Lezione n. 11 -...

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Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni Revisione – 11/11/01

Lezione n. 11 Il metodo dell’equilibrio Esempi di sistemi riconducibili ad un solo movimento indipendente Nell’ottica della semplificazione della soluzione di una travatura iperstatica seguendo il metodo dell’equilibrio, è spesso opportuno operare una riduzione del numero dei movimenti indipendenti da assumere come incognite del problema. Si è già visto che le seguenti circostanze possono contribuire alla riduzione del numero delle incognite: - assenza di sforzo normale o utilizzo dell’ipotesi di trascurabilità delle deformazioni per sforzo

normale rispetto a quelle per momento flettente (nel seguito scritta come ipotesi di “indeformabilità assiale”, EA=∞);

- possibilità di rendere alcuni movimenti dipendenti da altri (ad esempio, nel caso di un estremità con momento nullo o noto, in cui la condizione statica M=0 permette di poter considerare la rotazione in tale sezione di estremità come movimento dipendente dagli altri);

- utilizzo delle (eventuali) simmetrie della struttura e delle simmetrie o antimetrie del carico (per cui i movimenti in sezioni simmetriche presentano caratteristiche di simmetria o antimetria).

Le strutture riportate nelle figure seguenti, forniscono alcuni esempi di strutture che, grazie alle ipotesi appena fatte, ne consentono la soluzione considerando un solo movimento indipendente.

A

q

B C

D

Mov. indipendenti B: wB vB ϕB

Per indeformabilità assiale: wA=wB=wC=0 vB=0

Unico mov. indipendente: ϕB

A

F

B C

D

Mov. indipendenti B: wB vB ϕB

C: wC ϕC

D: ϕD

Per indeformabilità assiale: wA=wB=wC=0 vB=0

Mov. “dipendenti”: ϕC ϕD


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Lezione n. 11 – pag. XI.2

Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni BOZZA SOGGETTA A REVISIONE

A

q

B

C D

G

H

Mov. indipendenti G: wG vG ϕG

C: ϕC

H: wH vH ϕH

D: ϕD

Per indeformabilità assiale: wA=wG=wB=0 wC=wH=wD=0 vG= vH

Mov. “dipendenti”: ϕC ϕD

Per simmetria: ϕG=ϕH=0

Unico mov. indipendente: vG

A q B C

E F

D H

Mov. indipendenti A: wA ϕA

B: wB vB ϕB C: wC vC ϕC D: wD ϕD

Per indeformabilità assiale: wA=wB=wC=wD vB=0 vC=0

Mov. “dipendenti”: ϕA ϕD

Per simmetria: ϕB=-ϕC

wH=0 ⇒ wA=wB=wC=wD=0


La casistica è ovviamente illimitata: senza la pretesa di voler esaurire l’elenco delle condizioni attraverso le quali è possibile ridurre il numero dei movimenti indipendenti, alcune delle considerazioni precedenti possono essere estese anche ad altri casi di particolare interesse. Esempio: sostanziale differenza di rigidezza delle membrature In molti telai, è possibile osservare che spesso gli elementi che lo costituiscono presentano rigidezze abbastanza diverse tra loro.

L

L

B

q

C

D A

J pil

J pil

Jtr

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Nell’esempio riportato in figura, si è supposto che gli elementi verticali (pilastri) abbiano una sezione diversa dall’elemento orizzontale (trave); di conseguenza, il rapporto tra le rigidità del tratto verticale (indicata con Rpil) e quella del tratto orizzontale (che indicheremo con Rtr) può assumere valori anche abbastanza diversi da uno. Normalmente, la rigidità degli elementi verticali è di solito più piccola di quella degli elementi orizzontali. Per fissare le idee, se considerassimo un telaio completamente in cemento armato (in cui si abbia quindi lo stesso materiale per i pilastri e le travi) in cui i pilastri presentino una sezione di 30×30 cm, mentre le travi presentino una sezione di 30×50 cm (dove la dimensione maggiore si riferisce all’altezza) si avrebbe

44

pil cm675001230J == 4

3tr cm312500

125030J =

⋅=

e quindi, considerando la stessa lunghezza L per entrambi gli elementi,

63.467500312500

JJ

EJL

LEJ

RR

pil

tr

pil

tr

pil

tr ====

ossia una differenza di più di 4 volte in termini di rigidità. E’ allora spesso possibile rappresentare il caso in esame assumendo che, almeno come prima ipotesi di calcolo, la trave sia infinitamente rigida rispetto ai pilastri, rappresentando il telaio come in figura

