Le Derivate delle Funzioni Elementari -...

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Capitolo 4 Le Derivate delle Funzioni Elementari In questo Capitolo impareremo a trovare la formula per la funzione derivata di una funzione elementare, cioè di una funzione costruita con ingredienti di tipo algebrico, esponenziale, logaritmico e trigonometrico. Impareremo che anche una funzione apparentemente complicata come f (x) = ln μ sin (2x) 1+3x 4 è semplice da derivare. Prima, però, di arrivare a questo, bisogna imparare a derivare le funzioni più semplici, come quelle che si ottengono usando semplicemente il logaritmo, le funzioni trigonometriche, le potenze, e così via. Una volta note queste derivate, impareremo le regole per la derivazione delle funzioni che si ottengono dalla loro composizione. Useremo normalmente la notazione f 0 per indicare la funzione derivata di una funzione f . Questa notazione, oltre ad essere semplice, ci ricorda qual’è la funzione che stiamo derivando. Questa non è l’unica notazione possibile. Dipendentemente dal contesto nel quale lavoriamo, le seguenti notazioni potranno essere a volte usate. Per illustrarle, consideriamo la funzione y = f (x)= x 2 . Le seguenti notazioni sono equivalenti: f 0 (x)=2x, dy dx =2x, d dx ¡ x 2 ¢ =2x, df dx =2x. la notazione dy/dx è nota come notazione di Liebnitz, dal matematico che per primo la usò. La formulazione “frazionaria” della notazione di Liebnitz, ricorda che la derivata è il limite del rapporto incrementale: dy dx = lim x0 y x . Le notazioni usate si estendono al caso di derivate di ordine superiore. Nel caso della derivata seconda esse si esprimono nella seguente forma: 179

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Capitolo 4

Le Derivate delle FunzioniElementari

In questo Capitolo impareremo a trovare la formula per la funzione derivatadi una funzione elementare, cioè di una funzione costruita con ingredientidi tipo algebrico, esponenziale, logaritmico e trigonometrico. Impareremo cheanche una funzione apparentemente complicata come

f (x) = ln

µsin (2x)

1 + 3x4

¶è semplice da derivare.

Prima, però, di arrivare a questo, bisogna imparare a derivare le funzionipiù semplici, come quelle che si ottengono usando semplicemente il logaritmo, lefunzioni trigonometriche, le potenze, e così via. Una volta note queste derivate,impareremo le regole per la derivazione delle funzioni che si ottengono dallaloro composizione.

Useremo normalmente la notazione f 0 per indicare la funzione derivata diuna funzione f . Questa notazione, oltre ad essere semplice, ci ricorda qual’è lafunzione che stiamo derivando.

Questa non è l’unica notazione possibile. Dipendentemente dal contestonel quale lavoriamo, le seguenti notazioni potranno essere a volte usate. Perillustrarle, consideriamo la funzione y = f (x) = x2. Le seguenti notazioni sonoequivalenti:

f 0 (x) = 2x ,dy

dx= 2x ,

d

dx

¡x2¢= 2x ,

df

dx= 2x .

la notazione dy/dx è nota come notazione di Liebnitz, dal matematico cheper primo la usò. La formulazione “frazionaria” della notazione di Liebnitz,ricorda che la derivata è il limite del rapporto incrementale:

dy

dx= lim

∆x→0∆y

∆x.

Le notazioni usate si estendono al caso di derivate di ordine superiore. Nel casodella derivata seconda esse si esprimono nella seguente forma:

179

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180 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

f 00 (x) = 2 ,d2y

dx2= 2 ,

d2

dx2¡x2¢= 2 ,

d2f

dx2= 2 .

4.1 Derivate delle Potenze e dei Polinomi

Ricordiamo che la derivata f 0 (a), di una funzione f nel punto,x = a è statadefinita come

f 0 (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

.

la definizione seguente è essenzialmente la stessa; usando il generico valoredell’ingresso x si enfatizza il fatto che f 0 è una funzione.

Definizione 114 Sia f una funzione. La derivata di f, indicata con f 0, è lafunzione definita, per un ingresso x, da

f 0 (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

.

Osserviamo quanto segue:Dominio Il dominio di f 0 è l’insieme degli ingressi x di f per i quali il limite

esiste.Ricerca del Limite Il limite nella definizione non si trova ponendo h = 0

nella formula. Alcune manipolazioni algebriche e trucchi di calcolo sono quasisempre necessari per poter risolvere il limite.

4.1.1 Derivata di una Potenza

Il primo problema che affrontiamo è quello di trovare la funzione derivata perle potenze. Per funzioni, cioè, della forma f (x) = xk dove k è una costante.Ognuna delle seguenti espressioni definisce una funzione potenza:

x , x2 ,√x ,

1√x, x5/2 , xπ .

Iniziamo il nostro studio con le potenze non negative.

Esempio 115 trovare le formule per le funzioni derivate di l (x) = x, q (x) =x2 e c (x) = x3.. Interpretare il risultato graficamente.

Soluzione. La funzione l è lineare con coefficiente angolare 1. La suaderivata deve quindi essere la funzione costante l0 (x) = 1. Vediamo se ladefinizione di funzione derivata ci conforta nel risultato:

l0 (x) = limh→0

l (x+ h)− l (x)h

=x+ h− x

h= 1 .

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 181

Vediamo come operare per le altre due funzioni. Per q si ha:

q0 (x) = limh→0

q (x+ h)− q (x)h

= limh→0

(x+ h)2 − x2h

= limh→0

x2 + 2hx+ h2 − x2h

= limh→0

(2x+ h) = 2x .

Il calcolo della funzione derivata di c è quasi equivalente:

c0 (x) = limh→0

c (x+ h)− c (x)h

= limh→0

(x+ h)3 − x3h

= limh→0

x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3h

= limh→0

¡3x2 + 3xh+ h2

¢= 3x2 .

Graficamente abbiamo:

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

-2 -1 1 2x

Grafico di l (x) = x

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

-2 -1 1 2x

Grafico di q (x) = x2-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

-2 -1 1 2x

Grafico di c (x) = x3

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

-2 -1 1 2x

Grafico di l0 (x) = 1

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

-2 -1 1 2x

Grafico di q0 (x) = 2x

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

-2 -1 1 2x

Grafico di c0 (x) = 3x2

La risposta non dovrebbe sorprendere, abbiamo già visto questi grafici inprecedenza. Il calcolo del limite ci assicura che le formule trovate per le derivatesono quelle corrette. ¥

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182 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Cosa accade se l’esponente k non è un intero positivo?

Esempio 116 Trovare le formule delle funzioni derivate di s (x) = x1/2 =√x e

di n (x) = 1/x = x−1. Quali sono i domini delle funzioni derivate? Interpretareil risultato graficamente.

Soluzione. Scriviamo come prima il limite del rapporto incrementale, mal’artificio algebrico che usiamo per eliminare il denominatore e risolverlo è piùdelicato.

s0 (x) = limh→0

s (x+ h)− s (x)h

= limh→0

√x+ h−√x

h

= limh→0

√x+ h−√x

h

√x+ h+

√x√

x+ h+√x

= limh→0

1√x+ h+

√x

=1

2√x=1

2x−1/2 .

Il trucco algebrico usato è stato quello di moltiplicare e dividere per√x+ h+√

x, usato poi per semplificare il numeratore. [Si ricorda che (a− b) (a+ b) =a2 − b2.]

Vediamo cosa accade per la funzione n :

n0 (x) = limh→0

n (x+ h)− n (x)h

= limh→0

1x+h − 1

x

h

= limh→0

x− (x+ h)hx (x+ h)

= limh→0

−1x (x+ h)

= − 1x2= −x−2 .

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 183

Ecco i grafici delle quattro funzioni

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4x

Grafico di s (x) =√x

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4x

Grafico di n (x) = 1/x

-4

-2

2

4

-4 -2 2 4x

Grafico di s0 (x) = 1/ (2√x)

-4

-2

2

4

-4 -2 2 4x

Grafico di n0 (x) = −1/x2

Osservare il dominio. la derivata s0 non è definita in x = 0 dove il grafico dis ha tangente verticale. la derivata n0 ha lo stesso dominio della funzione n. ¥La Regola GeneraleOgnuno degli esempi precedenti è un caso particolare della seguente regola

generale.

Proposizione 117 (Derivazione delle Potenze) Sia k una costante reale.Se f (x) = xk, allora si ha f 0 (x) = kxk−1.

Abbiamo appena visto che la regola vale per i casi k = 1, k = 2, k = 3, k =−1, k = 1/2. Non dimostreremo la proposizione, ma alla fine del Paragrafoindicheremo come il Binomio di Newton possa essere usato per mostrarloper tutti i valori di k interi positivi.

4.1.2 Combinazione di Potenze: La Regola della Somma e dellaCostante

Conoscendo la derivata delle potenze è facile calcolare la derivata della combi-nazione di potenze (quali sono i polinomi).

Esempio 118 Sia p (x) = 3x5 + 7x4 − x2

3+ 11. Trovare p0 (x) .

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184 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Soluzione. Dividiamo p nei singoli componenti, deriviamo ogni singolopezzo ed infine riassembliamo il risultato. Eco i conti, usando la notazione diLiebnitz:

dy

dx=

d

dx

µ3x5 + 7x4 − x

2

3+ 11

¶= 3

d

dx

¡x5¢+ 7

d

dx

¡x4¢− 1

3

d

dx

¡x2¢+d

dx(11)

3 · 5x4 + 7 · 4x3 − 13· 2x+ 0

15x4 + 28x3 − 23x .

Abbiamo appena compiuto due “atti di fede” rispetto alla presenza di molti-plicazioni per una costante e operazioni di somma, che giustificheremo immedi-atamente (ricordarsi le proprietà del limite!),. Vediamo prima il confronto deidue grafici di p e di p0.

-20

0

20

40

-2 -1 1x

Grafici di p e di p0

¥

Nell’esempio precedente abbiamo fatto due ipotesi ragionevoli. Le riporti-amo qui in modo esplicito, sotto forma di Teorema.

Teorema 119 (Derivata della Somma) Siano f e g due funzioni differen-ziabili, e sia h = f + g. Si ha

h0 (x) = (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g0 (x) .

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 185

Dimostrazione. La dimostrazione dell’affermazione precedente segue im-mediatamente dalla analoga proprietà dei limiti. Si ha infatti:

d

dx(f (x) + g (x)) = lim

h→0(f (x+ h) + g (x+ h))− (f (x) + g (x))

h

= limh→0

·f (x+ h)− f (x)

h+g (x+ h)− g (x)

h

¸= lim

h→0f (x+ h)− f (x)

h+ limh→0

g (x+ h)− g (x)h

= f 0 (x) + g0 (x)

Teorema 120 (Derivata del Prodotto con una Costante) Sia k ∈ Rcostante, f una funzione differenziabile, e g = k · f. Si ha

g0 (x) = (k · f)0 (x) = k · f 0 (x) .

Invece di dimostrare questo secondo teorema, riflettiamo sul fatto che ilgrafico di k · f è ottenuto dilatando verticalmente il grafico di f di un fattorek. Come pensate che questo fatto incida sulla retta tangente al grafico di fin un qualsiasi punto x = a ? La risposta del teorema è che una dilatazionedel grafico di f in direzione verticale, di un fattore k, moltiplica il coefficienteangolare della retta tangente nel punto x = a dello stesso fattore.

Primitive

Abbiamo appena visto come trovare la funzione derivata f 0 di una funzione fassegnata. Vogliamo anche considerare il problema opposto:

Data una funzione f , trovare una funzione F tale che F 0 = f.

La funzione F è detta primitiva di f.Per i polinomi e le potenze trovare una primitiva non è più difficile che

trovare la derivata.

Esempio 121 Trovare le primitive Q e S per le funzioni q (x) = x2 e s (x) =√x.

Soluzione. Poiché¡x3¢0= 3x2, la scelta di Q (x) = x3/3 è quella naturale.

E’ facile vedere che la scelta è corretta, derivando

Q0 (x) =µ1

3x3¶0=1

3

¡x3¢0=1

3· 3x2 = x2 .

Per trovare una primitiva di s il ragionamento è lo stesso. Un minimo di atten-zione in più va riservata al coefficiente moltiplicativo. La regola di derivazionedelle potenze suggerisce per S la forma S (x) = k ·x3/2, ma qual’è il valore dellacostante k ? Deriviamo per ottenere la risposta:

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186 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

S0 (x) = k ·³x3/2

´0= k · 3

2x1/2 = x1/2 .

Ne consegue che k = 2/3 e la funzione S è allora S (x) = 23x3/2.

Da notare che la risposta non è univoca. Per esempio, ognuna delleseguenti funzioni

x3

3+ 1 ,

x3

3− 3 , e

x3

3− π + e2 − sin2 3

è una primitiva di q. Quindi ogni funzione del tipox3

3+C , con C costante, è

una primitiva di q. ¥Le Primitive Non Sono UnicheL’esempio precedente illustra un principio generale importante:

Se F è una primitiva di f , allora lo è anche F + C, per qualsiasivalore della costante C.

La ragione di ciò è semplice: Due funzioni che differiscono per una costantehanno la stessa derivata.L’implicazione funziona anche nell’altra direzione:

Se F 0 (x) = G0 (x) per tutti gli x, allora F (x) = G (x) + C perqualche costante C.

Nel caso particolare di q (x) = x2, questi due fatti implicano esattamenteciò che l’esempio aveva suggerito: (i) per ogni costante C, Q (x) = x3/3 + C èuna primitiva; e (ii) ogni primitiva ha questa forma.

Ricerca delle Primitive

Abbiamo visto come si derivano le potenze e le loro combinazioni lineari. Laricerca di primitive funziona nello stesso modo. La regola di derivazione dellepotenze, letta “al rovescio” afferma che

Teorema 122 (Regola delle Potenze per le Primitive) Per ogni costante

C e per ogni k (k 6= −1) , xk+1

k + 1+ C è una primitiva di xk.

