LA PROVA INVALSI DI MATEMATICA AL TERMINE DEL...

LAPROVAINVALSIDIMATEMATICAALTERMINEDELSECONDOCICLODI

ISTRUZIONE

1. Achisirivolgequestodocumento...................................................................................................................2

2. Quadronormativoentroilqualesicollocalaprova................................................................................2

3. QualeMatematica:indicazionipericurricolieproveINVALSI..........................................................3

4. Strutturadellaprova..............................................................................................................................................4

AllegatoA.............................................................................................................................................................................6

Domandecomunidi“manutenzione”e“ricontestualizzazione...............................................................6

Datieprevisioni.......................................................................................................................................................6

Spazioefigure........................................................................................................................................................10

Numeri.......................................................................................................................................................................15

Relazioniefunzioni..............................................................................................................................................18

DomandespecificheperilLiceoscientifico...................................................................................................23

DomandespecificheperilLiceoscientificoepergliIstitutitecnici...................................................27

AllegatoB..........................................................................................................................................................................31

2 Grado 13: La prova INVALSI di Matematica al termine del secondo ciclo di istruzioneClasse V scuola secondaria di secondo grado

Documento pubblicato il 31 agosto 2018

Laprova INVALSIdiMatematica1 al terminedel secondociclodiistruzione

1. AchisirivolgequestodocumentoQuestodocumentopresentaalcunielementicaratterizzantileproveINVALSIdiMatematicaperl’ultimo anno della scuola secondaria di secondo grado. Esso esplicita i principali punti diriferimentoconcettuali,icollegamenticonleindicazionidileggeeleideechiavecheguidanolaprogettazionedelleprove(tipologieecaratteristichedelledomande). Inallegatosonoinoltrerilasciatiquesitiesemplificativisiadellediverse tipologiedidomande(sceltamultipla, sceltamultiplacomplessa,rispostaapertaunivoca,rispostaapertaarticolata,cloze,associazione)siadellediversecaratterizzazionideiquesiti.Inoltre,coerentementeconilsistemadelleindicazionidi leggecheattraversovaridocumentiregolano i curricoli, il documento si propone di mettere in evidenza la forte continuità checaratterizzaleprovedeidiversiciclidiistruzione,inparticolarelacontinuitàtraquelledelprimociclo (classi seconda e quinta primaria, classe terza secondaria di primo grado) e quelle delsecondociclo(classesecondaeclassequintadellascuolasecondariadisecondogrado).Aquestopropositovaosservatocheunelementodicontinuitàtralascuolasecondariadiprimogradoequella di secondo grado consiste nel fatto che tutte le prove effettuate vengono svolte alcomputer(computerbasedtest,CBT).Ildocumentoèpensatoperesplicitareaidiversiattoridelsistemascolastico,soprattuttoagliinsegnantieaglistudenti,qualisonoglielementivalutaticonlaprovadiMatematicaequindicostituisce uno strumento per interpretare i risultati della scuola, della classe e del singolostudente.Inoltre,ildocumentosirivolgeagliautorideiquesitieaigruppidilavorocheseguonoilprocessodicostruzionedellabancadiitemacuisiattingeperlarealizzazionedelleprovecheogni studente dovrà affrontare. Il documento indica i vari aspetti degli apprendimenti davalutareestabilisceunequilibriotraidiversiambitidicontenuto.

2. QuadronormativoentroilqualesicollocalaprovaIlDecretolegislativon.62del13aprile2017(normeinmateriadivalutazioneecertificazionedellecompetenzenelprimocicloedesamidiStato)stabiliscecomecondizioneperl’ammissioneall’esamedi Stato nel secondo ciclo di istruzione la “partecipazione,durante l’ultimoannodicorso,alleprovepredispostedall’INVALSI,volteaverificareilivellidiapprendimentoconseguitinelledisciplineoggettodirilevazionedicuiall’articolo19”.

Ildecretostabilisceanchelemodalitàconlequalileprovevengonoeffettuate:“Lestudentesseegli studenti iscritti all’ultimo anno di scuola secondaria di secondo grado sostengono prove acarattere nazionale, computer based predisposte dall’INVALSI, volte a verificare i livelli diapprendimento conseguiti in italiano,matematica e inglese, ferme restando le rilevazioni già

1 Per approfondimenti e per la terminologia usata in questo documento si rimanda al Quadro di Riferimento per le prove INVALSI di Matematica (https://invalsi‐areaprove.cineca.it/index.php?get=static&pag=qdr)



effettuatenella classe seconda, di cui all’articolo 6, comma 3, del decreto delPresidente dellaRepubblica28marzo2013n.80.”

3. QualeMatematica:indicazionipericurricolieproveINVALSILacomprensionematematicaèfondamentalenellenostrevitepersonali,pubblicheelavorative.A casa potremmovoler capire i risultati di un testmedico o lo schemadi costruzionedi unmobile.Al lavoropotremmoaverbisognodistimarecostietempiperunprogettoovalutarerischidiunasceltaanzichédiun’altra.Comecittadinipotremmovolergiudicarel'aumentodellivellodiCO2nell'ariaolerisorsechedovrebberoesseredestinateallasalute,all'istruzioneoalleoperepubbliche.LaMatematica,quindi,nonsoloèallabasedelleinnovazioniscientificheetecnologiche,ma caratterizza fortemente le scelte di chiunque desideri partecipare inmodoinformato,consapevoleecriticoallavitapubblica.A questo proposito va ricordato il ruolo giocato dalla Matematica nella formazione dellecompetenze di carattere argomentativo. L’attenzione all’argomentazione, in particolare nellasuaformadeduttiva,nacquenell'anticaAtene.NellecortienellegiuriedemocraticheateniesilaMatematica divenne l'unica lingua universale e comprenderla fu essenziale per la "pienapartecipazione alla società"2. Anche oggi è importante che lo studente acquisisca “saperi ecompetenzecheloponganonellacondizionedipossedereunacorrettacapacitàdigiudizioedisapersiorientareneidiversicontestidelmondocontemporaneo”3.LaMatematicadeverivestireun ruolo fondamentale come “strumento per seguire e vagliare la coerenza logica delleargomentazioniproprieealtruiinmolteplicicontestidiindagineconoscitivaedidecisione”3.LaMatematicacomedisciplinacoinvolgedueaspettistrettamentecollegatitraloro:

unorivoltoallamodellizzazioneealleapplicazioniperleggere, interpretarelarealtàerisolvereproblemidellavitadituttiigiorni;

l’altrorivoltoallosviluppointerno,allariflessioneeallespeculazionisuglistessiprodotticulturalidell’attivitàmatematica.

Questi due aspetti sono presenti nelle Indicazioni nazionali, nelle Linee Guida e ripresi dalQuadrodiRiferimento(QdR)diMatematicaperleproveINVALSI4.Leindicazionidileggesiadelprimosiadelsecondociclo,purnellalorodiversitàestruttura,dallascuolaprimariaallascuolasecondaria,sonocaratterizzatedaunosviluppoverticaledelcurricolodiMatematica,elementoindispensabileperacquisireconoscenzeecompetenzesolideedurature.

La prova INVALSI alla fine del secondo ciclo di istruzione vuole verificare conoscenze ecompetenze che si sono costruite durante un lungo percorso cercando di garantire un fortecaratteredicontinuitàfrailprimoeilsecondociclo.Perquestomotivosisonomantenuti,ancheper la prova dell’ultimo anno della scuola secondaria di secondo grado, gli stessi ambiti dicontenuto(Numeri,RelazionieFunzioni,SpazioeFigure,DatiePrevisioni)eletredimensioni

2 Lloyd (1992), "Democracy, philosophy, and science in ancient Greece," in John Dunn (ed.), Democracy: The Unfinished Journey, 508 BC to 1993, Oxford University Press, pp. 41‐56. 3 http://archivio.pubblica.istruzione.it/normativa/2007/allegati/all1_dm139new.pdf 4 https://invalsi‐areaprove.cineca.it/index.php?get=static&pag=home



(Conoscere,Risolvereproblemi,Argomentare)checontribuisconoadeterminarelacompetenzamatematicavalutatamedianteleproveINVALSI.InoltresonostatiintrodottiiTraguardi5perlosviluppodellecompetenzeperilterminedelsecondocicloincontinuitàconquellialterminedelprimoeconquellidellaclassesecondadellascuolasecondariadisecondogrado.

Questa continuità verticale si è realizzata attraverso la presenza di contenuti e competenzecomuniintutteleproveINVALSI,condomandecheservonopervalutaresealcuneconoscenzee competenze di base si sonomantenute fino alla fine del secondo ciclo di istruzione. Sonoconoscenzedibasestrumentali(peresempiocalcolareunapercentualeoppureapprossimareunnumerooleggereungrafico),maanchecompetenzeacquisiteneigradiscolasticiprecedenti(peresempioquellerelativealragionamentoproporzionale)chelostudentedevemantenereattivesiaperutilizzarlealdifuoridellascuolasiapercostruiresudiessenuoveconoscenzeecompetenze.Unaltro elementodi cui ènecessario tener contonellaprovaal terminedel secondo ciclo èl’aspettoditrasversalitàfratipologiediindirizzidifferenti.LeIndicazioninazionaliperiliceieleLineeGuidapergli istitutitecnicieprofessionalipresentano,sianelladistribuzionedeiquadriorarisiaalivellodicontenuti,elementididiversitachevannoaccentuandosinelsecondobiennioe nel quinto anno. Esse permettono comunque di individuare un insieme di contenuti e dicompetenze comuni, trasversali a tutti gli indirizzi di studi che vengono approfondite ericontestualizzatenelsecondobienniodellascuolasecondariadisecondogradoechelaprovaINVALSIhailcompitodiverificare.Peresempio,seilconcettodiequazionesicominciaacostruiregianelprimociclodiistruzione,esso tuttavia nel prosieguodegli studi si arricchisce di procedure e contenuti: si passa dalleequazionidiprimogradoaquelledisecondoepoiaquellericonducibilialprimoosecondogrado, quindi ad alcune tipologie di equazioni trascendenti; inoltre si introducono tecnichesemprepiuraffinatedirisoluzionegraficadiequazioniedisequazioni.Ancheilsensodelsimbolosiiniziaacostruireneiprimiannidiscuolaeviaviasiarricchiscefinoadiventarestrumentosemprepiuraffinatodigeneralizzazione,diespressioneedicalcolo.Infine,pertenerenelladovutaconsiderazioneancheglielementidispecificitàchecaratterizzanoedistinguonoidiversipercorsidistudio,laprovaINVALSIcontieneanchedomandespecificheper il Liceo scientifico (con le opzioni scienze applicate e sportivo) e per gli Istituti tecnicieconomici e tecnologici, allo scopo di valorizzare alcuni aspetti che la disciplina assume neicurricolidiquestiindirizzi.

