Lezione 8 - unimi.it · 2015. 11. 24. · Fusione nucleare • Abbiamo già accennato alla fusione...

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Fusione e fissione nucleare

Lezione 8

FUSIONE NUCLEARE

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 8 A. Andreazza - a.a. 2015/16

Fusione nucleare

•  Abbiamo già accennato alla fusione nucleare che costituisce la sorgente di energia del sole

•  Oggi vogliamo trattare questo processo in maniera un po’ più quantitativa: –  Energie irraggiata e “durata” del sole –  Fenomeni che determinano il tasso della reazione

•  Picco di Gamow Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 8 A. Andreazza - a.a. 2015/16 3

Hans Bethe Nobel 1967

Reazioni nucleari nel sole

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 8 A. Andreazza - a.a. 2015/16 4

La vita del sole

•  Per calcolare quanto può vivere il sole: 1.  Energia cinetica rilasciata nel sole dal processo completo di

fusione Qtot 2.  Energia irraggiata dal sole per unità di tempo W☉ 3.  Protoni consumati unità di tempo dNp/dt~W☉/Qtot 4.  “Vita” del sole: Np/(dNp/dt)


Reazioni nucleari

•  Consideriamo solo la sequenza più probabile di processi:

•  Stimare l’energia cinetica rilasciata alla materia solare (quindi escludere i neutrini)


1H+ 1H→ 2H+ e+ +νe2H+ 1H→ 3He+γ

3He+ 3He→ 4He+ 21H

Barriera Coulombiana

•  Perché una reazione tra il nucleo X ed il nucleo Y possa avvenire bisogna superare la barriera coulombiana:

•  Per la prima reazione della catena, p+p, Rp~0.85 fm (PDG)

•  Il problema è quanti protoni hanno l’energia sufficiente per superare tale barriera: –  I protoni, ad una temperatura T

avranno una distribuzione di velocità alla Maxwell-Boltzmnann:

–  o, rispetto all’energia cinetica:


V = e2

4πε0ZXZYRX + RY

=e2

4πε0!c!c

RX + RYZXZY =α

!cRX + RY

ZXZY

Vpp =α!c2Rp

=1137

197MeVfm1.7fm

= 0.85MeV

dNdv

= N 2π

mpkT⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3/2

v2 exp − 12mpv

2

kT

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

dNdE

=dNdv

dvdE

= N 2π

mpkT⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3/22Empexp − E

kT⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12mpE

= N 2π

1kT⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟3/2

E exp − EkT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

E = 12mpv

2

dvdE

=2mp

121E=

12mpE

v = 2E /mp

Barriera Coulombiana

•  Il problema è quanti protoni hanno l’energia sufficiente per superare tale barriera.

•  La frazione di protoni con E>Vpp

•  Al centro del sole T~15×106 K: –  kT=8.617×10-5 eV/K × 15×106 K = 1.3 keV –  Vpp/kT = 850 keV/1.3 keV = 654

•  Per fare calcoli con numeri così grandi possiamo usare l’espansione della erf per x→∞


= dE 2π

1kT⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟3/2

E exp − EkT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Vpp

+∞

∫f =1N

dE dNdEVpp

+∞

∫ = 2π

dx x exp −x( )Vpp /kT

+∞

∫ x =EkT

=1− erfVppkT

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+

2π

VppkTexp −

VppkT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1− erf x( ) x→+∞⎯ →⎯⎯ exp(−x2 ) / π x

log10 f = log101π2

VppkT

+kTVpp

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟exp −

VppkT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=1.5−

VppkTlog10 e = −282.5

non esistono protoni con energia sufficiente

= erf( x )− 2π

x exp −x( )⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥Vpp /kT

+∞

Picco di Gamow

•  Reazioni di fusione alle temperature stellari sono possibili solo grazie all’attraversamento della barriera Coulombiana per effetto tunnel

•  Lo stesso fattore di Gamow che entra nel decadimento α:

•  La sezione d’urto effettiva:

•  La probabilità di interazione λ per un protone di energia E è data da:

–  np=densità di protoni •  Il tasso di interazioni per unità di

volume ad una certa energia:


G =2mp!2E

e2

4πεof2Rpb

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

f x( ) = arccos x − x − x2⎡⎣⎤⎦b =

e2

4πεoE

σ (E) = e−2Gσ 0(E)

sezione d’urto in assenza di repulsione Coulombiana

λ = vσ (E)np = 2E / mpσ (E)np

dnintdt

(E) = np(E)2Emp

e−2G(E )σ 0(E)np

Reattività

•  Il tasso di interazione ad una certa energia è dato da:

•  Il tasso totale di interazioni per unità di volume:

•  In generale per diverse specie:


dnintdt

(E) = np(E)2Emp

e−2G(E )σ 0(E)np = npnp(E)np

v(E)e−2G(E )σ 0(E)np

dnintdt

= np2 dEnp(E)np

v(E)e−2G(E )σ 0(E)0

+∞

∫

sezione d’urto ×

velocità

pesata sulla distribuzione dell’energia

dnintdt

= np2 σ v

dnintdt

= nXnY σ v

FISSIONE NUCLEARE

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 8 A. Andreazza - a.a. 2015/16

Fissione nucleare

•  Nella fissione nucleare ci troviamo nell’altro lato della curva dell’energia media di legame.

