La nascita delle teorie 'continue' della consonanza. La ignorata curva di Draghetti e Foderà, poi...

La nascita delle teorie 'continue' della consonanza. La ignorata curva di Draghetti e Foderà, poidi Helmholtz (1771-1837)Author(s): Patrizio BarbieriSource: Acta Musicologica, Vol. 74, Fasc. 1 (2002), pp. 55-75Published by: International Musicological SocietyStable URL: http://www.jstor.org/stable/932871 .

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La nascita delle teorie 'continue' della consonanza La ignorato curva di Draghetti e Foderb, poi di Helmholtz (1771-1837)

Patrizio BARBIERI Universit? di Lecce

FINO A BUONA PARTE DEL SETTECENTO le uniche teorie della consonanza scientificamente accreditate erano quelle di tipo 'discreto', cio6 aritmetico. Sia quella detta 'delle coin-

cidenze' (allora attribuita a Galileo) che quella di Eulero erano infatti basate sulla 'semplicita' del rapporto razionale di frequenza relativo all'intervallo musicale da classificare (ad esempio, 2:1 per l'ottava, 3:2 per la quinta, ecc.): piO piccoli erano i numeri interi che lo costituivano, piu consonante era detto intervallo. Ci6 portava all'assurdo che una consonanza - temperata di una quantita anche insensibile, ma tale da trasformare in irrazionale il suo rapporto - diventava di colpo infinitamente dissonante.

Nel corso del Settecento presero per6 sempre pic piede le teorie che schematizzano i fenomeni naturali con leggi basate sulla continuita. II gesuita Andrea Draghetti - rifacen- dosi specificamente alla"legge di continuita" delle grandezze fisiche enunciata nel 1754 dal suo correligionario Ruggero Giuseppe Boscovich - nel 1771 fu il primo a ipotizzare sul piano teorico che il passaggio dalla consonanza alla dissonanza awenisse con una certa gradualita, tramite cioe una curva ad andamento continuo. Ci6 dette subito luogo a una querelle col padre bamabita Giovenale Sacchi, contrario a estendere all'ambito sensoriale la teoria di Boscovich, cosa che oltretutto destava non poche perplessita anche a livello teologico. La polemica tra questi due religiosi operanti a Milano - che aveva suscitato l'interesse delle maggiori gazzette letterarie europee - si estinse per6 nel 1773, senza lasciare apparenti conseguenze.

L'idea di Draghetti fu ripresa solo una sessantina di anni dopo, nel 1832-37, da Filippo Fodera. Basandosi anche su accurati rilevamenti sperimentali effettuati su ascoltatori selezionati, questo oggi ignorato studioso palermitano riusci a calcolare una curva delle consonanze avente spiccate analogie con quella - oggi celebre - cui nel 1863 sarebbe pervenuto per altre vie Hermann Helmholtz. Foderf non fece per6 in tempo a pubblicare tali suoi ritrovamenti, poich6 monr di colera nel 1837, lasciando la sua opera frazionata in alcuni per la verit- piuttosto prolissi manoscritti, che furono presto dimenticati.

II presente studio si propone pertanto di (I) esaminare l'ipotesi di Draghetti, della quale la storiografia moderna non sembra avere colto il rivoluzionario contenuto, (2) illustrare la



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genesi e le caratteristiche distintive della curva di Fodera, personaggio il cui nome e oggi addirittura caduto nel piuj totale oblio.

I. La querelle Draghetti-Sacchi sulla "legge di continuitA" di Boscovich estesa all'udito

Nella sua Risposto al chiarissimo Sig. Giuseppe Tortini, pubblicata nel 1771, Giovenale Sacchi accenna al mitico tema dell"'armonia delle sfere celesti", secondo cui ogni pianeta - la cui orbita anticamente era ritenuta circolare e percorsa con moto uniforme costante - doveva emettere una sua particolare nota fissa.' A riguardo egli fa per6 rilevare che, secondo le leggi di Keplero, tali orbite sono invece ellittiche e vengono percorse con velocitA variabili con progressivit%: i suoni da loro emessi, ammesso che fossero udibili,

glisserebbero quindi da una nota all'altra, per cui "sarebbono oltremodo discordi, e dispia- cevoli ad udire". Conclude quindi:

Gli incrementi, e decrementi sia delle distanze, sia delle celeriti delle orbite de' pianeti sono continui, ed infiniti: per contrario i gradi della scala musica sono numerati, e disgiunti. La natura adunque in

quelli vuole la continuitA; in questi dimanda il salto, e tanto necessariamente lo dimanda, che I'orecchio nostro di quel picciol numero di voci, che la scala musica formano, si compiace assaissimo: tutte le altre intermedie possibili, che infinite sono, gli sarebbono intollerabili.Vera adunque non sembra la opinione d'alcuni filosofi acutissimi, i quali vogliono, che la legge della continuita sia cosa universale. Come pu6 essere universale, se dalla natura stessa in qualche caso viene esclusa?

Chiaro riferimento, quest'ultimo, alla "lex continuitatis" che Ruggero G. Boscovich - sulla scorta di un precedente "continuitatis principium", fatto risalire a Leibnitz (1687) - aveva enunciato nel 1754.2 Quattro anni dopo, lo stesso Boscovich aveva esemplificato tale legge in una curva atta a spiegare il fatto che i corpi elastici riacquistano la loro forma primitiva dopo essere stati sollecitati a compressione o a trazione: la materia era da lui supposta concentrata in punti fra loro isolati, tenuti assieme da forze di tipo newtoniano passanti con continuitA - al variare della loro distanza relativa - da stati attrattivi a repulsivi (Fig. 1).3 Della stessa curva il gesuita dalmata si era servito per proporre una soluzione a una diffi- colta sollevata da Eulero sulla propagazione del suono, problema gia invano affrontato da Dortous de Mairan nel 1719.4

I Inserita in Giovenale SACCHI, Della divisione del tempo nella musica, nel ballo e nella poesia. Dissertazioni 111, Milano, Mazzucchelli, 1771, pp. 199-247: 244-7.

2 Ruggero Giuseppe BoscovlcH, De continuitatis lege et ejus consectariis pertinentibus ad prima materiae ele- menta eorumque vires dissertatio, Roma, Salomoni, 1754, p. IV.

3 Ruggero Giuseppe BoscovlcH, Philosophiae naturalis theoria redacto ad unicam legem virium in natura exi- stentium, Vienna, Officina Libraria Kaliwodiana, 1758, pp. 4-5 e Tab. I, Fig. I. BoscovlcH, De continuitatis lege, p. III, afferma che tale teoria atomica della materia era gia stata da lui proposta nel 1745, in una memoria dell'Accademia delle scienze di Bologna. Su tale curva cfr. anche Clelia PIGHETTI, "Discorrendo del newto- nianesimo di R.G. Boscovich", Phisis,VI (1964), pp. 19-27.

4 Jean-Jacques DORTOUS DE MAIRAN, "Discours sur la propagation du son dans les diff6rents tons qui le modi- fient", Histoire de I'Academie Royale des Sciences - Memoires de Mathdmatique et de Physique, anno 1737, pp. 1-60: 3, afferma di aver ipotizzato, nel 1719, che la propagazione dei suoni di differente frequenza awenisse grazie ad altrettante particelle d'aria di differente

elasticitY, ognuna sensibile a una particolare



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0 V

Fig. I - Ruggero G. Boscovich (1758): curva associata alla "legge di continuita". La materia costituente i corpi elastici viene da lui supposta concentrata in 'atomi' fra loro isolati. In ascisse (C'C) viene riportata la distanza fra due di essi, in ordinata (AB) la forza interagente, di tipo newtoniano (repulsiva nel semipiano superiore, attrattiva in quello inferiore). Come si vede, tale forza e repulsiva per distanze molto

piccole, mentre per distanze molto grandi - passando con continuita attraverso alterne fasi - diviene attrattiva.

