INTRODUZIONE ALL‟ANALISI DEI...

Università degli Studi

di Pavia

Dipartimento di

Informatica e Sistemistica

INTRODUZIONE ALL‟ANALISI

DEI SISTEMI

Dipartimento di Informatica e Sistemistica

Università di Pavia


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi dinamiciIl concetto di sistema

Un sistema è un‟entità caratterizzata da alcune grandezze interne x(t),

supposte osservabili, la cui evoluzione è regolata da alcune grandezze

esterne u(t) mediante una equazione differenziale del tipo:

u(t)x(t)

x(t)

Modello Dinamico )(),()(

tutxfdt

tdx


di Pavia

Dipartimento di


Modelli dinamici

Modelli matematici

in grado di descrivere il comportamento degli oggetti o dei

fenomeni considerati anche quando le variabili in gioco non sono

tutte costanti nel tempo

n

Ru

Rx

m

nvariabili di stato

variabili di ingresso

ordine del sistema

)(),()(

tutxfdt

tdx


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi del I ordine

esempi


di Pavia

Dipartimento di


Serbatoio a efflusso forzato

h

qi

qo

S

h = livello

S = area della sezione (costante)

qi = portata volumetrica d’ingresso (imposta)

qo = portata volumetrica d’uscita (imposta)

Equazione di bilancio di massa

)()(1)(

tqtqSdt

tdhoi


di Pavia

Dipartimento di


22

22

oambpamb vPgh

vP

Serbatoio a efflusso libero

h

qi

qo

S

Da cui

Equazione di Bernulli

Poiché si ottiene0pv

)(2)( tghtvo

)(2)( tghktqo

k = area sezione efflusso


di Pavia

Dipartimento di


)()(1)(

tqtqSdt

tdhoi

)(2)( tghktqo


h

qi

qo

S

h = livello


qi = portata volumetrica d’ingresso


Dall‟equazione di Bernoulli



di Pavia

Dipartimento di



h

qi

qo

S

h = livello


qi = portata volumetrica d’ingresso


Dall‟equazione di Bernoulli


)(2)( tghktqo

)(2)(1)(

tghktqSdt

tdhi


di Pavia

Dipartimento di


Circuito elettrico

Equazione del condensatore

Equazione della resistenza

RC

tv

RC

tvtv

gcc

)()()(

Riv

ivC

R

c

Legge di Kirchoff‟s alla maglia

cccg vvCRviRv

Cgv

cv

R Rv


di Pavia

Dipartimento di


Economia nazionaleun modello keynesiano - I

Siano:

Y = prodotto nazionale lordo

C = consumi delle famiglie

I = investimenti delle imprese, della pubblica amministrazione,

al netto delle imposte, le esportazioni al netto delle

importazioni

Risulta

Y = C + I


di Pavia

Dipartimento di


Economia nazionaleun modello keynesiano - II

I consumi delle famiglie aumentano all‟aumentare del prodotto

nazionale lordo

Aumentando gli investimenti aumentano

anche i consumi e cresce il prodotto nazionale

lordo. Se le famiglie consumano molto,

tenderanno a diminuire il consumo in futuro

con un coefficiente opportuno a.

a e b sono opportuni

coefficienti positivi. Fu la ricetta per uscire dalla

grande depressione dopo il

„29. Infatti, secondo le teorie

keynesiane,il livello di

occupazione è dettato dal

prodotto nazionale lordo

)()()()()(

tbItCabtbYtCadt

tdC


di Pavia

Dipartimento di


Modelli di crescita delle popolazioniModello di Malthus (1798) - crescita esponenziale

x = numero degli individui (concentrazione)

b = tasso di nascita

d = tasso di mortalità

Modello di Verhulst (1848) - “logistic growth” - crescita limitata

K = “capacità della popolazione” dovuta a limiti nella disponibilità

di alimento (substrato), a limiti di spazio, ad altri fattori che

impediscono la crescita

)()()(

tdxtbxdt

tdx

K

txtbx

dt

tdx )(1)(

)(

)0()( )( xetx tdb


di Pavia

Dipartimento di


Modelli di crescita delle popolazioniModello 1- crescita esponenziale

Modello più semplice: soluzione esplicita ma non realistica

Modello 2 - crescita limitata

)()()(

tdxtbxdt

tdx

K

txtbx

dt

tdx )(1)(

)(

)0()( )( xetx tdb

Modello più complesso: soluzione più difficile da calcolare ma maggior precisione

