Laboratorio #2 Algebra

7/21/2019 Laboratorio #2 Algebra

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UNIVERSIDAD NACIONAL SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

1.- Para cada uno de los sistemas siguientes, llame A a la matriz de coeficientes y B a

la matriz columna de trminos independientes. Forme la matriz ampliada y use la

funcin rref para encontrar la forma escaln reducida por filas. Muestre que cada

uno de estos sistemas tiene solucin nica y que la solucin est! contenida en la ltima

columna de la forma reducida de la matriz ampliada. "se la notacin de su#matricespara asignar la $aria#le % a la solucin.

a&1

2x+3y3z=1

4x+0yz=1

5x1

3y+

2

5z=1

7

2x3

y+2

z=2

>> % AHORA INTRODUCIMOS LA MATRIZ DE COEFICIENTES "A" :>> A=[1/2 3 -3; ! -1; -1/3 2/;#/2 -3 2$

A =

!!!! 3!!!! -3!!!! !!!! ! -1!!!! !!!! -!3333 !!!! 3!!! -3!!!! 2!!!!

>> % AHORA INTRODUCIMOS LA MATRIZ DE TERMINOSINDE&ENDIENTES "B":>> B=[1;-1;-1;-2$

B =

1 -1 -1 -2

>> % LA MATRIZ AM&LIADA SERA "'=(A)B*":>> '=[1/2 3 -3 1; ! -1 -1; -1/3 2/ -1;#/2 -3 2 -2$

' =

!!!! 3!!!! -3!!!! 1!!!!

1


2/33


!!!! ! -1!!!! -1!!!! !!!! -!3333 !!!! -1!!!! 3!!! -3!!!! 2!!!! -2!!!!

>> % AHORA ENCONTRAREMOS LA FORMA ESCALON REDUCIDA &OR

FILAS DE "'":>> ++,('*

.0 =

1!!!! ! ! -!1# ! 1!!!! ! !1 ! ! 1!!!! !21 ! ! ! !

>> % UNA VEZ OBTENIDA LA FORMA REDUCIDA 4 VIENDO 5UE TIENEUNA UNICA SOLUCION6 &ODEMOS AFIRMAR 5UE:

>> '=-!1#

' =

-!1#

>> 4=!1

4 =

!1

>> Z=!21

Z =

!21

b) x+4yz+3 w=10

2x+2y14z+0w=44

x+8y+4z8 w=3

5x+17y5z+13w=44

>> % &ARA EL E7EM&LO 8 COMENZAMOS INTRODUCIENDO LA MATRIZ DECIEFICIENTES "A":

2


3/33


>> A=[1 -1 3;2 2 -1 !;1 -; 1# - 13$

A =

1 -1 3

2 2 -1 ! 1 - 1# - 13>> % LA MATRIZ DE TERMINOS INDE&ENDIENTES SERA "B":>> B=[1!;;3;$

B =

1! 3

>> % AL FORMAR LA MATRIZ AM&LIADA OBTENDREMOS "'=(A)B*":>> '=[1 -1 3 1!;2 2 -1 ! ;1 - 3; 1# - 13 $

' =

1 -1 3 1! 2 2 -1 ! 1 - 3 1# - 13

>> % LLEVANDO LA MATRIZ ' A SU FORMA ESCALON REDUCIDA &OR

FILAS OBTENDREMOS:>> ++,('* % CON LO CUAL OBTENDREMOS LOS VALORES DE LASVARIABLES

.0 =

1 ! ! ! -1 ! 1 ! ! 2 ! ! 1 ! -3 ! ! ! 1 !>> % DE DONDE OBTENEMOS 5UE:9=-1

=2=-3


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a& 2x3y=2

2x+y=1

3x+2y=1

>> % SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES 4 "B" LA MATRIZ DETERMINOS INDE&ENDIENTES6TENDREMOS:>> A=[2 -3;2 1;3 2], B=[-2;1;1]

A =

2 -3

2 1

3 2

B =

-2

1

1>> % ENTONCES HALLAMOS LA MATRIZ UNMENTADA "'=(A)B*":>> X=[2 -3 -2;2 1 1;3 2 1]

X =

2 -3 -2

2 1 1 3 2 1

>> % AHORA UTILIZAMOS EL COMANDO ++, &ARA HALLAR LA REDUCIDADE LA MATRIZ "'":>> rref(X)

ans =

1 0 0 0 1 0

0 0 1

>> % OBSERVANDO EL RESULTADO &ODEMOS CONCLUIR 5UE ELSISTEMA .* NO TIENE SOLUCION6 ADEMAS &ODEMOS COM&ROBAR ESTOHALLANDO LOS RES&ECTIVOS RANOS:>> +.(A*


