Le azioni interne - Home - people.unica.it · 4 2 4 2 2 2 V P V P H P B A A = = = Reazioni...

Le azioni interne

Obiettivo della lezione: apprendere il concetto di “azione interna” normale, tagliante eflettente e le modalità di calcolo della distribuzione di tali azioni per una struttura isostatica,nota la configurazione dei carichi esterni applicati e dei vincoli.

Significato e definizione delle azioni interne• La schematizzazione delle strutture (siano essi componenti meccanici, civili o

dispositivi medici a funzione strutturale), oltre al calcolo delle reazioni vincolari,richiede che si individui il modo in cui le forze applicate (carichi attivi e reazionivincolari) si trasmettono al loro interno

• Come vedremo in seguito, questo aspetto è di particolare rilevanza, perché laconoscenza di tali “forze interne” è funzionale al calcolo delle sollecitazioni chea loro volta, confrontate con le caratteristiche dei materiali che sono impiegati per larealizzazione della struttura, forniscono la risposta che l’ingegnere si attendeogniqualvolta progetta

La struttura resiste?

La struttura è in grado di assolvere i compiti per i quali è stata progettata?

• Le forze interne (che chiameremo azioni interne) possono essere messe in evidenza“aprendo” (tagliando) la struttura in un punto qualsiasi.

• L’apertura equivale all’eliminazione di un vincolo completo (incastro) cheidentifica la continuità dell’asta e si esplicita nel mettere in evidenza le due forze (nelpiano) e il momento scambiati tra le due porzioni di struttura separate.

Significato e definizione delle azioni interne

Prendiamo in esame la struttura isostatica rappresentata in figura.

Si tratta di una trave semplicemente appoggiata alle estremità e sottoposta all’azione diuna forza concentrata applicata a distanza “x” dall’estremo sinistro

P

P

VA VB

HB

A B

S

Sostituiamo ai vincoli le reazioni che essi producono e immaginiamo di operare un taglio(indicato dalla sezione “S”) :

x


La separazione della struttura a seguito del “taglio” del vincolo di continuità deve comunque rispettaredue regole essenziali:

1. Vale il principio di azione e reazione, ossia le azioni presenti su una parte della strutturaottenuta dalla separazione sono uguali e contrarie alle azioni presenti sulla restante parte;

2. Le due parti di struttura ottenute devono a loro volta essere in equilibrio sotto l’effetto delleazioni esterne che le competono e considerando le azioni interne scambiate.

VA VB

HBS

Come sappiamo, la continuità interna di una trave è esplicitabile attraverso un vincolo triplo (incastro).Quindi il taglio mette in evidenza la presenza di tre componenti (due forze ed un momento)


Quindi, interrompendo la continuità di un’asta, della quale sono note le azioni ele reazioni, per l’equilibrio, nella sezione che si realizza con il «taglio» ènecessario introdurre

N.B. La sezione S deve essere normale all’asse dell’asta

N N

T

TMM

3 “azioni interne” chiamate N, T, M, uguali e contrarie sui due spezzoni di asta

N = Azione Normale T = Taglio M = Momento flettente

S

Significato fisico delle azioni interne

Azione Normale: Forza diretta secondo l’asse della trave. Origina allungamenti (o accorciamenti) della struttura

Taglio: Forza diretta perpendicolarmente all’asse della

trave. Origina scorrimenti relativi tra sezioni adiacenti

Flessione: Momento agente sul piano di simmetria della sezione. Origina allungamenti e accorciamenti della struttura nella zona superiore/inferiore a seconda della direzione di applicazione

Calcolo delle azioni interne

• Il nostro obiettivo è quello di determinarel’andamento delle azioni interne in tutti ipunti della struttura

• Ciò è importante perché combinandotipologia ed entità delle azioni interne conla geometria della struttura è possibilecomprendere quali zone di essa sonomaggiormente sollecitate, e quindi a rischio dicedimento

• Inoltre, combinando le sollecitazioni con lecaratteristiche de materiale impiegato per larealizzazione del componente, si potràstabilire con esattezza il punto piùprobabile di cedimento, o comunque ilgrado di “sicurezza” della nostraprogettazione nei confronti delle azioniesterne a cui verosimilmente sarà sottoposta.


