Istituzioni di Matematica · 2020. 1. 9. · L’illustrazione in copertina è una vignetta (©...

Marco Barlotti

Prove scritte di esame per l’insegnamento di

Istituzioni di Matematica

Vers. 3.7

L’illustrazione in copertina è una vignetta (© Disney) disegnata da Giorgio Bordini per la storia “Paperino e l’antipatica matematica”, scritta da Carlo Gentina e uscita sul numero 2025 di “Topolino” del 20 settembre 1994.

Marco Barlotti - temi assegnati nelle prove scritte per l’esame di “Istituzioni di Matematica” - vers. 3.7

PREFAZIONEalla vers. 3.7

Queste pagine raccolgono quasi tutti i compiti di esame degli ultimi cinque anni perl’insegnamento di “Istituzioni di Matematica” (corso di laurea triennale in Scienze Naturali)che tengo presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali all’Università diFirenze.

Per alcuni di questi compiti, all’indirizzohttp://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/Soluzioni.pdf

oppurehttp://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Soluzioni.pdf

sono disponibili anche le tracce risolutive.

Vale appena la pena di ricordare agli studenti che l’abilità nella risoluzione degliesercizi è condizione necessaria ma non sufficiente per superare l’esame. D’altra parte, come èfacile verificare scorrendo queste pagine, i temi proposti nella prova scritta riguardanosoltanto alcune parti essenziali e imprescindibili del programma di esame; e, per di più,vengono presentati quasi sempre con le stesse parole.

Come sempre, sarò grato a tutti coloro che vorranno segnalarmi ( ) qualunque difetto1

di queste pagine, dai più banali errori di stompa alle oscurità nella formulazione degli esercizi.

Firenze, 2 .0 .200) " )

Marco Barlotti

1 all’indirizzo [email protected]

Marco Barlotti - temi assegnati nelle prove scritte per l’esame di “Istituzioni di Matematica” - vers. 3.7

AVVERTENZATutti i diritti di questa pubblicazione sono dell’autore.È consentita la riproduzione integrale di questa pubblicazione a titolo gratuito.È altresì consentita a titolo gratuito l’utilizzazione di parti di questa pubblicazione in altraopera all’inderogabile condizione che ne venga citata la provenienza e che della nuova operanella sua interezza vengano consentite la riproduzione integrale a titolo gratuito el’utilizzazione di parti a queste stesse condizioni.L’uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l’accettazione integrale e senzariserve di quanto sopra.

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COMPITO DI “ISTITUZIONI DI MATEMATICA” (2003-02-25)

diffuso tramite i siti Internethttp://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/Compiti.html

http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Compiti.html

AvvertenzeLe pagine dell’elaborato devono essere ordinatamente numerate. Su foglio devono essere indicati nome eciascuncognome del candidato. Sul frontespizio dell’elaborato deve essere inoltre indicato il numero di matricola delcandidato.Il candidato è tenuto a : in casoscrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi con brevi spiegazionicontrario, l’esercizio verrà considerato non svolto.Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall’aula per alcun motivo.Si devono svolgere almeno due degli esercizi proposti.

Esercizio 1

È data la funzione ( ) .f B ³ #B #$B"

#

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale , siano e i punti del grafico di O H K fxyaventi ascissa e rispettivamente. Si calcoli l’area del triangolo individuato dall’asse delle! "ascisse e dalle rette tangenti in e al grafico di .H K f

Esercizio 2

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z,kt ha soluzione, specificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere:k

y z t

x y z tx y z t

ÚÛÜ

5 œ 5 5 5 œ 5 $

5 Ð5 #Ñ œ !

1

1 #

Esercizio 3

Sia : la funzione definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐ Ñ ³x .$BB" B# k k k k

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of ' 'massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

Esercizio 4Sono date le funzioni x , .f gÐ Ñ ³ ÐBÑ ³ B

#!BB " #

$

Si calcoli l’area della porzione finita di piano delimitata dai grafici di e .f g

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Esercizio 1

Calcolare, qualora esistano, i seguenti limiti:

lim limBÄ BÄ! _

( ( ) ( )) ( ) ( )

( ( )) ( ) sin cos sin

cos lnB B † B B †/

" B †/ † "B Btg

B

B

; .cos( )

Esercizio 2

È data la funzione ( ) ( ) .f B ³ B"B ln k k

Si dica, motivando la risposta, in quanti punti il grafico di incontra l’asse delle ascisse,fprecisando per ciascuno di tali punti se ha ascissa positiva oppure negativa.

Esercizio 3È data la funzione : definita ponendo: ‘ ‘Ä

:Ð Ñ ³ B †x ( ) ( ) .sin sin# "B

Detta x la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐ Ñ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la èW W fderivabile.

Esercizio 4

Calcolare, qualora esistano, i seguenti integrali:

( ) | | d+ Ð$ † B #Ñ / B'"

"B

( ) d ., " ÐBÑ † ÐBÑ B'!

1# È sin cos

Se uno degli integrali proposti non esiste, si spieghi perche.´

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Esercizio 1

Sia : la funzione definita ponendo ( ) .f f‘ ‘Ä ÐBÑ ³ B † Bk k k kln#

Si determini il dominio di e si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallof f[ , ] ammette minimo e/o massimo. Nel caso che la risposta a quest’ultima domanda " "

# # sia (anche soltanto in parte) affermativa, si determinino tutti i punti in cui tale minimo e/o talemassimo vengono raggiunti.

Esercizio 2

Sia la funzione definita ponendog ‘ ‘Ä

g( ) B ³ É BB B

B$

( )

1 sin

Si determini il dominio di e si trovino tutti gli (eventuali) asintoti di .g g

Esercizio 3

Calcolare, qualora esista, ( ) d . '!