•  Nuclei pesanti possono scin- dersi in nuclei più leggeri e più legati liberando energia: –  Processo possibile per A≳120 –  Non avviene spontaneamente

a causa della solita barriera di potenziale:

•  stabilità dei nuclei rispetto alla repulsione elettrostatica

–  Può venire indotto da un’eccitazione:

•  interazioni con neutroni •  materiali fissili ed energia nucleare


Fissione nucleare


•  La fissione è il processo in cui un nucleo si spezza in frammenti più piccoli –  il caso più semplice è la fissione in due frammenti

•  L’energia rilasciata nel processo di fissione si trova attraverso la differenza di massa

•  Perchè la fissione sia permessa deve essere Qfiss > 0 •  Utilizzando l’energia di legame

•  Dove l’energia di legame è data dalla formula di Bethe-Weizsäcker

ZAX → Z1

A1X + Z2A2X +Qfiss

Qfissc2

= M A,Z( ) −M A1,Z1( ) −M A2,Z2( )

A = A1 + A2Z = Z1 + Z2

B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3

Z 2

A13+ a4

A − 2Z( )2

A± a5A

−34

Qfiss = B A,Z( ) − B A1,Z1( ) − B A2,Z2( )

Fissione nucleare

•  L’energia disponibile è approssimati- vamente 0.9 MeV per nucleone.

•  Per fusione abbiamo visto: –  ~26 MeV/4 = 6.5 MeV/nucleone

•  Densità di energia immagazzinata molto maggiore di quella in combustibili chimici ~50 MJ/kg


Energy density


Processo di fissione

•  Possiamo visualizzare il processo di fissione come la separazione di una goccia di liquido nucleare:

•  L’energia del sistema evolve: –  da quella dovuta all’energia di

legame del nucleo originale –  a quella dei due nuclei separati. –  il nucleo può esistere solo se

lo stato iniziale è metastabile –  In tal caso la fissione necessita di

superare una barriera di potenziale


E = B A,Z( )E = B A1,Z1( ) + B A2,Z2( ) +

Z1Z2e2

4πε0r

r

Fissione nucleare: termine di superficie


•  Dalla formula dell’energia di legame

–  i termini influenzati da una deformazione del nucleo sono:

•  l’energia superficiale •  l’energia di Coulomb

•  Assumiamo che il nucleo assuma una forma di ellissoide prolato ( semiasse x = semiasse y < semiasse z ) –  Introduciamo il parametro ε che definisce una

deformazione che mantiene costante il volume

–  il termine nella formula di Bethe-Weizsäcker diventa

•  Concludiamo che l’energia superficiale aumenta

B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3

Z 2

A13+ a4

A − 2Z( )2

A± a5A

−34

2a

2b

V = 43πab2 = 4

3πR3

a = R 1+ ε( ) b = R / 1+ εS = 4πR2 1+ 2

5ε2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a2A23 → a2A

23 1+ 2

5ε2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Fissione nucleare: termine Coulombiano


•  Discutiamo adesso il termine dell’energia di legame dovuto alla repulsione elettrostatica –  Due elementi di carica ρdV1 e ρdV2 –  hanno un’energia elettrostatica

–  Per una distribuzione sferica l’energia

si calcola facilmente –  Il caso dell’ellisoide prolato è più

complesso

•  Pertanto, per tenere conto dell’effetto della deformazione, nella formula di Bethe-Weizsäcker si opera la sostituzione

•  L’energia elettrostatica diminuisce

U = 12

14πεo

ρ r1( )dV1ρ r2( )dV21r12

∫∫U = 3

514πεo

Q2

R

U = 3514πεo

Q2

R1− ε

2

5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a3Z 2

A13→ a3

Z 2

A131− ε

2

5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Fissione nucleare: stabilità


•  In definitiva l’effetto della deformazione è

•  La differenza rispetto al nucleo sferico è

–  Introducendo i valori delle costanti

•  Il nucleo sferico stabile se ΔE > 0 –  La condizione di stabilità è pertanto

•  Questa condizione è verificata anche per nuclei molto pesanti –  Il nucleo sferico è pertanto molto stabile –  La positività dell’energia ΔE per quasi tutti i nuclei spiega

perchè la fissione spontanea è un fenomeno raro

a2A23 1+ 2

5ε2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ a3

Z 2

A131− ε

2

5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = a2A

23 + a3

Z 2

A13+25a2A

23 −15a3Z 2

A13

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ε2

ΔE = 25A23 1− a3

2a2Z 2

A⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ε2

a2 = 17.804a3 = 0.7103

ΔE ≈ 25A23 1− 1

50Z 2

A⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ε2

250Z

A

Vite medie parziali per fissione


λfiss = BR × λtotale• pari-pari ◦ pari-dispari

Branching Ratio BR frazione dei decadimenti in un certo canale.

