LEZIONI DI PROBABILITA' - 2. Variabili Casuali
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Variabili Variabili Casuali Casuali Quale che sia uno spazio campionario S è possibile definire una o più funzioni che associno ogni elemento di S a un elemento di . Consideriamo ad esempio il lancio di 3 monete e consideriamo le funzioni X e così definite: s(S) x () x=X(s)=n T -n c : s(S) x () x=(s)=n T ... 3 1 -2 -1 0 ... -3 2 [T,T,T] [C,T,C] [T,C,T] [T,C,C] [C,C,C] [T,T,C] [C,T,T] [C,C,T] ... -3 -4 -2 -1 0 ... 3 4 2 1 X (S) {-3,-1,1,3} = (S) {0,1,2} =
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Variabili Variabili CasualiCasuali
Quale che sia uno spazio campionario S è possibile definire una o più funzioni che associno ogni elemento di S a un elemento di .
Consideriamo ad esempio il lancio di 3 monete e consideriamo le funzioni Xe così definite:
X: s(S) x () x=X(s)=nT-nc : s(S) x () x=(s)=nTnc
...3
1
-2-1
0...-3
2
[T,T,T]
[C,T,C]
[T,C,T]
[T,C,C]
[C,C,C]
[T,T,C]
[C,T,T]
[C,C,T]
...
-3-4-2
-10
...
342
1X (S)
{-3,-1,1,3}
=
(S)
{0,1,2}
=
Variabili Variabili CasualiCasuali
Dato uno spazio campionario S, si definisce Variabile CasualeVariabile Casuale XX su S qualsiasi funzione che abbia per dominio S e codominio .
Definizione:Definizione:
X: S
Se l’insieme X(S) è finito la variabile casuale X si dice finitaGli elementi di X(S) sono detti valorivalori o determinazionideterminazioni
...3
1
-2-1
0...-3
2
[T,T,T]
[C,T,C]
[T,C,T]
[T,C,C]
[C,C,C]
[T,T,C]
[C,T,T]
[C,C,T]
...
-3-4-2
-10
...
342
1X (S)
{-3,-1,1,3}=
(S)
{0,-1,2}
=
SP
AZ
IOS
PA
ZIO
CA
MIO
NA
RIO
CA
MIO
NA
RIO
X(S
)X
(S)Variabile
CasualeX
[T,T,T]
[C,T,C]
[T,C,T]
[T,C,C]
[C,C,C]
[T,T,C]
[C,T,T]
[C,C,T]
-3-1
1
3X(T,T,T)
X(T,C,C)
Variabili Variabili CasualiCasuali
Sia X una VC su uno spazio campionario S e k un Sia X una VC su uno spazio campionario S e k un numero reale, allora anche le funzioni:numero reale, allora anche le funzioni:
X+k:X+k: (X+k)(s) = X(s) + k (X+k)(s) = X(s) + k
kX:kX: (kX)(s) = k • X(s)(kX)(s) = k • X(s)
sono VCsono VC
Teoremi:Teoremi:
ssSS
X: s(S) x () x=X(s)=nT-nc
: s(S) x () x=(s)=nTnc
Variabili Variabili CasualiCasuali
Siano X e due VC su uno spazio campionario S, allora anche le funzioni:
X+: (X + )(s) = X(s) + (s)
X•: (X • )(s) = X(s) • (s)
sono VC
Teoremi:Teoremi:
sS
X: s(S) x () x=X(s)=nT-nc
: s(S) x () x=(s)=nTnc
La simbologia {X=a} è una forma sintetica per rappresentare l’evento che la variabile X assuma la deter-minazione a.
-3-3
-1-1
33
11
X: s(S) x () x=X(s)=nT-nc
[TTT][TTC][TCT][CTT][TCC][CTC][CCT][CCC]
SX[TTT]=3X[TTC]=X[TCT]=X[CTT]=1X[TCC]=X[CTC]=X[CCT]=-1X[CCC]=-3
{X(s)=a} {X=a}
X(S)
Variabile CasualeVariabile Casuale NotazioneNotazione
{X=3} = evento che X assuma la determinazione 3 = = { [TTT] }
{X=1} = evento che X assuma la determinazione 1 = = { [TTC], [TCT], [CTT] }
{X=-1} = evento che X assuma la determinazione -1= = { [TCC], [CTC], [CCT] }
{X=-3} = evento che X assuma la determinazione -3= = { [CCC] }
Variabile CasualeVariabile Casuale NotazioneNotazioneX: s(S) x () x=X(s)=nT-nc
-3-3
-1-1
33
11X(S)
[TTT][TTC][TCT][CTT][TCC][CTC][CCT][CCC]
SX[TTT]=3X[TTC]=X[TCT]=X[CTT]=1X[TCC]=X[CTC]=X[CCT]=-1X[CCC]=-3
{X(s)=a} {X=a}
La probabilità dell’evento che X assuma valore a si esprime con la simbologia P({X=a}) o più semplice-mente P( X=a ). P({X=3}) oppure P(X=3)
Variabile CasualeVariabile Casuale NotazioneNotazione
11
{X=3} = { [TTT] } P({X=3}) = 1/8
{X=1} = { [TTC], [TCT], [CTT] } P({X=1}) = 3/8
{X=-1}= { [TCC], [CTC], [CCT] } P({X=-1}) = 3/8
{X=-3}= { [CCC] } P({X=-3}) = 1/8
Funzione di distribuzioneFunzione di distribuzione
Sia X una vc su S, chiamiamo funzione di distri-buzione o funzione di probabilità di X la funzione f così definita:
f: X(S) tale che f: x P( X=x ).
