Laboratorio di Fisica SperimentaleCdL Matematica

PARTE I

Dr. Riccardo Cerullihttp://users.lngs.infn.it/~cerulli/didattica.html

Note

• Le trasparenze che seguono sono quelle utilizzate durante le lezioni del Corso di Laboratorio di Fisica Sperimentale del CdL Matematica;

• Queste trasparenze sono solo un ausilio ed un compendio per lo studio del Corso che deve essere, comunque, integrato sia con gli appunti presi durante le lezioni che con i testi consigliati.

• Segnalazioni di sviste, suggerimenti e proposte di miglioramento sono benvenute.

Riccardo Cerulli

Argomenti generali1) Lo studio di fenomeni naturali2) Le grandezze fisiche3) La misura 4) Unità di misura5) Strumenti di misura6) Incertezze e propagazione7) Analisi dei dati8) Grafici e tabelle9) Fit10) Test di ipotesi

Info Generali ed Argomenti del Corso

Esperienze di Laboratorio1) Studio del periodo di un pendolo

semplice (parte 1)2) Studio del periodo di un pendolo

semplice (parte 2)3) Studio della traiettoria di un proiettile

con il cannoncino balistico4) Studio della forza elastica5) Studio della legge di Gay-Lussac e di

Boyle6) Misura del calore specifico di una

sostanza solida7) Studio della carica e scarica di un

condensatore8) Studio di fenomeni di diffrazione

Crediti: 3 (1CFU = 8 h LF, 20 h Lab)Numero lezioni: 11 (3 f + 8 es)Giorno: Mercoledì, 14,30-18,30

Regolamento del Corso

Lezioni frontali (LF): finalizzate alla preparazione dell'attività principale del corso che è costituita dell'espletamento delle Esercitazioni pratiche di Laboratorio

Esercitazioni pratiche di Laboratorio (ES): avranno come oggetto lo studio di fenomeni fisici già noti dai corsi di Fisica Generale (aula 24 ore 14-18)

La frequenza alle lezioni è obbligatoria. Alla fine di ogni Esercitazioni pratiche di Laboratorio gli studenti dovranno consegnare la relazione, preparata durante l'esercitazione e redatta su fogli protocollo, che riassume l'attività svolta e i risultati conseguiti.

Recupero: in caso di forzata assenza per ragioni gravi documentate, l'Esercitazione di Laboratorio deve essere recuperata dal singolo in data da concordarsi col docente.

Numero massimo di assenze permesse è, di norma, pari a uno sull'intera durata del Corso. Per eventuali deroghe è necessario rivolgersi al docente

Le esercitazioni pratiche di laboratorio sono svolte tipicamente in gruppi di 3 studenti circa, dipendendo dal numero di studenti che frequenterà il Corso. La scelta dei compagni di gruppo è libera. I componenti del gruppo, una volta iniziate le Esercitazioni, non possono essere sostituiti senza l'approvazione del docente.

La votazione finale sarà il risultato della valutazione del lavoro svolto nelle esercitazioni, dalle relazioni consegnate ed, eventualmente, da una prova scritta inerente gli argomenti del corso.

Il corso di Laboratorio di Fisica (3 CFU) e Fisica 2 (7 CFU) verranno verbalizzato insieme. La verbalizzazione avverrà, ovviamente, dopo aver sostenuto entrambi gli esami; il voto finale verrà calcolato come media pesata (con insindacabili approssimazioni) tra i due voti.

Contatto: riccardo.cerulli@roma2.infn.it

Regolamento del Corso

Il Metodo scientifico

• Fenomeno naturale da descrivere

descrizione qualitativa

descrizione quantitativa• individuazione grandezze fisiche

caratterizzanti e misurabili• misura oggettiva delle grandezze

(numero!)• studio delle relazione fra i fenomeni• elaborazione legge fisica (teoria)• validazione della teoria attraverso

ulteriori misure e verifiche su altri fenomeni

• L’operazione di misura può essere:

- diretta: confronto con campioni di riferimento (grandezze dette fondamentali) o con strumenti tarati (output da strumento)