1 k kB " † B Bcos

Se tale integrale non esiste, si spieghi perche.´

Esercizio 4

Trovare tutte le (eventuali) soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t:

x y z tx y z t

x y z tx y z t

x z t

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

œ "# œ " $ $ œ "

$ # $ $ œ " œ "

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COMPITO DI “ISTITUZIONI DI MATEMATICA” ( 003-07-03)#




Esercizio 1


x y z tx y z

x y z tx z tx y z t


5 œ 5 $ $ œ !

Ð#5Ñ 5 Ð$5Ñ Ð" 5Ñ œ $# Ð$ 5Ñ œ 5 $5 5 #5 5 œ 5

Esercizio 2

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico positivamente orientato ,Oxysia il grafico della funzione : definita da> f ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ B † Bk k .Si dica, motivando la risposta, se esiste la tangente a nell’origine.>Se tale tangente esiste, la si determini; se tale tangente invece non esiste, si determini latangente a nel punto di ascissa .> "

Esercizio 3Calcolare, qualora esistano, i seguenti limiti:

limBÄ! _

( ) ; .cos B

"# B # ( ) sin

limBÄ

( ) ( ) ln cosB BB

Se qualcuno dei limiti proposti non esiste, si spieghi perche.´

Esercizio 4Posto ( ) e ( ) ,f tg gÐBÑ ³ B ÐBÑ B ³sin# B "

B† B

#Èsi determini una primitiva di e una primitiva di . La differenza fra due primitive di èf g fnecessariamente una funzione costante? Perche? E la differenza fra due primitive di ?´ g

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Esercizio 1


lim limBÄ BÄ!

sin cos sincos ln sin

$

B

B

#( ) ( ) ( )

( ( )) ( ( )) ( )B † B $B †/

" B †/ † " B Btg ; .1

cos( )

Esercizio 2

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z,kt, w ha soluzione, specificando al variare di le eventuali incognite libere:k

x y z ( )wx y t wx y z t w

x y wx y z t w


5 " 5 œ "# #5 & # œ &$ $5 # $ œ " 5 œ !

& &5 $ & œ $


:ÐBÑ ³BB" ( ) ln .

Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la èW W fderivabile.

Esercizio 4

Calcolare, qualora esista, il seguente integrale: d .'$

$

#k k ÈB † * B B

Se l’integrale proposto non esiste, si spieghi perche.´

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Esercizio 1

Si ricerchino gli eventuali asintoti per la funzione

fÐBÑ ³ Ê B%B"#

$

Esercizio 2

Si determinino il massimo e il minimo della funzione : definita daf ‘ ‘ÄfÐBÑ ³ % B %lna bk k#

nell’intervallo , .Ò" $ÓSe la non ha minimo e/o non ha massimo nell’intervallo , , si spieghi perche.´f Ò" $Ó

Esercizio 3Si studi la funzione

fÐBÑ œ : k kB * &B#

#

e se ne tracci approssimativamente il grafico.

Esercizio 4

Sia : la funzione definita (in dipendenza dei parametri reali , ) ponendof+ß, ‘ ‘Ä + ,

( ) se se .f+ß,ÐBÑ ³

B " " B Ÿ #+B , B #œ ln

Si determinino e in modo che sia derivabile nel punto .+ , B ³ #f !

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Esercizio 1


limBÄ_ BÄ#

( ) ( ) ( ) ( ) / B B" † B# † B$B$ B %B%

sin( )B

#ln ln sin cos ; .lim

Se uno dei precedenti limiti non esiste, si spieghi perche.´

Esercizio 2


x y z tx y z t

x y z tx zx y z t


5 œ 5 $ $ œ !

Ð# 5Ñ 5 Ð$5Ñ 5 œ $# Ð$ 5Ñ œ 5 $5 5 #5 5 œ 5

Esercizio 3È data la funzione : definita ponendo ( ) .: :‘ ‘Ä ÐBÑ ³ B †sin sin# ( ) "

B

Detta x la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐ Ñ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la èW W fderivabile.

Esercizio 4Si dica, motivando la risposta, se la funzione

: se se f cos

ÐBÑ œÐ#BÑ B !

B " B !œ #

è continua in . Si calcolino poi, qualora esistano, il minimo e il massimo valore di in‘ fÒ "Ó

1# , ; se tale minimo e/o tale massimo non esiste, si spieghi perché.

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Esercizio 1


lim limBÄ! BÄ!

; . cos cosln ln

cosÐ" ÐBÑÑ"B† ÐBÑ† Ð"BÑ ÐBÑ

Ð Ñ"

tg#

"B

Se uno dei precedenti limiti non esiste, si spieghi perché.

Esercizio 2Trovare tutte le (eventuali) soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t, w:

x y z t wx y z t wx y z t wx y t w

x y z w


$ # œ " # $ % $ œ ! $ # œ &

# $ œ & œ %

Esercizio 3

Si determinino il massimo e il minimo della funzione : definita daf ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ / /º ºÈk kB"

nell’intervallo , .Ò! #ÓSe la non ha minimo e/o non ha massimo nell’intervallo , , si spieghi perché.f Ò! #Ó

Esercizio 4

Calcolare, qualora esista, il seguente integrale:

'!

#

1

B † ÐBÑ Bk kcos d .

Se l’integrale proposto non esiste, si spieghi perché.

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Esercizio 1Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico , è dato il triangolo diOxy gvertici , , , e , .O A B´ Ð! !Ñ ´ Ð& !Ñ ´ Ð" $ÑSi determini un punto sul lato di in modo che abbia area massima il rettangolo cheP OB! gha un vertice in , un altro vertice sul lato di e gli ulteriori due vertici sul lato diP AB OA! gg .

