P ioniere nella indagine frattalequantitativa di opere pittoriche,Richard P. Taylor è oggi

Professore di Fisica presso l’Universitàdi Eugene, in Oregon. Appassionato diarte astratta, ammiratodall’Espressionismo di Jackson Pollock(1912-1956) e pittore astratto a suavolta, negli anni ‘90 Taylor si occupavadi fisica della materia condensata pressol’Università di New South Wales inA u s t r a l i a .In quegli anni egli ebbe l’intuizione chePollock, nel dipingere con la ben notatecnica del dripping, adottasse “i r i t m idella natura”, altrimenti detto che dipin-gesse frattale.Determinato a trovare un riscontrooggettivo a questa sua intuizione, simise al lavoro con i colleghi A d a mMicolich e David Jonas. Obiettivo lostudio quantitativo delle opere diPollock, dal punto di vista frattale. Iprimi risultati delle misure furono pub-blicati nel 1999 sulla rivista N a t u re ( 3giugno, vol 399, pagina 422). La ricercacontinua ancora oggi, documentata danumerose altre pubblicazioni.

Alle opere di Pollock viene applicato ilmetodo di partizione e conteggio [1, 2],in inglese box-counting (si veda anche ilparagrafo Determinazione sperimentaledella dimensione frattale a pag. 37). L etele digitalizzate vengono reiteratamen-te ricoperte con una griglia, generata dasoftware, di celle quadrate di lato divolta in volta decrescente .Il quadrato di lato massimo è tale daricoprire l’intera tela; i lati dei quadraticostituenti la griglia vanno poi riducen-dosi fino a lunghezze dell’ordine del

Frattali

A . A z zoni & B. M a s t ra c ch i o

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La misura frattale

d e l l ’ a r t eCi chiediamo se e quanto un’opera d’arte sia frattale.Per rispondere a queste domande è spesso sufficiente un occhio “frat-talmente” avvertito. Nondimeno, è bene cercare un rassicurante riscon-tro numerico.

SassoEnchanted Forest

Fotografia 1

Frattali

DOSSIER : ARTE FRATTALE

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m i l l i m e t r o. Le opere vengono elettronicamentescomposte in s t r a t i monocromatici, perciascuno dei quali si determina ladimensione frattale. Si ricompone poi ildipinto sovrapponendo i vari strati e sene determina la dimensione frattalec o m p l e s s i v a .Le conclusioni di R. Ta y l o r, A. Micoliche D. Jonas sono sintetizzate nel paragra-fo che segue.

Jackson Pollock: la poetica in numeri

Le configurazioni pittoriche create daPollock, esaminate ad ingrandimentid i fferenti, esibiscono autosimilaritàstatistica, la qual cosa consente di qua-lificarle “frattali”.Sottoposte ad identica analisi, alcuneopere non di Pollock, pure realizzatecon tecnica di dripping, non mostranoquesta caratteristica [6]. Sgombrandodunque il campo dagli equivoci, vadetto che la tecnica del dripping nonimplica la frattalità dell’opera.Analizzando le tele di Pollock, è possi-bile individuare una transizione da unadimensione frattale DL (d i m e n s i o n efrattale di Lévy [4]), riconducibile almovimento di Pollock intorno alla tela,ad un’altra minore, DD (dimensionefrattale di dripping [5]), riconducibileal gocciolamento della vernice sullatela. In Pollock, il crossover (si vedanoanche i grafici a pagina 37) da DL a DDavviene quando il lato L dei quadrati

J. Pollock

Lavander Mist:Number 1, 1950

J. Pollock

Enchanted Forest 1947(particolare)

SassiNumber 1

Fotografia 2

costituenti la griglia scende al di sottodi valori che, secondo le opere, vannoda 1 mm a 50 mm. La condizione DD <DL è una costante delle opere diPollock [10].I primi drip p a i n t i n g di Pollock (fasepreliminare) hanno una dimensionefrattale DD minore di 1,3; il valore vapoi crescendo negli anni fino a superare1,5 tra il 1945 e il 1947 (fase di transi-zione) e quindi 1,7 tra il 1948 e il 1952(periodo classico). Una tela del 1950,con dimensione frattale 1,9, prossimadunque alla bidimensionalità euclidea,fu successivamente distrutta dall’artista,che era so l i t o ritornare sui suoi dipinti,talora anche nel corso di diversi mesi,con rielaborazioni e modifiche [7].Così Pollock parla del suo lavoro:“Quando sono sul mio quadro, non sonocosciente di ciò che faccio. È solo dopouna sorta di presa di coscienza che vedociò che ho voluto fare. Non esito adoperare modifiche, a distruggere ildipinto e quanto altro perché il quadroha una sua vita propria. Solo quandoperdo il contatto con la tela il risultato ècaotico. Altrimenti c’è armonia totale,comunicazione reciproca, e il quadro èr i u s c i t o . ”Sempre stando alle conclusioni diTa y l o r, Micolich e Jonas, il primo stratodi vernice, con dimensione DD s i g n i f i-cativamente maggiore di quella deglistrati successivi, costituiva una guidaper lo sviluppo dell’opera, fungendo daàncora e segnando il destino dell’insie-me. Anche sotto questo aspetto è possi-bile individuare un’evoluzione. Il primodrip painting di Pollock, del 194 3,consta di un unico strato di traiettorie,distribuite sulla tela. Progressivamentefino al 1952, le opere divengono multi-strato e occupano una crescente percen-tuale di superficie della tela.

