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Le Variabili Casuali Campionarie

Si chiama parametro di una v.c X, e viene indicato in generale con θ, una funzione dei valori che la v.c. assume su tutte le unità della popolazione e che caratterizza la distribuzione della v.c. stessa

La stima t è una funzione dei dati campionari utilizzata per prevedere il valore incognito di un parametro θ della v.c. X oggetto di studio

nella popolazione di riferimento

µ

Lo stimatore Tn è la v.c. generarata dalle stime calcolate su tutti i campioni di Ωn : è quindi una v.c. campionaria

•v.c. media campionaria •v.c. varianza campionaria S2

•v.c. proporzione campionaria

X

ˆ P

Stimatori

2

Correttezza - uno stimatore si dice corretto (o non distorto) se il suo valore atteso coincide con il parametro oggetto di stima

Consistenza - Se uno stimatore è corretto e se all’aumentare di n la sua varianza tende a zero vale a dire

Allora lo stimatore Tn si dice consistente

Efficienza Relativa - uno stimatore corretto 1Tn è più efficiente di un secondo stimatore corretto 2Tn se la sua varianza è più piccola:

Proprietà degli Stimatori

E(Tn) =θ

limn→∞

Var(Tn ) = 0

Var(1Tn ) <Var(2Tn )

La statistica che stima "meglio" la media di una popolazione è lo stimatore MEDIA CAMPIONARIA le cui realizzazioni sono le stime , media aritmetica dei valori osservati nel campione

µX

x

Variabile Casuale Media CampionariaE’ inverosimile che due campioni estratti dalla stessa

popolazione producano le stesse stime: DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA

x = 1n

xii=1

n

∑

3

( )n

XES σ= ( ) 0 → ∞→nXES

L'ERRORE STANDARDè la deviazione standard della variabile casuale media campionaria. Rappresenta l'unità di misura dell'errore casuale di stima commesso

utilizzando la media campionaria come stimatore di µ

Le leggi di convergenza in probabilità(Leggi dei grandi numeri, Teorema centrale del limite) dimostrano che

∞→

nNX

n 2

, ~ σµ

X

X

Variabile Casuale Media Campionaria

L’ERRORE STANDARD cresce al crescere della varianza della variabile X nella popolazione diminuisce al crescere di n

L’ERRORE STANDARD cresce al crescere della varianza della variabile X nella popolazione diminuisce al crescere di n

ESERCIZIO: Sia data una popolazione costituita da N=2 unità cui corrispondono i valori Y1=1 e Y2=5 rispettivamente con pesi 1/4 e 3/4. Si estraggono con ripetizione tutti i possibili campioni ordinati di quattro unitàe si calcoli la media di ogni campione.

Variabile Casuale Media Campionaria

Lo spazio campionario è costituito da |Ω|=24=16 punti campione cui corrisponde il seguente piano di campionamento:

4

La media della popolazione è

La varianza della popolazione è

4)4/354/11( =⋅+⋅=Y

34)4/3254/11( 22 =−⋅+⋅=σDistribuzione della variabile casuale media campionaria

iy ii py ⋅ ii py ⋅2

1 1/256 1/256 1/256 2 12/256 24/256 48/256 3 54/256 162/256 486/256 4 108/256 432/256 1728/256 5 81/256 405/256 2025/256

1 1024/256 4288/256

4)( =YM 75.04256

4288 22 =−=yσ 75.0432

2 ===nyσσ

Variabile Casuale Media Campionaria

•sottospazio che fornisce una stima esatta di

•sottospazio che fornisce una stima campionaria di che non si allontana per più di una unità

Y

Y

422.0256108)4( ,,, 15141312 ===YpCCCC

527.0256135)5()3( ,,,,,, 1611109876 ===∪= YYpCCCCCCC

In questo caso utilizzando lo stimatore media campionaria si ottiene la media esatta nel 42,2% dei casi e non si sbaglia per più di una unità nel 94,7% dei casi

Variabile Casuale Media Campionaria

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Se si calcola la varianza del campione (x1,…xn) estratto dalla variabile X si ottiene la quantità

Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria il cui valore atteso non è la varianza vera:

Variabile Casuale Varianza Campionaria

˜ s 2 = 1n

xi − x ( )i=1

n

∑2

E ˜ S 2( )= n−1n

σ2

Se si considera invece la quantità:

Al variare del campione si ottiene la varianza campionaria corretta:

s2 =1

n−1xi − x ( )

i=1

n

∑2

E S 2( )= σ 2

X variabile casuale Binomiale

E(X) = np ; Var(X) = np(1-p)

Variabile Casuale Proporzione Campionaria

ˆ proporzione campionaria. Al variare

ˆˆdel campione descrive lo stimatore

xpn

Xp Pn

=

=

E ˆ P ( )= 1n

E X( )= 1n

np = p

Var ˆ P ( )= 1n2 Var X( )= 1

n2 npq = pqn