La matematica tra ‘800 e

‘900: la crisi dei

fondamenti

La geometria delle trasformazioni :

Il programma di Klein

                    I fondamenti della geometria : da Euclide alle geometrie non euclidee                 

Il problemadei

fondamenti

Dalla crisi dei fondamentialla concezione attuale : le teorie formali

chimica

elettricità

Teoria analitica della probabilitàConcetto di campo e

meccanica statistica

 magnetismo

Elettrolisi pila di Volta

Inquadramento storico:

Divorzio tra scienza e filosofia

 IIn a In ambito scientifico si realizza: 

                                      Frantumazione in ricerche sperimentali e teoriche  

                                    Nascita di innumerevoli branche                                                                           

  Poche ma significative connessioni (rapporti frammentari) tra le varie branche

1800

Nascono nel 1812 :

Teoria atomistica matematica

-

-Crisi del positivismo e meccanicismo-

-Piena autonomia tra pensiero filosofico e scientifico con lacerazioni profonde

--Costruzione del fondamento di una collaborazione proficua

1850

  

                   La matematica :

       Tende a divenire la scienza di ciò che è logicamente possibile svincolandosi da ogni ipotesi intorno allo spazio reale

 

       anticipa modelli e strutture che la fisica ha utilizzato solo più tardi

 

       sviluppa al suo interno settori autonomi di indagine  

       sviluppa un livello di astrazione base di un nuovo processo di unificazione attuato non a livello di contenuti ma di strutture formali sempre più generali

fine 1800

PROBLEMA

CHIARIRE LA CONSISTENZA  

DELLE BASI LOGICHE SU CUI  

GARANTIRE LA VALIDITA’  

CONOSCITIVA DELLE TEORIE  

E DEI RISULTATI

Richieste di revisione e

superamento

PROBLEMA DEI FONDAMENTI

NON ESISTE VIA REGIA ALLA GEOMETRIA

GLI ASSIOMI DI EUCLIDE

•I E’ possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto

•II E’ possibile prolungare illimitatamente una retta finita in una retta

•III E’ possibile descrivere un cerchio con centro e distanza qualsiasi

•IV Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro

•V Se in un piano una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, indefinitamente prolungate, finiscono con l’incontrarsi dalla parte data

•Pare che Euclide esitasse ad usare il quinto postulato: i primi 28 teoremi del libro I sono dimostrati senza farvi ricorso……..

Nei 2100 anni successivi alla pubblicazione degli Elementi, filosofi e matematici si sono chiesti spesso, a proposito del quinto postulato, se sia o non sia da includere tra gli assiomi fondamentali. All’inizio sembrava un problema estetico, visto che l’enunciato, la cui verità non veniva comunque messa in dubbio, aveva l’aria da teorema e quest’impressione era rafforzata dal fatto che l’enunciato inverso era effettivamente un teorema (Il t. 17: In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti )….. Ci si convinse quindi che il quinto postulato richiedeva una dimostrazione……Ecco che iniziarono i tentativi di dimostrazione che rientrarono tutti in questo schema:

Sostituire il V postulato con un assioma più soddisfacente

Lasciare immutati gli altri fondamenti di Euclide

Dimostrare il V postulato

Oggi sappiamo che qualunque postulato sostitutivo con cui poi si dimostri il V postulato, è logicamente equivalente ad esso!! jj

Il tentativo più serio di dimostrare il V postulato fu fatto da padre Gerolamo Saccheri (1667-1733): egli ebbe il merito di aver per primo impostato la questione in termini veramente corretti dal punto di vista logico, anche se poi non fu altrettanto corretto nella conclusione

Tutti questi tentativi hanno arricchito la geometria con la scoperta di molti teoremi e in particolare, studiando bene la GEOMETRIA NEUTRALE, quella cioè dove valgono i termini primitivi, i primi quattro postulati e le definizioni comuni ,si è visto che in un’ipotetica geometria dove non valesse il quinto postulato non sarebbero nemmeno valide le proposizioni ad esso equivalenti, in particolare:

•per un punto non si potrebbe condurre una sola parallela ad una retta

•non esisterebbero figure simili

•la somma degli angoli interni al triangolo non sarebbe uguale a due retti

ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE PER STIMOLARE UNA DISCUSSIONE IN CLASSE:

T. La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti

Considerato il triangolo ABC, indichiamo con x la somma dei suoi angoli interni a, b, c

