L. de Menna "Elettrotecnica"

Elettrotecnica

Luciano De Menna

Vittorio Pironti EditoreNapoli

© Copyright 1998 by Vittorio Pironti Editore, 209/217, via Lago Patria -Giugliano in Campania - Napoli, ItalyTutti i diritti sono riservati, nessuna parte di questa pubblicazione può essereripr odotta con qualsiasi mezzo, memorizzata o trasmessa per mezzo elettronicosenza il permesso dell’editore.

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Prefazione

È questa la seconda edizione di un testo che raccoglie le lezioni del corso diElettrotecnica da me tenuto nei primi mesi del 1993 per il Consorzio Nettuno, nel-l'ambito di un Diploma teleimpartito in Ingegneria Informatica ed Automatica.Questo "peccato di origine" ne ha condizionato, nel bene e nel male, la sua stesura.Volendo conservare lo stretto legame tra testo e lezioni videoregistrate, si è stati, infat -ti, in qualche modo condizionati da scelte a suo tempo fatte in merito ai contenuti edalla sequenza di esposizione degli argomenti. D'altra parte lo stretto coordinamento ciè sembrato un vantaggio non indifferente che convenisse conservare. La stessa impo-stazione grafica del libr o lo riflette: mentre nella colonna di sinistra si sviluppa il testo,nella colonna di destra scorrono le immagini, con l'indicazione della lezione, utilizzatenel corso video. Spesso le immagini sono soltanto un rimando visivo alla lezione; altrevolte esse fanno parte integrante del discorso sviluppato nel testo. Questa continuaconnessione tra i due “testi”, quello scritto e quello per immagini, costituisce un aspet-to innovativo a nostro avviso significativo dal punto di vista didattico.Alcuni argomenti, non trattati nel corso video per motivi di tempo, sono stati aggiun-ti nel testo ed opportunamente segnalati anche dal punto di vista grafico.Per altri, di maggior peso, si è preferito una scelta diversa. Il corso del ConsorzioNettuno fu concepito inizialmente, infatti, per essere impartito al secondo semestre delprimo anno, a valle di un solo corso di Fisica. In tali condizioni la scelta di limitare ilprogramma al solo modello circuitale era obbligata. Del resto, sempre più spesso, esi-genze di varia natura portano a scelte simili anche nei corsi di laurea tradizionali. C'èil rischio però, così facendo, di non riuscire a far cogliere quella stretta connessione tra

il modello dei campi e quello dei circuiti che è uno dei punti formativi di un corso diElettrotecnica.Per questo motivo si è pensato di integrare il testo con alcune appendici che ne con-sentono una duplice lettura, come diffusamente spiegato nell'introduzione.Questa seconda edizione non è molto diversa dalla precedente; sono stati corretti alcu-ni errori tipografici e si è cer cato in qualche punto di migliorare l’esposizione degliargomenti, in particolare nel capitolo sulla trasformata di Laplace. Inoltre si è decisodi non accludere il software didattico al testo, essenzialmente perché, essendosi esso,nel frattempo, ampliato notevolmente, si è preferito allegarlo ad una nuova pubblica-zione specifica, di prossima edizione, che ne illustrasse il funzionamento in modo piùdettagliato, dal titolo “Laboratorio Virtuale di Elettrotecnica”.Lo spirito complessivo che ci ha animato è stato quello di produrre un testo essenzial-mente didattico; così in diversi punti sono proposti al lettore semplici esercizi chehanno lo scopo di chiarire aspetti trattati nella teoria, o di introdurre problematichenuove. Nei paragrafi successivi le soluzioni di alcuni dei problemi pr oposti vengonobrevemente discusse; per altri si rimanda al testo di esercizi consigliato.Ogni libro non è mai il frutto del lavoro di una persona sola: oltre a chi materialmen-te lo scrive, in esso c’è il contributo di quanti hanno interagito con l’autore ed hannocontribuito a creare l’ambiente culturale in cui egli si è formato. Da questo punto divista sono lieto di dover riconoscere il mio debito nei confronti del mio maestro,Ferdinando Gasparini, e dei colleghi Oreste Greco e Scipione Bobbio. GiovanniMiano ha contribuito in modo importante a definire la impostazione di alcune parti dellibro e Luigi Verolino ne ha impietosamente cercato gli errori nella prima edizione.

Napoli 17 settembre 1998

II Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica

Tradizionalmente il corso di Elettrotecnica per gli allie-vi elettrici ed elettronici fa parte di quel gruppo di corsiche fanno da ponte tra le materie formative in sensolato del primo biennio e quelle, altrettanto formative,ma in maniera più specifica ed applicativa, del succes-sivo triennio del corso di studi in Ingegneria. In questosenso tale corso avr ebbe lo specifico compito di parti-re dall’approfondimento dei principi base trattati incorsi come Fisica, Analisi, Geometria ecc.., e portarel’allievo alla padronanza delle metodologie e tecnicheche da questi princìpi producono applicazioni, fino allesoglie dello studio delle stesse applicazioni concrete.L’ E l e t t rotecnica in part i c o l a re ha il compito diapprofondir e il modello del campo elettromagneticolentamente variabile, o stazionario, ed il modello cir-cuitale. Sempre più spesso, però, in questi ultimi anni,il corso di Elettrotecnica trova una collocazione, nelcurriculum complessivo degli studi, che non consentetale impostazione tradizionale. Talvolta, per esempio,come accade in alcuni Diplomi, il corso viene imparti-to a valle di un solo corso di Fisica; in tal caso, eviden-temente, la trattazione del modello del campo elettro-magnetico lentamente variabile, modello che è alla basee giustifica quello circuitale, deve necessariamente esse-re rimandata ad altro corso.

Introduzione

Gli elementi di base di una teoria dei circuiti elettrici,invece, possono essere forniti in maniera assiomatica,prescindendo, in qualche modo, dalla loro fondamentoelettromagnetico: si danno per assunti alcuni assiomifondamentali e da questi si derivano tutte le proprietàdel sistema così costruito. Questo approccio è anzi daalcuni autori preferito, in quanto presenta il vantaggiodi una maggiore sistematicità e organicità. La connes-sione, però, con i fenomeni fisici che quel modellodescrive viene ad allentarsi ed è questo, dal punto divista didattico e formativo, a nostro avviso, un difettograve delle impostazioni assiomatiche; tali teorie, inve-ce, sono utilissime in una fase successiva di sistematiz-zazione della materia.A noi sembra di grande importanza didattica nonrinunciare, in un corso di Elettrotecnica, a fornire que-gli elementi di connessione con il vasto campo di feno-meni che vengono detti elettromagnetici, così compiu-tamente descritto dal modello introdotto, nella secon-da metà dell’ottocento, dallo scienziato inglese JamesClerk Maxwell e racchiuso nel suo famoso sistema diequazioni.Per questo motivo si è pensato di realizzare un testoche consenta due possibili letture: il corpo centraledella trattazione è costituito dagli elementi di base dellateoria dei circuiti, con brevi richiami di nozioni ele-mentari di elettromagnetismo, là dove strettamentenecessari. Alcune appendici poi - opportunamenterichiamate nel testo - consentono, a chi abbia acquisitoin un corso di Fisica le basi necessarie, di approfondirele connessioni tra teoria elettromagnetica e modello cir-cuitale.Tratteremo dunque del modello circuitale, un modelloed una teoria che danno conto del funzionamento disistemi apparentemente molto diversi tra di loro: daltradizionale circuito elettrico, ai dispositivi integratiche sono alla base della moderna elettronica; dai com-

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ponenti microscopici che hanno consentito l’incredibi-le sviluppo dei “computers” dei nostri giorni, agliimpianti di grandi dimensioni che consentono la distri-buzione dell’energia elettrica in modo capillare. Infinevarrà la pena di ricordare che concetti e schemi carat-teristici del modello circuitale trovano la loro applica-zione anche in campi in cui sembrerebbe più difficileadattarli: nella teoria dei cosiddetti circuiti a microon-de, o in sistemi, come le antenne, in cui la propagazio-ne delle onde - teoricamente assente là dove si rendenecessaria l’ipotesi del “lentamente variabile” - è unfattore dominante.Cominciamo quindi con alcuni richiami elementari dielettromagnetismo - forse sarebbe più indicato dire“elettrologia” - indispensabili per introdurre i due atto-ri principali della teoria dei circuiti: differenza dipotenziale ed intensità della corrente elettrica.Chi ritiene opportuna una introduzione più articolataed approfondita, può leggere la prima delle menziona-te appendici integrative e riprendere poi dal capitolo I.

Cariche elettriche e forze elettriche

I corpi materiali possono presentare proprietà partico-lari che danno luogo alle cosiddette interazioni elettri-che e magnetiche. Elemento chiave di tali interazioni èla carica elettrica, una proprietà individuata da unagrandezza scalare q che prende il nome, appunto, dicarica elettrica. Per inciso, questa proprietà è quantiz-zabile, nel senso che esiste una carica minima pari ad e,tutte le altre essendo multiple di questa.Le cariche elettriche interagiscono tra di loro eserci-tando forze le une sulle altre. In particolare esistonodue diverse “qualità” di cariche: cariche dello stessotipo si respingono e cariche di tipo opposto si attrag-gono. Ciò porta a dare a q un segno, negativo o positi-

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vo, per distinguere le due possibili alternative. In parti-colare l’elettrone, uno dei componenti dell’atomo, hacarica negativa pari a -e, mentre nel nucleo dell’atomosono presenti altri elementi, i protoni, che presentanouna carica positiva pari a +e.Apriamo, a questo punto, una brevissima parentesi suisistemi di unità di misura. Non discuteremo questotema e tutta la sottile problematica che esso implica,per ché ci sembra un argomento più adatto ad altrocorso; ci limiteremo a dichiarare che nel seguito faremosempr e riferimento al Sistema Internazionale (S.I.), ericorderemo di volta in volta le unità di misura dellegrandezze che introdurremo. Daremo per implicito cheper ogni grandezza si possa immaginare di costruireuno strumento in grado di misurarla.Nel Sistema Internazionale la carica elettrica si misurain coulomb (C) e la carica dell’elettrone è, in modulo,pari a 1,60210 . 10-19 C.L’interazione elettrica tra i corpi materiali può esserericondotta ad una legge elementare che prende il nomedi legge di Coulomb. Questa legge immagina una situa-zione ideale in cui i corpi materiali portatori delle cari-che si riducano a punti geometrici. Introduciamo così ilconcetto di carica puntiforme: un corpuscolo che occu-pa un volume idealmente nullo intorno ad un punto,ma con massa non nulla, e che è portatore di una cari-ca elettrica q (positiva o negativa). Si tratta certamentedi una idealizzazione, ma non del tutto priva di fonda-mento fisico, se si pensa che i “volumi occupati” dainaturali portatori elementari di cariche, protoni edelettroni, sono generalmente molto piccoli rispetto alledimensioni che caratterizzano il fenomeno particolareche si vuole studiare; gli esperimenti ci dicono che, peresempio, la carica di un protone si può immaginareconcentrata in una sfera di 10-13 cm di raggio.


Orbene, la legge di Coulomb afferma che se due cari-che puntiformi di tale tipo, q1 e q2, fossero poste(ferme) alla distanza r l’una dall’altra, su ognuna dellecariche agirebbe una forza; in particolare, quella eser-citata dalla carica 1 sulla carica 2 è espressa dalla for-mula:

La forza F12 è dunque diretta lungo la congiungente trale due cariche, è proporzionale al prodotto delle stesse,inversamente proporzionale al quadrato della distanzache le separa e, come si desume dalla presenza del ver-sore 12, è diretta nel verso che va dalla posizione occu-pata dalla carica q1 a quella occupata dalla carica q2, seentrambe le cariche hanno lo stesso segno; tale forza è,dunque, attrattiva se le cariche q1 e q2 hanno segnoopposto, e repulsiva se esse invece hanno lo stessosegno. Sulla carica q1 agisce una forza eguale ed oppo-sta:

Se le cariche sono libere di muoversi, tali forze produ -cono movimento, secondo le ben note leggi della dina-mica newtoniana.Se ci limitassimo a considerare solo cariche ferme edaggiungessimo, alla legge di Coulomb, la proprietà chetali forze di interazione sono sovrapponibili - in pre-senza, cioè, di più cariche puntiformi, la forza agente suognuna di esse è la somma vettoriale delle forze cheogni altra carica produrrebbe sulla stessa carica, inassenza delle altre - potremmo derivare, dalla sola leggedi Coulomb, tutte le leggi della interazione elettrica. Lecose si complicano un poco quando consideriamo cari-che in movimento: la legge di Coulomb va leggermen-te modificata, o sostituita con altre leggi ad essa equi-valenti. Non possiamo, però, in questa sede, approfon-dir e oltre l’argomento.

F12 = - F21 .

r

F12 = k q1q2

r2 r12 . (1)


Tensione e differenza di potenziale

Supponiamo di avere, in una regione dello spazio, una“distribuzione” di cariche. Non ci occuperemo dellecaratteristiche di tale distribuzione, ma soltanto dell’a-zione che tali cariche esercitano su altre cariche.Supponiamo ancora di poter disporre di una caricapuntiforme, e positiva, che goda delle proprietà di nondisturbare la posizione o il movimento delle altre cari-che. In qualsiasi punto si venga a trovare la carica inquestione, che d’ora in poi chiameremo carica di prova,essa risentirà di una forza prodotta dalle altre cariche,che d’ora in poi chiameremo cariche sorgenti. Se la cari-ca di prova è unitaria, chiameremo campo elettrico E laforza che essa risente. Per una carica di valore q, per lalegge di Coulomb, la forza sarà F = qE. In r ealtà laforza percepita dalla carica di prova non dipende sol-tanto dalla posizione in cui essa si trova, ma anche dallavelocità con cui essa passa per il punto in questione.Anche questo è argomento che non ci è dato approfon-dire in questa breve sintesi.In ogni caso se immaginiamo di portare la carica diprova q, da un punto A ad un punto B lungo una linea, la forza F che agisce sulla carica compirà un lavoro

per unità di carica che potremo calcolare come:

Nella prima immagine della pagina è illustrato il signi-ficato dell'integrale: somma di infiniti contributi infini-tesimi. A tale lavoro viene dato il nome di tensionelungo la linea tra i punti A e B, e si misura in volt (V).Lo strumento che la misura verrà detto voltmetro eavremo modo di parlarne nel seguito.Si noti che per poter parlare di tensione tra due puntibisogna aver specificato una linea tra gli stessi, ed il

TA B = Fq · dl

A

B

. (2)



verso in cui ci si muove sulla linea (da A a B oppure daB ad A); ciò giustifica anche il simbolo utilizzato.Supponiamo ora di spostare la carica di prova lungoun’altra linea, , tra gli stessi punti A e B, come mostra -to in figura. Anche in questo caso verrà compiuto unlavoro TA B, che in generale sarà diverso dal preceden -te. In determinate situazioni accade invece che tale lavorosia indipendente dal percorso e dipende esclusivamen-te dai due punti estremi. Sarebbe facile far veder e, uti-lizzando la legge di Coulomb, che una tale situazione siverifica se le cariche sorgenti sono tutte ferme e la cari-ca di prova si immagina mossa lentissimamente, unprocesso che in fisica viene definito adiabatico . Si osser-vi che in questo caso il lavoro compiuto dalla forza Fquando la carica di prova è mossa lungo un percorsochiuso - per esempio l’unione di e , quest’ultimoorientato nel verso opposto - è identicamente nullo.Supponiamo di essere in queste condizioni e di calco-lare il lavoro che il campo compie quando la carica diprova si muove da un punto qualsiasi nello spazio adun punto O fisso. Per ogni punto A prescelto avremoun valore di tale lavoro, indipendentemente dal per-corso compiuto per andare da A a O. Abbiamo in pra-tica costruito una funzione V(A) dei punti dello spazioche chiameremo potenziale del punto A rispetto ad O.In particolare è evidente che la funzione V in O è nulla.Si dice che il punto O è stato scelto come punto di rife-rimento dei potenziali. Se ora, per esempio, immagi-niamo di calcolare la tensione tra A e B (vedi immaginia lato), otteniamo:

perché il lavoro da A a B, nelle nostre ipotesi, è lo stes-so sia che si vada lungo AB sia che si vada lungo , nelverso segnato in figura, e lungo , nel verso opposto.

Nel caso in cui, dunque, il lavoro è indipendente dal

TA B = TA O - TB O = V(A) - V(B)

percorso esso può essere messo sotto la forma di unadifferenza di potenziale (d.d.p. nel seguito) tra i duepunti in esame. Si noti che tale lavoro è positivo, equindi le sorgenti compiono effettivamente lavoro sullacarica di prova, se il potenziale di A, V(A), è maggioredi quello di B, V(B).

Intensità della corrente elettrica

Come si è detto, i portatori di cariche elettriche posso-no essere in movimento. Supponiamo di avere in unaregione dello spazio un gran numero di tali portatori,tutti di egual carica q e tutti con la stessa velocità v. Lecariche siano tanto numerose, ed i loro portatori occu-pino un volume tanto piccolo - è la solita idealizzazio-ne della carica puntiforme - da poter descrivere la lorodistribuzione attraverso una funzione densità n: se dVè un volumetto elementare, i portatori contenuti in talevolume sono, per definizione, dN= ndV.Consideriamo ora una superficie piana S attraverso laquale, nel loro moto, le cariche si trovano a passare.Vogliamo calcolare la quantità di carica che nel tempodt attraversa detta superficie nel verso che va da sinistraa destra. Costruiamo un cilindro con base sulla super-ficie S e lunghezza, nella direzione parallela a v, pari avdt. Per costruzione tutte le particelle che, all’istante t,si trovano nel cilindro considerato, nel tempo dt, per-correndo lo spazio vdt, si troveranno a passare attra-verso la super ficie S, mentre tutti i portatori al di fuoridel volume considerato, o “mancheranno” la superficieS, oppure percorreranno una distanza insufficiente adincontrarla. Se ne deduce che il numero di portatoriche attraverseranno la superficie S nel tempo dt è parial numero di portatori contenuti nel cilindro di volumeS vdt cos , cioè nS vdt cos , dove è l’angolo fra ladirezione di v e quella della normale ad S.



Lezione II

Dato che ogni portatore è dotato di carica q, la caricatotale che attraversa la superficie S nel tempo dt è:

e nell’unità di tempo:

A tale grandezza viene dato il nome di intensità di cor -rente elettrica .Naturalmente la definizione di intensità di correnteelettrica che abbiamo illustrato in un caso semplice,può essere estesa al caso in cui i portatori siano dotatidi carica diversa, non abbiamo tutti la stessa velocità, ela loro densità vari da punto a punto. Si noti che il con-cetto di intensità di corrente richiede, oltre ad unadistribuzione di cariche in movimento, la scelta di unasuperficie attraverso cui si intende valutare il flusso dicariche e quella di un verso, l’orientazione della nor-male su S. Nel seguito parleremo spesso di intensità dicorrente senza specificare la superficie attraverso laquale intendiamo calcolarla, mentre specificheremosempr e il verso; ciò accade perché, nei casi in questio-ne, la superficie è implicitamente definita. È il caso incui il moto dei portatori è obbligato a svilupparsi lungoun percorso determinato, il “conduttore” appunto.Vale la pena di sottolineare, ancora una volta, che sia ilconcetto di tensione che quello di corrente presuppon-gono la scelta di un verso: la tensione da un punto A adun punto B e la corrente in un verso lungo il percorsostabilito.Ricordiamo infine che l’unità di misura dell’intensità dicorrente elettrica nel Sistema Internazionale è l’ampere(A), pari ad un coulomb al secondo, e che lo strumen-to che la misura viene detto amperometro.

I = dQ dt

= nqS v cos .

dQ = nqS vdt cos ,

La legge di Ohm ed il “bipolo” resistore

I corpi materiali si comportano in maniera differentequando ad essi viene applicata una differenza di poten-ziale. Come sappiamo, tra i costituenti elementari dellamateria vi sono portatori di cariche elettriche: elettronie ioni. Tali portatori possono essere più o meno legatialla struttura del corpo materiale e quindi più o menoliberi di muoversi. Sotto l’azione della differenza dipotenziale i portatori liberi (ma non completamenteliberi, come vedremo), si muovono e danno luogo aduna corrente elettrica.Da questo punto di vista, e con una classificazione peril momento solo grossolana, potremmo inserire ognimateriale in una scala che vede ad un estremo l’isolan -te perfetto - un materiale in cui i portatori di cariche osono completamente assenti, o, se presenti, sono deltutto impediti nel loro moto - ed all’altr o estremo ilconduttore perfetto in cui i portatori di cariche, presen-ti in gran numero, sono completamente liberi di muo-versi. Il vuoto perfetto, per esempio, fin tanto che rima-ne tale, è certamente un perfetto isolante, mentre uncorpo metallico, rame per esempio, portato a bassissi-ma temperatura può essere considerato una buonaesemplificazione di un conduttore per fetto. Nei mate-riali metallici, o conduttori di prima specie, in particola-re, i portatori di carica responsabili della corrente sonogli elettroni periferici degli atomi o molecole che costi-tuiscono, con il loro reticolo, la struttura del materialestesso. Tali elettroni, debolmente legati ai rispettiviatomi, for mano in effetti una sorta di nube elettronicache, sotto l’azione di una forza prodotta dall’applica-zione di una differenza di potenziale, si mette in motoe produce una corrente.Per un gran numero di tali conduttori, e per un campodi variabilità dei parametri in gioco discretamente


ampio, sussiste una relazione di proporzionalità tra lad.d.p. applicata e la corrente prodotta: a tale relazionedi proporzionalità viene dato il nome di legge di Ohm.Cerchiamo di approfondire il contenuto della legge diOhm facendo riferimento ad una configurazione idea-le semplice. Supponiamo di avere un corpo materiale edi individuare sulla superficie che lo racchiude duepunti ai quali immaginiamo di applicare la d.d.p. V.Supponiamo inoltre di essere in grado di portare aduno dei due punti e di prelevare dall’altro, una qualsia-si corrente I; non domandiamoci, per il momento,“chi” applica la d.d.p. né “come” portiamo e prelevia-mo la corrente nei due punti. Una volta fissati i punti diaccesso della corrente, il moto delle cariche all’internodel corpo si svilupperà in una ben precisa maniera chenon è necessario, però, in questa fase, specificare inmaggior dettaglio. Se, in queste condizioni, immaginia-mo di applicare agli stessi punti, diverse differenze dipotenziale, e misuriamo la corrente che ne deriva, veri-ficheremo che:

V = R I. (3)Alla costante di proporzionalità R, che nel SistemaInternazionale si misura in ohm , viene dato il nome diresistenza del corpo in esame, quando alimentato nellamaniera indicata. Questa precisazione è necessaria per-ché il valore della costante R, in generale, cambia secambiano i due punti di applicazione della d.d.p., cosìcome cambia ancora, se, invece di due punti ideali pen-siamo a due superfici attraverso le quali la correnteviene portata e prelevata; in questo caso R dipendeanche dalla forma ed estensione di tali superfici (glielettrodi). Per questo motivo ci siamo resi indipenden-ti dalla forma degli elettr odi supponendoli, in unasituazione ideale, addirittura puntiformi.Naturalmente la stessa legge di proporzionalità può


essere espressa nella forma:I = G V, (4)

dove G = 1/R prende il nome di conduttanza ed è misu-rata in Siemens (S).È interessante approfondire l’analisi del contenutodella legge di Ohm allo scopo di cercare di distinguerein essa la parte che dipende dalla geometria del corpoda quella che invece dipende strettamente dalla naturadel materiale. Per semplicità espositiva assumiamo unageometria molto semplice: un cilindro abbastanzalungo rispetto alla sua dimensione trasversale, in mododa poter ritenere che la maniera in cui viene applicatala d.d.p. non possa influenzare in modo significativo ladistribuzione del moto delle cariche all’interno delc i l i n d ro. In tali ipotesi una indagine sperimentalemostra che

dove prende il nome di resistività del materiale - ilsuo inverso quello di conducibilità - e dipende solodalla sua natura e dalle condizioni fisiche in cui si trovaad operare, L è la lunghezza ed S la misura della sezio-ne trasversale del cilindro. Nella immagine a lato sonoriportati valori indicativi della resistività di alcuni mate-riali alla temperatura ambiente. Come si vede rame edargento hanno una bassa resistività. Il rame costituisceil miglior compromesso - bassa resistività e basso costo- e per questo motivo è di gran lunga il materiale piùusato nelle applicazioni elettriche, tanto che nel lin-guaggio comune rame è diventato sinonimo di condut-tor e elettrico.

