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Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 26 Pagina 1

Lez.26 La macchina asincrona


La macchina asincrona (a induzione) è utilizzata sia come generatore

che come motore. Quest’ultima è l’applicazione più diffusa.

Esistono macchine asincrone trifasi e monofasi. Le macchine trifasi

raggiungono potenze del MW. Le macchine monofase sono utilizzate per

potenze da pochi watt a qualche centinaio di watt.

Il principio di funzionamento si basa sulla creazione di un campo

magnetico rotante al traferro. La macchina si chiama asincrona perché

la sua velocità non è legata rigidamente alla velocità del campo.

Lo statore è laminato e presenta lungo la superficie affacciata al

traferro le cave, ossia alloggiamenti dove sono disposti gli avvolgimenti

induttori.


Sul rotore è realizzato l’indotto, costituito o da avvolgimenti analoghi

a quelli di statore o realizzato a gabbia di scoiattolo, con singole barre

saldate in cortocircuito su anelli di testata. Anche il rotore è laminato.

Il traferro varia da qualche decimo di millimetro a qualche millimetro.

anello di testata

barra di rotore

testata

nucleo statorico

avvolgimento

cave


Il campo rotante

Consideriamo una sezione di macchina e individuiamo su essa una spira

avvolta sullo statore e percorsa da corrente 𝑖 Andata e ritorno della

spira distano un semipasso polare 𝜏 e sono disposte simmetricamente

rispetto all’asse AA’.

A

A’

O

B

S

N

𝛽


Nasce un campo B0 al traferro. Linearizziamo la macchina tagliandola

lungo OA’ e valutiamo B0.

\

∮𝑯 ∙ 𝒕 𝑑𝑙 = 𝑖 𝐻02𝛿 = 𝑖 𝐵0 =𝜇0𝑖

2𝛿

A

B0 B0

statore

rotore

traferro

𝐵0 =𝜇0𝑖

2𝛿


Si crea una coppia N-S magnetica. La distribuzione di induzione al

traferro è rettangolare. Può essere scomposta in serie di Fourier.

Scegliendo la sola armonica fondamentale: 𝐵0 =𝜇0𝑖

2𝛿cos 𝛽, di periodo 2𝜏,

se l’avvolgimento è costituito da N conduttori concentrati, si ha:

𝐵0 =𝜇0𝑁𝑖

2𝛿𝑐𝑜𝑠 𝛽

Se l’avvolgimento è costituito da N conduttori distribuiti:

𝐵0 =𝜇0𝑁𝑖

2𝛿𝑘𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝛽

𝐵0 =𝜇0𝑖

2𝛿


Il termine 𝑘𝜔 è detto fattore di avvolgimento (di Blondel) e tiene conto

del fatto che il campo massimo non è la somma dei campi massimi

prodotti da ogni spira in quanto le distribuzioni di campo prodotte dalle

spire sono sfasate tra loro nello spazio.

𝜇0𝑖

2𝛿

𝜇0𝑁𝑖

2𝛿𝑘𝜔

𝐵0


Se la corrente 𝑖(𝑡) = √2𝐼𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) varia con legge sinusoidale nel tempo,

il campo 𝐵0 al traferro varia sia in funzione di 𝛽 che di 𝑡:

𝐵0(𝑡, 𝛽) =𝜇0𝑁√2𝐼

2𝛿𝑘𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝛽) = 𝐵𝑀𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝛽)

Fissata la posizione di osservazione �̅�, il campo magnetico appare come

un campo pulsante, che varia con legge sinusoidale nel tempo tra i valori

+𝐵𝑀𝑐𝑜𝑠(�̅�) e −𝐵𝑀𝑐𝑜𝑠(�̅�).

Dalle formule di Werner: sin(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝛽 =1

2[𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝛽) + 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛽),

avremo:

𝐵0(𝑡, 𝛽) =𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝛽) +

𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛽) = 𝐵′0(𝑡, 𝛽) + 𝐵

′′0(𝑡, 𝛽)


Il campo al traferro è somma di due campi, 𝐵′0 e 𝐵′′0, entrambi a

distribuzione sinusoidale nello spazio, che ruotano al traferro,

rispettivamente, con velocità Ω𝑐′ = 𝜔 e −Ω𝑐

′ .