Esercizio 2Sia : la funzione definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ &BB$ B# k k k k .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of " %massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

Esercizio 3Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico , si calcoli l’area dellaOxyporzione finita di piano individuata dalle parabole di equazione e .*B C œ ! B *C œ !# #

Esercizio 4Sia la funzione definita ponendog ‘ ‘Ä

g( ) .B ³ *B B È # "#B " ( ) ln

Si determini il dominio di e si trovino tutti gli asintoti di .g g

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AvvertenzeLe pagine dell’elaborato devono essere ordinatamente numerate. Su foglio devono essere indicati nome e cognome del candiciascun dato. Sulfrontespizio dell’elaborato deve essere inoltre indicato il numero di matricola del candidato.Il candidato è tenuto a : in caso contrario, l’esercizio scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi con brevi spiegazioni verràconsiderato non svolto.Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall’aula per alcun motivo. Si devono svolgere almeno due degli esercizi proposti.

Esercizio 1Si consideri in la relazione di ordine così definita: £se , , se e soltanto se è multiplo di B C − B £ C B C(ossia: se e soltanto se esiste tale che ).B £ C 5 − B œ 5CNon è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine in .£ Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in .£ totale Si dica inoltre, motivando la risposta, se rispetto alla relazione di ordine l’insieme ha£ minimo e/o massimo.Posto infine , , , A ³ Ö# $ ( "'×si dica (motivando la risposta, e sempre con riferimento alla relazione di ordine )£ se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;A se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;A se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.A

Esercizio 2Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z2ha soluzione, specificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere:2

( )x y zx y z

x y z( )x y z

ÚÝÝÛÝÝÜ2 # 2 œ 2 %2 # œ $ œ $2 % $ # œ *


:ÐBÑ ³lnÐ"&BÑ

B .Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, se è derivabile in tutti i puntiW finterni a .W

Esercizio 4Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale , si calcoli l’area della porzione finita diOxypiano delimitata dall’asse delle ascisse e dai grafici delle funzioni

f gÐBÑ ³ * B ÐBÑ ³ $ † " BÈ È e .

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Esercizio 1Sia l’insieme , , , e sia l’insieme di tutti i sottoinsiemi di (cioè il cosiddettoI A IÖ$ & ( ""×“insieme delle parti” di ) .ISi consideri in la relazione di ordine così definita:A £se , , se e soltanto se è un sottoinsieme di .X Y A X Y X Y− £Non A è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine in .£Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in .£ totale APosto inoltre { , , , , , , }B ³ Ö$ ""× Ö$ &× Ö$ & ""×si dica (motivando la risposta, e sempre con riferimento alla relazione di ordine )£ se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B A

Esercizio 2Cinque amici appassionati di , Armando, Bruno, Carlo, Dario ed Enzo, si ritrovano conbridgeregolarità per disputare partite formando ogni volta coppie diverse. Naturalmente, poiché abridge si gioca in quattro, ad ogni partita uno dei cinque sta a guardare e gli altri giocano.La somma delle età dei quattro amici seduti al tavolo da gioco varia quindi di volta in volta:"%$ "'! "&! anni quando non gioca Armando, anni quando non gioca Bruno, anni quandonon gioca Carlo, anni quando non gioca Dario e anni quando non gioca Enzo."(# "&&Determinare l’età di ciascuno dei cinque amici.

Esercizio 3Sono date le funzioni e : definite rispettivamente ponendo: < ‘ ‘Ä

: <ÐBÑ ³ ÐBÑ ³" ÐB "ÑB†Ð ÐBÑÑ ÐB %Ñ

Ð B# Ñcosln

ln#

# # e k k .Si determinino i punti di singolarità di e , precisando per ciascuno di essi se si tratta di: <singolarità eliminabile.


fÐBÑ ³ BB" B# k k k k .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of $ $massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ

COMPITO DI “ISTITUZIONI DI MATEMATICA” (2004-12-15)diffuso tramite i siti Internet

http://www.dmd.unifi.it/marcobar/Istituzioni/Compiti.htmlhttp://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Compiti.html


Esercizio 1Si consideri in la relazione di ordine così definita: £se , , se e soltanto se è un divisore di B C − B £ C B C(ossia: se e soltanto se esiste tale che ).B £ C 5 − C œ 5BNon è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine in .£ Si dica, , se è una relazione di ordine in .motivando la risposta £ totale Posto inoltre 12, 20, 40, 48, 240A ³ Ö ×si dica ( , e sempre con riferimento alla relazione di ordine )motivando la risposta £ se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;A se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;A se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.A

Esercizio 2Si determini la funzione : che prolunga per continuità in laf ‘ ‘Ä !

x .# † sin ˆ ‰1 x

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico positivamente orientato , siOxydica poi, motivando la risposta, se esiste la tangente nell’origine al grafico di .> fSe tale tangente esiste, la si determini; se tale tangente invece non esiste, si determini latangente a nel punto di ascissa 1 .>


limBÄ! _

( ) ; .cos B

1 ( ) ( ) sin lnB † "B

limBÄ

( ) ( ) sin lnB B† B1


Esercizio 4Calcolare, qualora esista,

'!

1

/ † ÐBÑ B" ÐBÑ ÐBÑk kcos cos

sin d .


…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




AvvertenzeLe pagine dell’elaborato devono essere ordinatamente numerate. Su foglio devono essere indicati nome e cognome del candiciascun dato. Sulfrontespizio dell’elaborato deve essere inoltre indicato il numero di matricola del candidato e la “fila” ( A oppure B ) di pertinenza.Il candidato è tenuto a : in caso contrario, l’esercizio scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi con brevi spiegazioni verràconsiderato non svolto.Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall’aula per alcun motivo. Si devono svolgere almeno due degli esercizi proposti.

FILA “A”

Esercizio 1Trovare tutti gli asintoti della funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

f ( .BÑ ³ ln Ð$BÑ#B

B&

#


:ÐBÑ œ: B Ð$ BÑ# Bsin .

Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la èW W fderivabile.


limBÄ! _

a b1 ; . #B $B Ð Ð BÑ # † ÐB &ÑÑ † Ð/ "Ñ#

BÄ

1 ( ) sin B

$Blim ln cos



fÐBÑ ³ B B$ # #É a b .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of # #massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




AvvertenzeLe pagine dell’elaborato devono essere ordinatamente numerate. Su foglio devono essere indicati nome e cognome del candiciascun dato. Sulfrontespizio dell’elaborato deve essere inoltre indicato il numero di matricola del candidato e la “fila” ( A oppure B ) di pertinenza.Il candidato è tenuto a : in caso contrario, l’esercizio scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi con brevi spiegazioni verràconsiderato non svolto.Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall’aula per alcun motivo. Si devono svolgere almeno due degli esercizi proposti.

FILA “B”


:ÐBÑ œ: # B Ð& BÑ$ Bsin .

Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la èW W fderivabile.


limBÄ! _

a b1 ; . $B (B Ð Ð BÑ & † ÐB $ÑÑ † Ð/ "Ñ#

BÄ

1 ( ) sin B

#Blim ln cos



fÐBÑ ³ B #B$ # #É a b .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] ammette minimo e/of $ $massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

Esercizio 4Trovare tutti gli asintoti della funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

f ( .BÑ ³ ln Ð&BÑ#B

B$

#

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ



http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Compiti.htmlAvvertenzeLe pagine dell’elaborato devono essere ordinatamente numerate. Su foglio devono essere indicati nome e cognome del candiciascun dato. Sulfrontespizio dell’elaborato deve essere inoltre indicato il numero di matricola del candidato e la “fila” ( A oppure B ) di pertinenza.Il candidato è tenuto a : in caso contrario, l’esercizio scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi con brevi spiegazioni verràconsiderato non svolto.Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall’aula per alcun motivo. Si devono svolgere almeno due degli esercizi proposti.

FILA “A”

Esercizio 1Sia l’insieme , , , , , e sia l’insieme di tutti i sottoinsiemi di (cioè ilI A IÖ" # $ % & '× © cosiddetto “insieme delle parti” di ) .ISi consideri in la relazione di ordine così definita:A £se , , se e soltanto se è un sottoinsieme di X Y A X Y X Y− £( è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine).non £Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in .£ totale APosto inoltre { , , , , , , , , , , , }B ³ Ö"× Ö#× Ö" $× Ö# % '× Ö" # $ % '×si dica (motivando la risposta) se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B A

Esercizio 2Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z2ha soluzione, specificando al variare di le eventuali incognite libere :2

x y zx ( )y zx y zx y z

x y z


2 Ð2 #Ñ œ 2 # 2 # # œ $ œ $

# # Ð% 2Ñ œ ( 2 Ð#2 $Ñ œ #2 "

Esercizio 3Si studi la funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ lnŒ ¸ ¸"B

"B


Esercizio 4Sia la funzione definita dag ‘ ‘Ä

g( ) (1 ) .B ³ B † ln 2B

Si trovi il dominio di e si determini una primitiva di .g gLe primitive di differiscono tutte per una funzione costante? Perché?g

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ



http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Compiti.htmlAvvertenzeLe pagine dell’elaborato devono essere ordinatamente numerate. Su foglio devono essere indicati nome e cognome del candiciascun dato. Sulfrontespizio dell’elaborato deve essere inoltre indicato il numero di matricola del candidato e la “fila” ( A oppure B ) di pertinenza.Il candidato è tenuto a : in caso contrario, l’esercizio scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi con brevi spiegazioni verràconsiderato non svolto.Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall’aula per alcun motivo. Si devono svolgere almeno due degli esercizi proposti.

FILA “B”

Esercizio 1Sia l’insieme , , , , , e sia l’insieme di tutti i sottoinsiemi di (cioè ilI A IÖ" # $ % & '× © cosiddetto “insieme delle parti” di ) .ISi consideri in la relazione di ordine così definita:A £se , , se e soltanto se è un sottoinsieme di X Y A X Y X Y− £( è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine).non £Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in .£ totale APosto inoltre { , , , , , , , , , , , , , }B ³ Ö#× Ö" #× Ö" # &× Ö# % '× Ö" # $ % &×si dica (motivando la risposta) se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B A

Esercizio 2Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z2ha soluzione, specificando al variare di le eventuali incognite libere :2

x y zx y z( )x y zx y z

x y z


2 Ð2 #Ñ œ 2 # œ $# 2 # œ $# # Ð% 2Ñ œ ( 2 Ð#2 $Ñ œ #2 "

Esercizio 3Sia la funzione definita daf ‘ ‘Ä

f( ) (1 ) .B ³ B † ln "B

Si trovi il dominio di e si determini una primitiva di .f fLe primitive di differiscono tutte per una funzione costante? Perché?f

Esercizio 4Si studi la funzione : definita ponendog ‘ ‘Ä

gÐBÑ ³ lnŒ ¸ ¸"B

"B


…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ



http://marcobar.outducks.org/Istituzioni/Compiti.htmlAvvertenzeLe pagine dell’elaborato devono essere ordinatamente numerate. Su foglio devono essere indicati nome e cognome del candiciascun dato. Sulfrontespizio dell’elaborato deve essere inoltre indicato il numero di matricola del candidato.Il candidato è tenuto a : in caso contrario, l’esercizio scrivere in modo chiaro e accompagnare i passaggi con brevi spiegazioni verràconsiderato non svolto.Per tutta la durata della prova non è consentito uscire dall’aula per alcun motivo. Si devono svolgere almeno due degli esercizi proposti.

Esercizio 1All'ufficio postale centrale della capitale di Brutopia giacciono cinque pacchi che devonoessere spediti in Calisota, contrassegnati con i numeri da a ." &Il peso complessivo dei pacchi è Kg. Inoltre, si hanno le seguenti informazioni:##- il peso totale dei pacchi numero , e è Kg;" # $ "!- il peso totale dei pacchi numero , e è Kg;" # % "%- il peso totale dei pacchi numero , e è Kg;# % & "(- il peso totale dei pacchi numero , e è Kg.$ % & "&Quanto pesa il pacco contrassegnato dal numero ?#


limBÄ!