R = LS

(5)


Il modello di Drude

Il fatto che alcuni materiali - che vengono appunto detti ohmici - sottostannoalla legge di Ohm, ha un significato molto sottile che cercheremo di esaminaresia pure solo qualitativamente. Dalla definizione di intensità di corrente risultaevidente che la stessa è proporzionale alla velocità media dei portatori di cari-ca. D’altra parte la differenza di potenziale, in quanto integrale del campo,deve essere pr oporzionale alla forza esercitata sui portatori stessi; il campoinfatti è la for za per unità di carica. La legge di Ohm, dunque, afferma che lavelocità è pr oporzionale alla forza, in apparente contraddizione con le leggidella dinamica che vogliono quest’ultima proporzionale all’accelerazione:

F = ma.In effetti la contraddizione è solo apparente in quanto la legge di Newtonimmagina il corpo, soggetto a forze, completamente libero di muoversi.Evidentemente i portatori di carica in un conduttore ohmico non sono com-pletamente liberi di muoversi! Il reticolo che costituisce il corpo materiale incui i portatori sono costretti a muoversi offre un qualche ostacolo al moto dellecariche. La legge di Ohm, in effetti, ci consente di determinare quale tipo diostacolo. Supponiamo infatti che l’effetto complessivo delle cariche ferme,costituenti il reticolo, sia equivalente ad un attrito e quindi proporzionale allavelocità; la forza complessiva che agisce sulle cariche sarà allora F - k v, datoche l’attrito si oppone all’azione del campo elettrico.Se si raggiunge una condizione stazionaria, la velocità delle cariche sarà costan-te, e la loro accelerazione, quindi, nulla. Avremo dunque:

F - k v = m a = 0,

e quindi F = kv, come prescritto dalla legge di Ohm. Questo modello dellaconduzione nei conduttori ohmici, che va sotto il nome di modello di Drude,e che abbiamo esposto solo in maniera qualitativa, può, in realta, essereapprofondito anche ad un livello quantitativo con buoni risultati. A noi inte-ressava farne cenno soprattutto per sottolineare il fatto che la validità dellalegge di Ohm richiede il verificarsi di una condizione abbastanza particolare.Non stupisce quindi che tale legge non sia soddisfatta da tutti i materiali, e che


gli stessi materiali ohmici siano tali solo in determinate condizioni; per esem-pio al variare della temperatura del corpo in esame la resistività del materialenon si mantiene costante, come vedremo meglio nel seguito. Non meno impor-tante, dal punto di vista applicativo, è il caso di quei materiali che non sotto-stanno alla legge di Ohm e che quindi presentano una dipendenza non linearetra tensione e corrente. La moderna elettronica è tutta basata sul comporta-mento di tali materiali.


I bipoli

Al fine di una futura estensione dei concetti esposti,introduciamo una opportuna terminologia: chiamere-mo bipolo resistore il sistema descritto nel capitolo pre-cedente. Le sue proprietà possono essere così riassun-te:Un bipolo resistore è una “scatola” chiusa che comuni -ca con l’esterno, dal punto di vista elettromagnetico, soloattraverso due suoi punti ben definiti (morsetti del bipo -lo). Esso gode delle seguenti proprietà:

Come vedremo in seguito, per estendere il concetto dibipolo, basterà che la seconda proprietà sia verificataper ogni linea che non entri nella “scatola” che rac-chiude il bipolo in questione, e che tale linea non sia“comunque lunga”. La relazione V = RI si dice caratte -

- la corrente che entra in un morsetto è uguale a quel -la che esce dall’altro;- la tensione tra i due morsetti del bipolo è indipen -dente dal cammino prescelto per calcolarla e quindipuò essere espressa come differenza di potenziale;- la tensione tra i morsetti è proporzionale alla'inten -sità di corrente che li attraversa; la costante di propor -zionalità R prende il nome di resistenza del bipolo;

Capitolo I

ristica del bipolo. Vogliamo osservare che nello scrive-re la legge di Ohm abbiamo implicitamente fatto dellescelte sui versi positivi della corrente e della tensione.Con riferimento alla figura I.1, se V è l’integrale di lineadel campo tra i punti A e B, nel verso che va da A a B,ed I è la corrente nello stesso verso scelto per calcolarela tensione, cioè da A a B, allora la legge di Ohm assu-me la forma espressa dalla relazione (3) del capitoloprecedente, con R dato dalla (5), e quindi positivo perdefinizione.

Fig.I.1Ma erano possibili anche scelte diverse. Si supponga dinon conoscere a priori quale dei due morsetti A e B siaquello effettivamente a potenziale maggiore, ma divolere comunque indicare con un simbolo, per esem-pio V*, per distinguerlo dal precedente, la differenza dipotenziale; non si potrà, evidentemente, che sceglierearbitrariamente uno dei punti - B per esempio - e defi-n i re V* la diff e renza di potenziale tra B e A.Supponiamo invece di mantenere invariata la scelta perla corrente, e cioè definiamo I la corrente che entra daA ed esce da B. Per quanto detto in precedenza si avrà:

V* = - RI (I.1)


dato che V* = - V, evidentemente; la caratteristica delbipolo appare in queste condizioni alquanto diversa!Occorre dunque precisare che un resistore ha unacaratteristica del tipo V=RI, con R positivo, se i versipositivi scelti per la tensione e la corrente sono tali chela corrente è positiva quando entra nello stesso morsettoche, se a potenziale maggiore dell’altro, determina una Vpositiva. Questo tipo di scelta viene detta dell’utilizza -tore per ragioni che saranno chiare in seguito. Primaspendiamo qualche parola sui simboli grafici.Indicheremo un resistore con i simboli mostrati in figu-ra. Il segno + accanto ad un morsetto individua la scel-ta del verso positivo per le V, mentre la freccia indicaquello delle correnti. Nella stessa figura sono ancheindicate le quattro alternative possibili.È facile convincersi che l’alternativa a) coincide con lac) (basta r uotare di 180° il disegno), mentre quella d)coincide con la b). Le alternative a) e c) le abbiamo giàdette dell’utilizzatore, diremo invece del generatorequelle b) e d). Vediamo perché questa terminologia.

La legge di Joule

Come è noto, la tensione tra due punti può anche esse-re vista come il lavoro compiuto per portare una caricaunitaria da un punto all’altro. Basta rifarsi alla defini-zione di tensione e ricordare che F = q E. Se nell’unitàdi tempo vengono portate I cariche da un punto all’al-tro, tra i quali esiste la differenza di potenziale V, sicompirà, dunque, un lavoro per unità di tempo VI, cioèil resistore sarà interessato da una potenza VI. Con leposizioni fatte, è chiaro a questo punto che il prodottoVI, cioè la potenza ai morsetti del resistore, risulteràpositivo solo se è stata scelta una convenzione dell’uti-lizzatore per la coppia tensione-corrente. Per l’altra


convenzione tale prodotto, sempre nel caso del resisto-re, risulterà negativo. Consideriamo infatti la conven-zione a: per definizione V è positivo se il punto indica-to con il segno + è a potenziale maggiore dell’altro. Main tali condizioni il campo E farà muovere le carichepositive nel verso che va dal punto contrassegnato conil + all’altro, e quindi I risulterà positiva. D’altra parte,come è noto, l’energia associata alla potenza VI inte-ressante un resistore, viene “dissipata”, o meglio tra-sformata in un altro tipo di energia: calore. Infatti perun tempo dt si ha:

che è, appunto, la ben nota legge di Joule. Appare quin-di naturale parlare di energia e potenza “assorbita” ed“utilizzata” dal bipolo resistore e definire convenzionedell’utilizzatore quella convenzione che fa sì che talepotenza risulti positiva. Se, dunque, su di un resistoresi è fatta la convenzione dell’utilizzator e, la potenzaassorbita risulterà sempre positiva. È vero anche l’op-posto: se si fa per un resistore la convenzione del gene-ratore, la potenza, che converrà a questo punto chia-mare potenza generata, risulterà sempre negativa. La caratteristica di un bipolo, almeno di quelli cheintendiamo introdurre in questa prima fase, può essereutilmente rappresentata nel piano (I,V). Per un bipoloresistore, tale rappresentazione è, evidentemente, unaretta passante per l'origine degli assi. Si noti la diversarappresentazione a seconda della convenzione scelta.Nel caso di una convenzione dell'utilizzatore, l'inclina-zione della r etta, rispetto all'asse delle correnti, è taleche tg = R.Supponiamo ora di avere a disposizione più bipoli edimmaginiamo di collegarli tra di loro. Per far ciòabbiamo bisogno di elementi di connessione tra i mor-setti, che negli schemi grafici rappresenteremo con dei

dW = P dt = VIdt = RI2dt,


tratti di linea che uniscono le scatole rappresentativedei bipoli. Si suppone che tali elementi di connessionenon abbiano alcuna influenza sul sistema. Essi si limi-tano a portare la corrente senza introdurre alcunad.d.p. aggiuntiva. Nella pratica essi saranno realizzaticon conduttori ad elevata conducibilità, tipicamente inrame.Dati due soli bipoli, sono possibili soltanto due tipi dicollegamento e sono mostrati nelle immagini a lato. Ilprimo collegamento prende il nome di collegamento inparallelo ed il secondo di collegamento in serie. Se nelprimo caso consideriamo un nuovo bipolo i cui mor-setti siano non quelli A, B del primo bipolo, né quelliC, D del secondo, bensì quelli indicati con E ed F, pos-siamo domandarci quale sarà la caratteristica di questonuovo bipolo; o, con linguaggio specifico, quale è lacaratteristica del bipolo equivalente che si ottiene colle-gando due bipoli in parallelo.Evidentemente l’elemento caratterizzante un collega-mento in parallelo di due resistori aventi resistenza R1

ed R2, sta nel fatto che i due bipoli sono, per costruzio-ne, soggetti alla stessa tensione V. Si potrà dunque scri-vere, avendo fatto la convenzione dell’utilizzatore:

D’altra parte la corrente I deve essere la somma dellecorrenti I1 ed I2, per cui si ha:

Il bipolo equivalente avrà dunque una caratteristicaindividuata dal parametro Req :

È interessante notare che la corrente in uno dei rami

Req = R1R2R1 + R2

. (I.3)

I1 + I2 = V R1

+ V R2

= V 1R1

+ 1R2

. (I.2)

V = R1I1 = R2I2.


del partitore di corrente - è questo il nome che vienedato spesso alla disposizione in parallelo di due bipoli- si ottiene facilmente, quando sia nota la corrente tota-le entrante nel parallelo, con la formula:

È la così detta formula del partitore di corrente.Ragionamenti analoghi portano all’individuazione dellacaratteristica del bipolo equivalente ad una serie di dueresistori. Questa volta l’elemento caratterizzante il col-legamento è dato dal fatto che i due resistori sono attra-versati dalla stessa corrente. Si avrà dunque:

D’altra parte, per definizione, si ha che V=V1+V2 equindi:

Ne segue che il bipolo equivalente è ancora un resisto-re con resistenza pari ad Req = R1 + R2. In maniera ana-loga a quanto detto per la disposizione in parallelo èmolto semplice ricavare la formula del partitore di ten -sione:

che fornisce la tensione ad uno dei bipoli in serie, quan-do sia nota la tensione totale sulla serie delle due resi-stenze.Come già notato, i collegamenti serie e parallelo sonogli unici possibili quando si dispone di due soli bipoli.Immaginiamo ora di poter disporre di più bipoli resi-stori e di collegarli fra di loro in una maniera qualsiasiattraverso i loro morsetti, come nell'esempio mostrato

V1 = R1I = V R1R1 + R2

, (I.12)

V = R1I + R2I = I R1 + R2 = ReqI. (I.6)

I = V1R1

= V2R2

(I.5) .

I1 = V R1

= I R2R1 + R2

. (I.4)



nelle immagini riportate a lato. Il sistema così ottenutoprende il nome di rete di bipoli e verrà studiato in det-taglio nel seguito. Per ora vogliamo soltanto porci ilproblema di determinare il bipolo equivalente della retevista da due sue morsetti. Se immaginiamo infatti discegliere due morsetti A e B della rete e assumiamo chetali morsetti siano gli unici punti di comunicazionedella rete con l'esterno, la rete stessa ci apparirà comeun unico bipolo. La caratteristica di un tale bipolo sipuò generalmente determinare, una volta nota quelladei bipoli componenti, con un procedimento di “ridu-zione successiva”. Con riferimento all'esempio mostra-to, infatti, è evidente che i resistori R4 ed R5, essendoattraversati dalla stessa corrente, sono tra di loro inserie. Ad essi potrà quindi essere sostituito un unicobipolo equivalente di valore Re1, secondo quanto illu-strato in precedenza. Nella rete così ridotta, i bipoli R2ed Re1 sono ora in parallelo e potranno quindi esseresostituiti da un unico bipolo equivalente Re2. A questopunto R3 ed Re2 sono in serie e quindi equivalenti ad unbipolo di resistenza Re3. Infine i bipoli R1 ed Re3appaiono ora in parallelo e quindi la resistenza vista daimorsetti A e B è pari a Re4 che - riepilogando - puòessere scritta come:

Questo procedimento di riduzione successiva della reteè generalmente molto semplice e conduce alla imme-diata determinazione della caratteristica del bipoloequivalente.Val la pena però di sottolineare che la resistenza equi -valente di una rete di r esistori, vista da una coppia disuoi morsetti, dipende dai morsetti prescelti. Nella

Re4 =

R4 + R5 R3

R3 + R4 + R5 + R2 R1

R1 + R2 + R4 + R5 R3

R3 + R4 + R5

. (I.8)

stessa rete precedente, infatti, scegliendo un'altra cop-pia di morsetti si ottiene un risultato diverso, come illu-strato dalla sequenza di immagini a fondo pagina cheripercorre il procedimento descritto per la nuova scel-ta della coppia di morsetti.Non bisogna però pensare che tutte le reti, per ognicoppia di morsetti, siano riconducibili ad un unicobipolo equivalente, utilizzando esclusivamente le for-mule della serie e del parallelo di due resistori. Unesempio è mostrato nella figura a sinistra; si tratta diuna tipica rete a ponte spesso utilizzata in dispositivi dimisura per le sue specifiche caratteristiche. La riduzio-ne di una tale rete, per la coppia di morsetti indicata,sarà possibile utilizzando una trasformazione particola-re che introdurremo in seguito.



Esercizi

Siamo ora in grado di poter proporre qualche sempliceesercizio. Cogliamo l'occasione per sottolineare che lap a rte esercitativa in questo corso è determ i n a n t e .Come spesso accade in molti campi, non si può affer-mare di aver realmente assimilato una teoria, in tutte lesue implicazioni, se non si è provato ad applicarla; espesso l'applicazione riserva inattese sorprese!Alcuni problemi verranno proposti nel testo e la lorosoluzione sarà illustrata più avanti. Per altri problemi,invece, si rimanda al testo di esercizi proposto: S.Bobbio, L. De Menna, G. Miano, L. Verolino, Esercizidi Elettrotecnica, vol. I, II, III e IV, ed. CUEN, Napoli,1998.Nel caso presente nelle figure vengono proposte tre retiper le quali calcolare la resistenza equivalente ai mor-setti indicati. Per la rete di cui al n.1 si chiede di calco-lare anche il valore di R1 che rende RAB = R0. Si notiche la rete contrassegnata con il numero 3) è la succes-sione di infinite celle tutte identiche tra di loro; la riso-luzione di questo problema richiede un pizzico di intui-zione.

Altri bipoli

Come abbiamo visto, nel piano (I,V) la caratteristicaV=RI di un resistore è una retta che passa per l’origine,con inclinazione tg = R. Al variare di R, quindi, laretta sarà più o meno inclinata sull’asse delle I.Si noti che il fatto che la potenza assorbita da un resi-store è in ogni caso positiva si riflette nel fatto che lacaratteristica dello stesso si trova sempre nel primo enel ter zo quadrante del piano (I,V). Ciò accade, natu-ralmente, se la convenzione scelta è quella dell’utilizza-tore. Si pongono in evidenza immediatamente due casispeciali: il caso in cui l’angolo è nullo e quello in cui

esso è pari a 90°. Nel primo caso si ha R = 0, ed il bipo-lo, per qualsiasi valore della corrente che lo attraversa,presenta sempre una differenza di potenziale nulla aisuoi morsetti. Un tale bipolo prende il nome di bipolocorto circuito e può essere in teoria realizzato con unideale conduttore perfetto. In un tale conduttore infat-ti, caratterizzato da una resistività nulla ( = ), perqualsiasi valore della corrente si ha sempre una d.d.p.ai morsetti nulla. Naturalmente un buon conduttorereale può al più approssimare tale comportamento, el ’ a p p rossimazione sarà tanto migliore quanto più“corto” sarà il tratto di conduttore: da ciò il nome“corto circuito”.L’altro caso corrisponde a quello in cui = 0 ( = ).In tale evenienza si ha, al contrario, che per qualsiasid.d.p. V ai morsetti la corrente che attraversa il bipoloè sempre nulla. Un tale bipolo si potrebbe realizzarefrapponendo tra i morsetti un perfetto “non condutto-re”, cioè un materiale isolante. Esso prende il nome dibipolo circuito aperto o a vuoto. Le denominazioni dicorto circuito, circuito aperto o circuito a vuoto sono inparte autoesplicative ed in parte saranno meglio chiari-te in seguito. Immaginiamo ora un bipolo del tutto diverso che siadefinito da questa condizione: pur avendo fatto su diesso la convenzione dell'utilizzatore, la potenza risulta,in alcune condizioni, negativa. Un tale bipolo non puòcertamente essere un resistore. Cerchiamo di capirequale è l’aspetto caratteristico che lo distingue da unresistore. Nel resistore, come abbiamo visto, il motodelle cariche positive va sempre dal punto a potenzialemaggiore a quello a potenziale minore, secondo ilcampo che possiamo immaginare agire al suo interno.È questo che fa sì che la potenza assorbita - convenzio-ne dell’utilizzatore dunque - sia sempre positiva. Nelbipolo che stiamo immaginando deve accadere l’oppo-sto: le cariche devono andare dal punto a potenziale


minore a quello a potenziale maggiore, apparentemen-te contro il campo. Ne consegue che un tale bipolo, seesiste, deve essere sede di fenomeni diversi da quelli finqui analizzati e - questo è importante - deve mettere ingioco anche fenomeni di natura diversa da quelli cheproducono il campo. Ipotizziamo per ora l’esistenza ditale bipolo; vedremo in seguito quali possono essere lesue pratiche realizzazioni, anche se lo studio approfon-dito di tali bipoli, che d’ora in poi chiameremo genera -tori, travalica i limiti di un corso di Elettrotecnica. Esaminiamo quali forme può assumere la caratteristicadi un bipolo generatore. Se abbiamo scelto la conven-zione dell'utilizzatore essa dovrà almeno in parte svol-gersi nel secondo e nel quarto quadrante: solo in taliquadranti, infatti, il prodotto VI è negativo. Se invecescegliamo la convenzione del generatore, la caratteristi -ca dovrà, almeno in parte, svilupparsi, per le stesseragioni, nel primo o nel terzo quadrante. Il caso piùsemplice, ma ideale, che possiamo immaginare è quelloin cui un tale bipolo presenta sempre la stessa d.d.p. aisuoi morsetti, indipendentemente dalla corrente che lointeressa, o che il bipolo eroga. Un tale generatoreprende il nome di generatore ideale di tensione o anchedi forza elettromotrice (f.e.m.).Conveniamo di assumere la convenzione del generato-re; in tale ipotesi il bipolo in esame funziona effettiva-mente come generatore (VI>0) solo per il tratto dellasua caratteristica che si trova nel primo quadrante. Neltratto che interessa il secondo quadrante, esso ha VI<0e quindi si comporta come uno strano resistore o uti-lizzatore. Un elemento che certamente distingue talebipolo da un resistore normale sta nel fatto che, mentrein un resistore normale la caratteristica passa sempreper l’origine del piano (I,V) (questa proprietà vienedetta inerzia del bipolo), nel bipolo generatore idealeanche per I = 0 si ha una tensione ai morsetti diversa dazero. Il simbolo generalmente utilizzato per tale gene-ratore è rappresentato in figura. In realtà tale simbolo


individua una più generale classe di generatori di f.e.m.che sono in gradodi forn i re unad.d.p. ai loro mor-setti variabile neltempo e che intro-durremo nel segui-to. Per il generato-re di tensionecostante si usa

spesso il simbolo più specifico mostrato in Fig.I.2 doveil tratto più lungo individua il morsetto positivo.Un caso del tutto analogo, ma opposto, è quello delbipolo che per qualsiasi valore della tensione ai mor-setti eroga sempre la stessa corrente I. È naturale chia-mare un tale bipolo generatore ideale di corrente. Il sim-bolo riser vato per un tale generatore e la sua caratteri-stica sono mostrati in figura. Si noti il segno + accantoad uno dei morsetti o la freccia accanto al simbolo; peril generatore di tensione esso sta ad indicare che la ten-sione E è la differenza di potenziale tra il morsetto con-trassegnato con il segno + e l'altro, mentre per il gene-ratore di corrente la freccia indica il verso della corren-te I for nita dal generatore stesso. I due generatori finqui mostrati fanno parte di una più ampia classe dibipoli che per ovvie ragioni si dicono attivi. Essi sonoanche generatori indipendenti in quanto la tensione ola corrente, nei due casi, da essi erogata ai morsetti nondipende da alcuna caratteristica del sistema in cui ven-gono inseriti. Introdurremo in seguito generatori chenon godono di tale proprietàProviamo ora a prendere in considerazione anche per ibipoli generatori i due tipi di collegamento, serie eparallelo, che abbiamo esaminato nel caso dei bipoliresistori. Nella immagine a lato sono mostrati quattrodiversi casi ottenuti combinando generatori ideali dicorrente e di tensione. Per quanto riguarda i casi a) e b)


