La Matematica - Storia e Protagonisti

8/15/2019 La Matematica - Storia e Protagonisti

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La Matematica

Laurent De La Hyre (1601-1666): Allegoria della Geometria

Emilio F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia – SSIS del Veneto

La storia e i protagonistiLa storia e i protagonisti


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Matematica

Dal greco: mathematikè (téchne)‘arte di apprendere’

(da: manthanein , ‘imparare’)

col significato di “il sapere per eccellenza”

Giorgione: Giovanni Borgherini e il suo Maestro (1500 ca.)

(Washington, National Gallery of Art)


(sul cartiglio:“Non valet ingenium

nisi facta valebunt ”)


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Linguaggio?

Gioco?

Strumento? (per che cosa?)

Calcolo?

Modello?

“La matematica è un’opinione”?

Che cos’è ?

Rappresentazione ?


Matematica


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Che cos’è ?


“ Come espressione della mente umana. Lamatematica riflette la volontà attiva, la

ragione contemplativa e il desiderio diperfezione estetica. I suoi elementi

fondamentali sono la logica e l’intuizione ,

l’analisi e la costruzione, la generalità el’individualità. Traduzioni diverse potranno

mettere in evidenza aspetti diversi, ma èsoltanto la reazione di queste forze

antitetiche e la lotta per la loro sintesi checostituiscono la vita, l’utilità e il valore

supremo della scienza matematica”.

Richard Courant (Germania, 1888-1972)

Matematica


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egizi, sumeri, assiri, babilonesi, indiani, GRECI:

Studio delle forme forme ,dei numeri numeri ,

delle figure geometrichefigure geometriche,

(main epoca moderna

studio delle relazioni relazioni e delle

operazioni logiche operazioni logiche tra esse)

Le origini


Matematica


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La Matematica delle civiltà “potamiche” (*):

MatematicaLe origini

(*) Da “Pòtamos” (in greco: fiume ): riferimento alle antiche civiltà che si svilupparono suigrandi fiumi, che costituivano fonti d’ acqua e vie di comunicazione, quali ad es. le civiltàmesopotamiche (sumeri, assiro-babilonesi, tra il Tigri e l’Eufrate), l’egizia (sul Nilo), l’indiana

(sull’Indo).


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La Matematica in Mesopotamia: abaco babilonese

Il sistema di numerazione babilonese era posizionale(analogamente all’attuale sistema decimale), ma con base60, quindi con 59 simboli in carattere cuneiforme (dall’1

al 59, mancando un simbolo per lo zero). L’utilità dellabase 60 consisteva nella sua divisibilità per ben nove

numeri (oltre a 1 e 60): 2,3,4,5,6,12,15,20,30. Essasopravvive ancora, nonostante il sistema decimale sia

stato introdotto in Europa sette secoli fa, nella misuradel tempo e degli angoli.

I matematici della Mesopotamia (assiri,

babilonesi, sumeri – II millennio a.C.) dimostrarono abilitànell'uso di molti algoritmi (procedimenti di calcolo), comel’ estrazione della radice quadrata e la costruzione di

molte tavole per la risoluzione di problemi (tra i quali diequazioni particolari fino al terzo grado) legati al

commercio, all’agrimensura e al calcolo degli interessi.


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La Matematica in Mesopotamia: tavoletta Plimpton

.Questa tavoletta d’argilla scritta incuneiforme, della Collezione G.A.

Plimpton della Columbia University(U.S.A.), è la più famosa (e la più antica)

tra quelle rinvenute di contenuto

matematico. Fu redatta nel periodobabilonese antico (tra il 1900 e il 1600a.C.). La decriptazione più accreditata la

interpreta come un elenco di ternepitagoriche (misure dell’ipotenusa e dei

cateti di triangoli rettangoli),dimostrando che, pur in assenza di un

teorema generale (il Teorema diPitagora), che sarà dimostrato più di un

millennio più tardi, tale relazione eraempiricamente già nota ed ampliamente

usata.


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La Matematica in Egitto: papiro di Rhind

.Il Papiro di Rhind è un rotolo di contenutomatematico largo poco più di 30 cm e lungo quasi 6metri, ora conservato al British Museum. Contiene

una serie di tavole matematiche e 84 problemi con lerelative soluzioni. E’ chiamato anche papiro di Ahmes,

in onore dello scriba che lo copiò attorno, al 1650a.C., da un documento più antico di un paio di secoli.Gli antichi Egizi usavano un sistema di notazione

decimale (anch’esso senza un simbolo per lo zero). Untrattino verticale ( | ) denotava l’unità, un archetto

rovesciato (∩) la decina, un laccetto (ρ) per ilcentinaio, ecc. (un milione era indicato da una figura

iginocchiata, che qualcuno interpreta come il diodell’infinito). Con la ripetizione di questi simboli si

poteva scrivere per es 635:

ρρρρρρ ∩∩∩ | | | | | .


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La Matematica in Egitto: papiro di Rhind

.Il papiro di Mosca è un altro importantepapiro a contenuto matematico. Fu scritto

da un ignoto scriba della dodicesimadinastia (ca. 1890 a.C.). Contiene quasi

trenta problemi, con relative soluzioni, perlo piu' desunti dalla vita pratica

Il problema qui illustrato e' corredatodalla figura di un tronco di piramide

quadrata, come si desume dalle istruzioni edai calcoli che lo accompagnano. Si tratta

del problema di trovare il volume di untronco di piramide quadrata alto 6 unita',

se gli spigoli della base superiore e diquella inferiore sono rispettivamente 2 e 4

unita'".


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La Matematica degli antichi greci

Dalle conoscenze matematiche empiriche - e i relativi strumenti di calcolo -

ereditate da Assiro-babilonesi ed Egizi, nella Grecia dal V al III sec. a.C. sigiunse, attraverso un lunga riflessione sul mondo delle idee e del pensiero

razionale, a fondare una scienza matematica (essenzialmente volta agli

oggetti geometrici astratti) che vedeva nel metodo ipotetico-deduttivo

(fondato su i princìpi della logica formale ) il suo fondamento epistemologico,ancor oggi alla base del pensiero matematico.

La Grecia antica – specie nel periodo ellenistico - fu la culla delmoderno pensiero matematico




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I principali processi di pensiero alla base della Matematica:

1) l’astrazione

condurre a una idea generale partendo dalla percezionedi caratteristiche comunia cose diverse.