Dimostrazione. Usando la regola per la derivata, la dimostrazione è unsemplice calcolo:

d

dx

xk+1

k + 1+ C =

(k + 1)xk

k + 1+ 0 = xk

come affermato.L’eccezione: k = −1. Notare che il teorema precedente non vale quando

k = −1,poiché la divisione per zero non è permessa. Tuttavia, il caso f (x) =1/x ha una primitiva ben definita, sebbene non sotto forma di potenza.

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 187

Proposizione 123 Sia x > 0, una primitiva della funzione 1/x è la funzionelogaritmo naturale, ln (x) .

Non possediamo ancora gli strumenti per dimostrare questa affermazione(che proveremo più avanti), l’osservazione dei due grafici la rende plausibile.

-4

-2

0

2

4

1 2 3 4 5 6x

Grafico di y = 1/x

-4

-2

0

2

4

1 2 3 4 5 6x

Grafico di y = lnx

Primitive delle Combinazioni Lineari La regola della derivata della som-ma e del prodotto per costanti vale anche quando viene applicata alla ricercadelle primitive.

Esempio 124 Trovare la primitiva di p (x) = 3x5 + 7x4 − x2

3+ 11.

Soluzione. Come nel caso della derivazione, consideriamo i singoli elementiche compongono p, troviamo le primitive e riassembliamo.La primitiva di 3x5 è x6/2, quella di 7x4 è 7x5/5, quella di x2/3 è x3/9 ed infineuna primitiva di 11 è 11x. Quindi, una primitiva di p (x) è la funzione

1

2x6 +

7

5x5 − 1

9x3 + 11x+ C

qualsiasi sia il valore della costante C. E’ facile verificare la correttezza delrisultato, basta derivare per ottenere p. ¥

Esempio 125 Consideriamo la funzione f (x) = x3 − x2 − 2x, il cui grafico èdisegnato sotto. Quattro primitive di f , indicate con F, G, H e K (dal bassoverso l’alto) sono disegnate nel grafico accanto. Trovare la formula delle quattroprimitive.

-4

-2

0

2

4

-2 -1 0 1 2 3 4x

Grafico di f (x) = x3 − x2 − 2x

-4

-2

0

2

4

-2 -1 0 1 2 3 4x

Grafico di F,G,H,K

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188 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Soluzione. Notare che i quattro grafici di F, G, H e K, sono la traslazioneverticale uno dell’altro; questo implica che le quattro funzioni differiscono tradi loro per una costante, come deve essere poiché F 0 = G0 = H 0 = K 0 = f.Usando il teorema per la ricerca delle primitive si ha che una primitiva di f hala forma

x4

4− x

3

3− x2 + C

per qualche valore della costante C. In particolare, F, G, H e K hanno questaforma e differiscono tra loro per il valore della costante. Per esempio, il graficomostra che F (0) = −1, quindi

−1 = F (0) = C =⇒ F (x) =x4

4− x

3

3− x2 − 1 .

In modo analogo si mostra che per G, H e K i valori delle costanti sono:C = 0, C = 1, C = 2 rispettivamente. ¥

4.1.3 Il Binomio di Newton

Con questa dizione, intendiamo un modo compatto di scrivere la formula es-plicita della potenza n-esima (n naturale) di un binomio: (a+ b)n . La formulaci dice che

(a+ b)n =nXk=0

µn

k

¶an−k bk

= an + nan−1b+n (n− 1)

2an−2b2 + · · ·+ n abn−1 + bn

dove il coefficiente indicato simbolicamente con¡nk

¢indica, al variare di k il

numero µn

k

¶=

n!

k! (n− k)! .

Mostriamo come usare questa formula per trovare la derivata di xn.

Esempio 126 Sia y = xn, dove n è un numero naturale. Mostrare che dy/dx =nxn−1.

Soluzione. Per definizione

dy

dx= limh→0

(x+ h)n − xnh

.

Poiché si ha

(x+ h)n =nXk=0

µn

k

¶xn−k hk ,

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 189

si ottiene

dy

dx= lim

h→0

Pnk=0

¡nk

¢xn−k hk − xnh

= limh→0

xn + nxn−1h+ n(n−1)2 xn−2h2 + · · ·+ n xhn−1 + hn − xn

h

= limh→0

nxn−1 +n (n− 1)

2xn−2h + · · ·+ n xhn−2 + hn−1 = nxn−1 .

Il fatto che ci permette di ottenere il risultato è che nello sviluppo del binomio,tutti i termini dopo i primi due coinvolgono potenze di h superiori ad uno equindi questi termini scompaiono, quando si passa al limite anche se divisi perh. ¥

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190 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.1.4 Esercizi di Derivazione

1. Per ognuna delle funzioni f elencate sotto, calcolare l’espressione algebricadella funzione derivata f 0, quindi disegnare il grafici di f e di f 0 sullo stessosistema di assi per controllare intuitivamente le risposte.

(a) f (x) = 3x2 ;

(b) f (x) = 5x−4 ;

(c) f (x) = 4x5 + 3x2 − x ;

(d) f (x) = 4√x+

1

x2;

(e) f (x) = 3x−1/2 + 4x3/2 ;

(f) f (x) = −7x1/4 ;

(g) f (x) = x3 + 3√x ;

(h) f (x) = 4√x3 − 5x−3/2 ;

(i)1

3√x2+ 5 ;

(j) f (x) = 4 5√x3 +

53√x4.

2. Trovare la derivata seconda di ognuna delle funzioni dell’Esercizio 1.Dis-egnare il grafici di f e di f 00 sullo stesso sistema di assi per controllareintuitivamente le risposte.

3. Trovare una primitiva per ognuna delle funzioni dell’Esercizio 1.

4. Vuotando un serbatoio di benzina si sa che il volume di benzina rimasto nelserbatoio dopo t minuti dall’apertura della valvola, è dato dalla funzioneV (t) = 100, 000− 4000t+ 40t2 , espresso in litri.

(a) Con quale velocità media fuoriesce la benzina nei primi 200 ?

(b) Con quale velocità media fuoriesce la benzina al tempo t = 200 ?

(c) Spiegare cosa dice V 00 (t) sulla velocità di fuoriuscita della benzinadal serbatoio.

5. Sia f (x) = ex. Spiegare, attraverso l’uso dei grafici perché f 0 (x) 6= xex−1.6. Usare la definizione di derivata per calcolare la funzione derivata f 0 dellefunzioni f indicate di seguito.

(a) f (x) = (x+ 1)2 ;

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 191

(b) f (x) = 3x4 ;

(c) f (x) =√x+ 3 ;

(d) f (x) =1

x+ 5.

7. Trovare le derivate delle seguenti funzioni.

(a) f (x) = (x+ 2)3 ;

(b) f (x) = 4 (x− 1)4 ;(c) f (x) = (x− 3)−1 ;(d) f (x) = 3 (x+ 2)−2 ;

(e) f (x) =√x+ 1 ;

(f) f (x) = 3√x+ 5 ;

(g) f (x) =1√x+ 4

;

(h) f (x) = 7 (x− 3)5/3 .

8. Calcolare le derivate seconde delle funzioni dell’Esercizio 7.

9. Trovare una primitiva per ognuna delle funzioni dell’Esercizio 7.

10. Mostrare che (1 + x)r ≥ 1 + rx quando x ≥ 0 e r ≥ 1. [Sugg.: usare ilPrincipio delle corse]

11. Consideriamo la funzione f (x) = (1000− x)2 + x2.

(a) Dire su quali intervalli la funzione è crescente e su quali è decrescente.

(b) Usando (a) decidere se 10002 è maggiore o minore di 9982 + 22.Controllare la risposta usando un calcolatore.

(c) Generalizzare il risultato di (a) per la funzione f (x) = (c− x)n+xn, dove c è un numero positivo ed n un numero positivo pari. Usareil risultato per decidere qual’è più grosso tra i numeri 10, 000100 e9000100 + 1000100.

12. Trovare l’equazione della retta tangente alla curva y = x3 − 6x2 nel suopunto di flesso.

13. Quanti punti di flesso ha il grafico della funzione f (x) = 2x6 + 9x5 +10x4 − x+ 2 ? Quali sono questi punti?

14. Sia f (x) = 3x2 − 8x−2. Calcolare limh→0 f (2 + h)− f (2)h

.

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192 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

15. trovare l’espressione simbolica per la derivata n-esima delle funzioni

(a) f (x) = 1/x ;

(b) f (x) =√x .

16. Sia p (x) = xn + a1xn−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x+ an.

(a) Calcolaredn

dxnp (x) ;

(b) Mostrare chedn+1

dxn+1p (x) = 0

(c) Mostrare che se k è un intero, k ≤ n, p(k) (0) = k!ak.

17. Sia f (x) = xn con n ≥ 2.

(a) Mostrare che f è convessa nell’intervallo (0,+∞) ;(b) Cosa si può dire della concavità nell’intervallo (−∞, 0) ? [Sugg.:

Ricordarsi parità e disparità].

18. Trovare i valori di a e di b in modo tale che la retta 2x + 3y = a siatangente al grafico di f (x) = bx2 in x = 3.

19. Trovare il valore di k per il quale il grafico della funzione f (x) = 2x2+k/xha un flesso in x = −1.

20. Sia f (x) = Ax2 + Bx + C con le seguenti proprietà: (i) f (0) = 2; (ii)f 0 (2) = 10; (iii) f 00 (10) = 4. Trovare il valore di A+B + C.

21. Trovare il valore di b per il quale la funzione f (x) = x4+ bx2+8x+1 haflesso orizzontale per qualche valore di x.

22. trovare c in modo che la retta y = 4x+3 sia tangente alla curva y = x2+c.

23. Siano dati n numeri positivi 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an. La loro media arit-metica An è definita dalla formula An = (a1 + a2 + · · ·+ an) /n, mentrela media geometrica è data da Gn = (a1 · a2 · · · · · an)1/n .

(a) Usare un po’ di algebra per mostrare che G2 ≤ A2;[Sugg: a1 · a2 =14 [(a1 + a2)

2 − (a1 − a2)2] ](b) Usare il principio delle corse per mostrare che G2 ≤ A2; [Sugg:Sia

f (a2) = (a1 + a2) /2−√a1 · a2, mostrare che f (a2) ≥ 0](c) Mostrare che Gn ≤ An, n ≥ 2 [Sugg.: Mostrare che f (an) =

An −Gn ≥ 0] .

24. Siano n ed m interi positivi, a e b numeri reali positivi.

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 193

(a) Verificare che:(an − bn) = (a− b) ¡an−1 + an−2b+ an−3b2 + · · ·+ abn−2 + bn−1¢ ;

(b) Sia f (x) = xn. Usare il risultato in (a9 per mostrare che f 0 (a) =nan−1;

(c) Sia g (x) = x−n. Usare (b) per mostrare che g0 (a) = −na−n−1;(d) Sia h (x) = xm/n. Usare (a) per mostrare che h0 (a) = m

n a(m−n)/n

[Sugg.:xm/n − am/n

x− a =

¡x1/n

¢m − ¡a1/n¢m¡x1/n

¢n − ¡a1/n¢n ].

(e) Sia k (x) = x−m/n. Mostrare che k0 (a) = −mn a−(m+n)/n

25. Nell’esercizio precedente si è mostrato che se r è razionale, allora si haddxx

r = rxr−1. In questo esercizio estendiamo il risultato al caso in cui rè un reale qualsiasi. Siano p e q razionali tali che p < r < q.

(a) Assumiamo che x > 0. Spiegare perché si ha che

xp − 1x− 1 <

xr − 1x− 1 <

xq − 1x− 1

[Sugg: Considerare separatamente i casi 0 < x < 1 e x > 1];

(b) Usare il risultato in (a) per mostrare che p ≤ limx→1 xr−1x−1 ≤ q ;(c) Spiegare perché il risultato in (b) implica che limx→1 x

r−1x−1 = r ;

(d) Supponiamo che c sia un reale qualsiasi e a 6= 0. Mostrare chexc − acx− a =

µwc − 1w − 1

¶ac−1 = −wc

µw−c − 1w − 1

¶ac−1 ;

(e) Usare (c) e (d) per mostrare che (xc)0 = cxc−1 per ogni numero realec.

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194 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.1.5 Esercizi su Massimi e Minimi

1. Dire su quali intervalli sono crescenti, e su quali decrescenti, le seguentifunzioni. Trovare tutti i massimi e minimi locali.

(a) f (x) = x3 − 3x2 + 5 ;(b) f (x) = −8x9 + 9x8 − 5 ;(c) f (x) = 7x9 − 18x7 + 65(d) f (x) = 5x6 + 6x5 − 15x4.

2. Trovare il valore massimo ed il valore minimo delle seguenti funzioni, negliintervalli assegnati.

(a) f (x) = x3 − 3x+ 5 ; [0, 2](b) f (x) = 1 + 2x3 − x4 ; [−1, 2](c) f (x) =

√x− 3/x ; [1/4, 1]

(d) f (x) = x3 − x2 ; [−2, 0]

3. Trovare il valore massimo ed il valore minimo della funzione f (x) = x4−3x2 + 6 su ognuno dei seguenti intervalli:

(a) [−2, 2] ;(b) [−4,−2] ;(c) [−1, 2] ;(d) [−1, 1] .

4. Una particella si muove lungo l’asse delle x con equazione oraria x (t) =3t5 − 25t3 + 60t , t > 0. Per quali valori di t la particella si muove versosinistra?

5. Una particella si muove lungo l’asse delle x con velocità data da v (t) = t2.Che spazio percorre la particella nell’intervallo di tempo 1 ≤ t ≤ 3 ?

6. Supponiamo di azionare i freni su di un’ auto viaggi a 50 km/h e chequesta azione dia all’auto una accelerazione negativa di 5m/ sec2 . Quantotempo occorre perché l’auto si fermi? Che distanza percorre l’auto primadi fermarsi?

