo spazio L 1(a, b)

e gli spazi Lp(a, b) con 1 < p < +∞. Vedremo infatti che questi ultimi spazi

sono riflessivi e quindi tutte le successioni limitate in Lp(0, 1), con 1 < p < +∞

ammettono s.successioni debolmente convergenti.

Continuità e continuità debole di operatori lineari

Fa parte della definizione di convergenza debole che ogni elemento di X ∗, ossia

ogni funzionale lineare su X che è continuo in norma, è anche continuo rispetto

alla convergenza debole. E’ importante sapere che gli elementi di X ∗ sono tutti i

funzionali lineari su X , continui rispetto alla convergenza debole:

Teorema 5.157. Sia φ un funzionale lineare su X . Esso è continuo rispetto alla

convergenza debole se e solo se è continuo in norma.

DIMOSTRAZIONE

Se φ è continuo rispetto alla convergenza debole lo è anche in norma perché ogni

successione convergente in norma converge anche debolmente, al medesimo limite.

Il viceversa è provato al Teorema 5.139.

Un asserto analogo vale in realtà per generici operatori lineari, ma la dimostrazione è

più profonda:

Teorema 5.158. Siano X ed Y due spazi di Banach e sia A un operatore lineare da

X in Y , con dominio uguale ad X e debolmente continuo, ossia tale che

se xn x0 in X allora Axn Ax0 in Y .

In tal caso, l’operatore A è continuo in norma.

338

5. SPAZI DI BANACH

DIMOSTRAZIONE

Proviamo che nelle ipotesi del teorema, l’operatore lineare A, definito su X, è chiuso.

Sia xn → x0 tale che Axn → y0 (rispettivamente nelle norme di X e di Y ). Allora,

xn x0 e quindi, per le ipotesi, Axn Ax0; D’altra parte, Axn → y implica Axn y.

Per l’unicità del limite debole, y = Ax 0 ossia la successione di punti ( (xn, Axn) ) se

converge, converge ad un punto del grafico, che quindi è chiuso.

Ciò prova che l’operatore lineare A è chiuso e quindi, avendo dominio uguale ad X,

continuo.

Si osservi che la dimostrazione precedente fa uso sia del teorema di Hahn-Banach che

del Teorema di Baire.



Il teorema vale in qualsiasi spazio duale. Però la dimostrazione che presentiamo usa

un’ipotesi ulteriore, non richiesta dal teorema: presentiamo la dimostrazione nel caso

in cui lo spazio X è separabile. Dunque supponiamo l’esistenza di una successione

(xn) la cui immagine è densa in X . Se vale quest’ipotesi, la dimostrazione si ottiene

usando il procedimento diagonale di Cantor.

Sia (y∗n) una successione limitata in X ∗, ||y∗

n|| < α. Vogliamo estrarne una

s.successione convergente.

Consideriamo la successione numerica (〈〈y∗n, x1〉〉). Questa è limitata e quindi

ammette una s.successione convergente. Indichiamola (〈〈y ∗n,1, x1〉〉). Consideriamo

quindi (〈〈y∗n,1, x2〉〉). Anche questa successione è limitata e quindi se ne estrae una

s.successione convergente, che indichiamo (〈〈y ∗n,2, x2〉〉). Procedendo in questo modo

si costruisce la tavola seguente:

339

5. SPAZI DI BANACH

〈〈y∗1,1, x1〉〉〈〈y∗

2,1, x1〉〉〈〈y∗3,1, x1〉〉〈〈y∗

4,1, x1〉〉 . . .

〈〈y∗1,2, x2〉〉〈〈y∗

2,2, x2〉〉〈〈y∗3,2, x2〉〉〈〈y∗

4,2, x2〉〉 . . ....

〈〈y∗1,k, xk〉〉〈〈y∗

2,k, xk〉〉〈〈y∗3,k, xk〉〉〈〈y∗

4,k, xk〉〉 . . ....

la successione (y∗n,k) che figura su ciascuna riga è s.successione di tutte le successioni

y∗n,r, con r < k; e quindi (〈〈y∗

n,k, xr〉〉) converge, per ogni r ≤ k.

Dunque, la successione diagonale (y∗n,n) ha la proprietà che (〈〈y∗

n,n, xr〉〉) converge

per ogni r.

Proviamo che in realtà la successione (〈〈y∗n,n, x0〉〉) converge per ogni x0 ∈ X . Basta

provare che essa è fondamentale, dato che essa prende valori in F.

Si fissi per questo ε > 0 ed x0 ∈ X , qualsiasi. Sia N tale che

||x0 − xN || < ε/(3α) .

Si noti che N dipende da x0. Si stimi quindi

|〈〈y∗m,m, x0〉〉 − 〈〈y∗

n,n, x0〉〉|

≤ |〈〈y∗m,m, x0 − xN 〉〉| + |〈〈y∗

m,m − y∗n,n, xN 〉〉 + |〈〈y∗

n,n, xN − x0〉〉| .

Il primo e l’ultimo addendo sono minori di ε/3, per la scelta fatta di xN . L’addendo

intermedio è minore di ε/3 se m, n superano un numero N , che dipende da ε e da N

ossia da ε e da x0. Ciò prova la convergenza della successione di numeri (〈〈y ∗n,n, x〉〉),

per ogni x ∈ X .

Si costruisce ora un funzionale y∗0 su X ponendo

〈〈y∗0 , x〉〉 = lim〈〈y∗

n,n, x〉〉 .

E’ immediato verificare che y∗0 è lineare. Inoltre, y∗

0 è continuo perché la succesione

(y∗n) è limitata, ||y∗

n||X∗ < α per ogni n così che per ||x||X < 1,∣∣∣∣〈〈y∗0 , x〉〉

∣∣∣∣ = lim∣∣∣∣〈〈y∗

n,n, x〉〉∣∣∣∣ ≤ α .

340

5. SPAZI DI BANACH

Dunque y∗0 è continuo. E quindi, y∗

0 = w∗− lim y∗n,n. Ciò è quanto volevamo provare.

Osservazione 5.159. Nel caso in cui il duale X ∗ di X sia separabile, può

sembrare possibile applicare il ragionamento precedente ad una successione (xn)

di X , arrivando a provare un analogo del teorema di Alaoglu in X . Ci si convinca

che ciò è falso esaminando bene la dimostrazione e notando che, tentando di ripetere

la dimostrazione, NON si proverebbe la convergenza debole di (xn) in X , ma la

convergenza debole stella di (jxn) in X∗∗.

5.11. ESEMPI DI SPAZI DUALI

Sia X uno spazio di Banach. Per definizione, X ∗ è lo spazio (di Banach) dei funzionali

lineari e continui su X . Il problema che vogliamo studiare ora è il seguente: se

X è uno spazio “particolare”, per esempio uno spazio di funzioni o di successioni,

vogliamo vedere se esiste un altro spazio “particolare” Y che è isometricamente

isomorfo ad X∗; ossia tale che esista una trasformazione L da Y in X ∗ che è 1)

suriettiva; 2) isometrica; 3) lineare (se Φ = R) oppure antilineare (se Φ = C). 5

Ricordiamo che la trasformazione L è isometrica quando

||Ly||X∗ = ||y||Y .

E quindi una trasformazione isometrica è necessariamente iniettiva.

In questo caso, Y viene ad avere tutte le proprietà topologiche di X ∗. Inoltre,

definendo yn y0 quando w∗− limLyn = Ly0 si trasferiscono ad Y le proprietà

della convergenza debole stella di X ∗. Si dice allora che Y è una realizzazione di X ∗

e, frequentemente, non si distingue tra Y ed X ∗.

Un esempio particolare è ben noto: se X = l2(n), lo spazio euclideo n-dimensionale,

allora una realizzazione del duale è lo spazio stesso.

5Una trasformazione L si dice antilineare se vale L(αx + βy) = αLx + βLy.

341

5. SPAZI DI BANACH

Non sempre è possibile trovare delle realizzazioni concrete (e comode) di uno

spazio duale; e d’altra parte esistono spazi di Banach che non sono isometri-

camente isomorfi a nessuno spazio duale. Per questo conviene elencare alcuni

casi particolarmente importanti. Prima di presentare le dimostrazioni, raccogliamo

i risultati nella tabella seguente:

spazio duale

l1 l∞

lp , p < +∞ lp′, p′ = p/(p− 1)

c0 l1

L1(Ω) L∞(Ω)

Lp(Ω) , p < +∞ Lp′(Ω) , p′ = p/(p − 1)

C(a, b) NV (a, b)

Lo spazio NV (a, b) è definito in seguito.

Non abbiamo inserito nella tabella precedente gli spazi l∞ ed L∞(Ω). Realizzazioni

dei loro duali sono note, ma per descriverle avremmo bisogno di conoscenze di teoria

della misura che non abbiamo presentato.

Il duale di lp, 1 ≤ p < +∞

Per caratterizzare il duale di lp ed anche di c0 abbiamo bisogno di una particolare

successione di elementi dello spazio lp stesso, che indichiamo con (e(n)). Dunque,

ciascun e(n) è a sua volta una successione di numeri. Per definizione,

e(n)i =

1 se i = n

0 altrimenti.5.64

Notiamo che ||e(n)||p = 1 per ogni p, 1 ≤ p ≤ +∞ e che lo spazio lineare generato

dagli elementi e(n) è denso in lp per ogni p, 1 ≤ p < +∞. Non è invece denso in l∞.

Sia X = lp con 1 ≤ p < +∞. In questo caso una realizzazione di X ∗ è

lp′

con p′ =

+∞ se p = 1

pp−1 se p > 1 .

5.65

342

5. SPAZI DI BANACH

Proviamo ciò prima di tutto nel caso p = 1. Sia (yn) ∈ L∞. Si vede immediatamente

che il funzionale lineare x∗, dipendente da (yn),

〈〈x∗, x〉〉 =+∞∑n=0

ynxn 5.66

è lineare, ed è continuo perché

|〈〈x∗, x〉〉| = |+∞∑n=0

ynxn| ≤ supn|yn| · ||x||1 .

Inoltre, la trasformazione y = (yn) → x∗ è antilineare e si vede facilmente che è

isometrica. Infatti, la disuguaglianza precedente mostra che

||x∗|| = sup||x||1=1

〈〈x∗, x〉〉 ≤ ||y||∞ . 5.67

Per vedere che vale anche la disuguaglianza inversa, e quindi l’uguaglianza, si scelga

la successione x(N) definita da

x(N)r =

yr

|yr| se r = N e yr = 0

0 altrimenti.

Ovviamente, ||x(N)||1 ≤ 1 e

supN

〈〈x∗, x(N)〉〉 = supN

|yN | = ||y||∞

e quindi in 5.67 vale l’uguaglianza.

Per completare la dimostrazione, dobbiamo far vedere che la trasformazione che ad

y ∈ l∞ associa x∗ ∈ (l1)∗ data da 5.66 è suriettiva; ossia dobbiamo assegnare un

qualsiasi x∗ ∈ (l1)∗ ed associargli un opportuno y ∈ l∞, in modo che valga 5.66. Per

costruire y consideriamo la successione e(n) in 5.64. Definiamo y ponendo

yn = 〈〈x∗, e(n)〉〉 .

Da

|yn| ≤ ||x∗||

segue che y ∈ l∞.

Sia ora x ∈ l1. Associamogli la successione x(N) definita come segue:

x(N) =N∑

k=0

xke(k) ossia x(N)k =

xk se k ≤ N

0 altrimenti.

343

5. SPAZI DI BANACH

Si ha

〈〈x∗, x〉〉 = limN

〈〈x∗, x(N)〉〉 = limN

〈〈x∗,N∑

k=0

xke(k)〉〉

= limN

N∑k=0

xk〈〈x∗, e(k)〉〉 = limN

N∑k=0

ykxk =+∞∑k=0

ykxk .

Si noti che l’ultima uguaglianza si giustifica perchè già sappiamo che y ∈ l∞ e già

sappiamo che, in tal caso,

x →+∞∑k=0

ykxk

è continua su l1.

Ciò completa l’analisi del caso p = 1.

In modo analogo trattiamo il caso 1 ≤ p < +∞.

Siano x = (xn) ∈ lp ed y = (yn) ∈ lp′. Dalla disuguaglianza di H’older si vede che:

+∞∑k=0

ynxn ≤ ||(yn)||p′ · ||(xn)||p = ||y||p′ · ||x||p .

Ciò mostra che la trasformazione lineare

x →+∞∑k=0

ykxk

è continua su lp e suggerisce di considerare la trasformazione L da Y = l p′in X∗:

(Ly)(x) =+∞∑k=0

ynxn ,

che è chiaramente iniettiva e inoltre

||Ly||X∗ ≤ ||y||p′ .

Si vede che vale l’uguaglianza. Infatti, sia

xn =(|yn|p

′/p yn

|yn|

)1

||y||(p′/p)

p′se yn = 0, xn = 0 altrimenti.

Si vede facilmente che x = (xn) è un elemento di X = lp di norma 1. Per esso vale

(Ly)(x) =1

||y||p′/p

p′||y||p

′p′ = ||y||p′ .

In questo modo si è trovata una trasformazione antilineare L che è isometrica da l p′in

(lp)∗.

344

5. SPAZI DI BANACH

Per concludere, basta mostrare che L è suriettiva, ossia che ogni elemento di (l p)∗ si

rappresenta come in 5.65. Sia allora x∗ ∈ (lp)∗. Dobbiamo prima di tutto trovare una

successione da associare a x∗. Per questo usiamo ancora la successione e(n) definita

in 5.64 e definiamo

yi = 〈〈x∗, e(i)〉〉 .

In questo modo si costruisce una successione y = (y i).

Proviamo prima di tutto che y ∈ lp′, ||y|| ≤ ||x∗||. Proveremo infine che

〈〈x∗, x〉〉 =+∞∑i=1

yixi . 5.68

Introduciamo la successione x(n) ∈ lp definita da

x(n) = x(n)i con x

(n)i =

|yi|p

′−1 yi

|yi| se i ≤ n e yi = 0

0 altrimenti.

Ovviamente, x(n) ∈ lp per ogni n e

〈〈x∗, x(n)〉〉 ≤ ||x∗|| · ||x(n)||p

e, d’altra parte,

〈〈x∗, x(n)〉〉 =n∑

i=1

|yi|p′.

Passando al limite rispetto ad n si trova

||y||p′ ≤ ||x∗|| .

Dunque, y ∈ lp′

e ||y|| ≤ ||x∗||.

Proviamo ora che vale la 5.68. Fissato l’elemento x ∈ lp, consideriamo la successione

x(n) di elementi di lp,

x(n) =n∑

i=0

xiei , ossia x(n)

r =

xr se r ≤ n

0 se r > n .

Si vede che, se p < +∞,

x = limr→+∞x(n) .

Questo limite si calcola nella norma di lp. Dunque, essendo x∗ continuo,

limn〈〈x∗, x(n)〉〉 = 〈〈x∗, x〉〉 .

345

5. SPAZI DI BANACH

Inoltre,

limn〈〈x∗, x(n)〉〉 = lim

+∞∑r=0

yrx(r)n = lim

n∑r=0

yrxn =+∞∑i=0

yrxr

perchè si è già provato che y ∈ lp′e quindi che x →

∑+∞i=0 yrxr è un funzionale

continuo. Si trova così che vale la rappresentazione

〈〈x∗, x〉〉 =+∞∑i=0

yrxr .

Osservazione 5.160. Nel caso particolare p = 2, una realizzazione del duale di l 2

è lo spazio stesso.

Il duale di c0

Ricordiamo che il simbolo c0 indica il s.spazio di l∞ i cui elementi sono le successioni

che convergono a zero. Proviamo che il duale di c 0 è realizzato da l1. Per provare

questo notiamo che se (ξk) ∈ l1 allora la trasformazione

x →+∞∑k=1

ξkxk 5.69

è lineare e continua su l∞ e che la trasformazione da ξ ∈ l1 al funzionale definito

da 5.69 è isometrica e antilineare. Queste proprietà si conservano sostituendo l∞ con

c0.

Dobbiamo provare che ogni x∗ ∈ (c0)∗ ammette la rappresentazione 5.69.

Notiamo prima di tutto che ogni lp, p < +∞, è un sottospazio di c0 e che

l’immersione di lp in c0 è continua. Dunque, ogni funzionale lineare continuo su

c0 è anche un funzionale lineare continuo su l p, per ogni p < +∞. Ciò suggerisce di

porre ancora

ξi = 〈〈x∗, e(i)〉〉 .

Si trova così un vettore ξ = (ξi), candidato ad essere un rappresentante di x∗.

Come si è detto, il vettore ξ è nel duale lp′di lp per ogni p < +∞. In particolare

quindi è in l∞. Proviamo che inoltre tale vettore è anche in l 1. Scegliamo per questo

la seguente successione x(n) in c0:

346

5. SPAZI DI BANACH

x(n)r =

ξr

|ξr| se r ≤ n e ξr = 0

0 altrimenti=

∑r≤nξr =0

ξr

|ξr|e(r) .

Dato che (ξn) ∈ l∞, la successione (x(n)) è una successione limitata in c0. Esiste

quindi un numero M tale che∣∣∣〈〈x∗, x(n)〉〉∣∣∣ =∑ |ξr| < M

per ogni n. Ciò prova che (ξr) ∈ l1.

Ora, per ogni x ∈ c0, x = (xi), vale:

〈〈x∗, x〉〉 = limN

〈〈x∗,N∑

i=0

xiei〉〉 = limN

N∑i=0

ξixi =+∞∑i=0

ξixi .


Osservazione 5.161. Notiamo nuovamente che nella dimostrazione si usa la densità

in c0 della successione e(i). Questa successione è densa in lp per 1 ≤ p < +∞ e

anche in c0; ma non in l∞.

Il duale di Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞

In questo caso X∗ è isometricamente isomorfo a Lp′(Ω), con

p′ =p

p − 1se p > 1; L∞(Ω) se p = 1.

Ciò vale con Ω ⊆ Rn, limitato o meno.

Accenniamo alla dimostrazione nel caso p = 1 e Ω = (a, b).

E’ ovvio che per ogni ξ ∈ L∞(a, b), il funzionale su L1(a, b) definito da

x →∫ b

a

ξ(s)x(s) ds

è continuo, di norma minore o uguale a ||ξ||∞ e in realtà si vede che vale

l’uguaglianza.

Viceversa, sia x∗ un funzionale lineare e continuo su L1(a, b). Dobbiamo associargli

una funzione ξ(s) ∈ L∞(a, b) tale che

〈〈x∗, x〉〉 =∫ b

a

ξ(s)x(s) ds .

347

5. SPAZI DI BANACH

Introduciamo la famiglia delle funzioni χ t(s), una funzione per ogni t ∈ (a, b),

χt(s) =

1 se a < t < s

0 altrimenti5.70

e studiamo i valori che x∗ assume su queste funzioni. La ragione di ciò è che6 le

funzioni a costanti a tratti sono dense in L1(a, b).

Associamo ad x∗ ∈ (L1(a, b))∗ la funzione

g(t) = 〈〈x∗, χt〉〉

E’:

|g(t) − g(t′)| = |〈〈x∗, χt − χt′〉〉 ≤ ||x∗|| · ||χt − χt′ ||1 = ||x∗|| · |t − t′| .

Dunque la funzione g(t) è lipschitziana e quindi è assolutamente continua. Per essa

vale

g(t) =∫ t

a

ξ(s) ds

e inoltre ξ(s) è q.o. la derivata di g(t). Dunque ξ ∈ L∞(a, b) perché il rapporto

incrementale di g è limitato.

Notiamo che

〈〈x∗, χt〉〉 = g(t) =∫ t

a

ξ(s) ds =∫ b

a

ξ(s)χt(s) ds .

Una qualunque funzione a scala si rappresenta come combinazione lineare di funzioni

χt:

ψ(t) =n∑

i=1

ψiχti(s)

e quindi

〈〈x∗, ψ〉〉 =n∑

i=1

ψi

∫ b

a

ξ(s)χti(s) ds =∫ b

a

ξ(s)ψ(s) ds .

6Questa proprietà non è stata provata nella parte relativa all’integrale di Lebesgue. E’ stato

provato però che sono dense le funzioni semplici, ossia costanti su insiemi misurabili. La

densità delle funzioni costanti a tratti, ossia costanti su intervalli, discende dal fatto che ogni

insieme misurabile si approssima mediante unioni di intervalli.

348

5. SPAZI DI BANACH

Abbiamo già notato che il funzionale

x →∫ b

a

ξ(s)x(s) ds

è continuo.

Sia ora x ∈ L1(a, b). Esiste una successione di funzioni a scala ψn convergente ad x

in L1(a, b). Allora,

〈〈x∗, x〉〉 = limN

〈〈x∗, ψN 〉〉 = limN

∫ b

a

ξ(s)ψN (s) ds =∫ b

a

ξ(s)x(s) ds .


Osservazione 5.162. Una dimostrazione del tutto analoga porta ad identificare il

duale di Lp(Ω), per ogni p < +∞. Invece gli argomenti precedenti non si estendono

al caso L∞(Ω) perché le funzioni costanti a tratti non sono dense in L∞(Ω).

Il duale di C(a, b)

Introduciamo ora una realizzazione del duale di C(a, b), lo spazio di Banach delle

funzioni continue sull’intervallo limitato e chiuso [a, b], con la norma dell’estremo

superiore. Fissiamo un elemento x∗ del duale. Per rappresentarlo, procediamo in tre

passi:

PASSO 1) Introduciamo lo spazio lineare di tutte le funzioni limitate su [a, b], continue

o meno, dotato della norma dell’estremo superiore. Si trova uno spazio di Banach che

indicheremo col generico simbolo B.

C(a, b) essendo un s.spazio di B, il funzionale lineare e continuo x∗, definito su

C([a, b]), si estende ad in funzionale lineare continuo su B, con la stessa norma,

per il Teorema di Hahn-Banach. Tale estensione non è unica. Fissiamone una, che

indichiamo col simbolo x∗.

Per ogni t ∈ [a, b], introduciamo le funzioni definite come in 5.70 e la funzione

v(t) = 〈〈x∗, χt〉〉 .

Sia ora f ∈ C(a, b). Essendo [a, b] compatto, la funzione f è uniformemente continua

e quindi si approssima in modo uniforme con funzioni costanti a tratti. Queste possono

349

5. SPAZI DI BANACH

costruirsi scegliendo un insieme finito tini=1 di punti di [a, b], abbastanza fitto, e

quindi definendo

zn(t) = f(ti−1) ∀t ∈ [ti−1, ti)

ossia

zn(t) =n∑

i=1

f(ti−1)[χti(s) − χti−1(s)] .

Si ha quindi

〈〈x∗, f〉〉 = 〈〈x∗, f〉〉 = lim〈〈x∗, zn〉〉 = limn∑

i=1

f(ti−1)[〈〈x∗, χti(s)〉〉 − 〈〈x∗, χti−1(s)〉〉]

= limn∑

i=1

f(ti−1)[vti(s) − vti−1(s)] .

Si noti che nel caso particolare in cui v(t) = t, tale limite è∫ b

af(s) ds.

PASSO 2) Introduciamo un simbolo per indicare il limite precedente,∫ b

a

f dv = limn∑

i=1

f(ti−1)[vti(s) − vti−1(s)] 5.71

(ovviamente, il limite non dipende dalla partizione scelta per definirlo, dato che esso

deve essere 〈〈x∗, f〉〉).

Il particolare integrale definito da 5.71 si chiama integrale di Stiltjes.

Si osservi che la rappresentazione di x∗ come integrale di Stiltjes usa la continuità

uniforme di f ; e quindi in generale x∗ non avrà tale rappresentazione.

PASSO 3) Ricapitolando, abbiamo rappresentato ogni elemento del duale di C(a, b)

come un integrale di Stiltjes. Dobbiamo ora studiare le proprietà di tale integrale, per

trovare uno spazio di Banach che realizzi [C(a, b)]∗.

Si han∑

i=1

|v(ti) − v(ti−1)| =n∑

i=1

sgn [v(ti) − v(ti−1)][v(ti) − v(ti−1)]

n∑i=1

〈x∗,sgn [v(ti) − v(ti−1)][χti − χti−1 ]

〉〉

= 〈x∗,n∑

i=1

sgn [v(ti) − v(ti−1)][χti − χti−1 ]

〉〉

350

5. SPAZI DI BANACH

≤ ||x∗|| sups

n∑i=1

|χti(s) − χti−1(s)| = ||x∗|| = ||x∗||

perché la differenza |χti(s) − χti−1(s)| vale 1 oppure 0.

Questa disuguaglianza vale per ogni suddivisione dell’intervallo [a, b] in un numero

finito di punti e quindi esiste un numero M , M = ||x∗||, tale che

V ba v = sup

ti

∑|v(ti) − v(ti−1)| < M .

Funzioni v con questa proprietà si dicono a variazione limitata.

La struttura delle funzioni a variazione limitata è stata studiata con estrema precisione.

Si prova in particolare che ogni funzione a variazione limitata è differenza di due

funzioni monotone e che, quindi, i suoi punti di discontinuità sono salti. Si prova

inoltre che

sup||f ||<1

∫ b

a

f dv = V ba v

e questo suggerisce di scegliere come spazio per rappresentare [C(a, b)] ∗ uno spazio

di funzioni a variazione limitata. Bisogna però notare che può aversi∫ b

a

f dv =∫ b

a

f dv′ ∀f ∈ C(a, b)

anche con v = v′. E quindi la rappresentazione che abbiamo trovato per x ∗ non

è unica. Si prova però che l’uguaglianza può aversi, per ogni f , solo se v e v ′

differiscono per il valore che assumono in un punto di salto oppure nell’estremo

sinistro a dell’intervallo. Ciò suggerisce di definire

NV (a, b)

lo spazio delle funzioni a variazione limitata normalizzate su [a, b], continue a sinistra

e nulle in a, dotato della norma

V ba (v) .

Si prova che questo spazio è di Banach e che vale:

Teorema 5.163 (di Riesz). Lo spazio NV (a, b) è una realizzazione del duale di

[C(a, b)]∗ e ogni x∗ ∈ [C(a, b)]∗ si rappresenta (in modo unico) come

〈〈x∗, f〉〉 =∫ b

a

f dv , v ∈ NV (a, b) .

351

5. SPAZI DI BANACH

Il duale di C(K)

Ricordiamo che simbolo C(K) l’insieme K è compatto.

Non abbiamo gli strumenti per studiare il duale di C(K). Possiamo però descrivere

come si rappresenta l’azione su C(K) di un elemento x∗ del suo duale. Per ogni

x∗ ∈ (C(K))′ si trovano una misura di Borel m ed una funzione ψ(s) misurabile

secondo Borel su K e tale che

|ψ(s)| = 1 q.o. s ∈ K

e per la quale vale

〈〈x∗, x〉〉 =∫

K

ψ(s)x(s) dm

5.11.1 Relazione tra le convergenze debole e debole stella

Avendo a disposizione gli esempi precedenti, possiamo chiarire meglio le relazioni tra

le convergenze debole e debole stella, quando queste si possano definire sul medesimo

spazio, che in tal caso è lo spazio X ∗ duale di uno spazio di Banach X .

Queste due nozioni di convergenza non sono indipendenti. Infatti:

Teorema 5.164. Sia x∗n una successione in X ∗. Se essa converge debolmente ad

x∗0, allora essa converge anche debole stella al medesimo x0.

DIMOSTRAZIONE

Ciò discende dal fatto che si è già notato che X è isometrico ad un s.spazio di X ∗∗.

L’esempio seguente mostra che non vale l’implicazione inversa.

Esempio 5.165. Sia X = c0, X∗ = l1 ed X∗∗ = l∞.

In X∗ = l1 si consideri la successione e(n) definiti da 5.64.

Se x ∈ c0, x = (xn) allora

〈〈x, e(n)〉〉 = xn → 0 e quindi w∗− lim e(n) = 0 .

352

5. SPAZI DI BANACH

Invece, se x ∈ l∞ = X∗∗ è la successione ogni cui elemento vale 1,

〈〈x, e(n)〉〉 = 1 e quindi la successione (e(n)) non converge debolmente a 0.