Qual è il migliore? Dipende dalle necessità


di Pavia

Dipartimento di


Logistic growth

Inserire figura

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

x/K b=1


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi del II ordine

esempi


di Pavia

Dipartimento di


Carrello

x

F

Carrello collegato a una molla e un

pistone con coefficienti k ed h

rispettivamenteM

nterisultaFMa

Entrambi creano delle forze

d‟attrito al moto

La forza di attrito dovuta alla

molla è proporzionale alla

posizione, mentre quella dovuta al

pistone è proporzionale alla

velocità

)(txkFmolla

)(txhFpistone


di Pavia

Dipartimento di


Carrello

x

F

Supponendo che ci sia una forza di

attrito proporzionale alla posizione

e una proporzionale alla velocità

risulta

M

)()()()( tFtxhtkxtxM

è modello il , , , Posto 21 Fuxxxx

)()( 21 txtx

)()()(1

)( 212 tuthxtkxM

tx


di Pavia

Dipartimento di


Pendolo

l

M

u

braccioFC

FMa tot

Il momento del pendolo viene eguagliato alla coppia

totale (contributo della forza peso + coppie)

Il pendolo è soggetto a una coppia motrice u e

a una coppia d‟attrito proporzionale alla

velocità angolare che si oppone al moto.

)(

)()(

tkC

tsenlMgCtsenMgF

attrito

Fpeso


di Pavia

Dipartimento di


Pendolo

l

M

u

)()())(( tutktsenlMgCtot

totCMal

alsls

)()())(()( tutktsenlMgtMll

)()())(()(2 tutktsenlMgtMl


di Pavia

Dipartimento di


Pendolo

l

M

u

)()())(()(2 tutktglMsintMl

Posto il modello è 21 , xx

)(1

)())(()(

)()(

22212

21

tuMl

txMl

ktxsin

l

gtx

txtx

Supponendo che ci siano una coppia motrice u

e una coppia di attrito proporzionale alla

velocità angolare, risulta


di Pavia

Dipartimento di


Cinetica battericadinamica delle colonie batteriche (alghe, lieviti, batteri,

protozoi) utilizzate per la produzione di enzimi

substrato

biomassa

d

d

x = concentrazione della biomassa

S = concentrazione del substrato

d = portata specifica alimentazione substrato

Reattore a volume costante


di Pavia

Dipartimento di


Cinetica battericadinamica delle colonie batteriche (alghe, lieviti, batteri,

protozoi) utilizzate per la produzione di enzimi

substrato

biomassa

d

dReattore a volume costante

Nel substrato l‟alimento viene trasformato con una velocità

nel prodotto. Il tasso con cui viene trasformato dipende dalla

concentrazione x. In ingresso e in uscita abbiamo un quantitativo

proporzionale a d (ed eventualmente a una definita) .

1k

iS


di Pavia

Dipartimento di


Modello di Monod (1914)

(o di Michaelis-Menten)Il tasso di crescita R dipende dalla concentrazione S dell‟alimento

(substrato)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1curva di Monod

S/Ks

R/m

o

SK

SSRR

S 0)(

Valore limite di R per

Cost. uguale a S per cui R=0.5

SK

0 S

0


di Pavia

Dipartimento di


Cinetica battericamodello matematico

)()()(

)()(

)()()(

)()(

01

0

tSSdtxtSK

tSk

dt

tdS

tdxtxtSK

tS

dt

tdx

i

S

S

1k

Siconcentrazione dell’alimentazione del substrato

fattore di resa


di Pavia

Dipartimento di


Modello preda-predatoreLotka - Volterra

In un ecosistema si hanno due specie: prede e predatori.

Il tasso di crescita delle prede segue il modello di Verhulst

visto per la popolazione, inoltre vengono immesse prede

nell‟ecosistema secondo l‟andamento di una variabile u.

Il tasso di decrescita dei predatori è invece proporzionale

al numero di predatori presenti.

