Abilità Informatiche

Ingegneria Chimica

Lezione 23 del 9/5/2012

Prof. Antonino Stelitano

Docente Antonino

Stelitano

Tutor

Lezioni Lunedì

Mercoledì

14:00 – 17:30 aula 16

15:45 – 19:00 aula 17

Lab. Paolo Ercoli – via Tiburtina 205

Ricevimento: Per

appuntamento

antonino.stelitano@uniroma1.it

stelitano.a@libero.it

Sito web: http://w3.uniroma1.it/ab_informatiche

Introduzione a Matlab

Che cosa è Matlab

Matlab è

• un linguaggio di programmazione

• un ambiente di calcolo scientifico con routines altamente specializzate

• un ambiente grafico

Argomenti trattati

• Matlab come calcolatrice

• Inserire comandi, vettori, matrici

• Operazioni su vettori

• Cicli

• File .m e functions

• Grafici

Matlab come calcolatrice Per usare Matlab come calcolatrice, inserisco i comandi dopo il >>.

Per esempio:

>> 2+1

ans =

3

Oppure: >> log(4)

ans =

1.3863

Matlab normalmente stampa solo le prime 4 cifre decimali,

ma in realta’ne memorizza molte di piu’. Per vederle tutte:

>> format long

>> log(4)

ans =

1.38629436111989

Help online

Matlab ha un ricco help online. Per accedere alle informazioni, basta

digitare help nella finestra dei comandi:

>> help

HELP topics:

matlab\general - General purpose commands.

matlab\ops - Operators and special characters.

matlab\lang - Programming language constructs.

matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation.

matlab\elfun - Elementary math functions.

matlab\specfun - Specialized math functions.

matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra.

… etc.

Per avere informazioni su una particolare function, per esempio,

eye:

>> help eye

EYE Identity matrix.

EYE(N) is the N-by-N identity matrix.

EYE(M,N) or EYE([M,N]) is an M-by-N matrix with 1's on

the diagonal and zeros elsewhere.

EYE(SIZE(A)) is the same size as A.

See also ONES, ZEROS, RAND, RANDN.

Per cercare informazioni su un particolare argomento, si usa il

comando lookfor (look for = cerca)

>> lookfor logarithm

LOGSPACE Logarithmically spaced vector.

LOG Natural logarithm.

LOG10 Common (base 10) logarithm.

LOG2 Base 2 logarithm and dissect floating point number.

BETALN Logarithm of beta function.

GAMMALN Logarithm of gamma function.

LOGM Matrix logarithm.

L’output di lookfor contiene i nomi di tutte le functions che

presentano la parola “logarithm”nel loro help.

Inserire comandi, vettori e matrici

Per inserire comandi, basta digitare il comando al prompt

per esempio:

>> pi

ans =

3.1416

Matlab crea una variabile ans a cui assegna il valore

richiesto (in questo caso pi greco). Anche qui:

>> format long

>> pi

ans =

3.14159265358979

Per inserire matrici, si usano parentesi quadre:

il comando:

>> a=[2, 3; 1, 2]

produce in output:

a =

2 3

1 2

Notare che non c’è nessun bisogno di dimensionare la matrice:

Matlab infatti attribuisce automaticamente la memoria richiesta.

Attenzione!

Matlab automaticamente stampa l’output di ogni comando: per

eliminare questa risposta è necessario terminare il comando con

un ;

Questo comando, per esempio, non produce nessun output:

>> a=[2, 3; 1, 2];

E’ possibile costruire matrici automaticamente:

>> a=zeros(2)

a =

0 0

0 0

crea una matrice 2 per 2 di zeri, mentre:

>> a=zeros(2,3)

a =

0 0 0

0 0 0

crea una matrice 2 per 3.

N.B. Le functions di Matlab (come zeros) possono accettare un

numero variabile di elementi in input.

Analogamente funzionano le functions ones (che genera matrici

di 1), rand (che genera matrici di numeri casuali), eye (che

genera le matrici identità).

Column notation

Il carattere : indica un ciclo implicito, che si usa per creare

vettori:

>> x=1:5

x =

1 2 3 4 5

Si può introdurre anche un incremento non intero:

>> x=1:.1:2

x =

Columns 1 through 8

1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000

Columns 9 through 11

1.8000 1.9000 2.0000

Operazioni su vettori Matlab esegue automaticamente le operazioni algebriche sulle

matrici:

>> a=ones(2,3);

>> b=ones(2,3);

>> a+b

ans =

2 2 2

2 2 2

o anche: >> a=2*eye(2)

a =

2 0

0 2

Naturalmente, le operazioni richieste devono essere ben definite:

>> a*b

??? Error using ==> *

Inner matrix dimensions must agree.