In linea generale, il calcolo delle azioni interne viene eseguito a partire dalle equazionidi equilibrio delle forze agenti sulla porzione di corpo.

• Il procedimento prevede anzitutto il calcolo delle reazioni vincolari e,successivamente, quello delle tre azioni interne incognite N, T e M.

• La porzione di corpo analizzata può essere considerata un corpo soggetto ad unsistema di forze nel quale tre sono incognite. Le equazioni cardinali della staticaforniscono le tre equazioni necessarie alla risoluzione del problema.

• Le azioni interne ad un corpo sono considerate positive secondo i versi indicati infigura.

+N N +T T +M M

AZIONE NORMALE Positiva se uscente

(di trazione)

TAGLIO Positivo se induce

una rotazione oraria della porzione

considerata (concio)

MOMENTO FLETTENTEPositivo se tende le fibre inferiori

del corpo


Le azioni interne, come detto, sono di fatto forze e momenti e dunque si misurano come segue:

AZIONE NORMALE in Newton [N] o [kN]

TAGLIO in Newton [N] o [kN]

MOMENTO in Newton • metro [N m] o Newton • millimetro [N mm]

Sono caratterizzate dalle seguenti proprietà:

• Il loro valore dipende dalla sezione considerata (quindi dipendono dalla coordinata x che si assume per il calcolo)

• Si possono determinare, ottenendo lo stesso risultato in termini di valore assoluto, indifferentemente nello spezzone di struttura a destra o a sinistra del taglio effettuato.

• Sono caratterizzate dalla presenza di discontinuità in corrispondenza di forze e momenti concentrati.


• Il calcolo delle azioni interne assume unsignificato importante se esteso a tutto ilcorpo (o a tutta la struttura) perchéfornisce informazioni fondamentali per ilprogetto

• L’entità e la tipologia delle azioni interne,nonché il loro andamento all'interno delcorpo influenzano la progettazione dellaforma e dei materiali con i quali il corpodeve essere realizzato.

• L’andamento delle azioni interne vienerappresentato mediante dei diagrammi. Idiagrammi vengono rappresentati lungouna linea che percorre il corpo nel suosviluppo tridimensionale (o nel piano)

Esempio 1: Mensola

Esempio 1

A

A

B

B

MA

HA

VA

P

l

lPMPV

H

A

A

A

×=== 0

Reazioni Vincolari

Si definisce “mensola” una trave avente un solo vincolo di incastro ad una estremità. In questo caso la struttura è sottoposta all’azione di una forza concentrata localizzata sull’estremo libero.

• Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente “aprire” la struttura in un punto qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per le forze agenti sulla porzione di struttura.

• Detta x la distanza tra il punto in cui si “apre" la struttura e il punto A, due sistemi sono equivalenti

P

AB

VA

Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per le forze agenti sulla porzione di struttura.

PT

N

M

Scriviamo le equazioni cardinali della statica per entrambe le porzioni di struttura

00

0

=++-=

=-

MxVMN

TV

AA

A

MA

( ) 000

=-+-=

=-

xlPMNPT

x l-x

NB I due sistemi sono EQUIVALENTI

000

=++-=

=-

MPxPlNTP

Esempio 1

Sinistra Destra

A

VA

TN

M

Quindi la soluzione è:

MA

xPlPMPT

N

×-×=== 0

x

In definitiva l’analisi delle azioni interne rivela che:

• L’azione interna assiale è NULLA

• L’azione interna di taglio è COSTANTE

• L’azione interna di momento VARIA LINEARMENTE con la distanza, e parte da un valore finito (P·l) in corrispondenza dell’incastro

Esempio 1

B

P

Esaminiamo la parte destra.

