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Istituto Comprensivo Tortoreto

Da: agostino_zappacosta@libero.itInviato: mercoledì 23 settembre 2015 17:15A: teic840009@istruzione.it; teic82900e@istruzione.it; teic825007@istruzione.it; teic826003

@istruzione.it; teic83500t@istruzione.it; teic83600n@istruzione.it; teic842001@istruzione.it; teic84300r@istruzione.it; teic83700d@istruzione.it; teic811009@istruzione.it; teic82800p@istruzione.it; teic83000p@istruzione.it; tevc010007@istruzione.it; teis00300e@istruzione.it; tesd01000d@istruzione.it; teps02000n@istruzione.it; teis01100d@istruzione.it; teis00100v@istruzione.it; tepc030005@istruzione.it; teis00400a@istruzione.it; teis012009@istruzione.it; teps010003@istruzione.it; tepm010004@istruzione.it; tetd080005@istruzione.it; teis00800n@istruzione.it

Oggetto: Invio 6 allegati relazione presentata al Convegno di Chieti (16-17-18 aprile 2015)Allegati: All-E_17-04-2015_Quadrati_cubi_Tino_Costa_Mago_dei_Numeri_Chieti.doc; All-D-_

11-02-2015_99_e_i_suoi_prodotti_magici_4_cifre.doc; All-C_04-03-2015_Numeri_ciclici_Un_quartetto_famoso_17-19-23-29.docx; All-B_17-04-2015_Convegno_CH_Tino_Costa_142857_creato da_2_e_5.docx; all-A_Dai_numeri_dispari_ai_quadrati_cubi_quarte_potenze.doc; 17-04-2015_Convegno_CH_Tino_Costa_Giocando_numeri_naturali.doc

Priorità: Alta

6 allegati:

1. 17-04-2015_Convegno: CH_Tino_Costa_Giocando_numeri_naturali; 2. Allegato A – Dai_numeri_dispari_ai_quadrati_cubi_quarte_potenze; 3. Allegato – B – Numero_ciclico_142857_creato_da_2_e_5; 4. Allegato – C – Numeri_Ciclici_quartetto_famoso_17-19-23-29; 5. Allegato – D – Prodotti_magici_4_cifre_di_99; 6. Allegato – E – Tabella_seconde_terze_quarte_potenze_numeri_1-100._

Oggetto: Invio 6 allegati relazione presentata al Convegno di Chieti (16-17-18 aprile 2015)

Gentilissimi Dirigenti Scolastici, Vi invio gli allegati relativi alla relazione: <Giocando con i numeri maturali> presentata il 17 aprile 2015 in occasione del Convegno indicato in oggetto, con preghiera di darne ampia diffusione ai docenti ed amici interessati all’argomento. Ho ricevuto moltissime richieste sia da chi ha partecipato al Convegno che da altri appassionati, che, per i più disparati motivi, non hanno avuto la possibilità di poter partecipare al suddetto Convegno. Ho fatto trascorrere i mesi estivi, che quest’anno sono risultati torridi. Adesso con il tempo più mite si riesce a lavorare più agevolmente. Perciò vi mando questo messaggio. Siccome non ho gli indirizzi dei colleghi, Vi chiedo di comunicare ai docenti interessati e soprattutto a quelli di sostegno, L’allegato 1 è il testo vero e proprio della relazione che è stata sviluppata, volutamente, in modo semplice e abbastanza analitica. Non deve essere stampato, ma solo letto. Gli altri allegati, invece, se i docenti lo ritengono opportuno, si possono stampare. L’allegato 1 funge da promemoria. E’ compito dei singoli docenti tagliare, ampliare, eliminare tutto ciò che ritengono banale, assodato. Quindi questo promemoria deve essere personalizzata (adattata alle

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esigenze dei diversi docenti) Una volta ridotte le dimensioni dei caratteri, il documento dovrebbe essere sintetizzato in 4-5 pagine. Le richieste di informazioni, eventuali Vostre osservazioni, sempre gradite, si possono fare via e-mail al mio indirizzo: agostino_zappacosta@libero.it; oppure per telefono: umero:0871 – 781458 (laboratorio di matematica) oppure 0871-451287 (abitazione) o cellulare: 340 - 4747952. Un cordiale saluto, Prof. Agostino Zappacosta (Tino Costa: il mago dei numeri) Chieti 22 settembre 2015 P. S.: Insieme alla Commissione, stiamo preparando la decima edizione dei Giochi di Achille e la tartaruga. Si svolgerà il 10 dicembre 2015. Tra qualche giorno invieremo il relativo Regolamento alle Scuole. Se qualcuno di Voi è interessato al Regolamento può farne esplicita richiesta. Prevediamo di festeggiare degnamente questo DECIMO ANNIVERSARIO!! --------------------------------- Prof. Agostino Zappacosta Via della Liberazione, 67 66100 – Chieti – ITALIA Tel. mobile: 340-4747952; Tel. fisso: +039-0871-451287. agostino_zappacosta@libero.it

17-04-2015_Congresso_CH_Prime_3_potenze_numeri_1-99_Tino_Costa_ Mago_dei_Numeri Pag. 1

Numeri 1-99: potenze seconde, terze e quarte

n n2 n3 n4 1 000 001 000 001 000 000 001 2 000 004 000 008 000 000 016 3 000 009 000 027 000 000 081 4 000 016 000 064 000 000 256 5 000 025 000 125 000 000 625 6 000 036 000 216 000 001 296 7 000 049 000 343 000 002 401 8 000 064 000 512 000 004 096 9 000 081 000 729 000 006 561 10 000 100 001 000 000 010 000

11 000 121 001 331 000 014 641 12 000 144 001 728 000 020 736 13 000 169 002 197 000 028 561 14 000 196 002 744 000 038 416 15 000 225 003 375 000 050 625 16 000 256 004 096 000 065 536 17 000 289 004 913 000 083 521 18 000 324 005 832 000 104 976 19 000 361 006 859 000 130 321 20 000 400 008 000 000 160 000

21 000 441 009 261 000 194 481 22 000 484 010 648 000 234 256 23 000 529 012 167 000 279 841 24 000 576 013 824 000 331 776 25 000 625 015 625 000 390 625 26 000 676 017 576 000 456 976 27 000 729 019 683 000 531 441 28 000 784 021 952 000 614 656 29 000 841 024 389 000 707 281 30 000 900 027 000 000 810 000

31 000 961 029 791 000 923 521 32 001 024 032 768 001 048 576 33 001 089 035 937 001 185 921 34 001 156 039 304 001 336 336 35 001 225 042 875 001 500 625 36 001 296 046 656 001 679 616 37 001 369 050 653 001 874 161 38 001 444 054 872 002 085 136 39 001 521 059 319 002 313 441 40 001 600 064 000 002 560 000