7. Un’auto che viaggia a 80 km/h non si ferma al segnale di stop. Tre secondipiù tardi un auto della polizia parte, dall’altezza del segnale con un’accel-erazione costante di 8m/ sec2 Con quale velocità la macchina della poliziasupera l’automobile pirata?

8. Supponiamo che un rettangolo abbia la sua base sull’asse delle x e i dueangoli superiori sulla curva y = 2

¡1− x2¢ . Qual’è il massimo perimetro

del rettangolo?

9. Trovare il punto di minima distanza dalla curva xy = 4 all’origine.

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4.1. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 195

10. Quanto vale l’area del più grande rettangolo che ha la sua base sull’assex e gli angoli superiori sulla curva y = 12− x2 ?

11. Il costo del combustibile in una nave di lusso è proporzionale al quadratodella velocità. Alla velocità di 10 km/h il combustibile costa 1.500Euro/h.Assumendo che la nave debba percorrere una distanza totale diD chilometri,trovare la velocità che minimizza il costo del viaggio. La velocità dipendeda D?

12. Una scatola aperta si ottiene tagliando un quadrato di lato w dai quattroangoli di un rettangolo di misura 24 e 32 centimetri e piegando quindi ilati.

13. Quanto deve valere w per ottenere il massimo volume?

14. Una scatola aperta della capacità di 10m3 ha una lunghezza doppia dellalarghezza.. Il materiale di cui è fatta la scatola costa 100Lire/m2. Qualesono le dimensioni della scatola che ne minimizzano il costo? Quantocosta?

15. Un bicchiere può essere prodotto al costo di 600Lire l’uno. Al prezzodi 2000Lire al pezzo, se ne possono vendere 1000. Per ogni 100 lire disconto si possono vendere 50 bicchieri in più. Quale prezzo massimizza ilprofitto? Quanti bicchieri vengono venduti a tale prezzo?

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196 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.2 Derivata dell’Esponenziale e del Logaritmo

Usare la definizione di limite del rapporto incrementale per trovare la derivatadi una funzione algebrica può essere complicato, ma di solito è routine

Esempio 127 Se f (x) =√x+ 1 trovare f 0 (x) .

Soluzione. Ecco come si calcola il limite

f 0 (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)h

= limh→0

√x+ h+ 1−√x+ 1

h

= limh→0

√x+ h+ 1−√x+ 1

h

√x+ h+ 1 +

√x+ 1√

x+ h+ 1 +√x+ 1

= limh→0

(x+ h+ 1)− (x+ 1)h · ¡√x+ h+ 1 +√x+ 1¢

= limh→0

1√x+ h+ 1 +

√x+ 1

=1

2√x+ 1

.

Abbiamo usato un trucco algebrico nella terza riga, ma a parte questo il calcolonon presenta difficoltà. ¥

Le funzioni non algebriche, - quelle senza una formula algebrica - sonochiamate trascendenti. Le funzioni esponenziali, i logaritmi e le funzionitrigonometriche sono tutte funzioni trascendenti.

Trovare le derivate delle funzioni trascendenti è molto più complicato. Senzaformule algebriche, i limiti che definiscono le derivate, normalmente non possonoessere risolti con gli usuali trucchi algebrici. Avremmo bisogno di altri metodi.

Non volendo entrare nella complicazione della teoria daremo, senza di-mostrazione il valore della derivata della funzione f (x) = ex.

4.2.1 Derivata delle funzioni Esponenziali

Teorema 128 La derivata della funzione f (x) = ex è la funzione f 0 (x) = ex.

Teorema 129 Se g (x) = bx, allora g0 (x) = bx ln b.

Dimostrazione. Iniziamo scrivendo la derivata come limite del rapportoincrementale

g0 (x) = limh→0

g (x+ h)− g (x)h

= limh→0

bx+h − bxh

= limh→0

bx · bh − 1h

= bx limh→0

bh − 1h

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4.2. DERIVATA DELL’ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO 197

Se esiste il

limh→0

bh − 1h

= k

abbiamo mostrato che (bx)0 = kbx.Si tratta di mostrare che il limite esiste ed il valore di k.L’idea chiave per mostrare l’esistenza del limite ed il suo valore è notare chepossiamo scrivere

k = limh→0

bh − 1h

= limh→0

bh − b0h

= limh→0

g (h)− g (0)h

cioè che k non è altro che il valore della derivata della funzione g nel puntox = 0, o dal punto di vista grafico, il valore del coefficiente angolare della rettatangente al grafico di g nel punto (0, 1) .Per conoscerne il valore ricordiamo che se f (x) = ex, allora

g (x) = bx = ex ln b = f (x · ln b) .

Usando il linguaggio geometrico, possiamo dire che g è ottenuta da f per com-pressione orizzontale del fattore ln b. Sappiamo che il valore della derivata di ex

nel punto x = 0,cioè il coefficiente angolare della retta tangente ad f (x) = ex

nel punto (0, 1) vale 1. Il grafico di g ha allora retta tangente con coefficienteangolare ln b nel punto x = 0.

4.2.2 Derivata delle funzioni Logaritmo

Per trovare la derivata delle funzioni logaritmo f (x) = logb x useremo la conoscen-za della derivata sua funzione inversa f−1 (x) = bx.Riportiamo subito le conclusioni, che verificheremo più avanti.

Teorema 130 Per ogni valore positivo di b 6= 1 si ha

(logb x)0 =

1

x· 1ln b

.

Se b = e, si ha

(lnx)0 =1

x.

L’idea chiave è che, per ogni b 6= 1 la funzione bx e logb x sono una l’inver-sa dell’altra. Geometricamente, questa relazione significa che ognuno dei duegrafici può essere ottenuto dall’altro per riflessione rispetto alla retta y = x. Laseguente figura, che mostra il caso b = e, illustra un dato cruciale: come questariflessione si ripercuote sulla retta tangente.

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198 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

-2

0

2

4

6

10

-2 2 4 6 8 10x

Funzioni inverse e loro derivate

Notiamo i seguenti fatti relativi al grafico disegnato:

• Punti Simmetrici Un punto P = (x, y) appartiene ad un grafico se esolo se il punto P 0 = (y, x) appartiene all’altro.

• Rette Tangenti Simmetriche Consideriamo le rette tangenti ai duegrafici nei punti P e P 0 rispettivamente (una coppia di questa forma èdisegnata).: Così come i grafici delle funzioni, queste rette tangenti sonosimmetriche rispetto alla retta y = x. Ne segue che i coefficienti angolaridelle rette tangenti nei punti P e P 0 sono reciproci.

• Coefficienti Angolari Reciproci Il coefficiente angolare della retta tan-gente nel punto P 0 = (ln a, a) è la derivata della funzione y = ex nelpunto x = ln a. Abbiamo detto che (ex)0 = ex, quindi la retta tangentein P 0 ha coefficiente angolare eln a = a. Ne segue che la retta tangente inP = (a, ln a) ha coefficiente angolare 1/a, così come afferma il teorema.

Ricordiamo infine che, per ogni base b si ha che logb x = lnx/ ln b. Appli-cando la regola di derivazione per la moltiplicazione di una funzione per unacostante, si ottiene la regola generale.

Primitive delle Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

Le formula per le derivate delle funzioni esponenziali sono facilmente reversibili,possiamo quindi senza troppi problemi affermare il seguente teorema.

Teorema 131 Sia C una costante positiva e b una base positiva. Se f (x) =ex,allora F (x) = ex + C è una primitiva di f . Se g (x) = bx, allora G (x) =bx

ln b+ C è una primitiva di g .

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4.2. DERIVATA DELL’ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO 199

La ricerca della primitiva per la funzione logaritmo è meno semplice, enon possediamo in questo momento gli strumenti per ricavarla (lo vedremopiù avanti), ci limitiamo quindi ad asserirla.

Affermazione 132 Sia C una costante. Se f (x) = lnx, allora F (x) =x lnx− x ∗ c è una primitiva di f .

Sebbene l’affermazione sembri uscita dal cilindro di un prestigiatore, saràfacile verificarne la validità appena avremo sviluppato i metodi per la derivazione.Per mostrare come si arriva a questa formula dovremo aspettare di aver in-trodotto l’operazione di integrazione e le sue proprietà.

Esempio 133 Trovare una primitiva della funzione f (x) = 3ex − 2 lnx.

Soluzione. Usando il Teorema e l’affermazione Precedenti possiamo direche F (x) = 3ex−2 (x lnx− x)+C è una primitiva della funzione f , qualunquesia il valore della costante C.

Esempio 134 Sia f (x) = ex = exp (x) . Trovare una funzione lineare L ed unaquadratica Q che approssimino f nell’intorno di x = 0, seguendo la seguenteprocedura:(a) Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzione lineare L (x) = a+bxabbia lo stesso valore di f e di f 0 in x = 0, cioè tali che L (0) = f (0) eL0 (0) = f 0 (0) ;(b) Trovare il valore della costanti a, b, e c, tali che la funzione quadraticaQ (x) = a+ bx+ cx2 abbia lo stesso valore e le stesse due prime derivate di fin x = 0, cioè tali che Q (0) = f (0) , Q0 (0) = f 0 (0) e Q00 (0) = f 00 (0) ;(c) Disegnare i grafici di f , L e Q sullo stesso sistema d’assi. Qual’è l’approssi-mazione di L e di Q rispetto ad f nell’intervallo [−0.5, 0.5] ?

Soluzione. Osserviamo immediatamente che f (x) = f 0 (x) = f 00 (x); inparticolare f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = 1.

(a) Sia L (x) = a + bx. Cerchiamo i valori di a e di b. Notiamo subito cheL (0) = a e quindi , poiché deve essere L (0) = f (0) = 1 si ha che a = 1. Inoltre,la derivata di L è L0 (x) = b. Ne segue che L0 (0) = f 0 (0) = 1 implica b = 1.Quindi L (x) = 1 + x.

(b) Sia Q (x) = a+bx+cx2. Dobbiamo, anche in questo caso trovare i valoridi a, b e c. Operando come in (a) si ha che

Q (0) = f (0) = 1 =⇒ a = 1 ;

Q0 (0) = f 0 (0) = 1 =⇒ b = 1 .

Si ha quindi, Q (x) = 1+x+cx2 e dobbiamo ancora trovare c. Poiché è Q00 (x) =2c si ha

Q00 (x) = 2c = f 00 (0) = 1 =⇒ c = 1/2 .

Ne segue che si ha Q (x) = 1 + x+ 12x2 .

(c) Ecco di seguito i grafici delle tre funzioni (l’esponenziale è il più scuro)

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200 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

Due approssimazioni di y = ex

La figura mostra che vicino a x = 0 sia L che Q approssimano bene f ; Qancora meglio di L. Una osservazione più ravvicinata dei valori di delle funzioniper x nell’intervallo [−0.5, 0.5] mostra che

| f (x)− L (x)| ≤ f (0.5)− L (0.5) ≈ 0.15| f (x)−Q (x)| ≤ f (0.5)−Q (0.5) ≈ 0.025

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4x

Due approssimazioni di y = ex

¥

4.2.3 Esercizi

1. Per ognuna delle funzioni seguenti, calcolare la funzione derivata

(a) f (x) = 2ex + π ;

(b) f (x) = e3 − 5ex ;(c) f (x) = 2ex+1 ;

(d) f (x) = 2x + x+ 1 ;

(e) f (x) = 2 · 3x−1 ;(f) f (x) = eπ − πx + xπ ;

(g) f (x) = xln 5 ;

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4.2. DERIVATA DELL’ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO 201

(h) f (x) = −3 lnx ;(i) f (x) = 2 log3 x ;

(j) f (x) = (ln 7)x .

2. Calcolare le derivate seconde delle funzioni dell’Esercizio 1.

3. Trovare la primitive delle funzioni dell’Esercizio 1.

4. Qual’è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y = 3x nelpunto x = 0 ?

5. Qual’è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y = log3 xnel punto x = 1 ?

6. la posizione di una particella sull’asse x al tempo t > 0 (espresso insecondi) è data da x)t = ln t metri.

(a) Trovare la velocità media della particella nell’intervallo 1 ≤ t ≤ e ;(b) Trovare la velocità istantanea della particella al tempo t = e.

7. Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di y = ex nel puntox = 0.

8. Sia f (x) =√x− lnx.

(a) Mostrare che f raggiunge il suo minimo valore per x = 4 ;

(b) Mostrare che f ha un flesso per x = 16.

9. Sia f (x) = lnx− ex−1.

(a) Mostrare che f raggiunge il suo massimo (globale) per x = 1 ;

(b) Mostrare che f è concava in tutto il dominio.

10. Siano f, L, Q come nell’Esempio (134)

(a) Trovare il valore della costante d per il quale la funzione cubicaC (x) = Q (x) + dx3 ha le proprietà C (0) = f (0) , C 0 (0) = f 0 (0) ,C00 (0) = f 00 (0) , e C 000 (0) = f 000 (0) ;

(b) Disegnare (con l’aiuto di un calcolatore) f, L, Q e C sullo stessosistema d’assi, nell’intervallo [−3, 3] ;

(c) Trovare un intervallo sul quale | f (x)− L (x)| ≤ 0.1 ;(d) Trovare un intervallo sul quale | f (x)−Q (x)| ≤ 0.1 ;(e) Trovare un intervallo sul quale | f (x)− C (x)| ≤ 0.1 .

