L’ARMAMENTO FERROVIARIO ED MODELLI MATEMATICI

Si definisce “armamento ferroviario”, una struttura costituita da binario, deviatoi, incroci, strutture portanti. L’armamento ferroviario è utilizzato da locomotive, carri, carrozze che normalmente hanno un carico massimo (in Europa) di 22.5 tonnellate/asse. Lo scopo del binario è il trasporto di merci e persone. L’efficacia di tale proposito è richiesta essere quanto più confortevole ed a bassi costi: tale proposito genera un numero di condizioni a cui l’armamento ferroviario deve soddisfare.

INTRODUZIONE

1 – Nell’ambito di velocità e carichi assiali permessi, l’armamento ferroviario deve essere sicuro al transito del veicolo. Perché questo sia possibile i componenti della via ferrata, come le rotaie, devono avere caratteristiche di struttura tali da resistere ai carichi transitanti.

2- La corretta geometria deve essere mantenuta nel tempo, indifferentemente dall’entità del traffico.

3- L’armamento ferroviario deve offrire un trasporto confortevole. Le locomotive ed i carri possono generare vibrazioni durante la marcia, fenomeni sgradevoli per i passeggeri. Una sfortunata combinazione di deviatoi, curve e controcurve può, anche se l’armamento ferroviario è ben strutturato e possiede un perfetta geometria, causare così forti movimenti nel veicolo da produrre perfino paura nei passeggeri.

4- L’armamento ferroviario deve essere elettricamente isolato, in modo che i circuiti di alimentazione richiesti, ad esempio per le indicazioni di guida (il segnalamento), devono essere continuamente in funzione, persino nelle più sfavorevoli condizioni meteorologiche, ed in modo che sulle sezioni elettrificate la corrente di ritorno non si disperda a terra in maniera vagante.

5- L’armamento ferroviario deve essere costruito in modo tale che i treni transitanti, non possano causare eccessivi disturbi all’ambiente circostante, sottoforma di rumore e di vibrazioni sul terreno.

6- Il binario ed i deviatoi devono essere costruiti per durare nel tempo. La scelta dell’utilizzo di un particolare sistema di armamento su una linea coinvolge la decisione di utilizzare tale sistema per un intervallo temporale pari ad almeno 20-50 anni. Conseguentemente le decisioni devono essere prese in previsione degli eventi futuri che coinvolgeranno la linea, ad esempio basandosi sulle possibili evoluzioni nelle modalità di trasporto, pur se tale predizione risulta essere molto difficile.

CENNI SULLA STRUTTURA DELL’ARMAMENTO FERROVIARIO CLASSICO

La rotaia

La rotaia (in figura UIC60 – UNI60): può essere considerato il componente più importante della struttura della via ferrata. Essa possiede le seguenti funzioni: è la sede del moto della sala; distribuisce il carico ai sottostanti componenti dell’armamento ferroviario; ha superficie levigata per il contatto con la ruota; permette, per mezzo dell’attrito/aderenza accelerazioni e decelerazioni del veicolo; agisce come un conduttore elettrico creando una linea di distribuzione; trasmette segnali di guida.

L’attacco (elastico) è il nome che è assegnato all’insieme dei componenti che formano il vincolo strutturale tra rotaia e traversa. Funzioni principali: assorbire elasticamente le forze longitudinali e trasversali, trasmesse sulla rotaia dalla ruota e le trasferirle alla traversa; impedire la vanificazione del vincolo di appoggio: la forza di serraggio verticale deve essere in grado di non essere superata in alcuna modalità di carico transitante; smorzare vibrazioni ed urti causati dal transito dei rotabili; mantenere inalterata la geometria di posa della rotaia; isolare elettricamente rotaia e traversa.

Il vincolo tra rotaia e traversa

La traversa (in figura Modello biblocco in C.AP.), ha geometria (monoblocco, biblocco) e materiale di varia natura (legno, acciaio, cemento). Le funzioni principali sono: fissare e supportare rotaie ed attacchi elastici; ricevere le forze dalla rotaia e, per quanto possibile, ripartirle uniformemente al ballast; presevare la geometria macroscopica del binario; fornire adeguato isolamento elettrico tra le due rotaie.