5.12. LO SPETTRO DI UN OPERATORE

Se X ha dimensione finita è noto che molte informazioni si ottengono studiando gli

autovalori della trasformazione, i quali hanno spesso iterpretazioni fisiche importanti.

Vogliamo ora estendere questo tipo di studio a generici spazi di Banach. In tal caso

la situazione è resa complessa dall’esistenza di operatori lineari non continui e di

sottospazi non chiusi, due fatti che non si verificano in dimensione finita.

Si sa che, anche in dimensione finita, autovalori ed autovettori possono solo trovarsi

se il campo scalare è quello dei numeri complessi. Per questo supporremo F = C.

In dimensione finita, un numero complesso z0 si dice un autovalore di A se

(z0I − A)x = y

non è risolubile per ogni y; equivalentemente, se la soluzione x, quando esiste, non

è unica. L’esempio seguente mostra che la non risolubilità per ogni y in dimensione

infinita non equivale alla non unicità.

Esempio 5.166. Sia X = lp, per un qualsiasi p ∈ [1, +∞] e siano T ed S definiti

da

S[

x0 x1 x2 . . .]

=[

0 x0 x1 . . .]

T[

x0 x1 x2 . . .]

=[

x1 x2 x3 . . .]

.5.72

E’ chiaro che

kerS = 0 e im S = X ,

kerT = 0 e im T = X .

353

5. SPAZI DI BANACH

I due operatori precedenti sono particolarmente importanti. In particolare, l’operatore

S si chiama operatore di traslazione (sottinteso, verso destra).

Ricordiamo inoltre che se l’equazione

(zI − A)x = y 5.73

è risolubile in modo unico allora (zI − A) ammette inverso, definito sulla sua

immagine e questo è un operatore lineare. Ma, in generale, l’inverso non è continuo.

Queste considerazioni suggeriscono la definizione seguente, che si applica ad ogni

operatore lineare A da X in X , anche non continuo ma con dominio denso:

Definizione 5.167. Sia A lineare da X in X , con dominio denso. Si chiama insieme

risolvente di A l’insieme dei numeri complessi z tali che la 5.73 ammette un’unica

soluzione x per ogni y in un s.insieme denso di X e tali che, inoltre, l’inverso (zI −

A)−1 sia continuo.

Se z appartiene all’insieme risolvente di A, l’operatore (zI − A)−1 si chiama

l’operatore risolvente di A.

L’insieme risolvente si indica col simbolo ρ(A). Il suo complementare si indica col

simbolo σ(A) e si chiama lo spettro dell’operatore A.

Da un punto di vista logico, z ∈ σ(A) se si verifica uno dei casi seguenti, mutuamente

incompatibili:

i) ker(zI − A) = 0;

ii) ker(zI − A) = 0 ma im (zI − A) non denso in X ;

iii) ker(zI − A) = 0, im (zI − A) denso in X ma (zI − A)−1 non continuo.

Definiamo quindi:

– spettro di punti l’insieme dei numeri z per i quali si verifica il caso i);

– spettro residuo l’insieme dei punti per i quali si verifica il caso ii);

354

5. SPAZI DI BANACH

– spettro continuo l’insieme dei punti per i quali si verifica il caso iii).

Gli elementi dello spettro di punti si chiamano autovalori dell’operatore A.

Abbiamo definito una partizione dello spettro di A in tre s.insiemi. Essi si indicano

rispettivamente con i simboli

σp(A) , σr(A) , σc(A) .

In dimensione finita solo il caso i) può verificarsi. Mostriamo che, invece, in

dimensione infinita anche gli altri casi possono verificarsi.

Esempio 5.168. Sia S l’operatore definito in 5.72. Si vede facilmente che 0 ∈ σr(S)

(invece, 0 ∈ σp(T )).

Mostriamo un operatore con spettro continuo non vuoto. Sia X = l 2 e sia A definito

come segue:

A[

x0 x1 x2 . . . xn . . .]

=[

x012x1

13x2 . . . 1

n+1xn . . .]

.

L’equazione Ax = y è risolubile per ogni successione (yn) definitivamente nulla,

ossia per ogni y in un s.spazio denso di X = l2, ed è

[x0 x1 x2 . . . xn . . .

]=[

y0 2y1 3y2 . . . (n + 1)yn . . .]

.

Dunque, l’inverso non è continuo.

Grazie al teorema fondamentale dell’algebra, si sa che in dimensione finita lo spettro

non è mai vuoto ed è un insieme finito. Mostriamo invece che esistono operatori

lineari su spazi di Banach, con spettro vuoto ed operatori con risolvente vuoto.

Esempio 5.169. Sia X = L2(0, 1) e siano A e B definiti come segue:

domA = x ∈ C(0, 1) | x′ ∈ L2(0, 1) , Ax = x′ ,

domB = x ∈ C(0, 1) | x′ ∈ L2(0, 1) , x(0) = 0 , Bx = x′ .

355

5. SPAZI DI BANACH

Allora σ(A) = σp(A) = C perché per ogni z vale (z − A)χz = 0, con χz(t) = ezt.

Invece, σ(B) = ∅ perché

(zI − B)x = y ⇐⇒

x′ = zx − y

x(0) = 0 .

Dunque x è dato da

x(t) = −∫ t

0

ez(t−s)y(s) ds

così che l’operatore (zI − B)−1 è continuo.

Nell’esempio precedente intervengono, vedremo non per caso, operatori che non sono

continui; ma anche lo spettro di operatori continui può avere una struttura piuttosto

complessa:

Esempio 5.170. Sia X = l2 e sia T l’operatore definito in 5.72. Risolvendo

(zI − T )x = 0

si trova come soluzione:

x = q[

1 z z2 z3 . . .]

con q ∈ C qualsiasi. Questa successione appartiene ad l 2 per ogni z di modulo

minore di 1. Dunque, σp(T ) ⊇ z | |z| < 1.

Nonostante questi esempi, spettro e risolvente non possono essere insiemi qualsiasi.

Infatti:

Teorema 5.171. Se A è continuo, σ(A) ⊆ z | |z| ≤ ||A||.

DIMOSTRAZIONE

Supponiamo che A sia continuo e che sia |z| > ||A||. Vogliamo provare che in tal caso

z ∈ ρ(A). Scriviamo per questo

(zI − A) = z(I − K) , K =1

zA così che ||K|| < 1 .

356

5. SPAZI DI BANACH

Dunque,

(zI − A)−1 =1

z

+∞Xn=0

Kn =1

z

+∞Xn=0

An

zn. 5.74

Quest’operatore è continuo, dato che ||K|| = ||A/z|| < 1; e quindi z ∈ ρ(A).

Lo spettro non può essere un insieme qualsiasi nemmeno se l’operatore A non è

continuo. Infatti:

Teorema 5.172. Il risolvente è sempre un insieme aperto e quindi lo spettro è chiuso.

DIMOSTRAZIONE

Sia A qualsiasi, anche non continuo. Proviamo che il suo risolvente è aperto. Se esso

è vuoto niente va provato. Dunque supponiamo che esista un numero z 0 ∈ ρ(A) e

mostriamo che esso è interno al risolvente; ossia proviamo l’esistenza di ε > 0 (che

dipende sia da z0 che da A) tale che se |z| < ε allora z + z0 ∈ ρ(A). Per questo

scriviamo

(z + z0)I − A = zI + (z0I − A) = (z0I − A)ˆI + z(z0I − A)−1

˜. 5.75

Per il Teorema 5.171, l’operatore

ˆI + z(z0I − A)−1˜

è invertibile se

|z| < ε =1

||(z0I − A)−1||

e in tal caso (z + z0)I − A è invertibile con inverso limitato, essendo composizione di

operatori invertibili ciascuno con inverso limitato.

La 5.75 permette anche di trovare un’espressione per [(z + z0)I − A]−1:

[(z + z0)I − A]−1 =

+∞∑k=0

zn[(z0I − A)−1

]n(z0I − A)−1

=+∞∑k=0

zn[(z0I − A)−1

]n+1.

5.76

357

5. SPAZI DI BANACH

Dunque, fissato z0 ∈ ρ(A), la funzione [(z + z0)I − A]−1 si esprime come serie di

potenze di z, a coefficienti operatori limitati.

Chiameremo funzioni olomorfe a valori operatori quelle funzioni di z ∈ C che si

esprimono localmente, in un opportuno intorno di ogni punto z 0 del loro dominio,

mediante serie

+∞∑n=0

Kn(z − z0)n

convergenti (nella norma di L(X)). Dunque:

Corollario 5.173. Se l’operatore A ha risolvente non vuoto, la funzione z → (zI −

A)−1 è olomorfa su ρ(A).

Osservazione 5.174. Combinando il calcolo dell’esempio 5.170 con i teoremi 5.171

e 5.172, si vede che

σ(T ) = z | |z| ≤ 1 .

Torniamo ora a considerare un operatore continuo A. Si è detto che il suo risolvente

non è vuoto, e anzi contiene l’esterno del disco z | |z| ≤ ||A||. Naturalmente, esso

può anche estendersi all’interno di tale disco; ma non può riempirlo. Infatti:

Teorema 5.175. Sia A ∈ L(X). Lo spettro di A non è vuoto.

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione procede per assurdo, e va confrontata con la dimostrazione del

Teorema fondamentale dell’algebra.

Dal Corollario 5.173 si sa che, se σ(A) = ∅, la funzione (zI − A)−1 è olomorfa su C.

Dunque, per ogni x ∈ X, y∗ ∈ X∗, la funzione

z → f(z) = 〈〈y∗, (zI − A)−1x〉〉

è una funzione intera.

358

5. SPAZI DI BANACH

Dalla 5.76 si vede che per |z| → +∞, la funzione f(z) tende a zero; e quindi f(z) è

una funzione intera e limitata, e quindi costante. Dato che un suo limite è nullo, essa

deve essere identicamente zero.

Dunque, abbiamo provato che

〈〈y∗, (zI − A)−1x〉〉 ≡ 0 ∀x ∈ X , ∀y∗ ∈ X∗ .

Dato che X∗ distingue punti di X, deve essere

(zI − A)−1x ≡ 0

per ogni x ∈ X. Ciò non può darsi perché (zI − A)(zI − A)−1x = x per ogni x ∈ X.

La contraddizione trovata prova il teorema.

Nonostante che lo spettro di un operatore continuo non possa essere vuoto, può essere

che esso sia un insieme molto più piccolo del disco di raggio ||A||. Per esempio, in

dimensione 2, la trasformazione lineare la cui matrice è 0 1

0 0

ha norma 1 ed il solo autovalore 0. E’ un utile esercizio vedere che un caso analogo

può darsi anche in dimensione infinita.

Esempio 5.176. Sia X = L2(0, 1) e sia

Ax =∫ t

0

x(s) ds .

Si sa che A è continuo e si vede immediatamente che 0 ∈ σ(A), dato che A−1 è

l’operatore di derivazione, A−1y = y′, che non è continuo.

Mostriamo che ogni altro numero z appartiene al risolvente. Per questo risolviamo

(zI − A)x = y ossia zx(t) −∫ t

0

x(s) ds = y(t) .

Dividendo per z si trova

x(t) − 1zy(t) =

1z

∫ t

0

x(s) ds =1z

∫ t

0

[x(s) − 1

zy(s)

]ds +

∫ t

0

1z2

y(s) ds .

359

5. SPAZI DI BANACH

Quest’uguaglianza mostra che la funzione

ξ(t) = x(t) − 1zy(t)

è derivabile quasi ovunque, che ξ(0) = 0 e che

ξ′(t) =1zξ(t) − 1

z2y(t) ossia ξ(t) = − 1

z2

∫ t

0

e1z (t−s)y(s) ds .

Da qui,

x(t) =1zy(t) − 1

z2

∫ t

0

e1z (t−s)y(s) ds .

La trasformazione da y ad x è, per ogni fissato z = 0, lineare e continua. Dunque,

σ(A) = 0.

Questi esempi suggeriscono di chiamare raggio spettrale r(A) il numero

r(A) = max|z| | z ∈ σ(A) .

Il raggio spettrale di un operatore continuo si esprime in modo che richiama la formula

per il raggio di convergenza di una serie di potenze:

Teorema 5.177. Sia A ∈ L(X). Vale:

r(A) = lim n√||An|| .

DIMOSTRAZIONE

Si prova, esattamente come nel caso scalare, che una serie di potenze a valori ope-

ratori converge in un disco di centro z0, che si chiama ancora disco di convergenza,.

Questo disco coincide col disco di convergenza della serie di potenze

+∞Xn=0

||An||(z − z0)n .

Applicando questo alla serie 5.74 si vede che

r(A) = lim sup np

||An|| .

Si deve ora provare che in realtà esiste

360

5. SPAZI DI BANACH

lim np

||An|| .

Risulta più semplice provare l’esistenza del limite

lim1

nlog ||An|| .

Notiamo che

log ||An+m|| ≤ log ||An|| · ||Am|| ≤ log ||An|| + log ||Am|| .

Una successione di numeri (an), tutti positivi, che verificano

an+m ≤ an + am

si dice subadditiva. La dimostrazione del Teorema 5.177 si completa usando il lemma

seguente:

Lemma 5.178. Se la successione (an) è subadditiva allora esiste

lim1

nan .

DIMOSTRAZIONE

Si fissa un numero naturale m e si studiano i quozienti a n/n con n > m. Notiamo che

si può scrivere

n = md + r , 0 ≤ r < m

e quindi

an = amd+r ≤ dam + ar .

Dividiamo per n e passiamo al limite per n → +∞.

Il numero ar è funzione di n limitata al variare di r perché prende valori nell’insieme

finito a1,. . . , am−1. Dunque lim ar/n = 0.

Ancora perché r prende un numero finito di valori,

d

n=

n − r

nm=

1

m− r

nm→ 1

m.

Dunque,

lim supan

n≤ am

m∀m.

E quindi

361

5. SPAZI DI BANACH

lim supan

n≤ lim inf

an

n.

Ciò prova l’esistenza del limite.

Il teorema è così provato.

Esempio 5.179. Su R2 (riferito alla base canonica) consideriamo la trasformazione

lineare descritta mediante la matrice

A =

0 2

1 0

.

Per calcolare il raggio spettrale mediante la formula 5.177 bisogna prima di tutto

calcolare le potenze di A:

A2n = 2nI , A2n+1 = 2nA .

E’ immediatamente evidente che ||A|| = 2 e quindi

||A2n||1/2n =√

2 , ||A2n+1||1/(2n+1) = [√

2](2n+2)/(2n+1) .

Dunque, il raggio spettrale è√

2. Si noti che la successione (||An||1/n) non è

monotona.

5.12.1 Proiezioni spettrali

Sia X uno spazio di Banach e sia A un operatore, anche non continuo, da X in sé, con

dominio denso.

Abbiamo notato che il risolvente è una funzione analitica e ciò suggerisce di studiare

l’analogo, scritto per gli operatori, della formula integrale di Cauchy:

12πi

∫γ

f(z)(zI − A)−1 dz 5.77

ove γ è una curva semplice e chiusa7 il cui sostegno è contenuto in ρ(A). La funzione

f(z) è olomorfa.

7Come al solito, orientata in verso positivo, ossia antiorario.

362

5. SPAZI DI BANACH

Naturalmente, dovremo dare un senso all’integrale. Dato che la funzione a valori in

L(X)

z → f(z)(zI − A)−1

è uniformemente continua sul sostegno di γ, l’integrale si definisce coll’usuale metodo

di Riemann, come “limite” delle somme di Riemann. Lasciamo al lettore i semplici

dettagli.

Nonostante che la 5.77 abbia senso per ogni operatore lineare A da X in sé, purché

il sostegno di γ sia contenuto in ρ(A), noi ci limiteremo a considerare il cao degli

operatori A continui.

Per interpretare la 5.77, consideriamo la funzione

f(z) =+∞∑n=0

fnzn

e la serie corrispondente

+∞∑n=0

fnAn . 5.78

Nel caso particolare in cui f(z) = p(z) è un polinomio, la serie 5.78 è una somma

finita e definisce un operatore che, ovviamente, si indica col simbolo p(A). Per

esempio, se p(z) = z2, allora p(A) = A2. Se f(z) è una generica funzione analitica

la cui serie converge in un intorno di 0, la serie 5.78 in generale non converge, ma

certamente converge in L(X) se

||A|| < R

con R raggio di convergenza della serie di potenze di f(z). Infatti in tal caso∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

m∑n=k

fnAn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

m∑n=k

fn||A||n ≤m∑

n=k

fnrn , r < R ,

e la convergenza si vede dal test di Cauchy per la convergenza delle serie.

Ricapitolando, se ||A|| < R, la serie 5.78 definisce un operatore di L(X), che

indicheremo col simbolo

f(A) .

363

5. SPAZI DI BANACH

Ricordiamo ora che i coefficienti fn si rappresentano come

fn =1

2πi

∫γ

f(ζ)ζn+1

dζ

con γ curva semplice e chiusa orientata positivamente, il cui sostegno è contenuto nel

disco di convergenza di f(z).

Supponiamo che la curva γ racchiuda il disco z | |z| < r, con

||A|| < r < R . 5.79

In tal caso si trova

f(A) =+∞∑n=0

fnAn =1

2πi

+∞∑n=0

∫γ

f(ζ)An

ζn+1dζ

=1

2πi

∫γ

f(ζ)

(+∞∑n=0

An

ζn+1

)dζ =

12πi

∫γ

f(ζ)(ζI − A)−1 dζ .

Si noti che questo calcolo vale grazie alla condizione 5.79 e, se vale 5.79, allora si ha

anche

σ(A) ⊆ z | |z| < R .

Osservazione 5.180. Si noti che l’integrale 5.77 ha senso anche se γ, di sostegno

in ρ(A), racchiude solo una parte dello spettro di A. Però in tal caso non useremo la

notazione f(A) per indicarlo.

In un caso particolare è facile calcolare l’integrale 5.77: supponiamo che ρ(A)

contenga una regione di Jordan Ω e supponiamo che il sostegno di γ appartenga

a Ω. In questo caso un argomento analogo a quello usato nella dimostrazione del

teorema 5.175, basato sul teorema di Hahn–Banach, prova che l’integrale è nullo.

Ossia, il Teorema di Cauchy 1.31 vale anche per integrali della forma 5.77. Dunque, i

casi interessanti saranno quelli nei quali γ “gira” intorno a punti di σ(A). Per intuire

cosa dobbiamo attenderci, consideriamo l’esempio seguente:

Esempio 5.181. Sia X = C3 a sia

A =

0 1 0

0 0 0

0 0 2

così che (zI − A)−1 =

1/z 1/z2 0

0 1/z 0

0 0 1/(z − 2)

.

364

5. SPAZI DI BANACH

Sia γ una curva semplice e chiusa che racchiude 0 e che lascia fuori 2. Si calcola

immediatamente che

12πi

∫γ

(zI − A)−1 dz =

1 0 0

0 1 0

0 0 0

.

Si trova così la proiezione sull’autospazio generalizzato dell’autovalore 0.

Operando in modo analogo con una curva che racchiude 2 e lascia fuori 0 si trova la

proiezione sull’altro autospazio.

Abbiamo così calcolato l’integrale nel caso della funzione f(z) = 1. Se f(z) = z un

calcolo analogo dà

0 1 0

0 0 0

0 0 0

,

0 0 0

0 0 0

0 0 2

rispettivamente, a seconda della scelta della curva. Queste sono le restrizioni di A ai

due autospazi. Si trova così una “diagonalizzazione a blocchi” della matrice A.

Senza trattare l’integrale 5.77 in generale, vogliamo limitarci a considerare i due casi

f(z) = 1 ed f(z) = z, che sono particolarmente importanti per le applicazioni, e che

verranno usati nel paragrafo 6.6.5.

Generalizzando l’esempio 5.181, supponiamo che σ(A) = σ1(A) ∪ σ2(A) e che una

regione di Jordan Ω contenga σ1(A) e lasci fuori σ2(A). Sia γ una curva semplice e

chiusa col sostegno in Ω, che gira intorno a σ1(A), come nella figura 5.7, a sinistra:

In tal caso:

Teorema 5.182. Valgano le condizioni appena dette. L’operatore

P =1

2πi

∫γ

(zI − A)−1 dz

è una proiezione.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che vale il teorema di Cauchy. Usando ciò, una dimostrazione analoga a

quella del teorema 1.41, porta a concludere che due curve γ e γ ′ semplici e chiuse

365

5. SPAZI DI BANACH

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−6

−4

−2

0

2

4

6

γ σ

1(A)

σ2(A)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−6

−4

−2

0

2

4

6

γ σ

1(A)

σ2(A)

γ’

Fig. 5.7.

in Ω, che ambedue racchiudono σ1(A) e lasciano fuori σ2(A) (come in figura 5.7, a

destra) definiscono il medesimo operatore P :

P =1

2πi

Zγ

(zI − A)−1 dz =1

2πi

Zγ′

(ζI − A)−1 dζ .

Dunque,

P 2 =

1

2πi

Zγ

(zI − A)−1 dz

ff1

2πi

Zγ′

(ζI − A)−1 dζ

ff

=1

2πi· 1

2πi

Zγ

»Zγ′

(zI − A)−1(ζI − A)−1

–dζ dz .

Non è restrittivo supporre che la curva γ racchiuda la curva γ ′, come nella figura 5.7, a

destra. A questo punto usiamo una formula 8 che si chiama prima formula del risolvente

e che è di verifica immediata:

(zI − A)−1(ζI − A)−1 =1

ζ − z

ˆ(zI − A)−1 − (ζI − A)−1

˜.

Usando questa formula, si trova

P 2 =1

2πi

Zγ

»1

2πi

Zγ′

1

ζ − z(zI − A)−1 dζ − 1

2πi

Zγ′

1

ζ − z(ζI − A)−1 dζ

–dz .

8Si noti che questa formula estende l’uguaglianza, valida tra numeri,

1

(z − a)(ζ − a)=

1

ζ − z

»1

z − a− 1

ζ − a

–.

366

5. SPAZI DI BANACH

Ora, dal Teorema di Cauchy,

1

2πi

Zγ′

1

ζ − z(zI − A)−1 dζ = 0

perché il punto z, che è sulla curva γ, è nella regione esterna a γ ′.

Dunque rimane

P 2 = − 1

2πi

Zγ

»1

2πi

Zγ′

1

ζ − z(ζI − A)−1 dζ

–dz

=1

2πi

Zγ′

»−1

2πi

Zγ

1

ζ − zdz

–(ζI − A)−1 dζ .

L’integrando

z → 1

z − ζ

ha ζ per polo semplice, perché la curva γ ′ è racchiusa dalla curva γ. Dunque

−1

2πi

Zγ

1

ζ − zdz =

1

2πi

Zγ

1

z − ζdz = 1

e quindi

P 2 =1

2πi

Zγ′

(ζI − A)−1 dζ = P .

Supponiamo ora che σ1 e σ2 sino due s.insiemi limitati di σ(A), appartenenti alla

regione interna rispettivamente di γ1 e di γ2, curve di Jordan di sostegno in ρ(A) ed

esterne l’una all’altra come in figura 5.8.

Poniamo

P1 =1

2πi

∫γ1

(zI − A)−1 dz , P2 =1

2πi

∫γ2

(zI − A)−1 dz .

Una dimostrazione analoga a quella del teorema precedente porta a:

Teorema 5.183. Nelle ipotesi dette, si ha: P1P2 = P2P1 = 0. Inoltre X1 = im P1

ed X2 = im P2 sono spazi lineari invarianti per A e lo spettro della restrizione di A

ad im Pi è l’insieme σi. Tale restrizione è data da

Ax =1

2πi

∫γi

z(zI − A)−1x dz , ∀x ∈ Xi .

Omettiamo i dettagli della dimostrazione di questo teorema, che è analoga a quella del

teorema 5.182.

367

5. SPAZI DI BANACH

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−6

−4

−2

0

2

4

6

σ1(A)

σ2(A)

γ1

γ2

Fig. 5.8.

Si noti che il Teorema 5.183 mostra una diagonalizzazione a blocchi dell’operatore A,

analoga a quella vista nell’Esempio 5.181.

5.13. TRASFORMAZIONI NON LINEARI

Fino ad ora abbiamo trattato soltanto di operatori lineari. Vogliamo ora presentare

alcune considerazioni riguardanti i funzionali non lineari. Proviamo prima di tutto

un teorema di punto fisso, ossia diamo una condizione per l’esistenza di soluzioni di

un’equazione del tipo

f(x) = x .

In seguito, mostreremo come sia possibile estendere la prima formula degli incrementi

finiti e la formula di Taylor.

5.13.1 Teorema delle contrazioni e applicazioni

Supponiamo che f sia una trasformazione da uno spazio di Banach X in sé stesso,

non necessariamente lineare. Si dice che f(x) è una contrazione se esiste un numero

α ∈ [0, 1) tale che

||f(x) − f(x′)|| ≤ α||x − x′|| .

368

5. SPAZI DI BANACH

Una contrazione è lipschitziana e quindi continua.

Se f è una qualsiasi trasformazione da X in sé, un punto x0 ∈ X si chiama punto

fisso di f se

f(x) = x .

Vale:

Teorema 5.184 (delle contrazioni). Sia K un insieme chiuso dello spazio di

Banach X che è invariante per la contrazione f(x). Esiste uno ed un solo punto

fisso di f(x) che appartiene a K .

DIMOSTRAZIONE

Proviamo prima di tutto che il punto fisso, se esiste, è unico. Siano per questo x ed y

due punti fissi. Vale per essi

||x − y|| = ||f(x) − f(y)|| ≤ α||x − y||

ove α è strettamente minore di 1, per definizione di contrazione; e quindi la

disuguaglianza precedente può solo valere se x = y.

Proviamo ora l’esistenza del punto fisso.

Fissiamo k0 ∈ K e costruiamo la successione

k1 = f(k0) , . . . , kn = f(kn−1) .

Si noti che kn ∈ K per ogni n, perché f(K) ⊆ K.

Proveremo che (kn) è una successione fondamentale e quindi convergente dato che

lo spazio X è completo. Essendo K chiuso, il limite x 0 di (kn) è in K. Passando al

limite nei due membri dell’uguaglianza

kn = f(kn−1)

si trova

x0 = f(x0)

e quindi x0 è punto fisso di f .

Per completare la dimostrazione, basta mostrare che (kn) è una successione

fondamentale.

369

5. SPAZI DI BANACH

Stimiamo prima di tutto

||kn − kn−1|| = ||f(kn−1) − f(kn−2)|| ≤ α||kn−1 − kn−2|| .

Iterando si vede che

||kn − kn−1|| ≤ αn−1||k1 − k0|| .

Valutiamo ora

||kn+m − kn|| ≤ ||kn+m − kn+m−1|| + ||kn+m−1 − kn+m−2|| + · · · + ||kn+1 − kn||

≤ αn+m−1 + αn+m−2 + · · · + αn||k1 − k0|| ≤αn

1 − α||k1 − k0|| .

Ciò prova che la successione (kn) è fondamentale e completa la dimostrazione.

Osservazione 5.185. Sottolineiamo che la successione (kn) costruita nella

dimostrazione del teorema converge al punto fisso per ogni scelta del valore

iniziale k0.

Presentiamo ora una semplice modifica del teorema 5.184 che è spesso utile.

Indichiamo con f (n) la funzione su X ottenuta componendo f con sé stessa n–volte:

f (1)(x) = f(x) , f (k)(x) = f(f (k−1)(x)

).

Può accadere che f non sia una contrazione, ma che esista un numero ν per cui f (ν) è

una contrazione. Vale:

Corollario 5.186. Se f è continua e se f (ν) è una contrazione su un s.insieme K

chiuso di X tale che f(K) ⊆ K , allora f(x) ammette un punto fisso in K e questo è

unico.

DIMOSTRAZIONE

Notiamo che se f(x0) = x0 allora vale anche

f(f(x0)) = f(x0) = x0

e quindi x0 è anche punto fisso di f (2). Iterando questo procedimento, si vede che

x0 è anche punto fisso della contrazione f (ν). Ciò mostra l’unicità del punto fisso.

Proviamone ora l’ esistenza.