Fig.I.2

è facile convincersi che il bipolo equivalente è ancoraun generatore ideale, rispettivamente di tensione pariad E1 + E2 , e di corrente pari a I1 + I2.I casi c) e d) sono leggermente meno evidenti: percomprendere la natura del bipolo equivalente rappre-sentato nel caso c), per esempio, basta considerare che,per il modo in cui il collegamento è realizzato, il gene-ratore di tensione impone la sua tensione ai morsettidel bipolo equivalente; se ne conclude che tale bipolo,che è in grado di erogare qualsiasi corrente mantenen-do costante la sua tensione ai morsetti, è ancora ungeneratore ideale di tensione. Analogamente nel casod) avremo un generatore equivalente ideale di corren-te.Di proposito abbiamo lasciato da parte i due casi rap-presentati nella successiva immagine. Tali collegamentidanno luogo ad una contraddizione non eliminabile.Infatti, consideriamo per esempio il caso b): i due gene-ratori vorrebbero entrambi imporre la loro tensione aimorsetti del generatore equivalente. D’altra parte taletensione non può che essere unica. In sintesi si può direche questo è un caso in cui entrano in contraddizionedue “idealità”: quella dei generatori - appunto ideali -,che pr esentano, in quanto tali, sempre la stessa tensio-ne ai loro morsetti, e quella dei conduttori di collega-mento che, essendo anche essi ideali, non possono pro-durre una caduta di tensione. È un caso di contrastonon raro quando in un modello vengono introdotti ele-menti “ideali”. Il caso a) si analizza in maniera analoga.Allo scopo di approfondire meglio il problema, osser-viamo che un generatore ideale di tensione o di corren-te è per definizione in grado di fornire ai suoi morsettiuna potenza infinita; la potenza fornita è infatti pari alprodotto della tensione per la corrente erogata e, quin-di, nei due casi considerati può essere infinita se una


delle due grandezze può andare all’infinito - la corren-te per il generatore di tensione e la tensione per il gene-ratore di corrente. Si può facilmente immaginare chenessun generatore “reale” potrà mai essere in grado dierogare una potenza infinita. La caratteristica di ungeneratore reale dovrà dunque essere sostanzialmentediversa da quella di un generatore ideale; all’aumenta-re della corrente er ogata, la tensione ai morsetti nonpotrà rimanere costante, come, per esempio, nellacaratteristica mostrata in figura.In una tale caratteristica possiamo individuare un valo-re della “tensione a vuoto” E0, presente ai morsetti delgeneratore quando esso non eroga corrente, - ossia latensione che dovrebbe esser e mantenuta dal generato-re per qualsiasi valore di corrente, qualora fosse ungeneratore ideale di tensione - e la corrente di corto cir-cuito Icc, cioè la corrente che il generatore forniscequando è chiuso, appunto, in corto circuito.Facciamo vedere che è possibile costruire, con gli ele-menti che abbiamo a disposizione, un bipolo che, puressendo ancora ideale, approssima il compor tamentodel generatore reale, almeno in un tratto della suacaratteristica. Consideriamo, infatti, i possibili collega-menti serie-parallelo che si possono realizzare utiliz-zando un bipolo generatore ideale ed un bipolo resi-store. È l’ultimo caso che ci resta da esaminare; nellefigure sono rappresentati le due configurazioni signifi-cative. Nella stesse figure sono rappresentate anche lerelative caratteristiche dei bipoli equivalenti; nel casodel generatore ideale di tensione con in serie una resi-stenza, infatti, la tensione V ai morsetti del bipolo equi-valente sarà pari alla tensione E0 del generatore dimi-nuita della tensione RI che “cade” sulla resistenza R:

V= E0 - RI, (I.9)che è appunto la caratteristica descritta nel diagramma


in figura. Come si vede, dunque, il bipolo equivalentein questione è ancora un bipolo attivo, ma la potenzache esso è in grado di fornire non può più essere illimi-tata. È ancora dunque un bipolo “ideale” - nessungeneratore reale avrà mai una caratteristica rappresen-tabile rigorosamente con una retta - ma il suo compor-tamento è indubbiamente più vicino a quello di ungeneratore reale: potremmo chiamare un tale bipologeneratore reale idealizzato. Nella figura in cui è rap-presentata la caratteristica di un possibile generatorereale, è indicata anche la retta che ne approssimerebbe,almeno nel primo tratto, il comportamento con ungeneratore reale idealizzato.Per il caso del generatore di corrente con un resistorein parallelo si possono fare analoghe considerazioni.Fin qui abbiamo descritto bipoli la cui caratteristicapuò essere individuata da una relazione tra V ed I deltipo V=aI+b. Tali bipoli prendono il nome di bipolinormali. Se b=0, se cioè il bipolo è anche inerte, si parladi bipolo lineare. Abbiamo già visto invece che se lacaratteristica - avendo fatto la convenzione dell'utiliz-zatore - giace tutta nel primo e terzo quadrante, si parladi bipoli passivi, mentre se essa ha tratti nei quadrantiadiacenti, per esempio primo e secondo, si dice che ilbipolo è attivo. Questa definizione di passività ed atti-vità del bipolo - che è adeguata in regime stazionario,altrimenti detto anche regime di corrente continua(c.c.) - dovrà essere opportunamente modificata quan-do introdurremo i bipoli in regime dinamico.È possibile però concepire anche bipoli la cui caratte-ristica sia “non normale”, e quindi anche non lineare.Un esempio classico è quello del bipolo diodo nella suaforma reale ed idealizzata mostrate in figura. Ma si pos-sono presentare anche altre tipologie di caratteristiche,come quelle del bipolo diodo tunnel o del diodo a gasmostrate anche esse, qualitativamente, in figura. Tali


bipoli sono tutti passivi, nel senso precisato preceden-temente. Si osservi che mentre per il diodo tunnel lacaratteristica I=I(V) è una funzione ad un sol valore,quella V=V(I) è, in alcuni tratti, a più valori. Per ildiodo a gas accade l’opposto. Per questa proprietà sidice che il diodo tunnel è controllato in tensione ed ildiodo a gas, invece, è controllato in corrente.Affrontiamo, infine, il caso della serie di un bipologeneratore reale idealizzato e di un resistore. Se assu-miamo le convenzioni indicate in figura, possiamoimmaginare di riportare entrambe le caratteristiche deidue bipoli sullo stesso piano (I,V). Questa rappresen-tazione consente una soluzione grafica del problemadella determinazione della corrente e della tensionecomune ai due bipoli. Infatti, dovendo il punto carat-terizzato dalle coordinate I e V - soluzioni del nostroproblema - necessariamente appartenere sia alla carat-teristica del generatore che a quella del resistore, essonon potrà che essere il punto di intersezione tra le duecaratteristiche. Tale punto prende il nome di punto dilavoro e la retta che rappresenta la caratteristica delbipolo passivo R, è detta retta di carico per il bipolo atti-vo ai cui morsetti tale carico è appunto collegato. Si notiche questo tipo di soluzione grafica è applicabile anchequando uno dei bipoli non è lineare, o anche quandoentrambi non sono lineari, a condizione però che ilpunto di intersezione tra le due caratteristiche siaunico. In presenza di intersezioni multiple occorreràavere un criterio, che esula dall'attuale modello, perdeterminare quale dei diversi punti possibili sia quellodi lavoro effettivo.Come è noto i bipoli non lineari sono di estrema impor-tanza nelle pratiche applicazioni. Naturalmente la loronon linearità introduce notevoli difficoltà nella soluzio-ne di problemi in cui essi sono coinvolti. Un artificio


che può essere utilizzato è quello di approssimare laloro caratteristica con una opportuna “spezzata”. Siparla di linearizzazione a tratti. D’altra parte tale artifi-cio, se risolve alcuni aspetti del problema, introduce avolte altre difficoltà connesse con la presenza di puntidi discontinuità nella caratteristica. Lo studio delle retinon lineari rappresenta un affascinante campo in cuimolto c'è ancora da chiarire. Naturalmente la pienacomplessità e varietà di queste reti si manifesta soltan-to quando si introduce la variabile temporale; ma que-sto è un discorso che affronteremo nel seguito.

Esercizi

Nel primo degli esercizi proposti si richiede di deter-minare il valore di R per il quale la potenza dissipatanel carico - il bipolo R, appunto - sia massima.Evidentemente, al variare di R, la corrente erogata dalgeneratore di tensione varia e con essa varierà anche lapotenza dissipata in R. Per R=0 tale potenza è nullaper ché è nulla la tensione sul bipolo (bipolo corto cir -cuito); analogamente per R= , la potenza è ancoranulla per ché è nulla la corrente che circola nel bipolo(bipolo circuito aperto). Esisterà necessariamentequindi un valore di R per il quale la potenza dissipataassume un valore massimo. Si chiede di determinaretale valore. Per inciso, quando la condizione di massi-mo trasferimento di potenza è verificata, si dice che ilcarico ed il generatore sono adattati in potenza.

Nel secondo problema proposto si chiede di determi-nar e quale dovrebbe essere la suddivisione della cor-rente totale I entrante nel parallelo dei due resistori,per ché la potenza dissipata nel sistema nel suo com-plesso sia minima. Commenteremo più avanti il risulta-to.


Nelle altre immagini sono illustrate le soluzioni di pro-blemi proposti nelle pagine precedenti. I primi due nonrichiedono particolari commenti: il valor e di R1 cherende la resistenza equivalente del bipolo uguale aquella di carico R0, è dato in figura.

Per quanto riguarda il terzo esercizio, osserviamo chela chiave per la sua soluzione sta nella osservazione che,se la rete si ripete identicamente a se stessa all'infinito,in qualsiasi punto della catena di celle identiche siimmagini di valutare la resistenza equivalente, si dovràritrovare lo stesso risultato. Questa considerazione giu-stifica lo schema equivalente mostrato in figura cheporta ad una equazione di secondo grado la cui inco-gnita è la risposta cercata. Inutile dire che, delle duesoluzioni possibili, quella negativa va scar tata perchéfisicamente inconsistente: nei limiti dei bipoli finoraintrodotti la resistenza non può essere negativa!


Le reti elettriche

Fino ad ora abbiamo immaginato di disporre di duesoli bipoli da collegare attraverso i loro morsetti; sup-poniamo ora, invece, di disporre di l bipoli e di colle-garli tra di loro in una maniera qualsiasi. Quello che siottiene è un circuito elettrico o anche rete elettrica (ilsecondo termine è a volte riservato ai circuiti di grandeestensione). In generale sono note le caratteristiche dei singoli bipo-li, quindi i legami tra tensioni ai morsetti e correnti cir -colanti - naturalmente una volta scelta una convenzio-ne per i versi positivi di tensioni e correnti - mentreinvece non è noto il particolare valore di corrente o ditensione che effettivamente si stabilisce nella rete cosìfatta in ogni bipolo. Determinare tali valori significa“risolvere la rete”. Le leggi da noi introdotte ci consen-tono di risolvere tale problema. Per studiare in maniera sistematica i metodi di soluzio-ne delle reti elettriche conviene premettere qualchedefinizione. In primo luogo chiameremo lato o ramodi una rete l’insieme di quei bipoli che nella rete stessacompaiono fra di loro collegati in serie. Come abbiamovisto per i resistori, e vedremo in seguito per altri tipidi bipoli, ad essi si potrebbe sostituire un unico bipolo

Capitolo II

equivalente. Chiameremo ancora nodo di una rete unpunto in cui convergono più di due lati della rete stes-sa. Infine ogni insieme di lati della rete che forma unanello chiuso prenderà il nome di maglia della rete.Orbene, in base alle definizioni ora date ed a quella dibipolo, è facile vedere che per ogni rete è possibile scri-vere un certo numero di equazioni che legano tensionitra i nodi e correnti nei lati fra loro.

La prima legge di Kirchhoff

La prima legge di Kirchhoff o legge di Kirchhoff per lecorrenti (LKC) afferma: in ogni nodo la somma alge -brica delle correnti entranti (o uscenti) nel nodo è iden -ticamente nulla. Il termine “algebrica” sta a indicareche ogni corrente va presa con il suo segno se il versopositivo scelto sul ramo corrispondente è effettivamen-te entrante nel nodo (o uscente se si è scelto di effet-tuare la somma delle correnti uscenti dal nodo!), o conil segno opposto nel caso contrario. In simboli:

I1 + I2 + I2 +.......+ Ik = 0 (II.1)

Val la pena di osservare che la validità di tale legge èstrettamente legata alla definizione di bipolo, e precisa-mente al fatto che ogni bipolo è supposto interagirecon l’esterno esclusivamente attraverso i suoi morsetti.In più, la conservazione della carica è presupposta.Infatti la somma algebrica delle correnti entranti nelnodo rappresenta, per definizione di intensità dellacorrente elettrica, la quantità di carica che nell'unità ditempo viene globalmente portata nel nodo. In regimestazionario, quando cioè le correnti non variano neltempo, tale contributo, per unità di tempo, resta evi-dentemente costante. In queste condizioni se esso non


fosse nullo, a condizione di attendere un tempo suffi-cientemente lungo, si potrebbe portare nel nodo inquestione una carica grande quanto si vuole. Ciò è evi-dentemente impossibile, non fosse altro per il fatto chei portatori di carica sono dotati di massa non nulla e,quindi, con la carica, crescerebbe indefinitivamenteanche la massa del nodo. In un regime dinamico, concorrenti che variano nel tempo, occorrerà fare undiscorso più articolato. Osserviamo infine che se nsono i nodi presenti in una rete, le LKC ci forniscono nrelazioni lineari tra le varie correnti di lato della retestessa. Dimostreremo in seguito che di queste n equa-zioni una, scelta a caso, può essere ottenuta come com-binazione lineare delle altre n-1, che risultano inveceindipendenti.

La seconda legge di Kirchhoff

Consideriamo ora una maglia di una rete e supponiamodi percorrerla - di andare cioè da un lato al successivo- in uno dei due possibili versi. La scelta di un verso sudi una maglia equivale, in termini specifici, alla sua“orientazione”. Proviamo a sommare algebricamente letensioni su ogni lato della maglia così come le incon-triamo seguendo l’orientazione prescelta. Anche qui“algebricamente” sta a indicare che ogni tensione verràpresa con il pr oprio segno o con il segno opposto aseconda che il verso prescelto per essa sul singolo latocoincida o non con quello di orientazione della maglia.Dato che la tensione su ogni ramo è per definizionel’integrale di linea del campo E lungo una linea checollega i due morsetti del bipolo inserito nel ramo, edin virtù della scelta di sommare “algebricamente” talitensioni lungo la maglia, tale somma verrà a coinciderecon l'integrale di E lungo una linea chiusa. In regimestazionario tale cir cuitazione deve essere nulla e talesarà dunque la somma delle tensioni lungo la maglia.


V12 +V23 + V34 +V45 +...........+Vk1 = 0 (II.2)

Ne discende dunque la seguente seconda legge diKirchhoff o legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT):in una maglia la somma delle tensioni di lato, prese conil proprio segno o con il segno opposto a seconda che illoro verso coincida o non con un verso di orientazionedella maglia in precedenza scelto, è identicamente nulla. Possiamo verificare la validità della legge precedente-mente enunciata ragionando anche in un altro modo: inregime stazionario ogni tensione è in realtà una diffe-renza di potenziale e potrà essere messa sotto la formaVr - Vs, dove con Vr e Vs si sono indicati i potenziali neinodi, rispettivamente, r ed s. La somma di cui sopraavrà dunque l’aspetto seguente:

V1 - V2 + V2 -V3 + V3 - V4 + ........ + Vk - V1 ,

ed è, evidentemente, identicamente nulla perché ognipotenziale di nodo compare due volte e con segnoopposto. Osserviamo quindi che la validità della LKTpuò essere anche fatta discendere dalla semplice defi-nizione di bipolo, in particolare dal fatto che per unbipolo si può, per definizione parlare di una tensione aisuoi morsetti indipendente dal percorso, cioè di unadifferenza di potenziale. Osserviamo infine che la LKTimpone legami lineari tra le tensioni di lato.Per una rete di l lati non è in generale possibile dire,senza specificare meglio la rete, quante sono le magliechiuse che in essa si possono formare. E ciò è evidentese si pensa che alcuni nodi possono non essere collega-ti tra di loro direttamente. Anche in questo caso vedre-mo però che solo un sottoinsieme di tutte le equazioniche si possono scriver e alle maglie è in realtà costituitoda equazioni linearmente indipendenti: per la preci-


sione un numero di l -(n - 1) equazioni. Vedremo inseguito come le equazioni scritte in base alla LKC edalla LKT ci consentono di risolvere una qualsiasi rete,nel senso specificato in precedenza.

Il grafo di una rete e le equazioni indipendenti

Per studiare una rete possiamo per il momento pre-scindere dalla natura dei vari bipoli che ne costituisco-no i diversi rami, e focalizzare la nostra attenzione sullastruttura della rete stessa, cioè sul modo in cui i bipolisono collegati tra loro. Una tale struttura, che per larete in esame è mostrata nelle immagini a lato, prendeil nome di grafo della rete.In un grafo possiamo individuare rami e nodi, i punticioè in cui convergono più di due rami. Se poi orien-tiamo ogni ramo del grafo, scegliendo uno dei due versipossibili su ogni ramo, diremo che il grafo è orientato.Chiamer emo albero di una rete un insieme di rami cheunisce fra di loro tutti i nodi della rete senza formaremaglie chiuse. Ovviamente esistono in generale piùalberi per una rete avente un determinato grafo. Ilcomplemento di un dato albero a tutta la rete, cioè l’in-sieme dei rami che restano esclusi dall’albero, prende ilnome di coalbero della rete. Nelle immagini sono indi -cati con tratto più grosso due possibili alberi per la reteche stiamo esaminando.Sfruttando queste definizioni è possibile ricavare inmaniera molto semplice alcune proprietà generali di ungrafo. Per un grafo orientato, infatti, possiamo scriveren equazioni ai nodi, se n sono i nodi, che derivano dal-l’applicazione della LKC ad ogni singolo nodo.Supponiamo di scrivere tali equazioni nella forma cheesse assumono quando si sceglie di imporre l’annulla-mento della somma delle correnti entranti; natural-mente è possibile anche la scelta opposta, ma, per il


ragionamento che vogliamo sviluppare, è essenziale chesi convenga di fare la stessa scelta per ogni nodo. Inqueste condizioni nel sistema di equazioni così ottenu-to ogni cor rente comparirà una volta con il segno“meno” in una equazione ed una volta con il segno“più” in un’altra equazione, dato che ogni ramo colle-ga due nodi ed uno stesso orientamento risulteràentrante per l’uno e uscente per l’altro. Se, a questopunto, sommiamo tutti i primi membri delle equazionidel sistema abbiamo una espressione algebrica che, percostruzione, è identicamente nulla. La stessa cosa acca-de per la somma dei secondi membri. Il fatto che dalnostro sistema di equazioni, sommando membro amembro tutte le equazioni, si ottiene una identità, cidice che in realtà almeno una delle equazioni presa acaso potrebbe essere ottenuta con una opportuna com-binazione lineare delle altre n-1. Le n equazioni, dun-que, non sono tra di loro indipendenti, il che significa,in termini fisici, che l’informazione contenuta in unadelle equazioni è già contenuta nelle altre: essa è inrealtà ridondante.Siamo por tati a dire, dunque, che la LKC consente, peruna rete con n nodi, di scrivere al più n-1 equazioniindipendenti tra di loro. È possibile affermare ancheche almeno n -1 sono indipendenti. Infatti immaginia-mo di scegliere un albero della rete che abbia la carat-teristica di non avere più di due rami che confluisconoin ogni singolo nodo, così come è mostrato, per esem-pio, nelle immagini; esso sarà costituito per definizioneda n -1 rami.Supponiamo di numerare i nodi del grafo in ordineprogressivo così come essi vengono incontrati percor-rendo l’albero prescelto. Per ognuno dei primi n -1nodi scriviamo le equazioni che esprimono la LKC.Numeriamo anche i rami, magari con numeri romaniper non creare confusione, così come vengono incon-


trati percorrendo l’alber o della rete. Si avrà dunque cheil ramo I dell’albero congiungerà i nodi 1 e 2, il ramo IIi nodi 2 e 3 e così via. Nella figura sono mostrati anche,con tratto più sottile, i rami del coalbero. Orbene dallaequazione che esprime la LKC al primo nodo possiamoricavare l’incognita iI in funzione delle correnti in altrirami non appartenenti all’albero, cioè del coalbero.Nella equazione relativa al secondo nodo compariran-no le cor renti iI ed iII, ma utilizzando la prima equazio-ne si potrà ottenere una equazione in cui iII compariràin funzione di tutte correnti del coalbero. L’operazionepuò essere evidentemente ripetuta per tutte le n-1 cor-renti dei rami dell’albero. A questo punto abbiamoottenuto un sistema di equazioni, derivato dal prece-dente, nel quale in ogni equazione compare in esclusi-va una corrente di un ramo dell’albero. Pertanto talesistema deve essere necessariamente costituito da equa-zioni tutte indipendenti tra loro.Abbiamo, dunque mostrato che la LKC consente discrivere n -1 equazioni indipendenti per le correntidella rete. Dimostreremo ora che le LKT consentonoinvece di scrivere l - (n - 1) equazioni indipendenti trale tensioni di lato (l è il numero complessivo di rami delgrafo). Infatti osserviamo in p rim o luogo che i ramid el coalbero sono pari ad l -(n - 1) per definizione.Costruiamo, poi, un sistema di l - (n - 1) maglie chiuseaggiungendo, di volta in volta, ai rami dell'albero unoramo, ed uno solo, del coalbero. Che questa operazio-ne porti alla costruzione di maglie chiuse discende inmaniera evidente dalla definizione di albero. Esso,infatti, congiunge tutti i nodi della rete. L’aggiunta diun altro ramo, che collega due nodi a caso, dovrànecessariamente chiudere una maglia - eventualmentecon qualche appendice che converremo di non pren-dere in considerazione. Orbene le equazioni che si


ottengono dalla LKT per tali maglie sono necessaria-mente indipendenti, in quanto in ognuna di esse com-parirà una incognita in esclusiva: quella del particolareramo del coalbero che ha contribuito a formare lamaglia.In conclusione, dunque, la LKT ci consente di scrivereun numero di l - (n - 1) relazioni lineari tra le tensionisui rami della rete. Nel complesso, dunque, attraversol’applicazione della LKC e della LKT si possono scri-vere l relazioni lineari indipendenti tra le l correnti dilato e le l tensioni di lato. D’altra parte le caratteristichedei bipoli ci for niscono ancora l relazioni - questa voltanon necessariamente lineari - tra le tensioni e le cor-renti, per cui nel complesso avremo 2l equazioni in 2lincognite. Se la rete è costituita da generatori indipen-denti e da bipoli con caratteristiche lineari, allora le 2lequazioni sono anch’esse tutte lineari. In tal caso,essendo esse anche indipendenti, come abbiamomostrato, forniscono certamente una ed una sola solu-zione del problema: la conoscenza di tutte le tensionisui rami e di tutte le correnti nei rami. Il problema dicome si arrivi a trovare tale soluzione è a questo puntodi puro carattere matematico risolvibile con diversimetodi: dal semplice metodo di sostituzione, moltoconveniente quando il numero di equazioni è ridotto,al più complesso, ma ancora di semplice applicazione,metodo detto di Cramer che utilizza concetti studiatinella teoria dei sistemi di equazioni algebriche lineari.Se invece le caratteristiche dei bipoli non sono tuttelineari, allora il problema di trovare una soluzionediventa più delicato; può accadere, per esempio, cheesista più di una soluzione, se sono presenti bipoli concaratteristiche a più valori. In generale la presenza dibipoli non lineari rende difficile una trattazione gene-rale ed ogni caso va studiato nei suoi aspetti particola-ri.


