LA SPIRALE MERAVIGLIOSA - mat.uniroma1.it · La spirale archimedea Scoperta circa 2200 anni fa...
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LA SPIRALE MERAVIGLIOSA " Eadem mutata resurgo" di Agnese Di Castro & Virginia Correani TFA 2015 – classe A059 – corso di Didattica della Matematica 2 Prof. Piccinni
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LA SPIRALE
MERAVIGLIOSA"Eadem mutata resurgo"
di Agnese Di Castro & Virginia Correani
TFA 2015 – classe A059 – corso di Didattica della Matematica 2
Prof. Piccinni
Cos’è una spirale?
Curva asimmetrica aperta generata da un punto che si avvolge
intorno ad un’origine fissa, detta polo, aumentando o diminuendo
secondo il verso in modo continuo la distanza da essa.
OVVERO
La traiettoria disegnata da un punto P mobile su una semiretta che
ruota intorno alla sua origine O;
• OP è il raggio vettore r della spirale
• I tratti curvilinei sono detti spire
Spirali
Spirali bidimensionali Spirali tridimensionali
La spirale archimedea
Scoperta circa 2200 anni fa dallo scienziato siracusano e da lui descritta nell’opera De
lineis spiralibus, ha equazione polare r=θk , cioè per un punto di tale curva la distanza
dal polo è proporzionale all’angolo descritto dal raggio vettore.
Si tratta della traiettoria di un punto mobile P su una semiretta: mentre la semiretta ruota intorno
alla sua origine O con velocità angolare costante, il punto P, partendo da O, si muove di moto
uniforme.
La spirale logaritmica:Un po’ di storia
1638 - Cartesio (1596 - 1650): “... è detta spirale logaritmica ogni figura piana che
proceda da un punto fisso tale che l’area vettoriale di qualsiasi settore sia sempre una
proporzione aggiunta della figura precedente”.
1645 - Evangelista Torricelli (1608 - 1647): “De infinitis spiralibus”.
Circa cinquant’anni dopo Jakob Bernoulli (1654 - 1705) definì la curva “Spira
mirabilis”, la spirale meravigliosa disponendo che essa fosse scolpita sulla sua tomba
accanto alla frase “Eadem mutata resurgo” (“sebbene diversa, rinasco ugualmente”).
Le proprietà della spirale logaritmica:Proporzionale
Si consideri il segmento AB e un punto O su di esso, si alzi la perpendicolare OC tale che:
AO : OC = OC : OB.
Si tracci quindi la bisettrice OD dell’angolo AÔC tale che:
AO : OD = OD : OC.
Ripetendo il procedimento infinite volte si ottengono tutti i punti (A,B,C,D,E…) della
spirale.
Preso un numero arbitrario di angoli consecutivi
uguali con vertice in O, per esempio AÔF, FÔD,
DÔE, i segmenti che li delimitano sono in
proporzione continua:
OA : OF = OF : OD = OD : OE.
Il vertice O e i segmenti OA,OF,OE,OD sono
detti rispettivamente centro e raggi della spirale.
Le proprietà della spirale logaritmica:Equiangolare
In tutti i punti della spirale logaritmica, l’angolo formato dal raggio vettore e dalla
retta tangente è costante.
L’angolo di inclinazione, cioè l’angolo che la spirale forma
con i cerchi centrati nell’origine, è costante.
Autosomiglianza
La spirale proporzionale non raggiunge mai il polo, poiché il centro della spirale è un
punto asintotico: proseguendo l’ingrandimento verso il centro si ritrovano infinite spirali
identiche in scala ridotta.
Allontanandosi sempre di più dall’origine aumentano le dimensioni della spirale, ma
essa è sempre somigliante a se stessa.
Altre proprietà della spirale
Spirale
meravigliosa
Simillima filia matri
Trasformazioni di scala o rotazione (i.e. evoluta ed involuta) generano sempre una
spirale logaritmica.
La spirale logaritmica:Coordinate polari
Equazione polare ↔ r=aekθ, con a >0 e k numeri reali.