41 001 681 068 921 002 825 761 42 001 764 074 088 003 111 696 43 001 849 079 507 003 418 801 44 001 936 085 184 003 748 096 45 002 025 091 125 004 100 625 46 002 116 097 336 004 477 456 47 002 209 103 823 004 879 681 48 002 304 110 592 005 308 416 49 002 401 117 649 005 764 801

n n2 n3 n4 99 009 801 970 299 006 765 201 98 009 604 941 192 096 059 601 97 009 409 912 673 092 236 816 96 009 216 884 736 088 529 281 95 009 025 857 375 084 934 656 94 008 836 830 584 081 450 625 93 008 649 804 357 078 074 896 92 008 464 778 688 074 805 201 91 008 281 753 571 071 639 296 90 008 100 729 000 068 574 961

89 007 921 704 969 065 610 000 88 007 744 681 472 062 742 241 87 007 569 658 503 059 969 536 86 007 396 636 056 057 289 761 85 007 225 614 125 054 700 816 84 007 056 592 704 052 200 625 83 006 889 571 787 049 787 136 82 006 724 551 368 047 458 321 81 006 561 531 441 045 212 176 80 006 400 512 000 043 046 721

79 006 241 493 039 040 96 0000 78 006 084 474 552 038 950 081 77 005 929 456 533 037 015 056 76 005 776 438 976 035 153 041 75 005 625 421 875 033 362 176 74 005 476 405 224 031 640 625 73 005 329 389 017 029 986 576 72 005 184 373 248 028 398 241 71 005 041 357 911 026 873 856 70 004 900 343 000 025 411 681

69 004 761 328 509 024 010 000 68 004 624 314 432 022 667 121 67 004 489 300 763 021 381 376 66 004 356 287 496 020 151 121 65 004 225 274 625 018 974 736 64 004 096 262 144 017 850 625 63 003 969 250 047 016 777 216 62 003 844 238 328 015 752 961 61 003 721 226 981 014 776 336 60 003 600 216 000 013 845 841

59 003 481 205 379 012 960 000 58 003 364 195 112 012 117 361 57 003 249 185 193 011 316 496 56 003 136 175 616 010 556 001 55 003 025 166 375 009 834 496 54 002 916 157 464 009 150 625 53 002 809 148 877 008 503 056 52 002 704 140 608 007 890 481 51 002 601 132 651 007 311 616

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Allegato D 99 e i suoi prodotti magici Partendo dalle proprietà del prodotto di due numeri di due cifre che danno come risultato un numero di quattro cifre ci soffermiamo ad analizzare il numero 99. Il discorso diventa molto interessante se, sempre partendo da 99, andiamo a calcolare i prodotti con cinque, sei, sette ,..cifre!!! In questa rassegna ci fermiamo a prodotti con sole quattro cifre. Se nella moltiplicazione adopero il numero 10 (il più piccolo numero di 2 cifre), moltiplicandolo per 99 (il numero più grande di due cifre) non otterrò un prodotto di quattro cifre perché 10 x 99 dà 990 che ha solo tre cifre. Per essere sicuri di ottenere un prodotto di quattro cifre, se adopero come fattore fisso 99, l’altro dovrà essere maggiore di 10. Nella tabella seguente sono riportati tutti i fattori che moltiplicati per 99 dànno per risultato un numero con solo quattro cifre. 99x Pr. 99x Pr. 99x Pr. 99x Pr. 99x Pr. 99x Pr. 99x Pr. 11 1089 24 2376 37 3663 50 4950 63 6237 76 7524 89 8811 12 1188 25 2475 38 3762 51 5049 63 6336 77 7623 90 8910 13 1287 26 2574 39 3861 52 5148 65 6435 78 7722 91 9009 14 1386 27 2673 40 3960 53 5247 66 6534 79 7821 92 9108 15 1485 28 2772 41 4059 54 5346 67 6633 80 7920 93 9207 16 1584 29 2871 42 4158 55 5445 68 6732 81 8019 94 9306 17 1683 30 2970 43 4257 56 5544 69 6831 82 8118 95 9405 18 1782 31 3069 44 4356 57 5643 70 6930 83 8217 96 9504 19 1881 32 3168 45 4455 58 5742 71 7029 84 8316 97 9603 20 1980 33 3267 46 4554 59 5841 72 7128 85 8415 98 9702 21 2079 34 3366 47 4653 60 5940 73 7227 86 8514 99 9801 22 2178 35 3465 48 4752 61 6039 74 7326 87 8613 23 2277 36 3564 49 4851 62 6138 75 7425 88 8712 Dallo studio ed osservazione attenta di questa tabella, vogliamo scoprire alcune proprietà: Le prime due cifre del prodotto sono uguali all’altro fattore diminuito di 1. Le due cifre seguenti (delle decine ed unità) formano un numero che risulta complemento a 99 rispetto al numero formato con le prime due cifre (migliaia e centinaia). Esempio: 36 x 99 = 3564 che è un numero di 4 cifre. Il numero formato dalle prime due cifre (sottolineate) è 35 è proprio inferiore di 1 rispetto all’altro fattore (in questo esempio 36). Le restanti due cifre forma un numero (in questo caso 64) che non è altro che il complementare a 99 di 35. Infatti 64 + 35 = 99. Questa proprietà mi permette di calcolare mentalmente qualsiasi moltiplicazione di 99 per qualsiasi numero di due cifre!!!!