II soprammenzionato giudizio di Sacchi viene contestato, sempre nel 1771, nello Psycholo- giae specimen del gesuita Andrea Draghetti, opera di impostazione filosofica contenente numerosi riferimenti alle teorie di Bonnet, Condillac, D'Alembert e Boscovich. Estendendo all'orecchio la "lex continuitatis" di quest'ultimo, Draghetti propone una curva avente spiccate analogie con quella di Fig. 1.s Nella Fig. 2 egli infatti suppone che una delle due note del bicordo rimanga fissa e venga emessa dalla corda AB, mentre l'altra glissa lungo la corda di lunghezza variabile BE: le ordinate positive sono proporzionali alle sensazioni di consonanza ("arcus consonantiarum"), le negative invece a quelle di dissonanza ("arcus dissonantiarum"). Benche i riferimenti a specifici intervalli musicali siano appena accennati, I'idea base e quella stessa che nei due secoli successivi verra sviluppata da tutti i ricercatori del settore (Fodera, Helmholtz, Plomp e Levelt, ecc.).

Poco dopo, all'inizio del 1772, Sacchi da alle stampe una Risposto allo Specimen di Draghetti, nel quale ribadisce che la consonanza risiede nel maggiore o minore grado di "commen- surabilitA" dei due segmenti di corda vibrante relativi a un dato rapporto armonico: a ci6

frequenza. Secondo BoscovlcH, Philosophiae naturalis theoria, pp. 264-7, Eulero aveva fatto osservare che in tal modo il numero delle differenti particelle d'aria avrebbe dovuto essere infinito. Una soluzione - secondo lo stesso Boscovich, ma neanche questa nuova ipotesi risultera corretta - avrebbe invece potuto essere offerta dalla schematizzazione di Fig. I: essendo le particelle d'aria tenute assieme da una frtta rete di forze fra loro differenti, avrebbero fra loro potuto interagire solo quelle due di esse collegate da una forza compatibile con la frequenza da trasmettere, lasciando "inerti" le rimanenti.

5 Andrea DRAGHETTI, Psychologiae specimen [...], Milano, Marelli, 1771, pp. 45-6 (citazione dell'Epistola di Sacchi). La curva, riportata sulla tavola fuori testo, viene illustrata nelle pp. 47-52 e 127-9.




• 0

P

Fig. 2 - Andrea Draghetti (1771): curva esprimente il grado di consonanza (semipiano superiore) o di dissonanza (semipiano inferiore) fra due note il cui intervallo viene fatto variare con continuitA. I punti B, C, D, E rappresentano stati di "apatia". Draghetti 6 il primo autore a teorizzare che il passaggio dalla consonanza alla dissonanza awenga tramite una curva di tipo continuo.

ad esempio si deve la maggiore consonanza della terza maggiore 5:4 nei confronti del tono 9:8.6 Sacchi e per6 consapevole che il punctum dolens della questione risiedeva nel

temperamento.All'obiezione che anche una insensibile alterazione distrugge la commensurabilita delle consonanze risponde con due ipotesi, di tipo - rispettivamente - fisiologico e psicofisico:

(I)Dato che la voce tende a intonare giusti gli intervalli musicali, "cosi altrettanto sembra, che sia da dire dell'organo dell'orecchio, che a quello della voce risponde, e saranno le fibre di questo ancora di loro natura disposte a tremare piuttosto sotto tempi proporzionali, che sotto non proporzionali. II che dato, le minime imperfezioni delle corde non potranno mai all'orecchio comunicarsi".

(2)Anche la "fantasia" e la "memoria" gioverebbero "a correggere i piccioli errori dell'armonia":"Suona al di fuori la corda falsa, ma io sento al di dentro della fantasia la giusta proporzione della prossima corda vera, perche la stessa mia fantasia aggiunge, o leva

quel pocolino, che bisogna".7

Sempre nel 1772 non tarda a comparire la Replica di Draghetti. Con riferimento alle ordinate MN e QR della curva da lui pubblicata l'anno precedente (Fig. 2), egli sottolinea come Sacchi concepisca le consonanze come rette "isolate, e solitarie, e a guisa d'altrettanti fuscelli impiantati in M, e Q", mentre lui invece ritiene che tali ordinate siano collegate da una curva continua. A favore di quest'ultima impostazione "sono le voci di molti uccelli, che di continuo si cangiano con gran diletto" e l'armonia che "nel cembalo de' bicchieri

[= glass-harmonica] produce il dito del sonatore, qualora con degradante forza venga lungo tratto strisciando d'un bicchiero, e mutando suoni in continua successione".8 Per

quanto riguarda gli uccelli, ci6 era in netto contrasto con l'opinione di Sacchi, secondo cui le leggi della consonanza non sono dettate dagli animali, esseri "bruti", ma dall'uomo, essere

6 [Giovenale SACCHI,] Risposta del Padre Giovenale Sacchi della Congregazione di S. Paolo professore di eloquenza nel Collegio Imperiale al Padre Andrea Draghetti della Compagnia di Gesti professore di metafisica in Brera, Milano, Mazzucchelli, 1771, p. 10.

7 SACCHI, Risposta, pp. 12-4. 8 Andrea DRAGHETTI, Replica [...] alla Risposta del Padre D. Giovenale Sacchi [...], Milano, Galeazzi, 1772, pp. 23

e 27.



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"perfetto"?. Anche successivamente, a un critico delle Effemeridi letterarie - secondo il quale ad altri orecchi non possono sembrare consonanti intervalli che per I'uomo sono dissonanti - Draghetti risponder- che su tale tema bisogna andare molto cauti.10

Sempre nella Replica, il nostro gesuita affronta la piui paradossale conseguenza delle teorie aritmetiche sostenute da Sacchi, e cioe che le consonanze debolmente temperate sareb- bero pici aspre, perche piu "incommensurabili", di quelle temperate piO fortemente." A riguardo, pur senza farne esplicita menzione, ricorre a una giustificazione che di fatto coincide con la teoria dei battimenti, gia avanzata da Mersenne e da Sauveur per spiegare la sensazione di dissonanza.'2 Lo sfalsamento delle vibrazioni delle due note costituenti una consonanza - spiega - assume un'ampiezza sensibile dopo un intervallo di tempo tanto piO grande quanto minore 6 I'entita del temperamento: se quest'ultima e sufficientemente piccola, tale sfalsamento sarebbe awertibile dopo un periodo di tempo assai maggiore della durata media degli accordi suonati. Per cui pu6 correttamente concludere:

E siccome non basta ogni commensurabilita per la consonanza; cosi non ogni incommensurabilita di due corde produce la dissonanza. Se la corda falsa sia cosi vicina alla esatta, che il ritomo delle due oscillazioni per rapporto a quelle della corda costante sia sensibilmente contemporaneo per una lunga serie di binarj [= vibrazioni]; allora la corda falsa, e la costante apparterranno alle consonanti, comunque siano esse matematicamente incommensurabili.

Riguardo poi ai due "correttivi" indicati da Sacchi, Draghetti ironicamente gli risponde che - se 6 vero che "le lunghezze [di corda vibrante] false quanto dalle vere si scostano meno, tanto piu sono aspre, e dissonanti" - si dovrebbe paradossalmente concludere "che la perizia de' sonatori sia maggiore a misura, ch'eglino pi' abbisognano de' correttivi da voi indicati".'3

In un breve scritto successivo, Draghetti fa notare che Sacchi - al posto della"fantasia" -

avrebbe potuto con maggiore fondatezza ricorrere al basso fondamentale di Rameau. Anche con ci6 "il punto pi' massiccio della lite" sarebbe per6 rimasto irrisolto: il basso fondamentale pu6 infatti aiutare a spiegare che una consonanza leggermente alterata venga dalla mente assimilata a quella matematicamente giusta, ma non che quella meno temperata risulti piW dissonante di quella alterata in misura maggiore.'4

9 SACCHI, Risposta, p. 19.

10 Efemeridi letterarie di Roma, 1773, pp. 180-81 (5 giugno), 189-90 (12 giugno), 245-7 (31 luglio), e 253-5 (7 agosto): 255 (le puntate del 31 luglio e del 7 agosto contengono DRAGHETTI, "Riflessioni alle critiche fatte dall'Efemeridi romane ne' due Articoli all'Psychol. specim. ab Andrea Draghetto"). Di tale polemica si trattera con pi c dettaglio nel ? 2. 1.

