I.P.S.I.A. “CAVOUR-MARCONI” - iisperugia.gov.it per il... · Grandezza fisica Unità di misura...

15
I.P.S.I.A. “CAVOUR-MARCONI” a.s. 2011/2012 Appunti per il Laboratorio di Fisica Claudio Tosti

Transcript of I.P.S.I.A. “CAVOUR-MARCONI” - iisperugia.gov.it per il... · Grandezza fisica Unità di misura...

I.P.S.I.A. “CAVOUR-MARCONI” a.s. 2011/2012

Appunti per il Laboratorio di Fisica

Claudio Tosti

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 1

Grandezze fisiche e loro misura ■ Metodo scientifico

A fondamento di tutte le scienze sperimentali c’è la convinzione che esista una realtà oggettiva e la possibilità da parte dell’uomo di poterla descrivere ed interpretare attraverso la ricerca scientifica sperimentale. Il metodo scientifico è la metodologia di base della ricerca scientifica sperimentale ed è caratterizzato da: indagine sperimentale:

- osservazione del fenomeno fisico, - individuazione e valutazione quantitativa di un certo numero di caratteristiche del

fenomeno fisico, - studio del fenomeno fisico in condizioni controllate;

ragionamento teorico: - studio delle relazioni tra le caratteristiche del fenomeno fisico, - formulazione di leggi matematiche che descrivono le relazioni tra le caratteristiche, - realizzazione di previsioni;

verifica della teoria: - confronto delle previsioni teoriche con nuove osservazioni sperimentali.

Le conoscenze che si ricavano attraverso il metodo scientifico hanno la caratteristica di essere: • sperimentali, cioè basate sull’osservazione della realtà; • oggettive, cioè indipendenti da chi la acquisisce; • razionali, cioè comportano l’elaborazione di un modello teorico; • mutabili, cioè devono poter essere sottoposte a verifica sperimentale per essere confermate o

contraddette. ■ Grandezza fisica

Nell’osservazione di un fenomeno fisico, le grandezze sono particolari caratteristiche del fenomeno che possono essere misurate. Alcune grandezze mostrano specifiche caratteristiche comuni e possono perciò essere raggruppate in classi di grandezze omogenee. Una grandezza di una classe è una grandezza fisica se per essa è possibile dare una definizione operativa, cioè stabilire le operazioni che conducono alla sua determinazione sperimentale. Per la definizione operativa di una grandezza fisica, occorre precisare: un criterio di confronto che consenta di verificare sperimentalmente se due grandezze

omogenee sono uguali, maggiori o minori l’una dell’altra; un criterio di somma che permetta, tramite operazioni fisicamente effettuabili, di sommare tra

loro due grandezze omogenee così da ottenere una terza grandezza ancora omogenea alle grandezze di partenza;

una unità di misura (grandezza della classe assunta come campione unitario) che consenta di stabilire il valore di ogni altra grandezza omogenea al campione, determinando il numero di volte che il campione è contenuto nella grandezza tramite un’operazione di confronto.

■ Grandezze fisiche fondamentali e derivate

Le grandezze fisiche fondamentali sono le grandezze fisiche per le quali si definisce l’unità di misura in maniera arbitraria ed indipendente; quelle derivate sono grandezze le cui unità di misura sono derivate dalle relazioni fisiche che le legano alle grandezze fondamentali. I criteri con cui si scelgono le grandezze fisiche fondamentali sono dettati dalla convenienza: - facilità di misura, - facilità di riproduzione dei campioni unitari, - stabilità nel tempo dei campioni unitari.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 2

■ Sistema di unità di misura Sistema definito dalle grandezze fondamentali e dai loro campioni; esso è coerente quando le relazioni algebriche che legano le grandezze derivate alle fondamentali hanno come coefficiente numerico l’unità.

■ Sistema Internazionale (S.I.) delle unità di misura

Sistema di unità di misura fondato su sette grandezze fondamentali, più due supplementari (adimensionali), riportate in tabella e di seguito definite:

Grandezza fisica Unità di misura Simbolo Intervallo di tempo secondo s Lunghezza metro m Massa kilogrammo Kg Intensità di corrente ampere A Temperatura grado kelvin °K Intensità luminosa candela cd Quantità di sostanza mole mol Angolo piano radiante rad Angolo solido steradiante sr

secondo: è l'intervallo di tempo in cui avvengono 9192631770 periodi delle onde elettromagnetiche emesse dagli atomi di Cesio-133.

metro: è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di 1/299792458 secondi. kilogrammo: è la massa di 1dm3 di acqua distillata alla pressione di 1atm ed alla temperatura di 4°C, pari alla massa del cilindro composto da una lega di Platino e Iridio conservato al Museo di Sevres (Parigi).

grado kelvin: è la frazione 1/(273,16) della temperatura termodinamica del punto triplo dell’acqua.

ampere: è l’intensità di corrente elettrica che, mantenuta costante in due conduttori rettilinei, paralleli, di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile e posti alla distanza di 1m l’uno dall’altro nel vuoto, produce tra i due conduttori la forza di 2⋅10-7 N su ogni metro di lunghezza.