��

L

L

B

q

C

D A

J pil

J pil

Jtr

L

L

B

q

C

D A

Jtr=∞

Ovviamente, l’ipotesi di infinita rigidezza ha significato soltanto in rapporto a quella degli elementi verticali, nel senso che non di valore infinito si tratta ma di valore considerevolmente più grande (un ordine di grandezza almeno) rispetto a quella degli altri elementi costituenti la struttura. Tale schematizzazione comporta che l’elemento orizzontale sia praticamente indeformabile, e può quindi soltanto compiere atti di moto rigido. Le implicazioni sulla valutazione del numero dei movimenti che possono essere assunti come indipendenti sono notevoli. In assenza di tale ipotesi, il telaio presenterebbe i seguenti 7 movimenti indipendenti

nodo B: wB vB ϕB

nodo C: wC vC ϕC nodo D: ϕD

Se per i pilastri si continua a mantenere l’ipotesi di trascurabilità della deformazione per sforzo normale rispetto a quella per momento flettente, si potrebbero comunque ridurre i movimenti indipendenti a 4 poiché

wB=wC vB=0 vC=0

Infine, le usuali considerazioni di dipendenza tra i movimenti porterebbero a ritenere il valore di ϕD come dipendente dagli altri, fissando il numero minimo dei movimenti indipendenti (e quindi delle incognite) a tre.

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L’ipotesi di rigidità dell’elemento orizzontale comporta un’ulteriore riduzione nel numero dei movimenti indipendenti: dal momento che, come già osservato, i punti B e C non possono traslare verticalmente per non violare la condizione di indeformabilità assiale dei piedritti, la rigidezza del tratto orizzontale impedisce di fatto la rotazione sia in B che C. Se l’asta orizzontale ruotasse, infatti, dovrebbe farlo rigidamente: quindi, ad esempio nel caso di una rotazione oraria, si dovrebbe spostare verso l’alto il punto B e verso il basso (della stessa quantità) il punto C. Dal momento che entrambi tali spostamenti risultano impediti, la rotazione dell’asta orizzontale deve necessariamente risultare nulla, quindi riducendo di fatto la soluzione della struttura all’individuazione di un solo movimento indipendente, la traslazione orizzontale della trave. Si è quindi in presenza di un telaio che, nella sua componente orizzontale, può soltanto traslare, mentre le rotazioni sono praticamente impedite dalla differenza di rigidezza tra elementi verticali ed orizzontali(*). Una volta individuato il movimento indipendente, è quindi possibile procedere alla soluzione della struttura, secondo le usuali procedure.

Fase I Bloccando l’unico movimento indipendente (la traslazione dell’asta orizzontale) attraverso l’introduzione di un vincolo ausiliario (ad esempio in C), si perviene alla struttura in figura, dove si è riportato, isolandolo dal resto, anche l’unico tratto caricato (AB) ed il relativo diagramma dei momenti.

��

L

L

B

q

C

D A

Jtr=∞ ��

L

B

q A

qL2/12

qL/2

qL2/12

qL/2

Il vincolo in B è offerto da un incastro alla luce delle osservazioni precedenti (B è impedito, di fatto, di compiere qualsiasi movimento, a causa della presenza del vincolo ausiliario [che impedisce wB], della indeformabilità assiale dell’asta AB [che annulla vB] e della rigidità dell’asta BC [che rende impossibile qualunque rotazione ϕB]). E’ però importante notare che nella struttura non sono presenti “vincoli” che blocchino la rotazione in B, ma è l’asta BC che praticamente impedisce tale movimento. Di conseguenza, la reazione qL2/12 disegnata in B deve essere esercitata dall’asta orizzontale BC, che quindi non può essere scarica. L’asta BC può allora essere rappresentata come in figura, dove i vincoli sono dovuti al fatto che, data l’elevata rigidezza di tale asta, le altre aste riescono a fornirle soltanto un vincolo alla traslazione verticale (stante la loro indeformabilità assiale), mentre il vincolo ausiliario ne blocca la

(*) Telai come quello riportato in figura, in cui gli elementi orizzontali presentino rigidezze molto più alte

degli elementi verticali tali da poter ricondurre lo studio a quello di un telaio che trasla soltanto, vengono denominati come “shear-type” (letteralmente, “tipo-taglio”) in quanto subiscono una deformazione che, complessivamente, è paragonabile a quella di un concio di una trave che si deformi soltanto per taglio, essendo possibili soltanto “scorrimenti” dell’elemento orizzontale rispetto alla base. Tale schematizzazione è spesso utilizzata in ingegneria sismica, al fine di valutare la risposta di telai ad azioni orizzontali, almeno come prima approssimazione dell’effettiva soluzione della struttura.