- indiretta: da relazioni algebriche tra altre grandezze misurate direttamente

• Strumento di misura: dispositivo che permette di eseguire una misura di una grandezza fisica

La misuraProcedura che permette di associare un valore numerico ed una unità di misura ad una grandezza fisica

Unità di misura

• Grandezze misurabili per confronto con un campione si possono definire fondamentali; ad esse si associano unità di misura;

es: lunghezza, unità di misura: metro, abbr. m, simbolicamente [L]tempo, unità di misura: secondo, abbr. s, simbolicamente [t] massa, unità di misura: chilogrammo, abbr. kg, simbolicamente [M]

• Si definiscono, quindi, grandezze derivate, quelle che si ottengono tramite relazioni algebriche definite a partire dalle grandezze fondamentali; la relazione algebrica definisce anche l’unità di misura della grandezza derivata

es: velocità (lunghezza / tempo), accelerazione (velocità / tempo), forza (massa x accelerazione)

La scelta di determinate grandezze fondamentali equivale all’adozione di un Sistema di Misura

Velocità: [v] = [L] [t]-1 [M]0Accelerazione: [a] = [L] [t]-2 [M]0Densità: [ρ] = [L]-3 [t]0 [M]

Grandezza fisica: M = {M} [M]

M grandezza fisica, {M} valore numerico, [M] unità di misura

Unità di misuraSistema Internazionale (S.I.) delle unità di misura

http://www.bipm.org/en/home/

Strumenti di misuraStrumento: dispositivo per misurare una grandezza fisica

- sensore (rivelatore) sensibile alla grandezza da misurare

- trasduttore trasforma la sollecitazione in un’altra grandezza più facilmente misurabile

- uscita (display) visualizza il risultato

Es:

Bilancia Termometro

sensore Piatto e molla di richiamo Mercurio (Hg)

trasduttore spostamento del piatto variazione colonna di Hg

uscita Posizione ago Altezza colonna di Hg

Analogici (scala di lettura continua), digitali (incremento digitale)

• Caratteristiche dello strumento

intervallo di funzionamento, valore min-max della grandezza fisica che può misurare

prontezza, tempo necessario, τ, per reagire alla sollecitazione: τ(termometro) ~ 100s; τ(oscilloscopio) ~ 10-9 s; τ(voltmetro) ~ 1 s

sensibilità, S=dR / dV risposta/sollecitazione (valore vero); Se R proporzionale a V: S=costante. Es: S=0.5div/mm; 0.5div/mg;

precisione, variazione della risposta R ripetendo le misure e mantenendo costante la sollecitazione V; R non dipende solo da V (valore vero). R non è sempre la stessa

accuratezza (o giustezza), vicinanza tra valore Vero e valore Misurato, nel limite campione →∞. Assenza di errori sistematici.

risoluzione, la più piccola differenza dell’output che può essere apprezzata

Strumenti di misura• Taratura: si ricava valutando la risposta, R, dello strumento quando viene

sollecitato da grandezze fisiche di valore noto (es: termometro, bilancia, ...)

• Calibrazione: si stabilisce differenza tra la risposta R e lo stimolo V di valore noto

Esempio di strumenti di misura

Calibro a cursore Calibro Palmer

Termometro a mercurio

Multimetro digitale

Misurare una grandezza con uno strumento: incertezza di sensibilità• Per ogni lettura del valore misurato di una grandezza in uno strumento posso

associare un valore M che corrisponde al valore letto; sapendo però che sotto un certo limite di sollecitazione la risposta dello strumento resta la stessa associo (almeno!) questa incertezza alla mia misura; questo accidente può contribuire aumentando o diminuendo la risposta; dalla definizione di sensibilità, S, si ottiene :

∆V = ∆R/S pertanto posso scrivere che la mia misura è

M ± ∆V/2, con ∆V incertezza di sensibilità

• Esempio: immaginiamo di misurare la lunghezza di un cavo con un metro a nastro. Leggendo la risposta dello strumento posso apprezzare se la lunghezza del cavo è compreso fra due divisioni successive (tacche), ta e tb, della scala graduata. Pertanto potrò scrivere la misura come

tb< M <ta e | tb – ta | = 1 mm,

A ∆V

V Quindi la migliore stimaM = (A + ∆V/2)

incertezza ∆M = ∆V/2

Risultato M ± ∆V/2

L’incertezza ∆M ha le stesse unità di misura di M!!!

