LA LEZIONE

L’ottica geometrica e il principio di FermatLa radiazione riflessa da specchi ha importanti applicazioni. Si pensi al settore energetico dove specchi piani in movimento seguono il Sole per convergere i raggi alla sommità di una torre (figura 1).

Figura 1 Torre di una centrale solare termica. Gli specchi piani (eliostati) concentrano l’energia solare sulla torre, l’energia termica immagazzinata in una miscela di sali fusi viene utilizzata per produrre vapore e infine elettricità tramite turbine

Oppure agli specchi concavi che grazie all’energia solare, concentrata nel fuoco del paraboloide, mettono in funzione motori (figura 2) o riscaldano fluidi a elevata capacità termica (figura 3).

figura 2 Gli specchi parabolici concentrano nel fuoco i raggi solari. L’energia termica è impiegata da un particolare dispositivo (motore Stirling) per produrre energia elettricafigura 3 I raggi solari riflessi dallo specchio riscaldano una sostanza con elevata capacità termica disposta all’interno di un lungo tubo cilindrico

La capacità di analizzare la riflessione della luce in mezzi che presentano turbolenza come l’atmosfera terrestre ha permesso la costruzione di telescopi con specchi che adattano la loro forma al percorso della radiazione (ottica adattiva figura 4).

figura 4 La luce proveniente dalla stella arriva come un insieme di raggi paralleli. L’atmosfera, a causa del diverso indice di rifrazione, modifica leggermente la posizione dei raggi. Un computer analizza le deformazioni e adatta la forma dello specchio parabolico del telescopio per tener conto della rifrazione. D’altra parte lo studio delle lenti ha portato allo sviluppo di specifici campi: astronomia, microscopia, ottica, fotografia

Le leggi della riflessione e della rifrazione seicentesche, alla base di queste indagini, sono semplici. Per esse non ha senso chiedersi cosa sia la luce. L’oggetto dell’ottica geometrica è la determinazione della traiettoria dei raggi luminosi attraverso una qualsiasi sistema di specchi e di mezzi rinfrangenti (anche con indice di rifrazione variabile con continuità). Il comportamento della luce può essere ricondotto a un unico principio associato al nome del matematico Pierre de Fermat: la luce sceglie, tra due punti assegnati, il cammino che le permette il percorso in cui impiega il minor tempo possibile. In molti campi della fisica, le leggi possono essere espresse attraverso un principio di massimo o di minimo. In un mezzo omogeneo e isotropo è evidente che tra due punti A e B il tempo minimo corrisponde al tragitto più breve (il segmento che unisce i due punti). Nella riflessione, per la simmetria dei punti B e B’ della figura 5, l’angolo di incidenza uguale all’angolo di riflessione corrisponde di nuovo al tragitto più breve tra i punti A e B.

figura 5 Riflessione della luce

Nella rifrazione, dove la velocità della luce c diminuisce di un fattore n (l’indice di rifrazione del mezzo) nel passaggio all’interno di una sostanza trasparente la giustificazione del principio è più complessa (rimandiamo la discussione alla prossima lezione sulla legge di Snell). Nei casi più semplici il tempo è effettivamente il minimo. Eppure l’enunciato del principio di Fermat non è considerato esatto. La sua formulazione generale confronta il cammino ottico seguito dalla luce (tra i punti A e B) e quello di altri percorsi vicini. Solo quello che porta a un insieme di cammini con tempi quasi uguali è quello giusto. La formulazione matematica è un esempio di principio variazionale. La traiettoria di un raggio luminoso tra due punti A e B è tale che quando

essa si faccia variare infinitamente poco, non varia, a meno di infinitesimi di ordine superiore, il tempo impiegato dalla luce a portarsi da A a B. Dare un significato matematico alle frasi “infinitamente poco” e “infinitesimi di ordine superiore” non è facile, ma oggi con applicazioni specifiche è possibile confrontare numericamente i diversi cammini e i tempi impiegati. Al proposito si può vedere la pagina: link

La luce come onda: indice di rifrazione e costante dielettricaNell’ottica fisica, i raggi dell’ottica geometrica divengono le normali ai fronti d’onda e possono essere interpretati come le linee del flusso dell’energia trasportata dalla luce (campo elettromagnetico). Alla luce intesa come onda può essere associata anche una quantità di moto che si può evidenziare in linea di principio con un semplice dispositivo come il radiometro di Crookes.In un’ampolla di vetro viene creato il vuoto e inserito un mulinello con palette aventi un lato ricoperto da uno strato riflettente a specchio e uno strato annerito assorbente. Se si ipotizza che la quantità di moto trasferita dalla luce nell’urto elastico con le facce a specchio sia maggiore di quella dovuta all’interazione anelastica con le facce assorbenti, il mulinello dovrebbe ruotare come se fosse spinto dalla