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traslazione. Gli elementi verticali sono infatti, rispetto all’asta in esame, “infinitamente flessibili” e quindi non forniscono nessun grado di vincolo efficace rispetto alla rotazione degli estremi dell’asta BC.

L

C B

qL2/12

qL/12 qL/12

E’ infine importante sottolineare che lo stato di sollecitazione in elementi indeformabili (quali la trave del telaio in esame) è ricavabile utilizzando esclusivamente condizioni di equilibrio, non essendo possibile ricorrere alle usuali relazioni che collegano lo stato di deformazione a quello di sollecitazione. Nel caso in cui la parte infinitamente rigida risulti vincolata da un numero di vincoli che la rendano staticamente determinata, il solo ricorso alle equazioni di equilibrio permetterà di risalire allo stato di sollecitazione (come nel caso riportato in figura). Se, viceversa, fosse presente un numero sovrabbondante di vincoli e la trave risultasse quindi staticamente indeterminata, lo stato di sollecitazione ed i valori delle reazioni vincolari rimarrebbero evidentemente indeterminati. In conclusione, la fase I fornisce il risultato riportato in figura, in termini di reazioni vincolari e diagramma dei momenti.

��

��

L

L

B

q

C

D A

qL2/12

qL/2

qL/2

qL/12 qL/12

qL2/12

qL2/24

qL2/12

Fase II In fase II si considera la struttura riportata in figura, in cui si è applicata la reazione del vincolo ausiliario in B con il segno opposto. I due tratti AB e CD, isolati dal resto, sono anch’essi rappresentati in figura.

��

L

L

B C

D A

Jtr=∞

L

B

A

qL/2 δ

L

C

D

δ

F1 F2 δ

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Il telaio, libero soltanto di traslare, subirà uno spostamento orizzontale (per il momento incognito) che è stato indicato con δ. Entrambi i casi riportati in figura rappresentano situazioni che sono già note. Nel primo caso (trave con entrambe le estremità impedite di ruotare e soggetto ad una traslazione all’estremità libera di traslare) la rigidezza alla traslazione (cioè la forza necessaria per ottenere uno spostamento unitario) vale 12EJ/L3, da cui

31L

EJ12δF =

In figura seguente, sfruttando risultati già noti, sono riportate le reazioni vincolari ed il diagramma del momento.

L

B

A

δ

δ (12EJ/L3)

δ (12EJ/L3)

δ (6EJ/L2)

δ (6EJ/L2)

δ (6EJ/L2)

δ (6EJ/L2)

Il secondo caso è invece riconducibile (in termini di sollecitazioni e spostamenti di estremità) a quello di una mensola di uguale lunghezza sottoposta all’estremo libero ad una forza concentrata pari a F2. Nel caso in esame si era quindi già visto che il collegamento tra lo spostamento δ e la forza F2 è offerto dalla relazione

EJ3LFδ

32=

per cui la rigidezza alla traslazione vale 3EJ/L3 e di conseguenza

32LEJ3δF =

L

C

D

δ

F2

F2 F2 D

C

F2L

δ

M2

F2L

A questo punto è agevole ricavare il valore dello spostamento δ incognito. La somma delle due forze F1 e F2, deve equilibrare l’azione complessiva esterna, da cui

EJ30qLδ

2qL

LEJ3δ

LEJ12δ

2qLFF

4

3321 =⇒=+⇒=+

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e quindi(**)

qL52

LEJ12

EJ30qL

LEJ12δF 3

4

31 =⋅==

10qL

LEJ3

EJ30qL

LEJ3δF 3

4

32 =⋅==

E’ possibile a questo punto riportare i diagrammi finali relativi alla fase II, assemblando i risultati appena ottenuti. In figura seguente sono riportati i valori delle reazioni vincolari ed il diagramma dei momenti della struttura in questa fase.

��

��

L

L

B C

D A

Jtr=∞ qL/2 qL4/(30EJ)

qL2/5

qL2/5

qL2 /5

qL2 /1

0

qL2/10

2qL/5

3qL/10 qL2/5 3qL/10

qL/10

I valori delle reazioni vincolari verticali e dei momenti nel tratto BC sono stati ottenuti, analogamente a quanto fatto in precedenza, imponendo l’equilibrio del tratto infinitamente rigido, anche in questo caso staticamente determinato.

