Funzioni inversee disequazioni

LORENZO ROI

Edizioni HALPHA

c Edizioni HALPHA. Febbraio 2006. H

Il disegno di copertina rappresenta un particolare dellinsieme di Mandelbrotcentrato in (1.2897200621, 0.43530057) e ingrandito 7.6799275 108 volte.Titolo: Sfumature frattali.

INDICE

Capitolo 1

1.1 Funzioni inverse delle goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Equazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Disequazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . 12

Capitolo 2

2.1 Funzioni lineari in seno e coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Funzioni omogenee di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . 20

Capitolo 3

3.1 Equazioni e disequazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Metodi alternativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Tavola riassuntiva dei metodi discussi . . . . . . . . . . . . . . . 25

CAPITOLO 1

1.1 Funzioni inverse delle goniometricheI graci delle funzioni, denite in R, y = senx, y = cosx e y = tg x, sono a tuttinoti (gg. 1.1, 1.2). Questi suggeriscono con immediatezza la non invertibilita`delle funzioni circolari in quanto, se ad x R corrisponde una sola y (a partei valori x = /2 + k dove la tangente non e` calcolabile), ad una y in genere,corrispondono piu` valori di x.

y = senx

y = cosx

O 2

2

32

2

1

1

Fig. 1.1. Graci del seno e del coseno.

Trattandosi di funzioni periodiche, la corrispondenza

y ! x | x = f1(y)non e` soddisfatta e quindi le funzioni sopraddette non sono delle biiezioni. Inoltrein R non sono monoto`ne.

Ricordando quanto detto al riguardo dellesistenza delle applicazioni inverse*,sappiamo che anche si possa parlare di funzione inversa e` necessario che f : x y* 2.5 della dispensa sulle funzioni.

2 1.1 Funzioni inverse delle goniometriche

sia iniettiva. Daltra parte osservando i graci delle funzioni circolari e` possibiledeterminare degli intervalli, sottoinsiemi di R, dove le funzioni stesse sono iniet-tive (gg. 1.1, 1.2).

32 2 32

2

O

y = tg x

Fig. 1.2. Graco della tangente.

Rispettivamente per il seno, coseno e tangente, le possibili restrizioni del lorodominio negli intervalli I R

seno:[

2+ k,

2+ k

]

coseno:[k, (k + 1)

]tangente:

]

2+ k,

2+ k

[con k Z

permettono di ridenire delle funzioni invertibili. In tal modo possiamo disporredi due funzioni

f : A B f1 : B Ache sappiamo* soddisfano alle

f1 f = IA f f1 = IB ,dove la prima rappresenta lidentita` in A e la seconda quella in B: scritte intermini di equazioni rappresentative, assumono la forma

f1[f(x)

]= x per x A (1.1)

f[f1(y)

]= y per y B (1.2)

* 2.6 della dispensa gia` citata.

1.1 Funzioni inverse delle goniometriche 3

Si sceglie pertanto di restringere la funzione seno nellinsieme

[

2,

2

],

intervallo su cui e` strettamente crescente; linversa quindi di

sen : x y

o piu` esplicitamente

y = senx con x [

2,

2

]e y [1 ,+1]

si chiama arcoseno, si indica con il simbolo arcsen

arcsen : y x

ed e` tale che

x = arcsen y con y [1, 1] e x [

2,

2

].

Tenendo presente il teorema che assicura il medesimo carattere di monotonia siaper la funzione f che per la sua inversa f1, tale funzione risulta essere unabiiezione strettamente crescente dellintervallo [1, 1] sullintervallo [/2 , /2].Per ogni y [1, 1], x = arcsen y e` percio` lunico numero reale x [/2 , /2]tale che y = senx ossia x e` larco (o angolo) il cui seno e` y .

Il graco della funzione x = arcsen y risulta essere nientaltro che quello dellafunzione seno ristretto nel gia` detto intervallo. Difatti per conoscere i valoridella funzione arcoseno e` suciente leggere a rovescio la tabella dei valori delseno per gli intervalli sopra deniti.

