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le INDICAZIONI NAZIONALI per la COSTRUZIONE del CURRICOLO VERTICALE di MATEMATICA Bari febbraio 2017 Margherita D’Onofrio
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le INDICAZIONI NAZIONALI
per la COSTRUZIONE del
CURRICOLO VERTICALE di
MATEMATICA
Bari febbraio 2017
Margherita D’Onofrio
Il progetto
Il progetto si propone come un progetto
pluriennale che intende fornire agli insegnanti,
strumenti teorici e operativi per recuperare il
valore formativo dell'insegnamento della
matematica, nell’ottica del "curricolo verticale".
Verrà dato ampio spazio alle attività che
caratterizzano il "fare matematica" come il problem
solving e alle strategie didattiche e metodologiche
quale la didattica laboratoriale
Il progetto
I docenti della rete, costituiranno il gruppo di
ricerca sul curricolo di matematica con l'intento di
creare all'interno della rete degli Istituti,
un'organizzazione capace di progettare e
sperimentare nelle classi scelte, una reale
innovazione curricolare nell'insegnamento della
matematica, dalla scuola dell'infanzia fino al
biennio della scuola secondaria II grado.
Il progetto
1) Geometria: Dalla realtà alle figure. (Lab. per la
continuità tra gli ordini di scuola)
2) Numeri e frazioni: contiamo, dividiamo, numeriamo!
Le intenzioni
Le Indicazioni 2012 possono costituire
un'importante occasione per iniziare
in tutte le scuole di base a
costruire effettivamente il curricolo verticale per
competenze
se le condizioni necessarie verranno
affrontate e gradualmente risolte
Le intenzioni
Cosa c’è?
Istituto comprensivo
Indicazioni nazionali per infanzia e primo ciclo
La Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio del 18 dicembre 2006 sulle competenze chiave per
l‟apprendimento permanente (asse matematico, asse dei linguaggi, …)
Elevamento dell’obbligo di istruzione a 10 anni (legge 26 dicembre 2006, n. 296, articolo 1, comma 622)
Riordino dei licei e riordino dei tecnici e dei professionali
Indicazioni per i licei e Linee guida per i tecnici e professionali
le intenzioni
Le competenze matematiche nella scuola dell'obbligo
INVALSI
QUADRO DI RIFERIMENTO SECONDO CICLO DI ISTRUZIONE
QUADRO DI RIFERIMENTO PRIMO CICLO DI ISTRUZIONE
per la PROVA DI MATEMATICA
Le competenze matematiche nella scuola dell'obbligo
le intenzioni
Cosa manca?
Il percorso che porta alla costruzione del
curricolo verticale vero, quello che si
realizza nelle classi e che permette a tutti
di raggiungere competenze durature
Le indicazioni per il curricolo
La costruzione del curricolo non è un adempimento
formale, ma è “il processo attraverso il quale si
sviluppano e organizzano la ricerca e
l’innovazione educativa” pag. 17 delle indicazioni ..\
La trasformazione di tutte le scuole in comunità
professionali caratterizzate da “partecipazione”
ed
“apprendimento continuo”
Le i n t enz ion i
Un po’ di storia
La “rivoluzione” del 1962
1979 Programmi scuola media
1985 Programmi della scuola elementare
1991 Orientamenti per la scuola dell‟Infanzia
2000 Legge Berlinguer (mai diventata effettiva) sul riordino dei cicli - Commissione nominata dal ministro De Mauro per i programmi
2003 Legge Moratti sul riordino dei cicli
2004 Indicazioni nazionali per il primo ciclo (Moratti)
2005 Indicazioni nazionali per il secondo ciclo (ritirate)
2007 Indicazioni per il curricolo (Fioroni)
2012 Indicazioni DM 16 novembre 2012, n. 254
L e i n t e n z i o n i
Un po’ di storia
La “rivoluzione” del 1962
La scuola media da scuola d’élite a scuola di tutti
Programmi per la scuola media del 1979
Programmi per la scuola elementare del 1985
Orientamenti per la scuola dell‟infanzia 1991
Istituti Comprensivi
istituiti ai sensi della L.97/1994, nota come „legge per la montagna‟
Autonomia scolastica 1999
Le i n t enz ion i
l’art. 19, commi 4, del D.L. n.98 del 6 luglio 2011, convertito, con modificazioni dalla legge 15 luglio 2011, n.111 ha previsto
Per garantire un processo di continuità didattica nell’ambito dello stesso ciclo di istruzione, a
decorrere dall‟anno scolastico 2011-2012 la scuola dell‟infanzia, la scuola primaria e la scuola
secondaria di primo grado sono aggregate in istituti comprensivi
La generalizzazione degli istituti comprensivi, che riuniscono scuola d‟infanzia, primaria e secondaria di primo grado, crea le condizioni perché si affermi una scuola unitaria di base che prenda in carico i bambini dall‟età di tre anni e li guidi fino al termine del primo ciclo di istruzione e che sia capace di riportare i molti apprendimenti che il mondo oggi offre entro un unico percorso strutturante. (Profilo per lo studente)
Profumo
Indicazioni nazionali per il curricolo
della scuola dell‟infanzia e del primo ciclo d‟istruzione 2012
Misure di accompagnamento 2013
L e i n t e n z i o n i
L‟introduzione dell’autonomia scolastica, ha sancito il passaggio
e all‟introduzione della problematica delle
programma curricolo
competenze
Le intenzioni
L i n e e g u i d a p e r l a c e r t i f i c a z i o n e d e l l e c o m p e t e n z e
Curricolo
Finalità
maturazione delle
competenze
Caratteristica fondamentale
La capacità di individuare con
chiarezza i fini complessi del percorso
di apprendimento e cercare di
raggiungerli usando flessibilmente
come mezzi le discipline, i traguardi
per lo sviluppo delle competenze e gli
obiettivi di apprendimento individuati
nelle Indicazioni
Costruzione del curricolo
«processo attraverso il quale si sviluppano e
organizzano la ricerca e l’innovazione educativa»
Non mero compito burocratico
Né scegliere lo stesso argomento per tutti gli
ordini di scuola
Occasione per ripensare l’intera prassi
didattica e
valutativa
Operazione da inserire nel quadro della
proposta culturale e pedagogica che emerge
dalle Indicazioni nazionali
L e i n t e n z i o n i
Anna Maria Ajello mette in evidenza come la problematica delle
competenza sia stata nella maggior parte dei casi banalizzata, sia
diventata sostanzialmente una pratica burocratica, ispirata a stantii
modelli pedagogici:
“nella scuola le diverse caratteristiche richiamate per le prestazioni
professionali non si sono tradotte in nuove modalità di pensare e
realizzare l‟intervento didattico, ma piuttosto hanno avviato una deriva
assolutamente banalizzata di “programmazione per competenze”…
Questa locuzione perciò non ha mai modificato
sostanzialmente il modo di insegnare.