L‟interazione preda predatore è di tipo non lineare, con

coefficienti e .


di Pavia

Dipartimento di


Modello preda-predatoreLotka - Volterra

In un ecosistema a due specie, siano

x1(t) = numero di prede al tempo t

x2(t) = numero di predatori al tempo t

u(t) = immissione di prede al tempo t

e1 = tasso di crescita delle prede

e2 = tasso di decrescita dei predatori

k = capacità della popolazione delle prede

= coefficiente

= coefficiente

)()()()(

1)()( 211

111 tutxtxk

txtxtx

e

)()()()( 21222 txtxtxtx e


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi dinamici e modelli matematici

• serbatoio a efflusso forzato

• serbatoio a efflusso libero

• circuito elettrico

• economia nazionale, modello keynesiano

• crescita delle popolazioni

• carrello

• pendolo

• cinetica batterica

• preda-predatore


di Pavia

Dipartimento di


Utilità dei modelli dinamici

• Comprensione dei fenomeni

• Analisi

• Simulazione

• Progetto e ottimizzazione

• Diagnostica dei malfunzionamenti

• Progetto del controllore

• Addestramento operatore

• Prototipazione rapida

• ...


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi dinamiciIl concetto di stato

Il vettore x(t) raccoglie quelle grandezze che, nel modello adottato,

descrivono completamente la situazione interna dell‟entità considerata.

u(t) x(t)

Una configurazione x(t0)=x0

può essere raggiunta a

seguito di diverse forme di

ingresso per i tempi t < t0 .

Lo stato memorizza in

qualche modo la

“storia” del sistema

)(),()(

tutxfdt

tdx


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi dinamiciclassificazione

Sistemi monovariabili, o multivariabili

SISO: una sola variabile di ingresso, una sola variabile di uscita

MIMO: più variabili di ingresso, più variabili di uscita

Sistemi propri e strettamente propri

la trasformazione di uscita (equazione algebrica).

Sia

Se l‟uscita dipende anche dall‟ingresso il sistema è detto proprio

Il sistema si dice strettamente proprio (puramente dinamico) se

)(),( tutxgy

)(txgy


di Pavia

Dipartimento di



Sistemi non dinamico

Sistemi invarianti e varianti nel tempo

Un sistema è detto variante nel tempo se f e/o g dipendono

esplicitamente dal tempo

Se sia f che g non dipendono esplicitamente da t il sistema è detto

tempo invariante o stazionario

)(tugy

ttutxgy

ttutxfdt

tdx

),(),(

),(),()(


di Pavia

Dipartimento di


Esempio sistema variante

x

FM

)()()()()( tFtxhtxtktxM

)()( tot

toektk

Si suppone che la costante elastica diminuisca esponenzialmente

nel tempo.


di Pavia

Dipartimento di



Sistemi liberi, o autonomi

L‟evoluzione dello stato dipende solo dalle condizioni iniziali,

altrimenti il sistema si dice forzato.

Sistemi lineari

)()(

txfdt

tdx

)()()(

tButAxdt

tdx

La dipendenza dallo stato e dall‟ingresso è lineare tramite le matrici

dei coefficienti mnnn RBRA ,, ,


di Pavia

Dipartimento di


Classificazione dei sistemi

dinamici - esempi


di Pavia

Dipartimento di


Serbatoio a efflusso forzato

Posto

x = h (livello)

u1 = qi (portata d’ingresso)

u2 = qo (portata d’uscita)

E’ un sistema lineare e forzato

tu

tu

SStxtx

2

1110)( UBXAX

)()(1

)( 21 tutuS

tx


di Pavia

Dipartimento di



Posto

x = h (livello)

u = qi (portata d’ingresso)

E’ un sistema non lineare e forzato

)(2)(1

)( tgxktuS

tx


di Pavia

Dipartimento di


Circuito elettrico

Posto

x = tensione sul condensatore

u = tensione del generatore

Sistema lineare e forzato

RC

tu

RC

txtx

)()()(

RCB

RCA

11


di Pavia

Dipartimento di


Economia nazionale

Posto

x = C (consumi delle famiglie)

u = I (investimenti)