Daltra parte onde mantenere la convenzione che associa alla variabile indipen-dente la lettera x e a quella dipendente la y, possiamo risalire al graco dellafunzione Y = arcsenX (g. 1.3) considerando quello simmetrico al graco diy = senx ottenuto con una simmetria assiale avente per asse la bisettrice b : y = xdel I e III quadrante ed espressa dalla equazioni*

{X = yY = x .

* 3.3 della dispensa sulle funzioni.

4 1.1 Funzioni inverse delle goniometriche

y = arcsenx

y = senx

1 2

O

12

1

2

1

2

Fig. 1.3. Graci del seno, dellarcoseno e proprieta` di simmetria.

Da tale rappresentazione risulta immediato rilevare la simmetria dispari dellafunzione arcoseno cioe` la validita` dellidentita`

arcsen(x) = arcsen(x) x [1, 1] ,diretta conseguenza dellanaloga proprieta` del seno.

Pure evidente emerge la gia` nominata proprieta` di monotonia strettamente cre-scente rappresentata dalle disequazioni

x1 < x2 arcsenx1 < arcsenx2 con x1, x2 [1, 1] (1.3)e che discendono da quelle per il seno

x1 < x2 senx1 < senx2 con x1, x2 [

2,

2

]. (1.4)

Inne si osservi che lanaloga di (1.1) risulta essere

arcsen(senx) = x x [

2,

2

](1.5)

mentre, per ogni x R risultaarcsen(senx) = x

dove x e` lunico punto di [/2 , /2] tale chesenx = senx

1.1 Funzioni inverse delle goniometriche 5

(si veda la g. 1.4 e il successivo esercizio).

Per ogni x [1, 1] si ha poisen(arcsenx) = x , (1.6)

che costituisce il caso particolare della (1.2), dove va ricordato che la y e` statarinominata x.

Esercizio 1.1. A conferma del fatto che in generale x = arcsen(senx) implicax = x si propone lo studio del graco delle seguenti funzioni in R:

y = arcsen(senx) y = arccos(cosx)

e di y = arctg(tg x) denita per x R {/2 + k} con k Z. Calcolando lediverse funzioni in un numero suciente di punti (con il calcolatore tascabile, masi puo` pure arontare il problema formalmente), emerge con evidenza che y = x.(La figura successiva mostra come la prima funzione mappi un qualsiasi valoreesterno a [/2, /2] nellintervallo stesso.)

xx 22

senx

Fig. 1.4. Signicato di x = arcsen(senx).

Procedendo analogamente, per la funzione coseno si sceglie la restrizione nellin-tervallo [0, ], in tal modo inducendo una biiezione strettamente decrescente diquesto intervallo su [1, 1]. Linversa quindi di

cos : x yossia

y = cosx con x [0 , ] e y [1 , 1]si chiama arcocoseno, viene indicata dalla scrittura arccos e simbolicamente come

arccos : y x ,ed e` tale che

x = arccos y con y [1,+1] e x [0 , ] .

6 1.1 Funzioni inverse delle goniometriche

11

1

2

1

2

y = arccosx

y = cosx

O

Fig. 1.5. Graci del coseno e dellarcocoseno.

Per ogni y [1, 1], x = arccos y e` percio` lunico numero reale x [0 , ] tale chey = cosx ossia x e` larco (o angolo) il cui coseno e` y.

Sottoponendo il graco del coseno alla simmetria assiale che scambia gli assicoordinati e denita sopra, si ottiene quello della funzione y = arccosx (g. 1.5).

Le proprieta` di monotonia strettamente decrescente si sintetizzano nelle

x1 < x2 arccosx1 > arccosx2 con x1, x2 [1, 1] (1.7)

che discendono da quelle per il coseno

x1 < x2 cosx1 > cosx2 con x1, x2 [0 , ] . (1.8)

Le analoghe espressioni di (1.1) e (1.2) sono:

arccos(cosx) = x x [0 , ] (1.9)

cos(arccosx) = x per x [1 , 1] . (1.10)Va notato ancora che la (1.9) vale se e solo se x [0 , ] mentre se non appartienea questo intervallo e` arccos(cosx) = x ossia, in generale e`

arccos(cosx) = x

1.1 Funzioni inverse delle goniometriche 7

dove x risulta quel numero appartenente a [0 , ] che soddisfa alla cosx = cosx(vedi esercizio 1.1).