II DRAGHETTI, Replica, pp. 38-9. Data la quinta 300:200, il suo rapporto temperato 299:200 risulta ad esempio piui "incommensurabile" di quello pili fortemente temperato 298:200 (= 149:100).

12 Cfr Patrizio BARBIERI, "'Galileo's' coincidence theory of consonances, from Nicomachus to Sauveur", Recer- care, XIII (200 1).

13 DRAGHETTI, Replica, pp. 43-4.




Dopo la Risposta del 1772, Sacchi decide di non replicare ulteriormente, per cui la polemica finisce Ii. Solo nel 1788, un anno prima della morte, inserir' un fuggevole cenno alla questione nel suo Specimen theoriae musicae, ribadendo le convinzioni gia espresse. In esso, al posto della curva di Draghetti, riproporra anche di adottare I'iperbole di Fig. 3: come si vede dalla didascalia di Fig. 4, tale iperbole non e per6 altro che una ingegnosa rappresentazione grafica della scala musicale.'5 Da parte sua Draghetti - il cui ordine

religioso era stato soppresso nel 1773 - ristampera il suo Psychologiae specimen nel 1818, senza per6 suscitare nuove reazioni.'6 Morira a Vienna nel 1825, quasi novantenne. Nel

complesso bisogna riconoscere che la controversia tra i due religiosi rimase sempre entro i binari di un'assoluta moderazione e correttezza.

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A . 3h 4;A *,A IS b c 1 e 8c- f- 9 i m I L

Fig. 3 - Giovenale Sacchi (1771-1788): estrazione delle note della scala musicale dall'iperbole (vedi anche Fig. 4).

2. La curva di Draghetti nella censura dei letterati europei, della Chiesa e dei teorici musicali

2. 1. Le censure a stampa - Le recensioni dello Psychologiae specimen apparse nel 1771 sul Nova Acta Eruditorum di Lipsia e sul francese journal Encyclopedique si soffermano

soprattutto sull'apparato filosofico dell'opera, giudicato - non senza ragione - "assai oscuro". Lultimo dei periodici citati, riferendosi in una successiva puntata del 1772 all'intera

14 Andrea DRAGHETTI, "Riflessioni alle critiche fatte dall'Efemeridi Romane", pp. 254-5. Questo breve articolo e I'ultimo in assoluto relativo alla querelle.

15 Giovenale SACCHI, Specimen theoriae musicae, Bologna, Ex Typographia Instituti Scientiarum, 1788, pp. 10-13. Tale iperbole - gia presente in SACCHI, Risposta, pp. 15-6 - era stata criticata da DRAGHETTI, Replica, p. 93.

16 Psychologiae specimen auctore Andrea Draghetti S.J. professore in Collegio Braidensi, Parma, exTypogr Paganino, 1818, in due volumi. Lordine dei Gesuiti era stato ristabilito nel 1805, da Pio VII.




B C D-

A 1 2 3 45 6 x

Fig. 4 - Schematizzazione dell'iperbole di Fig. 3. I singoli intervalli musicali si intendono espressi in lunghezza di corda vibrante, entro i termini dell'ottava I - 1/2 (la scala delle ascisse e doppia rispetto a quella delle ordinate). Dato un generico rapporto musicale y = a:b, il suo complemento all'ottava sara x = I /(2y): quest'ultima e I'equazione dell'iperbole di figura. Sull'asse y Sacchi fissa (arbitrariamente) i rapporti dall'unisono alla quarta, per cui sull'asse x non possono che trovarsi i corrispondenti complementi all'ottava:

asse y asse x AB = I (unisono) Al = 1/2 (ottava) AC = 15/16 (semitono diat.) A2 = 8/ 15 (settima maggiore) AD = 8/9 (tono) A3 = 9/16 (settima minore) AE = 5/6 (terza minore) A4 = 3/5 (sesta maggiore) AF = 4/5 (terza maggiore) A5 = 5/8 (sesta minore) AG = 3/4 (quarta) A6 = 2/3 (quinta)

Tutte le note della scala sono quindi reperibili sull'iperbole, assieme ai loro rivolti. Sacchi sostiene che I'analogia musicale di tale schematizzazione e confortata dal fatto che l'ottava in questione, su tale curva, pu6 essere trasposta a piacere verso il grave o verso I'acuto. Con ci6 egli non fa per6 altro che presentare una costruzione grafica dell'operazione aritmetica descritta, senza dimostrare che l'orecchio effettivamente esige che i gradi della scala siano disgiunti (anzi, la continuitA della curva suggerirebbe piuttosto il contrario).

querelle, si schiera per6 nettamente a favore di Draghetti.'7 Tale repentina inversione di marcia e in sintonia, anche come scelta lessicale, con una recensione assai favorevole della

17 Nova Acta Eruditorum, 177 1, pp. 343-6 (la recensione, in lingua latina, fa rilevare che Draghetti si e servito di uno stile non certo ciceroniano, con molti italianismi e francesismi, ostici per un tedesco);Journal Encyclopedique, VIII-2 (1771), pp. 312-3 ("on parle fort confusement de choses tres-obscures dans cette brochure, oc I'on ne comprend rien"). Ben diverso e il tono della recensione successivamente apparsa sul tomo V-I (1772) pp. 149-50 di quest'ultimo periodico, dove lo stesso trattato improwisamente diventa "ecrit d'une maniere egalement claire et profonde, et avec une latinite exquise"; la Replica di Draghetti inoltre e giudicata "une replique decisive".




Replica di Draghetti apparsa nel dicembre 1772 sull'autorevolejournal des Savants; in essa viene sottolineato che Draghetti ha fatto vedere che "la scala e i gradi di intonazione della musica erano soggetti alla legge di continuita, cosi come tutti gli oggetti del piacere o del dolore sensibile", tesi in opposizione alla quale la Risposta di Sacchi viene giudicata "poco concludente".'8 Atteggiamento favorevole al Gesuita assume anche la Gazzetta letteraria di Milano.'9

Radicali critiche a Draghetti, questa volta di carattere dottrinario e teologico, compari- ranno per6 nel 1773, sul modenese Nuovo Giornale de' letterati d'ltalia e sulle Effemeridi letterarie di Roma. Esse verteranno proprio sull'estensione al "piacere" e al "dolore" sot- tolineata dal journal des Savants.

II primo dei due periodici italiani dedica pi' di una sessantina di pagine alla questione.20 La boscovichiana legge di continuita - viene detto - non solo 6 inestensibile al mondo metafisico, ma non 6 di validi-t generale neanche in quello fisico (a riprova, in campo acustico vengono portate ad esempio le armoniche 'discrete' emesse dalla corda vibrante). Le "cose metafisiche" a rigore non potrebbero neanche essere soggette a misura, dato che in esse "non vi 6 alcuna idea di grandezza".2' Viene percib criticato anche un illustre autore citato da Draghetti, Leonardo Eulero,"che considera le consonanze, e le dissonanze

quasi altrettante grandezze": chiaro riferimento alle formule con cui il matematico svizzero aveva quantizzato il "gradus suavitatis" degli intervalli musicali. Forse non prevedendo I'importanza che le "matematiche espressioni" avrebbero in futuro assunto anche in campo economico e sociale, I'anonimo recensore soggiunge:22

Gli esempi di chi volle trasportare alle metafisiche cose le matematiche espressioni, e con curve, e con formole sviluppare la teoria del commercio, rappresentare I'accrescimento, e la decadenza delle scienze, i progressi dello spirito umano, ed altre si fatte cose, in vece d'incoraggire, doveva allontanare I'Autore dal proporre la sua curva musica. Simili ghiribizzose espressioni delle qualitA trasportate ad altri enti, che non hanno con quelle relazione alcuna fissa, portano a conseguenze false, ed inintelleggibili. La smania di parlare sempre in tuono matematico ha corrotta la semplicitA del linguaggio, ed oscurata non poco la precisione delle idee metafisiche.