L e i n t e n z i o n i
Quando parliamo di un apprendimento che fa diventare competente,
noi ci riferiamo a qualcosa che si apprende fino in fondo, di cui si
prende possesso, che si padroneggia.
Non si tratta di memorizzare soltanto un‟informazione che può esser
subito dimenticata, che si assume magari per dovere o per
benevolenza nei confronti dell‟insegnante, informazione che si può
verificare con un test oggettivo; parliamo invece di un
apprendimento acquisito in profondità, che mette in grado chi
impara di servirsi di quella conoscenza nei diversi contesti di uso
…
Le i n t enz ion i
Padroneggiare una conoscenza, avere una vera
padronanza comporta tuttavia un tempo adeguato: non si
può acquisire se non selezionando molto i contenuti.. Ma
alla selezione è necessario che si accompagni anche il
coinvolgimento attivo degli studenti …
Non è quindi apprendere per competenze,
ma apprendere
“diventando competenti”
L e i n t e n z i o n i
“Fin dalla scuola dell‟infanzia, nella scuola primaria e nella scuola
secondaria di primo grado l‟attività didattica è orientata alla qualità
dell‟apprendimento di ciascun alunno e non ad una sequenza lineare, e
necessariamente incompleta, di contenuti disciplinari”
Il centro non è la prescrittività del programma
ma l’apprendimento di ciascun allievo
Oggi sembra essere una concezione diffusa l‟idea che la
realizzazione di una scuola di massa e di qualità sia
connessa a questo passaggio
Le i n t enz ion i
scuola del
curricolo
scuola della
complessità
Le in tenzioni
metodologie e modalità relazionali innovative
mettono in discussione il ruolo tradizionale dell‟insegnante
insieme agli allievi, della conoscenza
Insegnante
trasmettitore
Insegnante
costruttore
Le i n t enz ion i Le misure di accompagnamento alle
indicazioni per il curricolo
Le nuove Indicazioni presentano un modello di
scuola impegnativo, che costituisce un punto di
riferimento obbligatorio, pur nel rispetto della
libera iniziativa didattica degli insegnanti e
nell‟esercizio dell‟autonomia progettuale delle
singole scuole.
I documenti, però, non hanno una forza
propulsiva autonoma, rischiano di rimanere
nell‟ombra e non sono sempre conosciuti in
modo adeguato.
Le i n t enz ion i Le misure di accompagnamento alle
indicazioni per il curricolo
È stato istituito un Comitato scientifico nazionale (CSN) “ incaricato
di indirizzare, sostenere e valorizzare le iniziative di formazione e di ricerca, per aumentare l'efficacia dell‟insegnamento in coerenza con le finalità e i traguardi previsti nelle Indicazioni”.
Gli approcci metodologici possono essere diversi, ma ciò che interessa è che le azioni avviate
abbiano una ricaduta nelle pratiche didattiche, grazie ad un percorso che si perfeziona e si migliora strada facendo, attraverso la riflessione, la riprogettazione, il confronto
Le i n t enz ion i
L‟attività di ricerca richiede l'organizzazione di
momenti in cui gli insegnanti si incontrano
per riflettere sul proprio operato e migliorarlo,
fino a costituire comunità professionali in cui,
mettendo in comune le conoscenze e le
esperienze, si acquisisce un sapere e un saper
fare molto più vasti.
Ci sono difatti delle esperienze diseducative … E ancora, le esperienze
possono essere così sconnesse tra loro che, per quanto ognuna sia
gradevole o anche stimolante in sé, esse non costituiscono un tutto ben
saldo … Fino a che l’esperienza non è concepita in modo che quello
che ne risulta sia un piano, essa è campata in aria … Che
l‟educazione tradizionale fosse una “routine” in cui i piani e i
programmi erano trasmessi dal passato, non implica affatto che
l’educazione progressiva debba essere un improvvisazione”
Dewey, Esperienza e educazione, La Nuova Italia, p. 11
Non episodiche esperienze e il resto tale e quale
Si è riusciti negli intenti?