MatematicaLe origini La Matematica degli antichi greci


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I principali processi di pensiero alla base della Matematica:2) la dimostrazione giungere a conclusioni certe a partire da alcune premesse,mediante argomentazioni rigorose e ineccepibili dal punto di

vista logico.


La Matematica degli antichi greci



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Il concetto di astrazione conduce a quello di generalizzazione : trovare

strutture che ne comprendano più altre come casi particolari.

Ad es. il concetto di numero, inizialmente inteso come numero naturalesi è generalizzato nel concetto di numero razionale , poi di numero reale e

quindi di numero complesso e ognuna di queste strutture numeriche in

qualche modo ingloba la precedente. Ma analogamente si può passare dal

concetto di quadrato a quello di rettangolo e poi di quadrilatero , ecc.




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L’uso degli enti astratti della geometria per la “descrizione del mondo” -inseriti in un sistema coerente e autoconsistente (*), il sistema

assiomatico della geometria euclidea, portò alla distinzione tra il mondo

fisico e le sue rappresentazioni matematiche, aprendo la strada al

concetto di modello matematico, con il riconoscimento progressivo,soprattutto da Galileo in poi, della sua fecondità e dei suoi limiti

all’interno del metodo scientifico sperimentale.

(*) Entro i limiti posti dalla moderna critica dei fondamenti, in particolare dal celebreTeorema di incompletezza di Gödel (1931): "Per ogni sistema formale di regole ed assiomi è

possibile arrivare a proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale"

Emilio F. Orsega –Università Ca’ Foscari di Venezia – SSIS del Veneto



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MatematicaLe origini La Matematica degli antichi greci:

I protagonisti

Talete di MiletoTalete di Mileto

( 624-547 a.C.)


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Talete, uno dei sette saviTalete, uno dei sette savidelldell’’antica Grecia,antica Grecia, rappresentarappresenta

il passaggio dal pensieroil passaggio dal pensieroassiroassiro--babilonese ed egiziobabilonese ed egizio(matematica intesa come(matematica intesa comecalcolo ad usi pratici) a quellocalcolo ad usi pratici) a quelloastratto e dialettico delastratto e dialettico delmondo greco.mondo greco.

Un famoso Teorema portaUn famoso Teorema portaancora il suo nome, anche se fuancora il suo nome, anche se fuformalmente dimostrato moltoformalmente dimostrato moltopipiùù tardi.tardi.


( 624-547 a.C.)



I protagonisti


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Misura dell’altezza della piramide etriangoli simili


( 624-547 a.C.)



I protagonisti

A B

O

C

D

AD : BC = OA : OB


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I protagonisti

Talete è considerato “il primo matematico della storia”, figura quasileggendaria. Divenne famoso per aver misurato l’altezza di unapiramide senza accedere alla sua sommità, applicando la suaconoscenza delle similitudini tra i triangoli.

Si narra che predisse per primo una eclissi solare, nel corso di uno

dei suoi viaggi in Egitto.


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“Attraverso l’ombra, accessibile, Talete misura l’inaccessibile: l’altezzadella piramide, ovvero la tomba del faraone. L’ombra è qui lo strumento e lasua funzione è quella delle ali nel volo, ma nel racconto v’è qualcosa in più:

una fantastica armonia di raggi di sole ed astuzia umana. La piramiderappresenta l’inaccessibile, ciò che non è percorribile e raggiungibile,

Talete con una astuzia della mente riesce allo scopo…

Talete dunque veramente rappresenta l’inizio di un racconto,anzi il mito d’origine del racconto dello spazio puro,della razionalità, della dimostrazione”

(Emilio Ambrisi,Il discorso interminabile del grande racconto di geometria)


I protagonisti


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Pitagora di Samo

(569 – 475 a.C.)

Tutto è(numero) razionale



I protagonisti


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Pitagora di Samo

(569 – 475 a.C.)



I protagonisti

Pitagora fondò la sua famosa Scuola, dove la matematica era pressoché una religioneesoterica. A Pitagora furono attribuite scoperte (come il famoso teorema omonimo) chesono in generale da ascrivere alla sua Scuola. I numeri naturali e i loro rapporti (i numerirazionali) erano considerati l’essenza dell’armonia dell’universo (il “cosmo”). La scoperta digrandezze tra loro incommensurabili, e conseguentemente dei numeri irrazionali, mise in

crisi tale concezione del mondo, contraddicendo non solo le convinzioni filosofiche deipitagorici, ma mettendo anche in crisi il concetto d'infinito (potenziale) della filosofiagreca; perciò fu proibito ai membri della scuola di rivelare ad altri queste scoperteconsiderate blasfeme. Alla scuola di Pitagora si devono anche lo studio delle relazioni tranumeri, dei quadrati e dei cubi, la risoluzione di equazioni quadratiche (per via geometrica),lo studio dei poliedri regolari.


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Euclide di Alessandria

( 325 – 265 a.C.)

La Geometria

come sistema assiomatico (metodo ipotetico-deduttivo)



I protagonisti


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I protagonisti

Giusto di Gand:Ritratto di Euclide (1473 ca.) – PalazzoDucale di Urbino

Max Enrst: Euclide (1945) – collezioneprivata – Virginia(USA)


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Euclide di Alessandria

( 325 – 265 a.C.)

Euclide è considerato il padre della matematica in senso moderno. Scrisse il più celebretrattato di matematica dell’antichità, gli Elementi (composto di tredici libri concernentila geometria piana, le proporzioni, le proprietà dei numeri ,le grandezzeincommensurabili e la geometria dei solidi). Egli fa uso sistematico del metododeduttivo, riorganizzando le conoscenze geometriche dell’epoca in un sistema (sistemaassiomatico), in cui si ricavano le proprietà delle figure come teoremi, dimostrandole apartire da un insieme di affermazioni elementari assunte come primitive (postulati oassiomi), secondo una concezione che, pur attraverso evoluzioni, rigorizzazioni erevisione dei fondamenti durati fino al secolo scorso, rimane tuttora alla base delpensiero matematico.



I protagonisti


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I protagonisti

Due pagine di un libro degli “Elementi” di Euclide – Codice del IX sec. –Musei vaticani.


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Archimede di Siracusa

(287 – 221 a.C.)