370

5. SPAZI DI BANACH

Si sa che esiste il punto fissa x0 di f (ν):

x0 = f (ν)(x0) .

Applicando f ai due membri dell’uguaglianza si vede che

f(x0) = f(f (ν)(x0)) = f (ν)(f(x0))

ossia, anche f(x0) è punto fisso della contrazione f (ν). L’unicità del punto fisso implica

che

f(x0) = x0 .

Osservazione 5.187. Osserviamo che la ricerca dei punti fissi conduce anche alla

ricerca di zeri di funzioni: il funto x0 verifica f(x0) = 0 se e solo se x0 è punto fisso

di F (x) = x − f(x).

Applicazioni: il metodo delle tangenti

E’ noto il metodo delle tangenti per la determinazioni di zeri di funzioni convesse

di variabile reale. Mostriamo come tale metodo si ritrovi mediante il teorema delle

contrazioni. Sia per questo f(x) convessa su R e di classe C 2. Supponiamo che la

derivata prima non si annulli e supponiamo che sia∣∣∣∣f(x)f ′′(x)f ′(x)2

∣∣∣∣ ≤ α < 1 .

La funzione

F (x) = x − f(x)f ′(x)

ha un punto fisso x0 se e solo se f(x0) = 0 e viceversa (si ricordi che la derivata non

si annulla).

Si calcola immediatamente che

F ′(x) =f(x)f ′′(x)

f ′(x)2

e quindi, nelle ipotesi fatte, F è una contrazione. Ha quindi un punto fisso che si

costruisce come segue: fissato un qualsiasi x0, il punto x1 è

x1 = F (x0) = x0 −f(x0)f ′(x0)

,

371

5. SPAZI DI BANACH

punto nel quale la tangente in (x0, f(x0)) al grafico di f ,

y = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) ,

taglia l’asse delle ascisse.

Ciò è l’interpretazione geometrica del punto x1 e quindi anche dei successivi punti xn

che approssimano lo zero di f(x).

Equazioni integrali di Fredholm ed equazioni differenziali ordinarie

Sia K(t, s, x) una funzione a valori reali continua su [a, b] × [a, b] × R, lipschitziana

nella terza variabile, uniformemente rispetto alla prima e alla seconda:

|K(t, s, x) − K(t, s, x′)| ≤ M |x − x′|

con M indipendente da t e da s. Consideriamo la trasformazione T µ da C(a, b) in sé

definita da

(Tµx)(t) = µ

∫ b

a

K(t, s, x(s)) ds + f(t)

con f(t) funzione continua fissata. E’ chiaro che

|(Tµx)(t) − (Tµx′)(t)| ≤ µ

∫ b

a

M |x(s) − x′(s)| ds ≤ µM(b − a)||x − x′||

e quindi la trasformazione T è una contrazione se

µM(b − a) < 1 . 5.80

Dunque:

Teorema 5.188. Se µM(b − a) < 1, l’equazione di Fredholm

x(t) = µ

∫ b

a

K(t, s, x(s)) ds + f(t) 5.81

ammette soluzione e questa è unica.

Si noti che la condizione 5.80 puó realizzarsi o con [a, b] fissato, prendendo µ piccolo,

o con µ fissato, spesso µ = 1, prendendo b − a piccolo.

Le ipotesi di questo teorema possono indebolirsi e in particolare si vede che anche

l’operatore

372

5. SPAZI DI BANACH

(Tµx)(t) = µ

∫ t

a

K(t, s, x(s)) ds + f(t)

è una contrazione se K(t, s, x) è continua per a ≤ s ≤ t ≤ b ed uniformemente

lipschitziana in x ∈ R. Nel caso particolare in cui f(t) = x0, costante, e

µK(t, s, x) = K(s, x), l’equazione 5.81 equivale a

x′(t) = K(t, x(t)) , x(a) = x0 . 5.82

Dunque,

Teorema 5.189. Sia K(t, x) continua in t, x ed uniformemente lipschitziana in x.

Il problema di Cauchy 5.82 ammette soluzione su (a, b), con b abbastanza piccolo, e

tale soluzione è unica.

5.13.2 I differenziali

Sia f(x) una trasformazione da uno spazio di Banach X in uno spazio di Banach Y .

Supponiamo che x0 sia un punto interno al suo dominio.

Nel caso in cui X = Rn si sa che si possono definire le “derivate direzionali” in x0 e

la “matrice jacobiana”, che rappresenta il “differenziale”. Vogliamo estendere queste

definizioni al caso in cui X è un generico spazio di Banach.

Sia v un qualsiasi elemento di X . Consideriamo il limite

limt→0

f(x0 + tv) − f(x0)t

.

Questo limite può esistere o meno. Se esiste si indica col simbolo

Dvf(x0)

e si chiama la derivata direzionale nella direzione v.

La derivata direzionale può esistere in una direzione e non esistere in altre direzioni;

e, se anche esiste in ogni direzione, la trasformazione

v −→ Dvf(x0) 5.83

è in generale non lineare, come prova l’esempio seguente.

373

5. SPAZI DI BANACH

Esempio 5.190. Si definisce una funzione f(x, y) su R2 come segue: prima di tutto

si fissa una successione di punti (xk, yk) due a due distinti, tutti di norma 1, ossia tutti

appartenenti alla circonferenza

C = (x, y) | x2 + y2 = 1 .

Fissato un qualsiasi punto (x, y) di R2 si considera il punto

(x, y)||(x, y)|| .

Questo può essere uno dei punti (xk, yk) o meno. Se non è uno di tali punti, si pone

f(x, y) = 0. Se invece esiste un indice k per cui

(x, y)||(x, y)|| = (xk, yk)

allora si definisce

f(x, y) = k||(x, y)|| = k√

x2 + y2 .

In particolare, f(0, 0) = 0.

Fissata una qualsiasi direzione v = (x, y), consideriamo i rapporti incrementali

f(tv)t

=f(tx, ty)

t.

Se v/||v|| non è uno dei punti (xk, yk), il valore del rapporto incrementale è zero per

ogni t; e quindi

limt→0

f(tv)t

= 0 .

Altrimenti, se esiste un indice kv per cui

v

||v|| = kv(xkv , ykv)

allora

limt→0

f(tv)t

= limt→0

tkv||v||t

= kv||v|| .

Dunque, df(x0, v) esiste per ogni direzione v, ma non è funzione lineare di v.

374

5. SPAZI DI BANACH

Quando invece l’operatore

v −→ df(x0, v) ,

è lineare, questo si chiama il differenziale di Gâteaux di f in x0.

Se esiste il differenziale di Gâteaux di f in x0 allora, per ogni v fissato, si ha

limt→0

∣∣∣∣∣∣∣∣f(x0 + tv) − f(x0)

t− df(x0, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 5.84

e quindi

f(x0 + tv) − f(x0)t

= df(x0, v) + o(t; x0, v)

ove o(t; x0, v) indica una funzione della variabile reale t a valori in X e tale che

limt→0

o(t; x0, v)t

= 0 .

Si noti però che il limite non è generalmente uniforme rispetto a v. Si consideri infatti

l’esempio seguente:

Esempio 5.191. Sia X = R2 e sia

f(x, y) =

1 se x2 < x < x4

0 altrimenti.

Si vede facilmente che il differenziale di Gâteaux di questa funzione in (0, 0) esiste e

vale 0. Però, il limite 5.84 non è uniforme rispetto alla direzione. Infatti, sulla retta

x = t , y = mt

la disuguaglianza ∣∣∣∣f(t, mt)t

∣∣∣∣ < ε

vale, per t > 0, quando 0 ≤ t ≤ 3√

m .

Si osservi che la funzione f(x, y), pur essendo differenziabile secondo Gâteaux in

(0, 0), non è continua.

Si dice che una funzione f(x) è differenziabile secondo Fréchet nel punto x 0 quando

esiste un funzionale lineare L per cui

375

5. SPAZI DI BANACH

f(x0 + v) − f(x0) = Lv + o(v; x0) .

Col simbolo o(v; x0) si intende una funzione, questa volta da X in sé, tale che

lim||v||→0

o(v; x0)||v|| = 0 .

Si richiede cioè che L verifichi

lim||v||→0

||f(x0 + v) − f(x0) − Lv||||v|| = 0 .

Il funzionale lineare L si chiama il differenziale di Fréchet della funzione f in x 0, e

si indica col simbolo

df(x0)v .

E’ facile provare:

– Se esiste il differenziale di Fréchet in un punto x0 allora esiste anche quello di

Gâteaux, e questi coincidono;

– se esiste il differenziale di Fréchet nel punto x0 allora la funzione è continua

in x0.

La formula

f(x0 + v) − f(x0) = df(x0)v + o(v; x0)

generalizza la prima formula degli incrementi finiti.

Se esiste, df(x0) è un elemento di L(X, Y ).

Quando il differenziale di Fréchet esiste in ogni punto di un intorno di x 0, la funzione

x → df(x)

si indica col simbolo f ′(x) e si chiama la funzione derivata secondo Fréchet di f(x).

Questa funzione è generalmente non lineare, da X a L(X, Y ). Può ben essere che

questa sia a sua volta differenziabile secondo Fréchet nei punti di un intorno di x 0. Si

può quindi definire la derivata seconda di f in x0.

Procedendo analogamente, si definiscono anche le derivate successive.

376

6. SPAZI DI HILBERT

6.1. PRODOTTO INTERNO E NORMA

Gli spazi di Hilbert sono particolari spazi di Banach, che generalizzano Rn o Cn con

l’usuale distanza euclidea.

Conviene introdurre prima di tutto la definizione di prodotto interno. Sia X uno spazio

lineare. Si chiama prodotto interno su X una funzione f(x, y) su X ×X , a valori nel

campo scalare, con queste proprietà:

– per ogni fissato y, la funzione x → f(x, y) è lineare:

f(αx + βx′, y) = αf(x, y) + βf(x′, y) .

– per ogni x ed y vale f(x, y) = f(y, x). Questa proprietà implica in particolare

che la parte immaginaria di f(x, x) è nulla per ogni x.

– vale f(x, x) > 0 per ogni x = 0.

La prima proprietà mostra che

f(0, 0) = f(r · 0, 0) = rf(0, 0)

per ogni numero r; e quindi

377

6. SPAZI DI HILBERT

f(0, 0) = 0 .

Si noti che la funzione f(x, y) non è lineare rispetto ad y ma, per ogni fissato x, vale

f(x, αy + βy′) = f(αy + βy′, x) = αf(y, x) + βf(y′, x)

= αf(x, y) + βf(x, y′) . 6.1

Se accade che F = R allora gli scalari sono reali e quindi si ha linearità anche nella

seconda componente.

Le proprietà6.1 si chiama antilinearità.

In pratica per indicare il prodotto interno di x ed y si usa il simbolo 〈x, y〉 (o simboli

analoghi, per esempio 〈x|y〉). Si osservi la somiglianza col simbolo 〈〈x∗, x〉〉 usato

per rappresentare l’azione del funzionale lineare x∗ su x. Si noti però che 〈〈x∗, x〉〉 è

lineare sia rispetto alla prima che alla seconda variabile, anche quando F = C.

Due vettori x ed y si dicono ortogonali quando il loro prodotto interno è nullo:

x ⊥ y ⇐⇒ 〈x, y〉 = 0 .

Proviamo che per i prodotti interni vale la disuguaglianza di Schwarz:

Teorema 6.1. Per ogni x, y vale

|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 .

L’uguaglianza vale se e solo se i vettori x ed y sono colineari, ossia se e solo se

x = αy, α ∈ F.

DIMOSTRAZIONE

Se 〈x, y〉 = 0 allora la disuguaglianza è ovvia. Supponiamo quindi esplicitamente

〈x, y〉 = 0 e introduciamo

a =〈x, y〉|〈x, y〉| .

Consideriamo quindi che per ogni t (reale o complesso) vale

378

6. SPAZI DI HILBERT

0 ≤ 〈ax + ty, ax + ty〉 .

Scegliamo t reale e introduciamo in quest’espressione la definizione di a. Si trova

0 ≤ 〈ax + ty, ax + ty〉 = 〈y, y〉t2 + 2|〈x, y〉|t + 〈x, x〉 . 6.2

Questo è un polinomio in t, a coefficienti reali. Il segno di questo polinomio è costante

e quindi il suo discriminante è negativo, ossia:

|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 . 6.3

Questa è la disuguaglianza che volevamo provare.

Se in 6.3 vale l’uguaglianza, allora il polinomio 6.2 è un quadrato:

〈ax + ty, ax + ty〉 = (mt + n)2

per certi numeri m ed n. E’ quindi nullo per t = −n/m, ossia

ax + ty = 0 .

I vettori x ed y sono quindi colineari.

Teorema 6.2. La funzione definita su X da

x →√〈x, x〉

è una norma su X .

DIMOSTRAZIONE

Usando la disuguaglianza di Schwarz, proviamo che vale la disuguaglianza triangolare:

〈x + y, x + y〉 = 〈x, x〉 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 + 〈y, y〉

= 〈x, x〉 + 2e 〈x, y〉 + 〈y, y〉

≤ 〈x, x〉 + 2|〈x, y〉| + 〈y, y〉 (usando la disuguaglianza di Schwarz)

≤ 〈x, x〉 + 2 (〈x, x〉)1/2 (〈y, y〉)1/2 + 〈y, y〉 =h〈x, x〉1/2 + 〈y, y〉1/2

i2.

Si ha quindi

379

6. SPAZI DI HILBERT

p〈x + y, x + y〉 ≤

p〈x, x〉 +

p〈y, y〉 .

Questa è la disuguaglianza triangolare. Le altre proprietà della norma sono immediate.

Si noti che la proprietà ||x|| > 0 per x = 0 vale perché 〈x, x〉 = 0 per x = 0.

Naturalmente scriveremo

||x|| =√〈x, x〉 . 6.4

E’ conseguenza della disuguaglianza di Schwarz e della definizione di norma l’asserto

seguente:

Corollario 6.3. Per ogni y ∈ X fissato, il funzionale lineare

x → 〈x, y〉

è continuo sullo s.l.n. X , dotato della norma 6.4

DIMOSTRAZIONE

Infatti, dalla disuguaglianza di Schwarz,

|〈x, y〉| ≤ M ||x|| , con M = ||y|| .

Le norme che discendono da un prodotto interno godono di una proprietà bene

particolare:

Teorema 6.4. Sia ||x|| =√〈x, x〉. Questa particolare norma verifica l’uguaglianza

||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2

)6.5

DIMOSTRAZIONE

Si calcola immediatamente

||x + y||2 + ||x − y||2 = 〈x + y, x + y〉 + 〈x − y, x − y〉

= ||x||2 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 + ||y||2 + ||x||2 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉 + ||y||2

= 2`||x||2 + ||y||2

´.

380

6. SPAZI DI HILBERT

L’uguaglianza 6.5 si chiama identità del parallelogramma. Nella geometria piana

essa si enuncia dicendo che la somma dei quadrati costruiti sulle diagonali di un

parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati.

E’ importante sapere che non tutte le norme discendono da un prodotto interno. Infatti

vale:

Esempio 6.5. Si doti R2 della norma

||(ξ, η)|| = max|ξ| , |η| .

Si provi che l’identità del parallelogramma non vale per la coppia dei vettori x =

(1, 0) ed y = (0, 1).

Quest’osservazione suggerisce di dare un nome particolare agli s.l.n-ti la cui norma

proviene da un prodotto interno. Questi si chiamano spazi prehilbertiani e, se sono

anche completi, si chiamano spazi di Hilbert.

Lavoreremo ora esclusivamente con spazi di Hilbert, che indicheremo genericamente

col simbolo H .

E’ chiaro che ogni spazio di Hilbert è anche uno speciale spazio di Banach. Vedremo

che le sue proprietà sono particolarmente importanti per le applicazioni. Per esempio,

possiamo notare subito che in spazi prehilbertiani vale il teorema di Pitagora:

Teorema 6.6. Siano h, k due elementi tra loro ortogonali di uno spazio di

prehilbertiano H . Vale:

||h + k||2 = ||h||2 + ||k||2 .

DIMOSTRAZIONE

Si calcola immediatamente

||h + k||2 = 〈h + k, h + k〉 = ||h||2 + 〈h, k〉 + 〈k, h〉 + ||k||2 = ||h||2 + ||k||2

perché h ⊥ k.

381

6. SPAZI DI HILBERT

6.1.1 Esempi di prodotti interni e di spazi di Hilbert

Elenchiamo gli spazi di Hilbert di uso più comune. Naturalmente essi si sono già

incontrati come particolari spazi di Banach.

Lo spazio euclideo ad n dimensioni

è uno spazio di Hilbert, con prodotto interno

〈h, k〉 =n∑

i=1

kihi se h = col [hi] , k = col [ki] .

Lo spazio l2

è uno spazio di Hilbert, dotato del prodotto interno

〈(hi), (ki)〉 =+∞∑i=i

kihi .

La convergenza della serie, quando h i e ki sono in l2, è stata provata nel paragrafo 10.

Possiamo ora notare che la convergenza segue applicando la disuguaglianza di

Schwarz alle somme finite, e passando al limite.

Si ricordi che il duale di l2 è isometrico a l2 stesso.

Lo spazio L2(K)

è uno spazio di Hilbert, il cui prodotto interno è

〈f, g〉 =∫

K

f(x)g(x) dx .

L’integrale dipende dagli elementi di L2(K), ossia dalle classi di equivalenza, e non

dai rappresentanti delle classi stesse, e converge grazie alla disuguaglianza di Schwarz

per gli integrali.

Si ricordi, dal paragrafo 10, che anche in questo caso lo spazio è una realizzazione del

suo duale.

Lo spazio H2

è uno spazio di Hilbert. Il prodotto interno nel caso di H 2(D) è

382

6. SPAZI DI HILBERT

〈f, g〉 = supr∈(0,1)

[12π

∫ 2π

0

f(reit)g(reit) dt

].

Nel caso di H2(Π) il prodotto interno è

〈f, g〉 = supx>0

[1π

∫ +∞

−∞f(x + iy)g(x + iy) dy

].

Lo spazio W 12(K)

è uno spazio di Hilbert dotato del prodotto interno

〈f, g〉 =∫

K

g(x)f(x) dx +∫

K

∇f(x) · ∇g(x) dx .

Nel caso in cui K = [a, b], un prodotto interno che conduce ad una norma

equivalente è

〈f, g〉 = g(a)f(a) +∫ b

a

g′(x)f ′(x) dx .

Uno spazio di Hilbert non separabile

Tutti gli esempi precedenti sono esempi di spazi di Hilbert separabili. Mostriamo un

esempio di spazio di Hilbert non separabile. Osserviamo che se ||x|| = ||y|| = 1 e se

x ⊥ y, allora

||x − y||2 = 2 ,

ossia x dista√

2 da y. Dunque, se in uno spazio di Hilbert si trova una famiglia

non numerabile di vettori a due a due ortogonali, questo spazio non è separabile.

Consideriamo le funzioni

t → eist , t ∈ R

dove s è un parametro reale.

Consideriamo lo spazio lineare generato da queste funzioni e su esso il prodotto

interno

〈f, g〉 = limT→+∞

12T

∫ T

−T

g(t)f(t) dt .

383

6. SPAZI DI HILBERT

Lo spazio che si ottiene è uno spazio prehilbertiano. Il suo completamento, introdotto

nel teorema 5.27, è quindi uno spazio di Hilbert che non è separabile perchè se f(t) =

eist, g(t) = eirt, s = r, allora

〈f, g〉 = limT→+∞

12T

∫ T

−T

ei(s−r)t dt = limT→+∞

ei(s−r)T − e−i(s−r)T

2T (s− r)= 0 .

Dunque in questo spazio c’è un sistema non numerabile di vettori due a due

ortogonali. Come si è detto, ciò basta a mostrare che lo spazio non è separabile.

6.2. TEOREMA DELLE PROIEZIONI

Gli spazi di Hilbert, come si è notato, sono particolari spazi di Banach, dotati di

proprietà speciali, utili per le applicazioni. Essenzialmente esse discendono tutte

dal teorema delle proiezioni, che è in realtà un complesso di affermazioni che

è bene studiare separatamente. In particolare è bene essere precisi, distinguendo

le affermazioni che valgono in spazi prehilbertiani da quelle che richiedono la

completezza.

Sia H uno spazio prehilbertiano e sia X un suo s.spazio. Sia h ∈ H . Un punto

x0 ∈ X si chiama proiezione ortogonale di h su X se

h − x0 ⊥ x ∀x ∈ X .

Per indicare che h − x0 è perpendicolare ad ogni elemento di X , scriveremo anche

h − x0 ⊥ X .

Si noti che se h ∈ X allora h è proiezione di se stesso su X , h = x0.

In un generico spazio di Banach, una definizione analoga non può darsi perché

l’ortogonalità non è definita. Anche in spazi di Hilbert però non è affatto ovvio che,

dato h, la sua proiezione x0 su X debba esistere. Se però essa esiste allora si può

scrivere

h = (h − x0) + x0

384

6. SPAZI DI HILBERT

e h − x0, essendo perpendicolare ad X , è in particolare perpendicolare a x 0 ∈ X .

Dunque, usando il teorema di Pitagora, si ha

Teorema 6.7. Sia h ∈ H , H uno spazio prehilbertiano, ed esista la proiezione x 0

di h su X . Vale:

||h||2 = ||h − x0||2 + ||x0||2 .

In particolare,

||x0|| ≤ ||h|| , ||h − x0|| ≤ ||h|| .

Abbiamo detto che l’esistenza della proiezione non è ovvia. Possiamo però

immediatamente provare che, se la proiezione esiste, essa è unica:

Teorema 6.8. Sia h un elemento dello spazio prehilbertiano H . Sia X un s.spazio

di H . Se esiste, la proiezione di h su X è unica.

DIMOSTRAZIONE

Siano infatti x0 ed x1 due proiezioni di h su X. In tal caso,

〈h − x0, x〉 = 0 , 〈h − x1, x〉 = 0 ∀x ∈ X .

Usando la linearità della prima componente del prodotto interno si trova

〈x1 − x0, x〉 = 0 ∀x ∈ X .

Ora, X è uno spazio lineare a cui appartengono sia x 0 che x1 e quindi anche x1−x0 ∈

X. Scegliendo x = x1 − x0 si trova

0 = 〈x1 − x0, x1 − x0〉 = ||x1 − x0||2

e quindi x1 = x0.

Il problema della proiezione è uno dei problemi che si studiano nella geometria

euclidea e si sa che, in tale contesto, la proiezione x0 di h è anche il punto di X

che ha minima distanza da h. Questa proprietà vale anche in spazi prehilbertiani:

385

6. SPAZI DI HILBERT

Teorema 6.9. Sia H uno spazio prehilbertiano e sia X un suo sottospazio. Un punto

x0 ∈ X è proiezione su X di h ∈ H se e solo se

||h − x0|| ≤ ||h − x|| ∀x ∈ X .

DIMOSTRAZIONE

Sia x0 la proiezione di h su X e sia x ∈ X qualsiasi. Si scriva

h − x = (h − x0) + (x0 − x) .

Essendo (h − x0) ⊥ (x − x0), dal teorema di Pitagora se gue

||h − x||2 = ||h − x0||2 + ||x − x0||2 ≥ ||h − x0||2 .

Ciò prova che x0 è punto di minima distanza.

Viceversa, sia

||h − x0|| ≤ ||h − x|| ∀x ∈ X .

Mostriamo che x0 è proiezione di h su X, procedendo per assurdo: supponiamo che

ciò non valga. Esiste quindi ξ ∈ X tale che h−x0 non è ortogonale a ξ, ossia tale che

δ = 〈h − x0, ξ〉 = 0 .

Non è restrittivo assumere

||ξ|| = 1 .

Indichiamo con x1 il punto

x1 = x0 − δξ ∈ X

e calcoliamo ||h − x1||. Mostriamo che, se δ = 0, allora si ha

||h − x1|| < ||h − x0|| . 6.6

Ciò contrasta con la proprietà di x0 e mostra quindi che h − x0 ⊥ ξ. La 6.6 segue da:

||h − x1||2 = ||h − x0 + δξ||2 = 〈h − x0 + δξ, h − x0 + δξ〉

= ||h − x0||2 − δ〈h − x0, ξ〉 − δ〈ξ, h − x0〉 + |δ|2||ξ||2

= ||h − x0||2 − δδ − δδ + |δ|2 = ||h − x0||2 − |δ|2 < ||h − x0||2 .

386

6. SPAZI DI HILBERT

Osservazione 6.10. Si osservi che la proprietà di minima distanza può anche

introdursi in un generico spazio di Banach. Però in generale il punto di X che meno

dista da h, se H non è uno spazio di Hilbert, né esiste né è unico.

Rinunciamo a presentare un esempio che mostra la non esistenza e mostriamo la non

unicità. Sia per questo H lo spazio R2, ma dotato della norma

||x|| = ||(ξ, η)|| = max|ξ| , |η| .

Sia X = (ξ, 0) | ξ ∈ R l’asse delle ascisse e sia h = (0, 1). Si vede facilmente che

||h − x|| = 1 ∀x = (ξ, 0) , ξ ∈ [−1, 1] .

Se invece x = (ξ, 0) con |ξ| > 1 allora

||h − x|| = |ξ| > 1 .

Dunque, il punto dell’asse delle ascisse che ha minima distanza da h non è unico e i

punti di minima distanza sono quelli del segmento [−1, 1].

Esaminiamo ora il problema di minimo

min||h− x|| | x ∈ X .

In generale, un problema di minimo non ha soluzione, ma si possono sempre costruire

“successioni minimizzanti”. Nel caso nostro, sia

d = inf||h − x|| x ∈ X

e, per ogni n, sia xn tale che

d ≤ ||h − xn|| < d + 1/n . 6.7

Proviamo:

Teorema 6.11. Sia H uno spazio prehilbertiano. La successione (xn) è

fondamentale.

387

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Fissati n ed m, si deve valutare ||xn − xm||. Per semplicità valutiamone il quadrato.

Usiamo l’identità del parallelogramma per scrivere

||xn − xm||2 = ||(xn − h) + (h − xm)||2

= 2ˆ||xn − h||2 + ||h − xm||2

˜− ||(xn − h) − (h − xm)||2

= 2ˆ||xn − h||2 + ||h − xm||2

˜− 4||xn + xm

2− h||2 .

E’

1

2(xn + xm) ∈ X

e quindi

||xn + xm

2− h||2 > d2 .

Dalla definizione di (xn), assegnato ε > 0, segue l’esistenza di Nε tale che, se n, m

sono maggiori di Nε, si ha

||xn − h||2 < d2 + ε/4 , ||xm − h||2 < d2 + ε/4 .

Dunque, per n, m maggiori di Nε vale anche

||xn − xm||2 < 2h2d2 +

ε

2

i− 4||xn + xm

2− h||2 ≤ 4d2 + ε − 4d2 = ε .

La successione (xn) è quindi fondamentale.

Di conseguenza:

Teorema 6.12. Sia H uno spazio di Hilbert e sia X un suo s.spazio chiuso. Per ogni

h ∈ H esiste x0, proiezione di h su X .

DIMOSTRAZIONE

Si costruisce la successione (xn), definita da 6.7. Si sa che questa è una successione

fondamentale in H , e quindi convergente, perché H è completo.

Sia

x0 = lim xn .

Per ogni n, si ha xn ∈ X e quindi x0 ∈ X perché X è chiuso.

388

6. SPAZI DI HILBERT

Da 6.7 si ha

d = lim ||h − xn|| .

D’altra parte la continuità della norma mostra che

||h − x0|| = lim ||h − xn||

e quindi x0 è punto di minima distanza; e quindi è la proiezione di h su X.

6.3. COMPLEMENTI ORTOGONALI E PROIEZIONI ORTOGONALI

Sia A un qualsiasi sottoinsieme di uno spazio di Hilbert H . Definiamo

A⊥ = h | h ⊥ A = h | 〈h, a〉 = 0 ∀a ∈ A .

Ovviamente:

Lemma 6.13. Per ogni insieme A vale

A ∩ A⊥ = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Se infatti a ∈ A ∩ A⊥ allora 〈a, a〉 = 0 e quindi a = 0.

