Le potenze: come e quando usarle

Prof.ssa Leonarda Parisi MTC mod2

Specifiche per la programmazione UDA 1 - Operare con numeri interi e razionali, padroneggiandone

scrittura e proprietà formali. FAD N°1: L’ operazione di elevamento a potenza nell’insieme N ed il suo uso nelle scienze matematiche e naturali. Tempo per l’apprendimento e per l’esercitazione: 3 ore

UDA 2 - Riconoscere figure geometriche del piano individuando invarianti

e relazioni. Affrontare situazioni problematiche traducendole in termini matematici, sviluppando correttamente il procedimento risolutivo e verificando l’attendibilità dei risultati. FAD N°2: Il cubo e le misure di volume. Tempo per l’apprendimento e per l’esercitazione: 2 ore

v= s³

Le potenze: come e quando usarle

1.1 - Scomporre numeri in fattori primi e risolvere

problemi ed espressioni

1.2 - La notazione scientifica: descrivere in macro e micro

1.3 - Calcolare il volume di un cubo

Prerequisiti

1. Conoscere il sistema di numerazione in base dieci

2. Saper leggere i numeri ordinali e cardinali

3. Conoscenza delle 4 operazioni

4. Saper risolvere espressioni con parentesi

5. Numeri primi

6. Scomposizione in fattori primi

7. Saper misurare e orientarsi nei sistemi di misura

decimali

8. Riconoscere e classificare figure geometriche nel piano

e nello spazio

Dopo aver esplorato i vari insiemi dei numeri e della loro scrittura nel sistema

a base 10, averli classificati in pari e dispari, primi e composti e aver

familiarizzato con le 4 operazioni fondamentali, possiamo imparare ad usare

una nuova operazione e un modo diverso di scrivere alcuni numeri per

esempio i numeri “quadrati” o quelli “cubici”. Grazie all’operazione

di elevamento a potenza (chiamata spesso semplicemente potenza) una

moltiplicazione in cui i fattori sono tutti uguali può essere scritta in modo

veloce.

Cominciamo dalla scomposizione.

Scomponiamo il numero 24 (numero composto) in fattori primi.

Ricordi il procedimento? Dividiamo il numero per 2 se è un numero pari) e

continuiamo….fino al numero primo.

24:2 =12:2 = 6:2 = 3 numero primo - allora 24 = 3 ∙ 2 · 2 · 2

Nella scomposizione il fattore “2” è scritto 3 volte.

In Aritmetica possiamo scrivere in un altro modo 2 · 2 · 2 cioè 2³

Quindi l’operazione di elevazione a potenza serve per semplificare la

scrittura di una moltiplicazione di fattori tutti uguali.

Ad esempio, 2 ∙ 2 ∙ 2 si scrive 32

e si legge “due elevato a tre” o “due

alla terza”.

Il numero 2 in questo caso è chiamato la base mentre il numero 3 è chiamato

esponente.

s

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Possiamo quindi scrivere 24 = 32 · 3

Alcuni esempi: 34

= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81

5 ∙ 5 ∙ 5 = 5³ = 125

Completa tu:

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 =62 = …….

Scrivi ora tu un esempio di potenza: ………

Scrivi la potenza più “strana” che riesci a immaginare: ………..

Uso della calcolatrice

Per calcolare una potenza generica si usa questo tasto:

Es. per calcolare 63 si premono in sequenza i tasti: 3 6 =

Alcune basi ed esponenti particolari

Se l’esponente è 1, il risultato sarà uguale alla base. Si può dire che:

n1

= n.

Esempi: 81

= 8, 11

= 1, 171

= 17, 987451

= 98745

Se la base è 1, indipendentemente dal valore dell’esponente, il risultato sarà

sempre 1. Si può dire quindi che:

1n = 1

Esempi: 12

= 1, 150

= 1

Se la base è 0, il risultato sarà sempre 0, ad eccezione del caso in cui pure

l’esponente è 0. Quindi:

0n = 0, per n ≠ 0

Esempi 02

= 0, 060

= 0

Se l’esponente è 0, il risultato sarà sempre 1, ad eccezione del caso in cui la

base è pure 0. Quindi:

n0

= 1, per n ≠ 0

esponente

base

Esempi: 10

= 1, 60

= 1, 700

= 1

NOTA: 00

è considerato una forma indeterminata, cioè non è possibile

determinarne il risultato.

Espressioni e proprietà delle potenze

Le proprietà delle potenze sono delle regole matematiche che permettono di

svolgere le principali operazioni con le potenze e le espressioni.

Grazie a queste proprietà vengono semplificati notevolmente i calcoli. Per

ricordarle in modo veloce utilizziamo una tabella già pronta.

Nomi particolari

Se l’esponente è 2, possiamo anche dire “al quadrato”.

Se l’esponente è 3, possiamo anche dire “al cubo”.

