Istituto Italiano Attuari Seminario 2 Dicembre 2008 Solvency II e forme assicurative rivalutabili:...

Istituto Italiano AttuariSeminario

2 Dicembre 2008

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto tra approccio standard e modello stocasticoconfronto tra approccio standard e modello stocastico

Luca BianchiLuca Bianchi Paolo De AngelisPaolo De Angelis Gruppo Aviva ItaliaGruppo Aviva Italia Università Sapienza Roma Università Sapienza Roma

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Indice dell’intervento

1. Solvency II: Riferimenti normativi 2. Modello Standard:

Aspetti metodologiciApplicazioni

3. Modello stocastico:Opzioni implicite Fonti di rischio e modelli stocastici dinamici Parametri market consistentApplicazioni

4. Considerazioni finali

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L. BIANCHI

1. Solvency II: Riferimenti normativi

2. Modello Standard:Aspetti metodologiciApplicazioni

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. La normativa sulle riserve in 15 punti (1)

Bozza di direttiva comunitaria 10.7.07

1. art 74: la valutazione delle riserve tecniche (brevemente TP) deve essere basata sul “current exit value”… in “a prudent, reliable and objective manner”.

2. art. 73: le “liabilities” devono corrispondere al valore presumibile di scambio fra controparti disposte ad effettuare la transazione alla pari. Ci sono diverse interpretazioni fra le quali quella del CRO Forum (documento emesso nel luglio 2008) secondo il

quale l’Impresa che riceve le riserve e gli attivi non ha un portafoglio storico (è vuota) e quindi non ha un bagaglio di conoscenze storiche tali da poter proporre un’alternativa valida alle ipotesi specifiche dell’impresa che le trasferisce il portafoglio.

3. art 75:[TP] è la somma della “best estimate” e del “risk margin”…. 4. art 75: Best estimate e risk margin sono da valutare “separatamente” a meno che i futuri flussi di cassa

possano essere replicati utilizzando strumenti finanziari il cui valore di mercato è direttamente osservabile [“hedgeable risks”].

5. La best estimate deve essere pari alla media ponderata dei futuri flussi di cassa, considerando il valore temporale del denaro tramite l’utilizzo della curva di tassi privi di rischio. Art.73: Nessun aggiustamento è consentito per tener conto del proprio merito di credito [è vietato in particolare l’aggiunta di uno spread alla curva dei tassi].

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. La normativa in 15 punti (2)

6 art 75: La best estimate deve basarsi su ipotesi (6a) aggiornate (6b) credibili e (6c) realistiche su (6d) tutti i flussi di cassa sia “inflows” che “outflows” derivanti (6e) sia da operazioni di lavoro diretto che indiretto e (6f) per tutta la vita attesa del portafoglio. (6d): Gli outflows e gli inflows sono le componenti rispettivamente positive e negative delle riserve. Ad

esempio i caricamentti sono inflows mentre le spese future sono outflows. I proventi degli investimenti sono esclusi dagli inflows e, in loro vece, c’è la considerazione dei rendimenti proporzionali alle stesse riserve tecniche che risultano implicite nell’attualizzare a tassi privi di rischio, cioè a tassi di rendimento equiparabili ai tassi di rendimenti dell’attivo (proventi degli investimenti).

7 art 76: I flussi di cassa devono includere tutte le spese che saranno sostenute per far fronte agli impegni assicurativi e su quelle si deve tener conto dell’inflazione; tutti gli impegni verso i “policyholders” e [più in generale] verso i beneficiari, inclusi i “future discretionary bonuses” sia che inclusi i “future discretionary bonuses” sia che siano garantiti dal contratto sia che non lo siano [obbligazioni di fatto]siano garantiti dal contratto sia che non lo siano [obbligazioni di fatto]

8 art 75: La best estimate deve essere costituita al lordo del lavoro ceduto. 9 art 79: le riserve [best estimate] a carico della riassicurazione passiva devono essere aggiustate per

tener conto delle perdite attese per il default del riassicuratore. Questo aggiustamento deve essere basato su una stima della probabilità di default della controparte e della perdita media che ne deriva. Questo articolo stabilisce (1) che chi trasferisce l’aliquota “alfa” del proprio rischio, trasferisce una quota

minore di alfa della propria best estimate; (2) che non c’è risk margin esplicito sul lavoro ceduto. Da notare, inoltre, che il rischio di controparte del riassicuratore è un componente dell’SCR nonostante tale rischio sia già incluso nel calcolo della best estimate ceduta.

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10. art 77. [TP] devono tener conto del valore delle garanzie finanziarie e di qualunque opzione inclusa nel contratto. Ogni ipotesi sulla possibilità di esercitare tali opzioni, incluse quelle sulle decadenze anticipate e sui riscatti, devono essere realistiche e basate su informazioni aggiornate e credibili. Occorre tener conto dell’impatto che mutamenti delle condizioni finanziarie e non finanziarie possono avere nelle ipotesi sulle [frequenze delle] opzioni. Questo articolo poggia le basi per le valutazioni stocastiche da adottare quando il contraente ha la

possibilità di esercitare opzioni contrattuali a lui favorevoli ed in particolare quelle che risulteranno favorevoli in relazione al realizzarsi di certe condizioni finanziare nel mercato. Lo puntualizza il manuale tecnico del QIS4 alla voce TS.II.D.42. Lo stesso manuale stabilisce alla voce TS.II.D.42 che l’uso della simulazione stocastica è da preferire per i contratti “with-profit”.

11. art 75. Il risk margin [calcolato solo per rischi non hedgeable] è il costo del margine di solvibilità. Il “Cost of Capital Rate” è lo stesso per il lavoro diretto ed indiretto. La direttiva non descrive in dettaglio la formulazione del risk margin. Per questo occorre guardare i lavori

del CEA che hanno ispirato i QIS terzo e quarto ed il lavoro del CRO Forum del luglio 2008 che si occupa in particolare dei principi sottostanti la determinazione del “cost of capital rate”

12. art 78. Le imprese devono segmentare il portafoglio in rischi omogenei creando gruppi che abbiano come minimo dettaglio la linea di business. La direttiva si preoccupa della segmentazione nonostante questa non incida affatto sulla valutazione delle

best estimate deterministica: questa è sempre la stessa a prescindere dall’unita di valutazione (unit of account). Tuttavia la segmentazione incide sulla valutazione del risk margin perché questa componente di riserva - legata principalmente al rischi di underwriting - deve essere valutata per ciascun gruppo senza compensazione fra gruppi. La segmentazione significa dunque l’accumulo di tante riserve risk margin senza poter usare le matrici di correlazione per la diversificazione dei rischi fra gruppi distinti.

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13. Il manuale tecnico del QIS4 stabilisce che nella proiezione dei flussi futuri di cassa occorre tener conto del comportamento degli assicurati (voci da TS.II.D.11 a TS.II.D.15) ed in particolare la loro reazione a cambiamenti nei mercati finanziari e la reazione alla riduzione della solvibilità dell’assicuratore. Lo stesso manuale specifica che è doveroso includere le “management actions” alla voce TS.II.D.16. Le management actions sui contratti rivalutabili italiani sono azioni prevedibili sugli attivi a copertura delle

gestioni separate, sulla base di politiche di Impresa già note alla data di valutazione, che incidono sul rendimento degli stessi e quindi anche sulle rivalutazioni future da mettere a riserva. La voce TS.II.D.34 limita la previsione dei rendimenti degli attivi ai tassi “forward” impliciti nella curva risk free, e subito dopo puntualizza che ciò vale laddove non ci sono “financial options and guarantees”, dunque escludendo da tale ambito i contratti profit sharing. Il documento emesso dal CRO Forum nel luglio 2008 sostiene che i rendimenti dell’attivo a fronte di contratti profit sharing si basano sulla curva risk free ma dipendono anche dalla composizione dell’attivo alla data di valutazione.

14. Art .80 La direttiva chiede agli Stati Membri di richiedere alle Compagnie di dotarsi di processi interni e di procedure che assicurino l’appropriatezza, la completezza e l’accuratezza dei dati utilizzati nelle valutazioni delle riserve tecniche.

15. Art 81 le Compagnie hanno processi e procedure che consentano loro di verificare l’aderenza delle ipotesi adottate nelle valutazioni rispetto all’esperienza. Laddove il confronto identifica scarti sistematici, le Imprese aggiusteranno le ipotesi di valutazione.

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. SCR, BSCR, ADJ

opSCRAdjBSCRSCR

Dove l’ultimo termine è la componente di rischio operativo. L’aggiustamento per il potere di assorbimento del rischio del portafoglio di polizze rivalutabili (DPF) e della (riduzione delle) imposte differite è

DTdpf AdjAdjAdj

Con

);]'[]'min([ 5,05,0 DPFnSCRnSCRSCRSCRAdjdpf

Dove SCR e nSCR sono i vettori ove sono riportati le quote di margine spiegate da ciascun fattore, rispettivamente al lordo ed al netto degli effetti di “management actions” sulle polizze rivalutabili . Σ è la matrice di correlazione fra i vari rischi. DPF è la componente di riserva inclusa nelle Best Estimate e riferita alle rivalutazioni future eccedenti le garanzie di minimo.

