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L'apprendistato al senso dei simboli in algebra

LEZIONE 4

L'apprendistato al senso dei simboli in algebra 4.1

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6. Capacità di una manipolazione flessibile

(pensiero anticipatorio)

- cogliere le circolarità potenziali di certe

manipolazioni

- aspetti gestaltico-percettivi delle espressioni

simboliche

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Esempio 2.

Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi mattonelle quadrate (diciamo 7 x 5 mattonelle, tanto per fissare le idee).

Le mattonelle del bordo (nel nostro caso sono 20) hanno un colore diverso da quelle interne (nel nostro caso sono 15).

Trovare tutti i casi in cui il numero dei due tipi di mattonelle è uguale.

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a

b

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La soluzione di un matematico:

ab - [2a + 2(b - 2)] = 2a + 2(b-2)

ab - 4a - 4b + 8 = 0a(b - 4) - 4(b - 2) = 0

(a - 4)(b - 4) = 8

Il target simbolico

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7. La capacità di districarsi in situazioni "deboli" ricorrendo ai mezzi semplici di cui uno dispone per riconquistare il senso perduto.

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Una studentessa aveva da risolvere il problema:

"Trovare le coordinate del centro della circonferenza passante per i punti

(a,b), (-a, b), (0,0)"

(a-m)2 + (b-n)2 = r2

(-a-m)2 + (b-n)2 = r2

m2 + n2 = r2

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Una studentessa aveva da risolvere il problema:

"Trovare le coordinate del centro della circonferenza passante per i punti

(b,a), (b, -a), (0,0)"

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222

222

222

)()(

)()(

rmn

rmanb

rmanb

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Lavora sulle prime due; cancella i termini e ottiene

ma = 0

Sa che o m = 0 o a = 0 ma non capisce quale risultato è quello giusto.

Il lavorio sintattico fatto sembra abbia fatto evaporare il senso algebrico dei simboli che ha davanti: non sa più qual è l'incognita e quale il parametro, ecc.

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Però non si perde d'animo. Decide di vedere che cosa capita nel caso che sia a=0.Osserva che in tal caso non ci sarebbe nessuna circonferenza (tre punti sull'asse y). A quel punto è in grado di riprendere il senso di a come parametro e di m come incognita e di concludere correttamente che è m=0.

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Però non si perde d'animo. Decide di vedere che cosa capita nel caso che sia a=0.Osserva che in tal caso non ci sarebbe nessuna circonferenza (tre punti sull'asse x). A quel punto è in grado di riprendere il senso di a come parametro e di m come incognita e di concludere correttamente che è m=0.

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Il senso del simbolo si può manifestare nell’intraprendenza e nel senso comune che possono aiutare gli studenti a riconoscere errori e a iniziare a mettere in ordine le confusioni.

Come nel caso delle illusioni ottiche il senso del simbolo dovrebbe comprendere l’intraprendenza per districarsi dalla confusione con qualsiasi strumento di cui si disponga.

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8. Analizzare i simboli prodotti in retrospettiva

La discussione matematica aiuta a costruire il significato condiviso dei simboli.

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Da un lato, allievi, a volte anche con buon indice di scolarizzazione, che costruiscono il loro linguaggio matematico come sequenza di regolarità notazionali che combacino con quelli dei membri acculturati della società rimanendo pertanto a una fruizione puramente segnica dei simboli algebrici che usano.

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Dall'altro allievi che costruiscono pratiche matematiche simboliche condivise con quelle di una società più ampia e quindi afferrano il senso inteso (condiviso) dei simboli che usano.

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Un caso interessante: l’esempio del pavimento e

l’origami:

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DOPPIO

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DOPPIO

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DOPPIO

TRIPLO

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TRIPLO

2 QUADRATI IN PIÙ AD OGNI ANGOLO = 8 IN TUTTO

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9. Discutere i casi che appaiono ‘strani’

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Esempio:

y = mx + n

Sostituendo m = 2, n = 3 tutto sembra chiaro: si ottiene la retta y = 2x + 3.