λfiss−1 =

τBR

=τ1/2

0.69BR

235U 238U

τ1/2 7×108 yr 4.5×109 yr

BR 7×10-11 5.5×10-7

λfiss-1 1.4×1018 yr 4×1025 s

1.2×1016 yr 3.6×1023 s

Energia nucleare

•  Il processo di fissione è alla base della produzione di energia nucleare.

•  La fissione spontanea non è in grado di produrre una potenza apprezzabile: necessario ricorrere a fissione indotta da neutroni: –  Proprietà della fissione –  Diverso comportamento dei materiali

•  Reazione a catena –  Possibilità di automantenimento della produzione di energia –  Controllo della reazione:

•  moderatore → distribuzione in energia nelle interazioni •  neutroni ritardati → trasformata di Laplace


Fissione indotta

•  Un evento di fissione rilascia una notevole quantità di energia: –  Ad esempio per 238U ci aspettiamo:

•  0.9 MeV/nucleone × 238 nucleoni = 214 MeV –  La potenza però è limitata:

•  1 g di 238U emette per fissione:

•  e per radioattività α:

•  La fissione può essere indotta da collisioni con neutroni che pongono il nucleo in uno stato eccitato: –  riduce l’altezza della barriera di potenziale da superare


P = QfissNAAλfiss ≈ 200 MeV

6 ×1023

2381

1.6 ×1023s≈ 4 MeV/s

≈ 6 ×10−13 W

P = QαNAA

10.69τ1/2

≈ 4 MeV 6 ×1023

2381

4.5×109 yr × 3×109s/yr

≈ 700 MeV/s ≈ 1.1×10−10 W

Fissione indotta

•  Un esempio di reazione:

•  Ce ne sono molte possibili con le stesse caratteristiche: –  nuclei figli ricchi di neutroni: decadimenti β –  neutroni in eccesso emessi nella reazione


n + 92235U → 92235U* → 53137I + 3996Y + 3n

53137 I Q=6.0 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 54137 Xe

Q=4.1 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 55

137Cs Q=1.1 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 56137 Ba

3996 Y Q=7.1 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 4096 Zr

Qfiss = 183 MeV

Fissione Indotta


•  La fissione indotta dell’Uranio 235 è molto più probabile della fissione spontanea –  succede che il nucleo 235U assorbe un

neutrone molto lento (al limite fermo) e produce un nucleo di 236U

–  Nel processo vengono rilasciati 6.3 MeV •  significa che per estarre un

neutrone dal nucleo 236U occorre fornire 6.3 MeV

–  L’energia disponibile è sufficiente a pro-durre lo stato eccitato 236U* ( 5.7 MeV )

–  Poichè il nucleo è in uno stato eccitato la barriera è più bassa.

–  La fissione è molto più probabile •  ricordiamo che la probabilità di

effetto tunnel è una funzione esponenziale dell’altezza della altezza della barriera

236U

236U*

235U+n

6.3 MeV 5.7 MeV

5.7

MeV

Fissione indotta


•  Abbiamo utilizzato l’isotopo 235U, molto meno abbon-dante dell’isotopo 238U –  I minerali naturali di Uranio (es. Pechblenda o Uranite)

contengono solo una piccola percentuale di 235U : circa lo 0.7%

•  Per l’isotopo 238U l’equivalente processo di fissione indotta sarebbe quello rappresentato in figura: –  l’energia liberata nella cattura non è sufficiente a

produrre il primo stato eccitato 239U*

•  Il motivo di questa differenza si può comprendere ricordando l’ultimo termine dell’energia di legame della formula di Bethe-Weizsäcker –  è nullo per A dispari ( 239U ) –  è negativo per nuclei pari-pari ( 236U )

•  Pertanto l’ultimo neutrone dell’isotopo 239U è “meno legato” e l’energia rilasciata nella cattura non è sufficiente per raggiungere il primo stato eccitato –  la barriera rimane alta e il processo è più raro

239U

239U*

238U+n

6.0 MeV 4.8 MeV

B A,Z( ) = ... ± a5A−34

a5 = 33.6 MeV

•  Sezioni d’urto per fissione e cattura neutronica:

•  Per l’isotopo 238U la soglia della fissione è molto elevata ( > 2 MeV ) •  Per neutroni lenti ( < 1 eV ) la fissione è molto più frequente in 235U

