LEGGI FONDAMENTALI

Lo studio dell’interazione elettromagnetica è basato sul concetto di Campo Elettromagnetico

L’interazione a distanza in condizioni dinamiche sta alla base della trasmissione dei segnali nell’elettronica e nelle telecomunicazioni

In condizioni dinamiche le variazioni del campo si propagano nello spazio con velocità finita.

Le variazioni spazio-temporali del campo costituiscono le onde elettromagnetiche.

Il campo elettromagnetico macroscopico è rappresentato da quattro vettori:

E =E(r , t) campo elettrico [V/m]

H =H(r , t) campo magnetico [A/m]

D =D(r , t) spostamento elettrico [C/m2 ]

B =B(r , t) induzione magnetica [T] x y

z

r =xx+ yx+ zz

I vettori del campo sono collegati alla distribuzione delle cariche e delle correnti libere, rappresentata da opportune densità.

Le cariche e le correnti volumetriche sono rappresentate da

J =J (r , t) densità di corrente [A/m2 ]

ρ =ρ(r , t) densità di carica [C/m3]

ρ(r , t) dVV∫ = q(t)

J (r , t)⋅n dS

S∫ =i(t)

nS

V

Le distribuzioni di cariche e correnti concentrate su superfici (lamine di carica o di corrente) sono rappresentate da densità superficiali

lamina

J S

J S =J S(r ,t) densità di corrente superficiale [A/m]

+

++

++

++

+ρS

ρS =ρS (r , t) densità di carica superficiale [C/m2 ]

J (r , t)⋅m dΛ

Λ∫ =i(t) corrente attraverso Λ

mΛ

ρS (r , t) dΣ

Σ∫ = q(t) carica su Σ

Σ

I vettori del campo sono funzioni continue della posizione “quasi ovunque”.

Sono discontinui

• sulle superfici di discontinuità del mezzo;• sulle lamine di carica e/o di corrente.

Divergono

• sugli spigoli o sulle punte eventualmente presenti nelle superfici di discontinuità del mezzo;

• sulle cariche e correnti concentrate in punti o linee.

I punti in cui il campo è continuo sono detti “regolari”.

Nei punti regolari valgono le equazioni di Maxwell

∇×H =

∂D∂t

+ J ∇×E =−

∂B∂t

∇×V =∂Vz

∂y−

∂Vy

∂z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟x +

∂Vx

∂z−

∂Vz

∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y +∂Vy

∂x−

∂Vx

∂y

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟z

∇⋅D =ρ ∇⋅B =0

∇⋅V =∂Vx

∂x+

∂Vy

∂y+

∂Vz

∂z

Sulle superfici di discontinuità il rotore e la divergenza non possono essere definiti, e le equazioni di Maxwell sono sostituite da altre relazioni

Simboli usati per rappresentare i vettori del campo a ridosso delle superfici di discontinuità

nV +

superficie di discontinuità

V −

n

V

V T n×VT =n×V90°nel prodotto vettoriale con la componente normale di viene cancellata

Vn

Condizioni sulle superfici di discontinuità

E+ ,H + ,B + ,D +

E−,H − ,B − ,D −

n

Condizioni sulle componenti tangenziali

n× H + −H −( ) =J S n× E + −E−( ) =0

Condizioni sulle componenti normali

n⋅D+ −D−( ) =ρS n⋅B + −B −( ) =0

Lo studio del campo elettromagnetico richiede la determinazione di 12 funzioni scalari (le componenti dei quattro vettori del campo).

Le equazioni di Maxwell equivalgono a 8 equazioni scalari.

Esse sono insufficienti per determinare il campo, anche in quei problemi in cui le densità di carica e di corrente sono quantità impresse (ossia assegnate a priori, come sorgenti del campo).

A maggior ragione esse sono insufficienti se le densità di carica e di corrente sono incognite da determinare assieme al campo

per fornire tali informazioni è necessario introdurre ulteriori relazioni (equazioni costitutive).

Le equazioni di Maxwell non contengono alcuna informazione riguardo al mezzo in cui si sviluppa il campo.

Le equazioni costitutive riflettono l’influenza della polarizza-zione elettrica, della magnetizzazione e della conduzione del mezzo.

D −ε0E = P

B −μ0H = M

polarizzazione elettrica

magnetizzazione

Influenza della polarizzazione elettrica e della magnetizzazione.

Ne consegue che i vettori del campo sono collegati da due equazioni costitutive che descrivono l’effetto della polariz-zazione e della magnetizzazione del mezzo.

La polarizzazione elettrica e la magnetizzazione dipendono da e da , secondo leggi caratteristiche del mezzo. E H

Se il campo agisce in un mezzo conduttore (metallo, semiconduttore, gas ionizzato, ecc.), si ha un moto di deriva dei portatori di carica (correnti di conduzione).

Una terza equazione costitutiva descrive la relazione esistente fra il campo elettromagnetico e la densità di corrente di conduzione.

Se la corrente di conduzione non è impressa, la sua densità ( ) è un’incognita , che deve essere determinata assieme al campo. J c

Nel vuoto, che non si polarizza, non si magnetizza e non conduce si ha

D =ε0E B =μ0H J c =0

indipendentemente dall’intensità e dalla rapidità del campo

• la natura del mezzo;• l’intensità e la rapidità delle variazioni spazio-temporali

del campo che si vuole studiare.