11. Sia f (x) = lnx.

(a) Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzione lineare L (x) =a+ b (x− 1) ha le proprietà L (1) = f (1) e L0 (1) = f 0 (1) ;

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202 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

(b) Trovare il valore della costante c tale che la funzione quadraticaQ (x) = L (x)+c (x− 1)2 ha le proprietàQ (1) = f (1), Q0 (1) = f 0 (1)e Q00 (1) = f 00 (1) ;

(c) Trovare il valore della costante d tale che la funzione cubica C (x) =Q (x) + d (x− 1)3 ha le proprietà C (1) = f (1), C 0 (1) = f 0 (1),C00 (1) = f 00 (1) e C 000 (1) = f 000 (1) ;

(d) Disegnare (con l’aiuto di un calcolatore) f, L, Q e C sullo stessosistema d’assi, nell’intervallo [0.1, 3] ;

(e) Trovare un intervallo sul quale | f (x)− L (x)| ≤ 0.1 ;(f) Trovare un intervallo sul quale | f (x)−Q (x)| ≤ 0.1 ;(g) Trovare un intervallo sul quale | f (x)− C (x)| ≤ 0.1 .

12. Sia n un intero positivo.

(a) Trovare un espressione perdn

dxnex ;

(b) Trovare un espressione perdn

dxnlnx .

13. Sia b > 0. Trovare una primitiva di logb x.

14. Sia f (x) = ln kx dove k è una costante positiva.

(a) Mostrare che f 0 (x) = 1/x ;

(b) Trovare una primitiva di f .

15. Trovare la derivata di f (x) = lnµ1

x

¶.

16. Sia f (x) = x− e lnx.

(a) Provare che f (π) > 0 ;

(b) Usare (a) per mostrare che eπ > πe.

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4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE 203

4.3 Derivate delle Funzioni Trigonometriche

4.3.1 Derivazione della Funzione Seno

Vogliamo iniziare dimostrando, in modo rigoroso, che (sinx)0 = cosx. Per fareciò dobbiamo calcolare il limite

dy

dx(x) = lim

h→0sin (x+ h)− sinx

h.

Per poter calcolare questo limite è necessario ricordarsi la formula di addizioneper il seno

sin (x+ h) = sin (x) cos (h) + cosx sin (h)

Si ottiene quindi:

dy

dx(x) = lim

h→0sin (x+ h)− sinx

h

= limh→0

sinx cos (h) + cosx sin (h) cosx− sinxh

= limh→0

µsinx

cos (h)− 1h

+ cosxsin (h)

h

¶= sinx lim

h→0cos (h)− 1

h+ cosx lim

h→0sin (h)

h= sinx · 0 + cosx · 1 = cosx

Due limiti notevoli. Ognuno dei due limiti del calcolo precedente puòessere interpretato come derivata.

• Il limite

limh→0

sin (h)

h= limh→0

sin (h)− sin 0h− 0 .

definisce la derivata della funzione seno in x = 0. Nell’Esercizio (82),Capitolo 3, pagina 151, abbiamo dimostrato che questa derivata vale 1.

• Un ragionamento simile si può applicare al

limh→0

cos (h)− 1h

= limh→0

cos (h)− cos 0h

.

Come si vede, esso definisce la derivata del coseno in x = 0. Come sappi-amo il grafico del coseno ha tangente orizzontale in quel punto e quindila derivata è zero.

Una dimostrazione rigorosa del risultato la si ottiene con l’uso della formula

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204 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

di duplicazione per il coseno:

limh→0

cos (h)− 1h

= limh→0

cos (h/2 + h/2)− 1h

= limh→0

.cos2 h/2− sin2 h/2− ¡cos2 h/2 + sin2 h/2¢

h

= limh→0−2sin

2 h/2

h/2= −2 lim

h→0sinh/2

h/2sinh/2

= −2 limh→0

sinh/2

h/2limh→0

sinh/2 = −2 · 1 · 0 = 0 .

4.3.2 Derivazione della Funzione Coseno

Per dimostrare che (cosx)0 = − sinx, potremmo ripetere gli argomenti usatiper la dimostrazione della derivata della funzione sinx. Deriveremo, invece, laderivata da ciò che sappiamo sulla funzione seno.

Come sappiamo

cosx = sin (x+ π/2) , e cos (x+ π/2) = − sinx .Da questi fatti ne segue che il grafico della funzione cosx ha nel punto x lostesso coefficiente angolare del grafico della funzione seno nel punto x + π/2.Usando questo fatto e le precedenti identità si ha:

d

dxcosx =

d

dxsin (x+ π/2) = cos (x+ π/2) = − sinx .

Primitive delle funzioni Seno e Coseno

Facendo attenzione alla questione dei segni, non è difficile trovare le primitivedelle funzioni sinx e cosx.

Teorema 135 Sia C una costante qualsiasi. Se f (x) = sinx, allora F (x) =− cosx+C è una primitiva di F. Se g (x) 0 cosx, allora G (x) = sinx+C è unaprimitiva di g.

Esempio 136 Trovare una primitiva della funzione f (x) = 3 sinx− 4 cosx.

Soluzione. Il Teorema precedente ci da le primitiva di sinx e cosx. Combi-nandole in modo appropriato I si ha che una qualunque primitiva è data dallaUsiamo le regole

della somma edel prodotto peruna costante.

funzione

F (x) = −3 cosx− 4 sinx+ Cdove C è una costante qualsiasi. ¥

Esempio 137 Qui di seguito è riportato il grafico di f (x) = x + cosx. Duepunti interessanti sono segnati

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4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE 205

-10

-5

0

5

10

-5 0 5 10x

Grafico di y = x+ cosx

Ci sono massimi e minimi? Ci sono punti di flesso?

Soluzione. Il grafico sembra avere massimi e minimi, ma è proprio così?Il disegno non è in grado di darci una risposta. Per risolvere il problema,calcoliamo le derivate. Poiché f (x) = x + cosx si ha che f 0 (x) = 1 − sinx ef 00 (x) = − cosx. Ne segue che

f 0 (x) = 0 ⇐⇒ sinx = 1 ⇐⇒ x =π

2+ 2kπ ;

f 00 (x) = 0 ⇐⇒ cosx = 0 ⇐⇒ x =π

2+ kπ .

In particolare, il primo punto disegnato sul grafico è sia un punto stazionario.Inoltre, f ha una infinità di punti stazionari che distano tra loro 2π ed unainfinità di punti di flesso ad intervalli di π (il secondo punto indicato è unflesso).Notiamo infine che f 0 (x) = 1 − sinx ≥ 0 per tutti gli x. La derivata primanon cambia mai segno per cui i punti che l’annullano non sono né di massimoné di minimo e poiché annullano anche la derivata seconda sono quindi flessiorizzontali.

Derivate delle Altre Funzioni TrigonometricheTutte le altre funzioni trigonometriche - tangente, cotangente, secante e

cosecante - sono combinazioni algebriche delle funzioni seno e coseno. Per cal-colare le loro derivate aspetteremo fino a quando non avremo sviluppato inmodo esplicito le regole per la derivazione del prodotto e quoziente di funzioni.

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206 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.3.3 Esercizi

1. Trovare le derivate delle seguenti funzioni:

(a) f (x) = 2 sinx ;

(b) f (x) = 3 cosx ;

(c) f (x) = 3 sinx− 4 cosx ;(d) f (x) = 5 cosx+ 6 sinx .

2. Trovare le derivate seconde delle funzioni dell’Esercizio 1.

3. Trovare le primitive delle funzioni dell’Esercizio 1.

4. Sia f (x) = x− cosx .

(a) Ci sono punti stazionari di f nell’intervallo [0, 2π] ?

(b) In quali punti dell’intervallo [0, 2π], f è crescente ?

(c) Trovare il valore massimo e quello minimo di f nell’intervallo [0, 2π]

(d) In quale intervallo f è convessa ?

(e) In quale punto f cresce più rapidamente ? Calcolare il valore di f 0

in quel punto.

5. Ripetere l’esercizio precedente con f (x) = x+ cosx.

6. Tracciare il grafico delle seguenti funzioni nell’intervallo [0, 2π] . Individ-uare entrambe le coordinate dei punti di estremo locale, i punti di estremoglobale e i punti di flesso.

(a) f (x) = 12x+ sinx ;

(b) f (x) = x+ sinx ;

(c) f (x) = 32x+ sinx ;

(d) f (x) = sinx+ cosx ;

(e) f (x) = 2 sinx−√3x ;(f) f (x) =

√3 sinx+ 3cosx .

7. Sia a (x) = sinx. Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzionelineare L (x) = a+ bx ha le proprietà L (0) = f (0) e L0 (0) = f 0 (0) ;

(a) Trovare il valore della costante c tale che la funzione quadraticaQ (x) = L (x) + cx2 ha le proprietà Q (0) = f (0), Q0 (0) = f 0 (0)e Q00 (0) = f 00 (0) ;

(b) Trovare il valore della costante d tale che la funzione cubica C (x) =Q (x) + dx3 ha le proprietà C (0) = f (0), C 0 (0) = f 0 (0), C00 (0) =f 00 (0) e C 000 (0) = f 000 (0) ;

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4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE 207

(c) Disegnare (con l’aiuto di un calcolatore) f, L, Q e C sullo stessosistema d’assi, nell’intervallo [−4, 4] ;

(d) Trovare un intervallo sul quale | f (x)− L (x)| ≤ 0.1 ;(e) Trovare un intervallo sul quale | f (x)−Q (x)| ≤ 0.1 ;(f) Trovare un intervallo sul quale | f (x)− C (x)| ≤ 0.1 .

8. Ripetere l’esercizio precedente con f (x) = cosx.

9. La gittata G di un cannone che spara un proiettile con velocità di v m/ sece con un angolo di x radianti è data da:

G (x) =¡v2/g

¢sin 2x

dove g è l’accelerazione di gravità (espressa in m/ sec2).

(a) Per quale valore dell’angolo si ha la gittata massima?

(b) Quanto è il valore della gittata massima?

10. Sia f (x) = cosx+ 12 cos 2x.

(a) Determinare dove f ha massimi e minimi locali, nell’intervallo [0, 5] ;

(b) Trovare i punti di flesso nello stesso intervallo.

11. Ripetere l’esercizio precedente con la funzione f (x) = sinx− 12 cos 2x.

12. Per ognuna delle seguenti condizioni, trovare una funzione che le soddisfa:

(a) f 0 (z) = cos 2z , f (π/2) = 1 ;(b) f 0 (x) = 2x3 + sin 4x , f (0) = 1 ;(c) g0 (w) = sin (w + 2) , g (0) = 3 .

13. Sia f (x) = A sinx+B cosx, dove A e B sono costanti.

(a) Mostrare che f 00 (x) = −f (x) ;(b) Mostrare che f (4) (x) = f (x) ;

(c) Trovare una funzione f tale che f 00 (x) = −f (x), f 0 (π/3) = −1 ef (π/3) =

√3 .

14. Sia f (x) = 2− sinx e g (x) = 1 + cosx.

(a) Trovare la massima distanza verticale tra le curve y = f (x) e y =g (x) nell’intervallo [0, 2π] ;

(b) Trovare il coefficiente angolare delle rette tangenti ai grafici delle duecurve nel punto di massima distanza verticale.

15. Sia f (x) = cosx e g (x) =√3 sinx..

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208 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

(a) Trovare la massima distanza verticale tra le curve y = f (x) e y =g (x) nell’intervallo [0,π] ;

(b) Trovare il coefficiente angolare delle rette tangenti ai grafici delle duecurve nel punto di massima distanza verticale.

16. Supponiamo che due lati di un rettangolo giacciano sugli assi coordinatie che un angolo appartenga alla curva y = 2cosx, 0 ≤ x ≤ π/2. Ilperimetro del rettangolo può valere 3π/2 ? Se si, trovare le coordinatedell’angolo del rettangolo con tale proprietà. Se no, trovare le coordinatedell’angolo che da il perimetro massimo.

17. Supponiamo che due lati di un rettangolo giacciano sugli assi coordinatie che un angolo appartenga alla curva y = k cosx, con π/3 ≤ k ≤ π/2.

(a) Mostrare che k può essere scelto in modo tale che il rettangolo dimassimo periodo sia un quadrato.

(b) Stimare il valore di k in (a).

18. Sia f (x) = cosx e g (x) = sinx .

(a) Valutare la derivata 50-esima di f ;

(b) Valutare la derivata 51-esima di g ;

(c) Valutare la derivata 52-esima di g .

19. Mostrare che sinx+ cosx ≤ 1 + x per tutti gli x ≥ 0 .20. Mostrare che 2 + sinx − cosx ≤ ex per tutti gli x ≥ 0 [Sugg.: Usare il

risultato dell’Esercizio precedente e il fatto che 1 + x ≤ ex per tutti glix ≥ 0 ].

21. Calcolare i seguenti limiti riconoscendo, in ognuno di essi, la definizionedi derivata:

(a) limx→π/2cosx

x− π/2;

(b) limx→πsinx

x− π;

(c) limh→0sin (3π/2 + h)− 1

h;

(d) limh→02 cos (5π/4 + h) +

√2

h.

22. Calcolare limh→0cos (x− h)− cos (x+ h)

h.

23. Sia f (x) = sin kx . Dare una giustificazione ad ognuno dei seguenti pas-saggi che dimostrano che f 0 (x) = k cos kx.

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4.3. DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE 209

(a) i.d

dxsin kx = limh→0

sin (k (x+ h))− sin kxh

ii. = limh→0sin (kx+ kh)− sin kx

h

iii. = limh→0 ksin (kx+ w)− sin kx

w

iv. = limw→0 ksin (kx+ w)− sin kx

w

v. = k limw→0sin (kx+ w)− sin kx

w

vi. = k cos kx .

24. Usare il risultato precedente per calcolare la derivata di g (x) = 3 sin 2x .

25. Sia f (x) = cos kx .

(a) Usare la definizione di derivata per mostrare che f 0 (x) = −k sin kx ;(b) Usare il risultato precedente per calcolare la derivata di f (x) =

2 cos 3x .

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210 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.4 La Derivazione del Prodotto e del Quoziente

Il tema della costruzione di nuove funzioni, partendo da quelle note, è un temaricorrente in questo corso. Nello studio delle proprietà delle funzioni abbiamointrodotto e discusso le varie operazioni - algebriche, composizione, inversione,e così via - che ci hanno permesso di costruire nuove funzioni dalle note. Inquesto paragrafo e nel prossimo, vedremo come calcolare le derivate di queste“nuove” funzioni a partire dalla conoscenza delle derivate di quelle note.

