LA SINTESI STATISTICA

Una serie di dati numerici è compiutamente descritta da tre

proprietà principali:

• La tendenza centrale o posizione

• La dispersione o variabilità

• La forma

GLI INDICI DI TENDENZA CENTRALE

• Le misure di tendenza centrale servono per individuare il

valore intorno al quale i dati sono raggruppati;

• la tendenza centrale è la misura più appropriata per

sintetizzare l’insieme delle osservazioni raccolte in una

distribuzione di dati descritta con un con un solo valore;

• è la prima informazione sulla della dimensione del

fenomeno.

Sintesi dei datiIndici di tendenza centrale

• Medie analitiche

L’ applicazione è ammessa solo per le misure quantitative

che consentono operazioni di calcolo su tutti i dati originali

in modo da poter rappresentare algebricamente l’insieme

• Indici di posizione

Forniscono l’unica sintesi possibile per classificazioni

ordinali e qualitative

MEDIA ARITMETICA SEMPLICE

• Il valore che ogni dato dovrebbe assumere se tutti i dati del campione avessero lo stesso valore

• Il valore che meglio di ogni altro indica il valore teorico che avrebbe dovuto aversi in assenza di perturbazioni accidentali

• misura della tendenza centrale: la maggior parte dei dati si concentra su tale valore

N

xxxxx n

.....321_

N

xx i_

PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA

• La somma algebrica degli scarti dalla media è uguale a zero Σ(xi - x)=0 ; se la media rispetta il requisito di essere il valore centrale, deve minimizzare gli scarti; quelli positivi vengono bilanciati da quelli

negativi.

(2-4)+(4-4)+(6-4)= -2+2 =0

• La media è interna al range, ossia, è sempre compresa fra l’osservazione più bassa e quella più alta

• Date più medie e le singole numerosità dei casi con cui sono state calcolate, la media generale può essere calcolata come media ponderata delle medie

i

ii

n

xnx

__

MEDIA ARTMETICA PONDERATA

• Nella media ponderata i valori della distribuzione sono considerati per il numero delle volte che si presentano.

• In questa media i termini entrano più volte nel calcolo, in rapporto alla loro importanza (peso)

ii

i

ii xNN

xxx

i i ff

f

f

Il valore della media si sposta verso il valore più frequente

Se il numero di osservazioni che corrisponde ad un singolo valore è molto elevato, la media tende a spostarsi versi tale valore che acquista un peso maggiore nei confronti degli altri termini della distribuzione

• Se a ciascuno dei tre valori corrispondono 10 osservazioni:

• Se il numero delle osservazioni corrispondete al primo termine fosse 5 e quello corrispondente all’ultimo termine fosse 15:

• Se al primo termine corrispondessero 15 osservazioni e 5 al terzo:

66,430

140

30

904010

30

)156()104()52(

430

120

30

604020

30

)106()104()102(

33,330

100

30

304030

30

)56()104()152(

Media ponderata in una distribuzione in classi

• Si ricorre al calcolo delle media ponderata quando i valori della distribuzione sono raggruppati in classi. In tali casi si moltiplica il numero di osservazioni corrispondente a ciascuna classe per il valore centrale della classe ottenuto mediante la media aritmetica dei valori estremi della classe stessa

Classi f. xc

146-155 10 150 156-165 20 160 166-175 30 170 176-185 20 180 186-195 10 190

7090

300.151900360051003200150090

)10190()20180()30170()20160()10150(

Limitazioni di impiego della media aritmetica

• Dati non quantitativi

• Differenti ordini di grandezza delle misure 0.8 7 58 124

• Presenza di valori estremi molto scostati

28 34 22.5 299

• Presenza di valori estremi indeterminati o infiniti 9 6 4 7 >100

• Distribuzioni di frequenza con classe aperte il valore centrale delle classi aperte non si può calcolare

Es: Fino a 500 oltre un milione

Medie o indici di posizioneModa

• Nel caso di dati espressi su scala nominale l’unico criterio per sintetizzare la tendenza centrale consiste nell’individuare il gruppo o il dato che compare maggiormente

• Si chiama moda di una distribuzione di frequenze il dato che corrisponde alla massima frequenza

