La Tua Matematica - Linguaggi

A. Calvi

G. Panzera

S. Morone

00 Triennale 2010 v.2 27-11-2009 11:25 Pagina 1

CORSO DI MATEMATICA PER LA SCUOLA

SECONDARIA DI PRIMO GRADO

di Anna Calvi,Gabriella Panzera,

Simona Morone

Coordinamento editoriale Beatrice Loreti

RedazioneNiccolò Terzi

Art directorMarco Mercatali

Responsabile di produzioneFrancesco Capitano

Progetto grafico e impaginazioneAlberto Sangiorgi

CopertinaAdami Design

© 2010 ELi - La SpigaVia Soperga, 2 MilanoTel. [email protected]

ELiVia Brecce – LoretoTel. [email protected]

La casa editrice ringrazia SaraGentili, Stefania Senigagliesi eFrancesco Tramannoni per ilcontributo fornito nella revisio-ne degli esercizi del corso Latua matematica.

Stampato in Italia pressoGrafiche Flaminia - Foligno10.83.071.0

Aritmetica 1 + Geometria 1 + I linguaggi della Matematica + cd romISBN 978-88-468-2816-3

Guida per l'insegnanteISBN 978-88-468-2796-8

Disponibili anche separatamenteAritmetica 1 + I linguaggi dellaMatematica + cd romISBN 978-88-468-2790-6

Geometria 1ISBN 978-88-468-2793-7

Tutti i diritti riservati.È vietata la riproduzione totale o par-ziale così come la sua trasmissionesotto qualsiasi forma o con qualsiasimezzo senza l’autorizzazione scrittadella casa editrice.

La casa editrice La Spiga e l’ambienteLa casa editrice La Spiga usa carta certificataFSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamoinvestire nel futuro di chi sceglie ed utilizza inostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti siacon l’attenzione all’ambiente che ci circonda.Un piccolo gesto che per noi ha un forte signifi-cato simbolico.Il marchio FSC certifica che la carta usata per larealizzazione dei volumi ha una provenienza con-trollata e che le foreste sono state sottratte alladistruzione e gestite in modo corretto.


PRESENTAZIONE

■ Struttura del corsoIn ottemperanza alle “Indicazioni per il Curricolo” emanate dal Ministerodella Pubblica Istruzione nel 2007, il corso è stato strutturato in: due tomidi aritmetica e due di geometria per il biennio; un tomo di algebra e uno digeometria per la classe terza; un volume valido per tutto il triennio con queicontenuti a valenza trasversale quali: gli insiemi; le operazioni binarie e lestrutture algebriche; le relazioni; gli strumenti di calcolo, l’approssimazione,la notazione esponenziale e standard, l’ordine di grandezza; i grafici; ele-menti di statistica; cenni di logica; elementi di calcolo delle probabilità.

Ciascun tomo del corso LA TUA MATEMATICA si compone di SEZIONI, checomprendono, a loro volta, le LEZIONI necessarie alla trattazione comple-ta di ciascuna tematica.Ogni lezione si apre con l’indicazione di:PREREQUISITI necessari ad affrontare i contenuti proposti;OBIETTIVI da conseguire;CONTENUTI in essa trattati.La trattazione della teoria adotta un linguaggio rigorosamente scientifico,ma viene sempre proposta in modo semplice e comprensibile da parte ditutti gli alunni; le definizioni e le regole sono graficamente evidenziatenon solo per ragioni estetiche, ma soprattutto per favorire quegli alunniche prediligono lo stile cognitivo di tipo visivo.Al termine dell’esposizione di un contenuto vengono svolti per intero ecommentati uno o più esercizi esemplificativi e significativi del concettoda apprendere (ESEMPIO).Al fine di permettere agli alunni una verifica immediata dell’avvenutacomprensione, agli esempi seguono gli STOPANDGO, batterie di esercizi dirapida esecuzione, da svolgere in classe autonomamente o dietro la guidadell’insegnante; proprio per questo motivo, data anche la loro semplicità,si è deciso di riportare solamente i risultati di quelli più elaborati.

Le grandi tematiche si concludono spesso con schede storiche, denomina-te STORIA&MATEMATICA.Molti degli argomenti trattati sono arricchiti da GIOCHI, CURIOSITÀ,APPROFONDIMENTI ed “escursioni” in altri ambiti disciplinari (ILSALTADISCIPLINA),non solo per evidenziare l’aspetto ludico della materia ma, soprattutto, perfar comprendere ai ragazzi che, nel quotidiano, si usano di frequente con-cetti matematici; la matematica, infatti, non è una disciplina astratta eavulsa da tutte le altre, ma concorre alla formazione globale di ciascun alun-no. Inoltre, essa ben si presta all’inter- e transdisciplinarità delle sezioni.

Ogni lezione si conclude con la sezione dedicata agli ESERCIZI, sempre pre-sentati secondo una gradualità crescente di difficoltà. Il numero di eser-cizi è particolarmente elevato, per consentire all’insegnante la più ampiascelta possibile.


Al termine di ciascuna batteria di esercizi sono presenti:

■ una VERIFICA formativa sull’argomento trattato, che ha lo scopo di avere unriscontro immediato sull’avvenuto apprendimento delle e delle da parte degli alunni;

■ una verifica di RECUPERO, qualora si sia riscontrata la necessità di rivede-re con la classe (o parte di essa) alcuni argomenti considerati nel corsodella lezione;

■ due schede di VERIFICA SOMMATIVA su tutti gli argomenti affrontati nellasezione (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica): laprima più facile e la seconda relativamente più complessa, per consenti-re di adeguare la prova ai diversi livelli di apprendimento degli alunni.

Al termine di ogni tomo del corso (fatta eccezione per il volume I linguaggidella matematica) sono state inoltre inserite alcune schede di POTENZIAMENTO,suddivise secondo le sezioni, per evidenziare, nonché gratificare, i casi dieccellenza.

I risultati delle verifiche formative e di recupero si trovano tra le pagine174 e 175 del presente volume.

Al termine dei voluni di Aritmetica e di Algebra si trovano le tavole nume-riche (numeri primi minori di 10 000; quadrati, cubi, radici quadrate e cubi-che e scomposizione in fattori).

Al termine del volume di Algebra è presente una sezione dedicata ai TEMID’ESAME, esercizi destinati alla verifica dell’acquisizione dei contenutiaffrontati nel corso della classe terza e, quindi, preparatori per l’Esame diStato.Al termine del volume Geometria 1 è presente un’appendice, con relativiesercizi, dedicata all’applicativo Cabri-géomètre II, software che facilital’apprendimento dei concetti fondamentali legati alla geometria piana.

Il corso LA TUA MATEMATICA è inoltre corredato di:

■ un CD-ROM interattivo, così articolato:• esercizi da svolgere, svolti e guidati, suddivisi per sezione• una sezione di giochi e curiosità matematiche• una selezione di simulazioni della Prova Nazionale

■ una esaustiva presentazione del corso, unitamente a tutte le necessarieindicazioni metodologiche e al materiale appositamente predisposto peressere fotocopiato e sottoposto agli alunni si trova nella guida per l’in-segnante.

ABILITÀCONOSCENZE


INDICESEZIONE A Verso l’algebra moderna e astratta

Gli insiemi 8Rappresentazione di un insieme 9■ Rappresentazione tabulare o per elencazione 9■ Rappresentazione per caratteristica 9■ Rappresentazione grafica o con diagramma di Eulero-Venn 9■ Insiemi uguali e insiemi diversi 9■ Insiemi disgiunti 10■ Sottoinsiemi e insieme delle parti 10Operazioni con gli insiemi 11■ Intersezione 11■ Unione 12■ Differenza 12Corrispondenza fra gli insiemi 13Insiemi equipotenti 15

APPROFONDIMENTO

■ Il prodotto cartesiano tra due insiemi 16STORIA&MATEMATICA

■ Breve storia dell’insiemistica 17182728

Le operazioni binarie e le strutture algebriche 29Le operazioni binarie 29Le strutture 30■ Legge di composizione interna 30■ Rappresentazione di una legge di composizione 31Proprietà delle leggi di composizione 32■ Proprietà commutativa 32■ Proprietà associativa 33■ Elemento neutro 33■ Elemento simmetrico 34Strutture algebriche particolari 36

394243

Le relazioni 44Relazione tra due insiemi 44Dominio e codominio 44Relazione inversa 45Rappresentazione grafica di una relazione 46

Proprietà delle relazioni 47■ Proprietà riflessiva 47■ Proprietà simmetrica 47■ Proprietà transitiva 47■ Proprietà antisimmetrica 48■ Proprietà antiriflessiva 48Relazione di equivalenza 50Relazione d’ordine 51

525859

SEZIONE B Verso altri linguaggi

Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione,l’ordine di grandezza, la notazione esponenzialee standard 62

Gli strumenti di calcolo 62L’approssimazione e l’arrotondamento 70L’ordine di grandezza di un numero 74La notazione esponenziale di un numero 75■ La notazione scientifica o notazione standard di un numero 75

778182

I grafici 83Diagrammi cartesiani 83Istogrammi 87Ideogrammi 89Areogrammi 90

STORIA&MATEMATICA■ Cartesio 92

93110112RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

4

3

2

1

5LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

4

3

2

1

4LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI7

6

5

4

3

2

1

3LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI4

3

2

1

2LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

4

3

2

1

1LEZIONE


INDICEElementi di statistica 113

Statistica 113Le fasi dell’indagine statistica 115■ La determinazione precisa del carattere

che si vuole analizzare 115■ La progettazione dello strumento per la raccolta di dati 115■ La raccolta dei dati 116■ La trascrizione dei dati 116■ L’elaborazione dei dati 117I valori medi 118■ La rappresentazione dei dati 123La curva di Gauss 126

128134136

Cenni di logica 137Proposizioni logiche o enunciati 137I connettivi logici 139■ Tabelle di verità dei connettivi logici 140■ Connettivo NON “—” 140■ Connettivo E “∧” 140■ Connettivo O (vel) “∨” 141■ Connettivo O… O… (aut) “∨. ” 142

APPROFONDIMENTO

■ I circuiti elettrici 144146149150

Elementi di calcolo delle probabilità 151Eventi casuali 151■ Probabilità di un evento casuale 152■ Probabilità di un evento contrario 154Frequenza e legge empirica del caso 155Probabilità totale: eventi incompatibilied eventi compatibili 156■ Probabilità totale di eventi incompatibili 156■ Probabilità totale di eventi compatibili 157Probabilità composta: eventi indipendentied eventi dipendenti 158■ Probabilità composta di eventi indipendenti 158■ Probabilità composta di eventi dipendenti 159Rappresentazione grafica della probabilità:tabelle a doppia entrata e grafi ad albero 160

APPROFONDIMENTO

■ La genetica 162164172173

1741744-5-6-7-8LEZIONIBSEZIONE

1-2-3LEZIONIASEZIONE

RISULTATI VERIFICA-RECUPERO

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

5

4

3

2

1

8LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI

2

1

7LEZIONE

RECUPERO

VERIFICA

ESERCIZI4

f

3

e

d

c

b

a

2

1

6LEZIONE


In questa sezione imparerai a cono-scere e operare con gli insiemi.Conoscerai inoltre il significato e leproprietà delle strutture algebrichee inizierai a familiarizzare con lerelazioni che si possono stabiliretra due insiemi.

strutturealgebriche

relazionie funzioni

Verso l’algebra moderna e astratta

LINGUAGGIASEZIONE

insiemi


PREREQUISITI CONTENUTI OBIETTIVI

8

• Saper leggere un testo• Comprendere un testo• Individuare le informazioni• Comprendere le richieste

• Rappresentazione di insiemi• Sottoinsiemi• Simboli• Operazioni con gli insiemi• Corrispondenza tra insiemi• Prodotto cartesiano

• Saper tradurre il linguaggio insiemisticoin linguaggio verbale e viceversa

Se, considerando una collezione qualsiasi di oggetti, sappiamo distinguerli chiara-mente e siamo in grado di stabilire, con esattezza, se uno di essi appartiene o noa tale collezione, allora essa costituisce un insieme. Gli oggetti, le persone, gli animali che formano l’insieme sono detti elementi del-l’insieme. Per esempio, gli alunni di una classe, i libri della biblioteca comunalecostituiscono degli insiemi, poiché in entrambi i casi sappiamo distinguere se unalunno frequenti o no la classe e se un libro appartenga o no alla biblioteca. Nonsono insiemi matematici: i ragazzi belli della tua classe, i libri interessanti dellabiblioteca, ecc.

Un insieme è costituito da persone, animali, oggetti, detti elementi, che devonoessere ben distinti e tali da consentire di stabilire, con esattezza, se appartengonoall’insieme stesso.

Per indicare gli insiemi si usano le lettere maiuscole A, B, C…, per indicare gli ele-menti di un insieme si usano le lettere minuscole a, b, c…Un insieme può essere finito se contiene un numero finito di elementi, infinito secontiene un numero infinito di elementi, vuoto (indicato mediante il simbolo ∅)se non contiene elementi.Se a è un elemento dell’insieme A si scrive ; se b non è un elemento di Asi scrive .b ∉ A

a ∈ A

definizione

Gli insiemi

8

DEFINIZIONE

1LEZIONE


Gli insiemi1LEZIONE

9

1 Rappresentazione di un insieme

Vediamo ora come si possono rappresentare gli insiemi.

■ Rappresentazione tabulare o per elencazione

Si elencano tra due parentesi graffe tutti gli elementi dell’insieme, senza ripetizio-ne, separati da una virgola o da un punto e virgola, facendo precedere tale scritturada una lettera maiuscola che indica l’insieme. Per esempio, l’insieme A delle quattrostagioni si può rappresentare così: A = {primavera, estate, autunno, inverno}.L’insieme B delle lettere della parola cavallo sarà: B = {c, a, v, l, o}.

■ Rappresentazione per caratteristica

In questo caso, entro parentesi graffe, si enuncia la proprietà caratteristica godutada tutti gli elementi dell’insieme. Così l’esempio delle quattro stagioni diventa: A = {le stagioni dell’anno solare} oppureA = {a|a è una stagione dell’anno solare}, che si legge “A è l’insieme di tutti glielementi a tali che ogni a è una stagione dell’anno solare”.

■ Rappresentazione grafica o con diagramma di Eulero-Venn

Consiste nel racchiudere entro una linea chiusa(che può assumere qualsiasi forma) tutti gli ele-menti dell’insieme. Osserva come viene rappre-sentato l’insieme A delle quattro stagioni.

Vediamo ora alcune definizioni relative agli insiemi.

■ Insiemi uguali e insiemi diversi

Consideriamo i due seguenti insiemi:

A = {lettere della parola rosa} A = {r, o, s, a}B = {lettere della parola raso} B = {r, a, s, o}

Come puoi facilmente osservare, gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme Bsono identici, quindi i due insiemi si dicono uguali e si scrive: .

Due insiemi dati A e B si dicono uguali quando contengono gli stessi elementi.

Se due insiemi non sono uguali, cioè non sono formati dagli stessi elementi, si dico-no diversi o disuguali e si scrive: .

A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8}

sono due insiemi diversi, poiché solo alcuni elementi di A lo sono anche di B.

A ≠ B

A = B

• primavera

• estate • inverno

• autunno

A

DEFINIZIONE

ESEMPIO


Verso l’algebra moderna e astrattaASEZIONE

10

■ Sottoinsiemi e insieme delle parti

Esaminiamo l’insieme A dei primi dieci numeri naturali che, come è noto, è formatoda cinque numeri pari e cinque dispari. Consideriamo solo le cifre pari di A: esse for-mano, chiaramente, un insieme che chiamiamo B e che è sicuramente contenuto in A.

Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento diB è anche elemento di A, ma c’è almeno un elemento di A che non appartiene aB. Se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, o se B è l’insieme vuoto, Bè detto sottoinsieme improprio di A.

Sono sottoinsiemi impropri di A l’insieme ∅ e l’insieme A stesso.

Se l’insieme B è un sottoinsieme proprio dell’insieme A, si dice cheB è incluso o contenuto in A e si scrive: .

In caso contrario, cioè se B non è sottoinsieme di A, si dice cheB non è contenuto in A e si scrive: .

Se B è un sottoinsieme (proprio o improprio) di A, si dice che B è contenuto o ugua-le ad A e si scrive .

Consideriamo l’insieme A = {1, 2, 3} e tutti i suoi sottoinsiemi propri e impropri:∅; {1}; {2}; {3}; {1, 2};{1, 3}; {2, 3}; {1, 2, 3}

B ⊆ A

B ⊄ A

B ⊂ A

• 1

• 3 • 9

• 5 • 7

• 2

• 10 • 4

• 8 • 6

AB

È dato l’insieme A = {3, 6, 9, 12, 15}. Completa conil simbolo di appartenenza o non appartenenza.

3 A; 4 A; 9 A; 7 A; 15 A

Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi:

A = {a⏐a è una nota musicale}A = {a⏐a è un seme delle carte da gioco}A = {a⏐a è una lettera della parola albero}

Quali dei seguenti insiemi sono uguali?

A = {o, n}B = {x⏐x è una lettera della parola nonno}C = {1, 2, 3, 4}D = {4, 3, 1}

Scrivi due insiemi A e B uguali.4

3

c

b

a

2

1

■ Insiemi disgiunti

Osserviamo i due insiemi seguenti: A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}.

Possiamo facilmente notare che nessun elemento dell’insieme A è presente in B eviceversa; in sintesi, i due insiemi A e B non hanno elementi in comune.

Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno alcun elemento in comune.

È evidente, dunque, che insieme diverso e insieme disgiunto non sono sinonimi.

STOPANDGO

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE


11

Gli insiemi1LEZIONE

2 Operazioni con gli insiemi

Le principali operazioni con gli insiemi sono l’intersezione, l’unione e la differenza.Vediamo in cosa consistono.

■ Intersezione

Consideriamo l’insieme A, formato dalle lettere della parola mano, e l’insieme B, for-mato dalle lettere della parola cane.

A = {m, a, n, o} B = {c, a, n, e}

Puoi osservare che A e B non sono due insiemi uguali ma non sono neppure disgiun-ti, poiché le lettere a e n appartengono sia ad A che a B e possono formare, a lorovolta, un nuovo insieme I = {a, n} che chiamiamo intersezione I e indichiamo conil simbolo ∩∩.

Se rappresentiamo graficamente con diagrammi di Eulero-Venn, otteniamo:

I = A ∩ B A B

I

DEFINIZIONI

L’insieme formato da tutti i sottoinsiemi precedenti si chiama insieme delle parti esi indica con PA.

L’insieme delle parti PA di un insieme A è l’insieme formato da tutti i sottoinsiemipropri e impropri di A.

Se A1, A2… An sono sottoinsiemi di A, tali che: nessuno sia vuoto, siano a due a duedisgiunti e l’unione dei sottoinsiemi sia tutto l’insieme A, allora A1, A2… An costi-tuiscono una partizione di A.

STOPANDGO

Scrivi in simboli le possibili inclusioni che trovinei seguenti diagrammi.

Stabilisci, tra le seguenti coppie di insiemi, perquali vale la relazione ⊂ o ⊆ .

A = {a⏐a è un italiano}B = {b⏐b è un veneziano}

A = {m, a}B = {lettere della parola mamma}

A = {i mammiferi}B = {gli animali}

c

b

a

2

c

b

a

1

A

B

BC

C

XY

Z

A

• c

• e

• o

• m

• n

• a



12

Si dice intersezione di due insiemi A e B l’insieme I costituito da tutti gli elementiche appartengono contemporaneamente ad A e B.

Due insiemi che hanno per intersezione un insieme vuoto sono disgiunti.

A ∩ B = ∅

■ Unione

Riprendiamo gli insiemi A e B dell’esempio precedente:

A = {m, a, n, o} B = {c, a, n, e}

Formiamo un nuovo insieme C con tutti gli elementi di A e B, presi una sola volta.

C = {m, a, n, o, c, e}

L’insieme così ottenuto è detto unione degli insiemi A e B e si indica con il sim-bolo ∪.

Se rappresentiamo graficamente con diagrammi di Eulero-Venn, otteniamo:

C = A ∪ B

Si dice unione di due insiemi dati A e B l’insieme C costituito dagli elementi di Ae da quelli di B, presi una sola volta.

■ Differenza

Facendo riferimento agli insiemi A e B precedenti, possiamo eseguire un’altra ope-razione: consideriamo l’insieme D composto dagli elementi di A che non apparten-gono però a B, e cioè:

D = {m, o}

C = A ∪ B

• r• s• t

• a• b• c

A B

• o

• m

• c

• e

• n

• a

A BC

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE


Gli insiemi1LEZIONE

13

L’insieme così formato è l’insieme differenza e si indica con – oppure /:

oppure e si legge “A meno B”.

Se passiamo alla rappresentazione grafica con diagrammi di Eulero-Venn, abbiamo:

Si dice insieme differenza tra due insiemi A e B l’insieme D costituito dagli ele-menti che appartengono ad A ma non appartengono a B.

Se l’insieme B è contenuto nell’insieme A, la differenza A – B si chiama comple-mentare di B rispetto ad A e si indica con B

–oppure CAB.

Dati gli insiemi A = {x | 2 ≤ x ≤ 10} e B = {3, 4, 6}, determina CAB.

Rappresentiamo graficamente gli insiemi:

Per definizione di insieme complementare abbiamo:

CAB = {2, 5, 7, 8, 9, 10}

STOPANDGO

D = A / BD = A – B

A BD

• 8

• 2 • 5

• 10 • 7

• 9

• 3

• 4

• 6

AB

Colora in rosso l’unione dei due insiemi dati e inverde l’intersezione.

Determina gli insiemi A ∪ B, A ∩ B, A – B,essendo:A = {x⏐x è un numero intero minore di 8}B = {x⏐x è un numero intero maggiore di 3 e mino-re di 10}

Determina gli insiemi A ∪ B, A ∩ B, A – B,essendo:A = {a, e, i, o, u}B = {s, e, t, a}

3

21

3 Corrispondenza fra gli insiemi

Considera gli insiemi A = {p, m} e B = {pino, matita, pane, papà, cane}. Puoi osser-vare che si possono mettere in relazione gli elementi di A con quelli di B, espri-mendo tale relazione R con “…è la prima lettera di…”

ESEMPIO

DEFINIZIONE

• o• m

• c

• e

• n

• a

A

A

A

B

B

B



14

Osservando le rappresentazioni gra-fiche, si nota che ogni elemento diA è in corrispondenza con uno solodi B.

Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice che tra essi è definita una relazione R seesiste una legge che associa elementi di A con elementi di B.

Una relazione si può rappresentare graficamente con un diagramma a freccia (formasagittale), con una tabella a doppia entrata o con un reticolo (diagramma cartesiano).

Diagramma sagittale

Reticolo

Tabella a doppia entrata

Osservando il diagramma sagittale, si nota che da ogni elemento di A partono unao più frecce, ma un elemento di B non è associato a nessun elemento.

Una relazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B, ma nonviceversa, si chiama corrispondenza univoca o funzione di A in B.

Considera gli insiemi A = {3, 6, 9}, B = {1, 2, 3} e la relazione R “…è triplo di…”.Rappresentando graficamente si avrà:

Diagramma sagittale Tabella a doppia entrata

Reticolo

B

3 •

2 •

1 •

3 6 9 A

A B 1 2 33 •6 •9 •

p •

m •

• pino• papà• pane• matita• cane

A B

9 •

3 •

6 •

• 1

• 2

• 3

A B

Bcane

papà •

pane •

matita •

pino •

p m AA B pino matita pane papà canep • • •m •

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

ESEMPIO

14


Gli insiemi1LEZIONE

15

Una relazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B e taleche ogni elemento di B è associato a uno e un solo elemento di A si dice biuni-voca.

STOPANDGO

Quali delle seguenti corrispondenze sono univoche e quali biunivoche?

Rappresenta la corrispondenza y = 2x, dove x ∈ X = {1, 2, 3} e y ∈ Y = {2, 4, 5, 6} e stabilisci se è univoca

o biunivoca. La corrispondenza è …………………………… perché …………………………………………………

4 Insiemi equipotenti

Consideriamo gli insiemi A = {Novara, Padova, Rapallo, Taormina} e B = {Piemonte,Liguria, Veneto, Sicilia} e la corrispondenza “…è una città di…”.

La corrispondenza tra A e B è biunivoca, perché ogni elemento di A ha un solo cor-rispondente in B e viceversa, come puoi vedere: A e B hanno lo stesso numero di ele-menti, cioè sono equipotenti.

Due insiemi A e B sono equipotenti, cioè hanno lo stesso numero di elementi, setra A e B esiste una corrispondenza biunivoca.

2

1

a •

b •

c •

• 1• 2• 3• 4

A B

a •

b •

c •

• 1

• 3

• 2

A B

Carlo •Pino •Piero •

• Gina• Ida• Ada• Isa

A B

a •b •c •d •

• 3

A B

Novara •Padova •Rapallo •

Taormina •

• Veneto• Piemonte• Liguria• Sicilia

A B

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

15



Stabilisci se i seguenti insiemi sono equipotenti.

A = {le dita di una mano}B = {1, 2, 3, 4, 5}

A = {r, a, n}B = {3, 4, 9}

A = {lettere della parola tazza}B = {m, n, o, p, q}

A = {lettere della parola Anna}B = {lettere della parola pepe}

4

3

2

1

■ Il prodotto cartesiano tra due insiemi

Considera i due insiemi A = {2, 4, 6} e B = {a, e, i, o} e forma tutte le possibili coppie ordinate incui il primo elemento appartiene all’insieme A e il secondo a B. Per facilitare la scrittura di tutte lecoppie usiamo il reticolo per rappresentare gli insiemi A e B.

Ogni nodo • del reticolo individua una coppia ordinata; l’insieme ditutte le coppie ordinate è il prodotto cartesiano di A per B e si indi-ca con A × B (si legge “A cartesiano B”).Dal grafico si ricava:

A × B = {(2, a), (2, e), (2, i), (2, o), (4, a), (4, e), (4, i), (4, o),(6, a), (6, e), (6, i), (6, o)}

Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano di A per B e si indica con A × Bl’insieme di tutte le coppie ordinate aventi il primo elemento in A e il secondo in B.In simboli si scrive A × B = {(a, b)⏐a ∈ A e b ∈ B}.

Per rappresentare il prodotto cartesiano A × B, oltre al reticolo, si possono usare la tabella a dop-pia entrata o il diagramma sagittale. Vediamo ora una applicazione pratica del prodotto cartesiano.

Andrea, Pietro, Carlo e Luca hanno organizzato un torneo di ping-pong. Sapendo che ogni ragazzodovrà giocare con tutti gli altri una sola volta, prepara la tabella delle partite. Indicato con A l’insie-me dei giocatori e con B l’insieme delle coppie ottenute, puoi dire che B coincide con A × A?

Rappresentiamo sul reticolo il prodotto cartesiano A × A:

STOPANDGO

B

o • • •

i • • •

e • • •

a • • •

2 4 6 A

A

L • • • •

C • • • •

P • • • •

A • • • •

A P C L A

16

APPROFONDIMENTO

DEFINIZIONE


Gli insiemi1LEZIONE

17

I nodi arancioni • rappresentano le coppie possibili, mentre i nodi blu • rappresentano le coppie nonammesse, in quanto formate dallo stesso elemento (un giocatore non può gareggiare con se stesso).Le coppie possibili sono perciò le seguenti:

(A, P) (A, C) (A, L)(P, A) (P, C) (P, L)(C, A) (C, P) (C, L)(L, A) (L, P) (L, C)

Ma (A, P) e (P, A) si equivalgono, poiché ogni ragazzo deve giocare una sola volta con tutti gli altriragazzi, quindi l’insieme delle coppie cercate è:

B = {(A, P), (A, C), (A, L), (P, C), (P, L), (C, L)}, possiamo quindi concludere che B ⊂ A × A.

STOPANDGO

STORIA&MATEMATICA

■ Breve storia dell’insiemistica

Verso la fine del XIX secolo, la matematica si era divisa in vari rami, ciascuno dei quali si differen-ziava dagli altri per metodi e linguaggi. Tutto ciò avveniva poiché mancava un elemento cheunificasse tali rami. Ai primi del ’900, GGeeoorrgg CCaannttoorr elaborò la tteeoorriiaa ddeeggllii iinnssiieemmii: in essa si stu-diano aggregati di oggetti, indipendentemente dalla natura degli elementi che li costituiscono,dan-done una rappresentazione grafica con i diagrammi di Eulero-Venn.

Georg Cantor nacque a San Pietroburgo nel 1845. Insegnò all’università di Halle; la sua teoria,elaborata negli anni, fu ritenuta assurda da molti matematici dell’epoca. Questo lo fece amma-lare di nervi, tanto che fu ricoverato in una clinica psichiatrica, dove morì nel 1918.

EEuulleerroo, nato a Basilea nel 1707, è stato uno dei più illustri matematici di tutti i tempi. Introdussein matematica la tteeoorriiaa ddeeii ggrraafifi.Fu considerato un prodigioso calcolatore, tanto che alla sua morte si disse di lui: « egli cessò divivere e di calcolare ».

JJoohhnn VVeennnn (Kingston upon Hull, 1834) fu lettore di logica e scienze morali all’università diCambridge.Si occupò principalmente di logica e di teoria delle probabilità, ed è famoso soprattutto per ilsuo trattato Logica Simbolica, in cui introdusse i diagrammi di Eulero-Venn, che vengono uti-lizzati in molti settori della matematica, dalla teoria degli insiemi alla logica e alla teoria dellaprobabilità.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 5, 7},scrivi per elencazione e rappresenta nei tre modipossibili il prodotto cartesiano A × B.

Dati gli insiemi A= {a, b, c}, B = {c, e} e C = {b, d},verifica che (A – C) × B = A × B – C × B.

21

17


18

ESERCIZI

Indica con una crocetta le espressioni che nonindividuano un insieme.

I tasti del pianoforte della sala di musica.Le parole del libro Cuore.Le alunne bionde della tua scuola.Le più importanti città della Lombardia.Le chiavi che usa il bidello della scuola.Le monete metalliche attualmente in uso inItalia.Le presentatrici simpatiche della TV.I fiori del giardino del sindaco della tua città.Le migliori marche di frigoriferi.Alcune sinfonie classiche.Le lettere della parola amicizia.

Vero o falso ?

La frase: “I ragazzi simpatici della tuaclasse” individua un insieme.La scrittura B ⊂ A indica che l’insiemeB è un sottoinsieme proprio di A.I numeri naturali costituiscono l’insie-me N che è un insieme finito.⊂ è il simbolo di appartenenza.∈ è il simbolo di inclusione.∉ è il simbolo di non appartenenza.⊄ è il simbolo di insieme vuoto.∅ è il simbolo di non inclusione.

Dai la rappresentazione tabulare e quellagrafica dei seguenti insiemi.

I nomi dei mesi dell’anno che contengono lavocale e.

I nomi delle dita della mano.

Le lettere della parola scrivere.

Le lettere della parola aritmetica.

Le consonanti della parola anno.

Le consonanti che seguono la m e precedono la t.

I primi otto numeri dispari.

Le stagioni dell’anno.

Le materie che si studiano in prima secondaria.

I mesi con trenta giorni.

Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn iseguenti insiemi e verifica se le seguenti scrittu-re sono vere o false .

A = {x⏐x è capoluogo di provincia d’Italia}B = {x⏐x è capoluogo del Lazio}C = {x⏐x è capitale d’Italia}

A ⊂ B Roma ⊂ CMilano ⊂ C C ∉ AB ∉ A C ⊂ A

A è l’insieme delle lettere dell’alfabeto che prece-dono la lettera f. Quali delle seguenti relazionisono vere e quali false ?

a ∈ A m ∈ Ap ∉ A f ∉ Ai ∈ A z ∈ A

A è l’insieme dei primi venti numeri naturali;completa le seguenti relazioni con l’opportunosimbolo di appartenenza o non appartenenza.

5 A 15 A3 A 20 A

29 A 19 A

Dato l’insieme A = {a, b, c}, individua la caratteri-stica che lo descrive correttamente.

È un insieme di lettere.È un insieme di tre lettere.È l’insieme delle prime tre lettere dell’alfabe-to italiano.

cba

16

15

FVFVFVFVFVFV

FV

14

FVFVFVFVFVFV

FV

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

FVhFVgFVfFVeFVd

FVc

FVb

FVa

FV2

mlih

g

fedcba

1

Gli insiemi1LEZIONE

18

ESERCIZI


Dato l’insieme B = {e, o}, individua la caratteri-stica che lo descrive correttamente.

È l’insieme delle vocali della parola Sole.È un insieme di lettere.È l’insieme delle vocali.

Considera l’insieme A = {13, 23, 33, 43, 53, 63}.Individua tra le seguenti caratteristiche quellache lo descrive correttamente.

I numeri compresi tra 12 e 64, multipli di tre.I numeri dispari inferiori a 64.I numeri interi compresi tra 12 e 64 che ter-minano con 3.

Trova la caratteristica dei seguenti insiemi.

F = {7, 14, 28, 56, 112}A = {21, 28, 35, 42}

Scrivi la rappresentazione tabulare dei seguentiinsiemi.

A = {x⏐x è una lettera della parola vento}B = {x⏐x è una consonante della parola

sentimento}C = {x⏐x è una sillaba della parola collina}D = {x⏐x è l’età di un tuo familiare}E = {x⏐x è la casa editrice di un tuo libro di

testo}F = {x⏐x è una classe di vertebrati}G = {x⏐x è una vocale non ripetuta della paro-

la ragazza}

Vero o falso ?

4 ∈ B 8 ∈ A4 ∈ E 9 ∈ A9 ∈ C E = ∅7 ∈ E 5 ∉ D4 ∈ D 70 ∉ C13 ∈ D 2 ∈ B

Scrivi la rappresentazione tabulare dell’insieme Aindividuato dalla seguente caratteristica: i nume-ri interi compresi tra 30 e 45 inclusi che puoidividere per tre.

Considera l’insieme A che ha per elementi le sil-labe e le vocali della parola tavolo. Dei seguentielementi quali appartengono ad A?ta, l, la, m, a, i, lo, v, vo.

Scrivi per caratteristica i seguenti insiemi.

S = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì,venerdì, sabato, domenica}

N = {do, re, mi, fa, sol, la, si}C = {Bari, Brindisi, Foggia, Lecce, Taranto}V = {a, e, i, o, u}F = {Po}A = {idrogeno, ossigeno}B = {primavera, estate, autunno, inverno}P = {Adamo, Eva}H = ∅M = {m, a}R = {r, o, m, a}I = {b, a, m, i, n}G = {Castore, Polluce}D = {io, tu, egli, noi, voi, essi}

Tra gli insiemi seguenti indica quali sono vuoti:

l’insieme dei triangoli di quattro lati;l’insieme dei mesi di trenta giorni;l’insieme dei sauri che vivono oggi sulla Terra;l’insieme dei numeri pari inferiori a 1.

Completa con i simboli di appartenenza o di nonappartenenza.

gatto {x⏐x è un felino}palla {x⏐x è uno strumento musicale}Cervino {x⏐x è un fiume d’Italia}rosa {x⏐x è un fiore}Sole {x⏐x è una stella del sistema

solare}quadrato {x⏐x è un rettangolo}Celentano {x⏐x è un eroe del Risorgi-

mento}pollice {x⏐x è una tua mano}centro {x⏐x è un punto della circon-

ferenza}centro {x⏐x è un punto del cerchio}Vesuvio {x⏐x è un vulcano attivo del

Piemonte}m

l

i

h

g

f

e

d

c

b

a

26

d

c

b

a

25

24

23

22

FVnFVfFVmFVeFVlFVdFViFVcFVhFVbFVgFVa

3

8

9

A B C1

2

4

6

9

7

135

4

D E

FV21

20

19

c

b

a

18

c

b

a

17

19

Gli insiemiESERCIZI1LEZIONE

19


Rappresenta mediante i diagrammi di Eulero-Venn i seguenti insiemi.

Le lettere della parola toro.Le lettere della parola fame.Le lettere della parola mamma.

Scrivi per elencazione i seguenti insiemi dati percaratteristica.

L’insieme dei giorni della settimana.L’insieme delle dita della mano.L’insieme dei numeri interi minori di 12 e mag-giori o uguali a 2.

Considera il segmento AB come sottoinsieme dellaretta r, e i punti R, S, Q. Completa con i simbolidi appartenenza e di inclusione.

RQ AB S QR A QSS AB SR r Q BSA r AB AB RB QS

Rappresenta graficamente i due insiemi A e Bdati e poi verifica se A è uguale a B.

A = {lettere della parola maremma}B = {lettere della parola mare}

A = {consonanti della parola albero}B = {consonanti della parola libro}

A = {m, n, p, q}B = {p, n, q, m}

A = {Sole, Luna}B = {Luna, Pavia}

A = {lettere della parola tosse}B = {lettere della parola sesto}

A = {a, n}B = {lettere della parola Anna}

A = {le cifre del numero 135}B = {i primi tre numeri naturali dispari}

A = {le cifre del numero 20}B = {le cifre del numero 2 000 000}

Confronta gli insiemi A e B dati e verifica seuno è sottoinsieme dell’altro.

A = {abitanti di Milano}B = {abitanti della Lombardia}

A = {vocali della parola odore}B = {vocali della parola desiderio}

A = {i gatti}B = {i felini}

A = {insetti}B = {zanzara, mosca}

A = {Ticino, Po, Mincio}B = {fiumi che sfociano nel mare Adriatico}

A = {4, 5, 7} B = {2, 3, 5, 6, 7}

A = {2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4}

A = {2, 4, 6} B = {0, 5, 10, 15}

A = {i naturali maggiori o uguali a 13 e minori di 20}

B = {tutti i naturali minori di 7}

A = {le cifre di 1250}B = {le cifre di 375 120}

Dato l’insieme C di città, determina il sottoinsie-me A dei capoluoghi di provincia.

C = {Torino, Gaeta, Verona, Lodi, Rimini, Catania,Assisi, Taormina, Latina, Alba, Chioggia,Sorrento, Venezia, Brindisi, Ventimiglia}.

Tra i seguenti insiemi riconosci quelli uguali.

A = {x⏐x è una vocale}B = {x⏐x è una lettera della parola mela}C = {x⏐x è un rettangolo}D = {Genova, Savona, Imperia, La Spezia}E = {x⏐x è una lettera della parola male}F = {x⏐x è un mese con meno di 30 giorni}G = {x⏐x è una lettera della parola allarme}H = {x⏐x è un mese che comincia per F}I = {x⏐x è una provincia della Liguria}L = {x⏐x è un parallelogramma con tutti gli

angoli retti}M = {x⏐x è un articolo determinativo}

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

A R S Q Br

29

c

b

a

28

c

b

a

27


20


N = {x⏐x è un cane con sei zampe}O = {il, lo, la, i, gli, le}P = {x⏐x è una sinfonia di Beethoven}Q = {x⏐x è una vocale della parola emulazione}R = ∅

Tra i seguenti insiemi riconosci quelli uguali.

A = {x⏐x è una consonante}B = {x⏐x è una lettera della parola cane}C = {x⏐x è un triangolo rettangolo}D = {Italia, Spagna, Cina, Bolivia}E = {x⏐x è una lettera della parola cena}F = {x⏐x è un cavallo baio di tre anni}

Considera l’insieme dei componenti della tuafamiglia. Trova, mediante i diagrammi di Eulero-Venn, i sottoinsiemi aventi per elementi.

I tuoi genitori.Le tue sorelle.I maschi.Le persone di età superiore ai 45 anni.

Vero o falso ?

Si ha un insieme quando sono noti i suoielementi.È necessario che esista una proprietà co-mune a tutti gli elementi di un insieme.{a, e, i, o, u} ≠ {a, u, o, i, e}{x⏐x è una lettera dell’alfabeto dellaparola mamma} = {m, a, m, m, a}{x⏐x è una lettera dell’alfabeto dellaparola anno} = {a, n, n, o}Un insieme si dice vuoto quando non siconoscono i suoi elementi.Tutti gli insiemi privi di elementi si indi-cano con lo stesso simbolo perché sonotutti uguali, sono cioè lo stesso insieme.Due insiemi A e B sono uguali quandotutti gli elementi di A sono elementi di B.

Individua quali insiemi sono infiniti , qualifiniti e quali vuoti .

L’insieme dei fiumi d’Italia.L’insieme dei numeri interi maggiori di10 000.L’insieme degli insegnanti della scuola.L’insieme delle vocali.L’insieme dei numeri interi maggiori di29 e minori di 30.L’insieme delle capitali d’Italia.

L’insieme degli alunni della tua classeche hanno più di 20 anni.L’insieme delle città della Lombardia.

Confronta le seguenti coppie di insiemi e verifi-ca se il primo è o no sottoinsieme del secondo.

A è l’insieme delle consonanti della parola torta, Bè l’insieme delle consonanti della parola tortellini.

A è l’insieme delle vocali della parola irto, B èl’insieme delle vocali della parola bello.

A è l’insieme degli scolari della prima e terzaclasse di una scuola elementare, B è l’insieme ditutti gli scolari della stessa scuola.

A è l’insieme degli alunni della tua classe. Qualidelle seguenti espressioni definiscono un sot-toinsieme di A? Perché?

I ragazzi del primo banco.Le ragazze bionde simpatiche.I professori.

Indica quali dei seguenti insiemi sono vuoti.

A è l’insieme dei nomi dei mesi dell’anno checontengono la lettera v.B è l’insieme dei nomi dei giorni della setti-mana che cominciano con la lettera r.C è l’insieme delle consonanti dell’alfabeto cheprecedono la lettera b.

Dato l’insieme A = {x ∈ N⏐1 ≤ x ≤ 42}, rappre-senta graficamente i seguenti sottoinsiemi.

Il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 2.Il sottoinsieme C dei numeri divisibili per 3.Il sottoinsieme D dei numeri divisibili per 7.

Si può dire che questi sottoinsiemi costituisconouna partizione di A?

Scrivi la rappresentazione tabulare dell’insiemedelle parti dell’insieme A = {1, 2, 3}. Da quanti ele-menti è formato PA?

Indica quali dei seguenti insiemi sono vuoti.

A = {i mesi dell’anno che contengono la lettera v}

A = {le consonanti che precedono la lettera b}

A = {l’insieme dei tuoi compagni di classe il cui nome inizia con la lettera z}

63

62

61

60

c

b

a

59

c

b

a

58

c

b

a

57

56

55

54

VFIh

VFIg

VFIf

VFIeVFIdVFIc

VFIbVFIa

VFI53

FVh

FVg

FVf

FVe

FVdFVc

FVb

FVa

FV52

d

c

b

a

51

50


21


A = {i mammiferi che vivono nel mare}

A = {i mammiferi che depongono le uova}

Dati gli insiemi A = {a, b, c} e B = {a, b, m}, indicase le seguenti relazioni sono vere o false .

B ⊂ Aa ∈ Bm ∉ BA ⊄ Bm ∈ Bc ∉ B

Dati gli insiemi A = {m, n, p, q, r} e B = {n, q, r},indica se le seguenti relazioni sono vere ofalse .

A ⊂ B {m, n, p} ⊂ Am ∈ A {n, p} ⊄ BB ⊂ A {n, r} ⊂ B

Esamina il seguente diagramma e stabilisci qualirelazioni sono vere e quali false .

B ⊂ A B ⊄ A{1, 3} ⊂ A {1, 3} ⊂ B5 ∈ B 3 ∉ A{8, 10, 12} ⊂ A 3 ∉ B

Sono dati gli insiemi A = {a}, B = {b, c}, C = {a, b}e D = {a, b, d}. Quali delle seguenti relazioni sonovere e quali false ?

A ⊄ C C = DC ⊂ A B = C∅ ⊂ A A ⊄ DC ⊂ A A ⊂ C

Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {a, b} e C = {c},quali delle seguenti relazioni sono vere equali false ?

a ∈ A {a} ⊂ Ab ∈ B {a, b} ⊄ A{a, b, c} ⊂ A {a} ⊄ CB ⊂ A B ⊆ A

Esegui le seguenti operazioni sugli insiemi.

Dati A = {4, 0, 6, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3}, trova: A ∪ BA ∩ BA − BB − A

Trova l’unione e l’intersezione tra A = {0, 2} eB = {1, 2, 3}.

Trova A ∪ B e A ∩ B, essendo:A = {0, 1} e B = {1, 0}.

Trova A ∪ B e A ∩ B, essendo:A = ∅ e B = {1, 2, 3}.

Dati gli insiemi A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 5, 6, 8},C = {1, 5, 6, 8}, determina:A ∩ B; A ∩ C; B ∩ C; A ∩ B ∩ C.

Dati A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {4, 5, 6}, trovai seguenti insiemi:A ∩ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ (A ∪ B);(B ∪ A) ∩ C; C ∩ (A ∩ B).

Sono dati gli insiemi A = {felini} e B = {uccelli}.Trova A ∩ B.

Esamina il seguente diagramma:

Trova A ∩ B, A ∪ B, A − B, B − A.

A è l’insieme delle lettere della parola dado e B èl’insieme delle lettere della parola ridere. Trova A ∩ B e A ∪ B.

Considera gli insiemi A = {lettere della parolapiano} e B = {lettere della parola cane}.Trova A ∪ B e A ∩ B.

Considera gli insiemi A = {numeri interi minori ouguali a 4} e B = {numeri pari compresi tra 1 e 10}.Trova A ∩ B.

Considera gli insiemi A = {tutti gli interi compre-si tra 1 e 5} e B = {tutti gli interi compresi tra 6e 10}. Trova A ∪ B e A ∩ B.

82

81

80

79

78

77

76

75

74

73

72

71

FVhFVdFVgFVcFVfFVbFVeFVa

FV

70


FV

69


FV

68

FVfFVcFVeFVbFVdFVa

FV

67

FVfFVeFVdFVcFVbFVa

FV

66

65

64


22

• 12• 8• 10

• 5• 1

• 3

A B

• 1• 8

• 7

• 10• 3

• 5

A B


Dati gli insiemi A = {1, 3, 5} e B = {2, 5}, troval’insieme A − B e verifica che (A − B) ∩ B = ∅.

Considera gli insiemi A = {2, 8, 15, 17},B = {2, 11, 13}, C = {7, 11, 20} e verifica cheA – B = (A ∪ C) − (B ∪ C).

Dati gli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {c, d, g},C = {g, b, p}, verifica che (A ∪ B) ∪ C=A ∪ (B ∪ C).

Dati A = {a, b}, B = {c, d, e}, C = {c, e}, verificache (A ∪ B) – C = A ∪ (B – C).

Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5},B = {1, 4, 5}, C = {6, 7, 8}.Verifica che A − B = (A ∪ C) − (B ∪ C).

Considera gli insiemi A = {anfibi} e B = {rettili}.Trova A ∪ B e A ∩ B.

Dati gli insiemi A = {abitanti di Padova} eB = {abitanti del Veneto}, trova A ∪ B e A ∩ B.

Dati gli insiemi A = {abitanti di Parigi} eB = {americani}, trova A ∪ B e A ∩ B.

Dati gli insiemi A = {x ∈ N⏐è pari 3 < x ≤ 5},B = {x ∈ N⏐x2 < 16}, C = {x ∈ N⏐2 < x ≤ 4},D = {x ∈ Z⏐x2 = –36}:

stabilisci se alcuni di essi sono sottoinsiemidi altri;determina gli insiemi(B ∩ C) ∪ A e (C ∪ B) ∪ (A ∩ D);

[{3, 4}; {1, 2, 3, 4}]costruisci l’insieme delle parti di C.

[PC = {∅∅, {3}, {4}, {3, 4}}]

A è l’insieme delle lettere della parola program-ma, B è l’insieme delle lettere della parola valan-ga. Trova l’intersezione di questi due insiemi.

A è un insieme di cioccolatini e B è un insiemedi caramelle. Qual è l’insieme intersezione?

Se A è un insieme e B un suo sottoinsieme pro-prio, qual è l’intersezione di A con B? [B]

Qual è l’intersezione di un insieme A con se stes-so? E qual è l’intersezione di un insieme con l’in-sieme vuoto? [A ; ∅∅]

A è l’insieme delle lettere della parola scrivere eB è l’insieme delle lettere della parola piovere.Trova l’unione di questi due insiemi.

L’insieme A è formato dai mesi dell’anno il cuinome contiene la consonante r e l’insieme B èformato dai mesi dell’anno il cui nome contienela vocale o. Trova l’unione e l’intersezione dei dueinsiemi.

L’insieme A è formato dalle vocali della parolaaiuola e l’insieme B è formato dalle consonantidella parola gioia. Verifica cheA ∪ B = A e A ∩ B = B.

L’insieme A è formato dalle lettere della parolaterra, l’insieme B è formato dalle lettere dellaparola madre e l’insieme C dalle vocali della paro-la giocare. Determina i seguenti insiemi.A ∩ (B ∪ C) (A ∩ C) ∪ B(A ∪ B) ∩ B A ∪ (A ∩ A)(A ∩ C) ∪ (B ∩ A) (A ∪ B) ∩ (C ∩ A)

Dati gli insiemi A = {p, r, a, v, w}, B = {q, a, w, t},C = {a, q, z}, verifica che risulta(A ∪ B) ∪ C = (A ∪ (B ∪ C).

Dati gli insiemi A = {1, 2, 5, 8}, B = {2, 3, 5},C = {1, 5, 11}, determina (A ∪ B) ∩ C e (A ∩ B) ∪ C.

Vero o falso ?

L’intersezione di due insiemi è un insieme.Quando due insiemi non hanno elemen-ti in comune, non ha senso parlare dellaloro intersezione.A = B ⇒ A ∩ B = ∅B = ∅ ⇒ A ∩ B = ∅A ∩ B = ∅ ⇒ A e B disgiuntiA ∩ B = A ⇒ B ⊆ AA ∩ B è sottoinsieme di AA ∩ B è sottoinsieme di BA ∪ B = A ⇒ A ∩ B = BA ∩ B = ∅ ⇒ A ∪ B = ∅A = ∅ ⇒ A ∪ A = ∅A ∪ B ⊆ AA ∪ B ⊆ BA = B ⇒ A − B = AA ⊂ B ⇒ B − A = ∅A ⊂ B ⇒ A − B = ∅A = ∅ ⇒ A − B = AA ∩ B = ∅ ⇒ A − B = B − AFVt

FVsFVrFVqFVpFVoFVnFVmFVlFViFVhFVgFVfFVeFVdFVc

FVbFVa

FV102

101

100

99

98

97

96

95

94

93

92

c

b

a

91

90

89

88

87

86

85

84

83


23


Scrivi la rappresentazione per caratteristica dell’in-tersezione tra l’insieme delle vocali della parola vil-laggio e l’insieme delle vocali della parola limone.

Rappresenta, mediante i diagrammi di Eulero-Venn, gli insiemi:A delle lettere della parola albore;B delle lettere della parola bionda;C delle consonanti della parola nuoto;D delle vocali della parola volare.Poi scrivi per elencazione i seguenti insiemi:A ∩ BA ∩ CA ∩ DA ∩ B ∩ C

Sono dati gli insiemi:A delle vocali dell’alfabeto;B delle vocali della parola meridiano;C delle vocali della parola mito;D delle vocali della parola ruota.

Scrivi la rappresentazione tabulare degli insiemi:A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C, (A ∩ C) ∩ D, A ∩ (B ∩ C).

Trova A ∩ B dopo aver rappresentato gli insiemiA e B con un diagramma di Eulero-Venn.

A = {a, b, c}B = {c, d, f}

A = {multipli di 2 compresi tra 1 e 19}B = {multipli di 3 compresi tra 5 e 10}

A = {n, m, p, q}B = {m, r, s, t}

A = {divisori di 8}B = {divisori di 6}

A = {numeri naturali minori o uguali a 5}B = {numeri naturali compresi tra 3 e 12}

A = {lettere della parola anonimo}B = {lettere della parola monito}

A = {5, 6, 7, 8, 9}B = {3, 4, 5, 6, 7}

Sono dati i tre insiemi:A = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 19}B = {9, 10, 13, 14, 16, 17}C = {10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Determina la rappresentazione tabulare degliinsiemi (A ∩ B) ∩ (B ∩ C) e [(B ∩ C) ∩ B] ∩ A.

Trova A ∪ B dopo aver rappresentato gli insiemiA e B con un diagramma di Eulero Venn.

A = {7, 14, 21, 28}B = {multipli di 3 inferiori a 10}

A = {multipli di 2 inferiori a 19}B = {multipli di 4 inferiori a 20}

Considera la retta r e i punti A, M, B, N.

Determina gli insiemi:AM ∪ MB r ∪ AB AM ∩ BNr ∩ MB MB ∩ AN AB ∪ MN

Sono dati i seguenti insiemi:M = {do, re, mi, fa, sol, la, si}R = {re, fa, sol, la, si}D = {do, mi, sol}L = {la}

Scrivi la rappresentazione tabulare degli insiemi:R ∩ L (D ∪ R) ∩ MR ∩ D (D ∩ L) ∪ R(M ∪ D) ∩ (D ∪ R) L ∪ (D ∩ R)(M ∩ L) ∪ R R ∩ (D ∩ R)M ∩ (D ∩ L)

Esamina il seguente diagramma e indica se leaffermazioni sono vere o false .

B ⊂ A A ∩ B = A6 ∈ A {1, 3} ⊂ A ∪ B{1, 2, 3} ⊂ B

Considera i seguenti insiemi e verifica quali affer-mazioni sono vere e quali false .

A = {numeri naturali minori di 10}B = {numeri naturali maggiori di 5}

3 ∈ A5 ∉ B6 ∈ A ∩ B7,5 ∈ AA ∩ B = ∅{3, 4, 5, 6} ⊂ A{10, 11, 12, 13} ⊃ BFVg

FVfFVeFVdFVcFVbFVa

FV

112

FVFVFVFVFV

FV

111

110

A M B N

r

109

b

a

108

107

g

f

e

d

c

b

a

106

105

104

103


24

• 1

• 2

• 3

• 6• 7

• 8

BA


Dato l’insieme M = {1, 9, 11, 29, 50}, determinail sottoinsieme N formato dai numeri di M mino-ri di 15 e il sottoinsieme P dei numeri di M mag-giori di 15. Disegna la rappresentazione graficadei sottoinsiemi: gli insiemi N e P esaurisconol’insieme M? Perché? [sì…]

Sia H l’insieme degli animali che vivono nell’ac-qua e K l’insieme dei mammiferi: esistono ele-menti che appartengono all’insieme V = H ∩ K?Conosci il nome di qualche animale appartenenteall’insieme V?

Da quali elementi è formato l’insieme Z = M ∩ N doveM è l’insieme dei numeri dispari e N = {2, 6, 8}?Come sono tra loro gli insiemi M ed N?Rappresentali graficamente.

Siano P l’insieme dei numeri pari e D l’insieme deinumeri dispari: quali sono gli elementi che for-mano l’insieme N = P ∪ D? E quelli dell’insiemeZ = P ∩ D?

Sia A l’insieme dei vini italiani, B quello dei viniprodotti sul lago di Garda e C quello dei vini pro-dotti in Sicilia. Scrivi la relazione tra A e B e traA e C e fanne la rappresentazione grafica. Gliinsiemi B e C esauriscono l’insieme A? Perché?

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 5}, trovada quali elementi è formato l’insieme C = A ∪ B edai la rappresentazione grafica degli insiemi.

[C = {1, 2, 3, 4, 5}]

Sia A l’insieme degli abitanti maschi di un certopaese e B l’insieme degli abitanti femmine dellostesso paese. Da quali elementi è formato l’insie-me C = A ∪ B?

Sono dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 4}.Determina gli elementi di:C = A − B, D = A ∩ B ∩ C, E = (A ∪ B) ∩ (B ∩ C).

Dato l’insieme A = {a, b, c, d}, distingui i sot-toinsiemi propri da quelli impropri e trova l’insie-me delle parti PA.

Trova un insieme equipotente ad A = {a, b, c}.

Gli insiemi A = {i colori del semaforo} eB = {x⎥ x è una lettera della parola tre} sonoequipotenti? A e B sono in corrispondenza uni-voca o biunivoca? [sì; biunivoca]

Gli insiemi A = {2, 4, 6, 8} e B = {10, 20, 30, 40}sono equipotenti? Prova a disegnare il diagram-ma sagittale di una corrispondenza biunivoca tradi essi. [sì]

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5}e C = {6, 7, 8}, verifica che risultaA – B = (A ∪ C) – (B ∪ C).

Dati gli insiemi E = {3, 4, 5}, A = {3, 4} e B = {4, 5},verifica che risulta:E – (A ∩ B) = (E – A) ∪ (E – B)E – (A ∪ B) = (E – A) ∩ (E – B)

Dati gli insiemi A = {2, 8, 15, 17}, B = {2, 11} eC = {7, 11, 20}, verifica che risulta:A – B = (A ∪ C) – (B ∪ C)

Dati gli insiemi A = {p, q, r, s}, B = {u, v, w},C = {e, f, g, h}, A1 = {p, r}, B1 = {u},C1 = {f, g, h}, verifica che risulta:(A ∪ B ∪ C) – (A1 ∪ B1 ∪ C1) == (A – A1) ∪ (B – B1) ∪ (C – C1)

Determina l’insieme differenza tra A e B e speci-fica quando si tratta di complementare.

A = lettera dell’alfabeto inglese}B = {x⏐x è una lettera dell’alfabeto italiano}

A = {x⏐x è una materia di prima liceopsicopedagogico}

B = {x⏐x è una materia di seconda liceopsicopedagogico}

A = {x⏐x è un punto del cerchio di centro O e raggio di 3 cm}

B = {x⏐x è un punto del cerchio di centro O e raggio di 2 cm}

A = {x⏐x è un triangolo equilatero}B = {x⏐x è un triangolo rettangolo}

A = {x⏐x è un punto della retta r}B = {x⏐x è un punto del segmento MN che

giace sulla retta r}

A = {x⏐x è un articolo maschile}B = {x⏐x è un articolo}

Dati gli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {a, b, d} eC = {b, c}, verifica che risulta:CA(B ∩ C) = CAB ∪ CACCA(B ∪ C) = CAB ∩ CAC

130

f

e

d

c

b

a

129

128

127

126

125

124

123

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121

120

119

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117

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115

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113


25



2626

Dati i due insiemi A = {x⏐x è una lettera dell’al-fabeto} e B = {x⏐x è una vocale}, determina CAB,A ∩ CAB e B ∩ CAB.

Dati i due insiemi A = {x⏐x è una lettera dell’alfa-beto} e B = {x⏐x è una vocale}, determina A ∪ CABe B ∪ CAB.

Rappresenta in tutti i modi possibili l’insiemeA × B nei seguenti casi:

A = {a, b, c} B = {r, s}A = {m, n} B = {e}A = {x, y, z, t} B = ∅

Individua A e B sapendo cheA × B = {(r, n), (r, e), (r, r), (r, o), (i, n), (i, e),(i, r), (i, o), (o, n), (o, e), (o, r), (o, o)}.

Anna, Paola, Carla, Laura e Teresa hanno organiz-zato tra loro un torneo di tennis. Ciascuna dovràgiocare con tutte le altre. Prepara un quadro dellepartite. L’insieme delle coppie ottenute coincidecon A × A oppure è un suo sottoinsieme proprio?Qual è il suo complementare rispetto A × A?

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} deter-mina l’insieme prodotto A × B e danne poi la rap-presentazione cartesiana.

Dato l’insieme A = {1, 2, 3} determina la rappre-sentazione cartesiana dell’insieme prodotto A × A.

Sia A × B = {(m, a), (m, b), (n, a), (n, b)}; scrivigli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B.

Dato A = {2, 3, 6}, rappresenta l’insieme A × A e,successivamente, il sottoinsieme di A × A forma-to dalle coppie (x, y) che soddisfano la relazionexR y ⇔ x è divisore di y.

È dato l’insieme A × B = {(1, a), (1, b), (1, c)}.Determina A e B. [A = {1}; B = {a, b, c}]

Le squadre della Lazio e dell’Inter (che formano uninsieme A) devono incontrare, ciascuna nel pro-prio campo, le squadre della Juventus, del Milan edella Roma (che formano un altro insieme B).Compila il calendario delle partite. I due prodottiA × B e B × A hanno lo stesso significato?

[No, perché…]

In un torneo di tennis i giocatori a e b, che costi-tuiscono l’insieme A, devono incontrare singolar-mente i giocatori c, d, e (insieme B). In qualemodo i giocatori di A possono essere accoppiaticon i giocatori di B? I due prodotti A × B e B × Ahanno lo stesso significato? [Sì]

Dati i due insiemi A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5},rappresenta il prodotto A × B e scrivi l’insiemedelle coppie (x, y) che soddisfano la relazionexR y ⇔ x è minore di y. Come si chiama questoinsieme? Si tratta di un sottoinsieme di A × B?

In un gruppo di 38 stranieri, 18 sono inglesi e 20tedeschi. Di questi, 10 conoscono l’inglese.Quanti tra questi turisti non conoscono né l’in-glese, né il tedesco? [0]

Sia dato l’insieme A = {2, 10, 15, 16, 18, 20}.Quale è il complementare del sottoinsieme M di Acontenente i multipli di 3?

[CAM = {2, 10, 16, 20}]

In un palazzo di 30 famiglie, 20 trascorrono levacanze al mare, 5 in montagna e 10 al lago. Diqueste ultime 3 vanno anche al mare e 2 sia almare che in montagna. Quante famiglie restano acasa? [2]

In un gruppo di ragazzi, 15 praticano atleticaleggera, 12 praticano il tennis e 5 entrambi glisport. Quanti sono i ragazzi del gruppo? Quantipraticano solo atletica? Quanti solo tennis?

[22; 10; 7]

Su una pista da sci ci sono 30 persone. Di queste14 hanno il cappello, 13 gli occhiali e 3 sia ilcappello che gli occhiali. Ci sono persone chenon hanno né il cappello né gli occhiali?Se sì, quanti? [sì; 6]

Tutti gli alunni della 3ª D portano una merendaper l’intervallo. Sapendo che 15 di loro mange-ranno un panino, 12 berranno un tè e 4 mange-ranno un panino e berranno un tè, calcola ilnumero degli alunni della 3ª D. [23]

149

148

147

146

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142

141

140

139

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136

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134

c

b

a

133

132

131


VERIFICA1LEZIONE

27

risultati a pag. 174

Indica quali tra i seguenti gruppi possono defi-nirsi insiemi.

I fiori belli di un giardino.I libri di avventura di una biblioteca.Gli animali di una fattoria.I film di Totò.I cani belli di una esposizione canina.

Un insieme è finito se:è formato da pochi elementi.è formato da un certo numero di elementi.è formato da un numero non limitato di elementi.

Due insiemi sono equipotenti se:sono in corrispondenza univoca.sono in corrispondenza biunivoca.esiste tra di essi una relazione.

Rappresenta per elencazione le dita della mano.

Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l’in-sieme A = {a⏐a è un numero minore o uguale a 8}.

Considera gli insiemi:A = {lettere della parola gatto}B = {lettere della parola cane}Scrivi la loro rappresentazione per elencazione.Determina poi gli insiemiA ∩ B, A ∪ B e A – B.

Considera gli insiemi:A = {x ∈ N⏐x ≤ 5}B = {x ∈ N⏐3 < x ≤ 12}Scrivi la loro rappresentazione per elencazione. Determina poi gli insiemiA ∩ B, A ∪ B, (A ∩ B) – B.

Completa con i simboli ∈ o ∉.

1 A1 A ∩ B1 B2 A2 A ∩ B2 A ∪ B3 A3 A – B3 B4 A4 A ∩ B4 B

Dato l’insieme A = {0, 1, 2}, scrivi la rappresen-tazione tabulare dell’insieme delle parti PA.

Dato l’insieme A = {consonanti della parola paral-lelepipedo} scrivi la rappresentazione tabulare diA e dell’insieme delle parti PA.

Completa con i simboli ⊂ o ⊆ .

A = {a, b} A = {3, 6, 9}B = {c, a, b} B = {6, 9, 3}A B A B

Sono dati gli insiemi A = {casa, penna, gomma}e B = {Gianni, Cesare, Paolo, Carla} e la corri-spondenza “…inizia con la stessa lettera di…”.Stabilisci il tipo di corrispondenza e disegnane larappresentazione sagittale.

12

ba

11

10

9

n

m

l

i

h

g

f

e

d

c

b

a

8

7

6

5

4

ABILITÀ

c

b

a

3

c

b

a

2

e

d

c

b

a

1

CONOSCENZE

• 4

• 1 • 3• 2

A B


RECUPERO

Considera i seguenti insiemi.

A = {i colori dell'arcobaleno}B = {i numeri pari}C = {i tuoi compagni di classe}

Quali sono finiti e quali infiniti?

L'insieme A = {1, 2, 3, 7} è rappresentato:

per elencazione.per caratteristica.graficamente.

Osserva la figura e completa con i simboli ade-guati.

4 B

6 B

2 B

10 B

Osserva gli insiemi X e Y e completa.

X = {…………………………}

Y = {…………………………}

Considera i seguenti insiemi.

A = {vocali della parola televisore}B = {vocali della parola riso}

Determina gli insiemi:

A ∪ B = {………………………}A ∩ B = {………………………}

Osserva gli insiemi A e B e completa.

A = {……………}

B = {……………}

A ∪ B = {……………}

A ∩ B = {……………}

Considera i seguenti insiemi:

A = {i primi tre numeri interi naturali pari}B = {x ∈ N⏐1 ≤ x ≤ 7}C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Determina:

A ∪ BA ∩ B(A ∩ C) ∪ B(A ∩ B) ∩ CA – BB – Af

e

d

c

b

a

7

d

c

b

a

6

b

a

5

4

d

c

b

a

3

c

b

a

2

1

1LEZIONE

28


• 4• 2

• 6

B

• 10

• 2• 1

• 3 • 4

X

• 7

• 8

Y

• 1• 7

• 9 • 5

B

A

• 4• 3


• Sapere operare in N, Z, Q• Sapere operare con gli insiemi


• Operazioni binarie• Strutture• Gruppi

• Saper operare con le strutture• Riconoscere le proprietà di una struttura• Riconoscere un gruppo

Le operazioni binarie e le strutture algebriche2LEZIONE

29

PROPRIETÀ

1 Le operazioni binarie

Le quattro operazioni aritmetiche sono operazioni o leggi di composizione binarie,poiché a una coppia ordinata di numeri corrisponde un terzo numero che si chiamarisultato dell’operazione.Il risultato può esistere o non esistere: ciò dipende dall’insieme in cui si opera.Nell’insieme N le operazioni di addizione e moltiplicazione sono sempre possibili,perché se si addizionano tra loro due numeri naturali si ottiene sempre un numeronaturale e se si moltiplicano due numeri naturali si ottiene ancora un numero natu-rale; per la sottrazione e la divisione, invece, non sempre il risultato ottenuto è unnumero naturale.

L’insieme N è chiuso rispetto ad addizione e moltiplicazione, che sono operazioni inesso interne.

Nella matematica classica la parola operazione di solito è riferita solo alle quattrooperazioni aritmetiche, quindi si usa la locuzione legge di composizione, più gene-rica, che indica qualunque tipo di operazione binaria.Per le leggi di composizione diverse da addizione, sottrazione, moltiplicazione edivisione in generale non vi sono simboli particolari, ma è uso servirsi di simboliquali ∗, Δ, ⊥. Questi simboli possono assumere significato diverso a seconda delloro utilizzo.



30

Ad esempio, nella legge di composizione a ∗ b = 3a + 2b, il simbolo ∗ indica l’opera-zione che fa corrispondere alla coppia ordinata di elementi (a, b) la somma del triplodel primo elemento con il doppio del secondo. In generale, possiamo dire che:

Si dice operazione binaria o legge di composizione in un insieme dato qua-lunque legge che fa corrispondere a una coppia ordinata di elementi dell’insiemeun terzo elemento, non necessariamente dell’insieme stesso, chiamato risultatodell’operazione.

Le operazioni binarie o, meglio, le leggi di composizione, si rappresentano grafica-mente con una tabella a doppia entrata.

∗ a ba a bb b a

Dalla tabella si può ricavare l’insieme su cui si sta lavorando, cioè A = {a, b}.Si può affermare che l’operazione binaria ∗ dà come risultati sempre elementi che appartengonoall’insieme A, quindi l’insieme A è chiuso rispetto alla legge di composizione ∗.Dalla tabella si possono ricavare le coppie ordinate su cui si opera e i relativi risultati:

a ∗ a = aa ∗ b = bb ∗ a = bb ∗ b = a

2 Le strutture

La parola struttura deriva dal verbo latino che significa costruire, e come in ognicostruzione bisogna disporre di opportune regole o istruzioni di montaggio.

Si dice che un insieme I è dotato di una struttura se in esso è definito un legamedi qualche tipo tra i suoi elementi.

■ Legge di composizione interna

Come abbiamo anticipato, la moltiplicazione o l’addizione nell’insieme dei numerinaturali sono due leggi di composizione; inoltre, operando in N, il prodotto o lasomma di due numeri naturali dà sempre un numero naturale: si resta, cioè, nel-l’insieme considerato.Le leggi di composizione che godono di questa proprietà sono particolarmenteimportanti in matematica.

Dato un insieme I e una legge di composizione ∗, si dice che ∗ è una legge di com-posizione interna quando a ciascuna coppia di elementi di I associa un terzo ele-mento che appartiene anch’esso ad I e si dice che I è chiuso rispetto alla legge dicomposizione ∗.

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

ESEMPIO



31

Per indicare che su I è definita una legge di composizione interna ∗ si scrive:e si legge: “qualunque siano gli elementi a, b dell’in-

sieme I, a composto b è uguale a c, con c appartenente ad I”. L’insieme I è chiusorispetto a ∗.

Se in un insieme I è definita una legge di composizione interna ∗, si dice che l’in-sieme I è dotato di struttura algebrica e si scrive (I, ∗).

• Nell’insieme dei numeri naturali la legge a ∗ b = a + 2b è legge di composizione interna?

Dobbiamo verificare se ∀a, b ∈ N, a ∗ b = a + 2b = c ∈ N.La legge a ∗ b = a + 2b significa che ad ogni coppia di numeri naturali si deve associare la sommadel primo numero e il doppio del secondo, quindi sicuramente c ∈ N e a ∗ b è legge di compo-sizione interna.

• Nell’insieme A = {1, 2, 3}, la moltiplicazione è una legge di composizione interna?E nell’insieme B = {–1, 0, +1}?

Consideriamo l’insieme A = {1, 2, 3} e verifichiamo se ∀a, b ∈ A, a · b = c ∈ A.Se si moltiplicano due valori di A non sempre si ottiene un elemento di A: infatti 2 · 3 = 6 ∉ A.Quindi la moltiplicazione non è legge di composizione interna per l’insieme A.

Consideriamo l’insieme B = {–1, 0, +1}: dobbiamo verificare se ∀a, b ∈ B, a · b = c ∈ B.Se moltiplichiamo due elementi di B otteniamo sempre un elemento di B, quindi la moltiplica-zione in questo caso è legge di composizione interna.

■ Rappresentazione di una legge di composizione

Una legge di composizione interna si può rappresentare con una tabella a doppiaentrata; consideriamo l’esempio precedente e compiliamo la relativa tabella.

A = {1, 2, 3} con a ∗ b = a · b

Si vede subito che ∗ non è una legge di composizioneinterna perché in tabella compaiono anche elementi diver-si da quelli della prima riga e della prima colonna che sonogli elementi dell’insieme A.

B = {–1, 0, +1} con a ∗ b = a · b

In questo caso ∗ è una legge di composizione interna per-ché tutti gli elementi della tabella sono elementi dell’in-sieme B.

∗ –1 0 +1–1 1 0 –10 0 0 01 –1 0 1

∗ 1 2 31 1 2 32 2 4 63 3 6 9

∀a, b ∈ I a ∗ b = c ∈ I

DEFINIZIONE

ESEMPI



32

STOPANDGO

Sono dati i seguenti insiemi: A = {numeri pari}, B = {numeri dispari}, Z = {interi relativi}, R = {numeri reali}.Verifica se la somma è legge di composizione interna per A, B, Z, R. [sì; no; sì; sì]Verifica se la moltiplicazione è legge di composizione interna per A, B, Z, R. [sì; sì; sì; sì]Verifica se la divisione è legge di composizione interna per A, B, Z, R. [no; no; no; no]

Osserva le seguenti tabelle di composizione e stabilisci quali rappresentano leggi di composizione interna.

∗ a b ⊥ x y z Δ 0 1 3a a a x x 0 y 0 0 3 3b a b y x x y 1 1 0 1

z x 0 x 3 0 0 0 [∗∗; ΔΔ]

Nell’insieme dei naturali N è data la legge di composizione a Δ b = a · b + 1. Stabilisci se la legge data èdi composizione interna. [sì]

Nell’insieme A = {–2, –1, 0, 1, 2} è definita la legge a ∗ b = 2a + b. Rappresentala con una tabella a dop-pia entrata e stabilisci se è una legge di composizione interna. [no]

3 Proprietà delle leggi di composizione

Le leggi di composizione interna possono godere di alcune proprietà.

■ Proprietà commutativa

Nella struttura algebrica (I, ∗) la legge di composizione interna ∗ è commutativase per ogni a, b ∈ I si ha .

Per accertarsi velocemente se una struttura algebrica gode della proprietà commu-tativa, basta verificare in tabella che gli elementi simmetrici rispetto alla diagona-le principale siano uguali.

• Le strutture (N, +) e (N, ·) godono della proprietà commutativa poiché le operazioni di addizionee moltiplicazione sono commutative.

• Consideriamo l’insieme A = {–1, 0, +1} e la legge di composizione a ∗ b = a · b: la struttura (A, ∗)gode della proprietà commutativa?

Compiliamo la tabella di composizione:

∗ –1 0 +1–1 +1 0 –10 0 0 0

+1 –1 0 +1

Osservando la tabella, notiamo che tutti gli elementi appartengono all’insieme dato A, quindi ∗ èuna legge di composizione interna. Tracciamo la diagonale principale della tabella:

a ∗ b = b ∗ a

4

3

2

c

b

a

1

DEFINIZIONE

ESEMPI



33

∗ –1 0 +1–1 +1 0 –10 0 0 0

+1 –1 0 +1

possiamo osservare che gli elementi disposti in posizione simmetrica rispetto alla diagonale prin-cipale sono uguali, quindi (A, ∗) è una struttura che gode della proprietà commutativa.

■ Proprietà associativa

Nella struttura algebrica (I, ∗) la legge di composizione interna ∗ è associativase per ogni a, b, c ∈ I, si ha .

Per accertarsi che una legge di composizione è associativa, è necessario verificare laproprietà per ogni terna di elementi (procedimento piuttosto elaborato, se il nume-ro degli elementi dell’insieme è elevato).

Le strutture (Z, +) e (Q, ·) godono della proprietà associativa, poiché essa vale per addizione emoltiplicazione.

■ Elemento neutro

Nella struttura algebrica (I, ∗) si dice che l’elemento u dell’insieme I è elementoneutro se per ogni a ∈ I si ha .

L’elemento neutro, se esiste, è unico.Per trovare l’elemento neutro di una struttura algebrica basta compilare la tabella dicomposizione e cercare, se esistono, la riga e la colonna che sono ordinatamente ugua-li alla linea e alla colonna principali; dove si incrociano si trova l’elemento neutro.

• Le strutture (Z, +), (N, +) hanno come elemento neutro 0.

• Le strutture (Z, ·), (N, ·), (Q, ·) hanno per elemento neutro 1.

• La legge di composizione ∗ sull’insieme A = {–1, –2, –3} è definita dalla seguente tabella:

∗ –1 –2 –3–1 –3 –1 –2–2 –1 –2 –3–3 –2 –3 –1

(A, ∗) ha un elemento neutro?

Cerchiamo la linea –1, –2, –3 e la colonna –1, –2, –3: esse si incrociano nell’elemento –2, che è l’e-lemento neutro della struttura (A, ∗).

a ∗ u = u ∗ a = a

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

ESEMPIO

ESEMPI



34

■ Elemento simmetrico

Se una struttura algebrica (I, ∗) ammette l’elemento neutro u, si dice che due ele-menti qualsiasi a e a' appartenenti entrambi all’insieme I sono simmetrici se

. Si dice che (I, ∗) gode della proprietà dell’elemento sim-metrico se ogni a ∈ I ammette il suo simmetrico.

Se la legge di composizione è associativa, il simmetrico, se esiste, è unico e ognielemento dotato di simmetrico si dice simmetrizzabile.

Osservando la tabella di composizione si vede se un elemento ammette un simme-trico controllando se, nella riga e nella colonna dell’elemento considerato, compa-re l’elemento neutro u nella stessa posizione.

Data la legge di composizione ∗ definita dalla tabella seguente, troviamo gli elementi simmetrizzabili.

∗ a b c da a b c db b c d ac c d a dd d a b c

Si vede subito che la legge di composizione è interna, poiché in tabella compaiono solo gli elementia, b, c, d. Inoltre, essa è commutativa.L’elemento neutro è a; la prima riga e la prima colonna (rispettivamente uguali alla riga e colonnaprincipali) si incontrano, infatti, in a.Ogni riga e ogni colonna contengono una sola volta l’elemento neutro a (nella stessa posizione), quin-di ogni elemento ammette simmetrico, infatti si ha:

a ∗ a = a b ∗ d = d ∗ b = a c ∗ c = a

Allora gli elementi a, b, c, d hanno per simmetrici gli elementi a, d, c, b.

In generale, per studiare una legge di composizione ∗ data su un insieme I ènecessario:

verificare se ∗ è legge di composizione interna;verificare se ∗ è commutativa;verificare se ∗ è associativa;verificare se esiste l’elemento neutro u;verificare se ci sono elementi simmetrizzabili.

Studiamo la legge di composizione nell’insieme A = {a, b, c} così definita:

∗ a b ca c a ab c c bc a b c

e

d

c

b

a

a ∗ a' = a' ∗ a = u

DEFINIZIONE

ESEMPIO

ESEMPIO



35

∗ è una legge di composizione interna, perché in tabella ci sono solo gli elementi di A.

La legge non è commutativa, perché gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale nonsono tutti uguali (a ∗ b = a ≠ c = b ∗ a).

Verifichiamo se la legge è associativa.Proviamo con la terna a, b, c:

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ c = aallora (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b = a

Proviamo con la terna a, a, b:

(a ∗ a) ∗ b = c ∗ b = ballora (a ∗ a) ∗ b ≠ a ∗ (a ∗ b), quindi ∗ non è associativa.

a ∗ (a ∗ b) = a ∗ a = c

Verifichiamo se esiste l’elemento neutro u. Osservando la tabella si vede che la riga a, b, c e lacolonna a, b, c si incontrano nell’elemento c, che è perciò l’elemento neutro.

Verifichiamo se ogni elemento di A è simmetrizzabile.Dalla tabella ricaviamo:

a ∗ a = c a è simmetrico di a;b ∗ a = c ma a ∗ b = a quindi b non è simmetrizzabile;c ∗ c = c c è il simmetrico di c.

STOPANDGO

e

d

c

b

a

Nell’insieme A = {a, b, c, d} è definita la leggedi composizione Δ data nella tabella seguente;studia la struttura (A, Δ).

Δ a b c da a b c db b d a cc c a d b [interna; né commutativa néd a c b a associativa; no elemento neutro]

Studia l’operazione ⊗ definita in tabella:

⊗ 1 2 3 41 1 2 3 4 [interna, commutativa e2 2 3 4 1 associativa; u = 1; 3 3 4 1 2 tutti gli elementi4 4 1 2 3 sono simmetrizzabili]

Studia le strutture ∗, �, le cui leggi di compo-sizione sono date dalle seguenti tabelle:

∗ 1 2 31 2 3 12 1 2 43 3 5 6

[∗ non è legge di composizione interna]

� 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 2

[interna; commutativa; associativa; u = 1]

3

2

1



36

4 Strutture algebriche particolari

Vediamo ora di classificare e studiare alcune strutture algebriche.

Se in una struttura algebrica (I, ∗) la legge di composizione interna ∗ è associativa,allora (I, ∗) si chiama semigruppo. Se ha anche l’elemento neutro è un monoide.

Se la legge di composizione interna ∗ è anche commutativa, il semigruppo (monoi-de) si dice commutativo o abeliano.

• L’addizione e la moltiplicazione sono leggi di composizione interna associativa sull’insieme N; essehanno 0 e 1 come elementi neutri.

• Le strutture (N, +) e (N, ·) sono monoidi abeliani, perché per entrambe vale la proprietà commu-tativa.

• La moltiplicazione è una legge di composizione interna sull’insieme Q dei razionali, è associativa ecommutativa, e 1 è l’elemento neutro, quindi (Q, ·) è un monoide abeliano.

Una struttura (I, ∗) si dice gruppo se sono verificate le seguenti condizioni:I è dotato della legge di composizione interna ∗;∗ è associativa;esiste l’elemento neutro;ogni elemento di I è simmetrizzabile.

Se la legge di composizione interna ∗ è anche commutativa, il gruppo è commuta-tivo o abeliano.

• La struttura (Z, +) è un gruppo, perché su Z l’addizione è una legge di composizione interna asso-ciativa, in cui l’elemento neutro è lo 0 e in cui ogni elemento è simmetrizzabile (i numeri interiopposti sono tra loro simmetrici).

• Consideriamo la moltiplicazione e l’insieme dei numeri razionali positivi privati dello zero Q+, cioèla struttura (Q+, ·):

- la moltiplicazione è una legge di composizione interna;- la legge è associativa;- esiste l’elemento neutro (1) poiché qualunque numero razionale positivo moltiplicato per 1 dàcome risultato il numero razionale stesso;

- ogni numero razionale ammette un simmetrico (in questo caso è l’inverso), quindi (Q+, ·) è ungruppo.

• Consideriamo l’insieme A = {e, a, b, c} e la legge di composizione ⊗ definita in tabella:

⊗ e a b ce e a b ca a e c bb b c a ec c b e a

d

c

b

a

ESEMPI

ESEMPI

DEFINIZIONI

DEFINIZIONE



37

- ⊗ è una legge di composizione interna, perché in tabella compaiono solo elementi dell’insieme A.

- Verifichiamo se ⊗ è una legge associativa, cioè se per ogni x, y, z ∈ A si ha(x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z).

Proviamo con la terna e, a, b:(e ⊗ a) ⊗ b = e ⊗ (a ⊗ b)a ⊗ b = e ⊗ cc = c

Proviamo con la terna c, e, b:(c ⊗ e) ⊗ b = c ⊗ (e ⊗ b)c ⊗ b = c ⊗ be = e

Proviamo con la terna a, b, c:(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)c ⊗ c = a ⊗ ea = aProcedendo in questo modo si verifica che la legge è associativa.

- Verifichiamo se esiste l’elemento neutro: in tabella la riga e, a, b, c e la colonna e, a, b, c (rispet-tivamente uguali alla riga e alla colonna principali) si intersecano nell’elemento e che è l’elemen-to neutro cercato.

- Verifichiamo se ogni elemento è simmetrizzabile: in tabella osserviamo che l’elemento neutro ecompare una sola volta in ogni riga e colonna, quindi ogni elemento è simmetrizzabile:

e ⊗ e = e e è il simmetrico di ea ⊗ a = e a è il simmetrico di ab ⊗ c = e c è simmetrico di bc ⊗ b = e b è il simmetrico di c

Se tracciamo la diagonale principale, osserviamo che gli elementi disposti in posizione simmetri-ca sono uguali, quindi la legge è commutativa.

La struttura (A, ⊗) è perciò un gruppo abeliano.

• Consideriamo l’insieme A = {a, b, c} e la legge ⊥, definita dalla seguente tabella:

⊥ a b ca a b cb b b cc c c c

- ⊥ è una legge di composizione interna.- Verifichiamo se ⊥ è associativa.

Proviamo con la terna a, a, b: (a ⊥ a) ⊥ b = a ⊥ (a ⊥ b)a ⊥ b = a ⊥ bb = b

Proviamo con la terna b, a, c: (b ⊥ a) ⊥ c = b ⊥ (a ⊥ c)b ⊥ c = b ⊥ cc = c



38

Proviamo con la terna c, a, b: (c ⊥ a) ⊥ b = c ⊥ (a ⊥ b)c ⊥ b = c ⊥ bc = c e così via: la legge è associativa.

- Verifichiamo l’esistenza dell’elemento neutro. Dalla tabella deduciamo che a è l’elemento neutro.

- Non tutti gli elementi sono simmetrizzabili, infatti solo a ⊥ a = a. In tabella si può vedere comel’elemento neutro compaia solo nella prima riga e nella prima colonna, cioè quelle corrisponden-ti ad a.

- La legge di composizione ⊥ è commutativa, infatti gli elementi in posizione simmetrica rispettoalla diagonale principale sono uguali.

Si può allora concludere che la struttura (A, ⊥) è un monoide abeliano.

STOPANDGO

Verifica che la struttura (N, +) non è un gruppo.

Verifica che la struttura (Z, ·) non è un gruppo.

Dato l’insieme A = {a, b, c} e le leggi di composizione Δ e ∗ definite dalle tabelle seguenti, studia le strut-ture (A, Δ) e (A, ∗).

Δ a b c ∗ a b ca a b c a b c ab a b c b c a bc a b c c a b c [Δ: semigruppo; ∗: gruppo abeliano]

Verifica se la struttura (A, :) definita sull’insieme A = {–1; +1} è un gruppo. [sì]

Verifica se la struttura (A, ·) definita sull’insieme A = {–1, 0, +1} è un gruppo. [no]

Verifica se la struttura (P, ·), dove P è l’insieme dei numeri pari, è un gruppo. [no]

Verifica se le strutture (A, Δ), (A, ⊗), (A, ∗) sono gruppi sull’insieme A = {a, b, c, d} rispetto alle leggicosì definite:

Δ a b c d ⊗ a b c d ∗ a b c da a b c d a a b c d a a b c db b a d c b b c d a b b a d cc c b a d c c d a b c c d a bd d c b a d d a b c d d c b a

[Δ: non è un gruppo; ⊗ : gruppo abeliano; ∗: gruppo abeliano]

Se un insieme A, rispetto a una legge di composizione, costituisce una struttura algebrica e godedi una certa proprietà, allora questa proprietà vale per ogni altro insieme che ha la stessa strut-tura algebrica indipendentemente dalla natura degli elementi.

7

6

5

4

3

2

1

NOTA


Vero o falso ?

Alla coppia ordinata (1, 7) l’addizione facorrispondere il numero 8.(10, 2) → 12 si legge ”alla coppia ordi-nata (10, 2) corrisponde il numero 12”.L’addizione è sempre possibile per ogniinsieme considerato.L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.L’insieme N è chiuso rispetto alla divisione.L’insieme Z è chiuso rispetto alla sottra-zione.L’insieme Z non è chiuso rispetto alladivisione.La moltiplicazione non è una operazionebinaria sempre possibile.La divisione è sempre possibile in Q.La sottrazione è un’operazione binariasempre possibile in Q.La scrittura (B, ⊗) indica che nell’insiemeB è definita una legge di composizione ⊗.Nell’insieme N 0 è elemento neutro perla moltiplicazione.Nell’insieme N 1 è elemento neutro perl’addizione.In Z, N, Q 0 è sempre elemento neutroper l’addizione.

Osserva la tabella e determina quale operazione èdefinita dalla legge di composizione Δ.

Δ 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 4 63 0 3 6 9 [a ΔΔ b = a · b]

Completa la seguente tabella dove il simbolo ∗indica l’operazione che associa a ogni coppiaordinata di numeri il triplo del loro prodotto.

∗ 1 2 3245

Osserva la seguente tabella che rappresenta la leggedi composizione ∗ sull’insieme A = {a, b, c, d}:

∗ a b c da b a c cb a a d cc b a a dd c d c a

Determina il risultato delle seguenti operazioni:

a ∗ b = a ∗ c =d ∗ a = d ∗ d =d ∗ c = b ∗ a =(a ∗ c) ∗ (a ∗ a) = b ∗ (d ∗ c) =(a ∗ a) ∗ c =

Osserva la tabella definita nell’insieme A = {1, 2, 3}con la legge di composizione così definita:

∗ 1 2 31 1 2 02 1 4 23 1 3 1

L’insieme A è chiuso rispetto alla legge di com-posizione ∗?

[no]

L’operazione ∗ definita nell’insieme A = {a, b, c}è rappresentata con la seguente tabella a doppiaentrata:

∗ a b ca c a bb a b cc b c a

L’insieme A è chiuso rispetto alla operazione ∗?Esiste l’elemento neutro?

[sì; u = b]

6

5

4

3

2

FVp

FVo

FVn

FVm

FVlFVi

FVh

FVg

FVfFVeFVd

FVc

FVb

FVa

FV1


39

ESERCIZI


Completa la seguente tabella nella quale il sim-bolo ∗ associa a ogni coppia ordinata di numeriil loro prodotto aumentato di 2.

∗ 0 1 2 30 2 2 2 21 2 3 4 52 2 43 2 5 8 11

Su quale insieme è definita la legge di composi-zione ∗? La legge ∗ è interna?

[A = {0, 1, 2, 3}; no]

Osserva le seguenti tabelle di composizione e sta-bilisci se le operazioni ⊥ e ⊗ sono commutative.

⊥ a b c ⊗ • ■■ ×a b c b • • ■■ ×b c b a ■■ ■■ • ×c b a a × × • ■■

[sì; no]

Completa le seguenti tabelle in modo che le ope-razioni ∗ definite siano commutative.

∗ 1 2 3 4 ∗ • ⊥ ▲▲1 3 1 4 • • ⊥2 1 ⊥ ⊥3 2 2 1 ▲▲ • • ▲▲4 5 3 1

Nell’insieme Z dei numeri relativi la sottrazione èuna legge di composizione interna?

[sì]

Considera l’insieme I = {3x con x ∈ N}. Le opera-zioni di addizione e moltiplicazione sono leggi dicomposizione interna su I?

[sì]

Siano a e b due numeri naturali qualsiasi; consi-dera la legge a ⊗ b = (a + b) : 4. Verifica se ⊗ èuna legge di composizione interna.

[no]

Sull’insieme A = {0, 1, 2}, l’addizione è una leggedi composizione interna?

[no]

Nell’insieme N dei numeri naturali la leggea ∗ b = a + 2b è una legge di composizione interna?

[sì]

Nell’insieme A = {2, 3, 4}, la moltiplicazione èuna legge di composizione interna? E nell’insie-me B = {–2, 0, +2}?

[no; no]

La legge di composizione ∗ sull’insieme A è defi-nita dalla seguente tabella:


Trova, se esiste, l’elemento neutro.[u = b]

Studia la struttura (B, ∗) definita sull’insieme B = {4, 8, 12, 24} dove la legge ∗ è l’operazionedi mcm.[legge di composizione interna; commutativa; u = 4]

Considera l’insieme A = {T, P, I} dove T sono iTorinesi, P i Piemontesi e I gli Italiani, studia lastruttura (A, ∩) essendo ∩ l’intersezione trainsiemi.

[legge di composizione interna;commutativa, associativa; u = I]

Data la struttura ∗ con la seguente tabella di com-posizione, verifica se: è commutativa, èassociativa e se esiste l’elemento neutro.

∗ a b ca a a cb a b cc c c a

[ sì; sì; u = b]

Nell’insieme N la legge che associa a una coppiadi numeri il loro MCD è una legge di composizio-ne interna?

[sì]

È dato l’insieme A = {a, b, c} e la legge di com-posizione ∗ definita in tabella:

∗ a b ca a b cb b c ac c a b

Verifica se le seguenti uguaglianze sono vere:

(a ∗ b) ∗ c = a a ∗ (b ∗ c) = a(b ∗ c) ∗ (a ∗ c) = c a ∗ [b ∗ (c ∗ a)] = a

[tutte vere]

21

20

cba

c

ba

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7


40


Verifica che dato l’insieme B = {–1, +1} la strut-tura algebrica (B, ·) è un gruppo commutativo.

Verifica che l’insieme A = {a, b, c, d} è un grup-po rispetto alla legge Δ così definita:

Δ a b c da a b c db b a d cc c d a bd d c b a

Verifica se le strutture, le cui leggi di compo-sizione sono date dalle seguenti tabelle, sonodei gruppi. Quali di essi sono abeliani?

Δ a b c d ⊗ 1 2 3 4a a b c d 1 1 2 3 4b b a d c 2 2 3 4 1c c d b a 3 3 4 1 2d d c a b 4 4 1 2 3

[entrambi gruppi abeliani]

∗ x y z ⊗ 3 1 1/3x y x z 3 3 3 1y x y z 1 3 1 1/3z z z z 1/3 1 1/3 1/3

[non sono gruppi]

⊗ 1 2 3 4 ∗ a b c d e1 1 2 3 4 a a b c d e2 2 1 4 3 b b c d e a3 3 4 2 1 c c d e a b4 4 3 1 2 d d e a b c

e e a b c d[entrambi gruppi abeliani]

Considera l’insieme T delle traslazioni applicabilia una figura piana e il loro prodotto ⊗. Verificache la struttura (T, ⊗) è un gruppo abeliano.

Considera l’insieme R delle rotazioni di centro Oapplicabili a una figura piana e il loro prodotto ⊗.Verifica che la struttura (R, ⊗) è un gruppo abe-liano.

Considera l’insieme S di tutte le simmetrie centraliapplicabili a una figura piana e il loro prodotto ⊗.Verifica che (S, ⊗) non è una struttura algebrica.

Completa la seguente tabella sapendo che l’ele-mento neutro è z.

∗ x y zx y xy z xz y

La legge di composizione ∗ è interna? È commu-tativa? Ogni elemento è simmetrizzabile?Giustifica le tue risposte.

[sì; no; no]

Completa la seguente tabella sapendo che lalegge ∗ è commutativa.

∗ x y zx zy x y zz y x

Verifica se esiste l’elemento neutro. Identifical’insieme A su cui è definita la legge ∗ e verificase la struttura (A, ∗) è un gruppo.

[A = {x, y, z}; u = y; sì]

Studia le strutture le cui leggi di composizionesono date dalle seguenti tabelle.

⊗ 0 1 2 ∗ 1 2 3 40 0 1 2 1 1 2 3 41 1 2 0 2 2 1 4 32 2 0 1 3 3 4 1 2

4 4 3 2 1[entrambi gruppi abeliani]

Studia le strutture le cui leggi di composizionesono date dalle seguenti tabelle.

Δ m n p q ⊥ a b c dm m n p q a a b c dn n p q m b b d a cp p q m n c c a d bq q m n q d d c b a

[entrambi gruppi abeliani]

33

32

31

30

29

28

27

26

25

24

23

22

Le operazioni binarie e le strutture algebricheESERCIZI2LEZIONE

41


VERIFICA2LEZIONE

42

Quando un insieme I è dotato di struttura alge-brica?

Dai la definizione di legge di composizione interna.

Quando una legge di composizione è interna?

Cosa è una struttura algebrica?

Definisci l’elemento neutro di una struttura alge-brica.

Quando un elemento è simmetrizzabile?

Cosa è un gruppo abeliano?

Quando una struttura algebrica è un gruppo?

Nell’insieme Z dei numeri relativi la sottrazione èuna legge di composizione interna?

Considera l’insieme I = {2x con x ∈ N}. Le opera-zioni di addizione e moltiplicazione sono leggi dicomposizione interna su I?

Siano a e b due numeri naturali qualsiasi; consi-dera la legge a ⊗ b = (a + b) : 2. Verifica se ⊗ èuna legge di composizione interna.

Sull’insieme A = {3, 5, 7}, l’addizione è una leggedi composizione interna?

Siano N, D, P gli insiemi dei numeri naturali, deinaturali dispari e dei naturali pari.Verifica se l’operazione di intersezione definitosull’insieme A = {∅, N, D, P} è una legge di com-posizione interna.

Sull’insieme A = {a, b, c} sono definite le seguen-ti leggi di composizione:

⊗ a b c ∗ a b ca b c a a a b cb c b b b b c bc a b c c c b a

Calcola le seguenti espressioni:

(a ⊗ b) ∗ c = [(a ⊗ c) ⊗ b] ∗ (b ∗ a) =

b ∗ (c ⊗ a) = (c ⊗ c) ∗ b =

Verifica se la struttura (A; +) definita sull’insiemeA = {–9, –6, –3, 0, +3, +6, +9} è un gruppo.

Studia la struttura (E, ⊗) la cui legge di compo-sizione è definita in tabella.

⊗ a b ca a a ab a b cc a c c

Determina poi l’insieme E.

Verifica se l’insieme A = {a, b, c} è un grupporispetto alla legge definita in tabella.


17

16

15

dc

ba

14

13

12

11

10

9

ABILITÀ

8

7

6

5

4

3

2

1

CONOSCENZE



RECUPERO2LEZIONE

43


Vero o falso ?

Alla coppia ordinata (1, 2), l’addizionefa corrispondere il numero 3.Alla coppia ordinata (–1, 2), la molti-plicazione fa corrispondere il numero 2.L’operazione di addizione è una opera-zione binaria interna per qualunqueinsieme su cui si operi.L’insieme Z è chiuso rispetto all’addi-zione.

Dato l’insieme A = {2, 3} e la legge di composi-zione a ∗ b = a + b, scrivi la tabella di composi-zione.

È data la tabella che rappresenta la legge di com-posizione ⊗:

⊗ 1 2 31 1 1 32 1 2 03 0 0 1

⊗ è una legge di composizione interna?Su quale insieme A è definita la legge di compo-sizione?

Dato l’insieme A = {–1, –2, +1} e la legge di com-posizione a ∗ b = 2a + b, rappresenta la legge dicomposizione con una tabella a doppia entrata.

∗ –1 –2 1–1–21

La legge ∗ è di composizione interna?

Determina il risultato delle seguenti operazioni.

–1 ∗ –1 =

–1 ∗ –2 =

–2 ∗ 1 =

1 ∗ –1 =

Una operazione sull’insieme A = {0, 1, 2 } è asse-gnata mediante la seguente tabella:

⊥ 0 1 20 1 0 21 0 1 22 2 2 1

Completa le seguenti proposizioni.

L’operazione ⊥ è ……………… nell’insieme A.L’elemento neutro è …………La legge di composizione ⊥ è commutativa? ……perché …………………………………………

Determina il risultato delle seguenti operazioni.

1 ⊥ 1 ⊥ 2 =

0 ⊥ (1 ⊥ 2) =

(1 ⊥ 0) ⊥ 2 =

(2 ⊥ 2) ⊥ (1 ⊥ 0) =

5

4

3

2

FVd

FVc

FVb

FVa

FV1


• Conoscere gli insiemi• Saper operare con gli insiemi• Saper operare nel piano cartesiano• Conoscere il concetto di coppia ordinata


• Le relazioni• Le proprietà delle relazioni• Relazioni di equivalenza

• Sapere cosa è una relazione• Saper riconoscere le proprietà di una

relazione• Riconoscere una relazione di equivalenza

Le relazioni

44

3LEZIONE

1 Relazione tra due insiemi

Dati due insiemi (non vuoti) A e B, si dice che è definita una relazione o corri-spondenza tra A e B se è dato un criterio che permette di formare un insieme R icui elementi sono coppie ordinate aventi come primo elemento un elemento di A ecome secondo elemento un elemento di B, cioè se esiste una legge che associa ele-menti di A con elementi di B, e si scrive a R b dove a ∈ A, b ∈ B.L’elemento b si dice immagine di a nella relazione R.

Dati due insiemi A = {4, 6, 8} e B = {2, 3, 4}, è data la seguente relazione che lega A con B:

a R b ⇔ a = 2b con a ∈ A, b ∈ B

Allora: 2 è l’immagine di 43 è l’immagine di 64 è l’immagine di 8

Ricordiamo la definizione di prodotto cartesiano di due insiemi A e B:A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}Poiché una relazione R è formata da coppie (a, b) ∈ A × B, possiamo dire che unarelazione è un sottoinsieme .R ⊆ A × B

ESEMPIO


Le relazioni3LEZIONE

45

2 Dominio e codominio

Si dice dominio di una relazione R tra A e B e si indica con D l’insieme degli ele-menti di A che hanno almeno una immagine in B.Si dice codominio di una relazione R tra A e B e si indica con C l’insieme deglielementi di B che sono immagine di almeno un elemento di A.

Sono dati gli insiemi A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6} e la relazione tra A e B così definita:a R b ⇔ a + 1 = b.

Se a = 0 b = 0 + 1 = 1 ∉ Ba = 1 b = 1 + 1 = 2 ∈ Ba = 2 b = 2 + 1 = 3 ∈ Ba = 3 b = 3 + 1 = 4 ∈ B

Il dominio è D = {1, 2, 3}, il codominio è C = {2, 3, 4}.

3 Relazione inversa

Data una relazione R tra A e B, si dice relazione inversa e si indica con R–1 la rela-zione tra B e A che si ottiene invertendo l’ordine degli elementi delle coppie (a, b)di R, quindi sarà: a R b allora b R–1 a dove a ∈ A e b ∈ B.

Sono dati due insiemi A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6} e la relazione R tra A e B così definita:

a R b ⇔ a = . Determiniamo la relazione inversa R–1.

La relazione R è data dall’insieme delle coppie ordinate definite da a = , cioè:

R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

Per determinare la relazione inversa R–1, cioè l’insieme delle sue coppie ordinate, basta cambiare l’or-dine degli elementi:

R–1 = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}

Si può allora scrivere b R–1 a ⇔ b = 2a.

b2

b2

STOPANDGO

Considera gli insiemi A = {2, 10, 15, 24} eB = {1, 2, 3, 5} e la relazione tra A e B così defi-nita: a R b ⇔ a è multiplo di b.Determina le coppie della relazione R. Scrivi larelazione inversa R–1 e determina le coppie di R–1.

Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e

e la relazione tra A e B così

definita: a R b ⇔ a è minore di b.Determina le coppie della relazione R. Scrivi larelazione inversa R–1 e determina le coppie di R–1.

Nell’insieme A = {2, 3, 4, 6, 8} è definita la rela-zione:a R b ⇔ a è divisore di b, con a, b ∈ A.Determina le coppie della relazione R. Scrivi larelazione inversa R–1 e determina le coppie di R–1.

Considera gli insiemi A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} eB = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e la relazione tra A e B cosìdefinita: a R b ⇔ a è quadrato di b.Determina le coppie di R, il dominio e il codominio.

[D = {4, 9}; C = {2, 3}]

4

3

B =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

34

56

83

243

, , ,

2

1

ESEMPIO

ESEMPIO



46

4 Rappresentazione grafica di una relazione

Per rappresentare una relazione R tra due insiemi A e B possiamo usare:• la rappresentazione sagittale;• la tabella a doppia entrata;• il reticolo, o diagramma cartesiano.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6} è definita la seguente relazione tra A e B:

a R b ⇔ a = b – 2

Determiniamo le coppie della relazione R e rappresentiamola graficamente.

La relazione R è individuata dall’insieme R = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}.

■ Rappresentazione sagittale

■ Tabella a doppia entrata ■ Diagramma cartesiano

STOPANDGO

Tra gli insiemi A = {2, 3, 5, 7} e B = {27, 49, 25, 40} è definita la relazione:a R b ⇔ a è divisore di b.Determina le coppie della relazione R e rappresentala graficamente con una tabella a doppia entrata e conun diagramma sagittale.

Tra gli insiemi A = {Roma, Parigi, Madrid, Firenze, Siviglia} e B = {Francia, Spagna, Italia} è definita la rela-zione:a R b ⇔ a è una città di b.Determina le coppie della relazione R e rappresentala graficamente con un diagramma sagittale e con undiagramma cartesiano.

2

1

A B 3 4 5 61 •2 •3 •4 •

1 •

3 • 2 •

4 •

• 3

• 5• 4

• 6

A B

B

6 •

5 •

4 •

3 •

1 2 3 4 A

ESEMPIO



47

5 Proprietà delle relazioni

Una relazione R definita su un solo insieme A può soddisfare determinate proprietà:vediamole.

■ Proprietà riflessiva

Una relazione R definita in un insieme non vuoto A è riflessiva se, per ognia ∈ A, esso è in relazione con se stesso.

Nella rappresentazione grafica della relazione R si ha:

A

Acappio il reticolo contiene tutti i punti

della diagonale principale

■ Proprietà simmetrica

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è simmetrica se, per ognia, b ∈ A, si ha che: se a R b allora b R a.


c’è la freccia in nel reticolo ogni punto haun senso e nell’altro il suo simmetrico rispetto

alla diagonale principale

■ Proprietà transitiva

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è transitiva se, per ognia, b, c ∈ A, si ha che: se a R b e b R c allora a R c.

∀a, b, c ∈ A a R b ∧ b R c ⇒ a R c

∀a, b ∈ A a R b ⇒ b R a

∀a ∈ A a R a

definizioneDEFINIZIONE

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

a

aA

Ab



48


tra due elementi è sempre possibile seguire la “scorciatoia”.

■ Proprietà antisimmetrica

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è antisimmetrica se, conside-rati in A due qualsiasi elementi a e b, si ha che:se a ≠ b e a R b allora b R a.


la freccia è solo nel reticolo non ci sono punti simmetriciin un senso rispetto alla diagonale principale

■ Proprietà antiriflessiva

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è antiriflessiva se, per ognia ∈ A, esso non è in relazione con se stesso.

Nella rappresentazione graficadella relazione R si avrà:

non c’è il cappio sulla diagonale principale non ci sono punti

∀a ∈ A a R a

∀a, b ∈ A a ≠ b ∧ a R b ⇒ b R a

a b

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

a

b

c

A

A

A

A

a



49

• Nell’insieme A = {1, 2, 3} è definita la relazione a R b ⇔ a + b è un numero pari.Determina le proprietà di R.R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} rappresentiamo graficamente:

La relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva.

• Determina le proprietà della relazione R rappresentata in figura:

La relazione R è: riflessiva, perché tutti gli elementi hanno il cappio;simmetrica, perché ciascuna freccia in un senso ha la corrispondente nel sensoopposto;transitiva, perché date due frecce consecutive c’è sempre la “scorciatoia”.

STOPANDGO

Determina le proprietà delle seguenti relazioni.

21

A

A

1

3

2321

1 2 3

ESEMPI

a

c

b

d

e

3

1

4

23

1

2



50

simmetrica, antiriflessiva riflessiva, antisimmetricariflessiva, antisimmetrica riflessiva, simmetrica, transitivaantiriflessiva, simmetrica

6 Relazione di equivalenza

Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di equivalen-za se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.Se sull’insieme A è definita una relazione di equivalenza R, allora per ogni a ∈ Aè possibile costruire una classe di equivalenza:

Quindi una classe di equivalenza è un sottoinsieme di A formato da elementi tuttiin relazione (o, come si dice, equivalenti) tra loro.

Data una relazione di equivalenza R, definita su un insieme non vuoto A, si diceinsieme quoziente dell’insieme A rispetto alla relazione R l’insieme i cui elemen-ti sono le classi di equivalenza ottenute.L’insieme quoziente si indica con A/R.

• Verifica che nell’insieme dei poligoni P la relazione p R q ⇔ “p ha lo stesso numero di lati di q” èuna relazione di equivalenza.

La relazione data è:riflessiva, infatti ogni poligono è in relazione con sé stesso;simmetrica, infatti se un poligono p ha lo stesso numero di lati del poligono q, sicuramente il poli-gono q ha lo stesso numero di lati del poligono p;transitiva, infatti se il poligono p ha lo stesso numero di lati del poligono q e q ha lo stesso nume-ro di lati di t, allora il poligono p ha lo stesso numero di lati del poligono t.

La relazione R è perciò di equivalenza.

• È dato l’insieme e la relazione R così definita:

a R b ⇔ a ha lo stesso denominatore di b.

La relazione R è:

A =

34

57

794

74

127

884

14

17

11, , , , , , , , , ,

77

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

[a]R = {b ∈ A⏐a R b}

54321

543

cba

A A A

A A A

cba

dcba

a b c a b c a b c d

ESEMPI



51

riflessiva, perché a R a;simmetrica, perché se a R b allora b R a;transitiva, perché se a R b e b R c allora a R c.

La relazione R è di equivalenza e le classi di equivalenza sono gli insiemi:

C3 = {7, 8}.

L’insieme quoziente è A/R =

7 Relazione d’ordine

Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di ordinelargo se gode delle proprietà:• riflessiva• antisimmetrica• transitiva

Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di ordinestretto se gode delle proprietà:• antiriflessiva• antisimmetrica• transitiva

• È dato l’insieme A = {x ∈ N | x ≥ 1} e la relazione R così definita:

a R b ⇔ a > bStudiamo le proprietà della relazione e verifichiamo se è relazione d’ordine.

La relazione R è:

antiriflessiva, infatti nessun numero naturale è maggiore di se stesso;antisimmetrica, infatti se a > b non può essere b > a;transitiva, infatti se a > b e b > c sicuramente a > c.

La relazione è di ordine stretto.

• È dato l’insieme A = {x ∈ N | x ≥ 1} e la relazione R così definita:

a R b ⇔ a è multiplo di b.

La relazione R è:

riflessiva, infatti ogni numero naturale è multiplo di se stesso secondo 1;antisimmetrica, se a è multiplo di b non può essere b multiplo di a se a è diverso da b;transitiva, infatti se a è multiplo di b e b è multiplo di c, sicuramente a è multiplo di c.

La relazione è di ordine largo.

C C C1 2 3, ,{ }

C2

57

127

117

17

=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

, , , C1

34

94

74

84

14

=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

, , , ,

ESEMPI



52

ESERCIZI

Vero o falso ?

Se due insiemi A e B sono legati da unaproprietà, si dice che è data una rela-zione binaria tra A e B.Una relazione binaria si può rappresen-tare graficamente con un diagramma afreccia, con un reticolo o con unatabella a doppia entrata.Una relazione R definita in un insiemeA non vuoto è riflessiva se per ogni x ey ∈ A si ha x R y.La scrittura xRy∧yRz⇒xRz,∀ x,y,zrappresenta la proprietà transitiva.Una relazione che lega un elemento ase stesso è simmetrica.Una relazione R è di equivalenza se èriflessiva, simmetrica, transitiva.Una relazione R di equivalenza è ancheuna relazione d’ordine.Si dice dominio di una relazione tra A e Bl’insieme degli elementi di A che sono inrelazione con almeno un elemento di B.Si dice codominio di una relazione tra Ae B l’insieme degli elementi di B chesono corrispondenti di almeno un ele-mento di A.Data una relazione R tra A e B la rela-zione inversa o reciproca si indica conR–1 ed è una relazione tra B e A.Una funzione è necessariamente unacorrispondenza univoca.Una corrispondenza nella quale ad ognielemento ne corrispondono due non èuna funzione.

Dati gli insiemi A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4}, scri-vi e rappresenta graficamente mediante un dia-gramma cartesiano o sagittale l’insieme dellecoppie (x, y), con x ∈ A, y ∈ B, determinate dalleseguenti relazioni tra A e B:

x = y [{(0, 0), (2, 2)}]x + y = 4 [{(0, 4), (2, 2)}]

x + y = numero pari[{(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4)}]

x + y = numero dispari[{(1, 0), (1, 2), (1, 4)}]

x è divisore di y[{(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4)}]

x e y sono entrambi dispari [∅∅]x + y = 7 [∅∅]y = 2x [{(0, 0), (1, 2), (2, 4)}]

x = y [{(0, 0), (1, 4)}]

Sono dati gli insiemi A = {2, 3, 6, 7, 9, 15} eB = {1, 2, 3, 4, 5}; determina le coppie (x, y) conx ∈ A ed y ∈ B per le quali risulta x = 3y.Rappresenta la relazione con un diagramma carte-siano.

Dati gli insiemi A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3},rappresenta le seguenti relazioni in forma tabula-re e cartesiana, determinandone il dominio D ecodominio C.

R1 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x > y}[D1 = {3, 4, 5, 6}; C1 = {1, 2, 3}]

R2 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x doppio di y}[D2 = {4, 6}; C2 = {2, 3}]

R3 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x multiplo di y}[D3 = {3, 4, 5, 6}; C3 = {1, 2, 3}]

R4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x divisore di y}[D4 = {3}; C4 = {3}]

Determina per quali tra le seguenti coppie vale larelazione R così definita:(a : b) R (c : d) ⇔ a · d = b · c.

(3 : 4) e (3 : 1) (0 : 4) e (1 : 4)(3 : 4) e (6 : 8) (2 : 3) e (3 : 4)(1 : 2) e (2 : 1) (–3 : 2) e (3 : 2)

[ ]c

fe

dc

ba

5

d

c

b

a

4

3

14

i

h

gf

e

d

c

b

a

2

FVn

FVm

FVl

FVi

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

FV1


Le relazioniESERCIZI3LEZIONE

53

Rappresenta con un diagramma sagittale ciascu-na delle seguenti relazioni.

“Essere nato prima” nell’insieme A = {Pitagora,Cartesio, Giulio Cesare}.

“Essere più veloce” nell’insieme A = {ghepardo,tartaruga, cane}.

Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di N dise-gna il diagramma sagittale della relazione “è mul-tiplo di”.

{2, 8, 24, 3, 12}

{10, 90, 27, 4, 9}

Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di N dise-gna il diagramma sagittale della relazione “è divi-sore di”.

{4, 12, 18, 36}

{7, 3, 84, 168}

Dati gli insiemi A = {x ∈ N | x è divisore di 12} eB = {y ∈ N | 3 ≤ y < 10} determina e rappresen-ta le seguenti relazioni:

R1 = {(x, y) ∈ A × B | x + y è pari}R2 = {(x, y) ∈ A × B | y è multiplo di x}R3 = {(x, y) ∈ A × B | y supera x di 2}

Dati gli insiemi A = {1, 3} e B = {–5, –7, 2} con-sidera la relazione R tra A e B così definita:a R b ⇔ a + b = –4. Determina il dominio e ilcodominio di R.

[D = {1, 3}; C = {–7, –5}]

Dati gli insiemi A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 6, 9} eB = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e le seguenti rela-zioni tra A e B:

a R b ⇔ b è la metà di aa S b ⇔ b è il successivo di a

Determina per ciascuna di esse:- la rappresentazione sagittale, tabulare, cartesiana- il dominio e il codominio- le relazioni inverse[ D = {–2, 0, 2, 6}; C = {–1, 0, 1, 3}; a R–1 b ⇔ aè la metà di b

D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2}; C = {–2, –1, 0, 1, 2, 3};b S–1 a ⇔ a è il precedente di b]

Sull’insieme A = {Anna, Franco, Maria, Ada,Mauro, Mara} è data la relazione R così definita:x R y ⇔ x ha la stessa lettera iniziale di y.Rappresenta R con un diagramma sagittale, unatabella a doppia entrata e un diagramma cartesiano.

Considera gli insiemi A = {2, 3, 4, 5} e B = {4,12, 16, 20, 25} e la relazione R tra A e B cosìdefinita: a R b ⇔ b è quadrato di a. Determina:

la rappresentazione sagittale di Rdominio e codominio di Rla rappresentazione tabulare della R–1 e unasua rappresentazione grafica.

[D = {2, 4, 5}; C = {4, 16, 25};R–1 = {(4, 2); (16, 4); (25, 5)}]

Data la relazione R = {(0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27)}sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B conA = {a ∈ N | 0 ≤ a ≤ 5} e B {b ∈ N | 0 ≤ b ≤ 30},determina di tale relazione:

dominio e codominio[D = {0, 1, 2, 3} ; C = {0, 1, 8, 27}]

il grafico cartesianola rappresentazione mediante caratteristica.

[R = {(a, b) ∈∈ A ×× B | y = x3}]

Considera la relazione R da Q a Q così definita:a R b ⇔ a · b = 20; sapendo che il dominio diR è D = {1/2, 1, 2, 3, 4, 5}, determina il suocodominio.

[{40, 20, 10, 20/3, 5, 4}]

In Z sia R la relazione così definita:x R y ⇔ x2 + y2 = 25; dopo aver scritto larappresentazione tabulare, determina:

dominio e codominio di R[D = {5, 4, 3, 0, –3, –4, –5};C = {5, 4, 3, 0, –3, –4, –5}]

il grafico cartesiano.

Dati i due insiemi A = {3, 9, 10, 12} eB = {5, 6, 11, 24}, siano R1 e R2 le relazionitra A e B così definite:x R1 y ⇔ x e y sono primi tra loro;x R2 y ⇔ x è la metà di y.Scrivi per elencazione i seguenti insiemi:R' = R1 ∪ R2 R" = R1 ∩ R2[R' = {(3, 5), (3, 11), ( 9, 5), (9, 11), (10, 11), (12, 5),(12, 11), (3, 6), (12, 24)}; R" = ∅∅]

20

b

a

19

18

c

b

a

17

c

b

a

16

15

b

a

b

a

14

13

c

b

a

12

11

10

9

8

7

6


R

Dato l’insieme A = {2, 3, 5, 11, 4, 18} scrivi la rap-presentazione tabulare delle relazioni:

R1 così definita: x R1 y ⇔ y supera x di 2R2 così definita: x R2 y ⇔ il doppio di xaddizionato a y dà come risultato 10.

[R1 = {(2, 4), (3, 5)}; R2 = {(3, 4), (4, 2)}]

Considera la relazione R tra A = {7, 8, 21, 26} eB = {9, 13, 38} così definita: a R b ⇔ esiste undivisore di a diverso da 1 che è anche divisore dib; determina:

la rappresentazione tabulare di Rdominio e codominio di R.

[D = {8, 21, 26}; C = {38, 9, 13}]b

a

22

b

a

21


54

Di quali proprietà godono le relazioni sotto rappresentate?

[R: riflessiva, antisimmetrica; S: simmetrica, antiriflessiva; P: riflessiva, simmetrica, transitiva]

[R: riflessiva, simmetrica, transitiva; S: antisimmetrica, riflessiva; P: antiriflessiva, antisimmetrica]

[R: riflessiva, antisimmetrica; S: simmetrica; P: antiriflessiva, simmetrica]

25

24

23

S P

R S P

R S P

a

c

b

c

c

b

a

a a

c

b

d

a b

c

a

b

ab

ce

d

c

db

a

b

c

ab

c

d

e



55

[R: riflessiva, simmetrica; S: riflessiva; P: riflessiva, simmetrica, transitiva]

[R: simmetrica; S: riflessiva, simmetrica, transitiva; P: riflessiva, simmetrica, transitiva]

[R: riflessiva, simmetrica, transitiva; S: riflessiva, antisimmetrica; P: antisimmetrica, antiriflessiva]

[R: riflessiva, simmetrica, transitiva; S: riflessiva, antisimmetrica, transitiva; P: antiriflessiva, transitiva]

29

28

27

26

R S P

R S P

R S P

R S P

a b

c

a b

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

ab

a

c

ed

d

c

e

b

a

c

a

c

b a

c

b

a

c

b

b

a

d

c



56

Di quali proprietà godono le seguenti relazioni?

a R1 b ⇔ a è il doppio di b, definita in N.[antisimmetrica]

a R2 b ⇔ a divide b, definita in N.[riflessiva, antisimmetrica, transitiva]

a R3 b ⇔ a è padre di b, definita nell’insiemedelle persone. [antiriflessiva, antisimmetrica]a R4 b ⇔ a è fratello di b, definita nell’insiemedelle persone.[simmetrica, transitiva,antiriflessiva]x R5 y ⇔ x è diverso da y, definita in N.

[simmetrica, antiriflessiva]xR6 y ⇔ x e y hanno prodotto positivo o nullo,definita nell’insieme A = {–2, –1, 0, 1, 2}.

[riflessiva, simmetrica]x R7 y ⇔ x è minore di y, definita in N.

[antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva]

Quali delle seguenti relazioni, definite in N, sonotransitive?

x è minore di yx non è minore di yx è il doppio di yx è uguale a y

[a, b, d]

Quali delle seguenti relazioni sono riflessive?

Nell’insieme delle figure solide: avere ugualevolume.Nell’insieme delle persone: essere nati nellostesso anno.Nell’insieme delle frazioni ridotte ai minimitermini: avere lo stesso denominatore.Nell’insieme dei numeri interi: non avere divi-sori comuni.Nell’insieme dei numeri naturali: essere mag-giore o uguale.Nell’insieme dei numeri interi: essere di segnodiverso.

[a, b, c, e]

Quali delle seguenti relazioni sono riflessive?

a R b ⇔ a è il marito di b, definita in uninsieme di persone.a R b ⇔ a è più vecchio di b, definita in uninsieme di persone.a R b ⇔ a non è più vecchio di b, definita inun insieme di persone.a R b ⇔ a è minore di b, definita nell’insie-me N.a R b ⇔ a non è minore di b, definita nell’in-sieme N. [c, e]

Quali delle seguenti relazioni sono simmetriche?

Nell’insieme delle rette: essere perpendicolari.Nell’insieme dei numeri naturali: essere mag-giore.Nell’insieme dei numeri interi: non avere divi-sori comuni.Nell’insieme dei numeri naturali: essere mag-giore o uguale.

[a, c]

Quali delle seguenti relazioni sono transitive?

Nell’insieme delle figure solide: avere ugualevolume.Nell’insieme delle rette del piano: essere per-pendicolari.Nell’insieme delle persone: essere nati nellostesso comune.Nell’insieme dei medicinali: essere efficaci peralmeno una stessa malattia.Nell’insieme dei numeri razionali: avere alme-no una cifra uguale.Nell’insieme delle frazioni ridotte ai minimitermini: avere lo stesso denominatore.Nell’insieme delle figure geometriche piane:avere la stessa area.Nell’insieme delle matite colorate: esseredello stesso colore.Nell’insieme dei numeri interi: non avere divi-sori comuni.

[a, c, f, g, h]

Quali delle seguenti relazioni, definite nell’insie-me delle rette del piano, sono simmetriche?Quali riflessive?

a R b ⇔ a è perpendicolare a b. [simmetrica]a R b ⇔ a interseca b. [riflessiva, simmetrica]

Indica se la relazioneR = {(a, a), (a, b), (b, a), (c, b), (b, c)}definita in A = {a, b, c} è simmetrica. Quali cop-pie le mancano per essere riflessiva?

[sì; (b, b), (c, c)]

La relazione di inclusione stretta A ⊂ B è rifles-siva? È simmetrica? E la relazione A ⊆ B è tran-sitiva?

[no, no, sì]

La relazione di parallelismo fra rette di un pianoè riflessiva? È simmetrica? È transitiva?

[sì, sì, sì]

39

38

37

b

a

36

i

h

g

f

e

d

c

b

a

35

d

c

b

a

34

e

d

c

b

a

33

f

e

d

c

b

a

32

d

c

b

a

31

g

f

e

d

c

b

a

30


Studia le proprietà delle seguenti relazioni.

Nell’insieme dei numeri razionali: a è in relazionecon b se e solo se a è il triplo di b.

[antisimmetrica]

Nell’insieme dei nati in Italia: a è in relazione conb se e solo se a è nato nello stesso comune di b.

[riflessiva, simmetrica, transitiva]

Nell’insieme dei numeri naturali: a è in relazionecon b se e solo se a è divisore di b.

[riflessiva, antisimmetrica, transitiva]

Nell’insieme delle rette dello spazio tridimensio-nale: a è in relazione con b se e solo se a haalmeno un punto in comune con b.

[riflessiva, simmetrica]

Nell’insieme dei numeri naturali: a è in relazionecon b se e solo se a è il quadrato di b.

[antisimmetrica]

Nell’insieme dei numeri razionali: a è in relazionecon b se e solo se a è diverso da b. [simmetrica]

Nell’insieme dei numeri razionali positivi: a è inrelazione con b se e solo se il loro prodotto èminore di 1. [simmetrica]

Nell’insieme dei numeri naturali maggiori di 1: aè in relazione con b se e solo se a2 > b.

[riflessiva]

Nell’insieme dei poligoni del piano: a è in rela-zione con b se e solo se ha lo stesso numero divertici. [riflessiva, simmetrica, transitiva]

Nell’insieme dei numeri razionali: x è in relazionecon y se e solo se il loro prodotto è un numerointero. [simmetrica]

Nell’insieme N × N: (a; b) è in relazione con(c; d) se e solo se a + d = b + c.

[riflessiva, simmetrica, transitiva]

Nell’insieme N0 = N – {0}: x è in relazione con yse e solo se x è multiplo di y.

[riflessiva, antisimmetrica, transitiva]

Verifica che nell’insieme di tutte le circonferenzedi un piano, la relazione c R d ⇔ “c e d sonoconcentriche” è una relazione di equivalenza.

Nell’insieme I delle rette di un piano la relazioneaRb ⇔ “a ha punti in comune con b” è una rela-zione d’equivalenza? [no]

Nell’insieme N la relazione x R y ⇔ “x è primo cony” è una relazione d’equivalenza? [no]

Verifica che nell’insieme I di tutti i triangoli di unpiano la relazione x R y ⇔ “x e y hanno ugualeperimetro” è una relazione di equivalenza.

Verifica che nell’insieme Z la relazionea R b ⇔ “a – b è multiplo di 3” è una relazionedi equivalenza.

Sia A = {a, b, c} un insieme di persone. La rela-zione a R b ⇔ “a e b sono nate nello stessoanno” è una relazione di equivalenza? Qual è l’in-sieme quoziente? [sì; … ]

La relazione di parallelismo definita in un insie-me A di rette di un piano è una relazione di equi-valenza? [sì]

La relazione di perpendicolarità definita in uninsieme A di rette di un piano è una relazione diequivalenza? [no]

La relazione a R b ⇔ “a divide b” definita nell’in-sieme N dei numeri naturali è una relazione diequivalenza?

[no]

La relazione a R b ⇔ “a ha gli stessi genitori dib” è una relazione di equivalenza? [sì]

Verifica se le seguenti sono relazioni d’ordine.

Nell’insieme delle automobili: avere un motorenon meno potente. [no]

Nell’insieme N: avere un numero minore di cifre.[no]

Nell’insieme degli ufficiali di una caserma: esseredi grado superiore. [sì]

Nell’insieme delle frazioni: essere maggiore ouguale. [sì]

Stabilisci se la relazione a R b ⇔ “a precede inordine alfabetico b”, definita nell’insieme dei nomiitaliani, è una relazione di ordine largo. [no]

66

65

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57


Vero o falso ?

Il dominio è l’insieme di tutti gli ele-menti dell’insieme di partenza.Il codominio è l’insieme degli elementidell’insieme di arrivo che sono l’imma-gine di almeno un elemento dell’insie-me di partenza.∀a, b ∈ A, a R b ⇔ b R a esprime laproprietà simmetrica.Esistono relazioni che godono contem-poraneamente delle proprietà simmetri-ca e antisimmetrica.Esistono relazioni che godono contem-poraneamente della proprietà riflessi-va, simmetrica e transitiva.Una relazione di ordine stretto godedelle proprietà transitiva, antiriflessiva,antisimmetrica.Dati gli insiemi A={2,5,7} e B={3,6,8}e la relazione a R b ⇔ a è maggiore dib, il dominio è D = {5, 7}.Dati gli insiemi A={2,5,7} e B={3,6,8}e la relazione a R b ⇔ a è maggiore dib, il codominio è C = {6, 8}.Se R è la relazione a R b ⇔ a è padredi b, la relazione inversa è b R–1a ⇔ bè figlio di a.

Sono dati gli insiemi A = {3, 4, 6, 9} e B = {1, 2,3, 4} e la relazione a R b ⇔ a = 3b dove a ∈ A eb ∈ B. Dopo aver determinato le coppie della rela-zione R, rappresentala graficamente e determinadominio, codominio e la relazione inversa.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 5} e B = {1, 4, 10} ela relazione a R b ⇔ a è divisore di b, determinadominio, codominio e rappresentala graficamente.

Individua la relazione sotto rappresentata edetermina il dominio e il codominio.

Determina le proprietà di ciascuna delle relazionisotto rappresentate.

Nell’insieme A =

considera la relazione a R b ⇔ a = b. Verifica cheR è una relazione di equivalenza.

Studia le seguenti relazioni.

A = {x ∈ Z | –2 < x < 2}x R y ⇔ x – y < 0

A = {x | x è lettera della parola pavone}x R y ⇔ x segue y

b

a

7

2

5,3

7,3

6,1

2,

4

10,

9

18,20

50,15

35,

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

6

5

4

3

2

ABILITÀ

FVi

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

FV1

CONOSCENZE

VERIFICA3LEZIONE

58


–1 •

2 • 0 •

7 •

• 0

• 3• 1

• 4

A B

c

b

a

c

b

a

c

b

a

a b c a b c a b c

a b c

d e f

g h i

a

b c

f

d

e a

ab

b

c

1 2

3

1 2

3

1 2

3

4 5


RECUPERO3LEZIONE

59


Dati gli insiemi A = {6, 7, 9, 10, 12, 15} eB = {10, 12, 15, 18} scrivi le coppie ordinatedalla relazione a R b ⇔ a = b – 3.

Osserva le seguenti relazioni e studianele proprietà.

Considera nell’insieme A = {10, 20, 30} la rela-zione R così definita: a R b ⇔ a è minore di b.Verifica che è una relazione di ordine stretto.

Scrivi la definizione di relazione tra due insiemiA e B.

Scrivi la definizione di dominio e codominio diuna relazione R.

Scrivi la definizione di relazione inversa di unarelazione R tra due insiemi A e B.

Come si può rappresentare una relazione R tradue insiemi A e B?

Utilizzando gli appropriati simboli scrivi le pro-prietà riflessiva, simmetrica, transitiva, antisim-metrica, antiriflessiva di una relazione R definitain un insieme A.

8

7

6

5

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

a b c

d e f

g h i

1

2

3

a

b

c

1

2

3

41

2

3 4

b

c

a 1 2

3


In questa sezione imparerai nuovilinguaggi della matematica, utilianche nella vita di tutti i giorni.

Verso altri linguaggi

LINGUAGGIBSEZIONE

elementidi statistica

elementi dicalcolo delleprobabilità

grafici

cennidi logica

strumentidi calcolo


• Saper operare con le potenze


• Strumenti di calcolo• Approssimazione• Ordine di grandezza• Notazione esponenziale e standard

• Saper utilizzare la calcolatrice conconsapevolezza

• Saper approssimare e arrotondare unnumero

• Saper esprimere numeri particolar-mente grandi o piccoli

• Saper inquadrare un numero nel suoordine di grandezza

Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione,l’ordine di grandezza, la notazioneesponenziale e standard4

LEZIONE

62

1 Gli strumenti di calcolo

Il primo strumento di calcolo che l’uomo abbia utilizzato è rappresentato sicura-mente dalle sue dita: anche oggi i bambini “contano sulle dita” ma, indubbiamen-te, quando i calcoli si fanno più complessi le dita non bastano più…La tecnologia ci è venuta in grande aiuto e attualmente abbiamo a disposizione deimezzi che ci aiutano enormemente nell’esecuzione di conti difficili o comunquelaboriosi.La macchina, che ormai è consentito usare anche a scuola, è la calcolatrice (o calco-latore) tascabile; l’utilizzo di questo strumento non è negativo in se stesso, ma lodiventa se ci lasciamo rendere “schiavi” dalla macchina. È quindi importante impara-re ad usare la calcolatrice in modo ragionato e corretto e non dimenticare mai che lanostra mente pensa, decide e dà ordini allo strumento, il quale deve solo “eseguire”.

In ogni calcolatrice si può distinguere:• il blocco di ingresso, cioè la tastiera;• il blocco di elaborazione, cioè la zona interna della macchina dove vengono ese-

guite le operazioni e dove vengono immagazzinati i dati (memorie);• il blocco di uscita, cioè il visore o display sul quale compaiono le varie fasi

delle operazioni.


Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard4LEZIONE

63

Schematizzando, abbiamo:

➠ ➠Per comunicare con la macchina, però, è necessario il linguaggio, cioè l’insieme deisimboli mediante i quali l’utente comunica con la macchina; nella calcolatrice il lin-guaggio è costituito dalle cifre e dalle operazioni che la calcolatrice può eseguiree che sono indicate sulla tastiera.Esistono in commercio diversi tipi di calcolatrice tascabile; noi prenderemo in con-siderazione i due tipi più usati:• la calcolatrice semplice, che esegue le quattro operazioni aritmetiche e l’estra-

zione della radice quadrata di un numero;• la calcolatrice scientifica, che esegue le operazioni aritmetiche e altre più com-

plesse.Consideriamo una calcolatrice semplice.Prima di analizzare l’uso del calcolatore tascabile, premettiamo che ogni macchinaha la sua portata o capacità, cioè può scrivere sul display fino a un certo numerodi cifre. In questi tipi di calcolatrice è, generalmente, di otto cifre: il numero mas-simo che può essere scritto è 99 999 999.Se, operando, si supera la portata della macchina, sul visore appare il segno di erro-re E, oppure il visore lampeggia.Vediamo ora alcuni tasti fondamentali presenti in ogni calcolatrice e il loro uso.

tasto di accensione della macchinatasto di spegnimento (in alcune calcolatrici manca perché si spengono auto-maticamente in caso di inutilizzo prolungato)

tasto che cancella l’ultimo numero introdotto in macchina

simboli delle quattro operazioni

simbolo di uguaglianza

simbolo della virgola per i numeri decimali

tasto per il calcolo della percentuale di una quantità

tasto per il cambio del segno di un numero (utile nei calcoli algebrici)

tasto per immagazzinare un numero in memoria con il segno + o con il segno –

tasto per richiamare il contenuto della memoria

tasto per cancellare il contenuto della memoria

tasto per calcolare il quadrato di un numero (tasto non sempre presente)

tasto per estrarre la radice quadrata di un numero

tasto per calcolare l’inverso di un numero

1

x

x2

MC

MR

M–M+

+/–

%

.

=

÷××–+

CE

OFF

ON

USCITAELABORAZIONE E MEMORIAINGRESSO


Verso altri linguaggiBSEZIONE

64

Vediamo ora la sequenza di lavoro, ossia in che modo devono essere premuti i tastidella calcolatrice per eseguire le operazioni.

Immissione di un numero intero: 24

Digitiamo: sul visore appare 24

Immissione di un numero decimale: 143,58

Digitiamo: sul visore appare 143.58

Esecuzione di una somma: 18 + 35 + 7


Esecuzione di una sottrazione: 56 – 27


Esecuzione di una sottrazione: 36 – 49

Digitiamo: sul visore appare –13

come puoi notare, la calcolatrice opera anche con i numeri relativi.

Esecuzione di una sottrazione: 8 – 1 – 3


Esecuzione di una moltiplicazione: 3 ×× 24


Esecuzione di una moltiplicazione: 51 ×× 33 ×× 102


Esecuzione di una divisione: 12 : 4


in questo caso il risultato è un numero intero.

Esecuzione di una divisione: 72 : 4 : 3


anche in questo caso il risultato è un numero intero.

=3÷4÷27

=4÷21

=201×33×15

=42×3

=3–1–8

=94–63

=72–65

=7+53+81

85.341

42



65



in questo caso il risultato è un numero decimale limitato.



in questo caso il risultato è un numero decimale periodico, 4,31—

Come puoi osservare, si possono eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni edivisioni successivamente usando il tasto una sola volta, ma, poiché la calco-latrice opera su due termini alla volta, si possono vedere i risultati parziali manmano che si opera.Quindi, se si vuole sapere il risultato di 18 + 35 o di 8 – 1 o 51 × 33 o 72 : 4 e poicontinuare l’operazione, basta osservare cosa appare sul visore dopo aver battuto ilsecondo o il secondo o il secondo o il secondo .

Calcolo del quadrato di un numero: 32


se il tasto non fosse presente, si può procedere come segue:

sul visore appare 9

Il procedimento è analogo se il numero da elevare al quadrato è un numero decimale.

Calcolo della radice quadrata di un numero:


Calcolo della radice quadrata di un numero decimale:


Calcolo del valore percentuale: 6% di 150


Calcolo del valore percentuale: 3,5% di 150


Calcolo del valore percentuale: 7% di 32,5

Digitiamo: sul visore appare 2.275%7×5.23

%5.3×051

%6×051

70.53

35,07

61

16

=×3

x2

x23

÷××–+

=

=99÷724

=02÷73



66

Calcolo di un valore scontato di una percentualeUn paio di scarpe del costo di € 90 è scontato del 30%. Quanto costeranno le scarpe?


Calcolo di un valore maggiorato di una percentualePagando in ritardo una tassa, viene applicata una mora del 7%. Trova quanto si devepagare in totale su una tassa di € 50.


Operazioni con i numeri relativi: –3 + 7 – 24Per impostare i numeri negativi sul calcolatore basta premere il tasto .

Digitiamo: sul visore appare –20.

Eseguire una sequenza di operazioniAlcune calcolatrici, oltre ad eseguire tutte le operazioni precedentemente illustra-te, sono in grado di eseguire più operazioni in sequenza, osservando le regole fon-damentali di priorità algebrica (AOS = Algebric Operation Sequence, cioè la regoladelle precedenze) stabilite dai matematici di tutto il mondo per eseguire una suc-cessione di operazioni. Siccome non tutte le calcolatrici operano seguendo le rego-le AOS, è necessario leggere sempre attentamente le istruzioni e verificare qualemetodo operativo viene usato dalla macchina.

MACCHINA CHE OPERA SEGUENDO LE REGOLE AOS MACCHINA CHE OPERA NON SEGUENDO LE REGOLE AOS

Dobbiamo eseguire 12 + 3 × 5 =

sul visore appare 27 sul visore appare 27

Dobbiamo eseguire 21 – 50 : 5 =


Dobbiamo eseguire 7 – 32 + 2 =


Dobbiamo eseguire 5 – × 2 =

sul visore appare –1 sul visore appare –1

Dobbiamo eseguire –6 × : 2 =

sul visore appare –12 sul visore appare –12

=+/–6×2÷61=2÷61×+/–6 16

=5++/–=2×9=2×9–5 9

=2+7++/–=×3=2+x23–7

=MR+12CEM–=5÷05=5÷05–12

=21+=5×3=5×3+21

=42–7++/–3

+/–

%7+05

%03–09

ESEMPIO



67

Risoluzione di un’espressione: (45 + 7) : 2Per risolvere le espressioni può essere necessario servirsi del tasto che memorizza idati anche per quelle calcolatrici che seguono le regole AOS.


In questo caso non è necessario l’uso della memoria.

Risoluzione di un’espressione: 24 : (6 + 2)


I tasti si possono utilizzare anche nell’applicazione del teorema di Pitagora.

• I cateti di un triangolo rettangolo misurano 12 cm e 16 cm. Calcoliamo la misura dell’ipotenusa.

Applicando il teorema di Pitagora, si ha , che rappresenta lamisura dell’ipotenusa.La sequenza è:

sul visore appare 20, che è la misura dell’ipotenusa.

Se la calcolatrice non ha il tasto il procedimento è il seguente:


• L’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 10 cm e 8 cm.

Calcoliamo la misura dell’altro cateto.Applicando il teorema di Pitagora, si ha , che rappresenta lamisura dell’altro cateto.La sequenza è:

sul visore appare 6, che è la misura dell’altro cateto.

Se la calcolatrice non ha il tasto il procedimento è il seguente:


MRM–=×8M+=×01

x2

MRM–x28M+x201

10 8 100 64 36 62 2− = − = =

MRM+=×61M+=×21

x2

MRM+x261M+x221

12 16 144 256 400 202 2+ = + = =

M–M+

=MR÷42CEM+=2+6

=2÷=7+54

ESEMPI



68

Analizziamo ora brevemente l’utilizzo di una calcolatrice scientifica.

Osservando la figura a fianco, si può subito nota-re che in una calcolatrice scientifica compaionotutti i tasti di una normale calcolatrice e altri tasticon diciture doppie o triple, in quanto svolgonopiù funzioni.Un tasto importante è quello denotato con :serve per passare alla funzione scritta in piccolosopra a un tasto.Per esempio, il tasto permette di calcolare qual-siasi potenza di qualunque numero, mentre premen-do si può calcolare la radice di indice qualsiasidi qualunque numero.

Le calcolatrici scientifiche si presentano in diversi modelli ed eseguono varie ope-razioni; noi ci limiteremo ad illustrare i tasti più importanti:

tasto che permette di calcolare l’inverso di una funzione;

tasto che permette di calcolare il quadrato di un numero;

tasto che permette di calcolare la radice quadrata di un numero;

tasto che permette di calcolare qualsiasi potenza di qualunque numero;

tasti che permettono di calcolare il valore delle funzioni trigonometriche di unangolo (seno, coseno, tangente).

tasto che permette di calcolare il logaritmo decimale di un numero;

tasto che permette di calcolare il logaritmo naturale di un numero;

tasto che permette di scrivere un numero in notazione esponenziale;

tasto che permette di operare con le frazioni.

Per uno studente di scuola secondaria di primo grado non è necessario l’uso di unacalcolatrice scientifica: di seguito troverai degli esempi per l’uso di alcuni tasti.

In ogni caso, prima di usare una calcolatrice, è bene leggere attentamente le istru-zioni d’uso.

OONN//CCEE

OFF x21/x

sin–1 cos–1 tan–1

10x ex

DGRΠΠDEGd /c

MC

M–

n!

mPr

3 yx

yx 2nd

hyp sin

SGRAUZTECH® SGR64

cos tan nCr

FSE ( ) log ln

ab/c ° ' " +/– EXP DRG

←← 7 8 9 ÷

MR 4 5 6 ××

M+ 1 2 3 –

% 0 · = +

2nd

yx

yx

x21/x

3

10x

log

ex

ln

ΠΠ

EXP

d /c

ab/c

sin–1

sincos–1

costan–1

tan

2nd

2nd

yx

yx

3.141592654



69

Esecuzione del quadrato di un numero: 242

Digitiamo:

sul visore appare 576

Esecuzione della radice quadrata di un numero:

Digitiamo:


Esecuzione della potenza di un numero: 35

Digitiamo:


Esecuzione della radice di un numero:

Digitiamo:

sul visore appare 2

A questo punto non dovresti avere più dubbi sull’uso della calcolatrice tascabile,ma, proprio perché non ci sono più misteri e sei sicuro del mezzo, riteniamo dove-roso darti un piccolo consiglio.La macchina, eseguendo calcoli complicati in breve tempo, è un ottimo aiuto, ma ricor-da che è pur sempre uno strumento privo di capacità critica e pertanto devi semprefarne un uso ragionato.

Non dimenticare che anche la calcolatrice può sbagliare, per esempio quando le pilesi stanno scaricando, o quando si pigia erroneamente un tasto; perciò bisogna sem-pre osservare il risultato ottenuto e valutarlo. Per fare ciò, è necessario avere unabuona padronanza dei calcoli scritti e degli ordini di grandezza.Non bisogna, insomma, essere schiavi della calcolatrice e tantomeno fidarsi cieca-mente della macchina: se eseguendo 12 × 71 ottieni 1 200 000 qualche cosa non va!Ti conviene ripetere l’operazione.

STOPANDGO

Risolvi le seguenti espressioni utilizzando solo la calcolatrice tascabile.

=7yx2ND821

1287

=5yx3

4201

1024

x242

567 – 235 – 189 + 326 – 25 + 38 – 195 – – 174 – 93 = [20]

2 + (13 – 7) – (15 – 13) = [6]

15 – (18 : 3) : 2 + 5 = [17]

8 + 2 · 6 – 4 · 5 = [0]

[3]

(32 + 4) : 4 + 23 – 5 = [27]6

25 + 2 ⋅ 9 – 2 ⋅ 45

4

3

2

1



70

2 L’approssimazione e l’arrotondamento

Quando eseguiamo una divisione non esatta potremmo trovarci nelle condizioni diavere un risultato con molte cifre decimali e, anche se abbiamo eseguito i conti conla calcolatrice, non è conveniente riportare tutte le cifre decimali, anche perchéabbiamo visto che comunque la calcolatrice non sempre è in grado di riportare sulvisore tutte le cifre decimali del quoziente.Nella stessa situazione ci ritroviamo quando estraiamo la radice quadrata di unnumero che non sia un quadrato perfetto.È dunque necessario operare una scelta fondamentale: decidere quante cifre deci-mali tenere in considerazione per proseguire nei calcoli; “eliminare” un certo nume-ro di cifre, però, significa perdere in precisione, e quindi dobbiamo cercare di uti-lizzare numeri “comodi” senza allontanarci troppo dal risultato preciso: per questomotivo dobbiamo imparare ad approssimare.

Approssimare significa avvicinarsi.

L’approssimazione può essere effettuata per difetto o per eccesso.

Approssimare per difetto significa avvicinarsi rimanendo più piccoli del valore daapprossimare.Approssimare per eccesso significa avvicinarsi diventando più grandi del valore daapprossimare.

Consideriamo il numero decimale 7,367321 (non importa se è il risultato di unadivisione o dell’estrazione di una radice); possiamo scrivere che:

7,367320 < 7,367321 < 7,367330

Il valore 7,36732 si dice approssimato per difetto a meno di un centimillesimo;il valore 7,36733 si dice approssimato per eccesso a meno di un centimillesimo.

Considerando 7,36732 possiamo scrivere che:

7,36730 < 7,36732 < 7,36740

Il valore 7,3673 si dice approssimato per difetto a meno di un decimillesimo;il valore 7,3674 si dice approssimato per eccesso a meno di un decimillesimo.

Calcola la misura dell’ipotenusa di un triangolorettangolo i cui cateti misurano rispettivamen-te 27 cm e 36 cm. [45 cm]

Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo i cuicateti misurano rispettivamente 15 cm e 36 cm.

[90 cm]

Calcola l’area di un triangolo rettangolo in cuil’ipotenusa e il cateto maggiore misuranorispettivamente 41 cm e 40 cm. [180 cm2]

Calcola il perimetro di un triangolo rettangoloin cui l’area è di 96 cm2 e il cateto minoremisura 12 cm. [48 cm]

10

9

8

7

Risolvi i seguenti problemi sul teorema di Pitagora utilizzando la calcolatrice.

MODI DI DIRE

DEFINIZIONE



71


7,3670 < 7,3673 < 7,3680

Il valore 7,367 si dice approssimato per difetto a meno di un millesimo;il valore 7,368 si dice approssimato per eccesso a meno di un millesimo.


7,360 < 7,367 < 7,370

Il valore 7,36 si dice approssimato per difetto a meno di un centesimo;il valore 7,37 si dice approssimato per eccesso a meno di un centesimo.


7,30 < 7,36 < 7,40

Il valore 7,3 si dice approssimato per difetto a meno di un decimo;il valore 7,4 si dice approssimato per eccesso a meno di un decimo.


7 < 7,3 < 8

Il valore 7 si dice approssimato per difetto a meno di un’unità;il valore 8 si dice approssimato per eccesso a meno di un’unità.

Riepiloghiamo quanto detto in una tabella.

7,367321

approssimazione approssimazioneper difetto per eccesso

a meno di 7,36732 7,36733

a meno di 7,3673 7,3674

a meno di 7,367 7,368

a meno di 7,36 7,37

a meno di 7,3 7,4

a meno di 1 7 8

110

1100

11000

110000

1100000



72

Osservando il numero di partenza e le successive approssimazioni, possiamo ricava-re le seguenti regole pratiche.

Per approssimare un numero per difetto a meno di un’unità, a meno di un deci-mo, a meno di un centesimo, ecc., è sufficiente considerare quel numero fino allacifra dell’ordine richiesto.

L’approssimazione per difetto prende anche il nome di troncamento, infatti ilnumero viene troncato (cioè tagliato via) dopo la cifra dell’ordine considerato.

a meno di un centesimo = 13,5913,592564 approssimazione per difetto { a meno di un centimillesimo = 13,59256

a meno di un’unità =13

Per approssimare un numero per eccesso a meno di un’unità, a meno di un deci-mo, a meno di un centesimo, ecc., è sufficiente aumentare di un’unità l’ultima cifradella corrispondente approssimazione per difetto.

Dato il numero 42,6183, calcoliamo le sue approssimazioni per difetto e per eccesso.

Approssimazione Per difetto Per eccesso

a meno di 42,618 +1 42,619

a meno di 42,61 +1 42,62

a meno di 42,6 +1 42,7

a meno di 1 42 +1 43

Quando si esegue un’approssimazione, si eliminano una o più cifre decimali e quin-di si perde in precisione.Per limitare al massimo questa perdita di precisione, in alcuni casi è preferibileapprossimare per difetto e in altri approssimare per eccesso, proprio per avvicinar-si il più possibile al numero di partenza.Questo tipo di approssimazione “meditata” prende il nome di arrotondamento.

Arrotondare significa approssimare per difetto o per eccesso in modo daconservare la maggior precisione possibile.

Vediamo, con un esempio, come eseguire l’arrotondamento.

110

1100

11000

REGOLA PRATICA

REGOLA PRATICA

MODI DI DIRE

ESEMPIO

ESEMPIO



73

Consideriamo il numero 25,41637; possiamo dire che:

25,41630 < 25,41637 < 25,41640

L’approssimazione per difetto è 25,4163;L’approssimazione per eccesso è 25,4164.Il numero di partenza 25,41637 è più vicino a 25,41640 che non a 25,41630, per-ciò il suo arrotondamento coincide con il valore approssimato per eccesso, cioè25,4164.Proponiamoci di arrotondare il nostro numero a meno di un millesimo:l’approssimazione per difetto è 25,416;l’approssimazione per eccesso è 25,417.

Arrotondamento = 25,416.

L’arrotondamento è coinciso con l’approssimazione per difetto, perché è il valore piùvicino al reale.Nella pratica, per decidere se scegliere l’approssimazione per difetto o per eccessosi segue la seguente regola pratica:

Per arrotondare un numero a meno di un’unità, a meno di un decimo, a meno di uncentesimo, ecc., si guarda la cifra successiva all’ordine considerato: se questa è 0, 1,2, 3, 4, si approssima per difetto, se invece è 5, 6, 7, 8, 9 si approssima per eccesso.

Arrotondiamo i seguenti numeri a meno di un millesimo.

STOPANDGO

Approssima per difetto a meno di un centesimo i seguenti numeri.9,45332 25,65599 12,3964756 87,43322

Approssima per difetto a meno di un millesimo i seguenti numeri.2,34867 34,57322 987,3452 0,38465

Approssima per eccesso a meno di un decimo i seguenti numeri.4,563 92,395 24,593 32,485765

Approssima per eccesso a meno di un centesimo i seguenti numeri.7,4856 243,58744 58,4398 0,38576

4

3

2

1

Numero Approssimazione per difetto Approssimazione per eccesso Arrotondamento0,45721 0,457 0,458 0,45723,782689 23,782 23,783 23,7834,896534 4,896 4,897 4,89751,124383 51,124 51,125 51,124

REGOLA PRATICA

ESEMPIO



74

Arrotonda a meno di un millesimo i seguenti numeri.1,65993 76,54333 124,53333 3,29237

Completa la seguente tabella.

3 L’ordine di grandezza di un numero

Ogni numero intero è sempre compreso tra due potenze di 10, per esempio:

10 < 38 < 100 cioè 101 < 38 < 102

100 < 756 < 1000 cioè 102 < 756 < 103

1000 < 4923 < 10000 cioè 103 < 4923 < 104

Consideriamo la potenza di 10 più vicina al numero dato.

Si definisce ordine di grandezza di un numero la potenza di 10 più vicina alnumero stesso.

Dai nostri esempi deduciamo quindi che, essendo 38 più vicino a 101 che non a 102,l’ordine di grandezza di 38 è 101.Con analogo ragionamento, l’ordine di grandezza di 756 è 103 e l’ordine di gran-dezza di 4923 è 103.Nella pratica è spesso più utile conoscere l’ordine di grandezza di un numero piut-tosto che il numero preciso, specialmente se si tratta di numeri particolarmentegrandi.

• La distanza media tra la Terra e la Luna è di 348360 km, quindi l’ordine di grandezza della distan-za Terra–Luna è 105.

• La distanza media tra la Terra e il Sole è di 149500000 km, quindi l’ordine di grandezza della distan-za Terra–Sole è 108.

• La distanza tra Milano e Napoli è di 810 km, quindi l’ordine di grandezza della distanzaMilano–Napoli è 103.

Ordine di Numero Approssimazione Approssimazione Arrotondamentoapprossimazione per difetto per eccesso1—

100 37,54321—10 5,7861–––

1000 98,762191—

100 0,27821–––––

10000 9,3897631—10 11,1726

6

5

DEFINIZIONE

ESEMPI



75

STOPANDGO


Indica l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.

38465 8765 645920

4 La notazione esponenziale di un numero

Sempre parlando di numeri molto grandi, è spesso utile utilizzare una particolarescrittura che permetta di “risparmiare tempo e spazio”.Consideriamo il numero 1600000: possiamo pensarlo come prodotto di 16 · 100000, che equivale a 16 · 105 : questascrittura prende il nome di notazione esponenziale del numero.

Per scrivere un numero con la notazione esponenziale si scrive la parte del numerofino all’ultima cifra non nulla e la si moltiplica per la potenza di 10 avente come espo-nente il numero pari alla quantità di zeri che seguono tale cifra nel numero dato.

265 000 ⇒⇒ 265 · 103

106 700 ⇒⇒ 1067 · 102

8 090 000 000 ⇒⇒ 809 · 107

■ La notazione scientifica o notazione standard di un numero

Un numero scritto in notazione scientifica, o notazione standard, è un numero espres-so come prodotto di un numero compreso tra 1 e 10 per un’opportuna potenza di 10.

Per scrivere un numero maggiore di 1 in notazione scientifica si sposta la virgoladopo la prima cifra e si moltiplica per la potenza di 10 con esponente uguale alnumero di posti saltati dalla virgola e di segno positivo.

34 200 ⇒⇒ 3,42 · 104

63 894 000 ⇒⇒ 6,3894 · 107

847 634 ⇒⇒ 8,47634 · 105

2

Numero Potenze di 10 fra cui è compreso Ordine di grandezza

1587 1000 < 1587 < 10000 103 < 1587 < 104 103

8721634424789918222

8955

1

REGOLA PRATICA

ESEMPI

REGOLA PRATICA

ESEMPI



76

Come puoi vedere, la notazione scientifica o notazione standard di un numero è unparticolare tipo di notazione esponenziale. La notazione scientifica torna utile anche quando si devono esprimere numeri par-ticolarmente piccoli.Consideriamo il numero 0,000034: possiamo pensarlo come quoziente di 3,4 : 100000

o anche 3,4 · , che equivale a 3,4 · , ma la frazione può essere scritta

come potenza ad esponente negativo, cioè 10–5, quindi il nostro numero può esserescritto 3,4 · 10–5, che corrisponde alla notazione scientifica di 0,000034.Per scrivere un numero compreso tra 0 e 1 con la notazione scientifica, possiamoseguire la seguente regola pratica.

Per scrivere un numero minore di 1 con la notazione scientifica si sposta la virgo-la dopo la prima cifra non nulla e si moltiplica per la potenza di 10 con esponenteuguale al numero di posti saltati dalla virgola e di segno negativo.

0,00267 ⇒⇒ 2,67 · 10–3

0,00000051 ⇒⇒ 5,1 · 10–7

0,00009812 ⇒⇒ 9,812 · 10–5

STOPANDGO

Indica se i seguenti numeri sono scritti con notazione esponenziale o con notazione standard .54 · 103 4,5 · 108

653 · 102 324 · 107

2,78 · 105 97 · 102

1,897 · 106 1,4352 · 109

Scrivi con notazione esponenziale i seguenti numeri.12 500 87 000 000 2 324 000 980 342 000

2 000 000 54 300 9 370 000 500 000 7 600 000

Scrivi con notazione scientifica i seguenti numeri.38 576 7 546 333 264 962 3659 345

7 649 555 2749 374 536 495 800 5 353 388 77 667


Numero Notazione esponenziale Notazione scientifica35 867 000

5 729 000 000899 · 108

6 470 000 0007,5 · 103

9 100 000 0007,744 · 106

78 200 000190

56 · 107

4

3

2

SESESESESESESESE

SE1

1105

1100 000

REGOLA PRATICA

ESEMPI


Risolvi, con la calcolatrice tascabile,le seguenti espressioni.

1235 + 5764 + 8452 – 15 389 + 376 – 417 + 719 =[740]

2372 – 1789 + 23 457 – 15 789 + 2398 – 4355 =[6294]

148 726 – 98 574 – 34 879 –3427 + 54 768 –– 61 890 = [4724]

12 657 + 45 368 + 290 – 34 587 – 19 786 + 4321 =[8263]

3674 – 2976 + 467 – 1098 + 37 689 –28 465 – – 4531 = [4760]

35 + 17 · 7 – 102 + 24 = [76]

47 + 105 : 3 – 51 = [31]

27 + 16 · 23 – 15 · 13 - 53 · 2 = [94]

45 · 5 – 208 : 4 + 23 – 128 = [68]

87 + 75 · 3 – 12 – 288 : 6 – 720 : 8 - 81 · 2 =[0]

72 + 54 · 3 + 684 : 12 – 22 · 6 = [136]

43 · 4 – 55 · 3 + 63 : 12 – 24 = [9]

33 – + 4 · 18 – 220 : 5 = [42]

(3 + 5 + 7) · 4 – (11 + 8) · 3 = [3]

12 + (7 + 4) · 13 – 72 · 3 = [8]

Risolvi i seguenti problemi sul teorema diPitagora utilizzando la calcolatrice tascabile(riporta le prime tre cifre decimali visualizzate).

Calcola la lunghezza dell’ipotenusa di un triango-lo rettangolo in cui i cateti sono lunghi rispetti-vamente 14 cm e 23 cm. [26,925 cm]

Calcola la lunghezza del cateto maggiore di untriangolo rettangolo in cui l’ipotenusa è lunga49 cm e il cateto minore 27 cm. [40,890 cm]

Calcola la lunghezza del perimetro di un triango-lo rettangolo in cui i cateti sono lunghi rispetti-vamente 35 cm e 45 cm. [137,008 cm]

Calcola la lunghezza del perimetro di un triangolorettangolo in cui un cateto è lungo 40 cm e l’ipo-tenusa 64 cm. [153,959 cm]

In un triangolo rettangolo la somma dei cateti èdi 72 cm e uno è doppio dell’altro; calcola la lun-ghezza del perimetro del triangolo. [125,665 cm]

In un triangolo rettangolo la somma dei cateti èdi 98 cm e il maggiore supera il minore di 20 cm;calcola la lunghezza del perimetro del triangolo.

[168,724 cm]

L’area di un triangolo rettangolo è di 270 cm2 e ilcateto maggiore è lungo 45 cm; calcola la lun-ghezza dell’ipotenusa. [46,572 cm]

Calcola l’area di un triangolo rettangolo in cuil’ipotenusa è lunga 84 cm e il cateto maggiore72 cm. [1557,598 cm2]

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e il catetominore sono lunghi rispettivamente 89,044 cm e48 cm; calcola la lunghezza del perimetro e l’areadel triangolo. [212,042 cm; 1799,973 cm2]

In un triangolo rettangolo l’area è di 475 cm2 e ilcateto minore è lungo 25 cm. Calcola la lunghez-za del perimetro del triangolo. [108,486 cm]

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

16913

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione,l’ordine di grandezza, la notazioneesponenziale e standard4

LEZIONE

77

ESERCIZI



78

Completa le seguenti tabelle sull’approssimazione.

Approssimazione 0,9273659 15,8111722 9,7199993 18,1928374Per difetto Per eccesso Per difetto Per eccesso Per difetto Per eccesso Per difetto Per eccesso

0,010,0010,10,000110,000001

27


0,10,010,0010,00010,00001

26

Approssima per difetto a meno di un centesimoi seguenti numeri.3,784 78,112 0,222 9,943 12,298

Approssima per difetto a meno di un decimo iseguenti numeri.12,677 87,221 5,788 16,379 3,556

Approssima per difetto a meno di un millesimo iseguenti numeri.1,1876 4,2789 5,8796 9,2424 6,6754

Approssima per difetto a meno di un decimille-simo i seguenti numeri.0,03843 8,88888 2,39338 1,76398 3,22553

Approssima per eccesso a meno di un decimo iseguenti numeri.6,3487 2,7782 9,2622 5,2827 0,0237

Approssima per eccesso a meno di un millesimoi seguenti numeri.7,7667 8,3343 12,3442 5,8992 0,4332

Approssima per eccesso a meno di un decimo iseguenti numeri.12,3481 2,77449 3,3993 0,4176 5,7816

Approssima per eccesso a meno di un’unità iseguenti numeri.64,567 98,320 0,542 9,298 2,591

35

34

33

32

31

30

29

28

Completa le seguenti tabelle sull’arrotondamento.

Appross. 0,398273 7,293771 3,585235Difetto Eccesso Arrotond. Difetto Eccesso Arrotond. Difetto Eccesso Arrotond.

0,0010,010,00010,1

37


0,10,010,0010,0001

36


Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standardESERCIZI4LEZIONE

79

N° da arrotondare 0,01 0,000001 0,1 0,0001 0,0010,45912233,92883427,49933182,515952519,458521

39

N° da arrotondare 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,000012,895654332,4545450,91138418,99999995,6281135

38Approssimazione

Approssimazione

Arrotonda a meno di un decimo i seguenti numeri.2,4857 89,1742 2,4598 0,1783

Arrotonda a meno di un millesimo i seguentinumeri.0,03498 7,38382 9,29785 3,88225

Arrotonda a meno di un’unità i seguenti numeri.32,749 0,253 2,283 27,119

Arrotonda a meno di un centesimo i seguentinumeri.3,77689 0,02389 1,19375 17,17171

43

42

41

40

Completa le seguenti tabelle indicando l’ordine di grandezza dei numeri dati.


Numero Potenze di 10 fra cui è compreso Ordine di grandezza38 473

983 744874 299 112

11 7323 322 229

5 493 929 402

45

Numero Potenze di 10 fra cui è compreso Ordine di grandezza7823

23 789624

278 86545 698

3690

44

664 477 ⇒ ………………17 282 ⇒ ………………975 ⇒ ………………239 ⇒ ………………378 562 ⇒ ………………

2 675 449 876 ⇒ ………………7 659 877 767 ⇒ ………………945 546 565 ⇒ ………………356 675 342 ⇒ ………………85 534 322 ⇒ ………………

4746



80

Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri.

374 000 = .........................98 000 000 = .........................12 000 000 = .........................6 459 800 = .........................

76 880 000 = .........................34 000 000 000 = .........................

6 000 000 = .........................543 000 = .........................

745 600 000 = .........................23 000 000 000 = .........................

800 000 000 000 = .........................34 120 000 = .........................

Scrivi per esteso i seguenti numeri dati informa esponenziale.

12 · 102 = .........................354 · 104 = .........................45 · 105 = .........................

6745 · 105 = .........................8 · 107 = .........................

38 · 109 = .........................

2 · 104 = .........................34 · 107 = .........................

895 · 103 = .........................587 · 106 = .........................43 · 105 = .........................4 · 108 = .........................

Scrivi in notazione standard i seguenti numeri.

8743 = .........................9 567 000 = .........................

189 256 = .........................743 289 = .........................76 000 = .........................

34 700 000 = .........................

6 870 000 = .........................578 500 = .........................

732 487 000 = .........................2 777 666 000 = .........................

8 467 600 = .........................3400 = .........................

0,0087 = .........................0,00000000007 =

0,0000075 = .........................0,0000654 = .........................

0,003 = .........................0,065 = .........................

Scrivi per esteso i seguenti numeri dati innotazione standard.

1,78 · 103 = .........................3,37 · 102 = .........................4,5 · 104 = .........................

6,56 · 106 = .........................6,79 · 105 = .........................3,46 · 108 = .........................

2,5 · 105 = .........................3,34 · 106 = .........................8,23 · 104 = .........................5,32 · 103 = .........................4,13 · 109 = .........................6,89 · 102 = .........................

7,5 · 10–3 = .........................4,69 · 10–4 = .........................4,86 · 10–7 = .........................

1,345 · 10–2 = .........................9,456 · 10–5 = .........................

3,5796 · 10–6 = .........................

Completa le seguenti tabelle relative alla nota-zione esponenziale e alla notazione scientifica.

Numero Notazione esp. Notazione scient.4,56 · 105

2,7 · 107

9,567 · 104

2,45 · 106

8,4 · 103

6,2345 · 108

60

Numero Notazione esp. Notazione scient.76 · 104

345 · 102

1698 · 105

5 · 107

1387 · 103

36 578 · 106

59

Numero Notazione esp. Notazione scient.576 770 000348 000 000

4 543 00067 540

127 600 0005 640 000

58

57

56

55

54

53

52

51

50

49

48


VERIFICA4LEZIONE

81


Risolvi, con la calcolatrice tascabile, le seguentiespressioni.

3458 + 16 739 + 36 543 – 56 487 – 176 =

32 · 7 – 21 · 4 + 102 – 24 =

35 + 24 · (13 – 8) · 7 – 24 · 7 =

142 + 37 · 3 – 304 : 19 – 17 · 5 =

Risolvi i seguenti problemi sul teorema diPitagora utilizzando la calcolatrice tascabile.

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è lunga55 cm e il cateto maggiore 44 cm. Calcola ilperimetro e l’area del triangolo.

In un triangolo rettangolo la somma del catetominore e dell’ipotenusa è di 100 cm e l’ipotenu-sa supera di 10 cm il quadruplo del cateto.Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

7

6

8 576 15 52 + − ⋅ =5

4

3

2

1

ABILITÀ

Completa la seguente tabella sull’approssimazione.

Completa la seguente tabella sull’arrotondamento.


664 477 ⇒ ……………… 17 282 ⇒………………975 ⇒ ……………… 239 ⇒ ………………

Completa la seguente tabella relativa alla notazione esponenziale e alla notazione scientifica.


54 · 105

2,3987 · 107

7,534 · 104

769 · 103

92 735 000 000

11

dc

ba

10


0,10,0010,010,0001

9


0,010,00010,10,001

8


RECUPERO4LEZIONE

82


Risolvi, con la calcolatrice tascabile, le seguentiespressioni.

3648 + 2876 – 4976 – 347 =

45 · 6 - 31 · 3 + 235 – 356 =

18 + 36 · (143 – 124) – 26 · 11 =

92 + 16 · 7 – 19 · 5 =

Risolvi i seguenti problemi sul teorema diPitagora utilizzando la calcolatrice tascabile.

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è lunga65 cm e il cateto minore 32 cm. Calcola il peri-metro del triangolo.

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e il cate-to maggiore sono lunghi rispettivamente 52 cme 48 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

6

5

4

3

2

1

Completa le seguenti tabelle sull’approssimazione.

Completa la seguente tabella relativa all’ordine di grandezza di un numero.

Completa la seguente tabella relativa alla notazione esponenziale e alla notazione scientifica.


756 400720 000 000

29 4003 700 000

10

Numero Potenze di 10 fra cui è compreso Ordine di grandezza569

45 922298

8456874 403

9


0,10,010,001

8


0,10,010,001

7


• Saper rappresentare i numeri sullaretta orientata

• Saper eseguire le operazioni


• Le rappresentazioni grafiche:- istogrammi- ideogrammi- areogrammi- diagrammi cartesiani

• Saper leggere un grafico• Saper rappresentare una situazione

con il grafico adeguato

I grafici

83

5LEZIONE

Tutte le volte che si studia un particolare fenomeno o problema, si compiono osser-vazioni, rilevazioni, calcoli a volte complicati e quindi di difficile comprensioneimmediata. Le rappresentazioni grafiche costituiscono il modo più semplice perdescrivere la situazione, facendo capire rapidamente il problema con un solo “colpod’occhio”. Le rappresentazioni che adesso prenderemo in esame sono: i diagrammi cartesiani,gli istogrammi, gli ideogrammi e gli areogrammi.

1 Diagrammi cartesiani

Sono grafici molto adatti per rappresentare l’andamento di una grandezza chedipende da un’altra, come le ore del giorno e la temperatura, il guadagno di un’a-zienda e i mesi dell’anno, il consumo del petrolio e gli anni, cioè sono utili per rap-presentare due grandezze legate da una relazione.Essi furono ideati da un matematico francese, Cartesio (1596-1650), dal quale pre-sero il nome.Si tracciano due rette perpendicolari, una orizzontale, detta asse delle ascisse (x),e una verticale, detta asse delle ordinate (y), che si incontrano in un punto (O),detto origine, e poi si fissa una unità di misura (u), che può essere il quadretto o



84

il centimetro, la quale rappresenterà una quantità, da noi stabilita, della grandez-za che stiamo rappresentando. Tale unità di misura deve essere sempre definita.A volte, per ottenere una rappresentazione migliore, è necessario usare unità dimisura diverse per i due assi delle ascisse e delle ordinate.Il piano viene così diviso dalle due rette in quattro parti uguali, dette quadranti,che si susseguono in senso antiorario.

Se ricordiamo ora quanto visto in precedenza, possiamo dire che a ogni punto del-l’asse delle ascisse corrisponde un numero e ciascun numero ha una immagine geo-metrica sulla retta. Dato un punto P, possiamo tracciare le rette passanti per P eparallele ai due assi, che li intersecano nelle immagini di P sugli assi. A tali imma-gini corrispondono l’ascissa del punto P (quella sull’asse delle x) e l’ordinata delpunto P (quella sull’asse delle y). Per rappresentare sul piano cartesiano un punto Pdi ascissa x e ordinata y, si tracciano le parallele agli assi partendo dalla ascissa edalla ordinata di P; l’intersezione si dice immagine del punto P o rappresentazionecartesiana. I numeri che rappresentano l’ascissa e l’ordinata si chiamano coordinatecartesiane: il primo rappresenta sempre l’ascissa di P, il secondo l’ordinata. Per esem-pio, rappresentiamo il punto P = (2; 3). Fissiamo il quadrante, o piano cartesiano, el’unità di misura u, poi prendiamo due quadretti sulle ascisse e tre sulle ordinate.Quindi P = (2; 3) si legge: punto P di coordinate 2 e 3. Si può scrivere anche nellaforma P(2; 3).

y

xO

u

1

234

1 2 3 4 5 6

P(2; 3)

y (ordinate)

x (ascisse)O

1° quadrante

4° quadrante

2° quadrante

3° quadrante

u


I grafici5LEZIONE

85

Si può facilmente vedere, su un grafico cartesiano, che tutti i punti appartenentiall’asse delle ascisse hanno ordinata nulla e tutti i punti appartenenti all’asse delleordinate hanno ascissa nulla. L’origine ha entrambe le coordinate nulle.

Possiamo allargare il discorso ai quattro quadranti e operare in Z.

Possiamo ad esempio rappresentare il punto P(–2; 3) che si trova nel secondo qua-drante.

y

x

+3

–2

P(–2; 3)•

O

u

y

x

+3

+2

+1

–1

–2

–3

–3 –2 –1 +1 +2 +3O

u

y

xO

O = (0; 0)

1

23

Q

1 2 3 4 P

P = (x; 0) punto dell’asse xQ = (0; y) punto dell’asse y

4u



86

• Rappresentiamo sul piano cartesiano il poligono di vertici A(–4; –3), B(–4; 2), C(2; 2), D(2; –3) etroviamo la lunghezza del contorno.Fissiamo l’unità di misura (u = 1 quadretto) e rappresentiamo i vertici:

Abbiamo ottenuto un rettangolo; contiamo iquadretti: 6 + 5 + 6 + 5 = 22 quadretti, cioèla misura del contorno.

• Nella tabella seguente è rappresentata la temperatura massima di una città nell’ultima settimanadel mese di marzo.

Mettiamo la data sull’asse delle ascisse e la temperatura sull’asse delle ordinate. Osservando i valo-ri delle temperature, notiamo che la minima è 10 °C e la massima è 19 °C; quindi prendiamo comeunità di misura per le ordinate il quadretto, mentre, per una grafica migliore, prendiamo due qua-dretti come unità di misura per le ascisse.

Come puoi vedere, non abbiamo messo sull’asse delle ordinate tutte le temperature a partire da 0 °Ce sull’asse delle ascisse tutti i giorni del mese a partire dal 1° marzo, ma abbiamo “tagliato gli assi”per evitare di rendere il grafico troppo grande.

y

x

101112

26 27 28 29

131415161718

25 30 31

ux uy

O

Data

Temperatura (°C)

25

15

26

18

27

16

28

19

29

11

30

10

31

14

y

x

DA

CB

u

O

2

2

–3

–4

ESEMPI


I grafici5LEZIONE

87

STOPANDGO

Nella seguente tabella trovi il numero dei giorni di pioggia rilevati nell’anno 2009 in alcune città.

Rappresenta i dati con un diagramma cartesiano.

Rappresenta i seguenti punti sul piano cartesiano.A(–2; 3), B(–2; 5), C(5; 5), D(5; 3), E(3; 3), F(3; 2), G(0; 2), H(0; 3)Trova la misura del contorno del poligono ABCDEFGH.

Ricava dal grafico le coordinate dei vertici del poligono ABCDEF.

A( ; )B( ; )C( ; )D( ; )E( ; )F( ; )

2 Istogrammi

Gli istogrammi, o ortogrammi, sono grafici a colonne (o a strisce) che permetto-no di rappresentare, mediante rettangoli di uguale base ma di altezze diverse (oviceversa) i consumi, le produzioni, la natalità, ecc. Anche per questi grafici si devefissare una unità di misura.

• Rappresentiamo con un istogramma l’altezza sul livello del mare di alcune città italiane.

L’Aquila 720 m sul livello del marePerugia 490 m sul livello del mareVolterra 530 m sul livello del mareTrento 190 m sul livello del mareBolzano 260 m sul livello del mare

y

x

B

A

C D

u

E

F

O

3

2

Città Milano Londra Roma Parigi Napoli Atene

N°giorni 77 98 50 85 60 80

1

ESEMPI



88

• Rappresentiamo le lunghezze di alcuni fiumi con un ortogramma.

STOPANDGO

Rappresenta con un istogramma le seguenti situazioni.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

Po

Senna

Tamigi

Reno

Fiume Lunghezza

Po 652 km

Senna 776 km

Tamigi 336 km

Reno 1326 km

100 km

y

x

100

L’Aquila

100 m

200

300

400

500

600

700

800

Perugia Volterra Trento Bolzano

Da un’indagine nella città di Napoli effettuata trale 9 e le 10 del mattino nella via Aldo Moro si èrilevato che sono transitati i seguenti mezzi:

45 moto, 35 furgoni, 5 biciclette, 30 motocarri,10 camion, 120 auto.

Le distanze tra alcune città sono le seguenti:

Roma-Firenze 280 kmGenova-Milano 145 kmVenezia-Ferrara 115 kmRoma-Napoli 220 km

Nel 2009 la produzione di rifiuti in Svizzera èstata la seguente:

Tipo Quantità in milioni di t

speciali 3000tossici 800urbani 2500

Il numero di figli di tre famiglie è il seguente:

Famiglia FigliGuanzi 3Sorpresi 1Bonzelli 5

4

3

2

1


I grafici5LEZIONE

89

3 Ideogrammi

Un altro metodo di rappresentazione grafica molto usato, soprattutto su quotidianie giornali in genere, è l’ideogramma, poiché il disegno fornisce un’idea immediatadi ciò che si rappresenta. Si prende un’immagine del prodotto da rappresentare e si assegna un valore nume-rico, cioè si indica l’unità di misura.

• Nel 2008 la produzione del grano in alcuni paesi, che ne sono i principali produttori, è stata laseguente, in migliaia di tonnellate:

Poiché si parla di grano, risulta spontaneo utilizzare, come ideogramma, la spiga che, visti idati, rappresenterà 10 000 migliaia di tonnellate; quindi avremo:

• Nella seguente tabella sono riportati i consumi bimestrali di energia elettrica, in chilowattora, diuna azienda.

Prendiamo come ideogramma la lampadina , con la convenzione che equivalga a 1000chilowattora:

1° BIMESTRE

2° BIMESTRE

3° BIMESTRE

4° BIMESTRE

5° BIMESTRE

6° BIMESTRE

Bimestre 1° 2° 3° 4° 5° 6°Consumo 6700 5500 4800 2500 4600 6000

USA

Cina

Russia

Francia

Italia

USA 70 500

Cina 29 000

Russia 71 000

Francia 14 000

Italia 10 000

ESEMPI



90

Da un ideogramma si può rilevare immediatamente l’andamento generico di un evento; i dati nonsono esatti come quelli riportati dalla tabella ma approssimati, risulta infatti difficile nel disegnorappresentare quantità diverse dell’intero o dalla metà.

STOPANDGO

Rappresenta la seguenti situazioni con un ideogramma.

Il numero di visitatori di una pinacoteca, negli ultimi cinque anni, è stato il seguente.

La quantità di fragole prodotte da una azienda agricola specializzata, negli ultimi cinque anni,è stata la seguente.

Sono state intervistate sei famiglie sul consumo di tazzine di caffè in un mese e si sono ottenutii seguenti dati.

4 Areogrammi

In un areogramma, detto anche diagramma circolare o diagramma a torta, simette in evidenza come un totale venga diviso, in spicchi, tra le sue componenti.È molto usato nelle rilevazioni statistiche o quando si vogliono evidenziare i risul-tati delle elezioni politiche o le percentuali dei vari componenti di un oggetto, diuna assemblea, ecc.Per costruire un areogramma bisogna trovare le ampiezze di ogni settore o spicchio.

• In Italia le superfici occupate dalle aziende agricole, ripartite secondo le diverse zone altimetriche,sono: 30% in montagna, 45% in collina e 25% in pianura.

Rappresentiamo il totale delle superfici delle aziende agricole con un cerchio, che deve essere sud-diviso in parti. L’intero cerchio corrisponde a 360°; quindi, dividendo il totale delle superfici,30 + 45 + 25 = 100, per 360° troviamo a quanto corrisponde 1°.

100 : 360° ≅ 0,278 approssimato per eccesso

Dividendo ora il numero che rappresenta ogni percentuale per 0,278, otteniamo l’ampiezza delleparti cercate.

Famiglia 1 2 3 4 5 6Tazze di caffè 50 60 35 24 45 20

3

Anno 2005 2006 2007 2008 2009kg prodotti 35 000 28 000 30 000 38 000 40 000

2

Anno 2005 2006 2007 2008 2009N° visitatori 800 1100 900 1300 1500

1

NOTA

ESEMPI


I grafici5LEZIONE

91

30 : 0,278 ≅ 108° 45 : 0,278 ≅ 162° 25 : 0,278 ≅ 90°

Disegnamo ora il cerchio, con raggio a piacere, e con il goniometro lo dividiamo nelle tre parti ampierispettivamente 108°, 162° e 90°.

• In un liceo, nel 2009, su 600 alunni 180 sono stati promossi a giugno, 55 respinti e il resto ha avutoalmeno un debito.

Procediamo come nell’esempio precedente.

600 : 360° ≅ 1,67180 : 1,67 ≅ 108°55 : 1,67 ≅ 33°365 : 1,67 ≅ 219°

Il grafico sarà:

Poiché i risultati delle divisioni sono approssimati, il totale delle ampiezze delle parti in genera-le può non essere uguale a 360°.

debitopromossi

respinti

Promossi 180Respinti 55Debito 365

Totale 600

collina 45%pianura 25%

montagna 30%

NOTA



92

STOPANDGO

Una famiglia ha un’entrata mensile di € 2500; spende mensilmente € 800 per il vitto, € 950 per la casa,per l’abbigliamento € 300 e per spese varie € 450. Rappresenta i dati con un areogramma.

Da una indagine effettuata in una scuola secondaria, risulta che 350 ragazzi praticano come sport il cal-cio, 770 il basket, 200 altri sport e 180 nessuno sport. Rappresenta i dati con un grafico.

Nella seguente tabella sono riportati i dati relativi ai prodotti italiani maggiormente esportati.

Rappresenta i dati con un areogramma.

STORIA&MATEMATICA

■ Cartesio

L’introduzione di un sistema di coordinate nel piano o nello spazio si deve a CCaarrtteessiioo: ecco per-ché si parla di ssiisstteemmaa ccaarrtteessiiaannoo oorrttooggoonnaallee.Con Cartesio l’algebra e la geometria si fondono e danno luogo alla ggeeoommeettrriiaa aannaalliittiiccaa.Ma chi era Cartesio e quando visse?Il suo vero nome era René Descartes, nacque nel 1596 in Francia e morì a Stoccolma nel 1650.Di nobile famiglia, studiò dai gesuiti e, dopo aver conseguito il Baccalaureato, intraprese la car-riera militare.Passò poi al servizio di Massimiliano di Baviera;dopo una crisi intellettuale lasciò l’e-sercito e si dedicò solo agli studi matematici che erano sempre stati la sua passione principale.Viaggiò molto, soprattutto in Italia, Francia, Olanda e Germania. Nel 1649 accolse finalmente l’in-vito della regina Cristina di Svezia, che da tempo lo voleva nelle sue Università perché aveva capi-to l’immenso genio di Cartesio.A Stoccolma rimase però pochi mesi,poiché morì di polmonite poco dopo il suo arrivo in Svezia.Descartes ebbe notevole importanza anche come filosofo. Con l’applicazione del metodo scien-tifico e del ragionamento matematico applicato alle più svariate discipline, Descartes contribuìpiù di ogni altro ad aprire le strade alla moderna scienza.Un’applicazione quotidiana della geometria analitica si può vedere negli Stati Uniti d’America.In tutte le città d’Europa, le strade urbane sono denominate con il nome di illustri personaggio sono associate a date importanti della storia del paese: tutto ciò è molto bello,ma uno stranieroche non conosce la lingua del paese fatica a trovare un indirizzo. Negli USA è sufficiente cono-scere i numeri (sono un linguaggio universale) per arrivare a destinazione. Ad esempio, la cittàdi New York è stata costruita con le strade che si intersecano tra di loro formando angoli retti.Le vie da Nord a Sud si chiamano Avenue, quelle da Ovest a Est si dicono Street. I due differentivocaboli indicano uno le ascisse e l’altro le ordinate del reticolo cartesiano corrispondente allevie della città. La numerazione ha origine da una via centrale, Broadway, che non ha numeropoiché è l’ordinata zero ed è l’unica via indicata con un nome. Un turista, per raggiungere lasua méta partendo da Broadway, deve semplicemente seguire la numerazione della strade.

Prodotti Quantità (t)

pasta 653 000

pomodori 190 000

parmigiano 115 000

olio d’oliva 139 000

3

2

1


I grafici5LEZIONE

93

ESERCIZI

Su un sistema cartesiano ortogonale rappresenta iseguenti punti, dopo aver fissato una opportunaunità di misura.

A(0; 4), B(5; 3), C(3; 12), D(4; 0)

M( ; ) N(3; )

P(0; ) Q( ; )Verifica che i seguenti punti sono allineati.

A(1; 0), B(4; 3), C(2; 1), D(3; 2)

Rappresenta, dopo aver assunto le opportuneunità di misura, i seguenti punti su un piano car-tesiano.

A(3; 2 000 000)B(1; 1 500 000)C(3; 4 000 000)

A(150; 150 000)B(200; 250 000)C(75; 100 000)

5

4

3

32

32

35

52

14

34

2

1

Trova le coordinate dei punti dati sul piano cartesiano.

y

x

A

B

D

CA(.....; .....)B(.....; .....)C(.....; .....)D(.....; .....)

u

O

7

y

x

A

A(.....; .....)

D

B(.....; .....)C(.....; .....)

B C

D(.....; .....)

u

O

6



94

A B

CD

EF

GD

y

x

u

A(.....; .....)B(.....; .....)C(.....; .....)D(.....; .....)E(.....; .....)F(.....; .....)G(.....; .....)H(.....; .....)

O

10

u

A B

CD

y

x

A(.....; .....)B(.....; .....)C(.....; .....)D(.....; .....)

O

9

y

x

A

D

C

B 12

A(.....; .....)B(.....; .....)C(.....; .....)D(.....; .....)

u

O

8


I graficiESERCIZI5LEZIONE

95

Congiungi ABCDEFGHILMNKPQRSTA, poi AXY, poi TVZ, poi LW e infine A’, B’, C’, D’.

A(8; 4) B(11; 7) C(9; 7) D(7; 8) E(5; 8) F(3; 7)G(4; 9) H(4; 11) I(3; 12) L(2; 12) M(0; 11) N(3; 11)K(3; 9) P(2; 7) Q(2; 6) R(3; 5) S(4; 5) T(6; 4)V(5; 2) Z(4; 2) W(2; 11) X(7; 2) Y(6; 2)A’(5; 7) B’(5; 6) C’(6; 5) D’(9; 6)

uy

xO

11



96

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti, usando come unità di misura due quadretti.

A(6; 11) B(6; 7) C(5; 8) D(4; 8) E(3; 7) F(3; 5)G(5; 3) H(7; 3) I(9; 5) L(9; 7) M(8; 8) N(7; 8)S(6; 9) P(8; 11) Q(10; 10) R(8; 9)

Congiungi ora ABCDEFGHILMNB e SPQRS.

uy

xO

12



97

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti, usando come unità di misura due quadretti.

A(8; 2) B(8; 3) C(9; 3) D(9; 2) E(3; 2)F(4; 1) G(7; 1) H(5; 2) I(5; 3) L(4; 4)M(7; 4) N(6; 3) V(6; 2) P(5; 4) Q(5; 7)R(6; 7) S(6; 4) T(5,5; 8) U(5,5; 7)

Congiungi ora ABCDEFGA, poi HILMNV, poi PQRS e infine TU. Otterrai, così, un oggetto molto utile in circo-stanze particolari nelle quali tutti ci siamo trovati.

uy

xO

13



98

Rappresenta sul piano cartesiano i punti che seguono, poi unisci ABC, DEFGHI, LMN, TP, QRS e infineSA'B'C'D'E'F'G'H'I'L'M'N'O'P'Q'R'S'S. Metti un punto nero in (12,5; 6) e annerisci il punto L'.

A(6; 3) I(7; 6) S(7; 3) H'(12; 7)B(2; 3) L(1; 7) A'(7; 2) I'(13; 7)C(2; 8) M(5; 12) B'(6; 2) L'(14; 6)D(3; 3) N(9; 7) C'(6; 5) M'(13,5; 4,5)E(3; 7) T(8; 8) D'(5; 6) N'(13; 5)F(4; 8) P(8; 6) E'(5; 7) O'(12; 5)G(6; 8) Q(8; 3,5) F'(7; 6) P'(11; 4)H(7; 7) R(8; 3) G'(10; 6) Q'(11; 2)

R'(10; 2)S'(10; 4)

uy

xO

14



99

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti e poi unisci ABCDEFGHILMND, SP, QR e metti un puntonero in (6; 4,5) e in (7; 4).

A(0; 1) B(1; 2) C(0; 3) D(1; 4)E(7; 4) F(6; 5) G(6; 6) H(5; 6)I(5; 5) L(4; 6) M(2; 6) N(1; 5)S(2; 5) P(3; 4) Q(4; 5) R(5; 4)

uy

xO

15



100

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti e poi unisci ABCDEFGHILMNK, PQR, SN; unisci con unacurva KAP e RS. Unisci infine NTUN e NVZN.

A(13; 9) B(17; 9) C(17; 8) D(15; 7)E(16; 7) F(18; 8) G(18; 9) H(17; 10)I(17; 11) L(16; 12) M(15; 12) N(14; 11)K(14; 10) P(12; 10) Q(12; 11) R(12,5; 10,5)S(13,5; 10,5) T(12; 12) U(13; 13) V(14; 13)

Z(15; 13)

uy

xO

16



101

Rappresenta su un piano cartesiano i punti A, B, C, D, congiungili in ordine alfabetico e verifica che si trat-ta di un trapezio rettangolo.

A(1; 2)B(6; 2)C(4; 6)D(1; 6)

Congiungi in ordine alfabetico i seguenti punti dopo averli rappresentati sugli assi cartesiani(unità di misura: 1 quadretto = 2 m2).

A(5; 1)B(7; 1)C(7; 5)D(5; 5)E(5; 7)F(2; 7)G(2; 3)H(5; 3)

La figura ottenuta rappresenta la pianta di un ufficio, che si vuole rimodernare posando della moquette checosta € 37,50 al m2. Quale sarà la spesa totale se la posa in opera costerà € 125?

[€ 1625]

Rappresenta sul piano cartesiano xOy i punti A(6; 0), B(3; 2), C(6; 4), D(9; 2).Congiungili in ordine alfabetico e trova l’area del poligono ottenuto. [12]

Rappresenta sul piano cartesiano xOy i punti A(3; 0), B(8; 0), C(8; 4), D(3; 4).Congiungili in ordine alfabetico e trova il perimetro e l’area del poligono ottenuto. [18; 20]

20

19

2 m2y

xO

18

uy

xO

17



Rappresenta sul piano cartesiano xOy i seguentipunti e poi congiungili in ordine alfabetico: cosaottieni?

A(1; 3), B(5; 8), C(7; 4), D(12; 5)[spezzata]

A(2; 3), B(8; 3), C(5; 7)[triangolo isoscele]

A(0; 0), B(5; 0), C(5; 5), D(0; 5)[quadrato]

A(3; 0), B(3; 4), C(13; 4), D(13; 0)[rettangolo]

A(3; 1), B(5; 2), C(3; 3), D(1; 2)[rombo]

I punti A(4; 1), B(8; 3), C(4; 5) sono tre verticiconsecutivi di un rombo. Ricava sul grafico lecoordinate del quarto vertice D. [D(0; 3)]

Rappresenta sul piano cartesiano i punti A(4; 1),B(6; 5), C(1; 3), D(9; 3). Congiungi A con B e C conD e verifica che si ottengono due segmenti inci-denti in un punto P. Ricava dal grafico le sue coor-dinate. [P(5; 3)]

È dato il rettangolo di vertici A(8; 1), B(8; 5),C(2; 5), D(2; 1). Trova le coordinate del punto Pdi intersezione delle diagonali. [P(5; 3)]

I punti A(8; 3), B(8; 8), C(3; 8) rappresentano itre vertici di un quadrato ABCD. Trova le coordi-nate del punto D. [D(3; 3)]

È dato un rettangolo di vertici A(3; 0), B(3; 4),C(13; 4), D(13; 0). Trova le coordinate del punto Pdi intersezione delle diagonali. [P(8; 2)]

Trova le coordinate del vertice A che forma unrombo con i punti B(11; 4), C(6; 6), D(1; 4).

[A(6; 2)]

È dato il trapezio isoscele ABCD. Sapendo che labase maggiore è AB e che A(3; 2), B(10; 2), chel’altezza è di 3 unità di misura e che la baseminore CD è di 5 unità di misura, trova le coordi-nate di C e D. [C(9; 5) D(4; 5)]

Il parallelogramma ABCD ha la base AB coinciden-te con l’asse delle ascisse. Sapendo che D(4; 4),A(0; 0) e C(8; 4), trova le coordinate del punto B.

[B(4; 0)]

Di un trapezio rettangolo ABCD si conoscono ivertici A(0; 2), B(0; 7), C(5; 11). Trova le coordi-nate di D.

[D(5; 2)]

Sono dati due punti A(6; 2) e B(8; 2). Costruiscisu AB un rettangolo ABCD di altezza pari a 5unità di misura e trova le coordinate di C e D.

[C(8; 7) D(6; 7)]

A(3; 1), B(5; 2) e C(3; 3) sono i tre vertici con-secutivi di un rombo. Calcola le coordinate delquarto vertice D.

[D(1; 2)]

Nel triangolo rettangolo ABC sono dati B(2; 1) eC(0; 3). Trova le coordinate del punto A, verticedell’angolo retto situato sull’asse delle ordinate.

[A(0; 1)]

Del triangolo isoscele ABC, di base AC, si conosco-no le coordinate dei punti A(2; 1) e C(6; 1). Trovale coordinate del vertice B, sapendo che l’altezza èpari a 5 unità di misura.

[B(4; 6)]

Rappresenta graficamente, secondo i dati dellaseguente tabella, l’allungamento subito da unamolla rispetto ai pesi applicati.

Allungamento (cm) Pesi (g)

1,5 10

3 20

4,5 30

6 40

7,5 50

9 60

10,5 70

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

26

25

24

23

22

21

102



103

Una concessionaria di auto ha venduto in ognibimestre le seguenti quantità di auto:

Rappresenta i dati graficamente.

Il signor Rossi ha registrato con il suo barometronella giornata del 10 marzo dello scorso anno, aore diverse, la pressione atmosferica e ha ripor-tato i seguenti valori:


In un museo, nei primi sei mesi dell’anno 2009,si sono registrati i seguenti dati:


La popolazione scolastica di una scuola ha subitonegli anni 1999-2009 i seguenti incrementi annuali:


Anno Incrementi popolazione scolastica1999 30

2000 35

2001 24

2002 41

2003 22

2004 20

2005 19

2006 24

2007 31

2008 18

2009 15

43

Mese N° visitatori

gennaio 1800

febbraio 650

marzo 700

aprile 1200

maggio 1500

giugno 2000

42

Ora Pressione (mmHg)

0 760

4 765

8 758

12 768

16 775

20 760

24 760

41

Periodo N° auto

gennaio-febbraio 18

marzo-aprile 25

maggio-giugno 30

luglio-agosto 19

settembre-ottobre 10

novembre-dicembre 8

40

Rappresenta graficamente, secondo i dati della tabella, la temperatura di un paziente nell’arco di unagiornata.

Rappresenta graficamente l’andamento delle nascite registrate in una città lombarda negli anni 2004-2008,i cui dati sono forniti dalla seguente tabella.

Anno 2004 2005 2006 2007 2008

Nascite 160 148 190 210 150

45

Ora 2 6 10 14 18 21 24

Temperatura in °C 36 36,5 37,5 36 38 37,5 36,7

44



104

Rappresenta graficamente secondo i dati della tabella le temperature massime registrate in una città italia-na negli ultimi 7 giorni del mese di maggio.

Il grafico rappresenta la quantità di merce venduta da una ditta nel corso di un anno: osserva e completala tabella seguente, indicando la quantità di merce venduta per ogni mese.

La vendita maggiore è stata registrata nel mese di ………………La vendita minore è stata registrata nel mese di ………………Ci sono mesi in cui si è venduta la stessa quantità di merce? ………………c

b

a

Mese gen feb mar apr mag giu lug ago set ott nov dic

Quantità (t) 75 35 60

merce (t)

mese

1009590858075706560555045403530252015105

G F M A M G L A S O N D

--------------------

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

E E A P A I U G E T O IN B R R G U G O T T V C

O

47

Giorno 25 26 27 28 29 30 31

Temperatura in °C 15 18 16 19 11 10 14

46



105

Rappresenta graficamente, secondo i dati della tabella, la temperatura di un paziente nell’arco di unagiornata e completa le frasi.

La temperatura più alta è ………………Tra le 6 e le 12 tende a ………………Tra le 12 e le 16 tende a ………………Tra le 16 e le 22 tende a ………………d

c

b

a

Ora 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Temperatura in °C 37 37,5 37,5 38,2 38,5 39 39,5 39,8 38,2 37,5 37,2

48

Rappresenta con un istogramma le altitudini deiseguenti monti, dopo aver assunto un’opportunaunità di misura.

Rappresenta con un istogramma le seguentidistanze stradali.

Nella seguente tabella sono riportati i dati rela-tivi alle velocità massime raggiunte dagli alunnidi una scuola in alcuni sport. Rappresenta i daticon un istogramma.

Nella tabella seguente sono registrati i dati relati-vi agli alunni che frequentano le scuole superioriin una città italiana. Rappresenta i dati con unistogramma.

La seguente tabella riporta il numero di decessiper AIDS, in Italia, negli anni dal 1985 al 1990.

Rappresenta i dati con un istogramma.

Osserva la seguente tabella relativa ai luoghi divilleggiatura degli alunni della classe 3ª A.


Luogo di villeggiatura Ragazzi

monti 5

mare 15

altro 4

54

Anno N° decessi

1985 89

1986 268

1987 563

1988 857

1989 1407

1990 1947

53

Istituto N° alunni

Liceo classico 100

Liceo scientifico 459

Istituto commerciale 358

Istituto tecnico 300

Liceo linguistico 150

Istituti professionali 257

52

Sport Velocità (km/h)

nuoto 7

equitazione 70

pattinaggio 45

atletica 34

ciclismo 50

51

Percorso Distanza (km)

Milano-Firenze 320 km

Milano-Como 50 km

Milano-Roma 580 km

Milano-Napoli 770 km

Milano-Verona 165 km

Milano-Genova 145 km

50

Monte Altitudine

Monte Rosa 4633 m

Ararat 5165 m

K2 8612 m

Everest 8848 m

49



106

Durante una gara scolastica di salto in lungo sisono registrati i seguenti risultati massimi.


In una città, in una certa via, il traffico rilevato trale ore 10 e le ore 12 del mattino è stato il seguente.


Tipo veicolo Frequenza

moto 50

camion 30

auto 120

furgoni 20

biciclette 50

56

Allievo Lunghezza saltoGianni 6,2 mFilippo 5,6 mSandro 5,8 mGiuseppe 6 mLivio 7 mFranco 6,5 m

55

Il seguente istogramma rappresenta gli acquisti mensili fatti dalla signora Maria per rifornire la sua dispensa.

Osserva attentamente e poi rispondi alle seguenti domande:quante scatole di merce sono state acquistate in tutto?quante scatole di ogni singola merce sono state acquistate?b

a

Riso

Marmellata

Biscotti

Pasta

Pelati

1 scatola

57

Da un’indagine fatta in una scuola secondariarisulta che gli alunni della classe 1ª D si recanoa scuola con mezzi diversi.

Rappresenta i dati con un ideogramma.

Una ditta che produce scarpe ha esportato negliUSA, negli ultimi tre anni, le seguenti quantità dipaia di scarpe.


2007 esportate 12 0002008 esportate 95002009 esportate 11 000

59

10 vanno a scuola in bicicletta7 vanno a scuola in auto4 vanno a scuola a piedi

58



107

Da un’indagine fatta su 15 ragazzi è risultato che9 giocano a calcio, 3 a tennis e i rimanenti sidedicano alla pallacanestro. Illustra la situazionecon un ideogramma.

La tabella che segue riporta il numero di decessiper overdose in Italia, negli anni che vanno dal1985 al 1990.


Il signor Pippo è un contadino che ogni mattinaraccoglie le uova nel pollaio. Osserva la tabella erappresenta i dati con un ideogramma.

In una città gli alunni della scuola primaria sono750, quelli della scuola secondaria sono 830 equelli delle scuole superiori sono 1050. Dopo averadottato un’opportuna unità di misura, rappresen-ta con un ideogramma.

In un’azienda agricola, negli anni 2004-2009, laproduzione di patate è stata la seguente.


La produzione di uva in alcune regioni italiane èstata, nell’anno 2005, la seguente:

Assumendo un’opportuna unità di misura, rappre-senta i dati con un ideogramma.

In un’azienda agricola si alleva bestiame. Osservala tabella e rappresenta i dati con un istogramma.

Il grafico seguente si riferisce alla produzione divino di quattro aziende agricole dell’Oltrepo pave-se. Osserva e rispondi alle domande.(�= 10 000 ettolitri).

LA VINOSA ��LA BODEGUITA DEL VINO ��VINUM ULTRAPADANUM �VENI VIDI VINI ��

Quali sono le aziende maggiori produttrici divino?Quanti ettolitri ha prodotto ciascuna azienda?

L’ideogramma seguente rappresenta il numero diaerei decollati in un anno da alcuni aeroporti ita-liani. Osserva e rispondi alle domande.(� = 20 000 decolli)

TORINO CASELLE �

MILANO MALPENSA ��

ROMA FIUMICINO ��

NAPOLI CAPODICHINO �

PALERMO FALCONE-BORSELLINO ��

Qual è l’aeroporto con maggior traffico?Qual è quello con il traffico minore?Quanti sono stati i decolli da Milano?Quanti sono stati i decolli da Roma?Quanti sono stati i decolli da Napoli?e

d

c

b

a

68

b

a

67

Bestiame N° unità allevatebovini 900suini 1100ovini 850

66

Regione Produzione (q)

Piemonte 4 300 000

Lombardia 1 700 000

Veneto 9 300 000

Toscana 3 900 000

Lazio 3 200 000

Puglia 11 000 000

65

Anno Produzione (kg)2004 12002005 10002006 15002007 20002008 1800

64

63

Giorni N° uova

lunedì 7

martedì 11

mercoledì 9

giovedì 8

venerdì 12

sabato 5

domenica 15

62

Anno N° decessi

1985 242

1986 292

1987 543

1988 809

1989 973

1990 1152

61

60



108

Osserva il seguente grafico, che illustra il mezzodi trasporto usato dagli alunni di un istituto tec-nico di una città italiana, poi rispondi alledomande.

Che tipo di grafico è?Qual è il mezzo di trasporto più usato?Qual è il mezzo di trasporto meno usato?Si può dire che molti alunni vanno a scuola inauto?

In una città italiana il consumo di energia èdistribuito come indicato in tabella.

Rappresenta i dati con un diagramma circolare.

Il territorio italiano è suddiviso come indicato intabella.

Rappresenta i dati con un aerogramma.

Nel 2007, in Italia, si sono prodotti 860 000quintali di funghi. Nella tabella sono riportate lequattro regioni maggiori produttrici.

Trova le quantità, in quintali, prodotte da taliregioni e rappresenta con un grafico a torta laproduzione totale.

In 100 g di mais sono contenuti 12 g di acqua,9,5 g di proteine, 4 g di lipidi e 75,5 g di glucidi.Rappresenta i dati con un diagramma circolare.

Nel 2004, in Italia, si sono prodotte 968 000 ton-nellate di insaccati, secondo la tabella seguente.

Rappresenta i dati con un grafico a torta.

In Italia, ogni anno, il 57% di tutti i rifiutidomestici accumulati viene collocato nelle disca-riche, il 16% viene incenerito in appositi impian-ti e il 27% viene recuperato con la raccolta dif-ferenziata. Rappresenta i dati con un grafico a torta.

Da una rilevazione effettuata in una certa zonarisulta che il lavoro è distribuito come indicato intabella:

Rappresenta la situazione con un diagramma cir-colare.

Gli alunni che frequentano le classi prima, secon-da e terza in una scuola secondaria sono rispet-tivamente 126, 114 e 60. Trova in percentuale glialunni delle tre classi e rappresenta i dati con unareogramma.

Nella seguente tabella sono riportate le fonti diemissione di anidride carbonica con le rispettivepercentuali.

Rappresenta i dati con un grafico a torta.

Settore % emissionitrasporti 30%produzione di elettricità 28%uffici e abitazioni 20%industria 18%agricoltura 4%

78

77

Settore Occupatiagricoltura 35 000industria 63 000altre attività 42 000

76

75

Tipo insaccato Quantitàsalame 104 000 tprosciutto crudo 170 000 tmortadella 194 000 tprosciutto cotto 300 000 taltri insaccati 200 000 t

74

73

Regione % produzioneVeneto 60%Piemonte 11%Lazio 8%Emilia Romagna 9%

72

Tipo territorio %pianura 23%collina 42%montagna 35%

71

Attività % consumiagricoltura 13%industria 50%terziario 37%

70

d

c

b

a

ciclomotore mezzipubblici

auto

69



109

Un’indagine sui tipi di giornali letti dagli alunnidi una classe ha dato i seguenti risultati.

Rappresenta graficamente questa situazione conun istogramma e con un ideogramma.

Rappresenta con un istogramma la seguentetabella che mostra le altezze dei sette tra i piùalti edifici del mondo.

Da una rilevazione effettuata in una zona risultache le forze di lavoro risultano distribuite nelmodo seguente.

Calcola le percentuali riferite alle forze comples-sive di lavoro e rappresenta con un areogrammala distribuzione. [25%; 45%; 30%]

Rappresenta con un areogramma la distribuzionedella produzione di riso nel mondo nel 1970.

La distribuzione del suolo di una data zona è laseguente.

Rappresenta tale distribuzione con un areogramma.

Rappresenta con un diagramma la seguentetabella che mostra le velocità orbitali dei piane-ti nel nostro sistema solare.

Rappresenta graficamente la temperatura di unammalato misurata a ore diverse della giornata.

Un’inchiesta condotta su 50 ragazzi ha rilevato laseguente situazione:

24 cioè il 48% predilige la musica rock9 cioè il 18% predilige la musica elettronica3 cioè il 6% predilige la musica punk

14 cioè il 28% predilige la musica pop

Rappresenta la situazione con un grafico.

86

Ora Temperatura (°C)2 394 386 37,58 38,2

10 38,512 3914 38,316 37,618 37,520 37

85

Pianeta Velocità (km/s)Mercurio circa 48Venere circa 35Terra circa 30Marte circa 24Giove circa 13Saturno circa 10Urano circa 7Nettuno circa 5Plutone circa 5

84

Tipo suolo Percentualeseminativo 45%prati e pascoli 20%boschi 15%frutteti 8%improduttivo 12%

83

Regione Migliaia di tonnellateEuropa 1200Russia 360Nord e Centro America 4500Sud America 7700Asia 140 000Africa 6000Oceania 250

82

Settore Occupati (in migliaia)agricoltura 70industria 126altre attività 84

81

Edificio Altezza (m)Empire State Building 381Chrysler Building 319Tour Eiffel 300Wall Street Building 290Bank of Manhattan 283R.C.A. Building, Rockfeller C. 259Woolworth Building 241

80

Tipo di letture Quantitàfumetti 12quotidiani 7rotocalchi 4riviste sportive 8riviste scientifiche 5

79


VERIFICA5LEZIONE

110


Vero o falso ?

In un grafico cartesiano la retta oriz-zontale è l’asse delle ascisse.Sul piano cartesiano le ordinate si tro-vano sulla retta verticale.In un istogramma i dati vengono rap-presentati su un cerchio.Nel diagramma cartesiano i dati si rap-presentano con dei punti.Nell’ideogramma i dati sono rappresen-tati da figure.Nelle rappresentazioni grafiche l’unitàdi misura è indispensabile.

Rappresenta con il grafico che ritieniopportuno le seguenti situazioni.

I dati, arrotondati ed espressi in migliaia di quin-tali, rappresentano la produzione di cereali inItalia nel 2003.

Rappresenta sul piano cartesiano i punti A(2; 5),B(–4; 6), C(–5; –9), D(7; 2).

I dati della tabella rappresentano le temperatureregistrate in diverse ore della giornata in unacittà europea.

I dati della tabella rappresentano il tasso diurbanizzazione in Europa in secoli diversi.

I dati della seguente tabella sono relativi allaproduzione di vino di un’azienda dell’Oltrepopavese.

Lo sport praticato da un gruppo di ragazzi è rap-presentato con il seguente grafico.

= 1

Rispondi.

Di quale rappresentazione grafica si tratta?..................................................................Dal grafico sei in grado di ricavare il numero deiragazzi intervistati?.......................................Quanti ragazzi praticano il nuoto? ...................Quanti il calcio?............................................Quale è lo sport più praticato? ........................

SPORT FREQUENZA

calcio

nuoto

tennis

7

Anno Quantità (hl)1999 3702000 4002001 3002002 5002003 650

6

Anno Tasso1300 101700 121900 382000 75

5

Ora Temperatura (°C)8 129 13

11 1614 1815 1817 16

4

3

Cereale Migliaia di qfrumento 100 000orzo 16 000avena 4000riso 15 000granoturco 75 000

2

ABILITÀ

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

FV1

CONOSCENZE


111

Il seguente istogramma riporta i dati relativi all’indagine svolta a fine anno su un campione di alunni delleclassi terze di alcune scuole sulle scelte scolastiche per il prossimo anno scolastico.

Quanti ragazzi abbiamo intervistato? ...................................................................Quanti si sono iscritti al liceo scientifico?............................................................Quanti hanno scelto un corso professionale? ........................................................

Negli ospedali vengono rilevate periodicamente, nel corso della giornata, le temperature dei degenti.Il seguente grafico rappresenta la situazione di un malato.

A quale ora si è rilevata la temperatura più bassa? ................................................A quale ora la più alta? .....................................................................................Quale temperatura si è registrata alle ore 15? .......................................................E alle 19? ........................................................................................................Tra le 7 e le 11 si è avuto un aumento di temperatura?..........................................Tra le 15 e le 19 la temperatura del malato è aumentata o diminuita?......................

40

39

38

37

36

7 9 11 13 15 17 19

temperatura (°C)

ora

9

100 alunni

Liceo Liceo Istituto Istituto Liceo Corso classico scientifico tecnico commerciale linguistico professionale

8


VERIFICA


RECUPERO5LEZIONE

112

Rappresenta con un grafico a colonne (istogramma) il consumo mensile di latte di sei famiglie i cui datisono riportati nella seguente tabella.

Famiglia Gueppi Bini Sulli Garnisci Romuli Rinni

Consumo di latte in litri 60 40 50 35 25 10

Rappresenta graficamente la variazione di temperatura di un malato riportata nella seguente tabella.

Ora 12 14 16 18 19 22 24

Temperatura (°C) 37,5 37,5 38 39 39 38,5 37,5

temperatura (°C)

ora

2

10 litri

famiglia famiglia famiglia famiglia famiglia famigliaGueppi Bini Sulli Garnisci Romuli Rinni

1


• Saper ordinare i dati• Saper classificare oggetti• Saper operare in N e Q


• Cos’è un’indagine statistica• I dati di un’indagine statistica• Frequenza assoluta e relativa• Rappresentazione grafica dei dati• I valori medi (media aritmetica, moda,

mediana)

• Conoscere le tappe per una correttaindagine statistica

• Saper classificare i dati• Conoscere e applicare il concetto di

frequenza assoluta e relativa• Saper rappresentare con un adeguato

grafico i dati• Calcolo dei valori medi: media aritme-

tica, moda, mediana

Elementi di statistica

113

6LEZIONE

1 Statistica

Apparentemente la statistica può sembrare una scienza modernissima che fa uso deipiù sofisticati calcolatori elettronici per elaborare i dati raccolti; in realtà la stati-stica, che è la scienza che studia, descrivendo e interpretando, i fenomeni col-lettivi per mezzo di metodi matematici, è una scienza antichissima: era già in usopresso i Babilonesi e gli Egizi che rilevavano il numero degli abitanti, le attività pro-duttive, ecc. I Vangeli ci parlano di censimento all’epoca della nascita di Gesù.Nei vari periodi storici la rilevazione di dati riguardanti la popolazione è stata esegui-ta, non sempre con costanza e sistematicità, per motivi di varia natura, dal politico alculturale; solo in epoca più recente tutte le nazioni hanno adottato la pratica siste-matica del censimento: in Italia ciò avviene dal 1861 con cadenza decennale.

Il termine statistica deriva proprio dalla parola Stato, perché in passato (e in parteanche oggi) è proprio lo Stato che organizza la rilevazione di dati riguardanti ele-menti e fenomeni che lo caratterizzano.

Si dice fenomeno collettivo un fatto sociale, economico, naturale, ecc. che puòessere osservato e misurato, direttamente o indirettamente, ed è formato da feno-meni singoli.

DEFINIZIONE



114

Ad esempio, la morte di un individuo costituisce un fenomeno singolo, mentre lamorte di molti individui in una località o in un periodo costituisce un fenomenocollettivo e il suo studio permette di conoscerne le cause, di prevederne l’anda-mento futuro ed eventualmente fare opera di prevenzione.

L’insieme di tutti gli elementi che hanno un carattere comune e che costituisce l’og-getto dell’indagine statistica prende il nome di popolazione statistica o universostatistico, mentre ciascuno degli elementi che costituisce la popolazione prende ilnome di unità statistica.Il carattere che viene studiato può essere di tipo qualitativo e quantitativo.Sono caratteri qualitativi quelli espressi da una qualità e non da un valore numeri-co: la professione, la cittadinanza, il sesso, la classe frequentata, ecc.Sono caratteri quantitativi quelli espressi da numeri: la statura, il peso, il numerodi dipendenti, ecc. I caratteri quantitativi possono essere a loro volta classificati come continui odiscreti.Sono continui quei caratteri che possono assumere tutti gli infiniti valori compre-si in un determinato intervallo, per esempio la temperatura esterna di una giorna-ta: se è passata da un minimo di 10 gradi a un massimo di 24 gradi, ha toccatoovviamente tutti i valori compresi tra questi due estremi.Sono discreti quei caratteri che assumono per lo più valori interi: per esempio ilnumero di figli, il numero di dipendenti, il numero di abitanti di una certa località:non è possibile avere 2 figli e un quarto, oppure per un’azienda non è possibileavere 54,385 dipendenti.

Un’indagine statistica può essere svolta analizzando tutti gli elementi che costitui-scono la popolazione e allora si parla di rilevazione completa, oppure è possibileanalizzare solo una parte della popolazione e allora di parla di rilevazione parzia-le o per campione.Vediamo di confrontare vantaggi e svantaggi di questi tipi di rilevazione.

• La rilevazione completa è sicuramente più attendibile, ma proprio perché investeun gran numero di elementi è onerosa, sia per la raccolta sia per l’elaborazionedei dati. Sono rilevazioni complete tutte quelle relative alle situazioni anagrafi-che (nascite, morti, immigrazione, emigrazione, ecc.), ma le più note sono i cen-simenti della popolazione, dell’agricoltura, dell’industria, ecc.

• La rilevazione per campione è decisamente più snella nella sua realizzazione, maproprio perché investe solo una parte della popolazione, cioè un campione, puònon essere perfettamente rispondente alla realtà.

A questo punto è necessario fare alcune considerazioni proprio sul campione chedeve essere rappresentativo della popolazione.Innanzi tutto, il campione deve essere sufficientemente ampio rispetto alla popo-lazione: un campione di 100 persone non può certo essere rappresentativo di tuttala popolazione italiana.In secondo luogo, il campione non deve essere “viziato”, cioè non deve esserecostituito da elementi appartenenti a una singola categoria.


Elementi di statistica6LEZIONE

115

• Volendo conoscere quanta polenta mangiano gli italiani, sarebbe un errore inter-vistare solo la popolazione bergamasca: trattandosi di un piatto tipico di quellazona, sarà consumato dalla maggior parte delle persone intervistate, ma la situa-zione sarebbe stravolta se venisse intervistata la popolazione palermitana.

• Se volessimo conoscere qual è il numero delle persone con diploma di scuola supe-riore nella fascia di età tra i 10 e i 30 anni e intervistassimo le persone che esco-no da un’aula universitaria, troveremo che nessuno ne è sprovvisto; se proponessi-mo la stessa intervista all’uscita di una scuola secondaria, otterremmo sicuramenteun risultato di segno opposto.In entrambi i casi ci troviamo di fronte a un vizio di campione.

2 Le fasi dell’indagine statistica

Un’indagine statistica viene svolta seguendo fasi ben precise:la determinazione precisa del carattere che si vuole analizzare;la progettazione dello strumento per la raccolta dei dati;la raccolta dei dati;la trascrizione dei dati;l’elaborazione dei dati;la rappresentazione dei dati.

Esaminiamo ora ciascuna di queste fasi.

■ La determinazione precisa del carattere che si vuole analizzare

È indispensabile essere molto chiari quando si specifica il carattere che si vuoleprendere in considerazione, onde evitare che elementi fasulli inquinino i risultati.

• Per effettuare un’indagine statistica sul consumo di bibite nei mesi caldi, occor-rerà specificare bene quali sono i mesi definiti caldi e quindi fissarli, per esem-pio, in giugno, luglio e agosto, per non correre il rischio che qualche intervista-to includa, magari, anche settembre.

■ La progettazione dello strumento per la raccolta dei dati

Lo strumento più usato per la raccolta dei dati è il questionario, che deve conte-nere domande chiare e ben formulate, in modo che le risposte non siano ambigue;inoltre le domande non devono essere faziose, cioè non devono indurre una rispo-sta guidata. Per esempio, se vogliamo sapere se piace di più il gelato alla crema oquello al cioccolato, è scorretto porre la domanda in questi termini: « Vero che tipiace di più il gelato alla crema che quello al cioccolato? », perché l’intervistatosarà indotto ad accettare la risposta già insita nella domanda.Il questionario può contenere domande a risposta aperta o a risposta chiusa (detteanche a scelta multipla). Le prime danno maggior libertà all’intervistato, ma potreb-bero creare qualche difficoltà nell’elaborazione.

b

a

f

e

d

c

b

a



116

• Quale frutto ti piace di più?La risposta è aperta, si corre il rischio di trovare qualche strana risposta relativaa qualche frutto esotico pressoché sconosciuto.

• Quale frutto ti piace di più fra quelli elencati?

■■ mela ■■ pera ■■ uva ■■ banana ■■ anguria

(L’elenco può essere ampliato quanto si desidera.)La risposta è chiusa. In questo modo, se è vero che si pone un vincolo alla rispo-sta, è altrettanto vero che già in partenza si saprà entro quali tipi di frutta potràvariare la risposta.

■ La raccolta dei dati

Per raccogliere i dati, occorre innanzi tutto stabilire se si intende effettuare unarilevazione completa o per campione; in quest’ultimo caso si deve scegliere un cam-pione che sia qualitativamente e quantitativamente rappresentativo della popola-zione statistica.Occorre poi provvedere alla distribuzione dei questionari, che dovranno essere com-pilati con cura, e al loro ritiro.

■ La trascrizione dei dati

Una volta raccolti i questionari, si passa allo spoglio degli stessi e alla trascrizionein apposite tabelle dei dati rilevati.Per semplificare e accelerare queste operazioni, si usano dei particolari tabulati. Proponiamo un semplicissimo questionario a 120 bambini di una scuola primaria perconoscere qual è il gusto di gelato preferito.

• Fra i seguenti gusti di gelato segna con una crocetta quello che preferisci:

■■ panna ■■ cioccolato ■■ fragola ■■ limone■■ mirtilli ■■ pistacchio ■■ torroncino

Raccolti i questionari, si predispone una tabella di spoglio in cui sono elencati i varigusti di gelato: ogni volta che si rileva il gusto, si pone un trattino al lato del gustoindicato; i trattini vengono disegnati in modo da costruire un quadratino barrato e ciòperché così si raggruppano i trattini 5 a 5, il che evita di creare confusione quando itrattini diventano molti. Volendo, a fianco dei trattini si può aggiungere una colonnain cui si riporta il numero corrispondente ai trattini disegnati (tabella 1).

PannaCioccolatoFragolaLimoneMirtilliPistacchioTorroncino

243215189

157

tabella 1

d

c



117

I gruppi di 5 scelte possono essere disegnati, anziché col quadratino barrato, anchecon la seguente grafica: |||| .Quando il rilevamento si riferisce a un numero molto grande di elementi, si usa unatabella di questo tipo (tabella 2):

10 20 30

Quando il dato rilevato riguarda, per esempio, il peso, l’altezza o caratteri similari,si usa spesso riunirli in classi di intervallo per non disperdere eccessivamente lasignificatività dei dati.

Così, per esempio, l’altezza dei 25 alunni di una classe prima secondaria potrebbeessere così tabulata (tabella 3):

■ L’elaborazione dei dati

È la fase finale e permette di valutare globalmente il fenomeno osservato. Per lavalutazione si confrontano i vari dati statistici per ricavare altri valori più sinteticie quindi valori significativi e atti a dedurre le regolarità, cioè le leggi che regolanoil fenomeno osservato.L’elaborazione dei dati ha inizio con il calcolo della frequenza: si conta quantevolte un dato statistico si è presentato.

Si chiama frequenza assoluta di un dato statistico il numero di volte che questodato si è presentato nella rilevazione.Si chiama frequenza relativa di un dato statistico il rapporto tra il numero cheesprime la frequenza assoluta e il numero totale delle rilevazioni e si può esprime-re in frazione o in percentuale.

e

< 130131-135136-140141-145146-150> 151

168532

tabella 3

Panna / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 24

Cioccolato / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 32

Fragola / / / / / / / / / / / / / / / 15

Limone / / / / / / / / / / / / / / / / / / 18

Mirtilli / / / / / / / / / 9

Pistacchio / / / / / / / / / / / / / / / 15

Torroncino / / / / / / / 7

tabella 2

DEFINIZIONE



118

Riferendoci al questionario precedente e ai dati rilevati (tabella 1) possiamo ricava-re i valori delle frequenze assolute e relative (tabella 4).

STOPANDGO

Gusto Frequenza assoluta Frequenza relativa

Panna 24 24 : 120 = 20%

Cioccolato 32 32 : 120 = 26,7%

Fragola 15 15 : 120 = 12,5%

Limone 18 18 : 120 = 15%

Mirtilli 9 9 : 120 = 7,5%

Pistacchio 15 15 : 120 = 12,5%

Torroncino 7 7 : 120 = 5,8%

Totale 120 100%

tabella 4

Lancia un dado 50 volte e riporta in una tabel-la il numero delle volte in cui si è presentatauna faccia. Calcola poi la frequenza assoluta erelativa di ogni numero uscito.

Prendi l’orario settimanale delle lezioni della tuaclasse e calcola la frequenza assoluta e quellarelativa delle ore di lezione di ogni materia.

In un albergo della riviera romagnola è statafatta una inchiesta per sapere il numero di per-sone costituenti i vari nuclei familiari che hannofrequentato l’albergo nel mese di luglio. Ecco idati in base al registro dell’albergo:3 4 1 5 4 2 3 3 2 3 4 3 2 22 3 2 1 4 3 4 5 4 3 3 2 5 32 4 5 3 3 2 3 3 3 3 4 4Trascrivi adeguatamente i dati, trova la frequen-za assoluta e relativa.

3

2

1

3 I valori medi

I valori significativi capaci di riassumere e sintetizzare i dati di una indagine sta-tistica sono i valori medi.

Data una successione ordinata di valori, si dice valore medio quel valore che si trovatra il valore minimo e il valore massimo della successione.

I valori medi più significativi sono la moda, la mediana e la media.Esaminando nella tabella di tabella 4 i valori della frequenza e della frequenza rela-tiva, possiamo mettere subito in evidenza che il gelato al cioccolato si presenta conmaggior frequenza rispetto agli altri: ciò costituisce la moda.

Nell’insieme di dati statistici la moda è il dato che si presenta con maggior fre-quenza.

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE



119

L’esempio dei gusti di un gelato si riferisce a un carattere qualitativo, cioè nonnumerico, e la sua elaborazione, con le conoscenze a nostra disposizione, deve fer-marsi qui; se abbiamo invece a che fare con caratteri quantitativi, e quindi nume-rici, l’analisi dei risultati è più ampia in quanto l’analisi statistica, oltre a prende-re in considerazione le frequenze, esamina anche la distribuzione dei dati utiliz-zando degli indici, che prendono il nome di misure della tendenza centrale: lamoda (che abbiamo già incontrato anche per i dati qualitativi), la mediana e lamedia; oltre a questi abbiamo l’intervallo di variabilità che ci dà indicazioni sul-l’ampiezza del campo di valori.Spieghiamo in cosa consistono tali misure, basandoci sul seguente esempio, i cuidati sono stati raccolti in una tabella e si riferiscono al numero di scarpe portatoda 25 tra ragazzi e ragazze di 12 anni.Osservando la tabella 5, possiamo vedere che il numero più piccolo è il 35, mentre ilpiù grande è il 41, quindi tutti gli altri valori sono compresi tra questi.

Osservando la tabella 6, possiamo dire che la moda è il numero 37, perché si presentacon maggior frequenza.Ritorniamo alla tabella 5, che vediamo essere già ordinata dal valore più piccolo alpiù grande, e andiamo a cercare quale valore occupa la posizione centrale: è il 37e prende il nome di mediana. Per trovare qual è la posizione centrale di una sequenza di dati, si applica laseguente regola:

Misura Frequenza Frequenza %35 2 8%

36 4 16%

37 7 28%

38 5 20%

39 3 12%

40 3 12%

41 1 4%

tabella 6

N° Nome Misura N° Nome Misura1 Chiara 35 14 Irene 38

2 Roberta 35 15 Sandra 38

3 Francesca 36 16 Alessandro 38

4 Paolo 36 17 Lucia 38

5 Maria 36 18 Samanta 38

6 Marta 36 19 Loretta 39

7 Luisa 37 20 Paola 39

8 Carlo 37 21 Romano 39

9 Giovanni 37 22 Niccolò 40

10 Luca 37 23 Alberto 40

11 Anna 37 24 Ivano 40

12 Stefano 37 25 Antonio 41

13 Nicola 37

tabella 5



120

posizione centrale = , dove n è il numero delle unità statistiche.

Nel nostro esempio abbiamo 25 unità statistiche, quindi:

posizione centrale = = 13

e la tredicesima posizione è occupata dal n° 37, che rappresenta la mediana.

Come ci dovremmo comportare nel caso la sequenza di dati fosse costituita da unnumero pari di unità statistiche?Se avessimo una sequenza di 40 dati, usando la stessa formula avremmo = 20,5;ovviamente nessun valore occupa la posizione tra la ventesima e la ventunesima;si calcola quindi la semisomma dei valori della ventesima (che precede 20,5) edella ventunesima (che segue 20,5) posizione.

In un insieme ordinato, in ordine crescente o decrescente, di dati statistici lamediana è il dato che occupa la posizione centrale o la semisomma dei due dati cheoccupano la posizione centrale.

Calcoliamo il valore della mediana delle seguenti successioni di numeri.

2 15 17 4 15 5 7 11 8 54 24 31 67 45 24 39 41 60 59

Disponiamo in ordine crescente le successioni date:

2 4 5 7 8 11 15 15 17poiché i valori dati sono in numero dispari (sono 9) la mediana è il termine centrale, cioè 8.

24 24 31 39 41 45 54 59 60 67poiché i valori dati sono in numero pari (sono 10) la mediana è la semisomma dei due termini

centrali, cioè .

Un’altra misura della tendenza centrale dei dati di una indagine è la mediaaritmetica.

La media aritmetica di n dati è il quoziente tra la somma di tutti i dati e il numero

totale n, cioè x– =

La scrittura x– si legge “x soprassegnato” ed è il simbolo del valore medio.Dalla tabella 5 ricaviamo:

x– =

x– = 37,6+ 38 + 38 + 38 + 39 + 39 + 39 + 40 + 40 + 40 + 41

2

35 + 35 + 36 + 36 + 36 + 36 + 37 + 37 + 37 + 37 + 37 + 37 + 37 + 38 + 38 +2

x1 + x2 + x3 + … + xnn

41 452

862

43+ = =

b

a

ba

25 + 12

n + 12

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

ESEMPIO



121

Come si può vedere, la scrittura di questo calcolo può essere molto lunga, ma è possi-bile sostituire alle somme dei dati uguali il prodotto di ciascun dato per la sua fre-quenza: in questo modo si tiene conto di quante volte si ripete ciascun valore nellasequenza, cioè si “pesano” i dati e così la media prende il nome di media ponderata.Indicando con x1, x2, x3 … xn gli n valori ottenuti nell’indagine e con f1, f2, f3 … fnle corrispondenti frequenze, la media ponderata è espressa dalla formula:

x–P =

Dove N = f1 + f2 + … + fn è il numero totale di unità statistiche.Dalla tabella 6 ricaviamo:

x–P = = = 37,6

• Calcoliamo la media aritmetica del seguente gruppo di numeri: 27 3 9 15 12 10 11 15 4 1

Osservando che la successione è formata da 10 numeri e ricordando la definizione di media aritme-tica, otteniamo:

x– = = = 10,7

• In tabella sono riportate le retribuzioni mensili dei dipendenti di una azienda che produce mate-riale elettrico. Calcoliamo la retribuzione media.

In questo caso quasi tutte le retribuzioni hanno una frequenza o “peso”, quindi si può ricorrere allamedia ponderata per calcolare la retribuzione media cercata, dopo aver osservato in tabella che ilnumero totale dei dipendenti è 20.

x–P =

x–P = = = 1050

Vediamo ora di dare un’interpretazione a ciascuna delle misure di tendenzacentrale che abbiamo considerato.

La moda indica qual è il numero di scarpe più comune fra le persone esamina-te, nel nostro caso il 37.

La mediana indica che la metà dei ragazzi ha un numero di scarpe inferiore alvalore della mediana e metà un numero di scarpe superiore.

La media indica quale sarebbe il numero di scarpe di ciascuno se tutti avesse-ro lo stesso numero.

2100020

9000 + 4200 + 3450 + 2600 + 175020

900 · 10 + 1050 · 4 + 1150 · 3 + 1300 · 2 + 1750 · 120

Retribuzione mensile (€) 900 1050 1150 1300 1750

N° persone 10 4 3 2 1

10710

27 + 3 + 9 + 15 + 12 + 10 + 11 + 15 + 4 + 110

94125

35·2 + 36·4 + 37·7 + 38·5 + 39·3 + 40·3 + 41·125

x1 · f1 + x2 · f2 + x3 · f3 + … + xn · fnN

ESEMPI



122

Molto importante è valutare anche l’intervallo di variabilità (che per altro non èuna misura di tendenza centrale, bensì una misura di dispersione).

Si dice intervallo di variabilità la differenza tra il valore massimo e quello mini-mo ottenuti nell’indagine.

Confrontiamo la tabella del gruppo di ragazzi che abbiamo già esaminato con quel-la di un nuovo gruppo, composto anch’esso da 25 ragazzi.

tabella 8

Proviamo a calcolare le misure di tendenza centrale:

moda (7) = 37 moda (8) = 37mediana (7) = 37 mediana (8) = 37media (7) = 37,6 media (8) = 37,6

Fin qui le due distribuzioni sembrano uguali, in quanto caratterizzate dalle stessemisure di tendenza centrale, ma l’intervallo di variabilità le diversifica nettamente:

Intervallo di variabilità (7) = 41 – 35 = 6Intervallo di variabilità (8) = 39 – 36 = 3

Questo significa che tra i ragazzi della tabella 7 vi sono soggetti con piedi molto pic-coli e ragazzi con piedi molto grandi che si discostano molto dai valori medi, men-tre tra i ragazzi della tabella 8 vi sono solo piedi di misura intermedia.

STOPANDGO

Sono stati pesati i libri in adozione in una classe terza secondaria e si sono ottenuti i seguenti risultatiespressi in grammi:

1200 950 1300 800 1000 1300 1250 950 1300 1200 1200 1300 1350 1300

Sistema i dati in una tabella con le relative frequenze. Calcola i valori medi.[media = 1171,42 g; moda = 1300 g; mediana = 1225 g]

1

Misura Frequenza35 0

36 3

37 10

38 5

39 7

40 0

41 0

Misura Frequenza35 2

36 4

37 7

38 5

39 3

40 3

41 1

tabella 7

DEFINIZIONE



123

■ La rappresentazione dei dati

Anche per quanto riguarda la rappresentazione grafica dei dati occorre distingueretra dati non numerici, cioè qualitativi, e dati numerici, cioè quantitativi.

Dati non numericiI dati raccolti in una tabella di frequenza già danno delle informazioni, ma se i datisono molto numerosi la lettura di una tabella potrebbe creare confusione; si prefe-risce allora visualizzare la situazione con dei grafici.Le rappresentazioni più usate sono gli ideogrammi, gli ortogrammi, gli areo-grammi e i cartogrammi.Di questi metodi rappresentativi si è già parlato e quindi ci limiteremo qui a illu-strarne alcuni esempi.Possiamo riprendere la tabella relativa all’indagine sui gusti di gelato e su di essacostruire i vari tipi di rappresentazioni possibili.

L’ideogramma corrispondente è il seguente.

= 5 unità statistiche

panna

cioccolato

fragola

limone

mirtilli

pistacchio

torroncino

Gusto Frequenza Frequenza %Panna 24 20%Cioccolato 32 26,7%Fragola 15 12,5%Limone 18 15%Mirtilli 9 7,5%Pistacchio 15 12,5%Torroncino 7 5,8%Totale 148 100%

tabella 9

f



124

Dagli stessi dati della tabella 9 otteniamo i seguenti grafici.

Ortogramma

Un ortogramma può essere utilizzato anche per confrontare due distribuzioni; adesempio quelle studiate nelle tabelle 7 e 8 e relative al numero di scarpe di due grup-pi di ragazzi.

0

2

4

6

8

10

12

frequenza

35 36 37 38 39 40 41

tabella 7

tabella 8

0

5

10

15

20

25

30

35

frequenza

pann

a

cioc

cola

to

frag

ola

limon

e

mir

tilli

pist

acch

io

torr

onci

no



125

Areogramma

Per illustrare un cartogramma dobbiamo prendere in considerazione un esempiodiverso, in quanto il cartogramma viene utilizzato per rappresentare l’andamento diun fenomeno in relazione a diverse località.Rappresentiamo ad esempio il numero di persone (in %) che seguono un certo pro-gramma televisivo nelle diverse regioni italiane.

Dati numericiPer rappresentare i dati numerici si utilizzano gli istogrammi e ancora i diagrammia barre. Vediamoli con i dati della tabella già esaminata e relativa all’altezza di 25alunni di una classe prima secondaria.

Altezza Frequenzaraggruppata in classi≤ 130 1

131-135 6136-140 8141-145 5146-150 3≥ 151 2

dallo 0 1,4%all’dall’ 1,5 2,9%aldal 3 6%aldal 6,1 10%aloltre il 10%

26,7% 20%

5,8%

12,5%

7,5%15%

12,5%

cioccolato

panna

fragola

limone

mirtilli

pistacchio

torroncino



126

L’istogramma corrispondente è il seguente.

L’istogramma è del tutto simile a un ortogramma e spesso i due termini sono inter-cambiabili: di solito il termine istogramma viene usato per i dati quantitativi, rag-gruppati in classi di frequenza e rappresentati mediante rettangoli tra loro contiguie di larghezza che può essere variabile; il termine ortogramma viene invece prefe-rito per i dati qualitativi. Dall’immagine dell’istogramma spicca la classe modale,cioè la classe a cui si riferisce la moda della distribuzione, in quanto è il rettango-lo più alto (rappresenta la frequenza maggiore).Congiungendo i punti medi della base superiore dei rettangoli, si ottiene una curvache prende il nome di poligonale delle frequenze.

4 La curva di Gauss

Tutte le indagini statistiche che abbiamo considerato come esempi, pur essendoreali, non sono significative perché sono state condotte su campioni molto esigui.Se l’indagine viene condotta sulla popolazione o comunque su un campione moltovasto, la distribuzione delle frequenze in alcuni casi tende ad assumere delle carat-teristiche particolari:

le misure della tendenza centrale, media, moda e mediana, coincidono;la poligonale delle frequenze è una curva simmetrica rispetto alle misure dellatendenza centrale.

b

a

0

1

2

3

4

5

6

7

frequenza

130

8

131

- 13

5

136

- 14

0

141

- 14

5

146

- 15

0

151 altezza



127

Questo tipo di distribuzione ha la rappresentazione grafica che ricorda la forma diuna campana; prende il nome di distribuzione normale e la sua poligonale dellefrequenze si chiama curva di Gauss.

STOPANDGO

5

10

15

20

25

30

35

A

40

45

55

50

frequenze

B C D E F G H I L M N O P Q

Distribuzione normaleCurva di Gauss

Moda

Media Mediana

Nel seguente grafico è riportata la frequenzadei punteggi ottenuti nel lancio di due dadi.

Di che tipo di grafico si tratta?Quanti lanci si sono effettuati?Scrivi le frequenze relative ai vari punteggi.Qual è la moda?Qual è la mediana?

[ ortogramma; 42;3, 2, 6, 8, 4, 5, 1, 6, 3, 3, 1; 5; 6]

In una fattoria la produzione mensile di uova èstata la seguente:

Mese G F M A M G L A S O N D

Uova 18 12 10 12 14 9 12 17 20 12 17 13

Rappresenta i dati con un grafico e poi determi-na la moda.

[moda: settembre]

Le professioni di un campione di individui di etàvariabile tra i 30 e i 60 anni ha dato i seguentirisultati:

OPERAI.............32 PROFESSIONISTI ......21IMPIEGATI..........12 INSEGNANTI............3AGRICOLTORI ......10 DISOCCUPATI ...........8ALTRE ATTIVITÀ....14

Ordina in una tabella di frequenza i dati che poirappresenterai con un grafico. Trova i valori mediche ritieni più significativi.

[moda: operaio]

3

2

edc

ba

e

d

c

b

a

frequenza

punteggio 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

= 1

1


Indica con una crocetta se le seguenti afferma-zioni si riferiscono a fenomeni collettivi o afenomeni singoli .

Tre componenti della famiglia delsignor Verdi sono morti a 90 anni.Gli abitanti di una cittadina russahanno una vita media di circa 90 anni.I ragazzi della 3ª B hanno già contrat-to tutti la varicella.Quasi tutti gli italiani hanno in casapiù di un televisore.Mia sorella ha già contratto l’influenza.La signora Rossi ha cinque figli.Le donne lombarde hanno in mediameno di due figli ciascuna.Oggi l’età media al matrimonio è di 27anni per gli uomini e di 26 per le donne.

Sono state svolte delle indagini statistiche circa leseguenti variabili: indica per ciascuna se si trattadi caratteri qualitativi o quantitativi .

Il peso dei ragazzi di 20 anni.Il gusto di gelato preferito dai ragazzidi 13 anni.Il cantante più amato.L’altezza delle ragazze di 18 anni.Il numero dei morti nel 1994 a Milano.Il genere di film più gradito dalle per-sone cinquantenni.Le caramelle mangiate in un giorno daun bambino di 4 anni.Il piatto mangiato più volentieri daibambini di una scuola dell’infanzia.

Vero o falso ?

La statistica si occupa solo di fenome-ni collettivi.

Tutte le unità statistiche con un deter-minato carattere costituiscono unapopolazione statistica.L’essere più alti o più bassi di 1,50 m èun carattere quantitativo.Il numero di mele mangiate in un gior-no è un carattere qualitativo.L’altezza di una persona è un caratterediscreto.La temperatura esterna di una localitàè un carattere continuo.Quando si analizzano tutte le unità sta-tistiche si ha una rilevazione a campio-ne vasto.Quando una rilevazione interessa solouna parte di elementi si tratta di unarilevazione per campione.Il campione deve essere rappresentatoda almeno metà della popolazione.Il campione deve essere scelto accura-tamente affinché non risulti viziato.

Riscrivi le fasi di un’indagine statistica, qui datein ordine sparso, nella loro esatta sequenza.

La progettazione dello strumento per la rac-colta dei dati.La raccolta dei dati.La determinazione precisa del carattere che sivuole analizzare.L’elaborazione dei dati.La trascrizione dei dati.La rappresentazione dei dati.

Stendi un questionario per rilevare le caratteri-stiche fisiche dei tuoi compagni di classe.

Stendi un questionario per conoscere le abitudinialimentari dei tuoi compagni (limita l’indagine alpranzo).

6

5

f

e

d

c

b

a

4

FVl

FVi

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

FV3

qQh

qQg

qQf

qQe

qQd

qQc

qQb

qQa

qQ

2

SCh

SCg

SCf

SCe

SCd

SCc

SCb

SCa

SC

1


128

ESERCIZI


Elementi di statisticaESERCIZI6LEZIONE

129

Per effettuare un’indagine sui programmi televisivipiù seguiti, viene scelto come campione il gruppodi ragazzi frequentanti una classe prima secondaria.Secondo te è un campione rappresentativo dellapopolazione? Quale campione avresti scelto tu?

Volendo prevedere i risultati di un’elezione poli-tica, vengono sorteggiate, dall’elenco telefonicodella città di Udine, 50 persone da intervistare. Èun campione corretto? Esponi le tue considera-zioni e la tua proposta alternativa.

87

Compila una tabella di frequenza derivandola dalla seguente tabella di spoglio.

Compila una tabella di frequenza derivandola dalla seguente tabella di spoglio.

Compila una tabella di frequenza derivandola dalla seguente tabella di spoglio relativa all’altezza di 130ragazzi di 15 anni.

140

141 - 145

146 -150

151 - 155

156 - 160

161

Altezza(raggruppata

in classi) 10

Tabella di spoglio

20

11

Film

Notiziari

Giochi a quiz

Calcio

Documentari

Altri sport

Programmi politici

Programmi televisivipiù seguiti Tabella di spoglio

10

Nuoto

Calcio

Pallacanestro

Pallavolo

Equitazione

Nessuno

Sport preferito Tabella di spoglio

9



130

Riferendoti all’esercizio 9, calcola la frequenzapercentuale dei dati riportati in tabella.



Considera i tuoi compagni di classe: calcola lafrequenza e la frequenza percentuale relativaall’iniziale dei loro cognomi.

Considera i tuoi compagni di classe: calcola lafrequenza e la frequenza percentuale relativaall’iniziale dei loro nomi di battesimo e al nume-ro di lettere di ciascun nome.

Considera i tuoi compagni di classe e svolgiun’indagine riguardante il numero dei figli di cia-scuna famiglia; calcola la frequenza, la frequenzapercentuale, la moda e la media.

Calcola la media aritmetica dei numeri dei seguen-ti gruppi.

85; 76; 93; 82; 96 [86,4]4; 15; 19; 21; 25; 34; 82; 88 [36]–8; –6; –4; –1; 0; 2; 5; 20 [1]–23; –10; –5; –4; –2; 1; 7; 11; 12; 13 [0]–18; –15; –2; 3; 5; 9; 18; 29; 41 [7,7]

Calcola la media aritmetica dei seguenti numeri,ognuno dei quali compare con la frequenza indi-cata in tabella.

[8,25]

Numero 6 7 8 9 10

Frequenza 6 7 8 9 10

19

e

d

c

b

a

18

17

16

15

14

13

12

Calcola la media aritmetica dei numeri riportati nella seguente tabella con le frequenze rispettive.

[0,075]

Calcola la media aritmetica dei voti ottenuti in 7 materie, con le relative frequenze.

[7,25]

I prezzi di vendita e le quantità vendute di una merce, nel corso dei primi 8 mesi dell’anno, sono quelliindicati dalla seguente tabella. Determina il prezzo medio di vendita.

[~13,83 €/t]

Quantità vendute (t) Prezzo vendita (€/t)

13,0015,8

Mese

Gennaio

12,5016,2Febbraio

12,8015,8Marzo

13,2015,1Aprile

13,5014,9Maggio

14,5016Giugno

15,0016Luglio

16,0016,5Agosto

22

Voto 9 8 7 8 6 8 6

Frequenze 2 4 3 1 3 3 4

21

Valori –20 –14 –2 5 10 20 34

Frequenze 15 12 20 10 8 9 6

20



131

In 5 sezioni della 5ª classe di una scuola secon-daria il numero di allievi è stato il seguente:

Indica il numero medio di allievi per sezione.[24]

Nel triennio 2007-2009 il numero di carri e laquantità di merce trasportata da Trenitalia risul-ta dalla seguente tabella.

Determina il carico medio per carro nel periodoindicato. [20,41 t/carro]

Calcola la mediana delle seguenti successioni dinumeri.

2; 4; 8; 9; 15; 22; 30 [9]4; 5; 12; 18; 20; 24; 28 [18]

–2; 0; 1; 5; 7; 12; 14 [5]8; 9; 1; 3; 7; 10; 12; 16 [8,5]

5; 0; 23; 4; 7; 12; 9 [7]3; 7; 2; 10; 9; 8; 15 [8]

14; 24; 9; 12; 10; 16 [13]6; 9; 2; 4; 8; 5; 7; 3; 15 [6]

Dati i seguenti gruppi di numeri, calcola l’in-tervallo di variabilità, la media, la moda e lamediana.

2; 5; 4; 7; 9; 6; 3; 4; 96; 4; 9; 5; 9; 4; 3; 4; 2

3; 6; 3; 5; 3; 8; 5; 4; 64; 4; 4; 43; 5; 3; 4; 4; 4; 4; 7; 5; 3; 7

2; 1; 5; 6; 1; 7; 7; 2; 1; 6; 7; 7; 28; 6; 8; 5; 12; 4; 8; 6; 4; 1; 6; 8; 12

5; 9; 6; 5; 4; 5; 10; 9; 5; 4; 2; 9; 51; 6; 9; 7; 1; 1; 3; 5; 1; 1; 1; 5; 6

7; 2; 7; 5; 6; 6; 1; 4; 3; 5; 7; 6; 312; 21; 30; 12; 10; 18; 12; 13; 20; 10

100; 200; 120; 130; 100; 120; 100; 150250; 100; 120; 250; 100; 150; 250; 100

64; 80; 120; 100; 75; 64; 120; 80110; 20; 80; 110; 100; 120; 60; 130

100; 90; 110; 100; 85; 60; 100; 135200; 80; 75; 90; 200; 210; 60; 70; 200

110; 100; 70; 90; 120; 110; 100; 80; 130600; 450; 600; 550; 350; 300; 600; 1 000

200; 320; 540; 200; 700; 320; 500; 200300; 310; 400; 400; 300; 550; 300; 220b

a38

b

a37

b

a36

b

a35

b

a34

b

a33

b

a32

b

a31

b

a30

b

a29

b

a28

b

a27

b

a26

b

a25

Merce trasportata(migliaia di t)

58 000

Anni

2007

61 0002008

54 6002009

N° carri(migliaia)

3000

2700

2804

24

Sezione A B C D E

N° allievi 27 26 21 22 24

23

Un automobilista effettua un percorso in tre tappe rispettivamente di 30 km, 55 km e 20 km. Quale è il chi-lometraggio medio per tappa? [35 km]

Un negoziante vende 4 chili di fragole a € 3,50 il kg, 2 chili di fragole a € 5 il kg e 6 chili di fragole a€ 2 il kg. Qual è il prezzo medio di vendita di quelle fragole? [€ 3,00]

Le temperature rilevate a Milano in una giornata di luglio sono state le seguenti:

Calcola la temperatura media della giornata e l’intervallo di variabilità della temperatura (detta anche escur-sione termica). [19,84 °C; 17 °C]

Ora

Temperatura (°C)

0

16

2

13

4

12

6

12

8

15

10

19

12

24

14

28

16

29

18

27

20

23

22

22

24

18

41

40

39



132

Il volo Alitalia di mezzogiorno che collega Romaa New York vede, nei diversi giorni della settima-na, la seguente affluenza di passeggeri.

A quale giorno corrisponde la moda? Qual è ilnumero medio di passeggeri? [mercoledì; 198]

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola lafrequenza relativa di passeggeri di ciascuna gior-nata. [17,15%; 13,33%; 17,80%; 10,23%;

13,69%; 15,35%; 12,46%]

Il direttore di un albergo di una località di marevuole effettuare un’indagine statistica relativaalla durata della permanenza dei suoi clienti; aquesto scopo, compila la seguente tabella.

Compila una tabella con la frequenza e la fre-quenza percentuale. Determina la moda e lamedia dei giorni di permanenza.

[moda = 7; media = 13,329]

In un bar si ha il seguente consumo settimanaledi alcolici (espresso in bicchieri). A quale giornocorrisponde la moda? Qual è il numero medio dibicchieri serviti in una settimana?

[sabato; 37]

Rappresenta i dati dell’esercizio precedentecon un ideogramma.

Rappresenta i dati dell’esercizio 44 con unortogramma.

Rappresenta i dati dell’esercizio 45 con unistogramma.

La seguente tabella riporta approssimativamenteil numero di abitanti delle regioni italiane.

Calcola la popolazione media regionale.

Rappresenta i dati dell’esercizio precedente conun istogramma.

Rappresenta i dati dell’esercizio 49 con un carto-gramma raggruppando opportunamente i dati.

I 25 alunni di una classe 3ª secondaria hanno effet-tuato le seguenti scelte circa gli studi superiori.

Rappresenta questi dati con un ortogramma e,successivamente, con un areogramma.

Liceo 6Ist. tecnico 9Ist. magistrale 1Ist. professionale 7Lavoro 2

52

51

50

Piemonte 4 214 700Valle d’Aosta 119 500Lombardia 9 032 000Trentino-Alto Adige 940 000Veneto 4 528 000Friuli-Venezia Giulia 1 184 000Liguria 1 572 000Emilia-Romagna 3 983 000Toscana 3 498 000Umbria 826 000Marche 1 470 000Lazio 5 112 000Abruzzo 1 262 500Molise 320 600Campania 5 702 000Puglia 4 021 000Basilicata 597 800Calabria 2 011 000Sicilia 4 969 000Sardegna 1 632 000

49

48

47

46

Lunedì 24Martedì 0Mercoledì 33Giovedì 37Venerdì 54Sabato 66Domenica 45

45

3

7

14

21

30

N° giornidi permanenza N° clienti

44

43

Lunedì 238Martedì 185Mercoledì 247Giovedì 142Venerdì 190Sabato 213Domenica 173

42



133

Sono state intervistate 100 persone per conosce-re quali sono gli hobby preferiti.Sono stati raccolti i seguenti dati.

Compila una tabella con la frequenza e la fre-quenza percentuale e poi rappresenta i dati otte-nuti prima con un diagramma a barre e successi-vamente con un areogramma.

Sono state intervistate 90 mamme a cui sonostate rivolte le seguenti domande.

Quanti figli ha?A che età si è sposata?Prevede di avere altri figli?

Le risposte sono state così tabulate.

Calcola la moda relativa alle tre tabelle.

Rappresenta con un istogramma i dati delle tretabelle dell’esercizio precedente dopo aver calco-lato le frequenze percentuali.

Rappresenta con un areogramma i dati delle tretabelle dell’esercizio 54 dopo aver calcolato lefrequenze percentuali.

Alla visita medica i ragazzi di una classe hannofatto registrare i seguenti pesi.

50 51 34 38 35 49 50 3839 54 49 44 35 52 44 4844 38 41 52 43 41 45 44

Calcola moda, media e mediana dopo aver com-pilato una tabella di frequenza e aver indicatol’intervallo di variabilità. [44; 44,08; 44; 20]

Rappresenta i dati dell’esercizio precedente conun diagramma a barre; si tratta di una distribu-zione normale? Giustifica la risposta.

Un autobus di linea trasporta nelle singole corsedi un giorno i seguenti numeri di passeggeri.

CORSA

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ªPASSEGGERI

55 75 80 110 100 90 70 120 100 100

Qual è la moda? Qual è il numero medio di pas-seggeri? [100; 90]

Sono state intervistate 50 persone ed è risultatala seguente tabella sulle loro rispettive profes-sioni.

operai 10 impiegati 14commercianti 4 professionisti 4artigiani 6 insegnanti 2disoccupati 7 altre attività 3

Rappresenta con un istogramma i dati rilevati.Qual è la moda?

Durante un allenamento un ciclista fa registrarele seguenti velocità medie (in km/h) in tratti diuguale lunghezza del suo percorso.

35, 30, 38, 30, 34, 29, 42, 38, 30, 32, 28

Calcola la moda, la mediana, la media e l’inter-vallo di variabilità. [30; 32; 33,27; 14]

61

b

a

60

59

58

57

56

55

Previsione altri figli N° di mammesì 34no 42

non so 14

Età al matrimonio N° di mamme≤ 20 1121-25 2826-30 3531-35 10≥ 36 6

N° di figli N° di mamme0 71 252 403 13

≥ 4 5

c

b

a

54

A

B

C

D

E

Hobby Tabella di spoglio

53


VERIFICA6LEZIONE

134


Indica la risposta esatta.

La popolazione statistica è:tutti gli abitanti di una città.un insieme di elementi.un insieme di elementi con una caratteristicacomune.

Ogni elemento di una popolazione statistica sichiama:

unità statistica.elemento statistico.insieme statistico.

Un carattere si dice qualitativo quando:è espresso con un numero.è espresso con una operazione.è espresso con una frase.

Un carattere si dice quantitativo quando:è espresso con un numero.è espresso con una frase.è espresso con una operazione.

I dati statistici sono:le informazioni ricavate nell’indagine.le persone che effettuano l’indagine.le persone interessate all’indagine.

La rilevazione dei dati è:la raccolta dei dati.lo spoglio dei dati.la rappresentazione grafica.

Un campione è:il modo per indicare la popolazione statistica.la parte di popolazione che non partecipaall’indagine.la parte della popolazione che è l’oggetto del-l’indagine.

La frequenza assoluta è:il numero di volte con cui un dato si presenta.il numero totale dei dati.il rapporto tra il numero di volte con cui undato si presenta e il numero totale dei dati.

Scrivi la definizione di frequenza assoluta.

Scrivi la definizione di frequenza relativa.

Scrivi la definizione di campione.

Scrivi la definizione di moda.

Scrivi la definizione di mediana.

Scrivi la definizione di media.

Scrivi tutte le fasi necessarie per svolgere ade-guatamente una indagine statistica.

Da una indagine effettuata su un campione diragazzi che frequentano una palestra sono emer-si i seguenti dati:

23 hanno i capelli neri60 hanno i capelli castani15 hanno i capelli biondi2 hanno i capelli rossi.

Rappresenta questa situazione con un grafico epoi trova i valori medi più significativi.

In un giorno di luglio si sono registrate in 6 cittàle seguenti temperature:

MILANO MAX 23 °C MIN 16 °CPADOVA MAX 24 °C MIN 16 °CGENOVA MAX 24 °C MIN 13 °CTORINO MAX 22 °C MIN 16 °CFOGGIA MAX 23 °C MIN 12 °CASSISI MAX 22 °C MIN 17 °C

Calcola la media aritmetica delle temperaturemassime e di quelle minime.

17

16

ABILITÀ

15

14

13

12

11

10

9

c

b

a

8

c

b

a

7

c

b

a

6

c

b

a

5

c

b

a

4

c

b

a

3

c

b

a

2

c

b

a

1

CONOSCENZE


VERIFICA

135


Un commerciante acquista tre partite della stes-sa merce alle seguenti condizioni:

13 quintali a € 73016 quintali a € 69521 quintali a € 635

Calcola il prezzo medio di acquisto.

In un gruppo di 16 ragazzi le stature sono distri-buite come segue:

2 hanno la statura di 163 cm3 “ 165 cm4 “ 168 cm5 “ 169 cm1 ha la statura di 171 cm1 “ 172 cm

Calcola i valori medi e rappresenta i dati con ungrafico.

Nel seguente grafico è rappresentata la composi-zione di 1000 litri di aria.

Che tipo di rappresentazione è stata utilizzata?Completa la seguente tabella:

Elemento Percentuale Litri

ossigeno

azoto

altri gas

20

19

18

1% altri gas

21% ossigeno

78% azoto

Nel seguente grafico sono rappresentati i giorni di assenza degli alunni di una sezione registrati nel corsodell’anno scolastico.

Che tipo di grafico è stato utilizzato?Compila una tabella con le frequenze assolute e relative.Trova i valori medi che ritieni significativi.c

b

a

N° alunni

N° assenze 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

= 1

21


RECUPERO6LEZIONE

136


Scrivi la definizione di media aritmetica.

Scrivi la formula della media aritmetica pondera-ta di n dati x1, …, xn con frequenza f1, …, fn.

Scrivi la definizione di moda.

Scrivi la definizione di mediana.

Scrivi il nome dei seguenti grafici.

........................ ........................

........................ ........................

Un’indagine sul colore preferito da un campionedi ragazzi ha fornito i dati della tabella sotto-stante: rappresenta la situazione con un grafico.

La seguente tabella illustra il consumo di acquaminerale in alcune nazioni in un determinatoperiodo di tempo; osserva i dati e rispondi alledomande che seguono (▲▲ = 10 000 litri).

In quale nazione si registra il consumo mino-re di acqua?Quanti litri si consumano in Italia?Quanti litri si consumano in Spagna?Quanti litri si consumano in Francia?Quanti litri si consumano in Germania?

Determina la media aritmetica dei seguentinumeri.

36 24 12 18 25 38 40 27 30 28

Determina la moda dei seguenti numeri.

4 7 5 6 4 6 8 6 7 6

Determina la mediana dei seguenti numeri.

12 10 13 11 15 14

Determina la mediana dei seguenti numeri.

24 26 27 24 25

11

10

9

8

e

d

c

b

a

Italia ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Spagna ▲▲▲▲▲▲▲▲

Francia ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Germania ▲▲▲▲▲▲▲▲

7

Rosso ×× ×× ×× ××Blu ×× ×× ×× Verde ×× ×× ×× ×× ×× ××Giallo ×× ×× ×× ××Altri ×× ×× ××

6

dc

ba

5

4

3

2

1

1 ✶✶✶✶✶✶✶✶

2 ✶✶✶✶✶✶

3 ✶✶✶✶✶✶✶✶✶✶✶✶✶✶

4 ✶✶✶✶✶✶✶✶✶✶


• Conoscere le operazioni tra insiemi• Conoscere le proprietà delle operazioni


• Proposizioni semplici• Proposizioni composte• Connettivi logici• Tautologie e contraddizioni• Proposizioni equivalenti• Circuiti elettrici

• Comprendere il concetto di proposi-zione

• Acquisire padronanza nelle operazionilogiche

• Calcolare il valore di verità di unaespressione logica

• Saper applicare la logica delle propo-sizioni ai circuiti elettrici

Cenni di logica

137

7LEZIONE

1 Proposizioni logiche o enunciati

La logica è un ramo della matematica e si occupa dello studio della correttezza delragionamento.Un ragionamento viene condotto normalmente per mezzo di parole che, legate traloro, costituiscono delle proposizioni, le quali a loro volta formano i discorsi.Molto spesso capita che il significato di una proposizione sia diverso nella mentedi chi lo trasmette rispetto a quello nella mente di chi lo riceve: questo perché illinguaggio comune (usato nella trasmissione delle proposizioni) può presentaredelle ambiguità.Per evitare l’insorgere di ambiguità, in matematica non tutte le proposizioni sonoaccettabili. Inoltre i discorsi, cioè i ragionamenti, devono seguire regole molto pre-cise che ne garantiscono il rigore.

Nel linguaggio comune possiamo definire una proposizione come una frase compo-sta almeno dal soggetto e dal predicato; nel linguaggio matematico, invece, occor-re richiedere qualcosa in più.

Si definisce proposizione logica (o enunciato) un’espressione linguistica di cui sipossa dire con certezza se è vera o falsa. Si dice anche che una proposizione logi-ca può assumere due valori di verità: vero (V) o falso (F).

DEFINIZIONE



138

Le seguenti frasi sono degli enunciati?

1) Roma è la capitale d’Italia.2) L’Arno bagna Firenze.3) Un triangolo equilatero ha tre lati uguali.4) 5 è multiplo di 2.5) Il Sole ruota intorno alla Terra.6) Il Po è più lungo del Nilo.

Delle prime tre frasi possiamo dire con certezza che sono vere, le restanti sono sicuramente false,quindi sono tutte degli enunciati.

Consideriamo ora le due proposizioni:

oggi piove domani pioverà

Apparentemente si assomigliano ma, mentre della prima possiamo dire con certez-za se sia vera o falsa, della seconda non possiamo dire nulla con certezza: la primaè un enunciato, la seconda è solo una proposizione del linguaggio comune.Sono proposizioni del linguaggio comune e non possono essere considerate enun-ciati le proposizioni imperative, esclamative e interrogative.

Gli enunciati possono essere di due tipi: elementari (o semplici) e composti.

Si dicono enunciati elementari quegli enunciati che non possono essere scompo-sti in altri più semplici.

Gli enunciati elementari si indicano con una lettera minuscola.

Sono semplici i seguenti enunciati:

p: 5 è un numero primo q: 7 è un numero pari r: Milano è in Lombardia.

Si dicono enunciati composti quegli enunciati formati da due o più enunciati ele-mentari collegati da particolari operatori, detti connettivi logici.

Sono composti i seguenti enunciati:

“Il triangolo è ottusangolo e isoscele”composto dagli enunciati semplici “Il triangolo è ottusangolo” e “Il triangolo è isoscele”.“14 è pari o dispari”composto dagli enunciati “14 è pari” e “14 è dispari”.

Gli enunciati composti si indicano con le lettere degli enunciati semplici collegatida simboli particolari che introdurremo nel prossimo paragrafo.

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE

ESEMPIO

ESEMPIO

ESEMPIO


Cenni di logica7LEZIONE

139

STOPANDGO

Tra le seguenti frasi semplici indica quelle che sono proposizioni logiche.

24 è una potenza. Non uscire di casa!Tutti i quadrati sono dei parallelogrammi. Ogni parallelogramma è un quadrato.Voglio andare al mare. Che noia eseguire i compiti…Tutti i numeri pari sono divisibili per 2. Vieni al cinema con me?

Tra i seguenti enunciati indica quelli composti.

Sara è più alta di Luisa. 100 è divisibile per 2 e per 5.Paolo gioca a tennis e a pallavolo. Carlos e Luca giocano a basket.

Indica gli enunciati semplici che compongono i seguenti enunciati composti.

Carlo mangia sempre pesche e uva. Il papà legge il giornale o guarda la televisione.Maria ama lavorare a maglia e ricamare. Roma è la capitale d’Italia e il capoluogo di provinciaI gatti sono felini e carnivori. della regione Lazio.

2 I connettivi logici

Abbiamo già detto che gli enunciati composti sono formati da più enunciati sem-plici legati tra loro da operatori, detti connettivi logici.

Gli ultimi due connettivi logici richiedono capacità di ragionamento logico astrat-to piuttosto complesse, per cui non verranno presi in considerazione. Ci limiteremoa trattare i connettivi di più facile comprensione.

L’enunciato “Susanna suona il piano e gioca a pallavolo” è un enunciato composto da due enun-ciati semplici:

p: Susanna suona il piano q: Susanna gioca a pallavolo

L’enunciato composto si scrive p ∧ q e si legge “Susanna suona il piano e gioca a pallavolo”.

negazione

congiunzione

Connettivo Simbolo Operazione svolta dal connettivo

non −

e ∧

o (vel) ∨ disgiunzione inclusiva

o… o… (aut) ∨ disgiunzione esclusiva

se ... allora → implicazione materiale

se e solo se ↔ doppia implicazione materiale

.

e

dc

ba

3

dc

ba

2

hg

fe

dc

ba

1

ESEMPIO



140

■ Tabelle di verità dei connettivi logici

Partendo dal presupposto che si deve conoscere il valore di verità (vero o falso) del-l’enunciato elementare, è possibile stabilire il valore di verità della proposizionecomposta e costruire uno schema, che prende il nome di tabella di verità.

■ Connettivo NON “ — ”

Il connettivo non opera su un solo enunciato e ne produce la negazione.Se p è l’enunciato, la sua negazione è p— (si legge “non p”). Ovviamente se p è vero,p— è falso. Ricorda poi che in logica una doppia negazione afferma, quindi la tabel-la di verità è la seguente.

Dato l’enunciato p: Paola è italiana, scrivi gli enunciati p— e p——

.

p—: Paola non è italiana.

p——

: Non è vero che Paola non è italiana (quindi Paola è italiana).

Occorre prestare molta attenzione quando si compone la negazione di unenunciato, per non incorrere in gravi errori di logica.

Considera l’enunciato q: Tutti gli alunni sono minorenni.

La sua negazione è:q—: Non tutti gli alunni sono minorenni (si ammette la presenza di minorenni e di maggiorenni).Non è corretta, invece, la seguente proposizione:q—: Tutti gli alunni non sono minorenni (si esclude la presenza di alunni minorenni).

■ Connettivo E “∧∧”

Il connettivo e opera su due enunciati elementari e ne produce la congiunzione,dando luogo a un enunciato composto che è vero solo se risultano veri entrambi glienunciati elementari che lo compongono.La tabella di verità è la seguente.

V

V

V

F

p q

V

F

p ∧ q

F

F

V

F

F

F

V

F

F

V

p p p

V

F

140

ESEMPIO

ESEMPIO



141

Dati gli enunciati:

p: Paola ha la macchina.q: Paola ha il motorino.Componendoli con il connettivo ∧∧ (e) si ottiene: p ∧∧ q: Paola ha la macchina e il motorino.

L’enunciato composto è vero se sono veri entrambi gli enunciatisemplici che lo compongono, cioè se Paola ha sia la macchina che ilmotorino.

■ Connettivo O (vel) “ ∨∨ ”

Il connettivo o (vel) opera su due enunciati elementari e ne produce la disgiun-zione inclusiva, dando luogo a un enunciato composto.Ad esempio:

p: Laura è italianap ∨∨ q: Laura è italiana o europea (si legge p vel q).

q: Laura è europea}

L’enunciato composto mediante la disgiunzione inclusiva è sempre vero tranne nelcaso in cui entrambi gli enunciati componenti siano falsi.La tabella di verità è la seguente.

Considera gli enunciati:

p: Maria parla tedescoq: Maria parla francese

Componendoli con il connettivo ∨∨ (vel) si ottiene:p ∨∨ q: Maria parla francese o tedesco

V

V

V

F

p q

V

V

p ∨ q

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

p q

V

F

p ∧ q

F

F

V

F

F

F

ESEMPIO

ESEMPIO



142

L’enunciato composto è falso solo se entrambi gli enunciati sempli-ci che lo compongono sono falsi, in questo caso se Maria non parlané francese né tedesco.

■ Connettivo O… O… (aut) “ ∨∨..

”

Il connettivo o… o… (aut) opera su due enunciati elementari e ne produce ladisgiunzione esclusiva, dando luogo a un enunciato composto.Ad esempio:

p: Marco è vivop ∨∨

.. q: Marco è o vivo o morto (si legge p aut q).

q: Marco è morto }L’enunciato composto mediante la disgiunzione esclusiva è vero se è vero solo unodegli enunciati semplici che lo compongono. La tabella di verità è la seguente:

Considera gli enunciati:

p: Carlo gioca a calcio Componendoli con il connettivo ∨∨..

(aut) si ottiene:

q: Carlo gioca a basket } p ∨∨..

q: Carlo gioca o a calcio o a basket

L’enunciato composto è vero solo se Carlo pratica solo uno sport tracalcio e basket, è falso se pratica entrambi gli sport o se non ne pra-tica nessuno dei due.

V

V

V

F

p q

F

V

p ∨ q

F

F

V

F

V

F

.

V

V

V

F

p q

F

V

p ∨ q

F

F

V

F

V

F

.

V

V

V

F

p q

V

V

p ∨ q

F

F

V

F

V

F

ESEMPIO



143

Ricordando le tabelle di verità dei connettivi logici si possono ricavare i valori diverità di una proposizione composta. Due proposizioni composte formate dalle stesse proposizioni p, q, … sono logica-mente equivalenti se possiedono lo stesso valore di verità indipendentemente daivalori di verità delle componenti.Se una proposizione composta è sempre vera, indipendentemente dai valori di veritàdelle componenti, prende il nome di tautologia; se è sempre falsa, indipendente-mente dai valori di verità delle sue componenti, prende il nome di contraddizione.

Costruiamo la tabella di verità della seguente proposizione composta: (p ∨ q——) ∧ p.

La tabella va composta con le singole componenti della proposizione composta, dopo aver attri-buito a p e q tutti i valori di verità possibili.

Osservando l’ultima colonna, cioè quella della proposizione da studiare, si può affermare che laproposizione composta è una contraddizione.

STOPANDGO

p q p ∨ q p ∨ q—— (p ∨ q——) ∧ pV V V F F

V F V F F

F V V F F

F F F V F

Considera le seguenti proposizioni semplici eforma le proposizioni composte usando ilconnettivo ∧ (e).

p: Maria leggeq: Simone scrivep: 4 è un quadrato perfettoq: 2 è un numero disparip: il Sole è una stellaq: il Sole appartiene al sistema solare

Scrivi la negazione dei seguenti enunciati.

p: 2 è un numero primoq: Pitagora è vivor: tutti i bambini nuotano

Considera le seguenti proposizioni semplici eforma le proposizioni composte usando il con-nettivo ∨ (vel).

p: Gigi mangiaq: Gigi studia

p: 10 è divisibile per 2q: 10 è divisibile per 3p: Giulia mangia carneq: Giulia mangia verdura

Completa le seguenti tabelle di verità.

p q p– q– p= q= p– ∨ q= p ∨.q–

V V

V F

F V

F F

5

p q p– q– p– ∨ q p ∧ q– p– ∨ q– p ∧ q–

V V

V F

F V

F F

4

c

b

a

3

c

b

a

2

c

b

a

1

ESEMPIO



144

■ I circuiti elettrici

Consideriamo un circuito elettrico formato da una pila (generatore), una lampadina e un interruttore.L’interruttore può essere aperto (e quindi non lascia passare corrente) oppure può essere chiuso (equindi lascia passare corrente).

Il passaggio di corrente è messo in evidenza dall’accensione della lampadina.Indichiamo con il simbolo “1” la chiusura di un interruttore (e quindi il passaggio di corrente) econ il simbolo “0” l’apertura di un interruttore (e quindi il non passaggio di corrente).Prendiamo ora in considerazione l’enunciato elementare p: “Passa corrente”.Abbiamo allora le seguenti corrispondenze:

0 → interruttore aperto → non passa corrente → p è F1 → interruttore chiuso → passa corrente → p è V

Costruiamo ora un circuito costituito da una pila, una lampadina e da due interruttori in serie, comerappresentato in figura.

La lampadina si accende, ovviamente, quando le arriva corrente; come devono essere posizionati gliinterruttori affinché ciò avvenga?Il passaggio di corrente nella lampadina avviene solo quando entrambi gli interruttori sono chiusi.Se scriviamo in una tabella le possibili combinazioni dei due interruttori, otteniamo il seguenterisultato.

Ricordando che 0 → F e 1 → V, la tabella ottenuta corrisponde a quella della congiunzione logica.

p q

interruttore T aperto interruttore T chiuso

spenta, nonpassa corrente

accesa, passacorrente

APPROFONDIMENTO

1

1

1

0

p q

1

0

p ∧ q

0

0

1

0

0

0



145

Un collegamento in serie obbedisce all’operazione di congiunzione logica “e” ∧.

Costruiamo ora un circuito costituito da una pila, una lampadina e da due interruttori in parallelo,come rappresentato nella seguente figura.

Anche in questo caso la lampadina si accende quando le arriva corrente.Il passaggio di corrente nella lampadina può avvenire o grazie alla chiusura del solo interruttore po grazie alla chiusura del solo interruttore q o, ancora, grazie alla chiusura di entrambi gli inter-ruttori.Usando le notazioni precedenti, otteniamo le seguenti combinazioni per i due interruttori.

In questo caso, la tabella ottenuta corrisponde all’operazione logica di disgiunzione inclusiva tragli enunciati p e q.

Un collegamento in parallelo obbedisce all’operazione logica di disgiunzione inclu-siva “o” ∨.

1

1

1

0

p q

1

1

p ∨ q

0

0

1

0

1

0

p

q

REGOLA

REGOLA


Vero o falso ?

Una proposizione è logica quando possodire con certezza se è vera o falsa.Se una proposizione è vera, la suanegazione può essere falsa.Un circuito in parallelo rappresenta ladisgiunzione “o”.La congiunzione logica “e” viene rap-presentata nei circuiti elettrici con gliinterruttori in serie.Il simbolo di congiunzione è ∨. .Il simbolo di congiunzione è ∨.L’implicazione materiale si indica con →.Due proposizioni sono logicamente equi-valenti se hanno gli stessi valori di verità.“Oggi piove” è una proposizione logica.“Gigi è antipatico” è una proposizionelogica.

Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposi-zioni logiche.

Oggi c’è il sole.Forse domani pioverà.13 è un numero dispari.Roma è la capitale d’Italia.0 è minore di 7.Paolo è simpatico.


Il parallelogramma ABCD ha quattro lati.Verona è capoluogo di provincia.Vincendo al lotto si diventa milionari.Domani pioverà.3 è minore di 5.10 è maggiore di 20.Sbagliando si impara.20 è divisibile per 7.10 è un numero primo.I figli sono simili ai genitori.


Il numero 10 è divisibile per 3.Attenzione, il semaforo è rosso!Il Tevere è un fiume.Il numero 10 è divisibile per 2.È cominciata la partita?Il mio amico è simpatico.

Stabilisci il valore di verità dei seguenti enunciati.

Parigi è in Francia.7 + 4 = 2845 è multiplo di 4.Il Tevere è un lago.11 è un numero primo.Il sole nasce a Ovest.

Indica se i seguenti enunciati sono semplici o composti .

Marco parla due lingue.Paolo beve e mangia un panino.Se la penna non scrive allora bisognacambiarla.La balena è un pesce e un mammifero.La radio è accesa.L’ultima lettera dell’alfabeto è la Z.


ProposizioneSÌ NO V F

Il Po è il fiume più lungo d’Italia13 è un numero primo12 è divisibile per 5Francesca è una bella ragazzaLa Terra è una stellaSocrate è un uomoNovara è una città inglese

7

CSfCSeCSd

CScCSbCSa

CS6

FVfFVeFVdFVcFVbFVa

5

f

e

d

c

b

a

4

l

i

h

gf

e

d

c

b

a

3

f

e

d

c

b

a

2

FVlFVi

FVhFVgFVfFVe

FVd

FVc

FVb

FVa

FV1


146

ESERCIZI


Cenni di logicaESERCIZI7LEZIONE

147

Scrivi la proposizione p ∧ q che si ottiene da ognicoppia di proposizioni semplici.

p: Lia è biondaq: Lia porta gli occhiali p: Mario ha la macchinaq: Mario ha il motorino p: il rombo è equilateroq: il rombo ha le diagonali perpendicolari p: 40 è divisibile per 4q: 40 è divisibile per 5

Scrivi le proposizioni semplici che formano leseguenti proposizioni composte.

Il rettangolo è equiangolo e ha le diagonaliuguali.Il Po è un fiume e bagna Pavia.Il pastore tedesco è un cane e fa la guardia.11 è numero primo e pari.Il triangolo ABC è isoscele o rettangolo.

Calcola il valore di verità di (p ∧ q) ∨ q– suppo-nendo p vero e q vero.

Siano p e q le proposizioni: p: “oggi piove”,q: “domani è Natale”. Delle proposizioni: p–, q–,p ∨ q, p ∧ q, p– ∨ q– determina il valore di verità,sapendo che p è vera e q è falsa.

Date le proposizioni (entrambe vere) p: “Filippo èun architetto” e q: “Carla è un’insegnante”, deter-mina il valore di verità delle seguenti proposizio-ni composte.

p ∨ q p– ∧ q p ∧ q–

p ∧ q p– ∨ q p ∨ q–

Costruisci le tavole di verità delle seguenti pro-posizioni composte.

p– ∧ q; p ∨ q–; (p ∧ q—— ) ∧ (p ∨ q)

p ∨ q ∨ p–; p– ∧ q– ∧ (p ∨. q); (p ∨ q) ∧ (p– ∨ q)

Verifica se le seguenti proposizioni sono equiva-lenti.

p ∧ (p ∧ q–) e p ∧ (p ∧ q—— ) [sì]

p ∨ q– e p– ∧ q [no]

p ∧ (p ∨ q) = p [sì]

(p ∧ q) ∨ (p– ∧ q–) = (p ∨ q–) ∧ (p– ∨ q) [sì]

Considera le seguenti proposizioni semplici:p: 5 è un numero primoq: il trapezio ABCD ha tre latir: 5 + 3 = 53s: a è una vocaleDetermina poi il valore di verità delle seguentiproposizioni composte.

p ∧ r p ∨ s

q ∨. r q ∨ r

q ∨ s s– ∧ p

p ∧ q—— ∨ q (p– ∨ q–) ∧ q

Dimostra che la proposizione (p ∨ q) ∨ q– è semprevera per qualunque valore di verità assunto da p e q.

Dimostra che la proposizione (p ∧ q) ∧ q– è sem-pre falsa per qualunque valore di verità assuntoda p e q.

Costruisci le tavole di verità delle seguenti pro-posizioni composte e verifica se ci sono tautolo-gie o contraddizioni.

(p ∧ q) ∨ q– (p ∨ q—— ) ∧ p

(p– ∧ q) ∨ q (p ∨ q–) ∧ q–

(p ∧ q——–) ∨ p (p ∨ q

—— ) ∧ (p ∧ p–)

(p ∧ q) ∧ (p– ∧ q–)[tautologie: ; contraddizioni: , , ]

Scrivi le proposizioni logiche corrispondenti aiseguenti circuiti elettrici.

[[(p ∧∧ q ∧∧ r) ∨∨ t] ∧∧ s]

19

gfbe

g

fe

dc

ba

18

17

16

hd

gc

fb

ea

15

d

c

b

a

14

b

a

13

b

a

12

11

10

e

d

c

b

a

9

d

c

b

a

8

t

p q rs


[p ∧∧ q ∧∧ r ∧∧ s]

[p ∧∧ (q ∨∨ r) ∧∧ s]

[(p ∨∨ q) ∧∧ r ∧∧ s]

[(p ∨∨ q) ∧∧ (r ∨∨ s) ∧∧ t]

[p ∧∧ [q ∨∨ (r ∧∧ s)]]

Disegna il circuito che rappresenta le seguentiproposizioni logiche.

p ∧ (q ∨ r)

p ∨ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)

p ∨ (q ∧ r ∧ s)28

27

26

25

24

23

22

21

20 p q r

s

q

r

p s

q

r

p

s

p

q

r s

p

q

t

r

s


148



3 è un numero pari.L’anno 2004 è stato bisestile.Il cioccolato è più buono delle caramelle.Cipro è un’isola.Gigi è bellissimo.Che ora è?

Completa le seguenti frasi in modo da ottenereproposizioni vere.

L’Italia è ................................................Il ............................................. è Natale.Ogni triangolo ha ....................................Il cubo di 2 è .........................................

Completa le seguenti frasi in modo che non risul-tino delle proposizioni logiche.

Domani ………………………………………Paolo è ………………………………………La pasta è .................................. del riso.

Attribuisci il valore di verità alle seguenti pro-posizioni nei casi in cui si possono considerarelogiche.

14 è la metà di 28.10 è uguale al quadrato di 3 più 1.Il prosciutto di Parma è buono.4 diviso 0 dà 0.b è una vocale.Il MCD di 8 e 12 è uguale a 24.

Data la proposizione composta:“5 è soluzione di x2 – 25 = 0 e il MCD di 12 e 18è uguale a 6”, determina:

le proposizioni semplici p e q e i relativi valo-ri di verità;il valore di verità di p ∧ q.b

a

5

FVfFVeFVdFVcFVbFVa

4

ABILITÀ

c

b

a

3

d

c

b

a

2

f

e

d

c

b

a

1

CONOSCENZE

Scrivi la tabella di verità delle seguenti proposizioni (nelle tabelle e scegli tu i passaggi intermedi).

(p ∧ q—— ) ∨ (p– ∧ q–)

((p ∧ q—— ) ∧ p) ∧ q–)

q– ∧ (p– ∨ q)

((p– ∨ q) ∧ p) ∨ q–d

c

b

a

dc6

VERIFICA7LEZIONE

149


p q p– q– p ∧ q p ∧ q—— p– ∧ q– (p ∧ q——) ∨ (p– ∧ q–)V VV FF VF F

p q q– p ∧ q p ∧ q—— (p ∧ q——) ∧ p ((p ∧ q——) ∧ p) ∧ q–

V VV FF VF F

p q q– ∧ (p– ∨ q)V VV FF VF F

p q ((p– ∨ q) ∧ p) ∨ q–

V VV FF VF F



Oggi piove.Perché non studi?Il quadrilatero ABCD ha tre lati.Quanti soldi hai speso?7 è un numero dispari.

Scrivi una proposizione vera e una falsa.

p:

q:

Date le proposizioni p: “il triangolo ABC ha trelati” e q: “3 è un numero pari”, determina il valo-re di verità delle seguenti proposizioni composte.

p ∧ q

p ∨ q

p– ∧ q

p ∧ q–

q– ∨ p–

Compila la tabella di verità delle seguenti propo-sizioni composte.

(p ∨ q–) ∧ (q ∧ p)

(p ∨ q) ∧ q–

Osserva il circuito seguente e completa.

Gli interruttori sono disposti in ……………

L’interruttore p è …………… , l’interruttoreq è …………………

La proposizione logica che rappresenta il cir-cuito è ………………………

Osserva il circuito seguente e completa.

Gli interruttori sono disposti in ……………

L’interruttore p è …………… , l’interruttoreq è ………………………, l’interruttore r è…………… quindi …………… passaggio dicorrente.

La proposizione logica che rappresenta il cir-cuito è ………………………

c

b

a

6

c

b

a

5

b

a

4

e

d

c

b

a

3

b

a

2

e

d

c

b

a

1

RECUPERO7LEZIONE

150


p

q

p q r


• Conoscere l’insieme Q• Saper operare nell’insieme Q• Saper lavorare con le tabelle a doppia

entrata• Saper costruire i diagrammi ad albero


• Eventi certi ed aleatori• Probabilità di un evento• Probabilità composta

• Capire se un evento è aleatorio• Conoscere il concetto di probabilità• Saper applicare il concetto di probabi-

lità in una situazione problematica

Elementi di calcolo delle probabilità

151

8LEZIONE

Un ramo particolare della matematica è costituito dal calcolo delle probabilità,che si è sviluppato a partire dal XVII secolo. Esso è nato partendo dallo studio digiochi di azzardo (dadi, roulette, carte) ed è in seguito stato applicato ad altricampi, come la biologia, l’ingegneria e la genetica.

1 Eventi casuali

Nella vita quotidiana vi sono avvenimenti che si verificano con certezza (dopo il 31dicembre segue sempre il 1° gennaio), altri che non si verificano mai, come l’usci-ta del sette lanciando un dado, e altri ancora che sono possibili ma non certi.Compito del calcolo delle probabilità è di determinare la probabilità che unavvenimento ha di verificarsi.

Quando si parla di avvenimenti (in matematica normalmente definiti eventi)occorre innanzi tutto distinguere quelli il cui verificarsi ha una causa, conosciuta omeno, da quelli il cui verificarsi dipende solo ed esclusivamente dal caso.Facciamo qualche esempio.• Che la nazionale di calcio vinca la partita dipende dalla preparazione e dalla bra-

vura dei giocatori.• Che la temperatura esterna possa raggiungere i 30 °C dipende dalla stagione.



152

• Che un alunno sia promosso dipende dalle sue capacità e dal suo impegno.• Che la carta pescata da un mazzo di carte da briscola sia un asso di fiori dipen-

de solo dal caso.• Che alla roulette esca il numero 35 dipende solo dal caso.• Che da un sacchetto contenente palline differenti tra loro solo per il colore rosso

o bianco venga estratta una pallina bianca dipende solo dal caso.

Un evento è detto casuale o aleatorio quando il suo verificarsi dipende unicamen-te dal caso.

Un tipico esempio di evento casuale è l’uscita di uno dei sei numeri possibili nellancio di un dado: in latino la parola dado si traduce con il vocabolo alea e per que-sto motivo un evento casuale è detto anche evento aleatorio.

Individuiamo gli eventi certi , impossibili , probabili .

Estrarre il numero 45 nel gioco della tombola .....................................................................................

Ottenere testa nel lancio di una moneta .................................................................................................

Ottenere il numero 12 nel lancio di un dado........................................................................................

Estrarre una pallina rossa da un sacchetto contenente 10 palline rosse e 10 verdi.....

Ottenere due numeri la cui somma sia maggiore di 1 nel lancio di due dadi ..................

STOPANDGO

Indica quali delle seguenti proposizioni indicano eventi casuali:

Tra due giorni sarà Pasqua. Domani pioverà.Nel lancio di una moneta esce testa. Per un lavoro si riceve un compenso.Nel gioco del lotto esce il numero 40. Dal sacchetto della tombola viene estratto il 90.

Indica se i seguenti eventi sono certi , impossibili o probabili .

Ottenere un numero primo nel lancio di un dado.Estrarre un numero di tre cifre dal sacchetto della tombola.Estrarre una carta di seme rosso da un mazzo di 40 carte.Vincere il primo premio in una lotteria avendo comprato tutti i biglietti.

Scrivi tre eventi certi, tre probabili e tre impossibili.

■ Probabilità di un evento casuale

Consideriamo il lancio di un dado.Quale probabilità abbiamo che si presenti la faccia con il numero 5?• Tutti i casi che si possono presentare (nel nostro caso 6) si dicono casi possibili.• Tutti i casi che si presentano secondo le aspettative (nel nostro caso 1 e preci-

samente la faccia “5”) si dicono casi favorevoli.

3

PICdPICcPICbPICa

PIC2

fe

dc

ba

1

Ce

Pd

Ic

Pb

Pa

PIC

DEFINIZIONE

ESEMPIO


Elementi di calcolo delle probabilità8LEZIONE

153

• Tutti i casi che non si presentano secondo le aspettative (nel nostro caso 5 e pre-cisamente le facce “1”, “2”, “3”, “4”, “6”) si dicono casi contrari.

Ne consegue che:

+ =

La probabilità matematica P di un evento casuale E è il rapporto tra il numero dei

casi favorevoli f e il numero dei casi possibili n, cioè PE = .

Questa definizione è valida nell’ipotesi che i casi possibili siano tutti ugualmenteprobabili.

Consideriamo il rapporto che ci dà il valore della probabilità:• poiché il numero dei casi favorevoli è minore del numero di casi possibili, il valo-

re del rapporto è minore di 1;• se il numero dei casi favorevoli è nullo, il valore del rapporto è 0 e non essendo-

ci casi favorevoli si dice che l’evento non può verificarsi (è impossibile);• se il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili, il valore del

rapporto è uguale a 1 e si dice che l’evento si verificherà sicuramente (è certo).

La probabilità di un evento impossibile è 0, la probabilità di un evento certo è 1,la probabilità PE di un evento qualsiasi è sempre un numero compreso tra 0 e 1,cioè 0 ≤ PE ≤ 1.

Da un’urna contenente 6 palline blu e 3 palline rosse se ne estrae una. Calcoliamo la probabilitàche la pallina estratta sia:

rossacoloratabianca

i casi possibili sono 9i casi favorevoli sono 3 → Prossa = =

i casi possibili sono 9i casi favorevoli sono 9 → Pcolorata = = 1

i casi possibili sono 9i casi favorevoli sono 0(non ci sono palline bianche) → Pbianca = = 0

09

c

99

b

13

39

a

c

b

a

fn

casi possibilicasi contraricasi favorevoli

DEFINIZIONE

PROPRIETÀ

ESEMPIO



154

STOPANDGO

In una busta ci sono le 23 fotografie degli alunni di una classe formata da 10 maschi e 13 femmine; qualè la probabilità che, prendendo una foto a caso, sia di una femmina?

In un sacchetto ci sono 40 cioccolatini della stessa forma: 6 sono al latte, 15 fondenti e i rimanenti sonofarciti. Prendendo un cioccolatino a caso, qual è la probabilità che sia al latte? Quale la probabilità che siafarcito? Quale la probabilità che sia fondente?

Scrivi su dei foglietti le lettere della parola tabarro e supponi di pescarne uno a caso. Quanti sono i casifavorevoli all’estrazione della lettera a? Quanti quelli favorevoli all’estrazione della lettera b? Calcola poi laprobabilità che venga estratta una vocale.

■ Probabilità di un evento contrario

Abbiamo già visto che si definiscono casi contrari quelli che non si presentanosecondo le aspettative.Ogni evento ammette il suo contrario, che viene detto anche complementare.

Calcoliamo la probabilità di estrarre da un mazzo di carte da briscola una carta di quadri.

n° casi possibili = 40n° casi favorevoli = 10 → Pquadri = =

L’evento contrario corrisponde all’estrazione di una carta non di quadri:

n° casi possibili = 40n° casi favorevoli = 30 → Pnon quadri = =

Confrontando i due risultati, possiamo mettere in evidenza che i due rapporti sono complemen-tari, infatti:

+ = 1

La probabilità dell’evento contrario è uguale al complementare della probabilitàdell’evento dato.

Calcoliamo la probabilità che, lanciando un dado, non esca la faccia 3.

P3 = Pnon 3 = 1 – = 56

16

16

34

14

34

3040

14

1040

3

2

1

ESEMPIO

ESEMPIO

TEOREMA



155

STOPANDGO

Hai 60 cubetti uguali di cui 35 gialli, 5 rossi, 10neri, 8 bianchi e 2 verdi. Calcola la probabilità diestrarre:

un cubetto gialloun cubetto rossoun cubetto neroun cubetto biancoun cubetto verdeun cubetto non gialloun cubetto né rosso né neroun cubetto né rosso né verde né bianco

La probabilità di un evento E è 3/5; qual è laprobabilità del suo complementare? Qual è laprobabilità che l’evento E non si verifichi?

Qual è la probabilità che nel lancio di un dadoesca il numero 1? Quale la probabilità che nonesca il 5?

In un distributore ci sono 70 caramelle al limo-ne, 50 all’arancia, 30 alla menta. Estraendoneuna a caso, calcola la probabilità che sia:

al limonealla mentaall’arancionon alla menta

Esprimi le probabilità trovate anche in percen-tuale.

d

c

b

a

4

3

2

h

g

f

e

d

c

b

a

1

2 Frequenza e legge empirica del caso

La probabilità è un calcolo teorico, ma nella pratica che cosa succede?Consideriamo il lancio di una moneta: la probabilità che si presenti testa è .

Se effettuiamo una serie di 10 lanci, difficilmente otterremo 5 volte testa: dovrem-mo quindi smentire la validità della definizione di probabilità? No, dobbiamo solointrodurre un nuovo concetto: quello di frequenza.

Si definisce frequenza relativa FE di un evento E il rapporto tra il numero delle voltein cui l’evento si è verificato e il numero delle prove effettuate, cioè:

FE =

Se nel corso dei nostri 10 lanci di moneta si è presentata 6 volte testa e 4 voltecroce, abbiamo:

Ftesta = = ; Fcroce = = .

Come si può vedere, il valore della frequenza non coincide con il valore della pro-babilità; vediamo cosa succede se si aumenta il numero delle prove effettuate.

25

410

35

610

n° dei successin° delle prove effettuate

12

N° diprove

N° di volte in cuisi è presentata

testa

N° di volte in cuisi è presentata

croce

Frequenzatesta

Frequenzacroce

10 6 4 6/10 = 0,6 4/10 = 0,4

100 57 43 57/100 = 0,57 43/100 = 0,43

1000 561 439 561/1000 = 0,561 439/1000 = 0,439

10 000 5358 4642 5358/10 000 = 0,5358 4642/10 000 = 0,4642

DEFINIZIONE



156

Come si può vedere dalla tabella, la frequenza dei due eventi si discosta parecchiodalla probabilità matematica quando vengono effettuate poche prove, ma tende adavvicinarsi sempre più alla probabilità man mano che il numero di prove aumenta.Questo comportamento è noto come legge empirica del caso o legge dei grandinumeri per qualsiasi evento casuale.

Effettuando un numero elevato di prove, sempre nelle medesime condizioni, la fre-quenza di un evento casuale ha un valore quasi uguale al valore teorico della pro-babilità dell’evento; il valore della frequenza si avvicina tanto più al valore della pro-babilità quanto più elevato è il numero di prove effettuate.

3 Probabilità totale: eventi incompatibili ed eventi compatibili

Consideriamo le due seguenti situazioni:• evento A: estrazione da un mazzo di carte da briscola di un re; • evento B: estrazione da un mazzo di carte da briscola di un cinque.

Il verificarsi dell’evento A esclude il verificarsi dell’evento B, cioè i due eventi nonpossono verificarsi contemporaneamente e perciò si dicono eventi incompatibili;si può concludere che o si verifica A o si verifica B. La disgiunzione o è usata conil significato esclusivo.

Consideriamo ora le due situazioni seguenti:• evento C: estrazione da un mazzo di carte da briscola di un quattro;• evento D: estrazione da un mazzo di carte da briscola di una carta di cuori.

Il verificarsi dell’evento C non esclude il verificarsi dell’evento D (potrebbe essereestratto proprio il quattro di cuori), cioè i due eventi possono verificarsi contem-poraneamente e perciò si dicono eventi compatibili; si può concludere che si puòverificare sia C che D.Vediamo ora con degli esempi come si calcola la probabilità totale, cioè la proba-bilità che si verifichi uno o l’altro di due eventi, sia in caso siano incompatibili, siain caso siano compatibili.

■ Probabilità totale di eventi incompatibili

Calcoliamo la probabilità di estrarre da un’urna, contenente 10 palline rosse, 8 pal-line verdi e 7 palline nere, una pallina rossa oppure una nera.Osserviamo che l’estrazione di una pallina rossa è un evento incompatibile con l’e-strazione di una pallina nera.

I casi possibili sono 10 + 8 + 7 = 25.I casi favorevoli sono dati dal numero delle palline rosse e anche dal numero dellepalline nere, cioè 10 + 7 = 17, quindi:

Prossa o nera = 1725

LEGGE EMPIRICADEL CASO



157

Allo stesso risultato possiamo pervenire anche se sommiamo le singole probabilitàdei due eventi incompatibili, infatti:

Prossa = Pnera = Prossa o nera = + =

La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è data dalla somma dellesingole probabilità: .

■ Probabilità totale di eventi compatibili

Calcoliamo la probabilità di estrarre da un mazzo di carte da briscola un asso o unacarta di fiori. Osserviamo che l’estrazione di un asso è un evento compatibile conl’estrazione di una carta di fiori, infatti se si estrae l’asso di fiori i due eventi siverificano contemporaneamente.

I casi possibili sono 40.I casi favorevoli sono dati dal numero degli assi (4) e anche dal numero delle cartedi fiori, escludendo però l’asso in quanto già considerato (9); o, che è lo stesso, dalnumero delle carte di fiori (10) e anche dal numero degli assi, escludendo però quel-lo di fiori perché già considerato (3), cioè in tutto 13; perciò:

Passo o carta di fiori =

Allo stesso risultato possiamo pervenire anche sommando le singole probabilità esottratto la probabilità che i due eventi si verifichino contemporaneamente; infatti:

Passo = Pcarta di fiori = Passo di fiori =

Passo o carta di fiori = + – =

La probabilità totale di due eventi compatibili è data dalla somma delle singo-le probabilità diminuita della probabilità che si verifichino contemporaneamente:

.

STOPANDGO

PC o D = PC + PD – PC e D

1340

140

1040

440

140

1040

440

1340

PA o B = PA + PB

1725

725

1025

725

1025

Indica quali tra le seguenti coppie di eventisono compatibili e quali incompatibili.

Nel gioco della tombola: A: esce un numeromultiplo di 3; B: esce un numero multiplo di 12.

Nel lancio di un dado: A esce un numero pari;B: esce il numero 3.

In un mazzo di 40 carte: A: esce il sette diquadri; B: esce una carta di fiori.

[ compatibili, incompatibili, incompatibili]

Considera l’estrazione di una carta da un mazzodi 40 carte e scrivi tre eventi compatibili e

tre eventi incompatibili.b

a

2

cba

c

b

a

1

REGOLA

REGOLA



158

4 Probabilità composta: eventi indipendenti ed eventi dipendenti

Consideriamo le due seguenti situazioni:

• evento A: estrazione da un’urna, contenente 5 palline rosse e 7 bianche, di unapallina bianca;

• evento B: estrazione da un’altra urna, contenente 8 palline rosse e 6 bianche, diuna pallina bianca.

Il verificarsi dell’evento A non ha alcuna influenza sul verificarsi dell’evento B e per-ciò i due eventi si dicono eventi indipendenti.

Consideriamo ora le due situazioni seguenti:

• evento C: estrazione da un’urna, contenente 12 palline verdi e 8 palline gialle, diuna pallina verde;

• evento D: estrazione dalla stessa urna di una seconda pallina verde senza rein-trodurre la pallina precedentemente estratta.

Una volta estratta una pallina, il numero di casi possibili diminuisce di un’unità eil numero di casi favorevoli dipende dal colore della prima pallina estratta.Quindi il verificarsi dell’evento C condiziona il verificarsi dell’evento D e perciò i dueeventi si dicono eventi dipendenti.

Vediamo ora con degli esempi come si calcola la probabilità composta, cioè la pro-babilità che si verifichino entrambi gli eventi, sia in caso siano indipendenti, sia incaso siano dipendenti.

■ Probabilità composta di eventi indipendenti

Lanciamo una moneta 2 volte e calcoliamo la probabilità che in entrambi i casi sipresenti la faccia testa. Visualizziamo quanto richiesto dal problema con un grafico.

I due eventi sono chiaramenteindipendenti, perché la facciache si presenta al primo lancionon influenza il risultato delsecondo lancio.

Al primo lancio si può presentare la faccia testa oppure la faccia croce; in ciascunodei due casi, al secondo lancio si può ancora presentare o la faccia testa o la fac-cia croce.I casi possibili sono 4, i casi favorevoli (testa e testa) sono 1, quindi la probabilitàè:

PT e T = 14

T

C1° lancio

T

CT

C

1° lancio

2° lancio

2° lancio

2° lancio

2° lancio

➟➟➟➟

T T

T C

C T

C C



159

Allo stesso risultato possiamo pervenire anche moltiplicando le probabilità dei sin-goli eventi; infatti:

La probabilità composta di due eventi indipendenti è data dal prodotto dellesingole probabilità: .

Il problema che abbiamo appena considerato contempla due lanci di una moneta, ma la situazionesarebbe la stessa se avessimo lanciato contemporaneamente due monete. Analogamente, l’estrazionedi palline da due urne corrisponde a due estrazioni successive dalla stessa urna rimettendo nell’urnala prima pallina estratta.

■ Probabilità composta di eventi dipendenti

Consideriamo la seguente situazione: un’urna contiene 12 palline bianche, 5 rossee 8 verdi; si effettua una prima estrazione e poi una seconda senza rimettere nel-l’urna la prima pallina estratta. Calcoliamo la probabilità che entrambe le pallineestratte siano verdi.

Alla prima estrazione i casi possibili sono 25 e i casi favorevoli sono 8, perciò laprobabilità di estrarre una pallina verde è:

P1ª verde =

Alla seconda estrazione i casi possibili sono ridotti a 24 (ricorda che non è statareinserita la pallina estratta) e, nell’ipotesi che la prima pallina estratta sia proprioverde, i casi favorevoli sono 7; la probabilità che la seconda pallina estratta siaverde è quindi:

P2ª verde =

La regola della probabilità composta afferma che:

Pverde e verde = · =

La probabilità composta di due eventi dipendenti è data dal prodotto delle sin-gole probabilità calcolate nell’ipotesi che gli eventi precedenti si siano verificati:

(dove con PD/C abbiamo indicato la probabilità condizionata delsecondo evento nell’ipotesi che si sia verificato il primo).PC e D = PC · PD/C

775

724

825

724

825

PA e B = PA · PB

112

212

12

oT

oT

P

P

lancio

lancio

:

:

=

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⋅⋅ = =12

14

PT Te

REGOLA

REGOLA

NOTA



160

STOPANDGO

Indica quali tra le seguenti coppie di eventisono dipendenti e quali indipendenti.

In due mazzi di 40 carte: A: estrarre un re dalprimo mazzo; B: estrarre un due di cuori dalsecondo.Nel gioco della tombola: A: estrarre un nume-ro minore di 10; B: successivamente estrarreun numero primo.In un mazzo di 40 carte: A: estrarre una figura;B: successivamente estrarre una carta di fiori(la prima carta estratta non viene reinserita).

[ indipendenti, dipendenti, dipendenti]

Considera un’urna con 10 palline rosse, 7 giallee 3 bianche. Calcola la probabilità di estrarredue palline rosse:

nel caso in cui la prima venga reinserita;nel caso in cui la prima non venga reinserita.

[[ ; ]]938

b14

a

b

a

2

cba

c

b

a

1

5 Rappresentazione grafica della probabilità: tabelle a doppia entrata e grafi ad albero

Molto spesso è utile e vantaggioso schematizzare la risoluzione dei problemi sulla pro-babilità con rappresentazioni grafiche e precisamente con tabelle a doppia entrata ocon grafi ad albero. Vediamone l’uso risolvendo alcuni problemi.

Problema 1 Calcola la probabilità che lanciando due monete (o lanciando due volteuna moneta) si presentino:

due testa;due croce;una testa e una croce.

Costruiamo una tabella a doppia entrata in cui indichiamo i casi possibili dellaprima moneta (o del primo lancio) in riga e i casi possibili della seconda moneta (odel secondo lancio) in colonna.

Completiamo a incastro la tabella:da essa ricaviamo che i casi possibi-li sono quattro e siamo in grado dirispondere alle domande proposte:

PT e T =

PC e C =

In questo caso occorre precisare se vogliamo un ordine fisso di composizioneoppure se vogliamo semplicemente due facce diverse; infatti:

PT e C = PC e T = Pdue facce diverse = = 12

24

14

14

c

14

b

14

a

T C

T

C

T T

C T

T C

C C

1° lancio1° moneta

2° lancio2° moneta

c

b

a



161

Lo stesso problema può essere visualizzato con un grafo ad albero.

Come si vede, si perviene a uno schema finale dal significato del tutto analogo aquello ottenuto con la tabella e anche i valori della probabilità sono i medesimi.

Problema 2 Si lanci un dado per due volte e si calcoli la probabilità che al primolancio si presenti la faccia 5 e al secondo una faccia pari.

Vediamo sia la rappresentazione con la tabella sia quella con il grafo ad albero.

I casi possibili sono 36, i casi favorevoli sono 3 (quelli evidenziati) perciò

la probabilità è P5 e pari = = .

In questo caso è molto più agile la rappresentazione con tabella a doppia entrata.

112

336

1

1234

56

2

1234

56

3

1234

56

4

1234

56

5

1

3

5

6

1234

56

2

4

6

1 2 3 4 5 61° lancio

2° lancio

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 61

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 62

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 63

4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 64

5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 65

6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 66

T C➟

T T

T C

T C➟T C

➟C T

➟

C C

1a moneta(o lancio)

2a moneta(o lancio)



162

STOPANDGO

■ La geneticaIl calcolo delle probabilità viene applicato per prevedere qualicaratteri avrà un essere vivente conoscendo i caratteri corri-spondenti presenti nei genitori.La scienza che si occupa della trasmissione dei caratteri, cioè del-l’ereditarietà, è la genetica, il cui padre fondatore è stato l’abatececoslovacco Gregor Mendel (1822-1884).La trasmissione dei caratteri ereditari è dovuta a coppie diframmenti di cromosomi che prendono il nome di geni.I due geni che codificano un carattere sono uno di originepaterna e uno di origine materna e si chiamano alleli.Se un individuo presenta nelle sue cellule i due alleli, codifica-tori di un carattere, uguali, l’individuo si definisce omozigoteper quel carattere; se un individuo presenta nelle sue cellule idue alleli, codificatori di un carattere, diversi, l’individuo sidice eterozigote per quel carattere.

Se un carattere si manifesta sia nel caso venga codificato da alleli uguali sia nel caso venga codi-ficato da alleli diversi si dice carattere dominante; se un carattere si manifesta solo se codificatoda alleli uguali si dice carattere recessivo.Considerando delle piante di pisello odoroso (le piante usate da Mendel per i suoi esperimenti) sipossono avere piante con semi gialli e piante con semi verdi: il carattere seme giallo è dominantesul carattere seme verde.

Da un mazzo di 40 carte si estrae a caso unacarta; calcola la probabilità di estrarre:

un asso [[1/10]]una figura [[3/10]]un asso o una figura [[2/5]]né un asso né una figura [[3/5]]

In un sacchetto ci sono 20 palline di cui 5 nere,4 bianche 6 gialle e 5 rosse. Calcola la probabi-lità che, estraendo una pallina a caso, esca unapallina:

rossa [[1/4]]non rossa [[3/4]]rossa o gialla [[11/20]]né rossa né gialla [[9/20]]rossa o gialla o nera [[4/5]]né rossa né bianca né nera [[3/10]]

Siano A e B due eventi indipendenti con PA = 1/4e PB = 3/5. Qual è la probabilità che i due even-ti si verifichino contemporaneamente?

[[3/20]]

Sapendo che un evento B è certo e che PA = 5/7,quale è la probabilità che gli eventi A e B siverifichino contemporaneamente?

[[5/7]]

Luigi e Alessandro giocano lanciando due dadi edopo ogni lancio fanno il prodotto dei numeriottenuti. Se il prodotto è pari vince Luigi, se èdispari vince Alessandro. Chi dei due amici ha lamaggior probabilità di vincere? Si può dire chequesto gioco è equo, cioè Luigi e Alessandrohanno la stessa probabilità di vincita?

[Luigi; no]

5

4

3

f

e

d

c

b

a

2

d

c

b

a

1

Gregor Mendel

APPROFONDIMENTO



163

Si usa indicare gli alleli del carattere dominante con una lettera maiuscola e gli alleli del corri-spondente recessivo con la stessa lettera, ma in carattere minuscolo: quindi G per indicare il colo-re giallo e g per indicare il colore verde.

In base alla definizione di carattere dominante potremo dire che:• il carattere giallo sarà codificato dalla coppia di alleli GG oppure dalla

coppia di alleli Gg;• il carattere verde sarà codificato dalla coppia di alleli gg.Il carattere che noi vediamo è detto anche il fenotipo.La costituzione genetica che determina un fenotipo costituisce il geno-tipo, quindi:• al fenotipo giallo corrispondono i due genotipi possibili GG e Gg;• al fenotipo verde corrisponde il genotipo gg.

A questo punto possiamo calcolare la probabilità di ottenere unapianta di piselli verdi incrociando due piante gialle eterozigoti.

L’incrocio viene indicato così: Gg · Gg.Ciascuno dei due genitori produrrà gameti (cellule riproduttrici) con l’allele G e gameti con l’allele g.Costruiamo una tabella a doppia entrata che ci permetta di ottenere le possibili combinazioni deglialleli dello zigote (cellula derivante dalla fecondazione).

I piselli verdi hanno genotipo gg, perciò: Pgg =

Nei piselli il colore del seme giallo è dominante sul colore del seme verde, maesistono caratteri che si comportano in modo diverso.

Nei fiori conosciuti col nome “bella di notte” i due caratteri fiore rosso e fiorebianco non sono tra loro né dominanti né recessivi e si definiscono codomi-nanti.

Se indichiamo con R l’allele per il carattere rosso e con B l’allele per il carattere bianco, avremo laseguente situazione:

al genotipo RR corrisponde il fenotipo fiore rosso;al genotipo BB corrisponde il fenotipo fiore bianco;al genotipo RB corrisponde il fenotipo fiore rosa.

Il rosa è appunto un carattere intermedio tra il bianco e il rosso.

14

Gameti G g

G GG Gg

g Gg gg

possibili genotipidello zigote



164

ESERCIZI

Indica con una crocetta quali dei seguenti even-ti sono casuali.

Estrarre una carta di picche da un mazzo di 40carte.Domani compirò 30 anni.Andando a pescare nel fiume abboccherà unabalena.Da un’urna contenente 10 palline rosse e 15bianche estrarre una pallina verde.Lanciando un dado si presenterà la faccia conil numero 6.Un bimbo di 4 anni frequenta la scuola dell’in-fanzia.Un bimbo di 8 anni frequenta la scuola prima-ria.Lanciando una moneta si presenterà la facciatesta.

Indica tra i seguenti eventi casuali quali sonoimpossibili , quali probabili e quali certi .

Estrazione di un fante da un mazzo dicarte.Estrazione di una pallina blu da un’ur-na contenente 10 palline verdi e 5palline gialle.Esibizione dei documenti a una fron-tiera internazionale.Lanciando un dado che si presenti lafaccia con un numero pari oppuredispari.Lanciando una moneta che non si pre-senti né testa né croce.Lanciando due dadi si ottenga persomma delle facce un numero minoredi 2.Estrazione di un jolly da un mazzo dicarte da briscola.Estrazione di una pallina colorata daun’urna contenente 3 palline rosse euna bianca.

Vero o falso ?

Vincere il primo premio di una lotteriaè un evento certo.Estrarre una carta rossa o nera da unmazzo di carte è un evento probabile.La probabilità di un evento probabile èminore di 1.La probabilità di un evento impossibileè uguale a 0.La probabilità di un evento certo èmaggiore di 1.La probabilità di un evento casuale edel suo contrario non possono assume-re valori uguali.L’estrazione di una pallina verde daun’urna contenente palline verdi e bluè un evento probabile.La probabilità di un evento certo puòessere uguale a 4/3.

Da un mazzo di 40 carte se ne estrae una a caso;calcola la probabilità che essa sia:

un 5 [[1/10]]un 4 nero [[1/20]]una figura [[3/10]]una donna [[1/10]]

Giorgio ha a disposizione delle cannucce colora-te; sapendo che 3 sono rosse, 4 blu, 6 gialle e 2verdi, calcola la probabilità di prenderne, a occhibendati:

una blu [[4/15]]una gialla [[2/5]]una verde [[2/15]]una bianca [[0]]d

c

b

a

5

d

c

b

a

4

FVh

FVg

FVf

FVe

FVd

FVc

FVb

FVa

FV3

CPIh

CPIg

CPIf

CPIe

CPId

CPIc

CPIb

CPIa

CPI

2

h

g

f

e

d

c

b

a

1


Elementi di calcolo delle probabilitàESERCIZI8LEZIONE

165

In un’urna vi sono 10 palline bianche, 8 blu, 16viola e 15 rosse; calcola la probabilità di estrarre:

1 pallina bianca [[10/49]]1 pallina blu [[8/49]]1 pallina viola [[16/49]]1 pallina rossa [[15/49]]

Avendo a disposizione un mazzo di 40 carte, cal-cola la probabilità di estrarre:

un fante [[1/10]]un fante rosso [[1/20]]una carta di cuori [[1/4]]una carta rossa [[1/2]]

Avendo a disposizione un mazzo di 54 carte (com-presi i due jolly), calcola la probabilità di estrarre:

una figura rossa [[1/9]]un re nero [[1/27]]un asso [[2/27]]una carta superiore al 7 [[4/9]]un jolly [[1/27]]

Un’urna contiene 15 palline bianche, 10 nere e 25blu; calcola la probabilità di estrarre:

1 pallina bianca [[3/10]]1 pallina nera [[1/5]]1 pallina blu [[1/2]]1 pallina colorata [[1]]

Viene lanciato un dado: calcola la probabilità cheesca:

il 5 [[1/6]]un numero maggiore di 3 [[1/2]]un numero minore o uguale a 6 [[1]]un numero dispari [[1/2]]

Calcola la probabilità che, lanciando un dado,esca:

il numero 2 [[1/6]]un numero pari [[1/2]]un numero maggiore di 4 [[1/3]]un numero divisibile per 3 [[1/3]]

Un’urna contiene 5 gettoni rossi, 8 gettoni blu e7 verdi; calcola la probabilità di estrarre:

un gettone verde [[7/20]]un gettone non rosso [[3/4]]un gettone non verde [[13/20]]un gettone non blu [[3/5]]

Avendo a disposizione un mazzo di 40 carte, cal-cola la probabilità di estrarre:

un re [[1/10]]una carta non di cuori [[3/4]]una carta che non sia una figura [[7/10]]una carta che non sia un re [[9/10]]

Un’urna contiene i primi 90 numeri; calcola la pro-babilità che, estraendone uno a caso, esso sia:

minore di 30 [[29/90]]dispari [[1/2]]divisibile per 7 [[2/15]]pari e maggiore di 70 [[1/9]]

Calcola la probabilità che, estraendo una carta daun mazzo da 40, essa sia:

una figura [[3/10]]l’asso di cuori [[1/40]]un due [[1/10]]una carta di fiori [[1/4]]una figura di quadri [[3/40]]

Un’urna contiene 15 palline bianche, 8 nere e 7rosse; trova la probabilità che, estraendone una acaso, essa sia:

bianca [[1/2]]nera [[4/15]]non bianca [[1/2]]

Due vasi uguali contengono 30 caramelle amare ilprimo, 10 caramelle amare e 20 dolci il secondo.Filippo, non distinguendo né i vasi né le cara-melle (tutte uguali fra loro), estrae a caso unacaramella da uno dei vasi; trova la probabilitàche essa sia dolce. [[1/3]]

17

c

b

a

16

e

d

c

b

a

15

d

c

b

a

14

d

c

b

a

13

d

c

b

a

12

d

c

b

a

11

d

c

b

a

10

d

c

b

a

9

e

d

c

b

a

8

d

c

b

a

7

d

c

b

a

6


Lanciando una moneta 10 volte, si è ottenuto 7volte testa. Calcola la frequenza dell’evento croce.

[[3/10]]

Lanciando una moneta 50 volte, si è ottenutocroce per 20 volte. Calcola la frequenza dell’even-to croce. [[2/5]]

Lanciando un dado 40 volte si sono avuti iseguenti esiti:

15 volte la faccia 24 volte la faccia 62 volte la faccia 110 volte la faccia 36 volte la faccia 5

Calcola la frequenza di uscita del 2. [[3/8]]Calcola la frequenza di uscita del 4. [[0]]Calcola la frequenza di uscita di un numerodispari. [[9/20]]

Avendo a disposizione un mazzo di 40 carte, con-sidera i seguenti eventi:

estrazione di una carta rossaestrazione di una carta neraestrazione di una carta di fioriestrazione di un reestrazione di una donna di cuoriestrazione di un asso

Indica quali coppie di eventi sono compatibili equali sono incompatibili.

Considera i seguenti eventi relativi al gioco dellotto:

uscita di un numero pariuscita del numero 21uscita di un numero divisibile per 3uscita di un numero maggiore di 40uscita di un numero minore di 50uscita del numero 90uscita di un numero divisibile per 8uscita di un numero dispari

Indica quali coppie di eventi sono compatibili equali sono incompatibili.

Dato un mazzo di 40 carte, calcola la probabilitàdi estrarre:

una carta di fiori o una carta di picche [[1/2]]un re o un 7 [[1/5]]una donna o un 5 rosso [[3/20]]un re nero o un fante rosso [[1/10]]

Un’urna contiene 12 palline bianche, 8 rosse e 10nere; trova la probabilità che, estraendo 3 palli-ne (e rimettendo sempre la pallina estratta nel-l’urna), esse siano:

tutte bianche [[8/125]]bianca, nera, rossa nell’ordine [[8/225]]una bianca, una nera e una rossa [[16/75]]le prime due bianche e la terza rossa [[16/375]]due bianche e una rossa [[16/125]]tutte dello stesso colore [[3/25]]tutte di colore diverso [[16/75]]nessuna bianca [[27/125]]

Un’urna contiene 20 palline bianche, 25 rosse e35 nere; trova la probabilità che, estraendo acaso una pallina, essa sia:

o bianca o nera [[11/16]]o bianca o rossa [[9/16]]o rossa o nera [[3/4]]né bianca né nera [[5/16]]

Un’urna contiene 25 palline bianche, 7 palline rossee 8 palline blu. Calcola la probabilità di estrarre:

una pallina rossa o una pallina blu [[3/8]]una pallina bianca o una pallina rossa [[4/5]]una pallina bianca o una pallina blu [[33/40]]

Lanciando un dado, calcola la probabilità che esca:

il 5 o il 3 [[1/3]]il 6 o un numero dispari [[2/3]]il 2 o un numero maggiore di 4 [[1/2]]

In un’urna ci sono palline numerate da 1 a 30.Calcola la probabilità di estrarre:

un numero divisibile per 5 [[1/5]]un numero pari [[1/2]]un numero pari maggiore di 15 [[4/15]]c

b

a

28

c

b

a

27

c

b

a

26

d

c

b

a

25

h

g

f

e

d

c

b

a

24

d

c

b

a

23

h

g

f

e

d

c

b

a

22

f

e

d

c

b

a

21

c

b

a

20

19

18


166


Un’urna contiene 6 palline bianche, 9 nere e 5rosse. Si estrae una pallina a caso; trova la pro-babilità che questa sia:

o bianca o nera [[3/4]]bianca o rossa [[11/20]]rossa o nera [[7/10]]

Calcola la probabilità che, lanciando due dadi:

i due valori siano uguali [[1/6]]la differenza tra i due valori sia 4 [[1/9]]i due numeri siano entrambi pari [[1/4]]un numero sia il doppio dell’altro [[1/6]]

Calcola la probabilità che al gioco del lotto esca:

il numero 1 o il numero 90 [[1/45]]il numero 45 o un numero pari [[23/45]]un numero < 11 o un numero > 80 [[2/9]]un numero dispari o il 50 o il 70 o il 90 [[8/15]]un numero maggiore di 70 [[2/9]]

Calcola la probabilità che al gioco della roulettefrancese esca:

lo 0 o il 36 [[2/37]]il 17 o un numero dispari [[18/37]]un numero dispari o il 36 [[19/37]]lo 0 o il 5 o un numero maggiore di 30 [[8/37]]il 5 o il 6 o il 18 [[3/37]]

Calcola la probabilità che venga estratta una pal-lina rossa o azzurra da un’urna che contiene 20palline rosse, 7 gialle, 3 verdi e 10 azzurre. [[3/4]]

Determina la probabilità che, estraendo una cartada un mazzo da 40, essa sia un asso o un tre ouna figura. [[1/2]]

In una cerimonia intervengono 6 persone, ognunadelle quali stringe la mano a tutte le altre. Una solastretta di mano verrà, a caso, fotografata; trova laprobabilità che ha una persona di venir ritratta.

[[1/3]]

Calcola la probabilità che, estraendo una carta daun mazzo di 40 carte, esca:

un fante o una carta di cuori [[13/40]]un asso o una carta rossa [[11/20]]un re o una carta superiore al 5 [[1/2]]


un numero pari o divisibile per 5 [[3/5]]un numero divisibile per 4 o per 7 [[31/90]]un numero minore di 50 o multiplo di 10

[[3/5]]

Calcola la probabilità che, estraendo una carta daun mazzo di 40 carte, essa sia:

una carta rossa o una figura [[13/20]]una figura nera o una carta di picche [[13/40]]una carta di fiori o una figura [[19/40]]

Da un sacchetto contenente 40 gettoni numeratida 1 a 40 ne viene estratto uno: calcola la pro-babilità che rechi:

un numero divisibile per 4 o per 6 [[13/40]]un numero pari o divisibile per 7 [[23/40]]un numero < 11 o divisibile per 3 [[1/2]]


un numero pari o divisibile per 15 [[8/15]]un numero maggiore di 60 o divisibile per 6 [[4/9]]un numero divisibile per 5 o per 7 [[14/45]]

Lanciando 5 volte una moneta, calcola la proba-bilità che escano:

5 testa [[1/32]]2 testa e 3 croce nell’ordine dato [[1/32]]4 testa e 1 croce [[1/32]]

Lanciando due volte un dado, calcola la probabilitàche al primo lancio esca il 6 e al secondo il 4.

[[1/36]]

Lanciando due volte un dado, calcola la probabilitàche al primo lancio esca il 5 e al secondo lancio unnumero pari. [[1/12]]

Un’urna contiene 5 palline rosse, 8 verdi e 7 gialle;si compiono tre estrazioni successive rimettendonell’urna la pallina estratta. Calcola la probabilitàche escano:

3 palline rosse [[1/64]]1 gialla, 1 verde, 1 verde nell’ordine [[7/125]]b

a

44

43

42

c

b

a

41

c

b

a

40

c

b

a

39

c

b

a

38

c

b

a

37

c

b

a

36

35

34

33

e

d

c

b

a

32

e

d

c

b

a

31

d

c

b

a

30

c

b

a

29


167


Da un mazzo di 40 carte si estraggono in succes-sione due carte reinserendo nel mazzo la primacarta estratta; calcola la probabilità che siano:

due carte rosse [[1/4]]un 5 e una figura nell’ordine [[3/100]]la prima non una figura e laseconda non un asso [[63/100]]

Lanciando contemporaneamente due monete, qualè la probabilità che escano due teste? [[1/4]]

Lanciando contemporaneamente un dado e unamoneta, qual è la probabilità che si presenti testae un numero pari? [[1/4]]

Da un’urna contenente 20 palline rosse, 10 neree 30 verdi si estraggono tre palline rimettendonell’urna la pallina precedentemente estratta;calcola la probabilità che siano:

tutte nere [[1/216]]tutte rosse [[1/27]]tutte verdi [[1/8]]

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola laprobabilità che siano:

rossa, verde e nera nell’ordine [[1/36]]rossa, rossa e verde nell’ordine [[1/18]]nera, nera e rossa nell’ordine [[1/108]]

Da un mazzo di 54 carte (compresi i 2 jolly) siestraggono successivamente quattro carte, rimet-tendo ogni volta nel mazzo la carta estratta.Calcola la probabilità di estrarre 4 re.

[[16/531441]]

Da un mazzo di 40 carte si estraggono successi-vamente 3 carte, rimettendo nel mazzo ognivolta la carta estratta. Calcola la probabilità chela prima carta sia di cuori, la seconda sia il 7 diquadri e la terza sia di seme nero. [[1/320]]

Da un’urna contenente 10 palline bianche e 5 pal-line verdi si estraggono successivamente 2 pallinesenza reintrodurre la pallina estratta. Calcola laprobabilità che siano:

entrambe bianche [[3/7]]la prima bianca e la seconda verde [[5/21]]


entrambe verdi [[2/21]]la prima verde e la seconda bianca [[5/21]]

Un’urna contiene 5 palline gialle, 6 rosse e 9 blu;si estraggono contemporaneamente 3 palline:qual è la probabilità che siano:

tutte rosse [[1/57]]tutte blu [[7/95]]


tutte gialle [[1/114]]la prima gialla, la seconda blu e laterza rossa [[3/76]]

Riferendoti all’esercizio n. 54, calcola la probabi-lità che siano:

le prime due blu e la terza gialla [[1/19]]la prima gialla e le altre due rosse [[5/228]]


rossa, blu, rossa nell’ordine [[3/76]]blu, gialla, gialla, nell’ordine [[1/38]]

Da un mazzo di 40 carte si estraggono successiva-mente 3 carte senza reintrodurre la carta estrattanel mazzo. Calcola la probabilità che siano:

3 assi [[1/2470]]3 figure [[11/494]]


una donna, un asso rosso, un 5 neronell’ordine [[1/3705]]nell’ordine un re, una donna rossa, un 3

[[2/3705]]

In un’urna sono contenute palline numerate da 1a 20. Qual è la probabilità che estraendo una pal-lina il suo numero sia divisibile per 4 o per 5?

[[8/20]]

60

b

a

59

b

a

58

b

a

57

b

a

56

b

a

55

b

a

54

b

a

53

b

a

52

51

50

c

b

a

49

c

b

a

48

47

46

c

b

a

45


168


Da un’urna contenente 15 palline verdi, 11 pallinebianche e 6 palline nere se ne estraggono contem-poraneamente due; calcola la probabilità che siano:

entrambe nere [[15/496]]entrambe verdi [[105/496]]


la prima verde e la seconda nera [[45/496]]la prima bianca e la seconda verde [[165/992]]

Da un’urna contenente i primi 90 numeri interi nevengono estratti successivamente 2 (con reim-missione); trova la probabilità che essi siano:

il 10 e il 20, in ordine [[1/8100]]entrambi pari [[1/4]]il primo pari e il secondo dispari [[1/4]]

Considera il punteggio che si può ottenere nel lan-cio di due dadi e trova la probabilità che esso sia:

divisibile per 5 [[7/36]]divisibile per 4 [[1/4]]divisibile per 3 [[1/3]]

La probabilità di contrarre l’influenza è P = 25/100.Quanti individui non si ammaleranno in una scuo-la con 900 alunni? [[675]]

Calcola la probabilità che il primo estratto di unaruota del lotto sia pari o appartenente alla terzadecina. [[5/9]]

Un’urna contiene 8 palline blu, 5 gialle, 7 nere.Si estrae una pallina a caso; trova la probabilitàche questa sia:

gialla o nera [[3/5]]blu [[2/5]]blu o nera [[3/4]]

Da un’urna contenente 5 palline blu, 18 pallineverdi e 12 palline rosse se ne estraggono succes-sivamente tre senza reintrodurre le palline estrat-te. Calcola la probabilità che esse siano:

tutte blu [[2/1309]]

tutte verdi [[48/385]]due rosse e 1 verde senza tenerconto dell’ordine. [[108/595]]

Illustra la situazione con un grafo ad albero.


tutte rosse [[4/119]]due rosse e una blu senza tenerconto dell’ordine. [[6/119]]



tutte dello stesso colore [[1046/6545]]la prima rossa, la secondaverde e la terza rossa. [[36/595]]



le prime due verdi e la terza non verde[[51/385]]

le prime due blu e la terza rossa. [[8/1309]]



tutte di colore diverso [[216/1309]]la prima blu, la seconda verde,la terza non blu. [[87/1309]]


Lanciando due dadi contemporaneamente, calco-la la probabilità che si presentino:

facce uguali [[1/6]]facce la cui somma sia minore di 6. [[5/18]]

Illustra la situazione con una tabella a doppiaentrata.

b

a

73

b

a

72

b

a

71

b

a

70

b

a

69

c

b

a

68

c

b

a

67

66

65

c

b

a

64

c

b

a

63

b

a

62

b

a

61


169


Riferendoti all’esercizio precedente, calcola laprobabilità che:

la somma delle facce sia 8 [[5/36]]entrambe le facce siano dispari. [[1/4]]


Riferendoti all’esercizio n. 73, calcola la probabi-lità che:

la somma delle facce sia dispari [[1/2]]la faccia di un dado sia doppia dell’altra. [[1/6]]


Da un’urna contenente 5 palline gialle, 7 rosse, 8verdi e 10 blu si estraggono successivamente duepalline senza reintrodurre la prima pallina estrat-ta. Calcola la probabilità che:

siano entrambe dello stesso colore [[104/435]]siano di colore diverso. [[331/435]]



la prima gialla e la seconda blu [[5/87]]la prima rossa e la seconda verde [[28/435]]la prima blu e la seconda rossa [[7/87]]


Nel reparto maternità di un ospedale sono natinella stessa giornata 5 femminucce e 3 maschiet-ti e vengono portati in un locale dove ci sono 12culle disponibili. Un’infermiera entra e si dirige acaso verso una culla; calcola la probabilità che hadi trovarsi davanti a:

un maschietto [[1/4]]una femminuccia [[5/12]]una culla vuota [[1/3]]un neonato [[2/3]]

Una rivista ha 25 pagine; calcola la probabilitàche, aprendo due volte la rivista, si presenti:

la stessa pagina 23 [[1/625]]la stessa pagina [[1/25]]

Una classe è formata da 5 studenti di Roma, 10 diFrascati e 10 di Latina. Tra tali studenti ne vengo-no sorteggiati 4 per partecipare ad un concorso;calcola la probabilità che i quattro sorteggiatisiano:

tutti di Latina [[21/1265]]i primi due di Frascati,gli altri di Roma [[3/506]]

Roberta vuole farsi una collana; ha a disposizione10 perle bianche, 8 verdi, 5 rosse e 7 blu che sitrovano in un sacchetto non trasparente. Robertaprende le perle senza guardare; calcola la probabi-lità che:

le prime 3 siano bianche [[6/203]]la prima sia bianca, la seconda siaverde e la terza sia rossa [[10/609]]siano una bianca, una verde euna rossa [[20/203]]

Una scatola contiene 8 lampadine funzionanti e 3bruciate; calcola la probabilità che, prelevando acaso tre lampadine dalla scatola, ci si ritrovi con:

una sola lampadina funzionante [[8/55]]una sola lampadina guasta [[28/55]]tre lampadine guaste [[1/165]]tre lampadine funzionanti [[56/165]]

Illustra le varie situazioni con un grafo ad albero.

La talassemia è una malattia ereditaria a caratte-re recessivo. Indicando con TT il genotipo di unindividuo sano, con Tt il genotipo di un individuoportatore sano e con tt il genotipo di un indivi-duo talassemico, calcola la probabilità:

che due genitori portatori sani abbianoun figlio sano [[1/4]]che due genitori portatori sani abbianoun figlio portatore sano. [[1/2]]

Illustra le situazioni con tabelle a doppia entrata.

b

a

83

d

c

b

a

82

c

b

a

81

b

a

80

b

a

79

d

c

b

a

78

c

b

a

77

b

a

76

b

a

75

b

a

74


170


Con riferimento all’esercizio precedente, calcolala probabilità:

che un genitore portatore sano e uno malatoabbiano un figlio portatore sano [[1/2]]che un genitore portatore sano e uno sanoabbiano un figlio malato [[0]]

L’emofilia è una malattia ereditaria legata alsesso (è un carattere portato dal cromosoma X).Indicando con:

XX una donna sana,XXE una donna portatrice sanaXEXE una donna malataXY un uomo sanoXEY un uomo malato

calcola la probabilità che:una portatrice sana e un uomo malato abbia-no un figlio maschio malato [[1/4]]la stessa coppia abbia una figlia femminamalata. [[1/4]]


Il gruppo sanguigno A è dominante sul gruppo 0come pure il gruppo B, mentre i gruppi A e Bsono tra loro codominanti. Tenendo presenti leseguenti relazioni tra genotipo e fenotipo:

fenotipo A → genotipoAAA0

fenotipo B → genotipoBBB0

fenotipo 0 → genotipo 00

fenotipo AB → genotipo AB

calcola la probabilità che:due genitori di gruppo A abbiano un figlio digruppo 0, considerando tutti i casi possibili;

[[AO ×× AO: 1/4; 0 negli altri casi]]due genitori, uno B e l’altro A, abbiano unfiglio 0, considerando tutti i casi possibili.

[[AO ×× BO: 1/4; 0 negli altri casi]]

Illustra le situazioni con tabelle a doppia entrata.

Calcola la probabilità che una coppia di sposi,avendo deciso di avere tre figli, abbiano duemaschi e una femmina senza tener conto dell’or-dine di nascita. Illustra la situazione con ungrafo ad albero. [[3/8]]

87

b

a

86

b

a

85

b

a

84


171


VERIFICA8LEZIONE

172


Indica la risposta esatta.

Un evento si dice casuale se:è certoè impossibileè probabile

Si dice probabilità di un evento:la frequenza dell’eventoil rapporto tra i casi possibili e quelli favore-voliil rapporto tra i casi favorevoli e quelli possi-bili

Due eventi sono compatibili se:si escudono l’un l’altrol’uno non esclude l’altrosi verificano con certezza

Due eventi sono dipendenti se:il primo influenza il secondoil primo non influenza il secondoil verificarsi del primo assicura il verificarsidell’altro

Due eventi incompatibili sono complementari se:la somma delle loro probabilità è maggiore di 1la somma delle loro probabilità èminore di 1la somma delle loro probabilità èuguale di 1

Due eventi sono indipendenti se:il primo influenza il secondosi verificano entrambiil primo non influenza il secondo

Due eventi sono incompatibili se:si escludono a vicendanon si escudono a vicendasono entrambi impossibili

Per ciascuno dei seguenti eventi scrivi il valoredella probabilità:

evento certo .....................una su due possibilità .....................due su cinque possibilità .....................evento impossibile .....................due casi favorevoli su otto .....................riuscita sicura .....................

Sia PE la probabilità di un evento e PF la probabi-lità del suo complementare. Completa le seguentiscritture.

Se PE = 3/5 allora PF = …PE + PF = …PE = 1 – …PF = 1 – …PE o F = …PE e F = …Se l’evento E ha 17 casi favorevoli e 40 pos-sibili, F avrà …… casi favorevoli e …… casipossibili.

Si lanciano due dadi; compila una tabella a dop-pia entrata e determina:

il numero dei casi possibilila probabilità che esca una coppia di numeriparila probabilità che non esca una coppia dinumeri parila probabilità che la somma dei due numeri siauguale a 5la probabilità che il prodotto dei numeri siadispari

Da un mazzo di 40 carte si estrae a caso unacarta; calcola la probabilità che:

sia un assonon sia un asso di seme rossosia una figurasia una figura o una carta di fiori

Nel gioco della tombola calcola la probabilità cheesca:

un numero dispariun numero della seconda decinaun numero dispari maggiore di 50un numero divisibile per 5un numero che non sia multiplo di 10.e

dcba

12

dcba

11

e

d

c

ba

10

gfedcba

9

fedcba

8

ABILITÀ

c

b

a

7

c

b

a

6

c

b

a

5

c

b

a

4

c

b

a

3

c

b

a

2

c

b

a

1

CONOSCENZE


173

Ho due contenitori: il primo contiene 15 cara-melle alla violetta e 5 alla menta, il secondo con-tiene 16 caramelle alla violetta e 8 alla menta.Vorrei mangiare una caramella alla violetta: daquale dei due contenitori è meglio estrarre lacaramella?

In una classe formata da 10 maschi e 10 femmi-ne vengono sorteggiati 3 alunni. Calcola la pro-babilità che siano:

tutti maschitutte femminedue maschi e una femminadue femmine e un maschio

Per ciascuna coppia di eventi scrivi se sono com-patibili o incompatibili.

Nel lancio di un dado ottenere il 3 o un nume-ro primo.Nel lancio di due dadi ottenere come punteg-gio 4 o un divisore di 8.Estrarre una pallina nera o blu da un’urna. Da un mazzo di 40 carte estrarre un fante diseme rosso o una carta di fiori.Estrarre come primo numero nel gioco dellotto il 20 o un multiplo di 5.

e

d

c

b

a

15

d

c

b

a

14

13

Indica tra i seguenti eventi casuali quali sonoimpossibili , quali probabili e quali certi .

Pescare un jolly da un mazzo di 40carte.Nel gioco della tombola estrarre ilnumero 11.Nel gioco della tombola estrarre unnumero minore di 91.Ottenere 6 nel lancio di un dado.Estrarre una pallina nera da un’urnacontenente 10 palline bianche.

Nel lancio di un dado indica la probabilità cheesca:

un numero pariun numero maggiore di 1 e minore di 5un multiplo di 2il numero 7il numero 4

Considera un mazzo di 40 carte e calcola la pro-babilità che la carta estratta sia:

un fanteun re di seme rossouna carta di piccheuna figuraun setteil tre di cuoril’asso di quadri

In un sacchetto ci sono 5 palline verdi e 7 rosse.Determina la probabilità che:

la pallina estratta sia verdela pallina estratta sia rossala pallina estratta sia biancase estraggo due palline, senza rimettere laprima nel sacchetto, la prima sia verde e laseconda sia rossa

d

c

b

a

4

g

f

e

d

c

b

a

3

e

d

c

b

a

2

CPIeCPId

CPIc

CPIb

CPIa

CPI

1

RECUPEROrisultati a pag. 175

VERIFICArisultati a pag. 175


174

RISULTATIVERIFICA - RECUPERO

Gli insiemiVERIFICA pag. 27

; ;

A ∩∩ B = {a}; A ∪∪ B = {g, a, t, o, c, n, e}; A – B = {g, t, o}A ∩∩ B = {4, 5}; A ∪∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}; A ∩∩ B – B = ∅∅

∈∈; ∉∉; ∉∉; ∈∈; ∈∈; ∈∈; ∉∉; ∉∉; ∈∈;∉∉; ∉∉; ∉∉

PA = {∅∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {1, 2, 3}}A = {p, r, l, d}PA = {{p}, {r}, {l}, {d}, {p, r}, {p, l}, {p, d}, {r, l},{r, d}, {l, d}, {p, r, l}, {p, l, d}, {r, l, d}, {p, r, l, d}, ∅∅}

A ⊂⊂ B; A ⊆⊆ Bunivoca

RECUPERO pag. 28Finiti: A, C. Infinito: B

elencazione4 ∈∈ B 6 ∈∈ B 2 ∈∈ B 10 ∉∉ B

X = {1, 2, 3, 4} Y = {7, 8}A ∪∪ B = {e, i, o} A ∩∩ B = {i, o}A = {1, 7, 9, 5, 4, 3}; B = {4, 3}; A ∪∪ B = A;A ∩∩ B = BA ∪∪ B = B; A ∩∩ B = A; (A ∩∩ C) ∪∪ B = B;(A ∩∩ B) ∩∩ C = A; A – B = Ø;B – A = {1, 3, 5, 7}

Le operazioni binarie e le strutture algebricheVERIFICA pag. 42

sìsìnonosì

a; b; b; bnolegge di composizione interna associativa con u = bE = {a, b, c}sì

RECUPERO pag. 43

∗ 2 32 4 53 5 6No; A = {1, 2, 3}

no; –3; –4; –3; 1interna; 1; sì; esistono i simmetrici rispetto alla dia-gonale principale; 2; 2; 2; 0

Le relazioni VERIFICA pag. 58

D = {3, 6, 9}; C = {1, 2, 3}; aR–1 a ⇔ b aD = {1, 2, 5}; C = {1, 4, 10}a R b ⇔ a = b – 1; D = {–1, 0, 2}; C = {0, 1, 3}

riflessiva, simmetrica; simmetricaantisimmetrica; simmetrica, transitiva, riflessivasimmetrica, antiriflessiva; simmetrica, antiri-

flessiva; antiriflessiva, simmetrica; simmetrica;riflessivarelazione d’ordine strettorelazione d’ordine stretto

RECUPERO pag. 59(7, 10); (9, 12); (12, 15); (15, 18)

riflessiva, simmetrica, transitiva; antisimmetrica;riflessiva, simmetrica, transitiva; riflessiva, anti-

simmetrica; antisimmetrica; antiriflessiva, sim-metrica; riflessiva, antisimmetrica simmetrica;

antiriflessiva, simmetrica

Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione,l’ordine di grandezza, la notazione espo-nenziale e standard

VERIFICA pag. 817721870715213132 cm; 726 cm2

180 cm; 720 cm2

106; 104; 103; 102

RECUPERO pag. 82120156416109153,577 cm120 cm; 480 cm26

5

4

3

2

1

dcba10

7

6

5

4

3

2

1

LEZIONE 4

BSEZIONE

i

hg

fe

dc

ba2

1

b

a7

i

eg

fe

dc

ba5

4

3

13

2

ViFhVgVfVeFdVcVbFa1

LEZIONE 3

5

4

3

2

VdFcFbVa1

17

16

15

dcba14

13

12

11

10

9

LEZIONE 2

f

ed

cba7

d

cba6

ba5

4

dcba3

a2

1

12

ba11

10

9

nml

ihgfedcba8

7

6

b3

b2

dcb1

LEZIONE 1

ASEZIONE


175

I grafici VERIFICA pag. 110

ideogramma; sì; 6; 11; calcio3550; 650; 70015; 7 e 19; 36,5 °C; 39 °C; no; aumentata

Elementi di statisticaVERIFICA pag. 134

moda: capelli castanitemperatura max media: 23 °C; temperatura minimamedia: 15 °Cprezzo medio = € 678,90media = 167,56 cm; moda = 169 cm; mediana = 168 cmareogramma; ossigeno = 210 litri; azoto = 780 litri;altri gas = 10 litri

istogramma; media =̃ 10,5; moda = 10;mediana = 10

RECUPERO pag. 136istogramma; diagramma cartesiano; areogramma;ideogramma

Spagna e Germania; 50 000 litri; 40 000litri; 70 000 litri; 40 000 litrimedia = 27,8moda = 6mediana = 12,5mediana = 25

Cenni di logicaVERIFICA pag. 149

; ;

p: 5 è soluzione di x2 – 25 = 0; Vq: MCD(12, 18) = 6; V V

F V V VF V F FF F F VV V F V

RECUPERO pag. 150; ; F V F V V

parallelo; aperto, aperto; p ∨∨ qserie; aperto, aperto, aperto, non c’è; p ∧∧ q ∧∧ r

Elementi di calcolo delle probabilitàVERIFICA pag. 172

1; 1/2; 2/5; 0; 2/8 = 1/4; 12/5; 1; PF; PE; 1; 0; 23; 4036; 1/4; 3/4; 1/9; 1/41/10; 19/20; 3/10; 19/401/2; 1/9; 2/9; 1/5; 9/10

Dal primo contenitore1/8; 1/8; 3/8; 3/8compatibili; compatibili; incompatibili;incompatibili; compatibili

RECUPERO pag. 173; ; ; ;

1/2; 1/2; 1/2; 0; 1/61/10; 1/20; 1/4; 3/10; 1/10; 1/40;1/405/12; 7/12; 0; 35/132dcba4

g

fedcba3

edcba2

IePdCcPbIa1

ed

cba15

dcba14

13

edcba12

dcba11

edcba10

gfedcba9

fedcba8

a7

c6

c5

a4

b3

c2

c1

LEZIONE 8

cba6

cba5

4

edcba3

eca1

d

c

b

a6

b

a5

FeFdFcVbVa4

dba1

LEZIONE 7

11

10

9

8

ed

cba7

5

ca21

20

19

18

17

16

a8

c7

a6

a5

a4

c3

a2

c1

LEZIONE 6

9

8

7

VfVeVdFcVbVa1

LEZIONE 5

p qV V V FV F F VF V F FF F F F

ba

LEZIONI 1-8


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