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Esempio: Se devo moltiplicare 99 per 53, basta scrivere prima il precedente di 53 cioè 52 seguito dal suo complemento a 99 di 52 che si calcola velocemente con una semplice sottrazione: cioè 99 – 52 = = 47. A fianco di 52 scriveremo, perciò, 47 ottenendo 5247 che è proprio il risultato della moltiplicazione di 53 per 99!!!! Analizziamo adesso qualche altra proprietà STRABILIANTE!!!!Quasi Magica. 11 x 99 = 1089 mentre 99 x 99 = 9801 → i risultati risultano invertiti: 1089 diventa 9801 !!! 12 x 99 = 1188 mentre 89 x 99 = 8811 → i risultati risultano invertiti 13 x 99 = 1287 mentre 79 x 99 = 7821 → i risultati risultano invertiti 14 x 99 = 1386 mentre 69 x 99 = 6831 → i risultati risultano invertiti 15 x 99 = 1485 mentre 59 x 99 = 5841 → i risultati risultano invertiti 16 x 99 = 1584 mentre 49 x 99 = 4851 → i risultati risultano invertiti 17 x 99 = 1683 mentre 39 x 99 = 3861 → i risultati risultano invertiti 18 x 99 = 1782 mentre 29 x 99 = 2871 → i risultati risultano invertiti 19 x 99 = 1881 mentre 19 x 99 = 1881 → i risultati risultano invertiti 20 x 99 = 1980 mentre 09 x 99 = 0891 → i risultati risultano invertiti Nella prima serie di prodotti (da 11 per 99 fino a 20 per 99) la cifra 1 (delle migliaia) e la cifra 8 (delle decine) restano fisse. Entrambe le cifre sono complemento a 9 (la loro somma vale 9!!!). Nella seconda serie di prodotti (da 99, 89, 79, 69, … , 09 per 99) la cifra 1 (adesso alle unità) e la cifra 8 (adesso alle centinaia) restano fisse e sono l’una complemento all’altra rispetto a 9). Le altre due cifre (delle centinaia e delle unità) procedono in senso inverso (la prima va aumentando da 0 a 9 mentre la seconda va diminuendo da 9 a 0) Ma continuiamo!!!! 21 x 99 = 2079 mentre 98 x 99 = 9702 → i risultati risultano invertiti 22 x 99 = 2178 mentre 88 x 99 = 8712 → i risultati risultano invertiti 23 x 99 = 2277 mentre 78 x 99 = 7722 → i risultati risultano invertiti 24 x 99 = 2376 mentre 68 x 99 = 6732 → i risultati risultano invertiti 25 x 99 = 2475 mentre 58 x 99 = 5742 → i risultati risultano invertiti 26 x 99 = 2574 mentre 48 x 99 = 4752 → i risultati risultano invertiti 27 x 99 = 2673 mentre 38 x 99 = 3762 → i risultati risultano invertiti 28 x 99 = 2772 mentre 28 x 99 = 2772 → i risultati risultano invertiti 29 x 99 = 2871 mentre 18 x 99 = 1782 → i risultati risultano invertiti 30 x 99 = 2970 mentre 08 x 99 = 0792 → i risultati risultano invertiti Nella prima serie di prodotti (da 21 per 99 fino a 30 per 99) la cifra 2 (delle migliaia) e la cifra 7 (delle decine) restano fisse. Entrambe le cifre sono complemento a 9 (la loro somma vale 9!!!). Le altre due cifre (delle centinaia e delle unità) procedono in senso inverso (la prima va aumentando da 0 a 9 mentre la seconda va diminuendo da 9 a 0) Nella seconda serie di prodotti (da 98. 88, 78, 68, ….08 per 99) la cifra 2 (adesso alle unità) e la cifra 7 (adesso alle centinaia) restano fisse e sono l’una complemento all’altra rispetto a 9). Ma continuiamo!!!!

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31 x 99 = 3069 mentre 97 x 99 = 9603 → i risultati risultano invertiti 32 x 99 = 3168 mentre 87 x 99 = 8613 → i risultati risultano invertiti 33 x 99 = 3267 mentre 77 x 99 = 7623 → i risultati risultano invertiti 34 x 99 = 3366 mentre 67 x 99 = 6633 → i risultati risultano invertiti 35 x 99 = 3465 mentre 57 x 99 = 5643 → i risultati risultano invertiti 36 x 99 = 3564 mentre 47 x 99 = 4653 → i risultati risultano invertiti 37 x 99 = 3663 mentre 37 x 99 = 3663 → i risultati risultano invertiti 38 x 99 = 3762 mentre 27 x 99 = 2673 → i risultati risultano invertiti 39 x 99 = 3861 mentre 17 x 99 = 1683 → i risultati risultano invertiti 40 x 99 = 3960 mentre 07 x 99 = 0693 → i risultati risultano invertiti Si ripetono le stesse proprietà indicate sopra. Adesso le cifre che restano fisse (3 e 6 nella prima serie; 6 e 3 nella seconda) risultano sempre l’una complemento all’altra rispetto a 9). Ma continuiamo!!!! 41 x 99 = 4059 mentre 96 x 99 = 9504 → i risultati risultano invertiti 42 x 99 = 4158 mentre 86 x 99 = 8514 → i risultati risultano invertiti 43 x 99 = 4257 mentre 76 x 99 = 7524 → i risultati risultano invertiti 44 x 99 = 4356 mentre 66 x 99 = 6534 → i risultati risultano invertiti 45 x 99 = 4455 mentre 56 x 99 = 5544 → i risultati risultano invertiti 46 x 99 = 4554 mentre 46 x 99 = 4554 → i risultati risultano invertiti 47 x 99 = 4653 mentre 36 x 99 = 3564 → i risultati risultano invertiti 48 x 99 = 4752 mentre 26 x 99 = 2574 → i risultati risultano invertiti 49 x 99 = 4851 mentre 16 x 99 = 1584 → i risultati risultano invertiti 50 x 99 = 4950 mentre 06 x 99 = 0594 → i risultati risultano invertiti Si ripetono le stesse proprietà indicate sopra. Adesso le cifre che restano fisse (4 e 5 nella prima serie; 5 e 4 nella seconda) risultano sempre l’una complemento all’altra rispetto a 9). Ma continuiamo!!!! 51 x 99 = 5049 mentre 95 x 99 = 9405 → i risultati risultano invertiti 52 x 99 = 5148 mentre 85 x 99 = 8415 → i risultati risultano invertiti 53 x 99 = 5247 mentre 75 x 99 = 7425 → i risultati risultano invertiti 54 x 99 = 5346 mentre 65 x 99 = 6435 → i risultati risultano invertiti 55 x 99 = 5445 mentre 55 x 99 = 5445 → i risultati risultano invertiti 56 x 99 = 5544 mentre 45 x 99 = 4455 → i risultati risultano invertiti 57 x 99 = 5643 mentre 35 x 99 = 3465 → i risultati risultano invertiti 58 x 99 = 5742 mentre 25 x 99 = 2475 → i risultati risultano invertiti 59 x 99 = 5841 mentre 15 x 99 = 1485 → i risultati risultano invertiti 60 x 99 = 5940 mentre 05 x 99 = 0495 → i risultati risultano invertiti Si ripetono le stesse proprietà indicate sopra. Adesso le cifre che restano fisse (5 e 4 nella prima serie e 4 e 5 nella seconda) risultano sempre l’una complemento all’altra rispetto a 9). Ma continuiamo!!!!