A buon diritto Ta y l o r, Micolich e Jonassostengono che le misure condottesecondo i criteri qui descritti costituisco-no uno strumento di indagine, atto adattribuzioni e datazioni, che si aggiungeai ben noti strumenti più tradizionali. Dopo le loro indagini si può parlare dellapittura di Pollock come di pittura natura-lista, anziché astratta, e di espressioni-smo frattale, anziché astratto.Pollock dunque dipingeva frattali più diventi anni prima che essi fossero mate-maticamente scoperti e descritti.Osservati attentamente, i suoi dipinti cirimandano a qualcosa di già visto.Abbiamo raccolto su una spiaggia sasso-sa i sassi mostrati nelle fotografie 1 e 2delle pagine precedenti. Abbiamo attri-buito loro i nomi delle opere che evoca-n o .Di fatto Pollock creava strutture dallestesse caratteristiche geometriche pre-senti in natura; del linguaggio della natu-ra si era appropriato e attraverso di essosi esprimeva.E ci sovviene Mandelbrot [2], che te-stualmente citiamo. “Facendo interveni-re l’occhio e la mano nella matematica,non soltanto abbiamo trovato la bellezzaantica, che resta intatta, ma abbiamoscoperto una bellezza nuova, nascosta es t r a o r d i n a r i a . ”Le biografie raccontano delle lunghe orespese da Pollock a scrutare il paesaggiocircostante la sua casa. Come se interio-rizzasse le forme della natura.D’altra parte, fin da adolescente, l’arti-sta si era interessato alla “struttura dimateriali e metalli e alle proprietà mor-fologiche delle rocce e delle pietre: l’e-sperienza di vita è già rivelatrice dellasua futura opera-come-esistenza”(Ennery Ta r a m e l l i )

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La misura frattale dell’art e

“ F a c e n d ointervenire

l’occhio e lamano nella

m a t e m a t i c a ,non soltanto

abbiamo trovato la

bellezza antica,che resta

intatta, maabbiamo

scoperto unabellezza nuova,

nascosta es t r a o r d i n a r i a . ”

B.B. Mandelbro tLa geometria della

natura

Paolo Bonaldi, artista geometra

Le opere di Paolo Bonaldi, artista lom-bardo, sono frutto della sua ricerca,come egli stesso afferma, delle “rigo-rose leggi geometriche che governanola natura”.Convinto che la geometria costituiscal’essenza stessa del mondo, concettoquesto non estraneo alla fisica, l’artistaama riguardare sciami e stormi comegeometria in volo, in cui il singolo ele-mento agisce come il tutto, e viceversa.Dal momento in cui inizia a dare formaalla materia, Bonaldi si pone in comu-nicazione con essa e con la forma cheviene emergendo. Si pone in ascolto e,contestualmente, elabora la forma. Inpiena sintonia, alla ricerca di un appa-gante equilibrio spaziale. Quella di Bonaldi è una ricerca intuiti-va, empirica e, soprattutto, libera dapreconcetti.

Ecco come egli parla del proprio agire:“Il gesto produce ed elabora la forma.Ma il gesto è guidato dalla natura e laguida si fa cogente in corsod’opera. Agisco in un siste-ma di regole, impossibilita-to ad uscirne. Posso opera-re delle scelte, ma esclusi-vamente al suo interno. Secerco di infrangere le rego-le trovo un caos retto daleggi severe.”L’artista si spinge poi oltre.Portando alle estremeconseguenze questo concetto, nega illibero arbitrio. La realtà, e con essa l’uo-mo, è contestualizzata in una geometricai n e l u t t a b i l i t à .Bonaldi opera muovendo dal particola-re. Il singolo elemento viene concepito eindagato. I dettagli poi si compongono aformare un insieme, man mano conqui-stando rapporti spaziali armonici. Il per-