SCRshockxesDeferredtaAdjDT | E’ l’aggiustamento dell’SCR in virtù della riduzione delle imposte differite come effetto della riduzione del patrimonio netto della quantità

opdpf SCRAdjBSCR

Dove L’SCR di base è

SCRradqSCRBSCR '

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. SCR(op) e SCR(mkt)

Il rischio operativo si misura nel modo seguente:

linkednonlinkedop EXPOPBSCRSCR %25);%30min(

Dove l’ultimo termine rappresenta le spese generali relative al portafoglio unit ed index linked (overhead expenses, no commissioni) mentre la componente di rischio operativo del portafoglio diverso da unit ed index linked è:

)___%3.0;___%3( linkednonlorderiservelinkednonlordipremiMAXOPnonlinked

L’SCR per rischi di mercato è il seguente:

5,0])('[ MKTmktMKTSCRmkt

Dove la matrice di correlazione di primo livello fra le componenti di rischi di mercato è la stessa da usare per calcolare la seguente espressione per l’SCR di mercato al netto dei benefici del portafoglio di polizze rivalutabili

5,0])('[ MKTmktMKTSCRmkt

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Il rischio di tasso di interesse.

Il vettore dei rischi di mercato “MKT” include il rischio di tasso, il rischio azionario, il rischio immobili, lo spread, il rischio di concentrazione ed il rischio di divisa. Il rischio di tasso di interesse “INT” è misurato due volte, rispetto ad uno shift up e rispetto ad uno shift down della curva dei tassi (euroswap) privi di rischio. L’effetto è misurato rispetto alla variazione di NAV - differenza fra attivo a valore di mercato e riserve (senza risk margin). Fra i due shock si prende quello che corrisponde al peggiore degli shock effettuati al netto dei benefici delle polizze rivalutabili:

kupwardshocNAVnINTup | ockdownwardshNAVnINTdown |

Se nINTdownnINTup

Allora: 0......... nINTnINTupnINT e kupwardshocNAVINT |

Altrimenti 0......... nINTnINTdownnINT e ckdowwardshoNAVINT |

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Il rischio azionario.

Il rischio azionario si misura aggregando gli effetti di shock azionari sul NAV di due sotto gruppi di azioni correlate con coefficiente “c” (-1<=c<=1); 0.75 nel QIS4) : (A) le “Global” e (B) gli altri indici dove entrano azioni quotate di mercati emergenti, azioni non quotate, hedge funds ed investimenti alternativi.

%32|)( fallNAVaEQ %45|)( fallNAVbEQ

Con EQ(a)>=0 e EQ(b)>=0

2/122 )](*)(*75,0*2)()([ bEQaEQbEQaEQEQ

L’alternativa Dampener pone in gioco una relazione inversa fra la “duration” delle riserve ed il rischio azionario di tipo A. Se la quota di riserve riferite al portafoglio di duration di almeno K>3 anni è 0<=α<=1, allora l’equity risk del gruppo A - il cui valore di mercato alla data “t” di valutazione è MKT(A) - secondo l’approccio dampener è:

]*))(*)((%32*)1[(*)( kGCkFAMKTEQdamp t

Dove F(k) e G(k) sono fattori decrescenti in funzione della duration “k” (nel QIS4 F parte da 0,29 ed arriva a 0,22 mentre G parte da 0,20 ed arriva a 0,07). C(t) è la componente ciclica definita in funzione della media logaritmica dell’indice azionario

N

YLnY

N

i itNt

)(1

0

come 36510)( tt YYtC

Cioè come differenza fra l’indice calcolato rispetto ai 10 giorni lavorativi che precedono la data di valutazione dell’SCR e l’indice calcolato rispetto ai circa 250 giorni lavorativi dell’ultimo anno. CT = -0,013 al 31/12/2007 .

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Il rischio divisa ed il rischio immobili.

Il rischio di divisa è misurato due volte, rispetto ad un apprezzamento dell’euro del 20% e rispetto ad un deprezzamento del 20% rispetto alla divisa di riferimento dell’attivo. L’effetto è misurato rispetto alla variazione di NAV - differenza fra attivo a valore di mercato e riserve (senza risk margin). Fra i due shock si prende quello che corrisponde al peggiore degli shock effettuati al netto dei benefici delle polizze rivalutabili:

ockfxupwardshNAVnFXup |

shockfxdownwardNAVnFXdown | Se nFXdownnFXup

Allora: .nFXupnFX e ockfxupwardshNAVFX |

Altrimenti nFXdownnFX e hockfxdowwardsNAVFX |

Il rischio di svalutazione del 20% del valore di mercato degli immobili (MKT(prop) ) è valutato nel modo seguente:

)(%20| propMKTNAVPROP

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Il rischio spread.

Il rischio spread “SP” ha origine negli strumenti finanziari ed è espresso dalla volatilità dei “credit spreads” sopra la curva dei tassi di interesse privi di rischio. Si escludono i rischi governativi o da governi dell’area comunitaria. Ha tre componenti: il rischio spread dei bonds (SPbond), il rischio spread dei prodotti di credito strutturato (SPstruct) ed il rischio spread dei derivati (SPderiv). Le tre componenti si sommano (assenza di correlazioni). I primi due si ottengono entrambi come sommatoria rispetto a tutte le singoli esposizioni il cui valore di mercato è “MV”, la cui duration è “dur” e con rating “rating”. Il rischio spread dei bond sul portafoglio unit ed index linked và misurato a parte come incremento della riserva (“Liab”) a fronte di garanzie/opzioni “embedded”.

)(*)(* iii

iul ratingFdurmMVliabSPbonds

)(*)(* iii

i ratingGdurnMVSPstruct

F e G sono funzioni crescenti al diminuire del rating; nel QIS4 vanno rispettivamente da un massimo di 11,20% ad un minimo dello 0,25% e da un massimo del 29,71% ad un minimo del 2,13% . L’incremento della riserva a fronti di opzioni implicite nei contratti unit linked va misurato rispetto ad una diminuzione di valore di mercato del sottostante (controvalore delle quote) pari alla duration per il fattore F che corrisponde al rating del sottostante. N(dur) e m(dur) sono duration ma quando il rating è inferiore a tripla B, sono limitate da un massimo che a sua volta diminuisce al diminuire del rating.

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Il rischio di concentrazione.

Il rischio di concentrazione ha origine dalla volatilità aggiuntiva che esiste su attivi esposti a poche controparti e dal relativo rischio di default . Sono escluse altre forme di concentrazione come quella geografica o quella su settori di industria. Il rischio sui portafogli unit ed index linked si misurano a parte; i titoli governativi o da governi dell’area comunitaria devono essere esclusi. Se Assets(nl) rappresenta il totale dei valori di mercato non linked (inclusi i titoli governativi e governativi EEA) e CT(rating) una soglia che vale (QIS4) 5% o 3% a seconda del rating della controparte, ed infine E(i) l’esposizione netta nei confronti della controparte (i), allora il rischio di concentrazione sulla controparte “i” è data dall’espressione seguente.

iiiuli XSgAssetsliabConc **

])(

;0max[ CTnlAssets

EXS i

i

Dove g(i) è decrescente al crescere del rating e va (QIS4) da 0,15 a 0,73 . L’incremento della riserva a fronti di opzioni implicite nei contratti unit linked va misurato svalutando il controvalore delle quote (sottostante) del fattore XS *g prendendo questi fattori in funzione dal rating del sottostante. Il rischio di concentrazione sull’intero portafoglio è calcolato sull’ipotesi di indipendenza fra controparti:

i

iConcConc 5,02 )(

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. I rischi assicurativi di mortalità, di invalidità e di sopravvivenza.

L’SCR per rischi assicurativi (underwriting) è il seguente:

5,0])('[ UWuwUWSCRmkt

Dove la matrice di correlazione di primo livello fra le componenti di rischi assicurativi è la stessa da usare per calcolare la seguente espressione per l’SCR assicurativo al netto dei benefici del portafoglio di polizze rivalutabili

5,0])('[ nUWuwnUWnSCRmkt

Il vettore dei rischi assicurativi “UW” include il rischio di mortalità, il rischio di sopravvivenza, il rischio di invalidità, la decadenza anticipata, le spese , il catastrofale ed il “revision”, l’ultimo dei quali riguarda le garanzie di rendita a seguito di sinistri non vita la cui riserva è calcolata con tecniche tipiche del vita e la cui rendita è rivedibile; il rischio è rappresentato dall’effetto sul NAV a seguito dell’incremento del 3% della rendita vitalizia. Il rischio di mortalità ed il rischio di sopravvivenza sono misurati come effetti sul NAV, rispettivamente, di un incremento della mortalità del 10% e di una diminuzione della mortalità del 25% . Il primo ed il secondo sono misurati su portafogli i cui capitali sotto rischio sono rispettivamente positivo e negativo. Le sommatorie si riferiscono a portafogli omogenei. Per il rischio di invalidità si assume un incremento delle frequenze del 25% dal secondo anno rispetto alla valutazione e del 35% nell’anno immediatamente successivo.

mortshockNAVMorti

| disshockNAVDisi

| longshockNAVLongi

|

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. I rischi assicurativi catastrofale, decadenza anticipata e spese.