Detto D un qualunque punto del lato BC, indichiamo con c’ e c’’ le due parti in cui CD divide l’angolo c e con d’ e d’’ gli angoli che CD forma con AB

Si ha: (1) a+b+c’+c’’=x e, con riferimento ai triangoli ACD e BCD, si ha

(2) a+c’+d’=x (3) b+c’’+d’’=x

e, poiché (4) d’+d’’=2 retti, sommando membro a membro la (2) e la (3), si ha:

a+c’+d’+b+c’’+d’’=2x, che tenendo conto delle (3), (4), diventa: x+2retti=2x

da cui 2retti=x

Quindi il teorema è dimostrato senza far uso del V postulato MA……...

A

B

C

a

b

cc '

D

c ‘'

d' d''

Nella dimostrazione abbiamo assunto implicitamente un’ipotesi non dimostrata e cioè che la somma degli angoli interni al triangolo sia un invariante

Nella geometria non Euclidea infatti questa proposizione non sarà più vera

TENTATIVO DI SACCHERI

L’opera di Saccheri fu abbastanza diffusa ma cadde presto in dimenticanza, solo nel 1889 E. Beltrami (1835-1900) richiamò su di essa l’attenzione dei matematici anche se a quell’epoca la questione delle parallele era definitivamente risolta da N.I. Lobacevskji (1793-1856) e da J. Bolyai (1802-1860) e proprio quest’ultimo è al centro di una curiosa vicenda che gli risultò molto amara:

János Bolyai(1802-1860)

Nikolai Ivanovich Lobacevskij(1792-1856)

Gerolamo Saccheri(1667-1733)

Lobacevskij sostituisce il V postulato di Euclide con un altro:

DATI IN UN PIANO, UNA RETTA r E UN PUNTO P FUORI DI ESSA, CONDOTTA PER P LA PERPENDICOLARE h AD r E POI, SEMPRE PER P, LA PERPENDICOLARE r’ A h, OLTRE AD r’ ESISTE UN’ALTRA RETTA r’’, DISTINTA DA r’, CHE PASSA PER P E NON SECA r

r

h

P r'r’’

Ecco che in questa geometria:

– le rette parallele ad una retta data passante per un punto non appartenente ad essa sono infinite

– la somma degli angoli interni di un triangolo è variabile ed è minore di due retti

– non esistono quadrilateri con i quattro angoli retti

– due figure simili sono congruenti…..

La geometria di Lobacevskij-Bolyai realizza dunque l’ipotesi dell’angolo acuto di Saccheri

L’ipotesi dell’angolo ottuso si dimostra però falsa e irrealizzabile a meno che non si tolga l’assioma dell’illimitatezza della retta.

La teoria di una geometria in cui le rette hanno una lunghezza finita fu sviluppata dal matematico tedesco B.Riemann (1826-1866). In essa:

– non esistono parallele condotte per un punto ad una retta

– la somma degli angoli interni ad un triangolo non è invariante ed è maggiore di due retti

– non esistono quadrilateri con i quattro angoli retti

– due figure simili sono congruenti

Bernhard Riemann (1826-

1866)

Qual è la geometria vera?

Ha senso questa domanda?

Com’è possibile trovare una risposta?

Sono tutte domande che sorsero nella seconda metà dell’800 e, per provare la coerenza degli assiomi da cui deriva una geometria si pensò di fornire dei modelli reali di quella geometria:

Riemann, Klein (1849-1925), Beltrami, Poincarè (1854-1912) fornirono modelli di geometrie non euclidee e fu lo stesso Klein che propose i nomi di geometria ellittica, euclidea e iperbolica alle geometrie in cui la somma degli angoli interni di un triangolo risulta rispettivamente maggiore, uguale, minore a due retti

Inoltre Klein provò che se ci fossero contraddizioni logiche all’interno delle geometrie non euclidee, queste dovrebbero trovarsi già nella geometria euclidea

MODELLO DI RIEMANN

MODELLO DI BELTRAMI

MODELLO DI KLEINMODELLO DI POINCARE’

Jules Henri Poincaré

(1854-1912)

Felix Christian Klein

(1849-1925)