La spirale logaritmica:Coordinate polari
k<0 k>0
La spirale logaritmica:Ricaviamo l’equazione!
Consideriamo un punto P della spirale e tracciamo la retta t tangente alla circonferenza nel
punto P; indichiamo con α e θ gli angoli che la retta t forma, rispettivamente con l’asse delle
x e il raggio OP.
La spirale logaritmica:Ricaviamo l’equazione!
La curva può essere espressa in coordinate cartesiane come
Il coefficiente angolare della retta t è tanα, ma si può anche scrivere come il generico rapporto
delle derivate parziali della spirale nel generico punto P:
+
Il passo della spirale
logaritmica
Consideriamo due spire successive che intersecano
l’asse delle x nei punti B e C. La distanza fra le due
spire BC = OC – OB = r2 – r1 = d 2,1 dove O è
l’origine degli assi e quindi il polo della spirale
Consideriamo una terza spira successiva alle precedenti con r3= OD. Calcoliamo d 3,2 = r3 – r2
Dunque il passo della spirale logaritmica aumenta secondo una progressione
geometrica di ragione e2πk
Spirale aurea
La spirale aurea è una spirale logaritmica la cui distanza dal centro aumenta ogni
quarto di giro come una progressione geometrica di ragione
Spirale aurea
Consideriamo due raggi vettori successivi OA e OB che differiscano tra loro di
un angolo retto. Per quanto detto si ha :
Quindi l’equazione polare della spirale aurea è
La sezione aureaUn po’ di storia
La definizione del rapporto aureo, sezione aurea o numero aureo viene fissata attorno
al VI secolo a.C., ad opera della scuola pitagorica ed in particolare da Ippaso di
Metaponto.
Euclide, intorno al 300 a.C., lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento
(Elementi). A proposito della costruzione del pentagono, egli fornisce la definizione di
divisione di un segmento in "ultima e media ragione".
Luca Pacioli (De Divina Proporzione, 1509) definisce il rapporto aureo “divina
proporzione”. Si tratta di una proporzione in cui entrano in gioco tre soli elementi:
coesistono dunque in essa l’unità e la trinità; i rapporti che vi compaiono sono
irrazionali e dunque non è possibile esprimerli con un numero ben definito: tale è la
divinità, che non può essere circoscritta. Inoltre l’uguaglianza di tali rapporti
riconduce all’immutabilità di Dio.
Keplero nel 1611 scopre la relazione fra sezione aurea e successione di Fibonacci.
Tuttavia, passerà circa un secolo prima che ne venga fornita la dimostrazione ad opera
di Simson R. e Binet J.
La sezione aureaDimostrazione della sezione aurea di un segmento
Si definisce sezione aurea di un segmento AB la parte di segmento che è media proporzionale
fra tutto il segmento e la parte che resta:
AB : AC = AC : CB
La sezione aureaDimostrazione della sezione aurea di un segmento
Dimostrazione geometrica
Considero un segmento AB e dal punto B ne traccio la
perpendicolare e considero il segmento BO congruente alla
metà di AB. Dal punto O traccio la circonferenza di centro O e
raggio BO.
Traccio la congiungente il punto A col punto O che incontra la
circonferenza in E e D. A partire da A riporto il
segmento AE su AB: ottengo il segmento AC.
Per il teorema della secante e della tangente si ha: AD : AB = AB : AE
Scomponendo ottengo (AD-AB) : AB = (AB-AE) : AE
Ma siccome AB è congruente a ED e AE è congruente ad AC si ha pure:
AD – AB = AD – ED = AE = AC
AB – AE = AB – AC = CB
Perciò l’ultima proporzione diventa: AC : AB = CB : AC
Da cui invertendo: AB : AC = AC : CB
Il numero aureo
Il numero aureoProprietà
• irrazionale non periodico Φ = 1,618033988749894…
• dall’equazione
• dall’equazione
• moltiplicando diverse volte i due membri per Φ
• dunque qualsiasi potenza di Φ è uguale alla somma delle due potenze precedenti
Il numero aureoProprietà
Immaginiamo di voler cercare il valore della successione indefinita di radici quadrate:
..........1111 A
Se proseguiamo aggiungendo radici, otteniamo i successivi valori decimali approssimati di A
e il valore di A sarà sempre più vicino a Φ.