Il rischio catastrofale è misurato rispetto ad un incremento della mortalità e della morbilità, entrambi di un punto e mezzo per mille in valore assoluto; l’incremento della mortalità agisce solo per i dodici mesi successivi alla data di valutazione. Ad esempio una frequenza di mortalità del 2 per mille diventa (per l’anno successivo) il 3,5 per mille. La maggiore morbilità è crescente nell’arco dei successivi due anni: un terzo nel primo semestre, un altro terzo nel successivo semestre e l’ultimo terzo nei successivi dodici mesi.

catshockNAVCAT | Il rischio di decadenza è l’effetto peggiore sul NAV fra un incremento del 50% ed una diminuzione del 50% delle frequenza di decadenza anticipata. La valutazione va effettuata polizza per polizza. C’è una soglia minima sul totale pari al 30% della somma delle differenze di segno positivo fra Valore di Riscatto e Riserva Best Estimate (Lapse Mass”). Per i contratti che non hanno ancora valore di riscatto alla data di valutazione, si prende il valore attuale (a tassi privi di rischio) del riscatto più vicino nel tempo.

)]|;|max(;%30max[ lapseupNAVlapsedownNAVLapseLapsei

mass

IL rischio spese è l’effetto sul NAV di un incremento del 10% nelle spese future e dell’1% del tasso di inflazione (rilevante perché le spese sono indicizzate all’inflazione). Nei contratti che danno la possibilità all’assicuratore di rivedere i caricamenti, il 75% degli incrementi previsti dal test possono essere recuperati dal terzo anno successivo alla data di valutazione.

shockNAVEXP exp|

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Il rischio di controparte.

Il rischio di controparte (default) è misurato come somma di due componenti: (1) gli strumenti di mitigazione del rischio come derivati e riassicurazione e (2) crediti verso intermediari e tutte le altre esposizioni che non sono considerate nel rischio spread. Il default sul portafoglio è la somma algebrica dei rischi rispetto a tutte le controparti. Il rischio sulla controparte “i” è calcolato con l’espressione che segue:

])1

(*)995,0()(*)1(

1[* 5,0

5,0 R

RGPDG

RNLGDDEF iii

Dove N(x) e G(p) sono rispettivamente il valore della funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata in “x” e l’inversa della distribuzione normale standard in “p” (0<= p<=1) . Il “Loss Given Default” di una controparte è dato da:

- l’esposizione di credito verso altre controparti come ad esempio le reti di vendita - Per ciascun riassicuratore dalla formula:

)cov;0max(*5,0 collateralSCRSCRerablesreLGD netUW

grossuW

Dove la componente assicurativa di SCR va calcolata sia NON considerando (gross) che considerando i benefici della riassicurazione. - Per ciascuna controparte sui derivati dalla formula:

);0max(*5,0 collateralSCRSCRMKTvalueLGD netMKT

grossMKT

Dove la componente di mercato dell’SCR va calcolata sia non considerando (gross) che considerando i benefici di mitigazione dovuti all’uso dei derivati. Il Fattore R (correlazione implicita per il default di una controparte) è calcolato - separatamente per le esposizioni in riassicurazione, le esposizioni in derivati ed altre esposizioni - come

))(

1(*5,02

2

i

i

LGD

LDGR

iPD è la probabilità di default della controparte “i” che dipende soltanto dal rating. Nel QIS4 va da un minimo dello 0,002% ad un

massimo del 30,41% ; fa eccezione la riassicurazione interna allo stresso gruppo per la quale si usa un coefficiente legato al suo “Solvency II ratio”.

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Best Estimate (1)

La Best Estimate deterministica è la somma per tutte le polizze in portafoglio dei flussi di cassa futuri relativi a sinistri (S), riscatti (VR) - incluse le rivalutazioni future minime e discrezionali eccedenti le minime - le spese generali e di gestione degli investimenti (spese), le provvigioni e compensi similari (comm). Nel modello si è assunto per semplicità che i flussi futuri siano concentrati a fine anno.

)]1,(*)]()()[([*1

tviCaricamentPuriCommSpeseVRSBEL t

n

tit

Sinistri e riscatti sono proporzionali alle somme assicurate, non solo alle rivalutazioni della riserva prospettiva pura di primo ordine fino all’epoca “t “ ma anche alle rivalutazioni future sia minime che discrezionali (eccedenti le minime) Il fattore di sconto è legato al tasso spot calcolato in t sulla durata n:

),(/1),( ntspotntv . Se il fine è la costruzione di un modello di proiezione della riserva, occorre sostituire la somma rispetto alle polizze in portafoglio con il coefficiente n(t) che rappresenta il numero delle polizze sopravvissute in (t) (n(0)=1):

)1(*))1(1(1

0/

t

sxst qsfn

Che la formula sovrastante esprime in maniera ricorrente in relazione alle decadenze anticipate realistiche f(s) (f(0)=0) ed alle probabilità di morte desunte dalla tavola realistica.

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Best Estimate (2)

In virtù dell’ipotesi di concentrazione dei flussi a fine anno, la best estimate si può esprimere in modo ricorrente.

flowscashnettfwBELBEL tt __))(1(1

Dove fw(t) è il tasso forward privo di rischio valutato in t-1 per l’anno t e “net_cash_flows” sono i flussi di cassa netti (quelli in uscita con segno + e quelli in entrata con segno -) La quantità )(*1 tfwBELt

È l’unwinding discount della riserva; la differenza fra proventi degli investimenti (plus e minus di mercato +redditi realizzati sugli attivi + flusso cedolare) e unwinding discount (costo) rappresenta il reddito netto degli investimenti da rappresentare nel conto economico nel regime di solvibilità 2. In una valutazione per polizza su un portafoglio in vigore alla data di valutazione (non su un modello) la best estimate non potrà essere calcolata in modo ricorrente; l’exit value è una valutazione prospettiva e la differenza rispetto ad una valutazione fatta ad inizio anno con il metodo ricorrente rappresenta l’utile o la perdita proporzionale all’errore di previsione sulle ipotesi non economiche. Questa analisi è il primo passo per una revisione delle ipotesi non economiche nel calcolo della Best Estimate.

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Risk Margin

Il risk margin secondo il metodo “Cost of Capital” è il seguente:

),(*),(*1

tvtSCRCoCRMt UWODtt

Ossia il costo unitario del capitale stabilito all’epoca di valutazione per la somma dei valori attuali dell’SCR proiettati per un periodo che va dall’anno successivo e fino ad estinzione del portafoglio; a tal fine, non si deve fare alcuna ipotesi di nuova produzione. L’SCR deve includere le sole componenti di rischi assicurativo, di default della riassicurazione ed operativo. QIS4 ha ipotizzato CoC al 6%. Se non si è in grado di proiettare l’SCR, è sufficiente prendere l’SCR(t), cioè il valore all’epoca di valutazione, scorporarlo dei rischi esclusi (mercato, default diverse dalla riassicurazione) e proiettarlo con un driver. Il driver è un parametro che posto a uno al tempo “t” ne rappresenta l’evoluzione sul portafoglio in vigore al tempo “t” e fino a sua estinzione: è appropriato utilizzare la Best Estimate in relazione al portafoglio delle polizze rivalutabili ed al portafoglio unit ed index linked, il valore attuale dei sinistri futuri in relazione alle temporanee caso morte. La formula si semplifica dunque nella seguente:

),(*),(*),(*1

tvtdriverttSCRCoCRMtUWODtt

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico.

accumulation of profits (present value)

year Solvency II profit Solvency II Solvency II profit

profit and loss profit without and loss

0 local risk margin local

1 893,80 28,22 853,71 908,72 26,96

2 96,22 34,37 941,77 985,71 58,41

3 88,82 100,36 1.019,58 1.058,33 146,33

4 87,24 114,02 1.092,65 1.128,50 241,82

5 83,67 127,46 1.159,62 1.192,79 343,84

6 68,23 131,02 1.211,77 1.242,49 443,98

7 68,03 144,04 1.261,38 1.289,82 549,02

8 85,26 153,04 1.320,64 1.346,94 655,39

9 66,73 151,54 1.364,79 1.389,12 755,64

10 75,97 152,06 1.412,59 1.435,05 851,32

11 39,95 141,36 1.436,48 1.457,16 935,87

12 26,26 131,44 1.451,41 1.470,30 1.010,58

13 20,43 120,40 1.462,44 1.479,50 1.075,62

14 14,33 106,30 1.469,80 1.484,94 1.130,20

15 10,71 90,03 1.475,03 1.488,14 1.174,12

Total 1.725,64 1.725,64

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Andamento dei profitti nel tempo nel bilancio di solvibilità 2

I profitti cumulati fino ad estinzione del portafoglio non dipendono dal metodo di valutazione delle riserve (sono sempre pari a 1725,64); invece la distribuzione del profitto nel tempo ne dipende sensibilmente.

Le riserve Solvency II (brevemente TPS) fanno si che i profitti siano concentrati nel primo anno ed in modo particolare il giorno della decorrenza del contratto (“profit at inception”).

Il metodo locale di valutazione della riserva equidistribuisce i profitti; nel caso esaminato si nota una leggera concentrazione nel periodo centrale.

Ne consegue che il valore [attuale] del portafoglio è maggiore sotto Solvency II (1475,03 contro 1174,12). La presneza del risk margin incide marginalmente su tale misurazione: senza il risk margin, il valore attuari dei profitti futuri sarebbe 1488,14 .