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.0 =

2

>> +.('*.0 =

3

>> % VIENDO 5UE LOS RANOS SON DISTINTOS6 RECALCAMOS 5UE ELSISTEMA NO TIENE SOLUCION

b) x2y+z4 w=1

x+3y+7z+2w=2

x12y11z16 w=5

>> % LLAMAREMOS "A" A LA MATRIZ DE COEFICIENTES 4 "B" A LAMATRIZ DE TERMINOS INDE&ENDIENTES:>> A=[1 -2 1 -;1 3 # 2;1 -12 -11 -1$ 6 B=[1;2;$

A =

1 -2 1 - 1 3 # 2 1 -12 -11 -1

B =

1 2

>> % CON LAS DOS MATRICES FORMAREMOS LA MATRIZ AUMENTADA"'=(A)B*":>> '=[1 -2 1 - 1;1 3 # 2 2;1 -12 -11 -1 $

' =

1 -2 1 - 1 1 3 # 2 2


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1 -12 -11 -1

>> % AHORA &ROCEDEREMOS A HALLAR LOS RANOS DE LA MATRIZ DECOEFICIENTES 4 LA MATRIZ AUMENTADA:>> +.(A* 6 +.('*

.0 =

2

.0 =

3

>> % COMO LOS RANOS SON DIFERENTES EL SISTEMA NO TIENESOLUCION6 LO 5UE COM&ROBAREMOS CON LA FORMA ESCALON

REDUCIDA DE "'">> ++,('*

.0 =

1!!!! ! 3!!! -1!!! ! ! 1!!!! 12!!! 12!!! ! ! ! ! ! 1!!!!

).-*as matrices siguientes son matrices ampliadas de sistemas de ecuaciones que

tienen m!s de una solucin, para cada matriz use la funcin rref. Para o#tener el

con+unto solucin de estos sistemas necesitara papel y l!piz.

a& (9 27 3 3 , 129 27 10 1 , 191 3 5 9, 6

)

>> % SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES 4 "B" LA MATRIZ DE

TERMINOS INDE&ENDIENTES OBTENEMOS:>> A=[9 27 3 3;9 27 10 1;1 3 5 9] , B=[12;19;6]

A =

9 27 3 3 9 27 10 1

1 3 5 9


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B =

12

19 6

>> % ADEMAS SEA "'" LA MATRIZ AUMENTADA "'=(A)B*" :>> X=[9 27 3 3 12;9 27 10 1 19;1 3 5 9 6]

X =

9 27 3 3 12

9 27 10 1 19 1 3 5 9 6

>> % AHORA &ARA SABER SI EL SISTEMA TIENE UNA SOLUCIONHALLAMOS LOS RANOS:>> rank(A)

ans =

3

>> rank(X)

ans =

3

>> % COMO LOS RANOS SON IUALES EL SISTEMA TIENE SOLUCION>> % ADEMAS =? @, .+.8,0>> % +=+. @, . .G,.@.>> % ENTONCES LA SOLUCION TENDRA:>> % -+ .+JG,+0=1>> % AHORA HALLAMOS LA ESCALONADA REDUCIDA DE ':>> ++,('*

.0 =

1 3 ! ! 1 ! ! 1 ! 1 ! ! ! 1 !

>> % DE LA MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA OBTENEMOS LASSIUIENTES ECUACIONES:

#


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x+3y=1 si y=t x=13 t ; tR

z=1

w=0

b) (1 0 1 2 7 , 41 4 21 2 2 , 53 0 3 6 7 , 2)

>> % SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES 4 "B" LA MATRIZ DETERMINOS INDE&ENDIENTES6 ENTONCES TENDREMOS:>> A=[1 ! 1 -2 #;1 21 -2 2;3 ! 3 - #$ 6 B=[-;;2$

A =

1 ! 1 -2 # 1 21 -2 2 3 ! 3 - #

B =

- 2

>> % ADEMAS SEA "'" LA MATRIZ AUMENTADA "'=(A)B*" :>> '=[1 ! 1 -2 # -;1 21 -2 2 ;3 ! 3 - # 2$

' =

1 ! 1 -2 # - 1 21 -2 2 3 ! 3 - # 2

>> % AHORA &ARA VER SI EL SISTEMA TIENE SOLUCION HALLAMOS LOSRANOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES 4 LA MATRIZ AUMENTADA

>> +.(A*

.0 =

3

>> +.('*


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.0 =

3>> % VIENDO 5UE LOS RANOS HALLADOS SON IUALES ENTONCES ELSISTEMA TIENE SOLUCION

>> % 4 COMO =? @, .+.8,0>> % VIENDO 5UE LOS RANOS HALLADOS SON IUALES ENTONCES ELSISTEMA TIENE SOLUCION>> % 4 COMO =? @, .+.8,0

>> % +=+. @, . .G,.@.