Vale:

Teorema 6.14. L’insieme A⊥ è un s.spazio chiuso di H . Se A è denso in H allora

A⊥ = 0.

Se A⊥ = 0 e se A è un s.spazio, allora A è denso in H .

DIMOSTRAZIONE

Siano x, y elementi di A⊥ e siano α e β scalari. Per ogni a ∈ A vale

〈αx + βy, a〉 = α〈x, a〉 + β〈y,α〉 = 0 .

389

6. SPAZI DI HILBERT

Ciò prova che A⊥ è un s.spazio (anche se A non lo è.)

Per provare che A⊥ è chiuso, sia (xn) una successione di elementi di A⊥ e suppo-

niamo che essa converga ad x0. Dobbiamo provare che x0 ∈ A⊥. La continuità del

prodotto interno mostra che, per ogni a ∈ A,

〈x0, a〉 = lim〈xn, a〉 = 0 .

Dunque, x0 ∈ A⊥, come volevamo.

Sia ora A denso in H e sia x ∈ A⊥. Mostriamo che

〈x, h〉 = 0 6.8

per ogni h ∈ H . Da ciò, scegliendo in particolare h = x, segue x = 0. Se accade che

h ∈ A, allora vale 6.8. Se h /∈ A, essendo A denso, esiste una successione (an) in A,

convergente ad h. Dunque, ancora per la continuità del prodotto interno,

〈x, h〉 = lim〈x, an〉 = 0 .

Ricapitolando, abbiamo provato che se A è denso in H allora A ⊥ = 0.

Viceversa sia A⊥ = 0 e sia inoltre A un s.spazio (anche non chiuso). Mostriamo

che A è denso in H . Procedendo per assurdo, se il s.spazio A non è denso in H , la

sua chiusura X è un s.spazio chiuso che non contiene un elemento h ∈ H . Sia x 0 la

proiezione di h su X. Il vettore h − x0 è non nullo, ed ortogonale ad X e quindi anche

ad A.

Consideriamo ora un s.spazio chiuso X di H , ed il suo ortogonale X ⊥. Associamo

ad ogni h ∈ H la sua proiezione su X , che indichiamo col simbolo Ph. Dunque P

indica un operatore da H in sé. Studieremo più avanti le proprietà dell’operatore P .

Per ora scriviamo x nella forma

x = (Px) + (x − Px) = x + y così che y = x − Px ⊥ X . 6.9

Vale:

Teorema 6.15. Se X è un s.spazio chiuso di H , si ha:

H = X ⊕ X⊥ .

390

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Abbiamo già notato che X ∩ X⊥ = 0. La 6.9 mostra che ogni elemento di H è

somma di un elemento di X e di uno di X ⊥.

Osservazione 6.16. Grazie a quest’osservazione, la dimostrazione del teorema di

Hahn-Banach in spazi di Hilbert si fa in modo elementare. Se L 0 è un funzionale

lineare e continuo sul s.spazio chiuso X0 di H , esso si estende ad H definendolo

nullo su X⊥ e ponendo quindi

L(Px + (x − Px) ) = L0x .

Ovviamente, ||L|| = ||L0||.

Infine, esaminiamo le proprietà di [A⊥]⊥. E’ chiaro che

A ⊆ [A⊥]⊥

e generalmente l’inclusione è propria perché [A⊥]⊥ è un s.spazio chiuso, mentre A

generalmente non lo è. Però:

Teorema 6.17. Se X è un s.spazio chiuso allora

X = [X⊥]⊥ .

DIMOSTRAZIONE

Per assurdo, l’inclusione sia propria, esista cioè ξ ∈ [X ⊥]⊥, che non appartiene ad X.

Sia ξ0 la proiezione ortogonale di ξ su X. In tal caso ξ− ξ 0 ⊥ X, ossia ξ− ξ0 ∈ X⊥ ed

anche ξ− ξ0 ∈ [X⊥]⊥, dato che sia ξ che ξ0 sono in [X⊥]⊥. E quindi ξ− ξ0 appartiene

sia ad X⊥ che al suo ortogonale. E’ dunque nullo, ossia ξ = ξ 0 ∈ X.

Studiamo ora le proprietà dell’operatore P , proiezione ortogonale di H sul suo

s.spazio chiuso X . L’operatore P è ovviamente una proiezione, ed è naturalmente

391

6. SPAZI DI HILBERT

associato alla proiezione su X⊥, che è data da Q = I − P , ove I è l’operatore

identità. Dal teorema di Pitagora, per ogni h ∈ H vale

||h||2 = ||Ph + (I − P )h||2 = ||Ph||2 + ||(I − P )h||2 .

Dunque,

||P || ≤ 1 , ||(I − P )|| ≤ 1 . 6.10

L’operatore P ha un’ulteriore proprietà interessante. Vale

〈Ph, k〉 = 〈h, Pk〉 h , k ∈ H . 6.11

Infatti,

〈Ph, k〉 = 〈Ph, Pk + (I − P )k〉 = 〈Ph, Pk〉

perché P (I − P ) = 0. Per questa stessa ragione,

〈h, Pk〉 = 〈Ph + (I − P )h, Pk〉 = 〈Ph, Pk〉

e quindi vale 6.11.

Seguendo la terminologia nota dalla dimensione finita, un operatore lineare continuo

per cui vale la 6.11 si dice simmetrico. Dunque, ogni proiezione ortogonale è un

operatore simmetrico. Si vede facilmente che vale anche il vicevera:

Teorema 6.18. Sia P ∈ L(H) una proiezione. L’operatore P è la proiezione

ortogonale sul s.spazio X = PH se e solo se è simmetrico.

DIMOSTRAZIONE

Basta mostrare che se P ∈ L(H) è un operatore di proiezione che è anche simmetrico

allora P è proiezione ortogonale. Sia per questo X = im P . Mostriamo prima di tutto

che X è un s.spazio chiuso. Sia per questo (xn) una successione in X, convergente

ad un h ∈ H . Dobbiamo provare che h ∈ X.

Essendo xn ∈ X, si ha

xn = Pxn .

392

6. SPAZI DI HILBERT

Passando al limite, grazie alla continuità di P , si trova

h = lim xn = lim Pxn = Ph ∈ im P = X .

Ciò prova che X è chiuso.

Sia ora h ∈ H . Mostriamo che

h − Ph ⊥ X ,

così che Ph è effettivamente la proiezione ortogonale di h su X. Sia per questo x un

generico element di X, ossia un generico elemento Pk dell’immagine di P . Si ha

〈h − Ph, x〉 = 〈h − Ph, Pk〉 = 〈P (h − Ph), k〉 = 〈Ph − Ph, k〉 = 0

(si noti che in questo calcolo si è usato il fatto che P è sia una proiezione che un

operatore simmetrico.)


6.3.1 Sistemi ortonormali e calcolo di proiezioni

Un insieme S di vettori di uno spazio di Hilbert si chiama ortogonale se

x , y ∈ S , x = y =⇒ x ⊥ y .

Se ogni elemento di S ha norma 1, l’insieme S si chiama ortonormale.

Ovviamente, un sistema ortogonale che non contiene 0 è linearmente

indipendente, e quindi un sistema ortonormale è linearmente indipendente.

Esponiamo un metodo, detto metodo di Gram–Schmidt che permette di costruire

sistemi ortonormali a partire da un qualsiasi insieme numerabileX ⊆ H . Supponiamo

per semplicità che X = xn sia linearmente indipendente. In tal caso, in particolare,

ciascun suo elemento è non nullo.

Associamo a x1 l’elemento

e1 =x1

||x1||.

Ad x2 associamo

e2 =z2

||z2||ove z2 = x2 − 〈x2, e1〉e1 .

393

6. SPAZI DI HILBERT

Scelti e1 ,. . . , en−1 definiamo

en =zn

||zn||ove zn = xn −

n−1∑k=1

〈xn, ek〉ek .

E’ immediato vedere che gli ei sono due a due ortogonali ed ovviamente di norma 1.

Inoltre,

Teorema 6.19. Per ogni n vale

span e1 , . . . , en = span x1 , . . . , xn .

Osservazione 6.20. Abbiamo visto che la sfera di uno spazio di Banach di dimensio-

ne infinita non è compatta. Ovviamente ciò vale in particolare per gli spazi di Hilbert.

Però nel caso degli spazi di Hilbert si può dare una dimostrazione elementare: col

metodo precedente si costruisce un sistema numerabile ed ortonormale en. Si nota

quindi che la successione (en) non ha s.successioni convergenti. Infatti, per n = m

si ha

||en − em||2 = 2 .

Mostriamo ora come i sistemi ortonormali numerabili si possano usare per il calcolo

di proiezioni. Consideriamo prima di tutto il caso in cui X sia un s.spazio di H , di

dimensione finita k.

Sia

e1 , . . . , ek

una base ortonormale di X .

In tal caso la proiezione x0 di h su X è data da

x0 =k∑

i=1

αiei

perché ogni elemento di X ha questa forma.

I numeri αi si calcolano facilmente:

〈h, er〉 = 〈k∑

i=1

αiei, er〉 = αr ,

con un calcolo del tutto analogo a quello noto in dimensione finita. Dunque,

394

6. SPAZI DI HILBERT

x0 =k∑

i=1

〈h, ei〉ei .

E’ utile calcolare ora

||x0||2 = 〈k∑

i=1

αiei,

k∑j=1

αjej〉 =n∑

i,j=1

αiαj〈ei, ej〉 =n∑

i=1

|αi|2

perché i vettori ei sono due a due ortogonali e di norma 1.

Ricordando l’espressione di αi e la 6.10 si trova

n∑i=1

|〈h, ei〉|2 = ||x0||2 ≤ ||h||2 . 6.12

Sia ora S = ei un sistema ortonormale numerabile. Il s.spazio di H

spanS = n∑

i=1

αiei αi ∈ C , n ∈ N

non è chiuso. Indichiamo con X la sua chiusura. Vogliamo rappresentare x 0, la

proiezione su X di un generico elemento h ∈ H .

Notiamo prima di tutto:

Lemma 6.21. Vale

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∞∑i=1

αiei

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=+∞∑i=1

|αi|2

DIMOSTRAZIONE

La somma di una serie è il limite della successione delle somme parziali,

+∞Xi=1

αiei = limn

nXi=1

αiei

e, per la continuità della norma,˛˛˛˛+∞Xi=1

αiei

˛˛˛˛2

=

˛˛˛˛lim

n

nXi=1

αiei

˛˛˛˛2

= limn

˛˛˛˛ nXi=1

αiei

˛˛˛˛2

.

L’asserto segue dall’uguaglianza˛˛˛˛ nXi=1

αiei

˛˛˛˛2

=nX

i=1

|αi|2 .

395

6. SPAZI DI HILBERT

Inoltre

Teorema 6.22 (di Riesz–Fischer). Sia S = ei un sistema ortonormale

numerabile. La serie

n∑i=1

αiei

converge in H se e solo se la successione (αn) è in l2.

DIMOSTRAZIONE

Dal Lemma 6.21, se la serie converge in H si ha

+∞Xi=1

|αi|2 =

˛˛˛˛+∞Xi=1

αiei

˛˛˛˛2

< +∞ .

Il viceversa segue notando che se (αn) ∈ l2 allora la successione delle somme parziali

è fondamentale. Infatti,

˛˛˛˛ mXi=n

αiei

˛˛˛˛2

=

mXi=n

|αi|2

e, per ipotesi, la successione (αn) è in l2.

Indichiamo ora con Xn lo spazio lineare (di dimensione finita) generato dai vettori

e1 ,. . . , en. Come si è visto, la proiezione xn di h su Xn è

xn =n∑

i=1

〈h, ei〉ei

e, dalla 6.12, per ogni n vale

n∑i=1

|αi|2 =n∑

i=1

|〈h, ei〉|2 ≤ ||h||2 .

Dunque la successione (αi) è in l2 e quindi

x0 =+∞∑i=1

〈h, ei〉ei 6.13

converge in H . E’ facile immaginare che valga:

Teorema 6.23. Il vettore x0 definito in 6.13 è la proiezione di h su X .

396

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Per mostrare ciò si prova che h − x0 è ortogonale ad ogni elemento di X. Ricordiamo

che per definizione ogni x ∈ X è limite di una successione (s n) in spanS e, per la

continuità del prodotto interno,

〈x, h − x0〉 = 〈lim sn, h − x0〉 = lim〈sn, h − x0〉 .

Dunque basta provare che h − x0 è ortogonale a spanS e per questo basta provare

che è ortogonale ad ogni elemento e k. Ciò si vede immediatamente perchè 1

〈h − x0, ek〉 = 〈h, ek〉 − 〈+∞Xi=1

〈h, ei〉ei, ek〉

= 〈h, ek〉 −+∞Xi=1

〈〈h, ei〉ei, ek〉 = 〈h, ek〉 − 〈h, ek〉 = 0 .

Abbiamo così identificato la proiezione x0 di h su X ,

x0 =+∞∑i=1

〈h, ei〉ei .

Dalla 6.12, vale

+∞∑i=1

|〈h, ei〉|2 ≤ ||h||2 .

Questa disuguaglianza si chiama disuguaglianza di Bessel.

6.3.2 Serie di Fourier astratte

Le considerazioni svolte al paragrafo precedente si possono interpretare come segue:

in uno spazio di Hilbert H è dato un s.spazio X separabile, generato da un sistema

ortonormaleS = ei (niente vieta che sia X = H . In tal caso S si chiama un sistema

ortonormale massimale o completo.) Si vuole sviluppare un elemento h di H in serie

degli ei. Questi problemi sono stati studiati prima di tutto nel caso concreto in cui

1Si noti l’uso della linearità e continuità della prima componente del prodotto interno, per

scambiare i segni di serie e di prodotto interno.

397

6. SPAZI DI HILBERT

H = L2(−π, π) e S = cos nt√π

, sin nt√π e quindi si parla in generale di serie di Fourier

astratte per riferirsi allo sviluppo di h in serie degli e i.

E’ possibile provare, usando il lemma di Zorn, che ogni spazio di Hilbert ha un

sistema ortonormale massimale, e che questo è numerabile se e solo se H è

separabile. E’ utile conoscere alcuni test utili per verificare se un sistema ortonormale

numerabile in uno spazio di Hilbert è massimale o meno. Vale:

Teorema 6.24. Sia S = ei un sistema ortonormale finito o numerabile in uno

spazio di Hilbert H . Si equivalgono le affermazioni seguenti:

i) il sistema S è massimale;

ii) ogni h ∈ H si sviluppa in serie degli ei,

h =∑

αiei ;

iii) per ogni h ∈ H vale l’uguaglianza

||h||2 =+∞∑i=1

|〈h, ei〉|2 ; 6.14

iv) se 〈h, ei〉 = 0 per ogni i allora h = 0.

DIMOSTRAZIONE

Si è già visto che i) implica ii) e quindi iii) vale per il lemma 6.21. In particolare,

se 〈h, ei〉 = 0 per ogni i allora h = 0, ossia vale iv). La dimostrazione si completa

provando che se vale iv) allora S è massimale.

La condizione iv) significa

[spanS ]⊥ = 0

Si sa, dal teorema 6.14 che in tal caso spanS è denso in H . Dunque, S è massimale.

L’uguaglianza 6.14 si chiama identità di Parseval.

398

6. SPAZI DI HILBERT

6.4. IL DUALE DI UNO SPAZIO DI HILBERT

Abbiamo già notato che, per ogni k fissato, il funzionale lineare

h → 〈h, k〉

è continuo grazie alla disuguaglianza di Schwarz

|〈h, k〉| ≤ M ||h|| con M = ||k|| .

Dunque la norma di questo funzionale non supera ||k|| e in realtà è uguale a ||k||,

come si vede scegliendo

h =k

||k|| .

Così come in dimensione finita, si mostra che questi funzionali esauriscono tutto il

duale di H , ossia che H è un modello per il suo duale. Più precisamente vale:

Teorema 6.25 (di Riesz). Sia φ un funzionale lineare e continuo su H . Esiste un

unico xφ ∈ H tale che

φ(h) = 〈h, xφ〉 ∀h ∈ H . 6.15

La corrispondenza che a φ fa corrispondere xφ è antilineare e inoltre

||φ||H∗ = ||xφ||H .

DIMOSTRAZIONE

Si è appena detto che la trasformazione h → 〈h, y〉 è lineare e continua su H , per ogni

fissato y ∈ H . Ossia, almeno alcuni elementi del duale di H possono rappresentarsi

come

φ(h) = 〈h, y〉 .

Mostriamo che questa rappresentazione, se esiste, è unica. Infatti sia

φ(h) = 〈h, y〉 = 〈h, x〉 ∀h ∈ H .

399

6. SPAZI DI HILBERT

Sottraendo, si trova 〈h, x− y〉 = 0 per ogni h ∈ H e quindi x− y ⊥ H , ossia x− y = 0.

Proviamo ora che ogni elemento φ di H ∗ si rappresenta come in 6.15.

Se φ = 0 allora xφ = 0. Se φ = 0,

kerφ = H

e la continuità di φ mostra che kerφ è un s.spazio chiuso di H , diverso da H stesso.

Dunque esiste z = 0, z ⊥ kerφ. Non è restrittivo assumere

||z|| = 1 .

Si sa che ker φ ha complementare di dimensione 1, si veda il teorema 5.74. Quindi

H = (kerφ) ⊕ span z .

Si rappresenti ogni h ∈ H nella forma

h =

„h − φ(h)

φ(z)z

«+

φ(h)

φ(z)z .

Essendo „h − φ(h)

φ(z)z

«∈ kerφ , z ∈ [ker φ]⊥

si ha

〈h, [φ(z)z]〉 = 〈φ(h)

φ(z)z, φ(z)z〉 = φ(h) .

Dunque,

xφ = φ(z)z .

Ciò prova che ogni φ ∈ H ∗ si rappresenta come in 6.15.

E’ immediato verificare che la trasformazione φ → xφ, definita su H∗, è antilineare.

Inoltre, si è notato che la norma della trasformazione h → 〈h, x φ〉 è uguale a ||xφ||.

Osservazione 6.26. E’ importante notare che nella dimostrazione precedente il

funzionale continuo φ potrebbe anche avere soltanto dominio denso in X . Anche

in tal caso l’elemento xφ può costruirsi, e il funzionale h → 〈h, xφ〉 è l’estensione

per continuità di φ ad H . Useremo quest’osservazione al teorema 6.30.

Notiamo inoltre che con le notazioni del paragrafo 5.9., la 6.15 si scrive

φ(h) = 〈〈φ, h〉〉 = 〈h, xφ〉 .

400

6. SPAZI DI HILBERT

I risultati precedenti provano in particolare che ogni spazio di Hilbert è uno spazio

di Banach riflessivo. A questo proposito, concludiamo con un’osservazione relativa

alla convergenza debole:

Teorema 6.27. Sia

w− lim hn = h0 ed anche lim ||hn|| = ||h0|| .

In tal caso la successione (hn) converge ad h0 in norma.

DIMOSTRAZIONE

Si valuti

||hn − h0||2 = 〈hn − h0, hn − h0〉 = −〈hn − h0, h0〉 + 〈hn, hn〉 − 〈h0, hn〉 .

Il primo addendo tende a zero perché w− lim hn = h0 e per la stessa ragione

lim〈h0, hn〉 = ||h0||2; il secondo addendo tende a ||h0||2 perché lim ||hn||2 = ||h0||2.

Dunque, lim ||hn − h0||2 = 0.

6.5. L’OPERATORE AGGIUNTO DI UN OPERATORE TRA SPAZI DI HILBERT

Siano ora H e K due spazi di Hilbert e sia A un operatore lineare da H in K anche

NON continuo, ma con dominio denso in H . Associamogli un operatore lineare da

K in H che chiameremo operatore aggiunto. L’operatore aggiunto di A si indica col

simbolo A∗.

Dobbiamo definire prima di tutto il dominio di A∗. Per definizione,

dom A∗ = k ∈ K | ∃z ∈ H per cui 〈Ah, k〉K = 〈h, z〉H .

Vale:

Teorema 6.28. L’elemento z, se esiste, è unico.

401

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Ne esistano due, z e ζ. Per ogni h ∈ dom A vale

〈Ah, k〉K = 〈h, z〉H = 〈h, ζ〉H

e quindi

〈h, z − ζ〉H .

Quest’uguaglianza vale per ogni h ∈ dom A, che è denso in H. ciò implica che

ζ = z.

E’ quindi lecito definire

A∗k = z .

E’ immediato verificare che l’operatore A∗, da K in H , è lineare.

E’ facile vedere che dom A∗ può essere “molto piccolo”:

Esempio 6.29. Sia H = L2(0, 1) e sia

dom A = x ∈ L2(0, 1) con rappresentante continuo .

Sia x il rappresentante continuo e

Ax = x(0) .

Ossia, A è un funzionale. Se k ∈ C è nel dominio di A∗, esiste z ∈ L2(0, 1) per cui

kh(0) =∫ 1

0

z(s)h(s) ds ∀h ∈ L2(0, 1) .

Ciò può solo aversi se k = 0 (e allora anche z = 0); ossia, dom A∗ = 0.

E’ chiaro che, se dom A∗ è “troppo piccolo” allora A∗ conterrà “poche informazioini”

e sarà di scarsa utilità. E’ quindi importante individuare classi di operatori il cui

aggiunto ha dominio denso. A questo proposito vale:

Teorema 6.30. Se A è lineare e continuo da H in K , con dominio denso in H ,

allora il suo aggiunto ha dominio uguale a K .

402

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Infatti, il funzionale

h → 〈Ah, k〉

è continuo per ogni k e quindi, per il teorema di Riesz, si rappresenta nella forma

〈h, z〉.

Prima di studiare casi più generali, conviene studiare più in dettaglio l’aggiunto di un

operatore limitato.

6.5.1 L’aggiunto di un operatore limitato

Vale:

Lemma 6.31. Sia A lineare e continuo da H in K , con dominio denso in H . Allora,

A∗ ∈ L(K, H) e ||A∗||L(K,H) ≤ ||A||.

DIMOSTRAZIONE

Si è già notato che A∗ è definito su K. Dalla disuguaglianza di Schwarz,

||A∗k|| = sup||h||=1

〈h, A∗k〉 = sup||h||=1

〈Ah, k〉 ≤ sup||h||=1

||Ah|| · ||k|| = ||A|| · ||k|| .

Dunque, A∗ è un operatore limitato e

||A∗|| ≤ ||A|| .

Possiamo quindi calcolare A∗∗ = (A∗)∗. Dal lemma precedente, ||A∗∗|| ≤ ||A∗||.Proviamo ora:

Teorema 6.32. Sia A lineare e continuo da H in K , con dominio denso in H .

L’operatore A∗∗ è l’estensione continua di A ad H e quindi, in particolare,

||A|| = ||A∗|| .

403

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Si sa già che A∗∗ è definito su H . Proviamo che estende A. Per questo consideriamo

il funzionale

k → 〈A∗k, h〉H .

Per definizione, se h ∈ dom A, questo è uguale a

〈k, Ah〉H

e quindi h ∈ domA∗∗, con A∗∗h = Ah, ossia A∗∗ estende A.

Di conseguenza vale anche ||A∗|| ≤ ||A|| = ||A∗∗|| ≤ ||A∗|| e quindi ||A|| = ||A∗||.

Se in particolare A ∈ L(H, K) (e quindi con dominio H) vale

〈Ah, k〉K = 〈h, A∗k〉H ∀h ∈ H , k ∈ K .

E’ inoltre facile verificare che valgono le seguenti regole di calcolo:

Teorema 6.33. Sia A ∈ L(H, K). Vale:

(αA)∗ = αA∗ ; (A + B)∗ = A∗ + B∗ .

Se A−1 esiste allora esiste anche (A∗)−1 e vale

(A−1)∗ = (A∗)−1 . 6.16

Se B ∈ L(K, Z) allora vale

(BA)∗ = A∗B∗ .

Una forma più generale della 6.16 sarà provata nel teorema 6.39. Le altre proprietà

sono ovvie.

6.5.2 Operatori aggiunti ed operatori chiusi

Proviamo:

Teorema 6.34. Ogni operatore aggiunto è chiuso.

404

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Sia A un operatore lineare da H in K, con dominio denso in H , e sia A ∗ il suo aggiunto.

Dobbiamo provare che il grafico di A∗ è chiuso. Sia per questo ( (yn, A∗yn) ) una

successione che appartiene al grafico di A∗ e che è convergente,

lim yn = η , lim A∗yn = ξ .

Dobbiamo provare che (η, ξ) appartiene al grafico di A ∗, ossia che η ∈ dom A∗ e che

inoltre ξ = A∗η.

Per ogni x ∈ dom A vale

〈Ax, yn〉 = 〈x,A∗yn〉 .

Passando al limite rispetto ad n si ha:

〈Ax, η〉 = 〈x, ξ〉 ∀x ∈ dom A .

Dunque, η ∈ dom A∗ e A∗η = ξ. Ciò volevamo provare.

Si noti: nel teorema precedente non si è supposto che A sia continuo oppure

chiuso.

Osservazione 6.35. Si è notato che se A è continuo allora A ∗ ha dominio K .

Abbiamo ora visto che A∗ è chiuso e quindi è continuo per il teorema 5.100. E’ questa

una diversa dimostrazione di una parte del lemma 6.31.

Se anche A∗ ha dominio denso in K allora si può definire A∗∗. Vale:

Teorema 6.36. L’operatore A∗∗ estende A.

DIMOSTRAZIONE

Sia h ∈ dom A, k ∈ dom A∗. Da

〈Ah, k〉 = 〈h, A∗k〉

si vede dunque che la funzione k → 〈h, A∗k〉 è continua, così che h ∈ dom A∗∗ e

inoltre A∗∗h = Ah.

405

6. SPAZI DI HILBERT

Dunque, A∗∗ è un’estensione chiusa di A e si potrebbe provare che è la minima

estensione chiusa.

Osservazione 6.37. Si noti quindi che se A∗ è continuo con dominio denso anche

A è continuo; e ciò spiega perché nel caso dell’esempio 6.29 il dominio dell’aggiunto

deve essere 0. Infatti, ogni operatore lineare su R è continuo. Se A∗ fosse definito su

R il suo aggiunto sarebbe esso stesso continuo; e quindi A sarebbe continuo.

Supponiamo ora che A sia esso stesso chiuso. In tal caso vale

Teorema 6.38. Se A è chiuso con dominio denso anche A ∗ è chiuso con dominio

denso; e quindi A∗∗ può definirsi, ed è uguale ad A.


Abbiamo così identificato una classe di operatori, più generale diL(H, K), nella quale

il calcolo dell’aggiunto ha buone proprietà.

Concludiamo infine con alcune regole di calcolo per gli operatori aggiunti. E’

immediato verificare che

(αA)∗ = αA∗ .

Valgono inoltre le regole

(A + B)∗k = A∗k + B∗k , (AB)∗k = B∗A∗k ,

ma soltanto per gli elementi k per cui le espressioni hanno senso, per esempio nel caso

della prima regola per k ∈ (dom A∗) ∩ (domB∗).

E’ più precisa, e più importante, la regola per l’aggiunto dell’inverso:

Teorema 6.39. Sia A lineare da H in K con dominio denso e supponiamo che A −1

sia continuo su K . Allora A∗ ha inverso continuo su H e vale

(A∗)−1 = (A−1)∗ . 6.17

406

6. SPAZI DI HILBERT

6.5.3 Operatori da H in sé; operatori autoaggiunti

Nel caso particolare in cui H = K il teorema 6.39 si riformula dicendo:

Corollario 6.40. 0 ∈ ρ(A) se e solo se 0 ∈ ρ(A∗).

DIMOSTRAZIONE

Se 0 ∈ ρ(A) allora 0 ∈ ρ(A∗) per il Teorema 6.39. Se 0 ∈ ρ(A∗), ancora per il

Teorema 6.39, 0 ∈ ρ(A∗∗), ossia (A∗∗)−1 è continuo. Ma, si sa che A∗∗ estende A e

quindi (A∗∗)−1 estende A−1, che pertanto è continuo.