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year BEST

RISK MARGIN Tot.solvency local asset net investment

ESTIMATE CoC reserve technical liability eoy cash flows income

"BEL" "RM" provisions eoy

0 - 868,44 66,97 - 801,47 -

1 75,73 57,60 133,33 998,90 1.027,12 984,95 42,17

2 1.063,15 45,50 1.108,65 2.036,08 2.098,67 984,13 87,42

3 1.967,91 39,57 2.007,48 2.923,37 3.086,32 857,17 130,48

4 2.810,37 36,12 2.846,49 3.735,61 4.012,57 751,88 174,37

5 3.594,93 32,77 3.627,70 4.473,02 4.877,44 654,36 210,51

6 4.325,92 29,56 4.355,48 5.138,01 5.673,45 561,54 234,46

7 5.007,35 26,43 5.033,78 5.740,31 6.419,78 473,01 273,31

8 5.641,08 23,36 5.664,44 6.303,19 7.135,70 386,99 328,94

9 6.231,38 20,38 6.251,77 6.805,71 7.789,76 305,12 348,94

10 6.777,70 17,40 6.795,10 7.272,95 8.409,06 225,99 393,31

11 7.282,32 14,43 7.296,75 7.673,19 8.950,67 151,48 390,13

12 7.742,31 11,28 7.753,59 8.024,85 9.433,77 80,55 402,56

13 8.159,44 7,88 8.167,33 8.338,61 9.867,93 12,62 421,54

14 8.533,37 4,14 8.537,51 8.616,83 10.252,44 - 52,39 436,91

15 - - - - 1.725,64 - 8.979,22 452,42

24

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Andamento delle riserve nel tempo.

La Best Estimate alla decorrenza è negativa (-868,44) in quanto il prodotto è profittevole e la Best Estimate al tempo zero è l’attualizzazione dei flussi di cassa attesi fino ad estinzione; pertanto sconta i futuri profitti attesi, con l’eccezione dei proventi degli investimenti che vanno sostituiti con i

rendimenti lordi delle stesse riserve tecniche. Nei premi unici, la Best Estimate torna ad essere positiva già dopo un giorno la

decorrenza, subito dopo la contabilizzazione del premio iniziale e della provvigione iniziale.

Nei premi annui o ricorrenti può rimanere negativa anche dopo la decorrenza. Nella mista a premio annuo torna ad essere positiva soltanto dopo un anno (+75,73).

Il Risk Margin ha sempre segno positivo. Il suo peso relativo decresce nel tempo. Trascorsi 6/7 anni su 15 il suo peso è intorno allo 0.7 / 0.5% il valore della Best

Estimate. Questo valore è in linea con quello registrato sulle polizze rivalutabili durante gli studi di impatto quantitativo (QIS) quale media nel mercato italiano basato sul campione delle Imprese partecipanti.

25


year BEST Present value at time zero of future

GrossPresent value (accumulation) at time zero

ESTIMATE minimum DPF to the Investment Investment net margin from

"BEL" guaranteed policyholders income income the investments

0 - 868,44 2.301,26 65,40 2.769,53 402,87

1 75,73 2.369,32 68,41 42,17 2.857,41 419,68

2 1.063,15 2.285,31 66,31 87,42 2.764,66 413,04

3 1.967,91 2.176,84 66,32 130,48 2.648,41 405,25

4 2.810,37 2.044,16 62,46 174,37 2.498,85 392,23

5 3.594,93 1.890,09 59,12 210,51 2.323,25 374,04

6 4.325,92 1.721,85 59,17 234,46 2.137,38 356,36

7 5.007,35 1.542,71 58,08 273,31 1.930,59 329,80

8 5.641,08 1.355,59 40,64 328,94 1.692,73 296,49

9 6.231,38 1.162,97 29,11 348,94 1.452,28 260,20

10 6.777,70 966,79 7,91 393,31 1.193,25 218,56

11 7.282,32 769,18 2,36 390,13 948,57 177,03

12 7.742,31 572,05 1,47 402,56 707,81 134,30

13 8.159,44 377,56 0,58 421,54 468,29 90,15

14 8.533,37 186,58 0,41 436,91 232,27 45,28

15 - - - 452,42 - -

Total 4.327,47

26

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Scomposizione della Best Estimate Deterministica

La Best Estimate deterministica si può scomporre in tre componenti: [valore attuale medio] prestazioni future senza includere gli interessi; [valore attuale medio] interessi futuri maturandi sulle riserve tecniche stesse e da riconoscere

agli Assicurati od a Terzi; [Valore attuale medio] spese future al netto dei caricamenti (qui non considerati);

La seconda componente si può scomporre in tre componenti [valore attuale medio] garanzie di tasso di interesse; [valore attuale medio] rivalutazioni discrezionali “Policyholder Dividends”; [valore attuale medio] commissioni ricorrenti legate ai rendimenti della gestione separata o ad

altri fattori legati ai tassi di rendimento (qui non considerati).

Per poter isolare ciascuna di queste 3 sotto-componenti della 2nda componente dalla prima componente occorre definire convenzionalmente una riserva di riferimento che nel caso esaminato di polizza mista è la riserva locale.

Nel caso esaminato la componente “Policyholder Dividends” è di gran lunga inferiore alla componente di minimo garantito soltanto perché la gestione separata ha rendimenti di poco superiori alla garanzia di minimo (4%), ma con garanzie di minimo al 2% i pesi sono delle due componenti si equivalgono.

27

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. La proiezione delle prestazioni future

Le prestazioni future si rivalutano in funzione dei rendimenti prevedibili della gestione separata.

I rendimenti prevedibili dipendono dalla curva dei tassi risk free alla data di valutazione. I Successivi elementi dipendono da fattori soggettivi:

Scelta della curva risk free governativa piuttosto che euroswap (QIS4 ha scelto la seconda). Scelta del metodo di interpolazione per ricavare le curve forward/spot (es. cubic spline,

bootstrap). Scelta della politica di ALM (“management actions”).

Le management actions sono azioni sull’attivo che incidono sui rendimenti prevedibili e di conseguenza sulle riserve per “policyholder dividends”. Come e quando reinvestire la liquidità disponibile dalle quietanze future e dagli investimenti

in scadenza non necessari per far fronte alle liquidazioni. Come reinvestire le cedole dei titoli obbligazionari. Se e quando realizzare le plusvalenze o le minuvalenze latenti.

Se farlo a fronte di liquidazioni. Se farlo a prescindere dalle liquidazioni per il reimpiego in altri investimenti.

28

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. La riserva per “policyholder dividends” ed il fattore RPS (1).

Qualora non si disponga ancora di un metodo esatto di scorporo della componente DPF inclusa nella Best Estimate, c’è un metodo di stima della riserva “Policyholder Dividends” come descritto nel questionario qualitativo del QIS4 applicato a gruppi di portafogli rivalutabili (non polizza per polizza). Ecco come viene descritto nel questionario qualitativo QIS4:

The information come from the system used twice a year for the ALM (compulsory for the local balance sheet) and for the calculation of the (eventual) additional reserves to cover the minimum guarantees.

We had already the 2 streams of local liabilities as outcomes: the projections over 15 years over the portfolio in force as at 31.12.2007 and split by fund and by minimum guaranteed. The 1st stream is the TP and the 2nd stream represents the TP without the DPF component (TPM briefly).

At time T, TP(t) – TPM(t) represents the accumulation of DPF in the liabilities matured from time zero (the evaluation date) and time T, relevant to the portfolio in force at time T.

We define f(t) the probability that the contracts do not survive between time t-1 and time t, for death or for lapse (with f(1)=0).

At time T, [TP(t) – TPM(t)] – [TP(t-1) – TPM(t-1)] * (1-f(t))= DPF(t) Is the estimate of the increase of liability due to the recognition of the dividends in the range (t-1,t] to the policyholders survived in

“t”. Therefore the whole DPF liability is: DPF=

Where sp(t) is the risk free spot rate as to t

ttDPFwithtsptDPFt

t

..0)(...............))(1/()(1

29

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. La riserva per “policyholder dividends” (DPF) ed il fattore RPS (2).

Il Fattore RPS è la diminuzione della riserva DPF dopo un shock di mercato od assicurativo.

Questa diminuzione dipende soltanto dalla ri - determinazione dei rendimenti prevedibili della gestione separata.

Questa ri – determinazione non è automatica (interpretazione valida solo dal QIS4) ma dipende da politiche di ALM specifiche di Impresa.

L’ALM agisce sugli attivi (non sulle politiche di customer care od altre politiche sul portafoglio polizze) e di conseguenza sui rendimenti prevedibili.

L’RPS è limitato al più al valore della riserva DPF prima dello shock Nonostante l’RPS sia una misura di [variazione di] riserva, si conviene di considerarla

come sconto sul margine di solvibilità da costituire SCR.

30


year Tot.solvency asset Solvency II Net assets

technical eoy profit (PR) A SCR Free capital

provisions A(t)=A(t-1)+PR(t) B A-B

0 - 801,47 1.000,00

1 133,33 1.027,12 893,80 893,80 368,84 524,95

2 1.108,65 2.098,67 96,22 990,01 513,94 476,07

3 2.007,48 3.086,32 88,82 1.078,83 621,15 457,69

4 2.846,49 4.012,57 87,24 1.166,08 728,16 437,91

5 3.627,70 4.877,44 83,67 1.249,75 800,00 449,75

6 4.355,48 5.673,45 68,23 1.317,97 848,50 469,47

7 5.033,78 6.419,78 68,03 1.386,00 865,47 520,53

8 5.664,44 7.135,70 85,26 1.471,26 855,21 616,05

9 6.251,77 7.789,76 66,73 1.537,99 818,97 719,02

10 6.795,10 8.409,06 75,97 1.613,96 761,62 852,34

11 7.296,75 8.950,67 39,95 1.653,92 687,87 966,04

12 7.753,59 9.433,77 26,26 1.680,18 600,81 1.079,37

13 8.167,33 9.867,93 20,43 1.700,60 507,61 1.192,99

14 8.537,51 10.252,44 14,33 1.714,93 424,10 1.290,83

15 - 1.725,64 10,71 1.725,64 - 1.725,64

1.725,64

31

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Attivo e patrimonio libero; ring fencing

L’attivo ad estinzione del portafoglio – se non si distribuiscono dividendi - è pari a 1725,64 ossia al cumulo dei profitti, a prescindere dal metodo di valutazione della riserva.