È facile verificarlo. Consideriamo, infatti, il campo 𝐵′0. All’istante 𝑡1 e

nella posizione 𝛽1 esso assume il valore:

𝐵′0(𝑡1, 𝛽1) = �̅� =𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡1 − 𝛽1)

Tale valore sarà assunto anche in un istante successivo 𝑡2 nella

posizione 𝛽2, tali che:

�̅� =𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡2 − 𝛽2)

Uguagliando le espressioni:

(𝜔𝑡1 − 𝛽1) = (𝜔𝑡2 − 𝛽2) → 𝛽2 − 𝛽1𝑡2 − 𝑡1

=Δ𝛽

Δ𝑡= Ω𝑐 = 𝜔


L’avvolgimento statorico può essere distribuito in modo diverso lungo

la macchina, ad esempio dimezzando il passo polare e realizzando due

coppie N-S magnetiche, ossia due coppie polari 𝑝

A

A’

S

S

N

𝛽

N


La distribuzione di campo diviene:

𝐵0(𝑡, 𝛽) =𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑝𝛽) +

𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑝𝛽) = 𝐵′0(𝑡, 𝛽) + 𝐵

′′0(𝑡, 𝛽)

E la velocità dei due campi rotanti è ora Ω𝑐′ =

𝜔

𝑝 e −Ω𝑐

′

La velocità può essere espressa anche in giri/min

𝑛𝑐 =60Ω𝑐2𝜋

=60𝜔

2𝜋𝑝=602𝜋𝑓

2𝜋𝑝=60𝑓

𝑝

La massima velocità di rotazione con alimentazione a 50 Hz si ottiene

con due poli (numero di coppie polari 𝑝 = 1) ed è pari a 3000 giri/min.


A questo punto distribuiamo in maniera uniforme sullo statore 3

avvolgimenti uguali, distanziati angolarmente di 2

3𝜋 l’uno dall’altro.

Alimentiamo gli avvolgimenti con una terna simmetrica diretta di

tensioni. Essendo uguali gli avvolgimenti, in essi circolerà una terna

simmetrica di correnti, che darà luogo, ognuna, a un campo d’induzione

al traferro.

{

𝑖1(𝑡) = 𝐼𝑀 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)

𝑖2(𝑡) = 𝐼𝑀 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −2

3𝜋)

𝑖3(𝑡) = 𝐼𝑀 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −4

3𝜋)

{

𝐵1(𝑡, 𝛽) = 𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠 (𝛽)

𝐵2(𝑡, 𝛽) = 𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −2

3𝜋) 𝑐𝑜𝑠 (𝛽 −

2

3𝜋)

𝐵3(𝑡, 𝛽) = 𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −4

3𝜋) 𝑐𝑜𝑠 (𝛽 −

4

3𝜋)


Ciascuno dei campi 𝐵1, 𝐵2 e 𝐵3 potrà essere espresso come somma dei

campi diretti e inversi. Il campo totale al traferro sarà somma dei tre

campi:

𝐵0(𝑡, 𝛽) = 𝐵1(𝑡, 𝛽) + 𝐵2(𝑡, 𝛽) + 𝐵3(𝑡, 𝛽)

{

𝐵1(𝑡, 𝛽) =

𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝛽) +

𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛽)

𝐵2(𝑡, 𝛽) =𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −

2

3𝜋 − 𝛽 +

2

3𝜋) +

𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −

2

3𝜋 + 𝛽 −

2

3𝜋)

𝐵3(𝑡, 𝛽) =𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −

4

3𝜋 − 𝛽 +

4

3𝜋) +

𝐵𝑀2𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 −

4

3𝜋 + 𝛽 −

4

3𝜋)

I campi inversi formano una terna simmetrica e la loro somma è nulla.

Rimangono i soli campi diretti.


Il campo al traferro è:

𝐵0(𝑡, 𝛽) =3

2𝐵𝑀sin (𝜔𝑡 − 𝛽)

Se il numero di coppie polari è 𝑝, il campo diviene

𝐵0(𝑡, 𝛽) =3

2𝐵𝑀sin (𝜔𝑡 − 𝑝𝛽)

Il campo al traferro, generato da un sistema trifase di avvolgimenti

equamente distribuiti nello spazio e in cui circola un sistema di correnti

trifase simmetriche con frequenza 𝑓1, è un campo a distribuzione

sinusoidale nello spazio, che si ripete 𝑝 volte lungo la macchina e che

ruota a velocità Ω𝐶 =𝜔1

𝑝 [𝑟𝑎𝑑

𝑠] ossia a velocità 𝑛𝑐 =

60𝑓1

𝑝 [𝑔𝑖𝑟𝑖

𝑚𝑖𝑛].