N.B. In questo caso l’origine del sistema di riferimento è fissata nel punto B

xPMxPMPT

N

×=Þ=×+-==

0

0

x

Ancora una volta confermiamo che:

• L’azione interna assiale è NULLA

• L’azione interna di taglio è COSTANTE

• L’azione interna di momento VARIA LINEARMENTE con la distanza. All’estremo libero il momento flettente è nullo, poichè x=0

Esempio 1

T

N

M

Convenzionalmente i diagrammi delle azioni interne si riportano al di sotto della struttura originaria (in genere si riporta prima N, poi T e infine M)

0NT PM P l P x

=== × - ×

A

B

MA

HA

VA

M

T

N

+

+

+

Esempio 1

P

T P=

M P l= ×

Dove disegnare il diagramma del momento?

Dimostriamo numericamente che è possibile procedere al calcolo delle azioniinterne analizzando i sistemi di forze che stanno a sinistra e a destradell’interruzione della struttura ottenendo lo stesso risultato

Esempio 1

A B

P=2000 N

2.0 m

HA =0VA =2000NMA =2000⋅2= 4000N ⋅m

Reazioni Vincolari

A

B

MA

HA

VA

P

Esempio 2

A BHA

VA

F

l

0

0

laFFVVFV

laFVaFlV

FVVH

ABA

BB

BA

A

×-=Þ-=

ïï

î

ïï

í

ì

×=Þ=×+×-

=+=

Reazioni Vincolari

Trave semplicemente appoggiata caricata con forza concentrata posta a distanza “a” dalla cerniera sinistra

• Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire la struttura in un punto qualunque e scrivere le equazioni di equilibrio per le forze agenti sulla porzione considerata

A B

a

b

F

VB

Esempio 2

A

VA

T

N

M

x

( )ïïï

î

ïïï

í

ì

×÷øö

çèæ ×

-=×=

×-==

=

xlaF

FxVxM

laF

FVT

N

A

A

0

• Quando si arriva all’ascissa corrispondente alla posizione del carico

concentrato F si incontra una discontinuità nelle azioni interne che

riguarda sia l’azione di taglio sia il momento flettente

• Il calcolo delle azioni normali deve essere quindi fatto suddividendo l’asta in

campi corrispondenti alla posizione dei carichi (questo vale in generale)

• L’origine del sistema di riferimento può essere cambiata (partire da destra o

da sinistra). Resta inteso che, per una data posizione dell’asta, il valore

delle azioni interne deve essere lo stesso qualunque sia l’origine scelta

ax ££0

Da ricordare

• Quando si arriva all’ascissa corrispondente alla posizione del carico concentrato F si incontra una discontinuità nelle azioni interne che riguarda sia l’azione di taglio sia il momento flettente

• La discontinuità nel diagramma del taglio (originata da una forza concentrata) si esprime come un «SALTO» il cui valore è proprio pari alla forza applicata

• La discontinuità nel diagramma del momento flettente (originata da una forza concentrata) si esprime come una «CUSPIDE»

• Analogamente la presenza di una coppia concentrata da’ luogo alla presenza di un salto nel diagramma del momento flettente

Esempio 2

B

x

VB

ïïï

î

ïïï

í

ì

×÷øö

çèæ ×

=Þ×=Þ=×-

×=Þ=Þ=-

=

xlaF

xMxVMxVM

la

FTVTTV

N

BB

BB

)(0

0

0

bx ££0

M

NT

Fisso l’origine del sistema di riferimento nel punto B

bVbMbxMx

B ×=Þ==Þ=)(0)0(0

Esempio 2

M

T

N

+

+

+

A BHA

VA

F

VB

laFVT B×

-==

laFFVT A ×-==

bVaVM BA ×=×=

Osservazione:Nei tratti di asta scarichi il diagramma del Taglio è COSTANTE

Esempio 2 (numerico)

A BHA

VA

F=4000 N

2.0 m

A B

1.40.6

F

VB

ïî

ïí

ì

===

028001200

A

B

A

HNVNV

Esempio 3

P

l

Trave appoggiata agli estremi caricata con forza concentrata inclinata di 45�applicata in mezzeria

A B45�

l/2

PA B45�

VA VB

HA

22

45

22

45 cos

PsenPP

PPP

x

x

=°=

=°=A B

VA VB

HA

La forza applicata alla struttura può essere scomposta secondo le direzioni orizzontale e verticale

PyPx

Esempio 3

A B

VA VB

HAPyPx

424222

PV

PV

PH

B

A

A

=

=

=

Reazioni Vincolari

Per il calcolo delle azioni interne si può aprire il corpo in due punti:Immediatamente a sinistra o immediatamente a destra del carico applicato.