Il capitale libero, ossia il patrimonio netto non impegnato a coprire il margine di solvibilità SCR, tende a diminuire nel primo biennio per poi incrementare a ritmo crescente fino ad equivalere all’attivo (1725,64) ad estinzione del portafoglio.

Il ring fencing di un fondo assicurativo è la considerazione del fondo assicurativo alla stregua di un’Impresa di Assicurazione separata dalle altre ring-fenced / Imprese di Assicurazione e dagli altri attivi.

Un fondo “ring fenced” non può mettere a disposizione il patrimonio libero per coprire la solvibilità di altri fondi ring fenced né la solvibilità della Compagnia.

Il QIS4 ha sperimentato gli effetti di ring fencing Paese per Paese. Per l’Italia lo si è sperimentato solo sul margine di gruppo ma non sul margine di solvibilità individuale.

32


year worst case

INT rate risk Equity risk Property risk Spread risk Conc.risk Currency risk

0

1 - 233,29 - 19,10 - - 3,59 - 8,22 -

2 - 442,63 - 39,04 - - 7,35 - 16,79 -

3 - 600,86 - 57,41 - - 10,80 - 24,69 -

4 - 716,09 - 74,63 - - 14,04 - 32,10 -

5 - 791,30 - 90,72 - - 17,07 - 39,02 -

6 - 828,40 - 105,53 - - 19,86 - 45,39 -

7 - 833,22 - 119,41 - - 22,47 - 51,36 -

8 - 810,37 - 132,72 - - 24,97 - 57,09 -

9 - 758,27 - 144,89 - - 27,26 - 62,32 -

10 - 682,13 - 156,41 - - 29,43 - 67,27 -

11 - 580,85 - 166,48 - - 31,33 - 71,61 -

12 - 459,15 - 175,47 - - 33,02 - 75,47 -

13 - 320,19 - 183,54 - - 34,54 - 78,94 -

14 - 166,33 - 190,70 - - 35,88 - 82,02 -

33

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico: rischi di mercato

I rischi di mercato possono essere individuati per il complesso della Compagnia (es. rischio di concentrazione) od al più per una gestione separata.

Pertanto l’individuazione del contributo di un gruppo di contratti può essere soltanto stimato partendo dal valore registrato sull’intero portafoglio.

Ciascun rischio di mercato ha un contributo pari all’effetto sul profitto al lordo delle imposte. Il profitto è quello del bilancio Solvency II, i cui attivi sono contabilizzati a valore di mercato (no regole locali, no regole bilanci ias/ifrs phase I).

Il rischio di tasso di interesse è il peggiore fra uno shift down ed uno shift up della curva risk free euroswap. Nel caso di shift up le riserve (generalmente) diminuiscono e gli attivi perdono valore; viceversa nel caso di shift down. Gli effetti su riserve ed attivo (generalmente) si bilanciano

L’equity risk è il cumulo degli effetti su attivo e riserve di un equity fall: gli effetti si sommano (cioè non si bilanciano ma hanno lo stesso segno)

Il rischio di concentrazione è materiale nelle piccole Compagnie.

34

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico: il rischio di tasso di interesse

L’effetto di uno shift up sulle riserve realistiche deve essere desunto sperimentalmente; può essere tuttavia anche desunto facendo alcuni ragionamenti a priori (stessi ragionamenti anche sullo shift down):

1) la Best Estimate è la differenza fra [valore attuale medio] cash flows positivi (impegni e spese) e [valore attuale medio] cash flows negativi (caricamenti e penali di decadenza)

BEL = PVO – PVI2) Sia PVO che PVI tendono a zero al crescere del “discount rate” (cioè con lo shift up della curva tassi)

a parità di cash flows a numeratore.3) Sia PVO che PVI includono a numeratore cash flows che non reagiscono ai tassi di interesse (PVOn

e PVIn) come spese e caricamenti sui premi futuriBEL = (PVOr – PVIr) + (PVOn – PVIn)

4) PVOn-PVIn = 2nda componente, se positiva diminuisce, se negativa aumenta.5) PVOr è generalmente di gran lunga superiore a val.ass.(PVIr) e dipende – in modo diretto – dai

rendimenti prevedibili se e solo se le prestazioni future ne sono legate.6) Il legame è presente se (a) impatta sulle rivalutazioni future o/e (b) impatta sul time value delle

garanzie di minimo.7) Occorre verificare se i rendimenti prevedibili aumentano o dimunuiscono con uno shift up (il più

delle volte aumentano) ed il loro impatto (vedi punto 6) .

35


year Tot Market risk Tot Market risk average

without with effect of Default Default Default

diversification diversification diversification excl.reins. solo reins. Tot

0

1 264,21 235,21 11,0% - 0,72 - 0,21 0,92

2 505,80 446,71 11,7% - 1,47 - 0,42 1,89

3 693,76 607,13 12,5% - 2,16 - 0,62 2,78

4 836,87 724,66 13,4% - 2,81 - 0,80 3,61

5 938,11 802,33 14,5% - 3,41 - 0,98 4,39

6 999,17 842,09 15,7% - 3,97 - 1,13 5,11

7 1.026,46 849,92 17,2% - 4,49 - 1,28 5,78

8 1.025,16 830,65 19,0% - 4,99 - 1,43 6,42

9 992,75 782,89 21,1% - 5,45 - 1,56 7,01

10 935,24 712,39 23,8% - 5,89 - 1,68 7,57

11 850,27 618,81 27,2% - 6,27 - 1,79 8,06

12 743,11 508,80 31,5% - 6,60 - 1,89 8,49

13 617,21 390,30 36,8% - 6,91 - 1,97 8,88

14 474,93 280,09 41,0% - 7,18 - 2,05 9,23

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Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico: diversificazione (1)

Ci sono due livelli di effetti di diversificazione: il primo agisce fra le sotto-categorie di rischi di mercato e fra le sotto-categorie di rischi assicurativi; la seconda agisce fra rischi di mercato, assicurativi e default/controparte.

La diversificazione viene colta tramite le correlazioni (uso di matrici di correlazione): Se A, B e C sono le misure di tre rischi (calcolati ciascuno nell’ipotesi di assenza di

stress sugli altri due) le cui correlazioni sono alfa, beta, delta (compresi fra -1 e +1), il rischio cumulato è

Rischio = [A^2 + B^2 + C^2 + 2*(alfa*A*B + beta*B*C + delta*A*C)]^(1/2) C’è diversificazione in quanto:

1) La probabilità che due fattori sfavorevoli si verifichino nello stesso anno è inferiore alla somma delle probabilità (probabilità misurata come VAR al 99,5% ad un anno)

2) Un fattore che agisce sfavorevolmente su un rischio può avare un effetto positivo su un altro (es. mortalità e longevità)

37

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico: diversificazione (2)

C’è un ulteriore diversificazione per l’appartenenza ad un Gruppo Assicurativo per:

1) La probabilità che uno stesso fattore agisca sfavorevolmente su un rischio nello stesso anno per due Imprese del Gruppo è inferiore alla somma delle probabilità, soprattutto se dislocate su due aree geografiche

2) Maggior numero di polizze esposte ai rischi assicurativi

3) Maggior uniformità di distribuzione degli elementi esposti al rischio (es. rischio di concentrazione)

4) Compensazioni. Ad esempio se lo shift up di tasso ha l’effetto sfavorevole per l’Impresa uno e lo shift down di tasso ha l’effetto sfavorevole per l’Impresa due, i due effetti si bilanciano per il margine di solvibilità SCR di Gruppo.

38


year underwriting underwriting underwriting underwriting underwriting underwriting

mortality longevity disability lapse expense revision

0

1 - 10,40 - - - 179,53 - -

2 - 10,86 - - - 93,31 - -

3 - 11,34 - - - 53,48 - -

4 - 11,86 - - - 55,37 - -

5 - 12,40 - - - 57,01 - -

6 - 12,94 - - - 59,07 - -

7 - 13,52 - - - 61,34 - -

8 - 14,16 - - - 62,88 - -

9 - 14,80 - - - 66,18 - -

10 - 15,50 - - - 69,37 - -

11 - 16,16 - - - 77,09 - -

12 - 16,80 - - - 87,75 - -

13 - 17,45 - - - 100,89 - -

14 - 18,10 - - - 116,85 - -

39


year underwriting underwriting average

CAT without with effect of

risk diversification diversification diversification

0

1 - 29,84 219,77 182,29 17,1%

2 - 28,34 104,16 98,12 5,8%

3 - 25,17 64,82 60,18 7,2%

4 - 22,20 67,23 60,83 9,5%

5 - 19,43 69,41 61,49 11,4%

6 - 16,82 72,01 62,77 12,8%

7 - 14,38 74,86 64,44 13,9%

8 - 12,14 77,04 65,59 14,9%

9 - 10,02 80,99 68,56 15,4%

10 - 8,07 84,87 71,53 15,7%

11 - 6,21 93,24 79,01 15,3%

12 - 4,47 104,55 89,45 14,4%

13 - 2,86 118,33 102,42 13,4%

14 - 1,37 134,95 118,25 12,4%

40

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico: i rischi assicurativi

Il rischio lapse (decadenza anticipata) è sensibilmente decrescente nei primi anni. Nei primi anni risente del test sul “surrender floor”: il valore imputabile come rischio lapse non può essere inferiore al 30% della differenza fra [valore attuale del] valore di riscatto esigibile e Best Estimate della riserva . Successivamente questo vincolo non ha effetto.