; . 1 1 ( )1

B†Ð/ Ñ† Ð ( B Ñ ÐB Ñ B Ð ÐBÑÑ B

&B # %

$

ln sin lncos sin# lim

BÄ_

2


fÐBÑ ³#B

B" B 2 k k k k .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ 3, 3] ammette minimo e/of massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

Esercizio 4Si calcoli, qualora esista, una primitiva di

ln ln cosÐ Ð ÐBÑÑÑ † Btg( )in ( , ).! 1

#

Se una tale primitiva non esiste, si spieghi perché.

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite , , ,k B C D> A, ha soluzione, specificando al variare di le eventuali incognite libere :k

2ÚÝÝÛÝÝÜ

B #C > œ "C > A œ "

#B $C 5D > A œ !

&B *C 5 D %> A œ 5 ## #


:ÐBÑ ³ B † Ð" BÑ †ln cosŠ ‹"B .

Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, se è derivabile in tutti i puntiD finterni a .D


fÐBÑ ³ / B † ÐBÑln# .Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [0, ] ammette minimo e/of /massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

Esercizio 4


'"/ 1

1/ | | sin lnÐ ÐBÑ Ñ

B dB


…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





Esercizio 1Nell’insieme , , , , , , , i consideri la relazione di ordine così definita:A ³ Ö+ , - 2 5 A B C× = £+ £ + + £ , + £ 2 + £ 5 + £ A + £ B + £ C , £ , , £ 2 , £ 5; ; ; ; ; ; ; ; ; ;, £ A , £ B , £ C - £ , - £ - - £ 2 - £ 5 - £ A - £ B - £ C à; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 £ 2 2 £ 5 2 £ A 5 £ 5 A £ A B £ 2 B £ 5 B £ A B £ B C £ 2; ; ; ; ; ; ; ; ; ;C £ 5 C £ A C £ C; ; .( è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine).Non £Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in .£ totale APosto inoltre , B ³ ÖB C×si dica (motivando la risposta) se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B A

Esercizio 2Fra tutti i trapezi isosceli in cui sia la base minore che il lato obliquo hanno misura 1determinare quelli di area massima.Suggerimento: Si indichi con l’angolo acuto individuato dalla base maggiore e dal latoBobliquo, e si esprima l'area del trapezio in funzione di .B


limBÄ!

; . ( ) ( )

È È/ # $Ð" ÐBÑÑ

B $

B *B #(B#(

B

$ #lnsin sin

tg limBÄ$

Esercizio 4Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata da: ( ) il semiasse positivo delle ascisse;3 ( ) il semiasse positivo delle ordinate;33

( ) il grafico della restrizione a 0, della funzione ( ) (3 ) .333 Ò Ó B ³ / † B 1' h cos

B#

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z5ha soluzioni, specificando al variare di il numero delle incognite libere:5

x zy zx yx y

ÚÝÝÛÝÝÜ 5 œ #5

5 œ 5 œ !

5 œ #5 5

#

#

$

Si scrivano inoltre esplicitamente tutte le soluzioni del sistema quando .5 ³ !


lim lim limBÄ_ BÄ! BÄ!

1 ; ; 1 .Š ‹È a bB B &B #B$ $3

"#

$#

"B

"B

B

1 ( ) tg


fÐBÑ ³ 1 ( ) 1 ( )

B B

cossink k .

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo , ammette minimof Ò Ó 4 31 1

e/o massimo; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si determinino tutti i punti in cui taleminimo e tale massimo vengono raggiunti.

Esercizio 4

Calcolare, qualora esista, d .'1

2 k kB Be3B

Se l'integrale proposto non esiste, si spieghi perché.

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





Esercizio 1

Trovare tutte le soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t, w :

x y z t wx y z t wy z wx y z t 2

x y w


# œ " $ $ # œ ' $ œ ! $ œ

# œ &

Esercizio 2

Fra tutti i trapezi rettangoli in cui il lato obliquo forma con la base maggiore un angolo di 1 6 radianti e il perimetro è 14 determinare quelli di area massima.

( : Si usi la conoscenza del perimetro per esprimere la base maggiore e la baseSuggerimentominore mediante l’altezza).

Esercizio 3


fÐBÑ ³ ÐBÑsin cosÐBÑ .

Si descriva il dominio di f e si dica, motivando la risposta, se è crescente nell’intervallof( )!, . 1

#

Esercizio 4


'1#

#1

B † ÐBÑ B# k ksin d .


…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1

Trovare tutte le (eventuali) soluzioni del seguente sistema nelle incognite x, y, z, t, w :

y z t wx y t wx z t w

x y z wx y t w


# œ $$ # œ $# œ " $ œ % # œ "

Esercizio 2

È data la funzione : definita ponendo: ‘ ‘Ä

:ÐBÑ ³B

Ð"BÑ ln .Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la (in tutti i punti in cui presenta unafÐBÑ : :singolarità eliminabile), si scriva esplicitamente la precisandone il dominio .f DDetta la restrizione di all'intervallo si dica, motivando la risposta, se hag f g ÐBÑ ÐBÑ Ò "ß "Ómassimo e/o minimo e si determinino tutti i punti dell'intervallo in cui tale massimo e/ominimo viene raggiunto.

Esercizio 3


limBÄ"

; . 1

Ð/ Ñ† ÐBÑÐ"BÑ" Ð#BÑ† ÐB $Ñ

/3 ÐB"Ñ B %B%"

#

#

lncos lnlim

BÄ#

Esercizio 4

È data la funzione : definita ponendo: ‘ ‘Ä

:ÐBÑ ³ É BB

3

3 .Determinare, qualora esistano: la retta tangente al grafico di nel punto di ascissa 4 ;: B p_l'asintoto sinistro (cioè per ) del grafico di . :

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




FILA “A”

Esercizio "Un filo metallico lungo centimetri è tagliato in due pezzi che vengono curvati (o piegati)"'per formare rispettivamente un cerchio e un quadrato; non si esclude di utilizzare tutto il filoper formare un cerchio, o per formare un quadrato. In quale modo si deve tagliare il filoaffinché la somma delle aree del cerchio e del quadrato così costruiti risulta minima? in qualemodo si deve operare affinché tale somma delle aree risulti massima?