MatematicoFisico

Ingegnere“Calcolo integrale”π

metodo di esaustione…



I protagonisti


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Archimede è considerato il più grande fisico-ingegnere dell’antichità, ma anche unodei più grandi matematici di tutti i tempi. La sua conoscenza della geometria era la

più completa che si potesse concepire ai suoi tempi, i suoi metodi dimostrativistupefacenti. Precorse il calcolo integrale riuscendo a calcolare, superfici e volumidi figure delimitate da linee e superfici curve (parabole, paraboloidi,cilindri). Egli

ricavò inoltre un metodo di approssimazione per determinare il valore del numero pigreco (π, rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio). Famose le suericerche in fisica e ingegneria: studiò le leve (“Datemi un punto d’appoggio esolleverò la Terra ”)e i galleggianti (Principio di Archimede). Costruì genialimacchine per la difesa bellica (nella resistenza di Siracusa contro i Romani:

catapulte, specchi ustori, ecc.).


(287 – 221 a.C.)


I protagonisti


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(287 – 221 a.C.)


I protagonisti


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Aristarco di Samo

(ca. 320-230 a.C.)

Matematicoe

AstronomoPrecursore di Copernico



I protagonisti


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Apollonio di Perga(262 – 190 a.C.)


Apollonio nacque a Perga, oggi nel sud della

Turchia, e soggiornò molto ad Alessandriad’Egitto. Fu noto come “Il grande geometra”,per la sua celebre opera, dove trattava lecurve coniche , vale a dire quelle curveottenute sezionando con un piano un cono adue falde (circolo, ellissi, parabola,iperbole). Il suo trattato costituì il punto dipartenza di Decartes (Cartesio) per lacostruzione della geometria analitica (iniziosec. XVII).


I protagonisti


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Le sezioni coniche

Circolo Ellissi Parabola Iperbole



I protagonisti

Apollonio di Perga(262 – 190 a.C.)


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Diofanto di Alessandria

(ca. 200÷214 – 280 ÷298 d.C.)


E’ considerato, insieme con ilpersiano Al-Khwarizmi, il padre

dell’algebra.

Nel suo trattato Arithmeticatratta della soluzione di

equazioni (con metodigeometrici), in particolare le

soluzioni intere.


I protagonisti


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Pappo di Alessandria

(ca. 290-350 d.C.)

L’ultimo dei grandi geometri greci,del periodo tardo-ellenistico

(anche se sotto l’Impero romano),quando già la matematica era in

piena decadenza. l’unica sua opera

pervenutaci è la Synagoge, piùtardi nota anche come

Collectiones Mathematicae.



I protagonisti


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Hypatia di Alessandria

(370-415 d.C.)


Prima donna matematica dellastoria (figlia del matematico

Teone) e capo della scuolaplatonica di Alessandria nel 400d.C., fu assassinata da cristiani

fanatici a causa della sua attivitàdi matematica e filosofa.


I protagonisti


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giunse in Europa nel tardo medio evo

attraverso

ARABI e PERSIANI

che fondarono

l’ ALGEBRAALGEBRA




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MatematicaLe origini La Matematica arabo-persiana:


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Dopo l’affermazione del dominio arabo-islamico, dal VII sec. D.C., con un

impero che andava dai confini dell’India alla Spagna, Bagdad divenne

gradualmente la capitale culturale del mondo e vi fu fondata una grande

biblioteca che raccoglieva anche le opere più significative della cultura

greca antica. I testi classici scientifici e filosofici, tra cui le opere dei

grandi matematici, furono tradotti e commentati. Si formò così un grande

interesse per la matematica, stimolato soprattutto dalla necessità distrumenti di calcolo efficaci per le osservazioni astronomiche, legate a

loro volta allo studio dell’astrologia, che allora, come in seguito in Europa

fino al sec. XVII, godeva di grandissimo prestigio. Dagli indiani gli arabi

appresero il sistema di numerazione decimale, con l’introduzione di un

simbolo per lo zero. Da qui iniziarono ad elaborare un’aritmetica decimale

e successivamente ebbe luogo la nascita di una nuova disciplina

matematica: l’algebra .


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Astrolabio arabo – Toledo 1068


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Al-Khwarizmi(Bagdad, 780 – 850 d.C.)


Considerato, insieme al precursore Diofanto, il

padre dell’ Algebra .Dal suo nome la parola algoritmo algoritmo (procedura dicalcolo, programma di istruzioni successive

codificate per giungere a un risultato). Le suedue opere sull'aritmetica e sull'algebra sono

diventate famose e hanno esercitato notevoleinflusso sugli studi matematici successivi degliarabi, oltre che sullo sviluppo della matematicamedioevale in Europa. Il trattato sull’algebra è

considerato come l’atto di nascita di questadisciplina.


I protagonisti


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Il titolo originale del trattato di algebra era

“Al-Kitab al-muktasar fi hisab al-jabr wa-l- muqabala”, ossia “Trattato sul metodo di calcolodi spostamento e riduzione”, dove si adottavanoper la prima volta i principi per la risoluzione diun’equazione: la riduzione di termini simili (al- muqabala = bilanciamento) e l’eliminazione ditermini negativi spostandoli da un membroall’altro cambiandoli di segno (al-jabr =completamento). Da al-jabr deriva la parolaalgebra



I protagonisti


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Nella prefazione al suo testo Al-Khwarizmiscriveva trattarsi di “Breve opera sulcalcolo ” che potesse essere utile “in casi di

eredità, donazioni, distruzioni, commerci ”,ma anche per “misurazioni di terreni, scavidi canali, calcoli geometrici e molte altrecose ”.



I protagonisti


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In realtà provocò una rivoluzione delpensiero matematico, anticipando i princìpidelle moderne tecniche di risoluzione delle

equazioni algebriche ed introducendo,mutuandolo dagli indiani, il sistema dinotazione numerica posizionale, con

l’aggiunta del numero zero.



I protagonisti


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Altri grandi matematici arabi svilupparono l’opera di al-

Khwarizmi, tra cui l’egiziano Abu-Kamil (850-930), ilpersiano al-Karagi (X-XI sec. d.C.) e Omar al-Khayyam

(1048 – 1131)


I protagonisti

M


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Omar Khayyam

(1048 - 1131 d.C.)

Matematico, astronomo, poeta,musicologo e filosofo, fu il più grande

prosecutore dell’opera di Al –Khwarizmied uno dei più famosi poeti persiani delsuo tempo.