Inne restringendo la funzione tangente allintervallo ] /2 , /2[ si ottiene unabiiezione strettamente crescente di questo intervallo in R. Linversa di

tg : x y

cioe`

y = tg x con x ]

2,

2

[e y R

viene detta arcotangente, e` identicata dai simboli arctg o arctan cioe`

arctg : y x

ed e` tale che

x = arctg y con y R e x ]

2,

2

[.

Il numero x = arctg y rappresenta quellunico valore reale che soddisfa alla y =tg x ossia x esprime larco (o angolo) la cui tangente e` y . Il graco (g. 1.6),ottenuto con la consueta operazione di simmetria, evidenzia la simmetria disparidella funzione e la sua monotonia strettamente crescente.

2

2

O

y = tg x

y = arctg x

2

2

Fig. 1.6. Graci della tangente e arcotangente.

8 1.2 Funzioni inverse delle goniometriche

Valgono pertanto le seguenti identita` e relazioni:

simmetria: arctg(x) = arctg x x Rmonotonia: x1 < x2 arctg x1 < arctg x2 con x1, x2 R (1.11)

che discendono da quelle per la tangente

x1 < x2 tg x1 < tg x2 con x1, x2 ]

2,

2

[. (1.12)

Inoltre, con considerazioni analoghe a quelle fatte per il seno e coseno e`

arctg(tg x) = x x ]

2,

2

[(1.13)

mentretg(arctg x) = x (1.14)

per ogni x R.E` interessante notare landamento asintotico della funzione y = arctg x e chediscende da quello della tangente, avendo questa due asintoti verticali di equazionix = /2 e x = /2. Con scrittura informale risulta,

x + y +2

x y 2

,

espressioni che nellAnalisi verranno riprese entro un opportuno quadro teorico.

Per concludere e` facile dimostrare la seguente identita`:

arcsenx + arccosx =

2.

Difatti posto = arcsenx, discende x = sen = cos(/2 ). Poiche

/2 < < /2

risulta pure0 < (/2 ) <

cosicche (

2

)= arccosx

da cui la tesi.

1.2 Equazioni goniometriche elementari 9

1.2 Equazioni goniometriche elementariVolendo risolvere le equazioni goniometriche elementari

senx = m cosx = m tg x = n

e ricollegandoci alle osservazioni nali fatte per ciascuna delle funzioni inversesopra denite, possiamo dire che se m / [1 , 1] le prime due non hanno soluzioni,mentre se m [1 , 1] lequazione senx = m possiede innite soluzioni. Difatti,riscrivendo lequazione senx = m nella forma{ y = senx

y = m,

e` possibile identicare la ricerca delle sue soluzioni con quella delle ascisse deipunti di intersezione delle due funzioni del sistema. Poiche i graci di questeultime sono noti, osservando la g. 1.7, e` possibile concludere che le soluzionicostituiscono un insieme numerabile di numeri reali.

+ 2

y = m

Fig. 1.7. Interpretazione graca dellequazione senx = m.

Per determinare questo insieme e` suciente conoscere un unico valore dellango-lo (si veda la g. 1.7) con [/2, /2] in corrispondenza del quale il seno valem ossia sen = m. Tale valore e` fornito dalla funzione = arcsenm cosicchelinsieme cercato si puo` rappresentare tramite le espressioni

x = arcsenm + 2k e x = arcsenm + 2k (k Z),

per le quali esiste pure una forma piu` compatta

x = (1)k arcsenm + k (k Z).

Analogamente, se m [1 , 1] lequazione cosx = m si puo` interpretare comelintersezione delle due funzioni { y = cosx

y = m.

10 1.2 Equazioni goniometriche elementari

2

y = m

Fig. 1.8. Interpretazione graca dellequazione cosx = m.

Osservando la g. 1.8 e determinato quellunico valore dellangolo il cui cosenovale m cioe` = arccosm con [0, ], le soluzioni sono date da

x = arccosm + 2k (k Z).