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61 x 99 = 6039 mentre 94 x 99 = 9306 → i risultati risultano invertiti 62 x 99 = 6138 mentre 84 x 99 = 8316 → i risultati risultano invertiti 63 x 99 = 6237 mentre 74 x 99 = 7326 → i risultati risultano invertiti 64 x 99 = 6336 mentre 64 x 99 = 6336 → i risultati risultano invertiti 65 x 99 = 6435 mentre 54 x 99 = 5346 → i risultati risultano invertiti 66 x 99 = 6534 mentre 44 x 99 = 4356 → i risultati risultano invertiti 67 x 99 = 6633 mentre 34 x 99 = 3366 → i risultati risultano invertiti 68 x 99 = 6732 mentre 24 x 99 = 2376 → i risultati risultano invertiti 69 x 99 = 6831 mentre 14 x 99 = 1386 → i risultati risultano invertiti 70 x 99 = 6930 mentre 04 x 99 = 0396 → i risultati risultano invertiti Si ripetono le stesse proprietà indicate sopra. Adesso le cifre che restano fisse (6 e 3 nella prima serie e 3 e 6 nella seconda) risultano sempre l’una complemento all’altra rispetto a 9). Ma continuiamo!!!! 71 x 99 = 7029 mentre 93 x 99 = 9207 → i risultati risultano invertiti 72 x 99 = 7128 mentre 83 x 99 = 8217 → i risultati risultano invertiti 73 x 99 = 7227 mentre 73 x 99 = 7227 → i risultati risultano invertiti 74 x 99 = 7326 mentre 63 x 99 = 6237 → i risultati risultano invertiti 75 x 99 = 7425 mentre 43 x 99 = 5247 → i risultati risultano invertiti 76 x 99 = 7524 mentre 43 x 99 = 4257 → i risultati risultano invertiti 77 x 99 = 7623 mentre 33 x 99 = 3267 → i risultati risultano invertiti 78 x 99 = 7722 mentre 23 x 99 = 2277 → i risultati risultano invertiti 79 x 99 = 7821 mentre 13 x 99 = 1287 → i risultati risultano invertiti 80 x 99 = 7920 mentre 03 x 99 = 0297 → i risultati risultano invertiti Si ripetono le stesse proprietà indicate sopra. Adesso le cifre che restano fisse (7 e 2 nella prima serie e 2 e 7 nella seconda) risultano sempre l’una complemento all’altra rispetto a 9). Ma continuiamo!!!! 81 x 99 = 8019 mentre 92 x 99 = 9108 → i risultati risultano invertiti 82 x 99 = 8118 mentre 82 x 99 = 8118 → i risultati risultano invertiti 83 x 99 = 8217 mentre 72 x 99 = 7128 → i risultati risultano invertiti 84 x 99 = 8316 mentre 62 x 99 = 6138 → i risultati risultano invertiti 85 x 99 = 8415 mentre 52 x 99 = 5148 → i risultati risultano invertiti 86 x 99 = 8514 mentre 42 x 99 = 4158 → i risultati risultano invertiti 87 x 99 = 8613 mentre 32 x 99 = 3168 → i risultati risultano invertiti 88 x 99 = 8712 mentre 22 x 99 = 2178 → i risultati risultano invertiti 89 x 99 = 8811 mentre 12 x 99 = 1188 → i risultati risultano invertiti 90 x 99 = 8910 mentre 02 x 99 = 0198 → i risultati risultano invertiti Si ripetono le stesse proprietà indicate sopra. Adesso le cifre che restano fisse (8 e 1 nella prima serie e 1 e 8 nella seconda) risultano sempre l’una complemento all’altra rispetto a 9). Ma continuiamo!!!!

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91 x 99 = 9009 mentre 91 x 99 = 9009 → i risultati risultano invertiti 92 x 99 = 9108 mentre 81 x 99 = 8019 → i risultati risultano invertiti 93 x 99 = 9207 mentre 71 x 99 = 7029 → i risultati risultano invertiti 94 x 99 = 9306 mentre 61 x 99 = 6039 → i risultati risultano invertiti 95 x 99 = 9405 mentre 51 x 99 = 5049 → i risultati risultano invertiti 96 x 99 = 9504 mentre 41 x 99 = 4059 → i risultati risultano invertiti 97 x 99 = 9603 mentre 31 x 99 = 3069 → i risultati risultano invertiti 98 x 99 = 9702 mentre 21 x 99 = 2079 → i risultati risultano invertiti 99 x 99 = 9801 mentre 11 x 99 = 1089 → i risultati risultano invertiti 100 x 99 = 9900 mentre 01 x 99 = 0099 → i risultati risultano invertiti 101 x 99 = 9999 Si ripetono le stesse proprietà indicate sopra. Adesso le cifre che restano fisse (9 e 0 nella prima serie e 0 e 9 nella seconda) risultano sempre l’una complemento all’altra rispetto a 9).

Come si spiegano queste proprietà???

E’ spiegabile per il semplice fatto ché i criteri di divisibilità per 9 e per 11 valgono anche se si invertono le cifre. E’ chiaro che invertendo le cifre, cambiando il risultato finale; restando fisso il fattore 99, cambierà di conseguenza l’altro fattore. Ciò non si verifica con gli altri criteri: per es.: 315 è divisibile per 5 mentre 513 non lo è!!! per es.: 324 è divisibile per 4 mentre 423 non lo è!!! per es.: 1324 è divisibile per 13 mentre 4231 non lo è!!! …………………….. Continuate voi!!! Grazie Partite da 102 x 99 ottenendo un prodotto di cinque cifre!!

Allegato C Un quartetto famoso: 17, 19, 23, 29.

Sono tutti numeri primi.Sono consecutivi.I loro reciproci danno cifre periodiche il cui periodo ha una cifra in meno del numero stesso.1/17 = 0,0588235294117647 0588235294117647 0588….. ha un periodo di 16 cifre: 05882352 94117647.1/19 = 0,052631578947368421 052631578947 ………ha un periodo di 18 cifre: 052631578 947368421.1/23 = 0,0434782608695652173913 0434782608695652173913…….ha un periodo di 22 cifre: 04347826086 95652173913.1/29 = 0, 0344827586206896551724137931 0344827586206896551724137931…. periodo di 28 cifre: 03448275862068 96551724137931.

Sono tutti numeri ciclici o circolari che hanno proprietà magiche straordinarie.Ne indico solo alcune:

A)Moltiplicando questi numeri per qualsiasi numero otteniamo la stessa sequenza di cifre (che si susseguono nello stesso ordine) iniziando da un’altra cifra.Esempio 1: 05882352 94117647 x 3 = 17647058 82352 941.

Otteniamo ancora 16 cifre in cui le prime otto sono rispettivamente complemento a 9 rispetto allerestanti otto cifre. Esempio 2: 052631578 947368421 x 15 = 789473684 210526315

Otteniamo ancora 18 cifre in cui le prime nove sono rispettivamente complemento a 9 rispetto alle restanti nove cifre.Esempio 3: 04347826086 95652173913 x 10 = 4347826086 9 56521739130.

Otteniamo ancora 22 cifre in cui le prime undici sono rispettivamente complemento a 9 rispetto alle restanti undici cifre.Esempio 4: 03448275862068 96551724137931 x 20 = 68965517241379 31034482758620

Otteniamo ancora 28 cifre in cui le prime 14 sono rispettivamente complemento a 9 rispetto alle restanti 14 cifre.

Se però il numero che abbiamo scelto è 17, 19, 23 o 29, allora i relativi prodotti daranno una successione di 16, 18, 22 o 28 nove (9999 )Se poi il numero scelto è un multiplo di ciascuno di questi quattro (17, 19, 23, 29) i relativi prodottisaranno i corrispondenti multipli 9.