figura 6 Radiometro di Crookes

parte delle facce speculari. Purtroppo la maggior parte dei radiometri giocattolo (a causa della presenza di un residuo di aria all’interno dell’ampolla) ruota nel verso contrario per l’aumento dell’energia cinetica media delle molecole del gas dalla parte delle facce che assorbono la luce.Per ritornare alla propagazione della luce all’interno di mezzi omogenei e isotropi come il vetro o l’acqua, la velocità di una luce monocromatica (come quella di un laser) passa da 299792458 m/s al valore inferiore v=c/n, dove n è l’indice di rifrazione assoluto della sostanza (caratteristico di quel particolare colore). La novità della trattazione della luce come onda, non è solo nella trattazione dei fenomeni di dispersione dei colori. L’indice di rifrazione può essere legato alle proprietà elettriche e magnetiche della sostanza attraversata dal raggio di luce. Se si può trascurare il magnetismo (le sostanze trasparenti non presentano effetti magnetici) allora l’indice di rifrazione dipende solo dagli effetti elettrici. Diamone una breve introduzione. Consideriamo un condensatore carico. Le forze elettriche tra due superfici piane cariche possono essere ridotte interponendo tra i due piani del condensatore un dielettrico (una sostanza che non ha proprietà conduttrici). L’interpretazione microscopica del fenomeno è abbastanza intuitiva. Le molecole della sostanza si orientano in modo tale da schermare parzialmente le cariche presenti sulla superficie e la forza elettrica si riduce (rispetto al vuoto) di un fattore pari alla costante dielettrica relativa: r.

Nel caso in cui il magnetismo sia trascurabile, è possibile dimostrare che n=(r)1/2. Ricordando però che questo valore dipende dalla frequenza dell’onda monocromatica (le velocità di fase sono diverse e anche r dipende dalla frequenza). La dimostrazione è basata su un modello in cui l’onda luminosa nell’attraversamento del mezzo provoca un assorbimento e una riemissione dell’energia da parte delle cariche oscillanti. Inizia così

il problema della trattazione fisica dell’interazione tra materia e radiazione.

figura 7 Riduzione delle forze elettriche tra le armature del condensatore a causa dell’interposizione di un dielettrico

I fotoni e la polarizzazione

Le proprietà dei quanti di luce sono state accennate già in precedenza più volte. La relazione di Einstein-Planck E=hf collega la frequenza alla sua energia, mentre quella di de Broglie p=h/, associa la quantità di moto alla lunghezza d’onda. La terza caratteristica del fotone, avente un corrispettivo classico, è lo stato di polarizzazione. Pensiamo alla luce costretta all’interno di uno spazio anisotropo, come ad esempio una fibra ottica. Le imperfezioni presenti nel materiale vetroso producono variazioni nello stato di polarizzazione. Qui ci limiteremo a introdurre, sia nella schematizzazione della luce come onde che in quella delle intensità legata al numero di fotoni, alcuni fenomeni tipici della polarizzazione. L’utilizzo di filtri polaroid è abbastanza comune nelle aule dei laboratori di fisica. Osservando la luce attraverso due filtri, il primo fisso con asse di polarizzazione disposto verticalmente e il secondo con asse variabile a causa di una regolare rotazione, si nota una graduale riduzione dell’intensità della luce, fino al raggiungimento di una zona buia corrispondente alla disposizione del secondo filtro con asse orizzontale.

Se indichiamo con I0 l’intensità della luce che raggiunge il secondo filtro e con IT l’intensità della luce trasmessa vale la legge di Malus: IT = I0 cos2dove rappresenta l’angolo tra i due piani di polarizzazione dei due filtri. L’interpretazione ondulatoria del fenomeno è rappresentata nella figura seguente in cui la luce è un’onda sinusoidale (uscente dal primo filtro) che si trova su un piano verticale (le linee rappresentano la direzione del piano di polarizzazione, alcuni autori preferiscono disegnare invece il polaroid con linee

figura 8 Filtri polaroid

perpendicolari rispetto a queste che sono particolari delle fibre conduttrici della sostanza). Se l’angolo definito dai due filtri è di 0°, IT = I0. Se l’angolo è di 45°, IT = I0/2, la luce è assorbita al 50%. Infine, con angolo di 90°, IT = 0, la luce non riesce a passare.

figura 9 Fascio di luce polarizzato lungo un piano verticale che incide su un secondo filtro orientato (rispetto al primo) rispettivamente con angoli di 0°, 45°, 90°figura 10 Fotoni polarizzati lungo un piano verticale che incidono su un secondo filtro orientato (rispetto al prino) rispettivamente con angoli di 0°, 45°, 90°

Proviamo a visualizzare la stessa situazione coi fotoni. Nel caso 0° tutti i fotoni uscenti dal primo filtro passano attraverso il secondo filtro. Se i piani sono a 45°, solo la metà dei fotoni provenienti da sinistra attraversa il secondo polaroid. Nel terzo caso nessun fotone. Nel caso più significativo, la riduzione dell’intensità della luce non comporta allora una riduzione dell’energia del singolo quanto, ma il dimezzamento del numero dei fotoni che attraversano il filtro. Solo un fotone su due modifica il suo stato di polarizzazione (misurabile attraverso un dispositivo capace di rilevare il passaggio

dei fotoni attraverso il filtro stesso). Il punto cruciale della teoria quantistica è che tutti i fotoni per 45° hanno la stessa probabilità (50%) di passare o non attraversare (50%) il secondo filtro, essi sono indistinguibili e, allo stesso tempo, lo stato di polarizzazione può essere pensato come uno strano miscuglio di potenzialità di successo (trasmissione) e insuccesso (assorbimento). L’unica misura possibile è la probabilità statistica dell’insieme dei fotoni di essere trasmessi, ma non è possibile prevedere con certezza l’esito della misura relativa al passaggio di un singolo fotone.