Esempi:

32

: si può leggere “tre elevato a due”, “tre alla seconda” o “tre al quadrato”

53

: si può leggere “cinque elevato a tre”, “cinque alla terza” o “cinque al

cubo”

Perché? Puoi fare qualche ipotesi?

Ti do un suggerimento …. Pensa alle figure geometriche che hai studiato ed

in particolare ad uno speciale quadrilatero.

Quello con i lati e gli angoli tutti uguali.

“Ma Si!” Ti sto suggerendo di pensare proprio al QUADRATO!

1- Moltiplicazione di basi diverse

con esponenti uguali

2- Divisione di basi diverse con

esponenti uguali

3- Moltiplicazione di basi uguali

con esponenti diversi

4- Divisione di basi uguali con

esponenti diversi

5- Potenza di una potenza

Ricorda che a e b sono i numeri della base

n - p sono gli esponenti diversi

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La misura della superficie (AREA) di un quadrato che ha

i lati di 1m è evidentemente “un metro quadrato” – 1² m²

Qual è l’area di un quadrato che ha il lato di 2 m? e di

3m? e di 4m? ecc. ecc. (continua sino a 10)

I risultati di questi elementari problemi di geometria

saranno dei numeri (in questo caso sarebbe meglio dire

misure) che vengono chiamati quadrati perfetti.

__________________________________________________________Fine prima parte.

Esercizi di preparazione alla verifica:

1. Scomponi i seguenti numeri in fattori primi come nell’esempio:

(Esempio) 44 = 4 11 = 2 2 11 = 22

11

48=

49 =

162=

180=

2. Semplifica la scrittura usando la moltiplicazione e le potenze in modo

opportuno e calcola:

a) (Esempio) 2 + 2 + 2 + 4 • 4 = 2•3 + 42

= 6 +16 = 22

b) 6 ∙ 6 ∙ 6 =

c) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 =

d) 6 + 6 + 5 . 5 ∙ 5 =

e) 7 + 7 + 7 2 . 2 . 2 . 2 =

f) a + a + a + b + b + b + b =

g) x . x . x . x – y . y . y =

h) n . n . n . n – (t + t + t) =

i) c + c + c + c – c . c . c . c =

3. Completa

32 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 (“due elevato a tre”)

..... = 7 ∙ 7 = .......... ( .........................................................)

49 = ............... = .......... ( .........................................................)

..... = ............... = 25 (..........................................................)

..... = ............... = .......... ( “sei alla terza")

..... = ............... = .......... ( "otto al cubo”)

..... = ............... = 27 (……....................................................)

4. Le potenze di due. Completa la tabella:

02 12

22 32

42 52

62 72

82 92

…… …… 4 ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

5. Vero o falso?

V F V F

52 = 5 5 3

4 = 3 3 3 3

52 = 5 2 10

2 = 10 10

43 = 4 4 4 10

2 = 10 2

6. Casi particolari. Completa:

7. Casi particolari. Completa:

21

= ……… 30

= ……… 02

= ……… 12

= ………

05

= ……… 11

= ……… 112

= ……… 50

= ……

91

= ……… 10

= ……… 04

= ……… 14

= ………

Approfondimento. Da fare solo se desideri ottenere il massimo dei voti

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Le potenze: come e quando usarle

1.2 - La notazione scientifica:

descrivere macro e microcosmo

Passiamo alla seconda parte di questa lezione a distanza. Dopo tutti gli

esercizi, svolti con successo, usando l’operazione di Elevamento a Potenza

possiamo continuare a vedere come vengono usate le potenze in altre

discipline, per esempio le scienze chimiche, fisiche e biologiche.

La notazione esponenziale chiamata anche scientifica, perché è spesso

usata in tutte le scienze, serve per esprimere in modo conciso numeri molto

grandi o molto piccoli come prodotti di un coefficiente x per una potenza,

positiva o negativa a, di 10 (x·10±ª ). Questo tipo di notazione consente di esprimere diverse grandezze senza

utilizzare lunghe sequenze di zeri e consente di evitare ambiguità linguistiche

che differenziano diversi paesi che attribuiscono alla stessa parola valori

diversi (es. bilione europeo e quello statunitense).

Per convenzione, il numero x deve essere costituito da

una sola cifra intera seguita da uno o più decimali.

Nella notazione esponenziale/scientifica il numero 123.000.000

può essere rappresentato come 1,23·108 , mentre il numero 0,0123 può essere rappresentato come 1,23·10−8

Sono parimenti valide, ma non convenzionali, le seguenti scritture:

123.000.000 = 12,30·107 - 123.000.000 = 123,00·106

Per scrivere un numero in formato scientifico si sposta la virgola a sinistra, se

il numero è grande, o a destra, se il numero è piccolo, fino a trovare un

numero x inferiore a 10. Il numero degli spostamenti è l'esponente +a o -a di

10 da utilizzare nel formato x·10±ª. Per trasformare un numero dal formato scientifico nel valore decimale

corrispondente si segue la regola inversa.

