Keywords: Effetto dei cedimenti in fondazione, analisi statica nonlineare, macro-elementi

ABSTRACT I cedimenti differenziali in fondazione in molti casi producono danneggiamenti concentrati e/o diffusi nelle strutture in elevazione che possono determinare una sensibile riduzione della capacità portante della struttura sia nei confronti dei carichi verticali che rispetto alle azioni sismiche. Gli strumenti di analisi oggi a disposizione in genere non consentono una semplice valutazione del danneggiamento prodotto da cedimenti imposti in fondazione soprattutto per gli edifici in muratura o in struttura mista muratura calcestruzzo armato. Nel presente lavoro si introduce una nuova procedura di analisi nonlineare che consente una valutazione per macro-elementi degli effetti prodotti da cedimenti imposti in fondazione, in cui profilo viene assegnato. La procedura è basata su un’analisi statica non lineare che consente una valutazione per macro-elementi dei danneggiamenti progressivi e delle eventuali rotture negli elementi strutturali che possono essere costituiti da elementi di tipo asta, o macro-elementi rappresentativi della muratura. Gli elementi asta sono rappresenti da elementi travi a plasticità concentrata tipo beam-column in cui le cerniere plastiche, di tipo PMM, possono attivarsi anche lungo lo sviluppo dell’asta. La muratura è stata modellata mediante un macro-elemento piano, recentemente sviluppato in ambito di ricerca, e diffusamente utilizzato sia in ambito professionale che accademico. Nelle applicazioni numeriche è stato utilizzato il software 3DMacro, basato sull’analisi della risposta sismica degli edifici esistenti in muratura, in cui la procedura proposta è stata implementata. Gli esempi considerati riguardano un edificio reale e alcuni esempi piani rappresentativi di schemi tipici di edifici in muratura. Per l’edificio reale sono stati ipotizzati diversi profili di cedimento e si è proceduto a una valutazione degli effetti dovuti ai cedimenti in fondazione anche in termini di riduzione della prestazione sismica.

1 INTRODUZIONE Nella valutazione della sicurezza e della

progettazione degli interventi su costruzioni esistenti non è possibile prescindere da eventuali degradi e/o modificazioni rilevanti rispetto alla situazione originaria. Questi possono essere dovuti a diverse cause quali ad esempio, trasformazioni che hanno comportato modifiche strutturali, azioni eccezionali che hanno potuto determinare un impegno oltre il limite elastico, degrado delle caratteristiche meccaniche dei

materiali, fenomeni di deformazione lenta, fenomeni di fatica, cedimenti fondali etc.

Negli edifici il danno strutturale è in genere evidenziato da quadri fessurativi che possono interessare sia gli elementi strutturali che quelli non strutturali. Oltre alle azioni sismiche, tra le cause più ricorrenti che determinano danni strutturali rilevanti negli edifici vi sono le deformazioni permanenti o cicliche del terreno di sedime, tali da generare cedimenti differenziali nelle fondazioni.

I cedimenti differenziali in fondazione in molti casi producono danneggiamenti concentrati e/o

Ivo Caliò, Francesco Cannizzaro, Bartolomeo Pantò Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale. Viale Andrea Doria 6, 95125 Catania.

Francesco Oliveto Libero professionista, esperto in ingegneria strutturale e geotecnica, Potenza.

La valutazione dei cedimenti in fondazione negli edifici in muratura mediante analisi statiche nonlineari condotte in ambiente 3DMacro

diffusi nelle strutture in elevazione che si manifestano con quadri fessurativi ricorrenti, alcuni schemi ricorrenti sono stati analizzati da diversi autori a partire dal ben noto trattato dell’ingegnere Sisto Mastrodicasa [1]. In alcuni casi, ad un occhio inesperto, i quadri fessurativi derivanti da cedimenti in fondazione possono essere confusi con quelli dovuti ad eccitazioni sismiche, occorre un’attenta analisi del quadro fessurativo, ed in alcuni casi un monitoraggio dello stesso, per ricostruire senza ambiguità il cinematismo responsabile dello scenario di danno che manifesta la costruzione.