Equazioni nelle incognite correnti

Limitiamoci per ora ai bipoli lineari e osserviamo che,in generale, non è necessario trattare l’intero sistema di2l equazioni di cui si parlava in precedenza; una sem-plice sostituzione delle relazioni caratteristiche deibipoli nelle equazioni ottenute applicando la LKC e laLKT, ci conduce immediatamente ad un sistema di lequazioni in l incognite, siano esse le correnti nei ramio le tensioni sui rami. La scelta delle incognite in que-sto caso è del tutto equivalente.Un esempio a questo punto chiarirà più di molte paro-le: prendiamo in considerazione una rete par ticolare emostriamo tutte le fasi della sua “risoluzione”, riducen-do il commento al minimo necessario.Nelle immagini a lato sono rappresentati il circuito, ilsuo grafo orientato (formato da 10 lati), i nodi ( sei nelcaso par ticolare), un possibile albero, il relativo coalbe-ro e le cinque maglie che da esso possono essere gene-rate.Infine, le equazioni ai nodi (si è scelto di non utilizzarel’equazione al nodo F):

nodo A) I + I1 + I4 = 0,

nodo B) I1 + I2 + I3 = 0,

nodo C) I2 + I5 - I8 = 0, (II.3)

nodo D) I3 - I4 + I7 + I8 = 0,

nodo E) I5 + I6 + I0 = 0,

e le equazioni alle maglie:


maglia I) R1I1 - R3I3 - R4I4 = 0,

maglia II) R2I2 - R3I3 + R8I8 = 0,

maglia III) R5I5 - R6I6 - R7I7 + R8I8 = 0, (II.4)

maglia IV) R4I4 + R7I7 - RI - E0 = 0,

maglia V) R6I6 + V0 = 0.

Notiamo subito che l’equazione alla maglia V si limitaa fornirci il valore della tensione V 0 ai capi del genera-tor e di corrente una volta nota la corrente I6; essaaumenta di uno il numero di equazioni ma contempo-raneamente aggiunge una nuova incognita, V0. Infatti,se non si è interessati a conoscere il valore di tale ten-sione, la maglia V può essere completamente ignorata,come se il circuito fosse effettivamente costituito da 9lati e non da 10; ciò naturalmente dipende dalla pre-senza in un ramo di un solo generatore ideale di cor-rente. Il circuito in esame, infatti, potrebbe anche esse-re ridisegnato alla maniera mostrata nella immagine alato.Il sistema di equazioni formato dalle II.3 e II.4 (esclu-so l’ultima) costituisce il sistema di 9 equazioni in 9incognite che ci consente di risolvere la rete.Per essere ancora più espliciti, sviluppiamo fino alrisultato numerico un caso più semplice (minor nume-ro di equazioni). Le immagini che seguono descrivonoil circuito (con i valori assegnati), il procedimento ed irisultati in maniera esauriente.


Esercizi

A lato sono proposti alcuni circuiti da risolvere scri-vendo le equazioni che esprimono la validità delle leggidi Kirchhoff ai nodi ed alle maglie. Le soluzioni saran-no discusse in seguito. Infine forniamo la soluzione diproblemi proposti in precedenza.La condizione di massimo trasferimento di potenza,per il problema già posto in un precedente paragrafo,si determina agevolmente una volta espressa la potenzadissipata nel resistore in funzione della sua resistenza:

P = R E2

R + R02 . (II.5)


Derivando, infatti, rispetto ad R tale espressione siottiene facilmente la condizione di stazionarietà:

Che si tratti poi di un massimo è di facile verifica.Si noti che, nelle condizioni di massimo trasferimentodi potenza, metà della potenza viene dissipata nellaresistenza di carico e l'altra metà nella resistenza inter -na del generatore. È questo lo scotto che bisogna paga-re per ottenere l'adattamento in potenza tra generatoree carico: un rendimento, inteso come rapporto tra lapotenza utilizzata e quella generata, di appena 0,5.Il successivo problema chiedeva di calcolare la riparti-zione delle correnti in un parallelo di due resistoriimponendo che la potenza dissipata nel circuito siaminima, con il vincolo che la somma delle due corren-ti si mantenga fissata ad un assegnato valore I. In altritermini si utilizza la LKC ai nodi ma non si utilizza laLKT alle maglie. Vediamo il risultato per poi com-mentarlo. La potenza dissipata nel circuito è:

Si è naturalmente fatto uso della condizione I1+I2 = I.Derivando rispetto ad I1, per determinare la condizio-ne di stazionarietà, si ottiene:

o anche

che è la stessa relazione che si sarebbe ottenuta appli-cando la LKT all'unica maglia presente. In definitiva laconfigurazione di equilibrio per le correnti che si stabi-lisce nel circuito è quella che assicura la minima dissi-pazione di potenza, e questo è un risultato molto signi-ficativo dal punta di vista fisico.

I1 = R2R1 + R2

I,

2R1I1 - 2R2 I - I1 = 0,

P = R1I12 + R2I2

2 = R1I1

2 + R2 I - I1

2. (II.7)

R = R0 . (II.6)


Metodo dei potenziali ai nodi

Esiste un modo per ridurre ulteriormente il numerodelle incognite. Esso consiste nello sceglier e, comeincognite del problema, invece delle tensioni sui lati odelle correnti nei rami, i potenziali relativi ai nodi dellarete. A tale scopo, possiamo porre ogni tensione di latonella forma Vr-Vs, dove Vr e Vs sono, evidentemente, ipotenziali dei nodi r ed s rispetto ad un riferimentoche, come è noto, è arbitrario. Se in particolare sceglia-mo come riferimento per i potenziali quello assunto dauno dei nodi, che per comodità poniamo a potenzialezero, ci ritroveremo con n -1 incognite Vi, potenzialiassunti dai restanti nodi della rete. Il nodo con poten-ziale nullo viene detto nodo di riferimento o nodo aterra - terminologia che ricorda il fatto che in un cir-cuito in generale è conveniente collegare un puntodello stesso ad un corpo il cui potenziale sia eguale aquello dell’operatore e possa ritenersi stabile, e ciò siaper ragioni di sicurezza degli operatori, sia per evitareche gli effetti ester ni al circuito stesso possano renderefluttuanti, entro certi limiti, i potenziali dei nodi.Entrambi questi fenomeni, per essere compresi apieno, richiedono l’analisi della struttura dei campicoinvolti.Il sistema di n - 1 equazione nelle n - 1 incognite (ipotenziali ai nodi) che ci occorre per risolvere la rete, sipuò facilmente ottenere scrivendo le equazioni dettatedalla LKC ad n - 1 nodi esprimendo però, attraverso lerelazioni caratteristiche, le correnti nei singoli ramimediante le diff e renze di potenziale Vi - Vj.Osser viamo che per le incognite Vi non occorre scrive-re le equazioni che esprimono la LKT; esse infatti, perdefinizione, le soddisfano, trattandosi, appunto, dipotenziali.L’automatica riduzione delle equazioni rende pertanto


conveniente la scelta dei potenziali ai nodi come inco-gnite. Naturalmente la conoscenza dei potenziali inogni nodo equivale ad aver risolto la rete. Infatti, la dif-ferenza dei due potenziali relativi ad un determinatoramo fornisce la tensione sul lato, e da questa, median-te la caratteristica del lato, si può risalire alla correnteche lo interessa. Per chiarir e meglio il metodo, provia-mo a scrivere le relative equazioni per il circuito giàp recedentemente analizzato, avendo scelto comepotenziale di riferimento quello del nodo D (VD = 0)In primo luogo le caratteristiche dei singoli rami:

Quindi, ricavandole dalle equazioni precedenti, le cor-renti in funzione delle differenze di potenziale:

ramo 1)

VA - VB = R1I1,

ramo 2)

VC - VB = R2I2,

ramo 3)

VD - VB = - VB = R3I3,

ramo 4)

VA - VD = VA = R4I4,

ramo 5)

VC - VE = R5I5,

ramo 6)

VF - VE = R6I6,

ramo 7)

VD - VF = - VF = R7I7,

ramo 8)

VD - VC = - VC = R8I8,

ramo di E0)

VA - VF - E0 = RI.


Ed infine, le equazioni ai nodi scritte in termini delledifferenze di potenziale:

Il sistema così ottenuto, di 5 equazioni nelle 5 incogni-te “potenziali dei nodi rispetto al nodo D”, consente dirisolvere la rete. Si noti che, mentre abbiamo scelto dinon scriver e l'equazione per il nodo F, come potenzia-

nodo A) VA - VF - E0R

+ VA - VBR1

+ VAR4

= 0,

nodo B) VA - VBR1

+ VC - VBR2

+ - VBR3

= 0,

nodo C) VC - VBR2

+ VC - VER5

- - VCR8

= 0,

nodo D) - VBR3

- VAR4

+ - VFR7

+ - VCR8

= 0,

nodo E) VC - VER5

+ VF - VER6

+ I0 = 0.

I1 = VA - VBR1

,

I2 = VC - VBR2

,

I3 = - VBR3

,

I4 = VAR4

,

I5 = VC - VER5

,

I6 = VF - VER6

,

I7 = - VFR7

,

I8 = - VCR8

,

I = VA - VF - E0R

.


le di riferimento è stato scelto quello del nodo D; le duescelte sono infatti indipendenti. Un po’ di pratica met-terà in condizione di scrivere queste equazioni diretta-mente senza passare per l’espressione esplicita dellecorrenti di ramo in funzione dei potenziali di nodo.

Metodo delle correnti di maglia (o di Maxwell)

Come abbiamo visto la caratteristica che rende le inco-gnite potenziali ai nodi così convenienti, sta nel fattoche tali incognite soddisfano automaticamente la LKTalle maglie; occorre quindi solo imporre che soddisfinola LKC. È possibile fare una scelta analoga per le cor-renti. Si tratta di scegliere un sistema di correnti (l - (n- 1) in particolare) che soddisfi automaticamente laLKC ai nodi e che richieda quindi soltanto la scritturadella LKT alle maglie. Per costruire un tale sistemaconsideriamo un insieme di maglie indipendenti dellarete in esame: un sistema di maglie chiuse, cioè, le cuiequazioni ottenute attraverso l’applicazione della LKTsiano indipendenti tra di loro. Abbiamo già visto cheattraverso la scelta di un albero è facile individuare unsistema di tale tipo. Associamo ora ad ogni maglia unacorrente di maglia ed esprimiamo la corrente in ognilato come la somma o differenza di correnti di maglia -di cui il lato in questione rappresenta la parte in comu-ne - a seconda dei versi scelti per le correnti di maglia.Un semplice esempio, ancora una volta, sarà chiarifica-tore.Nelle immagini sono mostrate, per la rete già conside-rata, le maglie indipendenti scelte e le relative correntidi maglia: per esempio, con questo formalismo, la cor-rente nel ramo 3 sarà espressa come differenza tra lacorrente di maglia III e la corrente di maglia II (il segnomeno è dovuto alla scelta fatta per i versi delle corren-ti di maglia); la corrente nel ramo 1, invece, coinciderà


con la cor rente di maglia II. Tutte le correnti nei ramisaranno esprimibili in tale modo. Infatti, se il nostroinsieme di maglie è stato costruito aggiungendo ai ramidell’albero di volta in volta un ramo del coalbero, inogni maglia esisterà almeno un ramo in esclusiva, quel-lo appunto del coalbero; per un tale ramo, corrente diramo e corrente di maglia dovranno necessariamentecoincidere - al più possono essere opposte se si è sceltoun verso per la corrente di maglia che non coincide nelramo con quello scelto per il ramo stesso. La correntein ogni altro ramo, essendo tale ramo necessariamentein comune con un’altra maglia, si potrà porre comesomma o dif ferenza di cor renti di maglia.Abbiamo in pratica dimostrato l’assunto perché abbia-mo trovato l - (n - 1) incognite - una per ogni maglia -attraverso le quali è possibile esprimere tutte le l cor-renti di ramo. Orbene tali incognite correnti di magliagodono, per costruzione, della proprietà di soddisfarela LKC ai nodi. Infatti in ogni nodo una corrente dimaglia entra ed esce e quindi le LKC ai nodi, scritte intermini di correnti di maglia, si riconducono a pureidentità. Per tali incognite occorrerà scrivere esclusiva-mente la LKT alle maglie. Le immagini possono aiuta-re a comprendere quanto detto: si guardi quella in cui,a scopo esplicativo, le maglie sono state fisicamenteseparate ed in ognuna di esse è segnato il verso dellacorrente di maglia in ogni ramo.Descriviamo a questo punto in dettaglio tutti i passi delprocedimento. In primo luogo, le correnti nei rami infunzione delle correnti di maglia:


Successivamente, le equazioni alle maglie in terminidelle correnti di maglia:

Anche in questo caso la pratica metterà in condizionedi scrivere direttamente tali equazioni senza passareattraverso l’espressione esplicita delle cor renti di ramoin funzione di quelle di maglia; in ogni caso il metodoche abbiamo seguito nell’esempio, e cioè di scrivereprima le equazioni della LKT in termini delle correntidi ramo e poi sostituire ad ognuna di esse la sua espres-sione in termini di correnti di maglia, è sempre appli-cabile. Si osservi che, nel caso illustrato, la quinta equa-zione introduce una nuova incognita; la tensione aimorsetti del generatore. Infatti la corrente di maglia IVcoincide con la corrente erogata dal generatore di cor-rente ed è quindi nota. Da questo punto di vista il cir-

I) R1 II - R3 III - II - R4 IIII - II = 0,

II) R2 III - R3 III - II - R8 IIV - III = 0,

III) R4 IIII - II - R7 - IIV + IIII - RI - E0 = 0,

IV) R5 IIV+R6 IIV +IV - R7 -IIV +III +R8 IIV -III = 0,

V) - R6 IIV + IV + V0 = 0.

I1 = II ,I2 = - III ,I3 = III - II ,I4 = IIII - II ,I5 = IIV ,I6 = - IIV - IV ,I7 = - IIV + IIII ,I8 = IIV - III ,I = - IIII ,I0 = IV .


cuito avrebbe potuto essere riguardato come un cir-cuito a quattro maglie indipendenti, segnalando soltan-to i nodi di ingresso e di uscita della corrente del gene-ratore con delle opportune frecce. La quinta maglia,però, anche se non esplicitamente disegnata, fa sentirela sua presenza: infatti essendo il ramo 10, per il nostrosistema di maglie indipendenti, il ramo di chiusuradella quinta maglia, la corrente I0, che coincide con I10,circolerà in tale ramo. Una scelta diversa di maglie indi-pendenti avrebbe portato ad un altro percorso per lacorrente del generatore, e quindi a diverse equazioni,così come è illustrato nelle immagini a lato. Questeconsiderazioni giustificano l'apparente stranezza dellaseguente af fermazione:In presenza di generatori di corrente in una rete per laquale si intende applicare il metodo delle correnti dimaglia, si può scegliere ad arbitrio il percorso della cor -rente del generatore tra il nodo di ingresso e quello diuscita.È chiaro ora che l'arbitrarietà riguarda, in effetti, lascelta del sistema di maglie indipendenti.Abbiamo, dunque, visto come sia possibile scrivere indiversi modi un sistema di equazioni che consenta dirisolvere una rete. In seguito vedremo ancora altrimetodi, più formali, che consentono addirittura di ren-der e automatica tale scrittura; il che è molto conve-niente in modo particolare per la realizzazione di codi-ci numerici per la soluzione delle reti.

Esercizi

Ancora un pò di spazio agli esercizi. Per la reti mostra-te nelle immagini, già proposte in precedenza, diamocome risultato, per una verifica, il valore della correntenel ramo 3, I3=2,14A, e di quella nel ramo 7, I7=1,2A,


Il teorema di Tellegen

Continuando l’esame generale di una rete dal punto divista del suo grafo, vogliamo illustrare ora una notevo-le proprietà caratteristica delle reti di bipoli: la pro-prietà descritta dal teorema che va sotto il nome diTeorema di Tellegen. Consideriamo due reti che abbia-no lo stesso grafo, cioè due reti in cui bipoli diversisono collegati alla stessa maniera tra di loro .Consideriamo per la prima rete un sistema di tensioniVk sui rami che soddisfi la LKT e per la seconda reteun sistema di correnti I*k che soddisfi la LKC. Con Vkintendiamo la tensione positiva nel nodo in cui entra lacorrente I*

k positiva - convenzione dell’utilizzatore perogni ramo della rete! Per ogni ramo del grafo conside-riamo il prodotto Vk I*

k e sommiamo tali prodotti pertutti i rami della rete:

Il teorema di Tellegen afferma che tale sommatoria èidenticamente nulla.C’è qualche difficoltà ad esprimere, in generale, questasommatoria in termini dei nodi r ed s perché non sap-piamo a priori quali rami, tra due nodi (r,s), effettiva-

Vkk

Ik* (III.1)

Capitolo III

mente sono presenti nella rete; in un grafo, infatti, nontutti i nodi sono direttamente collegati tra loro .Possiamo, però, facilmente superare l’ostacolo aggiun-gendo al grafo i rami di collegamento che mancano trai nodi, assumendo però che nelle due reti par ticolariconsiderate tali rami aggiunti siano in realtà dei “bipo-li a vuoto”. È chiaro che una tale modifica non cambiain nulla la rete, né modifica la sommatoria di cui sopra,in quanto per tali rami sarà I*

rs=0. A questo punto lasommatoria può essere estesa a tutti i valori possibili dir e di s, e si ottiene:

Il fattore un mezzo è necessario, altrimenti ogni ramo èpreso due volte in considerazione; per esempio il ramotra i nodi 1 e 2 sarà incluso per r=1 ed s=2 nonché pers=1 ed r=2! Se le Vrs soddisfano la LKT sarà possibile metterlesotto la forma di differenza di potenziale V rs = Vr - Vsottenendo:

D’altra parte nella prima sommatoria Vr può essereportato fuori della sommatoria su s (Vr è per definizio-ne fisso quando s corre!) mentre nella seconda somma-toria si può fare una cosa analoga per Vs se prima siscambiano le sommatorie su r e su s. Si ha, in conclu-sione:

In entrambe le sommatorie compaiono termini del tipo

sI*rs per un fissato r o rI*

rs per un fissato s. Tali ter-mini, per un fissato nodo, esprimono la somma delle

Vrsr,s

Irs* = Vr Irs

*

sr - Vs Irs

*

rs(III.4)

Vrsr,s

Irs* = Vr

r,sIrs* - Vs

r,sIrs* (III.3)

Vkk

Ik* = 1

2Vrs

r,sIrs* (III.2)


correnti uscenti dal nodo o delle correnti entranti nelnodo. Si osservi che quanto affermato è vero solo se siè avuto la cura di usare sempre la stessa convenzione suogni bipolo: convenzione dell’utilizzatore, come nelnostr o caso, o convenzione del generatore, indifferen-temente. Le sommatorie del tipo sI*

rs sono, dunque,nulle in base alla LKC. Se ne deduce:

È importante sottolineare che non si sono dovute farespeciali ipotesi sulla natura dei bipoli o del grafo. Laproprietà descritta dalla (III.5) è molto generale ediscende soltanto dal fatto che sono soddisfatte la LKTe la LKC per le due reti. La proprietà è quindi validaanche se sono presenti bipoli non lineari. Naturalmenteessa è ancora valida per il caso particolare in cui le duereti coincidono: in tal caso i prodotti VkIk sono lepotenze assorbite dai singoli bipoli ed il Teorema diTellegen si riduce all’affermazione che in una rete lasomma di tutte le potenze assorbite dai rami della reteè nulla. Si badi bene, assorbite; e ciò in base alle scelteche abbiamo inizialmente fatte sul verso di Ik ed Vk. Sein qualche ramo sono presenti generatori, la loropotenza assorbita risulterà negativa e quindi si puòanche dire che il Teorema di Tellegen afferma che inuna rete la potenza fornita dai generatori presenti è parialla potenza assorbita dai bipoli passivi della rete stessa.Con buona pace, dunque, del principio di conservazio-ne dell’energia, che altrimenti sarebbe violato!Ma nella forma (III.5) il teorema di Tellegen stabiliscequalcosa in più. In questa forma esso prende anche ilnome di teorema delle potenze virtuali, e ci sarà moltoutile in regime sinusoidale per introdurre il concetto dipotenza reattiva.