Il problema della coerenza di un sistema ipotetico-deduttivo

La sistemazione definitiva dell’argomento viene da Klein

attraverso la classificazione delle geometrie in tre classi fondamentali

È la geometria delle superfici a curvatura

negativa (Lobacevskij). Per un punto esterno ad una

retta vi sono più parallele. La somma

degli angoli interni di un triangolo è minore

di un angolo piatto

È la geometria delle superfici a curvatura positiva ( Riemann) . In essa non esistono

rette parallele. La somma degli angoli

interni di un triangolo è maggiore di un

angolo piatto

È la geometria delle superfici a curvatura

nullaVale l’assioma dell’esistenza e

unicità della parallela. La somma degli

angoli interni di un triangolo è uguale ad

un angolo piatto

 

Geometria Euclidea

Geometria Ellittica

Geometria iperbolica

Osservazioni:

 

  Non è lecito fidarsi dell’evidenza intuitiva come criterio di fondazione degli assiomi di una teoria matematica perché soggettivo e legato alla

fantasia 

   Non ha senso parlare di assiomi veri o falsi : l’assioma è solo punto di partenza convenzionale

  

      Il matematico deve derivare teoremi partendo da ipotesi (assiomi ) preoccupandosi della loro coerenza logica con le premesse e non della loro

“ evidenza intuitiva “ 

   La geometria perde la sua valenza di scienza “descrittiva” della realtà spaziale e diviene scienza puramente formale frutto di una rigorosa

astrazione  

 

  

  COME ESSERE CERTI DELLA COERENZA LOGICA

DI UN SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVOCIOE’

DELL’ASSENZA DI CONTRADDIZIONI?

Il metodo dei “modelli”:

prendere gli assiomi astratti di un sistema e dare loro una “interpretazione” , in modo tale che ad ogni assioma corrisponda una certa affermazione

vera o falsa rispetto al modello

 PROBLEMA

Consiste nel

MODELLO DI RIEMANN PER UNA GEOMETRIA ELLITTICA

MODELLO DI BELTRAMI PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA

MODELLO DI KLEIN PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA

MODELLO DI POINCARE’ PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICAPoincaré presentò il suo modello sotto forma di racconto di fantasia nel suo libro La Scienza e l’Ipotesi del 1902:

Sia dato, da qualche parte del piano euclideo, un cerchio euclideo C di raggio R abbastanza grande da permettere che nel suo interno viva una vasta popolazione di esseri bidimensionali. Li osserveremo restando al di fuori di C, come giganti un po’ curiosi. C è riempito di uno strano gas che provoca la contrazione dei campioni di lunghezza (regoli lunghi un metro quando sono posti al centro diC) via via che si allontanano dal centro. La formula che descrive quantitativamente il fenomeno è:

(lunghezza di un regolo campione a distanza r)=1-r2/R2

ove r è misurata a partire dal punto medio del regolo stesso

Supporremo inoltre che ogni cosa all’interno di C (comprese le persone che ci vivono) subisca una corrispondente variazione delle dimensioni lineari, cosicché nessun abitante all’interno possa accorgersi del fenomeno. Un “uomo” “alto” 2 metri al centro del cerchio C (la “statura” viene misurata con un regolo che egli porta con sé) sarà ancora “alto” 2 metri dopo aver percorso 3/4 R verso il bordo. Tutto ciò che lo circonda avrà mantenuto le proporzioni, e quindi solo chi come noi è al di fuori del cerchio sa che il regolo, il corpo dell’”uomo”, il suo cappello, il suo passo e anche gli “alberi”, le “case” e così via sono lunghi solamente o,4375 volte la loro lunghezza iniziale.

Supponiamo infine che lo strano gas che riempie C costringa i raggi di luce che si propagano tra due punti interni al cerchio a seguire sempre il cammino “più breve”, se misurato nel sistema di misura degli abitanti di C

Dal nostro punto di vista, un raggio di luce che unisce due punti sarà diritto solo se i due punti sono su un diametro di C ; altrimenti presenterà una convessità rivolta verso il centro.

Facendo uso di teoremi non elementari di geometria Euclidea, è possibile dimostrare che questi cammini curvi sono archi di circonferenze ortogonali a C, cioè archi di circonferenze che incontrano C in modo che nei punti di intersezione le rispettive tangenti risultino perpendicolari tra loro. Poiché gli abitanti di C sono intelligenti quanto noi, arriva anche per loro il momento di mettersi a studiare la geometria e quella che essi creano rifletterà l’universo quale essi lo percepiscono.