candela: è l’intensità luminosa di una superficie con area di 1/(600.000)m2 del corpo nero alla temperatura di solidificazione del Platino, emessa nella direzione perpendicolare alla superficie stessa, alla pressione di 101.325 N/m2.

mole: è la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi di 0.012kg di Carbonio-12 (C12); le entità elementari devono essere specificate e possono essere atomi, molecole, ioni, elettroni ecc. o gruppi ben specificati di tali particelle.

radiante: angolo piano al centro che su una circonferenza intercetta un arco di lunghezza pari a quella del raggio.

steradiante: angolo solido al centro che su una sfera intercetta una calotta di area pari al quadrato del raggio.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 3

Nel S.I., assieme alle unità di misura fondamentali, sono definiti anche i loro multipli e sottomultipli riportati nella tabella seguente:

Prefisso Simbolo Fattore peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 milli m 10−3 micro µ 10−6 nano n 10−9 pico p 10−12 femto f 10−15

■ Equazione dimensionale

Per ciascuna grandezza fondamentale si introduce un simbolo dimensionale (lettera maiuscola racchiusa tra parentesi quadre) che viene trattato come una quantità algebrica nel calcolo letterale. Ad esempio in Meccanica le grandezze fondamentali sono la lunghezza, l’intervallo di tempo e la massa, cui rispettivamente corrispondono i simboli dimensionali [L], [T] e [M]. Un’equazione dimensionale è una scrittura simbolica della relazione algebrica che lega il simbolo dimensionale di una grandezza derivata ai simboli dimensionali delle grandezze fondamentali da cui dipende ed ha la forma di un prodotto di potenze i cui esponenti (razionali, positivi o negativi) rappresentano le dimensioni delle grandezze fondamentali nel sistema di unità di misura adoperato. Ad esempio in Meccanica il simbolo dimensionale di una grandezza derivata G si esprime in generale come [𝐺𝐺] = [𝐿𝐿𝑎𝑎 ∙ 𝑇𝑇𝑏𝑏 ∙ 𝑀𝑀𝑐𝑐] e si dice che la grandezza G ha dimensione a rispetto alla lunghezza, dimensione b rispetto all’intervallo tempo e dimensione c rispetto alla massa. Due grandezze fisiche che hanno uguale equazione dimensionale, si dicono omogenee; in caso contrario non omogenee. Le grandezze fisiche ottenute come rapporto di grandezze fisiche omogenee sono adimensionali, cioè prive di dimensioni; lo sono ad esempio gli angoli (piano o solido). L’equazione dimensionale consente di: ricavare l’unità di misura 𝑢𝑢 della grandezza derivata: prodotto delle unità di misura 𝑢𝑢𝑖𝑖 delle

grandezze fondamentali, elevate ai relativi esponenti che compaiono nella equazione dimensionale: [𝐺𝐺] = �𝐺𝐺1

𝑎𝑎 ∙ 𝐺𝐺2𝑏𝑏 ∙∙∙ 𝐺𝐺𝑚𝑚

𝑝𝑝 � ⇒ 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢1𝑎𝑎 ∙ 𝑢𝑢2

𝑏𝑏 ∙∙∙ 𝑢𝑢𝑚𝑚𝑝𝑝 ;

controllare se ambo i membri di un’equazione fisica abbiano le medesime dimensioni e dunque che: - le operazioni di somma o differenza si siano effettuate solo su grandezze omogenee; - su grandezze non omogenee si siano effettuate solo prodotti, rapporti o potenze; - le operazioni trascendenti (logaritmiche, esponenziali, trigonometriche, …) si siano

effettuate solo su numeri puri cioè su una combinazione di grandezze fisiche tali da essere globalmente adimensionali.

■ Misura di una grandezza fisica

Si realizza confrontando la grandezza fisica all’unità di misura corrispondente. Una misura può essere realizzata in modo: diretto: quando il suo valore si ricava confrontando direttamente la grandezza fisica con il suo

campione unitario o con una copia di esso; indiretto: quando il suo valore si ricava indirettamente attraverso il valore della misura diretta

di altre grandezze fisiche legate alla grandezza in esame tramite relazioni matematiche note.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 4

Strumenti di misura

■ Strumenti analogici e digitali Sono dispositivi che danno una valutazione quantitativa di una grandezza fisica; si dicono analogici se il valore della misura si legge su una scala graduata, mentre si dicono digitali se il valore si legge su un display come sequenza di cifre.

■ Caratteristiche di uno strumento di misura

Le principali sono: zero: valore minimo della grandezza che lo strumento può misurare; portata: valore massimo della grandezza che lo strumento può misurare; dinamica: intervallo tra il valore minimo e il valore massimo della

grandezza che lo strumento può misurare; sensibilità: minima variazione della grandezza che lo strumento può

apprezzare (in uno strumento analogico corrisponde alla divisione della scala, mentre in uno digitale al cambiamento di una unità sull’ultima cifra del display);

precisione: incertezza che si ha nella misura a causa delle caratteristiche di funzionamento, costruttive e di taratura dello strumento;

prontezza: rapidità con cui lo strumento risponde a una variazione della grandezza che sta misurando;

ripetibilità: capacità dello strumento di dare la stessa misura se la misura viene ripetuta nelle medesime condizioni sperimentali;

stabilità: capacità dello strumento di mantenere costanti nel tempo le sue caratteristiche di misura;

Precisione e sensibilità sono due caratteristiche antitetiche: più uno strumento è sensibile, meno è preciso e viceversa.