Il rischio di mortalità è poco materiale sul portafoglio di polizze miste. Il rischio di sopravvivenza pur essendo presente nell’elemento di capitale differito,

non va misurato: per ciascun contratto occorre decidere se misurare il rischio di mortalità o quello di sopravvivenza (escluso rischio di sopravvivenza legato ad opzione in rendita)

Il rischio catastrofale si riferisce alla mortalità e non più (come nel QIS3) anche al rischio lapse cioè alle conseguenze del catastrofico abbandono dei contratti non appena il valore di riscatto diviene esigibile..

41


year market default life health non life

0

1 235,21 0,92 182,29 - -

2 446,71 1,89 98,12 - -

3 607,13 2,78 60,18 - -

4 724,66 3,61 60,83 - -

5 802,33 4,39 61,49 - -

6 842,09 5,11 62,77 - -

7 849,92 5,78 64,44 - -

8 830,65 6,42 65,59 - -

9 782,89 7,01 68,56 - -

10 712,39 7,57 71,53 - -

11 618,81 8,06 79,01 - -

12 508,80 8,49 89,45 - -

13 390,30 8,88 102,42 - -

14 280,09 9,23 118,25 - -

42


TOT TOT average

year without 2nd with 2nd effect of BSCR

level of level of diversification

diversification diversification

1 418,43 331,95 20,7% 327,11

2 546,71 481,26 12,0% 518,37

3 670,09 625,65 6,6% 644,92

4 789,10 743,17 5,8% 766,89

5 868,21 821,04 5,4% 848,79

6 909,96 861,29 5,3% 893,14

7 920,13 869,81 5,5% 905,75

8 902,66 851,14 5,7% 890,52

9 858,45 804,66 6,3% 848,43

10 791,49 735,61 7,1% 783,42

11 705,87 645,36 8,6% 699,66

12 606,74 540,60 10,9% 602,27

13 501,60 430,21 14,2% 498,74

14 407,57 333,04 18,3% 406,20

43


year BSCR Thereof and deferred Operational SCR

RPS adj. taxes adj

1 327,11 4,83 - 30,00 357,11

2 518,37 5,16 - 29,98 548,35

3 644,92 5,42 - 29,95 674,88

4 766,89 5,09 - 28,14 795,03

5 848,79 4,78 - 26,43 875,21

6 893,14 4,72 - 24,82 917,96

7 905,75 4,55 - 23,31 929,06

8 890,52 3,11 - 21,89 912,41

9 848,43 2,15 - 20,55 868,99

10 783,42 0,56 - 20,33 803,75

11 699,66 0,16 - 21,85 721,51

12 602,27 0,09 - 23,23 625,49

13 498,74 0,03 - 24,48 523,22

14 406,20 0,02 - 25,60 431,80

44

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico

L’RPS adjustment è piccolo perché nel portafoglio esaminato è piccola la riserva DPF per rivalutazioni discrezionali. Ciò si deve alla garanzia di minimo al 4% che è prossima ai rendimenti futuri prevedibili della gestione separata.

Il Deferred Taxes Adjustment è nullo per prudenza. Tuttora sono presenti diverse interpretazioni da parte delle Compagnie partecipanti. È la riduzione delle riserve per imposte differite a seguito di uno shock (es. shock sui tassi di interesse). Non deve essere inteso come effetto favorevole per l’eventuale cambio di regime fiscale con il passaggio al bilancio di solvibilità 2 .

Il rischio operativo non risente dei benefici di diversificazione con gli altri rischi.

45

Solvency II e forme assicurative rivalutabili: un confronto fra approccio standard e modello stocastico. Il quadro delle ipotesi (1)

Profit sharing thereof thereof thereof overhead

annual premium 1000 initial comm. renewal comm. and service for claims

front end load 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

term, age at entry, age shift, calc.age and sex (0=m, 1=f) 15 40 0 40 0

initial commission 0 0%

on premium on inv.yield initial expenses 0,00%

renewal commission 0% 0,00% claims cost 0,0

renewal expenses (% deposit) 0,00% inflation rate 2,50%

renewal expenses (per contract) 0 SCR unit cost 6%

minimum guaranteed 4%

max invest.yield for the entity 2,00% share for the Entity (gross) 5%

min invest.yield for the entity 0,10%

hipothesis on the concentrations of the cash flows

a) end of year: benefits paid to pol.holder, interests, fee for the sales agencies, renewal expenses

b) beginning of year: premiums, commissions

Mortality table used for pricing and for unit TP SIM1981

initial local dac -

period of amortization 10

Kind of application 0 (pure premium)

46


realistic implied

mortality table lapses surrender free risk free risk segregated

year (IPS55 imp.diff.) penalty spot forward fund inv.

rate rate yield

1 0,000753 0,0% 100,0% 4,70% 4,70% 4,22%

2 0,000757 0,0% 100,0% 4,53% 4,36% 4,31%

3 0,000771 6,0% 32,5% 4,51% 4,48% 4,21%

4 0,000801 6,0% 28,3% 4,53% 4,60% 4,33%

5 0,000861 6,0% 26,0% 4,55% 4,63% 4,30%

6 0,000917 6,0% 23,6% 4,58% 4,71% 4,11%

7 0,000964 6,0% 21,1% 4,61% 4,82% 4,24%

8 0,001034 6,0% 18,6% 4,65% 4,93% 4,60%

9 0,001108 6,0% 16,0% 4,70% 5,06% 4,46%

10 0,001186 6,0% 13,4% 4,74% 5,14% 4,66%

11 0,001279 6,0% 10,8% 4,78% 5,21% 4,33%

12 0,001389 6,0% 8,1% 4,82% 5,21% 4,23%

13 0,001521 6,0% 5,4% 4,85% 5,22% 4,23%

14 0,001681 6,0% 2,7% 4,88% 5,22% 4,21%

15 0,001862 100,0% 0,0% 4,90% 5,22% 4,22%

47


segregated minimum for the entity DPF

fund inv. guaranteed to policyholder year

yield to policyholder

4,22% 4,00% 0,21% 0,01% 1

4,31% 4,00% 0,22% 0,10% 2

4,21% 4,00% 0,21% 0,00% 3

4,33% 4,00% 0,22% 0,12% 4

4,30% 4,00% 0,22% 0,09% 5

4,11% 4,00% 0,11% 0,00% 6

4,24% 4,00% 0,21% 0,03% 7

4,60% 4,00% 0,23% 0,37% 8

4,46% 4,00% 0,22% 0,24% 9

4,66% 4,00% 0,23% 0,43% 10

4,33% 4,00% 0,22% 0,11% 11

4,23% 4,00% 0,21% 0,02% 12

4,23% 4,00% 0,21% 0,02% 13

4,21% 4,00% 0,21% 0,00% 14

4,22% 4,00% 0,21% 0,01% 15

48

48

P. DE ANGELIS

3. Modello stocastico:Opzioni impliciteFonti di rischio e modelli stocastici dinamiciParametri market consistentApplicazioni

4. Considerazioni finali

49

Fasi Operative per la Costruzione di un modello interno

Modello attuariale per il Fair Value del contratto assicurativo: Best Estimate Liability Risk Margin Value:

Quantile Approach vs. Cost of Capital

Definizione processi aleatori delle fonti di rischio e scelta dei modelli stocastici dinamici

Calibratura dei parametri dei processi aleatori Scelta delle misure di rischio

50

Fair Value e Misure di Rischio

“The required capital is defined as the excess of the insurer’s required assets over its liabilities to avoid insolvency over the specified time horizon at some given level of risk tolerance.”

ValueMarginRiskLiabilityEstimateBest

sliabilitie of ValueFair

measureRisk

capital Required

XV

XV

XW

XK

XVXWXK

51s

51

Fonte: CFO Forum

Schema della Struttura Patrimoniale Solvency II compliant

5252

Modello Attuariale FV forme rivalutabili:fonti di incertezza

Assumiamo per il teorico mercato di riferimento le usuali proprietà di efficienza, ovvero l’informazione è disponibile a tutti gli operatori simultaneamente, ciascun operatore agisce razionalmente e non sono possibili profitti da arbitraggio non rischioso.