Vkk

Ik* = 1

2Vrs

r,sIrs* = 0 (III.5)


Le proprietà di non-amplificazione

Un’altra proprietà delle reti di bipoli che discende dalmero fatto che per tali reti valgono la LKT e la LKC, èil così detto principio di non amplificazione delle tensio -ni : se in una rete di bipoli esiste un solo lato attivo, allo -ra il potenziale dei due nodi a cui il lato si appoggia sonol’uno il massimo e l’altro il minimo tra tutti i potenzialidei nodi della rete. La dimostrazione è immediata se cisi convince prima della seguente affermazione: se perun nodo r di una rete tutti i prodotti VrsIrs delle tensio-ni e correnti di tutti i lati che convergono nel nodo stes-so - con le convenzioni implicite nell’ordine dei pedici- sono maggiori od eguali a zero, il potenziale di talenodo non può essere né quello massimo né quello mini-mo della r ete. Infatti dato che s I rs=0 per la LKC,alcune delle Irs - per r fissato - saranno positive ed altrenegative. Ciò comporta che, nella ipotesi che tutti i pro-dotti V rsI rs siano maggiori di zero - sempre per un fis-sato r -, anche tra le Vrs ve ne saranno alcune positiveed altr e negative; ciò equivale a dire che il potenzialedel nodo r non è né il minimo né il massimo della rete. Ritornando ora al nostro teor ema iniziale si vede chia-ramente che nel caso sia presente un solo lato attivonella rete, i suoi nodi sono gli unici per i quali non sipuò affermare che VsrIrs > 0 per ogni s, perché nelramo in questione è presente un generatore. Per i nodiinterni, a cui fanno capo solo bipoli passivi, questa pro-prietà è invece certamente verificata. D’altra parte inogni rete deve pur esserci un nodo a potenziale minimoed uno a potenziale massimo; se ne conclude che talipotenziali sono assunti dai due nodi dell’unico lato atti-vo. Qualcuno avrà forse riconosciuto in questa affer-mazione il riflesso di quella proprietà di cui gode lafunzione potenziale di un campo conservativo: essa,infatti, non può avere né massimi né minimi nei punti


interni del suo dominio di definizione. Massimi e mini-mi sono assunti sui punti della frontiera. Lasciamo al lettor e l’enunciato e la dimostrazione delteorema duale che prende il nome di principio di nonamplificazione delle correnti .Va osservato, però, che i due teoremi di non amplifica-zione valgono soltanto in regime stazionario; vedremoin seguito dove la dimostrazione illustrata cade in difet-to in regime dinamico.

Sovrapposizione degli effetti

Fin qui si è parlato soltanto di proprietà delle reti dibipoli che non dipendono dalla natura dei bipoli stessi,ma solo dal fatto che tali reti sono sottoposte ai detta-mi della LKC e della LKT. Vogliamo ora invece occu-par ci di proprietà delle reti di bipoli che dipendonodalla natura dei bipoli stessi. In primo luogo la sovrap -ponibilità degli effetti . È questa una proprietà del tuttogenerale dei sistemi lineari; sistemi, cioè, in cui l’effettoè linearmente dipendente dalla causa. Essa si può espri-mere affermando che una particolare combinazionelineare di cause produce la stessa combinazione linearedegli effetti che ognuna delle cause produrrebbe se sitr ovasse ad agire da sola. Si potrebbe utilizzare la pre-cedente aff e rmazione quale definizione di sistemalineare, tanto i due fatti sono intimamente legati. Inparticolare consideriamo una rete con più generatori;se individuiamo nei singoli generatori le cause e nellecorrenti e nelle tensioni sui rami gli effetti, siamo por-tati ad affermare che le correnti o le tensioni sui lati diuna rete in cui agiscono più generatori possono esserecalcolate come somma delle tensioni e correnti indottesugli stessi rami dai generatori quando essi agisconosingolarmente. È necessario qualche commento su que-st’ultima affermazione: per far sí che un generatore agi-


sca da solo occorre evidentemente “eliminare” gli altri.Cosa significhi “eliminare un generatore” dipende evi-dentemente dal tipo di generatore: un generatore ditensione ideale, per esempio, per sua natura si lasciapercorrere da una qualsiasi corrente e produce ai suoimorsetti sempre la stessa tensione. Per eliminare i suoieffetti bisogna ridurre la sua tensione a zero ma nonimpedire il passaggio della corrente nel ramo occupatodal generatore. Questo, in realtà, equivale a sostituir e ilbipolo generatore ideale di tensione con un bipolocorto circuito. Un ragionamento del tutto analogoporta alla conclusione che i generatori ideali di corren-te, invece, debbono essere sostituiti con dei bipoli avuoto. Nel linguaggio corrente si parla di cortocircuita -re i generatori di tensione ed aprire i generatori di cor -rente , il che, preso alla lettera non è corretto; un gene-ratore ideale di tensione, per definizione, non consenteche la sua tensione venga annullata da un corto cir cui-to in parallelo. Analogo discorso si può fare per il gene-ratore ideale di corrente. Ciò nonostante l'espressionesintetica è molto comoda e largamente usata; essa vaintesa nel senso prima specificato di sostituire i bipoliin questione rispettivamente con bipoli corto circuitoed a vuoto. A questo punto è perfettamente definitoogni aspetto della sovrapposizione degli effetti nellereti lineari.Ancora una osservazione di carattere pratico: quandosi applica il principio di sovrapposizione degli effettibisogna fare attenzione ad utilizzare, in ognuna dellereti elementari in cui si scompone la rete con più gene-ratori, sempre la stessa orientazione per ogni ramo.Altrimenti si rischia di sottrarre quello che andrebbesommato o viceversa! Il principio di sovrapposizione degli effetti è di grandeutilità sia dal punto di vista pratico che dal punto divista puramente speculativo. Dal punto di vista pratico



esso fornisce, se vogliamo, il più elementare metodo disoluzione di una rete. Il principio ci consente infatti diaffermare che la soluzione di una rete comunque com-plessa, con più generatori, è riconducibile alla soluzio-ne di più reti in ognuna delle quali agisce un solo gene-ratore. Orbene, come abbiamo già sottolineato, unarete con un solo generatore può essere ricondotta aduna rete elementare, di una sola maglia, in cui il gene-ratore in questione è chiuso su di un unico bipolo equi-valente. Tale bipolo si identifica attraverso successiveriduzioni della rete, mediante sostituzione di rami inserie o di rami in parallelo con il loro bipolo equivalen-te. Naturalmente, come abbiamo già sottolineato, nons e m p re queste due trasformazioni sono suff i c i e n t i ;occorre anche, talvolta, una ulteriore trasformazioneche viene detta stella - poligono e che studieremo inseguito. In ogni caso quello che più importa è che èsempre possibile ricondurre la rete passiva, vista daidue morsetti dell’unico generatore presente, ad ununico bipolo equivalente. Una volta effettuata questaoperazione è facile calcolare la corrente erogata dalgeneratore, se di tensione, o la tensione che compare aisuoi morsetti, se di corrente; basta applicare la relazio-ne caratteristica del bipolo equivalente trovato. A que -sto punto si tratta di determinare le correnti nei varirami effettivi della rete, ripercorrendo a ritroso la stra -da precedentemente fatta.Una semplice applicazione renderà subito chiaro ilmetodo. Nel circuito, mostrato nelle figure, agisconodue generatori di tensione. Nelle stesse figure sonomostrati i due circuiti in cui la rete può essere scompo-sta cortocircuitando un generatore di tensione allavolta. La determinazione delle correnti nei vari rami,nei due casi, è molto agevole, ed i risultati sono sinteti-camente riportati. Le cor renti nella r ete di partenza siottengono sommando quelle omologhe delle reti com-

ponenti.



Generatori equivalenti di tensione e corrente

Il teorema di sovrapposizione degli effetti è anche unanotevole arma speculativa che consente di dimostrareproprietà particolari delle reti lineari. Esaminiamoneuna applicazione estremamente importante. Abbiamovisto che una rete passiva vista tra due nodi è semprericonducibile ad un unico bipolo equivalente. È possi-bile una riduzione simile anche per una rete che con -tenga bipoli attivi, in base a quanto affermato dal teo -rema del generatore equivalente di tensione, comune-mente detto anche teorema di Thévenin , e dal suo“duale”, teorema del generatore equivalente di corrente,o teorema di Norton .Consideriamo, dunque, una qualsiasi rete attiva e sce-gliamo su di essa due nodi. Per sottolinearne la genera-lità, rappresenteremo la rete con una scatola chiusa. Isimboli all’interno della scatola stanno a ricordare chenella rete sono in generale presenti generatori di ten-sione, generatori di corrente e bipoli passivi.I due nodi scelti sono stati “prolungati” fuori della sca-tola, mediante conduttori perfetti che, com’è noto, nonintroducono nessun disturbo, e sono indicati con le let-tere A e B.Se volessimo ricavare sperimentalmente la caratteristi-ca del bipolo equivalente, il legame cioè tra tensione aimorsetti e corrente che attraversa il bipolo, potremmoinserire tra i morsetti A e B un generatore ideale di cor -rente I che sia regolabile a piacere, che sia cioè in gradodi erogare una corrente I del valore desiderato.In figura sono anche mostrati i versi positivi scelti. Sinoti che abbiamo scelto la convenzione del generatoreper il bipolo equivalente della rete e quella dell'utiliz-zatore per il generatore di corrente.Se ripor tiamo nel piano (I,V) per ogni valore di I il cor-rispondente valore di V, opportunamente misurato,

otterremo graficamente la caratteristica cercata.Senza effettivamente compiere le misure cerchiamo dianticipare, in base ad alcune elementari considerazioni,il tipo di caratteristica che possiamo aspettarci. In effet-ti, essendo la rete per definizione una rete di bipolilineari, non c’è motivo di pensare che la caratteristicaequivalente non sia anche essa lineare. Questo risultatodi per sé evidente, sarà anche ottenuto tra breve per viapiù formale.Nel piano (I,V) dunque, la caratteristica è una retta chein generale non passa per l’origine degli assi, essendopresenti anche bipoli attivi. Sarà, pertanto, una rettadel tipo mostrato in figura.Per individuare una retta occorrono, naturalmente,due suoi punti. Si propongono a tale scopo, in manieramolto evidente, i due punti in cui la caratteristica inter-seca gli assi coordinati. Il primo punto di coordinateV=E0 ed I=0 corrisponde alle condizioni in cui il bipo-lo non è attraversato da corrente; i suoi morsetti sono,dunque, “chiusi su di un bipolo circuito aperto”.Appare naturale indicare questa tensione con il termi-ne tensione a vuoto del bipolo . L’altro punto è quelloindividuato da V=0 ed I=Icc. In tali condizioni di fun-zionamento tra i morsetti A e B c’è tensione nulla,come se il bipolo fosse “chiuso su di un bipolo cortocircuito”. Chiameremo, quindi, Icc la corrente di cortocircuito del bipolo. Data la rete, è generalmente moltoagevole calcolare sia E0 che I cc e quindi la caratteristicadel bipolo equivalente, che sarà rappresentata da unaequazione del tipo:

Tale è, infatti, l'equazione della retta che passa per ipunti (E0,0) ed (0,Icc). Se poniamo Ri=E0/Icc la (III.6)

V = E0 - E0Icc

I. (III.6)


si può scrivere nel seguente modo:

La (III.7) ci appare come la caratteristica, di cui si è giàparlato, di un bipolo costituito da un generatore di ten-sione E0 con in serie un bipolo passivo Ri.Abbiamo dunque dimostrato l’equivalenza, almeno aimorsetti A e B - faremo qualche ulteriore commento suquesto punto - tra la rete originaria ed una elementarecostituita dalla serie di un generatore di tensione ed unresistore. Di tale resistore, introdotto in precedenzacome rapporto tra E0 ed Icc, può darsi una interpreta-zione molto interessante che è, se vogliamo, il vero con-tenuto del teorema del generatore equivalente di ten-sione. Applichiamo, infatti, la sovrapposizione deglieffetti alla rete originaria - con il generatore di corren-te tra i morsetti A e B - scomponendola in due reti com-ponenti. Nella prima abbiamo lasciato tutti i generato-ri della rete e abbiamo aperto, come prescritto dallasovrapposizione, il generatore di corrente esterno; nellaseconda invece abbiamo cortocircuitato tutti i genera-tori di tensione ed abbiamo aperto quelli di correntepresenti nella rete, lasciando agire il solo generator e dicorrente esterno da noi applicato. Con locuzione con-cisa, ma molto espressiva, si dice che nel secondo casola rete di partenza è stata resa passiva.Il teorema di sovrapposizione ci assicura che ogni gran-dezza elettrica nella rete di partenza può essere ottenu-ta come somma dei valori assunti dalla stessa grandez-za nei due circuiti componenti; abbiamo avuto infattil’accortezza di conservare le stesse convenzione deisegni. Per esempio la tensione V ai morsetti, nella reteoriginaria, potrà essere posta come somma di una V" edi una V', dove V"=E0, perché i morsetti A e B nellaseconda rete sono aperti, e V'= -RiI', avendo indicato

V = E0 - Ri I. (III.7)


con Ri la resistenza equivalente vista dai morsetti A e Bdella rete resa passiva. Quindi:

D’altra parte la sovrapposizione per le correnti forni-sce:

dato che I" è evidentemente nulla, per cui, come ave-vamo già dedotto in precedenza:

Va notato però che ora sappiamo anche come calcolareRi.Concludendo enunciamo il teorema del generatore equi -valente di tensione :Ogni rete considerata da una coppia di nodi può esserevista come un bipolo attivo costituito dalla serie di ungeneratore ideale di tensione pari alla tensione a vuototra i morsetti in esame della rete, ed un resistore la cuiresistenza è pari a quella vista tra gli stessi morsetti quan -do si sia provveduto a rendere passiva la rete di partenza,“ c o rt o c i rcuitando” i generatori ideali di tensione e“aprendo” quelli di corrente.Questo teorema è, come vedremo, di grande utilità siapratica che speculativa. È importante sottolineare che ilteorema enunciato assicura l’equivalenza tra i duebipoli soltanto ai fini di quello che accade a valle deimorsetti A e B. Ciò sembra del tutto evidente dato chenel bipolo equivalente si è persa qualsiasi traccia dellacomplessità della rete di partenza. Si potrebbe peròincorrere nell’errore di pensare che l’equivalenza siestenda anche ad altre grandezze globali; si potrebbeper esempio credere di poter affermare che quando ilbipolo di partenza eroga una corrente I, la potenza dis-sipata al suo interno sia pari ad RiI2, che è, appunto, la

V = E0 - Ri I. (III.9)

I = I' + I'' = I'

V = E0 - Ri I' . (III.8)


potenza dissipata nel bipolo equivalente. Ciò non èassolutamente vero! Per convincersene basta immagi-nar e che nella rete di partenza vi sia da qualche parteun resistore R in parallelo ad un generatore ideale ditensione E. In tale resistore sarà dissipata una potenzaE2/R. Di tale r esistore R invece non c'è alcuna traccia inRi, perché quest’ultima è stata calcolata nella rete resapassiva, in cui al generatore ideale di tensione è statosostituito un cortocircuito. Come è noto il parallelo diun resistore qualsiasi con un bipolo cortocircuito èancora un bipolo corto circuito, indipendentementedal resistore ad esso in parallelo! Bisogna dunque fareattenzione ad interpretare correttamente l’equivalenzaimposta dal teorema del generatore equivalente di ten-sione!La caratteristica di cui alle immagini precedenti è peròinterpretabile anche in un altro modo. Essa può esserevista come la caratteristica di un generatore ideale dicorrente che eroga la corrente Icc con in parallelo unresistore Ri. Si ha, infatti, applicando la LKC ad unodei due nodi (vedi figura a lato):

che, tenendo conto della relazione E0 = RiIcc, è equiva-lente alla III.9. È questo il teorema del generatore equi -valente di corrente :Una qualsiasi rete vista da due morsetti può ritenersiequivalente ad un generatore di corrente che eroga lastessa corrente che, nella rete di partenza, circolerebbe trai due morsetti scelti, qualora gli stessi siano messi incorto circuito, con in parallelo un resistore Ri di resisten -za pari a quella vista dai due morsetti dopo aver avutol’accortezza di rendere passiva la rete, cioè ecc. ecc.È facile modificare la dimostrazione descritta per il teo-rema del generatore equivalente di tensione in modo da

Icc = V Ri

+ I,


ottenere dir ettamente quella del generatore equivalen-te di corrente.

Reciprocità nelle reti elettriche

Un’altra proprietà generale delle reti è quella descrittadal cosiddetto principio di reciprocità. Eccone l'enun-ciato: si consideri una rete passiva qualsiasi e si indivi-duino in essa due rami, diciamo il ramo a ed il ramo b.Alimentiamo la rete ponendo un generatore di tensio-ne Ea nel ramo a e indichiamo con Ib la corrente, in undeterminato verso, che circola nel ramo b in conse-guenza dell’inserimento del generatore Ea nel ramo a.Viceversa sia I'a la corrente prodotta nel ramo a quan-do un generatore E'b è inserito nel ramo b della retepassiva. In conclusione una volta si alimenta la rete dallato a ed un’altra volta si alimenta dal lato b indivi-duando le rispettive correnti prodotte nei rami b e a.Orbene il teorema afferma che: Ea/Ib = E'b/I'a. Cioè, insintesi, il rapporto tra causa in a ed effetto in b è ugua-le al rapporto tra causa in b ed effetto in a. Da ciò ilnome di reciprocità.La dimostrazione è immediata se si applica il teoremadi Tellegen alle due reti mostrate in figura. Nel riqua-dro c’è, evidentemente, una rete passiva. Il teorema diTellegen afferma che:

Cioè, evidenziando il ramo attivo, e tenendo conto cheper ogni ramo della rete passiva è Vk = Rk Ik ed V'k =Rk I'k:

Inserendo di nuovo i termini relativi ai lati a e b nelle

- EaIa' + RaIaIa' + RkIkIk'

k a

= 0,

- Eb'Ib + RbIb

'Ib+ RkIk'Ik

k b

= 0.

VkIk'

k

= 0 ed Vk'Ik

k

= 0


sommatorie:

Le sommatorie stesse sono ora estese a tutti i rami dellarete. Dalla eguaglianza di tali sommatorie derivaEa/Ib=E'b/I'a, che è quanto volevasi dimostrare.

Esercizi

Ancora due reti da risolvere. Per la seconda è istruttivoapplicare il metodo dei potenziali ai nodi per calcolarela differenza di potenziale tra il nodo O ed O'. La for-mula che si ottiene può essere facilmente generalizzatae va sotto il nome di formula di Millmann; ci sarà moltoutile per lo studio dei sitemi trifasi squilibrati.

- EaIa' + RkIkIk'

k

= 0,

- Eb'Ib + RkIk

'Ikk

= 0.


Metodi sistematici per la risoluzione delle reti

La scrittura delle equazioni risolventi per una rete dibipoli attivi e passivi può essere resa automatica e quin-di adatta ad essere implementata in un codice per cal-colator e; tra le diverse impostazioni possibili, ci limite-remo a descrivere quella basata sul concetto di matricedelle conduttanze ai nodi, anche perché essa presentauna stretta analogia con quanto diremo per la descri-zione di un sistema a più poli nel prossimo capitolo.Sia dunque data una qualsiasi rete di n nodi ed l lati;come abbiamo più volte rilevato, le informazioni con-tenute in una rete elettrica sono di due tipologie distin-te. In primo luogo la rete descrive un particolare mododi connettere bipoli tra di loro; tale descrizione è con-tenuta in quello che abbiamo detto grafo della rete. Insecondo luogo deve essere fornita la particolare naturadi ogni bipolo presente nei rami della rete; in altrepar ole debbono essere note le caratteristiche dei bipo-li. Queste informazioni contenute nello schema di unarete possono essere mantenute distinte e trattate sepa-ratamente. Cominciamo dal grafo della rete e ponia-moci il problema di fornire le informazioni in esso con-tenute in una maniera diversa.Costruiamoci una matrice Ac, di n righe ed l colonne, ilcui generico elemento aij sia così definito:

È chiaro che una tale matrice, che prende il nome dimatrice d'incidenza completa della rete, definisce univo-camente il grafo orientato della rete stessa. Per dare piùconcretezza all'esposizione riportiamo nelle immagini alato un esempio di grafo orientato e la relativa matriced'incidenza.

aij = +1 se il lato j esce dal nodo i-1 se il lato j entra nel nodo i 0 se il lato j non interessa il nodo i

(III.10)


Facendo uso della matrice di incidenza si possonoesprimere le equazioni di Kirchhoff per la rete in formamatriciale. È facile verificare che il sistema di equazio-ni simbolicamente espresso dalla relazione (dove I ènaturalmente il vettore colonna delle correnti nei rami):

è il sistema di equazioni che esprime l'applicazionedella prima legge di Kirchhoff agli n nodi della r ete.Infatti in ognuna delle equazioni della (III.11) - peresempio quella relativa al nodo r (riga erresima) - lagenerica corrente Ik comparirà con il segno positivo,negativo o non comparirà affatto, a seconda che il ramoorientato k rispettivamente esca, entri o non interessiaffatto il nodo r. Una semplice applicazione al casodescritto dal grafo mostrato potrà meglio chiarirequanto affermato.Come sappiamo le equazioni di un tale sistema nonsono tutte linearmente indipendenti; basta però elimi-nar e una delle equazioni per ottenere n-1 equazioniindipendenti ai nodi. Ciò equivale ad eliminare unariga della matrice di incidenza completa, per esempioquella relativa al nodo IV negli schemi mostrati, e con-siderare la matrice A di dimensioni (n-1 ) xl. Tale matri-ce prende il nome di matrice di incidenza ridotta o sem-plicemente matrice di incidenza, quando è implicito chesi tratti di quella ridotta. Con questo formalismo leequazioni indipendenti agli n-1 nodi saranno espressedalla relazione:

Per quanto riguarda le LKT, abbiamo più volte osser-vato che esse risultano automaticamente soddisfatte sesi esprimono le tensioni sui lati come differenza dipotenziale nei nodi. Se il lato k, per esempio, insiste trail nodo r ed il nodo s, si avrà Vk= Er - Es, dove Er ed Es

A I = 0. (III.12)

Ac I = 0, (III.11)


sono i potenziali dei nodi r ed s rispetto ad un riferi-mento preso ad arbitrio. In particolare possiamo sce-gliere, come riferimento, il potenziale del nodo per ilquale si è scelto di non scrivere la corrispondente equa-zione. In tal modo le l tensioni di lato Vk saranno espri-mibili attraverso gli n-1 potenziali ai nodi Er. Se defi-niamo, a questo punto, il vettore colonna E dei poten-ziali degli n-1 nodi, per i quali abbiamo scritto le LKC,rispetto al restante nodo preso come riferimento, è faci-le convincersi che le l relazioni, che esprimono le ten-sioni di lato in funzione dei potenziali ai nodi, hanno laseguente espressione matriciale:

dove AT è la matrice, di dimensioni lx(n-1), trasposta diA. Infatti nella espressione della generica Vk, fornitadalla (III.13), compariranno i potenziali dei due nodi acui il lato k afferisce, con il segno positivo o negativo aseconda dell'orientazione del lato k stesso; se, in parti-colare il lato k è connesso al nodo di riferimento, nellasua espressione comparirà soltanto il potenziale dell'al-tro nodo, essendo il nodo di riferimento a potenziale 0per costruzione. Anche in questo caso la semplice veri-fica delle affermazioni fatte per il caso della retedescritta dal grafo in esame, potrà essere chiarificato-ria.Affrontiamo ora il problema della descrizione dellagenerica caratteristica di lato. I teoremi del generatoreequivalente di f.e.m. e di corrente ci consentono diassumere che ogni lato della rete sia riconducibile,indifferentemente, o ad un generatore ideale di f.e.m.con una resistenza in serie, o ad un generatore ideale dicorrente con una conduttanza in parallelo, così comemostrato in Fig.III.1 a e b, rispettivamente.