>> % ENTONCES LA SOLUCION TENDRA:

>> % -+ .+.G,+0=2

>> % AHORA HALLAMOS LA ESCALONADA REDUCIDA DE ':

>> ++,('*

.0 =

1 ! 1 -2 ! 3 ! 1 ! ! 1 ! ! ! ! 1 -1

>> % DE DONDE OBTENEMOS LAS SIUIENTES ECUACIONES:x+z2 w=3

y+5z=1

v=1

Si hacemos que z=t , w=s entonces la solucin del sistema ser.

x+ t2 s=3 x=3+2 st ; s , t R

y+5 t=1 y=15t ; tR

v=1

.-uponga que se quieren resol$er $arios sistemas de ecuaciones en los que las

matrices de coeficientes son las mismas pero tienen trminos independientes

diferentes. Formando una matriz ampliada m!s grande se podr!n resol$er todos los

sistemas al mismo tiempo. uponga que A es la matriz de coeficientes, que B, ( y

son las matrices columnas de los trminos independientes. Asigne Am/0A B ( y

encuentre rref2Am& para resol$er simult!neamente los siguientes sistemas.


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2x+3y4z=1 x+3y4z=1 x+3y4z=1x+2y3z=0 x+2y3z=1 x+2y3z=2

x+5y11z=7 x+5y11z=6 x+5y11z=7

>> % SU&ONAMOS 5UE "A" ES LA MATRIZ DE COEFICIENTES6ENTONCES TENDREMOS:>> A=[2 3 -4;1 2 -3;-1 5 -11]

A =

2 3 -4

1 2 -3

-1 5 -11

>> % AHORA "B"6"C" 4 "D" SON LAS MATRICES COLUMNAS DE LOS

TERMINOS INDE&ENDIENTES:

>> B=[1;0;-7] , C=[-1;-1;-6] , D=[1;2;-7]

B =

1

0

-7

C =

-1

-1 -6

D =

1 2 -7

>> % AHORA FORMAREMOS LA MATRIZ AUMENTADA AG=[ABCD$:>> A=[2 3 -4 1 -1 1;1 2 -3 0 -1 2;-1 5 -11 -7 -6 -7]

A =

1!


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2 3 -4 1 -1 1 1 2 -3 0 -1 2

-1 5 -11 -7 -6 -7

>> % AHORA RESOLVEREMOS LOS SISTEMAS SIMULTANEAMENTEUSANDO ++,>> rref(A)

ans =

1 0 1 2 1 0

0 1 -2 -1 -1 0

0 0 0 0 0 1>> % DEL RESULTADO SE OBSERVA 5UE SE HA HALLADO LASSOLUCIONES DE LOS SISTEMAS E'CE&TUANDO LA TERCERA6 LA CUAL LA

DEMOSTRAMOS A CONTINUANCION>> % SEA ' LA MATRIZ AUMENTADA '=(A)D*>> X=[2 3 -4 1;1 2 -3 2;-1 5 -11 -7]

X =

2 3 -4 1

1 2 -3 2 -1 5 -11 -7

>> % LA MATRIZ A DE COEFICIENTES ES:>> A=[2 3 -4;1 2 -3;-1 5 -11]

A =

2 3 -4

1 2 -3

-1 5 -11

>> % ENTONCES &ARA COM&ROBAR SI TIENE SOLUCION &ROCEDEMOS AHALLAR 4 COM&ARA LOS RANOS:>> rank(A)

ans =

2

>> rank(X)

ans =

11


12/33


3

>> % COMO LOS RANOS SON DIFERENTES EL TERCER SISTEMA NOTIIENE SOLUCION

3.-Analice si los siguientes sistemas 4omogneos son determinados o indeterminados.

5esuel$a el e+ercicio empleando6

a& la funcin rref

#& la funcin 5an7

c& indique cu!l de las dos formas es la m!s con$eniente en este caso y e8plique los

alcances y limitaciones de am#as funciones.

a& x+2yz+3 w=0

2x+4y2z+6w=0

3x+6y3z+9 w=0

x+3y+z+2w=0

>> % SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA>> A=[1 2 -1 3;2 4 -2 6;3 6 -3 9;1 3 1 2]

A =

1 2 -1 3 2 4 -2 6

3 6 -3 9

1 3 1 2

>> % ADEMAS SEA "B" LA MATRIZ DE TERMINOS INDE&ENDIENTES DELSISTEMA:>> B=!er"s(4,1)

B =

0

0 0

0

12


13/33


>>% ENTONCES LA MATRIZ AUMENTADA SERA '=(A)B*:>> X=[1 2 -1 3 0;2 4 -2 6 0;3 6 -3 9 0;1 3 1 2 0]

X =

1 2 -1 3 0

2 4 -2 6 0 3 6 -3 9 0

1 3 1 2 0

>> % USANDO LA FUNCION ++, TENDREMOS:

>> rref(X)

ans =

1 0 -5 5 0

0 1 2 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

>> % DE LO CUAL CONCLUIMOS 5UE EL SISTEMA ES INDETERMINADO6 LOCUAL SE ENTENDERA MUCHO ME7OR USANDO LA FUNCION +.:>> % USANDO LA FUNCION +. TENDREMOS:>> rank(A)

ans =

2

>> rank(X)

ans =

2

>> % COMO SE SABE DE ANTEMANO LOS RANOS SON IUALES6ENTONCES EL SISTEMA TENDRA UNA SOLUCION CON 2 &ARAMETROS6 ESDECIR SERA INDETERMINADO

b) 4x+2y+0z2 w=0

2x+0y3z+2w=0

13


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x+3y4z+3 w=0

x+0y+4z4 w=0

>> % SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA HOMOENEO:>> A=[-4 2 0 -2;2 0 -3 2;1 3 -4 3;-1 0 4 -4]

A =

-4 2 0 -2

2 0 -3 2

1 3 -4 3 -1 0 4 -4

>> % 4 SEA "B" LA MATRIZ DE COEFICIENTES NULAS DEL SISTEMA

>> B=!er"s(4,1)

B =

0

0 0

0

>> % ENTONCES LA MATRIZ AUMENTADA &ARA EL SEUNDO SISTEMAHOMOENEO ES '=(A)B*:>> X=[-4 2 0 -2 0;2 0 -3 2 0;1 3 -4 3 0;-1 0 4 -4 0]

X =

-4 2 0 -2 0

2 0 -3 2 0

1 3 -4 3 0 -1 0 4 -4 0

>> % USANDO LA FUNCION ++, TENDREMOS:>> rref(X)

ans =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1


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>> % SI ANALIZAMOS EL RESULTADO CONCLUIREMOS 5UE EL SISTEMAES COM&ATIBLE DETERMINADO>> % USANDO LA FUNCION +. TENDREMOS:>> rank(A)

ans =

4

>> rank(X)

ans =

4

>> % CON EL RESULTADO DE LOS RANOS COM&ROBAMOS LO ANTES

SEKALADO

9.-eaA=(1 2 32 5 4

1 1 10)

Forme 5/0A eye2)&

a) :alle la forma escaln reducida por filas de 5. "tilice la notacin ;6< para

asignar el nom#re de la $aria#le a la matriz que consiste en las tres ltimas

columnas de la forma escaln reducida por filas de 5.

>> % &RIMERAMENTE HALLAMOS LA MATRIZ R=[A ,,(3*$>> #=[A e$e(3)]

# =

1 2 3 1 0 0 2 5 4 0 1 0

1 -1 10 0 0 1

>> % AHORA &ROCEDEMOS A HALLAR LA MATRIZ ESCALON REDUCIDA DER A LA CUAL LLAMAREMOS E:>> E=++,(R*

E =

1 ! ! -23 -# ! 1 ! -1 # 2 ! ! 1 -# 3 1

1


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>> % AHORA HALLAMOS LA MATRIZ "S" 5UE ESTA FORMADA &OR LASTRES ULTIMAS COLUMNAS DE ++,(R*=E:>> S=E([1:3$6:*

S =

-23 -# -1 # 2 -# 3 1

#& :alle =A y A=. escri#a la relacin entre A y .

>> % AHORA INTRODUCIMOS LAS MATRICES "A" 4 "S":>> A=[1 2 3;2 ;1 -1 1!$ 6 S=E([1:3$6:*

A =

1 2 3 2 1 -1 1!

S =

-23 -# -1 # 2 -# 3 1

>> % 4 &ROCEDEMOS A MULTI&LICAR:>> SA

.0 =

1 ! ! ! 1 ! ! ! 1

>> AS

.0 =

1 ! ! ! 1 ! ! ! 1

>> % LOS RESULTADOS SON IUALES 4 ADEMAS SON MATRICESIDENTIDAD DE ORDEN 3

1


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>> I=AS

I =

1 ! !

! 1 ! ! ! 1

>> % ENTONCES LA RELACION ENTRE LAS DOS MATRICES ES: LAMATRIZ "S" ES LA INVERSA DE "A"

>.- *a funcin in$2A& de$uel$e la in$ersa de una matriz cuadrada in$erti#le. Para

cada una de las siguientes matrices aplique la funcin in$, o#ser$e que ocurre en cada

caso y e8traiga conclusiones. ?n los casos que sea posi#le $erifique que

in$2A&=A/A=in$2A&/@.

a& A=a%&'(5)

>> % &ROCEDEMOS A INTRODUCIR LOS COMANDOS DE LAS MATRICES5UE USAREMOS EN EL E7ERCICIO:>> A=a%&'(5)