Siano , rispettivamente, il processo aleatorio del tasso di interesse spot di mercato, il processo aleatorio dell’intensità istantanea di mortalità ed il processo aleatorio del valore del portafoglio finanziario di riferimento, misurabili rispetto alle filtrazioni

,....2,1; trt ,....2,1; ttx

Sr FFF ,,

,....2,1; tS t

5353

Fair Value di un contratto di assicurazione rivalutabile

Componente Base Mista a Capitale Costante- Componente di deposito

Opzione di partecipazione Opzione cliquet - PE pari al Minimo

Opzione in rendita Opzione di tipo europeo – PE pari al reciproco del coeff. Conversione

Opzione di riscatto American-style option

54

54

Fair Value di un contratto di assicurazione rivalutabile: opzioni implicite

Polizza mista rivalutabile a premio annuo costante

Sμ,r,t

tm

1τtxtx

tn

1τtxt F1τp1τtt,Ptnptnt,τ1,τqτtt,CE 1[7]

0

dur ut

et,t il fattore di sconto stocastico tra t e t+τ;

1

:

1

0

:

1,1dudu

tx

uutxuutx

eeqla probabilità stocastica di decesso dell’assicurato

di età x+t nel t+τ - esimo anno di contratto;

0

du

tx

u:utx

epla probabilità stocastica dell’assicurato di età x+t di essere in vita tra τ anni;

τ

0

ut durτ

1kkt eρ1τt,tψ

il prezzo stocastico in t di un zero coupon bond indicizzato con valore nominale unitario e scadenza in t+τ.

5555

Fair Value di un contratto di assicurazione rivalutabile: opzioni implicite

Contratto Base

Contratto Base + Opzione di partecipazione

Contratto rivalutabile + opzione in rendita [Ballotta and Haberman (2003)]

dove il valore a scadenza dell’opzione di conversione in rendita è:

,

11

11/10 1,,,E r

t

ts

txtxts

ts

txBxt FpttPpstqttCFV vvvV

,

11

11/11 1,,,E r

t

ts

txtxtss

ts

txtPxt FpttPpstCqttCFV vvvV

sssxssssxs OTACKaCGCCaCG ,0max,max

,,E rttxtss

Pxt

OTAxt FpstOTAFVFV vVV

56

56

Fair Value di un contratto di assicurazione rivalutabile: opzione di riscatto_backward recursive procedure

Il valore di continuazione al tempo s-1 per la traiettoria j è pari a [Andreatta e Corradin (2003)]:

Al tempo t < s – 1

Fair Value dell’intero contratto

Con opzione di conversione in rendita [Baione, De Angelis, Fortunati (2006)]

PpCaCGqCssvW sxj

sj

sxj

ssxj

sjj

s 1111 ,max,1

PFttvEpttvqCW ttxtxtt 11,ˆ1,]7[

tttT

xt RWFVFV ,max]8[

PpRVAGCCqCnnW nxj

nxj

nj

nnxj

njj

n 1111 ;max,1

5757

Scelta modelli stocastici dinamici

Rischio demografico modello stocastico di tipo Mean-Reverting Brownian Gompertz (MRBG).

Rischio finanziario modello di Cox, Ingersoll e Ross .

58P. De Angelis

58

Rischio demografico - modello MRBG

La dinamica del processo è descritta da un modello stocastico di tipo Mean-Reverting Brownian Gompertz (MRBG); in particolare se

= V.A. durata di vita residua di un assicurato di età x, = intensità istantanea di mortalità stocastica di un

individuo di età x+t, osservata sull’anno di calendario t allora:

,....2,1; ttx

xT

ttx :

00s0 :sProb]2[ FeEFTps

ttx dtxx

59P. De Angelis

59

Rischio demografico - modello MRBG

riassume la correzione di tipo deterministico prodotta contestualmente dalla variazione dell’età e dall’effetto del longevity risk, su cui si innestano perturbazioni aleatorie prodotte dal processo

rappresenta la deviazione standard del processo ;

è un processo mean reverting, la cui dinamica è descritta da:

0[26] 00 :xx

Ytg:xtx ,,gcon,e tx

xg

tYx tx

tY

00[27] 0 b,Y,dWdtbYdYttt

t

Wcon b il coefficiente di mean reverting e moto Browniano standard.

60P. De Angelis

60

Rischio finanziario - modello CIR

Per il processo si assume una dinamica del tipo Mean Reverting Square Root,

il coefficiente di mean reverting,

il tasso normale di lungo periodo,

la volatilità dello spot rate,

un moto Browniano standard.

rtrtt tdWrdtrkdr [28]

r

k

tr

r

tW

61P. De Angelis

61

Rischio finanziario – Processo aleatorio rendimento gestione separata

La dinamica del portafoglio di investimento a cui sono agganciate le prestazioni assicurative: benchmark : prevalente componente obbligazionaria ed una minore

componente azionaria

il valore dello spot rate al tempo t;

il valore dell’indice di riferimento al tempo t;

la volatilità dell’indice;

un moto Browniano standard.

SttSttt dZSdtSrdS [29]

S

tS

tr

S

tW

62

62

Una applicazione del modello di Fair ValueMetodo di calcolo: simulazione numerica di tipo Monte Carlo (n. replicazioni:100.000).

Caratteristiche Contratto A: Premio annuo costante 1.000€

Sesso M

Età all’emissione 40

Antidurata 0

Durata residua 15

Tasso tecnico di attualizzazione 4,00%

Tavola demografica SIM 81

Capitale assicurato iniziale 19.984,23 €

Capitale rivalutato 19.984,23 €

Aliquota di retrocessione 95,0%

Coefficiente di conversione in rendita 7,06%

Penalità del valore di riscatto 5,50% 5,25%

Aliquote di composizione del portafoglio di riferimento:Indice AzionarioIndice Obbligazionario

4,5%95,5%

63

63


Caratteristiche Contratto A1: Premio annuo costante 1.000€

Sesso M


Antidurata 0

Durata residua 15









4,5%95,5%

64

64


Caratteristiche Contratto A2: Premio annuo costante 1.000€

Sesso M


Antidurata 0

Durata residua 15









4,5%95,5%

65

65


Caratteristiche Contratto B: Premio annuo costante 1.000€

Sesso M


Antidurata 5

Durata residua 10









4,5%95,5%

66

66

Stima dei parametri

Modello CIR: calibrazione sulle quotazioni degli interest rate swaps, caps e floors al 31 dicembre 2007.

Modello MRBG : stimatori di massima verosimiglianza sulle variazioni delle intensità istantanee di mortalità osservate sulle tavole di mortalità ISTAT - anni di rilevazione: 1931, 1951, 1961, 1971, 1981, 1991; il parametro è stato ricalibrato in riferimento alla tavola di mortalità IPS55D.

sxg ,

67

67

Stima dei parametri

Stima dei parametri processo rendimento del portafoglio: serie storica delle quotazioni giornaliere del ”JP Morgan GBI EMU” e del “S&P /MIB Index”, osservate sul periodo 01/01/2007-31/12/2007.

Strategia finanziaria della gestione separata ispirata ad una gestione passiva sul benchmark di riferimento.

0,0446 0,5 100

0,0036 0,12 0,03

0,1900 0,11 -0,1

0,0010

tr

0rk

r

tx

b

g

tS

0S

S

S,r

6868

Una applicazione del modello di Fair Value

Figura [1] Percorso Aleatorio del processo del tasso spot

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Anno di Bilancio

r(t)

69

69

Una applicazione del modello di Fair Value

Figura [2] - Percorso Aleatorio del processo dell’intensità istantanea di mortalità (per 1000)

0,80

1,30

1,80

2,30

2,80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Anno di Bilancio

x+t

7070

Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A

Fair Value del contratto ed opzioni

Anno di bilancio

Contratto Base

Componente Rivalutazione

Opzione Minimo

Garantito4%

Opzione di rendita

Opzione di Riscatto

Fair Value Fair Value ContrattoContratto

Riserva Riserva MatematicaMatematica

0 -1.003,63 471,39 848,90 1.046,81 0,00 1.363,471.363,47 0,000,00

5 4.345,72 651,24 1.048,65 1.286,24 0,00 7.331,857.331,85 5.527,795.527,79

10 11.089,02 1.019,00 1.274,20 1.538,37 0,00 14.920,5914.920,59 12.912,4712.912,47

15 19.984,23 1.685,01 1.545,93 1.802,29 0,00 25.017,4725.017,47 23.215,1723.215,17

7171

Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A1


Anno di bilancio

Contratto Base


Opzione Minimo

Garantito2%

Opzione di rendita

Opzione di Riscatto



0 -2.465,49 1.910,80 341,76 971,01 0,00 758,08758,08 0,000,00

5 2.524,67 2.462,69 418,83 1.194,28 0,00 6.600,466.600,46 5.496,305.496,30

10 8.807,76 3.326,71 501,87 1.431,98 0,00 14.068,3214.068,32 12.627,3012.627,30

15 17.074,05 4.679,27 592,25 1.681,76 0,00 24.027,3224.027,32 22.345,5722.345,57

72

72

Riserva Matematica e Fair Value del Contratto A2


Anno di bilancio

Contratto Base


Opzione Minimo

Garantito0%

Opzione di rendita

Opzione di Riscatto



0 -3.675,63 3.272,00 89,64 957,51 0,00 643,51643,51 0,000,00

5 1.015,08 4.175,40 110,87 1.177,04 0,00 6.478,396.478,39 5.569,605.569,60

10 6.905,61 5.508,24 130,34 1.409,78 0,00 13.953,9813.953,98 12.713,0112.713,01

15 14.623,99 7.502,68 152,06 1.654,21 0,00 23.932,9423.932,94 22.278,7322.278,73

73

73

Riserva Matematica e Fair Value del Contratto B


Anno di bilancio

Contratto Base


Opzione Minimo

Garantito4%

Opzione di rendita

Opzione di Riscatto



5 4.422,85 451,88 699,91 1.645,53 0,00 7.220,177.220,17 5.464,865.464,86

10 11.202,64 622,41 864,54 2.024,53 0,00 14.714,1214.714,12 12.344,8012.344,80

13 16.169,53 798,58 972,49 2.261,35 0,10 20.202,0520.202,05 17.703,7417.703,74

15 19.984,23 951,91 1.051,92 2.422,86 0,00 24.410,9324.410,93 21.988,0721.988,07

74

74

Analisi di sensitività dell’opzione di riscatto : Contratto A – senza OTA

Minimo GarantitoCoefficiente Penalità Riscatto

0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%

0,00% 309,12 180,05 72,88 8,44 0,00 0,00 0,00

1,00% 200,86 87,87 20,58 0,84 0,00 0,00 0,00

1,50% 149,68 43,52 12,50 0,00 0,00 0,00 0,00

2,00% 116,00 32,78 5,11 0,00 0,00 0,00 0,00

2,50% 97,73 20,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3,00% 72,51 12,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3,50% 55,54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