■ Metodi di misura Il confronto tra la grandezza fisica da misurare e l’unità di misura può essere effettuato attraverso il: metodo del confronto successivo: si tara lo strumento e poi si procede alla

determinazione della misura incognita (per es. regolo, dinamometro, amperometro, termometro, …)

metodo dello zero: si confrontano la grandezza da misurare ed il campione ottenendo l’identità attraverso la progressiva regolazione del valore del campione; con questo metodo non è necessario che lo strumento sia tarato ma solo che sia dotato di un riferimento per stabilire la posizione a cui l’indice deve essere ricondotto regolando il campione (zero dello strumento) (per es. bilancia a bracci uguali, ponte di Wheatstone, …).

Il primo metodo consente misure più rapide ma meno precise del secondo e viceversa.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 5

Errori nelle misure dirette ■ Errore di misura

I1 risultato di una misura è sempre soggetto ad un'incertezza, detta errore di misura, che in generale dipende da: fattori tecnico-strumentali, quali ad esempio:

- l’imperfetto funzionamento della strumentazione di misura, - il degradamento delle prestazioni della strumentazione di misura, - le incertezze dei riferimenti usati per la taratura della strumentazione, - l’errato impiego dalla procedura di misurazione, - le approssimazioni introdotte nei calcoli dei valori della misura;

fattori umani, quali ad esempio: - l’errata lettura dei valori strumentali, - l’imperizia nell’eseguire la misurazione;

fattori ambientali, quali ad esempio: - l’uso della strumentazione in condizioni di pressione e/o temperatura e/o

di umidità non idonei, - la presenza durante la misurazione di polveri, vibrazioni, interferenze

elettromagnetiche, …. Gli errori di misura possono essere complessivamente distinti in errori sistematici ed errori casuali.

■ Errori casuali

Alterano casualmente il valore della misura a volte in eccesso e a volte in difetto e possono essere valutati solo dopo aver eseguito la misura, calcolando la dispersione dei valori misurati.

■ Errori sistematici

Alterano sistematicamente il valore della misura sempre o in eccesso o in difetto e possono essere valutati prima di eseguire la misura; in assenza di errori umani, sono in prevalenza di origine tecnico-strumentale e perciò valutati da informazioni fornite dal costruttore o altrimenti da metà della sensibilità.

■ Errore assoluto, relativo e percentuale L'errore assoluto 𝑒𝑒𝑎𝑎 è l’ampiezza dello scarto tra il risultato 𝑥𝑥 della misura ed il valore vero 𝑥𝑥𝑣𝑣 della misura: 𝑒𝑒𝑎𝑎 = |𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑣𝑣|. In generale 𝑒𝑒𝑎𝑎 dipende sia dall’errore sistematico 𝑒𝑒𝑠𝑠 (incertezza tecnico-strumentale) che da quello casuale 𝑒𝑒𝑐𝑐 (dispersione dei valori): 𝑒𝑒𝑎𝑎 = �𝑒𝑒𝑠𝑠2 + 𝑒𝑒𝑐𝑐2 ; in tal senso, si dice che una misura è: - attendibile se 𝑒𝑒𝑎𝑎 è piccolo rispetto a 𝑥𝑥𝑣𝑣 , - precisa se 𝑒𝑒𝑠𝑠 è piccolo rispetto a 𝑒𝑒𝑐𝑐 , - accurata se 𝑒𝑒𝑐𝑐 è piccolo rispetto a 𝑒𝑒𝑠𝑠.

L'errore relativo 𝑒𝑒𝑟𝑟 è il rapporto fra l’errore assoluto ed il valore assoluto del valore vero della misura: 𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝑒𝑒𝑎𝑎 |𝑥𝑥𝑣𝑣|⁄ ; l'errore relativo percentuale 𝑒𝑒% è l'errore relativo espresso in forma percentuale:𝑒𝑒% = (𝑒𝑒𝑟𝑟 ∙ 100). L'errore relativo permette di valutare l’attendibilità con cui è stata effettuata una misura. Poiché il valore vero di una misura è incognito, sia 𝑥𝑥𝑣𝑣 che 𝑒𝑒𝑎𝑎 (e dunque 𝑒𝑒𝑟𝑟 ) possono solo essere stimati dai parametri che meglio li approssimano: il primo dal valore più probabile della misura, il secondo dall’errore più probabile della misura.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 6

■ Valore ed errore più probabile a) Quando misurando una grandezza X si dispone di un solo valore, detti 𝑥𝑥𝑜𝑜 il valore

misurato ed 𝑒𝑒𝑠𝑠 l’errore tecnico-strumentale, allora: il valore più probabile della misura è il valore misurato:

�̅�𝑥 = 𝑥𝑥𝑜𝑜 , l’errore più probabile della misura dipende dall’incertezza tecnico-strumentale:

∆𝑥𝑥� = 𝑒𝑒𝑠𝑠/√3 . Il modo migliore per esprimere la misura della grandezza X, è quello di riportare il valore più probabile e l’errore più probabile, entrambi espressi nelle medesime unità di misura (u.d.m.), nel seguente modo:

(�̅�𝑥 ± 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�)𝑢𝑢.𝑑𝑑.𝑚𝑚. , dove 𝑘𝑘 è un fattore che può assumere il valore 1 (→p=58%), 1,65 (→p=95%) o √3 (→p=100%) e che indica il livello di probabilità (p) che il valore vero si trovi nell’intervallo [𝑥𝑥�− 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�, 𝑥𝑥�+ 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�]. Questa situazione si verifica se l’incertezza tecnico-strumentale è grande e ripetendo più volte le misure, queste coincidono.

b) Quando misurando una grandezza X si dispone di valori contenuti entro l’errore tecnico-strumentale, poiché tali valori sono compresi (per ipotesi con eguale probabilità) fra le due misure estreme 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚 e 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 , allora: il valore più probabile della misura dipende dalle misure estreme:

�̅�𝑥 = (𝑥𝑥𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚 ) 2⁄ , l’errore più probabile della misura dipende dalle misure estreme e dall’incertezza

tecnico-strumentale:

∆𝑥𝑥� = ��(𝑥𝑥𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚 )/(2√3)�2

+ �𝑒𝑒𝑠𝑠/√3�2

. Il modo migliore per esprimere la misura della grandezza X è:

(�̅�𝑥 ± 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�)𝑢𝑢.𝑑𝑑.𝑚𝑚. , dove 𝑘𝑘 può assumere il valore 1 (→p=58%), 1,65 (→p=95%) o √3 (→p=100%) e indica il livello di probabilità (p) che il valore vero si trovi nell’intervallo [𝑥𝑥� − 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�, 𝑥𝑥�+ 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�]. Questa situazione si verifica se l’incertezza tecnico-strumentale è grande e ripetendo più volte le misure, queste differiscono poco l’una dall’altra restando all’interno dell’errore tecnico-strumentale; in tal caso ha senso eseguire poche misure.

c) Quando misurando una grandezza X con grande precisione (in pratica con strumenti molto sensibili) si dispone di valori non contenuti entro l’errore tecnico-strumentale, detti 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3, … , 𝑥𝑥𝑁𝑁 tali valori: il valore più probabile della misura è la media aritmetica delle misure:

�̅�𝑥 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥𝑁𝑁) 𝑁𝑁⁄ , l’errore più probabile della misura è lo scarto quadratico medio della media:

∆�̅�𝑥 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 √𝑁𝑁⁄ ≡ �[(𝑥𝑥1 − �̅�𝑥)2 + (𝑥𝑥2 − �̅�𝑥)2 + (𝑥𝑥3 − �̅�𝑥)2 + ⋯+ (𝑥𝑥𝑁𝑁 − �̅�𝑥)2] 𝑁𝑁(𝑁𝑁 − 1)⁄ . Il modo migliore per esprimere la misura della grandezza X è:

(�̅�𝑥 ± 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�)𝑢𝑢.𝑑𝑑.𝑚𝑚. , dove 𝑘𝑘 può assumere il valore 1 (→p=68,27%), 2 (→p=95,45%) o 3 (→p=99,73%) e indica il livello di probabilità (p) che il valore vero si trovi nell’intervallo [𝑥𝑥� − 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�, 𝑥𝑥�+ 𝑘𝑘∆𝑥𝑥�]. Questa situazione si verifica se l’incertezza tecnico-strumentale è piccola e ripetendo con grande precisione più volte le misure, queste si discostano l’una dall’altra oltre l’errore tecnico-strumentale; in tal caso ha senso eseguire molte misure per ridurne l’errore della dispersione dei valori. Quando la grandezza X non è misurata con grande precisione, un modo (pessimistico) per esprimere la misura è:

��̅�𝑥 ±��3𝜎𝜎𝑥𝑥 √𝑁𝑁⁄ �2

+ 𝑒𝑒𝑠𝑠2�𝑢𝑢.𝑑𝑑.𝑚𝑚.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 7

Errori nelle misure indirette ■ Errori assoluti e relativi di misure indirette

Consideriamo il caso semplice di una grandezza fisica 𝑌𝑌 misurata indirettamente tramite la misura diretta delle grandezze fisiche 𝑋𝑋𝑎𝑎 e 𝑋𝑋𝑏𝑏 e supponiamo che 𝑌𝑌 dipenda da 𝑋𝑋𝑎𝑎 e 𝑋𝑋𝑏𝑏 tramite la formula 𝑓𝑓: 𝑌𝑌 = 𝑓𝑓(𝑋𝑋𝑎𝑎 ,𝑋𝑋𝑏𝑏). Se 𝑥𝑥�𝑎𝑎 è il valore più probabile della misura di 𝑋𝑋𝑎𝑎 e 𝑥𝑥�𝑏𝑏 quello più probabile della misura di 𝑋𝑋𝑏𝑏 , allora il valore più probabile della misura di 𝑌𝑌 sarà:

𝑦𝑦� = 𝑓𝑓(𝑥𝑥�𝑎𝑎 ,𝑥𝑥�𝑏𝑏). Di conseguenza se ∆𝑥𝑥�𝑎𝑎 è l’errore assoluto più probabile della misura di 𝑋𝑋𝑎𝑎 e ∆𝑥𝑥�𝑏𝑏 quello più probabile della misura di 𝑋𝑋𝑏𝑏 , allora per trovare l’errore assoluto di 𝑌𝑌, occorre valutare i casi seguenti. 1) Quando le misure di 𝑋𝑋𝑎𝑎 sono indipendenti dalle misure di 𝑋𝑋𝑏𝑏 (in pratica misure

eseguite con strumenti diversi in ambienti diversi), valgono le seguenti regole: il quadrato dell’errore assoluto della somma o della differenza delle due

misure è la somma dei quadrati degli errori assoluti delle misure: 𝑌𝑌 = (𝑋𝑋𝑎𝑎 ±𝑋𝑋𝑏𝑏) ⇒ ∆(𝑥𝑥�𝑎𝑎 ± 𝑥𝑥�𝑏𝑏) = �(∆𝑥𝑥�𝑎𝑎)2 + (∆𝑥𝑥�𝑏𝑏)2 ;

il quadrato dell’errore relativo del prodotto o del quoziente delle due misure è la somma dei quadrati degli errori relativi delle misure:

𝑌𝑌 = �𝑋𝑋𝑎𝑎 ∙ 𝑋𝑋𝑏𝑏±1� ⇒

∆�𝑥𝑥�𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥�𝑏𝑏±1�

|𝑥𝑥�𝑎𝑎 | ∙ |𝑥𝑥�𝑏𝑏|±1 = ��∆𝑥𝑥�𝑎𝑎|𝑥𝑥�𝑎𝑎 |�

2

+ �∆𝑥𝑥�𝑏𝑏|𝑥𝑥�𝑏𝑏|�

2

.

2) Quando invece le misure di 𝑋𝑋𝑎𝑎 sono fortemente dipendenti dalle misure di 𝑋𝑋𝑏𝑏 , valgono le seguenti regole: l’errore assoluto della somma o della differenza delle due misure è la

somma degli errori assoluti delle misure: 𝑌𝑌 = (𝑋𝑋𝑎𝑎 ±𝑋𝑋𝑏𝑏) ⇒ ∆(𝑥𝑥�𝑎𝑎 ± 𝑥𝑥�𝑏𝑏) = ∆𝑥𝑥�𝑎𝑎 + ∆𝑥𝑥�𝑏𝑏 ;

l’errore relativo del prodotto o del quoziente delle due misure è la somma degli errori relativi delle misure1

𝑌𝑌 = �𝑋𝑋𝑎𝑎 ∙ 𝑋𝑋𝑏𝑏±1� ⇒

∆�𝑥𝑥�𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥�𝑏𝑏±1�

|𝑥𝑥�𝑎𝑎 | ∙ |𝑥𝑥�𝑏𝑏|±1 =∆𝑥𝑥�𝑎𝑎|𝑥𝑥�𝑎𝑎| +

∆𝑥𝑥�𝑏𝑏|𝑥𝑥�𝑏𝑏| .

Se non si può applicare l’espressione 𝑦𝑦� = 𝑓𝑓(𝑥𝑥�𝑎𝑎 ,𝑥𝑥�𝑏𝑏), detti 𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2, … , 𝑦𝑦𝑁𝑁 i valori di 𝑌𝑌, un modo per esprimere la misura è:

�𝑦𝑦� ±��3𝜎𝜎𝑦𝑦 √𝑁𝑁⁄ �2

+ 𝑓𝑓2(∆𝑥𝑥𝑎𝑎 ,∆𝑥𝑥𝑏𝑏)�𝑢𝑢.𝑑𝑑.𝑚𝑚. ,

dove 𝑦𝑦� è la media aritmetica dei valori di 𝑌𝑌 , �𝜎𝜎𝑦𝑦 √𝑚𝑚⁄ � è lo scarto quadratico medio della media e 𝑓𝑓(∆𝑥𝑥𝑎𝑎 ,∆𝑥𝑥𝑏𝑏) è la propagazione, secondo i modi 1) e 2) di sopra, degli errori ∆𝑥𝑥𝑎𝑎 e ∆𝑥𝑥𝑏𝑏 dei valori misurati, rispettivamente, di 𝑋𝑋𝑎𝑎 e di 𝑋𝑋𝑏𝑏 .