:ÐBÑ ³ B † ÐBÑk k sin .Si dica, motivando la risposta, se è derivabile in ogni punto del suo dominio.: Riferito il piano a un sistema di assi cartesiane ortogonali monometrico e positivamenteorientato, sia il grafico di . Qualora esista, si determini l'equazione della tangente a > : >nell'origine; altrimenti, si determini l'equazione della tangente a nel punto , 0 .> P0 ´ Ð Ñ1


limBÄ!

1 1 ; .a ba b ÐBÑ Ð" BÑ Þsin cos ln$B # lim

BÄ!

ln ÐB Ñ

Esercizio 4È data la funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ $B " BÈ # .

Determinare l'area complessiva delle porzioni finite di piano delimitate dal grafico di ef dall'asse delle ascisse.

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





FILA “B”


:ÐBÑ ³ B † Ð" BÑk k ln .Si dica, motivando la risposta, se è derivabile in ogni punto del suo dominio.: Riferito il piano a un sistema di assi cartesiane ortogonali monometrico e positivamenteorientato, sia il grafico di . Qualora esista, si determini l'equazione della tangente a > : >nell'origine; in caso contrario, si determini l'equazione della tangente a nel punto>P0 ´ Ð/ " / "Ñ, .


limBÄ!

; .a b# ÐBÑ ÐBÑ Þcos sin&

B† ÐBÑ sinlimBÄ!

ln ÐB Ñ

Esercizio 3È data la funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

fÐBÑ ³ )B " %BÈ # .

Determinare l'area complessiva delle porzioni finite di piano delimitate dal grafico di ef dall'asse delle ascisse.

Esercizio 4Un filo metallico lungo centimetri è tagliato in due pezzi che vengono curvati (o piegati)'%per formare rispettivamente un cerchio e un quadrato; non si esclude di utilizzare tutto il filoper formare un cerchio, o per formare un quadrato. In quale modo si deve tagliare il filoaffinché la somma delle aree del cerchio e del quadrato così costruiti risulta minima? in qualemodo si deve operare affinché tale somma delle aree risulti massima?

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1

Per ciascuna delle seguenti uguaglianze dire (senza motivare necessariamente le risposte) se sitratta di un'identità oppure se è in generale falsa:

( ) ; ( ) ; ( ) ;+ œ , œ B - œ B

B " " "

B B B † B B † B

"#

" " " "$ ' $ "

#

"'

# %

"#

( ) ; ( ) ; ( ) ;. ÐBÑ † ÐCÑ œ ÐB CÑ / Ð#BÑ œ # † ÐBÑ 0 Ð Ñ œ ÐBÑln ln ln ln ln ln ln"B


limBÄ!

; . ( ) ln lnln sin

cosÐBÑ Ð/ "ÑÐ$B/Ñ B† ÐBÑ

/ B#BB#

limBÄ 0

Esercizio 3

Calcolare, qualora esista,

'2

3k kB † ÐB &Ñ Bln d .


Esercizio 4

Sia la funzione che prolunga per continuità in 0 la , e siagÐBÑ sinÐBÑB

f gÐBÑ œ Ð>Ñ >: d .'0

B

Si dica, motivando la risposta, in quali intervalli risulta crescente e in quali intervalli risultaf fdecrescente; si dica poi, sempre motivando la risposta, se f è convessa (oppure se è concava)nell'intervallo [ ] . ß 1 1

#

Suggerimento: Si usi la prima parte del “teorema fondamentale del calcolo”.

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1

Si consideri il seguente sistema lineare (dipendente dal parametro reale ) nelle incognite x, y,5z, t, w :

x y z 3 t 2 wx 2 y z tx z t

zt


1 $ # Ð5 Ñ œ $# Ð5 "ÑÐ5 Ñ # œ $5 œ "Ð5 "Ñ œ 5 "Ð5 "Ñ œ !

Si dica per quali valori di la matrice completa del sistema risulta ridotta. Si dica poi per5quali valori di il sistema dato è risolubile, precisando in dipendenza di il numero delle5 5incognite libere.

Esercizio 2


limBÄ!

; .Ð/ BÑ B † Ð/ / ÑB B

BÄ_

B" ÐBÑ B " cos lim

È #

Esercizio 3Fra tutti i triangoli rettangoli la cui ipotenusa misura si trovi quello che, ruotando"#

È1

attorno a un cateto, genera il cono circolare retto di volume massimo.

Esercizio 4

Si determini, qualora esista, una primitiva in 0, della funzioneÐ _Ñ

fÐBÑ ³$ B

( B

ÈÈ 3.

Se la non ha primitive in 0, , si spieghi perché.f Ð _Ñ

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1

Sia fÐBÑ ³ sin #ÐBÑB

e sia la funzione che prolunga per continuità in 0. Si scriva esplicitamente il dominio dig f Wg g e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la è derivabile.W

Esercizio 2

Trovare il massimo e il minimo valore raggiunti dalla funzione

fÐBÑ ³ (BB$ #B k k k k

nell’intervallo [ 1, 4] , precisando tutti i punti dell'intervallo dato in cui tali valori vengonoraggiunti.. Se la funzione proposta non ha massimo e/o non ha minimo nell’intervallo[ 1, 4], si spieghi perche.´

Esercizio 3


'1

/

Ð$BÑ# B

a bln %

d .B


Esercizio 4Trovare tutte le (eventuali) soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t :

x 2y t 1x y z 1x 3y z 3x 2z t 3y z t 4


œ œ œ œ œ

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1

Sia .fÐBÑ ³ B Ð ÐBÑÑ % B# ln cos k kSi dica, motivando la risposta, se è convessa nell'intervallo [ 1, 1] . Se la risposta èf negativa, si dica, motivando la risposta, in quali intervalli contenuti in [ 1, 1] risulta fconvessa e in quali risulta concava.