V = AT E , (III.13)


a) b)Fig.III.1

È facile infatti trasformare un ramo del tipo descritto inFig.III.1a, con caratteristica

in uno equivalente del tipo descritto in Fig.VIII.1b,con caratteristica

e viceversa.Applicando, per esempio, al bipolo di Fig.III.1a il teo-rema di Norton, si ottengono immediatamente la cor-rente di corto circuito ai morsetti AB e la resistenzaequivalente vista dagli stessi morsetti per la rete resapassiva.Per trasformare dunque una caratteristica di lato deltipo descritto dalla relazione III.14 in una del tipodescritta dalla relazione III.15, basta porre I0k= E0k/Rk

ed Gk=1/Rk. Si osservi che allo stesso risultato si potevabanalmente giungere dividendo l'equazione III.14 perRk e risolvendo rispetto ad Ik. Quest'ultima osservazio-ne evidenzia, in realtà, un problema: esistono due casilimiti in cui la trasfor mazione non è possibile ed i teo-remi di equivalenza non consentono di passare da unramo con generatore ideale di f.e.m. ad un ramo con

Ik = - I0k + GkVk , (III.15)

Vk = E0k + RkIk , (III.14)


generatore ideale di corrente. Sono evidentemente idue casi del generatore ideale di f.e.m. senza r esistenzain serie e quello del generatore ideale di corrente senzaconduttanza in parallelo. Nel primo caso, infatti, l'ap-plicazione del teorema di Norton ci porterebbe allanecessità di porre il generatore ideale di f.e.m. in cortocircuito, per calcolare la corrente di corto circuito aimorsetti AB, il che, come sappiamo, è contraddittorio.Alla stessa conclusione ci conduce la semplice opera-zione algebrica di dividere l'equazione III.14 per Rk,dato che, nel nostro caso, tale resistenza è nulla. Se neconclude che non è possibile trasformare un generato-re ideale di f.e.m. in uno di corrente e viceversa, quan-do essi siano da soli nel ramo in esame. Poiché nelseguito ci sarà utile poter assumere per il generico latok indifferentemente una caratteristica del tipo descrittodalla III.14 o dalla III.15, mostreremo come tali situa-zioni limiti siano in realtà non essenziali ed eliminabili.Ci sarà utile allo scopo fare uso del così detto teoremadi sostituzione. Tale teorema afferma che se in una retedi bipoli lineare si sostituisce, ad un ramo interessatodalla tensione V, un generatore ideale di f.e.m. E0 = V,nulla cambia nella restante parte della rete.È facile convincersi della veridicità di tale affermazionese si considera che la "restante parte della r ete" è inrealtà anche essa rappresentabile come un bipolo linea-re - ossia con un legame caratteristico tensione-corren-te di tipo lineare e, quindi, anche ad un sol valore: adogni valore della corrente corrisponde un valore, eduno solo, della tensione e viceversa . Se quindi la ten-sione imposta ai morsetti dal generatore è identica aquella V esistente agli stessi morsetti nella rete origina-ria, la corrente erogata dal bipolo equivalente allarestante parte della r ete non può che essere identica aquella presente nel ramo in esame nella rete di parten-


za.In maniera del tutto simile si può dimostrare la formaduale del teorema di sostituzione: se in un rete linearesi sostituisce ad un ramo interessato dalla corrente I ungeneratore di corrente che fornisce la stessa corrente,nulla cambia nella restante parte della rete. Dalle dueforme enunciate del teorema di sostituzione discendo-no immediatamente le seguenti conseguenze: se duepunti di una rete lineare sono allo stesso potenziale essipossono essere collegati con un bipolo corto circuitosenza modificar e in alcun modo il funzionamento dellarete stessa. E ancora: se in un ramo di una rete linearenon circola corrente, tale ramo può essere sostituitocon un bipolo circuito aperto senza modificare in alcunmodo il funzionamento della rete.Le due conseguenze appaiono subito evidenti se si con-sidera che un generatore di f.e.m. ideale di tensionenulla equivale ad un bipolo corto circuito e che ungeneratore ideale di corrente che eroghi una correntenulla equivale ad un bipolo circuito aperto.Facendo uso di questi risultati si vede facilmente cheun ramo di una rete in cui sia presente un solo genera-tor e ideale di f.e.m. può essere facilmente eliminatomodificando la rete, come è mostrato nelle immagini alato.Infatti, in tale rete modificata, i punti C,D ed F sonoallo stesso potenziale per costruzione; ne consegue cheessi possono essere cortocircuitati, così come è mostra-to nella successiva immagine. È evidente, a questopunto, che la rete così ottenuta è equivalente a quella dipar tenza, perché i tre generatori ideali di egual f.e.m. inparallelo possono essere sostituiti con un solo genera-tor e.Analogo è il caso del generatore ideale di correntesenza una conduttanza in parallelo.Dalla rete mostrata in alto nella immagine qui a lato sipassa facilmente a quella mostrata in basso nella stessa


immagine, passando attraverso la rete mostrata nell’im-magine a sinistra, considerando che essa è identica allarete modificata salvo per il fatto che si è usato l'artificiodi scomporre un nodo in due nodi, A e B. Non circo-lando nel tratto AB alcuna corrente - per convincerse-ne basta applicare la prima legge di Kir chhoff - taletratto può essere eliminato ritornando alla rete di par-tenza.Avendo eliminato in questo modo tutti i lati singolari diuna rete possiamo a questo punto supporre che nelgenerico lato siano presenti o un generatore ideale dif.e.m. con una resistenza in serie o un generatore dicorrente con una conduttanza in parallelo; per mante-nere aperte tutte le possibilità possiamo addiritturasupporre che in ogni ramo siano presenti entrambi igeneratori, così come è mostrato in Fig.III.2a e b, nelledue configurazioni equivalenti.

a) b)Fig.III.2

Se tutte le I0k sono nulle i generatori di corrente sonostati ricondotti a generatori di f.e.m. e viceversa nelcaso in cui tutte le E0k sono nulle. In conclusione, senzaperdere alcuna generalità, si può assumere che la gene-rica caratteristica di lato sia in una delle due formeequivalenti:

Vk = E0k + Rk Ik + I0k , (III.16)


Possiamo descrivere le caratteristiche di lato in unaforma molto sintetica utilizzando il formalismo matri -ciale. Sia infatti G la matrice delle conduttanze di lato,definita come la matrice quadrata e diagonale, didimensioni lxl, il cui generico elemento Grk è nullo ser k ed è pari a Gk se r=k:

e siano I0, E0, I e V i vettori colonne (o righe) così defi-niti:

Con questo formalismo, e facendo riferimento alla for-mulazione di cui alla (III.17), le caratteristiche di latopossono essere sinteticamente descritte dalla relazione:

dove i pr odotti tra matrici vanno intesi nel senso usua-le (righe per colonne).Sostituendo nella relazione (III.12) l'espressione delvettore I fornita dalla (III.18), e utilizzando la (III.13)per esprimere il vettore V in funzione del vettore E, siottiene:

YE = AI0 + AGE0, (III.19)

I = - I0 + GV - GE0, (III.18)

I0 =

I01I02.....I0l-1I0l

, E0 =

E01E02.....E0l-1E0l

, I =

I1I2

.....Il-1Il

, V =

V1V2.....Vl-1Vl

.

G =

G11 0 0 0 0........ ........ ........ ........ ........

0 0 Grr 0 0........ ........ ........ ........ ........

0 0 0 0 Gll

,

Ik = - I0k + Gk Vk - E0k . (III.17)


dove si è posto:

La matrice Y, di dimensioni (n-1)x(n-1), prende ilnome di matrice delle conduttanze ai nodi. Il sistema diequazioni rappresentato dalla III.19, nelle incognitepotenziali ai nodi, è il sistema risolvente della rete. Nelcapitolo successivo ritoveremo risultati analoghi par-tendo da un altro punto di vista.

Esercizi

Nei due schemi proposti si richiede di risolvere la rete,nel primo caso applicando il principio di sovrapposi-zione degli effetti, e nel secondo caso applicando il teo-rema del generatore equivalente ai morsetti A e B. Inquest'ultimo caso, infatti, l'applicazione del teoremadel generatore equivalente - di tensione, per esempio, -consente di ridurre la rete ad una con due sole maglie.La corrente nel ramo 5 si calcola quindi agevolmente edalla sua conoscenza è facile risalire ad ogni altra cor-rente nei rami della rete. Un’altra notevole semplifica-zione si ottiene applicando lo stesso teorema ai morset-ti del lato 2!

Nella immagine successiva è descritta la soluzione di unproblema posto in precedenza. La soluzione si deter-mina con una elementare applicazione del metodo deipotenziali ai nodi. Si noti che tale soluzione è genera-lizzabile al caso di n rami in parallelo tra due soli nodi;in questa forma viene spesso detta "formula diMillman".

Y = AGAT. (III.20)


Infine per la verifica della soluzione dell'esercizio pro-posto nell'ultima immagine, diamo il valore della ten-sione tra i morsetti A e B, V AB = 192 V.

VO'O =

Ei Gii

n

Gii

n . (III.21)


I resistori nella loro realizzazione concreta

Nella prima immagine a lato sono mostrati alcuni resi-stori di dimensioni molto diverse. Si potrebbe pensareche ciò cor risponda al fatto che essi hanno valori diresistenza molto diversi tra loro. Per inciso, per poterindicar e tutta la gamma di possibili valori delle resi-stenze, oltre all'unità di misura ohm ( ), si utilizzanomultipli e sottomultipli dell'unità fondamentale, comeindicato nel quadro riassuntivo. Così un resistore di10k (dieci kilohm) è in realtà un resistore di 10 x 103

= 10.000 ohm.Per resistori di dimensioni abbastanza ridotte, puòrisultare difficile riportare sulla loro superficie esternail valore della r esistenza da essi offerta. Si è convenutoquindi di segnalare tali valori mediante un codice abarre colorate, che risulta per altro anche molto piùvisibile ed evidente. Il significato dei vari colori è ripor-tato in tabelle che si possono trovare in qualsiasimanuale specialistico.Accanto alle bande che indicano il colore, se ne trova,in generale, una che indica la precisione con cui il valo-re della resistenza viene fornito. Questa tolleranzadipende naturalmente dalle diverse tecniche costrutti-ve ed ha, come è facile immaginar e, una grande influen-za sul costo del componente.Ma tor niamo ai resistori di diverse dimensioni. L'ideache tali dimensioni dipendano soltanto dalle differenzedei valori in ohm delle rispettive resistenze, non è esat-ta. Infatti, nel caso particolare, i tre resistori hanno lastessa resistenza. Il valore in ohm della resistenza di unresistore non è quindi l'unico parametro sufficiente acaratterizzar e il bipolo “fisico” resistore. Vediamo bre-vemente per quali motivi.In primo luogo ricordiamo che quando abbiamo intro-dotto il bipolo resistore, abbiamo sottolineato come la


sua resistenza dipenda, oltre che dalla geometria delsistema, anche dal materiale di cui il bipolo è costitui-to.Nella formula (5) tale ruolo è svolto dalla resistività .Abbiamo anche visto che il modello della conduzioneelettrica di Drude dà una giustificazione microscopicadi questa dipendenza lineare tra tensione e corrente.Proprio il modello di Drude, però, ci ha indotti aimmaginare che la legge di proporzionalità tra "attrito"resistente e "velocità" dei portatori di cariche, che èalla base appunto della legge di Ohm, non possa essereverificata in ogni condizione. È logico quindi supporreche la resistività di un materiale non sia una costanteindipendente dalle condizioni fisiche del materiale stes-so.Un fattore importante da cui la resistività dipende è latemperatura del corpo. Nell’immagine a lato sonoriportate qualitativamente in un diagramma alcunetipiche dipendenze della conducibilità = 1/ in fun-zione della temperatura, per tre materiali diversi.Come si vede si riscontrano comportamenti anchemolto diversi: mentre la conducibilità del rame e delpiombo diminuisce al crescere della temperatura, quel-la della grafite aumenta. E comportamenti anche piùcomplessi si possono riscontrare se si aumenta il campodi variazione delle temperature o se si usano materialidiversi. Ma limitiamoci ai casi classici mostrati in figu-ra e osserviamo che la dipendenza (T) non è in gene-rale sempre lineare. Ciò nonostante se il campo divariazione delle temperature è limitato, possiamo pen-sare di approssimare tale dipendenza con una relazionelineare del tipo:

dove 0 è la resistività alla temperatura T0 e 0 un

T = 0 1 + 0 T - T0 (III.22)


opportuno coef ficiente che prende il nome di coeffi -ciente di temperatura. Un osservatore attento ricono-scerà nella (III.22) il semplice sviluppo in serie dipotenze della funzione (T) con punto iniziale T0; iltermine 0 0 non è altro che il valore di d /dT valuta-to in T 0, e ciò giustifica il fatto che tale coefficientedipende dalla scelta del punto iniziale. I valori di 0 sitrovano facilmente in opportune tabelle per i diversimateriali: generalmente per T0 si sceglie la "temperatu-ra ambiente" che si assume pari a 20°C circa. Per ilrame, pr odotto con procedimento elettrolitico, peresempio, tale coef ficiente vale 0 = 0,0038 (°C)-1.Dalle curve osserviamo che 0 può anche essere nega-tivo.Il fatto che la resistività vari con la temperatura portauna conseguenza che non si rileva, forse, immediata-mente. Come sappiamo, un resistore R attraversato dauna corrente I per un tempo t è sede di una trasfor-mazione ener getica che porta alla produzione di unacerta quantità di calore Q = RI2 t. In conseguenza diquesto fenomeno, la temperatura del bipolo resistoretende a crescere e quindi la sua resistenza a variare. Neconsegue dunque una indiretta dipendenza di R da I,con il che la legge di proporzionalità tra V ed I nonrisulta più verificata. In effetti però si raggiunge rapi-damente una temperatura di regime, che si può facil-mente determinare con un semplice bilancio energeti-co; la temperature raggiunta sarà quella alla quale lapotenza dissipata per effetto Joule è esattamente egua-le alla quantità di calore che nell'unità di tempo il bipo-lo resistore trasferisce all'ambiente esterno. Una voltache la temperatura si sia stabilizzata, anche il valore diR resta costante pur se diverso da quello iniziale. Ma c'è di più. Se infatti la temperatura di regime che sidovrebbe raggiungere per il valore della corrente che


attraversa il bipolo, e quindi per la potenza che esso ècostr etto a sviluppare, è troppo elevata, le caratteristi-che del materiale possono cambiare totalmente: al limi-te, per correnti troppo elevate, il conduttore di cui èfatto il resistore, può fondersi localmente e la condu-zione stessa può esserne compromessa.È chiaro dunque che di ogni resistore deve essere for-nito, oltre al valore della sua resistenza, anche il valoredella corrente limite che esso è in grado di tolleraresenza uscire dai margini di precisione indicati o, conse-guenza più grave, senza autodistruggersi.Naturalmente per consentire ad un resistore di dissipa-re una maggiore potenza, mantenendo la sua tempera-tura entro limiti accettabili, il metodo più immediatoche possiamo immaginare è quello di aumentare la suasuperficie di contatto con l'ambiente esterno, di modoche aumenti la quantità di calore trasmessa nell'unità ditempo all'ambiente esterno. Ma potremmo immagina-re anche altre tecniche: per esempio, una ventilazioneforzata. D'altra parte superfici più grandi comportanovolumi maggiori; ecco quindi uno dei motivi per cuiresistori con lo stesso valore di resistenza possono averevolumi anche molto differenti. Sono progettati perdiverse potenze!Un altro fattore che può influenzare le dimensioni diun bipolo resistore è la tensione di lavoro per cui essoè costruito. Questo parametro è importante per resi-stori costr uiti per tensioni elevate. Fino ad ora abbiamoimplicitamente assunto il re s i s t o re immerso in unmezzo isolante - l'aria tipicamente - di modo che ilmoto delle cariche fosse obbligato a svilupparsi esclusi-vamente attraverso il resistore stesso. In effetti qualsia -si mezzo isolante si comporta come tale solo se la forzache agisce sulle cariche in esso presenti, che è propor-zionale al campo E, non supera determinati limiti.


Oltre tali limiti l'isolante perde le sue caratteristiche, sisviluppa una scarica al suo interno ed il passaggio dicariche non è più interdetto. Per l'aria, per esempio,tale valore, che prende il nome di rigidità dielettrica, siaggira intorno ai 25 kV/cm, e dipende dalle sue condi-zioni fisiche. È chiaro dunque che non sarebbe possi-bile realizzare un bipolo resistore, atto a sopportareuna tensione di 25kV, che non abbia tra i suoi morsettiuna distanza sufficientemente maggiore di un centime-tro. Anche per questo motivo i resistori per elevate ten-sioni hanno generalmente dimensioni più grandi, indi-pendentemente dalla potenza, generalmente non eleva-ta, che sono in grado di dissipare.Dei generatori “reali” abbiamo già fatto cenno in pre-cedenza e del come essi debbano necessariamenteavere una caratteristica del tipo mostrato in figura incui con l'aumentare della corrente erogata, la tensioneai morsetti, come suol dirsi, “si siede”. Avremo dunqueuna tensione a vuoto, che sarà la massima possibile, eduna corrente di cortocircuito, valore che in generalenon è concretamente raggiungibile, a meno che non sivoglia rischiare di distruggere il dispositivo.

Il proporzionamento dei conduttori

Abbiamo sempre immaginato di poter connettere inostri generatori al carico mediante conduttori perfettiche non introducono alcuna caduta di tensione.Naturalmente ciò non è possibile nella realtà; le con-nessioni al carico utilizzatore sono r ealizzate con mate-riali che, per quanto buoni conduttori, presentano sem-pre una certa resistività.Con riferimento allo schema riportato a lato, immagi-niamo che la distanza tra carico e generatore sia L e chela sezione del conduttore sia S. Quali conseguenzedovremo attenderci da queste circostanze?


In primo luogo, evidentemente, la tensione sul carico Rnon sarà uguale a quella fornita dal generatore ai suoimorsetti; è facile calcolare tale caduta di tensione,tenendo conto che la lunghezza complessiva del colle-gamento è 2L:

Dalla (III.23) appare chiaro che, se immaginiamo fissa-ta la corrente I assorbita dal carico e la distanza L, lacaduta di tensione può essere ridotta attraverso l'utiliz-zo di un miglior materiale conduttore (generalmentepiù costoso), oppure aumentando la sezione S dei con-duttori. È ragionevole dunque un proporzionamento deiconduttori inteso ad ottimizzare aspetti specifici del -l'impianto nel suo complesso. La caduta di tensione,infatti, non è l'unico elemento che va tenuto in conto:la corrente I, che attraversa i conduttori di resistività ,produce una dissipazione di potenza che, per la leggedi Joule, è data da:

Volendo ridurre tale potenza dissipata, è chiaro cheancora una volta è possibile agire sulla sezione S in basea quanto dettato dalla formula (III.24), piuttosto chedalla formula (III.23). Ma non è tutto: la potenza dissi-pata nel conduttore viene, come è noto, trasformata incalore e di conseguenza produce un innalzamento dellatemperatura T del conduttore rispetto alla temperaturaambiente T0. La temperatura di regime che si raggiun-ge è, come sempre, fissata dalla condizione di equili-brio tra la potenza elettrica dissipata e la quantità dicalore che, nell'unità di tempo, viene trasferita all'am-biente esterno. Quest'ultima è proporzionale al salto ditemperatura T - T0 ed all'area della superficie di con-tatto tra corpo conduttore ed ambiente estern o .

P = RlI2 = 2LS

I2 . (III.24)

V = 2LS

I . (III.23)


Abbiamo implicitamente fatto l'ipotesi che il meccani-smo principale di trasferimento del calore all'ambienteesterno sia quello della convezione, il che è abbastanzanaturale dato che il conduttore sarà, in ultima analisi,circondato da un fluido isolante - l'aria, per esempio. Indefinitiva, all'equilibrio si avrà:

dove k è un coefficiente di convezione che dipende dadiversi fattori che sarebbe lungo qui elencare, S= r2 ep l=2 r sono rispettivamente l'area ed il perimetro dellasezione trasversale del conduttore supposto cilindrico edi raggio r. È questa la relazione che bisogna prenderein considerazione qualora sia T= T - T0 la grandezzache si vuole tenere sotto controllo. Naturalmente la(III.25) può essere ulteriormente raffinata se si tiene inconto che la stessa resistività del materiale dipendedalla temperatura.Come si vede il problema del proporzionamento deiconduttori, almeno in corrente continua, è, in linea diprincipio, abbastanza semplice: una volta fissati i valo-ri di V, P e T ammissibili, basta determinare qualedelle tr e relazioni (III.23), (III.24) e (III.25) porta allacondizione più stringente nel caso specifico. Perimpianti comuni di tipo classico spesso si assume chetutto ciò porti in definitiva a fissare la densità di cor-rente I/S ammissibile nel conduttore. In altri casi i valo-ri delle sezioni necessarie sono direttamente riportati intabelle che si trovano nei diversi manuali.