Definizione:Definizione:
-3-3
-1-1
33
11X
(S) 1/81/8
3/83/8
f(3) = P(X=3) = 1/81/8
f(1) = P(X=1) = 3/83/8
f(-1) = P(X=-1) = 3/83/8
f(-3) = P(X=-3) = 1/81/8
Funzione di distribuzioneFunzione di distribuzione RappresentazioneRappresentazione
xi f(xi)
-3 1/8-1 3/8 1 3/8 3 1/8
-3-3
-1-1
33
11
X(S)
1/81/8
3/83/8
f(3) = P(X=3) = 1/81/8
f(1) = P(X=1) = 3/83/8
f(-1) = P(X=-1) = 3/83/8
f(-3) = P(X=-3) = 1/81/8
-3 1 3-1
3/8
1/8
Grafico a BarreX(S)
f(X(S))
SP
AZ
IOS
PA
ZIO
CA
MIO
NA
RIO
CA
MIO
NA
RIO
SS
X(S)X(S)
-3-3-1-11133
Var
iab
ile C
asu
ale
X
P(X=x)P(X=x)
1/81/83/83/8
Funzionedi distribuzionef(x) = P(X=x)
X(s) = nT
-n cf(3)=f(-3)= 1/8
[T,T,T][T,T,T]
[T,C,T][T,C,T]
[C,T,C][C,T,C][T,C,C][T,C,C]
[C,C,C][C,C,C]
[T,T,C][T,T,C]
[C,T,T][C,T,T]
[C,C,T][C,C,T]
Si possono avere 60 terne: 6 [BBV] e [GGV], 12 [BBG] e [GGB], 24 [BGV], si può creare lo spazio campionario NON equiprobabile S a cui applicare la vc X:
Esempio: Da un’urna contiene 5 palline (2 B, 2 G, 1 V) si estraggono contemporaneamente 3 palline. Determinare la funzione di distribuzione della variabile casuale X tale che:
X: (nV,nG,nB) nB + nG + nV (nV,nG,nB) S3 2
[BBV][BBV][GGV][GGV][BBG][BBG][GGB][GGB][BGV][BGV]
S995533
X(S){X=9} = {[BBV],[BBG]}{X=5} = {[GGV],[GGB]}{X=3} = {[BGV]}
f(9)=P(X=9)=P([BBV])+P([BBG])=18/60f(5)=P(X=5)=P([GGV])+P([GGB] )=18/60 f(3)=P(X=3)=P([BGV])=24/60
5 5 4 10 1 5010
11 5
.
Problema: Ugo alla lotteria europea ha vinto 5 volte 5 ECU, 4 volte 10 ECU e 1 volta 50 ECU. Quale è stata la vincità media?:
510
54
1010
110
50 11 5 .
L’espressione può essere riscritta evidenziando le frequenze relative ƒ:
ƒ(5) =5/10; ƒ(10) =4/10; ƒ(50) =1/10;
Possiamo allora scrivere che:
valor medio x xi ii
n
_ ( )
f1
MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALEMEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE
Definizione:Definizione:
Dato su uno spazio campionario S una vc X caratterizzata dalla funzione di distribuzione f, diremo valor medio valor medio o mediamedia di X, il numero reale:
x xi ii
n
f ( )
1M(X) = =
MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALEMEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE
TeoremiTeoremi
Sia X una vc e k un numero reale, allora:
(X+k) = (X)+k(k·X) = k · (X)
Siano X e due vc su uno spazio campionario, allora:
(X+) = (X)+ ()
VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALEVARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE
Definizione:Definizione:
Data una vc X su S tc X(S)={x1,...,xn} e la funzione di distribuzione f, diremo scarto del valor medio valor medio il numero
reale: xi
Si dice varianza varianza di una variabile casuale X, la media della variabile casuale [X]2
Var(X) = 2 =2
( ) ( )xi i
i
n
x
f1
VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALEVARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE
TeoremiTeoremi
La vc X- ha valor medio nullo:
M(X - M(X)) = 0
La varianza della vc X è espressa da:
2 = M(X2) - 2
DEVIAZIONE STANDARDDEVIAZIONE STANDARD DI UNA VARIABILE CASUALEDI UNA VARIABILE CASUALE
Definizione:Definizione:
Si dice deviazione standard deviazione standard o scarto quadratico scarto quadratico medio medio di una variabile casuale X, la radice quadrata della varianza:
Var X( )
DISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFFDISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF
Permette di mettere in relazione i parametri (, )di una distribuzione:
Se X è una vc con media e sqm , allora dato k è valida la relazione:
2 = M(X2) - 2