Sistema lineare e forzato

)()()()( tbutxabtx


di Pavia

Dipartimento di


Modelli di crescita della popolazione

Sistema lineare e libero Sistema non lineare e libero

K

txtRxtx

)(1)()(

)()()( txdbtx

)()( tRxtx


di Pavia

Dipartimento di


Pendolo

Sistema non lineare e forzato

)(1

)())(()(

)()(

22212

21

tuMl

txMl

ktxsin

l

gtx

txtx


di Pavia

Dipartimento di


Cinetica batterica

Sistema non lineare e forzato

Posto

x1 = x (concentrazione biomassa)

x2 = S (concentrazione substrato)

u1 = d (portata specifica alimentazione substrato)

u2 = Si (concentrazione alimentazione substrato)

)()()()(

)()(

)()()(

)()(

221

2

2012

111

2

201

txtudtxtxK

txktx

txutxtxK

txtx

S

S


di Pavia

Dipartimento di


Movimento dello stato

Dato l‟istante iniziale t0 , la funzione d‟ingresso u(t), t t0 , lo stato

iniziale x0, la soluzione x(t) del sistema di equazioni differenziali

è il movimento dello stato.

)(),()(

tutxfdt

tdx

000 ,()),(,,)( ttutxtttx .


di Pavia

Dipartimento di


Traiettoria dello statoDefinisco traiettoria dello stato la proiezione del movimento sullo

spazio di stato.


di Pavia

Dipartimento di


Movimento

libero

Movimento

forzato

t

t

tAttAdBuetxetx

0

0 )()()( )(

0

)(

Movimento dello stato sistemi lineari

Nei sistemi lineari il movimento è dato dalla formula di Lagrange

Nei sistemi lineari il movimento dello stato è determinato dalla

composizione (somma) del movimento libero (stato iniziale) con

quello forzato (ingresso lungo tutto l‟intervallo temporale).

Nel calcolo del movimento i due contributi possono essere

calcolati in maniera indipendente (sovrapposizione degli effetti)


di Pavia

Dipartimento di


Principio di sovrapposizione

degli effetti

Si consideri ora il caso in cui l‟ingresso e lo stato iniziale siano

costituiti dalla stessa combinazione lineare degli ingressi e degli

stati iniziali precedenti

Allora

0

0

'')('',),('')(''')'(

')(',),(')(')'(

00

00

t

t

xtxtttButAxdt

tdx

xtxtttButAxdt

tdx

''''''

000)('')(')(''' ttt xxxtututu

0),('''''' tttxxx


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi dinamiciequilibrio

Dato un ingresso costante

si definiscono stati di equilibrio

quegli stati per cui

Gli stati di equilibrio sono quindi stati in cui il sistema, soggetto

all‟ingresso costante corrispondente, permane indefinitamente.

uxf ,0

xtx )(

utu )(


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi lineariequilibrio

Per i sistemi lineari

posto

Per un generico ingresso , se A è invertibile lo stato di

equilibrio è

0u

uBAx 1

u

)()()(

tButAxdt

tdx

, l‟origine è un punto di equilibrio.


di Pavia

Dipartimento di


Economia nazionaleequilibrio

Si noti che all‟equilibrio b/a = consumi/prodotto nazionale lordo

Inoltre all‟equilibrio risulta

k è il moltiplicatore di Keynes

IbCabYbCa )(0

ICY

kba

a

tiinvestimen

lordonazionaleprodotto


di Pavia

Dipartimento di


Carrello

punti di equilibrio

uxhxkM

x

21

2

10

0

uxk

x

1

2 0 La forza elastica

equilibra

la forza esterna imposta


di Pavia

Dipartimento di


xdxSK

S

s

00

Cinetica battericapunti di equilibrio

)(0 01 SSdx

SK

Sk i

s

0x

iSS

Sk

SkSSdx s

i

10

)(

d

SdkS s

0


di Pavia

Dipartimento di


Cinetica battericapunti di equilibrio

0x2.0S

1905.0x

1333.0S

2.0,35.0,4.0 1 is Skk

4.0,1.0 0 d


di Pavia

Dipartimento di


Pendolopunti di equilibrio

uMl

xMl

kxsin

l

g

x

2221

2

1)(0

0

0u

kx 1

Come formalizzare il concetto di

stabilità dell’equilibrio?

