Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica...

27
Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astrofisica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit` a di Firenze Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzo http://www.arcetri.astro.it/marconi Ultimo aggiornamento: 4 giugno 2014

Transcript of Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica...

Page 1: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Introduzione

alla Cosmologia

Introduzione all’AstrofisicaAA 2013/2014

Prof. Alessandro MarconiDipartimento di Fisica e Astronomia

Universita di Firenze

Dispense e presentazioni disponibili all’indirizzohttp://www.arcetri.astro.it/„marconi

Ultimo aggiornamento: 4 giugno 2014

Page 2: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

1 Introduzione: le osservazioni fondamentali

La Cosmologia studia la struttura e l’evoluzione dell’Universo osservabileutilizzando le leggi della Fisica cosı come sono state dedotte dalle esperienzecondotte sulla Terra.

Non esistono pero indicazioni che queste leggi debbano essere valide sugrande scale, ovvero su scala cosmica. La Cosmologia e quindi anche unmodo per verificare le leggi della Fisica in un contesto spaziale (e temporale)molto piu ampio di quello in cui sono state dedotte.

La Cosmologia ha una particolarita molto importante rispetto agli altrirami della Fisica: non e possibile riprodurre le misure, ovvero ripetere lemisure su altri sistemi fisici simili a quello oggetto di studio. L’Universoe unico e gli altri Universi, se anche esistessero, non sarebbero osservabili.Pertanto non confideremo mai alcuna proprieta dell’Universo come tipica.

Le osservazioni in Cosmologia sono estremamente difficili perche la granparte dell’Universo e estremamente distante: le sorgenti sono molto deboli.Questo spiega perche la nostra conoscenza dell’Universo si e sviluppata inparallelo con lo sviluppo di grandi telescopi e rivelatori sensibili. La nostraconoscenza attuale e fondata sui telescopi della classe degli 8 metri, e suisatelliti di ultima generazione in X, infrarosso e sub-millimetrico.

La caratteristica piu importante delle osservazioni cosmologia e la velocitafinita della luce: quando osserviamo una sorgente a distanza D, la osserviamoin uno stadio evolutivo in cui era piu giovane di adesso di ∆t “ pDcq. Quin-di possiamo osservare lo stato attuale dell’universo solo localmente. Pero,sempre grazie alla velocita finita della luce, e possibile osservare nel passato.Alla distanza di 10 miliardi di anni luce, le galassie sono osservate in unostadio evolutivo in cui avevano meno di un terzo dell’eta attuale. Pertanto,anche se non potremo mai studiare il passato di una galassia come la ViaLattea, potremo pero identificare galassie simili alla Via Lattea ma in stadievolutivi diversi.

Supponiamo di essere in uno spazio Euclideo (in cui lo spazio e descrittodalla geometria basata sui postulati di Euclide); se siamo collocati nell’origine~x “ 0 al tempo attuale t “ t0, allora possiamo solo osservare eventi nellospazio tempo per i quali |~x| “ cpt0 ´ tq. Non e possibile osservare un eventoarbitrario p~x, tq nello spazio tempo. Il fatto di poter osservare solo sorgenticollocate nel nostro cono di luce passato implica che le nostre possibilitadi osservare l’universo sono estremamente limitate. Pertanto, noi saremoin grado di comprendere la struttura dell’Universo combinando osservazionie modelli teorici solo se questa e molto semplice. Fortunatamente, sembraproprio che sia cosı.

1

Page 3: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Le osservazioni fondamentali su cui il nostro modello di universo e fondatosono:

• il paradosso di Olbers, ovvero il cielo di notte e buio;

• su grandi scale, le galassie sono distribuite uniformemente in cielo;

• esiste una radiazione cosmica di fondo nelle microonde (Cosmic Mi-crowave Background, CMB) con intensita isotropa e rimarchevolmenteomogenea con fluttuazioni dell’ordine di „ 10´5; lo spettro della CMBe quello di un corpo nero con T0 “ 2.728˘ 0.004K;

• gli spettri delle galassie presentano un redshift (spostamento versoil rosso delle righe spettrali), che e proporzionale alla distanza dellagalassie stesse (legge di Hubble);

• gli ammassi globulari piu vecchi della nostra galassia hanno un’eta di„ 12 Gyr;

• in quasi tutti gli oggetti cosmici (stelle, nubi di gas, ecc.) la frazione inmassa di Elio e „ 25´ 30%.

Vediamo adesso come alcune di queste osservazioni sono incompatibili conl’assunzione che l’universo sia infinito, statico e che sia esistito da sempre.