–  ad esempio per E ~ 0.1 eV σ235 ~ 1000 σ238 •  Ė anche riportata la sezione d’urto di cattura radiativa di neutrone

–  l’energia in eccesso viene liberata come fotone e non avviene la fissione –  è importante per il funzionamento del reattore nucleare

•  riduce il numero di neutroni che possono generare altre fissioni

Fissione indotta


σ [b

]

σ [b

]

∼103

Materiali fissili e materiali fertili


•  235U è l’unico materiale fissile che –  è soggetto a fissione indotta con neutroni termici –  è presente in natura in quantità significative: 0.7% dell’uranio naturale

•  È possibile produrre altri materiali fissili dai “materiali fertili” –  Ad esempio 239Pu e 233U da 238U e 232Th, rispettivamente

–  Ad esempio, un reattore che brucia 239Pu e che insieme al combustibile contiene 238U produce altro combustibile 239Pu

–  reattori autofertilizzanti

n + 92238U → 92239U + γ

92239U→ 93239Np + e− +νe τ1/2 = 23.4 minuti

τ1/2 = 2.36 giorni 93239Np→ 94239Pu + e− +νe

n + 90232Th→ 90233Th + γ

90233Th→ 91233Pa + e− +νe τ1/2 = 23.3 minuti

τ1/2 = 26.97 giorni 91233Pa→ 92233U + e− +νe

kT=25 meV a 300 K

Reazione a catena

•  Il principio alla base dei reattori nucleare è la reazione a catena: –  Un nucleo di 235U cattura un neutrone –  Si scinde in due nuclei più leggeri ed un certo numero di neutroni

•  L’energia cinetica dei nuclei, come pure quella degli e- nei decadimenti β successivi, γ si trasfromano in calore del materiale:

–  usato per la produzione di energia •  alcuni nuceli possono a loro volta emettere neutroni (neutroni ritardati)

–  Questi neutroni possono: •  uscire dalla zona di reazione •  venire catturati da nuclei che si diseccitano emettendo γ •  colpire un altro nucleo di 235U e produrre una nuova fissione

•  L’aspetto critico è il controllo della catena: –  Se non ci sono abbastanza neutroni per nuove fissioni la catena rallenta e si

ferma. –  Se ce ne sono troppi, il numero di reazioni aumenta esponenzialmente:

esplosione. Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 8 A. Andreazza - a.a. 2015/16 28

Il controllo della catena

•  Possiamo descrivere l’evoluzione del numero di neutroni:

–  N(t): numero di neutroni –  τ: tempo medio necessario ad un neutrone per produrre una fissione –  ν: numero medio di neutroni prodotti da una fissione –  q: probabilità che un neutrone possa produrre una fissione

•  La soluzione è: –  νq1: supercritico


N t( ) = N 0( )exp νq −1( )tτ

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

dNdt

= N t( )1τνq −1( )

Struttura del reattore

•  Analizziamo ora alcuni degli elementi che influenzano q Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 8 A. Andreazza - a.a. 2015/16 30

assorbimento di neutroni

rapporto 235U 238U

contenimento e termalizzazone dei neutroni H20 usata anche per

il raffreddamento

Sezioni d’urto


•  Consideriamo adesso una massa di uranio naturale: le frazioni dei due isotopi sono –  238U f = 99.3% 235U f = 0.7%

•  Consideriamo un neutrone di energia cinetica T = 2 MeV –  A questa energia le sezioni d’urto totali di neutrone su

235U o 238U sono circa uguali: σtot 7 barn

–  In generale, se si ha una miscela di sostanze, ciascuna con frazione fi, si definisce una sezione d’urto media

•  Per l'uranio naturale (ρ=19.05 g/cm3, A=238) il numero di atomi per unita di volume è nT = 4.8×1028 atomi/m3

•  Otteniamo un libero cammino medio (distranza tra due collisioni)

•  Il tempo medio fra due collisioni è

β =2Tmn

= 0.065

σ = fiσ i∑

λ =1

7×10−28 × 4.8×1028= 0.03 m

tc =λv=λβc

= 1.5×10−9 s

Sezioni d’urto

•  Ad ogni collisione il neutrone può: –  indurre una fissione, con probabilità –  venire catturato con emissione di γ

(non più disponibile per produrre una fissione)

–  subire una collisione elastica o anelastica con perdita di energia

•  È questo il processo con probabilità maggiore! •  In U naturale la sezione d’urto media è circa

quella di 238U. •  Per un neutrone di 2 MeV:

–  il numero di diffusioni prima di un’interazione distruttiva

–  probabilità di indurre una fissione:


ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59

Incident Energy (MeV)

Cro

ss S

ectio

n (b

arns

)

10-10 10-5 110-10

10-5

1

105

σ [b] 235U 238U

σtot 7.15 7.3

σfiss 1.89 0.53

σ(n,γ) 0.059 0.048

pfiss = σ fiss /σ tot

pn,γ = σ n,γ /σ tot

n = 1 / (pfiss + pn,γ )

q = pfiss / (pfiss + pn,γ )

238U σtot

σfiss

σn,γ

Ad ogni urto l’energia del n diminuisce. Quando si scende sotto la soglia di fissione di 238U, q

Numero di collisioni


•  La successione di eventi casuali che porta alla fissione o cattura è schematizzabile come segue –  La probabilità che l'interazione

avvenga alla prima collisione è –  La probabilità che l'interazione

avvenga alla seconda collisione è –  La probabilità che l'interazione

avvenga alla terza collisione è

–  E così via •  La somma delle probabilità è correttamente normalizzata

•  Il numero medio di collisioni è

?