• Es: Distribuzione di 150 famiglie secondo il numero di figli

n.°figli f. 0 20 1 60 2 40 3 18 più di 3 12

• La moda è 1 a cui corrisponde la massima frequenza 60

Moda per caratteri qualitativi

La moda si può

calcolare anche per

caratteri qualitativi

come nella distribuzione

delle “risposte” ad una

terapia in 450 pazienti

Risposta f. guarigione 144 miglioramento 160 stazionarietà 86 peggioramento 50 morte 10 N = 450

La moda è la risposta miglioramento

Moda per distribuzioni in classi

• La moda è molto influenzata dal numero e dall’ampiezza delle classi

• Se le classi hanno uguale ampiezza si può valutare la classe modale nella classe a maggior frequenza

• Nel caso di classi con ampiezza diversa si dovrà considerare la densità di frequenza delle classi e non la frequenza assoluta

Moda = L1+

- L1 e c sono il confine inferiore e l’ampiezza della classe modale;

- Δ1 e Δ2 sono le differenze, rispettivamente, tra la frequenza della classe modale e la precedente (Δ1) e la successiva (Δ2)

c

21

1

Esempio di calcolo della classe modale in una distribuzione in classi (ampiezze diverse) densità di frequenza e moda

Strutture di degenzaclassificate in base al numero di posti letto

ampiezza di densità di

Numero posti letto f classe frequenza

26-50 moda corretta 251 25 10.04

51-100 moda apparente 368 50 7.36

101-150 288 50 5.76

151-200 159 50 3.18

201-300 304 100 3.04

301-500 173 200 0.87

501-800 99 300 0.33

La classe modale corretta è “26-50” 251/25 = 10.04

Caratteristiche della moda

• La moda si utilizza nel caso di misure qualitative e quando

la distribuzione presenta una singola frequenza molto più

elevata rispetto alle altre

• Una distribuzione può non avere una moda (se numericamentemodeste) o (con numerose osservazioni) due o più mode

(bimodali o plurimodali)

a) 3, 7,12, 18 b) 5, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9,16

Mediana

• In una distribuzione si definisce mediana o valore mediano quel valore che assume la variabile tale per cui si hanno uguali possibilità di trovare valori inferiori o superiori ad essa

• In una serie di valori ordinati secondo grandezza, si definisce mediana il valore che separa le osservazioni in due parti numericamente uguali, il

50% con valori inferiori e il 50% superiori

Mediana

• Caratteristica importante della mediana è di non risentire dei valori di testa e di coda di una serie ordinata. Pertanto è preferibile alla media, quando per il fenomeno osservato o per un numero modesto di osservazioni, in una distribuzione si riscontrano valori estremi particolarmente bassi o, soprattutto, elevati.

Es : 20,20,30,30,100 x = 40

quattro valori sono inferiori alla media !

Calcolo della mediana

1. Ordinamento dei dati in modo crescente

2. Calcolo della posizione della mediana

3. Identificazione del valore corrispondente a quella posizione

In una serie di misure singole eordinate la mediana corrispondeal valore in posizione

Se il numero di osservazioni è dispari tale posizione coincidecon il dato centrale, il cui valorerappresenta la mediana.

Se il numero è pari si colloca tra le due posizioni centrali

e la successiva

2

1N

2

N

12

N

Esempio di calcolo della medianaPer calcolare la mediana dei valori 9 6 15 5 1 7 3 1 12

A)Ordinamento dei dati posizione 1 2 3 4 5 6 7 8 9 misura 1 1 3 5 6 7 9 12 15

B)Calcolo della posizione mediana la posizione mediana è la quinta 9 + 1 / 2 = 5

Se le osservazioni fossero state solo le prime 8 (ordinate)la mediana sarebbe caduta tra la quarta e la quinta osservazione 8 + 1 / 2 = 4.5

C)Identificazione valore della medianacon 9 misure, il valore coincide con la 5° posizione : 6Con 8 alla posizione 4.5 corrisponde la media dei due valori centrali 5 + 6 / 2 = 5.5

Proprietà della mediana

• La mediana non cambia o cambia di poco (è “robusta”) in presenza di alcuni dati molto estremi (ad es. con alcuni valori molto alti rispetto agli altri)

173 155 162 165 167 175 171 169 164 178 156 158 166

media =166. 1

• Se nel campione i due soggetti più alti diventanosono ancora più alti:

155 156 158 162 164 165 166 167 169 171 173 189 210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

mediana = 166

La mediana non cambia perché l’ordinamento delle prime n osservazioni non cambia (invece la media cambia perché l’ammontare totale cambia)

Mediana di distribuzioni in classi

• Nel caso di distribuzioni in classi i dati sono già ordinati e si procede all’identificazione della classe mediana, in cui cade l’osservazione mediana avvalendosi delle frequenze cumulate della distribuzione

• Se la distribuzione è in classi,identificata la classe mediana, si calcola il valore mediano fra quelli compresi nell’intervallo di classe

Calcolo della mediana di distribuzioni in classi

Mediana =

Dove:

L1 e c sono il confine inferiore e l’ampiezza della classe mediana;

È la posizione della mediana

fcum rappresenta la frequenza cumulata delle classi che precedono la classe mediana;

fmed è la frequenza della classe mediana

cf

fN

Lmed

cum

21

2

N

Esempio di calcolo di mediana in classi

Classe(cm) fa fcum

150-154 2 2155-159 6 8160-164 11 19165-169 18 37170-174 25 62 175-179 13 75180-184 7 82 Σ 82

Mediana:

Posizione = (classe 170-174)

Valore =

412

82

2

N

8.170525

3741170

21

cf

fN

Lmed

cum

Esempio di calcolo di mediana in classi

Classe(cm) fa fcum

150-154 2 2155-159 6 8160-164 11 19165-169 18 37170-174 25 62 175-179 13 75180-184 7 82 Σ 82

Moda:Classe modale = 170-174

Valore =

5.1715)1325()1825(

1825170

c

21

1

Valore centraleIn una serie

ordinata

Esemplificazione

Quali sono le principali misure di posizione nella seguente serie numerica?

xi 3 15 11 4 5 8 6 4 4

Serie ordinata (x(i)) 3 4 4 4 5 6 8 11 15

Moda, valore

più frequente

Media

(Σi xi / n)

=60/9=6.67

Utilizzo misure di posizione

Media Mediana ModaLa misura di posizione più usata la misura migliore con la misura migliore distribuzioni asimmetriche quando un valore ha una frequenza relativa elevataFacile da trattare matematicamente

Utilizza tutta l’informazionedisponibile sulle unitàstatistiche (Σx/n)

È facile calcolare un valoreponderatoX = (x1+n1+x2n2)(n1+n2)

Proprietà dell’equilibriodelle distanzeΣi(x i - x)=0 Proprietà del minimo delle distanze: Σ│x- me│=minProprietà del minimo degli scarti quadratici: Σi(x i – x )2=min

Indici di tendenza centrale utilizzazione in relazione alla scala di misura dei dati

Scala di misura indici di tendenza centrale utilizzabili

Nominale Moda

Ordinale Moda, Mediana

Intervallare Moda, Mediana,media aritmetica

Estensione della mediana:Quantili

• La mediana separa la distribuzione in due parti, ognuna comprendente il 50% delle osservazioni

• I quantili separano la distribuzione ad altre frazioni percentuali, ad esempio:

– Il 10 quartile (Q1) separa il primo 25% dal restante 75%

– Il 30 quartile (Q3) separa il primo 75% dal restante 25%

– Il 10 decile separa il primo 10% dal restante 90%

– Il 95°percentile è tale che solo il 5% ha un valore superiore a esso

Quantili

• Sono indicatori di posizione che come la mediana suddividono in modo preordinato una serie di dati, in particolare per serie numerose organizzate in distribuzioni di frequenza

• I più utilizzati sono i quartili (Qi), i decili (Di), i centili o percentili (Pi) che suddividono una serie ordinata di dati in quattro, dieci e cento parti uguali

• Il primo quartile Q1 separa il 25% delle osservazioni con valore più basso, il secondo corrisponde alla mediana e il Q3 lascia a sinistra i tre quarti delle osservazioni

Formula per il calcolo dei percentili

• La posizione i di un dato percentile (p indice del percentile e n la numerosità)

• Data una distribuzione di 19 valori ordinati, la posizione del 20-esimo percentile sarà

• Q20 assumerà il valore del quarto dato della distribuzione

pn

i

100

1

420100

119

i

Esempio

Data la seguente distribuzione

1 3 4 5 8 10 12 13 15 (n=9)

Calcolare l’80-esimo percentile

13880

100

1080

100

1980

XXXQ