Ma il problema della scuola di qualità per tutti
è risolto?
Indagini internazionali, Indagini nazionali
sulla popolazione scolastica
sull‟intera popolazione
ci dicono di no
Le competenze degli adulti italiani risultano ben al di sotto della media dei
paesi Ocse. Si tratta di competenze fondamentali per la crescita individuale, la
partecipazione economica e l‟inclusione sociale.
Fonte: elaborazione ISFOL su dati OCSE-PIAAC 2012 – Tab.A3.9
Figura 3.7 - Punteggio medio degli adulti 16-65 anni sulla scala di competenze di
numeracy per Paesi OCSE- PIAAC
Risultati insoddisfacenti
Anche l‟insegnante nel suo lavoro quotidiano registra i fallimenti dell‟intervento didattico
alta percentuale di debiti in matematica
bassa percentuale di iscritti alle materie scientifiche e soprattutto in matematica
Ho spiegato e rispiegato ma per molti di loro non c’è niente da fare
Ho la coscienza a posto
Le pratiche didattiche
Scarsi risultati sul senso di quello che si sta facendo
Da Insegnare 11/02
Indica i due interi consecutivi tra cui è compreso il
numero –
9 alunni su 50 rispondono correttamente
il valore della frazione è compreso tra –2 e –1
15 rispondono tra –1 e -2
4 tra -282 e -283
3 tra 1 e 2
13 risposte varie
6 non rispondono
Le pratiche didattiche Da prova 3° media Invalsi 2007-08
Risposte corrette A 39,9%
Risposte scorrette 55,1
B 12,3%
C 22,3%
D 20,5%
Omissioni 5,0%
Le pratiche didattiche Da prova 3° media Invalsi 2011-12
Risposta corretta 56,7%
Risposta errata 35,1%
Non risponde 8%
Le pratiche didattiche
Vengono fuori due nodi concettuali:
il passaggio dalla frazione operatore alla
frazione numero non è per niente lineare
difficoltà a ragionare nell’universo dei numeri
con segni
Si è riusciti negli intenti? Prova invalsi 5° primaria 2014
Si è riusciti negli intenti?
Il 60% di risposte sbagliate
Prova invalsi 2° primaria 2016
Si è riusciti negli intenti? Da prova 5° primaria Invalsi 2014
Questo problema richiede riconoscere
quali rappresentazioni di ¼ della
superficie di un quadrato sono
corrette.
Le pratiche didattiche
C8. Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al
Totocalcio in questo modo: al padre spetta 1/3 dell’intera
somma, e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i figli.
Quale frazione della somma spetta a ognuno dei figli?
A 1/2
B 1/3
C 1/4
D 1/6
Solo il 36% ha dato la risposta corretta
Le pratiche didattiche Da prova 3° media Invalsi 2011-12
Risposte corrette C 24,1%
Risposte scorrette A 26,9%
B 30,8%
D 16,4%
Omissioni 1,6%
Le pratiche didattiche
Nella pratica scolastica si tende a far fare ai ragazzi tanti problemi o tanti esercizi?
Ci si concentra sul risultato o su come si arriva ad un determinato
risultato?
Cosa si sta suggerendo al
bambino?
Di leggere o un
procedimento automatico?
Le pratiche didattiche
S. Baruk, B. D‟amore
La matematica è identificata con i calcoli
“Un pastore ha 12 pecore, 6 capre. Quanti anni ha
il pastore?
12+6=18
Sei proprio sicuro?
Si
Perché non il diviso?
No, è troppo piccolo
Le pratiche didattiche
Questo accade per la consuetudine stabilitasi tra l‟insegnante e gli allievi: se la maestra dà un problema da risolvere vanno fatti dei calcoli. (B. D‟Amore, 1993)
Contratto didattico, G. Brousseau (1986) fu il primo a parlarne
Le abitudini del maestro attese dall‟allievo ed i comportamenti dell‟allievo attesi dal maestro costituiscono il contratto didattico
Queste attese spesso sono dovute ad accordi impliciti.
Le pratiche didattiche
Nel caso del problema del capitano
- il problema di matematica deve avere una soluzione
in ogni caso;
- tale soluzione deve essere ottenuta con una o più applicazioni di una o più delle quattro operazioni canoniche;
- nel modo più breve possibile;
- indipendentemente dal senso del testo proposto come
stimolo.
Le pratiche didattiche
Concezione della scuola
l’allievo ritiene la scuola direttiva e valutativa
Concezione della matematica:
se lo studente ritiene che la matematica sia fare calcoli,
li farà anche quando non vengono richiesti
Se per 2-3 volte il venerdì l‟insegnante farà fare esercitazione in classe, gli allievi penseranno che
tutti i venerdì si faranno esercitazioni
Molti fenomeni legati al disinteresse o all’ignoranza si spiegano in questo modo
Le pratiche didattiche
Riflettere Agire
Ragionare Ricordare
Nella consuetudine
Le pratiche didattiche
Ha prevalso e ancora prevale la consuetudine
Matematica addestrativa: Regola-applicazione
Il modello implicito di riferimento per molti insegnanti del primo ciclo è quello liceale
L‟asse algebrico-analitico delle superiori influenza il tipo di matematica della scuola media e anche della scuola primaria
Le pratiche didattiche
I contenuti calcolistici sono ideali per questo tipo di
metodo
Questo apprendimento è molto labile, perché non è
sorretto dalla comprensione
Cosa fare?