La su opera più importante fu il Trattatosulla dimostrazione dei problemi di

algebra ,



I protagonisti


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MatematicaLo sviluppo



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Matematica

• Aritmetica :

scienza dei numeri (contare, operare, calcolare )

Lo sviluppo



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• GeometriaGeometria :scienza delle

figure geometriche

(proprietà, dimensioni, misure)




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• Algebra :

scienza della generalizzazione astratta di aritmetica e geometria




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• Algebra :

“I simboli algebrici sono usati quandonon si sa di cosa si sta parlando”.Philippe Shnoebelen



Matematica


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Leonardo Pisano

(Fibonacci)

Pisa, 1170-1250

Liber abaci (1202)

La cultura matematicaaraba entra in Europa

Il tardo Medio EvoLo sviluppo


Il t d M di EMatematica

L il


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“Vedi come da indi si diramal’oblico cerchio che i pianeti portaper sodisfare al mondo che li chiama”

(Par. X, 13-15 )

Il circolo in Dante



Si riferisce alla posizione dellecostellazioni zodiacali (i pianeti ) sull’eclittica (l’oblico cerchio ),

soddisfacendo l’esigenza umana dellaloro lettura in termini astrologici


L il


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“… o se del mezzo cerchio far si puotetrïangol sì che un retto non avesse”

( Par. XIII, 100-102 )


Il circolo in Dante


Richiamo al notissimo teorema di Euclidesul triangolo iscritto in un semicerchio

(sempre rettangolo)


L s il


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“ Dal centro al cerchio e sì dal cerchio al centromovesi l’acqua in un ritondo vasosecondo ch’è percosso fuori o dentro”

( Par. XIV, 1-3 )


Il circolo in Dante


Sulla propagazione delle ondecircolari su una superficie piana

d’acqua

Il tardo Medio EvoMatematica

Lo sviluppo


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“Qual è il geomètra che tutto s’affigea misurar lo cerchio, e non ritrovapensando il principio ond’elli indige

tal era io a quella vista novaveder voleva come si convennel’imago al cerchio e come vi s’indova ”

( Par. XXXIII, 133-138 )


Il circolo in Dante


Sul problema, dopo un millennio ancora irrisolto, dellaquadratura del cerchio quadratura del cerchio (e dimostrato irresolubile solo nel 1852

da Ferdinand Lindemann)


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Il Rinascimento

Scrisse “Dedivina proportione ” (sulla sezione

aurea, i solidi platonici e altro)illustrato da Leonardo.

Compendiò e sistematizzò lamatematica conosciuta

del suo tempo, pubblicando aVenezia un vasto trattato

enciclopedico.

Matematica

Luca Pacioli (1445-1517)

Lo sviluppo



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Il Rinascimento



Alcuni dei solidi platonici disegnati da Leonardo per“De divina proportione” di Luca Pacioli

( it di lidi l t i i)( it di lidi l t i i)


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Johannes Kepler: Modello dellJohannes Kepler: Modello dell’’UniversoUniverso

( a proposito di solidi platonici)( a proposito di solidi platonici)


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Il Rinascimento

Matematica

Le leggi delle prospettiva

Lo sviluppo

Piero della Francesca (1420 – 1492)



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Il Rinascimento

Matematica


Lo sviluppo

Albrecht Dürer, (1471 – 1528)



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Il Rinascimento

Matematica


Lo sviluppo

Paolo Uccello

(1397 – 1475)



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Matematica

Scipione Dal FerroScipione Dal Ferro (Bologna, 1465-1526)

Lodovico FerrariLodovico Ferrari (Bologna, 1522-1565)

Rafael BombelliRafael Bombelli (Bologna, 1526-1572)

L’algebra algebra nei sec. XV e XVI: i protagonisti

(Risoluzione equazioni

di 3° e 4°grado)

Lo sviluppo



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Matematica

Girolamo CardanoGirolamo Cardano

(Pavia, 1501-1576)

Lo sviluppo


di 3° e 4°grado)




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Matematica

Niccolò Fontana, detto Tartaglia Tartaglia

(Brescia, 1499-1557)

Lo sviluppo


di 3° e 4°grado)




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Matematica

François ViVièètete

(Francia, 1540-1603)

Lo sviluppo


Matematico e uomo politico, diedenotevoli contributi all’aritmetica,

all’algebra e alla trigonometria.Introdusse una simbologia matematicapiù agile e sintetica



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Matematica

Paolo RuffiniRuffini

(Reggio Emilia, 1765-1822)

Un grande algebrista italiano dei sec. successivi

Lo sviluppo


Autore della regola di scomposizionedei polinomi che porta il suo nome,dimostrò per primo, anche se non del

tutto rigorosamente, l’impossibilità diformule risolutive mediante radicalidelle equazioni intere di gradosuperiore al quarto (Teorema diRuffini-Abel)


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MatematicaIl ‘600: (“Il secolo d’oro” )

La geometria analitica

L’ “agebrizzazione” delle curve geometriche

Lo sviluppo



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RenRenéé Descartes (Cartesio)Descartes (Cartesio)(Francia, 1596(Francia, 1596 –– 1650)1650)

La geometria analitica: i protagonosti

Lo sviluppo


Matematico e filosofo, ebbe unagrandissima influenza sullo sviluppoculturale successivo e viene taloraconsiderato il padre della matematica e

della filosofia moderne.Nel suo celebre “Discours de la m Discours de la m é é thode thode pour bien conduire sa raison, etchercher la verité dans les sciences" (Discorso sul metodo per un retto uso

della propria ragione e per la ricercadella verità nelle scienze ) troviamo ilprogramma di adottare i metodi rigorosidella matematica in ogni tipo dispeculazione razionale e un’introduzioneal suo celebre metodo delle coordinate.


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RenRenéé Descartes (Cartesio)Descartes (Cartesio)(Francia, 1596(Francia, 1596 –– 1650)1650)


Lo sviluppo


Descartes ritratto da Frans Hals

(1580-1666), celebre pittoreolandese contemporaneo di

Rembrandt


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Pierre de FermatPierre de Fermat((Francia, 1601Francia, 1601 –– 1665)1665)

Lo sviluppo


Giudice supremo alla Corte di Tolosa, èconsiderato “Il Re dei matematici

dilettanti”.