Perché il prodotto fra matrici è definito solo quando il numero di colonne

della prima matrice e il numero di righe della seconda coincidono.

Posso invece moltiplicare a per la trasposta di b. Per calcolare la trasposta:

>> b'

ans =

1 1

1 1

1 1

ora il prodotto è ben definito:

>> a*b'

ans =

3 3

3 3

Si possono calcolare funzioni di matrici:

>> a=zeros(1,2)

a =

0 0

>> b=cos(a)

b =

1 1

Con questo sistema è possibile calcolare in modo vettoriale i

valori di una funzione:

>> x=1:0.1:2;

>> fx=cos(3*x)+2;

Per calcolare un prodotto, una potenza o un quoziente, Matlab

distingue due operatori diversi. Nel caso del prodotto per esempio:

* denota il prodotto fra due matrici

.* denota il prodotto fra le singole componenti

La stessa distinzione vale per / (quoziente) e ^ (potenza)

Esempio

>> x=1:0.1:2;

>> fx=cos(3*x)*exp(x);

??? Error using ==> *

Inner matrix dimensions must agree.

Il comando corretto è:

>> fx=cos(3*x).*exp(x);

Un altro esempio:

>> x=ones(2,2);

>> x^2

ans =

2 2

2 2

>> x.^2

ans =

1 1

1 1

Infatti X^2 indica il prodotto della matrice X con sé stessa,

che è definito solo per matrice quadrate, cioè X^2 = X*X,

mentre A=X.^2 indica la matrice con elementi

A i,j = ( X i,j ) 2 .

Operatori relazionali

Gli operatori relazionali più comuni sono:

== uguale

~= diverso da

< minore di

<= minore o uguale etc.

Esempi:

>> x=2;

>> x==0

ans =

0

>> x==2

ans =

1

(questa relazione e’falsa:)

=> ans=0

(questa relazione è vera:)

=> ans=1

Gli operatori relazionali possono essere applicati anche alle

matrici:

>> a=[1 2; 0 -1];

>> a>0 (qui i primi due elementi sono veri)

ans =

1 1

0 0

>> a>=0 (qui i primi tre elementi sono veri)

ans =

1 1

1 0

Operatori logici

Gli operatori logici più comuni sono:

& and logico

| or logico

~ not logico

Esempi:

>> x=1; y= -1;

>> x>0 & y>0 (questa relazione è falsa)

ans =

0

>> x>0 | y>0 (questa relazione è vera)

ans =

1

Ciclo if … elseif …end

Il ciclo basato su if ha la struttura:

if espressione

istruzioni

end

Esempio:

>> a=[1,4];

>> if a>0

sqrt(a)

end

ans =

1 2

Le istruzioni vengono eseguite solo se

espressione è vera, cioè se espressione

è diversa da zero.

>> if cos(2)

display('ciao')

end

Esempio:

Un esempio piu’ complicato:

if x=='domenica' | x=='sabato '

display('Evviva!')

elseif x=='venerdi '

display('Torno a casa')

else

display('Vado al Dipartimento')

end

Se imposto:

ans =

Evviva!

>> x='sabato '

ottengo:

In questo esempio, x deve

sempre essere impostato

come variabile di 8

caratteri

Ciclo for … end

Il ciclo for ha la struttura:

for variabile = espressione

istruzioni

end

Di solito espressione è un vettore:

>> s=0;

>> for i=1:10

s=s+i;

end

>> s

s =

55

calcola la somma dei primi 10 numeri

interi

I cicli for possono essere uno dentro l’altro:

>> n=4;

>> for i=1:n

for j=1:i

a(i,j) = 1;

end

end

Crea una matrice triangolare inferiore:

>> a

a =

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

Non sempre i cicli hanno indici interi.

Per esempio:

>> for x=[pi, 51, -72.1]

display(x)

end

in output produce questo risultato:

x =

3.14159265358979

x =

51

x =

-72.1

Ciclo while … end

Il ciclo while ha la seguente struttura

while espressione

istruzioni

end

Esempio

>> i=1;

>> while i<5

i=i+1;

end

>> i

i =

5

Calcolare la precisione di macchina

• Devo calcolare un numero x=2^p tale che x=x+1

• .