Ciò suggerisce di studiare con maggiori dettagli le relazioni tra lo spettro di un

operatore e quello del suo aggiunto. Dato che λ ∈ ρ(A) equivale a 0 ∈ ρ(λI − A) si

vede che:

Teorema 6.41. Vale: λ ∈ ρ(A) se e solo se λ ∈ ρ(A∗); λ ∈ σ(A) se e solo se

λ ∈ σ(A∗).

Invece, le singole componenti dello spettro non si conservano. Si ha invece:

Teorema 6.42. Se λ ∈ σp(A) allora λ ∈ σp(A∗) ∪ σr(A∗); se λ ∈ σr(A) allora

λ ∈ σp(A∗); se λ ∈ σc(A) allora λ ∈ σc(A∗) ∪ σr(A∗).

La dimostrazione della seconda proprietà è immediata: se λ ∈ σr(A) allora esiste

h ⊥ im (λI − A) e per esso

0 = 〈h, (λI − A)x〉 = 〈(λI − A∗)h, x〉 ∀x ∈ dom A .

E quindi (λI − A∗)h = 0 .

Proviamo la prima. Se λ ∈ σp(A) allora esiste x0 per cui

0 = 〈(λI − A)x0, h〉 = 〈x0, (λI − A∗)h〉 ∀h ∈ dom A∗ .

Ciò vuol dire che im (λI−A∗) non è densa e quindi se λ /∈ σp(A∗) allora λ ∈ σr(A∗).

407

6. SPAZI DI HILBERT

Sia ora 0 ∈ σc(λI − A). In questo caso (λI − A)−1 non è continuo e quindi (λI −A∗)−1 non è continuo, si veda il Teorema 6.41. Se (λI−A∗)−1 non ha dominio denso

in H allora λ ∈ σr(A∗), altrimenti λ ∈ σc(A∗).

La situazione è riassunta nello specchietto seguente:

λ ∈ ρ(A) ⇐⇒ λ ∈ ρ(A∗)

λ ∈ σ(A) ⇐⇒ λ ∈ σ(A∗)

λ ∈ σp(A) =⇒ λ ∈ σp(A∗) ∪ σr(A)

λ ∈ σr(A) =⇒ λ ∈ σp(A∗)

λ ∈ σc(A) =⇒ λ ∈ σc(A∗) ∪ σr(A∗)

Un corollario interessante del teorema 6.42 è:

Corollario 6.43. Si sappia che σ(A) è reale e che A∗ = A. In tal caso σr(A) = ∅.

DIMOSTRAZIONE

Infatti, se λ ∈ σr(A) allora deve aversi anche λ = λ ∈ σp(A∗) = σp(A). Ciò è

impossibile perché le tre componenti dello spettro sono disgiunte.

E’ importante sapere che il corollario precedente contiene un’ipotesi ridondante.

Infatti

Teorema 6.44. Se A = A∗ allora σ(A) è reale.


408

6. SPAZI DI HILBERT

Gli operatori per cui A = A∗ si chiamano autoaggiunti e sono importantissimi nelle

applicazioni. Per essi vale anche

Teorema 6.45. Sia A autoaggiunto e siano λ e µ autovalori tra loro diversi. Siano

x ed y non nulli e tali che

Ax = λx , Ay = µx .

Allora, x ⊥ y.

DIMOSTRAZIONE

Dal Teorema 6.44 si sa che λ e µ sono reali. Come nel caso delle matrici, si moltiplichi

scalarmente la prima per y, la seconda per x e si sommi. Si trova:

(λ − µ)〈x, y〉 = 0 .

Dato che λ = µ, deve essere x ⊥ y.

Osservazione 6.46. E’ bene notare che la condizione A = A ∗ in particolare

richiede l’uguaglianza dei domini. Se invece A∗ estende A, senza che si abbia

l’uguaglianza, l’operatore A si chiama simmetrico. Esattamente come in dimensione

finita, si prova che se A è simmetrico i suoi autovalori sono reali e che autovettori

corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali.

Notiamo infine che le due definizioni di operatore simmetrico e di operatore

autoaggiunto coincidono nel caso degli elementi di L(X).


Dimostrazione del TEOREMA 6.38. In questa dimostrazione useremo più volte il

teorema 6.17: [X⊥]⊥ = X

se X è us s.spazio chiuso. Useremo inoltre questa proprietà, provata nel lemma 6.47:

se X ed Y sono due s.spazi di H , con X ⊆ Y , allora X⊥ ⊇ Y ⊥.

409

6. SPAZI DI HILBERT

Se A∗ non ha dominio denso, esiste k ∈ K non nullo ed ortogonale a dom A∗. In tal

caso,

(k, 0) ∈ [G(A∗)]⊥ .

Si prova che ciò non può darsi identificando esplicitamente lo spazio [G(A ∗)]⊥.

Indichiamo per questo con G l’insieme (−Ah, h) | h ∈ dom A. Ovviamente,

G ⊆ [G(A∗)]⊥ e quindi G(A∗) =[G(A∗)⊥

]⊥ ⊇ G⊥ 6.18

perché A∗ è un operatore chiuso. Mostriamo che in realtà vale l’uguaglianza, così

che (k, 0) = (−A0, 0) e quindi k = 0.

Essendo l’operatore A chiuso, G è un s.spazio chiuso di K × H e quindi[G⊥]⊥

= G .

Da 6.18 segue

[G(A∗)]⊥ ⊇ G =[G⊥]⊥

⊇ [G(A∗)]⊥

e quindi l’uguaglianza che volevamo.

Per completare la dimostrazione notiamo:

Lemma 6.47. Siano X ed Y due s.spazi di H , con X ⊆ Y , allora X ⊥ ⊇ Y ⊥.

DIMOSTRAZIONE

Se h ⊥ Y allora 〈h, y〉 = 0 per ogni y ∈ Y ; in particolare ciò vale anche per ogni x ∈ X,

dato che X ⊆ Y . Dunque ogni h ∈ Y ⊥ è anche in X⊥.


L’operatore (A−1)∗ è definito da

〈h, A−1k〉 = 〈(A−1)∗h, k〉 ∀h ∈ H , k ∈ K .

Indichiamo con ξ il vettore ξ = (A−1)k ∈ domA. L’uguaglianza precedente diviene

410

6. SPAZI DI HILBERT

〈h, ξ〉 = 〈(A−1)∗h, Aξ〉 ∀ξ ∈ dom A .

Ciò mostra che (A−1)∗h è nel dominio di A∗ e inoltre che

A∗(A−1)∗h = h ∀h ∈ H . 6.19

Mostriamo ora che

(A−1)∗A∗ξ = ξ ∀ξ ∈ domA∗ . 6.20

Sia h = A−1ξ un generico elemento di domA. Essendo

〈h, A∗k〉 = 〈Ah, k〉 ∀h ∈ domA , k ∈ domA∗

si ha

〈A−1ξ, A∗k〉 = 〈ξ, k〉 .

Ciò prova che A∗k ∈ dom(A−1)∗ per ogni k ∈ domA∗ e che

(A−1)∗A∗k = k ∀k ∈ domA∗ .

Vale dunque 6.20. Le uguaglianze 6.19 e 6.20 insieme equivalgono a 6.17.


Sia λ = α + iβ ∈ σ(A). Si deve provare che β = 0.

Per ogni x ∈ domA vale

〈(λI − A)x, x〉 = λ〈x, x〉 − 〈Ax, x〉

Ma ora, essendo A = A∗, 〈Ax, x〉 è reale. Infatti,

〈Ax, x〉 = 〈x, Ax〉 = 〈Ax, x〉 .

Dunque si trova

〈(λI − A)x, x〉 = λ〈x, x〉 − 〈Ax, x〉 .

Sottraendo,

2iβ||x||2 = 〈(λI − A)x, x〉 − 〈(λI − A)x, x〉 = 2iIm 〈(λI − A)x, x〉 .

411

6. SPAZI DI HILBERT

Passando ai moduli si vede che

|β| · ||x||2 ≤ |Im 〈(λI − A)x, x〉| ≤ |〈(λI − A)x, x〉| ≤ ||(λI −A)x|| · ||x|| . 6.21

Ciò implica che l’inverso sinistro di (λI − A) è continuo, si veda la 5.38.

Proviamo ora che le proprietà precedenti implicano che β = 0.

Per ipotesi, λ ∈ σ(A) e quindi im (λI − A) non può essere densa. Altrimenti,

dalla 6.21, avremmo λ ∈ ρ(A). Esiste quindi ξ = 0 per cui

0 = 〈ξ, (λI − A)x〉 ∀x ∈ domA .

Ciò in particolare implica che ξ ∈ dom A∗ = domA. Dunque, con x = ξ si ha:

|β| ||ξ|| ≤ |〈ξ, (λI − A)ξ〉| = 0

e quindi β = 0, come si voleva.

6.6. OPERATORI COMPATTI

Siano H e K spazi di Hilbert e sia C ∈ L(H, K). Essendo C continuo, il

suo nucleo è un s.spazio chiuso di H e inoltre la restrizione di C a [kerC]⊥ è

iniettiva. Se in particolare [kerC]⊥ ha dimensione finita allora anche im C è uno

spazio di dimensione finita e lo studio di C si fa semplicemente lavorando tra spazi

di dimensione finita. In particolare, esistono basi e1 , . . . , en di [kerC]⊥ ed

ε1 , . . . , εn di im C tali che

Cx =n∑

i=1

〈x, ei〉εi

per ogni x ∈ H (e non solo per ogni x ∈ [kerC]⊥).

Osservazione 6.48. Si ha quindi una “diagonalizzazione” di C, ma rispetto a basi

diverse. Si noti che le basi possono essere diverse anche se H = K . Per esempio sia

H = K = C2 e sia C rappresentato dalla matrice 1 1

0 1

412

6. SPAZI DI HILBERT

rispetto alla base canonica. L’operatore C non è diagonalizzabile scegliendo una

medesima base per rappresentare C2 sia come spazio di partenza che d’arrivo; se

però si sceglie come e1 ed e2 gli elementi della base canonica e invece

ε1 =

1

0

, ε2 =

1

1

allora

C[x1e1 + x2e2] = x1ε1 + x2ε2 .

La classe degli operatori C il cui nucleo ha codimensione finita ha quindi proprietà

ben particolari. Sfortunatamente essa è troppo piccola per le applicazioni. Una classe

più vasta di operatori, che ha proprietà ancora ben particolari e che però si incontra in

numerose applicazioni è quella degli operatori compatti. Per definizione, un operatore

si dice compatto quando ogni insieme limitato di H è trasformato in un insieme

relativamente compatto nella topologia della norma di K .

Naturalmente, per vedere se un operatore è compatto basta verificare che una sfera ha

per immagine un insieme relativamente compatto.

Osservazione 6.49. Ricordiamo che ogni insieme relativamente compatto è limita-

to. Dunque la sola proprietà di trasformare limitati in relativamente compatti implica

la limitatezza e quindi la continuità dell’operatore.

Ricordiamo che una successione è compatta quando ogni sua s.successione ammette

punti limite. Ovviamente:

Teorema 6.50. L’operatore C ∈ L(H, K) è compatto se e solo se trasforma ogni

successione limitata di H in una successione compatta di K (con la topologia della

norma).

Chiaramente tutti gli operatori con nucleo di codimensione finita, ossia con immagine

di dimensione finita, trasformano insiemi limitati in insiemi relativamente compatti e

inoltre:

413

6. SPAZI DI HILBERT

Teorema 6.51. Sia (Cn) una successione di operatori compatti. Se

C = limCn

(il limite nel senso di L(K, H)), allora C è compatto.

In particolare ciò vale se per ciascun Cn si ha:

dim [imCn] = cn < +∞ .

DIMOSTRAZIONE

Proviamo il teorema nel caso generale in cui ogni operatore C n è compatto, senza fare

ipotesi sul suo nucleo.

Proviamo che ogni successione (xn) limitata di H ha per immagine una successione

(Cxn) compatta in K (dotato della topologia della norma). Usiamo il procedimento

diagonale di Cantor: si consideri la successione

n → C1xn .

Questa ammette s.successioni convergenti, perché l’operatore C 1 è compatto. Indi-

chiamo col simbolo (x1,n) una s.successione di (xn) per cui (C1x1,n) converge. La

s.successione (x1,n) è limitata perché la successione (xn) è limitata. Dunque (C2x1,n)

ammette una s.successione convergente che indichiamo col simbolo (C 2x2,n).

Proseguendo in questo modo si costruiscono successioni (x r,n) tali che:

– (xr,n) è s.successione di (xr−1,n);

– per ogni fissato i, la successione (di indice n) (C ixi,n) è convergente.

– Dunque, (Cjxi,n) è convergente per ogni indice j < i, perché (x i,n) con

i > j è s.successione di (xj,n).

Si consideri ora la tabella seguente.

C1x1,1 C1x1,2 C1x1,3 C1x1,4 C1x1,5 . . .

C2x2,1 C2x2,2 C2x2,3 C2x2,4 C2x2,5 . . .

C3x3,1 C3x3,2 C3x3,3 C3x3,4 C3x3,5 . . .

C4x4,1 C4x4,2 C4x4,3 C4x4,4 C4x4,5 . . ....

......

......

414

6. SPAZI DI HILBERT

Proviamo che la successione diagonale (Cxr,r) è convergente. Scriviamo per questo

||Cxn,n − Cxm,m|| ≤ ||Cxn,n − Crxn,n|| + ||Crxn,n − Crxm,m||

+||Crxm,m − Cxm,m|| ≤ ||C − Cr||||xn,n|| + ||xm,m|| + ||Crxn,n − Crxmm|| .

Per ipotesi, (xn) è limitata,

||xn|| < M ∀n .

Sia ε > 0 fissato e sia rε tale che

||C − Cr|| < ε/4M

Con questo valore di r fissato, si ha

||C − Cr||||xn,n|| + ||xm,m|| < ε/2 .

Il numero r è ormai fissato e si sa che (Crxn,n) converge. Dunque si trova Nε tale che,

per n, m maggiori di Nε vale

||Crxn,n − Crxmm|| < ε/2 .

Dunque la successione (Cxn,n) è fondamentale e quindi convergente.

Ciò prova che la successione (Cxn) è compatta in K, come volevamo.

In particolare,

Corollario 6.52. L’insieme degli operatori compatti è un s.spazio chiuso di

L(H, K).

Infatti, che è un insieme chiuso discende dalla dimostrazione precedente. Che è un

s.spazio si vede facilmente.

In realtà vale di più: si ricordi che un operatore lineare continuo trasforma limitati

in limitati e compatti in compatti. Dunque, se C è compatto, la sua composizione, a

destra o a sinistra, con un operatore continuo è un operatore compatto. Dunque:

Teorema 6.53. L’insieme degli operatori compatti di L(K) è un ideale chiuso.

415

6. SPAZI DI HILBERT

Vale inoltre:

Teorema 6.54. L’operatore C ∈ L(H, K) è compatto se e solo se C ∗ ∈ L(K, H) è

compatto.

DIMOSTRAZIONE

Dato che C = C∗∗, basta provare che se C è compatto il suo aggiunto lo è.

Per assurdo, supponiamo che C ∗ non sia compatto. In tal caso esiste una successione

(kn) limitata in K, e tale che (C ∗kn) non ammette s.successioni convergenti. Dunque,

per ogni successione di indici (nk) esiste almeno un ε > 0 tale che

||C∗xnk − C∗xnm || > ε

per infiniti indici n ed m. Passando ad una ulteriore s.successione, non è restrittivo

assumere che ciò avvenga per ogni n e per ogni m.

Sia ora hk,m con ||hk,m|| = 1 e tale che

ε/2 ≤ 〈hk,m, C∗xnk − C∗xnm〉 = 〈Chk,m, xnk − xnm〉 . 6.22

Per ipotesi, l’operatore C è compatto. Dunque, l’insieme Ch k,m o è finito o ammette

punti di accumulazione. Nel primo caso esiste z0 ed esiste una successione (kr, mr)

per cui

Chkr ,mr = z0 .

Nel secondo caso esiste una successione (kr, mr) per cui

lim Chkr ,mr = z0 .

Limitandoci a considerare tale successione, si ha, per r sufficentemente grande,

〈z0, xnkr− xnmr

〉 = 〈z0 − Chkr ,mr , xnkr− xnmr

〉 + 〈Chkr ,mr , xnkr− xnmr

〉 > ε/4

perché vale 6.22 e il primo addendo tende a zero.

Ciò non può darsi perché la successione (〈z0, xnkr−xnmr

〉) è una successione limitata

di numeri, e quindi deve avere s.successioni convergenti per il teorema di Bolzano–

Weierstrass.

416

6. SPAZI DI HILBERT

6.6.1 Lo spettro degli operatori compatti

Consideriamo un operatore compatto C da uno spazio di Hilbert di dimensione

infinita H in sé e studiamone lo spettro. Esponiamo i risultati, posponendo le

dimostrazioni.

Essendo C continuo, il suo spettro è non vuoto e limitato. Si sa inoltre che

λ ∈ σ(C) =⇒ |λ| ≤ ||C|| .

Dunque, o lo spettro è finito oppure è dotato di punti di accumulazione. Mostriamo

prima di tutto che σ(C) può essere finito:

Esempio 6.55. Sia H = L2(0, 1) e sia C l’operatore da H in sé definito da

(Ch)(t) =∫ t

0

h(s) ds .

E’ noto che σ(C) = 0, si veda l’Esempio 5.176. Mostriamo che C è compatto.

Notiamo per questo che l’immagine di C contiene soltanto funzioni continue e che C

è anche continuo da L2(0, 1) in C(0, 1). Inoltre, ogni s.insieme compatto di C(0, 1)

è anche un s.insieme compatto di L2(0, 1). Dunque basta provare che è compatto

l’operatore

C : L2(0, 1) → C(0, 1) , (Ch)(t) =∫ t

0

h(s) ds .

Come si è notato, è sufficiente provare che l’immagine della sfera unità di L 2(0, 1)

è compatta in C(0, 1). La continuità di C mostra che l’immagine è limitata. La

disuguaglianza

|(Ch)(r) − (Ch)(t)| ≤∣∣∣∣∫ t

r

|h(s)| ds

∣∣∣∣ ≤√|t − r|[∫ 1

0

|h(s)|2 ds

]1/2

mostra l’equicontinuità dell’immagine, e quindi la compattezzo per il teorema di

Ascoli–Arzelà.

Nell’esempio precedente, 0 ∈ σ(C). Ciò non per caso. Infatti vale

Teorema 6.56. Sia H uno spazio di Hilbert di dimensione infinita. Se C è compatto,

il suo spettro contiene il punto 0.

417

6. SPAZI DI HILBERT

Se lo spettro di C è infinito, esso è numerabile ed ha 0 come unico punto di

accumulazione.

Il risultato seguente va sotto il nome di alternativa di Fredholm.

Teorema 6.57. Se λ = 0, allora im (λI − C) è chiusa e λ appartiene al risolvente

di C oppure appartiene allo spettro di punti di C.

Ossia, gli elementi non nulli dello spettro sono autovalori. Invece, il punto 0 può

essere o meno un autovalore: nel caso dell’operatore visto nell’esempio 6.55 si ha

0 ∈ σc(C).

Ad ogni autovalore si associano i corrispondenti autovettori, uno o più, e ad ogni

autovettore si associa una catena di Jordan. E’ questa una successione, oppure una

sequenza finita, (xn) di vettori tali che

Ax0 = λx0 , Axn = xn−1 + λxn per n > 0 .

Dunque, il primo elemento x0 della catena è un autovettore relativo all’autovalore λ.

Lo spazio generato da tutti gli elementi di catene di Jordan che corrispondono

all’autovettore λ si chiama autospazio generalizzato di λ.

Vale:

Teorema 6.58. Gli autospazi generalizzati di autovalori non nulli hanno dimensione

finita.

Naturalmente, se 0 è l’unico punto dello spettro, o anche se lo spettro è finito, lo spettro

darà poche informazioni sull’operatore. Il caso in cui lo spettro dà informazioni

“complete” sull’operatore è il caso in cui le catene di Jordan costituiscono un sistema

massimale in H o almeno in [kerC]⊥, perché in tal caso l’operatore può rappresentarsi

mediante “blocchi di Jordan”. Un caso in cui ciò avviene è quello degli operatori

compatti e autoaggiunti:

418

6. SPAZI DI HILBERT

Teorema 6.59. Sia C compatto e autoaggiunto sullo spazio di Hilbert H di

dimensione infinita. Esiste una famiglia ortonormale (vn) (finita o numerabile)

di autovettori di C,

Cvn = λnvn λn = 0 ,

tale che

Cx =∑

λn〈x, vn〉vn

per ogni x ∈ H .

La famiglia vn è massimale in [kerC]⊥.

Questo risultato generalizza la diagonalizzazione delle matrici simmetriche: rispetto

a una base di autovettori l’operatore C può “scriversi in forma diagonale”.

Chiameremo questa la diagonalizzazione di C.

6.6.2 Operatori compatti tra spazi diversi. Valori singolari

Studiamo ora il caso di un operatore C compatto tra due spazi di Hilbert H e K .

Niente vieta che possa essere H = K e ciò è utile nel caso in cui l’operatore C non è

autoaggiunto. Ciascuno degli operatori

CC∗ ∈ L(K) , C∗C ∈ L(H)

è compatto autoaggiunto e quindi si rappresenta rispettivamente come

C∗Ch =+∞∑i=1

mi〈h, vi〉vi , CC∗k =+∞∑i=1

µi〈k, wi〉wi . 6.23

Naturalmente, mi e µi sono gli autovalori non nulli rispettivamente di C ∗C e di CC∗

mentre vi e wi rappresentano corrispondenti autovettori normalizzati.

I numeri mi e µi sono reali e positivi. Infatti,

0 ≤ 〈CC∗vi, vi〉 = mi||vi||2 = mi , 0 ≤ 〈C∗Cwi, wi〉 = µi||wi||2 = µi .

E’ inoltre immediato vedere che i numeri m i (ricordiamo, tutti non nulli) coincidono

con i µi (ricordiamo: anch’essi non nulli). Infatti, sia µ = 0 tale che

CC∗v = µv .

419

6. SPAZI DI HILBERT

Essendo µ = 0, C∗v non è 0 e applicando C∗ ai due membri si trova

(C∗C)C∗v = µC∗v

e quindi il numero µ (non nullo) è uno degli m (non nulli). In modo analogo si vede

che ciascuno degli mi coincide con uno dei numeri µi.

Osservazione 6.60. Nelle rappresentazioni 6.23 figurano i soli autovalori non nulli,

ed abbiamo provato che essi sono i medesimi per CC ∗ come per C∗C. E’ però

possibile che 0 sia nello spettro di uno solo di questi operatori, come accade se H =

R2, K = R e C =[

1 0].

Introduciamo i numeri non nulli

σi =√

mi .

che si possono anche ottenere a partire dai µ i e che si chiamano i valori singolari di

C.

Generalmente si assume di ordinare i valori singolari in modo non crescente.

Indichiamo con ωi il vettore

ωi =1σi

Cvi

(si ricordi che i valori singolari sono non nulli.)

Vale:

Lemma 6.61. L’insieme ωi è ortonormale in K .

DIMOSTRAZIONE

Infatti,

〈ωr, ωs〉 = 〈 1

σrCvr,

1

σsCvs〉 =

1

σrσs〈C∗Cvr, vs〉 =

1

σrσsmr〈vr, vs〉

nullo se r = s perché vr ⊥ vs, altrimenti uguale a 1.

Poiché i vi sono un sistema ortonormale massimale in [kerC ∗C]⊥, si può scrivere

x =+∞∑i=1

〈x, vi〉vi + n , n ∈ kerC = kerC∗C

420

6. SPAZI DI HILBERT

e quindi

Cx =+∞∑i=1

〈x, vi〉Cvi =+∞∑i=1

σi〈x, vi〉ωi . 6.24

In particolare ciò mostra una “diagonalizzazione” per operatori compatti tra spazi

diversi (in particolare, operanti nello stesso spazio, ma rispetto a basi diverse) e

mostra che ogni operatore compatto si approssima nella norma di L(H, K) mediante

operatori con immagine di dimensione finita. Combinando ciò col teorema 6.51 si

trova:

Teorema 6.62. Un operatore C ∈ L(H, K) è compatto se e solo se è limite, in

L(H, K), di una successione di operatori con immagine di dimensione finita.

Osservazione 6.63. Gli operatori compatti possono definirsi anche in spazi di

Banach e il teorema 6.51 vale anche in spazi di Banach. Però in spazi di Banach

esistono operatori compatti che non possono approssimarsi con operatori la cui

immagine ha dimensione finita.

Per concludere, mostriamo una particolare rappresentazione sotto cui si possono porre

gli operatori compatti da H in K .

Sia prima di tutto C ∈ L(H) compatto autoaggiunto e positivo. Ciò vuol dire che

〈Cx, x〉 ≥ 0 ∀x .

In tal caso si definisce

C1/2x =+∞∑i=1

√λi〈x, vi〉vi .

Sia ora C compatto da H in K . Si definisce l’ operatore modulo di C ponendo

|C|x = (C∗C)1/2x =+∞∑i=1

σi〈x, vi〉vi .

Si noti che il simbolo |C| indica un operatore, e non un numero.

Dato ora un generico operatore compatto, diciamo A, tra spazi diversi,

Ax =+∞∑i=1

σi〈x, vi〉ωi

421

6. SPAZI DI HILBERT

introduciamo l’operatore (continuo ma generalmente non compatto)

UAx =+∞∑i=1

〈x, vi〉ωi .

Le proprietà importanti di UA sono:

– se x ∈ [span vi ]⊥ allora UAx = 0;

– se x ∈ cl span vi allora

||UAx||2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∞∑i=1

〈x, vi〉ωi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=+∞∑i=1

|〈x, vi〉|2 = ||x||2 .

E’ ora facile verificare che l’operatore compatto A si rappresenta come

A = UA|A| .

Questa rappresentazione si chiama la rappresentazione polare dell’operatore A.

6.6.3 Proprietà geometriche degli autovalori e valori singolari

Sia C compatto da H in K . Si è visto che

Cx =∑

σi〈x, vi〉ωi .

Dunque,

||Cx||2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∞∑i=1

σi〈x, vi〉ωi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2

=+∞∑i=1

σ2i |〈x, vi〉|2 ≤ σ2

1 ||x||2

e l’uguaglianza vale se x = v1. Dunque,

Teorema 6.64. Il numero σ1, massimo valor singolare di C, è uguale a ||C||. In

particolare, se C è compatto ed autoaggiunto, ||C|| è anche uguale a maxλ i.

Vogliamo estendere questa caratterizzazione al caso di generici autovalori. Conside-

riamo un operatore compatto autoaggiunto C, limitandoci a considerare il caso in cui

tutti i suoi autovalori sono non negativi. In questo caso, ordiniamo quelli strettamente

positivi in modo non crescente, λi ≥ λi+1. Gli autovalori si elencano più volte

quando ad essi corrispondono più autovettori linearmente indipendenti. Indichiamo

422

6. SPAZI DI HILBERT

con vi un autovettore di norma 1 di λi, in modo da avere un sistema ortonormale v imassimale in [kerC]⊥.

Indichiamo con L[n] la famiglia di tutti i s.spazi di H di dimensione n. Un generico

elemento di L[n] è

L = span x1 , . . . , xn.

Con Ln indichiamo il particolare s.spazio generato dai primi n autovettori:

Ln = span v1 , . . . , vn .

Ricordiamo che stiamo studiando gli autovalori λ i con i > 1. Un primo risultato è il

seguente:

Lemma 6.65. Sia C compatto autoaggiunto, con autovalori non negativi. Vale:

λn+1 = max〈Cx, x〉 | ||x|| = 1 , x ∈ [Ln]⊥

.

DIMOSTRAZIONE

Se x ∈ [Ln]⊥, si ha

x =∞X

i=n+1

xivi + n , xi = 〈x, vi〉 , n ∈ kerC

e quindi

〈Cx, x〉 =∞X

i=n+1

λix2i ≥ λn+1

∞Xi=n+1

x2i

!≥ λn+1 .

L’ultima uguaglianza vale perché x =P+∞

i=n+1 xivi ha norma 1.