Supponiamo inizialmente di aprire a sinistra (quindi poco prima della mezzeria)

AB

VA

TN

M

x l-x

HAPyPx

Esempio 3

AB

VA

TN

M

x l-x

HAPyPx

Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:

000

=-×=-=-

MxVHNTV

A

A

A

xVMHNVT

A

A

A

×===

VB

Supponiamo ora di aprire in un punto a destra della forza applicata e ripetiamo il calcolo. Ora l’origine degli assi si trova in corrispondenza dell’estremo B

Esempio 3

TN

M

Facendo variare x tra 0 e l/2 nei due casi, possiamo tracciare i diagrammi delle azioni interne

B

x

VB

00

0

=×-=

=-

xVMN

TV

B

B

xVMNVT

B

B

×===0

Esempio 3

A B

VA VB

HAPyPx

xVMHNVT

A

A

A

×===

xVMN

VT

B

B

×==-=0

Aprendo a sinistra del carico

Aprendo a destra del carico

IMPORTANTE

• Il punto in cui è applicata la forzaverticale (orizzontale), rappresenta un punto di DISCONTINUITA’ per l’andamento del taglio (azionenormale)

• Tratti contigui devono avereuguali valori del momentoflettente (se non sono presenticoppie concentrate)

T+

42×

==PVT A

42×

=-=PVT B

N +

22×

==PHN A

M +

242

2lPlVM A ×

×=×=

Esempio 4

A B

2.000

H=500 N

F1=2000 N

F2=4000 N

0.600

A B

H=500 N

F1=2000 N

F2=4000 N

!"= 500 N

#"= 6000 N

$"=9200 N (antiorario)

Effetto del carico ripartito

Uno dei casi di maggior interesse si verifica quando si applicano sulla strutturaforze distribuite in direzione normale all’asse della struttura

Analizziamo il caso di una mensola incastrata e sottoposta ad un carico p(x) diandamento generico, ad una forza F concentrata e ad un momento Wconcentrato (queste ultime due applicate nell’estremo libero)

Per calcolare le azioni interne di una struttura di questo tipo si possonoseguire due strade• Il metodo DIRETTO (operativamente useremo questo)• Il metodo DIFFERENZIALE (ci serve per capire la relazione tra T e M)

Metodo “diretto”

• Per calcolare le azioni interne ad una certa distanza “c” all’estremo libero si deve idealmente tagliare la struttura e mettere in evidenza le componenti delle azioni interne N, T ed M.

• In questo caso N è certamente nulla perché non sono presenti carichi assiali

• Restano da determinare i valori del Taglio e del Momento Flettente

Taglio:Tutto il tratto compreso tra l’estremolibero e c (0 ≤ x ≤ c) deve stare inequilibrio, quindi l’azione tagliantedeve equilibrare la risultante di tuttele forze verticali applicate prima dellasezione. Si ha quindi:

( )òò +=+=cc

dxxpFdfFT00

ò Þ=-+-cdfTF

00

Metodo “diretto”

Il momento flettente si ricava imponendo l’equilibrio dei momenti ditutte le forze che sono applicate prima della sezione di interesseintorno ad un qualsiasi punto. Scegliendo proprio il punto di sezionecome polo si ha:

( ) ( ) ( )òò -×-×-=-×-×-=cc

dxxcxpcFWxcdfcFWM00

( ) 00

=--×-×- ò MxcdfcFWc

Metodo “differenziale”

In questo caso si prende in esame un elementino della struttura dilunghezza dx come quello mostrato in figura.Questo deve rimanere in equilibrio sotto l’azione delle forze esterne e delleazioni interne che scambia con la rimanente parte della struttura