La traversa

La massicciata (ballast) consiste in una strato di pietrisco compattato di materiali vari come basalto, granito (pezzatura 30 - 60 mm per le linee principali e 20 - 40 mm sui deviatoi). Ne risulta che le forze interne al ballast possono assorbire una considerevole aliquota di sforzi di compressione ma non di trazione. Lo spessore del ballast , variabile tra 25 e 35 cm, deve essere stabilito in modo da ripartire quanto più uniformemente il carico verticale sul sottofondo. E’ possibile, in alcuni casi, trovare in addizione, un ulteriore strato, di circa 10 cm, di ballast a diverso materiale, costituito di ghiaia di fiume o ciottoli arrotondati (pezzatura 20 - 50 mm). Infine la struttura del ballast è supportata dal sottofondo, in genere conglomerato cementizio o bituminoso.

La massicciata

Le superfici di contatto tra elementi costruttivi dell’armamento ferroviario:

esempio di binario per linea convenzionale

ANALISI STATICA DELL’ARMAMENTO FERROVIARIO

Cedimenti elastici della struttura: modello di Winkler

La caratteristica di compressione della fondazione dell’armamento ferroviario è:

= C w

dove: = sforzo locale di compressione per la fondazione;w = deformazione locale della fondazione;C = modulo di fondazione [N/m3].

c = C A [N/m] rigidezza lineare;k = c / a [N/m2] rigidezza lineare ripartita per unità di lunghezza.

Rigidezza di fondazione:

a = passo di posa delle traverse

A = area di appoggio dell’elemento in deformazione

Equazione del problema:

EI wIV + k w = 0

Cond. 1) w(∞) = 0

Cond. 2) wI(x0) = 0

Cond.3) wIII(x0) = Q/(2EI)

dxxwkdxdx

xdTdxxq )(

)()(

dxdx

xdMdxxT

)()(

Equilibrio alla traslazione verticale:

Equilibrio alla rotazione:

Equazione costitutiva:dx

xwdEIxM

)()(

2

Nel caso in cui si ricerchi la deformazione del sistema causata da carico unitario, Q=1N. Si ottiene, risolvendo l’equazione differenziale del 4° ordine:

Deformazione percarico unitario:

Momento flettente percarico unitario:

0;sincos)( 0/ xLxLxexw Lx

u

0;sincos)( 0/ xLxLxexM Lx

u

mentre nel caso in cui Q rappresenta l’effettivo carico per ruota:

0);()(8

)( 0max

3

xxwwxwEI

QLxw uu

0);()(4

)(2

)( 0max xxMMxMQL

xMkL

QxM uuu

Nel caso in cui wmax=1 otteniamo lo schema riepilogativo mostrato accanto. Si noti che la sollecitazione di compressione vale:

dove:

44

k

EIL

rappresenta la lunghezza caratteristica di Winkler mentre la lunghezza d’onda rimane definita da 2L

)(2

)()(

xwAL

Qa

xCwx

u

Riepilogando allora abbiamo per i valori massimi delle caratteristiche analizzate:

4

2

max

maxmax

max

QLM

CwkL

Qw

Nel caso si voglia studiare tali caratteristiche in presenza di un veicolo a 4 assi, vale il principio della sovrapposizione degli effetti. Ad esempio per la deformazione possiamo scrivere:

4

12 )(

asseQuassekL

Qveicolo asseW

xxww

Una valutazione della qualità dell’armamento ferroviario

Stabilite le caratteristiche di carico e geometriche dell’armamento da analizzare è possibile risalire al modulo di fondazione. Infatti poiché:

3

max

4

4 EIw

Qac

troviamo importante fissare la seguente casistica sulla qualità della struttura complessiva di un armamento ferroviario (Esveld).

Caratteristica generale della fondazione

scarsa buona

Modulo di fondazione

C[N/mm3] 0.02 0.20

Costante elastica

c[kN/mm] 5.5 55.0

Coeff. Di fondazione (ripartita)

k[N/mm2] 9 90

Lunghezza di Winkler

L[m] 1.30 0.70

ANALISI MODALE DELL’ARMAMENTO FERROVIARIO

Sulla base di quanto esposto nella trattazione statica, è possibile applicare un analogo procedimento nel calcolo delle frequenze proprie dell’armamento ferroviario e delle funzioni di risposta dinamica.

Si noti che lo schema proposto (ad 1 unico grado di libertà) è l’estensione fisica di quanto visto in precedenza: per ovvie ragioni di analisi sono state aggiunte le caratteristiche di massa, per la rotaia (binario) e di smorzamento, per la fondazione. La trattazione analitica per l’elemento di trave poggiato su letto elastico-smorzante allora ripercorre gli stessi passi fin qui enunciati nel caso di uno studio statico.