Anche sul rotore sono presenti avvolgimenti in cava. Essi sono chiusi in

cortocircuito e possono essere a gabbia di scoiattolo o a rotore avvolto.

Il numero di poli rotorici deve essere uguale al numero di poli statorici.

Il campo magnetico, ruotando al traferro, taglierà sia i conduttori

statorici che i conduttori rotorici. Ci sarà, pertanto, una variazione di

flusso concatenato e la nascita di una f.e.m. indotta in entrambi i

circuiti. Nasceranno correnti nell’avvolgimento rotorico. L’interazione

tra correnti e campi comporterà la nascita di una coppia che mette in

rotazione il rotore alla velocità 𝜔𝑟.

A

B0

statore

rotore

𝜔1𝑝


Funzionamento a rotore bloccato (𝜔𝑟 = 0; 𝑛𝑟 = 0).

Il funzionamento della macchina dipende dalla velocità 𝜔𝑟 del rotore.

Indichiamo con 𝑁1 e 𝑁2 il numero di spire per fase statorica e con 𝑘𝑤1

e 𝑘𝑤2 i rispettivi fattori di avvolgimento. Indichiamo con 𝑓1 la frequenza

di alimentazione statorica e con 𝜙𝑀 il flusso massimo al traferro

concatenato con una singola spira.

Il campo rotante al traferro taglierà gli avvolgimenti statorici e darà

luogo alla tensione indotta statorica con frequenza pari al numero di

ripetizioni al secondo del campo al traferro 𝑓 =𝑝𝑛𝑐

60= 𝑓1 :

𝐸1max = 𝑘𝑤1𝑁1𝜔1 𝜙𝑀 = 2𝜋𝑓1𝑘𝑤1𝑁1𝜙𝑀

𝐸1 = 4.44 𝑓1𝑘𝑤1𝑁1𝜙𝑀


Anche negli avvolgimenti rotorici si indurrà una tensione. Infatti, il

rotore è bloccato e vede innanzi a sé esattamente ciò che vede il

rotore, ossia un campo magnetico che ruota a velocità 𝜔1

𝑝.

La tensione indotta rotorica è:

𝐸2 = 𝑘𝑤2𝑁2𝜔𝜙𝑀 = 4.44 𝑓1𝑘𝑤2𝑁2𝜙𝑀

Per conoscere la frequenza 𝑓2 della tensione indotta rotorica basta

considerare che ogni conduttore vede scorrere dinanzi a sé una

successione di poli N-S del campo magnetico. La frequenza 𝑓2 è pari al

numero di campi completi N-S che tagliano il conduttore ogni secondo.

𝑓2(𝑛𝑟 = 0) =𝑝𝑛𝑐60

La frequenza rotorica è uguale alla frequenza statorica 𝑓2(𝑛𝑟 = 0) = 𝑓1


Nell’avvolgimento rotorico circoleranno correnti a pulsazione 𝑓1, che

genereranno un campo rotante sincrono con il campo di statore, che si

opporrà a questo per la legge di Lenz. All’indebolimento del campo

corrisponde allo statore una diminuzione di flusso e una diminuzione di

tensione indotta, cui fa seguito un aumento della corrente statorica

finché non si giunge all’equilibrio finale retto dai principi di Kirchhoff.

Per quanto riguarda le tensioni indotte si ha:

𝐸1𝐸2=𝑘𝑤1𝑁1𝜔𝜙𝑀𝑘𝑤2𝑁2𝜔𝜙𝑀

= 𝑘𝑤1𝑁1𝑘𝑤2𝑁2

La macchina asincrona nel funzionamento a rotore bloccato può essere

riguardata come un trasformatore: il flusso di induzione è assicurato

dalla rotazione del campo al traferro.


Funzionamento con rotore libero (𝜔𝑟 ≠ 0; 𝑛𝑟 ≠ 0).

Per quantificare la differenza di velocità tra rotore (𝑛𝑟) e campo

rotante (𝑛𝑐) si introduce lo scorrimento 𝑠:

𝑠 =Ω𝑐 − Ω𝑟Ω𝑐

=𝑛𝑐 − 𝑛𝑟𝑛𝑐

Se 𝑠 = 0, siamo al sincronismo perché 𝑛𝑟 = 𝑛𝑐

Se 𝑠 = 1, siamo all’avviamento o a rotore bloccato perché 𝑛𝑟 = 0

Il rotore vede scorrere dinanzi a sé non un campo rotante alla velocità

𝑛𝑐 , bensì un campo rotante alla velocità relativa (𝑛𝑐 − 𝑛𝑟). La frequenza

della tensione indotta cambia:

𝑓2 =𝑝(𝑛𝑐 − 𝑛𝑟)

60=𝑝𝑛𝑐60

𝑠 = 𝑠𝑓1


La frequenza delle correnti rotoriche dipende dallo scorrimento.