1) 05882352 94117647 x 85 = 49999999999999995 = 5 x 9999999999999999; infatti 85 è multiplo di 17 secondo il numero 5!!!

2) 052631578 947368421 x 171 = 899999999999999991 = 9 x 999999999999999999; infatti171 è multiplo 19 secondo il multiplo 9!!

3) 0434782608695652173913 x 161 = 69999999999 99999999993 = = 7 x 9999999999999999999999; infatti 161 è multiplo di 23 secondo il numero 7.4) 03448275862068 96551724137931 x 261 =

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B)Se spezziamo il numero 05882352 94117647 in due parti uguali (05882352 94117647); in quattro parti uguali (0588 2352 9411 7647); in 8 parti uguali (05 88 23 52 94 11 76 47) o in 16 parti uguali (0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7) otteniamo sempre una sequenza di 9 o suoi multipli(05882352 + 94117647 = 99999999);(0588 + 2352 + 9411 + 7647 = 19998 = 2 x 9999);(05 + 88 + 23 + 52 + 94 + 11 + 76 + 47 = 396 = 4 x 99);(0 + 5 + 8 + 8 + 2 + 3 + 5 + 2 + 9 + 4 + 1 + 1 + 7 + 6 + 4 + 7 = 72 = 8 x 9).I numeri ciclici, o circolari, sono particolari in quanto moltiplicandoli per qualsiasi numero, sommando o facendo altre curiose operazioni, danno come risultato sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano come se l'ultima fosse attaccata alla prima.

Riportiamo qualche esempio solo per il numero ciclico: 05882352 94117647.

Per gli altri valgono le stesse proprietà anche se sarà necessario operare con numeri che hanno più cifre!!!!!

1/171 x 0588235294117647 05882352 94117647 2 x 0588235294117647 11764705 88235294 3 x 0588235294117647 17647058 82352941 4 x 0588235294117647 23529411 764705885 x 0588235294117647 29411764 705882356 x 0588235294117647 35294117 647058827 x 0588235294117647 41176470 588235298 x 0588235294117647 47058823 529411769 x 0588235294117647 52941176 4705882310 x 0588235294117647 58823529 4117647011 x 0588235294117647 64705882 3529411712 x 0588235294117647 70588235 2941176413 x 0588235294117647 76470588 2352941114 x 0588235294117647 82352941 1764705815 x 0588235294117647 88235294 1176470516 x 0588235294117647 94117647 0588235217 x 0588235294117647 99999999 99999999.

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Allegato_B 142857 accoppiato ai “geni” di 1010 = 2 x 5. Partendo da 7 e moltiplicandolo ripetutamente per 2 o per 5 (chiamati “geni” di 10), sommando opportunamente i risultati, riotteniamo 142857!!!! (vedi le due tabelle)

(Tabella 1) Iterazioni di 7 x 2

1 4

2 8

56

1 12

2 24

4 48

8 96

17 92

35 84

71 68

1 43 36

Si legge da sinistra a destra (siamo partiti da sinistra!!!)

1 4 2 8 57 14 28 57 14 28 57 .………..

(Tabella 2) Iterazioni di 7 x 5

7

3 5

1 7 5

8 7 5

4 3 7 5

2 1 8 7 5

1 0 9 3 7 5

5 4 6 8 7 5

2 7 3 4 3 7 5

1 3 6 7 1 8 7 5

6 8 3 5 9 3 7 5

3 4 1 7 9 6 8 7 5

.……….. 3 7 5

.……….. 8 7 5

.……….. 3 7 5

Si legge, a ritroso, per blocchi di sei cifre (siamo partiti da destra!!)

.……………………. 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7

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Allegato A Dai numeri dispari ai quadrati, ai cubi e alle quarte potenze. Si parte sempre da 1 e si sommano via via i primi due, tre, quattro, … numeri dispari consecutivi: si ottengono in questo modo i quadrati di 1, 2, 3, 4, … 1= 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 +5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 = 64 = 82 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 = 81 = 92 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 + 19 = 100 = 102 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 + 19 + 21= 121 = 112 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 144 = 122 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 169 = 132 ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. Adesso partiamo da 1. Dopo ripartiamo da dove ci siamo fermati e sommiamo i due dispari presenti dopo il primo. Poi prendiamo i tre dispari che ci sono dopo i primi tre già presi e così via. 1= 13 3 + 5 = 8 = 23 7 + 9 +11 = 27 = 33 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 53 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 63 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343 = 73 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 512 = 83 73 + 75 + 77 + 79 + 81 + 83 +85 + 87 + 89 = 729 = 93 91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 +105 + 107 + 109 = 1000 = 103 111 + 113 + 115 + 117 + 119 + 121 + 123 +125 + 127 + 129 + 131 = 1331 = 113 133 + 135 + 137 + 139 + 141 + 143 +145 + 147 + 149 + 151 + 153 + 155 = 1728 = 123 157 + 159 + 161 + 163 +165 + 167 + 169 + 171 + 173 + 175 + 177 + 179 + 181 = 2197 = 133 ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. E’ più facile riconoscere se un numero è un quadrato perfetto o un cubo perfetto (terza potenza perfetta)? Risposta: E’ più facile riconoscere il quadrato perché un quadrato perfetto può avere per ultima cifra solo: 0, 1, 4, 5, 6 e 9. Se un numero finisce, per es. per 2, 8, 3 o 7 non è un quadrato perfetto. Invece, i cubi sono più difficili da riconoscere, in quanto possono finire con una qualunque delle dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).

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Dai numeri dispari alle quarte potenze. Si parte sempre da 1 e si sommano via via i numeri dispari consecutivi per 14 ne prendo 12 cioè 1; per 24 ne prendo 22 cioè 4 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 34 ne prendo 32 cioè 9 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 44 ne prendo 42 cioè 16 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 54 ne prendo 52 cioè 25 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 64 ne prendo 62 cioè 36 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 74 ne prendo 72 cioè 49 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 84 ne prendo 82 cioè 64 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 94 ne prendo 92 cioè 81 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 104 ne prendo 102 cioè 100 numeri dispari consecutivi a partire da 1; per 114 ne prendo 112 cioè 121 numeri dispari consecutivi a partire da 1; ….. ….. ….. ….. ….. ….. Si ottengono in questo modo le quarte potenze di 1, 2, 3, 4, … 1= 14 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 24 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 = 81 = 34 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 +29 + 31= (1+31) + (3+29) + (5 + 27) + (7+ 25) + (9 + 23) + (11 + 21) + (13 + 19 +(15 + 17) = 8x32 = 256 = 44 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 + 19 + 21 + 23 +25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 = (1+49) + (3+47) + …. + (21 + 29) + (23 + 27) + 25 = 12x50 + 25 = = 600 + 25 = 625 = 54 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +15 + 17 + 19 + 21 + 23 +25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 + 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 + 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71= (1+71) + (3+69) + …. + (33 + 39) + (35 + 37) = 18x72 = 1296 = 64 ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. E’ più facile riconoscere se un numero è un quadrato perfetto, un cubo perfetto (terza potenza perfetta) o una quarta potenza? Risposta: E’ più facile riconoscere il quadrato perché un quadrato perfetto può avere per ultima cifra solo: 0, 1, 4, 5, 6 e 9. Se un numero finisce, per es. per 2, 8, 3 o 7 non è un quadrato perfetto. Invece, i cubi sono più difficili da riconoscere, in quanto possono finire con una qualunque delle dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Le quarte potenze sono più facili da riconoscere, anche rispetto ai quadrati, in quanto possono finire solo con le cifre 0, 1, 5 e 6 (mai per 4 o 9; peggio ancora per 2, 8, 3 o 7).