Inne linterpretazione dellequazione tg x = n con n reale qualsiasi tramite ilsistema {

y = tg xy = n,

(g. 1.9) conduce alle soluzioni

x = arctg n + k (k Z),

essendo = arctgn.

O +

y = n

2

2

Fig. 1.9. Interpretazione graca dellequazione tg x = n.

1.3 Equazioni goniometriche elementari 11

Le equazioni senx = m, cosx = m e tg x = n possiedono pure una diversainterpretazione che spesso risulta piu` comoda ed immediata. Difatti tenendopresenti le denizioni del seno e del coseno e` noto che si pone senx = yP ecosx = xP cioe`, il seno di un angolo e` interpretabile come lordinata di unpunto P appartenente alla circonferenza goniometrica e individuato dal latovariabile dellangolo x: il coseno invece ne rappresenta lascissa. Da cio` segueche lequazione senx = m si puo` riscrivere come yP = m. Poiche P allorax2P + y

2P = 1 per cui si ottiene il sistema{ yP = m

x2P + y2P = 1,

e la ricerca delle soluzioni dellequazione goniometrica iniziale equivale dal puntodi vista geometrico allindividuazione delle intersezioni della retta orizzontaleyP = m con la circonferenza goniometrica (vedi g. 1.10).

P yP = m

11

1

1

Fig. 1.10. Interpretazione alternativa dellequazione senx = m.

Per il coseno invece lequazione cosx = m diviene xP = m per cui la ricerca dellesue soluzioni si riconduce alla risoluzione del sistema{xP = m

x2P + y2P = 1,

costituito da una retta verticale e dalla circonferenza goniometrica (g. 1.11).

Nel caso della tg x = n poiche tg x = yQ con Q punto della retta t : x = 1tangente a in (1, 0), lequazione iniziale si puo` riscrivere come yQ = n edequivale a determinare il punto Q di t che possiede ordinata pari a n (g. 1.12).

Onde evitare comunque facili fraintendimenti va sottolineato che le interpretazionigrache proposte per le equazioni goniometriche elementari costituiscono essen-zialmente un supporto visivo alla risoluzione in quanto solo la conoscenza delle

12 1.3 Disequazioni goniometriche elementari

P

xP = m

11

1

1

Fig. 1.11. Interpretazione alternativa dellequazione cosx = m.

11

1

1

QyQ = n

Fig. 1.12. Interpretazione alternativa dellequazione tg x = n.

funzioni inverse delle goniometriche permette di denire correttamente langolo e quindi linsieme delle soluzioni (nel caso ovviamente che questo insieme nonsia vuoto).

1.3 Disequazioni goniometriche elementariLa risoluzione delle disequazioni elementari e quindi della forma

senx > m cosx > m tg x > n

oppure dellasenx < m cosx < m tg x < n

si puo` facilmente ricondurre alla risoluzione delle relative equazioni associate.Difatti volendo risolvere senx > m e supposto m [1, 1], la ricerca dei valori di

1.3 Disequazioni goniometriche elementari 13

x per cui la precedente disequazione si riduce ad una diseguaglianza vera, equivalealla determinazione delle ascisse dei punti del graco della funzione y = senx chepossiedono ordinata maggiore dei corrispondenti punti appartenenti alla rettay = m (evidenziati in rosso in g. 1.13). In base alla gura e` quindi immediatodedurre che cio` si verica per tutte le x appartenenti agli intervalli

+ 2k < x < ( ) + 2k (k Z),dove si ottiene ancora tramite = arcsenm.

+ 2

y = m

Fig. 1.13. Interpretazione graca della disequazione senx > m.

Se invece si vogliono ricercare le soluzioni di senx < m, dallo stesso graco sideduce che queste sono rappresentate dallinsieme di valori (in nero)

( ) + 2k < x < + 2k (k Z).

In modo del tutto analogo si puo` interpretare la disequazione cosx > m percui, in base al graco di g. 1.8 discende che le soluzioni saranno rappresentatedallinsieme

cosx > m + 2k < x < + 2k (k Z)con = arccosm. Se invece si vuole cosx < m, le soluzioni sono individuatedalla scrittura

cosx < m + 2k < x < (2 ) + 2k (k Z).