Anche la f.e.m. indotta rotorica dipende da 𝑠 e diviene:

𝐸2 = 𝑘𝑤2𝑁2𝜔𝜙𝑀 = 4.44 𝑠𝑓1𝑘𝑤2𝑁2𝜙𝑀 = 𝑠𝐸2(𝑠 = 1)

𝐸2(𝑠) = 𝑠𝐸2(1)

I motori funzionano con scorrimenti molto bassi, per cui la frequenza

rotorica è limitata a pochi Hz (2 ÷ 3 Hz).

Il campo di reazione rotorico, però, rimane sincrono con il campo

statorico. Infatti, la velocità del campo rotorico rispetto al rotore è:

𝑛𝑐𝑟 = 𝑓260

𝑝= 𝑠𝑓1

60

𝑝= 𝑠𝑛𝑐

La velocità di questo campo rispetto allo statore è:

(𝑛𝑐𝑟 + 𝑛𝑟) = 𝑠𝑛𝑐 + 𝑛𝑟 = 𝑛𝑐


L’interazione tra campo e corrente rotorica dà luogo a una coppia che

mette in rotazione il rotore. Il verso di rotazione è quello che tende ad

annullare il campo che ha generato le correnti rotoriche e, quindi, che

ha generato la variazione di flusso. Il rotore tende allora ad inseguire

il campo al traferro diminuendo lo scorrimento.

Se non esistesse coppia resistente applicata all’asse della macchina,

nell’ipotesi di trascurare coppie di attrito e ventilazione, si potrebbe

raggiungere il sincronismo, condizione in cui si annullano sia le f.e.m.

indotte che le correnti rotoriche, per cui si annulla anche la coppia

motrice che trascina il rotore. Nella realtà esistono sempre coppie

resistenti al moto e il rotore non potrà mai portarsi autonomamente al

sincronismo.


Pertanto, esisterà sempre uno scorrimento diverso da zero ed

esisteranno sempre correnti rotoriche di valore tale da garantire

all’asse una coppia elettromagnetica che eguaglia la coppia resistente.

Se si applica una coppia resistente all’asse, la macchina tenderà a

rallentare e aumenterà il valore dello scorrimento. Aumenteranno così

anche le f.e.m indotte rotoriche e le relative correnti che circolano

negli avvolgimenti del rotore. Si ottiene così un aumento della coppia

motrice della macchina, finché essa non equilibra la nuova coppia

resistente. Si perviene ad una nuova condizione di funzionamento,

caratterizzata da un nuovo valore di scorrimento, ossia da una nuova

velocità di rotazione del rotore.


A causa della variazione della frequenza rotorica con lo scorrimento, la

reattanza di dispersione rotorica sarà anche essa dipendente da 𝑠:

𝑋2(𝑠) = 2 𝜋 𝑓2𝐿2𝑑 = 2𝜋𝑠𝑓1𝐿2𝑑

𝑋2(𝑠) = 𝑠𝑋2(1)

Anche la corrente rotorica sarà funzione dello scorrimento:

𝐼2̅(𝑠) =�̅�2(𝑠)

[𝑅2 + 𝑗𝑋2(𝑠)]

𝐼2̅(𝑠) =𝑠�̅�2(1)

[𝑅2 + 𝑗𝑠𝑋2(1)]

𝐼2̅(𝑠) =�̅�2(1)

[𝑅2𝑠+ 𝑗𝑋2(1)]

Al secondario si tiene conto della rotazione del rotore introducendo

una resistenza 𝑅2

𝑠 variabile con lo scorrimento.