Risposta dell’armamento ferroviario nel dominio delle frequenze

dxdx

xdMdxxT

)()(

Equilibrio alla traslazione verticale:

Equilibrio alla rotazione:

Equazione costitutiva:

dx

xwdEIxM

)()(

2

Sia F(x,t)=q(x)eit la sollecitazione sinusoidale agente sull’armamento. Considerando l’equilibrio del concio abbiamo:

dxdt

txwdm

dt

txdwtxwkdx

dx

xdT

2

2 ),(),(),(

)(

Poiché l’analisi è sviluppata per un carico concentrato, è possibile porre q(x)=0 e quindi introdurre il carico Q assiale come condizione al contorno nella soluzione dell’equazione differenziale.

In conseguenza di quanto esposto l’equazione del problema si scrive come:

Cond. 1) w(∞,t) = 0

Cond. 2) wI(x0,t) = 0

Cond. 3) wIII(x0,t) = Q/(2EI)

0),(),(),(),(

2

2

4

4

txkwdt

txdw

dt

txwdm

dx

txwdEI

Si noti che nel caso statico le derivate temporali sono tutte nulle. Le condizioni di integrazione dell’equazione differenziale sono ancora:

La soluzione integrale generale della equazione differenziale può essere posta nella forma:

tiu exwtxw )(),(

Che sostituita nella equazione differenziale fornisce:

0)()(

0)()(

*4

4

24

4

xwkdx

xwdEI

xwkimdx

xwdEI

uu

uu

quindi una equazione differenziale formalmente uguale a quella trovata nella analisi statica. Allora: k* = k – 2m + i, oppure in coordinate polari:

2arctan

2222*

mki

emkk

La deformazione w(x) è ora una quantità complessa. Definiamo funzione di risposta in flessibilita Hr() tra il cedimento w ed il carico fissato in x=0:

30

8

1)0()(

EIQ

xwH u

r

dove:

EI

k

4

*4

Ricordiamo che la generica pulsazione e la pulsazione propria n valgono:

m

kfnff nn 2

12;2

Inoltre introducendo il coefficiente di smorzamento critico c, tale che

c

Possiamo riscrivere la funzione di trasferimento come:

i

nnwr e

f

f

f

f

kLfH

8

3

2

22

2

2

2

412

1)(

dove:

2

2

1

2

arctan4

3

n

n

ff

ff

In particolare si trova per frequenza nulla:

EI

L

kLHzH w

wr 82

1)0(

3

Influenza delle masse non sospese

Ridefiniamo il carico F(x,t) come:

2

2 ),()(),(

dt

txwdMexqtxF ns

tiMns

ed in x0=0:

2

2 ),(),(

dt

txwdMQetxF ns

tiMns

Nota la funzione w(0,t) e per Q=1N otteniamo:

tirnsMns efxHMtxF ),(1),( 2

Armamenti ferroviari di diversa “qualità” a confronto: manutenzione della massicciata ed influenza delle masse non sospese sulla risposta dinamica

Sulla base di quanto esposto nella trattazione modale, è possibile applicare un analogo procedimento nel calcolo dei cedimenti dinamici dell’armamento ferroviario.

Veicolo in marcia: velocità critica dell’armamento

L’equazione del problema si scrive come:

)(),(),(),(),(

2

2

4

4

vtxQtxkwdt

txdw

dt

txwdm

dx

txwdEI

Cond. 1) wsx(x0,t) = wdx(x0,t)

Cond. 2) w’sx(x0,t) = w’dx(x0,t)

Cond.3) w’’’sx(x0,t) = w’’’dx(x0,t) + Q/(2EI)

Si noti che nel caso statico le derivate temporali sono tutte nulle. Le condizioni di integrazione dell’equazione differenziale sono ancora:

Impostazioni generali di soluzione:

)( vtxs -Nuova ascissa (spazio-temporale) adimensionale:

ds

dwv

t

w

ds

dw

x

w

;-Differenziali parziali:

EI

mv

2

k

m

m2

-Rapporti critici di velocità e di smorzamento:

Si noti che è il rapporto tra la velocità effettiva del veicolo (traslazione del carico Q) e la velocità critica di propagazione delle perturbazioni nell’armamento, definita come:

kEIm

vcr

22

Alle velocità convenzionali l’influenza di questo parametro è molto bassa. Per armamenti di qualità buona la velocità critica è molto lontana dalla velocità effettiva di marcia. Per armamenti di qualità scarsa, nel caso in cui la velocità del veicolo si avvicini a quella critica, possono innescarsi fenomeni di “disgregazione” della struttura.

Soluzioni del problema (Q=1N) al variare dei parametri critici e .

Perché studiare l’armamento ferroviario

Esercitazione: equazioni risolutive

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercitazione

Esercizio 3

Esercizio 4