L

C B

qL2/5

3qL/10 3qL/10

qL2 /5

qL2 /1

0 qL2/10

(**) E’ interessante notare che, in analogia a quanto fatto nel caso della rotazione, si potrebbe definire una

rigidezza totale alla traslazione come la somma delle rigidezze dei due elementi

333CDBAtotL

EJ15LEJ3

LEJ12WWW =+=+=

La forza orizzontale si ripartisce quindi tra i due elementi secondo il valore dei coefficienti di ripartizione (questa volta relativi ad una forza anziché ad un momento)

51

3123

L/EJ15L/EJ3

WW

ρ,54

31212

L/EJ15L/EJ12

WW

ρ3

3

tot

CDCD3

3

tot

BABA =

+====

+===

da cui i valori delle forze nei due elementi verticali

10qL

2qL

51FρFF,qL

52

2qL

54FρFF totCDCD2totBABA1 =⋅=⋅===⋅=⋅==

in cui Ftot è la forza applicata nel tratto orizzontale.

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Fase I + Fase II La somma delle due fasi, infine, fornisce i risultati complessivi nella struttura, anche in questo caso riportati soltanto in termini di reazioni vincolari e diagramma dei momenti flettenti(***).

��

17qL2/60

7qL2/60

7qL2 /6

0

qL2 /1

0

qL2/10 ��

L

L

B C

D A

Jtr=∞

9qL/10

13qL/60 17qL2/60 13qL/60

qL/10

q B

C

D A

Esempio: tratti con taglio nullo Un’altra classe di casi in cui è possibile ricondursi ad un solo movimento indipendente è rappresentata da strutture nelle quali le particolari condizioni di carico permettano di incrementare la gamma delle situazioni dove alcuni movimenti possono essere ritenuti dipendenti da altri. A titolo di esempio, si riporta il caso del telaio in figura, costituito da una struttura simmetrica sottoposta ad un carico antimetrico.

L/2

A B

D

C

F

F

L/2 L/2 L/2

L

(***) Il caso appena studiato, corrispondente alla circostanza in cui Jtr=∞, approssima in realtà molto bene

anche situazioni diverse da quelle esaminate. Infatti, differenze di rigidezza anche non così marcate tra i pilastri e la trave condurrebbero comunque a risultati simili a quelli indicati. Nella tabella seguente sono riportati, in funzione del rapporto Jtr/Jpil ed a meno del fattore qL2, i valori dei momenti nelle tre sezioni A, B e C.

Jtr/Jpil=10 Jtr/Jpil=3 Jtr/Jpil=1 sezione Jtr/Jpil=∞

diff. % diff. % diff. % MA 17/60=0.283 0.286 +0.88% 0.292 +2.94% 0.307 +8.24% MB 7/60=0.117 0.115 -1.43% 0.111 -5.00% 0.103 -12.14% MC 1/10=0.100 0.099 -0.83% 0.098 -2.50% 0.091 -9.17%

Come si può osservare, già nel caso in cui il rapporto tra il momento di inerzia della trave e quello del pilastro sia pari a 3, l’errore che si commetterebbe studiando il telaio come composto da un traverso infinitamente rigido ammonta, al massimo al 5%. Inoltre, il caso Jtr/Jpil=10 corrisponde, di fatto, al caso Jtr=∞.

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In generale, i movimenti indipendenti per la struttura in esame sarebbero i seguenti:

nodo A: wA ϕA

nodo B: wB vB ϕB

nodo C: wC ϕC

Sfruttando l’ipotesi di indeformabilità assiale si ottiene

wA=wB=wC=w vB=0

mentre le due rotazioni ϕA e ϕC (che per rispettare l’antimetria devono essere uguali), possono essere assunte come movimenti dipendenti a causa dalla presenza delle cerniere in A e C. In ultima analisi, la struttura potrebbe essere studiata ricorrendo a soltanto due movimenti indipendenti, la traslazione w dell’elemento orizzontale e la rotazione in B (ϕB). E’ però immediato rendersi conto che, trattandosi di una situazione antimetrica ed essendo la struttura sottoposta soltanto a forze verticali, l’elemento verticale BD non è soggetto a taglio. Sull’elemento verticale, quindi, si è in presenza di una condizione statica aggiuntiva che, in analogia a quanto già fatto per l’estremità delle travate in cui la condizione M=0 rendeva possibile il considerare la rotazione in tale sezione come dipendente, consente di ridurre il numero dei movimenti che è necessario assumere come indipendenti. L’integrazione della linea elastica limitatamente al tratto in esame, è infatti possibile anche se conoscessimo soltanto il valore della rotazione in B ma non il valore dello spostamento orizzontale w.