Non tutte le situazioni sono semplici come nel caso della derivata combi-nazione lineare di funzioni, nel qual caso la derivata è la combinazione linearedelle funzioni componenti, cioè:

h (x) = af (x) + bg (x) , a, b costanti =⇒ h0 (x) = af 0 (x) + bg0 (x) .

Qui di seguito riportiamo i Teoremi che ci dicono quali sono le regole diderivazione del prodotto di due funzioni e del reciproco di una funzione. Primadi dimostrarli, illustreremo come si usano.

Siano ue v funzioni differenziabili, si ha:

Teorema 138 (La regola Del Prodotto) Se p (x) = u (x) · v (x) , si ha

p0 (x) = u0 (x) · v (x) + u (x) · v0 (x) .

Equivalentemente, (uv)0 = u0v + uv0.

Teorema 139 (La regola della Funzione Reciproca) Se q (x) = 1/u (x) ,la derivata di q è data da

q0 (x) = − u0 (x)u2 (x)

.

Equivalentemente scriviamo, q0 = −u0/u2.

Esempio 140 (Primitiva di lnx). Abbiamo, in precedenza, affermato cheuna qualsiasi primitiva della funzione lnx è data da una funzione della formaf (x) = x lnx− x+ C. Proviamolo adesso.

Soluzione. Usiamo la regola del prodotto appena enunciata, si ha

(x lnx− x+ C)0= (x lnx)0 − 1= lnx+ x · 1

x− 1 = lnx .

come affermato. ¥

Esempio 141 Sia f (x) = 1/ sinx. Trovare la sua derivata.

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4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE 211

Soluzione. Usando la formula per la derivata del reciproco si ha che:

f 0 (x) = − cosxsen2x

.

¥

Esempio 142 Trovare la derivata della funzione g (x) = e−x.

Soluzione. Osserviamo dapprima che la funzione g (x) può essere scrittacome:

g (x) = e−x = (ex)−1 =1

ex.

Possiamo allora usare la regola di derivazione della funzione reciproca. Si ha

g0 (x) =¡e−x

¢0= − ex

(ex)2= − 1

ex= −e−x .

¥Conoscendo la derivata del prodotto di due funzioni e la derivata della recip-

roca possiamo sapere qual’è la derivata del quoziente di due funzioni. Si hainfatti:

Teorema 143 (Derivata del Quoziente) Siano ue v funzioni differenziabili,si ha µ

u (x)

v (x)

¶0=u0 (x) v (x)− u (x) v0 (x)

v2 (x).

Dimostrazione. Il quozienteu (x)

v (x)può essere scritto come u (x) · 1

v (x).

Lo possiamo allora considerare come il prodotto delle funzioni u ed 1/v. Si hacosì µ

u (x)

v (x)

¶0=

µu (x) · 1

v (x)

¶0= u0 (x)

1

v (x)+ u (x)

µ1

v (x)

¶0= u0 (x)

1

v (x)+ u (x)

µ− v

0 (x)v2 (x)

¶=

u0 (x) v (x)− u (x) v0 (x)v2 (x)

.

Possiamo adesso calcolare, per esempio la derivata delle “altre” funzionitrigonometriche, che non avevamo potuto calcolare nel paragrafo precedente.Calcoliamo subito la derivata della funzione tanx e lasciamo le altre per eser-cizio.

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212 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Esempio 144 Trovare la derivata di tanx.

Soluzione. Usiamo la regola del quoziente, si ha:

tan0 x =µsinx

cosx

¶0=sin2 x+ cos2 x

cos2 x= 1 + tan2 x =

1

cos2 x.

¥Riportiamo qui di seguito la tabella delle derivate delle funzioni trigonomet-

riche.

Derivate delle Funzioni Trigonometriche

Funzione sinx cosx tanx cotx secx cscx

Derivata cosx − sinx sec2 x − csc2 x secx tanx − cscx cotx

Esempio 145 Trovare la derivata di q (x) = x2/ sinx .

Soluzione. Indichiamo con u (x) = x2 e v (x) = sinx. Si ha allora

q0 (x) =³uv

´0=u0v − uv0v2

=2x sinx− x2 cosx

sin2 x.

Alcune semplificazioni algebriche della soluzione sono possibili, ma poiché ilnostro obbiettivo riguarda le derivate, lasciamo il risultato nella forma trovata.¥

Dimostrazione. (Dimostrazione della Regola del Prodotto). Scriv-iamo la definizione di derivata della funzione prodotto. Si ha

(u (x) v (x))0 = limh→0

u (x+ h) v (x+ h)− u (x) v (x)h

Adoperiamo adesso un trucco algebrico aggiungendo e sottraendo il termineu (x) v (x+ h) , si ottiene

(u (x) v (x))0 = limh→0

u (x+ h) v (x+ h)− u (x) v (x)h

= limh→0

u (x+ h) v (x+ h)± u (x) v (x+ h)− u (x) v (x)h

= limh→0

(u (x+ h)− u (x)) v (x+ h)h

+u (x) (v (x+ h)− v (x))

h

= limh→0

(u (x+ h)− u (x)) v (x+ h)h

+ limh→0

u (x) (v (x+ h)− v (x))h

= limh→0

(u (x+ h)− u (x)) v (x+ h)h

limh→0

v (x+ h)

+u (x) limh→0

(v (x+ h)− v (x))h

= u0 (x) v (x) + u (x) v0 (x) .

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4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE 213

Il risultato si ottiene dal fatto che due dei limiti presenti altro non sono che ilrapporto incrementale delle funzioni u e v.L’altro limite presente è limh→0 v (x+ h) . Poiché sappiamo che se una funzioneè derivabile è anche continua si ha che limh→0 v (x+ h) = v (x) .

Prima di concludere notiamo che il risultato non sarebbe cambiato se aves-simo aggiunto e tolto il termine u (x+ h) v (x) .

Vediamo anche la dimostrazione della derivata della funzione reciproca

Dimostrazione. (Dimostrazione della Derivata della Funzione Recip-roca).

Anche in questo caso, iniziamo scrivendo il rapporto incrementale. Si ha:

µ1

u (x)

¶0= lim

h→0

1

u (x+ h)− 1

u (x)

h

= limh→0

u (x)− u (x+ h)h

1

u (x+ h) u (x)

= limh→0

u (x)− u (x+ h)h

limh→0

1

u (x+ h) u (x)

= − limh→0

u (x+ h)− u (x)h

limh→0

1

u (x+ h) u (x)

= −u0 (x) 1

u2 (x)= − u

0 (x)u2 (x)

.

Il risultato si ottiene perché si ha che

limh→0

1

u (x+ h) u (x)=

1

u (x) limh→0 u (x+ h)=

1

u (x)2

Torniamo a considerare altri esempi.

Esempio 146 Siano u, v e w funzioni differenziabili. Trovare una formulaper (uvw)0

Soluzione. Basta usare, con accortezza, la formula di derivazione delprodotto.

(uvw)0 = ((uv) · w)0= (uv)0 · w + (uv) · w0=

¡u0v + uv0

¢ · w + uv · w0= u0vw + uv0w + uvw0 .

Notate la simmetria del risultato: ogni termine contiene una derivata. ¥

Esempio 147 Differenziare xex sinx e x/ (ex sinx) .

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214 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Soluzione. Usando la formula che abbiamo appena ricavato, si ha:

(xex sinx)0 = ex sinx+ xex sinx+ xex cosx .

La seconda funzione richiede l’uso della formula del prodotto e del quoziente:µx

(ex sinx)

¶0=

(x)0 (ex sinx)− x (ex sinx)0(ex sinx)2

=ex sinx− x (ex sinx+ ex cosx)

(ex sinx)2

=sinx− x sinx− x cosx

e2x sin2 xsinx (1− x)− x cosx

e2x sin2 x

¥Ricerca delle Primitive: Provare e Verificare.Calcolare le derivate è più semplice che cercare le primitive di funzioni che

si presentino come prodotto. Quella di provare e verificare è spesso una tecnicache da risultati.

Esempio 148 Trovare una primitiva delle funzioni f (x) = x2 cosx+ 2x sinx

e g (x) =x cosx− sinx

x2.

Soluzione. La forma di f e di g ci suggeriscono di applicare la regola delprodotto e del quoziente, rispettivamente. Con questa idea in testa è naturalesupporre che

F (x) = x2 sinx+C e G (x) =sinx

x+ C

siano delle possibili primitive. Per convincersi del risultato basta derivare lefunzioni F e G.

F 0 (x) =¡x2 sinx+ C

¢= 2x sinx+ x2 cosx ;

G (x) =

µsinx

x+ C

¶0=x cosx− sinx

x2.

¥

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4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE 215

4.4.1 Esercizi

1. Trovare la derivata delle seguenti funzioni, (i) sia usando la regola diderivazione del prodotto che, (ii) esplicitando il prodotto.

(a) f (x) = x2¡x3 − 4¢ ;

(b) f (x) = (x− 3)3 ;(c) f (x) = ex · e2x ;(d) f (x) = tanx · cscx .

2. Trovare la derivata delle seguenti funzioni, (i) sia usando la regola diderivazione del quoziente, che, (ii) semplificando prima di derivare.

(a) g (x) =x2

x3;

(b) g (x) =1− x21 + x

,

(c) g (x) =1

ex;

(d) g (x) =cotx

cscx.

3. Trovare le derivate delle seguenti funzioni.

(a) f (x) = x sinx ;

(b) f (x) = x2 cosx ;

(c) f (x) = 3√x lnx ;

(d) f (x) = sinx cosx ;

(e) f (x) =¡x2 − x¢ lnx ;

(f) f (x) = e−x lnx ;

(g) g (x) =sinx

x2;

(h) g (x) =cosx

x2 + ex;

(i) g (x) =(x+ 1)2

x2 + 1;

(j) g (x) =sinx

cos2 x;

(k) g (x) =cosx

lnx;

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216 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

(l) g (x) = cotx ;

(m) g (x) = sec (x+ 3) ;

(n) g (x) = 3 cscx ;

(o) g (x) = 4 tan (x+ 3) ;

4. Trovare le primitive delle seguenti funzioni

(a) g (x) = sec2 x ;

(b) g (x) = 3 secx tanx ;

(c) g (x) = sec2 (x+ 1) ;

(d) g (x) = csc2 x ;

(e) g (x) = 2x sinx+ x2 cosx ;

(f) g (x) = 3x2 cosx− x3 sinx ;

(g) g (x) =xex − exx2

;

(h) g (x) = 2xe−x − x2ex ;

(i) g (x) = ex sinx+ ex cosx

(j) g (x) = ex cosx− ex sinx .

5. Supponiamo che f e g siano funzioni differenziabili e h (x) = f (x) g (x) .Trovare l’espressione simbolica in termini di f e g per le espressioni dih00 (x) e h000 (x) .

6. Sia f (x) = xex.

(a) Trovare il valore delle costanti a e b in modo tale che la funzionelineare L (x) = a+ bx abbia le proprietà che L (0) = f (0) , L0 (0) =f 0 (0) ;

(b) Trovare il valore della costante c in modo tale che la funzione quadrat-ica Q (x) = L (x)+ cx2 abbia le proprietà che Q (0) = f (0), Q0 (0) =f 0 (0), Q00 (0) = f 00 (0) ;

(c) Disegnare f, L,Q sullo stesso sistema d’assi, nell’intervallo [−3, 3] ;(d) Trovare un intervallo sul quale |f (x)− L (x)| < 0.1 ;(e) Trovare un intervallo sul quale |f (x)−Q (x)| < 0.1 .

7. Sia f (x) =x

3 + x2.

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4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE 217

(a) Trovare il valore delle costanti a e b in modo tale che la funzione lin-eare L (x) = a+b (x− 1) abbia le proprietà che L (1) = f (1) , L0 (1) =f 0 (1) ;

(b) Trovare il valore della costante c in modo tale che la funzione quadrat-ica Q (x) = L (x)+ cx2 abbia le proprietà che Q (1) = f (1), Q0 (1) =f 0 (1), Q00 (1) = f 00 (1) ;

(c) Disegnare f, L,Q sullo stesso sistema d’assi, nell’intervallo [−3, 3] ;(d) Trovare un intervallo sul quale |f (x)− L (x)| < 0.1 ;(e) Trovare un intervallo sul quale |f (x)−Q (x)| < 0.1 .

8. Supponiamo che f sia la funzione mostrata sotto (x− 2)2 − 4

-4

-3

-2

-1

0

2

3

4

5

-1 1 2 3 4 5x

Grafico di f

(a) Sia h (x) = x2f (x) . Valutare h0 (2) e h0 (4) ;

(b) Sia m (x) = f (x) /¡x2 + 1

¢. Valutare m0 (0) .

9. Sia f (x) = xex. Trovare i valori dei parametri A e B in modo tale cheF (x) = (Ax+B) ex sia una primitiva di f.

10. Sia g (x) = x2ex. Trovare i valori dei parametri A,B e C in modo taleche H (x) =

¡Ax2 +Bx+C

¢ex sia una primitiva di g.

11. Sia h (x) = e2x sinx. Trovare i valori dei parametri A e B in modo taleche H (x) = (A sinx+B cosx) e2x sia una primitiva di h.

12. Consideriamo la funzione g (x) =lnx

xnell’intervallo [1,+∞)

(a) In quale punto g raggiunge il suo valore massimo? Qual’è il valoredel massimo?

(b) Trovare i flessi del grafico di g.

13. Sia f (x) =x+ sinx

cosx.

(a) Trovare f 0 (x) ;

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218 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

(b) Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di f in x = 0.

14. Sia f (x) = ex cosx .

(a) Per quale valore di x nell’intervallo [0,π] , la funzione f raggiunge ilsuo massimo? Ed il suo minimo?

