Istituto Comprensivo Statale

“G.Gamerra”Via Ximenes 56014 PISA

Tel. 050 / 982088 050 / 974100

Fax. 050 / 982088

e-mail: pimm 008007@istruzione.it

Codice Istituto: PIIC 81800R

Un percorso accidentato

tra numeri, operazioni

e strumenti di calcolo

L’insegnante prepara una serie di cartellini contenenti le cifre da 0 a 9 e i segni delle 4 operazioni (nella scuola media possono essere aggiunte l’elevazione a potenza e l’estrazione di radice)

Viene estratto un numero-bersaglio di 3 cifre, estraendo per tre volte un cartellino-cifra e rimettendo ogni volta nel mazzo il cartellino estratto

Si estraggono, ancora casualmente, ma questa volta senza rimettere il cartellino nel mazzo, tre cifre e due operazioni (possono diventare tre nella scuola media)

Arrivare nel tempo stabilito di 5 minuti, più vicino possibile al numero bersaglio, combinando a piacere cifre e operazioni

Cifre e operazioni possono essere utilizzate più volte

Un numero può contenere le stesse cifre

Dalla terza classe della scuola elementare

Con gruppi di lavoro omogenei

Calcolando alternativamente a mano e con la calcolatrice

Assegnazione del punteggio

•Per ogni sequenza corretta (il calcolo deve essere corretto) 1 punto

•Per ogni sequenza sbagliata –1 ( 0 nella scuola elementare)

•Per il mancato svolgimento –2

•La risposta più vicina al numero-bersaglio, in mancanza del centro, vale 3 punti

•Al gruppo che centra il bersaglio vengono assegnati 5 punti

•Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi usa tutte le cifre estratte e tutti i simboli di operazione

•Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi individua la strada più breve

Il punteggio massimo che può essere conseguito è di 10 punti.

Assegnazione del punteggio

•Per ogni sequenza corretta (il calcolo deve essere corretto) 1 punto

•Per ogni sequenza sbagliata –1 ( 0 nella scuola elementare)

•Per il mancato svolgimento –2

•La risposta più vicina al numero-bersaglio, in mancanza del centro, vale 3 punti

•Al gruppo che centra il bersaglio vengono assegnati 5 punti

•Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi usa tutte le cifre estratte e tutti i simboli di operazione

•Viene assegnato un bonus di 2 punti a chi individua la strada più breve

Il punteggio massimo che può essere conseguito è di 10 punti.

Numero bersaglio: 543Cifre: 2, 6, 9

Simboli di operazione: - xSequenza operativa che centra il bersaglio

6 x 2 = 1212 x 6 = 72

72 x 9 = 648648 – 96 = 552552 – 9 = 543

Numero bersaglio: 543Cifre: 2, 6, 9

Simboli di operazione: - xSequenza operativa che centra il bersaglio

6 x 2 = 1212 x 6 = 72

72 x 9 = 648648 – 96 = 552552 – 9 = 543

Un esempio

Il seguente numerando è stato effettuato in una 5^

elementare ed ha offerto spunti interessanti sulla

divisibilità e sul calcolo mentale.

Numero bersaglio: 233Cifre: 2, 4, 8operazione

: e x

Numero bersaglio: 233Cifre: 2, 4, 8operazione

: e x

Il sei gruppi di alunni hanno fornito le seguenti soluzioni

Gruppo 1 28 x 4 = 112

112 x 2 = 224

Gruppo 2 42 x 8 = 336

336 : 2 =168

Gruppo 3

Gruppo 4

Gruppo 5

Gruppo 5

44 x 4 = 176

176 x 4 =704

704 : 8 = 88

88 x 4 = 352

352 : 2 = 186

24 x 8 = 192

192: 4 = 48

48 x 4 =192

28 x 4 = 112

112 x 2 = 224

842 : 8 = 105

105 x 2 = 210

Numero bersaglio: 233Cifre: 2, 4, 8operazione : e x

Poiché non c’è stato tempo di esaminare i risultati con i bambini di 5^,

ho provato a sottoporre il loro lavoro agli alunni della classe 1^E,

suddivisi a loro volta in 6 gruppi di 3 alunni ciascuno, però questa volta

secondo un criterio di omogeneità interna ( 2 gruppi di livello alto, 2 di

livello intermedio e 2 di livello basso)

La consegna è stata la

seguente: La consegna è stata la

seguente:

Esaminate i risultati del seguente numerando effettuato in una 5^ elementare.