:

1 Da questa espressione si ricava facilmente che: ∆(𝑐𝑐 ∙ 𝑋𝑋) = |𝑐𝑐| ∙ ∆(𝑋𝑋) se 𝑐𝑐 ∈ ℝ e ∆(𝑋𝑋𝑞𝑞)/𝑋𝑋𝑞𝑞 = |𝑞𝑞| ∙ ∆(𝑋𝑋)/𝑋𝑋 se 𝑞𝑞 ∈ ℚ

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 8

Espressione delle misure ■ Notazione scientifica

Una misura è espressa in notazione scientifica quando è riportata come prodotto tra un coefficiente (formato dalle sole cifre significative della misura), maggiore o uguale a 1 e minore di 10.

■ Ordine di grandezza di un numero

È la potenza di 10 con esponente intero che meglio approssima quella misura ed in generale è ottenuta esprimendo la misura in notazione scientifica. L’ordine di grandezza permette facilmente di stimare una misura.

■ Cifre significative di una misura

Sono tutte quelle esatte e la prima incerta. Nell'eseguire calcoli con misure bisogna tenere presenti le due regole seguenti: - quando si calcola una somma o una differenza di misure, l'ultima cifra

significativa del totale si trova in corrispondenza dell'ultima colonna a destra che contiene il risultato di un'operazione tra cifre tutte significative;

- il numero di cifre significative di un prodotto di due o più misure e uguale al numero di cifre significative del fattore che ne ha di meno.

Quindi il risultato di un calcolo fra misure si effettua mediante la seguente procedura:

1. si calcola il risultato utilizzando tutte le cifre delle misure; 2. si determina il numero n di cifre significative del risultato mediante le due

regole di sopra; 3. si approssima il risultato con n cifre significative.

■ Approssimazione di una misura

Per approssimare una misura una misura a n cifre decimale, si guarda la cifra successiva alla n-esima: - se essa è minore o uguale a 5, la cifra viene eliminata assieme a quelle che

seguono e la precedente rimane identica; - se è maggiore di 5, la cifra viene eliminata e la precedente è aumentata di 1.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 9

Relazione di laboratorio La relazione di laboratorio è una relazione testuale che ha lo scopo di comunicare i risultati di un’esperienza di laboratorio e di illustrare le procedure sperimentali seguite per ottenerli. Per scrivere in modo adeguato una relazione di laboratorio, occorre tener presente che la relazione deve consentire a chi la legge di comprendere esattamente l’esperienza svolta in laboratorio, in modo da poterla ripetere. In generale una relazione di laboratorio deve essere articolata nei seguenti punti2

STRUTTURA

:

A COSA SERVE

Titolo Introduce l'esperimento.

Scopo esperimento Spiega l'obiettivo dell'esperimento e completa il titolo

Richiami teorici Elencano i principali concetti e le leggi fisiche the riguardano l'esperimento

Strumenti e materiale Deve contenere: • una tabella degli strumenti utilizzati (con portata e sensibilità); • una descrizione del materiale e, se utile, un disegno schematico che

mostra il montaggio del materiale

Procedimento Descrive in successione le fasi di svolgimento dell'esperimento

Raccolta dati Si presentano i dati sotto forma di tabella, con le rispettive incertezze.

Elaborazione dati

Si effettua l’analisi dei dati ottenuti che comprende: • la valutazione degli errori sistematici; • il calcolo delle incertezze; • grafici e calcoli.

Conclusioni Questa parte finale comprende: • la discussione dei risultati ottenuti; • la verifica del raggiungimento degli obiettivi; • l'eventuale proposta di modifiche per migliorare l'esperimento.

Di seguito è riportata, a scopo illustrativo, la relazione sul “moto rettilineo uniforme” (cioè il moto di un corpo che si muove rettilineamente con velocità costante) relativa all’esperienza di laboratorio di Fisica eseguita dai ragazzi della 2a M dell’I.P.S.I.A. “Cavour−Marconi”, sede di Olmo.

2 Tratto da Ugo Amaldi: L’Amaldi 2.0

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 10

I.P.S.I.A. “CAVOUR-MARCONI”

Sede di ……………..… - a.s. 20…/20…

Esperienza di Laboratorio di Fisica su:

moto rettilineo uniforme

Classe ..…../...… ,

alunni:

……..…………………………

………………………………..

……….……………………….

……….……………………….

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 11

Relazione3

• guida rettilinea a cuscino d'aria,

Scopo esperimento Verificare che un carrello (slitta con bandierina), in moto lungo una guida rettilinea orizzontale a cuscino d'aria, si muova con velocità costante. Richiami teorici Un carrello che si muove lungo una guida rettilinea a cuscino d'aria, disposta orizzontalmente, non risente di attriti apprezzabili; pertanto il suo moto può considerarsi rettilineo uniforme. Quando un corpo si muove di moto rettilineo uniforme, partendo dalla posizione 𝑠𝑠𝑜𝑜 = 0 m all’istante 𝑡𝑡𝑜𝑜 = 0 s , la sua velocità 𝑣𝑣 è descritta dalla legge: 𝑣𝑣 = 𝑠𝑠/𝑡𝑡, dove 𝑠𝑠 è la posizione del corpo al trascorrere del tempo 𝑡𝑡. Materiale e strumenti Il materiale utilizzato è costituito essenzialmente da:

• carrello per la guida, • due foto-traguardi, • filo di cotone, • peso, • piattello fermapeso, • compressore d’aria.