?

?

p p

1-p 1-p

P1 = p

P2 = p 1− p( )

P3 = p 1− p( )2

Pk = p 1− p( )k−1

Pkk=1

∞

∑ = p 1− p( )k−1k=1

∞

∑ = p 1− p( )kk=0

∞

∑ = p1

1− 1− p( )= 1

k = kPkk=1

∞

∑ = p k 1− p( )k−1k=1

∞

∑ = −p∂∂p

1− p( )kk=1

∞

∑

= −p ∂∂p

1− p( )kk=0

∞

∑ = −p∂∂p1p

1kp

=

p

1-p

p = pfiss + pn,γ

ENDF Request 23291, 2015-Nov-22,11:51:20


Cro

ss S

ectio

n (b

arns

)

10-10 10-5 1

10-2

1

102

104

Sezioni d’urto

•  La situazione cambia qualitativamente per neutroni termici: –  T=25 meV, β=7×10-6

•  In U naturale –  f di 235U=0.7% –  – 

– 

–  Poiché ν≈2.4, νq>1 si può avere una reazione a catena!

–  Primo reattore di Fermi a Chicago, 1938


σ [b] 235U 238U

σtot 703 12

σfiss 589 1.7×10-5

σ(n,γ) 99 2.7

σ n,γ = 0.007× 99 b + 0.993× 2.7 b

q = σ fissσ fiss +σ n,γ

= 0.55

235U σtot

σfiss

σn,γ

•  Moderatore per termalizzare i neutroni •  Arricchimento in 235U per aumentare q

σ fiss = 0.007× 589 b = 4.1 b= 3.4 b

Nobel 1938 studio delle trasmu-tazioni indotte da n.

Interludio: massa critica

•  Abbiamo visto che un n effettua molte collisioni prima di essere catturato o indurre fissione.

•  La distanza media tra queste collisioni è il libero cammino medio:

•  Essendo questo un processo casuale, random walk, la distanza media percorsa dal n rispetto al punto di produzione è:

–  Se il blocco di combustibile ha una dimensione minore di tale distanza, i n usciranno senza aver fatto in tempo ad interagire.

–  Esiste quindi una dimensione minima Lmin che il reattore deve avere perché la reazione possa autostostenersi.

–  di conseguenza un valore minimo di volume Vmin~Lmin3, e di massa ρVmin: massa critica

–  Il valore esatto dipende da geometria, combustibile, ...


n = 1 / (pfiss + pn,γ )

λ = 1 /σ totnT

l = λ n

Rallentamento dei neutroni


•  I neutroni rallentano (perdono energia) in seguito alle collisioni con i nuclei del materiale in cui si muovono –  Quando il neutrone è veloce una causa di

rallentamento è una interazione inelastica

–  Nel bilancio energetico della reazione entra anche l’energia del livello eccitato che pertanto non è più disponibile come energia cinetica del neutrone finale

–  Questo meccanismo diventa rapidamente

inefficace quando l’energia dei neutroni diventa insufficiente per eccitare il bersaglio

•  Da questo momento in poi il meccanismo più efficace è lo scattering elastico

n + A→ A* + n

Tn = TA + EA* + ʹTn

ʹTn ≈ Tn − EA*

ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59


Cro

ss S

ectio

n (b

arns

)

10-10 10-5 110-10

10-5

1

105238U σtot

σfiss

σn,γ

Scattering elastico


•  Studiamo l’urto elastico di un neutrone su un nucleo di massa A

•  Siamo interessati a –  la distribuzione dell’energia del neutrone dopo l’urto –  l’energia media dopo l’urto –  la distribuzione dell’angolo dopo l’urto

•  Il processo è non relativistico •  Il processo è molto semplice nel sistema

di riferimento del centro di massa –  Il modulo della velocità del neutrone

è lo stesso prima e dopo l’urto –  Lo stesso vale per il nucleo

n + A → n + Av1 v2 v3 v4

mAmn

≈ A

vcm =mnv1 +mAv2mn +mA

=v1A +1

'1vnm

'2vAm

'3vnm

'4vAm

v3' = v1' v4' = v2'vi' = vi − vcm

vcm∗θ

∗θLmnv1 mnv3

mAv4 mAv2 = 0



•  I dati del problema sono la velocità del neutrone prima dell’urto e le masse

•  Calcoliamo esplicitamente la velocità del neutrone –  la velocità nel c.m. prima dell’urto è –  Sappiamo che –  Dopo l’urto, nel sistema di laboratorio, la velocità del neutrone è