Esempi:

Le calcolatrici scientifiche hanno tutte

un apposito tasto per questa notazione

(tasto [E] o [Exp], E che sta per

esponente).

Solo un paio di esercizi adesso:

1. Dimensioni di un virus = 0,000001m = ……….m= 1 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟o Ƞ 2. Distanza media Terra-Luna 3,844·105 km= ……………………………

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UDA 2 MAT : 2 ore

A= 6•s²

v= s³

Il cubo

In geometria abbiamo studiato il quadrato, abbiamo imparato a calcolare il suo

perimetro e la misura della sua superficie, che chiamiamo AREA, partendo dalla

misura di lunghezza del suo lato. In questa lezione passiamo a conoscere una

figura tridimensionale che è composta da 6 quadrati:

IL CUBO

Hai mai giocato a dadi? Si? _ ! No? _ ! Forse….

È probabile anche che tu abbia tentato di risolvere il rompicapo chiamato

cubo di Rubik o cubo magico, un famoso twisty puzzle 3D inventato dal

professore di architettura e scultore ungherese Erno Rubik nel 1974.

Se la risposta è sì, conosci sicuramente già il cubo.

Ora studieremo le sue proprietà geometriche.

Il cubo è un parallelepipedo particolare: le sue facce sono dei quadrati, tutti

congruenti tra loro, cioè si possono perfettamente sovrapporre uno sull’altro.

Per questo motivo questo solido si può anche chiamare esaedro regolare. Il

prefisso “esa-” deriva dal greco, e sta a significare che questo solido presenta

6 facce.

Gli spigoli del cubo hanno quindi tutti della stessa lunghezza

Il cubo ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli.

Per rappresentare il cubo di solito si usa un modello.

s

diagonale del cubo

spigolo

vertice

faccia

diagonale di una faccia

Nota come gli spigoli che non si

vedono sono stati tratteggiati.

Attività: Prova a ricopiare alcune volte

a matita lo schizzo del cubo a fianco

di quello rappresentato, finché ottieni

uno schizzo che ritieni soddisfacente.

La figura rappresenta qui sotto è uno dei possibili sviluppi del cubo.

Lo sviluppo di un solido è la rappresentazione della sua superficie su un

piano.

Partendo dallo sviluppo è possibile costruire un cubo di

carta.

Esistono diversi sviluppi per il cubo.

Prova a disegnarne qualcuna.

Attività: disegna in modo preciso lo sviluppo di un cubo di spigolo 5 cm su

un foglio A4. Ritaglialo e poi incolla usando un nastro adesivo le sue facce in

modo da poterlo costruire.

Possiamo definire il cubo come un parallelepipedo rettangolo che abbia come

facce quadrati con lo stesso lato. Pertanto, in corrispondenza di ciascun

vertice del cubo si incontrano tre facce tra loro perpendicolari.

IL VOLUME

Il cubo è l’unico solido regolare con cui si può riempire lo spazio

tridimensionale senza lasciare “buchi” tra un solido e l’altro. Per questo motivo

il cubo con lo spigolo lungo 1 metro è stato scelto come unità di misura del

volume e pertanto si chiama metro cubo e si scrive m³.

Il volume di un corpo (solido) è

l’estensione spaziale di un solido

geometrico e sua misura.

Nello studio delle scienze naturali il volume è

definito come lo spazio occupato da un

corpo; per i gas e i liquidi corrisponde al

volume del recipiente che li contiene.

La figura e le equivalenze che seguono

mostrano che 1cm³ corrisponde alla

millesima parte del litro cioè un mL.

Modello di

cubo

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UDA 2 MAT : 2 ore

Formule per il cubo

Esistono molte formule utili per il cubo, grazie alle quali possiamo ricavare il

valore delle grandezze a esso relative.

Superficie di base: La base di un cubo è sempre un quadrato di lato L, in

qualunque modo si scelga di orientare il solido; quindi:

A base = L²

Superficie laterale: La superficie laterale di un cubo è sempre costituita da

quattro quadrati di ugual lato L: quindi:

S lat. = 4L²

Superficie totale: Ciascuna delle sei facce di un cubo è un quadrato di lato L,

e quindi:

S tot = 6L²

Volume: Ciascuna delle tre dimensioni è uguale ad L e quindi:

V = L³

Problemi:

1. Un cubo ha lo spigolo lungo 15 cm. Calcola la misura dell’area della

superficie laterale e totale e il suo volume.

2. Calcola la misura dell’area della superficie laterale e totale e il volume

di un cubo con lo spigolo lungo 2,3 cm.

3. Quanta acqua può contenere un recipiente di forma cubica, riempito

sino all’orlo, il cui spigolo è lungo 4,5dm?

Un problema di volume con le equivalenze (APPROFONDIMENTO)

Determina il volume in litri di 2Km³ di aria.

(Per risolvere l’esercizio bisogna trasformare prima i km in metri e poi in dm.

Ricorda di usare le potenze del 10)