A =

17 24 1 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 1 25 2 9

>> % AHORA &ROCEDEMOS A CALCULAR LA "INVERSA DE A"=MUTILIZANDO LA FUNCION :>> =&n*(A)

=

-0+0049 0+0512 -0+0354 0+0012 0+0034

0+0431 -0+0373 -0+0046 0+0127 0+0015 -0+0303 0+0031 0+0031 0+0031 0+0364 0+0047 -0+0065 0+010 0+0435 -0+0370

0+002 0+0050 0+0415 -0+0450 0+0111

>> % COMO B ES LA INVERSA DE A6 ENTONCES SE CUM&LE LA &RO&IEDADAM=MA=I

1#


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>> % &RIMER CASO (AM*>> =A

=

1+0000 0+0000 0 0+0000 -0+0000 0+0000 1+0000 0 0+0000 0

0+0000 0+0000 1+0000 0+0000 -0+0000 0+0000 0+0000 0+0000 1+0000 0+0000

-0+0000 0+0000 0+0000 0+0000 1+0000

>> % SEUNDO CASO (MA*>> =A

=

1+0000 -0+0000 0 -0+0000 0+0000 0+0000 1+0000 0 0+0000 0+0000

0 0+0000 1+0000 0+0000 0+0000

0+0000 0+0000 -0+0000 1+0000 0+0000 0+0000 0+0000 0+0000 0+0000 1+0000

b) B=+.@(263*>> % &ROCEDEMOS A INRESAR LA MATRIZ B:>> B=+.@(263*

B = !1# !12#! !32 !! !13 !!#

>> % AHORA HALLAMOS LA INVERSA DE LA MATRIZ CON EL COMANDO:>> N=(B*

>> % COMO ES LOICO NO SE &UEDE CALCULAR LA INVERSA DE B6&UESTO 5UE B NO ES UNA MATRIZ CUANDRADA

c) C=+.@(*>>%INRESAMOS LA MATRIZ C:>> C=+.@(*

C =

!2# !#2 !#22 !## !#!! ! ! ! ! !### !!31 !31#1 !# !!!3 !# !#31 !2# !!2

1


19/33


! !11 !!3# !322 !!2 !!3 !1# !21 !1 ! !!#1 !3# !#! !1# !3! !1#12 !23 !31

>> % AHORA &ROCEDEMOS A CALCULAR LA "INVERSA DE C"=O USANDO

LA FUNCION :>> O=(C*

O =

-!# -!!2 !2 !#1!3 !11 !#! 2! 123 -31## -113!2! -13!3! -131#1 -!#2 -!3 -!132 2#323 !#1 121!# -!#2 -!1 1# 13# -!# !!2! -2!1 -1#3 2## 3 1!13 -133# -3#!2 12!2 !2!31 !21 !3!!

>> % COMO LA INVERSA DE C E'ISTE 4 ES IUAL A O6 SE DEBE CUM&LIRCO=I6 OC=I :>> % &RIMER CASO (CO*>> I=CO

I =

1!!!! -!!!!! -!!!!! !!!!! ! !!!!! -!!!!! 1!!!! -!!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! -!!!!! 1!!!! !!!!! !!!!! !!!!! -!!!!! -!!!!! -!!!!! 1!!!! !!!!! !!!!! !!!!! -!!!!! -!!!!! -!!!!! 1!!!! !!!!!

!!!!! -!!!!! -!!!!! !!!!! -!!!!! 1!!!!

>> % SEUNDO CASO (OC*>> I=OC

I =

1!!!! ! -!!!!! -!!!!! ! !!!!! ! 1!!!! -!!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !!!!! 1!!!! -!!!!! -!!!!! -!!!!! -!!!!! !!!!! !!!!! 1!!!! !!!!! ! ! !!!!! !!!!! -!!!!! 1!!!! -!!!!!

!!!!! !!!!! -!!!!! -!!!!! ! 1!!!!

d) D=[1:;-2:1;,0(26*$>> % INTRODUCIMOS LA MATRIZ D:>> D=[1:;-2:1;,0(26*$

1


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D =

1 2 3 -2 -1 ! 1

1 1 1 1 1 1 1 1

>> % AHORA &ROCEDEMOS A CALCULAR LA "INVERSA DE D"=& USANDOLA FUNCION :>> &=(D*.+: M.+9 0 0.+ > % DEL RESULTADO OBTENEMOS 5UE D ES UNA MATRIZ NOINVERTIBLE6 ES CUADRADA &ERO SU DETERMINATE ES CERO6 ENTONCESD ES UNA MATRIZ SINULAR

.-*a funcin det calcula el determinante de una matriz cuadrada. Proponga di$ersas

matrices y calcule su determinante a fin de poder determinar si son o no in$erti#les.

a) >> % &ARA ESTE E7ERCICIO CREAMOS UNA SERIE DE MATRICES:

>> A=[7 56 45 12;6 47 2 14;9 6 5 0;7 13 25 1]

A =

7 56 45 12

6 47 2 14

9 6 5 0 7 13 25 1

>> B=[12 45 0 36;12 36 0 47;1 2 0 3;47 2 0 5]

B =

12 45 0 36

12 36 0 47

1 2 0 3

47 2 0 5

>> % AHORA CREAMOS 2 MATRICES CON LA A4UDA DE COMANDOS:

2!