4. StrutturadellaprovaAllalucediquantodescrittonelparagrafoprecedentelaprovaINVALSIhaquindilanecessitàsiadirifletterelafortecontinuitàverticalechecaratterizzatutteleprovedeigradiprecedenti,siadiverificarecontenutiecompetenzecomuni,trasversaliatuttiipercorsiscolari.Pertantola

5 Vedi Allegato B



provaècompostadaunapartecomuneatuttigliindirizzidiscuolaecomprendeduetipologiedidomande:

domandedi“manutenzione”diquellaMatematicadibasechedeverimanerefinoallafinedelpercorsodistudi.QuestedomandesonoinstrettacontinuitàcongliargomentichesonosolitamenterichiestinelGrado8enelGrado106;possonoessereispirateadomandepropostenelleprovediquestiduegradieriformulateperstudentidell’ultimoannodellascuolasecondariadisecondogrado.Peresempio, letturadigraficietabelle,calcolodiperimetri,areeevolumi,percentuali,ordinidigrandezza,relazionilinearitragrandezze;

domande di “ricontestualizzazione” che propongono situazioni simili a quelle giàincontrate(peroggettidiriferimento,contesti,compitirichiesti,ecc.),macherichiedonol’acquisizione di nuovi strumenti e nuovi contenuti matematici appresi nel corso delsecondobiennio. Esempididomandediquestotiporiguardanolageometriaanaliticaoppurel’usodimodelliesponenzialielogaritmicio,ancora,lefunzionicircolari.

LaprovaperilLiceoscientifico(conleopzioniscienzeapplicateesportivo)contiene,oltrealledomandecomuni,anchedomandeche,percontenutooperlivellodiapprofondimentorichiesto,sono specifiche per questa tipologia di scuola. Lo scopo è quello di valorizzare gli aspetti didifferenziazione caratterizzanti questo percorso di studi (in particolare relativamente agliargomenti di geometria dello spazio, calcolo combinatorio, calcolo delle probabilità, analisimatematica).

LaprovapergliIstitutitecnicieconomicietecnologicicontiene,oltrealledomandecomuni,anchedomande che, per contenuto o per livello di approfondimento richiesto, sono specifiche perquesta tipologiadi scuola.Peresempio sonopresentiquesiti volti a verificare le conoscenzefondamentali dell’analisi matematica in quanto strumenti utili per la comprensione delledisciplinescientificheeperpoteroperarenelcampodellescienzeapplicate.

Nell’AllegatoAsiriportanoesempididomandeappartenentiallediversetipologiedescritte.

6 In questo documento, seguendo l’uso internazionale, si indica con “grado” (grade) l’anno di scolarità a partire dalla

prima classe della scuola primaria (grado 1).



AllegatoA

Domandecomunidi“manutenzione”e“ricontestualizzazione”

Datieprevisioni

DP1

Rispostacorretta:28

Formato:Rispostaapertaunivoca

Ambito:Datieprevisioni

Traguardo:Simuoveconsicurezzanelcalcolonumericoesimbolico;applicacorrettamenteleproprietàdelleoperazioniconinumerireali;realizzaordinamenti,calcolaordinidigrandezzaedeffettuastimenumericheeapprossimazioni.Risolveequazioniedisequazioni.

Dimensione:Conoscere

LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Valorimediemisuredivariabilità.Calcolareivalorimediealcunemisuredivariabilitàdiunadistribuzione.Definizionieproprietàdeivalorimediedellemisure di variabilità, nonché l’uso di strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) peranalizzareraccoltedidatieseriestatistiche.



Scopodelladomanda:Trovareundatomancanteinuninsiemedidaticonoscendonelamediapesata.

Commento: La domanda DP1 è una domanda di “manutenzione” sul concetto di mediaponderatainuncontestochepotrebberisultarevicinoastudentichesiapprestanoaterminareilsecondociclodistudi.Utilizzandoladefinizionedimediaponderata,chevienerichiamataneltestodelladomanda,sitrattadiimpostareun’equazioneperdeterminareundatomancante.

DP2

Rispostacorretta:10



Traguardo: Rappresenta, elabora, analizza e interpreta dati, anche calcolando indici, perdescrivere situazioni e individuare caratteristiche di un fenomeno o di una situazione,eventualmenteanchealloscopodiprodurreipotesieprenderedecisioni.

Dimensione:Risolvereproblemi

Linee Guida e Indicazioni Nazionali: Dati, loro organizzazione e rappresentazione.Raccogliere,organizzareerappresentareuninsiemedidati.Rappresentareeanalizzareindiversimodi(ancheutilizzandostrumentiinformatici)uninsiemedidati,scegliendolerappresentazionipiùidonee.

Scopodelladomanda:Elaborareidatidiunatabellaperricavareinformazioni.



Rispostacorretta:5



Traguardo:Esprimevalutazioniestimediprobabilitàinsituazionicaratterizzatedaincertezza.Esprimestimediprobabilitàdieventicompostiapartiredallaconoscenzadelleprobabilitàdieventielementari.


LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Significatodellaprobabilitàesuevalutazioni.Semplicispazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti.Nozionediprobabilità, con esempi trattida contesti classici e con l’introduzionedinozionidistatistica.

Scopodelladomanda:elaborareidatidiunatabellapercalcolareunaprobabilità.

Rispostacorretta:C

Formato:Sceltamultipla






LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Significatodellaprobabilitàesuevalutazioni.Semplicispazi (discreti) di probabilità: eventi disgiunti, probabilità composta, eventi indipendenti.Nozionediprobabilità, con esempi trattida contesti classici e con l’introduzionedinozionidistatistica.

Scopodelladomanda:elaborareidatidiunatabellapercalcolareunaprobabilità.

