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VI GRANDEZZE OPERATIVE DELLE MACCHINE OPERANTI CON FLUIDICOMPRIMIBILI.

VI-1) Lavoro di compressione e d'espansione.

Dall'equazione dell'energia per sistemi aperti:

q l h h v v g z ze e = +

+ ( )2 1 22

12

2 12si possono dedurre alcune espressioni comunemente usate nel campo delle macchine operanti confluidi comprimibili.

Ventilatori.

E' nullo, o comunque trascurabile, la variazione d'energia potenziale gravitazionale e la variazionedi pressione generalmente contenuta, s da poter trascurare la variazione di densit. Analogamentea quanto visto per le pompe e nell'ipotesi di trasformazione adiabatica, energia cinetica all'ingressodella macchina trascurabile, il lavoro scambiato con l'esterno sar dato da:

l l h h v le e mi

= = + =2 1 22

2

dove con l p p vm =

+2 1 22

2 si indicata la prevalenza del ventilatore e con i il rendimento

idraulico. Per quanto riguarda la differenza di pressione ottenibile con un ventilatore, essa limitataa 104 Pa per i ventilatori ad elevata prevalenza ( 1 1. a pressione atmosferica) ed inferioreper quelli a media e bassa prevalenza. Per alcune applicazioni non inoltre trascurabile rispetto ap p2 1

il termine relativo all'energia cinetica allo scarico della macchina, che costituisce, al

contrario, l'effetto utile, com' per le soffianti degli scambiatori a fasci tuberi, con aria acircolazione forzata all'esterno del fascio, o in altre applicazioni.

Trasformazioni isoterme reversibili.

Trascurando le variazioni d'energia cinetica e potenziale gravitazionale, ed essendo per un gasperfetto l'entalpia funzione della sola temperatura, per una compressione isoterma si potr scrivere:

l l q RTc e e c= = = ln (VI-1)dove si introdotto il rapporto di compressione c

pp

= 21

.

Mentre, per un'espansione ideale sar:

l l RTt ee

= = ln 1

(V-1')

dove con epp

= 21

si indicato il rapporto d'espansione. Spesso nella pratica si definisce come

rapporto d'espansione il suo inverso epp

= 12

, ed in tal caso sar, ovviamente, l l RTt e e= = ln .

Trasformazioni adiabatiche reversibili (isoentropiche).

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Trascurando come sopra le variazioni d'energia gravitazionale e d'energia cinetica, il lavoro dicompressione sar dato da:

l l h h c T T RTcid e p c= = = ( ) = ( )2 1 2 1 1 1' ' (VI-2)

dove = kk

1. Il lavoro d'espansione varr:

l l h h c T T RTtid e p e= = = ( ) = ( )1 2 1 2 1 1' ' (VI-2'')

Dall'osservazione delle relazioni (VI-1) e (VI-2), si pu dedurre che il lavoro scambiato lungo unatrasformazione isoterma equivalente all'energia termica scambiata durante la trasformazione,mentre, per una trasformazione adiabatica, il lavoro scambiato con l'esterno equivalenteall'energia termica scambiata lungo un'isobara che evolva tra le stesse temperature iniziali e finalidell'adiabatica.In fig. VI-1 sono rappresentate in un piano termodinamico T s,( ) trasformazioni isoterme eisoentropiche e i relativi lavori di compressione o d'espansione.

In particolare, per una compressione (fig. VI-1 a), il lavoro per una compressione isoterma sar pari

all'area A TdsAB C1 12

= , mentre per l'isoentropica 1-2' sar pari all'area A A AAB C AB C B2 1 1 2' '= + ; l'areatriangolare A B1 2' rappresenta il lavoro aggiuntivo rispetto all'isoterma dovuto all'aumento di volumespecifico del gas che si riscalda durante la compressione. In modo analogo si pu osservare che, acausa del progressivo raffreddamento del gas durante l'espansione, il lavoro ottenibile daun'espansione isoentropica inferiore al lavoro d'espansione di un'isoterma.

Trasformazioni reali. Lavoro di recupero e di controrecupero.