Chieti 03/04/2009 – Prof. Agostino Zappacosta

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Giocare con i numeri naturali

Il mago dei Numeri: Tino Costa Convegno Chieti 16-17-18 aprile 2015

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Giocare con i numeri naturali è una

delle attività più belle ed appassionanti che

danno delle soddisfazioni e dei piaceri

particolari; scoprire l’armonia dei numeri,

riuscire a scoprire, sentire e gustare la loro

musica ……non si può descrivere!!!

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Compito dell’insegnante è quello di stuzzicare,

stimolare la fantasia, l’immaginazione dei

ragazzi che attraversano il periodo più bello

della loro vita: proprio quello che va dai 4

ai 14 anni: non perdiamo questa occasione!!!

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Dò solo qualche spunto ….

Esercitiamo i ragazzi a lavorare con i numeri naturali, spezzandoli, ricomponendoli,

facendo fare (ai numeri!) capriole, looping,

atterraggi, decolli più o meno morbidi…..

applicando delle regole a piacere e cercando di carpirne i segreti, i misteri che in essi si

nascondono….

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I numeri, nel corso degli anni, hanno

conosciuto tante classificazioni; poi,

con l’avvento di Internet, queste sono

aumentate in maniera esponenziale:

dai numeri dispari a quelli pari, dai

numeri composti a quelli primi,

dai numeri gemelli, trigemini, quadrigemini,

dai sexy a quelli cugini, amici e fidanzati,

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dai palindromi a quelli di Fibonacci, a quelli triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali,

dai numeri vampiri, fortunati, di Kaprekar

a quelli autoreplicanti, ai numeri felici e quelli infelici, ai numeri spia, a quelli idonei,

ai numeri potenti e superpotenti,

dai numeri abbondanti e difettivi,

dai numeri di Achille a quelli ciclici…

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STOP!!

Partiamo dai mattoni fondamentali:

LE CIFRE

con pan di zenzero, con listelli di legno ornamentali e giocherelloni, stilizzati, floreali, da fumetti, ……..

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Pan di zenzero

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° ° °

°

° °

°

°

°

Con listelli di legno

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Ornamentali

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giocherelloni

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Stilizzati

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Floreali (ma anche con frutti diversi)

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Da fumetto (con animali diversi)

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da colorare….(con scene varie)

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Ma qual è la cifra più importante?

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STOP!!

Allora partiamo dai numeri dispari……

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Chiediamo ai ragazzi:

Quanti sono???

Molti risponderanno:

tanti, tantissimi, moltissimi,

fate queste domande e registrate le risposte!!

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Allora replichiamo:

ma qual è il più grande?

Se qualcuno lo trova, fate scrivere alla

lavagna questo numero dispari…

e poi dite:

adesso somma due a questo numero:

che succede?

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Torniamo ai simpatici nostri dispari

(non nostri pari!!)

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63,… li riscriviamo.

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Prendiamo all’inizio solo il primo, a seguire i primi due, poi i primi tre, … e li sommiamo: che succede?

1 → 1 = ? cosa notate?

1 + 3 → 4 = ?

1 + 3 + 5 → 9 = ?

1 + 3 + 5 + 7 → 16 = ?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 → 25 = ?

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1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 → 36 = ?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 → 49 = ?

ripartiamo dai nostri simpatici dispari

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55,

57, 59, 61, 63,…

li riscriviamo prendendo prima solo il primo, poi i due che seguono, poi i tre che seguono,

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poi i quattro che seguono quelli che già abbiamo preso, …… e li sommiamo:

che succede?

1 → 1 = ? cosa notate?

3 + 5 → 8 = ?

7 + 9 + 11 → 27 = ?

13 + 15 + 17 + 19 → 64 = ?

21 + 23 + 25 + 27 + 29 → 125 = ?

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31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 → 72 x 3 = 216 ?

43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 → 98 x 3 + 49 = 343 ?

57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71→ 128 x 4 = 512 ?

Continuando di questo passo, i nostri simpatici dispari

ci farebbero scoprire mille altre proprietà. Perciò li ringraziamo: grazie, numeri dispari, Vi verremo a trovare quanto prima!!! (Allegato A)

Ci sono i numeri felici che scalpitano e bussano alla porta perché loro, pensate, vogliono portare la felicità

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dappertutto, fin dentro le aule scolastiche….dove dicono stia per arrivare la BUONA SCUOLA…

Prima di dare una definizione, che faremo scoprire dagli alunni stessi, procediamo passo passo.

Prendiamo un numero naturale a piacere:

per esempio 49.

Da 49 ricaviamo un numero dato dalla somma dei quadrati delle sue cifre:

49 → 4 x 4 + 9 x 9 = 16 + 81 = 97.

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Ripetiamo lo stesso procedimento con 97

97 → 9 x 9 + 7 x 7 = 81 + 49 = 130; …e così via

130 → 1 x 1 + 3 x 3 + 0 x 0 = 1 + 9 + 0 = 10 …???

10 → → 1 x 1+ 0 x 0 = 1.

49 è un numero felice perché dopo una serie di queste iterazioni si arriva ad 1!!!!

Prendiamo un altro numero: per esempio 24

24 → 2 x 2 + 4 x 4 = 4 + 16 = 20

20 → 2 x 2 + 0 x 0 = 4 + 0 = 4

4 → 4 x 4 = 16

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16 → 1 x 1 + 6 x 6 = 1 + 36 = 37

37 → 3 x 3 + 7 x 7 = 9 + 49 = 58

58 → 5 x 5 + 8 x 8 = 25 + 64 = 89

89 → 8 x 8 + 9 x 9 = 64 + 81 =145

145 → 1 x 1 + 4 x 4 + 5 x 5 = 1 + 16 + 25 = 42

42 → 4 x 4 + 2 x 2 = 16 + 4 = 20 !!!??? → STOP

24, così docile, generoso, disponibile (si fa dividere per 2, per 3, per 4, per 6, per 8, per 12); riceve, però, sempre schiaffi dal numero 5; purtroppo è un numero

….. INFELICE

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Sembrava ben vestito, con i capelli ben pettinati. come un ragazzo che sta per celebrare la prima comunione:

24 non è riuscito ad arrivare al fatidico traguardo → 1.