Commento:LadomandaDP2èunadomandadi“manutenzione”,compostadatreitem,nellaqualesiproponelaletturadiunatabellaadoppiaentrata.Inmanieragradualesipassadallarichiestadicalcolodiunapercentualealcalcolodiunaprobabilità.

DP3

Rispostacorretta:V–F–V

Formato:Sceltamultiplacomplessa


Traguardo: Rappresenta, elabora, analizza e interpreta dati, anche calcolando indici, perdescrivere situazioni e individuare caratteristiche di un fenomeno o di una situazione,eventualmenteanchealloscopodiprodurreipotesieprenderedecisioni.




Linee Guida e Indicazioni Nazionali: Dati, loro organizzazione e rappresentazione.Raccogliere,organizzareerappresentareuninsiemedidati.Rappresentareeanalizzareindiversimodi(ancheutilizzandostrumentiinformatici)uninsiemedidati,scegliendolerappresentazionipiùidonee.

Scopodelladomanda:Dedurreinformazionidaundiagrammaabarre.

Commento:La domanda DP3 è una domanda di “manutenzione” nella quale sono richiestecompetenzedi lettura edi confrontodidati rappresentatimediantediagrammiabarre.Talicompetenzedibasespessositrovanonelleprovedituttiigradiscolari.

Spazioefigure

SF1

Rispostacorretta:A


Ambito:Spazioefigure

Traguardo: Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazionipossedute, le loro relazioni con ciò che si vuole determinare e la coerenza e plausibilità delprocedimentorisolutivoedeirisultatitrovati.




LineeGuida e IndicazioniNazionali: Nozioni fondamentali di geometria del piano e dellospazio.Conoscenzadeifondamentidellageometriaeuclideadelpiano.Elementidellageometriaeuclideadelpianoedellospazio.

Scopodelladomanda:Riconoscerel’isoperimetriadiduefigurediareadiversa.

Commento:LadomandaSF1èunadomandadi“manutenzione”digeometriaelementarechefariferimentoaunproblemaincontestoreale;perrisponderecorrettamente,occorrericonoscerecheleduefiguresonoisoperimetriche.

SF2

Rispostacorretta:56



Traguardo:Riconosceedenominaleformedelpianoedellospazio,lelororappresentazionienecoglielerelazionitraglielementi.Utilizzaproprietàdellefiguregeometricheeteoremiperilcalcolodilunghezze,areeevolumi.



Scopodelladomanda:Calcolarel’areadiuntriangoloperscomposizione.



Rispostacorretta:V–F–V



Traguardo:Comprendeeutilizzadiverseformedirappresentazione,passandodall’unaall’altraasecondadelleesigenze(grafica,numerica,simbolica,nellalinguanaturale).



Le funzioni e la loro rappresentazione (numerica, funzionale, grafica). Funzioni di vario tipo(lineari, quadratiche, circolari, diproporzionalitàdiretta e inversa).Rappresentare sul pianocartesianoleprincipalifunzioniincontrate.Studiarelefunzionif(x)=ax+bef(x)=ax2+bx+c.Lefunzionideltipof(x)=ax+b,f(x)=|x|,f(x)=a/x,f(x)=x2siainterministrettamentematematicisiainfunzionedelladescrizioneesoluzionediproblemiapplicativi.

Scopo della domanda: Valutare la variazione dell’area di un triangolo seguendo diversipossibiliapprocci.

Commento:LadomandaSF2ècompostadadueitem.Ilprimoèunitemdi“manutenzione”,cheprendeispirazionedaunadomandadellaProvaNazionaledel2012,dovesidevedeterminare,adesempioperdifferenza,l’areadiuntriangoloinscrittoinunquadrato.Ilsecondoitempuòessere considerato invece di “ricontestualizzazione” in quanto propone l’equazione di unafunzionedisecondogradochepuòessereutilizzataperdeterminareilvalorediveritàdialcuneaffermazioniriguardantil’areadiuntriangolochesimodificaalvariaredix.



SF3

Rispostacorretta:7,2






Scopo della domanda: Calcolare una lunghezza in un contesto reale utilizzando unasimilitudine.



Rispostacorretta:A





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Teoremadeiseniedeicoseni.Applicarelatrigonometrianeiproblemiriguardantiitriangoli.Iteoremichepermettonolarisoluzionedeitriangolieillorousonell'ambitodialtrediscipline.

Scopodelladomanda: Applicare la definizionedi tangente di un angolo come rapporto tracatetooppostoecatetoadiacenteall’angoloinuntriangolorettangolo

Commento:LadomandaSF3fariferimentoauncontestorealeedècompostadadueitem.Ilprimoitemrichiedediriconoscerelasimilitudinetraduetriangoliperstimareunalunghezzaedèquindidi“manutenzione”,mentreilsecondoitemtestaunaconoscenzadibasedasecondobienniorelativaalledefinizionidellefunzionigoniometricheinuntriangolorettangolo.



Numeri

NU1

Rispostacorretta:D


Ambito:Numeri



LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Leoperazioniconinumeriinterierazionali.Operareconinumeri interie razionalievalutare l’ordinedigrandezzadei risultati.Calcolo(mentale,concartaepenna,mediantestrumenti)coninumeriinteri,coninumerirazionalisianellascritturacomefrazionechenellarappresentazionedecimale.Potenzeeradici.Calcolaresempliciespressioniconpotenzeeradicali.Inumeriirrazionalieleespressioniincuiessicompaiono.Scopodelladomanda:Stimareunrapportotranumeriinnotazionescientifica

Commento: La domandaNU1 è una domanda di “manutenzione” in cui occorre stimare unrapportotranumeriespressiinnotazionescientifica,lavorandosiasullastimadelrapportotra1,5e3,8siaconleproprietàdellepotenze.