21/33


>> C=a%&'(6)

C =

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20

2 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 1 11

>> D=.&/(7)

D =

1+0000 0+5000 0+3333 0+2500 0+2000 0+1667 0+1429

0+5000 0+3333 0+2500 0+2000 0+1667 0+1429 0+1250

0+3333 0+2500 0+2000 0+1667 0+1429 0+1250 0+1111

0+2500 0+2000 0+1667 0+1429 0+1250 0+1111 0+1000 0+2000 0+1667 0+1429 0+1250 0+1111 0+1000 0+0909

0+1667 0+1429 0+1250 0+1111 0+1000 0+0909 0+033

0+1429 0+1250 0+1111 0+1000 0+0909 0+033 0+0769

>> % AHORA &ROCEDEMOS A CALCULAR LAS DETERMINANTES DECADA UNA DE LAS MATRICES:>> e(A)

ans =

-1+9072e005

>> % ENTONCES A ES INVERTIBLE

>> e(B)

ans =

0

>> % COMO @,(B*=!6 ENTONCES B NO ES INVERTIBLE>>

21


22/33


>> e(C)

ans =

-+0495e-009

>> % COMO @,(C*Q!6 ENTONCES C ES INVERTIBLE>> e(D)

ans =

4+35e-025

>> % COMO @,(D*>! 6 D TIENE INVERSA

.-Por an!lisis de e+emplos estudie la posi#le $alidez de las siguientes propiedades6

a) I(I*=I

>> % CREAMOS UN MATRIZ IDENTIAD DE CUAL5UIER ORDEN:>> I=,,(*

I =

1 ! ! ! ! ! 1 ! ! ! ! ! 1 ! !

! ! ! 1 ! ! ! ! ! 1

>>% AHORA HALLAMOS LA INVERSA DE LA MATRIZ:>> (I*

.0 =

1 ! ! ! ! ! 1 ! ! ! ! ! 1 ! ! ! ! ! 1 !

! ! ! ! 1

>> % EL RESULTADO ES IUAL A LA &RIMERA MATRIZ6 CON LO CUALSE DEMUESTRA LA &RO&IEDAD .*

b) S A ,0 ,+8,6 ((A**=A

22


23/33


>> % CREAMOS UNA MATRIZ CU4A DETERMINANTE SEA DIFERENTE DECERO>> A=[ -23 -#;-1 # 2;-# 3 1$

A =

-23 -# -1 # 2 -# 3 1

>> % CALCULAMOS LA DETERMINANTE DE LA MATRIZ:>> @,(A*

.0 =

1!!!!

>> % COMO @,(A*>!6 CALCULAMOS SU INVERSA=B:>> B=(A*

B =

1!!!! 2!!!! 3!!!! 2!!!! !!!! !!!! 1!!!! -1!!!! 1!!!!!

>> % AHORA CALCULAMOS LA ((A**=(B*:>> (B*

.0 =

!!!! -23!!!! -#!!!! -1!!!! #!!!! 2!!!! -#!!!! 3!!!! 1!!!!

>> % EL RESULTADO ES IUAL A LA MATRIZ "A"6 CON LO 5UE SEDEMUESTRA LA &RO&IEDAD 8*:

c) S A B 0 ,+8,06 AB ,0 ,+8, , (AB*=(B*(A*

>> % &ROCEDEMOS A ESCRIBIR DOS MATRICES DEL MISMO ORDEN:

>> A=8(3*

A =

1!!!! !!!! !3333 !!!! !3333 !2!! !3333 !2!! !2!!!

23


24/33


>> B=[ -23 -#;-1 # 2;-# 3 1$

B =

-23 -# -1 # 2 -# 3 1

>> % &ARA SABER SI EL AB ES INVERTIBLE6BASTARA CON HALLAR SUDETERMINATE>> AB

.0 =

3# -1!!! -#

11# -1# -233 12!!! -31# -1333

>> @,(AB*

.0 =

2,-!!

>> % AHORA CALCULAREMOS LA INVERSA DE AB6 LA CUALLLAMAREMOS Z:>> Z=(AB*

Z =

1!,!!3

!!2#! -!12! !21!! -!!2! !1! -!12!! !3! -2!2! 2!1!!

>> % AHORA CALCULAMOS LA INVERSA DE A 4 B>> (A* 6 (B*

.0 =

!!!! -3!!!! 3!!!!! -3!!!! 12!!!! -1!!!!! 3!!!!! -1!!!!! 1!!!!!