?AA 1..........111112
da cui 012 AA che è la stessa equazione che definisce Φ
La successione di Fibonacci
successione di Fibonacci
Problema dei conigli
proposto dal grande matematico del medioevo Leonardo Pisano meglio
Conosciuto con il nome di Fibonacci (1170 – 1250) nel libro “Liber abaci”
Quante coppie di conigli avremo a fine anno se
cominciamo con una coppia
che genera ogni mese un’altra coppia che a sua volta
procrea dopo due mesi
di vita ?
soluzione
La successione di Fibonacci
La riproduzione delle coppie avviene secondo la seguente regola:
i conigli presenti al mese n sono pari al numero dei conigli del mese n – 1
più le nuove coppie che possono essere generate solo da quelle presenti nel
mese n – 2.
Indicando con Fn il numero di coppie dell’ n-esimo mese e tenendo conto che
la prima coppia ha bisogno di due mesi per diventare fertile, si ottiene che :
F1 = F2
Fn = F n-1 + Fn-2
al variare di n nell’insieme dei numeri naturali troviamo la successione di Fibonacci:
F1 =1, F2 =1, F3 =2, F4 =3, F5 =5, F6 =8, F7 =13, F8 =21, F9 =34, F10 =55, …..
La successione di Fibonacci
Numero aureo Successione di Fibonacci
1 nn
n FF
L
F
FF
F
F
F
F
FF
F
FL
n
nn
n
nn
n
nn
n
nnn
n
nn
11
lim
11lim1)1(limlimlim
2
11
2
1
2
1
21
1
LLLL
L 011
1 2
1
limn
nn
F
F
La successione di Fibonacci
Proprietà
Se scegliamo 10 termini consecutivi qualsiasi all’interno della successione otteniamo
sempre un multiplo di 11
1+1+ 2+ 3+ 5+ 8+13+ 21+ 34+ 55 = 11 x 13
5+8+13+21+34+55+89+144+233+377= 11 x 89
Inoltre si può notare che il moltiplicatore di 11 occupa sempre la settima posizione
La somma di un qualsiasi numero n di termini della successione a partire dal primo è
uguale al termine che occupa la posizione n+2 dopo aver sottratto una unità
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987…
……………………..Σ=88 ……………………………………………………….
La successione di Fibonacci
Proprietà
Se prendiamo tre termini consecutivi all’interno della successione, moltiplicando i due
estremi otteniamo il quadrato del termine centrale aumentato di una unità
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987…
(13*34) = 21 * 21 - 1
Relazione fra successione di Fibonacci e teorema di Pitagora
a2 = b2 + c2
Cerchiamo le terne pitagoriche nella successione, scegliamo 4 termini consecutivi
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987…
il prodotto dei 2 estremi (2 x 8) = 16
Il doppio del prodotto dei 2 centrali 2x(3x5)=30
La somma dei quadrati dei 2 centrali 32+52=34
Rettangoli aurei e spirali
Speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea Φ
e che può essere facilmente costruito con riga e compasso.
Proprietà
Replicabilità - basta disegnarvi all'interno
un quadrato basato sul lato minore sì da
ottenere col semplice compasso un altro
rettangolo minore anch'esso di proporzioni
auree.
È possibile costruirvi una spirale
logaritmica all’interno.
Tale spirale convergerà asintoticamente
nel punto d’incontro delle diagonali dei
rettangoli (occhio di Dio).
Rettangolo e spirale di Fibonacci
Un modo alternativo per costruire un rettangolo dalle proporzioni auree è quello di accostare
in successione quadrati che abbiano per lati i valori della successione di Fibonacci.
Anche in questo caso, è possibile costruire una spirale logaritmica inscrivendo dentro
ogni quadrato successivo un quarto di circonferenza, centrata in un vertice e di raggio pari
al lato del quadrato.
