Lenti sottili/1

La lente e un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparenteomogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calottesferiche (o, piu generalmente, da due superfici non piane, e.g., cilindriche ogaussiane). A differenza dei sistemi diottrici piani, essa puo formare immaginireali.Nel seguito, considereremo solo lenti sferiche.

Biconvessa Piano−convessa

Meniscoconvergente

BiconcavaPiano−concava

Meniscodivergente

Lenti convergenti Lenti divergenti

Una lente sottile e definita come una lente il cui spessore e considerato piccolorispetto alle distanze generalmente associate alle sue proprieta ottiche (raggi dicurvatura delle calotte, distanze focali, distanze degli oggetti e delle immagini).Dal punto di vista geometrico, la lente sottile e assimilata ad un piano.

G.Costabile

Lenti sottili/2

Lente positiva (convergente)

f’

F’fuocosecondario

d

r2

r1

Asse F

f

fuocoprimario

Asse

d

F’ Asse

d

f’

r1

r2

d

AsseF

f

Lente negativa (divergente)

Il fuoco primario F e un punto assiale tale che ogni raggio proveniente da esso odiretto in esso si propaga parallelamente all’asse a seguito della rifrazione.Il fuoco secondario F’ e un punto assiale tale che ogni raggio propagantesiparallelamente all’asse e diretto in esso o appare provenire da esso a seguitodella rifrazione.

G.Costabile

Lenti sottili/3

Indicando con f ed f ′ rispettivamente le distanze di F ed F ′ dalla lente, dalprincipio di reversibilita segue:

f = f ′

(a differenza di quanto si verifica nel diottro sferico).

Costruzione dell’immagine

Asse

Q

M

Q’

M’

T

S

AFF’

y

y’

s s’

f f’

raggio principale

f’

f

ss’

Q

Q’

MM’

Asse

F’A

T

raggio principale

S

F

Nell’approssimazione parassiale il raggio passante per il centro della lente A eindeviato perche attraversa superfici parallele con piccolo angolo di incidenza.Applicando il principio di reversibilita, il ruolo dell’oggetto e dell’immagine siinvertono. Come per il diottro sferico, M ed M ′ sono coniugati, e cosı pure ipiani per essi perpendicolari all’asse.

G.Costabile

Lenti sottili/4

M

Q T

F F’

S

A

y

y’

M’

Q’x f f’ x’

s s’

Dalla proporzionalita fra i triangoli Q′TS ed F ′TA e fra i triangoli QTS ed

FAS seguono, rispettivamente:

y − y′

s′=

y

f ′e

y − y′

s=−y′

f

Sommando membro a membro e ponendo f = f ′, si ottiene nella formagaussiana la formula dei punti coniugati:

1s

+1s′

=1f

G.Costabile

Lenti sottili/5

Dalla proporzionalita fra i triangoli QMF ed FAS e fra i triangoli TAF ′ edF ′M ′Q′, rispettivamente (f = f ′):

y

x=−y′

fe

−y′

x′=

y

f

Moltiplicando membro a membro si ricava la forma newtoniana della formuladei punti coniugati:

xx′ = f2

Nella forma gaussiana le distanze sono misurate rispetto alla lente, in quellanewtoniana esse sono misurate rispetto ai fuochi. La seconda vienesemplicemente generalizzata quando i mezzi ai lati della lente hanno indice dirifrazione diverso:

xx′ = ff ′

L’ingrandimento lineare m nella forma newtoniana si ricava direttamente dalleprime due equazioni:

m =y′

y= −f

x= −x′

f

G.Costabile

Lenti sottili/6

Ingrandimento linearePoiche i triangoli rettangoli QMA e Q′M ′A sono simili, sostituendo y = MQ ey′ = −M ′Q′

M ′Q′

MQ=

AM ′

AM⇒ m =

y′

y= −s′

s

Quando s ed s′ sono entrambe positive, il segno negativo indica l’inversionedell’immagine.

Formula del costruttore di lentiNoto l’indice di rifrazione del materiale della lente (generalmente specificato perla riga D del sodio), si possono calcolare i raggi di curvatura delle superficisferiche di una lente per ottenere una specifica distanza focale f per una lentesottile a:

1f

= (n− 1)(

1r1− 1

r2

)

Nella formula, la propagazione dei raggi e da sinistra a destra, e le superficiattraversate in questo verso sono considerate aventi raggio positivo se convesse,raggio negativo se concavo.

aPer la dimostrazione, cfr. F.A. Jenkins, H.E. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill,1976, par. 4.9

G.Costabile

Lenti sottili/7

Combinazione di lenti sottiliLa formazione delle immagini si calcola applicando la formula dei punticoniugati ad ogni lente e considerando come oggetto per ogni lente l’immagineformata dalla lente precedente, prendendo cura di rispettare le convenzioni suisegni (notando, cioe, se gli oggetti considerati sono reali o virtuali)

Potere di una lente sottileIl potere di una lente sottile e misurato in diottrie se la distanza focale f emisurata in metri, ed e definito come

P =1f

oppure

P = (n− 1)(

1r1− 1

r2

)

Es., P = −2D e il potere diottrico di una lente divergente avente f = −50 cm.