NU2

Rispostacorretta:peresempio“NelnegozioB,perché“compritreepaghidue”corrispondeaunoscontocircadel33%cheèmaggioredel25%”.

Formato:Rispostaapertaarticolata

Ambito:Numeri

Traguardo: Produce argomentazioni esplicitando la tesi, utilizzando conoscenze e formeargomentativepertinentiallatesioggettodiargomentazione.

Dimensione:Argomentare

LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Rapportiepercentuali.Proporzionalitàdirettaeinversa.Scopodelladomanda:Confrontareduescontiespressiinmododifferente.

Commento:LadomandaNU2èunadomandadi“manutenzione”sulcalcolodellepercentualiinun contesto di vita quotidiana. La domanda è di tipo argomentativo e per risponderecorrettamenteoccorreconfrontareunapercentualediscontoconun’offertadivenditadescrittaattraversoun’espressionediusocomuneinambitocommerciale.



NU3

Rispostacorretta:haunasolasoluzione–nonhasoluzione–nonhasoluzione


Ambito:Numeri



LineeGuidae IndicazioniNazionali:Risolvere equazioni e disequazioni relative a funzionigoniometriche,esponenziali,logaritmiche,funzionimoduloconmetodigraficionumericiancheconl'aiutodistrumentielettronici.Casi semplici e significativi di equazioni e disequazioni in cui compaiono funzioni polinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopo della domanda: Individuare l’insieme di soluzioni di una equazione esponenzialeparametrica.

Commento: LadomandaNU3èunadomandadi “ricontestualizzazione” in cui si richiedediriconoscere il numerodi soluzioni di una equazione esponenzialeparametrica al variaredelparametro. La risposta corretta può essere data conoscendo le proprietà della funzioneesponenziale.



Relazioniefunzioni

RF1

Rispostacorretta:V–F–F


Ambito:Relazioniefunzioni

Traguardo:Utilizzasemplicimodellimatematicidatiperdescriveresituazioniefenomenireali.


LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Leespressioniletteralieipolinomi.Padroneggiarel’usodellaletteracomemerosimboloecomevariabile.Elementidibasedelcalcololetterale.Calcolicon le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione,disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare inaritmetica.Scopodelladomanda:Ricavareinformazioniinterpretandounaformula.



Rispostacorretta:B

Formato:Sceltamultiplasemplice


Traguardo:Utilizzasemplicimodellimatematicidatiperdescriveresituazioniefenomenireali.


LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Leespressioniletteralieipolinomi.Padroneggiarel’usodellaletteracomemerosimboloecomevariabile.Elementidibasedelcalcololetterale.Calcolicon le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione,disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare inaritmetica.Scopodelladomanda:Ricavareilvalorediunavariabileapartiredaunaformuladata.

Commento:LadomandaRF1èunadomandadi“manutenzione”formatadadueitemneiqualisirichiedediusareunaformulachemodellizzaunasituazioneinuncontestoreale.Inparticolareper stabilire la verità delle affermazioni descritte nel primo item è necessario utilizzare laformuladatainmanieradirettamentreperrisponderealsecondoitemoccorresapernericavareunaformulainversa.



RF2

Rispostacorretta:85





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Funzioni.Negli Istitutitecnicidelsettoretecnologicoenegli Istituti professionali: funzioni polinomiali; funzioni razionali e irrazionali; funzionemodulo; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni periodiche. Negli Istituti tecnici delsettore economico: funzioni di uso comune nelle scienze economiche e sociali e lororappresentazionegrafica.Lefunzionielementaridell'analisieilorografici;funzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda:Calcolareilvalorediunafunzioneinunpunto,descrittaattraversoillinguaggioverbale.



Rispostacorretta:A





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Costruiremodellimatematicidifenomeni.Metodologieelementariperlacostruzionedimodellimatematiciincasimoltosemplicimasignificativi.Scopodelladomanda:Individuarelarappresentazionegraficadelmodellodescritto.

Commento:LadomandaRF2èunadomandadi“ricontestualizzazione”compostadadueitemeproponeunmodellolineareatrattiattraversounatabellacheillustraunoschemadicostoperilnoleggiogiornalierodiun’auto.Nelprimoitemsichiedeuncalcolodirettodesumibiledallaletturadellatabella,mentrenelsecondoitemsichiedediindividuareilgraficocorrispondenteallasituazionedescritta,individuandolaspezzatacherappresentailcostodelnoleggio.



RF3

Rispostacorretta:

4

3





Linee Guida e Indicazioni Nazionali: Le funzioni e la loro rappresentazione (numerica,funzionale, grafica). Funzioni di vario tipo (lineari, quadratiche, circolari, di proporzionalitàdirettaeinversa).Rappresentaresulpianocartesianoleprincipalifunzioniincontrate.Studiarelefunzionif(x)=ax+bef(x)=ax2+bx+c.Lefunzionideltipof(x)=ax+b,f(x)=|x|,f(x)=a/x,f(x)=x2siainterministrettamentematematicisiainfunzionedelladescrizioneesoluzionediproblemiapplicativi.Scopodelladomanda:Determinarelapendenzadiunarettariconoscendochepassaperunpuntocomuneadunaparabola.