Se il sistema di riferimento è scelto in modotale che la coordinata x cresca procedendo dasinistra verso destra, il momento flettentevarierà di una quantità dM, mentre il taglio diuna quantità dT

Per l’equilibrio alla traslazione verticale si avrà:

dividendo tutto per dx:

( ) 0=+-+× dTTTdxp

pdxdT

dxdT

p =Þ=- 0

Quindi la derivata del taglio è uguale all’intensità del carico distribuito


L’altra equazione di equilibrio si scriveimponendo che sia nulla la somma di tutti imomenti applicati al tratto di struttura dilunghezza dx. Assumendo come positive lerotazioni orarie si ha:

( ) 02

=+-××-×- dMMdx

dxpdxTM

Tenendo conto che il termine dx2 si può trascurare (infinitesimo di ordinesuperiore) si ottiene:

TdxdM

-=

Quindi la derivata del momento è pari (a meno del segno che dipende dallaconvenzioni adottate) all’azione tagliante T


Dalle equazioni ottenute attraverso l’impiego del metodo differenziale

si possono trarre alcune interessanti considerazioni:

1. Quando su una struttura non è applicato un carico distribuito, allora iltaglio è costante, poiché la derivata deve essere nulla, mentre il momentovaria linearmente perché la sua derivata è costante

2. Se, invece, è applicato un carico uniformemente distribuito, allora iltaglio ha andamento lineare e il momento flettente varia con leggeparabolica

3. Il punto in cui si annulla il taglio corrisponde alla posizione in cui si haun massimo del momento flettente

Momento varia con legge parabolica Taglio Lineare

Momento varia linearmente Taglio Costante

TdxdM

-=pdxdT

=

Esempio 5

l

Trave appoggiata agli estremi caricata con carico uniformemente ripartito per tutta la sua lunghezza

• Il carico uniformemente ripartito si esprime in termini di forza per unità di lunghezza (N/m).

• Moltiplicando il valore del carico ripartito per la lunghezza sulla quale è distribuito si ottiene la forza totale applicata.

• Questa si può immaginare applicata nel baricentro.

• Attenzione: questa schematizzazione VALE SOLO PER IL CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

A Bq

A B

VA VB2

2

0

lqV

lqV

H

B

A

A

×=

×=

=

Reazioni VincolariHA

Esempio 5

Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne

A BVA

T

N

M

x l-x

HA


02

00

=÷øö

çèæ××--×

=-=×--

xxqMxV

HNxqTV

A

A

A

÷øö

çèæ××-×

×=

=

×-×

=

22

02

xxqx

lqM

N

xqlq

T

Esempio 5

ïïî

ïïí

ì

÷øö

çèæ××-×

×=

×-×

=

22

2x

xqxlq

M

xqlq

T

per x=0

ïïî

ïïí

ì

=Þ÷øö

çèæ××-×

×=

×=Þ×-

×=

022

22

Mx

xqxlq

M

lqTxq

lqT

per x=l

ïïî

ïïí

ì

=Þ÷øö

çèæ××-×

×=

×-=Þ×-

×=

022

22

MllqllqM

lqTlqlqT

Esempio 5

A B

VA VB

HA

M

T

N

+

+

+

8

2

maxlqM ×

=

2lqT ×

=

2lqT ×

-=

IMPORTANTE

• La sezione della trave dove si registra il momento flettente massimo è anche quella per la quale il taglio assume valore nullo

• Il taglio è la derivata del momento flettente

• Per trovare il punto di massimo del momento flettente, derivare la sua espressione ed eguagliarla a zero

Esempio 5

A B

VA VB

HA

M

T

8

2

maxlqM ×

=

2lqT ×

=

2lqT ×

-= 21

20

2l

qlq

xxqlq

T =××

=Þ=×-×

=

842222

2lqllqllqlM ×=÷øö

çèæ××-×

×=÷øö

çèæ

Esempio 6

Trave incastrata ad una estremità con carico uniformemente distribuito su tutta la lunghezza e carico concentrato orizzontale e verticale applicati all’estremità libera