18 Le journal des S5avans, dicembre 1772, pp. 817-8 e 867-70. Nella prima sezione si legge:"Cet Auteur a fait voir dans un essai de psychologie, 6crit solidement, avec clart6, et dans un Latin de la derni re puretC, que la gamme et les degres d'intonation de la musique, 6toient assujettis A la loi de continuit6, ainsi que tous les objets du plaisir ou de la douleur sensible; le R Sacchi, Barnabite, a r6pondu au P? Draghetti, mais d'une maniere peu concluante".

19 Gazzetta letteraria, n0 26 (24 giugno 1772), pp. 201-02 (recensione della Replica di Draghetti).Vedi inoltre il numero del 7 febbraio 1772, in cui vengono recensiti lo Psychologiae specimen e la relativa Risposta di Sacchi (pp. 51-3).

20 Nuovo Giornale de' letterati d7talia, IV (luglio-agosto 1773), pp. 198-260 (sull'intera vicenda). 21 Ibidem, pp. 236-9. 22 Ibidem, pp. 248-9. Questo passo verra in parte plagiato da Giuseppe BERTINI, Dizionario storico-critico degli scrit-

tori di musica [...], II, Palermo,Tipopgrafia Reale di Guerra, 1815, pp. 106-07 (voce "Draghetti, Andrea").




In tale critica traspare evidente il timore che le "matematiche", dopo aver abbattuto alcuni dogmi della fisica e della cosmologia cari alla Chiesa, passassero a compiere opera analoga anche nei riguardi della metafisica, dell'attivita sensoriale e della stessa morale.

Questo timore e esposto in termini ancora piu espliciti, fino ad assumere il carattere di una velata accusa di eresia, nell'anonima recensione apparsa il mese precedente sulle romane Effemeridi:23

[...] questa legge di continuita, che non 6 altro alla perfine, che una nostra maniera limitata di riguardare gli oggetti, la quale non 6 quella sicuramente, che ha seguito I'Autore della natura, legge smentita da mille fenomeni della natura medesima [...] questa legge di continuitA, dissi, che indistintamente dal fisico, al metafisico, ed al morale si trasporta, sembra, che cosi illimitatamente applicata possa condurre a un fatalismo, o ad un materialismo, dal quale per altro e ben lontano il N[ostro] A[utore].

Nella sua risposta, subito apparsa sulle stesse Effemeridi, Draghetti si affretta a confer- mare di essere "ben lontano dal materialismo, e fatalismo". Aggiunge per6 che le critiche rivoltegli, a differenza di quelle apparse su "altri giornali italiani, ed oltramontani", gli sono sembrate sostanzialmente "senza prove".24 Riferendosi alla legge di continuita, gia nell'anno precedente si era comunque azzardato ad affermare che lo stesso Boscovich "venne gui- dandola pel corporeo universo, e segn6 le tracce, onde condurla eziandio all'incorporeo regno, ed animato".25

Da quanto visto, possiamo ritenere che le tesi propugnate da Boscovich e da Draghetti non dovettero certo costituire un elemento a favore nel processo a carico dei Gesuiti, il cui ordine - per una strana coincidenza - fu soppresso proprio nel 1773, da Clemente XIV.

2.2. Le censure dei teorici musicali - Della soprammenzionata controversia rimane traccia anche nell'epistolario di alcuni musicisti e teorici dell'area bolognese-padovana.

Nei primi mesi del 1773 tal Andrea Roberti degli Almeri, di Senigallia (Ancona), riassume i termini della questione in una lettera indirizzata a padre Francescantonio Vallotti, maestro di cappella della Basilica del Santo, a Padova, e gli chiede un parere a riguardo. La risposta di Vallotti, del 28 maggio successivo, non contiene alcun elemento scientifico di rilievo. Traspare solo un'evidente insofferenza nei confronti dei fisico-matematici aventi ambizioni musicali (il ricordo delle sue recriminazioni in tale settore nei confronti del fisico acustico trevigiano Giordano Riccati doveva essere ancora vivo). Pur non prendendo decisamente partito per alcuno dei due contendenti, afferma: "dir6, che il P Draghetti a mio parere s'oppone piui al vero". Concludendo poi:

23 Efemeridi letterarie di Roma, 1773: pp. 180-8 1. 24 DRAGHETTI, "Riflessioni alle critiche fatte dall'Efemeridi romane", pp. 246 e 254. 25 DRAGHETTI, Replica, p. 5.




"Dovrebbero Ii metafisici, e Ii matematici, novizzj nella musica, astenersi da tutto ci6 che non e a loro portata, impiegando solamente il loro talento nelle ricerche ad essi spettanti".

Una delle ricerche daVallotti auspicate riguarda un aspetto psicofisico del temperamento, tema sul quale da anni lui stesso stava investigando: "Quali sieno i limiti, o gradi di alterazione e diminuzione che non distruggono il piacere delle consonanze". Settore nel quale, come vedremo nel ? 4, Filippo Fodera sara il primo a effettuare rilevamenti statistici

sperimentali.26

Nel luglio successivo Andrea Roberti degli Almeri sottopone la stessa richiesta al bolognese padre Martini, facendosi bello anche di alcuni dei temi di ricerca suggeritigli da Vallotti (e guardandosi bene dal riconoscergliene la paternit).27 Non sappiamo quale sia stata la risposta; sappiamo per6 che il 18 marzo 1772 Giovenale Sacchi aveva inviato a

padre Martini - senza sollecitare alcun parere, con superiore distacco - ci6 che quest'ultimo gli aveva richiesto: una copia dello Psychologiae specimen di Draghetti (alla quale allega la sua Risposta).28

Fra le persone con cui Sacchi era in amichevole rapporto epistolare figurava anche il gia citato Giordano Riccati, il quale - in una lettera a lui indirizzata, della quale ci e pervenuta la sola minuta, non datata - si dichiara contrario alla legge di continuita dell"'ingegnoso Padre Draghetti", chiamando fra I'altro a supporto i salti di nota osservabili nella scala delle "trombe marina, e da fiato".29 A riguardo, Riccati afferm6 sempre di non condividere alcuna delle teorie fisiche e aritmetiche fino ad allora formulate, prendendo atto delle consonanze come puro dato di esperienza empirica.30 Anzi, in una sua lettera a Tartini viene fatto rilevare come I'esclusione dei rapporti irrazionali dalla scala musicale fosse un assunto ancora in attesa di dimostrazione.3' In ci6 comunque gia preceduto dal matematico olandese Simon Stevin (1605-8) e, in certo qual modo, daVincenzo Galilei (158 1).32

26 Entrambe le lettere sono conservate a Padova, Biblioteca Antoniana, Ms. 544.A.Vl, Fasc. 7, n? 39A-B. Quella

di A. Roberti non e datata. 27 Bologna, Civico Museo Bibliografico Musicale, Ms. H.84.150: Andrea Roberti degli Almeri ("Sinigaglia", 6

luglio 1773) a Giambattista Martini (Bologna). 28 Bologna, Civico Museo Bibliografico Musicale, Ms. 1.10.18: Giovenale Sacchi ("Milano, Collegio Imperiale",

18 marzo 1772) a Giambattista Martini (Bologna). 29 Udine, Biblioteca Civica, Ms. 1025-IV, pp. 289-9 I1: G. Riccati a Giovenale Sacchi (Milano). 30 Sull'argomento cfr. Patrizio BARBIERI,'"La 'Nuova teoria di musica' di Alessandro Barca in un inedito esame di

Giordano Riccati (1786-90)", Studi in onore di Giulio Cattin, a cura di Francesco Luisi, Roma,Torre d'Orfeo, 1990, pp. 159-76: 163-4.

31 Giordano RIccATI,"Esame del sistema musico del Sig. GiuseppeTartini. Dissertazione acustico-matematica", Continuazione del Nuovo Giornale de' letterati d'ltalia, XXII (1781), pp. 169-227: 192-3; Patrizio BARBIERI, "11 sistema armonico di Tartini nelle'censure' di due celebri fisico-matematici: Eulero e Riccati", Tartini. II tempo e le opere, a cura di Andrea Bombi e Maria Nevilla Massaro, Bologna, II Mulino, 1994, pp. 321-44: 330.

32 BARBIERI, "'Galileo's coincidence theory of consonances", ? 3. 1.




Come si e visto, da parte dei teorici musicali affiora una posizione conservatrice o agnostica, per cui il loro apporto scientifico alla controversia pu6 ritenersi irrilevante.