L

MB wB D

ϕB B

( ) 0Dv = ( ) ( ) 0DφDv =−=′

( ) ( ) 0BvEJBT =′′′−= ( ) ( ) BφBφBv −=−=′

Le quattro condizioni al contorno (due cinematiche in D e due statiche in B) consentono la definizione della linea elastica della struttura; il valore dello spostamento in B (indicato con wB) potrebbe quindi essere ricavato in un secondo momento come wB=v(L), Nella stessa sezione si potrà ricavare anche il valore del momento flettente utilizzando la relazione

( ) ( )BvEJBM ′′−=

Di conseguenza, si può studiare la struttura assumendo, come unico movimento indipendente, il valore della rotazione in B. Fase I Al solito in questa fase occorre risolvere la struttura in cui, attraverso l’introduzione di un vincolo ausiliario (morsetto) in B si imponga la condizione ϕB=0. La soluzione (in termini di reazioni vincolari e diagrammi dei momenti) è riportata nella figura seguente; i singoli tratti, una volta isolati dal resto della struttura, sono rappresentati da travi già incontrate in precedenza, per le quali si sono sfruttati risultati noti.

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��

L/2

A B

D

C

F

F

L/2 L/2 L/2

L

��

A

B

D

C

F

F

3FL/

16

3FL/8 3FL/16

5FL/32

5FL/32

5FL/16 5FL/16

Fase II In fase II occorrerà ripartire la reazione del vincolo ausiliario in B, cambiata di segno, tra le varie aste che concorrono in B, una volta stabiliti i valori delle rigidezze alla rotazione in B di tali aste. I due tratti AB e BC sono rappresentati da travi semplicemente appoggiate, per le quali si è già visto che la rigidezza alla rotazione assume il valore 3R. L’asta verticale DB è rappresentata da una trave nella quale, a causa delle osservazioni effettuate in fase di riduzione dei movimenti indipendenti, il valore del taglio è nullo. Si tratta quindi, una volta che tale tratto venga isolato dal resto della struttura, di una trave in cui l’estremità inferiore è fissa, quella superiore è libera sia di traslare che di ruotare: si è quindi in presenza di una mensola sottoposta ad un momento costante, per la quale si era già ricavato un valore della rigidezza alla rotazione pari ad R.

D

L

B

MBD

LEJkBD =

t = - 1

ϕB MDB=-MBD

Si può quindi ricavare il valore della rigidezza totale alla rotazione del nodo B

R7RR3R3kkkk BDBCBAB =++=++=

e, di seguito, i valori dei coefficienti di ripartizione

71

R7R

kkρ,

73

R7R3

kkρ,

73

R7R3

kkρ

B

BDBD

B

BCBC

B

BABA =========

E’ quindi possibile “ripartire” il momento flettente tra le varie aste, ottenendo i risultati riportati in figura seguente, in cui, per semplicità di scrittura, si è posto:

FL163

=M

Inoltre, il valore della rotazione in B assume il valore

EJFL

563

EJL

71FL

83

R72

k2φ

2

BB =

===

MM

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L/2

A B

D

C

L/2 L/2 L/2

L

3FL/8=2M

A B

D

C 6 M/7

6M/(7L) 6M/(7L)

6 M/7

2M/7

2M/7

2M

Fase I + Fase II Sommando i risultati ottenuti nelle due fasi, si ottiene infine la soluzione della struttura, riportata in figura seguente in termini di reazioni vincolari e diagrammi del momento flettente.

L/2

A

D

C

F

F

L/2 L/2 L/2

L

B

M/7

53M/(21L) 53M/(21L)

53M/42

2M/7

M/7

2M/7

53M/42

Un’ultima osservazione riguarda il valore dello spostamento orizzontale w del traverso, assunto come movimento dipendente dagli altri. E’ possibile risalire al valore di w considerando che, in fase I, tale valore è nullo (come si può facilmente osservare dal fatto che l’elemento verticale BD è scarico e quindi non nascono movimenti in nessuna delle sue sezioni e, quindi, neanche in B). In fase II, tale spostamento può essere valutato attraverso il valore che si avrebbe in una mensola di luce L sottoposta ad un momento flettente costante pari a 2M/7. Si è già avuto modo di osservare, in lezioni precedenti, che gli spostamenti dell’estremità libera di una mensola sottoposta a momento costante ammontano a:

2Lφ

EJ2L*Mw,

EJL*M

R*Mφ B

2BB ====

dove M* è il valore del momento flettente cha agisce sulla mensola. Di conseguenza si ha

EJFL

1123

2L

EJFL

563

2Lφw

32BB =

==

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