A

BH = 500 Nl = 1 m

q = 1500 N/m

V = 1000 N

A B

MA

HA

VA

500

1000

mNM

lVlqM

NVlqVNHH

A

A

A

A

×=×

-×=

Þ=×-×

+

=-×=-×===

2502

1150011000

02

500100011500500

2

2

Reazioni Vincolari

Momenti calcolati rispetto al punto A

Esempio 6


A BVA T

N

M

x l-x

HA


MA

H

V

!" − $ − % & ' = 0*" − + = 0

," + !" & ' − % & ' &'2 − , = 0

$ = 500 − 1500 & '+ = 500 +

, = 250 + 500 & ' − 1500 & '1

2

Esempio 6


A BVA T

N

M

x l-x

HA

MA

H

V

CONSIDERAZIONI:

L’azione normale è COSTANTE di compressione

Il taglio VARIA LINEARMENTE con la distanza. Il punto di intersezione (zero) si trova

mediante l’equazione

mx

xxxqVT A

33.015005001500500

01500500

==

×==×-=×-=

10001033.05000

-======

TxTxTx

Esempio 6


A BVA T

N

M

x l-x

HA

MA

H

V

Per quanto riguarda il momento flettente occorre considerare che ogni porzione di carico ripartito fornisce un contributo al momento che ha un espressione del tipo:

) (2

) ( bracciox

forzaxq ××

quindi globalmente si ha a che fare con una variazione di tipo quadraticoAd esempio, imponendo l’equilibrio sulla porzione destra della trave (punto Z) si ha:

! = 250 + 500 ' ( − 1500 ' (+

2!, + -, ' ( − . ' ( '(2 − ! = 0

Esempio 6

A

BH = 500 N

q = 1500 N/m

V = 1000 N

M

T

N

+

+

+

A VA=500

HA=500

MA=250

mxxxqVA 33.01500500 01500500 0 ===×-Þ=××-

mNqVMMMax AA ×=××-×+Þ 33.333233.033.033.0

0.33 m

250 N

333.33 N

500 N

1000 N

Esempio 7

L

Trave appoggiata agli estremi caricata con una coppia concentrata in una sezione distante “a” dall’estremo sinistro

A Ba

A B

VA VB ïï

î

ïï

í

ì

=Þ=+×-

-=Þ=+=

LCVCLV

VVVVH

BB

BABA

A

0

00

Reazioni Vincolari

HA

• Come si poteva immaginare, le reazioni sono uguali e contrarie (il segno ipotizzato della reazione VA deve essere invertito) perché la coppia concentrata deve essere equilibrata da un’altra coppia uguale e contraria

• La posizione della coppia applicata è influente?

b

Esempio 6

A B

VA VBT

N

M


ïï

î

ïï

í

ì

×=Þ=+×-

=

=Þ=+-

xLC

MMxV

NLC

TTV

A

A

0

0

0 Il taglio è COSTANTE

L’azione normale è NULLA

Il momento flettente VARIA LINEARMENTE

Anche in questo caso è conveniente effettuare il calcolo dall’estremo sinistro fino alla discontinuità (rappresentata dalla coppia concentrata) e dalla coppia concentrata al carrello destro.

Esempio 6

M

T

N

+

+

+

A B

VA VB

HA

LCT =

aLCM ×=

bLCM ×=

Esempio 7

L

Trave “a sbalzo” semplicemente appoggiata caricata all’estremo sinistro con una forza concentrata F

A

a

A

VA VB ïï

î

ïï

í

ì

×=Þ=×+×-

=-+-=

aLFVLFaV

FVVH

BB

BA

A

0

00

Reazioni Vincolari

HA

b

CB

CB

F

F

÷øö

çèæ -×=Þ-

×=Þ-= 1

aLFVF

aLFVFVV AABA

Esempio 7

A

VA VB

CB

F Per calcolare le azioni interne dividiamo il campo della lunghezza della struttura in due parti, in corrispondenza della reazione VB

La presenza delle forze concentrate suggerisce l’esistenza di discontinuità nei diagrammi delle azioni interne