3. Filippo Foder- (1832-37): epigono di Draghetti o anticipatore di Helmholtz?

Parra strano, ma il primo ad avere concretizzato I'intuizione di Draghetti - e ad avere di fatto anticipato la celebre curva delle consonanze di Helmholtz - fu un oggi dimenticato awocato penalista palermitano,"fra i pid illustri che vantar possa la scienza della legislazione nella prima metA dell'Ottocento".33 Filippo Fodera stesso ci fa sapere come i suoi maggiori interessi si spostarono sull'acustica: per fare riposare la mente, assai affaticata dagli indefessi studi in campo legale, aveva iniziato a praticare il violino, ma successivamente - libro dopo libro - si appassion6 soprattutto agli aspetti fisici della musica.4 A conferma di ci6 ci rimangono diversi suoi manoscritti, per un totale di ben oltre un migliaio di pagine, contenenti estratti e appunti relativi alle teorie dei pid svariati autori: fra di essi, uno tratta proprio Delle teorie armoniche del padre Draghetti e del padre Sacchi.35

Verso il 1832 Fodera era giA in grado di dare awio a sue ricerche originali nel settore e nel 1833-4 inizi6 a redigere un trattato in tre libri sulla Scienza dell'armonia per nuove vie condotta sotto le leggi generali dell'acustica. Ancora incompiuto nel 1837, di esso ci e pervenuto il manoscritto dei primi due libri, il secondo dei quali, quasi portato a compimento, contiene le ricerche sulla teoria delle consonanze che verranno analizzate in dettaglio nel ? 4 del presente articolo.Tali ricerche sono limitate alle diadi (che lui chiama "difonie"), ma dovevano venire estese alle triadi ("trifonie") e a tutti gli accordi in generale.36 Malaugura- tamente Fodera morn non ancora quarantasettenne, falciato dal virulento colera dell'estate 1837, quando il primo libro del trattato era gia pronto per la stampa.7

33 Nato a "Girgenti" (oggi Agrigento) il 9 settembre 1789, gia nel 1812-3 era in grado di pubblicare - a Palermo, in due volumi - i Principi della legislazione criminale, e della riforma de' codici criminali:

cfr. Gioac-

chino DI MARZO, I manoscritti della Biblioteca Comunale di Palermo [...], a cura di E. Stinco, Palermo, Castiglia, 1934, vol. II, Parte I, p. 196. Nella Biblioteca Comunale di Palermo sono conservati tutti i manoscritti che verranno in seguito citati.

34 Cfr. Palermo, Biblioteca Comunale, Ms. 2Qq.E.85: Scienza dell'armonia per nove vie condotta sotto le leggi generali dell'acustica, seguita dalla storia delle principali teorie armoniche, dall'awocato Filippo Foderb. Tomo I. Sempre nell'lntroduzione, I'autore fa inoltre riferimento all"'opera che gia da ventun'anno stampai sulla criminale legislazione", il che ci permette di datare il manoscritto intorno al 1833-4.

35 DI MARZO, I manoscritti, pp. 197-8. Lestratto citato si trova nell'interno 14 del Ms. 2Qq.E.84: Filippo FODERA, Estratti di teorie musicali de' moderni, in gran parte autografo. Circa 800 pagine di appunti sull'acustica tratti da vari autori si trovano inoltre nel Ms. 2Qq.E.87: Filippo FODERA, Estratti di acustica.

36 Per il titolo esatto e la datazione cfr nota 34. Sull'argomento cfr.

anche DI MARZO, I manoscritti, pp. 198-202 (il trattato e suddiviso in tre volumi in foglio: Mss.: 2Qq.E.85, 86a, 86b).

37 Su "II colera del 1837" cfr.

Francesco MAGGIORE-PERNI, Palermo e le sue grandi epidemie dal XVI al XIX secolo, Palermo, Virzi, 1894, pp. 210-57. A p. 248 I'autore fa rilevare che la storia delle moderne epidemie non presenta un simile tasso di mortalita: in circa due mesi (dal giugno all'agosto) fu registrato il decesso di quasi il 14% della popolazione (e cie 24.014 morti su 173.478 abitanti). Oltre alla scomparsa del "valente penalista" di cui ci stiamo occupando (awenuta il 5 luglio), viene segnalata anche quella del fisico Domenico Scin' (p. 246).




Nonostante fosse soprattutto noto come "principe del foro palermitano" e avesse pubblicato innumerevoli orazioni in difesa dei suoi assistiti, egli andava ripetendo che il lavoro "sul quale dovea stabilirsi la sua gloria maggiore" era appunto la Scienza dell'armonia. II suo biografo, Emanuele Viola, nel 1838 soggiunge:38

Per6 diceva grande essere stata la sua intrapresa, grande il travaglio che glien'era costato, e grande ancora dover essere la gloria, che doveva tomargliene; perocch&, quando pur nella invenzione del vero principio dell'armonia si fosse egli ingannato, era stato sempre quello un tentativo di altissimo conce- pimento, talche nello stesso errore si sarebbe conosciuta la grandezza del suo inventore ingegno.Tali erano le parole che di sua bocca ripeteva egli stesso sul conto di un lavoro, che ebbe ad occuparlo per ben sei anni nelle piUi astruse ricerche.

4. La curva di Fodera

Partendo dal presupposto che "sembra cosa indegna di seria confutazione il volersi

assegnare un principio metafisico all'armonia", il nostro autore si propone di calcolare le coordinate che finalmente permettano una "costruzione meccanica" della curva ipotizzata da Draghetti nel 1771.39 Nel corso del presente paragrafo vedremo che tale sua ricerca si basa principalmente su:

(I)principi fisici, quali: la 'teoria delle coincidenze' (che anche lui attribuisce a Galileo), il fenomeno dei battimenti, e - convinto della sua pertinenza - anche quel particolare tipo di oscillazioni forzate oggi noto come "Mitnahmeeffekt" o, presso gli accordatori d'organo, semplicemente "tiraggio" (cioe il reciproco spontaneo accoppiamento di due suoni - leggermente sfalsati fra loro in frequenza e fase - fino a riunirsi in uno solo, con conseguente sincronizzazione delle vibrazioni e annullamento dei battimenti);40

(2)rilevamenti statistici su ascoltatori selezionati: "la seconda nostra guida sara lo sperimento. Di questultimo, giudice supremo e I'orecchio".4' Anteriormente, rilevamenti del

genere sembra fossero stati effettuati dal solo Charles Delezenne (1826-27).42

Passiamo ora a esaminare le tappe di questa sua indagine. Per maggiore chiarezza, i dati relativi alle lunghezze di corda vibrante, di cui spesso si serve, sono stati convertiti nei moderni cents (un cent e acusticamente pari alla 1200a parte dell'ottava).

38 Citato in DI MARZO, I manoscritti, p. 20 1. 39 Palermo, Biblioteca Comunale, Ms. 2Qq.E.86a:

FODERA,, Scienza dell'armonia [..J. Tomo II, ?? 406 e 503. I fogli

del manoscritto non sono numerati, per cui i luoghi citati verranno indicati col solo paragrafo. II segno ?, in assenza di ulteriori indicazioni, per tutta la rimanente parte del presente articolo fara tacitamente riferimento a detto manoscritto.

40 Per una trattazione quantitativa a riguardo cfr: Diego GONZALEZ, Davide BONSI, Domenico STANZIAL, "Non- linear modelling of the 'Mitnahmeeffekt' in coupled organ pipes", Musical sounds from past millennia - Pro-

ceedings of the International Symposium of Musical Acoustics 2001 (ISMA 2001), ed. Davide Bonsi, Diego Gonzalez, Domenico Stanzial,Venezia, FSSG-CNR c/o Fondazione Giorgio Cini, 2001, pp. 333-7.

41 Ms. 2Qq.E.86a, ? 41 I. 42 Natasha SPENDER, "Psychology of music. I-II1", The New Grove Dictionary of Music and Musicians, XV, London,

Macmillan, 1980, pp. 388-421: 389.