Il circuito equivalente (per una singola fase) diviene:

Il flusso energetico nella macchina può essere schematizzato come:

𝑎 =𝑘𝑤1𝑁1𝑘𝑤2𝑁2

𝐿𝜇 𝑉1ഥ

𝐼1ഥ

𝐼𝜇ഥ

𝐼2̅(𝑠)

�̅�2(1)

𝐿1𝑑 𝐿2𝑑 +𝐼2𝑎

ഥ 𝑅1

𝑅2𝑠

𝐼�̅�

𝐼0ഥ

𝑅𝐹𝑒 �̅�1

𝑃𝑢 𝑃𝐸

𝑃𝑗1 𝑃𝐹𝑒1

𝑃𝑀 𝑃𝛿

𝑃𝑗2

statore rotore

𝑃𝑎,𝑣 𝑃𝐹𝑒2


La potenza elettrica 𝑃𝐸in ingresso alla macchina viene in parte dissipata

nello statore per effetto Joule (𝑃𝑗1) e per perdite nel ferro (𝑃𝐹𝑒). La

restante parte viene trasferita al traferro (𝑃𝛿). Un’aliquota di tale

potenza è dissipata anche nel rotore (𝑃𝑗2, 𝑃𝐹𝑒2), in cui le perdite nel

ferro sono però trascurabili perché 𝑓2 è piccola. La potenza meccanica

disponibile all’asse del motore è solo 𝑃𝑀. Parte di questa potenza diviene

potenza utile 𝑃𝑢 perché è trasferita al carico meccanico, mentre una

piccola porzione è dissipata per attrito e ventilazione (𝑃𝑎,𝑣).

Nel circuito equivalente per fase la potenza trasferita al traferro è

rappresentata dalla potenza assorbita dalla resistenza 𝑅2

𝑠

𝑃𝛿𝑓 =𝑅2𝑠𝐼22


Dividiamo la resistenza rotorica in due aliquote:

𝑅2𝑠= 𝑅2 + (

1 − 𝑠

𝑠)𝑅2

Otteniamo:

𝑃𝛿𝑓 = 𝑅2𝐼22 +

𝑅2(1 − 𝑠)

𝑠𝐼22 = 𝑃𝑗2𝑓 + 𝑃𝑚𝑓

Il termine 𝑅2𝐼22 = 𝑃𝑗2𝑓 rappresenta l’aliquota di potenza dissipata per

effetto Joule nella singola fase di rotore, mentre il termine 𝑅2(1−𝑠)

𝑠𝐼22 =

𝑃𝑚𝑓 è la potenza meccanica generata da una fase.

Tale potenza meccanica può anche essere espressa in funzione della

coppia elettromotrice 𝐶𝑒𝑚 all’asse e della velocità del rotore Ω𝑟:

𝑃𝑀 = 3𝑃𝑚𝑓 = 𝐶𝑒𝑚Ω𝑟


in cui la presenza del 3 è necessaria perché alla potenza meccanica

totale contribuiscono le 3 fasi rotoriche. Si ha, pertanto

𝐶𝑒𝑚Ω𝑟 = 3𝑅2(1 − 𝑠)

𝑠𝐼22

Dal circuito equivalente per fase si può infine ottenere l’espressione

della coppia elettromeccanica in funzione dello scorrimento:

𝐶𝑒𝑚 =1

Ω𝑟3𝑅2(1 − 𝑠)

𝑠

𝐸22

𝑅22

𝑠2+ 𝑋2𝑑

2

𝐶𝑒𝑚 =1

(1 − 𝑠)𝜔𝑝 3𝑅2(1 − 𝑠)𝑠

(𝐸1𝑚)2

𝑅22 + 𝑠2𝑋2𝑑

2

𝐶𝑒𝑚~1

2𝜋𝑓1𝑝3𝑅2𝑠

(𝐸1𝑚)2

𝑅22 + 𝑠2𝑋2𝑑

2


𝐶𝑒𝑚 =3

2𝜋

𝑝

𝑓1 (𝑉1𝑚)2 𝑠𝑅2

𝑅22 + 𝑠2𝑋2𝑑

2

La caratteristica è lineare per scorrimenti 𝑠 piccoli: 𝐶𝑒𝑚~3

2𝜋

𝑝

𝑓1 (

𝑉1

𝑚)2 𝑠

𝑅2

La coppia è massima per 𝑠𝑘 =𝑅2

𝑋2𝑑 ed è 𝐶𝑚𝑎𝑥 =

3

2𝜋

𝑝

𝑓1 𝑉12

2𝑋2𝑑

La coppia all’avviamento (𝑠 = 1) è 𝐶𝑎𝑣𝑣 =3

2𝜋

𝑝

𝑓1 (

𝑉1

𝑚)2 𝑅2

𝑅22+𝑋2𝑑

2

𝐶𝑒𝑚

𝑠

𝑅2

𝐶𝑚𝑎𝑥

𝐶𝑎𝑣𝑣

𝑠𝑘

Tratto instabile

Tratto stabile

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