Commento: La RF3 è una domanda di “ricontestualizzazione” in stretta continuità con lerichiestefattenelGrado10.Perrisponderealladomandaoccorredeterminarel’ordinatadiunpuntodiunaparaboladiequazionenotaconoscendonel’ascissaepoideterminarelapendenzadiunarettapassanteperl’origineeperquelpunto.



DomandespecificheperilLiceoscientifico

DP1_S

Rispostacorretta:64,75(accettabileanche64,74)





Indicazioni Nazionali: Probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sueapplicazioni,nonchéglielementidibasedelcalcolocombinatorio.Scopodelladomanda:ApplicareilteoremadiBayespercalcolareunaprobabilità.

Commento: La domanda DP1_S è una domanda nella quale la situazione problematica èdescritta sia in un testo verbale sia attraverso un diagramma ad albero; per risponderecorrettamente si può utilizzare il teorema di Bayes: il diagramma ad albero può supportarepossibilistrategierisolutiveodicontrollo.



SF1_S

Rispostacorretta:F–V–V





IndicazioniNazionali:Conoscenzadeifondamentidellageometriaeuclideadelpiano.Elementidellageometriaeuclideadelpianoedellospazio.Scopodelladomanda:Riconosceremutueposizionidiretteepianinellospazio.

Commento:LadomandaSF1_Srichiededisapervisualizzarenellospaziolaposizionereciprocadiretteepianisenzachevengadataunarappresentazionegraficadellesituazionidescritteaparoleesenzachevenganodateequazioniesplicite.



NU1_S

Rispostacorretta:C


Ambito:Numeri



IndicazioniNazionali:Casisempliciesignificatividiequazioniedisequazioniincuicompaionofunzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda: Individuare l’intervalloacuiappartiene lasoluzionediun’equazionetrascendente.

Commento:LadomandaNU1_Srichiedediindividuarel’intervalloacuiappartienelasoluzionedi un’equazione che può essere risolta solo in modo approssimato. Per rispondere quindibisognaconoscereigraficidellafunzione log edellafunzione esaperechelasoluzionedell’equazioneèdatadall’ascissadelpuntodiintersezioneditaligrafici.



RF1_S

Rispostacorretta:A





IndicazioniNazionali:Casisempliciesignificatividiequazioniedisequazioniincuicompaionofunzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda:Risolvereperviagraficaun’equazioneparametrica.

Commento:LadomandaRF1_Srichiedediriconosceredall’equazionedellafunzionehcheilsuografico si può ottenere con una traslazione di vettore [0,a] del grafico della funzione f. Perrisponderebisognapoiindividuareilvalorediaperilqualeigraficidellefunzionihegnonsiintersecanonell’intervallodato.



DomandespecificheperilLiceoscientificoepergliIstitutitecnici

RF1_ST

Rispostacorretta:1





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Funzioni.Negli Istitutitecnicidelsettoretecnologicoenegli Istituti professionali: funzioni polinomiali; funzioni razionali e irrazionali; funzionemodulo; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni periodiche. Negli Istituti tecnici delsettore economico: funzioni di uso comune nelle scienze economiche e sociali e lororappresentazionegrafica.Lefunzionielementaridell'analisieilorografici;funzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Scopodelladomanda: Leggere su un grafico il valore di una funzione in un punto del suodominio.



Rispostacorretta:3

2





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Derivatadiunafunzione.Lanozionedicrescitamediaeilconcetto di velocità di variazione di un processo rappresentato mediante una funzione. Laderivabilità.Scopodelladomanda:Individuareladerivatadiunafunzioneinunpuntoutilizzandoilsuosignificatogeometrico.

Commento:LadomandaRF1_STècompostadadue item; ilprimoriguarda lacondizionediappartenenza di un punto al grafico di una funzione e quindi può essere considerato di“manutenzione”diunaconoscenzache, seppur internaallamatematica, èunaconoscenzadibase che dovrebbe rimanere fino alla fine di un percorso di studio di scuola secondaria disecondogrado;ilsecondoiteminveceriguardailsignificatogeometricodelconcettodiderivata:sidevesaperecheilvalorecheladerivataprimadiunafunzioneassumeperuncertovaloredi



xcorrispondeallapendenzadellarettatangentealgraficodellafunzionenelpuntodiascissax.Lerispostenonrichiedonoparticolaritecnichedicalcolo,masoloilpossessodiconcettibasilariperunabuonaformazionematematica.

RF2_ST

Rispostacorretta:V–F–F–V





LineeGuidaeIndicazioniNazionali:Funzioni.Negli Istitutitecnicidelsettoretecnologicoenegli Istituti professionali: funzioni polinomiali; funzioni razionali e irrazionali; funzionemodulo; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni periodiche. Negli Istituti tecnici delsettore economico: funzioni di uso comune nelle scienze economiche e sociali e lororappresentazionegrafica.Lefunzionielementaridell'analisieilorografici;funzionipolinomiali,razionali,circolari,esponenzialeelogaritmo.Derivatadiunafunzione.Lanozionedicrescitamediaeilconcettodivelocitàdivariazionediunprocessorappresentatomedianteunafunzione.Laderivabilità.



Scopodelladomanda:Individuareproprietàdiunafunzionedalsuografico.

Commento:LadomandaRF2_STrichiedediriconosceresealcuneaffermazioniriguardantileproprietàdiunafunzionesonovereofalse:inparticolarerichiedediconfrontareivalorichelafunzione assume in due punti del suo dominio, distinguere tramassimi eminimi assoluti erelativiemettereinrelazionelacrescenzaeladecrescenzadellafunzioneconilsegnodellasuaderivataprima.