Sostituendo x = 2, y = 3 si ottiene la scrittura

3 = m·2 + n

che appare misteriosa

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Riassumendo la lista (dovuta ad Arzarello, Fey, Arcavi):

1. Abilità ad analizzare un'espressione algebrica per fare stime approssimative degli schemi che emergeranno nella loro rappresentazione numerica o grafica.

2. Abilità a prevedere quando utilizzare la funzione algoritmica e quando quella simbolica.

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3. Abilità ad analizzare una tabella dei valori di una funzione o un grafico per interpretare condizioni enunciate verbalmente, al fine di identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che esprime lo schema appropriato.

4. Abilità a cogliere/costruire sensi non equivalenti per significati equivalenti

5. Abilità di scelta dei simboli

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6. Capacità di una manipolazione flessibile

7. Capacità di districarsi in situazioni "deboli" ricorrendo ai mezzi semplici di cui uno dispone per riconquistare il senso perduto.

8. Analizzare i simboli prodotti in retrospettiva

9. Discutere i casi che appaiono ‘strani’

………...

………...

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1. L’insegnamento dell’algebra deve essere finalizzato all’acquisizione del senso dei simboli:insegnare le manipolazioni in contesti ricchi.

2. Sfruttare la tecnologia: apprendere per tentativi ed errori mediante interazione con manipolatori simbolico-grafici.

3. È l’attività degli studenti che supporta la costruzione del senso del simbolo

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4. Assecondare i processi genetici di transizione al simbolo a partire dai campi di esperienza degli allievi, dando tempo e spazio a tutte quelle attività che favoriscono tali processi (interazione sociale, mediazione del linguaggio naturale parlato e scritto, esplorazioni,...)

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Alcuni esempi di problemi ‘stimolanti’ nell’ambitodi campi di esperienza diversi:

• Combinatoria e induzione• Modelli ed Economia• Probabilità• Aritmetica e dimostrazioni

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Combinatoria e induzione

In quanti modi si può ricoprire una scacchiera 2xN

con tasselli di domino ?

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Ci sono due modi per iniziare il ricoprimento:

a

b

TN-1

TN-2

TN = TN-1 + TN-2

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Modelli ed Economia

L'Italgas deve decidere, in relazione all'importo annuo medio pagato dai vari clienti (supponiamo da un minimo di L100 000 a un massimo di L 5 000 000), qual è il numero ottimale di bollette da mandare in un anno. Si tenga conto che ogni bolletta ha un costo fisso indipendente dall'importo e che si può supporre che le somme via via riscosse nel corso dell'anno rendano all'azienda un interesse mensile (diciamo dell’1%)

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Probabilità

Qual è la probabilità che dividendo a caso un segmento in tre parti si possa costruire un triangolo?

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x y

a

x + y < a

0 < x , 0 < y

x + y > a - (x + y ) x + y > a/2

x > y - a + x + y x < a/2

y > x - a + x + y x < a/2

Quindi la probabilità richiesta è 1/4

x+y = a

aa/2

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Aritmetica e dimostrazioni

Esplicitare le dimostrazioni nascoste nei calcoli

L’aritmetica come campo di esperienza per fareesplorazioni con problemi aperti, congetturareproprietà, fare dimostrazioni.

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Esempi.

Dalle dimostrazioni di semplici proprietà numeriche(ad es. la somma di due dispari è un pari) a dimostrazioni più impegnative:

• La dimostrazione di Euclide sull’infinità dei numeri primi (nel biennio).

• La dimostrazione di Eulero della stessa proprietà con un’altra idea.

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Se esistessero solo due primi p, q non sarebbe difficile esplicitare la scrittura della serie armonica con i fattori dei denominatori:

...111

1...111

1

...111111

11

3232

22221

qqqppp

qppqqppqqpnn

Ma allora la serie armonica convergerebbe!

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