I fili da annodare sono tanti
Apprendimento/insegnamento
Il cambiamento c’è se l’insegnamento ha avuto successo
Un insegnamento che non cambia niente è come se non ci fosse stato
Dal vocabolaro Treccani
Apprendimento
Nella ricerca sia psicologica sia etologica, acquisizione persistente
di modificazioni del comportamento, ….
L’insegnamento è un‟attività sovversiva in quanto
cambia il modo di guardare il mondo da parte dell‟allievo L’insegnamento come attività sovversiva Neil Postman e Charles Weingartner
Apprendimento/insegnamento
Complessità dell‟apprendimento/insegnamento
In questi processi sono coinvolti l’insegnante, l’allievo
e l’oggetto dell‟insegnamento, nel nostro caso la
matematica. Triangolo proposto da Yves Chevallard, 1982
ALLIEVO
SAPERE (MATEMATICA)
INSEGNANTE
Esperto di
didattica
della
matematica
oltre ai tre poli, anche le relazioni tra di essi
ALLIEVO
SAPERE
(MATEMATICA)
INSEGNANTE
Il ruolo cambia a seconda del modello didattico di riferimento
I saper i
Si deve operare una trasposizione didattica
(Y. Chevallard,1985)
dal sapere (accademico, che sorge dalla ricerca)
al sapere insegnato (quello della pratica in aula)
I s a p e r i
In realtà, il passaggio è molto più complesso perché va
Attenzione!!!
La trasposizione didattica non è una semplificazione
dal sapere matematico (accademico)
al sapere da insegnare (programmi, libri di testo, abitudini consolidate)
al sapere insegnato (praticato in classe)
al sapere appreso
comunità scientifica e non
insegnanti e insegnanti esperti
I s ape r i
ma devono essere contemporaneamente
I saperi essenziali non sono i saperi minimi
fondamentali
nella cultura,
nella disciplina
adeguati alle
strutture
motivazionali e
cognitive degli
allievi
I s ape r i
conviene fare una chiara distinzione tra
Contenuti e gerarchie concettuali
le reti
concettuali
teoriche
l’organizzazione
didattica dei
concetti
più opportuna per i processi di apprendimento
(età, motivazioni, stili di apprendimento, prerequisiti
posseduti dagli allievi oltre che degli ostacoli
epistemologici della disciplina)
La MATEMATICA per il cittadino
“la matematica dà strumenti per la descrizione
scientifica del mondo e per affrontare problemi
utili nella vita quotidiana;
contribuisce a sviluppare la capacità di
comunicare e discutere, di argomentare in
modo corretto, di comprendere i punti di vista e
le argomentazioni degli altri”.
Indicazioni 2012 Premessa pag 60
La MATEMATICA per il cittadino
Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata visione della
matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e
applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare
e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e
strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni
dell’uomo
La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e
progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti
vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese
Premessa alle Indicazioni 2012, pag. 60
Ostacoli
Perché la matematica è difficile?
Ci sono delle difficoltà intrinseche alla matematica?
La simbologia, la terminologia, l‟astrazione, il rigore, …
Ostacoli
Qualsiasi cosa si frapponga alla costruzione del sapere da
parte dell’allievo, sapere auspicato dall’insegnante
(Guy Brousseau, 1983) Ostacoli epistemologici in matematica
Maestro
elementare
ed esperto
di didattica
della
matematica
Ostacoli
L‟allievo, nel proprio percorso, si scontra con difficoltà analoghe a quelle a suo tempo incontrate dalla comunità dei matematici
Lo zero costituisce un ostacolo, comparve nel VI secolo d.c. in India ma la piena accettazione come numero risale al XVI secolo
Anche la storia dei relativi segue la sorte dello zero: India, molto
osteggiati
L’infinito matematico: basti pensare alle discussioni, alle lotte per
essere accettato
Il passaggio dai naturali ai razionali
Ostacolo Epistemologico È legato alla natura stessa dell’argomento
Ostacoli
quando 5 diventa un numero razionale
non ha più il successivo
ma lo studente continua a “forzare” le proprietà di N anche Q;
per cui 2,33 è il successivo di 2,32
0,3 × 0,5 = 0,15 è più piccolo di ciascuno dei fattori
novità sconcertante
La conoscenza dei numeri naturali è indispensabile per acquisire quella dei razionali ma, nello stesso tempo, è un ostacolo a questa acquisizione.
Il passaggio dai naturali ai razionali
il numero naturale 5
ha un successivo
il suo prodotto per un altro numero naturale sarà più grande di
esso, eccetera.