Esaminate i risultati del seguente numerando effettuato in una 5^ elementare.

Se foste l’insegnante che cosa fareste osservare agli alunni?Se foste l’insegnante che cosa fareste osservare agli alunni?

Quali indicazioni dareste per aiutarli a fare meglio?Quali indicazioni dareste per aiutarli a fare meglio?

La consegna è risultata piuttosto oscura,

perché il primo impulso è stato quello di

cimentarsi con il gioco per cercare di fare

meglio (ma senza successo). In effetti, le

risposte date in questa prima fase hanno un

po’ disatteso le aspettative, ma sono state

comunque sufficienti per spostare

l’attenzione degli alunni sulle relazioni

intercorrenti tra le cifre e tra le operazioni

Ecco una sintesi delle

risposte

Ecco una sintesi delle

risposte

Consiglio di fare più tentativi in modo da avere più

possibilità

Se fossi l’insegnante osserverei le operazioni degli alunni: chi

c’è arrivato più vicino, chi ha usato il bonus e chi c’è andato

più lontano

Gli farei notare che nessuno ha centrato il bersaglio e quelli

che si sono avvicinati di più hanno usato un solo segno, il x ,

e le stesse operazioni.

E’ molto difficile raggiungere un bersaglio dispari con tutte le

cifre pari e i segni : e x

Si può arrivare a 224 con una sola operazione, invece che con

2 come hanno fatto G1 e G5; basta fare 28 x 8 = 224

Per centrare il bersaglio bisognerebbe arrivare al numero

466 e poi dividere per 2

Una volta rilevata l’inutilità delle prime osservazioni (tutti

sanno di non aver centrato il bersaglio e anche che consigliare

di fare più tentativi non aiuta) abbiamo concordato che i

suggerimenti dell’insegnante dovrebbero produrre qualcosa di

interessante, ad esempio potrebbero indirizzare verso una

scoperta significativa, come abbiamo sperimentato in altre

occasioni. A questo punto ho chiesto di spiegare l’ultima

osservazione, che è stata la più adeguata ed è stata data da uno

dei due gruppi di livello più basso. La cosa ha destato il

disappunto dei bravi, inorgoglito i ritardatari, ma, soprattutto,

motivato l’intera classe a guardare il compito con occhi diversi.

Una volta rilevata l’inutilità delle prime osservazioni (tutti

sanno di non aver centrato il bersaglio e anche che consigliare

di fare più tentativi non aiuta) abbiamo concordato che i

suggerimenti dell’insegnante dovrebbero produrre qualcosa di

interessante, ad esempio potrebbero indirizzare verso una

scoperta significativa, come abbiamo sperimentato in altre

occasioni. A questo punto ho chiesto di spiegare l’ultima

osservazione, che è stata la più adeguata ed è stata data da uno

dei due gruppi di livello più basso. La cosa ha destato il

disappunto dei bravi, inorgoglito i ritardatari, ma, soprattutto,

motivato l’intera classe a guardare il compito con occhi diversi.

Come auspicato, dopo una discussione generale, sono arrivate

tutte insieme le risposte cercate:

Moltiplicare per 8 e poi dividere per 4 è lo stesso che

moltiplicare per 2 (v. G4)

Dividere per 4 e poi moltiplicare per 4 fa rimanere al punto di

partenza, perché …(è stato necessario pensarci)

moltiplicazione e divisione sono una l’inverso dell’altra (v.G4)

Moltiplicare per 8 e poi dividere per 2 è come moltiplicare per

4, viene fuori da 8 : 2! (v.G2)

Moltiplicare tre volte per 4 è come moltiplicare per 64 (4 ³ !)

e, dividere per 8 e poi per 2 è come dividere per 16; ma

allora moltiplicare per 64 e dividere per 16 è lo stesso che

moltiplicare per 4, lo dimostra il fatto che alla fine si ottiene

lo stesso risultato della prima operazione (v.G3)