Attenzione: valutazione pessimistica!! Un buon sperimentatore può fare meglio

• Misure ripetute della stessa grandezza non possono fornire sempre lo stesso risultato perché:

- molti fattori influenzano ogni misura e tali fattori contribuiscono casualmente al valore misurato

- ogni strumento reale ha una precisione finita

Misurare una grandezza con uno strumento: incertezze casuali

Caso A: Mi tutti uguali, incertezza di sensibilità maggiore dei contributi casuali e dell’incertezza di precisione dello strumento

• Si immagini di misurare ripetutamente (Mi) la stessa grandezza con lo stesso strumento, nelle stesse condizioni; riportiamo le misure su un ISTOGRAMMA(distribuzione di valori) e sia la larghezza bin istogramma = ∆V incertezza di sensibilità

Caso B: Mi sono distribuiti, incertezza di sensibilità minore dei contributi casuali e dell’incertezza di precisione dello strumento

La larghezza delle distribuzioni (σ) è una misura della precisione dello strumento

σ « ∆v σ » ∆v

Incertezza Sistematica: è possibile che la procedura di misura o gli strumenti a disposizione forniscano un valore misurato sistematicamente diverso dal valore reale della grandezza e che la differenza tra valore misurato M e valore reale V resti costante nelle misure ripetute;

Sorgenti di Incertezze Sistematiche:

• Limitazione dello strumento

• Problema di calibrazione

• Cattiva definizione di quello che si misura

• Effetti esterni

• Perturbazione della misura

Per loro natura tali effetti sono subdoli e difficili da scovare.

misure con metodi differenti

Misurare una grandezza con uno strumento: incertezze sistematiche

Sensibilità e Precisione di uno strumento

Nel costruire uno strumento occorre bilanciare sensibilità e precisione.

1. Una precisione elevata non è necessaria quando si è limitati dalla sensibilità dello strumento

2. Una misura in cui si utilizza uno strumento con una sensibilità elevata necessita un gran numero di prove ed un’analisi statistica dei dati

Esempio di misura:- lunghezza di uno spessore metallico:15.4 – 15.5 cm con metro a nastro (sensibiltà 0.5 mm)15.413 – 15.414 cm con calibro palmer (sensibilità 10 µm)15.418 – 15.419 cm con calibro palmer in un altro punto15.416 – 15.417 cm con calibro palmer stesso punto

ma dopo 3 ore (dilatazione termica?)15.396 – 15.397 cm con un altro calibro palmer

stesso punto stessa ora (almeno uno dei due calibri è scalibrato!)

Incertezze sulle misure di spessori con calibro palmer con sensibilità di 10 µm:1. ~ 10 µm → limitazione lettura;2. ~ 70 µm → calibrazione strumento3. ~ 30 µm → dilatazione termica4. ~ 50 µm → rugosità della superficie

Incertezze della Misura

1. Incertezza di sensibilità > Incertezza da precisione finita dello strumento

incertezze intrinseche della misura+

sempre lo stesso risultato

Incertezza = Incertezza di sensibilità

2. Incertezza da precisione > Incertezza da sensibilità Misure ripetute della stessa grandezza con la stessa precisione non danno lo stesso risultato

Incertezze casuali : valore Misurato, M, differente da valore Vero, V, per quantità che varia casualmente al ripetere della misura (fluttuazioni delle misure)

3. Incertezza sistematica: M – V quantità che rimane costante al ripetere della misuraSe conosciuto se ne può tenere conto opportunamente; è comunque difficile da stimare