Ostacoli
Chi apprende sviluppa capacità e conoscenze
adatte alla sua età mentale
Queste capacità possono essere insufficienti per
comprendere una proposta didattica e quindi
possono costituire un ostacolo
Ostacolo ontogenetico
È riferito allo studente e alla sua maturità
Ostacoli
Come dice Piaget:
Il soggetto è in grado di assimilare ciò che le assimilazioni precedenti lo hanno predisposto ad assimilare. Tra il vecchio e il nuovo non può esserci uno scarto troppo grande
Contenuti inadeguati all‟età mettono in atto processi che non solo portano a conclusioni errate e quindi a misconcetti ma determinano metodi procedurali che difficilmente possono essere sostituiti.
contenuti
inadeguati misconcetti
Ostacoli
La presentazione che alcuni insegnanti fanno
degli oggetti infiniti
Es: Il segmento come una collana di perline
Diventa un ostacolo quando si deve introdurre
l‟idea di densità nella scuola media e di
continuità nella scuola superiore
Ostacolo didattico È riferito alle scelte strategiche dell’insegnante
Ostacoli
Ostacoli
Alla luce di quanto detto l’errore non è solo frutto di
ignoranza ma potrebbe essere un ostacolo nel senso
sopra detto
Atteggiamento di ricerca …
Oggi i ricercatori mettono in discussione la scelta
di assumere
l’errore come indicatore oggettivo di difficoltà
l’assenza di errore garanzia di comprensione
La MATEMATICA per il cittadino
per realizzare apprendimenti significativi e,
competenze culturali durature
occorre
selezionare
saperi essenziali
praticare
metodologie innovative e
modalità relazionali collaborative
La tradizione
Visione
“tradizionale”
il
contenitore vuoto
da riempire
La conoscenza può essere solo trasferita
dall‟insegnante all‟allievo
Unica domanda:
qual è il modo migliore per farlo?
Ruolo della comunicazione sottovalutato
o travisato
L‟insegnante spiega, l‟allievo ripete
quello che l‟insegnante ha spiegato
La tradizione
Matematica addestrativa: Regola-applicazione
Riflettere Agire
Ragionare Ricordare
L’apprendimento costruttivo
La conoscenza è in gran parte costruita dal discente
Che non si limita ad aggiungere nuove informazioni al
suo magazzino di conoscenze ma
crea collegamenti e relazioni fra queste
L’apprendimento costruttivo
L‟allievo interpreta i messaggi dell‟insegnante alla luce delle proprie
conoscenze esperienze convinzioni
Queste teorie o visioni del mondo sono utili e potenti.
Esse consentono ai bambini di dare un senso almeno provvisorio alla maggior parte
delle cose che si incontrano nel mondo. In parte questo loro potere è insidioso. Poiché
né i bambini stessi né gli adulti sono consapevoli di queste teorie, una volta che
cominci la scolarizzazione formale, esse tendono a venire ignorate. Tuttavia, anziché
dissolversi come avrebbero desiderato Piaget e altri educatori, le teorie intuitive
restano potenti mezzi di conoscenza e possono benissimo riemergere con tutta la loro
forza una volta che la persona lasci l’ambiente scolastico.
H. Gardner, Educare al comprendere, UE Feltrinelli 1993-2011
Psicologo
e docente
L’apprendimento costruttivo
• L‟atteggiamento della scuola è quello di ignorare queste teorie ingenue con la presunzione che impartendo lezioni “giuste” le teorie ingenue spariranno.
• La ricerca ci dice che non è così
• Se non si riescono a scardinare le teorie ingenue queste possono coesistere con le nuove creando conflitto e a vincere sono le prime
L’apprendimento costruttivo
Per la fisica, i misconcetti derivano dalle prime
interazioni che il bambino fa con la realtà, nel
tentativo di interpretarla
Per molti bambini il primo vero contatto con la
matematica avviene a scuola ed è proprio a scuola
che essi costruiscono eventualmente le prime
concezioni errate, interpretando i messaggi
dell‟insegnante
L’apprendimento costruttivo
L‟allievo infatti interpreta l‟esperienza con la matematica, in particolare i messaggi
che l’insegnante continuamente manda: messaggi che hanno come oggetto algoritmi,
termini, simboli, proprietà, concetti.
L‟allievo dà un senso a questi messaggi, senso che dipende naturalmente dalle
conoscenze che egli ha ma anche da tanti altri elementi meno ovvi. Quell‟algoritmo,
quel termine, quel simbolo, quella proprietà, quel concetto, verranno interiorizzati
secondo il senso attribuito dall‟allievo, e può accadere che tale senso non coincida con
quello che l‟insegnante intendeva comunicare. E‟ con questa accezione che in seguito
continuerò ad usare indifferentemente i termini concezioni errate, concezioni alternative,
misconcetti, misconceptions, pur consapevole dei limiti che alcune di queste espressioni
possono avere e che ho riportato prima.
Difficoltà in matematica, Rosetta Zan, pag. 77 - 2007
L’apprendimento costruttivo
p
L‟allievo interpreta i messaggi dell‟insegnante alla luce delle
proprie esperienze, conoscenze, convinzioni
interpretazione distorta misconcetti
Il segno di = inteso come comando
24x10=240:2=120
Che cosa significa il segno = in matematica?
LUI: tu per fare l‟uguale devi fare prima l‟operazione e poi devi fare l‟uguale, così ti
viene il risultato
GIO: uguale significa avere un risultato in un‟operazione, in una moltiplicazione e
così via ...
Un misconcetto così se non viene sradicato rimarrà anche
per sempre Crea problemi nel contesto algebrico dove è richiesta la valenza relazionale
L’apprendimento costruttivo
Ciò mette l’allievo e i suoi processi di pensiero al centro dell’attenzione dell’insegnante e del ricercatore
Il curriculum nascosto
Le interpretazioni che l’allievo fa dei messaggi
dell’insegnante
Come rendere trasparenti questi curricula nascosti?
