La somma di un La somma di un numeronumero con se stesso è con se stesso è ugualeuguale al suo al suo doppiodoppio

Consideriamo la seguente frase:Consideriamo la seguente frase:

Se alla parola Se alla parola numeronumero sostituiamo la sostituiamo la lettera lettera x possiamo scrivere la x possiamo scrivere la

seguente uguaglianza:seguente uguaglianza:

Otteniamo delle uguaglianze fra espressioni letterali che sono Otteniamo delle uguaglianze fra espressioni letterali che sono sempre veresempre vere qualunque sia il valore che diamo a qualunque sia il valore che diamo a xx. Infatti, ad esempio:. Infatti, ad esempio:

se x=3se x=3 si ha: 3+3=2si ha: 3+3=2••3=63=6 e quindi 6=6e quindi 6=6 se x=1se x=1 si ha: 1+1=2si ha: 1+1=2••1=21=2 e quindi 2=2e quindi 2=2 se x=0se x=0 si ha: 0+0=2si ha: 0+0=2••0=00=0 e quindi 0=0e quindi 0=0

Un poligono regolare ha tutti i lati congruenti.Un poligono regolare ha tutti i lati congruenti.

Un’Un’IDENTITÀIDENTITÀ è una uguaglianza fra due espressioni (di cui è una uguaglianza fra due espressioni (di cui almeno una letterale) almeno una letterale) verificata per qualsiasi valoreverificata per qualsiasi valore delle delle

lettere che vi figurano.lettere che vi figurano.

Si può osservare che la frase precedente risulta sempre valida nel caso di Si può osservare che la frase precedente risulta sempre valida nel caso di tutti i poligoni regolari, una frase simile si dice tutti i poligoni regolari, una frase simile si dice frase vera.frase vera.

La differenza tra il triplo di un numero ed il suo doppio è La differenza tra il triplo di un numero ed il suo doppio è uguale a 5uguale a 5

Consideriamo il seguente problema:Consideriamo il seguente problema:

Se alla parola Se alla parola numeronumero sostituiamo la sostituiamo la lettera lettera x possiamo scrivere la x possiamo scrivere la

seguente uguaglianza:seguente uguaglianza:

Questa uguaglianza è verificata “solo” nel caso in cui alla lettera Questa uguaglianza è verificata “solo” nel caso in cui alla lettera xx assegniamo il valore 5.assegniamo il valore 5.

Infatti:Infatti: se x=5se x=5 si ha: 3si ha: 3••5-25-2••5=55=5 e quindi 5=5e quindi 5=5 se x=1se x=1 si ha: 3si ha: 3••1-21-2••1=51=5 e quindi 1e quindi 155 se x=0se x=0 si ha: 3si ha: 3••0-20-2••0=50=5 e quindi 0e quindi 055

Il poligono……………ha 8 lati.Il poligono……………ha 8 lati.

Un’Un’EQUAZIONEEQUAZIONE è un’uguaglianza fra due espressioni, di è un’uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata solo cui almeno una letterale, verificata solo per particolari per particolari

valorivalori delle lettere che vi figurano. delle lettere che vi figurano.

Si può osservare che la frase precedente risulta valida solo nel caso di un Si può osservare che la frase precedente risulta valida solo nel caso di un ottagono, mentre è ottagono, mentre è falsafalsa se al posto dei puntini scriviamo il nome di un se al posto dei puntini scriviamo il nome di un

qualsiasi altro poligonoqualsiasi altro poligono

3x+5 = 3x+5 = 2x-72x-7

PRIMO MEMBROPRIMO MEMBRO SECONDO MEMBROSECONDO MEMBRO

COEFFICIENTECOEFFICIENTEINCOGNITAINCOGNITATERMINE NOTOTERMINE NOTO

L’insieme SL’insieme S di tutte le soluzioni (o radici) si chiama insieme soluzione insieme soluzione oo insieme delle insieme delle

soluzioni.soluzioni.Per termine di un’equazione si intende Per termine di un’equazione si intende

ogni monomio.ogni monomio.

x=3x=3 x=3x=3Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le

stesse soluzioni.stesse soluzioni.S1S1==S2S2

3x+53x+5==2x-32x-3

3x+53x+5 2x-32x-3

+5+5

3x+5+53x+5+5 2x-3+52x-3+5

-2-2

3x+5-23x+5-2 2x-3-22x-3-2

Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene

un’equazione equivalente alla data.un’equazione equivalente alla data.

Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita, si ottiene

un’equazione equivalente alla data.un’equazione equivalente alla data.

REGOLA DEL TRASPORTOREGOLA DEL TRASPORTO

ELIDERE I TERMINI UGUALIELIDERE I TERMINI UGUALI

x+3=10x+3=10 x=7x=7

x=10-3x=10-3 x=7x=7xx 33==1010++

--33

2x+5=12+x+52x+5=12+x+5

2x=12+x+5-52x=12+x+5-5

2x=12+x2x=12+x

x=12x=12

x=12x=12

2x2x+5=12+x=12+x+5+5+5 +5+5

x+3-3=10-3x+3-3=10-3

Dimezziamo(dividiamo per 2)

Triplichiamo(moltiplichiamo per 3)

2x+42x+4 6x6x

(2x+4):2(2x+4):2(2x+4)(2x+4)•33 (6x) •3(6x) •3 (6x):2(6x):2

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, diverso da 0, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.numero, diverso da 0, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

-x+4=-6-x+4=-6 x=10x=10

x-4=6x-4=6 x=10x=10

(-x+4)(-x+4)••(-1)=(-6)(-1)=(-6)••(-1)(-1)

x12

1x

3

1

4

3

x1212

112x

3

112

4

312

11 11

1133 44

11

x=1x=1

x=1x=1

m.c.m dei denominatorim.c.m dei denominatori

9+4x=1+12x9+4x=1+12x

x1212

112x

3

112

4

312

11 11

1133 44

11

ax=ax=bb

con acon a≠≠00

a

b

a

ax a

bx

5x-3x+4=-7x+225x-3x+4=-7x+22Applichiamo la regola del Applichiamo la regola del trasportotrasporto

5x-3x+7x=22-45x-3x+7x=22-4 Riduciamo i termini similiRiduciamo i termini simili

9x=189x=18Scriviamo la forma Scriviamo la forma normalenormale

Troviamo la soluzioneTroviamo la soluzione2

9

18x

22

11

Ridotta a forma normaleRidotta a forma normale

Equazione di partenzaEquazione di partenza

REGOLE DEL BUON RISOLUTORE:REGOLE DEL BUON RISOLUTORE:

elimina le parentesi eseguendo le operazioni indicate elimina le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole del calcolo letterale.secondo le regole del calcolo letterale.

Se l’equazione è a termini frazionari, riducila in Se l’equazione è a termini frazionari, riducila in forma intera moltiplicando tutti i suoi termini per il forma intera moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori.m.c.m. dei denominatori.

Trasporta tutti i termini in x al primo membro e tutti i Trasporta tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro tenendo presenti le termini noti al secondo membro tenendo presenti le leggi del trasporto.leggi del trasporto.

Esegui le addizioni algebriche ottenute al primo e al Esegui le addizioni algebriche ottenute al primo e al secondo membro in modo tale da ottenere secondo membro in modo tale da ottenere l’equazione in forma normale del tipo ax=b.l’equazione in forma normale del tipo ax=b.

Determina la soluzione x=b/a ( se a≠0).Determina la soluzione x=b/a ( se a≠0).

esempioesempio coefficienticoefficienti soluzionesoluzione l’equazione èl’equazione è

3x=153x=15 aa00 b b00 x=b\ax=b\a determinatadeterminata

5x=05x=0 aa00 b=0 b=0 x=0x=0 determinatadeterminata

00••x=4x=4 a=0a=0 b b00nessuna nessuna soluzionesoluzione

impossibileimpossibile

00••x=0x=0 a=0a=0 b=0 b=0 infinite soluzioniinfinite soluzioniIndeterminataIndeterminata

= IDENTIT= IDENTITÀÀ

a = 0?NO

NO

L’equazione è determinata,

con la soluzione

a

bx

L’equazione è determinata,

con la soluzione

0x

SI

b = 0?NO

L’equazione è impossibile

L’equazione è indeterminata*.

b = 0?SISI

Data un’equazioneportata in forma normale

ax = b

IDENTITIDENTITÀÀ