Equilibrio

“stabile”

Equilibrio

“instabile”


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi dinamicistabilità dell’equilibrio - I

Uno stato di equilibrio x è asintoticamente stabile se tutti i

movimenti perturbati generati da stati iniziali x0 sufficientemente

prossimi a x rimangono in vicinanza di x e tendono

asintoticamente a x.

Quindi, e0, 0 tale che, per tutti gli stati iniziali x0 che

soddisfano la relazione

risulta

e

xx0

0,)( txtx e

0)(lim

xtxt


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi dinamicistabilità dell’equilibrio - II

Uno stato di equilibrio x è (semplicemente) stabile se tutti i

movimenti perturbati generati da stati iniziali x0 sufficientemente

prossimi a x rimangono in vicinanza di x.

Uno stato di equilibrio x è instabile se non è stabile


di Pavia

Dipartimento di


Asintotica stabilità

x

e

x0

definisce la

regione di attrazione

Se è l‟intero spazio, il

punto di equilibrio è

globalmente asintoticamente

stabile

può anche essere

molto piccolo


di Pavia

Dipartimento di


Stabilità dell‟equilibrio

Punti di equilibrio A e C

Equilibrio

Stabile

Punto di equilibrio B

Comunque perturbi il

sistema mi allontano

dall‟equilibrio

Equilibrio Instabile

x

dx

crescentetxdt

dxxx )(00

edecrescenttxdt

dxxx )(00


di Pavia

Dipartimento di


Pendolostabilità dell’equilibrio


di Pavia

Dipartimento di


equilibrio instabileequilibrio as. stabile

M=g=l=1

piano di fase

u(t)=0


di Pavia

Dipartimento di


Cinetica battericastabilità dell’equilibrio


di Pavia

Dipartimento di


piano di fase

equilibrio instabile

equilibrio as. stabile

4.0,1.0,2.0,35.0,4.0 01 dSkk is


di Pavia

Dipartimento di


Stabilità dell‟equilibrio

sistemi lineariMovimento di equilibrio

Movimento perturbato

La stabilità asintotica dipende dalla matrice A ed è una

proprietà del sistema

t

t

tAAt duBexex

0

)(

t

tAAt duBexetx0

)(

0)(

xxextx At 0)(


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi lineari del I ordinestabilità

t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x/x

(0)

a>0

a=0

a<0

La matrice A = a coincide con il suo autovalore

a > 0 sistema instabile

a = 0 sistema stabile

a < 0 sistema asintoticamente stabile

)()(

txadt

tdx


di Pavia

Dipartimento di


Economia nazionaleun modello keynesiano

La stabilità asintotica si ha per b < a

cioè se all’equilibrio i consumi sono

inferiori al prodotto nazionale lordo

)()()()()()(

tIbtCabtYbtCadt

tdC

)()()( tItCtY


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi lineari del II ordinestabilità

Come valutare il movimento dello stato e la stabilità quando il

sistema non è di primo ordine?

xxextx At 0)(


di Pavia

Dipartimento di



Ipotesi

La matrice A ha autovalori reali o complessi coniugati ma distinti

Le n soluzioni i dell’equazione caratteristica si dicono autovalori

di A.

0det AI


di Pavia

Dipartimento di



Agli autovalori a1 e a2 corrispondono gli autovettori v1 e v2

21

1

2

111 ,0

0vvT

a

aTAT

tx

a

atxTAT

dt

txdtxA

dt

tdx ~

0

0~~

2

11

N.B. La corrispondenza tra x ed è biunivoca.x~

posto risulta:)(~)( 1 txTtx

2,1, ivavA iii


di Pavia

Dipartimento di



00

00~

0

0~1

1

1

1

111 Txe

eTx

e

eTtxTtx

ta

ta

ta

ta

Il movimento libero dello stato è combinazione lineare di termini

esponenziali detti modi.