Frattali 66

DOSSIER : ARTE FRATTALE

P. BonaldiBlu penta

tecnica mista su lucido134 cm x 103 cm

Fotografia 4

Fotografia 3

P. Bonaldiscultura Flower 11

plexiglas, colore sintetico

e fili di acciaio

corso dell’opera è segnato da una implici-ta geometria, che si rivela in un esito nonprevedibile inizialmente, neppure dallostesso artista.La geometria, valore pregiudiziale epunto di partenza precostituito per moltiartisti di tutti i tempi, è invece perBonaldi una meta, alla quale egli tendeattraverso la sua ricerca “a tutt’oggi anco-ra in fieri”, come precisa.

Quale geometria? ci chiediamo.Proviamo a vedere se sussistono pro-prietà di invarianza di scala. Ci mettia-mo alla ricerca della legge N(L) , L- D

con 1 < D < 2. Il significato dei simbo-li è ovvio.Facciamo tesoro dell’insegnamento delProf. Ta y l o r. Seguendo la strada daquesti tracciata, applicando il ben col-laudato metodo del b o x - c o u n t i n g, sot-toponiamo ad analisi il dipinto f l o w e rn u m e ro 1 (figura 1) che misura 40 cmx 30 cm.L’opera viene digitalizzata (scannerEPSON GT 15000) in modalità bit-map, con risoluzione 800 dpi e dimen-sione in pixel 9350 x 12500, con soglia

6 0 / 2 5 5 (figura 2).Questa soglia viene scelta in quantol’immagine che ne discende è quellache maggiormente conserva la fisiono-mia saliente dell’opera a colori e quin-di la riconoscibilità, anche a giudiziodel suo autore. I pixel neri corrispon-dono al valore logico “VERO”.Va precisato che la dimensione frattalecambia con la soglia scelta, tuttavia ilnostro interesse è qui centrato non sulvalore di D ma piuttosto sulla sua co-

stanza entro un certo intervallo discale. La bitmap così ottenuta vienequindi analizzata usando il softwareFractalyse-2.4, messo a nostra disposi-zione dalla francese Théma, unitàmista di ricerca.Il lato L della griglia di quadratini chericopre la bitmap vale inizialmente 2pixel e raddoppia ad ogni passaggio. Cifermiamo a 1024. La figura 3 si riferisce al caso L=256p i x e l .

Frattali67

La misura frattale dell’art e

Figura 1

P. BonaldiFlower numero 1

tecnica mista su lucido30 cm x 40 cm

Figura 2

Figura 3

La dimensione frattale misurata vale1,83 con deviazione standard 0,02.L’andamento di D in funzione di L,mostrato in figura 5, è espressione difrattalità statistica.

Bonaldi è autore di numerose opere;cercheremo dunque ulteriori riscontri.Ci ha detto che la sua ricerca conti-nua. Il nostro lavoro anche: non loperderemo di vista.

A.& M.

Frattali

La produzione di Paolo Bonaldi è consultabile sul sito w w w. p a olobonaldi. c o m.I contatti sul contenuto del presente articolo sono possibili all’indirizzo catalogo@kangourou.it

Bibliografia

[1] Gouyet, J.F.,1996, Physics and Fractal Structures. Springer - Verlag, New York.

[2] Mandelbrot, B.B.,1977. La geometria della natura. Theoria, Roma-Napoli 1989.

[3] Ott, E., 1993. Chaos in Dynamical Systems. CambridgeUniv. Press. Cambridge

[4] Tsallis C. 1997. Lévy Distribution. Physics World 10 43-45.

[5] Shi, X.D.,Brenner, M. P., and Nagel, S.R., 1994. A Cascade Structure in a Drop Falling From a Faucet. Science, 219, 265

[6] Taylor, R.P., 2002. Order in Pollock’s Chaos. Scientific American. 287,84.

[7] Taylor, R.P., Micolich A.P., and Jonas.D., 1999a. Fractal Analysis of Pollock’s Drip Paintings. Nature 399,422.

[8] Taylor, R.P., Micolich A.P., and Jonas.D., 1999b. Fractal Expressionism: Art, Science and Chaos. Physics World. 12, 25

[9] Taylor, R.P. et al. 2002 The Visual Complexity of Pollock’s Dripped Fractalshttp://materialscience.uoregon.edu//taylor/art/info.html

[10] Taylor, R.P. et al.2007 Authenticating Pollock Paintings Using Fractal Geometry. Pattern Recognition Letters

[11] Gleik, J., 1987. Chaos. Penguin Books. New York.

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Figura 5Figura 4