Il risultato precedente richiede l’esplicita conoscenza degli autospazi. In pratica

interessano risultati che non fanno uso esplicito degli autospazi. Tra questi:

Teorema 6.66. Sia C come nel Lemma 6.65. Si ha:

λn+1 = min

max

〈Cx, x〉 | ||x|| = 1 , x ∈ L⊥ , L ∈ L[n]

.

423

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Il lemma 6.65 mostra che

λn+1 = maxn〈Cx, x〉 , | ||x|| = 1 , x ∈ [Ln]⊥

o.

Per provare il teorema basta mostrare che per ogni altra scelta di L ∈ L[n] si ha

λn+1 ≤ maxn〈Cx, x〉 , | ||x|| = 1 , x ∈ L⊥

o. 6.25

Sia L = span h1 , . . . , hn e sia

φ =n+1Xi=1

φivi .

Scegliamo coefficienti φi non tutti nulli in modo da avere φ ∈ L⊥. Per avere ciò si deve

richiedere

n+1Xi=1

φi〈hj , vi〉 = 0 j = 1 , . . . n .

Questo è un sistema di n equazioni in (n + 1) incognite e quindi ammette soluzione

non nulla. Si può quindi effettivamente trovare φ ⊥ L e, dividendo per ||φ|| = 0, si può

assumere ||φ|| = 1. Per questo particolare elemento φ vale

〈Cφ, φ〉 =

n+1Xi=1

λiφ2i ≥ λn+1||φ||2 = λn+1 .

Dunque vale 6.25, come volevamo.

Proviamo ora una caratterizzazione importante dei valori singolari. In questo caso C è

compatto tra spazi di Hilbert H e K , può essere tra loro diversi. Con A[n] indichiamo

la famiglia degli operatori lineari da H in K , ciascuno dei quali ha immagine di

dimensione n al più.

Ricordiamo che i valori singolari per definizione sono non nulli ed ordinati in modo

decrescente.

Teorema 6.67. Vale:

σn+1 = min||C − A|| | A ∈ A[n] .

424

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo l’operatore A definito da

Ax =nX

i=1

σi〈x, vi〉ωi .

Per quest’operatore si ha

(C − A)x =

∞Xi=n+1

σi〈x, vi〉ωi

e quindi ||C − A|| = σn+1. Ovviamente, A ∈ A[n].

Sia ora A un generico operatore che appartiene ad A[n]. La sua restrizione a

span v1 , . . . , vn+1 non è iniettiva, perché A ha immagine di dimensione n al più,

minore di quella del dominio. Dunque esiste x =Pn+1

i=1 xivi tale che Ax = 0 e inoltre

||x|| = 1. Per quest’elemento x vale

||(C − A)x|| = ||Cx|| ≥ σn+1

e ciò completa la dimostrazione.

6.6.4 Operatori compatti ed equazioni integrali di Fredholm

Consideriamo una funzione K(t, s) continua su [a, b]× [a, b] e l’operatore da L 2(a, b)

in sé definito da

x → Kx =∫ b

a

K(t, s)x(s) ds .

Si sa già che quest’operatore è continuo. Mostriamo che esso è addirittura compatto,

facendo uso del teorema di Ascoli–Arzelà. Ciò generalizza l’osservazione usata

nell’Esempio 6.55.

Sia x ∈ B,

B = x | ||x|| < 1 .

Se possiamo provare che KB è un insieme relativamente compatto di L 2(a, b) allora

K è un operatore compatto.

425

6. SPAZI DI HILBERT

Si sa anche che K trasforma L2(a, b) in C(a, b) e, come si è già visto, basta provare

che KB è un s.insieme compatto di C(a, b). La uniforme limitatezza di KB discende

dalla continuità di K . Proviamo quindi l’equicontinuità. Notiamo:

|(Kx)(t) − (Kx)(t′)| =

∣∣∣∣∣∫ b

a

[K(t, s) − K(t′, s)]x(s) ds

∣∣∣∣∣≤[∫ b

a

|K(t, s) − K(t′, s)|2]1/2 [∫ b

a

|x(s)|2]1/2

≤[∫ b

a

|K(t, s) − K(t′, s)|2]1/2

.

Sia ε > 0. L’uniforme continuità di K mostra che esiste δ > 0 tale che

|t − t′| < δ =⇒ |K(t, s) − K(t′, s)| < ε2

e quindi, per |t − t′| < δ,

|(Kx)(t) − (Kx)(t′)| < ε .

Ciò prova l’equicontinuità e quindi la compattezza.

Consideriamo ora l’equazione integrale

x = µKx + φ = µ

∫ b

a

K(t, x)x(s) ds + φ(t) .

Nel caso in cui K sia autoaggiunto, ossia nel caso in cui

K(t, s) = K(s, t) ,

l’operatore K si può diagonalizzare rispetto ad un sistema ortonormale, mentre in

generale si potrà scrivere

Kx =+∞∑i=1

σi〈x, vi〉ωi .

Se accade che questa somma è finita, l’equazione integrale di Fredholm ha nucleo

degenere; altrimenti, l’equazione integrale diviene

x(t) =+∞∑i=1

σi

[∫ b

a

x(s)vi(s) ds

]ωi(t) + φ(t) ,

forma che generalizza quella che abbiamo introdotto, per le equazioni con nucleo

degenere, al paragrafo 5.1.3.

426

6. SPAZI DI HILBERT


Si provano ora i teoremi relativi agli operatori compatti. Per questo avremo bisogno

di introdurre alcune proprietà che valgono anche per operatori non compatti. Per

chiarezza, indicheremo con A un generico operatore lineare e con C uno che è anche

compatto.

Conviene seguire un’ordine un po’ diverso da quello del paragrafo 6.6.1 e spezzare le

dimostrazioni in vari lemmi.

Avremo spesso bisogno di lavorare con successioni limitate o addirittura convergenti

(vn) di elementi dell’immagine di λI − C,

vn = (λI − C)xn .

La successione (xn) in generale non sarà né convergente né limitata. Però:

Lemma 6.68. Sia (vn) una successione limitata che appartiene ad im(λI −C), con

C compatto e λ = 0:

vn = lim(λI − C)xn , λ = 0 . 6.26

Esiste una successione (kn) limitata e tale che

vn = (λI − C)kn .

DIMOSTRAZIONE

Se (xn) stessa è limitata, niente è da provare. Consideriamo il caso in cui

l’uguaglianza 6.26 vale, con (xn) successione illimitata.

Si rappresenti

X = ker(λI − C) ⊕ [ker(λI − C)]⊥ , xn = hn + kn .

Ovviamente, (λI − C)xn = (λI − C)kn e quindi si può sostituire xn con kn. Basta

dunque provare che la successione (kn) è limitata.

Sia per assurdo la successione (kn) illimitata. In tal caso,

yn = limvn

||kn||= 0

427

6. SPAZI DI HILBERT

perché (vn) è limitata.

Usiamo l’ipotesi che l’operatore C è compatto, e la limitatezza di (k n/||kn||), per estrar-

re dalla successione“C kn

||kn||

”una s.successione convergente. Cambiando nome agli

indici, si può supporre

lim Ckn

||kn||= w0 .

Essendo

(λI − C)kn

||kn||=

vn

||kn||= yn −→ 0 ,

si ha anche

lim λkn

||kn||= lim C

kn

||kn||= w0 . 6.27

Poiché λ = 0 e kn/||kn|| ha norma 1, segue che ||w0|| = |λ| = 0, e dunque w0 = 0.

Inoltre, w0 ∈ [ker(λI − C)]⊥ perchè kn ∈ [ker(λI − C)]⊥. Usando ambedue le ugua-

glianze in 6.27, mostriamo ora che si ha anche w0 ∈ ker(λI −C) così che si arriva alla

contraddizione w0 = 0.

(λI − C)w0 = λw0 − Cw0 = limn

˘λ2I − C2

¯ kn

||kn||

= lim(λI + C)(λI − C)kn

||kn||= (λI + C)

lim(λI − C)

kn

||kn||

ff= 0 .

La contraddizione trovata mostra che la successione (kn) è limitata.

Osservazione 6.69. Si noti che l’ipotesi della compattezza di C si è esplicitamente

usata. L’asserto precedente non vale per generici operatori.

Usiamo questo lemma per provare:

Teorema 6.70. Se C è compatto e λ = 0 allora (λI − C) ha immagine chiusa.

DIMOSTRAZIONE

Sia (vn) una successione in im (λI − C), convergente a v0. Dobbiamo provare v0 ∈

im (λI − C) ossia che, per un opportuno x0, si ha

v0 = (λI − C)x0 .

428

6. SPAZI DI HILBERT

Assumiamo quindi che valga 6.26. Come si è visto al Lemma 6.68, possiamo assumere

che la successione (xn) sia limitata. In questo caso, passando ad una s.successione,

si può assumere lim Cxn = y, perché C è compatto. Si ha quindi che

xn =1

λ[vn + Cxn] , lim xn =

1

λ[v0 + y] = x0 ,

ossia (xn) converge ad x0. D’altra parte C, essendo compatto, è continuo. Dunque,

da vn = (λI − C)xn, si ha v0 = (λI − C)x0. Ciò prova che v0 ∈ im (λI − C), come

volevamo.

Proviamo ora:

Teorema 6.71. Se l’operatore C ∈ L(H, K) è compatto e se lo spazio di Hilbert K

ha dimensione infinita, allora 0 ∈ σ(C).

DIMOSTRAZIONE

Supponiamo che 0 sia nel risolvente di C. In questo caso, C −1 è continuo e quindi

I = CC−1

è un operatore compatto. Dunque, la sfera x | ||x|| ≤ 1 è compatta. Ciò non può

essere se lo spazio di Hilbert H ha dimensione infinita, si veda il Teorema 5.50.

Proviamo ora un lemma che sarà reso più preciso in seguito:

Lemma 6.72. Sia C compatto. Se λ ∈ σ(C) non è zero, allora λ ∈ σp(C)∪σr(C).

DIMOSTRAZIONE

Sia λ = 0, e sia λ /∈ σp(C). Si è visto che l’immagine di (λI −C), con λ = 0, è chiusa.

Se questa è diversa da X allora λ ∈ σr(C). Se l’immagine è X allora, per il teorema

di Banach, Teorema 5.99, (λI − C)−1 è continuo e quindi λ ∈ ρ(C).

Osservazione 6.73. In particolare si è provato che lo spettro continuo di un

operatore compatto, se non è vuoto, contiene il solo elemento 0.

429

6. SPAZI DI HILBERT

Notiamo che non abbiamo ancora provato che gli elementi non nulli di σ(C) sono

autovalori. Possiamo però provare:

Lemma 6.74. L’insieme degli autovalori dell’operatore compatto C, se non è finito,

ha per unico punto di accumulazione il punto 0.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono linearmente indi-

pendenti. Questo risultato, noto dai corsi di algebra lineare, è provato per completezza

nel Lemma 6.77.

Essendo C continuo, il suo spettro è un insieme limitato e quindi se C ha infiniti auto-

valori, si trova una successione (λk) di autovalori tra loro diversi, che converge a λ 0.

Supponiamo per assurdo che sia λ0 = 0. Indichiamo con xk un autovettore di λk di

norma 1 e sia Xn = span x1 , . . . xn.

Lo spazio lineare Xn è trasformato in sé dall’operatore C,

CXn ⊆ Xn

ed inoltre

(λnI − C) Xn ⊆ Xn−1

perché (λnI − C)xn = 0.

Grazie al Lemma 6.77, la dimensione di Xn è esattamente n e quindi Xn−1 ⊆ Xn,

l’inclusione essendo stretta. Dunque in Xn può trovarsi un vettore en di norma 1,

che dista 1 da Xn−1. Mostriamo che se λ0 = 0, la successione“C en

λn

”non ammette

s.successioni convergenti. Ciò contrasta con la compattezza di C e mostra che λ 0 = 0.

Per ottenere ciò, basta provare che per ogni n, m vale˛˛˛˛C en

λn− C

em

λm

˛˛˛˛ > 1 .

Per fissare le idee, sia n > m e si scriva

Cen

λn− C

em

λm= en −

C

em

λm+

„I − C

λn

«en

ff.

430

6. SPAZI DI HILBERT

I due vettori

„I − C

λn

«en , C

em

λm

appartengono a Xn−1 mentre en ∈ Xn. Dunque,˛˛˛˛C en

λn− C

em

λm

˛˛˛˛ ≥ dist(en, Xn−1) ≥ 1 .

Si trova quindi che la successione limitata (en/λn) ha immagine priva di s.successioni

convergenti. Ciò contrasta con la compattezza di C. La contraddizione trovata mo-

stra che l’insieme degli autovalori di C, se non è finito, ha 0 come unico punto di

accumulazione.

Vorremo provare che

σr(C) − 0 = ∅ .

Per ora però proviamo:

Corollario 6.75. Sia C compatto. L’insieme σr(C) è finito oppure ha 0 come unico

punto di accumulazione.

DIMOSTRAZIONE

Infatti, si sa dal teorema 6.42 che se λ ∈ σr(C) allora λ ∈ σp(C∗) e C∗ è compatto,

si veda il Teorema 6.54; e quindi l’unico punto che può essere di accumulazione per

σr(C) è il punto 0.

Per completare le dimostrazioni dei risultati relativi allo spettro di operatori compatti,

dobbiamo far intervenire le proiezioni spettrali introdotte al teorema 5.182.

Per i risultati già provati, si può trovare una successione di numeri positivi (rn), rn →0, tali che

λ : |λ| = rn ⊆ ρ(C) .

Infatti, 0 è l’unico punto di accumulazione sia di σp(C) che di σr(C); e si è già visto

che σc(C) ⊆ 0.

431

6. SPAZI DI HILBERT

Con un abuso di linguaggio comune nella teoria delle funzioni olomorfe, indichiamo

con Γn la “curva” costituita dalle due circonferenze di centro 0 e di raggio rispet-

tivamente rn, rn+1. Sia Ωn la corona circolare delimitata da Γn. Consideriamo

l’operatore

Pn =1

2πi

∫Γn

(zI − C)−1 dz .

Ricordiamo, dal teorema 5.182:

– I due s.spazio im Pn ed im (I − Pn) sono complementari;

– L’insieme σn = σ(C) ∩Ωn è lo spettro della restrizione di C ad im Pn (che è

un s.spazio invariante per C).

Proviamo ora:

Teorema 6.76. Sia C compatto. La proiezione Pn ha immagine di dimensione

finita e quindi ogni elemento non nullo di σ(C) è un autovettore il cui autospazio

generalizzato ha dimensione finita.

DIMOSTRAZIONE

Notiamo che la funzione 1/z è olomorfa in Ωn e quindi

Pn =1

2πi

ZΓn

(zI − C)−1 dz =1

2πi

ZΓn

(zI − C)−1 − 1

z

ffdz

=1

2πi

ZΓn

(zI − C)−1 C

zdz .

L’ultimo integrale si approssima nella topologia di L(X), mediante le somme di

Riemann

Pn =1

2πi

(Xr

(zrI − C)−1 zr − zr−1

zr

)C

(i punti zr sono quelli di una partizione del sostegno di Γ n). Per il Teorema 6.53,

ciascuno degli operatori Pn è compatto e quindi anche P lo è, si ricordi il teorema 6.51.

Dunque, la palla di im P è compatta e quindi, per il Teorema 5.182, im P ha dimensione

finita.

432

6. SPAZI DI HILBERT

Infine, per completezza, proviamo:

Lemma 6.77. Siano λ1,. . . , λk autovalori distinti di un operatore lineare A e sia xk

un autovettore di λk. Gli autovettori xk sono linearmente indipendenti.

DIMOSTRAZIONE

Ricordiamo che gli autovettori, per definizione, sono non nulli. Dunque, in particolare

x1 = 0 così che l’insieme x1 è linearmente indipendente e, se gli autovettori non

sono linearmente indipendenti, esiste un primo n 0 per cui

xn0+1 =

n0Xi=1

αixi .

Applicando l’operatore A ai due membri dell’uguaglianza si trova

λn0+1xn0+1 =

n0Xi=1

αiλixi .

Moltiplicando i due membri della prima uguaglianza per λ n0+1 e sottraendo la seconda,

si trova

n0Xi=1

[λn+1 − λi]αixi = 0 .

Ciò mostra che xn0+1 non è il primo degli autovettori linearmente dipendente dai

precedenti. Ciò contraddice la scelta di n 0 e prova l’asserto.

Osservazione 6.78. Si noti che l’asserto precedente vale per ogni operatore lineare

A, anche non compatto ed anche non continuo.

Il caso degli operatori compatti autoaggiunti

Premettiamo due osservazioni:

Lemma 6.79. Sia A ∈ L(K) e sia X un s.spazio invariante per A: sia cioè AX ⊆X . Allora, X⊥ è invariante per A∗.

433

6. SPAZI DI HILBERT

DIMOSTRAZIONE

Bisogna provare che A∗X⊥ ⊆ X⊥. Sia per questo h ∈ X⊥ e sia x ∈ X. Si ha:

〈x,A∗h〉 = 〈Ax,h〉 = 0 .

Ciò vale per ogni x ∈ X e quindi A∗h ∈ X⊥.

Lemma 6.80. Sia A ∈ L(K) e sia X0 invariante per A: AX0 ⊆ X0. Sia X =

cl X0. Il s.spazio chiuso X è invariante per A.

DIMOSTRAZIONE

Sia infatti x ∈ H ,

x = lim xn , xn ∈ X0 .

Vale:

Ax = lim Axn ∈ X

perché Axn ∈ X0 per ogni n e X = cl X0.

Gli operatori compatti autoaggiunti godono della proprietà seguente:

Teorema 6.81. Sia C ∈ L(H) un operatore compatto e autoaggiunto. Almeno uno

dei due numeri ||C|| oppure −||C|| appartiene a σ(C).

Proveremo in seguito questo teorema. Per ora illustriamone le conseguenze.

Una prima conseguenza è che il raggio spettrale di un operatore compatto autoaggiun-

to è uguale a ||C||. In generale invece il raggio spettrale di un generico operatore

lineare A è minore della sua norma: r(A) ≤ ||A|| . La disuguaglianza può essere

stretta, anche se l’operatore è compatto (non autoaggiunto) come prova l’esempio

della trasformazione da R2 in sé rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla

matrice [0 1

0 0

].

In questo caso lo spettro è 0 mentre la norma dell’operatore è 1.

434

6. SPAZI DI HILBERT

Notiamo ora che ||C|| = 0 se e solo se C = 0 e in questo caso σp(C) = ∅. Se C = 0,

+||C|| , −||C|| ∩ σ(C) = +||C|| , −||C|| ∩ σp(C) .

Corollario 6.82. Se C ∈ L(H) è compatto autoaggiunto allora σp(C) = ∅.

Da ora in poi, assumiamo esplicitamente C = 0. Il corollario precedente mostra che

esistono autovalori non nulli dell’operatore C. Indichiamo con X 0 lo spazio lineare

generato dagli autovettori di C relativi ad autovalori non nulli. Questo è un s.spazio

di H invariante per C:

CX0 ⊆ X0 .

Sia X = cl X0 così che X stesso è invariante per C.

Lemma 6.83. Siano X0 ed X gli spazi appena definiti. E’: X = cl X0 = [kerC]⊥.

DIMOSTRAZIONE

Sia per assurdo X = [ker C]⊥ e quindi X⊥ = kerC. Essendo X invariante per C,

allora X⊥ è invariante per C ∗ ed essendo C = C∗, X⊥ è anch’esso invariante per C.

La restrizione di C ad X⊥ è essa stessa un operatore autoaggiunto e quindi ammette

un autovalore, per il Corollario 6.82 e se X⊥ = ker C allora l’autovalore è non nullo. Il

corrispondente autovettore è autovettore anche di C. Ciò contrasta con la definizione

di X che, per costruzione, contiene tutti gli autovettori di C relativi ad autovalori non

nulli. La contraddizione trovata prova il teorema.

Per costruzione, l’insieme degli autovettori (normalizzati) di C che corrispondono ad

autovalori non nulli genera X0 ed è quindi un sistema ortonormale massimale in X .

Mostriamo:

Teorema 6.84. Sia C compatto autoaggiunto. Si possono scegliere gli autovettori

di C, di autovalore non nullo, in modo da avere un sistema ortonormale massimale di

X = [kerC]⊥.

DIMOSTRAZIONE

Basta provare che gli autovettori si possono scegliere due a due ortogonali. Si è già

visto al Teorema 6.45 che l’ortogonalità è automatica per autovettori che corrispondono

435

6. SPAZI DI HILBERT

ad autovalori diversi. Sia ora λ0 = 0 un autovettore di molteplicità maggiore di 1 e sia

N0 il relativo autospazio. Essendo C compatto, la dimensione di N 0 è finita e quindi

N0 ammette una base ortonormale di autovettori.

Osservazione 6.85. Supponiamo che X = H , ossia che 0 ∈ σ p(C). Sia F

la famiglia ortonormale degli autovettori costruita sopra, e sia F0 una famiglia

linearmente indipendenti di autovettori tutti con autovalore 0. Si sa che F è una

famiglia numerabile mentre F0 potrebbe anche essere non numerabile.

In conclusione, ogni h ∈ H può rappresentarsi come

h = h0 ++∞∑i=1

〈h, ei〉ei

con

Cei = λiei , λi = 0 , Ch0 = 0 .

Dunque, per ogni h ∈ H si ha anche

Ch =+∞∑i=1

λi〈h, ei〉ei .

Questa è la forma diagonale cercata dell’operatore C.

Passiamo ora a provare il Teorema 6.81. La dimostrazione richiede diversi passi.

Proviamo prima di tutto due lemmi che valgono per operatori autoaggiunti, anche

non compatti.

Lemma 6.86. Siano x ed y in H e sia A ∈ L(H) un operatore autoaggiunto. Si ha:

4e 〈Ax, y〉 = 〈A(x + y), (x + y)〉 − 〈A(x − y), (x − y)〉 .

DIMOSTRAZIONE

Usando A = A∗, calcoliamo:

〈A(x + y), (x + y)〉 = 〈Ax,x〉 + 〈Ay, y〉 + 〈Ax, y〉 + 〈Ay,x〉

= 〈Ax,x〉 + 〈Ay, y〉 + 〈Ax, y〉 + 〈y,Ax〉

= 〈Ax,x〉 + 〈Ay, y〉 + 2e 〈Ax, y〉 . 6.28

436

6. SPAZI DI HILBERT

Analogamente si vede che

〈A(x− y), (x − y)〉 = 〈Ax,x〉 + 〈Ay, y〉 − 2e 〈Ax, y〉 . 6.29

L’asserto segue sottraendo la 6.29 da6.28.

Proviamo ora:

Lemma 6.87. Sia A un operatore lineare continuo ed autoaggiunto. Vale:

||A|| = sup |〈h, Ah〉| , ||h|| = 1 .

DIMOSTRAZIONE

Sia

α = sup |〈h, Ah〉| , ||h|| = 1 .

Per ogni operatore lineare A vale α ≤ ||A||. Si deve provare che se A è autoaggiunto,

allora la disuguaglianza non può essere stretta; ossia, si deve provare che se A è

autoaggiunto, allora

||A|| ≤ α .

Ricordiamo, come conseguenza del Teorema di Riesz e del Teorema 5.115 che

||A|| = sup 〈Ah, k〉 , ||h|| = 1 , ||k|| = 1 .

D’altra parte, per il Lemma 6.86 e per l’identità del parallelogramma, essendo ||h|| = 1,

||k|| = 1,

4e 〈Ah, k〉 ≤ |〈A(h + k), (h + k)〉| + |〈A(h − k), (h − k)〉|

≤ α˘||h + k||2 + ||h − k||2

¯= 2α

˘||h||2 + ||k||2

¯= 4α

ossia

e 〈Ah, k〉 ≤ α .

In generale, 〈Ah, k〉 è un numero complesso,

〈Ah, k〉 = eiθ |〈Ah, k〉| .

Sostituendo h con z = e−iθh si trova

|〈Ah, k〉| ≤ α .

Questo calcolo può venir ripetuto per ogni h, k di norma 1, come volevamo provare.

437

6. SPAZI DI HILBERT

Osservazione 6.88. Come si è detto, per ogni operatore lineare A vale

||A|| = sup〈Ah, k〉 . 6.30

L’estremo superiore si calcola al variare di h e di k in modo indipendente nella palla

di raggio 1. Se A è autoaggiunto vale di più:

||A|| = sup||h||=1

|〈Ah, h〉| .

Si noti la presenza del modulo in quest’ultima uguaglianza.

E’ indifferente mettere o meno il modulo nella 6.30.

Torniamo ora a considerare un operatore compatto autoaggiunto C e proviamo il

Teorema 6.81.

Come si è notato, si può assumere C = 0.

Sappiamo già che lo spettro dell’operatore C è reale, perché C è autoaggiunto; e

quindi

σ(C) ⊆ [−||C||, ||C|| ] .

Bisogna provare che uno almeno degli estremi di quest’intervallo appartiene allo

spettro.

Si è provato nel Lemma 6.87 che

||C|| = sup |〈h, Ch〉| , ||h|| = 1 .

Esiste quindi una successione (hn), con ||hn|| = 1, tale che

lim〈Chn, hn〉 = α dove α = ||C|| oppure α = −||C||.

Si noti che α = 0 perché si suppone C = 0.

Proviamo prima di tutto che

lim[Chn − αhn] = 0 . 6.31

Calcoliamo per questo

||Chn − αhn||2 = ||Chn||2 − 2α〈Chn, hn〉 + α2 .

In questo calcolo si sono utilizzate le ipotesi che C è autoaggiunto, che α è reale e che

||hn|| = 1.

438

6. SPAZI DI HILBERT

Si sa che lim〈Chn, hn〉 = α così che

lim[−2α〈Chn, hn〉 + α2

]= −α2 .

Consideriamo ora la successione (||Chn||2). Vale

||Chn||2 ≤ α2 ,

e quindi

0 ≤ lim sup ||Chn − αhn||2 = lim sup||Chn||2 − 2α〈Chn, kn〉 + α2

≤ 0 .

Ciò prova 6.31.

La dimostrazione del Teorema 6.81 si completa come segue: essendo C compatto ed

(hn) limitata, esiste una s.successione (Chnr ) di (Chn), convergente in norma,

limChnr = k . 6.32

Usiamo ora il fatto che α = 0 e notiamo che

hnr =1αChnr − [Chnr − αhnr ] .

Si è visto che il termine in parentesi quadra tende a zero, mentre (Chnr ) tende a k.

Dunque,

limhnr =1α

k e quindi limChnr = C

[1α

k

].

Di conseguenza, da 6.32,

C

[1α

k

]= k ossia Ck = αk .

Ciò prova che α è un’autovalore di C. Ricordando che α è ||C|| oppure −||C||, si

vede che l’asserto è provato.

439

7. DISTRIBUZIONI E TRASFORMATA DI FOURIER

7.1. LA TRASFORMATA DI FOURIER DI FUNZIONI

Sia f(x) una funzione definita su R, a valori reali o complessi. La sua trasformata di

Fourier è la funzione della variabile reale ω

f(ω) =∫ +∞

−∞e−iωtf(t) dt . 7.1

Noi ci limiteremo a studiare la trasformata di Fourier di funzioni definite su R; è però

importante sapere che se f(x) è definita su Rn allora la sua trasformata di Fourier è

f(ξ) =∫

Rn

e−iξ·xf(x) dx , ξ ∈ Rn .

Talvolta indicheremo la trasformata di Fourier di f col simbolo F(f).

Si noti che f denota sia la trasformata di Fourier che la trasformata di Laplace di f . Il

contesto chiarisce il significato del simbolo; si noti però che se f(x) = 0 per x < 0 e

se la sua trasformata di Laplace esiste per e λ > −ε, ε > 0, allora vale

L(f)(iω) =∫ +∞

0

e−iωtf(t) dt =∫ +∞

−∞e−iωtf(t) dt = F(f)(ω) .

Però, in generale, la trasformata di Fourier non ammette estensione al piano

complesso.

441


Prima di studiare la trasformata di Fourier, è necessario dire per quale classe di

funzioni essa è definita. E’ immediato notare che la definizione di trasformata di

Fourier ha senso se f è integrabile (nel senso di Lebesgue) su R e anzi per ogni ω vale

|f(ω)| ≤ ||f ||L1(R) .