%Calcola la precisione di macchina

p = 0;

epsilon=1;

while 1~=1+epsilon

epsilon = epsilon/2;

p = p+1;

end

epsilon=epsilon*2, p=p-1

N.B. Il ciclo viene eseguito una volta di troppo, per questo nell’ultima

riga il valore di epsilon viene corretto

Eseguendo il programma precedente, troviamo:

epsilon =

2.2204e-016

p =

52

Questo è lo stesso valore contenuto nella variabile intrinseca

eps, che contiene appunto la precisione di macchina:

>> eps

ans =

2.2204e-016

Calcolare il piu’ piccolo numero floating point della forma x=2^p

• Devo trovare un numero della forma x=2^p tale che x sia considerato 0.

•

% Calcola il piu' piccolo numero floating point della

% forma xmin=2^p

x=1;

while x>0

xmin = x;

x=x/2;

end

xmin

Risultati:

Il piu’ piccolo numero floating point è

>> xmin

xmin =

4.9407e-324

Notare che se dimezzo xmin, trovo:

>> xmin/2

ans =

0

Il più grande numero floating point

Il più grande numero floating point della forma 2^p è

>> xmax

xmax =

8.9885e+307

Se raddoppio xmax, trovo

>> xmax*2

ans =

Inf

File .m e functions

• Un file .m (M-file) è un programma riconoscibile da Matlab. La scrittura di files .m permette di:

• Sperimentare con un algoritmo, senza dover reintrodurre una lunga lista di comandi

• Ottenere una documentazione permanente per un lavoro

• Ottenere programmi che possono essere riutilizzati, per esempio cambiando solo i dati

• Scambiare programmi con altri utenti

Struttura di un file .m

• Script M-files: sono files di comandi. Non hanno variabili in entrata e in uscita e operano sulle variabili del workspace

• function M-files: sono files di comandi, che hanno argomenti in entrata e in uscita. Le variabili interne a questi programmi non influenzano le variabili del workspace

I files .m sono di due tipi:

Commenti

• Sia gli scripts che le functions devono contenere righe di commento.

• I commenti sono segnalati da %: Matlab ignora tutti i caratteri di una riga dopo il %

• Le prime righe di commento di uno script o di una function diventano parte dello help online

Esempio: file radice.m

% Questo file calcola la radice degli elementi di

% una matrice a, se a>0, altrimenti da' un messaggio di errore

if a>=0

a=sqrt(a)

else

display('errore')

end

Attenzione: nel workspace deve essere stata definita una

variabile a. Inoltre l’esecuzione di questo script modifica il

contenuto della variabile a

Function M-files

Esempio

function a=radfunz(x)

% RADFUNZ(X) calcola la radice degli elementi di X

% se X>=0, altrimenti stampa un messaggio di errore

%

if x>=0

a=sqrt(x)

else

display('errore')

end

Questo file deve essere salvato come radfunz.m

Struttura di una function

• La function inizia con una riga che ne specifica il nome (nell’esempio radfunz), le variabili di input e le variabili di output.

• La function deve essere salvata in un file con lo stesso nome (nell’esempio radfunz.m)

• I commenti dopo la prima riga faranno parte dello help on-line

• Seguono le istruzioni con eventuali altri commenti

Un altro esempio: function [xmin,xmax]=minmax(a)

%MINMAX(A,M,N) calcola l'elemento minimo, XMIN, e l’elemento

% massimo, XMAX della matrice A.

xmin=Inf; xmax=-Inf;

% ricava le dimensioni della matrice A:

[m,n] = size(a);

for i=1:m

for j=1:n

if a(i,j) > xmax

xmax = a(i,j);

end

if a(i,j) < xmin

xmin = a(i,j);

end

end

end

function [out1,out2,…]=funz(in1,in2,….)

• Gli argomenti in output vanno a sinistra dell’ =, fra [ ]

• Gli argomenti in input vanno a destra dell’ = , fra ( )

• Posso usare un numero di argomenti minore di quello indicato nella definizione della function, sia in entrata che in uscita.