Nel caso che sia m [1, 1] le soluzioni delle relative disequazioni si ottengonoimmediatamente in quanto e` noto il codominio della funzione seno: allora se

m > 1 senx > m = x Rm < 1 senx > m = x Rm > 1 senx < m = x R

m < 1 senx < m = x R

14 1.3 Disequazioni goniometriche elementari

Analoghe espressioni si ottengono sostituendo al senx il cosx.

Inne, riprendendo il graco di g. 1.9, e con le medesime modalita` discende

tg x > n + k < x < 2

+ k con = arctg n (k Z)

oppure

tg x < n 2

+ k < x < + k con = arctg n (k Z).

Sulla base invece dellinterpretazione che fa uso della circonferenza goniometrica, gli angoli che soddisfano alla senx > m sono individuati dai punti di cheappaiono in rosso nella gura 1.14a. I punti di che soddisfano alla cosx > msono invece evidenziati sempre in rosso in gura 1.14b. Inne per la tangente sipuo` utilizzare una rappresentazione del tipo di gura 1.15 che mette in evidenzai punti di che soddisfano alla tg x > n.

yP = m

11

1

1

a) senx > m

xP = m

11

1

1

b) cosx > m

Fig. 1.14. Interpretazioni grache alternative per senx > m e cosx > m.

1.0 Disequazioni goniometriche elementari 15

11

1

1

y = n

Fig. 1.15. Interpretazione graca alternativa della disequazione tg x > n.

CAPITOLO 2

2.1 Funzioni lineari in seno e cosenoIl problema che si vuole arontare e` di studiare le caratteristiche generali dellafunzione lineare in senx e cosx di equazione

y = a senx + b cosx + c

detta anche funzione omogenea di primo grado.*

Iniziamo con alcune semplici osservazioni introduttive. Le proprieta` e il gra-co della funzione y = senx sono ben noti. Piu` in generale, se consideriamolespressione y = a senx con a costante reale qualsiasi, il codominio e` alloralinsieme dei valori reali compresi tra a e a ossia lintervallo chiuso [a, a]: di-fatti essendo 1 senx 1 moltiplicando per a e` pure a a senx a. Ilgraco di y = a senx e` sostanzialmente analogo a quello del seno a parte quindiil codominio e il coeciente a si dice ampiezza ed esprime lentita` dello stira-mento subito dalla funzione seno (g. 2.1). Analoghe osservazioni si possonofare ovviamente anche per il coseno.

Consideriamo ora la funzione

f : x y = a senx + b cosx + c (2.1)

dove a, b, c rappresentano delle costanti reali date. Questa e` denita per x Rossia si puo` calcolare per qualsiasi valore di x in quanto costruita con le funzioni

* In taluni testi viene detta omogenea di primo grado la funzione avente il terminenoto c = 0.

2.1 Funzioni lineari in seno e coseno 17

1 2 3 4 5 6 71234

1

2

1

2

y = 2 senx

Fig. 2.1. Graci delle funzioni y = senx e y = a senx per a = 2.

seno e coseno ovunque calcolabili e con operazioni di addizione e moltiplicazione.Il dominio e` pertanto linsieme R. Poiche

sen(x + 2) = senx e cos(x + 2) = cosx,

la (2.1) per la

f(x + 2) = a sen(x + 2) + b cos(x + 2) + c= a senx + b cosx + c = f(x)

risulta periodica con periodo T = 2: cio` signica che il suo graco si ripetera`sul piano cartesiano ad intervalli di ampiezza 2 analogamente a quanto succedeper il seno e il coseno.

Supponiamo a = 0 (successivamente discuteremo a = 0): allora (2.1) si puo`riscrivere come

y = a senx + b cosx + c = a senx +ab

acosx + c

= a(senx +

b

acosx

)+ c. (2.2)

Il numero b/a e` noto e poiche sappiamo che la tangente assume tutti i valorireali quando il suo angolo varia tra /2 e /2, in corrispondenza al valore b/ae` sempre possibile determinare un angolo con ] 2 , 2 [ tale che

tg = b/a.