Esercizio 2


limBÄ"

; . Ð" Ð ÐBÑÑÑ†Ð$ B#ÑÐB "Ñ† Ð"BÑcos ln

sin# limBÄ_

ln sin ln cosÐ ÐBÑ #BÑ Ð# ÐBÑ BÑ


Esercizio 3Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico , si determini l'area dellaOxyporzione finita del secondo quadrante delimitata dal semiasse negativo delle ascisse, dalsemiasse positivo delle ordinate e dal grafico della funzione

gÐBÑ ³ ÐB "Ñ † /B .

Esercizio 4Si consideri, al variare del parametro reale , il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z,5t :

2 x y z t 1x z t

x zx

ÚÝÝÛÝÝÜ Ð" 5Ñ # Ð5 "Ñ œ

Ð5 #Ñ 5 œ $# 5 œ %œ 5 #

Si dica, motivando la risposta, per quali valori di la matrice incompleta del sistema è ridotta.5Si dica poi per quali valori di il sistema dato ha soluzione, precisando in funzione di il5 5numero delle eventuali incognite libere.

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1

Trovare tutte le (eventuali) soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t, w :

x y z t wx y z t w

x y z t wx y z t wx z t w 0


# œ ## # % # œ # # # œ %

# $ # % # œ '$ $ ' $ œ

Esercizio 2


limBÄ" _

Ð" ÐB"ÑÑ†ÐB#ÑÐB "Ñ†/ † ÐBÑ B

$† ÐBÑ&† Ð Ñcosln

sin cos# B

"B ; .lim

BÄ

Esercizio 3

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico , si determini l'area dellaOxyporzione finita del primo quadrante delimitata dal semiasse positivo delle ordinate, dalsemiasse positivo delle ascisse, dalla retta di equazione x e dal grafico della funzioneœ 1

fÐBÑ ³ / ÐBÑBsin .

Esercizio 4

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico , sia il grafico dellaOxy >funzione

f( ) ( ) .B ³ # B Bln #

Si scriva l’equazione cartesiana della retta tangente a nel punto di ascissa . Si determinit > "poi, qualora esista, un punto di distinto dall’origine tale che la tangente in a siaP ’ P> >>parallela a ; se un tale punto non esiste, si spieghi perche.´>

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





Esercizio 1

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite , , ,k B C D> A, ha soluzione, specificando al variare di le eventuali incognite libere :k

2ÚÝÝÛÝÝÜB > A œ "

#B C A œ "$B #C 5D > A œ !

*B &C 5 D > %A œ 5 ## #

Esercizio 2


limBÄ! $

B † Ð Ñ

Ð"BÑÐBÑ Ð$Ñ

B$

# "B

#

sinln

sin sin ; .limBÄ a b

Esercizio 3


fÐBÑ ³ B † B È k k3 .

Si determini il dominio di e si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallof f[ , ] ammette minimo e/o massimo. Nel caso che la risposta a quest’ultima domanda sia" %(anche soltanto in parte) affermativa, si determinino tutti i punti in cui tale minimo e/o talemassimo vengono raggiunti.

Esercizio 4

Trovare tutti gli asintoti della funzione : definita ponendof ‘ ‘Ä

f ( .BÑ ³ ln Ð#BÑ&B

B(

#

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





Esercizio 1

Si determini la funzione : che prolunga per continuità in laf ‘ ‘Ä !

x .# † cos ˆ ‰1 x

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico positivamente orientato , siOxydica poi, motivando la risposta, se esiste la tangente nell’origine al grafico di .> fSe tale tangente esiste, la si determini; se tale tangente invece non esiste, si determini latangente a nel punto di ascissa 1 .>

Esercizio 2


limBÄ! %

; .ln sin ln cosa b a bÐ$ BÑ † ÐB Ñ ÐB $Ñ † Ð" ÐBÑÑ#

BÄlim cos cosÐ%Ñ ÐBÑ

ÐB%Ñ$

Se qualcuno dei limiti proposti non esiste, si spieghi perché.

Esercizio 3


fÐBÑ ³ / > >'"

B

( ) d .>cos

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] è crescente of # $decrescente.

Esercizio 4Calcolare, qualora esista, '

"

/

( ) a bln BB

%

d .B

Se tale integrale non esiste, si spieghi perche.´

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





Esercizio 1Nell’insieme dei numeri razionali, si consideri la relazione di ordine così definita: £se , , se e soltanto se con , .+ , − + £ , + œ ,; ; − ! Ÿ ; Ÿ " Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in , precisando in caso£ affermativo se si tratta di una relazione di ordine totale.Posto inoltre { , , }B ³ ! $ #

% $ qualora sia una relazione di ordine in si dica (motivando la risposta)£ se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B A

Esercizio 2


limBÄ!

; . 1 1 1

( ) ( ) Ð/ Ñ† Ð #BÑ Ð ÐBÑÑ B

B B(B lncos sin

ln coslimBÄ_

2


Esercizio 3Fra tutti i cilindri di volume , descrivere quelli la cui superficie totale è minima.#&!1

Esercizio 4Sono date le funzioni x : , : .f gÐ Ñ œ ÐBÑ œ B

20 1

BB #

$

Si calcoli l’area della porzione finita di piano delimitata dai grafici di e .f g

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ

COMPITO DI “ISTITUZIONI DI MATEMATICHE” - 2007-07-03Ð Ñ




Esercizio 1Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, zkha soluzione, specificando al variare di le eventuali incognite libere :k

x y z( )x y zx y zx y z

ÚÝÝÛÝÝÜ5 Ð# 5Ñ œ 5 #5 # # œ $ œ $

# # Ð5 %Ñ œ ( 5

Esercizio 2Sia la funzione definita da .f f ln‘ ‘Ä ÐBÑ ³ * B *a bk k#

Si determini il dominio di e si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallof fÒ " &Ó, ammette minimo e/o massimo. Nel caso che la risposta a quest’ultima domanda sia(anche soltanto in parte) affermativa, si determinino tutti i punti in cui tale minimo e/o talemassimo vengono raggiunti.

