La RelativitàGenerale come Fonte di Ispirazione · • deviazione relativa di geodetiche vicine...

La Relatività Generalecome Fonte di Ispirazione

“GR @ 100’s”Parma, 20 Novembre 2015

Augusto SAGNOTTIScuola Normale Superiore e INFN - Pisa

A. Sagnotti - GR @ 100's - Parma, 20 Novembre 20152

Con l’Europa nel pieno della I Guerra Mondiale, Einstein completava 100 anni fa, a

Berlino, una nuova teoria del campo gravitazionale, sublimando in modo mirabile i

risultati di Galileo Galilei sulla caduta dei gravi, la legge di gravitazione universale di

Newton e la Relatività Speciale, sulla base della Geometria del XIX Secolo.

In questa lezione vorrei cercare di illustrare come la Relatività Generale racchiuda al suo

interno le due idee che sono oggi alla base della teoria delle Interazioni Fondamentali:

• simmetrie locali (non Abeliane)

• rottura spontanea di simmetria


Il primo capitolo della storia lo dobbiamo a Galileo Galilei: i gravi cadono, in prossimità dellaterra, seguendo una legge universale:

Il secondo capitolo lo dobbiamo a Isaac Newton, che derivò questo risultato dalla legge digravitazione universale (mG=massa gravitazionale)

e formulò il secondo principio della dinamica (mi=massa inerziale, mG=massa gravitazionale)

per cui l’universalità del moto galileiano implica l’uguaglianza di mi e mG.

Principio di Relatività invarianza sotto le trasformazioni galileiane


Il terzo capitolo della storia lo dobbiamo a James Clerk Maxwell, che formulò le equazionidel campo elettromagnetico:

Forza Campo Forza : limite di forze esercitate su «cariche di prova» tanto piccole danon disturbare la distribuzione delle altre cariche che agiscono su di esse.

Il quarto capitolo della storia lo dobbiamo a Hendrik Antoon Lorentz (e ad Einsten): leequazioni di Maxwell impongono una modifica delle trasformazioni galileiane:


Einstein va oltre, riflettendo a fondo su una peculiarità delle equazioni di Galilei:

In un sistema in caduta libera con accelerazione g il moto diventa «privo di gravità»:

MA: le deviazioni relative di traiettorie diverse restano ineliminabili.

QUINDI:

• il campo gravitazionale altera la geometria dello spazio-tempo;

• particelle traiettorie «rettilinee» (geodetiche) di geometrie curve;

• deviazione relativa di geodetiche vicine «curvatura» dello spazio-tempo





QUINDI:





• La gravità deforma lo spazio-tempo:

• Limite debole non relativistico:

• Equazioni di Einstein:

• Curvature di Riemann e Ricci:

• Curvatura e connessione di Christoffel:

• Traiettorie:







• Traiettorie:

Mai visto qualcosa di simile? Si, le equazioni di Maxwell !


traslazione proiezione


• Le equazioni prive di sorgenti sono risolte identicamente se E e B vengono derivati da un potenziale scalare V e da un potenziale vettore A, ovvero da un Aµ;

• Aµ è essenziale per descrivere le interazioni dei campi con particelle quantistiche con carica q sostituzione minimale:

• Dati E e B, il potenziale Aµ NON È UNICO, ma se

• Rotazione intorno ad un asse:

• Infine:


Relatività Generale e teoria di Maxwell entrambe legate a rotazioni

• Einstein-Weyl (ωµab): rotazioni degli assi nei piani tangenti;

• Maxwell (Aµ): rotazioni «astratte» lungo un asse

• NOTIAMO: 2 rotazioni nello spazio intorno allo stesso asse «commutano», ovvero producono una rotazione che è sempre la stessa, indipendentemente dal loro ordine:


Relatività Generale e teoria di Maxwell entrambe legate a rotazioni

• Einstein-Weyl (ωµab): rotazioni degli assi nei piani tangenti;

• Maxwell (Aµ): rotazioni «astratte» lungo un asse

• NOTIAMO: 2 rotazioni nello spazio intorno allo stesso asse «commutano», ovvero producono una rotazione che è sempre la stessa, indipendentemente dal loro ordine:

• NON ROTAZIONI INTORNO AD ASSI DIVERSI !

Elettromagnetismo «rotazioni» intorno ad un asse Forze deboli e forti «rotazioni» con assi diversi Gravità rotazioni di piani tangenti


«Rotazioni» intorno ad un asse: Maxwell «Rotazioni» in generale: Yang & Mills


Teoria di Kaluza - KleinCome si manifesta la gravità in un mondo asimmetrico, con alcune dimensioni «piccole»?

• 5 dimensioni: una piccola circonferenza su ogni punto gravità, Maxwell, «Higgs»

• In generale: dipende dal numero e dal tipo di simmetrie dello spazio interno.E.g.: sferetta su ogni punto gravità, Yang-Mills, diversi «Higgs»

E …

A. Sagnotti - GR @ 100's - Parma, 20 Novembre 2015 22

A. Sagnotti - GR @ 100's - Parma, 20 Novembre 2015 23

1. La Supersimmetria estende in modo naturale la teoria di Einstein alla Supergravità, con altri campi di «spin» < 2;

2. Relatività Generale (e Supergravità) emergono, a basse energie, da una teoria ben più complessa, associata acorde vibranti (e a membrane, loro generalizzazioni di dimensioni maggiori): la teoria delle stringhe;

3. Nelle sue versioni supersimmetriche, la teoria delle (super)stringhe vive naturalmente in dieci dimensioni: giànegli anni ‘70 l’idea di Kaluza-Klein fu invocata per collegarla al nostro mondo ;

4. Anni ’80: un passo concettuale notevole, in cui la teoria originale di Kaluza-Klein, in origine un meccanismodi «conversione di simmetria» dallo spazio-tempo ad una varietà interna, diventa un meccanismo di «rottura disimmetria» se la varietà interna non ha simmetrie proprie. Questo è il caso degli spazi di Calabi-Yau;

5. Anni ’90: le superstringhe a 10 dimensioni sono equivalenti tra loro e ad una teoria in 11 dimensioni, grazie ageneralizzazioni della dualità elettromagnetica, la simmetria delle equazioni di Maxwell sotto (E,B)(B,-E)

Supergravità, (Super)stringhe e Kaluza-Klein

Supergravità, (Super)stringhe e Kaluza-Klein

Perché 4 dimensioni?A. Sagnotti - GR @ 100's - Parma, 20 Novembre 2015 24

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