A

VA

TN

M

ïïî

ïïí

ì

×=Þ=-×

÷øö

çèæ -×==Þ=-

=

aVMMaVaLFVTTV

N

AA

AA

0

1 0

0

F

T

N

M

ïî

ïí

ì

×-=Þ=+×-=Þ=+

=

bFMMbFFTFT

N

0 0

0

Esempio 7

M

T

N

+

+

+

AVT -=

bFM ×=

A

VA VB

CB

F

FT =

Esempio 7.25 Bernasconi

P

A

a b

HA

VA VB

P

Esempio 7.11 Bernasconi

PA

B

2P 2P

l l l l

4l

PA B

2P 2P

HA

VA

HB=Rcos45�

VB=Rsin45�

Esempio 8

L

A

B

F

L

L/2

q

A

B

FL/2

q

VA

VB

HB

ïïï

î

ïïï

í

ì

×÷øö

çèæ ××+×=Þ=×-××-×

=-+×=Þ=×-

LLLqLFVLFLLqLV

FVVLqHLqH

AA

BA

BB

122

022

0 0

Reazioni Vincolari

Esempio 8

A

B

FL/2

VA

VB

HB

ïïï

î

ïïï

í

ì

×-=Þ

×--=Þ-=

×+=

×=Þ=×-

22

22

22

0

LqFVLqFFVVFV

LqFV

LqHLqH

BBAB

A

BB

Esempio 8

A

B

FL/2

VA

VB

HB

NT

M

ïï

î

ïï

í

ì

×-=Þ=××--

×=Þ=-×

×+=Þ=-

2 0

2

022

0

2xqM

xxqM

xqTTxq

LqFNNVA

Analizziamo l’andamento del taglio e del momento flettente nella porzione di asta VERTICALE

Esempio 8

A

B

FL/2

VA

VB

HB

N

TM

A

Lq ×

VA

A

VA

22LqF ×

+

• L’azione normale è di COMPRESSIONE• Il Taglio varia LINEARMENTE (negativo

secondo le convenzioni)

Esempio 8

A

B

FL/2

VA

VB

HB

ïïï

î

ïïï

í

ì

×=Þ=+×-

×-=Þ=-

×=Þ=-

0

22 0

0

xVMMxV

LqFTTV

LqNNH

BAAB

B

B

T

NM

Analizziamo l’andamento del taglio e del momento flettente nella porzione di asta ORIZZONTALE

Esempio 8

A

B

FL/2

VA

VB

HB

T

NM

VB

HB

Lq ×

VB

HB

22FLq

-×

22LqF ×

+

Esempio 8

A

B

F

VA

VB

HB

ïïï

î

ïïï

í

ì

÷øö

çèæ -×-×=Þ=÷

øö

çèæ -×++×-

×--=Þ-

×-=Þ=--

×=Þ=-

2

02

22

22 0

0

LxFxVMLxFMxV

LqFTFLqFTFTV

LqNNH

BAAB

B

B

T

NM

ATTENZIONE:Versi e andamenti dei diagrammi delle azioni interne sono dipendenti dai valori di F e q. A seconda delle proporzioni che essi assumono l’uno rispetto all’altro si possono presentare situazioni differenti

Esempio 8

A

VA

VB

HB

Lq ×

22LqF ×

+

RIEPILOGO: AZIONE NORMALE (compressione)

Esempio 8

A

VA

VB

HB

Lq ×

RIEPILOGO: TAGLIO

22FLq

-×

22LqF ×

+

Esempio 8

A

VA

VB

HB

2

2Lq ×

MOMENTO FLETTENTE

2222LLqFLVB ×÷

øö

çèæ ×

-=×

Momento flettente dovuto al solo carico ripartito. Tende le fibre superiori

F

Altri tipi di carico distribuito

lx

lpP

P ×=

×=

3221

0

lx

lpP

P ×=

×=

4331

0

Carico Triangolare: varia con legge lx

pxp ×= 0)(

Carico Parabolico: varia con legge 2

2

0)(lx

pxp ×=

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