Esercizio 3

Sia la funzione che prolunga per continuità in la , e siagÐBÑ ! " ÐBÑ

Bcos

#

f gÐBÑ œ Ð>Ñ >: d .'!

B

Si dica, motivando la risposta, in quali intervalli risulta crescente e in quali intervalli risultaf fdecrescente; si dica poi, sempre motivando la risposta, se f è convessa (oppure se è concava)nell'intervallo [ , ] .% '

Suggerimento: Si usi la prima parte del “teorema fondamentale del calcolo”.

Esercizio 4Calcolare, qualora esista,

'"

$

B

¸ ¸ˆ ‰ln B## dB

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ




Esercizio 1Nell’insieme , , , , , , i consideri la relazione di ordine così definita:A ³ Ö+ , 2 5 B C D× = £+ £ + + £ 2 + £ 5 + £ B + £ C + £ D , £ , , £ 2 , £ 5 , £ B; ; ; ; ; ; ; ; ; ;, £ C , £ D 2 £ 2 2 £ 5 5 £ 5 B £ 2 B £ 5 B £ B C £ 2 C £ 5; ; ; ; ; ; ; ; ; ;C £ C D £ 2 D £ 5 D £ D; ; ; .( è richiesta la verifica che è effettivamente una relazione di ordine).Non £Si dica, motivando la risposta, se è una relazione di ordine in .£ totale APosto inoltre , , B ³ ÖB C D×si dica (motivando la risposta) se ha minimo, ed in caso affermativo qual è tale minimo;B se ha estremo inferiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo inferiore;B A se ha massimo, ed in caso affermativo qual è tale massimo;B se ha estremo superiore in , ed in caso affermativo qual è tale estremo superiore.B A


:ÐBÑ ³ B †# #sin Š ‹"B .

Si determinino i punti di singolarità di , precisando per ciascuno di essi se si tratta di:singolarità eliminabile.Detta la funzione che prolunga per continuità la , si scriva esplicitamente la f fÐBÑ :precisandone il dominio ; e si dica, motivando la risposta, in quali punti di la èD D fderivabile.

Esercizio 3

Si studi la funzione fÐBÑ ³ %B†±B±±#B±


Esercizio 4

Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico , sia il grafico dellaOxy >funzione . Siano e i punti di rispettivamente di ordinata e ; sia la rettaln ÐBÑ ! "A B > ttangente a in , e sia il punto in cui incontra l’asse delle ascisse.> B C tSi determini l’area della porzione finita di piano individuata da , dall’asse delle ascisse e dat> (tale porzione finita di piano può essere descritta come “il triangolo mistilineo che ha perlati il segmento , il segmento e l’arco di ”).AC BC AB >

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





Esercizio 1

Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z,kt ha soluzione, specificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere :k

x z t 1x z t3 z ( 2) t 2

x y t 1x y z


5 œ œ # 5 5 œ 5 #

# 5 œ# 5 œ 5

Si scrivano poi esplicitamente tutte le eventuali soluzioni del sistema quando .5 ³ "

Esercizio 2


lim limBÄ BÄ! _

(B$B )B/ "

Ð" ÑÐ'B (Ñ

ÐB"Ñ † Ð Ñ

# $

#B #

$B#

$

$B#

È ; .

lnsin


Esercizio 3


fÐBÑ ³ >'!

B

d . ( ) 6

/ >>

>

%cos

Si dica, motivando la risposta, se la restrizione di all’intervallo [ , ] è crescente of # $decrescente.

Esercizio 4

Sia : la funzione definita ponendo ( ) e, riferito il piano a un SdR: :‘ ‘Ä ÐBÑ ³ / /B Bsincartesiano ortogonale monometrico , sia il grafico di . Sia il punto in cui incontraO Axy > >:l’asse delle ordinate, e sia il punto di minima ascissa positiva in cui incontra l’asse delleB >ascisse.Si determini l’area della porzione finita di piano delimitata dall’asse delle ordinate, dall’assedelle ascisse e dalla corda di .AB >

…‚‹“ ƒˆ ’‚ˆ„™„ Œ“„Œ“ˆ‚‡„ …ˆ’ˆ‚‡„ „ “”‘‹ˆ’ , ‚‘’ ƒˆ ‹”‘„ ˆ ’‚ˆ„™„ “”‘‹ˆ





Esercizio 1Si dica per quali valori del parametro reale il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, zkha soluzione, specificando al variare di il numero delle eventuali incognite libere :k

x y z 1x y zy z

x zx y z


' # œ # ' ' œ 5 &

5 & œ $$ % œ 5 '

$ 5 œ 5 $

#

#


limBÄ!

; . ( ) ln lnln

cossin

Ð/ "Ñ ÐBÑ

#B/

/ BB† ÐBÑ

/B

(

B

Š ‹ limBÄ 0

ˆ ‰#

Esercizio 3Riferito il piano a un SdR cartesiano ortogonale monometrico , sia il grafico dellaOxy >funzione

f( ) (1 ) .B ³ B † B Bk k lnDeterminare se esiste una retta tangente a nell’origine, e nel caso che una tale rettat >tangente esista se ne trovi l’equazione cartesiana.

Esercizio 4Si determinino, qualora esistano, il massimo e il minimo della funzione

f( ) ( )B ³ B & † B &# #Éa b$

nell’intervallo [ , ] , precisando tutti i punti dell'intervallo nei quali tali minimo e massimo $ 'vengono eventualmente raggiunti.

Istituzioni di Matematica · 2020. 1. 9. · L’illustrazione in copertina è una vignetta (©...

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