Le derivate seconde compaiono alla prima potenza per cui ... · si hanno delle frange di ... Se due...

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SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE Le derivate seconde compaiono alla prima potenza per cui è un'equazione lineare! Se y 1 e y 2 sono soluzioni anche una qualsiasi loro combinazione lineare EQUAZIONE DELLE ONDE con c 1 e c 2 arbitrari, lo è! Se ho due perturbazione che si propagano l'effetto complessivo è la somma algebrica delle due perturbazioni. Se l'ampiezza risultante è maggiore di entrambe le ampiezze si ha interferenza costruttiva, altrimenti interferenza distruttiva

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SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE

Le derivate seconde compaiono alla prima potenza per cui è un'equazione lineare!Se y1 e y2 sono soluzioni anche una qualsiasi loro combinazione lineare

EQUAZIONE DELLE ONDE

con c1 e c2 arbitrari, lo è!Se ho due perturbazione che si propagano l'effetto complessivo è la somma algebrica delle due perturbazioni.

Se l'ampiezza risultante è maggiore di entrambe le ampiezze si ha interferenza costruttiva,altrimenti interferenza distruttiva

SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE SINUSOIDALI

Il risultato della sovrapposizione di onde sinusoidali dipende dalla loro ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda ed anche dal loro sfasamento relativo

Onde di uguale ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda che si propagano in verso oppostoOnde di uguale ampiezza, frequenza, lunghezza d'onda e verso di propagazione ma sfasateOnde con lunghezza d'onda e velocità diversa: il pacchetto cambia forma (dispersione)

INTERFEROMETRO DI MICHELSONSe due onde uguali partono da una sorgente allo stesso istante ma raggiungono il ricevitore compiendo cammini diversi si ha uno sfasamento e quindi un'interferenza.

Se la velocità della luce c si sommasse con quella della terra, ruotando di 90

o

l'interferometro si vedrebbe uno spostamento delle frange di interferenza.Non si osserva nessuno spostamento→ c è costante!

L'interferometro di Michelson usa un raggio laser diviso in due da uno specchio semiriflettente.I due raggi si riuniscono dopo aver percorso diversi cammini. La differenza di cammino varia al variare del punto sullo schermo: si hanno delle frange di interferenza (massimi per sfasamenti multipli di l)

L'INTERFEROMETRO VIRGO A CASCINAUn'onda gravitazionale è quadrupolare e modifica le distanze lungo gli assi perpendi-colari alla direzione di propagazione dell'onda in modo sfasatoUn raggio laser viene diviso da una lente birifrangente. La differenza del cammino percorso è tale che in condizioni normali ci sia interferenza distruttiva!

Al passaggio dell'onda gravitazionale il cammino percorso varia in modo diverso:l'interferenza non è più distruttiva e si osserva un segnaleluminoso!

1/10 s

I BATTIMENTI

ha per effetto un onda di frequenza media

Considerando un punto x fisso, come il nostro timpano, la somma di onde di frequenze vicine:

L'ampiezza viene “modulata”. L'intensità percepita, proporzionale all'ampiezza al quadrato, oscilla con:

FREQUENZA DI BATTIMENTO

Si può usare per accordare una chitarra!

ONDE STAZIONARIESe due onde che si propagano si sovrappongono in modo tale che:- tutti i punti oscillano con la stessa frequenza e sono in fase o in controfase tra di loro.- l'ampiezza dell'oscillazione di un punto è sempre la stessa (ma può variare da punto a punto)l'onda risultante si dice ONDA STAZIONARIA(non si propaga nello spazio)

Esempio:Due onde di uguale ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda che si propagano in direzione opposta:

I punti di massima (ventri) e minima (nodi) oscillazione restano nella stessa posizione x

CORDA FISSA A ENTRAMBE LE ESTREMITA'

Gli estremi della corda devono essere due nodi dell'onda stazionaria. Se L è la lunghezza della corda la lunghezza d'onda massima è l=2L