4. I.Anche se non indispensabile al fine che si propone, Fodera inizia col valutare il numero massimo di microintervalli per ottava che il nostro orecchio e in grado di distinguere, parametro oggi noto come "soglia differenziale per la sensazione di altezza". "Chiamando molte persone a giudicarne in tempi diversi e variando in mille maniere il metodo di sperimentare", lo identifica in 1/300 di lunghezza di corda vibrante, cioe nel rapporto armonico 300:299. Poiche quest'ultimo corrisponde a 5.78 cents, una ottava ne conterri 207.60 (= 1200/5.78), valore che approssima a 207.50 per ragioni di comodita di calcolo.43 Tale sua unita si inserisce fra due altre da lui subito prima prese in esame: quella di Tartini (rapporto 225:224, pari a 7.7 cents) e di Sauveur (rapporto 435:434, pari a quasi 4 cents).44 Oggi sappiamo che la soglia differenziale di altezza ha un valore che dipende fortemente anche dal timbro, dall'intensita sonora e dalla banda di frequenza in cui viene effettuato il rilevamento: tutte le tre unita ora menzionate sono comunque approssimativamente in accordo con quelle relative alla banda di massima sensibilita dell'orecchio.45

Da quanto visto, il sistema proposto da Sauveur portava a una ottava divisa in 301 parti, ognuna delle quali era stata da lui battezzata"heptameride" e assunta come unita di misura logaritmica degli intervalli musicali. Fodera decide evidentemente di imitarlo, poiche a sua volta divide I'ottava in 207.50 "gradi logoritmici". Per il calcolo dei sistemi temperati mostra per6 di servirsi di un "logoritmo armonico" otto volte pi' piccolo, dividendo I'ottava in 1660 (= 207.50x8) parti uguali. Le 1660 corrispondenze numeriche fra ciascuna di queste due ultime unita e le lunghezze di corda vibrante sono da lui accuratamente computate nelle tavole di un apposito manualetto, anch'esso rimasto manoscritto.46

4.2. Risolto questo sia pure inessenziale problema, Fodera passa a quello relativo al grado di consonanza degli intervalli musicali, affrontando per prima cosa il punto pih debole delle teorie fino ad allora formulate, che abbiamo visto risiedere nelle consonanze temperate.

43 Ms. 2Qq.E.86a, Cap. 2 ("Del rapporto del numero delle vibrazioni con la graduata alterazione di un corpo sonoro vibrante. Genesi del logoritmo armonico"), ? 417.

44 Evidentemente egli si rifa, rispettivamente, a: Giuseppe TARTINI, De' principi dell'armonia musicale contenuta nel diatonico genere, Padova, Stamperia del Seminario, 1767, p. 85 (Tartini in realtt si limita ad affermare che tale intervallo, nelle usuali condizioni non awertibile dall'orecchio, solo tramite I'ausilio del "terzo suono" pu6 essere perfettamente intonato da un esperto violinista); Joseph SAUVEUR, "Systame general des intervalles des sons [...]", Histoire de /Acaddmie Royale des Sciences, avec les memoires [...],Annee 1701 (ed. 1743), pp. 299-366 delle Memoires: 307, assume I"'eptam6ride" (= 1200/301 cents), quasi perfettamente corrispon- dente al rapporto 435:434, come unitA di misura logaritmica degli intervalli musicali (ma per ragioni legate al temperamento musicale da lui adottato, e non alla soprammenzionata soglia differenziale di altezza).

45 Pietro RIGHINI, Lessico di acustica e tecnica musicale, Padova, Zanibon, 1987, pp. 193-6. 46 Palermo, Biblioteca Comunale, Ms. Qq.G. 100: Filippo FODERA, Logoritmo armonico di termini ftongometrici

sedici mille seicento sessanta o sieno gradi /660 e di minuti dieci per ciascun grado (36 fogli numerati). Le tabelle contengono anche fattori di interpolazione per i centesimi di grado (= "gradi secondi").Vengono inoltre riportati i valori corrispondenti ad alcuni noti rapporti armonici, come la "quinta moderna" (cioe pura, di 971 I1/3') e quella "di Rameau" (cioe del temperamento equabile, di 9680 3'2/7). Logaritmi armonici relativi a differenti intervalli sono anche tabulati nelle 57 pagine del Ms. Qq.G. I01: Filippo FODERA, Scienza fondamentale d'armonia.




A tale riguardo si propone di valutare il grado di deterioramento delle varie consonanze

quando la lunghezza di corda vibrante di una delle due note che le compongono viene alterata del ? I%.Tale valore e da lui scelto perch&, secondo esperienze compiute con un sonometro a due corde e un cronometro, in virtu della "simpallocrazia" (cosi lui designa il

soprammenzionato "Mitnahmeeffekt") I'unisono continua a rimanere tale anche se la fre-

quenza di uno dei due suoni che lo compongono viene alterata appunto fino al I%.7

Sulla base di rilevamenti statistici effettuati servendosi anche del violino, trova che - in

corrispondenza di tale alterazione - gli intervalli piu danneggiati sono quelli piu consonanti, a causa del maggiore aumento del numero di battimenti (che lui chiama "borboglia- mento" o anche "rigonfiamento del suono").48 La meccanica di tale fenomeno non sembra

comunque essergli chiara, ne e in grado di ridurlo a calcolo, anche perche nella sua analisi non tiene conto delle armoniche, e quindi del timbro strumentale. Con criteri numerici che lui stesso ammette essere in certa misura soggettivi, pu6 per6 cosi quantizzare il grado di deterioramento di alcune delle principali consonanze:

unisono = 1:4.210

quinta = 1:2.093

quarta = 1:1.31 1

sesta maggiore = 1: 1.035

terza minore = 1:1.008

(Per la terza maggiore e la sesta minore la situazione gli appare invece meno chiara.)

Tale sua dimostrazione sperimentale che i rapporti piu' consonanti sono proprio quelli meno in grado di sopportare il temperamento lo porta a una prima importante conclu- sione, alla quale nessun altro autore aveva precedentemente fatto cenno. Essa consiste nella giustificazione psicofisica delle accordature che alterano le quinte meno delle terze e seste, come ad esempio il temperamento equabile, allora non ancora generalmente accettato in Italia:49

47 Ms. 2Qq.E.86a, Cap. 3 ("Della simpallocrazia"). Nel ? 421 spiega che tale termine e stato da lui coniato "dall'accozzamento dei greci vocaboli, che significano forza vittoriosa delle convibrazioni, ossia delle vibrazioni simultanee". Nel ? 422 precisa poi che il cronometro era quello stesso di cui si era servito il noto astronomo Giuseppe Piazzi (1746-1826), presso I'osservatorio di Palermo.

48 Ms. 2Qq.E.86a, Cap. 3, ?? 423-426. I risultati delle "prove fatte co' violini a 26 settembre 1834" sono tabulati nel Ms. Qq.G. 102: Filippo FODERA, Su I'arte di suonare il violino, cc. 50r-5 Iv, dove si precisa se i vari intervalli sono piu o meno "scordanti".

49 Ms. 2Qq.E.86a, ? 426. Gia nel Tomo I della Scienza dell'armonia (Ms. 2Qq.E.85, ? 252) aveva anticipato che

I'alterazione delle consonanze del temperamento equabile "sarA ragionata a suo luogo secondo i nuovi

principj della scienza". Detta dimostrazione 6 invece sempre stata attribuita a Hermann Helmoltz: cfr Jean BOSQUET, "Les deux temperaments de dom Bedos de Celles et I'accord des instruments a clavier", La fac- ture de clavecin du XVe au XVIIIe sicle. Actes du Colloque international de Louvain, Louvain-La-Neuve, Institut

superieur d'archeologie, 1980, pp. 89-109: 100.




In garanzia delle veri-t sinora spiegate pu6 prontamente osservarsi come esse sono in perfetta armonia con la sperienza, e parra certamente cosa stupenda trovare questi stessi limiti di alterabilit', formare, presso a poco, la base del temperamento uguale promosso dal celebre Rameau, e comunemente seguito in Francia, ed in tutto il Nord dell'Europa.