Pur nei limiti della rappresentabilit di una trasformazione reale su un piano termodinamico edattribuendo alle trasformazioni 1-2 solo un significato qualitativo, in fig. VI-1 sono rappresentateanche le trasformazioni adiabatiche reali. Per una compressione, si pu osservare che:

l h h c T Tc p= = ( )2 1 2 1 (VI-3)e, in termini di aree sottese:

l A A A A l l lc AB D AB C C D cid p a= = + + = + +2 2 12 12 2' 'Analogamente, per un'espansione sar:

l h h c T Tt p= = ( )1 2 1 2 (VI-4)

Fig. VI-1

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e, ancora:l A A A A l l lt D BC A BC A D cid p a= = + = +2 2 12 2 12' '

Il lavoro indicato con la ed evidenziato dall'area triangolare A12 2' , rappresenta l'effetto indirettodelle dissipazioni, legato alla natura del gas. Tale lavoro detto di controrecupero nellacompressione e di recupero nellespansione e gioca in modo diverso nei due casi (aumenta il lavoroperso nella compressione mentre lo diminuisce nell'espansione). Questo si pu spiegare con il fattoche l'aumento di temperatura da T2' a T2 rende comporta una variazione di volume specifico (unlavoro di dilatazione) che contribuisce in maniera diversa al lavoro complessivo dellatrasformazione.

VI-2) Rendimenti e potenze.

Si definisce rendimento isotermo di compressione il rapporto:

is cidc

ll

= da cui, per la (VI-1): l l RTc cidis is

= =

ln

(VI-5)

e rendimento isoentropico o adiabatico di compressione il rapporto:

is cidc

ll

= e per la (VI-2): l l RTc cidis is

c= = ( ) 1 1 (VI-6)

Per quanto gi visto in precedenza, la potenza all'asse del compressore sar data da:

P m l m l m lac cm v

cid

m v is

cid

gc

= = =

(VI-7)

Dalle relazioni tra i lavori scambiati con l'esterno ed i salti entalpici, per una trasformazioneadiabatica si deduce immediatamente:

compressione

isch h

h hT TT T T

T

=

=

=

2 1

2 1

2 1

2 1 2

1

1

1' ' (VI-8)

espansione is e

h hh h

T TT T

TT

=

=

=

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1

1

1' '

(VI-9)

Si ricava ancora:

l Tt is e= ( )R 1 1 (VI-10)

e: P m l m l m lac t m v tid m v is tid gt= = =

(VI-11)Per quanto sopra detto relativamente ai lavori di controrecupero e di recupero, appare chiaro che ilrendimento isoentropico non rappresenta un buon indice della qualit del comportamentofluidodinamico del compressore o della turbina in quanto comprensivo di effetti legati alla naturadel fluido. Per chiarire meglio la questione possiamo fare riferimento alla fig. VI-2, in cui rappresentata una compressione frazionata idealmente in pi stadi.Riferendoci all'ultimo stadio di compressione e per la (VI-2), si avr:

h h T4 3 3 1'' = ( )R e h h T4 3 3 1' ' ' = ( )R

da cui, essendo il medesimo per i due stadi:h hh h

TT

4 3

4 3

3

3

1' ''' '

'

=

41

da cui conseguirebbe che una macchina reversibile avrebbe un rendimento inferiore ad uno, il chenon pu essere imputato al comportamento fluidodinamico del compressore, avendo supposto nullele dissipazioni.

Analoghe conclusioni possono essere tratte per l'espansione per cui un frazionamento in pi stadipermette un lavoro disponibile maggiore che nel caso dell'espansione in un unico stadio.Per caratterizzare il comportamento fluidodinamica del compressore preferibile, in alternativa alrendimento isoentropico, utilizzare il rendimento politropico altrimenti definito come il rendimento

isoentropico dello stadio infinitesimo p is isdhdh

dTdT

= = , stadio per cui sono trascurabili gli effetti

dipendenti dalla natura del fluido. Attraverso i passaggi riportati nel cap. III, si perviene allarelazione tra rendimento isoentropico e politropico:

isc

cp

=

1

1

(VI-12)

da cui si deduce che, per una compressione e per un dato rendimento politropico, il rendimentoisoentropico diminuisce all'aumentare del rapporto di compressione. L'andamento della (VI-12) riportato per un gas biatomico ( k =1 4, ) in fig. VI-3, l'opposto sar per l'espansione. Si pu notare

Fig. VI-2

Fig. VI-3

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dalla figura come gi per = 5 la diminuzione di rendimento isoentropico rispetto a quellopolitropico sia notevolmente sensibile (is .75 per p = 0 8. ).