AllegatoB

Traguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolaprimaria Codifica Dimensione

Simuove con sicurezza nel calcolo scritto ementale con i numeri naturali e savalutarel’opportunitàdiricorrereaunacalcolatrice.

T1 1

Riconosceerappresentaformedelpianoedellospazio,relazioniestrutturechesitrovanoinnaturaochesonostatecreatedall’uomo.

T2 1

Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, nedeterminamisure,progettaecostruiscemodelliconcretidivariotipo.

T3 1

Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i piùcomunistrumentidimisura(metro,goniometro...).

T4 1

Ricerca dati per ricavare informazioni e costruisce rappresentazioni (tabelle egrafici).Ricavainformazionianchedadatirappresentatiintabelleegrafici.

T5 2

Riconosceequantifica,incasisemplici,situazionidiincertezza. T6 2Leggeecomprendetestichecoinvolgonoaspettilogiciematematici. T7 3Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto,mantenendo ilcontrollo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati. Descrive il procedimentoseguitoericonoscestrategiedisoluzionediversedallapropria.

T8 2

Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie idee econfrontandosiconilpuntodivistadialtri.

T9 3

Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeridecimali,frazioni,percentuali,scalediriduzione,...).

T10 1



Traguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolasecondariadiprimogrado

Codifica Dimensione

Simuoveconsicurezzanelcalcoloancheconinumerirazionali,nepadroneggialediverse rappresentazioni e stima la grandezza di un numero e il risultato dioperazioni.

T1 1

Riconosceedenominaleformedelpianoedellospazio,lelororappresentazionienecoglielerelazionitraglielementi.

T2 1

Analizzaeinterpretarappresentazionididatiperricavarnemisuredivariabilitàeprenderedecisioni.

T3 2

Riconosceerisolveproblemiincontestidiversivalutandoleinformazionielalorocoerenza.

T4 2

Spiegailprocedimentoseguito,ancheinformascritta,mantenendoilcontrollosiasulprocessorisolutivo,siasuirisultati.

T5 2

Confronta procedimenti diversi e produce formalizzazioni che gli consentono dipassaredaunproblemaspecificoaunaclassediproblemi.

T6 2

Produceargomentazioniinbasealleconoscenzeteoricheacquisite(adesempiosautilizzareiconcettidiproprietàcaratterizzanteedidefinizione).

T7 3

Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati eutilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinionericonoscendoleconseguenzelogichediunaargomentazionecorretta.

T8 3

Utilizzaeinterpretaillinguaggiomatematico(pianocartesiano,formule,equazioni,ecc.)enecoglieilrapportocollinguaggionaturale.

T9 1

Nellesituazionidiincertezza(vitaquotidiana,giochi,ecc.)siorientaconvalutazionidiprobabilità.

T10 2



7 Per la scuola secondaria di secondo grado non sono previsti, dalla normativa vigente, Traguardi per lo sviluppo delle

competenze. Il gruppo di lavoro INVALSI ha individuato una serie di Traguardi per lo sviluppo delle competenze in diretta continuità con i Traguardi della fine del primo ciclo.

Traguardiperlosviluppodellecompetenzealterminedellascuolasecondariadisecondogrado7

Codifica Dimensione

Simuoveconsicurezzanelcalcolonumericoesimbolico;applicacorrettamenteleproprietàdelleoperazioniconinumerireali;realizzaordinamenti,calcolaordinidigrandezzaedeffettuastimenumericheeapprossimazioni.Risolveequazioniedisequazioni.

T1 1

Riconosceedenominaleformedelpianoedellospazio,lelororappresentazionienecoglielerelazionitraglielementi.Utilizzaproprietàdellefiguregeometricheeteoremiperilcalcolodilunghezze,areeevolumi.

T2 1

Rappresenta, elabora, analizza e interpreta dati, anche calcolando indici, perdescrivere situazioni e individuare caratteristiche di un fenomeno o di unasituazione, eventualmente anche allo scopo di produrre ipotesi e prenderedecisioni.

T3 2

Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazionipossedute, le loro relazioni con ciò che si vuole determinare e la coerenza eplausibilitàdelprocedimentorisolutivoedeirisultatitrovati.

T4 2

Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, confronta procedimentidiversieproduceformalizzazionichegliconsentonodipassaredaunproblemaspecificoaunaclassediproblemi.

T5 2

Riconosce,fradiverseargomentazioni,quellechesonoadeguateasostenereunadeterminatatesi;produceesempiecontroesempiutiliaconfermareoaconfutareunadeterminataaffermazione.

T6 3

Produce argomentazioni esplicitando la tesi, utilizzando conoscenze e formeargomentativepertinentiallatesioggettodiargomentazione. T7 3

Comprende e utilizza diverse forme di rappresentazione, passando dall’unaall’altra a seconda delle esigenze (grafica, numerica, simbolica, nella linguanaturale).

T8 1

Riconosce,tradiversimodellimatematiciproposti,quellipiùadeguatiadescriveredeterminatesituazionioggettodiinteresse T9 2

Utilizza semplici modelli matematici dati per descrivere situazioni e fenomenireali.

T10 2

Dati una situazione o un fenomeno reali individua le variabili significative ecostruisceunmodellomatematicoadeguatoarappresentarli. T11 2

Esprime valutazioni e stime di probabilità in situazioni caratterizzate daincertezza. Esprime stime di probabilità di eventi composti a partire dallaconoscenzadelleprobabilitàdieventielementari.

T12 2



La seguente tabella riporta, affiancati, i traguardi dei diversi livelli scolari allo scopo dimostrarnelafortecontinuità.