Es: errata taratura dello strumento

Incertezza = Incertezza statistica ⇒ analisi statistica dei dati

∆M = Incertezza massima

σM = incertezza statistica

valore Vero – valore Misurato = V – M = incertezza

Migliore stima del valore Vero = M ± incertezza di misura ∆M o σM

Incertezze Relativa = ∆M/ M

1) Fornire il miglior valore di una grandezza M

2) Valutare l’incertezza, ∆M o σM, da associare alla misura:• una misura ha in generale incertezze casuali + incertezze sistematiche• una buona misura ha: incertezze sistematiche << incertezze casuali

Misura di una grandezza

Propagazione delle incertezze

Le incertezze di misure dirette si propagano nelle misure indirette; es.:

Misure indirette: A=f(B,C) con B±∆B e C±∆C o B±σB e C±σC

Incertezze massime Incertezze statistiche

CCfB

BfA ∆

∂∂

+∆∂∂

=∆

Se più variabili:

∑ ∆∂∂

=∆i i

i

GGfA

Se più variabili:

∑ ∂∂

=i G

iA iG

f 22

σσ

Cifre SignificativeIl risultato di una misura si riporta come un valore numerico con le corrette unità di misura ed il suo errore (con le stesse unità di misura!). I valori vanno riportati con il corretto numero di cifre significative

cifre significative (c.s.) = numero delle cifre scritte contate da destra verso sinistra

Esempio135 3 c.s. , 10 2 c.s.0.10 2 c.s., 0.012 2 c.s0.023006 5 c.s., 1.405 4 c.s. 0.123 3 c.s.

L’ultima cifra a destra rappresenta il grado di precisione della misura. Non si può conoscere una grandezza fisica con un numero arbitrario di cifre perché ogni misura è affetta da un errore (che a sua volta è una grandezza fisica!) che ci fornisce il grado di indeterminazione della misura stessa.

Incertezza ⇒ non più di 2 cifre significative (2 cifre per err. statistici, 1 cifra per err. massimi)

Misura ⇒ con l’ultima cifra espressa nella stessa posizione dell’ultima cifra dell’errore

⇒ Esempio: se ∆M = 0.05 mm posso esprimere M fino al centesimo di mm, es M = 12,17 mm

Se M è frutto di calcoli allora devo arrotondare il suo valore alla cifra che mi interessa, per eccesso o difetto secondo il caso (12,134 mm diventa 12,13, 12,127 diventa 12,13 !)

• Cifre significative su misure e su errori ... Esempi ...

NO SI

(15.23±0.3) cm (15.23 ±0.02) cm

(15.23±1.32) cm (15.23 ±0.13) cm

(15.±0.02) cm (15. ±1.) cm

(15.±3.2) cm (15.0 ±3.2) cm

(1234523±2543) cm (1234500 ±2500) cm

(15.898932±0.02) cm (15.90 ±0.02) cm

errori relativi ↔ cifre significative

Cifre sign. Errore rel.

1 10%2 1%3 0.1%

Consigli utili per i calcoli e le valutazioni

Propagazione incertezze relative per monomi: δβ CBCBfA == ),(

• Errore massimo

• Errore statistico

CC

BB

AAAr

∆+

∆=

∆= δβε )(

22

22)(

+

==

CBAA CBA

rσδσβσε

Incertezza StatisticaErrore di sensibilità << Errore dalla precisione dello strumento (fluttuazioni delle misure)

Istogramma delle N singole misure: x1, x2,..., xN

Si può dimostrare che la migliore stima della grandezza che si vuole misurare, date le Nmisure di valore x1, x2,..., xN è la media aritmetica:

N

xx

N

ii∑

== 1

Incertezza ∝ larghezza della distribuzione

1. Errore massimo ∆x = (Xmax –Xmin ) / 2, semidispersione massima, con

2. Scarto quadratico medio (stima della deviazione standard) con 1

)(1

2

−

−=

∑=

N

xxs

N

ii

1)x x xx – P(x VERO ≈∆+<<∆

%86) x x – P(x VERO ≈+<< ss

Consiglio pratico: ( )

−

−=−

−= ∑ 2

2222

11x

Nx

NNxx

NNs k k

Altro simbolismo: ( )222

1xx

NNs −−

=

N

xn

n

xnx

b

b

b n

k

bkk

n

kk

n

k

bkk ∑

∑

∑=

=

= == 1

1

1

Stima della media e della deviazione standard a partire dalla distribuzione dei dati