18 2.1 Funzioni lineari in seno e coseno

Langolo e` fornito dalla funzione inversa della tangente ossia

= arctg(

b

a

),

per cui la (2.2) diviene

y = a(senx + tg cosx) + c = a(senx +

sencos

cosx)

+ c :

eseguendo il minimo comune denominatore allinterno della parentesi

y = a(

senx cos + sen cosxcos

)+ c

e ricordando la formula di addizione per il seno, sen(x + ) = senx cos +sen cosx abbiamo

y =a sen(x + )

cos+ c =

(a

cos

)sen(x + ) + c. (2.3)

Il coecienteA =

a

cos(2.4)

e` una costante che puo` essere espressa tramite a e b: difatti basta esprimere cosin termini di tg che e` nota e poiche ]2 , 2 [ e` pure cos > 0, per cui

cos =1

1 + tg2 : sostituendo tg =

b

a

cos =1

1 +(

b

a

)2 = 11 +

b2

a2

=1

a2 + b2

a2

=|a|

a2 + b2

e (2.4) diviene

A =a

cos=

a( |a|a2 + b2

) = a|a|

a2 + b2. (2.5)

2.1 Funzioni lineari in seno e coseno 19

In denitiva y = a senx + b cosx + c si puo` riscrivere come

y = A sen(x + ) + c (2.6)

con A denito dalla (2.5) e langolo dalla = arctg(b/a).

La forma appena ottenuta per la funzione f suggerisce di applicare a questa unasemplice traslazione.* Difatti, portando a primo membro la costante c risultay c = A sen(x + ) per cui denita la traslazione

:{

y = y cx = x +

e la sua inversa 1 :{

y = y + cx = x , (2.7)

la funzione trasformata f assume la forma

y = A senx

il cui graco per quanto detto allinizio, e` noto. f non e` altro che la funzioneseno avente unampiezza pari ad A (g. 2.2).

y = A senx

O 2

2

32

2

A

A

c

y = A sen(x + ) + c

t

Fig. 2.2. Graco di f ottenuto come traslazione di y = A senx.

Risulta ora immediato risalire al graco della funzione originaria f . Difattiriprendendo le equazioni (2.7) della traslazione inversa 1{

y = y + cx = x ,

emerge che si ottiene traslando il graco di f del vettore t = (, c) (g. 2.2)ossia, usando termini meno formali ma comunque sucientemente descrittivi,

* Si veda a tale proposito il 3.5 della dispensa sulle trasformazioni.

20 2.2 Funzioni omogenee di secondo grado

si deduce traslando verso sinistra quello di f di una quantita` pari ad se > 0 (viceversa se < 0) e verso la direzione positiva dellasse delle ordinate sec > 0 (viceversa se c < 0).

Per esempio il punto (0, 0) di f e` immagine tramite del punto di coordinate(, c). Pertanto riferendoci al graco di f , esprime lentita` della traslazioneorizzontale mentre c determina quella verticale. Con una terminologia mutuatadalla Fisica viene detto termine di sfasamento e molto spesso semplicementefase.

In denitiva, il graco della funzione lineare f : x a senx+b cosx+c si ottienetraslando opportunamente il graco generalmente stirato della funzione seno.*

Rimane da trattare leventualita` che sia a = 0. In tali ipotesi la (2.1) si riduce ay = b cosx + c che si puo` riscrivere come

y c = b cosx.

Denita la traslazione di equazioni

{y = y cx = x

la funzione f possiede limmagine f descritta da

y = b cosx

che rappresenta un coseno di ampiezza b. Con osservazioni analoghe alle prece-denti possiamo concludere che il graco di y = b cosx + c risulta essere quello diun coseno di opportuna ampiezza b traslato solo verticalmente di un tratto c.