E ci6 in base alle "sperienze" la cui effettuazione, come abbiamo visto nel ? 2, gia nel 1773 era stata auspicata da Vallotti. A riguardo c'e da osservare che Robert Smith - nonostante anch'egli avesse individuato nei battimenti la fonte della dissonanza e avesse fornito delle corrette formule per calcolarne il numero - nel 1749 si era invece dimostrato di parere opposto: una quinta pu6 sopportare un temperamento di maggiore entita rispetto a una sesta maggiore, poich6 quest'ultima batte piC' rapidamente di una quinta avente la stessa nota base e lo stesso temperamento; per cui,"contrariamente all'opinione comune", I'entita dell'alterazione che una consonanza pu6 sopportare, senza cio6 che i battimenti prodotti divengano troppo rapidi, cresce proporzionalmente al suo grado di semplicita. Evidentemente tale autore non aveva tenuto conto delle dissonanze introdotte da tutti gli armonici, ne - contrariamente a quanto fatto da Fodera - aveva sottoposto al giudizio degli ascoltatori le sue deduzioni teoriche.50

4.3. Gia in precedenza Fodera aveva individuato nell'ambito dell'ottava 53 intervalli armonici, distanziati gli uni dagli altri a intervalli di 15-25 cents, in modo da campionarla con una certa uniformita. Di ciascuna di tali "difonie sensibili" passa poi a calcolare - basandosi anche sui risultati di cui al ? 4.2 - il parametro che chiama "grado di asprezza" o "monade armonica".s' A tale fine elabora ben sette formule algebriche razionali (? 461), ciascuna di esse destinata a un particolare genere boeziano di rapporti (superparticolari e superparzienti di differenti specie). Le variabili presenti in tali formule sono unicamente costituite dai due temini del rapporto armonico che ciascuna di esse viene di volta in volta chiamata a valutare. Esse sono quindi reminiscenti di quelle che caratterizzano le teorie puramente aritmetiche di Leonardo Eulero (1739) e Alessandro Barca (1789), autori che Fodera ben conosceva.52 Ad esempio, per gli intervalli di quinta (a:b = 2:3), quarta (3:4), terza maggiore (4:5) e terza minore (5:6) si serve di

a(a + b- 2) 2(a - 1)

50 Anche I'abb6 Dro~iyn - al fine di giustificare il temperamento allora in uso, il "quarto di comma" - gia verso ii 1705 aveva sostenuto tesi analoga a quella di Robert Smith: su tali autori cfr.Patrizio BARBIERI, ACUStia accordatura e temperamento nell'llluminismo veneto [...], Roma,Torre d'Orfeo, 1987, pp. 123-4.

51 Ms. 2Qq.E.86a, Cap. 6 ("Della monade armonica delle difonie"). 52 Le quattro memorie pubblicate da Barca sulla sua Nuova teoria di musica (1786-1809) si trovano infatti

trascritte nel Ms. Qq.G. 103: Filippo FODERA, Studi su quattro memorie sopra una Nuova teoria di musica. Sulle teorie aritmetiche degli autori citati

cfr. BARBIERI, Acustica accordatura e temperamento, pp. 83-4 e 87-9.




mentre per il rapporto dissonante 7:8 la formula precedente viene modificata mediante un termine additivo:

a(a +b - 2) 1

2(a - 1) 2b - a

Tale criterio aritmetico - gia di per se piuttosto arcaizzante e, come vedremo in Tabella I, non scevro da successivi parziali aggiustamenti - viene ulteriormente reso piC' nebuloso dal fatto che 12 delle 53 difonie vengono da lui definite "assolute" (perche non risentirebbero della presenza di quelle circostanti), mentre le rimanenti 41 verrebbero invece "raddolcite dalle vicine consonanze".53 I gradi di asprezza definitivi sono riportati in Tabella 1.54

La indubbia arbitrarieta dei criteri di calcolo adottati doveva comunque essere stata pro- grammata in modo tale da risultare in accordo con i numerosi rilevamenti sperimentali da lui effettuati. Infatti, oltre a quelli condotti "con abili professori di violino", Fodera si servi anche di un "organetto" (a canne graduate e tappate con un pistone scorrevole) e di uno

speciale pianoforte, accordato mediante I'ausilio di un monocordo (? 469): Feci costruire un pianoforte con cinquantatre tasti per le cinquantatre difonie sensibili [...] Giudici dello sperimento sono stati professori abilissimi, accordatori esperitissimi di pianoforte, ed altre persone di buon orecchio.

Come abbiamo visto, egli e quindi in grado di riportare - per ciascuno dei 53 intervalli in questione - sia il giudizio qualitativo degli ascoltatori, sia il relativo grado di asprezza derivante dal calcolo, due dati prevedibilmente in buon accordo fra loro.

4.4. Ottenuti tali valori, Fodera pu6 finalmente annunciare (? 503): La determinazione delle serie delle difonie sensibili con I'assegnazione delle rispettive monadi armoniche rende agevole la costruzione di una curva geometrica per rappresentare la corda sonora nelle sue variazioni di consonanze e di dissonanze. Molto fu questionato su questa curva tra il Padre Sacc[h]i, e'l Padre Draghetti, e vi si mischi6 pure I'insigne matematico Giordano Riccati, ma mancando loro gli elementi di queste determinazioni, non

presentavano, che progetti di posizioni congetturali, e di gratuite asserzioni, anzi pareva a tutti impossi- bile il venire ad una costruzione meccanica di tale curva, che avesse presentato le rigorose matematiche misure, che non sapevansi determinare. La nostra serie delle difonie sensibili ci ha reso facile questa costruzione. Osservatene laTavola.

53 Ms. 2Qq.E.86a, Cap. 7 ("Teoria delle difonie calcolate nei limiti di un'ottava"), ? 467. Nel ? 470 riporta le

impressioni manifestate dai partecipanti in occasione dei suoi rilevamenti statistici sul grado di "soavit'" o di "asperita" delle singole difonie. Per circa un centinaio di ingarbugliate pagine indaga poi sulla presunta influenza delle monadi fra loro, cercando invano di ridurla a formula.

54 Essi sono stati tratti dalla Fig. 3 e dalle Tabelle relative alla "Gradazione simpallocratica delle difonie nella ascensione di un'ottava", in calce al Ms. 2Qq.E.86a. In queste ultime si nota, come gia preannunciato, che alcuni dei valori di "asprezza" - in un primo tempo calcolati con le formule del ? 461 - sono stati successivamente ritoccati: quello dell'intervallo di quinta passa infatti da 3.00 a 2.50 e quello di quarta da 4.50 a 3.75. I relativi calcoli si trovano nella prima parte del voluminoso Ms. 2Qq.E.86c: Filippo FODERA, Cacoli delle difonie sensibili. Nello stesso passa poi a quello relativo agli accordi.




Tabella I - Filippo Fodera (1832-7): grado di dissonanza (diss.) per 53 intervalli dell'ottava

o :b I cent diss. no a:b I cent diss.

I 1:1 1000 0.0 0.00 27 7:10 700 617.5 8.46

2 986 24.4 7.04 28 689 644.9 9.26

3 978 38.5 12.24 29 681 665. I1 8.78

4 970 52.7 13.88 30 675 680.4 6.75

5 960 70.7 15.78 31 2:3 666 702.0 3.00-2.50 6 951 87.0 15.82 32 656 729.9 7.30 7 941 105.3 13.93 33 651 743. I1 8.40

8 932 121.9 12.38 34 646 756.5 9.32 9 922 140.6 11.15 35 637 780.8 7.06 10 913 157.6 10.07 36 5:8 625 813.7 5.62

II 903 176.6 9.19 37 614 844.4 6.34 12 890 210.7 8.53 38 607 864.3 7.19 13 7:8 875 231.2 8.42 39 3:5 600 884.4 6.34 14 6:7 857 266.9 6.38-6.60 40 591 910.5 8.00

15 845 291.6 6.29 41 7:12 583 934. I1 8.28 16 5:6 833 315.6 5.62 42 4:7 572 968.8 5.50 17 817 349.9 6.30 43 563 994.6 6.66 18 4:5 800 386.3 4.66 44 5:9 555 1017.6 7.05 19 788 412.5 5.85 45 545 1050.8 8.36 20 7:9 777 435. I1 7.87 46 536 1079.6 9.39 21 765 463.8 8.40 47 530 1099.1 10.03 22 759 477.4 6.39 48 525 11I 15.5 11.30 23 3:4 750 498.0 4.50-3.75 49 520 1I 132. 1 I 1.75 24 738 526.0 7.86 50 514 1152.2 10.50 25 728 549.6 8.73 51 510 165.7 9.12 26 5:7 714 582.5 6.41 52 506 1 179.3 7.83

53 1:2 500 1200.0 0.00

II grafico in questione e quello di Fig. 5, che cosi commenta:55 Le veritY, che parlano agli occhi, sono: I. Che il solo unisono, e I'ottava sono consonanze pure, senza veruna intermissione di dissonanza

I...] 2. Che in generale I'asprezza delle difonie vi minuendo a misura, che il suono compagno s'inacutisce, e difatti la curva si abbassa al maggior segno a sortire dalla prima difonia [...]