.0 =

2


25/33


1!!!! 2!!!! 3!!!! 2!!!! !!!! !!!! 1!!!! -1!!!! 1!!!!!

>> % AHORA CALCULAMOS (B*(A*:>> (B*(A*

.0 =

1!,!!3

!!2#! -!12! !21!! -!!2! !1! -!12!! !3! -2!2! 2!1!!

>> % OBTENIENDO ASI (AB*6 CON LO 5UE SE DEMUESTRA LA

&RO&IEDAD P*

d) S A ,0 ,+8,6 ,0 ,+8, , (*=(A*>> % &RIMERO FORMAMOS LA MATRIZ "A":>> A=[ -23 -#;-1 # 2;-# 3 1$

A =

-23 -# -1 # 2 -# 3 1

>> % CALCULAMOS SI A ES INVETIBLE>> @,(A*

.0 =

1!!!!

>> % COMO @,(A*=16 ENTONCES A ES INVERTIBLE6 ADEMAS:>> A

.0 =

-1 -# -23 # 3

2


26/33


-# 2 1

>> @,(A*

.0 =

1!!!!

>> % CON ESTE RESULTADO A ES INVERTIBLE>> % AHORA VERIFI5UEMOS SI SE CUM&LE LA &RO&IEDAD:>> (A*

.0 =

1!!!! 2!!!! 1!!!! 2!!!! !!!! -1!!!! 3!!!! !!!! 1!!!!!

>> (A*

.0 =

1!!!! 2!!!! 1!!!! 2!!!! !!!! -1!!!! 3!!!! !!!! 1!!!!!

>> % AMBAS MATRICES SON IUALES6 ENTONCES LA &RO&IEDAD @*SE CUM&LE

e) S A ,0 ,+8,6 @,( A1

* =1

det (A )

>> % CREAMOS LA MATRIZ CON LA 5UE TRABA7AREMOS:

>> A=[-# -23 1; 3 -#;-1 # 2$

A =

-# -23 1 3 -# -1 # 2

>> % AHORA CALCULAMOS LA INVERSA DE "A":>> B=(A*

B =

2


27/33


-1!# -1!32 -3!! -!!# -!!32 -!!! -32 -1# -2312

>> % CALCULAMOS LAS DETERMINANTE DE LAS MATRICES:>> @,(B*

.0 =

-!!1

>> @,(A*

.0 =

-1!!!!

>> % MULTI&LICAMOS LOS RESULTADOS6 4 EL &RODUCTO DEBE SERIUAL A 1>> @,(B*@,(A*

.0 =

1!!!!

1C.-e pueden resol$er sistemas cuadrados A%/B en los cuales la matriz de

coeficientes es in$erti#le realizando %/in$2A&=B 2teorema de cramer&.

(onfeccione una arc4i$o-M de funcin que resuel$a, cuando sea posi#le, los siguientessistemas cuadrados.

>> % SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES DE SISTEMA>> A=[1 1 -3 1;2 -1 1 -1;1 -2 -2;3 1 2 -1$

A =

1 1 -3 1 2 -1 1 -1 1 -2 -2

3 1 2 -1

>>>> % &ARA COMEZAR A RELOVER EL SISTEMA &RIMERO ANALIZAMOS SUDETERMINANTE>> @,(A*

.0 =

2#


28/33


21!,-!1

>> % 4 SEA "B" LA MATRIZ DE TERMINOS INDE&ENDIENTES>> B=[-;;-;$

B =

- -

>> % AHORA HALLAMOS LA INVERSA DE "A">> (A*.+: M.+9 0 P0, 0.+ + 8.@ 0P.,@ R,00 G. 8, .PP+., RCOND = 2!1#,-!1

.0 =

1!,!1

13 -13 13 -!!!!! -23#!3 23#!3 -23#!3 !!!!! 2 -2 2 ! !!#2 -!!#2 !!#2 -!!!!!

>> % &ARA HALLAR LOS VALORES DE LAS INONITAS VASTARA LARELACION DE &RODUCTO (A*B>> '=(A*B.+: M.+9 0 P0, 0.+ + 8.@ 0P.,@ R,00 G. 8, .PP+., RCOND = 2!1#,-!1

' =

1!,!1#

-!322 !!3! -!3 -1312

2


29/33


a) A

1=

(

2 1 2

3 2 2

5 4 3

)B

1=

(

10

1

4

)>> % INTRRODUCIMOS LA MARTRIZ DE COEFICIENTES "A1" DELSISTEMA>> A1=[2 1 -2;3 2 2; 3$

A1 =

2 1 -2 3 2 2 3

>> @,(A1* % AHORA VEREIFICAMOS SU DETERMINANTE

.0 =

-#!!!!