Aprì la strada a diverse nuove branchedella matematica, come il calcolo

integrale, il calcolo delle probabilità, lateoria dei numeri, oltre a dare un

contributo fondamentale alla Geometria

Analitica


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La maggior invenzione delsecolo in aritmetica:

I logaritmiFurono inventati come strumento

per velocizzare i calcoli,soprattutto in astronomia

Lo sviluppo


“I logaritmi hanno raddoppiato lavita agli astronomi”

(Laplace)


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I logaritmi: i protagonosti

Lo sviluppo

Joost BBüürgirgi

(Svizzera, 1552 – 1632)


Era considerato il miglior progettista e

costruttore di orologi del suo tempo.

Insieme a Neper e indipendentemente da lui,è considerato l’inventore dei logaritmi.


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MatematicaIl ‘600: (“Il secolo d’oro” ) Lo sviluppo

John NapierNapier

(Scozia, 1550 – 1617)



Inventore dei logaritmi (insieme a Bürgi),

fu anche teologo e spese la maggiorparte del suo tempo a scrivere libri di

accese dispute religiose


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Henry Briggs

(Inghilterra, 1561(?) – 1630)



Introdusse i logaritmi decimali logaritmi decimali econtribuì notevolmente alla lorodiffusione


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Il regolo calcolatore è uno strumentodi calcolo (analogico) portatile chesfrutta le proprietà dei logaritmi.

E’ costituito da una parte fissa e unaseconda scorrevole sulla prima, sulle

quali sono segnate delle scalelogarimiche, e da un cursore.

E’ stato un potente e agile strumentodi calcolo fino ai recenti anni ’60,

quando fu soppiantato dallecalcolatrici elettroniche

Il regolo calcolatore


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Edmund GunterGunter(Inghilterra, 1581-1626)

Inventò, nel 1624, la “riga calcolatrice riga calcolatrice ”,precursore del regolo, una scalalogaritmica sulla quale si potevano

calcolare prodotti e quozienti per mezzodi un compasso


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William Oughtred

(Inghilterra, 1574-1660)

Diedero (indipendentemente) al regolo le forme attuali, il primo lineare(1628), il secondo circolare (1630), ma privi del cursore, introdotto nel 1851dal francese, colonnello di artiglieria, Victor MannheimVictor Mannheim (1831-1906

Edmund Wingate



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regolo lineare


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regolo circolare


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La matematica diventa il linguaggio del nuovometodo delle scienze sperimentali

Galileo GalileiGalilei

(Pisa, 1564 – 1642)

Lo sviluppo


Fondatore del metodo scientificosperimentale moderno, sommo fisico e

astronomo, studiò il concetto di“indivisibili”, poi sviluppato da Cavalierie alla base del calcolo integrale.


82/260


La matematica diventa il linguaggio del nuovometodo delle scienze sperimentali

“ La filosofia è scritta in questo grandissimo libro checontinuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dicol'universo), ma non si può intendere se prima nons'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri,ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, ei caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure

geometriche, senza i quali mezi è impossibile aintenderne umanamente parola; senza questi è unaggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”

Galileo Galilei. Il Saggiatore

Lo sviluppo



83/260


84/260

Matematica

•• Il Calcolo differenziale e integrale (Analisi matematica(Analisi matematica))

La pi La pi ù ù grande invenzione grande invenzionematematica dopo Euclide matematica dopo Euclide

Il ‘600: (“Il secolo d’oro” ) Lo sviluppo



85/260

Matematica

•• Il Calcolo differenziale e integrale (Analisi matematica)Il Calcolo differenziale e integrale (Analisi matematica)

infinitesimi infinitesimi ee infiniti infiniti ( funzioni , limiti,( funzioni , limiti,

derivate, integrali derivate, integrali

equazioni differenziali) equazioni differenziali)




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Matematica

•• Calcolo differenziale e integraleCalcolo differenziale e integrale :: i protagonosti dell i protagonosti dell ’ ’ invenzione invenzione

Sir Isaac NewtonNewton(Inghilterra

1643 – 1727)



Celebre e sommo fisico e matematico, oltre cheteologo e filosofo e direttore della Zecca d’

Inghilterra, co-inventore, con Leibniz

(indipendentemente) del calcolo differenziale,fondatore della meccanica classica (“Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica ”), scopritore dellalegge di gravitazione universale e della teoria

particellare della luce


87/260

Matematica



1643 – 1727)



Frontespizio dell’opera di Newton,“compilation” di quattro trattati

(edizione di Amsterdam del 1723),contenente le scoperte sul calcolodifferenziale, concepite alcunidecenni prima


88/260

Matematica



1643 – 1727)



Prima pagina dell’operaPhilosophiae NaturalisPrincipia Principia Mathematica

(Londra, 1687)

M i


89/260

Matematica

Gottfried Wilhelm LeibnizLeibniz

(Germania, 1646 – 1716)




Grande filosofo, diplomaticopresso il Duca di Brunswick

e sommo matematico,dobbiamo a lui il simbolismo ancora in

uso per il calcolo differenziale eintegrale

M i


90/260

Matematica

Bonaventura Francesco CavalieriCavalieri

(Milano, 1598-1647)

Il ‘600: (“Il secolo d’oro” )

•• Calcolo differenziale e integraleCalcolo differenziale e integrale :: i precursori i precursori

Lo sviluppo


Sviluppò l’idea degli “indivisibili ”, allabase del concetto di integrale

(Principio di Cavalieri) nell’opera“Geometria indivisibilibuscontinuorum nova quadam ratione

promota ” (1635)

M t ti


91/260

Matematica

Pierre de FermatPierre de Fermat

(Francia, 1601(Francia, 1601 –– 16651665))




Giudice supremo alla Corte di Tolosa, èconsiderato “Il Re dei matematici

dilettanti”.

