Le onde sismiche

Propagazione delle onde sismiche

Ingredienti:•Sforzo, deformazione•Legge di Hooke (comportamento elastico)•Equazione del moto

Ipotesi semplificative:•gli spostamenti associati alla propagazione delle onde sono di piccola entità•Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo “elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta rimossa la sollecitazione esterna)

Definizione di sforzo

A

fA

0lim

sforzo normale

sforzo di taglio

Definizione di deformazione

totale(volume) lunghezza

(volume) lunghezza di VariazioneNEDEFORMAZIO

L

ΔLε

Relazione sforzo-deformazioneel

astic

o

plasticorottura

Legge di Hooke

Per un corpo elastico:

st = m . e

m = rigidità

Onde elastiche (sforzo normale)

n nn Δσσ dx

du

x

u

L

L

xdx

d

u

un

nn

)2(

2

2

con

dt

uda

Vdx

dAx

dx

dF

maF

2

2

dt

ud

dx

d

2

2

2

22

dt

ud

dx

ud

Equazione d’onda

Onde P

2

2

2

22

dt

ud

dx

ud

2

PV

Descrive un’onda che si propaga con velocità

L’equazione

Con polarizzazione longitudinaleTali onde sono chiamate Onde P (o di pressione, o primarie)

Soluzione dell’equazione delle onde e velocità di propagazione

2

2

2

22

dt

ud

dx

udV

)()(),( VtxfVtxftxu

La soluzione generale dell’equazione delle onde è:

tVx

ttVxxVtx

)()( 0000

viola il principio di causalità

Onde elastiche (sforzo di taglio)

t tt Δσσ dx

dv

x

v

xdx

d

v

vt

tt

2

2

con

dt

vda

Vdx

dAx

dx

dF

maF

2

2

dt

vd

dx

d

2

2

2

2

dt

vd

dx

vd

Equazione d’onda

Onde S

2

2

2

2

dt

vd

dx

vd

SV

Descrive un’onda che si propaga con velocità

L’equazione

Con polarizzazione trasversaleTali onde sono chiamate Onde S (o di taglio (shear), o secondarie)

Fronte d’onda - Raggio

)(),( Vtxftxu

La soluzione dell’equazione d’onda è:

fase

Le superfici in cui la fase è costante sono dette fronti d’onda

Le curve punto per punto ortogonali ai fronti d’onda sono dette raggi

Onde P e onde S

3

opoissonian mezzoun In

sp

sp

vv

vv

Polarizzazione onda S

Polarizzazione onda P

Onde di volume Onde P (polarizzazione longitudinale)

Onde S (polarizzazione trasversale)

Il sismogramma: fasi P e fasi S

Campi Flegrei 23/02/1984

Attenuazione geometrica delle onde sferiche

Flusso di energia per unità di superficieed unità di tempo:

2cost AE

Il flusso totale di energia che attraversai fronti d’onda ad istanti successivi deveconservarsi:

1

2

2

1

222

2211

2

)(

)(

4)(4)(

00

r

r

rA

rA

rrArrA

SS tttEttE

rrA

1)(

Propagazione delle onde sismiche in mezzi complessi

Esempio di traiettoria dei raggi sismici in un modello di Terra a strati piano-paralleli

Dromocrone

1v

xt

v1

x

v1h

x

v1

v2l

h

x

1

22

22

v

hx

t

xl

v

x

v

h

v

l

v

hlx

t

2121

22

22

2

t

x

1

2

v

h

1

1

v

2

1

v

Distanza criticaL’onda rifratta non esiste per tutti gli angoli di incidenza, ma a partire dall’angolo critico

v1

h

xc

ic

90°v2

21

22

1

2

2

1

21

2

1

21

2

1

2cos

sin2

arcsin1sin

vv

vh

vv

/vvh

i

ihx

v

v i

vv

i

c

cc

cc

Onde di superficie

In un mezzo omogeneo e illimitato si generano e propagano solo onde P ed S (onde di volume)

In un mezzo stratificato l’impatto delle onde di volume con le superfici di discontinuità genera onde di superficie che si propagano lungo l’interfaccia:

Non si ha trasmissione di onde al di là della superficie libera perché le costanti elastiche dell’atmosfera sono di alcuni ordini di grandezza inferiori a quelle delle rocce (o degli oceani)

Onde di superficieOnde di Rayleigh (moto ellittico retrogrado)

Onde di Love (moto trasversale orizzontale)

Fenomeno della dispersione -ωαz -2πf z

o os ω,z µA e =A e |s ,z | è lo spettro di ampiezza

z ha le dimensioni dell'inverso di una lunghezza

f0 0

v λωµz =1 2π αz =1 zo=

λ 2πfα

Si definisce profondità di penetrazione dell’onda il v alore Z0 della profondità per il quale l’ampiezza dell’onda si riduce di 1/e

Per un’onda di Rayleigh:

fvω=2πf=2π vf velocità di propagazione nel mezzo

λ

Velocità di fase e di gruppo• Velocità di fase:Lo spazio percorso da un piano di uguale

fase dell’onda di pulsazione w fissata nell’unità di tempo

f

ω 2πv = con k= numero d'onda

k λ

• Velocità di gruppo:Rappresenta la velocità di una superficie

dell’onda di ampiezza fissata

g

g

dωv =

dkdalla definizione della velocità di gruppo

e tenendo conto che per le varie fasi:

vω=2πf=2π =vk

λ1 dv

v =v+λ d 1/λ

g

dvse <0 allora v <v

dkCaso delle onde superficiali in mezzo dispersivo

Attenuazione geometrica delle onde di superficie

2cost AE

1

2

2

1

222

112

)(

)(

2)(2)(

00

r

r

rA

rA

ZrrAZrrA

SS tttEttE

rrA

1)(

Onde di superficie nella registrazione di un telesisma

P

S

Onde di superficie

Taiwan 20/9/1999 Ms=7.6 D=10000Km

Attenuazione anelastica delle onde sismiche

La non perfetta elasticità della Terra produce un’attenuazione nell’ampiezza delle onde con la distanza.

Per un’onda monocromatica, si ha:

VQ

ω x

eAQxA 20),,(

E

E

Q 2

1

Q è detto fattore di qualità ed è legato alla quantità di energia dissipata per ciclo d’onda:

Sviluppo in serie di FourierÈ possibile dimostrare che una funzione periodica, di periodo T, che soddisfa certe condizioni, può essere rappresentata come la sovrapposizione di un numero (infinito) di funzioni seno e coseno con frequenze 1/T, 2/T, 3/T, …

Sia f(t) una funzione periodica di periodo T

1

0 )sin()cos()(n

nn tnbtnaatf

T

n

T

n

T

dtTntfT

b

dtTntfT

a

dttfT

a

T

nn

0

0

00

)sin()(1

)cos()(1

)(1

2

Sviluppo in serie di Fourier

2cos

2sin

ixix

ixix

eex

i

eex

n

ntin eCtf )(

Trasformata di Fourier

Data una funzione continua f(t), la sua trasformata di Fourier è:

dtetfF ti

)(

2

1)(

Tale trasformata è reversibile, ovvero esiste un’operazione di antitrasformata di Fourier:

deFtf ti

)()(

Spettro di ampiezza e spettro di fase

La trasformata di Fourier è in generale una quantità complessa:

)()()( iBAF

fase di spettro )(

)(arctan)(

ampiezza di spettro )()()( 22

A

B

BAF

Un esempio