2.2 Funzioni omogenee di secondo gradoPure la funzione omogenea di II grado in seno e coseno puo` essere studiata con ilmetodo descritto nella precedente sezione. Difatti data la sua equazione generale

y = a sen2 x + b cos2 x + c senx cosx + d (2.8)

con a, b, c, d costanti reali note, utilizzando le formule di bisezione

sen2 x =1 cos 2x

2cos2 x =

1 + cos 2x2

* Tale stiramento, nellambito di uno studio piu` completo sulle trasformazioni li-neari, si esprime attraverso una semplice trasformazione ane.

2.2 Funzioni omogenee di secondo grado 21

e di duplicazione senx cosx = 12 sen 2x, si puo` riscrivere la (2.8) come

y = a(

1 cos 2x2

)+ b

(1 + cos 2x

2

)+

c

2sen 2x + d

=a

2 a

2cos 2x +

b

2+

b

2cos 2x +

c

2sen 2x + d

=(

c

2

)sen 2x +

(b a

2

)cos 2x +

(a + b

2+ d

)

che con le posizioni

A =c

2B =

b a2

C =a + b

2+ d

si trasforma iny = A sen 2x + B cos 2x + C (2.9)

che e` una funzione lineare ma relativa allangolo doppio 2x. Cio` implica* che laperiodicita` di (2.9) sia pari a anziche a 2: difatti

f(x + ) = A sen 2(x + ) + B cos 2(x + ) + C= A sen(2x + 2) + B cos(2x + 2) + C= A sen 2x + B cos 2x + C = f(x).

La (2.9) a sua volta, e con il metodo della precedente sezione, si puo` ricondurrealla forma y = E sen(2x + ) + C e quindi il suo graco corrisponde a quello delseno opportunamente traslato ma dove unoscillazione completa corrisponde adun intervallo di ampiezza .

Conviene inne osservare che le trasformazioni presentate per le funzioni linearie omogenee hanno validita` generale in quanto non ce` mai stata la necessita` diimporre delle restrizioni alla variabile reale x.

* E` immediato dimostrare che data una funzione del tipo f(x) = sen ax (oppure f(x)= cos ax) questa risulta periodica con periodo T = 2/a. Difatti

f(x + 2/a) = sen a(x + 2/a) = sen(ax + 2) = sen ax = f(x).

CAPITOLO 3

3.1 Equazioni e disequazioni omogeneeI metodi presentati precedentemente nello studio delle funzioni omogenee di I eII grado si possono estendere pure al problema della ricerca delle soluzioni di unaequazione o disequazione lineare in senx e cosx cos` come alle omogenee di grado2. Difatti volendo risolvere la disequazione lineare

a senx + b cosx + c 0

basta applicare ad essa il procedimento che la trasforma nella disequazione

A sen(x + ) + c 0.

Questa e` facilmente risolvibile dato che con pochi passaggi si puo` ricondurre aduna disequazione elementare avente la forma

sen(x + ) cA

se A > 0

oppuresen(x + ) c

Ase A < 0.

In modo del tutto analogo la disequazione omogenea di II grado

a sen2 x + b cos2 x + c senx cosx + d 0

si puo` riscrivere con successive trasformazioni nella forma elementare

E sen(2x + ) + C 0

3.2 Metodi alternativi 23

da cui, a seconda del segno di E, discende la forma canonica

sen(2x + ) CE

se E > 0

oppure

sen(2x + ) CE

se E < 0

con C/E costante nota.

3.2 Metodi alternativiAi metodi di risoluzione presentati nella sezione precedente si aancano altre me-todologie pure di carattere generale, e che hanno per obiettivo la trasformazionedella disequazione (o equazione) data in una disequazione (o equazione) razionalerelativa ad una sola funzione goniometrica.

Nel caso della disequazione lineare

a senx + b cosx + c 0 (3.1)

si dimostrano utili le identita` che esprimono il seno e il coseno in termini dellatangente dellangolo meta` ossia

senx =2 tg x2

1 + tg2 x2cosx =

1 tg2 x21 + tg2 x2

. (3.2)

Poiche queste valgono per x = +2k va controllato preventivamente se i valorix = + 2k sono delle soluzioni della (3.1). A tal ne basta sostituire questivalori e vericare se la disuguaglianza che si ottiene risulta soddisfatta o meno.Successivamente considerando x = + 2k e posto t = tg x2 si sostituiscono le(3.2) in (3.1) ottenendo

a

(2t

1 + t2

)+ b

(1 t21 + t2

)+ c 0

da cui moltiplicando per 1 + t2 > 0 discende

2at + b bt2 + c + ct2 0

ossiat2(c b) + 2at + (b + c) 0

che costituisce unespressione razionale nellincognita ausiliaria t. La risoluzionedella precedente conduce quindi a delle disequazioni elementari della funzionetg x2 .