(b) Trovare i flessi del grafico di g nell’intervallo [0,π] .

15. Trovare il massimo ed il minimo di f (x) = e−x sinx nell’intervallo [0,+∞) .16. Sia f (x) = 2x+ x cosx+ sinx .

(a) Mostrare che f ha un minimo locale per x = (2k + 1)π , k =0, 1, 2, . . .

(b) Mostrare che f ha un massimo locale per x = − (2k + 1)π , k =0, 1, 2, . . .

17. Supponiamo che N (t), il numero di batteri in una cultura al tempo t, èproporzionale a 25 + te−t/20.

(a) Per quale valore di t nell’intervallo [0, 100] il numero dei batteri èminimo?

(b) Per quale valore di t nell’intervallo [0, 100] il numero dei batteri èmassimo?

(c) Per quale valore di t nell’intervallo [0, 100] la variazione del numerodei batteri è minimo?

18. Qual’è l’area del triangolo più grande formato, nel primo quadrante,dall’asse x, dall’asse y e la retta tangente al grafico di y = e−x ?

19. Mostrare che x+ x−2 ≥ 2 per 0 < x ≤ 1 [Sugg.: Usare il principio dellecorse.]

20. Mostrare che sinx + tanx ≥ 2x per 0 ≤ x ≤ π/2 [Sugg.: Usare ilrisultato dell’Esercizio precedente per mostrare che cosx + sec2 x ≥ 2 se0 ≤ x ≤ π/2 ].

21. Mostrare chex

1 + x≤ ln (1 + x) ≤ x per tutti gli x ≥ 0 [Sugg.: Usare il

principio delle corse].

22. Sia f una funzione differenziabile. Trovare la derivata delle funzionig (x) = f2 (x) e h (x) = f3 (x) .

23. Sia f una funzione differenziabile e sia g (x) = f2 (x) .

(a) Mostrare che ogni punto stazionario di f è un punto stazionario dig ;

(b) Se x0 è un massimo locale di f , lo è anche per g ? Spiegare.

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4.4. LA DERIVAZIONE DEL PRODOTTO E DEL QUOZIENTE 219

24. Sia f (x) =lnx

k− kx

x+ 1, dove k è una costante.

(a) Mostrare che f non ha estremi locali se 0 ≤ k ≤ 2 ;(b) Mostrare che f ha estremi locali se k > 2. Determinare quanti sono

e quali sono .

25. Supponiamo che f, g e h siano differenziabili e che h (x) = f (x) g (x).

Mostrare che se h0 (1) 6= 0 allora³f (1)2 (1) + g2 (1)

´> 0.

26. Supponiamo che la funzione f abbia come dominio R e le seguenti pro-prietà:

(a) i. f (x+ y) = f (x) f (y) ;ii. f (0) 6= 0 ;iii. f 0 (0) = 1

(b) Mostrare che f (0) = 1 ;

(c) Mostrare che f (x) 6= 0 per tutti gli x .

27. (Una dimostrazione alternativa della regola di derivazione del prodotto).Siano f, g funzioni differenziabili e h = f · g.

(a) Usare la definizione per mostrare che¡f2 (x)

¢0= 2f (x) f 0 (x) [Sugg.:

Usare l’identità algebrica a2 − b2 = (a− b) (a+ b)].(b) Mostrare che h (x) = 1

2

³(f (x) + g (x))2 − (f (x)− g (x))2

´;

(c) Usare (a) e (b) per mostrare che h0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) .

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220 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.5 La Derivazione delle Funzioni Composte

Tutto ciò che rimane da fare prima di essere capaci di derivare tutte le funzionielementari, è la capacità di trattare funzioni del tipo

sinx2 , (sinx)2 , e sin3 x2

che si ottengono componendo funzioni più semplici.le funzioni più semplici coinvolte sopra sono:

f (u) = sinu , g (u) = u2 , e h (u) = u3 .

Trovare le derivate di f, g e di h non è un problema; la questione che sipone è quella di riuscire a combinare queste derivate per riuscire ad esprimerela derivata delle funzioni composte. In altre parole il problema è:

Come si combinano f, g, f 0 e g0 per ottenere (f ◦ g)0 ?

Nel risolvere il problema assumiamo che f e g siano “sufficientemente buone”per i nostri scopi, cioè che f, g, f 0 e g0 abbiano domini sufficientemente ampida permettere le operazioni che desideriamo.

Non dimostreremo il teorema che enuncia la formula per la derivazione dellefunzioni composte, ma cercheremo di illustrarlo con un ampio numero di esempi.

Teorema 149 (Derivazione delle Funzioni Composte) Siano f e g fun-zioni differenziabili per le quali è ben definita la composizione f ◦ g. Sia a unpunto interno al dominio della funzione composta, si ha

(f ◦ g)0 (a) = f 0 (g (a)) · g0 (a) .

Osserviamo i seguenti fatti:

• Esistenza della Derivata. Il teorema garantisce l’esistenza di (f ◦ g)0 (a),se esistono le derivate f 0 (g (a)) e g0 (a);

• Perché un Prodotto. Il teorema afferma che la derivata della compo-sizione f ◦ g è il prodotto delle derivate f 0 e g0. Come mai il prodottoè appropriato? L’interpretazione delle derivate come velocità di cambi-amento ci aiuta a capire. Supponiamo, per esempio, che y = f (u) eu = g (x) , f 0 (u) = 3 e g0 (x) = 2. Questo significa, nel linguaggio del-la variazione, che y varia tre volte più velocemente di u, e u varia duevolte più velocemente di x. E’ ragionevole dedurne che y vari sei volte piùrapidamente di x.

• Quale prodotto ?. La derivazione della composizione di due funzionicoinvolge il prodotto delle derivate di f e di g. Bisogna però fare atten-zione. I fattori f 0 (g (a)) e g0 (a) mostrano che le derivate sono valutate suingressi differenti.

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 221

• Altre Notazioni Nell’enunciato del teorema abbiamo specificato il val-ore dell’ingresso x = a per enfatizzare l’osservazione precedente. Poichéil teorema vale per tutti gli ingressi ammissibili, possiamo pensare all’e-sistenza della funzione derivata. Da questo punto di vista la regola diderivazione della composizione si scrive nella forma

(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g0 (x)

o equivalentemente nella forma

(f ◦ g)0 = ¡f 0 ◦ g¢ · g0 .Una dimostrazione rigorosa del teorema richiede la soluzione di alcune ques-

tioni delicate riguardanti i limiti. Preferiamo, come detto, cominciare a mostraresubito come funziona.

Esempio 150 Differenziare sinx2 e sin2 x.

Soluzione. Poniamo f (u) = sinu e g (u) = u2. Si ha che

sinx2 = (f ◦ g) (x) e sin2 x = (g ◦ f) (x) .

Dalla regola di derivazione della composizione e dalle derivate di f e di g si ha:¡sinx2

¢0= (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g0 (x) = cosx2 · 2x .

In modo analogo:¡sin2 x

¢0= (g ◦ f)0 (x) = g0 (f (x)) · f 0 (x) = 2 sinx · cosx

Le due risposte sono ovviamente diverse, come devono essere, visto che lacomposizione non è un’operazione commutativa! ¥

Esempio 151 Trovare le funzioni derivate di sin 3x e sin (x+ 3) usando laderivazione della composizione.

Soluzione. Siano f (u) = sinu , g (x) = 3x , e h (x) = x+ 3. Si ha

(sin 3x)0 = (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g0 (x) = 3 · cos 3x .

Analogamente,

(sin (x+ 3))0 = (f ◦ h)0 (x) = f 0 (h (x)) · h0 (x) = 1 · cos (x+ 3)

¥

Esempio 152 Differenziare sin3 x2 .

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222 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Soluzione. In questo caso dobbiamo fare un po’ più di attenzione. Siaf (u) = sinu , g (u) = u2 e h (u) = u3 ; allora

(h ◦ g ◦ f) (x) = ¡sinx2¢3 = sin3 x2 .Dobbiamo perciò derivare la composizione di tre funzioni. Per farlo raggruppi-amo h ◦ f ◦ g = h ◦ (f ◦ g) ed usiamo la regola di derivazione due volte:

(h ◦ (f ◦ g))0 = ¡h0 ◦ (f ◦ g)¢ · (f ◦ g)0 = ¡h0 ◦ (f ◦ g)¢ · ¡f 0 ◦ g¢ · g0 .Nel caso particolare in esame, si ha così:¡

sin3 x2¢0

= 3 sin2 x2 · ¡sinx2¢0= 3 sin2 x2 · cosx2 · 2x= 6x · sin2 x2 · cosx2

¥Ciò che abbiamo osservato nei precedenti esempi ci dice che:

Per differenziare la composizione f (g (x)), si differenzia prima la funzione piùesterna, lasciando inalterata quella interna, poi si moltiplica per la derivata

della funzione interna.

Questa regola funziona correttamente qualunque sia il numero delle funzionicomposte, come mostra il seguente esempio.

Esempio 153 Differenziare sin (sin (sinx)) .

Soluzione. Operiamo con attenzione, seguendo la regola scritta sopra:

(sin (sin (sinx)))0 = cos (sin (sinx)) · (sin (sinx))0= cos (sin (sinx)) · cos (sinx) · (sinx)0= cos (sin (sinx)) · cos (sinx) · cosx .

¥

Esempio 154 Sia n un numero reale. Derivare sinn x ; differenziare quindifn (x) dove f è una qualsiasi funzione differenziabile.

Soluzione. La derivazione della composizione fornisce la risposta in en-trambi i casi.

(sinn x)0 = n sinn−1 x · cosx ;

(fn (x))0 = nfn−1 (x) · f 0 (x) .¥

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 223

La Derivazione della Composizione nella Notazione di Liebnitz

La derivazione della composizione è facile da ricordare, e talvolta anche con-veniente da scrivere, usando la notazione di Liebnitz. Ecco come la pos-siamo esprimere, in modo informale, assumendo che y ed u siano funzionidifferenziabili.

Sia y una funzione della variabile u ed u una funzione della vari-abile x. Ne segue che y è una funzione composta di x; la derivatadi y rispetto ad x è data da

dy

dx=dy

du· dudx.

Esempio 155 Differenziare la funzione y = sinx2.

Soluzione. Si ha y = sinu e u = x2, cosìdy

dx=dy

du· dudx= cosu · 2x = 2x · cosx2

Nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito u con x2. ¥

4.5.1 Derivata delle Funzioni Inverse e Derivazione della Com-posizione

La regola di derivazione della composizione di funzioni può essere usata pertrovare la derivata della funzione inversa (incognita) una volta che sia nota laderivata della funzione.

Infatti, se f e g sono funzioni inverse, la relazione

(f ◦ g) (x) = xvale per tutti gli x nel dominio di g. Differenziando entrambi i lati del-

l’uguaglianza si ottiene

(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g (x)) · g0 (x) = 1 .Si ricava allora il seguente fatto

Affermazione 156 Siano f e g funzioni inverse. Allora

g0 (x) =1

f 0 (g (x))per tutti i valori di x per i quali il lato destro dell’uguaglianza è definito.

Cominciamo col vedere un esempio semplice

Esempio 157 Usare il fatto che ex e lnx sono funzioni inverse e il fatto che(e)0 = ex per trovare la derivata di lnx.

Soluzione. Sia f (x) = ex e g (x) = lnx. Usando la formula precedente siha

g0 (x) = (lnx)0 =1

f 0 (g (x))=

1

elnx=1

x.

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224 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.5.2 Funzioni Trigonometriche Inverse e Loro Derivate

Per indicare le funzioni trigonometriche inverse sono usate due diverse notazioni:

arcsinx , arccosx , arctanx , e sin−1 x , cos−1 x , tan−1 x .

Ogni forma ha i suoi vantaggi. La prima rende esplicita la connessione congli archi sulla circonferenza unitaria; la seconda ci ricorda l’inversione dellefunzioni. Useremo indifferentemente entrambe le notazioni poiché entrambepossono essere trovate nella letteratura scientifica.

Un Problema e la Sua Soluzione: Restringere il Dominio

Per essere invertibile una funzione deve essere biunivoca, adottando il puntodi vista grafico, questo significa che deve soddisfare il “test della retta orizzon-tale”. Sfortunatamente, nessuna delle funzioni trigonometriche soddisfa questotest. Infatti poiché esse sono periodiche, ripetono se stesse su intervalli lunghi2π,quindi assumono lo stesso valore di uscita una infinità di volte. Il prossimoesempio illustra il problema.

Esempio 158 Per definizione, arcsin 0.5 dovrebbe essere un numero il cui senovale 0.5 . Trovare questo numero, è unico?

Soluzione. Usiamo l’evidenza grafica per mostrare che ci sono più ingressix tali che sinx = 0.5

sinx

-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 2 4 6x

Valori di x tali che sinx = 0.5

Ciò che dobbiamo risolvere è l’equazione

sinx = 0.5 .

Sappiamo che sinπ/6 = 0.5, ma anche sin 5π/6 = 0.5 e rispetto alla figuradisegnata che

0.5 = sin (−11π/6) = sin (−7π/6) = sinπ/6 = sin 5π/6 .

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 225

In generale poiché sinx è una funzione di periodo 2π si ha che tutti i numeridel tipo π/6 + 2kπ e 5π/6 + 2kπ con k intero qualsiasi, soddisfano l’equazionedata. ¥

Nell’esempio appena visto, si ha più di una soluzione del problema posto(in realtà, infinite soluzioni) perché la funzione non è biunivoca. Per poter-la invertire (così come per le altre funzioni trigonometriche) abbiamo un’uni-ca soluzione: restringere il dominio ad un intervallo nel quale la funzione èbiiettiva.

