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Lezione 10 (29 novembre) RIPASSO

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Lezione 10 (29 novembre)

RIPASSO

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Ripasso lezione precedente

Ogni qual volta si calcola il limite lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

con 𝑥0 ∈ 𝑅 oppure 𝑥0 = ±∞, si possono verificare tre casi:

• il limite esiste ed è finito

• il limite esiste ed è ±∞

• il limite non esiste

(le forme indeterminate non sono il risultato di un limite)

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Funzioni continue

Definizione: Una funzione 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 è continua in 𝑥0 ∈ 𝐷 se

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0)

ovvero, se il limite esiste ed è uguale a 𝑓(𝑥0).

Se una funzione è continua ∀𝑥0 ∈ 𝐷 allora è detta continua.

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Esempio 1

Si consideri la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝐷 = 𝑅

lim𝑥→𝑥0

𝑥2 = 𝑥02

𝑓 𝑥0 = 𝑥02

Quindi lim𝑥→𝑥0

𝑥2 = 𝑥02 = 𝑓(𝑥0) ∀𝑥0 ∈ 𝑅

e la funzione è continua su tutto il suo dominio.

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Esempio 2

Si consideri la funzione: 𝑓 𝑥 = ቐ𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 < 01 𝑠𝑒 𝑥 = 0

𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > 0

• lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 0 perché lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = 0

• 𝑓 0 = 1

Quindi lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 0 ≠ 𝑓 0 = 1 e la funzione non è

continua in 𝑥0 = 0.

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Esempio 3

Si consideri la funzione 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 + 2, 𝑥 < 03𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 0

lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = ∄ perché i due limiti

lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

(3𝑥 + 1) = 1 e lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

(𝑥 + 2) = 2

sono diversi.

Poiché il limite non esiste la funzione non è continua in 𝑥0 = 0.

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Funzioni continue

• Le funzioni polinomiali, le potenze, le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni trigonometriche sono continue nel loro insieme di definizione.

• Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) due funzioni continue definite su un dominio comune, allora

𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥con 𝑔 𝑥 ≠ 0,

sono continue.

• La composizione di funzioni continue è continua.

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Esercizio

Calcolare i limiti della seguente funzione agli estremi del dominio e stabilire se è continua nel suo dominio. Inserire le informazioni nel grafico.

𝑓 𝑥 = ቐ1

𝑥 − 3𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3

2 𝑠𝑒 𝑥 = 3

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Derivate• Rapporto incrementale

• Definizione di derivata

• Significato geometrico

• Formule di derivazione

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Rapporto incrementale

Sia 𝑓(𝑥) una funzione definita in 𝐼 ⊆ 𝑅 e si consideri il passaggio da 𝑥0 ∈ 𝐼 a 𝑥0 + ℎ ∈ 𝐼. La retta secante nei punti (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) e (𝑥0 + ℎ, 𝑓 𝑥0 + ℎ ) ha

equazione: 𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0),

𝑚 =𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ=

Δ𝑓

Δ𝑥

con Δ𝑥 = 𝑥0 + ℎ − 𝑥0. Δ𝑓

Δ𝑥si chiama rapporto incrementale

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Derivata di una funzione, significato geometrico

Data una funzione 𝑓(𝑥) continua in 𝑥0 , la derivata è il limite

limℎ→0

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎse tale limite esiste ed è finito.

• La derivata di 𝑓(𝑥) in 𝑥0 si indica con 𝑓′ 𝑥0 ,𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥0) oppure 𝐷𝑓(𝑥0).

• La derivata di una funzione in un punto 𝑥0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto(𝑥0, 𝑓(𝑥0)).

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Derivata di una funzione, significato geometrico

• Definizione equivalente:

Posto 𝑥 = 𝑥0 + ℎ, si dice derivata di 𝑓 𝑥 in 𝑥0 il limite

𝑓′ 𝑥0 = lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

se tale limite esiste ed è finito.

• Equazione della retta tangente al grafico della funzione 𝑓(𝑥) nel punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)):

𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

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Esempio 1: applicazione della definizione

• Sia 𝑓 𝑥 = 𝑥2 definita su 𝑅, calcolare, se esiste, 𝑓′(𝑥0) con 𝑥0 ∈ 𝑅.

limℎ→0

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎ= lim

ℎ→0

𝑥0 + ℎ 2 − 𝑥02

ℎ= lim

ℎ→0

𝑥02 + 2ℎ𝑥0 + ℎ2 − 𝑥0

2

ℎ=

= limℎ→0

2ℎ𝑥0 + ℎ2

ℎ= lim

ℎ→0(2𝑥0 + ℎ) = 2𝑥0

Quindi 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥.