Aprì la strada a diverse nuove branche dellamatematica, come il calcolo integrale, ilcalcolo delle probabilità, la teoria dei

numeri, oltre a dare un contributofondamentale alla Geometria Analitica

M t ti


92/260

Matematica

Evangelista TorricelliTorricelli

(Faenza, 1608 – 1647)



Lo sviluppo


Matematico e fisicoprecursore del calcolo integrale e

inventore del barometro

M t ti


93/260

Matematica

Isaac BarrowBarrow

(Inghilterra, 1630 – 1677)




Maestro di Newton a Cambridge(dove fu anche professore di

greco), propose originali metodi, nonancora generali, per il calcolo

differenziale

M t ti


94/260

Matematica

Guillaume François AntoineMarquis de L'Hospitalde L'Hospital

(Francia, 1661 – 1704)

•• Calcolo differenziale e integraleCalcolo differenziale e integrale ::


i protagonosti dell i protagonosti dell ’ ’ evoluzione evoluzione

Lo sviluppo


Pubblicò il primo manuale di calcolo

differenziale “Analyse des infinitement petits ” (1696). Famoso, e ancora attuale, ilsuo metodo per calcolare i limiti

indeterminati, probabilmente “rubato” aJohann Bernoulli

M t m tic


95/260

Matematica




Lo sviluppo


Frontespizio allegorico dell’operadel marchese De L’Hospital“Analyse des infinitement

petits ” (1696)

Matematica


96/260

Matematica

Colin Mac LaurinMac Laurin

(Scozia, 1698 – 1746)


Lo sviluppo Il ‘700: (“Il secolo dei lumi” )



Fu il primo a sviluppare unautilissima formula perl’approssimazione delle funzionimediante polinomi

Matematica


97/260

Matematica

Jacob BernoulliBernoulli

(Svizzera, 1654 – 1705)





Uno dei rappresentanti di una grande

“dinastia” che diede alla scienza ben novegrandi matematici e fisici

Matematica


98/260

Matematica

Johann BernoulliBernoulli

(Svizzera, 1667 – 1748)





Un altro dei rappresentanti di una grande

“dinastia” che diede alla scienza ben novegrandi matematici e fisici

Matematica


99/260

Leonhard EulerEuler (Eulero)

(Svizzera, 1707 – 1783)





Sommo matematico, il più grande

dell’era illuministica, è considerato il piùprolifico matematico di tutti i tempi.Era anche uno straordinario

“calcolatore” a mente.

Matematica


100/260

Johann Carl Friedrich GaussGauss(Princeps Mathematicorum )

(Germania, 1777 – 1855)


Lo sviluppo Tra ‘700 e ‘800



Sommo matematico, fisico, cartografo,

diede contributi inestimabili ai piùdiversi campi della matematica

Matematica


101/260

Joseph-Louis LagrangeLagrange

(Torino, 1736 – 1813)





Matematico e astronomo, tra i più influenti

del XVIII scecolo, fece importanti scopertein campi molto diversi, fondò la Meccanicaanalitica e fu presidente della commissioneche, durante la Rivoluzione francesce,introdusse il sistema metrico decimale

Matematica


102/260

Augustin Louis CauchyCauchy

(Francia, 1789 – 1857)


Lo sviluppo L ‘800 (L’età industriale)



Fondamentale la sua opera di avvio

della rigorizzazione dell’AnalisiMatematica, attraverso il concettodi limite . Ottenne notevoli risultati

anche nella Teoria dei numeri e nellaTeoria degli errori

Matematica


103/260

Johann Peter Gustav Lejeune

DirichletDirichlet

(Alsazia, 1805 – 1859)





Tedesco di origine francese, il suo nome

è legato soprattutto alla modernaformalizzazione del concetto di funzione

Matematica


104/260

Carl JacobiJacobi

(Germania, 1804 – 1851)





“L’unico scopo della matematica è l’onore dello spirito umano ” (Carl Jacobi)

Grande docente e grande studiosodelle funzioni ellittiche e dei

determinanti

Matematica


105/260

Georg Friedrich BernhardRiemannRiemann

(Germania, 1826 – 1866)





Sommo matematico, allievo di Gauss, i suoilavori più famosi riguardano le geometrie non-

euclidee e la sua celebre congettura sullafunzione Z, alla base delle ricerche sui numeri

primi dal suo tempo a tutt’oggi

Matematica


106/260

Karl Theodor WilhelmWeierstrassWeierstrass

(Germania, 1815 – 1897)





Per suoi fondamentali lavori è considerato damolti il padre dell’Analisi matematica moderna .

Alla sua scuola si formarono grandi matematicidella generazione successiva

Matematica


107/260


Enrico BettiBetti

(Italia, 1823 – 1892)


Fu docente all’ Università di Pisa e amico diRiemann. Diede importanti contributi in

Algebra, Calcolo differenziale e Topologia.

•• Calcolo differenziale e integraleCalcolo differenziale e integrale ::i protagonosti dell i protagonosti dell ’ ’ evoluzione evoluzione

Alcuni protagonisti italiani nello sviluppo delcalcolo differenziale

Matematica


108/260

Ulisse DiniDini

(Pisa, 1845 – 1918)




Allievo di Enrico Betti, si dedicò allarifondazione dell’Analisi matematica su basi piùrigorose.Famoso il suo teorema sulle funzionifunzioni

implicite implicite


Matematica


109/260

Gregorio Ricci-Curbastro(Lugo di Romagna, 1853 – 1925)




Inventò il calcolo differenziale assoluto calcolo differenziale assoluto , da cuiLevi-Civita sviluppò la teoria dei tensori tensori


Matematica


110/260

Tullio Levi-Civita

(Padova, 1873 – 1941)

Lo sviluppo



Allievo di Ricci-Curbastro, dalle cui scopertepartì per introdurre la teoria dei tensori tensori , che fu

strumento fondamentale per lo sviluppo dellaTeoria generale della Relatività di Einstein


Tra ‘800 e ‘900

Matematica


111/260

Francesco Severi

(Arezzo, 1879 – 1961)

Lo sviluppo



Diede importanti contributi in vari campi dellamatematica (geometria enumerativa,

geometria proiettiva, geometria algebrica,funzioni analitiche a variabili complesse)


Tra ‘800 e ‘900

Matematica


112/260


•• Teoria delle equazioni algebricheTeoria delle equazioni algebriche

i protagonosti i protagonosti

•• Teoria dei gruppiTeoria dei gruppi

Evariste GaloisGalois(Francia, 1811 – 1832)


Geniale matematico e spirito ribelle, morìappena ventenne per le ferite riportate in

un duello

Matematica


113/260


•• Teoria delle equazioni algebricheTeoria delle equazioni algebriche



Niels AbelAbel

(Norvegia, 1802 – 1829)


Ebbe una vita povera e sfortunata e morìprematuramente di tisi. Le sue ideecomplementarono quelle di Galois

Matematica

l à


114/260




Enrico BettiBetti

(Italia, 1823 – 1892)


Fu docente all’ Università di Pisa e amicodi Riemann. Diede importanti contributi

in Algebra e Topologia.