∑

∑

=

=

−

−=

b

b

n

kk

n

k

bkk

n

xxns

1

1

2

2

1

)(

Dove:xk

b è il valore centrale del bin k-esimonk è il numero di conteggi nel k-esimo binnb è il numero totale dei bin

Incertezza Statistica

Cronometro con errore di sensibilità ∆t = 0.1 s, comandato a mano

Cronometro digitale con errore di sensibilità ∆t = 0.5 ⋅ 10-2 s, comandato a mano

Stesso cronometro digitale con errore di sensibilità comandato con quadranti ottici a fotocellula con riproducibilità ∆t = 10-4 s,

Misura periodo del pendolo

2

2

2)(

21)( σ

µ

σπ

−−

=x

exp

Si può dimostrare che misure ripetute della stessa grandezza fisica nel caso in cui:

errore di sensibilità << Errore dalla precisione

dello strumento (fluttuazioni delle misure) tendono alla distribuzione di Gauss

µ

σ

%86) x – P( =+<< σµσµ%5.95) 2 x 2– P( =+<< σµσµ

%7.99) 3 x 3– P( =+<< σµσµ• Incertezza massima ≅ 3σ

Distribuzione di Gauss

Sommario sulle INCERTEZZE CASUALI

• Possono essere osservati solo se lo strumento è

sufficientemente sensibile.

• Possono essere ridotti utilizzando strumenti più precisi,

ma non possono essere eliminati del tutto.

• Possono essere stimati e trattati con l’analisi statistica

degli errori.

• Possono essere ridotti all’aumentare del campione (del

numero delle prove).

Tabelle e graficiTabella: i risultati di varie misure vengono utilmente riportati in tabelle che permettono di visualizzare e di accedere facilmente (ad esempio per calcoli o grafici) ai valori delle misure; nelle tabelle ad ogni valore, riportato con l’opportuna unità di misura, deve essere associato l’errore della misura.

Grafici: permettono di visualizzare sinteticamente le informazioni ottenute dalle misure e di dedurne altre; ne esistono di diversi tipi

Istogramma di frequenza (1 variabile) + fit

Istogramma di frequenza (2 variabili): lego plot

Dipendenza funzionale a partire da un istogramma

Istogrammi di frequenza (1 variabile)

Studio di correlazione tra due variabili

Andamenti funzionali y vs x

Andamento funzionale (estrapolazione valori)

Scale dei grafici non lineari

Scala semi-logaritmica Scala doppio-logaritmica (log-log)

ln y = ln A – α x

Asse lineare: suddivisioni dell’asse proporzionali al loro valore

ln y = ln A + α ln x

y=A e-αx y=A x-α

Asse logartimico: suddivisioni dell’asse proporzionali al logaritmo del valore

Carta millimetrata scala lineare

Dipendenza funzionale lineare

m (g)

∆x (cm)

Carta millimetrata scala lineare

Dipendenza funzionale lineare

Studio della dipendenza funzionale y=ax + b

BA

B

BA

B

xxxx

yyyy

−−

=−−

;BA

BA

xxyya

−−

= BB axyb −=

Dipendenza lineare y vs x rette minima/massima pendenza (caso degli errori massimi):

migliore stima: con

Tale metodo presentato in molti corsi non ha adeguata giustificazione logica... Meglio applicare un metodo di ragionevolezza!!!

metodo dei minimi quadrati (caso degli errori casuali), statisticamente ben motivato (vedi dopo)

maxmax :max bxay +⋅=minmin :min bxay +⋅=

bxay +⋅=

22minmaxminmax aaaaa −

±

+

=

22minmaxminmax bbbbb −

±

+

=

Altre dipendenze funzionali:

Casi in cui la dipendenza si può linearizzare:

• y=1/2 a t2 → z=t2: y=1/2 a z

• y=a cos(αt) → z= cos(αt): y= a z

• ecc.

Uso di carta millimetrata con scale logaritmiche: semi-log, log-log