• Per esempio: a=funz(b), assegna a “in1” il valore “b”, e ad “a” il valore “out1”

La function precedente ha la seguente struttura

Grafici

• Preparare un vettore di ascisse

• Preparare un vettore di ordinate

• Fare il grafico

• Esempio: grafico di cos(4x)*exp(x), su [0,2]

Per ottenere il grafico di una funzione, devo:

>> x=0:0.01:2;

>> f=cos(4*x).*exp(x);

>> plot(x,f)

Esercizio

Scrivere una function che calcoli la funzione esponenziale,

utilizzando i primi N termini della serie di Taylor.

Valutare l’ errore per x fissato, utilizzando come confronto la

funzione exp di Matlab, e disegnare un grafico dell’ errore in

funzione di N.

La function che calcola l’esponenziale può essere scritta come:

function ex=esponenziale(n,x)

% EX=ESPONENZIALE(N;X) Calcola l'esponenziale di e^x

% utilizzando i primi N termini dello sviluppo in serie

% dell'esponenziale

ex=1;

for k=1:n

den=factorial(k);

ex=ex+x.^k/den;

end

Mentre la function che calcola l’ errore può essere scritta così:

function err=errore_exp(n,x)

% ERR=ERRORE_EXP(N,X) Disegna un grafico dell'errore fra

% la formula di Taylor calcolata per i primi K termini,

% per k=1:N, per l' esponenziale e il

% risultato fornito dalla function EXP

% ERR(K) contiene il l'errore commesso con i primi K

% termini K=1,...,N.

for k=1:n

err(k)=abs(exp(x)-esponenziale(k,x));

end

semilogy(err)

Si nota che l’ errore diminuisce rapidamente, se aumento N:

Tuttavia, per valori di N più elevati, l’ errore non diminuisce più,

perché si è a livello dell’ errore di macchina.

Esempio. Grafico di una circonferenza

>> t=0:0.01:2*pi;

>> x=cos(t);

>> y=sin(t);

>> plot(x,y,'g+')

>> axis equal

Calcolo della norma 2 di una matrice 2 X 2

function c=norma(a)

%NORMA(A) fornisce una stima della norma 2 di una matrice 2

per 2

%costruisce il cerchio unitario e ne stampa il grafico:

t=0:0.05:2*pi;

x=cos(t);

y=sin(t);

plot(x,y)

axis equal

hold on

%calcola a*[x;y] e stampa il grafico di ogni punto

c=0;

for i=1:length(t)

b=a*[x(i); y(i)];

plot(b(1),b(2),'g+')

nb = sqrt( b(1)^2 +b(2)^2 );

if nb>c

c=nb;

end

end

…il listato continua ...

Esempio di cancellazione numerica

Calcolare (1-x)^6 con le due formule:

y1 = (1-x)^6

y2 = 1-6x +15x^2 -20x^3 +15x^4 -6x^5 +x^6

e confrontare y1 e y2 in un intorno di uno

Esempio di cancellazione numerica

%Calcola (1-x)^6 con le due formule:

%y1 = (1-x)^6

%y2 = 1-6x +15x^2 -20x^3 +15x^4 -6x^5 +x^6

%e confronta y1 e y2 in un intorno di uno

%

k = 0

for delta = [0.1, 0.01, 0.005, 0.0025]

h = delta/100;

x = 1-delta:h:1+delta;

y1 = (1-x).^6;

y2 = 1 -6*x +15*x.^2 -20*x.^3 +15*x.^4 -6*x.^5 + x.^6;

k = k+1;

subplot(2,2,k)

plot(x,y1)

hold

plot(x,y2,'g')

axis([1-delta 1+delta -max(abs(y2)) max(abs(y2)) ])

end

L’output dello script precedente è:

Istruzione subplot

L’istruzione subplot(M,N,K) crea una figura contenente

M*N

grafici, distribuiti su M righe ed N colonne.

L’indice K indica che le istruzioni seguenti si riferiscono al

K-esimo grafico, con K che varia fra 1 e M*N

Esercizi

1) Scrivere una function cha calcoli il valor medio di una

sequenza di numeri assegnati.

2) Scrivere una function che produca una matrice quadrata di zeri,

con degli 1 sulla diagonale che scende da destra verso sinistra.

3) Scrivere una function che disegni un rettangolo, centrato

sull’origine, con i lati assegnati in input.

4) Scrivere una function che disegni l’effetto di una matrice 2 X 2

assegnata, sul segmento S: 0;21 yxS