La tipologia delle equazioni costitutive dipende dalle seguenti caratteristiche del mezzo:

• stazionarietà / non-stazionarietà• isotropia / anisotropia• linearità / non-linearità• dispersività / non-dispersività

La forma delle equazioni costitutive dei mezzi materiali varia da caso a caso, secondo

Stazionarietà / non-stazionarietà

Il mezzo è stazionario se

• è immobile rispetto al sistema di osservazione;• le sue caratteristiche fisiche non variano nel tempo.

Nei mezzi stazionari ciascuna equazione costitutiva coinvolge una sola delle seguenti coppie di incognite:

D,E J c ,E B,H

Inoltre tutte le quantità che caratterizzano il mezzo sono indipendenti dal tempo.

Isotropia / anisotropia

Il mezzo è isotropo se le sue proprietà fisiche sono uguali in tutte le direzioni

Sono isotropi i fluidi, i solidi amorfi e i solidi a struttura policristallina, purché immobili rispetto al sistema d’osservazione e in assenza tensioni meccaniche.

I monocristalli, esclusi quelli del sistema cubico, sono un esempio di materiale anisotropo.

Le equazioni costitutive dei mezzi isotropi sono invarianti rispetto ad una rotazione del sistema di riferimento

Linearità / non-linearità

Sono lineari i mezzi caratterizzati da equazioni costitutive lineari.

Se il campo elettromagnetico è sufficientemente debole, tutti i mezzi possono essere considerati lineari.

Un esempio di mezzo non-lineare è costituito i materiali ferromagnetici soggetti a campi magnetici di ampiezza sufficiente a rendere significativi gli effetti della saturazione e dell’isteresi.

f (x1, x2 ,K , xN ) =0

Sia

un’equazione costitutiva (le N variabili rappresentano i vettori del campo ed, - eventualmente, loro derivate di vario ordine).

Considerate due qualsiasi N-uple di variabili {an} e {bn} che la soddisfano, si dice che l’equazione è lineare se essa è soddisfatta anche da {an+bn}.

Esempi di equazioni lineari Esempi di equazioni non lineari

∂J c

∂t+ν J c = ε 0ω p

2E

D =ε0E D =ε0 1+

κ tanh(χ E)

E⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E

∂J c

∂t+ν J c +

q

mJ c × B = ε 0ω p

2E

Dispersività / non-dispersività

Sono dispersivi i mezzi il cui comportamento dipende dalla rapidità della variazione temporale e/o spaziale del campo

Le equazioni costitutive dei mezzi dispersivi coinvolgono, oltre ai i vettori del campo, anche le loro derivate spaziali (dispersività nello spazio) e/o temporali (dispersività nel tempo)

La dispersività nel tempo dipende dall’inerzia dei meccanismi microscopici che determinano la polarizzazione, la magnetizzazione e la conduzione del mezzo. In condizioni dinamiche sufficientemente rapide tutti i materiali sono dispersivi nel tempo. In condizioni statiche o di lenta variabilità i materiali possono essere considerati non-dispersivi.

Nei problemi di elettromagnetismo riguardanti le più comuni applicazioni delle onde elettromagnetiche i mezzi possono essere considerati lineari, stazionari e spazialmente non-dispersivi.

In questo corso si assume tacitamente che il mezzo sia • lineare • stazionario • isotropo• non-dispersivo nello spazio.

Viene invece considerata la dispersività temporale, poiché in molte applicazioni il campo varia rapidamente nel tempo.

Equazioni costitutive dei mezzi lineari, stazionari, isotropi, non-dispersivi

D =ε0ε rE

B =μ0μ rH

J c =σE (legge di Ohm)

ε r = costante dielettrica relativa ( ≥ 1)μr = permeabilità magnetica relativa

σ =conducibilità [S/m]

In questa categoria rientrano il vuoto e i materiali (isotropi, stazionari, ecc.) in condizioni statiche o di lenta variabilità.

(ε r =1, μr=1, σ=0)

Equazioni costitutive dei mezzi lineari, stazionari, isotropi, dispersivi nel tempo

am

∂mD∂tm

+K +a1

∂D∂t

+a0D =bn

∂nE∂tn

+K +b1

∂E∂t

+b0E

cp

∂qB∂tp

+K + c1

∂B∂t

+ c0B =dq

∂qH∂tq

+K +d1

∂H∂t

+d0H

em

∂rJ c

∂ts+K +e1

∂J c

∂t+e0J c = fs

∂sE∂ts

+K + f1∂E∂t

+ f0E

∇×E +

∂B∂t

= 0

F D,E( ) =0

G B,H( ) =0

L J c ,E( ) =0

∇×H −

∂D∂t

= J c + J 0 densità della corrente impressa

5 equazioni vettoriali5 campi vettoriali incogniti

Equazioni fondamentali per la determinazione del campo elettromagnetico

condizioni ausiliarie• equazioni alle divergenze• condizioni sulle superfici di

discontinuità

LEGGE DI LORENTZ

La legge di Lorentz definisce la forza elettromagnetica che agisce sulla carica che, in un generico istante, attraversa il volumetto infinitesimo dV.

vdV

fascio di particelle nel vuoto

df = ρ(E + v×B ) dV [N/m3 ]

La legge di Lorentz costituisce l’anello di congiunzione fra il campo elettromagnetico e i suoi effetti osservabili.