La lunghezza d'onda deve essere tale che l'onda riflessa si ritrovi in fase con l'onda incidente quando raggiunge l'estremo a sinistra. Si ha così una risonanza. La minima frequenza di risonanza, f=v/2L, si chiama frequenza fondamentale o armonica fondamentale.Inserendo dei nodi in posizione simmetrica rispetto al centro si ottengono le altre armoniche

L'onda stazionaria è creata grazie alla riflessione (totale) dell'onda sulle estremità

Armonica fondamentale

Seconda armonica Terza armonica

CORDA CON UN ESTREMO LIBERO

Le altre armoniche hanno come lunghezza d'onda un multiplo dispari della lunghezza fondamentale, in modo da mantenere l'estremo libero come un ventre.

Vi è un nodo nell'estremo vincolato e un ventre nell'estremo libero

Armonica fondamentale

La lunghezza d'onda fondamentale è l=L/4

CANNE D'ORGANO (APERTE O SEMIAPERTE)

Qui è la pressione dell'aria a dettare le condizioni al bordo:I punti a contatto con l'aria sono a pressione atmosferica e sono quindi nodi dell'onda di pressione.

Armonica fondamentale

Armonica fondamentale in una canna aperta:f=v/2L(e multipli)

Armonica fondamentale in una canna semiapertaf=v/4L (e multipli dispari)

La perturbazione della posizione (velocità del punto) è sfasata di 90

orispetto alla pressione

ONDE STAZIONARIE IN 2 DIMENSIONI

Ad esempio la membrana di un tamburo:

O una piastra metallica:

TIMBRO DI UNO STRUMENTOSe strumenti diversi emettono la stessa nota con la stessa intensità, noi riusciamo a distinguerli grazie al loro timbro. Questo, oltre a dipendere dal transiente iniziale e e finale della nota, dipende da come l'intensità sonora viene ripartita tra l'armonica fondamentale e i suoi multipli

ANALISI E SINTESI ARMONICAUna qualsiasi funzione d'onda periodica si può “scomporre” nelle sue frequenze armoniche grazie allo sviluppo in serie di Fourier:

Esempio: corda pizzicata (linea trattegiata).In verde la somma delle prime 3 armoniche.

Al contrario possiamo “sintetizzare” un suono sovrapponendo le opportune frequenze.

In generale la larghezza di banda Dw richiesta per un descrivere un impulso sonoro di durata Dt deve soddisfare il principio di indetermina-zione di Heisenberg: DwDt~1Più piccolo è l'impulso, maggiore sarà il numero di frequenze necessarie a descriverlo

MEZZI NON DISPERSIVI E DISPERSIVIFinora abbiamo supposto che la velocità di propa-gazione non dipendesse dalla frequenza dell'ar-monica. Quando questo accade si dice che il MEZZO è NON DISPERSIVO. In questo caso un pacchetto d'onda mantiene la sua forma mentre si propaga. Al contrario in un MEZZO DISPERSIVO la velocità dipende dalla frequenza e la forma iniziale si “disperde” nello spazio.

Mezzo non dispersivo

v=w/k= costante

Mezzo dispersivo

v=w/k non costante

Un famoso effetto legato alla dipendenza della velocità dalla frequenza è la scomposizione della luce con un prisma

VELOCITA' DI FASE E VELOCITA' DI GRUPPO

La velocità di fase esprime la velocità con cui avanza ad esempio una cresta dell'onda:

VELOCITA' DI FASE

Nel caso di un'onda elettromagnetica può anche superare la velocità della luce ma non viola la teoria della relatività perché il segnale che porta l'informazione o l'energia non è la cresta ma il pacchetto d'onda (la parte tra due puntini verdi). La velocità del pacchetto, detta velocità di gruppo, si ottiene guardando come avanza la perturbazione di una certa ampiezza (kx-wt=costante) ed è:

VELOCITA' DI GRUPPO

Per un'onda elettromagnetica la velocità di gruppo è sempre minore di quella della luce