Le variabili casuali campionarie - Lezione 7
-
Upload
sergio-pinna -
Category
Documents
-
view
1.495 -
download
1
Transcript of Le variabili casuali campionarie - Lezione 7
1
Le Variabili Casuali Campionarie
Si chiama parametro di una v.c X, e viene indicato in generale con θ, una funzione dei valori che la v.c. assume su tutte le unità della popolazione e che caratterizza la distribuzione della v.c. stessa
La stima t è una funzione dei dati campionari utilizzata per prevedere il valore incognito di un parametro θ della v.c. X oggetto di studio
nella popolazione di riferimento
µ
Lo stimatore Tn è la v.c. generarata dalle stime calcolate su tutti i campioni di Ωn : è quindi una v.c. campionaria
•v.c. media campionaria •v.c. varianza campionaria S2
•v.c. proporzione campionaria
X
ˆ P
Stimatori
2
Correttezza - uno stimatore si dice corretto (o non distorto) se il suo valore atteso coincide con il parametro oggetto di stima
Consistenza - Se uno stimatore è corretto e se all’aumentare di n la sua varianza tende a zero vale a dire
Allora lo stimatore Tn si dice consistente
Efficienza Relativa - uno stimatore corretto 1Tn è più efficiente di un secondo stimatore corretto 2Tn se la sua varianza è più piccola:
Proprietà degli Stimatori
E(Tn) =θ
limn→∞
Var(Tn ) = 0
Var(1Tn ) <Var(2Tn )
La statistica che stima "meglio" la media di una popolazione è lo stimatore MEDIA CAMPIONARIA le cui realizzazioni sono le stime , media aritmetica dei valori osservati nel campione
µX
x
Variabile Casuale Media CampionariaE’ inverosimile che due campioni estratti dalla stessa
popolazione producano le stesse stime: DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA
x = 1n
xii=1
n
∑
3
( )n
XES σ= ( ) 0 → ∞→nXES
L'ERRORE STANDARDè la deviazione standard della variabile casuale media campionaria. Rappresenta l'unità di misura dell'errore casuale di stima commesso
utilizzando la media campionaria come stimatore di µ
Le leggi di convergenza in probabilità(Leggi dei grandi numeri, Teorema centrale del limite) dimostrano che
∞→
nNX
n 2
, ~ σµ
X
X
Variabile Casuale Media Campionaria
L’ERRORE STANDARD cresce al crescere della varianza della variabile X nella popolazione diminuisce al crescere di n
L’ERRORE STANDARD cresce al crescere della varianza della variabile X nella popolazione diminuisce al crescere di n
ESERCIZIO: Sia data una popolazione costituita da N=2 unità cui corrispondono i valori Y1=1 e Y2=5 rispettivamente con pesi 1/4 e 3/4. Si estraggono con ripetizione tutti i possibili campioni ordinati di quattro unitàe si calcoli la media di ogni campione.
Variabile Casuale Media Campionaria
Lo spazio campionario è costituito da |Ω|=24=16 punti campione cui corrisponde il seguente piano di campionamento:
4
La media della popolazione è
La varianza della popolazione è
4)4/354/11( =⋅+⋅=Y
34)4/3254/11( 22 =−⋅+⋅=σDistribuzione della variabile casuale media campionaria
iy ii py ⋅ ii py ⋅2
1 1/256 1/256 1/256 2 12/256 24/256 48/256 3 54/256 162/256 486/256 4 108/256 432/256 1728/256 5 81/256 405/256 2025/256
1 1024/256 4288/256
4)( =YM 75.04256
4288 22 =−=yσ 75.0432
2 ===nyσσ
Variabile Casuale Media Campionaria
•sottospazio che fornisce una stima esatta di
•sottospazio che fornisce una stima campionaria di che non si allontana per più di una unità
Y
Y
422.0256108)4( ,,, 15141312 ===YpCCCC
527.0256135)5()3( ,,,,,, 1611109876 ===∪= YYpCCCCCCC
In questo caso utilizzando lo stimatore media campionaria si ottiene la media esatta nel 42,2% dei casi e non si sbaglia per più di una unità nel 94,7% dei casi
Variabile Casuale Media Campionaria
5
Se si calcola la varianza del campione (x1,…xn) estratto dalla variabile X si ottiene la quantità
Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria il cui valore atteso non è la varianza vera:
Variabile Casuale Varianza Campionaria
˜ s 2 = 1n
xi − x ( )i=1
n
∑2
E ˜ S 2( )= n−1n
σ2
Se si considera invece la quantità:
Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria corretta:
s2 =1
n−1xi − x ( )
i=1
n
∑2
E S 2( )= σ 2
X variabile casuale Binomiale
E(X) = np ; Var(X) = np(1-p)
Variabile Casuale Proporzione Campionaria
ˆ proporzione campionaria. Al variare
ˆˆdel campione descrive lo stimatore
xpn
Xp Pn
=
=
E ˆ P ( )= 1n
E X( )= 1n
np = p
Var ˆ P ( )= 1n2 Var X( )= 1
n2 npq = pqn