55 ? 503.Tale grafico e stato da Fodera tracciato su di un foglio volante inserito nel manoscritto in questione (Ms. 2Qq.E.86a). Di esso nel dicembre 1982 ho ottenuto la riproduzione fotografica di Fig. 3.




3. Che in generale I'asprezza cresce piui rapidamente quanto piui si awicinano i suoni consonanti, e tanto pid rapidamente quanto la consonanza e migliore.

4. Che si hanno in tutta la curva serpeggiante nove serie d'innalzamenti, che la dividono in nove periodi; essi trovansi sotto i rapporti 5/6, 4/5, 3/4, 5/7, 2/3, 5/8, 3/5, 4/7, 1/2 [...]

(Vedi Fig. 5 di fronte)

Fig. 5 - Filippo Fodera (1832-7): curva esprimente il "grado di asprezza" di una diade la cui nota superiore viene fatta glissare lungo I'intervallo di una ottava (Palermo, Biblioteca Comunale, Ms. 2Qq.E.86a). Mentre Draghetti (Fig. 2) si era limitato a teorizzare I'esistenza di una tale curva, Foder-A e il primo autore a propome una versione ottenuta tramite il calcolo.

Si trascrivono le didascalie di figura, dall'alto in basso: "Tavola che rappresenta la vera curva armonica delle 53 Difonie sensibili racchiuse in una ottava. Scala di gradi di asprezza [scritta sopra il regolo graduato] A = Regolino di gradi 500 che rappresenta la meta della corda sonora a = numero progressivo delle Difonie sensibili b = rapporti delle Difonie in decimali c = rapporti delle principali Difonie in rotti ordinarj

B = Corda vuota che rappresenta I'unisono C = Curva armonica.Vi son notate le monadi sensibili rispettive

d = linea che taglia le consonanze perfette, o maggiori e = linea che taglia le consonanze imperfette, o minori"

In effetti, queste quattro sue conclusioni saranno quelle stesse cui perverra, nel 1863, Her- mann Helmholtz.56 Confrontando la celebre curva calcolata da quest'ultimo con quella di

Fodera, che in Fig. 6 e stata ridisegnata semplicemente adeguandone la scala, si nota infatti:

I. Solo unisono e ottava hanno "asprezza" nulla (cosa ammessa anche da Helmholtz, trascurando i battimenti che possono nascere tra due armoniche di una stessa nota).

2. Statisticamente la curva va abbassandosi (cioa I'asprezza diminuisce) quando la nota superiore del

bicordo glissa verso I'acuto. 3. Le consonanze presentano valli contornate da pendii tanto piui alti e ripidi quanto minore e il loro

"grado di asprezza". 4. Se si comprendono anche i rapporti costituiti dal numero armonico 7, le principali consonanze sono

nove (individuate dalle nove valli pid profonde).

(Vedi Fig. 6 alle pagine seguenti)

5. Conclusioni

Nel campo delle consonanze, solo verso la fine del Cinquecento i tempi risultarono maturi

per la nascita della prima moderna teoria di carattere fisico, gia per la veritA adombrata da

Nicomaco di Gerasa nella seconda metA del secolo II d.C., ma lasciata dormiente per 1400 anni: quella basata sulla 'coincidenza' delle vibrazioni delle armoniche fondamentali delle

56 Cfr la 2a ed. inglese: Hermann LF. HELMHOLTZ, On the sensation of tone as a physiological basis for the theory of music, a cura di Alexander J. Ellis, London, Longmans, 1885, pp. 192-3.




11

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Fig. 6 - Confronto tra la curva di Foder- (1832-7, sotto) e quella di Helmholtz (1863, sopra). La curva di Fodera e la stessa di Fig. 5, ed e stata ridisegnata semplicemente ribaltandola e adeguandone la scala a quella della curva di Helmholtz (le ascisse di quest'ultima sono infatti in unita logaritmiche).

due note costituenti un dato intervallo musicale.57 Losservazione fu estesa alle armoniche

superiori dei due suoni solo nel 1752, da Pierre Est&ve.

Tali teorie, benche basate su ben definiti fenomeni fisici, erano per6 sempre di tipo'discreto' e quindi incapaci di risolvere I'annoso problema delle consonanze temperate. Solo Marin Mersenne (1636-7) e Joseph Sauveur (1700) avevano individuato nei battimenti I'origine della sensazione di dissonanza, ma - avendo limitato la valutazione di questi ultimi alle sole armoniche fondamentali - non erano stati in grado di elaborare una teoria generale. Avevano comunque finalmente inquadrato una determinante componente di carattere

psicofisico.

Nella seconda meta del Settecento - in seguito al grande sviluppo del calcolo infinitesi- male - molti fenomeni fisici vennero schematizzati sulla base di ipotesi di tipo continuo:

i tempi erano quindi maturi per una ulteriore evoluzione della teoria delle consonanze.

II primo a formulare un'ipotesi di tipo 'continuo' in tale settore fu Andrea Draghetti, nel

57 BARBIERI, "'Galileo's' coincidence theory of consonances", ? 1.




1771. La sua curva, che nei due secoli successivi avrebbe costituito I'archetipo di tutte le ricerche in tale campo, e comunque appena abbozzata. II suo messaggio fu raccolto solo nel 1832-7 da Filippo Fodera, studioso che per6 avrebbe condiviso con Draghetti I'oblio delle generazioni successive. i interessante osservare come tali due innovatori fossero totalmente estranei al mondo delle scienze esatte, e quindi fossero meno condizionati dalle precedenti 'autorita' nel settore.

Sui raggiungimenti scientifici di Fodera si pu6 innanzitutto osservare che il loro punto debole risiede nell'apparato teorico, che conduce a formule reminiscenti delle teorie aritmetiche anteriori (Galileo, Eulero, Barca), estese alla stessa divisione boeziana degli intervalli in superparticolari e superparzienti: tali formule, poich6 si basano solo sui due termini del rapporto a:b in esame, non possono infatti tenere conto n6 del timbro dello strumento n6 della banda di frequenza in cui I'intervallo viene emesso. L'importanza del primo di tali due fattori era stata invece gia chiaramente evidenziata daVincenzo Galilei (1581), e quella del secondo da Gioseffo Zarlino (1588), quest'ultimo successivamente confortato a livello scientifico da Mersenne (1636-7) e, secondo quanto riporta Bernard Le Boyer de Fontenelle, da Sauveur (1700).58 Detti fattori verranno per la prima volta quantitativamente valutati da Hermann Helmholtz, le cui conclusioni - per sua stessa ammissione - sono pur sempre condizionate da un inevitabile grado di arbitrarietA.

Dall'altro canto a Fodera bisogna riconoscere di essere stato il primo ad avere proposto, principalmente sulla base di pionieristici rilevamenti sperimentali, una curva sostanzialmente corretta e - nelle sue caratteristiche distintive - in perfetto accordo con quella che Helmholtz ricaver~ una generazione dopo, in seguito a precise valutazioni di carattere fisico e fisiologico.

58 Ibidem, ? 3.2.



La nascita delle teorie 'continue' della consonanza. La ignorata curva di Draghetti e Foderà, poi...

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