1.1 Il paradosso di Olbers

Sia n‹ la densita media di stelle nell’universo, costante nello spazio e neltempo, e sia R‹ il loro raggio medio. Consideriamo una shell sferica di raggior e spessore dr centrata su di noi: questa contiene n‹dV “ 4πr2n‹dr stelle.Ciascuna sottende un angolo solido πR2

‹r2, come vista da noi, per cui le

stelle nella shell sottendono un angolo solido totale

dω “ 4πr2n‹drπR2

r2“ 4π2n‹R

2‹dr (1)

dω non dipende da r. L’angolo solido sotteso complessivamente dalle stellein cielo e pertanto

ω “

ż 8

0

drdr “ 4π2n‹R

2‹

ż 8

0

dr (2)

questo integrale diverge. Il motivo della divergenza e che non abbiamo tenutoconto del fatto che i dischi stellari si sovrappongono tra loro sulla sfera celeste.Se si tien conto di questo, allora per r Ñ 8, ω Ñ 4π. Ovvero l’angolo solido

2

Page 4: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Figura 1: Proiezione supergalattica delle galassie rivelate dalla survey 2MASS (2Micron All Sky Survey). I colori delle galassie indicano la loro magnitudine K:blu per K ă 10, verde per 10 ă K ă 12.5 e rosso per le galassie piu deboliK ą 12.5. Il superammasso locale si estende lungo l’equatore della proiezione (laproiezione supergalattica e definita proprio in riferimento al piano di simmetriadel superammasso locale). La Via Lattea e indicata con la fascia celeste.

di cielo che noi vediamo coperto da stelle e 4π. Ogni linea di vista incontraprima o poi una stella. Poiche la brillanza superficiale si conserva, lungo ognidirezione abbiamo una brillanza superficiale pari a quella dell’atmosfera diuna stella media. Tutto il cielo dovrebbe quindi avere la brillanza di unasuperficie di una stella, con una temperatura efficace di qualche migliaio digradi Kelvin. Questo e il paradosso di Olbers. Poiche questo non avvieneo l’universo e finito o ha un’estensione finita. Nel primo caso non ci sonoabbastanza stelle nell’universo finito per ricoprire il cielo, nel secondo solo laluce di alcune stelle ha fatto in tempo a raggiungerci.

Nel caso in cui l’universo abbia un’eta finita, questa deve essere di almeno12 miliardi di anni, ovvero maggiore o uguale dell’eta degli ammassi globularipiu vecchi.

1.2 La struttura a grande scala delle galassie

La figura 1 mostra la distribuzione sulla sfera celeste delle galassie nell’u-niverso locale. Sono presenti strutture che sono identificabili con ammassi,filamenti e vuoti. Tuttavia, quando si misura il numero medio di galassie sugrossi volumi spaziali, questo diventa rimarchevolmente costante, indipen-

3

Page 5: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Figura 2: Mappa delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo ottenuta dalsatellite Planck: l’ampiezza delle fluttuazioni di intensita mostrate in figura e disoli ∆II „ 10´5 (rms). Queste fluttuazioni corrispondono a variazioni dellatemperatura di corpo nero della radiazione che sono ovviamente un fattore 4 piupiccole.

dentemente dalla posizione di riferimento. Si trova che la distribuzione digalassie in cielo e omogenea e isotropa su scale superiori ai „ 20 Mpc (siricordi che le dimensioni tipiche di un ammasso di galassie sono „ 1 Mpc).

1.3 La radiazione cosmica di fondo

La CMB fu scoperta nel 1965 da Penzias e Wilson nel corso di uno studiovolto a caratterizzare le cause del rumore di fondo che disturbava le trasmis-sioni transoceaniche. La radiazione cosmica di fondo e un’emissione diffusaproveniente da tutte le direzioni dello spazio e rimarchevolmente omogenea eisotropa. L’intensita presenta piccole fluttuazioni dell’ordine di ∆II „ 10´5

(rms). La mappa a tutto cielo di queste fluttuazioni ottenuta recentemen-te dal satellite Planck e riportata i figura 2. Lo spettro della radiazionecosmica di fondo e quello di un corpo nero con una temperatura media diT0 “ 2.728 ˘ 0.004 K; le deviazioni dallo spettro di corpo nero sono quanti-ficabili in ∆IνIν ď 3 ˆ 10´5 e |µ| ď 10´4, dove µ rappresenta il potenzialechimico nelle distribuzioni di Bose-Einstein o Fermi-Dirac (ovvero l’esponen-te a denominatore e hνkT ` µ; per il corpo nero si deve ovviamente avereµ “ 0). La CMB fornisce l’esempio piu preciso noto di radiazione di cor-

4

Page 6: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

po nero. Le fluttuazioni in intensita osservate corrispondono a variazionedi temperatura che sono ovviamente un fattore 4 piu piccole (ricordare cheF “ πI “ σB T

4).