Ha ottenuto via via i seguenti risultati: 20, 4, 16, 37, 58,

89, 145, 42, 20,…

All’inizio i risultati sembravano aumentare di molto fino ad arrivare a 145 per poi ritornare a 20 che era stato il suo primo risultato. A questo punto, ogni sforzo è inutile 24 sarà infelice in eterno!!!!

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Caratteristica dei numeri infelici è che a un certo punto essi entrano nella sequenza ciclica 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 che si ripete all’infinito.

Però c’è la magra consolazione (!!???) che, come i numeri felici, anche quelli infelici sono infiniti!!!!

E’ arrivato a questo punto il momento di far entrare in scena i numeri ciclici (o circolari).

Il rappresentante più piccolo e più importante,

il vero “BOSS” è 142 857 (numero magico all’ennesima potenza)!!

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Per farlo memorizzare facilmente ai ragazzi si può procedere in tanti modi: uno potrebbe essere questo:

Si pone agli alunni questa domanda:

Quanti giorni ci sono in 2 settimane?

Nella maggior parte dei casi riceviamo la risposta

corretta: 14.

Scriviamo 14 e lo facciamo seguire dal numero 2 per

ricordarci che 14 (sottinteso giorni)

si riferiscono a 2 settimane.

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Siamo così arrivati a scrivere 142.

Si pone agli alunni questa prima domanda:

La prima cifra è 1. Che numero gli devo aggiungere, per farlo arrivare a 9? La risposta sarà: otto

Scriviamo l’8 a destra di 142 ottenendo 142 8.

Si pone agli alunni questa seconda domanda:

La seconda cifra è 4. Che numero gli devo aggiungere, per farlo arrivare a 9? La risposta sarà: cinque

Scriviamo il 5 a destra di 142 8 ottenendo 142 85.

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Si pone agli alunni questa terza domanda:

La terza cifra è 2. Che numero gli devo aggiungere, per farlo arrivare a 9? La risposta sarà: sette.

Scriviamo il 7 a destra di 142 85 ottenendo 142 857.

Il numero magico è stato “concepito” !!!

142 857 ha 6 cifre. E 6 è un numero perfetto. Perché?

I numeri perfetti sono quelli in cui la somma di tutti i suoi divisori (escluso il numero stesso) sono uguali a quel numero.

Esempi: I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.

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Escludendo 6 la somma dei restanti divisori è proprio

6 = 1 + 2 +3. Dopo 6 segue il numero perfetto 28.

I divisori di 28 sono 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Escludendo 28 la somma dei restanti divisori è proprio

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Quindi 6 e 28 sono i primi due numeri perfetti.

Però, diciamo così, 6 è un (numero perfetto)2. Perchè?

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Anche il prodotto dei suoi divisori minori di 6 dànno per risultato 6 (1 x 2 x 3). Il che non vale per 28. Infatti 1 x 2 x 4 x 7 x 14 = 784 che è diverso da 28 !!!

Magie di 142857. Spezziamo questo numero in 6, in 3 e in 2 parti e sommiamo queste parti:

• 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 → 2 + 7 = 9; abbiamo un 9; • 14 +28 + 57 = 99; otteniamo due 9; • 142 + 857 = 999; otteniamo tre 9.

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Ma non è finita qui!!!!

Moltiplichiamo 142857 per 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Che succede?

142857 x 1 = 142857; 142857 x 2 = 285714; → ?? 14 285714; 142857 x 3 = 428571; → ?? 1 428571; 142857 x 4 = 571428; → ?? 1428 571428; 142857 x 5 = 714285; → ?? 14285 714285; 142857 x 6 = 857142; → ?? 142 857142; e se lo moltiplichiamo per 7 ???

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142857 x 7 = 999999; → ?? Osserviamo i prodotti ottenuti.

1 x 142857 = 142857 2 x 142857 = 285714 3 x 142857 = 428571 4 x 142857 =571428 5 x 142857 =714285 6 x 142857 =857142 7 x 142857 =999999

A parte l'ultimo risultato, tutti gli altri possono essere ottenuti semplicemente facendo scorrere le cifre del

numero 142857. I numeri che hanno questa proprietà,

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sono detti numeri ciclici.

Le prime ricerche sui numeri ciclici nacquero dallo studio delle proprietà del numero 1/7 1/7 = 0,142857142857142857142857142857143.... Chi sa trovare qualche altro numero ciclico?

Torniamo ai prodotti precedenti disposti in altro modo

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1 x 142857 = 142857 2 x 142857 = 285714 3 x 142857 = 428571 4 x 142857 =571428 5 x 142857 =714285 6 x 142857 =857142

1 x 142857 = 142857 e 6 x 142857 =857142; 2 x 142857 = 285714 e 5 x 142857 =714285; 3 x 142857 = 428571 e 4 x 142857 =571428.

Che è successo ???

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1 x 142857 = 142 857 e 6 x 142857 = 857142; 2 x 142857 = 285714 e 5 x 142857 =714285; 3 x 142857 = 428571 e 4 x 142857 =571428.

Nel primo caso 142 e 857 si scambiano di posto. Nel secondo caso 285 e 714 si scambiano di posto. Nel terzo caso 428 e 571 si scambiano di posto. In tutti e tre i casi la somma dei fattori collegati a 142857 dà SETTE. Infatti: 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7 (settettette!!!)

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MA NON FINISCE QUI….. 142857 CONTINUA A SBALORDIRE!!! Fin qui 142857 è stato MOLTIPLICATO SOLO per numeri piccoli. Che succede se lo moltiplichiamo per numeri più grandi ??? P R O V A R E P E R C R E D E R E!!

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142 857 x 12 = 1 714284 → 714284 + 1 = 714285; 142 857 x 123 = 17 571411 → 571411 + 17 = 571428; 142 857 x 1234 = 176 285538 → 285538 + 176 = 285 714; 142 857 x ……. = …… 142 857 x 1234567 = 176366 537919 → 537919 + 176366 = 714285.

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Quando il prodotto supera 6 cifre, lo si divide, a partire da destra, in gruppi di 6 cifre e si sommano.

Notate l’armonia di questi risultati: 142857 x 7 = 999999 142857 x 77 = 10999989 142857 x 777 = 110999889 142857 x 7777 = 1110998889 142857 x 77777 = 11110988889 142857 x 777777 = 111110888889 142857 x 7777777 = 1111109888889 142857 x 77777777 = 11111099888889

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142857 x 777777777 = 111110999888889 142857 x 7777777777 = 1111109999888889 142857 x 77777777777 = 11111099999888889 142857 x 777777777777 = 111110999999888889 142857 x 7777…….77777777 = 111110999…….999888889 142857 x 7 …….7 = 111110 … 999999 … 888889 Così se i 7 sono 1012 avremo come risultato: 111110…..seguito da mille 9, per finire con 888889. Straordinario!!! Vero?