•  Siamo interessati alle energie e quindi calcoliamo il quadrato della velocità dopo l’urto nel sistema di laboratorio

vcm =mnv1 +mAv2mn +mA

=v1A +1

vi' = vi − vcm

v1' = v1 −v1A +1v3' = v1'

v3 = v3' + vcm

v3( )2 = v3' + vcm( )

2= v3'( )

2+ vcm( )

2 + 2v3' ⋅ vcm

11A

A=

+v

v3( )2 =

A2

A +1( )2v12 +

1A +1( )2

v12 + 2A

A +1( )2v12 cosθ∗

E3E1

=

12mn v3( )

2

12mn v1( )

2=v3( )

2

v1( )2 =

A2

A +1( )2+

1A +1( )2

+ 2 AA +1( )2

cosθ∗



•  L’energia massima e l’energia minima corrispondono a cosθ* = ±1

•  In caso di scattering isotropo, in genere vero per energie inferiori al MeV nel c.m.

•  Il calcolo della distribuzione dell’energia nel laboratorio è:

( ) ( ) ( )

23

2 2 21

1 2 cos1 1 1

E A AE A A A

= + ++ + +

∗θ

1cost =cos 2dN

d=∗θ

dNdE3

=dN

d cosθ∗d cosθ∗

dE3

cosθ∗ = A +1( )2

2AE3E1

−A2

A +1( )2−

1A +1( )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

d cosθ∗

dE3=

A +1( )2

2A1E1

xmax =E3maxE1

= 1 xmin =E3minE1

=A −1( )2

A +1( )2

E3/E1 nel laboratorio

cosθ* nel centro di massa



•  Riepiloghiamo i risultati trovati

•  introducendo •  si ottiene:

•  Vediamo che dopo l’urto la distribuzione dell’energia del neutrone è uniforme

•  Ė immediato calcolare il valor medio

dNd cosθ∗

= cost = 12

dNdE3

=dN

d cosθ∗d cosθ∗

dE3d cosθ∗

dE3=

A +1( )2

2A1E1

dNdx

=A +1( )2

4A

x = E3E1

xmin =A − 1( )2

A +1( )2 max= 1x

x = E3E1

A +1( )2

4A

dNdx

x

x = 12xmin + xmax( ) =

12

A −1( )2

A +1( )2+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( )

2

211

AA

+=+

E3E1

=A2 +1A +1( )2



•  La formula trovata ci permette di capire quali materiali funzionano meglio per rallentare i neutroni –  dopo l’urto l’energia del neutrone è uniformemente distribuita fra

–  Se il nucleo è leggero l’intervallo è largo

•  Ad esempio idrogeno A = 1, si ha 0≤x≤1 •  In un urto il neutrone può perdere molta energia

–  Se il nucleo è pesante l’intervallo è stretto •  Ad esempio uranio A = 238, si ha 0.98≤x≤1 •  In un urto il neutrone praticamente non perde energia

•  Per rallentare i neutroni occorre utilizzare nuclei leggeri

x = E3E1

E3minE1

=A −1( )2

A +1( )2E3maxE1

= 1dNdx

1 x0

dNdx

1 x0

xmin =2372

2392= 0.98



•  Ci poniamo adesso la domanda: quante collisioni sono necessarie per raggiungere una energia termica ? –  supponiamo che il neutrone faccia

una successione di urti –  nel passo k - 1 → k lenergia varia da Ek-1 a Ek –  Il rapporto x = Ek-1/Ek è distribuito uniformemente –  I limiti della distribuzione dipendono dal nucleo (A)

•  Possiamo scrivere

•  Conviene considerare il logaritmo di questa espressione

•  Ancora una volta notiamo che x = Ek-1/Ek ha sempre la stessa distribuzione

EnE0

=EnEn−1

En−1En−2……E2

E1E1E0

=EiEi−1i=1

n

∏

ln EnE0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ln EkEk−1k=1

n

∏⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = ln

EkEk−1i=1

n

∑

k 0

1

2 k-1

k+1

n

A − 1( )2

A +1( )21 x



•  Dal momento che abbiamo molti urti e che la distribuzione di x = Ek-1/Ek è sempre la stessa possiamo scrivere

•  Utilizzando questo risultato

•  Per finire calcoliamo il valor medio del logaritmo

ln EkEk−1k=1

n

∑ ≈ n ln EfEi

lnEfEi

 Ei: energia prima dell’urto  Ef: energia dopo l’urto

=1

xmax − xminln x dx

xmin

xmax∫ = 1xmax − xminx ln x( ) −1⎛⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥xmin

xmax

lnEfEi

=A −1( )2

2Aln A +1

A −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −1

xmax = 1

xmin =A −1( )2

A +1( )2ln En

E0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = n ln

EfEi

n =ln En

E0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln EfEi

Moderatori


•  Le formule appena trovate permettono di confrontare i vari materiali per il loro uso come moderatori.