Dunque, la trasformazione

f → f(ω)

è continua da L1(R) in C, per ogni ω fissato. Vale anche di più:

Teorema 7.1. Sia (fn) una successione in L1(R ), convergente a f0 nella norma di

L1(R). Allora,

lim fn(ω) = f0(ω) ,

uniformemente su R.

L’immediata dimostrazione si omette.

In realtà lo spazio L1(R) è troppo piccolo per la maggior parte delle applicazioni

nelle quali la trasformata di Fourier interviene. Però, come primo passo, limitiamoci

a studiare le proprietà della trasformata di Fourier di funzioni integrabili.

Vale:

Teorema 7.2. Se f ∈ L1(R) allora la sua trasformata di Fourier è uniformemente

continua su R.

DIMOSTRAZIONE

E’:

f(ω) − f(ω′) =

Z +∞

−∞[eiω − eiω′

]f(t) dt .

Si impone prima di tutto la condizione |ω − ω ′| < 1. Si fissa quindi ε > 0 e Tε tale cheZ|t|>Tε

|f(t)| dt < ε/4 .

442


h = f ∗ g =∫ +∞

−∞f(t − s)g(s) ds

esiste in L1(R) (non è detto che debba esistere puntualmente). Vale inoltre

||h||L1(R) ≤ ||f ||L1(R)||g||L1(R) .

Dunque, h esiste e, per il teorema di Fubini,

h(ω) =∫ +∞

−∞e−iωt

∫ +∞

−∞f(t − s)g(s) ds dt =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−iωtf(t − s) dt g(s) ds

=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞e−iω(s+r)f(r) dr g(s) ds = f(ω)g(ω) .

Osservazione 7.3. La formula precedente è importantissima per le applicazioni.

Si osservi che la sua dimostrazione dipende dal fatto che la misura di Lebesgue è

invariante per traslazioni e dal fatto che t → et è un omomorfismo del gruppo

additivo R nel gruppo moltiplicativo dei reali positivi.

7.2.1 Il teorema di Riemann-Lebesgue

Vogliamo ora studiare

lim|ω|→+∞

f(ω)

quando f è integrabile. Consideriamo prima di tutto gli operatori di traslazione su

L1(R). Se τ è fissato, con Sτ indichiamo l’operatore da L1(R) in sé definito da

(Sτf)(t) = f(t − τ)

Ovviamente:

Teorema 7.4. Sia τ fissato. L’operatore Sτ da L1(R ) in sé è lineare e continuo.

Studiando invece la dipendenza di Sτ da τ si trova che vale il teorema seguente, di

difficile dimostrazione:

444


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f(t)=e(−5t2)

f(t)=e−5(t+.2)2

f(t)=e−5(t−.2)2

Fig. 7.1.

Teorema 7.5 (di Lebesgue). Si fissi f ∈ L1(R ) e si consideri la funzione τ → Sτf

da R in L1(R ). Questa funzione è continua.

Usando il teorema 7.5 si prova:

Teorema 7.6 (di Riemann– Lebesgue). Sia f ∈ L1(R ). Vale:

lim|ω|→+∞

f(ω) = 0 .

DIMOSTRAZIONE

Per definizione,

f(ω) =

Z +∞

−∞e−iωtf(t) . 7.2

Si faccia la sostituzione t = τ + πω

e si noti che

e−iω(τ+π/ω) = e−iωτe−iπ = −e−iωτ .

Si trova:

f(ω) = −Z +∞

−∞f(τ + π/ω)e−iωτ dτ . 7.3

445


Sommando 7.3 e 7.2 si trova

f(ω) =1

2

Z +∞

−∞[f(τ ) − f(τ + π/ω)]e−iωτ dτ

così che

|f(ω)| ≤ 1

2

Z +∞

−∞|f(τ ) − f(τ + π/ω)| dτ .

Essendo f ∈ L1(R), il membro destro tende a zero per |ω| → +∞, dal teorema 7.5.

Osserviamo ora:

Teorema 7.7. Sia f una funzione derivabile su R e siano integrabili sia f che la sua

derivata f ′. Allora vale:

(Ff ′) (ω) = iωf(ω) .

DIMOSTRAZIONE

L’uguaglianza

f(T ) = f(0) +

Z T

0

f ′(s) ds

e l’integrabilità di f e di f ′ mostrano

lim|T |→+∞

f(T ) = 0 .

Scriviamo oraZ +T

−T

e−iωtf ′(t) dt = e−iωT f(T ) − eiωT f(−T ) + iω

Z +T

−T

e−iωtf(t) dt .

L’asserto segue passando al limite per |T | → +∞.

Nelle ipotesi del teorema 7.7, applicando il teorema di Riemann–Lebesgue ad f ′, si

trova

lim|ω|→+∞

ωf(ω) = 0

446


e in generale se esistono e sono integrabili f , f ′, . . . f (k), allora

lim|ω|→+∞

ωkf(ω) = 0 : 7.4

la regolarità di f si riflette sul comportamento asintotico di f . D’altra parte:

Teorema 7.8. Se f(t) e tf(t) sono ambedue integrabili, allora f(ω) è derivabile,

con derivata

ddω

f(ω) =∫ +∞

−∞e−iωt[−itf(t)] dt .

DIMOSTRAZIONE

L’integrabilità di tf(t) permette di giustificare lo scambio della derivata rispetto ad ω

con l’integrale.

Analogamente si vede che se f è continua e tkf(t) è integrabile allora f(ω) è k volte

derivabile. Dunque, il comportamento asintotico di f(t) si riflette sulla regolarità

di f(ω).

E’ importante ricordare queste proprietà, che sono la chiave per l’estensione della

definizione della trasformata di Fourier.

7.3. L’ANTITRASFORMATA DI FOURIER

Vogliamo ora capire sotto quali condizioni la conoscenza di f permette di ricostruire

f . Consideriamo prima di tutto il caso particolare

h(t) = e−|t| .

In questo caso, h si calcola facilmente usando la definizione della trasformata di

Fourier,

h(ω) =2

1 + ω2

e quindi h è integrabile.

447


Si noti che, se t > 0,∫ +∞

−∞eiωt 2

1 + ω2dω = 2πiRes

[eizt 2

1 + z2, i

]= 2πe−t

mentre se t < 0 si ha∫ +∞

−∞eiωt 2

1 + ω2dω = 2πiRes

[eizt 2

1 + z2,−i

]= 2πet .

Dunque, in quest’esempio particolare, nota h, la funzione h si ritrova calcolando

12π

∫ +∞

−∞eiωth(ω) dω .

Questa relazione tra h ed h vale molto più in generale; ma non può valere per

la generica funzione integrabile perché generalmente la sua trasformata non è

integrabile.

Esempio 7.9. La funzione caratteristica dell’intervallo [−T, T ],

χ[−T,T ](t) =

1 se t ∈ [−T, T ]

0 altrimenti

è integrabile. La sua trasformata di Fourier si calcola immediatamente ed è

f(ω) = 2sinωT

ω.

Questa funzione non è integrabile secondo Lebesgue, perché si sa che non è

assolutamente integrabile.

Limitiamoci dunque a provare un teorema, sotto ipotesi assai più restrittive del

necessario, ma sufficiente per il seguito.

Notiamo prima di tutto che

12π

∫ +∞

−∞

21 + ω2

dω = 1

e quindi, come si è visto al paragrafo 5.5., da essa si può costruire l’identità

approssimata (hν),

448


hν(ω) =1ν

[12π

21 + (ω/ν)2

].

Vale quindi

f(t) = limν→0

12π

∫ +∞

−∞f(t − s)

1ν

21 + (s/ν)2

ds . 7.5

Inoltre, ciascuna delle funzioni hν è una trasformata di Fourier,

hν(ω) = F(e−|νt|) . 7.6

Fatte queste premesse, possiamo provare:

Teorema 7.10. Sia f ∈ C 2(R) e siano f , f ′, f ′′ in L1(R). Allora vale

f(t) =12π

∫ +∞

−∞e+iωtf(ω) dω . 7.7

DIMOSTRAZIONE

Si è già notato che, nelle ipotesi del teorema,

lim|ω|→+∞

ω2f(ω) = 0

(si veda 7.4) e quindi la funzione continua f è integrabile su R. Ciò mostra che

l’integrale in 7.7 ha senso. Inoltre, l’integrabilità di f ′ mostra che f è limitata.

Consideriamo l’uguaglianza 7.5. Usando 7.6, questa si scrive

f(t) =1

2πlim

ν→0+

Z +∞

−∞f(t − s)

»Z +∞

−∞e−isre−ν|r| dr

–ds .

La funzione (s, t) → f(t − s)e−isre−ν|r| è integrabile su R2 e quindi si può usare il

teorema di Fubini per scambiare l’ordine di integrazione ottenendo

f(t) = limν→0

Z +∞

−∞

»1

2π

Z +∞

−∞f(t − s)e−isr ds

–e−ν|r| dr

= limν→0+

1

2π

Z +∞

−∞

»Z +∞

−∞f(ξ)e−i(t−ξ)r dξ

–e−ν|r| dr

=1

2π

Z +∞

−∞e−itrf(−r) dr =

1

2π

Z +∞

−∞eitω f(ω) dω .

Lo scambio del segno di limite col segno di integrale è lecito perché˛˛»Z +∞

−∞f(ξ)e−iξr dξ

–e−ite−ν|t|

˛˛ ≤ |f(t)|

449


e, nelle ipotesi del teorema, f è integrabile.


La formula 7.7 si chiama la formula dell’antitrasformata di Fourier. Ripetiamo che

essa vale sotto condizioni assai più generali di quelle assunte nel teorema 7.10. Per

esempio, si è visto che essa vale per la funzione e−|t| che non è derivabile su R. Però

l’enunciato del teorema 7.10 è sufficiente per il seguito.

Osservazione 7.11. Sia

f(x) = e−x2/2 . 7.8

Si può provare che la sua trasformata di Fourier è

f(ω) =√

2πe−ω2/2 ,

una funzione integrabile su R e non negativa. Si ricordi infatti l’integrale di Laplace,∫ +∞

−∞e−x2/2 dx =

√π .

Si scriva quindi∫ +∞

−∞e−x2/2e−iωx dx = e−ω2/2

√2∫ +∞

−∞e−[(x/

√2)+i(ω/

√2)]2 d[(x/

√2) + i(ω/

√2)]

= e−ω2/2√

2∫ +∞

−∞e−s2

ds =√

2πe−ω2/2 .

Si vede immediatamente che (hν),

hν(x) =1ν

e−(x/ν)2/2

è un’identità approssimata, la cui antitraformata di Fourier è

e−(xν)2/2 .

Il teorema 7.10 si può provare anche usando quest’identità approssimata.

Si noti che l’identità approssimata costruita a partire da 7.8 è quella che permette di

provare il Teorema di Weierstrass, Teorema 5.43.

450


7.4. LA TRASFORMATA DI FOURIER SU L2(R )

Abbiamo detto che intendiamo estendere la trasformata di Fourier ad un insieme assai

più grande di L1(R). Come primo passo, estendiamola ad L2(R). Notiamo però che

anche L1(R)∪L2(R) è ancora troppo piccolo per le applicazioni nelle quali interviene

la trasformata di Fourier.

Si indica col simbolo D l’insieme delle funzioni di classe C∞ a supporto compatto

in R. Una proprietà che non abbiamo provato, ma che non è difficile mostrare, è che

D è denso sia in L1(R) che in L2(R). Inoltre, ogni f ∈ D verifica le condizioni del

teorema 7.10 e quindi per essa vale la formula dell’antitrasformata.

Introduciamo la trasformazione lineare F su D, definita da

Ff = f .

Consideriamo questa come trasformazione su L2(R), con dominioD denso in L2(R).

Si è già notato che il teorema di Riemann–Lebesgue implica che, se f ∈ D,

limω→+∞ω2f(ω) = 0

e quindi che f ∈ L2(R). Dunque, F è una trasformazione da L2(R) in sé, con

dominio denso.

Siano ora f e g elementi di D. Vale:

∫ +∞

−∞f(x)g(x) dx =

12π

∫ +∞

−∞f(x)

∫ +∞

−∞e+iωxg(ω) dω dx

=12π

∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞f(x)eiωx dx

]g(ω) dω =

12π

∫ +∞

−∞f(−ω)g(ω) dω .

Notando che ∫ +∞

−∞f(x)eiωx dx =

∫ +∞

−∞f(x)e−iωx dx = F(f)(ω) ,

l’uguaglianza precedente conduce a:

451


Teorema 7.12. Se f , g appartengono a D allora vale∫ +∞

−∞f(x)g(x) dx =

12π

∫ +∞

−∞F(f)(ω)g(ω) dω .

In particolare, ∫ +∞

−∞f(x)g(x) dx =

12π

∫ +∞

−∞f(ω)g(ω) dω . 7.9

Ponendo f = g in 7.12 si trova l’identità di Parseval

||f ||L2 =1√2π

||f ||L2 .

Ciò mostra che

Teorema 7.13. La trasformazione F , definita su D, da L2(R) in sé è continua, con

norma 1/√

2π, e quindi ammette estensione unica ad L2(R).

Un calcolo analogo a quello visto sopra mostra che vale anche l’uguaglianza∫ +∞

−∞f(s)g(s) ds =

∫ +∞

−∞f(s)g(s) ds 7.10

che va sotto il nome di identità di Plancherel. Introducendo il simbolo 〈〈·, ·〉〉,

〈〈x, y〉〉 7.11

per indicare

〈〈x, y〉〉 =∫ +∞

−∞x(t)y(t) dt = 〈x, y〉 ,

la 7.10 si scrive

〈〈f , g〉〉 = 〈〈f, g〉〉 . 7.12

Osservazione 7.14. Si noti che il funzionale 〈〈x, y〉〉 è lineare sia in x, tenendo y

costante, che in y, tenendo x costante.

Indichiamo momentaneamente con F l’estensione di F ad L2(R) (è ovvio che in

pratica si userà il medesimo simbolo per le due trasformazioni). Per la trasformazione

F continuano a valere le identità di Parseval e di Plancherel.

452


Osservazione 7.15. Si noti che la trasformata di Fourier F è definita su L2(R)

come estensione per continuità. In generale, l’integrale 7.1 non converge se la

funzione è a quadrato integrabile.

Tutti gli argomenti precedenti possono ripetersi per la trasformazione G da D ⊆

L2(R) in L2(R),

(Gφ)(t) =12π

∫ +∞

−∞e+iωtφ(ω) dω .

Anche G si estende per continuità ad L2(R). Provvisoriamente, indichiamo con G tale

estensione. Per essa vale

F G = GF = I ,

ossia:

Teorema 7.16. La trasformazione di Fourier è biunivoca su L2(R).

Si noti che una proprietà analoga non vale su L1(R).

Ricapitolando, abbiamo esteso la trasformata e l’antitrasformata di Fourier ad L 2(R)

per continuità. Si sa, dal teorema 6.32 che l’estensione per continuità può anche

costruirsi calcolando aggiunti:

F = [F∗]∗ , G = [G∗]∗ ;

ossia, Ff è definita da

〈Ff, φ〉 = 〈f,F∗φ〉 ∀φ ∈ D . 7.13

Ciò suggerisce di interpretare

f = Ff

come il funzionale su L2(R) definito da

φ → 〈f,F∗φ〉 ∀φ ∈ D . 7.14

453


Osservazione 7.17. Si noti che φ ∈ D se e solo se φ ∈ D. Il segno di coniugio è

stato introdotto soltanto per avere una trasformazione lineare in 7.14.

Questa è una diversa interpretazione della trasformata di Fourier, equivalente a

quella ottenuta estendendo per continuità. Suggerisce però un modo per estendere la

trasformata di Fourier ad uno spazio molto grande: prima si identifica uno spazio con

una topologia molto debole, su cui la trasformata di Fourier è continua e biunivoca. Si

usa quindi un metodo “di dualità” per estenderla al duale dello spazio. L’idea intuitiva

è che se lo spazio ha una topologia “molto debole” il suo duale sarà “grande”.

Notiamo che

F∗φ =∫ +∞

−∞e+iωtφ(ω) dω .

Dunque, con la notazione 7.12, la 7.13 si scrive

〈〈Ff, φ〉〉 = 〈〈f,Fφ〉〉 ∀φ ∈ D .

Converrà quindi usare, come punto di partenza per l’estensione della trasformata di

Fourier, la formula di Plancherel 7.12. Va notato subito però che lo spazio D è troppo

piccolo. In particolare, la trasformata di Fourier di una φ ∈ D non appartiene a D.

La definizione di questo spazio è stata introdotta soltanto perché esso è importante

in numerose applicazioni e la definizione va conosciuta. Vedremo però al paragrafo

successivo lo spazio S, più grande di D, ancora denso sia in L 1(R) che in L2(R) e

su cui la trasformata di Fourier è invertibile. Gli argomenti appena presentati valgono

anche sostituendo ovunque D con S.

Concludiamo questa parte esaminando l’esempio seguente:

Esempio 7.18. Applichiamo l’identità di Parseval alla funzione χ [−1,1], studiata

all’esempio 7.9. La sua trasformata di Fourier

2sin ω

ω

454


è in L2(R), come si verifica immediatamente, e come deve essere perché χ [−1,1] è a

quadrato integrabile. Dunque,

∫ +∞

−∞

[2sinω

ω

]2dω = 2π

∫ +∞

−∞[χ[−1,1](x)]2 dx = 4π .

Si trova quindi

∫ +∞

−∞

[sin ω

ω

]2dω = π .

7.5. LO SPAZIO S E IL SUO DUALE

L’idea per la scelta dello spazio S su cui definire la trasformata di Fourier è fornita

dal teorema di Riemann-Lebesgue, e dalle sue conseguenze: la regolarità di f si

trasferisce nel comportamento asintotico di f ; il comportamento asintotico di f si

trasferisce nella regolarità di f , e viceversa. Ciò suggerisce di introdurre lo spazio S

i cui elementi sono le funzioni φ ∈ C∞(R) tali che:

lim|x|→+∞

xkφ(n)(x) = 0 ∀k , n . 7.15

E’ chiaro che S è un sottoinsieme sia di L1(R) che di L2(R) e che per gli elementi di

S valgono sia la formula della trasformata che dell’antitrasformata di Fourier:

φ(ω) =∫ +∞

−∞e−iωtφ(t) dt , φ(t) =

12π

∫ +∞

−∞eiωtφ(ω) dω .

Vogliamo mimare su S la costruzione della trasformata ottenuta per dualità su

L2(R). Per questo è necessario munire S di una topologia la quale tenga conto della

proprietà 7.15. E’ un fatto che ciò non può farsi introducendo una norma in S. D’altra

parte, la definizione della topologia porterebbe via troppo tempo. Dunque limitiamoci

a introdurre un concetto di convergenza di successioni in S.

Per definizione,

limφn(x) = 0

455


quando per ogni k intero non negativo e per ogni r intero non negativo si ha

limn

xkφ(r)n (x) = 0

uniformemente su R.

Esplicitamente questo vuol dire che per ogni ε > 0 esiste N = N(ε, k, r) tale che se

n > N(ε, k, r) allora

|xkφ(r)n (x)| < ε .

Si è scritta esplicitamente questa condizione per sottolineare che la convergenza

NON è uniforme in k ed r.

Definiamo inoltre:

lim φn = φ0 ⇐⇒ lim[φn − φ0] = 0 .

Lo spazio lineare S, dotato della definizione di convergenza appena introdotta, si

chiama lo spazio delle funzioni rapidamente decrescenti su R.

Sia ora A un funzionale su S oppure una trasformazione da S in sé. Diremo che A è

continuo quando

lim φn = φ0 =⇒ limAφn = Aφ0 .

Si prova immediatamente:

Teorema 7.19. L’operazione di derivazione:

φ → Dφ

è continua da S in sé.

Con S ′ indichiamo lo spazio lineare dei funzionali lineari e continui su S, dotato della

relazione di convergenza seguente

lim ln = l0 ⇐⇒ lim ln(φ) = l0(φ) ∀φ ∈ S .

456


Si confronti questa definizione di convergenza con la convergenza debole stella.

Gli elementi di S ′ si chiamano distribuzioni temperate.

Come al solito, per indicare l’azione di l ∈ S ′ su φ ∈ S, invece di scrivere l(φ)

scriveremo

〈〈l, φ〉〉 .

Mostriamo alcuni esempi di trasformazioni continue da S in sé.

Esempio 7.20. le trasformazioni

φ → φ + ψ , φ → αφ

(con ψ fissata) sono continue e la seconda è anche lineare.

Più ancora, sia p un polinomio. La trasformazione lineare

φ(x) → p(x)φ(x)

è continua.

Sono anche continue le trasformazioni seguenti:

φ(x) → φ(rx) , r ∈ R

φ(x) → φ(k)(x) .

Per ogni ω fissato, la trasformazione

φ(x) → eiωxφ(x)

è continua. In generale, se f ∈ C∞(R) e se f e tutte le sue derivate sono limitate, la

trasformazione lineare

φ(x) → f(x)φ(x)

è continua. Per esempio, sono anche continue le trasformazioni

φ → e−x2φ(x) , φ → φ(x) sin x .

457


Mostriamo ora alcuni esempi di distribuzioni temperate.

Esempio 7.21. Sia l tale che

〈〈l, φ〉〉 = φ(0) .

E’ immediato verificare che l è lineare e continuo, ossia che l ∈ S ′.

Questa distribuzione è particolarmente importante per le applicazioni ed ha un

simbolo standard: si indica col simbolo δ,

〈〈δ, φ〉〉 = φ(0)

e si chiama delta di Dirac.

E ancora immediato verificare la continuità di

φ →ν∑

k=0

akφ(k)(xk) .

In seguito chiariremo le relazioni tra le due distribuzioni temperate introdotte

nell’esempio precedente.

Consideriamo ora:

Esempio 7.22. Sia f ∈ Lp(R), 1 ≤ p ≤ +∞. E’ una distribuzione temperata

quella definita da

φ →∫ +∞

−∞f(s)φ(s) ds .

Questo si verifica immediatamente usando il teorema della convergenza dominata, se

p = 1. Se p > 1 si usa la disuguaglianza di H’older per notare che

1x2 + 1

f(x) ∈ L1(R) .

Si scrive quindi∫ +∞

−∞f(s)φ(s) ds =

∫ +∞

−∞

f(x)1 + x2

[(1 + x2)φ(x)

]dx .

458


Sappiamo già che la trasformazione che a φ associa (1+x2)φ(x) è continua. E quindi

la trasformazione che stiamo studiando è continua, essendo composizione delle due

trasformazioni lineari e continue

φ → (1 + x2)φ(x) , ψ →∫ +∞

−∞

f(x)1 + x2

ψ(x) dx .

Le particolari distribuzioni introdotte nell’esempio 7.22 si chiamano distribuzioni

regolari. Esse si indicano con un simbolo del tipo lf o più spesso semplicemente

f o∫

fφ. In analogia con questo simbolo, specialmente nei testi più applicativi, una

distribuzione si indica col simbolo ∫lφ

attribuendo al simbolo “∫

” il significato del simbolo “〈〈·, ·〉〉”.

In pratica, non si distingue tra le funzioni e le distribuzioni regolari ad esse associate.

Esempio 7.23. Sia (hn) un’identità approssimata. Per ogni φ ∈ S si ha

limn

∫ +∞

−∞hn(t − s)φ(s) ds = φ(t) ,

si veda il paragrafo 5.5.. Ciò vale in particolare per t = 0 e quindi

limn

∫ +∞

−∞hn(−s)φ(s) ds = φ(0) , φ ∈ S .

Dunque, la successione di distribuzioni regolari definite da

φ →∫ +∞

−∞hn(−s)φ(s) ds

converge in S ′ alla δ di Dirac. Si dice più brevemente che “le identità approssimate

approssimano la δ di Dirac”.

7.6. LA TRASFORMATA DI FOURIER SU S ′

Si è già detto che su S la trasformata di Fourier è definita dall’integrale 7.1 e che su S

vale la formula dell’antitrasformata. Proviamo ora:

459


Teorema 7.24. La trasformazione di Fourier F trasforma S in sé, è continua e

biunivoca.

DIMOSTRAZIONE

Si è già notato che F trasforma S in sé.

La linearità è ovvia. Proviamo la continuità. Sia (ψ n) una qualsiasi successione ten-

dente a zero. Basta provare che la successione (Fψn) tende a zero. Fissiamo per

questo k ed r e consideriamo

ωk dr

dωr

Z +∞

−∞e−iωxψn(x) dx = ωk

Z +∞

−∞(−1)re−iωx[xrψn(x)] dx

=

Z +∞

−∞(−1)r(i)k

»dk

dxke−iωx

–[xrψn(x)] dx .

Integriamo per parti tenendo conto che

lim|x|→+∞

[xrψn(x)] = 0 .

Si trova: Z +∞

−∞(−1)r+k(i)ke−iωx

»dk

dxkxrψn(x)

–dx

= (−1)r+k(i)k

Z +∞

−∞

e−iωx

1 + x2

»(1 + x2)

dk

dxkxrψn(x)

–dx

Sia ora ε > 0. Esiste N(ε, k, r) tale che

n > N(ε, k, r) =⇒˛˛(1 + x2)

dk

dxkxrψn(x)

˛˛ < ε

così che, per tali indici n si ha anche˛˛ωk dr

dωr

Z +∞

−∞e−iωxψn(x) dx

˛˛ ≤ πε .

Questo prova la continuità di F .

La trasformazione F è suriettiva perché ammette l’inversa.

Possiamo ora estendere la trasformata di Fourier ad S ′.

460


Si ricordi che se f ∈ L2(R) la sua trasformata di Fourier può definirsi usando la

formula 7.13 e che questa può interpretrarsi dicendo che f è quel funzionale lineare e

continuo che a φ associa 〈〈f, φ〉〉.

Traendo ispirazione da questa definizione, definiamo la trasformata di Fourier di

distribuzioni temperate come segue: Sia l ∈ S ′. La sua trasformata di Fourier l è

il funzionale lineare

φ → 〈〈l, φ〉〉 .

E’ immediato verificare1 che l ∈ S′, e quindi che l’uguaglianza

〈〈l, φ〉〉 = 〈〈l, φ〉〉

è ora le definizione stessa della trasformata di Fourier.

Così come si estende ad S ′ la trasformazione F , si estende anche l’antitrasformata G:

G : 〈〈Gl, φ〉〉 = 〈〈l,Gφ〉〉

e la relazione

〈F [Gl] , φ〉〉 = 〈〈l,G [F ] φ〉〉 = 〈〈l, φ〉〉

mostra che l’estensione di G è inversa destra di F . Procedendo in modo analogo si

vede che è anche inversa sinistra, e quindi che è l’antitrasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier di l si indica l.

Ricapitolando:

Teorema 7.25. La trasformazione di Fourier è continua e biunivoca da S ′ in sé.

DIMOSTRAZIONE

La continuità è ovvia: sia

lim ln = l0

1Si veda la dimostrazione del Teorema 7.25.

461


ossia

lim〈〈ln, φ〉〉 = 〈〈l0, φ〉〉 ∀φ ∈ S .

Ogni φ è in S e quindi la precedente si scrive, scegliendo per φ la φ:

lim〈〈ln, φ〉〉 = 〈〈l0, φ〉〉 ossia lim〈〈ln, φ〉〉 = 〈l0, φ〉〉 .

Ciò vuol dire

lim ln = l0 .

La biunivocità della trasformata si ottiene perché, come si è già notato, anche

l’antitrasformata si estende per dualità ad S ′.

Conviene ora vedere il calcolo di alcune trasformate.

Esempio 7.26. Sia f ∈ L1(R) ed lf la distribuzione regolare

〈〈lf , φ〉〉 =∫ +∞

−∞f(x)φ(x) dx .

La trasformata di Fourier di lf è la distribuzione

φ → 〈〈lf , φ〉〉 =∫ +∞

−∞f(ω)

∫ +∞

−∞e−iωxφ(x) dx dω

=∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞e−iωxf(ω) dω

]φ(x) dx = 〈〈lf , φ〉〉 :

la trasformata di Fourier della distribuzione regolare identificata dalla funzione f è

la distribuzione regolare identificata dalla funzione f .