Numero aureo e pentagono
Il rapporto fra la diagonale ed il lato del pentagono
regolare è uguale al numero aureo Φ
DC = bisettrice dell’angolo in D , il triangolo DCB è simile al triangolo ABD pertanto
Si verifica che AB:DB=DB:BC. Assumendo il lato del pentagono uguale ad 1 si ottiene
DB=DC=AC=1 e BC=AB-AC=AB-1 sostituendo nella proporzione si ha
2
5101
1
1
1
2 ABABABAB
AB
Triangoli aurei e spirale aurea
Bisecando l’angolo in D otteniamo due nuovi
triangoli aurei DHA e DHC simile ad ADC ,
bisecando l’angolo in C del triangolo DHC
otteniamo due nuovi triangoli aurei CIH e DCI
quest’ultimo simile a DHC e quindi anche a
ADC, …..…….. proseguendo la tracciatura
delle bisettrici otteniamo una successione di
triangoli aurei che converge verso un punto di
crescita infinita.
La spirale logaritmica in natura
Biologia vegetale (accrescimento di piante e fiori)
Biologia animale (spirali di accrescimento; orecchio umano)
"Biologia comportamentale" (volo del falco pellegrino; movimento degli insetti
verso una sorgente luminosa)
Fenomeni atmosferici (cicloni, intense perturbazioni, tornado)
Astrofisica (galassie a spirale)
“La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai
vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che la natura
abbia scelto quest’armoniosa figura come proprio ornamento favorito.”
Mario Livio
La spirale logaritmica in naturaIl girasole e le spirali vegetative
La crescita di rami, foglie, semi e squame avviene in modo da essere ottimale e meno
dispendiosa possibile. Lo scopo? Ridurre lo spreco di spazio.
Proviamo a ottenere la struttura assunta dai
semi di girasole nel fiore!
Inserendo un seme alla volta sfalsato di ~
137.5° (angolo aureo), si arriva alla
caratteristica struttura del girasole con i
semi compatti.
Osservando attentamente la configurazione dei semi, sono riconoscibili 3 pattern di spirali.
La spirale logaritmica in naturaAltri esempi di spirali nel regno vegetale
La spirale logaritmica in naturaLe spirali di accrescimento
La conchiglia del Nautilus, piccolo
cefalopode, aumenta in grandezza
di pari passo con l’accrescimento
dell’organismo, costruendo camere
sempre più spaziose, seguendo la
forma della spirale logaritmica.
Mentre la conchiglia si allunga, il
raggio aumenta in proporzione
cosicché la figura del guscio
rimane immutata.
Anche nel regno animale, molti fenomeni di accrescimento richiedono le proprietà
dell’omogeneità e dell’autosomiglianza: la struttura, ingrandita o rimpicciolita, deve
conservare lo stesso aspetto.
La spirale logaritmica in naturaAltri esempi nel regno animale
La spirale logaritmica in naturaStrategie di caccia
Il falco pellegrino in picchiata segue
una spirale logaritmica, che gli
permette contemporaneamente di non
perdere di vista la preda, mantenere
un ottimale assetto aerodinamico e
massimizzare la velocità (300 km/h).
Bibliografia e sitografia
Fernando Corbalán, La spirale aurea. Il linguaggio matematico della bellezza. Mondo matematico,
RBA (2015).
Mario Livio, La sezione aurea, storia di un numero e di un mistero che dura da temila anni. Rizzoli,
Milano (2003).
Evangelista Torricelli, Opere di Evangelista Torricelli, v. III Racconto di alcuni problemi, carteggio
scientifico. G. Montanari, Faenza (1919).
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica-DeFusco.pdf
http://www.leomajor.pn.it/joomlaold/images/stories/sito%20Archimede/documenti_spirali/LA%20S
PIRALE%20LOGARITMICA.pdf
http://www.mathesisnazionale.it/archivio-storico-articoli-mathesis/65_74.pdf
http://www.scienzainrete.it/contenuto/articolo/numeri-della-natura
Un grazie speciale a Vera Barboni per il materiale e la consulenza forniti!