G.Costabile

Lenti sottili/8

Lenti sottili addossate

I raggi paralleli che incidono sulla prima lente L1 convergerebbero nel fuocosecondario F ′

1 posto alla distanza f ′1. Esso costituisce l’oggetto (virtuale) per laseconda lente L2, caratterizzata dalla distanza focale secondaria f ′2.Il punto in cui si forma l’immagine finale e (per definizione) il fuoco secondariodel sistema F ′, e la sua distanza dalle lenti, f ′, si calcola applicando la formuladei punti coniugati:

1−f ′1

+1f ′

=1f ′2

⇒ 1f ′

=1f ′1

+1f ′2

.

Se le lenti sono in aria, le distanze focali primarie e secondarie sono uguali, gliapici possono essere soppressi, e si ricava

P = P1 + P2

Il potere diottrico di lenti sottili a contatto e dato dalla somma dei poteridiottrici delle singole lenti.

G.Costabile

Lenti spesse/1

Se lo spessore di una lente d (distanza tra i vertici delle superfici) non etrascurabile rispetto alle lunghezze caratteristiche (ed in particolare alla distanzafocale), essa si dice spessa. In questa categoria si puo far rientrare, piu ingenerale, ogni sistema ottico centrato, considerandolo come tutt’uno. Nelseguito questo e implicitamente assunto, anche se, per semplicita ci si riferiscead una singola lente spessa.Si considerino due superfici sferiche coassiali di raggio r1 ed r2 delimitanti unmezzo con indice n′ posto tra due mezzi aventi indice n ed n′, rispettivamente,e sia M un punto immagine sull’asse ottico posto nel mezzo 1 a distanza s1 dalvertice A1. Riapplicando il procedimento gia adoperato in precedenza:

• si calcola la distanza s′1 da A1 dell’immagine M ′ formata dal primo diottro;

• rispetto al secondo diottro, si considera M ′ come un oggetto posto adistanza s′2 = s′1 − d dal vertice A2;

• si calcola la distanza s′′2 dell’immagine M ′′ da A2.

Nell’approssimazione di raggi parassiali, M ed M ′′ sono punti coniugati.Le formule da adoperare (rispettando le convenzioni) sono:

n

s1+

n′

s′1=

n′ − n

r1

n′

s′2+

n′′

s′′2=

n′′ − n′

r2

G.Costabile

Lenti spesse/2

F

n

Piano principaleprimario

n’’n’

A1 2AH

f

Piano principalesecondario

AA

F’’

f’’

n n’ n’’

1 2H’’

La figura mostra il fuochi di una lente spessa. I piani passanti per le intersezionidei raggi incidenti con i raggi rifratti costituiscono il piano principale primario edil piano principale secondario, e le loro intersezioni H ed H ′′ con l’asse sonodette punti principali.Tra i due piani principali c’e corrispondenza punto a punto:I piani principali sono due piani caratterizzati da ingrandimento lineare unitariopositivo.Le distanze focali sono misurate dai fuochi F ed F ′′ ai rispettivi punti principaliH ed H ′′ (e non dai fuochi ai vertici A1 ed A2).Se n = n′′, allora f = f ′′. Se n 6= n′′, allora n′′/n = f ′′/f .

G.Costabile

Lenti spesse/3

La conoscenza dei fuochi e dei punti principali consente di costruire graficamentele immagini con le stesse procedure adoperata per diottro e lente sottile.

E anche possibile applicare, nell’approssimazione di raggi parassiali, le formuledei punti coniugati, se anche le distanze s, s′ sono misurate rispetto aipunti principali:

n

s+

n′′

s′′=

n

f=

n′′

f ′′(n 6= n′′)

1s

+1s′′

=1f

=1f ′′

(n = n′′)

Dalla geometria e possibile ricavare una serie di relazioni tra le distanzecaratteristiche del sistema:

n

f=

n′

f ′1+

n′′

f ′′2− dn′′

f ′1f′′2

=n′′

f ′′

A1F = −f

(1− d

f ′2

)A1H = f

d

f ′2

A2F ′′ = +f

(1− d

f ′1

)A2H ′′ = −f ′′

d

f ′1

G.Costabile

Lenti spesse/4

Dato un punto oggetto fuori asse, si consideri quello tra i raggi incidenti cheemerge dalla lente parallelo a se stesso. I due punti di intersezione, N ed N ′′,dei suoi prolungamenti con l’asse sono detti punti nodali.Fuochi, punti principali e punti nodali costituiscono i punti cardinali.Se n = n′′, allora i punti nodali coincidono con i punti principali. Comunque, ingenerale, vale la proprieta

NN ′′ = HH ′′

L’interesse per i punti nodali sta nel fatto che la loro posizione puo esseredeterminata sperimentalmentea, e dalle relazioni

N ′′F ′′ = FH ≡ f NF = H ′′F ′′ ≡ f ′′

avendo pure individuato sperimentalmente la posizione dei fuochi primario esecondario, si ricava la posizione dei punti principali.La distanza HN puo anche essere calcolata dalla formula HN = f ′′(1− n/n′′);essa e utile per calcolare l’ingrandimento lineare:

m =y′′

y= −s′′ −HN

s + HN

aF.A. Jenkins, H.E. White, op. cit.

G.Costabile

Aberrazioni

Quando l’approssimazione parassiale non e sufficiente:

Aberrazione di sfericità

Aberrazione cromatica

Crown Flint

Doppietto acromatico

G.Costabile