La MATEMATICA per il cittadino
approccio laboratoriale e ludico
risoluzione di problemi
cura del linguaggio
Indicazioni nazionali per l‟infanzia e il primo ciclo
L’apprendimento costruttivo e il laboratorio
“In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia
come luogo fisico sia come momento in cui l'alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla
le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati,
negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle
conoscenze personali e collettive”. Si afferma inoltre che “si potrà utilizzare il gioco, che ha un ruolo
cruciale nella comunicazione, nell’educazione al rispetto di regole condivise, nell’elaborazione di strategie
adatte a contesti diversi” pag 60
giocare, muoversi, manipolare, curiosare, domandare, imparare a riflettere
sull‟esperienza attraverso l’esplorazione
l'alunno è attivo, formula le proprie ipotesi
progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte,
impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati,
L’apprendimento costruttivo e il laboratorio
La parola laboratorio può creare dei malintesi, dei
fraintendimenti, perché un’aula attrezzata
per altri versi oggi è molto abusata, infatti copre
molti significati corrispondenti ad attività didattiche
diverse dalla lezione curricolare
L’apprendimento costruttivo e il laboratorio
Noi pensiamo
laboratorio
luogo di costruzione dei
concetti
come momento
di scoperta
luogo in cui si lascia spazio a
problemi non standardizzati,
si confrontano e si discutono
L’apprendimento costruttivo e i problemi
approccio laboratoriale e ludico
risoluzione di problemi
cura del linguaggio
infanzia
primo ciclo
riflessione sull’esperienza attraverso la descrizione, la rappresentazione e
la riorganizzazione con criteri diversi
L’apprendimento costruttivo e i problemi
Caratteristica della pratica matematica è la
risoluzione di problemi, che devono essere intesi come
questioni autentiche e significative, legate spesso alla
vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere
ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente
ricordando una definizione o una regola.
L’apprendimento costruttivo e i problemi
Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla
discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e
determinazione situazioni-problema, rappresentandole in diversi
modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo
necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che
si intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando
possibili strategie risolutive.
pag. 60 delle Indicazioni, premessa Matematica
L’apprendimento costruttivo e i problemi
“Compromesso delle risposte corrette” (Gardner):
Insegnanti e studenti non sono disposti
ad assumersi i rischi del comprendere
e si accontentano dei compromessi
secondo cui insegnanti e studenti considerano che l‟educazione abbia avuto
successo quando gli allievi sono in grado di fornire le risposte accettate come
corrette
Ricordare
Problemi
Ragionare
Agire Riflettere
L’apprendimento costruttivo e i problemi
Se si pongono „problemi‟ e non solo „esercizi‟
l‟errore va messo nel conto
Oggi i ricercatori mettono in discussione la
scelta di assumere
l’errore come indicatore oggettivo di difficoltà
l’assenza di errore garanzia di comprensione
L’apprendimento costruttivo e i problemi
Nessuno può evitare di fare errori; occorre imparare a imparare da essi.. La sfida posta da un problema è il modo migliore di fare appello all’intelligenza che ogni alunno possiede, per aiutarlo a sviluppare le proprie doti Proporre un problema significa stimolare l‟allievo, lanciargli una sfida, spingerlo verso una ricerca personale che utilizzi le conoscenze già possedute per produrre nuove competenze.
L’insegnante sceglie
Quale problema?
Contenuto, complessità, varietà di strategie risolutive
Perché?
Introdurre nuove conoscenze, consolidare conoscenze e
abilità, verificare, …
Come usarlo?
In classe, a piccoli gruppi, individualmente e poi in
discussione
L’apprendimento costruttivo e i problemi
Scheda – Un problema sulle torte da Il racconto della matematica, Spirito, D’Onofrio, Petrini
Paolo ha davanti una bella torta. Paolo è molto goloso, ma non vuole essere egoista. Dopo un’ora passata a guardare la torta chiedendosi qual è la cosa giusta da fare, prende la sua decisione: taglia la torta a metà e si mangia una maxi-porzione (mezza torta!), lasciando l’altra metà per i suoi fratelli. Dopo un’altra ora, però, decide di ripetere il procedimento: taglia a metà quello che è rimasto della torta e si mangia una delle due parti. Dopo un’altra ora, stessa storia: taglia a metà quello che è rimasto, e si divora una delle due parti. Eccetera, eccetera …
Paolo si è sforzato di essere generoso; però, se i fratelli non si sbrigano a tornare a casa, resterà ben poco per loro!
Ti chiediamo:
Dopo 4 ore, quale frazione della torta è rimasta per i fratelli di Paolo?
Dopo quante ore è rimasto 1/64 della torta?
Dopo quante ore la torta è sparita completamente?
Scrivi il tuo ragionamento: __________________________________________________________________________________
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Discussione collettiva:
ho cambiato idea perché/non ho cambiato idea perché __________________________________________________________________________________
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Importanza di chiedere il perché sempre
Saper descrivere cosa si è fatto
L’apprendimento costruttivo e i problemi
L’apprendimento costruttivo e i problemi
È fondamentale dare
occasioni agli allievi di
prendere decisioni e
argomentarle
L’apprendimento costruttivo e i problemi
(Spirito, D’Onofrio, Petrini, 2002)
Una gita nel paese dei matematici
A volte, per evitare discussioni, all’entrata del negozio o dell’ufficio postale
vengono distribuiti dei numeretti. Nel paese dei matematici, dove Giulia e Paolo
sono in gita, usano molto questo sistema; purtroppo i numeretti che distribuiscono
sono … frazioni!