)0(~)(~)(~)(~

)0(~)(~)(~)(~

22222

11111

2

1

xetxtxadt

txd

xetxtxadt

txd

ta

ta


di Pavia

Dipartimento di



Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema sia asintoticamente

stabile è che Re(a1)<0 e Re(a2) <0


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi linearistabilità

I risultati precedenti possono essere estesi anche al caso di sistemi del

secondo ordine con autovalori coincidenti o a sistemi di ordine più

elevato

Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare sia

asintoticamente stabile è che tutti i suoi autovalori abbiano parte reale

minore di zero

Condizione sufficiente affinché un sistema lineare sia instabile è che

almeno un autovalore abbia parte reale maggiore di zero

Se tutti gli autovalori hanno parte reale minore o uguale a zero, il

sistema può essere stabile o instabile, ma non asintoticamente stabile


di Pavia

Dipartimento di


Carrellostabilità

)(10

)(

)(10

)(

)(

2

1

2

1tu

Mtx

tx

M

h

M

ktx

tx

2

4

2

2,1M

k

M

h

M

h

a

Re(a1,2)<0 per h,k>0 asintotica stabilità


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi non linearilinearizzazione - I

Dato il sistema

e l‟equilibrio

si ponga

uxf ,0

)(),()(

tutxfdt

tdx

ututu

xtxtx

)()(

)()(

ux,


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi non linearilinearizzazione - II

Sviluppando il sistema in serie di Taylor attorno a

e arrestando lo sviluppo al I termine si ottiene

cioè, posto

ux,

),( uxf

uxux du

uxfB

dx

uxfA

,,

),(,

),(

)()(

))(),(( txxdt

d

dt

tdxtutxf

)(),(

,

txdx

uxf

ux

)(),(

,

tudu

uxf

ux


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi non linearilinearizzazione - II

con

che è chiamato sistema linearizzato

)(),(

)(),(

),())((

,,

tudu

uxftx

dx

uxfuxf

dt

txxd

uxux

uxux du

uxfB

dx

uxfA

,,

),(,

),(

)()()(

tuBtxAdt

txd


di Pavia

Dipartimento di


Sistemi non linearistabilità dell’equilibrio

Lo stato di equilibrio è asintoticamente stabile se tutti gli

autovalori del sistema linearizzato corrispondente hanno parte reale

minore di zero

Lo stato di equilibrio è instabile se almeno uno degli

autovalori del sistema linearizzato corrispondente ha parte reale

maggiore di zero

Si osservi che per la stabilità asintotica si ha in questo caso solo una

condizione sufficiente, per cui nel caso di autovalori con parte reale

minore o uguale a zero non si può concludere nulla. Sono necessarie

altre tecniche di analisi

ux,

ux,


di Pavia

Dipartimento di


Pendolosistema linearizzato

)(10

)(

)(

)cos(

10

)(

)(

22

1

212

1tu

Mltx

tx

Ml

kx

l

gtx

tx

0 ,0 21 xx 0 , 21 xx equilibri

2

4

2

22

2,1l

g

Ml

k

Ml

k

a

2

4

2

22

2,1l

g

Ml

k

Ml

k

a

Re(a1,2)<0 eq. as. stab. Re(a1)<0, Re(a2)>0 eq. instab.

kx 1

0k 1k


di Pavia

Dipartimento di


Cinetica battericasistema linearizzato

equilibrio instabile equilibrio asintoticamente stabile

equilibri

022.00563.02,1 ja

)(0

)(

)(

)(

)(

2

0101

2

00

tSdtS

tx

dSk

xkk

Sk

Sk

Sk

xkd

Sk

S

dt

tSddt

txd

i

S

S

S

S

S

S

iSS

x

0

d

dkS

Sk

SkSSdx

s

Si

0

10

033.0,1.0 21 aa


di Pavia

Dipartimento di


piano di fasex ' = ((mu y)/(ks + y)) x - d x

y ' = - ((k1 mu y)/(ks + y)) x + d (0.2 - y)