2 è 2¹, 4 è 2² e 8 è 2³ una sta dentro l’altra

Dal Numerando alle espressioni

BERSAGLIO: 272

CIFRE: 2, 4, 9

OPERAZIONI: + x

BERSAGLIO: 272

CIFRE: 2, 4, 9

OPERAZIONI: + x

Soluzione di un alunno:

94 x 2 = 188 188 + 42 = 230230 + 42 = 272

La trasformazione di tale sequenza in espressione è stata immediata: 94 x 2 + 42 + 42 = 272

Soluzione di un alunno:

94 x 2 = 188 188 + 42 = 230230 + 42 = 272

La trasformazione di tale sequenza in espressione è stata immediata: 94 x 2 + 42 + 42 = 272

E’ possibile scrivere l’espressione in modo diverso?

Arriva puntuale la risposta attesa:

94 x 2 + 42 x 2 = 272

E’ possibile fare un’ ulteriore trasformazione inserendo le parentesi tonde?

Gabriele propone (94 + 42) x 4

Mattia corregge (94 + 42) x 2

Operazioni a confronto

Bersaglio 381

Cifre 6, 1, 4

Operazioni x :

Unica soluzione trovata

64 x 6= 384

384 : 1= 384

Ora che conoscete meglio le operazioni aritmetiche e avete imparato a ricavare informazioni su un numero dalla sua fattorizzazione, provate a spiegare perché risulta difficile centrare questo Numerando

Se provassimo a lasciare invariati bersaglio e cifre e cambiassimo la combinazione delle operazioni? Sarebbe ugualmente difficile centrare il bersaglio?

+ - 661 – 441 +161 = 381

+ x 61 x 6 +14 +1 = 381

+ : 1164 : 4 + 64 +16 + 6 + 4 = 381

- x 66 x 6 –14 –1 = 381

- : 461 – 66 –14 : 1 = 381

BERSAGLIO: 343

CIFRE: 3, 6, 9

OPERAZIONI: - :

BERSAGLIO: 343

CIFRE: 3, 6, 9

OPERAZIONI: - :

E se partissimo da lontano?

Alcune soluzioni

696 –333 =373

373 – 33 = 340

369 – 9 = 360

360 – 9 = 351

351 –9 = 342

369 – 9 = 360

360 – 6 = 354

354 – 6 = 348

348 – 3 = 345

345 – 3 = 342

Cifre: 3, 6, 9

Operazioni - :

3699 : 9 = 411

411 – 69 = 352

352 – 9 = 343

36663 : 33 = 1111

1111 – 699 = 412

412 – 69 = 343

INDAGINE SUL COMPORTAMENTO DEI NUMERI

PARI E DEI DISPARI

La classe sta cercando la soluzione a

un “Numerando” che due mesi prima

era risultato piuttosto difficile: 4

gruppi su 6 non erano riusciti neanche

ad avvicinarsi al bersaglio, nonostante

avessero a disposizione la

calcolatrice.

La classe sta cercando la soluzione a

un “Numerando” che due mesi prima

era risultato piuttosto difficile: 4

gruppi su 6 non erano riusciti neanche

ad avvicinarsi al bersaglio, nonostante

avessero a disposizione la

calcolatrice.

BERSAGLIO: 582

CIFRE: 9, 1, 3

OPERAZIONI: - x

BERSAGLIO: 582

CIFRE: 9, 1, 3

OPERAZIONI: - x

Gli alunni non si sono resi conto di averlo già affrontato e pensano che

provenga da un’altra classe; sospettano che nasconda qualche insidia e, durante

la dettatura, Andrea commenta sottovoce: “ Questo è difficile, non può tornare,

le cifre sono tutte dispari e il bersaglio è pari”.

Non raccolgo sul momento la frase, ma la pongo all’attenzione della classe la

lezione seguente. Tutti i gruppi, questa volta, hanno centrato il bersaglio (ciò

significa che due mesi di pratica, hanno prodotto qualche risultato positivo) ed

è a tutti evidente che l’affermazione di Andrea è falsa. Qualcuno, però, obietta

che se, tra le operazioni, ci fosse stata la divisione, l’affermazione di Andrea

sarebbe stata vera. Diventa, quindi, necessaria un’indagine approfondita sul

comportamento dei numeri pari e dispari nelle operazioni aritmetiche.