Ora, succede che a Giulia venga assegnato il numero 5/11 e a Paolo il numero
6/11. Per capire a che punto della fila toccherà a loro, i nostri due amici stanno
ripassando mentalmente tutti i metodi per fare i confronti tra frazioni. Sono pieni
di dubbi, ma di una cosa sono sicuri: subito dopo Giulia toccherà a Paolo; infatti,
non può esserci nessuna frazione compresa tra 5/11 e 6/11!
Ti chiediamo
Giulia e Paolo hanno ragione a pensare di essere in due posizioni immediatamente
consecutive nella fila?
Se Giulia e Paolo hanno torto, quante persone al massimo possono stare in mezzo a
loro nella fila?
L’apprendimento costruttivo e i problemi
Scrivi il tuo ragionamento:
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Discussione collettiva:
ho cambiato idea perché/non ho cambiato idea perché
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L’apprendimento costruttivo e i problemi
L’apprendimento costruttivo e i problemi
Caratteristiche di un problema “memorabile”
Per problema “memorabile” si intende un problema:
il cui testo susciti curiosità, fantasia
che permette di elaborare diverse strategie risolutive
che ha risultati sorprendenti
che permette la discussione in classe
da cui si può trarre una “morale”
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
approccio laboratoriale e ludico
risoluzione di problemi
cura del linguaggio
infanzia
primo ciclo
riflessione sull’esperienza attraverso la descrizione, la rappresentazione e
la riorganizzazione con criteri diversi
Linguaggio ragionamento apprendimento Parte integrante dell‟attività di laboratorio è la cura del linguaggio e del ragionamento
Traguardi al termine della scuola secondaria di primo grado
Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta
La conoscenza del mondo pag 28
I bambini esplorano continuamente la realtà e imparano a riflettere sulle proprie esperienze
descrivendole, rappresentandole, riorganizzandole con diversi criteri.
Premessa Pag. 60
Una attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di
discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti.
Traguardi al termine della scuola primaria
Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee e confrontandosi
con il punto di vista di altri.
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
più in generale la verbalizzazione aiuta i
processi di astrazione (la formazione dei
concetti)
Il linguaggio verbale aiuta
il passaggio dalla forma di pensiero comune
(basato su intuizioni e forme espressive
rudimentali) alla forma del pensiero scientifico
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
“Lo scritto, prima di essere un messaggio, introduce il rigore nella
classificazione delle cose; è la sua funzione primitiva e forse
primordiale.
La scrittura permette soprattutto l‟accostamento, in uno stesso spazio, di
enunciati che, nella loro forma orale, sono slegati. Si pone così il
problema della loro coerenza logica, problema che non si pone finché
ogni enunciato è separato, isolato, integrato in una circostanza”.
Bernard Rey, Ripensare le competenza trasversali, Milano, Angeli,2003
Rossana Nencini, Barberino del Mugello
Se l‟adeguatezza cognitiva dei quesiti è fondamentale,
altrettanto importante, è la possibilità di una scrittura
completamente autonoma da parte degli alunni.
Autonoma nel senso di una scrittura che non subisca nessuna
influenza da parte dell’adulto (insegnante) presente.
Quest‟ultimo ha un ruolo di regia determinante nella scelta e
nella formulazione del quesito , ma altrettanto determinante
è la sua ...... ”distanza” nell‟atto della scrittura dell‟allievo
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
Perché c’è la necessità di sottolineare questo aspetto che può sembrare banale.....
Perché la paura dell’errore che possono provare i bambini è anche la paura dell’insegnante dell’errore degli allievi. Paura che può indurre a proteggere, suggerire, contaminare impedendo ai ragazzi di essere liberi di sbagliare e far emergere l‟errore, per analizzarlo, comprenderlo, superarlo. Libertà nella scrittura che è, anche, possibilità di osare nel formulare previsioni e ipotesi, quindi, nel pensare....... andando oltre le apparenze e talvolta anche oltre le aspettative dell‟adulto.
Rossana Nencini, Barberino del Mugello
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
La verbalizzazione scritta delle motivazioni, offre le possibilità
- sul versante dei discenti, in quanto abitua a mettere a fuoco il proprio pensiero e a esprimere e argomentare le proprie opinioni
- - di capire meglio il pensiero degli allievi e farlo crescere attraverso l‟interazione verbale con i compagni e l‟insegnante
L‟abitudine a fermare sulla carta mette in discussione l'idea che, in ambito matematico, non ci sia proprio alcun bisogno di parlare o di scrivere
Attenzione a non fraintendere!!!!
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
La verbalizzazione aiuta a far emergere eventuali misconcetti
«Eventuali conflitti tra il livello intuitivo, il livello algoritmico e il livello
formale non possono essere eliminati ignorando semplicemente il livello
intuitivo. A nostro parere, così come avviene nei processi psicoanalitici,
lo studente deve essere aiutato a prendere coscienza di tali conflitti.
Ciò può essere fatto discutendo con gli studenti gli errori dovuti
specificatamente all’intuizione e cercando insieme a loro l’origine di
questi errori. In ogni caso questo processo di chiarificazione verbale
non è sufficiente. Gli studenti devono sviluppare la capacità di
analizzare le loro risposte, di rendere esplicite il più possibile le loro
supposizioni implicite, di usare le strategie formali per verificare tali
supposizioni intuitive»
Fischbein, 1985b, pag. 130
Difficoltà per i ragazzi
Credere che un adulto (e un insegnante, poi...) sia davvero
interessato ai loro processi di pensiero
Centrale dunque anche
la comunicazione tra pari chiedere, spiegare, convincere, ascoltare, farsi
convincere...