d = 0.1

k1 = 0.35

mu = 0.4

ks = 0.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

x

y

equilibrio instabile

equilibrio as. stabile


di Pavia

Dipartimento di


Il problema del controllo

Dato il sistema

il problema del controllo consiste nell‟agire sulla variabile di ingresso

(o di controllo) u in modo da far assumere alle variabili di stato, o

a loro combinazioni (dette variabili di uscita) un dato andamento

nel tempo o un dato valore costante

)(),()(

tutxfdt

tdx


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello aperto - I

supponendo a<0 (sistema asintoticamente stabile), per far assumere

a x un dato valore (almeno a transitorio esaurito) si può porre x

che corrisponde al valore di regime di u(t) compatibile con

l‟equilibrio richiesto

Dato il sistema

xabutu 1)(

)()()(

tubtxadt

tdx

Regolatorex

xabu 1

Sistemau x)()(

)(tubtxa

dt

tdx

Legge di controllo


di Pavia

Dipartimento di


t

taat dxaexetx0

)( )()0()(


controllo in anello aperto - II

Sostituendo l‟equazione del regolatore in quella del sistema si ottiene

e, poiché

xatxaxabbtxadt

tdx )()(

)( 1

xexxetx atat )0()(

tpereat 0

tperxtx )(


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello aperto - III nel caso di sistemi non asintoticamente stabili (a0) la legge

di controllo precedente non può essere utilizzata

se il sistema vero è (errore di modello)

e si utilizza la legge di controllo

si ottiene

Errore a transitorio esaurito

atubtxdt

tdx ,0,)()(

)(

xabutu 1)(

tperxa

tx

)(


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello chiuso - IDato il sistema

si consideri il seguente schema di controllo in anello chiuso

SistemaRegolatore proporzionalex u x

in cui la legge di controllo è

0,)()()(

atubtxadt

tdx

)()()(

tubtxadt

tdx)()( tektu p

)()()( txkxktektu ppp

xxe


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello chiuso - II

Utilizzando l‟equazione del regolatore in quella del sistema si ottiene

E‟ sempre possibile scegliere kp in modo da rendere asintoticamente

stabile il sistema in anello chiuso ( )

Il movimento dello stato del sistema retroazionato è

0 pbka

xbktxbkadt

tdxpp )(

)(

t

p

tbkatbkadbkexetx pp

0

))(()()0()(


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello chiuso - III

Per l‟asintotica stabilità del sistema retroazionato

cioè (con il segno opportuno per

avere l‟asintotica stabilità)

Tuttavia, per

fisicamente poco realistico

xbkbka

ex

bka

bkxetx p

p

tbka

p

ptbkap

p

)()(

)0()(

tperx

bka

bktx

p

p)(

pkperxtx )(

pk

)0()0( xxku p


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello chiuso - IV

Sistema

Regolatore proporzionale

x u x

Regolatore integrale

Si consideri il regolatore più complesso

Equazioni del regolatore

)()()(

tubtxadt

tdx

)(tek p

t

i dek0

)(

)()()(

)()(

tvktektu

tedt

tdv

ip

xxe


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello chiuso - V

Sistema in anello chiuso

condizione di stabilità asintotica: autovalori della matrice A con parte

reale minore di zero

xbk

tv

txbkbka

dt

tdvdt

tdx

pip

1)(

)(

01)(

)(

0

0

i

p

bk

abk


di Pavia

Dipartimento di



controllo in anello chiuso - VI

Movimento dello stato

e, per la asintotica stabilità

errore a transitorio esaurito nullo

il controllo si assesta automaticamente sul valore richiesto

xbk

eAxbk

Av

xe

tv

tx pAtpAt

11)0(

)0(

)(

)(11

xbk

ax

xbk

Atv

tx

i

p

1)(

)(1

per t


di Pavia

Dipartimento di


Controllo in anello chiuso

prestazioni

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t

x

a=1 (sistema instabile), b=1

1x

)(8

)(4

)(2

verdekk

rossokk

blukk

ip

ip

ip


di Pavia

Dipartimento di


Il problema del controlloconclusioni

se il sistema in anello aperto è asintoticamente stabile e

perfettamente noto, il controllo in anello aperto consente di

ottenere le prestazioni desiderate

in controllo in anello chiuso consente di stabilizzare sistemi

instabili, di ottenere stabilità, errore a transitorio esaurito nullo, e

le prestazioni dinamiche desiderate

esiste una teoria generale che consenta di trattare in modo

sistematico sistemi di ordine superiore al primo

INTRODUZIONE ALL‟ANALISI DEI...

Documents

Transcript of INTRODUZIONE ALL‟ANALISI DEI...