Inversione della Funzione Seno

La funzione seno è crescente, e quindi invertibile nell’intervallo [−π/2,π/2] . (E’ovvio che esiste una infinità di intervalli su cui la funzione seno è monotona,quindi biiettiva e perciò invertibile, tra tutti questi quello centrato nello zerosembra essere il più naturale da scegliere).

-1

0

1

Restrizione della funzione Seno

La restrizione della funzione seno all’intervallo [−π/2,π/2] ammette quindifunzione inversa, definita come segue:

Definizione 159 Per x ∈ [−1, 1], la funzione inversa della funzione seno, y =arcsinx (o sin−1 x) è definita dalle condizioni

x = sin y e − π

2≤ y ≤ π

2.

A parole: arcsinx è l’angolo (unico) compreso tra −π2eπ

2il cui valore del seno

è x.

Da notare le proprietà seguenti.Simmetria Grafica. Il grafico di sinx nell’intervallo [−π/2,π/2] ed il

grafico di sin−1 x mostrano la simmetria che ci si aspettava

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226 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

Seno ed Arcoseno

Dominio e Codominio. La funzione seno (così come l’abbiamo ristretta)ha dominio [−π/2,π/2] e codominio [−1, 1] . La sua inversa, arcsinx li scambiatra di loro: il dominio è [−1, 1] e il codominio è [−π/2,π/2] .

Composizione delle Inverse. Per la definizione di funzione inversa si hache

sin (arcsinx) = x per − 1 ≤ x ≤ 1 ;arcsin (sinx) = x per − π/2 ≤ x ≤ π/2 .

Inversione della Funzione Coseno

La funzione coseno diventa biiettiva e quindi invertibile, se ristretta all’intervallo[0,π] . Compreso questo fatto i grafici del coseno e dell’inversa, così come ladefinizione formale, seguono facilmente

-1

0

1

Restrizione del Coseno

0

Grafici di Coseno e Arcoseno

Definizione 160 Per x ∈ [−1, 1], la funzione inversa della funzione coseno,y = ar cosx ( o cos−1 x) è definita dalle condizioni

x = cos y e 0 ≤ y ≤ π .

A parole: ar cosx è l’unico angolo tra 0 e π il cui coseno vale x.

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 227

Così come per la funzione seno, si hanno le tre proprietà:

Simmetria Grafica. La restrizione del grafico di cosx all’intervallo [0,π/]ed il grafico di cos−1 x mostrano la simmetria che ci si aspettava per le funzioniinverse, essi sono simmetrici rispetto alla retta y = x .

Dominio e Codominio. La funzione coseno (così come l’abbiamo ristret-ta) ha dominio [0,π] e codominio [−1, 1] . La sua inversa, arccosx ha quindidominio [−1, 1] e codominio [0,π] .

Composizione delle Inverse. Come per l’arcoseno, due equazioni espri-mono la relazione tra le due funzioni inverse:

cos¡cos−1 x

¢= x per − 1 ≤ x ≤ 1 ;

cos−1 (cosx) = x per 0 ≤ x ≤ π .

Inversione della Funzione Tangente

La funzione tanx è biiettiva se ristretta di uno qualsiasi dei suoi rami. Usual-mente viene usato quello a cavallo dell’origine:

-4

-2

0

2

4

Grafico di tre rami di tanx

Differentemente dalle funzioni seno e coseno, il codominio della funzionetanx è tutto R. Ne segue che il dominio dell’inversa arctanx è tutto R.

Definizione 161 Sia x ∈ R. Allora, y = ar tanx (o y = tan−1 x) significa che

x = tan y e − π

2< y <

π

2.

Ricordiamo, ancora le seguenti proprietà

Simmetria. Il dominio dell’arctanx (cioè il rango di tanx) è infinito, cosìche ogni disegno del grafico è incompleto. Notare comunque l’usuale simmetria

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228 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

tra i grafici

La Funzione Tangente e la sua Inversa

Dominio e Codominio. La funzione tangente (così come l’abbiamo ristret-ta) ha dominio (−π/2,π/2) e codominio (−∞,+∞) . La sua inversa, arctanxha quindi dominio (−∞,+∞) e codominio (−π/2,π/2) .

Composizione delle Inverse. In modo analogo alle altre funzioni inverse,valgono le relazioni:

tan¡tan−1 x

¢= x per −∞ < x < +∞;

tan−1 (tanx) = x per − π/2 < x < π/2 .

Altre Funzioni Trigonometriche Inverse

Tutte e sei le funzioni trigonometriche ammettono inversa. Insieme a arcsinx,arccosx e arctanx si possono definire arcsecx, arccscx e arccotx. Anche inquesti ultimi tre casi occorre fare attenzione alla restrizione del dominio per ot-tenere l’invertibilità. Di queste ultime, inoltre la più utile può essere consideratal’arcosecante che appare a volte nella ricerca delle primitive.

Per ogni possibile ingresso t, sec t = 1/ cos t. la definizione più semplice diarcsecx, basata sul quella di arccosx riflette questo dato:

Definizione 162 Per ogni x, tale che |x| ≥ 1,

arcsecx = sec−1 x = cos−1 (1/x) = arccos1

x.

In particolare,

y = arcsecx = arccos1

x=⇒ cos y =

1

x=⇒ sec y = x ,

come ci si aspettava.

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 229

In pratica, le funzioni trigonometriche inverse sono spesso combinate con leordinarie funzioni trigonometriche

La prima figura (tra le altre cose) mostra che

cos¡sin−1 x

¢=p1− x2 .

Dalla seconda ricaviamo che:

sin¡tan−1 x

¢=

x√1− x2 :

Derivate delle Funzioni Trigonometriche Inverse

Conosciamo le derivate delle funzioni trigonometriche, possiamo allora, usandoil metodo di derivazione delle funzioni composte, trovare le derivate delle loroinverse. Scriviamo subito la tabella della derivate delle funzioni trigonometricheinverse, subito dopo le calcoleremo.

Derivate delle Funzioni Trigonometriche Inverse

Funzione arcsinx arccosx arctanx arcsecx

Derivata1√1− x2 − 1√

1− x21

1 + x21

|x|√1− x2

Osserviamo subito i seguenti fatti:Restrizione del Dominio. Le Funzioni arcsinx, arccosx, arctanx e

arcsecx hanno delle restrizioni sul loro dominio. Altrettanto avviene per le loroderivate.

Derivate di arcsinx e arccosx. Le derivate delle funzioni arcsinx e arccosxdifferiscono solo per il segno. Ne segue allora che (arcsinx+arccosx)0 = 0 pertutti i valori degli ingressi ammissibili. Questo non è casuale perché si ha che,per tutti gli x ∈ [−1, 1]

arcsinx+arccosx =π

2.

Esempio 163 Mostrare che (arctanx)0 =1

1 + x2.

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230 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Soluzione. Se f (x) = tanx e g (x) = arctanx, allora f e g sono inverse l’u-

na dell’altra e f 0 (x) =1

cos2 x= 1+tan2 x. Usando la formula per la derivazione

delle funzioni inverse si ha:

(arctanx)0 =1

f 0 (g (x))=

1

1 + tan2 (arctanx)=

1

1 + x2.

¥

Esempio 164 Spiegare perché (arcsinx)0 =1√1− x2 .

Soluzione. Operiamo esattamente come prima ponendo f (x) = sinx ,g (x) = arcsinx e ricordando che f 0 (x) = cosx. Si ha perciò:

(arcsinx)0 =1

f 0 (g (x))=

1

cos (arcsinx)

= (∗) 1p1− sin2 (arcsinx)

=1√1− x2

Ricordiamo che l’uguaglianza (∗) vale perché nell’intervallo [−π/2,π/2] lafunzione coseno è positiva. ¥

Le altre derivate si possono trovare in modo simile.

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 231

4.5.3 Esercizi

1. Assumiamo che sia g che g0 siano definite per tutti i valori di x. Trovarele derivate delle funzioni elencate di seguito.

(a) f (x) = gn (x) ;

(b) f (x) = eg(x) ;

(c) f (x) = ln (g (x)) ;

(d) f (x) = tan (g (x)) ;

(e) f (x) = g (xn) ;

(f) f (x) = g (ex) ;

(g) f (x) = g (lnx) ;

(h) f (x) = g (sinx) ;

(i) f (x) = g (tanx) .

2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni.

(a) f (x) =¡x2 + 3

¢4;

(b) f (x) = (1 + ex)7 ;

(c) f (x) =√2 + sinx ;

(d) f (x) = sin e3x ;

(e) f (x) = cosx5 ;

(f) f (x) =√x2 + sin 2x ;

(g) f (x) =√x4 + e2x ;

(h) f (x) = cos (√x+ e−x) ;

(i) f (x) =¡x5/4 − 2x−4/5¢39 ;

(j) f (x) =√x2 + x cosx ;

(k) f (x) = ex2+x cos (2x+ 3) ;

(l) f (x) = ln¡e2x + sin2 x

¢;

3. Sia h (x) = fµg (x)

x2 + 1

¶. Se f (1) = 3, f (2) = 5, f 0 (1) = 7, f 0 (2) = 11,

g (1) = 2 e g0 (1) = 4, quanto vale h0 (1) ?

4. Sia f (x) = ln (2 + cosx) .

(a) Qual’è il dominio di f ?

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232 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

(b) Per quali valori di x, f ammette massimi e minimi ?

(c) Per quali valori di x, f ammette punti di flesso ?

5. Supponiamo che f sia una funzione differenziabile. Se f è periodica, lo èanche f 0 ? Spiegare.

6. Trovare una primitiva per le seguenti funzioni

(a) f (x) = xex2;

(b) f (x) = 2x cosx2 ;

(c) f (x) = x2 sinx3 ;

(d) f (x) = x¡x2 + 3

¢;

(e) f (x) = x3¡x4 + 5

¢6;

(f) f (x) =3x

x2 + 4;

(g) f (x) =x√x2 + 1

;

(h) f (x) = x sin¡1− x2¢ ;

(i) f (x) =e√x

√x;

(j) f (x) = e2x sin e2x ;

(k) f (x) = ecosx sinx .

7. Trovare una primitiva per le funzioni: [Sugg.:(ln f (x))0 = f 0 (x) /f (x) .]

(a) f (x) =3x2 − 5x3 − 5x ;

(b) f (x) =2x+ 3

x2 + 3x+ 5;

(c) f (x) =ex

1 + ex;

(d) f (x) =cosx

1 + sinx.

8. Sia f una funzione pari e g una funzione dispari.

(a) Mostrare che f 0 è dispari;(b) Mostrare che g0 è pari;(c) Mostrare che f 00 è pari.

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 233

9. Supponiamo che f sia una funzione tale che f 0 (x) = x cosx.

(a) Sia g (x) = f (x+ π) , calcolare g0 (0) ;(b) Sia h (x) = f (2x) . Calcolare h’(π/2) ;

(c) Sia j (x) = 2f (x) + 3. Calcolare una espressione per j0 (x) .

10. Supponiamo che F sia una primitiva di f .

(a) Trovare una primitiva di g (x) = f (x) + 3 ;

(b) Trovare una primitiva di h (x) = f (x+ 3) ;

(c) Trovare una primitiva di j (x) = 3f (x) ;

(d) Trovare una primitiva di k (x) = f (3x) .

11. Sia k una costante ed f una funzione differenziabile. Usando la definizionedi derivata giustificare il fatto che se g (x) = f (x+ k), allora g0 (x) =f 0 (x+ k) .

12. Sia k una costante ed f una funzione differenziabile. Usando la definizionedi derivata giustificare il fatto che se g (x) = f (kx), allora g0 (x) =kf 0 (kx) .

13. Sia f una funzione differenziabile.

(a) Supponiamo che f 0 (x) > 0. Sia g (x) = f (f (x)) . Dire se g è semprecrescente. Giustificare la risposta.

(b) Supponiamo che f 0 (x) < 0. Sia g (x) = f (f (x)) . Dire se g è sempredecrescente. Giustificare la risposta.

14. Usare l’identitàf (x)

g (x)= f (x)·(g (x))−1 insieme con le regole di derivazione

del prodotto e della composizione, per trovare la derivata del quoziente.

15. Sia h = f ◦ g. Provare che h00 (a) = f 00 (g (a)) · (g0 (a))2+ f 0 (g (a)) · g00 (a) .16. Sia f (x) = (1 + ex)−1 .

(a) Calcolare limx→+∞ f (x) ;(b) Calcolare limx→−∞ f (x) ;(c) Spiegare perché f è invertibile ;

(d) Trovare dominio e codominio di f−1.

17. Sia f (x) = sin |x|

(a) Quali sono i domini di f e di f 0 ?(b) Trovare una espressione per f 0 (x) .

18. Supponiamo che sia f 0 (x) = g (x) e che h (x) = x2. Esprimere (f (h (x)))0

in termini di g e di x .

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234 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

19. Supponiamo che f e g siano funzioni tali che

(a) i. f (0) = 0 ;ii. g (0) = 1 ;iii. f 0 (x) = g (x) per tutti gli x ;iv. g0 (x) = −f (x) per tutti gli x .

(b) Mostrare che h (x) =¡f2 (x) + g2 (x)

¢= 1 per tutti gli x [Sugg.:

Mostrare che h (0) = 1 e h0 (x) = 0 ].

(c) Sia k (x) = (F (x)− f (x))2 + (G (x)− g (x))2 dove F e G sono un’altra coppia di funzioni che soddisfano (i)-(iv). Mostrare che k0 (x) =0 per tutti gli x.

20. Sia f (x) = sinx+ cosx nell’intervallo [−3π/4,π/4] .

(a) Mostrare che f è invertibile;

(b) Trovare una espressione per¡f−1

¢0(x) [Sugg.:(cosx− sinx)2 = 2−

(sinx+ cosx)2 ]

21. Sia g (x) = f¡x2¢, dove f è una funzione con le seguenti proprietà:

(a) i. f, f 0, f 00 hanno dominio in tutto R ;ii. f (0) = 1 ;iii. f 0 (x) > 0 per tutti gli x > 0 ;iv. f 0 (x) < 0 per tutti gli x < 0 ;v. f è concava in (−∞, 0) ;vi. f è convessa in (0,+∞) .