In funzione della loro entità ed evoluzione nel tempo, i cedimenti in fondazione possono determinare una riduzione considerevole della capacità portante della struttura sia nei confronti dei carichi verticali che rispetto alle eventuali azioni sismiche. Nei casi più gravi il progredire del dissesto può portare al collasso strutturale globale o parziale.

Gli strumenti di analisi più diffusi in ambito professionale in genere non consentono una valutazione agevole del danneggiamento prodotto da cedimenti imposti in fondazione soprattutto per gli edifici in muratura e in struttura mista muratura calcestruzzo-armato. Nel presente lavoro viene introdotta una procedura di analisi statica nonlineare che consente una valutazione per macro-elementi piani degli effetti prodotti da cedimenti imposti in fondazione negli edifici con struttura portate in muratura. Il cedimento viene assegnato sulla base di un profilo geometrico imposto rappresentativo della zona soggetta a cedimento in fondazione la cui entità si considera variabile proporzionalmente da zero fino ad un valore target assegnato. La procedura è basata su un’analisi statica non lineare a controllo di spostamento. L’analisi dello scenario di danno viene effettuata attraverso un’interfaccia grafica che consente di valutare i progressivi danneggiamenti e le rotture negli elementi strutturali schematizzati da macro-elementi piani, rappresentativi dei maschi e delle fasce della parete in muratura [2] e da cerniere plastiche, che si possono formare in elementi asta a plasticità concentrata. La procedura è stata implementata nel noto software 3DMacro [3] che è stato utilizzato per le simulazioni numeriche riportate nel seguito. In particolare, nel lavoro si riportano alcuni esempi tipici per i quali si procede ad una valutazione degli effetti dovuti ai cedimenti in fondazione anche in termini di riduzione della resistenza sismica, inoltre con riferimento ad un edificio reale si considerano tre diversi profili di cedimento imposto, rispetto ai quali si valutano gli scenari di danno e gli effetti prodotti in

termini di riduzione della prestazione sismica espressa mediante curve di capacità.

2 LA MODELLAZIONE PER MACRO-ELEMENTI ADOTTATA

Il macro-elemento di base, assunto nella modellazione della muratura, è costituito da un quadrilatero articolato i cui lati sono infinitamente rigidi e i cui vertici, incernierati, sono collegati da molle diagonali. I lati del quadrilatero sono vincolati agli altri elementi da un insieme discreto di molle distribuite lungo il perimetro (Fig. 1). Queste ultime stabiliscono il legame non-lineare con i quadrilateri eventualmente adiacenti o altri elementi strutturali.

(a) (b)

Figura 1: Il macro-elemento di base per la modellazione della muratura: (a) configurazione indeformata; (b) configurazione deformata.

Per comodità di trattazione l’insieme discreto delle molle distribuite lungo un generico lato del quadrilatero nel seguito verrà denominato interfaccia, mentre il quadrilatero articolato con le due molle diagonali verrà denominato pannello.

L’interfaccia, oltre a costituire la connessione tra pannello e pannello, può rappresentare anche l’elemento di connessione tra un pannello e la fondazione o altri elementi strutturali quali cordoli diaframmi, etc.

Data una generica parete muraria, a partire dalla sua specifica geometria è possibile individuare i pannelli murari che la compongono, quindi si può decidere di schematizzare ognuno di essi mediante un singolo macro elemento oppure suddividerli, tutti o solo alcuni, in più macroelementi.

La modellazione proposta è in grado di schematizzare i principali meccanismi di collasso di una porzione di elemento murario soggetto ad azioni orizzontali nel proprio piano [2], mediante

opportuna calibrazione dei link non lineari nelle interfacce e nel pannello, figura 2.

L'efficacia della simulazione numerica del comportamento nonlineare delle strutture in muratura non può prescindere dalla scelta dei parametri meccanici del modello che vengono ottenuti mediante un'equivalenza tra il sistema discreto e quello continuo mediante semplici ma efficaci leggi costitutive. Questa equivalenza è impostata mediante una procedura di calibrazione 'a fibre', ed è basata solo sulle principali proprietà meccaniche che caratterizzano il comportamento della muratura, inteso come un mezzo omogeneo meccanicamente ortotropo [2,4]. Vale la pena di sottolineare che ciascun macro-elemento eredita le proprietà geometriche della porzione di muratura corrispondente; pertanto, in maniera differente da quanto accade per i modelli a telaio, non è necessario distinguere tra zone immuni e zone reagenti né risulta necessario fare una distinzione a priori tra maschi e fasce di piano. Per ulteriori dettagli sulla macro-modellazione adottata si rimanda ai lavori già pubblicati nella letteratura che considerano la macro-modellazione adottata nel presente lavoro [2,4-8].

qq qF F F

(a) (b) (c)

qq q

FF F

(a) (b) (c)

Figura 2. Simulazione dei principali meccanismi di collasso nel piano di un pannello murario mediante il macro-elemento proposto. (a) Collasso per presso-flessione; (b) collasso a taglio per fessurazione diagonale; (c) collasso a taglio per scorrimento.

2.1 La procedura di analisi push-over

L’analisi statica incrementale per azioni orizzontali (push-over) può essere condotta a controllo di forze, a controllo di spostamenti o mediante procedure che prevedono un controllo sia delle forze che degli spostamenti.

La metodologia adottata nel presente lavoro prevede due diverse tipologie di analisi. Una fase a controllo di forze in cui i carichi verticali vengono applicati proporzionalmente ed in modo incrementale fino al raggiungimento del valore finale del carico. Una successiva fase in cui alla

struttura vengono imposti incrementi di spostamento in modo da garantirne l’equilibrio e valutarne la resistenza residua all’aumentare del livello di deformazione, associato ad un cedimento in fondazione.

Nell’analisi a controllo di spostamento ad incrementi di spostamento nella struttura non corrispondono incrementi di resistenza, al contrario la struttura è caratterizzata da un progressivo decadimento di resistenza associato al susseguirsi di rotture e/o degradi di elementi strutturali che hanno raggiunto le loro riserve di duttilità o i limiti di resistenza. Per ulteriori approfondimenti delle procedure di analisi adottate nel presente lavoro si rimanda al manuale teorico del software 3DMacro® [3].

In particolare per la valutazione degli effetti prodotti dai cedimenti in fondazione si considera un campo di spostamenti in corrispondenza dei gradi di libertà verticali esterni delle interfacce di base [δi, …, δj, φi, …, φj,], coerentemente con un profilo assegnato, come qualitativamente indicato in figura 3a. Tali gradi di libertà nelle eventuali successive analisi, orientate alla stima delle resistenza sismica, si considerano bloccati.

Ad ogni passo dell’analisi viene determinata la deformata della struttura, considerando il progressivo danneggiamento degli Nlink (figura 3b).

profilo cedimentoδj φjδi φi

(a)

profilo cedimento

(b) Figura 3: Schema cinematico dell’analisi per cedimenti imposti; (a) imposizione del campo di spostamento in corrispondenza delle interfacce di base; (b) deformata conseguenze della struttura.

3 ANALISI QUALITATIVA DI CONFIGURAZIONI RICORRENTI

In numerosi testi dedicati alla diagnosi degli edifici esistenti in presenza di danno sono riportati alcuni schemi tipici significativi di quadri fessurativi che possono generarsi a seguito di cedimenti in fondazione. Nel seguito vengono considerati alcuni schemi piani tratti dal noto testo sui dissesti strutturali Sisto Mastrodicasa [1]. I casi considerati esaminano alcuni tra i quadri fessurativi più ricorrenti e riportano gli scenari di danno al confronto con quelli ottenuti attraverso la macro-modellazione proposta con riferimento a un profilo di cedimento assegnato, crescente proporzionalmente.

In tutti i casi esaminati nel presente paragrafo sono stati assunti i parametri caratteristici dei materiali riportati in tabella 1, e carichi di linea distribuiti al livello di piano i cui valori sono indicati in tabella 2.

Tabella 1. Caratteristiche meccaniche della muratura

E [MPa]

G [MPa]

Fc [kg/cm2]

τ0 [kg/cm2]

W [KN/m3]

1200 400 24 0.75 18 Il primo esempio considerato riguarda lo

schema piano di un edificio a quattro elevazioni fuori terra soggetto ad un cedimento periferico ed uniforme. In figura 4a è riportato il layout della facciata dell’edificio insieme al profilo del cedimento imposto e il quadro fessurativo atteso.

Tabella 2. Carichi di linea considerati nelle modellazioni

Livelli intermedi q =800 [kg/m]

Copertura q =600 [kg/m] In figura 4b si riporta lo scenario di danno

ottenuto dalla modellazione per macro-elementi. Dall'osservazione dello scenario di danno

ottenuto dalla simulazione numerica si osserva come la modellazione per macro-elementi riesce a cogliere il danneggiamento nelle fasce di piano indicando un danneggiamento per fessurazione diagonale e flessionale in assoluta coerenza con i quadri fessurativi attesi.

δ (a)

(b) Figura 4: (a) quadro fessurativo tipico di un cedimento periferico ed uniforme in edificio in muratura con aperture allineate; (b) scenario di danno ottenuto da una modellazione per macro-elementi piani.

Il secondo esempio considerato è relativo alla

stessa parete analizzata in figura 4 soggetto ad un cedimento intermedio uniforme il cui quadro fessurativo atteso è riportato in figura 5.

In figura 6 è riportato lo scenario di danno ottenuto dalla modellazione per macro-elementi, anche in questo caso il modello restituisce una corretta previsione del quadro fessurativo atteso.

δ Figura 5. Quadro fessurativo tipico di un cedimento intermedio ed uniforme in edificio in muratura con aperture allineate.

δ

δδ

Figura 6. Scenario di danno ottenuto da una modellazione per macro-elementi piani del caso di studio riportato in figura 5.

Lo scenario di danno riportato in figura 7a è relativo ad un edificio a due elevazioni fuori terra soggetto ad un profilo di cedimento progressivo e variabile linearmente a tratti in una porzione di edificio pari a circa 1/3 dello sviluppo longitudinale. Si osserva un danneggiamento diffuso sia in corrispondenza dei maschi murari che delle fasce di piano in entrambe le elevazioni inoltre una lesione verticale che interessa l'intera elevazione crea un disaccoppiamento tra la porzione di edificio direttamente interessata dal cedimento e la parte rimanente (figura 7b). Lo scenario di danno ottenuto dalla simulazione numerica è rappresentata nella figura 7c.

(a)

(b)

(c)

Figura 7. (a) tipologia parete; (b) quadro fessurativo reale; (c) scenario di danno ottenuto da una modellazione per macro-elementi.

In quest’ultimo esempio si è adotta una mesh più densa di macro-elementi allo scopo di ottenere un maggiore dettaglio nella rappresentazione del danno.

4 ANALISI SU UN CASO DI STUDIO REALE

In questo paragrafo si esaminano gli effetti di diversi profili di cedimento in fondazione in un edificio reale in muratura non rinforzata. Come caso di studio si è considerato un edificio residenziale in muratura di mattoni pieni che presenta una certa regolarità sia in pianta che in elevazione. L'edificio è a 4 elevazioni fuori terra più un livello semi-interrato ed è stato scelto in quanto può ritenersi rappresentativo di numerosi edifici simili costruiti in diverse zone del territorio italiano recentemente ri-classificate come zone ad alta sismicità. Le simulazioni numeriche, nel seguito riportate, sono da un lato orientate alla valutazione degli scenari di danno prodotti da diversi profili di cedimenti dall'altro si prefiggono di fornire una stima della riduzione della capacità portante, in condizioni sismiche, subita da un edificio le cui strutture murarie presentino già un danneggiamento dovuto a cedimenti della base fondale.

Il caso di studio esaminato è puramente indicativo dal momento che i materiali utilizzati e i profili di cedimento non corrispondono ad un esempio specifico ma piuttosto intendono essere rappresentativi di alcuni possibili scenari realmente riscontrabili.

camera camerabagno

camera

bagno

cucina

cameraM L

IN

0,50

4,45

0,50

4,60

0,50

10,5

5

0,50 0,50 4,35 0,50 3,30 0,50 4,35 0,50 6,30 0,506,306,8014,006,80

0,50 3,40 0,50 5,00 0,50 3,65 0,50 3,65 0,50 5,00 0,50 3,40 0,5027,60

10,5

5

sup.=14.55 sup.=11.22 sup.=4.95

sup.=11.40 sup.=11.14

sup.=4.95sup.=11.22 sup.=17.28

sup.=15.13sup.=12.26

sup.=14.50

sup.=15.27

sup.=3.47

sup.=12.24sup.=15.13

sup.=6.00sup.=2.40sup.=6.88

sup.=6.63sup.=6.00

sup.=1.60

sup.=3.35

sup.=1.48

PIANTA SECONDO

cucinacucinabagnocameracamera

cucina

bagno

camera camera

Figura 8. planimetria tipologica dei piani in elevazione dell'edificio

In figura 8 è riportata la planimetria tipica dei piani in elevazione dell'edificio che si sviluppano su una base rettangolare di dimensioni di circa 28 m x 11 m con sezioni murarie variabili decrescenti in altezza. Nella figura 9 è riportato il prospetto principale dell'edificio considerato da cui si evince la presenza di un piano semi-interrato e la

disposizione regolare delle aperture alle diverse elevazioni.

f.43

Lato A

15,1

2

f.28

f.26

f.27

f.30

f.29

f.24

f.20 f.21

f.23

f.11

f.31

f.11

f.25

f.11

f.27

f.28

f.10

f.31

PROSPETTO A MONTE

f.10 f.11 f.1

0f.1

0

f.22

f.23

f.10

f.10

Figura 9. Prospetto principale dell'edificio.

I materiali utilizzati alla base della modellazione sono riportati in tabella 3, i carichi derivanti dalla combinazione permanenti più variabili, in condizione sismica, considerati nelle analisi sono riportati in tabella 4.

In figura 10 è riportata una sezione longitudinale dell'edificio da cui si evince la diminuzione degli spessori murari con l'altezza.

Tabella 3. Caratteristiche meccaniche della muratura

E [MPa]

G [MPa]

fm [kg/cm2]

τ0 [kg/cm2]

W [KN/m3]

1500 500 32 0.76 18 In figura 11 è riportata un immagine del

modello globale tridimensionale dell'edificio implementato nel codice 3DMacro. Nella modellazione gli orizzontamenti sono stati considerati rigidi nel proprio piano. SEZIONE C - C

2,25

3,15

3,15

3,15

3,00

0,30

0,30

0,30

0,30

0,95

0,80

0,70

0,50

0,50

Figura 10. Sezione longitudinale dell'edificio.

Con riferimento al modello tridimensionale dell'edificio sono stati esaminati gli effetti associati a tre diversi profili di cedimento come meglio specificato nel successivo sottoparagrafo.

(a)

(b)

Figura 11. Schema della modellazione in 3DMacro: (a) modello geometrico; (b) modello computazionale.

Tabella 4. Carichi totali di superficie considerati nei solai in combinazione sismica.

Livelli intermedi q = 450 [kg/m2]

Copertura q = 350 [kg/m2]

4.1 I risultati delle simulazioni numeriche

In questo paragrafo si riportano i risultati ottenuti mediante analisi statiche non lineari associati a diversi profili di cedimento. Ciascuno dei casi esaminati è stato ottenuto imponendo alla struttura, in equilibrio sotto i carichi permanenti associati alla combinazione sismica, un distribuzione di spostamenti coerente con un profilo di cedimento assegnato fino ad un valore target del cedimento massimo, successivamente a partire dalla nuova configurazione di equilibrio assunta della struttura si è proceduto ad effettuare un'analisi statica nonlineare con distribuzione di forze proporzionali alla massa orientata alla

valutazione della vulnerabilità sismica della struttura. Ciascuna analisi è stata confrontata con i valori ottenuti in termini di curva di capacità in assenza di cedimenti in fondazione (modello base). In particolare sono stati considerati tre tipici schemi di dissesti statici: cedimento nella zona centrale dell'edificio, cedimento laterale o differenziale, cedimento d'angolo. Gli schemi considerati sono schematicamente riportati in Figura 12.

Figura 12. Schema qualitativo dei profili di cedimento considerati nelle analisi.

L'applicazione dei soli carichi gravitazionali

non comporta nessun danneggiamento nella struttura. L'applicazione dei cedimenti in fondazione, che segue quella dei carichi gravitazionali, comporta invece la presenza di un quadro di danneggiamento diverso per ciascuno dei profili di cedimento considerati funzione dell'entità del profilo di cedimento imposto.

Il primo caso esaminato è relativo ad un profilo di cedimento intermedio posto in posizione centrale con spostamento uniforme nella zona centrale fino ad assumere uno spostamento massimo di 1 cm. In Figura 13 sono riportati, con riferimento alla parete di facciata principale i quadri di danneggiamento riscontrati da cui si evince un danneggiamento delle fasce di piano in corrispondenza delle aperture vicine ai lati estremi dell'edificio.

Figura 13. Scenario di danno sulla parete del prospetto principale associato ad un profilo di cedimento intermedio.

Le figure 14 è 15 sono relative agli scenari di danno associati agli altri due profili di cedimento considerati caratterizzati entrambi da uno spostamento massimo pari a 1 cm.

I valori di cedimento imposti, sebbene contenuti, comportano un quadro fessurativo diffuso senza però determinare rotture locali e conseguenti ridistribuzioni.

Figura 14. Scenario di danno sulla parete del prospetto principale associato ad un profilo di cedimento di estremità.

Figura 15. Scenario di danno sulla parete del prospetto principale associato ad un profilo di cedimento d'angolo.

Partendo da ciascuna delle configurazione di equilibrio associate ai tre profili di cedimento considerati sono state considerate due analisi push-over proporzionali alle massa nella direzione longitudinale dell'edificio (0°, 180°).

Per ciascuna delle direzioni considerate nelle successive figure si riportano gli scenari di danneggiamento e le curve di capacità al confronto con il modello base.

Le curve di capacità sono riportate ponendo in ascissa lo spostamento del baricentro del solaio a quota più alta, e in ordinata il coefficiente di taglio alla base, pari al taglio totale alla base dell'edificio normalizzato per il peso proprio, che per l'edificio in esame è pari a 26754 kN.

Dal confronto degli scenari di danno e delle curve di capacità si evince come la presenza di uno scenario di danno associato ad un pre-esistente cedimento della base fondale, sebbene caratterizzato da un valore di spostamento massimo piuttosto contenuto, determini una riduzione della capacità portante il cui valore è in generale funzione del profilo e dell'entità del cedimento imposto. Pertanto in presenza di quadri di danneggiamento preesistenti dovuti a cedimenti in fondazione risulta di grande utilità poter disporre di strumenti di analisi in grado di fornire una previsione attendibile del profilo di cedimento che può avere determinato il quadro fessurativo esistente anche allo scopo di valutare la capacità portante residua sia in condizioni statiche che sismiche.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Cb

Spostamento, in,somità, [cm]

Modello,baseCedimento,centraleCedimento,d'angoloCedimento,laterale

(a)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Cb

Spostamento, in,somità, [cm]

Modello,baseCedimento,centraleCedimento,d'angoloCedimento,laterale

(b)

Figura 16. Curve di capacità a confronto: (a) in direzione 0°, (b) in direzione 180°.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 17. Scenario di danno in situazione di incipiente collasso, sulla parete del prospetto principale, per analisi push-over proporzionale alla massa in direzione longitudinale (direzione 0°). (a) modello base; (b) cedimento intermedio; (c) cedimento laterale; (d) cedimento d'angolo.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 18. Scenario di danno in situazione di incipiente collasso, sulla parete del prospetto principale, per analisi push-over proporzionale alla massa in direzione longitudinale (direzione 180°). (a) modello base; (b) cedimento intermedio; (c) cedimento laterale; (d) cedimento d'angolo.

5 CONCLUSIONI

I cedimenti differenziali in fondazione possono produrre danneggiamenti concentrati e/o diffusi nelle strutture in elevazione che possono determinare una sensibile riduzione della capacità portante della struttura sia nei confronti dei carichi verticali che rispetto alle azioni sismiche. Gli strumenti di analisi oggi a disposizione in genere non consentono una semplice valutazione del danneggiamento prodotto da cedimenti imposti in fondazione soprattutto per gli edifici in muratura. Nel presente lavoro si introduce una nuova procedura di analisi nonlineare, implementata nel software 3DMacro, che consente una valutazione per macro-elementi degli effetti prodotti da cedimenti imposti in fondazione, in accordo ad un assegnato profilo che viene incrementato proporzionalmente. La procedura è basata su un’analisi statica non lineare che consente di valutare i progressivi danneggiamenti e le rotture negli elementi strutturali che possono essere costituiti da elementi asta, o macro-elementi rappresentativi della muratura. Gli elementi asta sono modellati come elementi trave a plasticità concentrata. La muratura viene modellata mediante un macro-elemento piano utilizzato sia in ambito professionale che accademico. Gli esempi considerati nel lavoro hanno mostrato come la presenza di cedimenti in fondazione può determinare una sensibile riduzione della capacità portante anche in condizioni sismiche. Tale riduzione è associata al profilo e all'entità del cedimento imposto. Pertanto in presenza di quadri di danneggiamento preesistenti dovuti a cedimenti in fondazione risulta di grande utilità poter disporre di strumenti di analisi non-lineare in grado di simulare gli effetti prodotti da cedimenti in fondazione che oltre a determinare un danneggiamento per carichi verticali determinano anche una riduzione della prestazione sismica dell’edificio.

REFERENCES [1] Mastrodicasa S., 1993. Dissesti statici delle strutture

edilizie. ISBN: 9788820319151. Editore Hoepli (9a edizione).

[2] Caliò, I., Marletta, M., Pantò, B., 2012. A new discrete element model for the evaluation of the seismic behaviour of unreinforced masonry buildings, Eng. Struct., 40, 327-338.

[3] 3DMacro 2012. “3D software di calcolo per la vulnerabilità sismica degli edifici in muratura”. Gruppo Sismica s.r.l., Catania, Italia. Release 3.0, Novembre

2012. Manuale Teorico", versione 1.11103101, disponibile sul sito www.3DMacro.it.

[4] Caliò I., Marletta M., Pantò B., 2005. A simplified model for the evaluation of the seismic behaviour of masonry buildings. In: Proceedings of the 10th international conference on civil, structural and environmental engineering computing. Stirlingshire, UK: Civil-Comp Press, Paper 195.

[5] Caliò I., Cannizzaro F., D’Amore E., Marletta M., Pantò B., 2008. "A new discrete-element approach for the assessment of the seismic resistance of composite reinforced concrete-masonry buildings". AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings Volume 1020, Issue PART 1, Pages 832-839, DOI: 10.1063/1.2963920.

[6] Caliò I., Cannizzaro F., Pantò B., 2012. "A macro-element approach for modeling the nonlinear behaviour of monumental buildings under static and seismic loadings". 15th World Conference on Earthquake Engineering 24–28 September.

[7] Marques R., Lourenco P.B., 2011. Possibilities and comparison of structural component models for the seismic assessment of modern unreinforced masonry buildings. Computer and Structures, 89, 2079–2091.

[8] Marques R., Lourenco P.B., 2012. Pushover seismic analysis of quasi-static tested confined masonry buildings through simplified model, Proc. of the 15th International Brick and Block Masonry Conference, Florianopolis.