Prima di tutto essi non si renderanno conto di vivere all’interno di un cerchio, per quante volte riportino consecutivamente un metro lungo quello che noi sappiamo essere uno dei raggi del cerchio, non raggiungeranno mai il bordo perché il metro si accorcia troppo velocemente. Dunque, per coloro che vivono al suo interno, il cerchio C si estende all’infinito in tutte le direzioni e costituisce il piano. In secondo luogo essi naturalmente intenderanno per “linea retta” il percorso compiuto da un raggio di luce e potranno essere infinite. E, cosa importante, essi accetteranno l’assioma di Lobacevskij

Poincarèe la

non contraddittorietà 

La verità della geometria euclidea appare fondatasulla naturalità dello spazio

 

Il valore epistemologico della rivoluzione matematica

Lo spazio della teoria appariva libero dall’evidenza

Rottura della linea di continuità tra esperienza sensibile e teoria:

La matematica e la logica sono oggetti privi di realtà

INTUIZIONISMO : POINCARE’

“salvare” il valore della scienza ragionando con strumenti concettuali che non sempre derivano pratica scientifica ma dalla tradizione filosofica

superamento dell’idea della geometria fondata su una struttura a priori di tipo kantiano

La geometria deriva da un sistema di assiomi che hanno il valore di “ipotesi indifferenti” ( si possono adottare l’una o l’altra senza conseguenze sulla verità delle proposizioni scientifiche)

L’assioma è una convenzione quindiÈ scorretto aprire una discussione intorno alla verità di una geometria

 

La costruzione di teorie non ha a che vedere con concetti filosofici di verità e realtà

Ma se tutte le geometrie sono convenzionali quale criterio adottare per scegliere una geometria piuttosto che un’altra?

 

E’ il “modo di apparire” dei fenomeni che ci induce a scegliere quella euclidea come la più comoda (ma non la più semplice) in

quanto è conforme al modo in cui si presentano i fenomeni

  La classificazione di Klein delle geometrie :

il programma di Erlangen 

L’idea suggerita da Klein è che 

“ fare una geometria “ significa

scegliere un insieme di trasformazioni e

analizzare come esse operino sugli oggetti che interessanoallo scopo di

individuare quali proprietà rimangono invarianti

si sposta l’attenzione dagli “oggetti” in quanto tali alle “operazioni che noi eseguiamo”

La geometria, nata come primo capitolo della fisica, è stata sottoposta ad un processo

di astrazione impensabile alla sua origine

La teoria di Einstein può ritenersi come lo studio delle proprietà invarianti rispetto al gruppo delle

trasformazioni di Lorentz quindi una forma di geometria delle spazio-tempo

in questo senso, a livelli diversi da quelli euclidei, la geometria torna ad essere possibile modalità di descrizione razionale dell’universo fisico

Gli sviluppi nel campo della teoria degli insiemi e dell’algebra entrano in crisi a causa di

antinomie e paradossi

     

     

Necessità di dare assetto logico e rigoroso

ai presupposti della matematica

Si doveva chiarire Quali fossero i requisiti fondamentali perché un insieme di conoscenze e affermazioni

potesse essere considerato una teoria formale fondata e accettabile in senso

scientifico

Hilbert pone l’attenzione sull’aspetto

più importante nella sistemazione di una teoria

Come scegliere gli assiomi?

Essi devono contenereelementi fondamentali dei concetti

che una teoria studiaesprimendo quello che la nostra intuizione

ci suggerisce

La sistemazione rigorosa di una teoria formale presuppone di fornire un sistema di assiomi che oltre ad esprimere compiutamente gli enti che vuole circoscrivere soddisfi

alcuni requisiti! 

Un sistema di assiomi per essere accettato deve avere le seguenti proprietà:

indipendenza 

nessun assioma deve

poter essere dimostrato

a partire dagli altri

consistenza

completezza

Si tende ad assumere come assiomi il minimo numero di

proposizioni non dimostrate, tra loro

indipendenti , necessarie a dedurre in modo rigoroso i risultati che si desiderano

Non si possono assumere come postulati enunciati

che siano tra loro contraddittori o che

conducano a contraddizioni(Teoremi di Godel)

Un insieme di teoremi e di risultati diventa allora una teoria in senso formale , nell’ambito della quale vanno distinti gli enunciati iniziali da

quelli successivi e ciò che risulta dedotto coerentemente deve essere accettato come valido

 La sistemazione di una teoria è un procedimento a “posteriori”

Ancora oggi la ricerca su questioni “aperte” è viva e vitale a conferma che la matematica è

una scienza dinamica in continua

evoluzione