Forse tale comportamento era già conosciuto nel caso delle due operazioni

dirette ( + e x ), perché è stato facile arrivare alle seguenti tabelle, ma è stato più

difficile ragionare sulle operazioni inverse.

Gli alunni non si sono resi conto di averlo già affrontato e pensano che

provenga da un’altra classe; sospettano che nasconda qualche insidia e, durante

la dettatura, Andrea commenta sottovoce: “ Questo è difficile, non può tornare,

le cifre sono tutte dispari e il bersaglio è pari”.

Non raccolgo sul momento la frase, ma la pongo all’attenzione della classe la

lezione seguente. Tutti i gruppi, questa volta, hanno centrato il bersaglio (ciò

significa che due mesi di pratica, hanno prodotto qualche risultato positivo) ed

è a tutti evidente che l’affermazione di Andrea è falsa. Qualcuno, però, obietta

che se, tra le operazioni, ci fosse stata la divisione, l’affermazione di Andrea

sarebbe stata vera. Diventa, quindi, necessaria un’indagine approfondita sul

comportamento dei numeri pari e dispari nelle operazioni aritmetiche.

Forse tale comportamento era già conosciuto nel caso delle due operazioni

dirette ( + e x ), perché è stato facile arrivare alle seguenti tabelle, ma è stato più

difficile ragionare sulle operazioni inverse.

+ P D

P P D

D D P

X P D

P P P

D P D

Si nota che, se si fa una sottrazione tra due numeri

dispari, si ottiene un numero pari ( 913-319 = 594

931 – 333 = 598 ) e che la tabella dell’addizione

può valere anche per la sottrazione, nei casi in cui

questa (in N) è possibile. L’analisi della seguente

sequenza, che si ottiene togliendo in successione

numeri dispari (ma si osserva la medesima

situazione anche aggiungendo…..) aiuta i ragazzi a

capire:

931 – 333 = 598598 – 9 = 589589 – 3 = 586586 – 3 = 583583 – 1 = 582

“Ottenere un risultato P o D dipende dal numero di volte che si toglie il numero dispari:• se sottraggo da P un numero pari di volte un numero dispari ottengo un numero P• se sottraggo da P un numero dispari di volte un numero dispari ottengo un numero D

931 – 333 = 598598 – 9 = 589589 – 3 = 586586 – 3 = 583583 – 1 = 582

“Ottenere un risultato P o D dipende dal numero di volte che si toglie il numero dispari:• se sottraggo da P un numero pari di volte un numero dispari ottengo un numero P• se sottraggo da P un numero dispari di volte un numero dispari ottengo un numero D

E con la divisione che cosa accade? Interviene Gabriele: “ Con le cifre pari non si può arrivare a un bersaglio dispari” e poiché Gabriele ha più credibilità di Andrea, sono tutti propensi a sottoscrivere la sua affermazione. Ma basta chiedere di dare qualche esempio, per accorgersi che le cose non vanno proprio così:“La divisione tra due numeri uguali, pari o dispari che siano, dà sempre 1” (nessuno fa riferimento a 0 : 0)

6 : 2 = 336 : 4 = 9 36 : 6 = 6

L’operazione P : P , purché il dividendo sia multiplo del divisore, può dare P o D a seconda dei casi! P: D = x con D•x = P, quindi , se x esiste, è pari; mentre non esiste alcun numero che, moltiplicato per un pari dia come risultato un dispari.

E con la divisione che cosa accade? Interviene Gabriele: “ Con le cifre pari non si può arrivare a un bersaglio dispari” e poiché Gabriele ha più credibilità di Andrea, sono tutti propensi a sottoscrivere la sua affermazione. Ma basta chiedere di dare qualche esempio, per accorgersi che le cose non vanno proprio così:“La divisione tra due numeri uguali, pari o dispari che siano, dà sempre 1” (nessuno fa riferimento a 0 : 0)

6 : 2 = 336 : 4 = 9 36 : 6 = 6

L’operazione P : P , purché il dividendo sia multiplo del divisore, può dare P o D a seconda dei casi! P: D = x con D•x = P, quindi , se x esiste, è pari; mentre non esiste alcun numero che, moltiplicato per un pari dia come risultato un dispari.