Gli strumenti di misura visti come bipoli

Un cenno agli strumenti di misura delle grandezze elet-triche. Fino ad ora non ne abbiamo parlato anche per-ché il loro studio dettagliato esula certamente dai limi-ti di un corso di base di Elettrotecnica. In effetti quel-

P = 2LS

I2 = k 2Lpl T, (III.25)


lo che ci interessa discutere non è tanto il principio difunzionamento di tali strumenti, quanto il ruolo cheessi si trovano a svolgere in quanto elementi di una rete,quando vengono inseriti in essa per misurare le diversegrandezze elettriche.Cominciamo dal voltmetro che è, ovviamente, uno stru-mento in grado di misurare la d.d.p. tra due punti. Untale dispositivo dovrà disporre di due sonde - o morset-ti - che dovranno essere posti in contatto elettrico coni punti tra i quali si desidera misurare la differenza dipotenziale. Se si prescinde dalla sua specifica funzionee si focalizza l'attenzione sul suo inserimento nella rete,si può vedere un voltmetro come un bipolo; in talsenso esso sarà caratterizzato da una sua resistenzainterna, se supponiamo si tratti di un voltmetro per lamisura di tensioni continue.Supponiamo dunque di voler caratterizzare dal puntodi vista elettrico un voltmetro di tal tipo. Consideratocome bipolo, esso presenterà ai suoi morsetti una resi-stenza interna Ri. Una caratteristica fondamentale diogni strumento di misura è che esso deve "disturbare"quanto meno è possibile il sistema in cui esso vieneinserito. Se ciò non fosse, lo strumento non misurereb-be la grandezza voluta nel sistema "indisturbato" dallasua pr esenza. Uno sguardo allo schema di principiomostrato a lato - dove, per inciso, è anche mostrato ilsimbolo che utilizzer emo per lo strumento in esame - fasubito comprendere che un voltmetro ideale, per avereuna tale proprietà, deve presentare ai suoi morsetti unaresistenza infinita; solo in tal caso infatti la correntederivata dal voltmetro è nulla e quindi la tensione aimorsetti del carico risulta indipendente dalla presenzadel voltmetro stesso.Considerazioni del tutto analoghe possono svolgersiper l'amperometro, lo strumento che misura l'intensità


della corrente. L'amperometro, naturalmente, dovràessere inserito in serie nel ramo di cui si vuole misura-re la corrente, così come è indicato schematicamente.Esso, se ideale, dovrà presentare una resistenza nulla aisuoi morsetti, altrimenti la tensione ai morsetti del cari-co, e quindi la corrente da esso assorbita, non risulte-ranno indipendenti dalla presenza dell'amperometrostesso.In regime continuo non è necessario fare appello aduno strumento speciale per la misura della potenza: unvoltmetro ed un amperometro sono in linea di princi-pio sufficienti. Come vedremo, in regime sinusoidale,occorrerà introdurre un tale dispositivo speciale cheprenderà il nome di wattmetro; come è facile intuire,esso non potrà essere un semplice bipolo, dovendo pre-sentare quattro morsetti.

Esercizi

Per la r ete mostrata nel primo schema, determinare lamatrice di incidenza e la matrice delle conduttanze dilato.

Nel secondo problema si richiede di determinare latensione tra i morsetti A e B del parallelo di due gene -ratori reali idealizzati. La soluzione è banale ma ci ser-virà in seguito per alcuni commenti sul parallelo deigeneratori.

Infine per la verifica dei due problemi successivi, giàproposti in precedenza, diamo i valori della correntenel resistore R3, I3= 0,5A, e di quella nel resistore R5,I5= 1,06A, rispettivamente.


rispettivamente. Si possono ottenere gli stessi risultatiaffrontando le stesse reti con il metodo dei potenziali ainodi o con quello delle correnti di maglia.


L’ n-polo

Abbiamo osservato che una qualsiasi rete, vista da duenodi, diventa, a tutti gli effetti esterni, un bipolo unico– e questo è in qualche misura ovvio – e abbiamo anchemostrato come costruire il bipolo equivalente alla retedata, sia nel caso che essa sia passiva, sia nel caso in cuisia attiva. Abbiamo anche osservato, però, che nontutte le possibili configurazioni sono risolvibili ridu-cendo la rete attraverso successivi accoppiamenti serieo parallelo di due o più bipoli. A confermarlo abbiamoportato l'esempio della classica rete a ponte mostrata infigura. Si immagini, infatti, di voler determinare il bipo -lo equivalente alla rete vista dai morsetti A e B. Siamosubito in difficoltà perché non troviamo nella rete nérami in serie né rami in parallelo. È facile convincersiche nessuno dei 5 rami è aggregabile ad un altro percostruire un primo bipolo equivalente da cui prenderele mosse. Val la pena di notare che un tal problemanon esisterebbe se si volesse il bipolo equivalente allarete vista dai morsetti C, D. In tal caso, infatti, si haimmediatamente che si tratta del parallelo di tre bipoli:il bipolo 3, il bipolo che si ottiene dalla serie di 1 e 2 e

Capitolo IV

quello che si ottiene dalla serie di 4 e 5.Ma torniamo ai nodi A e B. La nostra difficoltà è dovu-ta alla presenza nella rete di strutture del tipo a trian -golo o a poligono come 1, 2, 3 e 3, 4, 5 o equivalente-mente a stella come 2, 3, 4, che non sono riconducibiliad un sistema a due morsetti e cioè ad un bipolo. Siamoportati dunque a prendere in considerazione “sistemi apiù poli”, cioè un complesso di bipoli collegati tra diloro e visti da n nodi; un sistema che schematizzeremod’ora in poi alla maniera rappresentata in figura.Si pone il problema a questo punto di estendere il con-cetto di “caratteristica” ad un tale sistema. Ragioniamoalla maniera seguente: supponiamo di alimentare ognipolo con n generatori ideali di tensione E r comemostrato in figura, e supponiamo ancora che la rete siacostituita da tutti bipoli lineari. In tal caso per calcola-re le n correnti nei rami dei generatori potremo usare ilteorema di sovrapposizione e affermare che la correnteIi nel ramo del generatore iesimo è la somma delle variecorrenti Iir che si ottengono nel ramo iesimo quando divolta in volta lasciamo operare il solo generatore nelramo erresimo, così come mostrato in figura.D’altra parte in ognuna delle reti così ottenute, a causadella linearità dei bipoli componenti, la corrente Iidovrà risultare pro p o rzionale alla tensione Er.Chiamiamo Gir tale fattore di proporzionalità, che haappunto le dimensioni dell’inverso di una resistenza,cioè di una conduttanza. In conclusione sommandol’effetto di tutti i generatori presenti avremo:

I1 = G11E1 +...+ G1rEr +...+ G1nEn ........................................... Is = Gs1E1 +...+ GsrEr +...+ GsnEn ........................................... In = Gn1E1 +...+ GnrEr +...+ GnnEn

(IV.1)


In altri termini l’n-polo invece di essere individuato daun solo parametro G come un bipolo, è individuato dan2 parametri Grs cioè da una matrice di ordine n diconduttanze che prende appunto il nome di matricedelle conduttanze . Come vedremo, in realtà, i parametriindipendenti da cui realmente dipende la matrice delleconduttanze non sono n2, bensì in numero molto mino-re. Per ora osserviamo che tra le Grs ve ne sono alcuneche si distinguono dalle altre: quelle del tipo Grr conpedici eguali, e cioè gli elementi della diagonale dellamatrice. Esse infatti, per costruzione, sono derivate daschemi circuitali del tipo mostrato nella quarta figura.Risulta evidente che esse sono delle “reali conduttanzeequivalenti” del bipolo (questa volta è un vero bipolo)che si ottiene prendendo in considerazione un polodell’n-polo e come altro estremo l’insieme di tutti glialtri n - 1 poli collegati in corto circuito tra di loro. Natura diversa hanno invece le G rs che rappresentanosemplicemente il rapporto tra la corrente nel ramo r ela tensione nel ramo s, quando tutti gli altri poli, tran-ne l’essesimo, sono collegati in corto circuito. Si trattacertamente di grandezze che hanno le dimensioni diconduttanze, ma non sono conduttanze mostrate dallarete a particolari coppie di morsetti. Per questa ragionesi distinguono le due grandezze con nomi diversi: con -duttanze proprie o autoconduttanze, le prime e condut -tanze mutue , le seconde.Vediamo ora di quali proprietà godono gli elementi diuna matrice di conduttanze. Osserviamo in primoluogo che avendo fatto la convenzione dell’utilizzatorea tutti i poli, dovrà necessariamente essere, per la pas-sività della rete, G rr 0, in quanto effettive conduttanzedi bipoli equivalenti. Le Grs invece non sono necessa-riamente positive; anzi è possibile dimostrare facilmen-te che deve risultare:


G rs 0. (IV.2)

Infatti perché si abbia Grs > 0 dovrebbe essere Ir > 0con Es >0; ma in tal caso all’interno della rete, alimen-tata dalla sola Es tra il nodo s ed il nodo O, comune atutti gli altri poli, dovrebbe esister e un nodo a poten-ziale minore di quello di O, (solo in tal caso infatti la Ir> 0 sarebbe compatibile con la supposta passività delparticolare ramo dove la Ir si trova a circolare); ma ciòè impossibile per il principio di non amplificazionedelle tensioni.Ma c’è di più. Se proviamo ad applicare il teorema direciprocità alle due reti che hanno portato all’indivi-duazione di Grs e G sr troviamo immediatamente ilseguente risultato:

Grs = Gsr . (IV.3)

La matrice G è necessariamente simmetrica. Questosignifica che degli n2 parametri che la compongono,solo n2-(n2-n)/2 sono indipendenti.Se infine proviamo ad applicare la LKC al nodo O tro-viamo che la somma delle Ir deve essere nulla. Cioè:

Il che, essendo le Es qualsiasi, comporta che:

per qualsiasi r, o anche:

Una volta note le mutue conduttanze, dunque, le auto-conduttanze possono essere ottenute in base alla IV.6.

Grr = - Gsrs r

. (IV.6)

Gsrs

= 0, (IV.5)

Gs1E1s

+..+ GsrErs

+..+ GsnEns

= 0. (IV.4)


Ne deriva che altri n parametri sono dipendenti. Inconclusione i parametri indipendenti nella matrice Gsono:

Per assegnare, dunque, una matrice di conduttanzanon si possono scegliere n2 numeri qualsiasi, anzi ilmodo più immediato per farlo è quello di assegnaren(n-1)/2 grandezze, negative naturalmente, che rappre-sentano le n(n-1)/2 mutue conduttanze dell’n-polo!Delle infinite reti che possono dare luogo ad un n-polose ne distinguono immediatamente due di tipo partico-lare: la rete a poligono completo e quella a stella. Laprima si ottiene collegando ogni coppia di poli r ed scon un bipolo di resitenza Rrs. La rete così ottenutaprende il nome di rete a poligono completo con n verti -ci. È facile verificare che il numero di lati di una talerete è pari ad n(n-1)/2; le combinazioni, cioè, di noggetti a due a due senza ripetizione. In un n-polo apoligono, completo o non, non vi sono nodi interni.L’altro schema caratteristico è quello a stella, costituitoda l lati ognuno collegato tra uno degli n poli ed unnodo interno comune, come mostrato nella stessa figu-ra. Un n-polo a stella, dunque, ha un solo nodo inter-no. Poniamoci ora il problema di stabilire in quali condi-zioni due n-poli – dello stesso numero di poli – posso-no considerarsi equivalenti. Come logica estensionedell’equivalenza dei bipoli, potremo dire che essi pos-sono ritenersi equivalenti quando, sottoposti alla stessaennupla di tensioni, assorbono la stessa ennupla di cor-renti. È evidente che ciò comporterà anche la ugua-glianza delle due matrici delle conduttanze. In partico-lare cerchiamo le concrete condizioni di equivalenza

n2 - n2 - n2

- n = n n - 1

2 . (IV.7)


tra un n-polo a poligono ed uno a stella.Consideriamo in primo luogo un n-polo a stella e cer-chiamo la relazione che lega la generica corrente Ii nelramo iesimo alla ennupla di potenziali Vr ai poli (sim-boli e convenzioni sono illustrati in Fig. IV.1).

Fig.IV.1

Si avrà:

Una relazione analoga si potrà scrivere per uno qual-siasi dei rami, quindi per il ramo erresimo:

D’altra parte dalla LKC applicata al nodo O si ottiene:

E quindi:

Irr

= Vr - V0Rr

r

=

= Vr Rrr

- V01Rrr

= 0 .(IV.10)

Ir = Vr - V0Rr

. (IV.9)

Ii = Vi - V0Ri

. (IV.8)



dove si è posto:

Ritornando ora alla espressione IV.8 della Ii , si ottiene:

o anche, estraendo dal segno di sommatoria il termineiesimo, in modo da separare la parte di Ii che dipendeesclusivamente da Vi da quella che dipende da tutti glialtri valori di Vr:

Consideriamo ora l’altro caso: il poligono di n(n-1)/2lati come schematicamente mostrato in figura.

Fig.IV.2In questo caso si avrà:

Ii = Vi 1Ri

- 1Ri

2G0

- 1RiG0

Vr Rrr i

. (IV.14)

Ii = ViRi

- 1RiG0

Vr Rrr

, (IV.13)

G0 = 1 Rrr

. (IV.12)

V0 =

Vr Rrr

1Rrr

= 1G0

Vr Rrr

. (IV.11)

Confrontando le due espressioni, (IV.14) e (IV.15),delle I i così determinate, si verifica immediatamenteche esse sono identiche per qualsiasi ennupla di Vr se esolo se:

R ri = R r Ri G0 . (IV.16)

In tal caso infatti la (IV.15) diventa:

L’equivalenza è dunque assicurata se risultano verifica-te le n(n-1)/2 relazioni di cui alla IV.16:Se dunque si ha un n-polo a stella, è sempre possibilecostruire un n-polo a poligono completo le cui n(n-1)/2resistenze di lato Rri siano date appunto dalle n(n-1)/2relazioni trovate, e che quindi risulta equivalente allastella di partenza.Il caso opposto, invece, in cui siano note le n(n-1)/2resistenze di lato in un poligono completo, e si vogliaconoscere le n resistenze di lato di un eventuale poli-gono a stella equivalente, è risolvibile solo nel caso incui il numer o delle equazioni, n(n-1)/2, è pari al nume-ro di incognite n, cioè solo nel caso n=3! Per n>3 ilnumero delle equazioni è superiore al numero delleincognite ed il problema, quindi, non ammette soluzio-ne!

Ii = Vi 1RrRiG0r i

- VrRrRiG0r i

=

= ViRiG0

1Rrr i

- 1RiG0

VrRrr i

=

= ViRiG0

1Rrr

- Vi

Ri2G0

- 1RiG0

VrRrr i

=

= ViRi

- Vi

Ri2G0

- 1RiG0

VrRrr i

.

(IV.17)

Ii = Vi - VrRrir i

= Vi 1Rrir i

- VrRrir i

. (IV.15)


Abbiamo dunque mostrato che, mentre è sempre pos -sibile ricondurre una stella ad un poligono, la trasfor-mazione opposta è possibile solo nel caso n=3 e cioè,come si dice, dal “triangolo alla stella a tre rami”.Una importante osservazione è la seguente: mediantesuccessive trasformazioni delle stelle relative ai nodiinterni di un n-polo, è possibile far via via scompariretali nodi interni. Ne consegue che un qualsiasi n-polo èriconducibile ad un n-polo a poligono. Si abbia dunqueun tale n-polo a poligono (completo o non, questo nonha importanza), e si voglia calcolare gli elementi dellamatrice delle conduttanze. Per quanto detto in prece-denza basterà calcolare le n(n-1)/2 grandezze Grs conr s! È facile verificare che risulta:

se R rs è la resistenza tra i nodi r e s dell’n-polo!Per calcolar e Grs, infatti, bisogna collegare tutti i nodi,tranne il nodo s, al morsetto O del generatore, comemostrato in figura. Ma così facendo ogni bipolo che sitrovi su di un lato non collegato ad s viene ad esserecortocircuitato e quindi in esso non potrà circolare cor-rente. Ne consegue che la corrente I r dovrà riversarsitutta nell’unico ramo che partendo da r sia collegatoanche ad s, il ramo con resistenza Rrs. Si ha quindi Es= - Rrs I r (il meno deriva dalla convenzione che, in talicondizioni, è del generatore), da cui Grs = - 1/RrsIl pr ocedimento per cui, data la rete, se ne determina lamatrice delle conduttanze viene detto di analisi dell'n-polo. Ne abbiamo mostrato una possibile soluzione chepassa attraverso la sostituzione dell’n-polo di partenzacon uno equivalente a poligono.Il processo inverso, prende il nome di sintesi dell’n-polo: data cioè una matrice quadrata n che soddisfi allecondizioni di cui in precedenza, che giustamente ora

Grs = - 1Rrs

(IV.18)


possono prendere il nome di condizioni di fisica realiz -zabilità, determinare un n-polo che presenti appuntoquella data come matrice delle conduttanze.Rileggendo con una prospettiva diversa quanto svilup-pato precedentemente, si può dire che almeno unasoluzione al problema della sintesi l’abbiamo già data.Se infatti, sono Grs i valori fuori diagonale della matri-ce assegnata, l’n-polo costituito da un poligono com-pleto i cui rami abbiano resistenza Rrs = - 1/Grs haappunto la desiderata matrice delle conduttanze! Riprendiamo in considerazione, ora, il problema delcircuito a “ponte” da cui siamo partiti per introdurregli n-poli. È chiaro che il pr oblema di trovare il bipoloequivalente tra A e B si risolve rapidamente se, peresempio, si trasforma il triangolo costituito dai rami 3,4e 5. Il circuito si riduce a quello mostrato in figura e laresistenza tra A e B si calcola ora agevolmente. Come siè detto il circuito in esame viene denominato “ponte diWheatstone” e trova una applicazione molto interes-sante nel campo delle misure. Senza soffermarci sul-l'argomento, si noti che qualora le resistenze nei rami1,2,4,5 soddisfino la relazione:

allora la corrente nel ramo 3 è identicamente nulla. Sidice in tal caso che il ponte è in equilibrio. Se il valoredi uno dei resistori nei quattro lati del ponte non ènoto, ed un altro è variabile, è possibile determinare ilvalore della resistenza incognita dalla relazione IV.19,una volta raggiunta la condizione di corrente nulla nelramo 3, modificando la resistenza del resistore variabi-le. Naturalmente occorre che nel ramo 3 sia presenteuno strumento in grado di rilevare l'annullamento dellacorrente.Ritornando alla trasformazione stella-poligono, notia-mo che dalle (IV.16) si ottengono facilmente le resi-

R1R4 = R2R5, (IV.19)


stenze del poligono equivalente una volta siano notequelle della stella di partenza. Per il caso n=3 è faciledeterminare le relazioni inverse che forniscono le resi-stenze della stella se sono note quelle del triangolo:

Dove si è posto:

Esercizi

Nella r ete in figura, che abbiamo già risolto con diver-si metodi, possiamo ora provare ad utilizzare le trasfor-mazioni poligono-stella. Applicando, infatti, il princi-pio di sovrapposizione degli effetti, ci troviamo a doverrisolvere due reti con un solo generatore; una voltaquello di tensione ed un'altra quello di corrente. Ladeterminazione della resistenza equivalente del bipoloconnesso ai morsetti dei generatori nei due casi è osta-colata da strutture a ponte del tipo di quelle studiate.Utilizzando le formule della trasformazione triangolo-stella il problema trova una semplice soluzione.Infine per la stessa rete riportiamo la matrice di inci-denza e la matrice delle conduttanze di lato.

L’N-bipolo o N-porte

Una rete passiva con un certo numero di poli puòanche essere considerata da un’altro punto di vista.Assumiamo che il numero di poli n sia pari e poniamoN = n/2. Se scegliamo N coppie di poli e conveniamodi collegare sempre tale n-polo al “resto del mondo”avendo cura che la corrente che entra in un polo diogni singola coppia sia uguale a quella che esce dall’al -tr o, la struttura così ottenuta godrà evidentemente di

R0 = R12 + R23 + R31

Ri = RirRisR0

. (IV.20)


speciali proprietà. Vogliamo evidenziare tali proprietàdel sistema descritto che d’ora in poi chiameremo N-bipolo. Un generico N-bipolo sarà rappresentato comein figura e sarà caratterizzato da N porte costituite dalleN coppie di morsetti associati. Si parlerà infatti anchedi un sistema ad N porte.La teoria generale dell’N-bipolo lineare ricalca quelladello n-polo. Anche per l’N-bipolo, alimentato con Ngeneratori di tensione, si può applicare alle N porte -come al solito assumeremo la convenzione dell’utilizza-tor e per ogni porta - il principio di sovrapposizione edottenere un sistema del tipo:

Le G rs sono gli elementi di una matrice NxN che pren-de il nome di matrice delle conduttanze e che nel segui-to indicheremo con il simbolo G.Non inganni la apparente somiglianza tra i sistemi diequazioni dell’n-polo e dell’N-bipolo. Le singole Grshanno evidentemente significati diversi. Si avrà infatti:

In altri termini quando tutte le porte salvo la essesimasono cortocircuitate. In particolare per s=r si avrà unaconduttanza propria vista dalla porta r quando tutte lealtre sono in corto. Ne consegue, come per il caso del-l’n-polo, che G rr 0. Non sarà invece vero che le con-duttanze mutue debbano necessariamente risultarenegative. Si guardi, infatti, allo schema da cui la G rsgenerica viene dedotta, rappresentato in figura. Questa

Grs = IrEs Ei=0 per ogni i

ES 0

(IV.22)

I1 = G11E1 + ...+ G1rEr +...+ G1NEN ........................................... Is = Gs1E1 + ...+ GsrEr +...+ GsNEN ........................................... IN = GN1E1 + ...+ GNrEr +...+ GNNEN

(IV.21)


volta la corrente Ir va da un nodo interno della r ete adun altro nodo anch’esso interno. Nulla ci assicura quin-di che essa sia negativa (per Es positiva)! D’altra parteil teorema di non amplificazione delle tensioni, o se sivuole quello di non amplificazione delle correnti, for -nisce qualche informazione sulle Grs. Dato che infattinel circuito di figura è certamente , tenendoconto del fatto che Grr è definito positivo, si avrà:

Una proprietà del tutto analoga, invece, sia nell’ n-poloche nell’ N-bipolo, è quella che discende dalla recipro-cità. Si ha, infatti, che:

G rs = Gsr , (IV.24)

e quindi solo (N2-N)/2 + N = N(N+1)/2 elementi dellamatrice delle conduttanze sono linearmente indipen-denti. Si osservi che tale numero non diminuisce ulte-rior mente come nel caso dell’n-polo, perché questavolta la legge di Kirchhoff ai nodi non fornisce ulterio -ri vincoli, dato che essa è identicamente soddisfatta percostr uzione: da ogni porta una stessa corrente entra daun morsetto ed esce dall’altro.Le condizioni (IV.23), (IV.24), e quella che impone chele G rr siano tutte positive, sono le condizioni di fisicarealizzabilità per l'N-bipoloSi può descrivere l’N-bipolo attraverso una matricedelle resistenze invece che di conduttanze. Basta risol-vere il sistema di equazioni (IV.21) rispetto alle Es, otte-nendo:

Grr = Ir Er Ei=0

Er 0

Is Er Ei=0

Er 0

= Gsr (IV.23)

Ir Is


dove si avrà, evidentemente:

e det(G) è il determinante della matrice delle condut-tanze ed Asr è il minore aggiunto del termine di postos,r. In altri termini la matrice delle G è la inversa dellamatrice delle R. Vale la pena sottolineare che, di conse-guenza, Rsr 1/Gsr .Il caso N = 2 è particolarmente interessante tanto dameritare un nome speciale: doppio bipolo. I parametriindipendenti saranno tre: R11, R22 ed R12=R21 nellamatrice delle resistenze, e G11, G22 ed G12=G21 inquella delle conduttanze. Nei due casi avremo le equa-zioni:

per la matrice R, e:

per la matrice G. Utilizzando il formalismo matricialele (IV.26) ed (IV.27) pr endono la forma :

dove V ed I sono rispettivamente i vettori colonna (origa) delle tensioni e delle correnti ed R e G le matrici

V = R I,

I = G V,(IV.28)

I1 = G11 V1 + G12 V2,

I2 = G21 V1 + G22 V2,(IV.27)

V1 = R11 I1 + R12 I2,

V2 = R21 I1 + R22 I2,(IV.26)

Rrs = Arsdet(G)

,

E1 = R11I1 +...+ R1rIr +...+ R1NIN; ........................................... Es = Rs1I1 +...+ RsrIr +...+ RsNIN; ........................................... EN = RN1I1 +...+ RNrIr +...+ RNNIN.