4,00% 32,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7575

Analisi di sensitività dell’opzione di riscatto : Contratto A

Coefficiente Conversione Rendita

Coefficiente Penalità Riscatto

0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00%

4,61% 830,96 371,46 104,33 6,54 0,00 0,00 0,00

5,19% 782,61 355,45 106,98 0,95 0,00 0,00 0,00

5,49% 737,96 340,44 98,94 0,00 0,00 0,00 0,00

5,79% 674,50 311,29 89,97 0,00 0,00 0,00 0,00

6,10% 609,55 266,49 77,30 0,00 0,00 0,00 0,00

6,42% 524,18 232,73 60,89 0,00 0,00 0,00 0,00

6,74% 451,33 195,76 38,24 0,00 0,00 0,00 0,00

7,06% 365,67 148,13 17,48 0,00 0,00 0,00 0,00

7676

Analisi di sensitività dell’opzione di conversione in rendita : Contratto A

Minimo GarantitoCoefficiente

Conversione RenditaOpzione Rendita

0,00% 4,61% 9,81

1,00% 5,19% 80,33

1,50% 5,49% 153,47

2,00% 5,79% 242,06

2,50% 6,10% 412,26

3,00% 6,42% 571,18

3,50% 6,74% 749,95

4,00% 7,06% 1.005,00

7777

Alcune considerazioni finali

Implementazione di un modello di Rating per le compagnie vita

7878

Passi operativi per l’implementazione di un modello di Rating per le compagnie vita

Specificazione modello matematico per il Fair Value della riserva matematica

Coerenza con il principio IAS 39

Specificazione processi aleatori implicati dalle fonti di rischio tipiche della gestione assicurativa vita.

Definizione approccio operativo Quantile Approach vs Cost of Capital.

Calibratura coefficiente di sicurezza su dati di mercato.

,, XXKRating

79

79

Collegamento tra Security factor –probabilità di default e rating di impresa.

È possibile fissare una relazione tra il livello di Security Factor (SF) e la probabilità di default, direttamente osservabile sul mercato, ovvero:

essendo Prob_Default: la probabilità annua di default riferita ad una

esposizione al rischio su T anni, per una data classe di rating, osservata sul mercato;

T : una misura del tempo di esposizione al rischio della compagnia rispetto al tempo di run-off del portafoglio.

TSF T0,ob_DefaultPr1

80

80

Ordinamento statistico del FV della riserva matematica

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 104

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Euro

Num

ero

Sim

ulaz

ioni

81

81

Calibratura Market Consistent del coefficiente di sicurezza

Rating Y1 Y5 Y10 Y15

AAA 0,000 0,096 0,443 0,583

AA 0,010 0,293 0,815 1,276

A 0,041 0,586 1,831 2,847

BBB 0,274 2,831 5,824 8,320

BB 1,117 10,653 18,294 21,576

B 5,383 24,161 32,377 37,181

CCC/C 27,021 47,560 53,047 55,896

Rating Y1 Y5 Y10 Y15

AAA 100,000 99,904 99,557 99,417

AA 99,990 99,707 99,185 98,724

A 99,959 99,414 98,169 97,153

BBB 99,726 97,169 94,176 91,680

BB 98,883 89,347 81,706 78,424

B 94,617 75,839 67,623 62,819

CCC/C 72,979 52,440 46,953 44,104

Coefficienti di sicurezza

Fonte: Standard & Poor's CreditPro®

82

82

Capitale Economico e Rating del portafoglio- Contratto A

Rating Security Factor VaRRequisito di Requisito di

CapitaleCapitaleCTE

Requisito di Requisito di CapitaleCapitale

AAA 99,42% 10.992,37 9.157,52 9.157,52 12.102,39 10.267,53 10.267,53

AA 98,72% 9.794,69 7.959,84 7.959,84 11.165,07 9.330,21 9.330,21

A 97,15% 8.167,32 6.332,46 6.332,46 9.930,74 8.095,88 8.095,88

BBB 91,68% 5.618,26 3.783,40 3.783,40 7.790,13 5.955,27 5.955,27

BB 78,42% 2.663,62 828,77 828,77 5.430,63 3.595,77 3.595,77

B 62,82% 1.258,88 0,00 0,00 3.889,40 2.054,54 2.054,54

CCC/C 44,10% 1.258,78 0,00 0,00 3.009,46 1.174,60 1.174,60

FV Riserva 1.363,47

MdSMdS 96,9596,95

83

83

Capitale Economico e Rating del portafoglio- Contratto A1


CapitaleCapitaleCTE


AAA 99,42% 8.635,96 5.967,08 5.967,08 9.604,10 6.935,22 6.935,22

AA 98,72% 7.655,59 4.986,71 4.986,71 8.787,75 6.118,88 6.118,88

A 97,15% 6.356,55 3.687,67 3.687,67 7.811,83 5.142,95 5.142,95

BBB 91,68% 4.164,99 1.496,12 1.496,12 6.024,28 3.355,41 3.355,41

BB 78,42% 1.730,36 0,00 0,00 4.049,94 1.381,06 1.381,06

B 62,82% 646,79 0,00 0,00 2.777,58 108,70 108,70

CCC/C 44,10% 646,71 0,00 0,00 2.064,80 0,00 0,00

FV Riserva 758,08

MdSMdS 88,2288,22

84

84

Capitale Economico e Rating del portafoglio- Contratto A2


CapitaleCapitaleCTE


AAA 99,42% 7.867,37 3.951,85 3.951,85 8.817,97 4.902,45 4.902,45

AA 98,72% 6.908,18 2.992,67 2.992,67 8.020,33 4.104,81 4.104,81

A 97,15% 5.829,27 1.913,75 1.913,75 7.100,85 3.185,33 3.185,33

BBB 91,68% 3.837,64 0,00 0,00 5.511,82 1.596,30 1.596,30

BB 78,42% 1.599,96 0,00 0,00 3.719,61 0,00 0,00

B 62,82% 568,27 0,00 0,00 2.558,53 0,00 0,00

CCC/C 44,10% 568,19 0,00 0,00 1.892,76 0,00 0,00

FV Riserva 643,51

MdSMdS 80,8780,87

85

85

Capitale Economico e Rating del portafoglio- Contratto B


CapitaleCapitaleCTE


AAA 99,56% 18.983,50 11.311,46 11.311,46 20.090,71 12.418,67 12.418,67

AA 99,19% 17.861,99 10.189,95 10.189,95 19.217,35 11.545,31 11.545,31

A 98,17% 16.194,16 8.522,12 8.522,12 17.957,35 10.285,30 10.285,30

BBB 94,18% 13.438,57 5.766,53 5.766,53 15.637,68 7.965,63 7.965,63

BB 81,71% 9.766,34 2.094,30 2.094,30 12.704,41 5.032,37 5.032,37

B 67,62% 7.499,80 0,00 0,00 10.896,25 3.224,21 3.224,21

CCC/C 46,95% 7.129,48 0,00 0,00 9.442,51 1.770,46 1.770,46

FV Riserva 7.220,17

MdSMdS 262,45262,45

8686

Possibili sviluppi scientifici

Management option Simulazione numerica, ottimizzazione

stocastica e procedure di mitigazione del rischio

Procedure di ottimizzazione e regole di allocazione del capitale di rischio

Longevity Bond e applicazioni di finanza matematica al processo aleatorio

87

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Referencees

Bacinello A.R. (2003), Fair Valuation of a Surrender option Embedded in a Guaranteed Life Insurance Partecipating Policy, Journal of Risk and Insurance, 70 (3).

Ballotta L., Haberman S. (2003), Guaranteed Annuity Conversion Options and their Valuation, www.casact.org.

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Grosen A., Jorgensen P.L. (2001), Life Insurance Liabilities at Market Value, Working Paper Series n. 96, Center for Analytical Finance.

Longstaff F. A., Schwartz E. S. (2001), Valuing American Options by Simulation: a Simple Least-Squares Approach, Review of Financial Studies 14, 1.

Milevsky M. A., Promislow S. D. (2001), Mortality Derivatives and the Option to Annuitise, Mathematics & Economics , 29.

Istituto Italiano Attuari Seminario 2 Dicembre 2008 Solvency II e forme assicurative rivalutabili:...

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