Matematica

L il L ‘800 (L’ à i d i l )


115/260




Arthur CayleyCayley(Inghilterra, 1821-1895)


Matematico molto prolifico con un altissimonumero di lavori, diffuse la cultura della

matematica pura in Inghilterra. Fu ilprimo aintrodurre il concetto generale di gruppo

Matematica

L il L ‘800 (L’ tà i d t i l )


116/260

La geometria proiettivaprecorsa da

- Pappo

- L.B. Alberti (1406 – 1472) e F. Brunelleschi (1377 – 1446)

Segna il passaggio tra la geometria analitica e la geometriaalgebrica, che si svilupperà fortemente nel XX secolo, con ilfondamentale contributo della scuola italiana (Catelnuovo,

Severi, Enriques).



Matematica

M t ti “ l i ”


117/260

Matematica “classica”:,

•• ProbabilitProbabilitàà e Statisticae Statistica::eventi stocastici eventi stocastici

grandi numeri grandi numeri


Matematica

M t m tic “cl ssic ”:


118/260

Matematica classica”:,

•• ProbabilitProbabilitàà e Statisticae Statistica::IlIl calcolo delle probabilit calcolo delle probabilit à à ,, allaalla

base di tutte le scienzebase di tutte le scienze

statistiche ebbe inizio nelstatistiche ebbe inizio nel

‘‘600,600,

ad opera di Blaise Pascal e con ilad opera di Blaise Pascal e con ilfondamentale contributo difondamentale contributo diPierre de Fermat.Pierre de Fermat.


BlaiseBlaise Pascal

(Francia, 1623(Francia, 1623 –– 1662)1662)

Matematica

Matematica “classica”:


119/260

Matematica classica :,


Pierre de FermatPierre de Fermat(Francia, 1601(Francia, 1601 –– 1665)1665)

•• ProbabilitProbabilitàà e Statisticae Statistica::IlIl calcolo delle probabilit calcolo delle probabilit à à ,, allaalla

base di tutte le scienzebase di tutte le scienze

statistiche ebbe inizio nelstatistiche ebbe inizio nel

‘‘600,600,

ad opera di Blaise Pascal e con ilad opera di Blaise Pascal e con ilfondamentale contributo difondamentale contributo diPierre de Fermat.Pierre de Fermat.

Matematica


120/260

Ai confini della Matematica “classica”

L’ALGEBRA LINEARE

(Spazi vettoriali – Algebra delle Matrici)


Matematica

Lo sviluppo Il ‘700 (Il “secolo dei lumi”)


121/260

Gabriel CramerCramer

(Svizzera, 1704-1752)

Lo sviluppo Il 700 (Il secolo dei lumi )

L’algebra lineare: I protagonisti


Studiò soprattutto le curve

algebriche. A lui è dovuta lafamosa regola per risolvere isistemi lineari ad n equazioni ed n

incognite

Matematica

Lo sviluppo L’800 ( L’età industriale)


122/260

Bernard P. J. N. BolzanoBolzano(Praga, 1781-1848)

Lo sviluppo L 800 ( L età industriale)



Matematico, logico, filosofo e teologo

ceco. I suoi principali lavoririguardano i fondamenti dellamatematica. Le sue idee sull’ infinito

matematico anticiparono quelle diCantor

Matematica



123/260

Sir William Rowan HamiltonHamilton

(Irlanda, 1805-1865)




Matematico, fisico e astronomo. Il suocontributo più importante alla matematica

fu l’introduzione dei quaternioni quaternioni , come

estensione dei numeri complessi, definitida una quaterna ordinata di numeri reali,la cui moltiplicazione non è commutativa(fu la prima algebra non commutativa )

Matematica



124/260

Hermann Günter GrassmannGrassmann

(Germania – ora Polonia, 1809-1877)




Professore di ginnasio, enucleò daiquaternioni di Hamilton il moderno

concetto di vettore vettore (in forma

analitica).E’ famoso anche per aver enunciatoper primo le leggi quantitative sulla

formazione dei colori

Matematica



125/260

James Clerk MaxwellMaxwell(Scozia, 1831-1879)




Fu anche uno dei più grandi fisicidell’epoca moderna. Elaborò la teoria delle

onde elettromagnetiche (mediante le

famose equazioni di Maxwell ), rimastainsuperata anche dopo le rivoluzionirelativistica e quantistica del ‘900.

Matematica



126/260

Josiah Willard GibbsGibbs(U.S.A., 1839-1903)




Fu anche un grande fisico, confondamentali lavori nel campo della teoria

dei sistemi termodinamici.

Matematica



127/260

Charles HermiteHermite

(Francia, 1822-1901)

Lo sviluppo L 8 ( L tà n ustr a )



Diede importanti contributi in molticampi della matematica. Dimostrò per

primo la trascendenza del numero diNeper e . Con il suo metodo F.Lindemann dimostrò (1852) la

trascendenza di π, da cuil’impossibilità della quadratura del

cerchio .

Matematica



128/260

James Joseph SylvesterSylvester(Inghilterra, 1814-1897)

Lo sviluppo ( )



Diede contributi fondamentali allateoria degli invarianti teoria degli invarianti , alla teoria deinumeri, al calcolo combinatorio e, in

algebra lineare, alla teoria delle matricimatrici(in collaborzione con Cayley)

Matematica



129/260

Arthur CayleyCayley(Inghilterra, 1821-1895)

L pp ( )



Matematico molto prolifico con un altissimonumero di lavori, diffuse la cultura della

matematica pura in Inghilterra. Fu ilprimo a

introdurre il concetto generale di gruppo.Insieme con Sylvester, diede contributi

fondamentali alla teoria adegli invarianti e a quelladelle matrici

Matematica



130/260

Oliver HeavisideHeaviside


pp



Fisico e matematico e ingegnere, riscoprìindipendentemente l’analisi vettoriale e

applicò in modo del tutto originale le suescoperte e conoscenze matematiche ai

circuiti elettrici e alle ondeelettromagnetiche.

Matematica



131/260

Giuseppe PeanoPeano

(Cuneo, 1858-1932)

pp



Grande matematico in diversi campi(algebra, logica, teoria dei numeri, …),enunciò i suoi famosi 5 postulati sui

numeri naturali.

