Impostazione AssiomaticaImpostazione Assiomaticadeldel

Calcolo della ProbabilitàCalcolo della Probabilità

Trattazione Semplificata

Spazio Campionario (S):• Lo Spazio Campionario S di un esperimento

rappresenta l’insieme di tutti i suoi possibili risultati (o esiti o punti).

Se S è numerabile: S si dice DiscretoSe S è non numerabile: S si dice Continuo

• Dicesi Evento un qualsiasi sottoinsieme E di S ( E S ):

Se E = S: E si dice Evento certo

Se E = : E si dice Evento impossibile

Spazio Campionario (S):

• Evento Somma

E1E2

• Evento Prodotto

E1E2

Siano E1 ed E2 due eventi di S, si definisce

S

E1

E2

S

E1

E2

Se E1E2 = E1 ed E2 si dicono Eventi Incompatibili

Se in S è definita una probabilità, S è detto Spazio di Probabilità

Si ammette che è possibile associare a ogni evento E di S un numero reale P(E), detto probabilità dell’evento E, che soddisfa i seguenti Assiomi:

A1. P(E) 0

A2. P(S) = 1

A3. E1E2 = P(E1E2) = P(E1) + P(E2)

TeoremiTeoremi

T1. Probabilità dell’evento impossibileLa Probabilità dell’evento impossibile è zero.

P()=0Proof.

1. E=E P(E=P(E)2. E= P(E=P(E)+P( per l’assioma 3

Considerando le due espressioni sottolineate si ricava

3. P(E) = P(E=P(E)+P(P(= 0

c.v.d.

Dagli assiomi seguono immediatamente i seguenti teoremi

TeoremiTeoremi

T3. Teorema della Probabilità TotaleDati due eventi E1 ed E2, la probabilità che se ne verifichi almeno uno é pari alla somma della probabilità dei due eventi diminuita della probabilità della loro intersezione

P(E1E2) = P(E1)+ P(E2) -P(E1E2)

T2.

Qualunque sia l’evento E, risulta sempre

0 P(E) 1

Spazi Campionari EquiprobabiliSpazi Campionari Equiprobabili

T4. Se uno spazio equiprobabile è composto da N elementi E, ognuno di essi ha probabilità 1/N

P(E) = 1/N

T5. Se uno spazio equiprobabile S ha dimensione N e l’elemento E ha dimensione k, allora la probabilità di E è data dall’espressione:

P(E) = k/N

Se tutti gli eventi elementari E di uno spazio campionario S hanno la stessa probabilità P, S è detto Equiprobabile o Uniforme.

Probabilità Matematica

• Il risultato del teorema 5 afferma che la probabilità di ottenere un certo evento è data dal rapporto fra i casi faforevoli e quelli possibili:

numero casi possibilinumero casi favorevoli a E

P(E) =

Probabilità Statistica

• Empiricamente è però possibile identificare la probabilità di un evento con la frequenza relativa a quell’evento

numero di prove ripetutenumero di uscite di E

f(E) =

Le due formule sono compatibili?

Cioè, esiste un significativo punto di convergenza per cui si possa affermare che la

probabilità matematica (o a priori) e la probabilità statistica (o a posteriori) diano lo stesso risultato?

SI !SI !

Dalle prove dei lanci dei dadi e delle monete che avete eseguito è emerso che man mano che si aumenta il numero delle ripetizioni, il valore della frequenza (i.e. della probabilità statistica) si avvicina al valore della probabilità matematica!