>> % CALCULAMOS LA INVERSA DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES>> (A1*

.0 =

!2# 1#1 -!#1 -!12 -22# 12 -!2# !2 -!12

>> % AHORA INTRODUCIMOS LA 5UE DEBERIA SER LA MATIZ DETERMNOS INDE&ENDIENTES>> B1=[1!;1;$

B1 =

1! 1

>> % &ARA HALLAR LOS VALORES DE LAS INONITAS UTILIZAREMOSEL &RODUCTO (A*B>> (A1*B1

2


30/33


.0 =

1!!!! 2!!!! -3!!!!

c) A2=+.@(1!* 6 B2=[1:1!$

>> % INTRODUCIMOS "A2"6 LA 5UE DEBERIA SER LA MATRIZ DECOEFICIENTES>> A2=+.@(1!*

A2 =

!1# !1# !# !#!! !3# !2#! !#13 !!#!31# !!# !! !#! !!3# !!31 !31 !## !21 !23!3! !!! !12#! !#2 !1 !2# !# !1 !!! !13!3 !3! !13 ! !3! !!2 !#2 !12 !1 !23!# !##2 !32 !!!3 !## !!#1 !1 !11! !! !23!1#2 !3! !!# !11 !### !23 ! ! !3 !3!!!2 !12 !2# !21 !#31 ! ! !# !#2 !1!##2 ! ! !1# !322 !31#1 !3 !3! !13 !211!#3# ! !# !#22 ! !!2 !#! !3 !13 !1!!3! !!11 ! ! !1#12 !!3 !## !223 !2# !#33!# !33#1

>> % AHORA INTRODUCIMOS B2 5UE ES LA TRANS&UESTA DE UNAMATRIZ FILA 4 5UE ADEMAS DEBERIA SER LA MATRIZ DE TERMINOSINDE&ENDIENTES>> B2=[1:1!$

B2 =

1 2 3

3!


31/33


# 1!

>>% DES&UES DE ELLO HALLAMOS LA INVERSA DE "A2">> (A2*

.0 =

-!11 !1#3 -!!! ! !211! -!32 !2#!! -1!!23!2 !311 -2333 !32 -!12 -!!1!2 1!23 12# -! -!!#133! !!2 !!#3 1!1 !#21 13 -!!1 -!32 -121! !#1!#!1 -31!2 -!# -!#!2 -!! -!#2 !2 !3 !3# !223

! !11 1322 -! !1! -!121 -13 -!13 !231 11#-13! 111 -!3#2 !1 !3# -!1! -!1 -!!1 1# -2!!#!2! 1!1! -!#! !22! -!32 -!!# !#3 1#3 -!2#2 -1!1-!!# !!21 131 -!2 !#1 -!##2 -!!#1 -!#3 !3!22 -!1#2-!!3 ! 2 ! !22! -!!#1# -!33 -!211 -!2 32#-1223 -232## -11 -12 -!32 -!32 !## -!222 1!13 -1!!2 21

>> % OBTENIDA LA INVERSA DE "A2" &ROCEDMOS A MULTI&LICAR(A2*B2 &ARA RESOLVER EL SISTEMA>> '2=(A2*B2

'2 =

222# 11#3! -2!2 111 31#2 21

##1 -21 -1##1 223

d) A3= G.P(#* 6 B3=,,(#61*

31


32/33


>> % INTRODUCIMOS LA MATRICES DE LA &ARTE @* DEL E7ERCICIO>> A3=G.P(#* 6 B3=,,(#61*

A3 =

3! 3 1 1! 1 2 3 # # 1 2# 2 1# 2 3 3# 1 1 2 3 3 13 1 2 33 2 21 23 32 1 3 3 12 22 31 ! 2 11 2!

B3 =

1 ! ! ! ! ! !

>> % AHORA HALLAMOS LA DETERMINANTE DE A3 4 HALLAMOS SUINVERSA6 SI E'ISTE>> @,(A3* 6 (A3*

.0 =

-3!,!11

.0 =

!!!! !!!! !!212 -!!1 -!!!21 !!!1 !!!! -!!!21 !!21 -!!1 !!!12 !!!! !!!! !!!! !!212 -!!11 !!!! -!!!21 !!!3# !!!! !!!! -!!1#! !!!! !!!! !!!! !!!! !!!! !!1#

!!!! !!!! -!!!21 !!!3# !!!12 !!2!# -!!1 !!!! !!!! !!!12 !!!! !!212 -!!22 !!!3# !!!12 -!!!2 !!!3# !!212 -!!1 !!!! !!!!

>> % MULTI&LICAMOS (A3*B &ARA HALLAR LOS VAORES DE LASINCONITAS>> '3=(A3*B3

'3 =

32


33/33


!!!! -!!!21 !!212 -!!1#!

!!!! !!!! !!!12

Laboratorio #2 Algebra

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