24 3.2 Metodi alternativi

Analogamente le omogenee di II grado

a sen2 x + b cos2 x + c senx cosx + d 0 (3.3)si riconducono ad una espressione razionale dividendo entrambi i membri percos2 x > 0. Ovviamente e in modo analogo a quanto delineato sopra, vannostudiati a parte (e preventivamente) i valori dove risulta cosx = 0 cioe` in x =2 + k. Per x = 2 + k discende invece

asen2 xcos2 x

+ b + csenxcosx

+d

cos2 x 0

e poichesenxcosx

= tg x e1

cos2 x= 1 + tg2 x

risultaa tg2 x + b + c tg x + d(1 + tg2 x) 0.

Posto tg x = t la precedente diviene una disequazione razionale di II grado nellavariabile t

t2(a + d) + ct + (b + d) 0la cui risoluzione conduce a delle disequazioni elementari della funzione tg x.

Vogliamo inne trattare una forma particolare delle disequazioni lineari ma chesi incontra abbastanza di frequente nei problemi e cioe` il caso in cui sia nullo iltermine noto c. Allora la disequazione assume la forma

a senx + b cosx 0 (3.4)e ai metodi gia` discussi si aggiungono altre due possibili alternative.

La prima consiste nello studiare a parte il caso cosx = 0 ossia va analizzato se ivalori x = 2 + k sono delle soluzioni della (3.4) e successivamente, nellipotesiche sia x = 2 + k e fattorizzando il cosx, la disequazione si puo` riscrivere come

a senx + b cosx 0 = cosx(a tg x + b) 0 :di conseguenza si possono ottenere le sue soluzioni tramite lo studio del segno deidue fattori.

In alternativa, a seconda delle ipotesi sul segno di cosx, la disequazione (3.4)risulta equivalente ai due sistemi{

cosx > 0a tg x + b 0

{cosx < 0a tg x + b 0

e nel caso sia cosx = 0, ancora una volta vanno trattati a parte i valori x = 2+k.

Come si puo` ben vedere anche i metodi generali presentati inizialmente in que-sta sezione necessitano di alcune ipotesi restrittive che obbligano ad uno studioseparato per alcuni valori della variabile. Questa limitazione non sussiste inveceper i metodi della sezione 3.1.

3.3 Tavola riassuntiva dei metodi discussi 25

3.3 Tavola riassuntiva dei metodi discussi

DISEQUAZIONI LINEARI

Metodi generali

1) a senx + b cosx + c 0 = A sen(x + ) + c 0Non contiene limitazioni su x.

2) a senx + b cosx + c 0 = A tg2 x2

+ B tgx

2+ C 0

per x = + 2k.x = + 2k si deve studiare a parte.

Metodi particolari: c = 0

3) a senx + b cosx 0 = cosx(a tg x + b) 0 per x = 2

+ k

Si studia il segno di entrambi i fattori e, a parte, il caso x = 2 +k dove cosx = 0.

4) a senx + b cosx 0 ={

cosx > 0a tg x + b 0

{cosx < 0a tg x + b 0

Si studia a parte il caso x = 2 + k dove cosx = 0.

DISEQUAZIONI OMOGENEE DI II GRADO

Metodi generali

1) a sen2 x + b cos2 x + c senx cosx + d 0= A sen 2x + B cos 2x + C 0 = E sen(2x + ) + C 0

Non contiene limitazioni su x.

2) a sen2 x + b cos2 x + c senx cosx + d 0= A tg2 x + B tg x + C 0 se x =

2+ k.

x = 2 + k si deve studiare a parte.