•  Ad esempio per “raffreddare” da 2 MeV a 0.02 eV un neutrone

–  idrogeno H: A = 1

–  deuterio 2H: A = 2

–  grafite: 12C: A = 12

n =ln En

E0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln EfEi

lnEfEi

=A −1( )2

2Aln A +1A −1

−1

lnEfEi

= −1 n = − ln 0.022 ×106⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 18

lnEfEi

= −0.72 n = − 10.72

ln 0.022 ×106⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 25

lnEfEi

= −0.16 n = −10.16

ln 0.022 ×106⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 115

Moderatori


•  Per concludere il discorso sui moderatori occorre tenere conto del fatto che molte collisioni aumentano la probabilità di cattura del neutrone –  i materiali devono anche essere confrontati sulla base

delle loro sezioni d’urto elastiche e di assorbimento –  la probabilità di assorbimento in una collisione è p

–  la probabilità di sopravvivenza dopo n collisioni è δ –  Ricordiamo che δ è un limite inferiore:

ulteriori urti mentre il neutrone si muove dopo la termalizzazione

Moderatore σel σnγ p n δ 1H2O 44.8 0.66 1.5×10

-2 18 0.76 2H2O 10.4 1.0×10-3 9.6×10-5 25 0.998

12C 4.7 4.5×10-3 9.6×10-4 115 0.895

p =σ nγσ el

δ = 1− p( )n

Il controllo della catena

•  Possiamo descrivere l’evoluzione del numero di neutroni:

•  La soluzione è: –  νq1: supercritico

•  Si possono combinare combustibile e moderatori per ottenere νq=1 •  Qualunque variazione allontana dall’equilibrio

–  controllo di q tramite barre di materiale in grado di catturare n •  I tempi della reazione τ~10-6 s

–  troppo veloci per un sistema meccanico –  I neutroni ritardati permettono di rallentare

i tempi di risposta.


N t( ) = N 0( )exp νq −1( )tτ

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

dNdt

= N t( )1τνq −1( )

τ ≈λβ=

1βnTσ

Neutroni ritardati


•  L’elemento chiave che si utilizza per il controllo dei reattori sono i neutroni ritardati –  alcuni dei prodotti di fissione decadono

a loro volta in stati molto eccitati che a loro volta decadono emettendo neutroni

•  ad esempio il 87Br con un tempo di dimezzamento di 55 s

–  Nel caso di 235U i neutroni ritardati sono circa una frazione νd = 0.0075

•  Se si calcolano i tempi di reazione del reattore in condizione critica tenendo conto dei neutroni ritardati si scopre che la scala dei tempi è fortemente influenzata dalla vita media 87Br (o simili)

•  In questo modo si rende il reattore “più lento” –  compatibile con i tempi di movimento meccanico delle barre

Cinetica del reattore: neutroni ritardati


•  All’istante di tempo t il numero di neutroni (ritardati) che provengono dal 87Br (o simili) è dato da:

–  il numero presente a t1 per la probabilità che sia sopravvissuto νd ×n1×p1 –  il numero presente a t2 per la probabilità che sia sopravvissuto νd ×n2 ×p2 –  il numero presente a tk per la probabilità che sia sopravvissuto νd ×nk×pk –  e così via …

•  La probabilità di sopravvivenza è

•  Al limite del continuo,la somma diventa un integrale:

t1 t2 … tk tn t

νdn t1( ) p t − t1( )

νdλβ n x( )exp −λβ t − x( )[ ]dx−∞t∫

≡ exp −λβt[ ]λβdtp t( ) = e−tτβ dtτβ

+νdn t2( ) p t − t2( ) +!+νdn tk( ) p t − tk( )



•  Pertanto al tempo t i neutroni ritardati sono

•  l’equazione dell’evoluzione temporale del numero dei neutroni:

•  Questa equazione si risolve molto semplice-

mente utilizzando la Trasformata di Laplace •  Le proprietà che ci sevono sono

νdλβ n x( )exp −λβ t − x( )[ ]dx−∞t∫

dn = n t( ) νq −1( )λdtdndt

= n t( ) νq −1( )λ +νdqλλβ n x( )e−λβ t−x( ) dx

−∞

t∫

probabilità di assorbimento convoluzione

n t( ) ⇔ !n s( ) = n t( )e−st dt0∞∫

dn t( )dt

⇔ s !n s( ) − n 0( )

f x( )g t − x( )dx−∞

+∞∫ ⇔ !f s( ) !g s( )

exp −λβt[ ] ⇔1

s + λβ



•  Applichiamo la Trasformata di Laplace

•  L’incognita è ñ(s) –  L’equazione integrodifferenziale è diventata un’equazione algebrica