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Esempio 2: applicazione della definizione

• Calcolare, se esiste, la derivata di 𝑓 𝑥 = |𝑥| in 𝑥0 = 0.

limℎ→0

0 + ℎ − |0|

ℎ= lim

ℎ→0

𝑓′+ 0 = limℎ→0+

ℎ= lim

ℎ→0+1 = 1 mentre 𝑓′− 0 = lim

ℎ→0−

−ℎ

ℎ= lim

ℎ→0+− 1 = −1

quindi il limite non esiste e di conseguenza nemmeno la derivata in 𝑥0 = 0. Si dice perciò che la funzione non è derivabile in 0. Il risultato è in accordo col fatto che la retta tangente in quel punto non è ben definita.

Negli altri punti (𝑥0 ≠ 0) qual è la retta tangente?

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Esempio 3: applicazione della definizione

• Sia 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥1

2, con 𝑥 ∈ [0, +∞)

Calcolare, se esiste, 𝑓′+(0).

limℎ→0+

𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)

ℎ= lim

ℎ→0+

0 + ℎ − 0

ℎ= lim

ℎ→0+

ℎ= lim

ℎ→0+

1

ℎ= +∞

La derivata non esiste perché il limite è +∞ e infatti la retta tangente è verticale.

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Alcuni teoremi

• Se una funzione è derivabile nel punto 𝑥0, allora è continua in tale punto. (Questo vuol dire che se la funzione non è continua in un punto non può essere nemmeno derivabile in tale punto).

• Se una funzione è continua in 𝑥0, non è detto che sia derivabile in quel punto.

𝑃1: flesso a tangente verticale

𝑃2: cuspide

𝑃3: punto angoloso

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Regole di derivazione

• Derivata della somma:𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥

′= 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)

• Derivata del prodotto:𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥

′= 𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)

• Derivata del prodotto per una costante:𝑐 ⋅ 𝑓 𝑥

′= 𝑐 ⋅ 𝑓′(𝑥)

• Derivata del rapporto:𝑓 𝑥

𝑔 𝑥

=𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)

𝑔 𝑥2

• Derivata della funzione composta:

𝑓 𝑔 𝑥′

= 𝑓′ 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)

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Derivate elementari

• 𝑥𝛼 ′ = 𝛼𝑥𝛼−1

• 𝑒𝑥 ′ = 𝑒𝑥

• 𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑥 ⋅ ln 𝑎

• sin 𝑥 ′ = cos 𝑥

• cos 𝑥 ′ = − sin 𝑥

• (ln 𝑥)′ =1

𝑥

• log𝑎 𝑥 ′ =1

𝑥⋅ln 𝑎

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Derivata di funzioni composte

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥

= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

Esempi:𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥

𝛼= 𝑓 𝑥

𝛼 ′= 𝛼 𝑓 𝑥

𝛼−1𝑓′(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒𝑓 𝑥 ′

= 𝑒𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥cos 𝑓 𝑥 = cos 𝑓 𝑥

′= −sin 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥sin 𝑓 𝑥 = sin 𝑓 𝑥

′= cos 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑥

′=

1

𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥)

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Esempi

• 𝑓 𝑥 = 4 𝑥3 = 4𝑥3

2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 4 ⋅3

2𝑥

3

2−1 = 6𝑥

1

2 = 6 𝑥

• 𝑓 𝑥 = 5𝑥4 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 5 ⋅ 4𝑥3= 20𝑥3

• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 ⋅ sin 𝑥

𝑓′ 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 ′ ⋅ sin 𝑥 + 𝑥3 + 2𝑥 ⋅ sin 𝑥 ′ = 3𝑥2 + 2 ⋅ sin 𝑥 + 𝑥3 + 2𝑥 ⋅ cos 𝑥

• 𝑓 𝑥 =𝑒𝑥

3 ln 𝑥⇒ 𝑓′ 𝑥 =

𝑒𝑥 ′⋅(3 ln 𝑥)−𝑒𝑥⋅ 3 ln 𝑥 ′

3 ln 𝑥 2 =𝑒𝑥⋅3 ln 𝑥−𝑒𝑥⋅3

1

𝑥

3 ln 𝑥 2

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Esempi

• 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥2⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥2

2𝑥

• 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥3+1 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥3+1(3𝑥2)

• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥1

2

⇒ 𝑓′ 𝑥 =1

2𝑥3 − 2𝑥

1

2−1(3𝑥2 − 2)

• 𝑓 𝑥 = cos(𝑥3 − 2𝑥)

⇒ 𝑓′ 𝑥 = −sin 𝑥3 − 2𝑥 3𝑥2 − 2