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
Quanto alla discussione collettiva, permette di
- scoprire le opinioni altrui
- confrontare diverse strategie risolutive
- costruire un linguaggio comune
- portare a compimento un percorso di costruzione
condivisa delle conoscenze
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
L‟argomentazione è una modalità didattica
particolarmente efficace per lo sviluppo del
ragionamento:
aiuta ad esplicitare le intuizioni
aiuta a costruire strumenti per il controllo della correttezza delle intuizioni
argomentazione
dimostrazione
risoluzione di problemi
La risoluzione di problemi e l’argomentazione preparano
il terreno alla dimostrazione nel secondo ciclo
L’apprendimento costruttivo
Le resistenze
Risoluzione di problemi e argomentazione sono importanti,
ma i ragazzi hanno troppe difficoltà su questi aspetti
I ragazzi non sanno argomentare ... non sanno risolvere i problemi
Ci vuole troppo tempo
È assurdo pretendere il possesso di tali
competenze prima di iniziare a lavorarci
Riflessione sulla pluralità dei significati che un
certo termine ha nel linguaggio naturale e nel
linguaggio matematico (pensiamo per esempio a
termini come rapporto, relazione, angolo,
spigolo, tangente, cifra, ecc.)
L’apprendimento costruttivo e il linguaggio
Sarà più estesa la superficie dell’anta piccola della porta d’ingresso dell’aula o
la superficie del piano della cattedra? Come faresti per verificarlo con sicurezza?
Fai delle ipotesi……”
Barberino del Mugello, classe V
Dopo aver fatto queste 3 proposte
mi rendo conto che ho sbagliato
perché noi in 2a cercavamo di
misurare la lunghezza del
perimetro. Però noi all‟inizio
misuravamo con diversi strumenti: i
pennarelli, carte e altri oggetti, ad
ognuno tornavano misure diverse a
chi 30 carte, ad altri 21 pennarelli,
quindi le misure erano diverse,
decidemmo di usare il metro, però
tutti dovevano usarlo perché sennò
ci tornavano misure diverse. Allora
anche in questo caso dobbiamo
decidere un oggetto uguale sennò
non tornano misure uguali
L’apprendimento costruttivo
permette
Favorire l’emergere del pensiero divergente Mostrare il lato più bello della matematica Lavorare con e su aspetti metacognitivi Lavorare su competenze argomentative e dunque anche linguistiche Agire sulla paura dell’errore e del nuovo/difficile Agire sul senso di auto-efficacia, rimettendo in gioco tutti Favorire l’assunzione di responsabilità dei processi di pensiero Favorire l’autonomia di pensiero
Dare senso all’educazione matematica Sviluppare un atteggiamento positivo rispetto alla
matematica
Percorsi
www.cidi.it
www.indire.it
www.percontare.asphi.it
Umi 2001
Rally transalpino
Bisogna stare attenti!!
Il dottor Aldo ha chiamato molti dei suoi chirurghi interni del Blear General Hospital. Essi stanno per cominciare la loro relazione settimanale sulle varie operazioni compiute negli ultimi quattro giorni. Dopo aver ascoltato i chirurghi più anziani, Aldo si rivolge al dottor Carlo
A: E lei, Carlo, come le vanno le cose?
C: Temo di essere stato sfortunato, dottor G. Niente operazioni questa settimana, ma solo tre pazienti morti.
La metafora della medicina
A: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le pare? Di che cosa sono morti?
C: Non lo so con certezza, dottor Aldo, ma comunque ho dato a ciascuno di loro un bel po’ di penicillina.
A: Ah! Il sistema tradizionale della cura “buona di per se stessa”, eh, Carlo?
C: Beh, non esattamente, capo. Pensavo solo che la penicillina li avrebbe fatti stare meglio.
A: Per che cosa li stava curando?
La metafora della medicina
C: Insomma, stavano proprio male, capo, e io so che la penicillina fa star meglio gli ammalati.
A: Certamente, Carlo. Penso che lei abbia fatto bene.
C: E i morti, capo? A: Cattivi, figlio mio, cattivi pazienti. E non c’è niente che
possa fare un buon dottore quando si trova di fronte dei cattivi pazienti. E nessuna medicina può farci nulla, Carlo.
La metafora della medicina
C: Eppure mi è rimasta ancora la seccante impressione che forse non avevano bisogno di penicillina, che servisse qualcos’altro.
A: Sciocchezze! La penicillina non fa mai cilecca su dei buoni pazienti. Lo sanno tutti.
A: Al suo posto non mi preoccuperei troppo, Carlo.
La metafora della medicina
“E i suoi studi, signorina, se posso informarmene? Matematica, a quanto so. Non la stanca? Non è terribilmente noioso per il cervello?”
“Nient‟affatto – ella rispose – non conosco nulla di più carino. E‟ un gioco nell‟aria, per dir così. O addirittura fuori dell‟aria, in regioni senza polvere, comunque.”
Il granduca Klaus Heinrich e la signorina Imma Spoelmann
“Altezza Reale” - Thomas Mann