Matematica

Ai confini della Matematica “classica” ( ‘800)

L i lid


132/260

Le geometrie non-euclidee


Matematica


l d


133/260

Nikolai Ivanovich LobachevskyLobachevsky

(Russia, 1792-1856)

Le geometrie non-euclidee: i protagonisti


Matematica


L i lid i t i ti


134/260

János BolyaiBolyai

(Ungheria, 1802-1860)



Matematica


L t i lid : i t i ti


135/260


Johann Carl Friedrich GaussGauss

(Princeps Mathematicorum )

(Germania, 1777 – 1855)


Sommo matematico, fisico, cartografo,

diede contributi inestimabili ai piùdiversi campi della matematica

Matematica


L m t i lid : i p t nisti


136/260


Georg Friedrich Bernhard

RiemannRiemann(Germania, 1826 – 1866)


Sommo matematico, allievo di Gauss, i suoilavori più famosi riguardano le geometrie non-

euclidee e la sua celebre congettura sulla

funzione Z, alla base delle ricerche sui numeriprimi dal suo tempo a tutt’oggi

Matematica

Ai confini della Matematica “classica” : La topologia


137/260

La Topologia (dal greco tòpos= luogo e lògos=discorso, trattato)è una branca della Matematica nata come studio delleproprietà qualitative delle figure nello spazio,

che non variano quando le figure vengono deformate senza

strapparle, forarle o aggiungere e sottrarre pezzi (comefossero di gomma o di plastilina).

La Topologia moderna si sviluppò in termini sempre più astrattie generalizzati, soprattutto ad opera del grande matematico

francese Henry Poincaré (1954-1912).


Matematica


La topologia: i protagonisti


138/260

LeonhardEulerEuler

(Eulero) (Svizzera,

1707 – 1783)

I ponti di Königsberg



Matematica




139/260

August FerdinandMMööbiusbius

(Germania, 1790 – 1868)

La topologia i protagonisti

Il nastro di Möbius

(a una sola superficie:si passa dall’unaall’altra faccia delnastro senzaattraversare il bordo)


Matematica




140/260

Felix ChristianKleinKlein

(Germania, 1849 – 1925)

p g p g

Bottiglia di Klein


Anche la bottiglia di Klein è a una solasuperficie. Quella illustrata èin realtà unaproiezione nello spazio tridimensionale di

un oggetto a quattro dimensioni

Matematica




141/260

Henry PoincarPoincaréé

(Francia, 1854 – 1912)

p g p g


Poincaré è stato uno dei più fecondimatematici dell’epoca moderna, legando ilsuo nome a molti campi della matematica.

Matematica




142/260

Felix HausdorffHausdorff(Germania – ora Polonia, 1868 – 1942)

p g p g


Hausdorff ha introdotto spazi a un numerodi dimensioni non intero (spazi diHausdorff), alla base della moderna teoriadei frattali.

Matematica




143/260

Stefan BanachBanach(Imp. Austro-Ungh. – ora Polonia

1892 – 1945)


Fondatore dell’Analisi funzionale Analisi funzionale , diedecontributi molto importanti alle teoriadegli spazi vettoriali topologici spazi vettoriali topologici , e allateoria degli insiemi insiemi

Matematica




144/260

Luitzen Egbertus JanBrouwerBrouwer

(Olanda, 1881 – 1966)


Grande studioso dei fondamentilogici della matematica (fu uno deipadri dell’Intuizionismo,Intuizionismo, una variantedel Costruttivismo Costruttivismo ), è considerato ilfondatore della topologia moderna

MatematicaMatematica “moderna”:


145/260

Scienza delle relazioni ,o scienza che trae conclusioni necessarie .

Matematica delle strutture

(Logiche,

topologiche,algebriche,analitiche,…)


Matematica

Matematica “moderna”:,


146/260

“I Matematici non studiano oggetti, marelazioni tra oggetti. Così essi sono liberi disostituire alcuni oggetti con altri finché lerelazioni rimangono inalterate. Il loro contenutoè irrilevante: è solo la loro forma che interessa”

(Henry Poincaré, 1854-1912)

Scienza delle relazioni ,o scienza che trae conclusioni necessarie .


Matematica

Revisione critica dei fondamenti



147/260


Richard Dedekind

(Germania, 1831 – 1916)

• Numeri reali econtinuità

• Teoria degli insiemi


Matematica




148/260

Georg Cantor

(1845 – 1918)

• Infiniti di Cantor





Matematica

Matematica “moderna”:,Revisione critica dei fondamenti


149/260

Bertrand Russell

(Galles, 1872 – 1970)






Matematica



150/260

David Hilbert

(Germania, 1862 – 1943)

• Sistemi assiomatici






Matematica



151/260

Giuseppe Peano(Cuneo, 1858-1932)


• Numeri naturali






Matematica



152/260

Kurt Gödel

(1906 – 1978)

(Teorema di Gödel )







Matematica



153/260

Paul Cohen

(U.S.A., 1934 – )

(Ipotesi del continuo

assioma di libera scelta)







Matematica

Matematica “moderna”:,La teoria degli infiniti di Cantor


154/260

“ Ho percepito nelle pagine di Russell la teoriadegli insiemi, la Mengenlehre, che postula edesplora i vasti numeri che un uomo immortale nonraggiungerebbe nemmeno se consumasse le sueeternità contando, e le cui dinastie immaginariehanno come cifre le lettere dell’alfabeto ebraico.

In tale delicato labirinto non mi fu dato di penetrare”.

g

Jorge Luis Borges (1899-1986)- da “Nihon ”


Matematica

Matematica “moderna”:, (*) (**)

“…ed io tacettiperchè le sue parole parver ebbre”(**)

La teoria degli infiniti di Cantor

“… io giunsil’aspetto mio col valor infinito”(*)


155/260

Georg Cantorcon la moglie

(*) Par: XXXIII, 80-81

(**) Par: XXVII, 98-99

(**)


Matematica

La Matematica del XX secolo è divenuta, ancor più della Fisica, sempre



156/260

p p

più astratta e specialistica, di difficile, quando non impossibile,riduzione a semplificazioni divulgative e a rappresentazioni intuitive.


Matematica



157/260

Curva di Von Koch (Svezia, 1870-1924)

Teoria del Caos e Frattali


Matematica



158/260



Matematica



159/260



Matematica



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Matematica



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Matematica



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Matematica

Matemati

La Matematica - Storia e Protagonisti

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