In particolare,

Esempio 7.27. Sia

f(t) =

1 se |t| < T

0 se |t| > T .

Allora, come si è visto all’esempio 7.9,

462


f(ω) =sin ωT

ω.

La funzione f non appartiene ad L1(R); è però limitata e quindi identifica una

distribuzione regolare lf .

Ad f come funzione la formula dell’antitrasformata che abbiamo provato al

paragrafo 7.3. non può applicarsi. Invece, ad essa può applicarsi la formula

dell’antitrasformata nel senso che abbiamo introdotto in S ′.

Esempio 7.28. Consideriamo ora la funzione f(t) = e iαt, che non è né integrabile

né a quadrato integrabile, e quindi non ha trasformata di Fourier nel senso che

abbiamo introdotto per le funzioni. Nel senso delle distribuzioni, la sua trasformata

di Fourier è

φ → 〈〈lf , φ〉〉 =∫ +∞

−∞eiαxφ(x) dx = 2πφ(α) .

Indicando con δα la distribuzione

〈〈δα, φ〉〉 = φ(α) ,

si vede che

F(eiαx) = 2πδα .

Usando le formule di Eulero,

F(sin αx) = −iπδα − δ−α , F(cosαx) = πδα + δ−α .

Quest’esempio mostra che la trasformata di una distribuzione regolare può non essere

una distribuzione regolare.

Veniamo ora al calcolo della trasformata di Fourier di distribuzioni che non sono

regolari.

Esempio 7.29. La trasformata δ della delta di Dirac è la distribuzione

φ → 〈〈δ, φ〉〉 = φ(0) =∫ +∞

−∞φ(s) ds .

463


E’ quindi la distribuzione regolare identificata dalla funzione identicamente 1.

Diremo, più semplicemente, che è la funzione 1:

δ = 1 ;

Viceversa, sia f(x) ≡ 1. Dalla formula dell’antitrasformata si vede immediatamente

che la sua trasformata è la distribuzione 2πδ.

Indichiamo provvisoriamente con λ la distribuzione

φ → 〈〈λ, φ〉〉 = φ′(0)

(vedremo più avanti un simboli “migliore” per identificare questa distribuzione). La

sua trasformata di Fourier è

φ → 〈〈λ, φ〉〉 = φ′(0) =∫ +∞

−∞ixφ(x) dx :

la sua trasformata è ix. Si noti:

F(λ) = ixF(δ) .

Quest’esempio mostra che la trasformata di una distribuzione che non è regolare può

essere una distribuzione regolare.

7.6.1 Le operazioni sulle distribuzioni

Si sa già che S ′ è uno spazio lineare, ossia che in S ′ è definito il prodotto per

scalari e la somma; e in S ′ si è definita la trasformata di Fourier, con un metodo

di dualità. Ancora con un metodo di dualità si definiscono altre operazioni, a partire

dalle corrispondenti operazioni su S. Sia h ∈ R e Th la traslazione in S,

(Thφ)(x) = φ(x − h)

(se h > 0 questa si interpreta come traslazione verso destra). Ovviamente, Th è

continua su S e quindi per ogni l ∈ S ′ si definisce

T ∗h l : φ → 〈〈l, Thφ〉〉 .

464


Se h > 0 questa si interpreta come traslazione (applicata ad l) verso sinistra.

Si esprima in modo esplicito l’effetto di T ∗h sulle distribuzioni regolari e si giustifichi

la notazione più comunemente usata “T−h” invece di “T ∗h”.

Esempio 7.30. Sia δ la delta di Dirac. Si ha:

〈〈Thδ, φ〉〉 = 〈〈δ, T−hφ〉〉 = φ(h) .

Sia ora a = 0 e sia

Ra : (Raφ)(x) = φ(ax) .

Anche Ra è continua da S in sé e quindi si può definire R∗a ponendo

〈〈R∗al, φ〉〉 = 〈〈l, Raφ〉〉 .

Si verifica facilmente che se lf è una distribuzione regolare allora

Ra(lf ) = lR1/af .

Si è notato che se g ∈ C∞(R) è limitata con tutte le sue derivate, o anche se g è un

polinomio, allora Mg: Mgφ = gφ è continua da S in sé. Ciò permette di definire

〈〈(M∗g l), φ〉〉 = 〈〈l, Mgφ〉〉 .

Si esamini l’azione di M ∗g sulle distribuzioni regolari e si spieghi perchè si scrive

Mgl

invece di M ∗g l.

Osservazione 7.31. La Mg è la “moltiplicazione” della distribuzione l per la

funzione g. più comunemente, invece di scrivere Mgl si scrive gl.

Introduciamo ora la derivata delle distribuzioni.

Essendo continua la trasformazione D

φ → Dφ = φ′

465


da S in sé, definiremo

〈〈D∗l, φ〉〉 = 〈〈l, Dφ〉〉 .

Si esamini l’effetto di D∗ sulle distribuzioni regolari e si chiarisca perché invece di

“D∗” si usa il simbolo “−D”:

〈〈Dl, φ〉〉 = −〈〈l, Dφ〉〉 .

La derivata di distribuzioni si indica anche con l’apice:

Dl = l′ .

Presentiamo alcuni calcoli di derivate.

Esempio 7.32. Si chiama funzione di Heaviside la funzione

u(t) =

0 se t < 0

1 se t > 0 .

Questa funzione non è derivabile nel senso ordinario. E’ però derivabile nel senso

delle distribuzioni, ossia è derivabile la distribuzione regolare ad essa associata, e

vale

〈〈Dlu, φ〉〉 = −〈〈u, φ′〉〉 = −∫ +∞

0

φ′(s) ds = φ(0) .

Dunque la sua derivata è la delta di Dirac e scriveremo brevemente

Du = δ .

Calcoliamo ora la derivata della delta di Dirac:

〈〈Dδ, φ〉〉 = −〈〈δ, Dφ〉〉 = −φ′(0) .

Dunque, Dδ è la trasformazione (che all’esempio 7.29 abbiamo chiamato λ)

φ → −φ′(0) .

466


7.6.2 Operazioni e trasformata di Fourier

Studiamo ora le relazioni tra le operazioni introdotte in S ′ e la trasformata di Fourier.

Calcoliamo prima di tutto

F(Thl) .

Per definizione,

〈〈F(Thl), φ〉〉 = 〈〈Thl, φ〉〉 = 〈〈l, T−hφ〉〉 .

Ora,

T−hφ = φ(ω + h) =∫ +∞

−∞e−i(ω+h)xφ(x) dx = F(Mfφ)

con

f(x) = e−ihx .

Dunque,

F(Thl) = Mf l ,

la moltiplicazione della distribuzione l per e−ihω.

Analogamente, la derivata di Ral si calcola da

〈〈F(Ral), φ〉〉 = 〈〈l, R1/aφ〉〉 = 〈〈l, 1aF(Raφ)〉〉 = 〈〈aRa l, φ〉〉 :

F(Ral) =1aRa l .

Veniamo infine alla trasformata della derivata di una distribuzione:

〈〈F(Dl), φ〉〉 = 〈〈Dl, φ〉〉 = −〈〈l, Dφ〉〉 = −〈〈l,F(M−itφ)〉〉 = −〈〈M−it l, φ〉〉

e quindi

F(Dl) = iωl .

467


Osservazione 7.33. Si consideri la funzione di Heaviside u(t). La sua derivata è δ

e quindi

1 = δ = iωu

da cui sembra di poter dedurre u = 1iω . Si noti che questa è una scrittura

solamente formale, a cui non abbiamo attribuito alcun significato, perché 1/(iω)

non è integrabile.

Un calcolo diretto mostra che u è quella distribuzione che a φ ∈ S associa∫ +∞

0

φ(ω) dω =∫ +∞

0

[∫ +∞

−∞e−iωxφ(x) dx

]dω

= limR→+∞

∫ R

0

[∫ +∞

−∞e−iωxφ(x) dx

]dω = lim

R→+∞

∫ +∞

−∞

[∫ R

0

e−iωx dω

]φ(x) dx

limR→+∞

∫ +∞

−∞

1 − e−iRx

ixφ(x) dx .

Ciò mostra che l’azione di certe distribuzioni viene descritta mediante integrali

dipendenti da parametri, e loro limiti. Noi non presentiamo questo aspetto del pro-

blema. Diciamo solamente che in questo modo si riesce a dare senso all’espressione

u = 1/(iω).

7.6.3 Convoluzione di distribuzioni

Il problema di estendere il concetto di convoluzione al caso delle distribuzioni è

piuttosto delicato, e ci limitiamo ad enunciare alcuni risultati. Consideriamo due

funzioni integrabili f e g. La loro convoluzione h = f ∗ g identifica una distribuzione

regolare lh, la cui azione su φ ∈ S è:∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞f(s − y)g(y) dy

]φ(s) ds =

∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞f(s − y)φ(s) ds

]g(y) dy

=∫ +∞

−∞

[∫ +∞

−∞f(x)φ(x + y) dx

]g(y) dy .

Per interpretare la formula precedente quando f e g sono sostituite da distribuzioni, è

necessario considerare funzioni φ dipendenti da due variabili x ed y e, per ogni valore

468


di una di esse, per esempio y, applicare una distribuzione l alla funzione x → φ(x, y).

Per intendere che l agisce sulla φ vista come funzione di x, scriveremo lx invece di l.

Siano ora l ed m due distribuzioni. Per definire il significato di l ∗m, convoluzione di

l e di m, dobbiamo spiegare come essa agisce su ciascuna funzione φ ∈ S. Per questo,

scelta φ ∈ S, consideriamo la funzione x → φ(x + y), per ogni scelta di y ∈ R, e

consideriamo il numero

〈〈mx, φ(x + y)〉〉 .

Si trova in questo modo una funzione

ψ(y) = 〈〈mx, φ(x + y)〉〉 .

Se accade che ψ ∈ S, allora può definirsi

〈〈l, ψ〉〉

e per definizione porremo

〈〈l ∗ m, φ〉〉 = 〈〈l, ψ〉〉 = 〈〈ly, 〈〈mx, φ(x + y)〉〉〉〉 . 7.16

Si noti che per poter utilizzare la definizione precedente abbiamo bisogno di più che

non semplicemente ψ ∈ S: abbiamo bisogno che la funzione

φ(x) → ψ(y) = 〈〈mx, φ(x + y)〉〉

sia continua da S in sé, in modo da avere

φ → 〈〈l ∗ m, φ〉〉

continua su S.

Di conseguenza, la possibilità di definire la distribuzione l ∗m dipende dalle proprietà

di m.

Le proprietà da imporre ad m sono suggerite da questo teorema, che non proviamo.

Teorema 7.34. Sia l una distribuzione temperata. Esiste una funzione continua g(x)

ed esistono numeri interi non negativi µ e ν tali che

469


l = Dνg , lim|x|→+∞

|x|−µg(x) = 0 .

Le derivate che figurano nel teorema precedente sono nel senso delle distribuzioni; e

quindi, per esempio, Dg indica la derivata della distribuzione regolare l g.

Ossia

〈〈Dνg, φ〉〉 = (−1)ν

∫ +∞

−∞g(x)Dνφ(x) dx .

Le funzioni g che crescono al più polinomialmente per |x| tendente ad ∞ si dicono

funzioni a crescita lenta.

Esempio 7.35. Consideriamo la distribuzione δ. Si è già visto che questa è la

derivata della funzione di Heaviside u(x) = 0 per x < 0, u(x) = 1 per x ≥ 0.

Questa funzione non è continua. Si vede però che u(x) è la derivata della funzione

g(x) =

0 se x < 0

x se x ≥ 0 .

E quindi δ è derivata seconda di una funzione continua.

In modo analogo si vede che la derivata k–ma della δ è derivata (k + 1)–ma di g.

Questo teorema suggerisce di considerare le distribuzioni l tali che per ogni polinomio

p(x) si possa scrivere

p(x)l =m∑

k=0

Dkfk 7.17

fk funzioni continue e limitate.

Il numero k e le funzioni fk dipendono dal polinomio p.

Le distribuzioni temperate con queste proprietà si chiamano convolutori.

Esempio 7.36. Sia u(x) la funzione di Heaviside. L’equazione

u(x) = f ′(x)

470


non ammette soluzione f(x) limitata e si potrebbe anche mostrare che nessuna

equazione del tipo 7.17, con l = u, ammette soluzioni fk continue e limitate. Dunque,

la funzione di Heaviside u(x) non è un convolutore.

Sia l = Dνg con g costante per |x| grande, diciamo g(x) ≡ g0 per |x| > R.

Sostituendo g con g−g0 non si altera la distribuzione l, e si ha g(x) = 0 per |x| > R.

Consideriamo l’equazione

Df = xl = xDg .

Si vede immediatamente che una soluzione limitata di quest’equazione è

f(x) = xg(x) −∫ x

0

g(s) ds

(questa funzione è limitata perchè g(x) è nulla per |x| > R).

Si può anche vedere che ogni equazione 7.17 ammette soluzioni fk continue e limitate;

e dunque l = Dνg, con g costante per |x| grande, è un convolutore.

Le distribuzioni l = Dνg, con g costante per |x| grande si chiamano distribuzioni a

supporto compatto:

Teorema 7.37. Ogni distribuzione a supporto compatto è un convolutore.

Dunque la δ di Dirach e le sue derivate, che sono distribuzioni a supporto compatto,

sono convolutori. Si vede facilmente però che esistono convolutori che non sono

distribuzioni a supporto compatto: tutti gli elementi di S sono infatti convolutori.

Sia ora m un convolutore e consideriamo

ψ(y) = 〈〈mx, φ(x + y)〉〉 . 7.18

Si può provare:

Teorema 7.38. Se m è un convolutore allora la funzione ψ(y) definita in 7.18 è in Se la trasformazione che a φ associa ψ, da S in sé, è continua; e quindi la convoluzione

di l ∗ m è definita (da 7.16 ) per ogni l ∈ S ′.

471


L’ipotesi che una delle due distribuzioni di cui si vuol calcolare la convoluzione sia

un convolutore è troppo restrittiva per molte applicazioni. Però la convoluzione può

definirsi anche in casi più generali. Per esempio:

Teorema 7.39. La formula 7.16 definisce la convoluzione delle due distribuzioni

temperate l ed m anche nel caso in cui ambedue hanno supporto in [0, +∞).

Inoltre:

Teorema 7.40. Nelle ipotesi sia del teorema 7.38 che del teorema 7.39, l’operazione

di convoluzione gode delle seguenti proprietà:

– distributività:

l ∗ (h + k) = l ∗ h + l ∗ k ,

(l + m) ∗ h = l ∗ h + m ∗ h ;

– associatività:

l ∗ (h ∗ k) = (l ∗ h) ∗ k ;

– commutatività:

h ∗ k = k ∗ h ;

– regola di derivazione:

D(l ∗ k) = (Dl) ∗ k = l ∗ (Dk) ;

– regola per la trasformata di Fourier:

F(l ∗ h) = l(ω)h(ω) ;

– esistenza dell’identità rispetto alla convoluzione:

δ ∗ h = h .

472


L’ultima proprietà, ossia δ ∗ h = h, si interpreta dicendo che la delta di Dirac

è l’identità rispetto alla convoluzione. L’esempio 7.23 mostra che le identitá

approssimate approssimano la δ di Dirac, ossia approssimano l’identità rispetto alla

convoluzione. Si giustifica così il termine “identità approssimata”.

Notiamo esplicitamente:

Esempio 7.41. Non tutte le funzioni di classe C∞ e integrabili su R sono dei

convolutori. Per esempio, la funzione

g(x) =1

1 + x2

non è un convolutore perchè l’equazione

p(x)g(x) = f ′(x)

non ammette soluzione limitata se p(x) = 1 + x2.

Sono invece convolutori le funzioni g(x) = e−|x| e g(x) = e−x2.

La formula 7.16 può permettere di definire la convoluzione di due distribuzioni anche

in casi più generali di quelli descritti dai teoremi 7.38 e 7.39. In tal caso però si possono

incontrare fenomeni indesiderati, come mostra l’esempio seguente.

Esempio 7.42. Consideriamo le tre distribuzioni seguenti: l è la distribuzione

regolare 1; la seconda distribuzione è δ ′ mentre la terza è la funzione di Heaviside

u. Si è già visto che u non è un convolutore ed è facile vedere che nemmeno l lo è. Ciò

nonostante, per φ ∈ S

ψ(y) = 〈〈ux, φ(x + y)〉〉 =∫ +∞

0

φ(x + y) dy

è in S e la trasformazione da φ in ψ è continua. Dunque si può calcolare

η(ξ) = 〈δ′y, ψ(y + ξ)〉〉 = ψ′(ξ) = φ(x) .

E quindi si può anche definire

〈〈l, η〉〉 =∫ +∞

−∞φ(x) dx = 〈〈l, φ〉〉 .

Dunque,

473


l ∗ (δ′ ∗ u) = l .

Anche (l ∗ δ′) può calcolarsi, dato che δ ′ ha supporto compatto e si vede facilmente

che

l ∗ δ′ = δ .

Dunque,

(l ∗ δ′) ∗ u = δ ∗ u .

Calcoliamo esplicitamente δ ∗ u.

Ricordiamo che

ψ(y) = 〈〈ux, φ(x + y)〉〉 =∫ +∞

0

φ(x + y) dx

così che

〈〈δ, ψ〉〉 = ψ(0) =∫ +∞

0

φ(x) dx = 〈〈u, φ〉〉 .

Si è quindi trovato δ ∗ u = u, ossia

(l ∗ δ′) ∗ u = u = l = l ∗ (δ′ ∗ u) .

Dunque, in questo caso la proprietà associativa non vale.

7.7. IL CASO DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Abbiamo trattato la trasformata di Fourier per il caso delle funzioni che dipendono

da una sola variabile. In pratica è necessario lavorare anche con la trasformata di

Fourier di funzioni che dipendono da n variabili x 1 , . . . , xn, n > 1. In questo caso la

trasformata di Fourier è la funzione ancora di n variabili ξ1 , . . . , ξn. La trasformata

di Fourier di f(x1 , . . . , xn) è

f(ξ1 , . . . , ξn) =∫

Rn

e−i[x1ξ1+···+xnξn]f(x1 , . . . , xn) dx1 . . . dxn .

Praticamente nessun cambiamento va fatto a ciò che abbiamo visto per le funzioni di

una variabile, salvo che la formula per l’antitrasformata è ora

474


f(x1 , . . . , xn) =1

(2π)n

∫Rn

ei[x1ξ1+···+xnξn]f(ξ1 , . . . , ξn) dξ1 . . . dξn .

Naturalmente questa formula vale sotto ipotesi alquanto restrittive ma, esattamente

come nel caso delle funzioni di una sola variabile, essa si estende al caso delle

distribuzioni.

Infine raccogliamo gli esempi di trasformate di Fourier che abbiamo visto:

f(t) f(ω)

e−|t| 21+ω2

χ[−T,T ](t) 2 sin ωTω

e−x2/2√

2πe−ω2/2

eiαt 2πδα

sin αx −iπδα − δ−α

cosαx πδα + δ−α

δ 1

1 2πδ

u φ →∫ +∞0

φ(ω) dω

475

INDICE ANALITICO

algebra di insiemi 160

alternativa di Fredholm 219

alternativa di Fredholm 222

anello di insiemi 159

angolo tra due curve 43

antilinearità 378

antitrasformata di Laplace 155

argomento 9

argomento principale 9

autovalori 220

autovalori 355

B(X,Y ) 282

base canonica 216

biduale 333

boreliani 162

cammino 20

477


campo dei numeri complessi 10

catena 130

catena 321

codimensione 253

compatto 258

completezza 228

condizioni di Cauchy–Riemann 27

coniugato 10

continuità 227

contrazione 368

convergenza di successioni 227

convergenza debole 330

convergenza debole stella 330

convergenza uniforme 233

convergenza uniforme sui compatti 68

convesso 312

convoluzione 150

convoluzione 208

coppie ordinate 235

corona di convergenza 40

curva 20

curva 47

curva chiusa 20

curva di Jordan 21

curva omotopa ad un punto 65

478


curva regolare 20

curva regolare a tratti 20

curva semplice 20

curva semplice e chiusa 20

curve omotope 63

derivata 26

derivata debole 241

derivata direzionale 373

derivata secondo Fréchet 376

determinazione del logaritmo 16

determinazione della radice n–ma 13

differenziale di Gâteaux 375

differenziale secondo Fréchet 375

dimensione infinita 226

dimensione finita 226

dimensione 226

disco di convergenza 360

disco di convergenza 38

distanza 227

distanza invariante per traslazioni 227

disuguaglianza di H’older 199

disuguaglianza di interpolazione 206

disuguaglianza di Jensen 198

disuguaglianza di Minkowski 200

disuguaglianza di Schwarz 199

479


disuguaglianza di Schwarz 378

disuguaglianza di Young 210

disuguaglianza triangolare 226

elementi equivalenti 130

elemento 130

elemento canonico 130

elemento massimale 321

epigrafo 317

equazione aggiunta 222

equazione di Fredholm di prima specie 215

equazione di Fredholm di seconda specie 215

equazione di Laplace 135

equazioni integrali 215

equicontinuità 260

esponente coniugato 198

estremo superiore essenziale 201

formula della media 72

formula di Green 22

formula di Hadamard 38

formula di Laurent 101

formula di Poisson 142

formula integrale di Cauchy 69

formula integrale di Cauchy 71

formule d’Eulero 14

funzionale di Minkowski 326

480


funzione armonica coniugata 76

funzione a crescita esponenziale 145

funzione analitica 131

funzione analitica 74

funzione armonica 75

funzione armonica coniugata 137

funzione assolutamente continua 213

funzione caratteristica 179

funzione d’insieme 211

funzione d’insieme assolutamente continua 214

funzione di Dirichlet 157

funzione di distribuzione 182

funzione di distribuzione 189

funzione di Heaviside 152

funzione integrabile 186

funzione intera 91

funzione misurabile 176

funzione monodroma 131

funzione polidroma 131

funzione positiva integrabile 186

funzione positivamente omogenea 308

funzione razionale strettamente propria 156

funzione semplice 179

funzione subadditiva 168

funzione subadditiva 308

481


funzione univalente 131

funzioni a variazione limitata 351

funzioni a variazione limitata normalizzate 351

funzioni olomorfe 28

funzioni olomorfe 358

generatori 225

grafico 266

identità approssimata 254

identità del parallelogramma 381

immagine 218

immagine 266

indice 52

indice di una curva 61

insieme aperto 227

insieme convesso 267

insieme elementare 162

insieme equilibrato 268

insieme limitato 227

insieme misurabile 174

insieme misurabile secondo Lebesgue 169

insieme nullo 158

insieme nullo 174

insieme risolvente 220

insieme semplice 162

integrale di funzioni semplici 181

482


integrale di Stiltjes 350

intorno 17

intorno 227

invarianza per traslazioni 208

inverso 285

inverso 289

inverso destro 285

inverso sinistro 285

iperpiani di supporto 315

iperpiano 253

iperpiano 277

L(X) 282

L(X,Y ) 282

lemma del grande cerchio 108

lemma di Jordan 110

Lemma di Riesz 261

lemma di Schwarz 121

lemma di Zorn 322

logaritmo 15

logaritmo principale 16

logaritmo principale 59

maggiorante 321

massimo 321

metodo di Gram–Schmidt 393

metodo diagonale di Cantor 265

483


misura σ-additiva163

misura 162

misura completa 174

misura completa 211

misura di Lebesgue 169

misura di Lebesgue 170

misura esterna 168

misura finita 163

modulo 9

norma 226

norma indotta 252

norme equivalenti 230

nucleo 215

nucleo 218

nucleo 266

nucleo degenere 216

nucleo degenere 221

nucleo di Dirichlet 301

numeri complessi reali 11

omotetie 237

omotopia 63

operatore 265

operatore chiuso 293

operatore identità 275

operatore lineare 266

484


operatore nullo 275

operatore risolvente 354

operatore simmetrico 392

ordinamento lessicografico 34

ordine di esponenziale 146

ordine di un polo 96

ordine di uno zero 96

orientazione di una curva 21

ortogonale 218

ortogonale 393

ortogonalità 378

ortonormale 393

palla 267

parte immaginaria 12

parte reale 12

poligonale 20

poligono 20

polo 104

potenze 16

prima formula del risolvente 366

primitiva 52

principio del massimo modulo 88

principio dell’argomento 113

principio di permanenza 78

principio di riflessione di Schwarz 83

485


probabilità 163

problema di Dirichlet 139

problema di Poisson 140

procedimento diagonale di Cantor 339

prodotto cartesiano 235

prodotto interno 377

proiezione 295

proiezione 384

proprietà della media 76

punti di diramazione 132

punto di diramazione 128

punto fisso 369

punto regolare 80

punto singolare 80

punto singolare isolato 131

quasi ovunque 174

radici 13

raggio di convergenza 38

raggio spettrale 360

rappresentazione algebrica 11

rappresentazione trigonometria 11

realizzazione (di uno spazio duale) 341

regione di Jordan 21

regione interna 21

regola d’Ampère 21

486


relativamente compatto 258

residuo 103

residuo ad infinito 104

rotazione 119

segmento 267

semicontinuità 319

semicontinuità inferiore 329

semispazi 277

semplicemente connessa 66

separazione (di insiemi convessi) 312

serie di Fourier 301

serie di Laurent 39

serie di potenze 37

serie di von Neumann 288

sfera di Riemann 47

σ-algebra di Borel 162

σ-anello di insiemi 160

singolarità eliminabile 104

singolarità eliminabile 80

singolarità essenziale 104

singolarità essenziale 95

singolarità isolata 93

sostegno 20

sottodifferenziale 318

spazi di Banach 242

487


spazi di Hardy 241

spazi di Hilbert 381

spazi di Sobolev 240

spazi prehilbertiani 381

spazi riflessivi 336

spazio l∞ 232

spazio complementare 253

spazio di b Banach 229

spazio duale 282

spazio lineare 225

spazio lineare normato separabile 226

spazio lineare normato separabile 229

spazio di Hilbert 377

spettro 220

spettro 354

spettro continuo 355

spettro di punti 354

spettro residuo 354

subadditività 361

successione fondamentale 228

successione minimizzante 329

superficie di Riemann 130

superficie sferica 268

teorem di Tonelli 208

Teorema del doppio limite 249

488


Teorema del doppio limite 249

teorema della convergenza dominata 194

teorema della convergenza monotona 191

teorema della limitatezza uniforme 291

teorema della mappa aperta 118

teorema della mappa aperta 291

teorema delle contrazioni 369

teorema delle proiezioni 384

teorema di Riemann- Lebesgue 159

teorema di Weierstrass 84

teorema di Abel 37

Teorema di Alaoglu 336

teorema di Ascoli-Arzelà 260

teorema di Baire 289

Teorema di Banach 292

Teorema di Banach-Steinhaus 290

teorema di Beppo Levi 191

teorema di Casorati-Weierstrass 96

teorema di Cauchy 51

teorema di Cauchy 65

teorema di Egorov-Severini 178

teorema di Fatou 194

teorema di Fubini 207

Teorema di Hahn-Banach 308

teorema di Hurwitz 113

489


teorema di Lebesgue 194

teorema di Lusin 178

Teorema di Mazur 336

teorema di monodromia 133

teorema di Montel 86

teorema di Morera 81

teorema di Picard 96

teorema di Pitagora 381

teorema di Radon-Nikodym 214

teorema di Riemann 125



teorema di Riesz 351

teorema di Rouché 115

Teorema di Weierstrass 253

Teorema di Weierstrass 328

teorema fondamentale dell’algebra 117

topologia 227

trasformata di Laplace 145

trasformazione antilineare 341

trasformazione conforme 119

trasformazione conforme 43

trasformazioni conformi dirette 44

traslazione 354

traslazioni 237

490


uniforme limitatezza 260

unità immaginaria 11

valore principale 106

X∗ 282

X ′ 282

491

Libro - Elementi Di Analisi delle Funzioni E Analisi Complessa

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