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MA NON FINISCE QUI….. 142857 CONTINUA A SBALORDIRE!!! Prendiamo le trasformazioni di 142857 in modo che il numero della prima terna di cifre sia maggiore del numero della seconda terna. 857 142; 571 428 e 714 285. A questo punto sottraiamo i quadrati dei due numeri così ottenuti per i 3 diversi casi.

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8572 – 1422 = 734 449 – 20164 = 714 285; 5712 – 4282 = 326 041 – 183 184 = 142 857; 7142 – 2852 = 509 796 – 81 225 = 428 571. Ecco le scomposizioni: il commento è facile! 142857 = 33 x 11 x 13 x 37; 285714 = 2 x 33 x 11 x 13 x 37; 428571 = 34 x 11 x 13 x 37; 571428 = 22 x 33 x 11 x 13 x 37; 714285 = 33 x 5 x 11 x 13 x 37; 857142 = 2 x 34 x 11 x 13 x 37.

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142857 CONTINUA A SBALORDIRE!!! Se lo dividiamo per 2 e per 5 (i fattori del nostro sistema di numerazione in base 10), otteniamo ancora un numero trasformato ciclico (non bisogna considerare la virgola!!) 142857 : 2 = 71428,5 → 714 285; 142857 : 5 = 28571,4 → 285 714; Naturalmente lo stesso avviene se partiamo da un numero ottenuto da questo mediante una trasformazione ciclica: 285714 : 5 = 57142,8 857142 : 2 = 428571.

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Si pensa che i numeri ciclici siano infiniti e si ricavano da una formula semplicissima: (bp-1 − 1)/p dove b indica la base di numerazione (nel nostro caso 10) e p un numero primo che non sia divisore di b. Il numero ciclico che abbiamo trattato sopra quindi si ricava da questa formula ponendo b = 10 e p =7. (106 - 1) / 7 = (1000000 – 1) : 7 = 999 999 :7 = 142 857. Il secondo numero ciclico si ricava dal numero primo 17. (1016 - 1) / 17 = (10 000 000 000 000 000 – 1) : 17 = 9999999999 999999 :17 = 05882352 94117647. In questo caso il numero ciclico inizia con zero ed è il più piccolo numero ciclico di 16 cifre: dopo averlo diviso in due parti notiamo che le cifre del secondo gruppo sono complemento a 9 rispetto a quelle del primo gruppo!!!

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(Allegato B)

(Allegato C)

(Allegato D)

(Allegato E)

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Dopo i numeri ciclici, analizziamo alcune caratteristiche delle potenze

CHE NON SONO ALTRO CHE PARTICOLARI

MOLTIPLICAZIONI. Per iniziare basta osservare attentamente una tabella numerica in cui siano riportati i quadrati ed i cubi dei numeri di due cifre. Far scoprire agli alunni le proprietà con opportuni esercizi di gruppo. Dò qui solo qualche spunto: la CONSEGNA è:

O S S E R V A R E E P R O V A R E

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Chirurgia con i quadrati

422 = 1764 → 17 + 64 = 81 = 92; da quadrato a quadrato! 482 = 2304 → 23 + 04 = 27 = 33; da quadrato a cubo! 502 = 2500 → 25 + 00 = 52 (caso un po’ banale!!) 572 = 3249 → 32 + 49 = 81 = 92; da quadrato a quadrato; Se il quadrato ha un numero di cifre DISPARI allora prenderemo due gruppi con un numero di cifre diverso. 132 = 169 → 16 + 9 = 25; da quadrato a tre quadrati; 142 = 196 → 19 + 6 = 25; da quadrato a quadrato; Quesito come passare da 132 = 169 a 142 = 196? In 169 e 196, inoltre, la somma delle cifre è 16 che a sua volta è un quadrato (16 = 42).

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Capriole con i quadrati

122 = 144; e se inverto le cifre? 212 = 441; 132 = 169; e se inverto le cifre? 312 = 961; 1022 = 10404; e se inverto le cifre? 2012 = 40401; 1032 = 10609; e se inverto le cifre? 3012 = 90601; 1122 = 12544; e se inverto le cifre? 2112 = 44521; 1132 = 12769; e se inverto le cifre? 3012 = 96721; 1222 = 12884; e se inverto le cifre? 2212 = 48841;

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Risultati particolari 452 = 2025 → 20 + 25 = 45; la somma delle 2 parti = base 552 = 3025 → 30 + 25 = 55; la somma delle 2 parti = base 92 = 81 → 8 + 1 = 9: la somma delle 2 parti = base 992 = 9801 → 98 + 01 = 99; “ “ 9992 = 998001 → 998 + 001 = 999; “ “ 99992 = 99980001 → 9998 + 0001 = 9999; “ “ 912 = 82 81; 82 e 81 sono uno successivo all’altro!!! 9012 = 811 801; 811 e 801 differiscono di 10!!! 90012 = 8101 8001; 8101 e 8001 differiscono di 100!!! 900012 = 81001 80001; 81001 e 80001 differiscono di 1000 9000012 = 810001 80001; ……. differiscono di 10000!!!

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Quadrati con numeri consecutivi o altro… 4282 = 183 184; → 183, 184 sono consecutivi 5732 = 328 329; → 328, 329 sono consecutivi 7272 = 528 529; → 528, 529 sono consecutivi 8462 = 715 716; → 715, 716 sono consecutivi 5492 = 301 401; → 301 e 401 differiscono di 100!!! 7252 = 525 625; → 525 e 625 differiscono di 100!!! 7382 = 544 644; → 544 e 644 differiscono di 100!!! 7582 = 574 564; → 574 e 564 differiscono di 10!!!

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Questo risultato è STRABILIANTE!!!!! 892 = 79 21 → 79 + 21 = 100 = 102; e se inverto le cifre? 982 = 96 04 → 96 + 04 = 100 = 102;

risultati strani 6302 = 396 900 → 396 + 900 = 1296 = 0362 !!??? 9582 = 917 764 → 917 + 764 = 16 81 = 412 (ottengo 3 quadr.)

E per finire…..

LA MAGICA DOZZINA

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9572 = 915 849 → 915 + 849 = 1764 = 422; 9582 = 917 764 → 917 + 764 = 1681 = 412; 9592 = 919 681 → 919 + 681 = 1600 = 402; …………………………. …………………………. 9672 = 935 089 → 935 + 089 = 1024 = 322; 9682 = 937 024 → 937 + 024 = 961 = 312;

I quadrati di sinistra sono consecutivi crescenti mentre i corrispondenti quadrati di destra sono decrescenti.

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Grazie e a presto!!

Se non verrò imprigionato dai numeri … Pari !!!!