Gli strumenti di misura adoperati sono: scala graduata incisa sulla guida, cronometro elettronico collegato ai foto-traguardi;

le cui caratteristiche principali sono riportate nella tabella seguente:

Strumenti Sensibilità Portata scala graduata 0.001m 2m cronometro 0.001s

Tab. 1: caratteristiche degli strumenti di misura adoperati Il materiale e gli strumenti sono assemblati nell’apparato sperimentale rappresentato in figura:

Fig. 1: schema dell’apparato sperimentale utilizzato 3 Tratto da Ugo Amaldi: L’Amaldi 2.0

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 12

Procedimento Per assicurarsi che il moto si ripeta in ogni prova con le stesse caratteristiche, invece di dare una spinta manuale al carrello per farlo partire, si usa un sistema di traino (peso collegato al carrello) e, per imprimere al carrello sempre la stessa velocità iniziale, il peso termina la sua corsa sul piattello fermapeso prima che il carrello abbia attraversato il primo foto-traguardo. Disponendo i due foto-traguardi (collegati al cronometro digitale) a una certa distanza s tra loro lungo la rotaia: 1. si misura la distanza s fra i foto-traguardi, servendosi della scala graduata riportata sulla rotaia; 2. si accende il compressore e si appoggia il carrello alla guida in un punto prestabilito e poi lo si

lascia libero di partire, senza imprimergli spinte; 3. lasciato libero, il carrello passa davanti ai due foto-traguardi: il primo invia il segnale elettrico di

partenza del cronometro e il secondo quello di stop (nelle porte fotoelettriche, una lampadina invia un fascio luminoso a un dispositivo sensibile alla luce cosicché, quando la bandierina sopra il carrello interrompe il fascio, un segnale elettrico viene inviato al cronometro);

4. il cronometro misura il tempo t1 impiegato a percorrere la distanza s che separa i due foto-traguardi;

5. si ripetono altre due volte le operazioni precedenti senza modificare la distanza tra i foto-traguardi e si registrano i valori t2 e t3 del tempo;

6. spostando altre cinque volte la posizione del secondo foto-traguardo, cioè variando s, si ripetono le misure s, t1, t2 e t3.

Raccolta dati I valori misurati in tutte e sei le prove sperimentali sono registrati nella seguente tabella:

s(m) t1(s) t2(s) t3(s) 0.200 0.474 0.479 0.510 0.400 0.983 1.046 1.000 0.600 1.504 1.447 1.608 0.800 2.026 2.056 1.986 1.000 2.448 2.440 2.441 1.200 2.872 2.728 2.740

Tab. 2: valori misurati di s, t1, t2 e t3 nelle sei prove sperimentali la prima colonna contiene le distanze s tra i due foto-traguardi, mentre le altre contengono i tempi t1, t2, e t3 registrati dal cronometro per percorrere le distanze. Elaborazione dati Dalle misure si calcolano i valori della velocità: per ogni misura di s, utilizzando le corrispondenti misure di t1, t2, e t3, si calcola il rapporto 𝑣𝑣 = 𝑠𝑠/𝑡𝑡. Non potendo applicare l’espressione �̅�𝑣 = �̅�𝑠/𝑡𝑡̅ e disponendo di strumenti molto sensibili, conviene calcolare 𝑣𝑣 � e ∆𝑣𝑣 � solo dai valori misurati di 𝑣𝑣:

𝒗𝒗 = 𝒔𝒔/𝒕𝒕 (m/s) 0.421 0.418 0.392 0.405 0.385 0.400 0.399 0.416 0.373 0.395 0.389 0.403 0.408 0.410 0.410 0.433 0.440 0.438

𝒗𝒗� = 𝟎𝟎.𝟒𝟒𝟒𝟒 m/s 𝟑𝟑𝝈𝝈𝒗𝒗 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 m/s

Tab. 3: valori calcolati di 𝒗𝒗, 𝒗𝒗� e 𝟑𝟑𝝈𝝈𝒗𝒗

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 13

A scopo dimostrativo, si fa vedere che l’elevata sensibilità degli strumenti di misura consente di trascurare in ∆𝑣𝑣 � la componente sistematica 𝑓𝑓(∆𝑠𝑠,∆𝑡𝑡) rispetto a quella casuale:

∆𝑣𝑣 � = ��3𝜎𝜎𝑣𝑣 √18⁄ �2

+ 𝑓𝑓2(∆𝑠𝑠,∆𝑡𝑡) ≅ �3𝜎𝜎𝑣𝑣 √18⁄ � . Per valutare 𝑓𝑓(∆𝑠𝑠,∆𝑡𝑡) secondo le regole a pag.7, si tiene conto che gli errori ∆𝑠𝑠𝑚𝑚 e ∆𝑡𝑡𝑚𝑚 che si commettono nel misurare, rispettivamente, la generica distanza 𝑠𝑠𝑚𝑚 ed il corrispondente tempo 𝑡𝑡𝑚𝑚 dipendono dalle incertezze tecnico-strumentali per cui ∆𝑠𝑠𝑚𝑚 = (0.001 2⁄ )m e ∆𝑡𝑡𝑚𝑚 = (0.001 2⁄ )s . Pertanto la componente sistematica dell’errore assoluto su �̅�𝑣 vale:

𝑓𝑓(∆𝑠𝑠,∆𝑡𝑡) = ∆(�̅�𝑣) ≡ ∆�𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2 + ⋯+ 𝑣𝑣18

18 � =∆(𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2 + ⋯+ 𝑣𝑣18)

18=∆𝑣𝑣1 + ∆𝑣𝑣2 + ⋯+ ∆𝑣𝑣18

18 ,

dove l’errore sistematico ∆𝑣𝑣𝑚𝑚 del generico valore 𝑣𝑣𝑚𝑚 , secondo le regole a pag.7, è dato da:

𝑣𝑣𝑚𝑚 =𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚

⇒ ∆𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑚𝑚

=∆𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚

+∆𝑡𝑡𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚

⟺ ∆𝑣𝑣𝑚𝑚 = 𝑣𝑣𝑚𝑚 �∆𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚

+∆𝑡𝑡𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚� = 𝑣𝑣𝑚𝑚 �

0.001m2𝑠𝑠𝑚𝑚

+0.001s

2𝑡𝑡𝑚𝑚� , 𝑚𝑚 ∈ [1, 18].

Nel calcolare ∆(�̅�𝑣) si sono adoperate le espressioni dell’errore sia della somma che del prodotto di grandezze fisiche le cui misure sono fortemente dipendenti; in particolare si è considerata �̅�𝑣 come una grandezza fisica derivata dalle misure delle 𝑣𝑣𝑚𝑚 e si è tenuto conto (come riportato nella nota 1) che l’errore assoluto del prodotto di una costante 𝑐𝑐 per una grandezza fisica 𝑋𝑋 è pari al prodotto del valore assoluto della costante per l’errore assoluto della grandezza4

𝟒𝟒∆𝒗𝒗𝒏𝒏 m/s

: ∆(𝑐𝑐 ∙ 𝑋𝑋) = |𝑐𝑐| ∙ ∆(𝑋𝑋) Dunque, dalle espressioni ricavate sopra, si ottengono i dati in tabella:

0.003 0.003 0.003 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000

𝒇𝒇(∆𝒔𝒔,∆𝒕𝒕) = 𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒 m/s

Tab. 4: valori calcolati di ∆𝒗𝒗𝒏𝒏 e 𝒇𝒇(∆𝒔𝒔,∆𝒕𝒕)

Quindi: ∆𝑣𝑣 � = ��0.05 √18⁄ �2

+ (5 ∙ 10−4)2 m/s = �(0.012)2 + 25 ∙ 10−8 m/s ≅ 0.012 m/s Conclusioni Riportando i valori calcolati della velocità in Tab. 3 in funzione dei corrispondenti valori misurati del tempo in Tab. 2, si ottiene il grafico in Fig. 2. Per ciascun punto del grafico è stato riportato l’errore medio più probabile dei valori calcolati di 𝑣𝑣 (barretta verticale centrata sul punto), mentre sono stati trascurati gli errori dei valori misurati di 𝑡𝑡 giacché molto più piccoli del primo. Analogamente a quanto riportato al punto c) di pag.6 per ∆�̅�𝑥 , risulta che l’errore medio più probabile dei valori calcolati di 𝑣𝑣 vale 𝑘𝑘𝜎𝜎𝑣𝑣 dove 𝑘𝑘 può assumere il valore 1 (→p=68,27%), 2 (→p=95,45%) o 3 (→p=99,73%) ed indica il livello di probabilità (p) che uno qualunque dei valori calcolati di 𝑣𝑣 venga a cadere nell’intervallo [𝑣𝑣 � − 𝑘𝑘𝜎𝜎𝑣𝑣, 𝑣𝑣 � + 𝑘𝑘𝜎𝜎𝑣𝑣]; ad esempio, se 𝑘𝑘 = 3 si è certi di poter dire che quasi tutti i valori calcolati di 𝑣𝑣 saranno contenuti fra �𝑣𝑣 �– 3𝜎𝜎𝑣𝑣� e (𝑣𝑣 � + 3𝜎𝜎𝑣𝑣).

4 Questo risultato si ricava dall’errore del prodotto di due grandezze fisiche di cui una ha valore costante, osservando che l’errore della grandezza costante è ovviamente nullo.

I.P.S.I.A. “Cavour-Marconi” Appunti per il Laboratorio di Fisica 14

Fig. 2: grafico della velocità del carrello in funzione del tempo

Dalla Fig. 2 si deduce che la velocità 𝑣𝑣 del carrello, sulla base dei valori calcolati ed a meno degli errori sperimentali, si mantiene costante durante l’esperienza. Quindi, sulla guida rettilinea orizzontale a cuscino d’aria, il carrello si muove di moto rettilineo uniforme con velocità:

𝑣𝑣 = (0.42 ± 0.01) m/s

0,421

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000

velo

cità

(m/s

)

tempo (s)

velocità del carrello