(IV.25)


dei parametri R e G.È evidente che per “sintetizzare” un doppio bipolo siavrà bisogno di almeno tre bipoli resistori; infatti tresono i parametri indipendenti che determinano lamatrice delle R o delle G di un doppio-bipolo. D’altrapar te tre bipoli resistori possono essere collegati in duefondamentali modi diversi: a stella (o a T, in questocaso) o a triangolo (o anche a p greco , , per la caratte-ristica forma dello schema elettrico).È facile ricavare i parametri R e G nei due casi del dop-pio bipolo a T ed a . Nel primo caso si ha che:

e:

Mentre nel secondo caso si ha:

e:

R'11 = R'a R'b + R'c

R'a + R'b + R'c;

R'22 = R'c R'b + R'a

R'a + R'b + R'c;

R'12 = R'aR'cR'a + R'b + R'c

;

(IV.31)

G11 = 1

Ra +RbRc

Rb + Rc

;

G22 = 1

Rc +RbRa

Rb + Ra

;

G12 = - RbRa Rb + Rc + RbRc

.

(IV.30)

R11 = Ra + Rb ;R22 = Rc + Rb ;R12 = Rb ;

(IV.29)


Le relazioni scritte quindi consentono in ogni caso dideterminare le resistenze Ra, Rb e Rc, R' a, R'b e R'c deldoppio bipolo a T o a che realizza una qualsiasimatrice delle R o delle G che soddisfino le condizionidi fisica realizzabilità. Se ne conclude che un qualsiasiinsieme di parametri R o G può essere sintetizzato daun doppio bipolo a T o a , e quindi anche che unqualsiasi doppio bipolo può essere ricondotto ad undoppio bipolo a T o a .In verità gli schemi utilizzati consentono di risolveresolo metà dei problemi possibili. Abbiamo osservatoinfatti che la R12 e la G12 possono essere sia positiveche negative. Le relazioni trovate, invece, consentireb-bero di “sintetizzare” solo matrici delle R con Rm 0 edelle G con Gm<0. Il problema si risolve brillantemen-te aggiungendo le due possibilità ulteriori, illustratenelle immagini a lato, con i morsetti secondari inverti-ti.Per la stella si avrà infatti:

Mentre per il triangolo si avrà:

Supponiamo, ora, di chiudere la porta secondaria su diun carico R, come mostrato, e poniamoci il problema di

R'12 = - R'aR'cR'a + R'b + R'c

;

G'12 = 1R'b

.(IV.34)

R12 = - Rb,

G12 = RbRa Rb + Rc + RbRc

.(IV.33)

G'11 = R'a + R'bR'aR'b

;

G'22 = R'c + R'bR'cR'b

;

G'12 = - 1R'b

.

(IV.32)


determinare il valore della resistenza vista dalla portaprimaria. Le equazioni sono:

Ricavando I2 dalla seconda, in cui V2 è stato eliminatoin base alla ter za, si ottiene:

e sostituendo nella prima si ha:

Come si vede, utilizzando un doppio bipolo come tra-mite, è possibile variar e a piacimento la resistenza equi -valente vista, per esempio, da un generatore collegato amonte. Questo uso del doppio bipolo come mezzo pervariare caratteristiche di un carico ed adattarle a quelledel generatore è molto comune. L'adattamento non siottiene però senza pagare uno scotto: la potenza cheviene necessariamente dissipata nel doppio bipoloadattatore. Proviamo a calcolarla: essa è evidentementepari a V1 I1 + V2 I2. Utilizzando i parametri R per espri-mere le tensioni in funzione delle correnti, si ottiene:

Una espressione più significativa della potenza assorbi-ta si ottiene ricavando I1 dalla prima delle (IV.26) esostituendola nella (IV.27), tenendo conto della(IV.25). Dopo alcuni passaggi si ottiene:

P = V1

2

R11 +

I22

G22 . (IV.38)

P = R11 I12 + 2 Rm I1I2 + R22I2

2. (IV.37)

Re = V1I1

= R11 - Rm2

R + R22 . (IV.36)

I2 = - RmI1R + R22

,

V1 = R11I1 + RmI2,

V2 = RmI1 + R22I2,

V2 = - RI2.

(IV.35)


Nella (IV.38) la potenza assorbita è espressa comesomma della potenza assorbita dalla porta primariaquando la secondaria è a vuoto e la potenza assorbitadalla por ta secondaria con la primaria in corto circuito.Facciamo ora un brevissimo cenno ad altre possibilirappresentazioni dell’N-bipolo ed, in particolare, deldoppio bipolo. Invece di esprimere le tensioni alleporte in funzione delle correnti, o viceversa, è possibi-le esprimere, per esempio, la V1 e la I2 in funzione dellaV2 e della I1. Si ottiene:

I parametri h così definiti prendono il nome di para -metri ibridi; si noti, infatti, che essi non hanno tutti lestesse dimensioni. Mentre h11 ha le dimensioni di unaresistenza ed h22 ha quelle di una conduttanza, h12 edh21 hanno le dimensioni di numeri puri. Per definizio-ne sarà infatti:

Si noti infine che per i parametri h la reciprocità èespressa dalla relazione h21 = - h12.La rappresentazione ibrida analoga, in cui V2 e I1 sonoespressi in funzione di V1 ed I2 , viene detta dei para -metri g e di essa diamo solo la definizione:

Un cenno infine alla descrizione del doppio bipolo conla cosiddetta matrice di trasmissione che mette in rela-zione le grandezze ad una porta con quelle all’altra:

I1 = g11 V1 + g12 I2, V2 = g21 V1 + g22 I2 .

(IV.40)

h12 = V1V2 I1=0

; h21 = I2I1 V2=0

.

V1 = h11 I1 + h12 V2, I2 = h21 I1 + h22 V2 .

(IV.39)


Si noti la scelta della convenzione del generatore allaporta secondaria; il motivo di tale scelta sarà immedia-tamente chiaro.Le rappresentazione con la matrice di trasmissione sot-tolinea il fatto che il doppio bipolo può essere vistocome un sistema di trasferimento ingresso-uscita (osegnale-risposta o causa-effetto). Questo modo di con-cepire le cose sarà molto utile quando tratteremo ildoppio bipolo in regime dinamico qualsiasi.Utilizzando la matrice di trasmissione T è possibileesprimere in modo molto sintetico la caratteristica didue doppi bipoli in cascata, o in serie; si ha infatti:

Evidentemente i vettori U, U' ed U" sono i vettori diingresso e di uscita, nei diversi casi, distinti dagli apici.Combinando le due relazione si ottiene:

e la matrice equivalente è il prodotto delle due matricidi trasmissione dei doppi bipoli in cascata.Val la pena di osservare che non tutti i doppi bipolipermettono tutte le diverse rappresentazioni possibili.Lo strano doppio bipolo mostrato nel primo schemadella seconda immagine a lato ha una rappresentazionemediante i parametri G, mentre non consente una rep-presentazione con i parametri R. Per il secondo schemaaccade l'inverso: mentre il doppio bipolo ha una matri-ce R, non ha invece una matrice G. Per rendersi contodel perché ciò accada basta provare a calcolare i relati-vi parametri secondo le classiche definizioni. Su questoargomento ritorneremo nel seguito.

U" = T'T" U,

U' = T' U ed U" = T" U'.

V1 = t11 V2 + t12 I2, I1 = t21 V2 + t22 I2 .

(IV.41)


A titolo di esempio proviamo a calcolare le matrici R eG per il doppio bipolo riportato a lato. Per determina-re la R11 bisogna determinare il rapporto tra tensione ecorrente primaria quando la porta secondaria è aperta;in tali condizioni i resistori R2 e R5 sono in serie e laloro serie è in parallelo con R4. A questo parallelo vaaggiunto in serie il r esistore R1. Il calcolo di R22 è deltutto simile. Per calcolare R12 bisogna invece assumere,per esempio, la porta primaria aperta e calcolare il rap-porto tra la tensione primaria e la corrente secondaria.Ma in tali condizioni la corrente I2 si ripartisce eviden-temente nei due rami in parallelo costituiti dal resisto-re R5 e dalla serie di R2 e R4. Quest'ultima corrente, cir-colando nel resistore R4 darà luogo alla caduta di ten-sione che poi si rileva anche ai morsetti primari. Nelresistore R1, infatti, non circola alcuna corrente.Infine i parametri G. Per calcolare G11 occorre corto-circuitare la por ta secondaria. In tali condizioni la resi-stenza vista alla por ta primaria - la conduttanza G11sarà proprio l'inverso di tale resistenza - è data dallaserie del parallelo tra R3 e R5 con il resistore R2; il bipo-lo equivalente così determinato è a sua volta in paralle-lo con R4 ed infine in serie con R1. Il calcolo di Gm puòcondursi alla maniera seguente. In primo luogo bisognacortocircuitare una delle due porte; si osservi che se sisceglie di cortocircuitar e la porta secondaria - il cheequivale a scegliere di calcolare G 21 piuttosto che G12- lo schema elettrico che ne deriva è lo stesso utilizzatoper calcolare G11. In queste condizioni, dunque G11 V1è la corrente che entra alla porta primaria. È agevole aquesto punto ripartire tale corrente nei diversi rami inparallelo fino a trovare il contributo circolante in R3. Ilrapporto tra questa corrente e la tensione V1 è la con-duttanza cercata. Attenti al segno di Gm!


Esercizi

Per la rete proposta in precedenza e mostrata nellaimmagine a lato, diamo, per una verifica dei risultati, ilvalore della corrente nel resistore R7 , I7 = 1,2 A.Correnti e tensioni negli altri rami della rete si deduco-no facilmente dalla conoscenza di questa grandezza.Per il secondo esercizio la formula di Milmann fornisceimmediatamente la soluzione:

Si noti il ruolo giocato dalle due resistenze in serie aigeneratori ideali di tensione: sono loro che rendonopossibile un collegamento che altrimenti, come abbia-mo visto, non sarebbe possibile. Se infatti R 1 ed R2vanno a zero, la formula perde di significato. Le cadu-te di tensione sulle due resistenze, dovute alla correntecircolante nella maglia, rendono eguali, e quindi com-patibili, le due tensioni ai morsetti A e B. Si osservi chenel circuito in esame vi è dissipazione di potenza anchequando i morsetti A e B non sono chiusi su di un cari-co; il generatore equivalente, dunque, dissipa anchequando è a vuoto . Tenendo conto di alcune osservazio-ni fatte in precedenza questo non può stupire.Infine qualche problema sui doppi bipoli. Nel primocaso si richiede di calcolare le matrici R, G, ibride e ditrasmissione, per il doppio bipolo mostrato.Nel successivo due problema vengono proposte duematrici 2x2 e si chiede di stabilire quale di esse puòessere la matrice R per un doppio bipolo. Una voltadeterminata la matrice fisicamente realizzabile, si chie-de di sintetizzarla con un circuito, per esempio a T.

VAB = E1 R1 + E2 R2

1 R1 + 1 R2

. (IV.43)



I generatori dipendenti o pilotati e gli amplificatori operazionali

Abbiamo più volte ricordato che i generatori fin ora introdotti, di tensione edi corrente, vengono detti idealiper il fatto che essi forniscono ailoro morsetti una tensione o unacorrente che non risente in alcunmodo del “carico” a cui essi vengo-no connessi. Per questo motivo essivengono anche detti g e n e r a t o r iindipendenti. Abbiamo anche sot-tolineato che in un generatore“reale” è impossibile che ciò accada. In un generatore di tensione reale lad.d.p. ai morsetti dipenderà dalla corrente erogata secondo una legge V=V(I)

del tipo di quella mostrata qualitativamente infigura. Potremmo affermare, da questo punto divista, che il generatore reale è un generatore dipen -dente. Questa osservazione fornisce lo spunto perl'introduzione di una nuova classe di generatorinei quali la tensione ai morsetti, se si tratta digeneratori di tensione, per esempio, è sì dipen-dente, ma non dalla corrente che essi stessi eroga-no, bensì da un'altra corrente circolante in altroramo della rete. Chiameremo tali generatori gene -ratori pilotati ed useremo per essi i simboli

mostrati, a seconda che si tratti di generatori di tensione o di corrente. In effet-ti non è necessario che la tensione di un generatore sia pilotata da una corren-te: la grandezza che “pilota”, secondo una ben determinata legge, può ancheessere un'altra tensione che insiste su di un altro ramo della rete. In conclu-sione siamo portati a definire quattro diversi tipi di generatori pilotati:

Generatore di tensione pilotato in corrente (GTPC) Vr=Vr(Is)


Generatore di corrente pilotato in tensione (GCPT) Ir=Ir(Vs)

Generatore di corrente pilotato in corrente (GCPC) Ir=Ir(Is)

Generatore di tensione pilotato in tensione (GTPT) Vr=Vr(Vs)

Naturalmente se le relazioni che caratterizzano tali dipendenze sono di tipolineare si parlerà di generatori lineari e si avrà:

Generatore di tensione pilotato in corrente (GTPC) Vr=RmIs

Generatore di corrente pilotato in tensione (GCPT) I r=GmVs

Generatore di corrente pilotato in corrente (GCPC) Ir= Is

Generatore di tensione pilotato in tensione (GTPT) Vr= Vs

Fig. IV.3


dove Rm è detta transresistenza, Gm transconduttanza, rapporto di trasferi-mento di corrente, e rapporto di trasferimento di tensione.Abbiamo tardato fino a questo punto ad introdurre i generatori pilotati per-ché, a ben guardare, essi non sono dei semplici bipoli bensì dei doppi bipoli:per essere definiti essi hanno bisogno di un'altra coppia di morsetti che siainteressata dalla grandezza “pilotante”, secondo gli schemi di seguito riporta-ti, per il caso lineare.È inter essante domandarsi quali rappresentazioni, fra le diverse introdotte peri doppi bipoli, i singoli generatori pilotati ammettono. Per esempio il GTPCammette solo una rappresentazione mediante una matrice delle resistenze:

Si noti che la condizione R12 = R21 non è verificata: si tratta infatti di doppibipoli che contengono dei generatori, e quindi possono essere non reciproci.I generatori pilotati sono estremamente utili per costruire circuiti equivalentidi dispositivi più complessi, come, per esempio, i transistori. Anzi si può affer-mare che l’esigenza di introdurre tali doppi bipoli nasce proprio dal bisognodi rappresentare opportunamente il comportamento dei transistori nei lorodiversi modi di funzionamento.Non rientrando tali dispositivi tra gli argomenti del nostro corso, avremopoche opportunità di utilizzare i generatori pilotati; ciò nonostante ci è sem-brato utile introdurli per inserirli nel quadro generale che stiamo costruendo.Oltre tutto, i generatori pilotati non sono soltanto degli elementi ideali; è pos-sibile, utilizzando dei dispositivi che prendono il nome di amplificatori opera -zionali, realizzare delle concrete ottime approssimazioni di tali generatori.

Anche degli amlificato-ri operazionali si puòintrodurre un modelloidealizzato che è rap-presentato in Fig.IV.4.

Fig.IV.4

V ii

u

-

+ V

u

i

i

V = 0 0Rm 0

I .


La caratteristica di questo dispositivo è descrita dalle seguenti relazioni:

Nel piano (vi,vu) la rappresentazione grafica di tale caratteristica è mostrata inFig.IV.5.

Le costanti I- e I+ sonogeneralmente molto piccole(da pochi decimi di mA apochi decimi di nA, - tantoche in una idealizzazioneancora più spinta possonoessere assunte nulle) ed ilparametro A, generalmentemolto grande (i valori tipicivanno da 100.000 a200.000, t anto che nellastessa logica precedente puòessere assunto infinitamentegrande) prende il nome diguadagno di tensione inanello aperto.

Il dispositivo reale di cui quello fin qui descritto è una idealizzazione in effet-ti non ha quattro morsetti ma almeno cinque, in quanto esso ha bisogno diessere alimentato in modo opportuno per funzionare correttamente, secondolo schema riportato in Fig. IV.6.Il componente circuitale di cui alla Fig.IV.4 è quindi l’idealizzazione di quan-to contenuto nel riquadro di Fig.IV.6. Esso è pertanto un elemento attivo per

i- = I- i+ = I+ vu = f vi

vu =

Esat vi

Esat vi = Avi - <vi<

-Esat vi -

(IV.42)

la presenza dei generatori.

Fig.IV.6Se si accetta l’idealizzazione spinta di cui in precedenza (I- = I+ = 0 e A = ),le relazioni di cui alle (IV.42) diventano:

Nella regione di linearità (vi = 0) quindi, l’amplificatore operazionale avrebbele seguenti leggi caratteristiche:

i- = 0 i+ = 0 vi = 0

vu = qualsiasi valoreiu = qualsiasi valore (IV.44)

i- = 0 i+ = 0 vu = Esatsgn vi per vi 0- Esat < vu < Esat per vi = 0

(IV.43)

+

Vi

i

u

-

+ V

u

i

i

+E

E

+

-


Queste considerazioni giustificano l’introduzione di due nuovi bipoli idealiche prendono il nome di nullatore e noratore rispettivamente, i cui simbolisono riportati in Fig.IV.7.

Il nullatore ha v=0 ed i = 0 per ognicondizione di funzionamento: in altritermini la sua caratteristica nel piano(i,v) si riduce ad un punto e precisa-mente l’origine degli assi. Mentr e ilnoratore non è descritto da nessunarelazione, nel senso che sia i che v aisuoi morsetti sono qualsiasi: Nelpiano (i,v) la sua caratteristica viene acoincidere con l’intero piano.

Utilizzando questi due nuovi bipoli un amplificatore operazionale ideale, nellasua regione di linearità, può essere rappresentato secondo lo schema diFig.IV.9.

Utilizzando i componenti ideali introdotti, come già detto, è possibile costrui-re schemi equivalenti di altri componenti. A titolo di esempio si considerino idue schemi riportati nelle figure IV.10, IV.11 e IV.12. Il primo rappresnta ungeneratore ideale di tensione ed il secondo, un doppio bipolo lineare resistivoma non reciproco. Infatti, nel primo la corrente primaria è sempre nulla perdefinizione e quindi non c'è caduta di tensione sulla resistenza in serie al gene-ratore ideale; di conseguenza la tensione secondaria è indipendente dalla cor-

Fig.IV.9

uVVi

i u-i

+i

v

i

Fig.IV.7

v

Fig.IV.8


rente erogata.

Fig.IV.10Nel secondo caso le relazioni tra tensioni e correnti sono quelle che si avreb-bero in un doppio bipolo resistivo; si noti che anche in questo caso puo’ nonessere verificata la condizione R12=R21 e quindi il doppio bipolo puo’ nonessere reciproco.

Fig.IV.11

Per il circuito di Fig.IV.12, invece, l’equazione alla maglia della porta di ingres-so dell’amplificatore operazionale ci for nisce la relazione:

v1 + R i2 + vi = 0, (IV.44)


che, tenendo conto della caratteristica dell’amplificatore operazionale, diven-ta:

che per A che tende all’infinito descrive la caratteristica di un generatore idea-le di corrente pilotato in tensione di transconduttanza Gm = - 1/R.

Fig.IV.12

R

Vi

i

V

2

V1

2

i 2

i 1

i2 = - 1R

v1 + vi = - 1R

v1 + vuA

= - 1R

v1, (IV.45)


Esercizi

Per verifica riportiamo i valori dei parametri Rm, Gm,h12, g12 e t12 per il doppio bipolo proposto in prece-denza.

dove:

Per quanto riguarda il secondo problema è evidenteche la seconda matrice non soddisfa la condizione| Rr r| | Rr s|, analoga alla IV.23 per i parametri G.Volendo sintetizzare con un doppio bipolo a T la primamatrice, si ha:

Se avessimo tentato di sintetizzare anche la secondamatrice avremmo ottenuto:

il che, evidentemente, non è fisicamente realizzabilecon resistori tradizionali. Naturalmente sarebbe possi-bile sintetizzare anche la seconda matrice se si accettas-se di utilizzare generatori pilotati.

Ra = - 1 ; Rb = 3 ; Rc = 1 ;

Ra = 2 ; Rb = 2 ; Rc = 1 .

Re = R5R3

R3 + R5

; R0 = R2 + R4 + Re + R6.

Rm = R3R4

R0

, Gm = - G11R5R4

R0 R3 + R5

,

h12 = R5R4

R2 + R4 + R6 R3 + R5 + R3R5

,

g12 = - R5

R1 + R4 R2 + R5 + R6 + R1R4

+ R4

R1 + R4

,

t12 = - R1+ R4 R2+ Re+ R6

R0

R2+ Re+R6 R3+R5

R5R4

,