(b) Dire dove g ha un minimo locale

(c) Dire se g è convessa o meno.

22. Calcolare limx→π5sinx − 1x− π

.

23. Trovare i valori delle seguenti funzioni (in radianti), nei punti dati.

(a) arcsin 1 ;

(b) arcsin¡√3/2¢;

(c) arccos (−1) ;(d) arccos

¡−√2/2¢ ;(e) arctan (1) ;

(f) arctan√3 .

24. Consideriamo la funzione arcsecx .

(a) Qual’è il suo dominio ?

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 235

(b) Quale il codominio ?

25. Esprimer ciascuna delle seguenti espressioni tramite una formula algebri-ca.

(a) sin (arccosx) ;

(b) tan (arcsinx) ;

(c) sin (arctanx) ;

(d) cos (arctanx) .

26. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni.

(a) f (x) = arctan 3x ,

(b) f (x) = arctanx2 ;

(c) f (x) =√arcsinx ;

(d) f (x) = arcsin√x ;

(e) f (x) = earctanx ;

(f) f (x) = arctan (lnx) ;

(g) f (x) = x3 arctanx2 ;

(h) f (x) = arccos¡x2 + 3x

¢;

(i) f (x) = arcsin ex ;

(j) f (x) = arcsinx/ arccosx ;

(k) f (x) = ln (2 + arcsinx) .

27. Trovare le primitive delle seguenti funzioni.

(a) f (x) = 1/¡1 + x2

¢;

(b) f (x) = 1/√1− x2 ;

(c) f (x) = 2/¡1 + 4x2

¢;

(d) f (x) = 3/¡9 + x2

¢;

(e) f (x) = 1/√9− x2 ;

(f) f (x) = 1/√1− 4x2 ;

(g) f (x) = ex/¡1 + e2x

¢;

(h) f (x) = x/√1− x4 ;

(i) f (x) = arctanx/¡1 + x2

¢;

(j) f (x) = earcsinx/√1− x2 ;

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236 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

(k) f (x) = 1/¡¡1 + x2

¢ · arctanx¢ .(l) f (x) = 1/

¡x¡1 + ln2 x

¢¢.

28. L’equazione arcsin (sinx) = x , suggerisce che il grafico di y = arcsin (sinx)possa essere una retta. Se proviamo a far disegnare da un calcolatore talegrafico, si ottiene:

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-6 -4 -2 2 4 6x

Grafico di y = arcsin (sinx)

(a) Spiegare perché arcsin (sin 5) 6= 5 ;(b) Per quali valori di x vale la relazione arcsin (sinx) = x ?

(c) Sia f (x) = arcsin (sinx) . Mostrare che f 0 (x) = cosx/ |cosx| .(d) Che relazione c’è tra il risultato di (c) ed il grafico disegnato sopra?

(e) Qual’è il dominio della derivata della funzione arcsinx ?

29. Sia f (x) = arctanx.

(a) Disegnare f (x) e f 0 (x) sullo stesso sistema d’assi ;

(b) Valutare limx→+∞ f (x), limx→−∞ f (x), limx→+∞ f 0 (x), limx→−∞ f 0 (x) .Cosa implicano questi risultati rispetto al grafico della funzione?

(c) Dire se f è pari, dispari o niente ;

(d) Mostrare che f è crescente in (−∞,+∞) ;(e) Dire dove f è convessa o concava. Trovare i punti di flesso .

30. Sia f (x) = arcsinx.

(a) Disegnare f (x) e f 0 (x) sullo stesso sistema d’assi ;

(b) Valutare limx→1− f (x), limx→−1+ f (x), limx→1− f 0 (x), limx→−1+ f 0 (x) .Cosa implicano questi risultati rispetto al grafico della funzione?

(c) Dire se f è pari, dispari o niente ;

(d) Mostrare che f è crescente in (−1, 1) ;(e) Dire dove f è convessa o concava. Trovare i punti di flesso .

31. Sia f (x) = arccosx.

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4.5. LA DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE 237

(a) Disegnare f (x) e f 0 (x) sullo stesso sistema d’assi ;

(b) Valutare limx→1− f (x), limx→−1+ f (x), limx→1− f 0 (x), limx→−1+ f 0 (x) .Cosa implicano questi risultati rispetto al grafico della funzione?

(c) Dire se f è pari, dispari o niente ;

(d) Mostrare che f è crescente in (−1, 1) ;(e) Dire dove f è convessa o concava. Trovare i punti di flesso .

32. Mostrare chex

1 + x2≤ arctanx ≤ x per tutti gli x ≥ 0 .

33. Mostrare che arctanx+ arctan (1/x) = π/2per tutti gli x > 0 .

34. Trovare una relazione simile alla precedente per x < 0 .

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238 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

4.6 Differenziazione Implicita

4.6.1 Funzioni Definite Implicitamente

L’equazione y = −3x + 5 definisce y esplicitamente come funzione (che in-dicheremo con f ) dell’ingresso x; per un valore dell’ingresso x l’uscita è dataesplicitamente dalla regola f (x) = −3x + 5. Per contro, consideriamo l’e-quazione equivalente 2y + 6x = 10. Sebbene non mostri y esplicitamente comefunzione di x, la nuova equazione definisce y implicitamente come funzione dix. Risolvendo in y otteniamo la stessa formula esplicita di prima

2y + 6x = 10 ⇐⇒ 2y = −6x+ 10 ⇐⇒ y = −3x+ 5 .

Per l’equazione lineare 2y + 6x = 10 è stato facile trovare una formula es-plicita per y. Le cose non sono sempre così semplici. Equazioni più complicaterendono più difficile - a volte impossibile - risolvere esplicitamente in y. Ancheequazioni semplici, tuttavia, possono non definire y univocamente come fun-zione di x, perché il grafico di una equazione non è necessariamente il graficodi una funzione.

Esempio 165 L’equazione x− y2 = 0 definisce y come funzione di x ?

Soluzione. No. Se risolviamo in y si ottiene

x− y2 = 0 =⇒ y2 = x =⇒ y =√x e y = −√x .

In effetti, l’equazione definisce due funzioni di x : f1 (x) =√x e f2 (x) = −√x ,

ognuna delle quali è definita per valori non negativi della variabile x. Il graficoci da conto della situazione:

Grafico di x− y2 = 0La parabola non è il grafico di una funzione, perché ad ogni valore di x cor-rispondono due valori di y. La metà superiore e la metà inferiore del graficodefiniscono due funzioni di x , le due funzioni f1 (x) e f2 (x) definite sopra. ¥

Esempio 166 L’espressione 5x2 − 6xy + 5y2 = 16 definisce implicitamente ycome funzione di x ? Oppure più funzioni di x ?

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4.6. DIFFERENZIAZIONE IMPLICITA 239

Soluzione. Il grafico dell’equazione è una ellisse

-2

-1

0

1

2

y

-2 -1 1 2x

Grafico di 5x2 − 6xy + 5y2 = 16

Così come per il grafico precedente, essa definisce due differenti funzioni ydi x, corrispondenti alla metà superiore ed alla metà inferiore dell’ellisse. Ildominio di ognuna di queste funzioni è l’intervallo

£−√5,√5¤. Trovare le duefunzioni esplicitamente è, in questo caso complicato e non ce ne occuperemo.

4.6.2 Funzioni Implicite, Derivate Implicite

Tutte e tre le equazioni scritte, 6x + 2y = 10, x − y2 = 0, 5x2 − 6xy +5y2 = 16 definiscono implicitamente una o più funzioni di x. Come è possibiledifferenziare queste funzioni?

Se possiamo risolvere esplicitamente per y non c’è problema. Nel caso diy2 = x, per esempio

f1 (x) =√x =⇒ f 01 (x) =

1

2√x;

f2 (x) = −√x =⇒ f 02 (x) = −1

2√x.

Cosa fare se non possiamo, o non vogliamo, risolvere esplicitamente pery ? In questo caso usiamo la differenziazione implicita, una tecnica perdifferenziare una equazione senza prima risolverla per una delle due variabili.Questa è l’idea per una equazione in x ed in y.

Differenziazione Implicita Differenziare entrambi i lati dell’e-quazione, trattando y come una funzione (definita implicitamente)della variabile x, usando la regola della differenziazione delle fun-zioni composte. L’equazione risultante coinvolge x, y e dy/dx; puòessere, infine, risolta, se necessario, per dy/dx.

Illustriamo il problema con alcuni esempi.

Esempio 167 Sia x = y2. Trovare dy/dx per differenziazione implicita.

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240 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Soluzione. Differenziamo entrambi i lati dell’equazione, trattando y comeuna funzione di x:

x = y2 =⇒ d

dxx =

d

dxy2 =⇒ 1 = 2y

dy

dx.

Notare l’uso della derivazione delle funzioni composte: poiché y è unafunzione di x,

¡y2¢0= 2y y0. Risolvendo per dy/dx si ottiene

1 = 2ydy

dx=⇒ dy

dx=1

2y.

il risultato trovato è in accordo con quanto abbiamo trovato, quando abbiamoesplicitato:

f1 (x) =√x =⇒ f 01 (x) =

1

2√x=1

2y

f21 (x) = −√x =⇒ f 02 (x) = −1

2√x=1

2y.

¥

Esempio 168 Come il grafico dell’Esempio 166 mostra, l’equazione 5x2−6xy+5y2 = 16 definisce y implicitamente come funzione di x nell’intorno del punto(2, 2) che soddisfa l’equazione. Trovare il valore di dy/dx in funzione di y e dix. Qual’è il suo valore in (2, 2) ? In (1,−1) ? Cosa significano questi valori ?

Soluzione. Differenziamo l’espressione rispetto ad x:

5x2 − 6xy + 5y2 = 16 =⇒ 10x− 6y − 6x y0 + 10y dydx= 0 .

(IL termine 6xy è un prodotto ed abbiamo quindi usato la regola del prodot-to.)

Risolviamo per dy/dx :

10x− 6y − 6x dydx+ 10y

dy

dx= 0

=⇒ dy

dx(−6x+ 10y) = 6y − 10x

=⇒ dy

dx=6y − 10x10y − 6x .

Quindi, nel punto (2, 2) si ha dy/dx = −1, mentre in (1,−1) si ha dy/dx = 1.Geometricamente, questi risultati significano che le curve mostrate hanno,

nei punti assegnati, coefficiente angolare delle rette tangenti −1 e 1 rispettiva-mente. ¥

Ecco, infine, un esempio che applica le idee descritte in questo paragrafo.

Esempio 169 Usare la differenziazione implicita per trovare i punti della cir-conferenza unitaria che hanno retta tangente di coefficiente angolare 1.

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4.6. DIFFERENZIAZIONE IMPLICITA 241

Soluzione. L’equazione della circonferenza unitaria è x2 + y2 = 1. Ladifferenziazione implicita rispetto ad x da:

x2 + y2 = 1 =⇒ 2x+ 2ydy

dx= 0 =⇒ dy

dx= −x

y.

Ne segue che dy/dx = 1 se e solo se y = −x, cioè nei punti in cui la rettay = −x interseca la circonferenza. Si ricavano quindi i punti ¡−√2/2,√2/2¢ e¡√2/2,−√2/2¢ I ¥ Provate a fare i

conti.

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242 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

Esercizi

1. Sia data l’equazione 5x2 − 6xy + 5y2 = 16.

(a) Trovare i due punti (x, y) sull’ellisse che hanno tangente orizzontale;

(b) Trovare i due punti (x, y) sull’ellisse che hanno tangente verticale(Nota: In questi punti la derivata dy/dx non esiste);

(c) Mostrare che il grafico dell’equazione è simmetrico rispetto all’orig-ine;

(d) Mostrare che i punti le rette tangenti nei punti (x0, y0) e (−x0,−y0)hanno le stesse rette tangenti.

2. Consideriamo l’equazione dell’iperbole y2 − x2 = 1.

(a) Trovare le due funzioni definite implicitamente dall’equazione del-l’iperbole;

(b) Usare la derivazione implicita per trovare dy/dx ;

(c) Trovare i due punti (x, y) sull’iperbole che hanno tangente orizzon-tale;

(d) Per ogni costante a > 0, la retta x = a interseca l’iperbole in duepunti. Trovare i punti e il coefficiente angolare delle rette tangentiin questi due punti

3. Ripetere l’esercizio precedente con l’iperbole y2 − 2x2 = 14. Consideriamo le due curve di equazioni x2+xy+y2 = 1 e x2−xy+y2 = 1.

(a) Tracciare le due curve sullo stesso sistema d’assi ;

(b) Trovare dy/dx per ognuna delle due curve ;

(c) Scrivere le equazioni delle rette tangenti nei quattro punti di inter-sezione delle due curve ;

(d) Trovare i punti nei quali le due curve hanno tangente orizzontale ;

(e) Trovare i punti nei quali le due curve hanno tangente verticale ;

(f) Mostrare che le retta y = x interseca le due curve perpendicolar-mente alle loro tangenti.

5. L’equazione 4x2y − 3y = x2 definisce implicitamente y come funzione dix.

(a) Usare la differenziazione implicita per trovare dy/dx ;

(b) Scrivere y come funzione esplicita di x e calcolare dy/dx diretta-mente .

6. Ognuna delle curve descritte sotto, definisce una curva nel piano x y.Disegnare le curve e usare la differenziazione implicita per trovare unespressione per dy/dx.

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4.6. DIFFERENZIAZIONE IMPLICITA 243

(a) x2 + 2y2 = 4 ;

(b) 4x2 − 9y2 = 36 ;(c) y2 − x2 = x2y2 ;(d) y2 (2− x) = x2 ;(e) x3 + y3 = 3xy ,

(f) y4 = y2−x2 − x2 .

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244 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI