LA TRASFORMATA DI FOURIER, PROPRIETA’ ED...

12 Fondamenti Segnali e Trasmissione

LA TRASFORMATA DI FOURIER, PROPRIETA’ ED ESEMPI (2)


X(f)H(f)TDF

Proprieta’ della TDF (5)

Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempo-invarianti.

Moltiplicazione nei tempi: la TDF del prodotto di due segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).

x(t )y(t) TDF

�∞

∞−

−=∗ τττ dthxthtx )()()()(

�∞

∞−

− ξξξ dfYX )()(


integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.

df rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenze

infinitesimo df.

viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA

2)( fX

2)( fX

2)( fX

Proprieta’ della TDF (6)

Relazione di Parseval: l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del modulo quadrato della sua TDF

=�∞

∞−

dttx2

)( �∞

∞−

dffX2

)(


La trasformata di Fourier dell’impulso

Un impulso di area unitaria ha come TDF una costante unitaria nei tempi:

{ } 12 =−�∞

∞−

dtftjexp)t( πδ

Quindi, per dualità, la TDF di una costante unitaria é un impulso nelle frequenze.

Inoltre, per le proprietà legate alla traslazione nei tempi e nelle frequenze:

1 δ (f )TDF

δ (t - t 0) e-j2π f t0TDF

ej2π f0 t δ (f - f0 )TDF

δ (t ) 1TDF


Esempi di trasformata di Fourier (il sinc)

( )fTrectAT)f(XT

tsincA)t(x =⇔�

�

��

�=

A

-T Tt

TDF

x(t)

-1/2T 1/2T

AT

f

X(f)

( ) ( ) ( ) ( )tataa

frectata

t

ataa

δπ

π+∞→+∞→

→�→��

��

�⇔= 2sinc212

2sinc22sin

Osservazione per la prossima slide:


Calcolata la trasformata di Fourier X(f) del segnale x(t)

Trasformata inversa di Fourier (traccia di dimostrazione)

��∞

∞−

∞

∞−

−=−= ττπτπ dfjxdtftjtxfX )2exp()()2exp()()(

(dove si preferisce la variabile d’integrazione per non confonderla poi con t) si antitrasformi integrando nell’intervallo (–a,+a), che si fara’ poi tendere all’infinito:

τ

)(2sin

)(

)(

)(2sin)())(2exp()(

))(2exp()()2exp()(

txt

attx

dt

taxdftfjdx

dtfjxdfdfftjfX

a

a

a

a

a

a

a

+∞→

∞

∞−

∞

∞−−

∞

∞−−−

→∗=

=−

−=−=

=−=

� ��

��

ππ

ττπ

τπττπττ

ττπτπ

in quanto ( )tt

ata

δπ

π+∞→

→2sin


La trasformata di Fourier del seno e del coseno

La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:

{ } { }tfjexpj

tfjexpj

)tfsin()t(x ooo πππ 22

22

2 −−==

TDF

( ) ( )oo ffj

ffj

)f(X −−+= δδ22

La trasformata di Fourier del coseno di conseguenza:

{ } { }tfjexptfjexp)tfcos()t(x ooo πππ 22

12

2

12 −+==

TDF

( ) ( )oo fffffX ++−= δδ21

21

)(

Im[X(f)]

f0

f-f0-1/2

1/2

Re[X(f)]

f-f0

1/2

-f0

1/2


Esempi di trasformata di Fourier (il triangolo)

( )( ) ( )fTsincATfTsincTT

A)f(X

T

trect

T

trect

T

A

T

ttriA)t(x

22 ==⇔

⇔��

��

��

��

�∗��

��

�=��

��

�=

-T T

A

AT

-1/T 1/T f

F

x(t)

X(f)


Esempi di trasformata di Fourier (la gaussiana)

( ) ( )22 fexp)f(Xtexp)t(x ππ −==⇔−=

ft

F

x(t)

221 πσ/

1

X(f)

{ }2222

2

22

22

1fexp

texp σπ

σπσ−⇔

��

��

−⋅

Gaussiana di area normalizzata:

σ2 cioè la varianza della Gaussiana, ne gestisce la “larghezza”: all’aumentare di σ2 si allarga x( t ) (σ2 a denominatore dell’esponente) e si stringe X( f ) ( σ2 a numeratore dell’esponente)


Banda di un segnale

Viene definita banda (B) del segnale x(t) l’intervallo di frequenze (misurato sul semiasse positivo) all’interno del quale X(f) assume valori diversi da 0.

Operativamente, nella definizione di banda, si considerano due classi di segnali:

f

|X(f)|

B

Segnali di tipo passa-bassoX(f) concentrata intorno a f=0

f

|X(f)|

Segnali di tipo passa-bandaX(f) concentrata intorno a f=±f0

-f0 -f0B

Molto spesso X(f) è a rigore diversa da 0 da - ∞ a + ∞. In questo caso la banda corrisponde all’intervallo di frequenza in cui X(f) è “significativamente” diversa da 0,per esempio |X(f)|2>|X|2max/2 (Banda a 3 dB) oppure |X(f)|2>|X|2max/10 (Banda a 10 dB)

B3dB


Risposta in frequenza del filtro passa-basso ideale

La risposta all’impulso e’ un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli

interi di 1/ 2fT

La risposta all’impulso e’ un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli

interi di 1/ 2fT

f

H(f)

fT- fT

1

( ) ( ) ��

��

�=⇔=

TTT f

frectfHtffth

22sinc2)(


Risposta in frequenza del filtro passa-alto ideale

La risposta all’impulso e’ data da un impulso di area unitaria δ(t) meno un seno

cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2fT

La risposta all’impulso e’ data da un impulso di area unitaria δ(t) meno un seno

cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2fT

f

H(f)

fT- fT

1

( ) ( ) ( ) ��

��

�−=⇔−=

TTT f

frectfHtfftth

212sinc2)( δ


La risposta all’impulso e’ quindi data da un seno cardinale con gli zeri posizionati a

tempi multipli interi di 1/ 2fT moltiplicato per .

La risposta all’impulso e’ quindi data da un seno cardinale con gli zeri posizionati a

tempi multipli interi di 1/ 2fT moltiplicato per .

Risposta in frequenza del filtro passa-banda ideale

f

H(f)

1

fo + fTfo - fT fo- fo + fT- fo - fT - fo

)2cos(2 0 tfπ

( ) ( ) ( ) ��

��

� ++��

��

� −=⇔=

TTTT f

ffrect

f

ffrectfHtftffth

222sinc2cos4)( 00

0π


Esercizi su TDF e LTI (1)

1. Sapendo che

e sfruttando le proprietà della TDF, calcolare le TDF dei seguenti segnali e disegnarne i grafici:

2.Siano

Esiste un sistema LTI che a ingresso s1(t) risponde con uscita s2(t)? Esiste un sistema LTI che a ingresso s2(t) risponde con uscita s1(t)? Per entrambi i casi, se esiste, fornire un esempio di H(f) e h(t).

3. Calcolare l’uscita y(t) di un sistema LTI con risposta all’impulso h(t) e ingresso x(t) pari a:

calcolare prima l’integrale di convoluzione tra x e h, e verificare poi il risultato tramite la risposta in frequenza del sistema.

( ) ( )fsinctrect ⇔

( ) ( ) ( ) ( )4523 21 /tsinctx/trecttx ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tttstts πππ 20sin10cos,10sin2 21 +==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ))2/(sin2 TttxTttth πδδ =−+=


Esercizi su TDF e LTI (2)

5. Determinare l’uscita y(t) di un sistema LTI con risposta in frequenza H(f) e ingresso x(t):

6. Un sistema LTI ha risposta all’impulso h(t) e ingresso x(t) pari a:

calcolare l’uscita y(t) la sua densità spettrale di energia, l’energia e l’energia di x(t).

7. Disegnare le TDF di

8. E’ dato un sistema LTI con risposta all’impulso

e ingresso x(t) pari a . Si può scrivere x(t) come somma di segnali sinusoidali? Determinare l’uscita y(t) e la sua potenza Py.

( ) ( ) ( ) ��

��

�=+

=T

ttx

fTjfH cos

21

16π

( ) ( ) ( )tttx π2000cossinc001.01 =

( ) ( ) ( )trectttx 2501000sinc2 ∗=

( ) ( ) ��

��

� −=��

��

� −=T

/Ttrecttx

T

/Ttrectth

22

2

1

( ) ��

��

��

��

� −=T

t

T

TttriAth

π2cos

)/(2)( 2 Ttsentx π=

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