•  la condizione iniziale è introdotta automaticamente •  La soluzione è

•  A quale funzione n(t) corrisponde ? –  si potrebbe calcolare l’antitrasformata

•  In questo caso conviene utilizzare un metodo semplice ma istruttivo

dndt

= n t( ) νq −1( )λ +νdqλλβ n x( )e−λβ t−x( ) dx

−∞

t∫

s !n s( ) − n 0( )s !n s( ) − n 0( ) = !n s( ) νq −1( )λs !n s( ) − n 0( ) = !n s( ) νq −1( )λ +νdqλλβ !n s( )1

s + λβ

!n s( ) = n 0( )s + λβ

s2 + s λβ − νq −1( )λ[ ] − νq +νdq −1( )λλβ



•  osserviamo che q è un parametro (noto) e tutte le altre costanti sono note

•  Il denominatore è un polinomio di secondo grado –  ha due zeri

•  La funzione razionale può essere espressa come somma di due funzioni più semplici

•  Le costanti A e B si determinano da:

•  Confrontando con l’espressione originale

!n s( ) = n 0( )s + λβ

s2 + s λβ − νq −1( )λ[ ] − νq +νdq −1( )λλβ

s± =− λβ − νq −1( )λ[ ] ± λβ − νq −1( )λ[ ]

2 + 4 νq +νdq −1( )λλβ2

!n s( )n 0( )

=A

s − s++

Bs − s−

!n s( )n 0( )

=A + B( )s − As− − Bs+s − s+( ) s − s−( )

A + B = 1s−A + s+B = −λβ

⎧⎨⎪

⎩⎪



•  Ricordiamo adesso una delle proprietà della Trasformata di Laplace

•  Confrontiamo con la soluzione trovata

•  Le costanti A e B sono semplicemente

•  Ricordando gli esponenziali:

•  s- è un esponenziale decrescente, e non influenza la reazione •  s+ può essere positivo: da tenere sotto controllo:

–  costante di tempo 1/λb invece che 1/λ

exp −λβt[ ] ⇔1

s + λβ

n t( )n 0( )

= Aes+t + Bes−t!n s( )n 0( )

=A

s − s++

Bs − s−

A + B = 1s−A + s+B = −λβ

⎧⎨⎪

⎩⎪A =

s+ + λβs+ − s−

B = −s− + λβs+ − s−

s± = λβ− 1− νq −1( )α[ ] ± 1− νq −1( )α[ ]2 + 4 νq +νdq −1( )α

2α =

λλβ

Neutroni ritardati: soluzione

•  È evidente che la soluzione stazionaria è

•  Nei d’intorni di questo valore:

•  Se νq>1, anche di poco e: (ritroviamo il caso di espansione con scala di tempi λ)


ν = 2.47νd = 0.0075

α = λ / λβ ≈ 105s+ = λβ

− 1− νq −1( )α[ ] + 1− νq −1( )α[ ]2 + 4 νq +νdq −1( )α2

s+ = 0→ q =1

ν +νd= 0.4036

νq −1 = −νdq = −3×10−3 νq −1( )α ≈ −3×102

s+ ≈ λβ1− νq −1( )α[ ]

2−1+ 1+ 4 νq +νdq −1( )α

1− νq −1( )α[ ]2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≈ λβ

1− νq −1( )α[ ]2

−1+1+ 124 νq +νdq −1( )α1− νq −1( )α[ ]2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= λβ4 νq +νdq −1( )α1− νq −1( )α[ ]

≈ λβνq +νdq −1( )α− νq −1( )α

≈ λβνq +νdq −1( )− νq −1( )

s+ ≈ λβ 1− νq −1( )α[ ] ≈ λβ νq −1( )α

s+ ≈ λ νq −1( )

Sicurezza del reattore


•  Una caratteristica molto importante dei reattori è la variazione del parametro k = νq con la quantità del materiale refrigeratore –  Cosa succede se avviene una perdita nel moderatore/refrigerazione ?

•  Il risultato è la combinazione di due effetti –  se la quantità di moderatore diminuisce

•  l’energia dei neutroni è più alta •  i neutroni rilasciano un’energia maggiore •  la temperatura aumenta

–  d’altro canto se l’energia dei neutroni è più alta •  la probabilità di fissione diminuisce •  la potenza del reattore diminuisce •  la temperatura diminuisce

•  Il reattore è sicuro se il secondo effetto prevale sul primo dkdT

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Lezione 8 - unimi.it · 2015. 11. 24. · Fusione nucleare • Abbiamo già accennato alla fusione...

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