VI-3) Compressione inter-refrigerata.

Nei compressori a flusso continuo la realizzazione di un raffreddamento continuo non agevole acausa delle piccole superfici disponibili per lo scambio termico e dell'elevata velocit dei fluidiall'interno della macchina. Al fine di ridurre le temperature del fluido e diminuire cos il lavoro dicompressione, s'interrompe la compressione ad una pressione intermedia tra quella iniziale e quellafinale e si estrae il fluido dalla macchina quando questi ha raggiunto una temperaturaeccessivamente elevata. Dopo un raffreddamento del gas mediante uno scambiatore di calore che loriporti pressoch alla temperatura iniziale, esso nuovamente inviato al compressore al fine dicompletare la compressione. In fig. VI-4 sono riportati schematicamente gli stadi di compressione,rappresentati separati per comodit di rappresentazione, e la successione delle trasformazioniisoentropiche.

L'area curvilinea tratteggiata in fig. VI-4 (b) rappresenta il lavoro di compressione risparmiatorispetto al lavoro della compressione realizzata in un unico stadio. All'aumentare del numero diinter-refrigerazioni tale lavoro risparmiato aumenta (il lavoro di compressione adiabatico tender allavoro isotermo per un numero infinito di inter-refrigerazioni), ma aumenta, evidentemente, ancheil costo dell'impianto. Per un dato rapporto di compressione, il numero di inter-refrigerazioni sarstabilito in base ad un bilancio di ottimizzazione economica ed alla massima temperaturaammissibile nel compressore, dipendente, quest'ultima, dal materiale impiegato.Si pu osservare, inoltre, che per p pi 1, vale a dire per una inter-refrigerazione eccessivamenteanticipata, il lavoro di compressione risparmiato tende a zero, come pure tende a zero per p pi 2 ecio per una inter-refrigerazione troppo ritardata. La condizione ottimale per la scelta dellapressione intermedia deducibile per via analitica imponendo che sia massimo il lavoro risparmiatoo, il che lo stesso, minimo il lavoro di compressione. Facendo riferimento alla fig. VI-4 (b), pertrasformazioni isentropiche, gas ideali e nel caso di una sola inter-refrigerazione si ottieneimmediatamente:

11

3

1

12

= =

pp

TT

i

dove con si indicato il rapporto di compressione = pp

2

1

. Per T T3 1= si deduce:

1 2= =

Fig. VI-4

43

Il risultato ottenuto con la (VI-13) del tutto generalizzabile, nel senso che per trasformazionireversibili e nel caso in cui le temperature di fine inter-refrigerazione siano ricondotte allatemperatura iniziale, per n inter-refrigerazioni si ricava analiticamente:

i nt= = +cos 1 (VI-13)dove con i si indicato il generico rapporto di compressione parziale.In quest'ultimo caso, il lavoro di compressione sar dato da:

l RT RT nc ii

n

i= ( ) = +( ) ( )=

+

11

111 1 1

(VI-14)

I risultati precedenti valgono rigorosamente solo nelle ipotesi sopra specificate, e cio: Gas ideali Trasformazioni reversibili Temperatura d'inizio compressione costante per ogni compressione parziale.

Nel caso reale l'ottimizzazione risulter alterata e quindi avranno solo valore qualitativo, ma, neilimiti di una buona approssimazione, si potranno ritenere ugualmente validi.Anche per le turbine sar possibile realizzare un'espansione frazionata mediante un inter-riscaldamento o una post-combustione, la scelta del numero di frazionamenti e dei rapportid'espansione parziali segue, in linea generale, i criteri sopra esposti.