TraguardialterminedellaScuolaPrimaria

TraguardialterminedellaScuolaSecondariadiPrimo

Grado

TraguardialterminedellaScuolaSecondariadiSecondoGrado

1. Simuove con sicurezza nelcalcoloscrittoementalecon inumeri naturali e sa valutarel’opportunitàdiricorrereaunacalcolatrice.

1. Simuove con sicurezza nelcalcolo anche con i numerirazionali, ne padroneggia lediverse rappresentazioni estima la grandezza di unnumero e il risultato dioperazioni.

1. Si muove con sicurezza nelcalcolo numerico e simbolico;applica correttamente leproprietàdelleoperazioniconinumeri reali; realizzaordinamenti, calcola ordini digrandezza ed effettua stimenumeriche e approssimazioni.Risolve equazioni edisequazioni.

2. Riconosce e rappresentaformedelpianoedellospazio,relazioni e strutture che sitrovano in natura o che sonostatecreatedall’uomo.

2. Riconosce e denomina leformedelpianoedellospazio,le loro rappresentazioni e necoglie le relazioni tra glielementi.

2. Riconosce e denomina leformedelpianoedellospazio,le loro rappresentazioni e necoglie le relazioni tra glielementi. Utilizza proprietàdelle figure geometriche eteoremi per il calcolo dilunghezze,areeevolumi.

3. Descrive, denomina eclassifica figure in base acaratteristichegeometriche,nedetermina misure, progetta ecostruisce modelli concreti divariotipo.

4. Utilizza strumenti per ildisegno geometrico (riga,compasso, squadra) e i piùcomuni strumenti di misura(metro,goniometro,ecc.).

5. Ricerca dati per ricavareinformazioni e costruiscerappresentazioni (tabelle egrafici). Ricava informazionianchedadatirappresentati intabelleegrafici.

3. Analizza e interpretarappresentazioni di dati perricavarnemisuredivariabilitàeprenderedecisioni.

3. Rappresenta, elabora,analizza e interpreta dati,anche calcolando indici, perdescrivere situazioni eindividuare caratteristiche diun fenomeno o di unasituazione, eventualmenteanche allo scopo di produrreipotesieprenderedecisioni.





Grado


6. Riconosce e quantifica, incasi semplici, situazioni diincertezza.

10. Nelle situazioni diincertezza (vita quotidiana,giochi, ecc.) si orienta convalutazionidiprobabilità.

12.Esprimevalutazioniestimedi probabilità in situazionicaratterizzate da incertezza.Esprimestimediprobabilitàdieventicompostiapartiredallaconoscenzadelleprobabilitàdieventielementari.

8. Riesce a risolvere faciliproblemi in tutti gli ambiti dicontenuto, mantenendo ilcontrollo sia sul processorisolutivo, sia sui risultati.Descrive il procedimentoseguitoericonoscestrategiedisoluzione diverse dallapropria.

4.Riconosceerisolveproblemiincontestidiversivalutandoleinformazioni e la lorocoerenza.

5. Spiega il procedimentoseguito,ancheinformascritta,mantenendoilcontrollosiasulprocesso risolutivo, sia suirisultati.

4.Riconosceerisolveproblemiincontestidiversivalutandoleinformazionipossedute,lelororelazioni con ciò che si vuoledeterminare e la coerenza eplausibilità del procedimentorisolutivoedeirisultatitrovati.5. Spiega il procedimentoseguito,ancheinformascritta,confrontaprocedimentidiversie produce formalizzazioni chegliconsentonodipassaredaunproblemaspecificoaunaclassediproblemi.

9. Costruisce ragionamentiformulando ipotesi,sostenendo le proprie idee econfrontandosiconilpuntodivistadialtri.7.Leggeecomprendetestichecoinvolgono aspetti logici ematematici.

7. Produce argomentazioni inbase alle conoscenze teoricheacquisite (per esempio sautilizzare i concetti diproprietà caratterizzante e didefinizione).8. Sostiene le proprieconvinzioni, portando esempie controesempi adeguati eutilizzando concatenazioni diaffermazioni; accetta dicambiare opinionericonoscendo le conseguenzelogichediunaargomentazionecorretta.

6. Riconosce, fra diverseargomentazioni, quelle chesonoadeguateasostenereunadeterminata tesi; produceesempi e controesempi utili aconfermare o a confutare unadeterminataaffermazione.7. Produce argomentazioniesplicitandolatesi,utilizzandoconoscenze e formeargomentative pertinenti allatesioggettodiargomentazione.





Grado


10. Riconosce e utilizzarappresentazioni diverse dioggetti matematici (numeridecimali, frazioni, percentuali,scalediriduzione,ecc.).

9. Utilizza e interpreta illinguaggio matematico (pianocartesiano,formule,equazioni,...) e ne coglie il rapporto collinguaggionaturale.

8.Comprendeeutilizzadiverseforme di rappresentazione,passando dall’una all’altra asecondadelleesigenze(grafica,numerica, simbolica, nellalinguanaturale).

6. Confronta procedimentidiversi e produceformalizzazioni che gliconsentono di passare da unproblema specifico a unaclassediproblemi.

9. Riconosce, tra diversimodelli matematici proposti,quellipiùadeguatiadescriveredeterminate situazionioggettodiinteresse.10. Utilizza semplici modellimatematicidatiperdescriveresituazioniefenomenireali.11. Dati una situazione o unfenomeno reali individua levariabili significative ecostruisce un modellomatematico adeguato arappresentarli.

LA PROVA INVALSI DI MATEMATICA AL TERMINE DEL...

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