1.4 La legge di Hubble

Negli anni ’20 Edwin Hubble condusse uno studio sistematico degli spettridelle galassie e trovo che le lunghezze d’onda delle transizioni atomiche emolecolari presenti negli spettri erano sistematicamente piu grandi dei valoridi laboratorio, ovvero erano sistematicamente spostate verso il rosso (redshif-ted); il redshift z cosı definito era proporzionale alla distanza D delle galassie.Hubble trovo che

z “λoss ´ λem

λem“ αD (3)

con oss e em valori osservati e emessi. Interpretando il redshift come effettoDoppler, si poteva ottenere una relazione tra la velocita di recessione dellegalassie Vgal e la loro distanza

Vgal “ cz “ pαcqD “ H0D (4)

H0 e nota con il nome della costante di Hubble e misure recenti la pongonouguale a H0 » 70 km s´1 Mpc´1. La legge di Hubble indica che tutte legalassie si allontanano da noi con una velocita radiale che e proporzionale alladistanza ma indipendente dalla direzione verso cui facciamo le osservazioni:per esempio una galassia distante 10 Mpc si allontana da noi con una velocitadi recessione pari a 700 km s´1.

La legge di Hubble indica quindi che l’universo e in espansione uniforme,almeno dal nostro punto di vista. Vedremo tra poco come in realta questasia una caratteristica comune ad ogni osservatore.

2 Il Principio Cosmologico

Le evidenze trovate fino ad ora suggeriscono che l’universo e omogeneo (den-sita costante), isotropo (proprieta che non dipendono dalla direzione di os-servazione) e in espansione uniforme (tasso di espansione H0 uguale per tuttele direzioni di osservazione). Queste proprieta sono state trovate da un os-servatore particolare (noi) al tempo t “ t0 (quale che sia la scala del tempocosmico).

L’assunzione alla base del modello cosmologico prende il nome di Prin-cipio Cosmologico e consiste nell’indipendenza di queste proprieta dall’os-servatore: qualsiasi osservatore in qualsiasi parte dello spazio e in qualsiasitempo deve ottenere dalle osservazioni gli stessi nostri risultati.

5

Page 7: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Figura 3: Significato della velocita di recessione: lo spazio e rappresentato dallaquadrettatura. Le galassie si mantengono “ferme” nella loro posizione ma l’espan-sione dello spazio da luogo ad una velocita apparente di allentamento. Questavelocita di recessione e osservata indifferentemente da tutte le galassie.

Non e immediato capire il significato dell’espansione e come la legge diHubble possa valere per una qualsiasi osservatore se, apparentemente, noisiamo il centro dell’espansione. In realta, non esiste alcun centro dell’espan-sione, tutto lo spazio e quindi tutte le distanze in esso misurate si espandonouniformemente nel tempo tali che, considerate due qualsiasi distanze `i e `jmisurate a due qualsiasi tempi t1 e t2 risulti:

`ipt1q

`jpt1q“`ipt2q

`jpt2q“ costante (5)

6

Page 8: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

questo e il significato dell’espansione uniforme: tutte le lunghezze varianodello stesso fattore in un dato intervallo di tempo in modo che il rapportotra due qualsiasi di esse rimanga costante. Poiche nell’espressione appenavista le posizioni e i tempi sono qualsiasi, l’unica possibilita e che esista unafunzione universale del tempo aptq tale che

`ipt2q

`ipt1q“`jpt2q

`jpt1q“apt2q

apt1q(6)

la funzione universale del tempo aptq e indipendente dalla posizione e prendeil nome di “fattore di scala”. Il significato dell’espansione e schematizzatoin figura 3 dove lo spazio e rappresentato dalla quadrettature che si espandeuniformemente nel tempo: ogni galassia vede allontanarsi le altre a velocitacostante: questa non e una vera velocita, perche tutte le galassie stannoferme nella loro posizione, ma e la conseguenza dell’espansione dello spazio.

Scegliamo un riferimento centrato su di noi e consideriamo una data galas-sia; il modulo del vettore posizione della galassia varia a causa dell’espansionee pertanto la posizione della galassia la possiamo indicare con

~x “ aptq~r (7)

dove abbiamo scelto di indicare con ~r la posizione della galassia al tempot “ t0. Ne risulta che apt0q “ 1. Poiche l’espansione e uniforme la funzioneaptq deve essere la stessa per tutte le galassie e varia solo la loro posizione ~ral tempo t0; aptq e il fattore di scala e ~r rappresenta le coordinate comoventiche identificano univocamente un punto nello spazio indipendentemente daltempo t, ovvero indipendentemente dall’espansione. Derivando membro amembro rispetto al tempo l’equazione 7 si ottiene:

d~x

dt“ 9aptq~r

~v “9aptq

aptq~xptq

~v “ Hptq~xptq (8)

per t “ t0, ponendo per Hpt0q “ H0, otteniamo la legge di Hubble:

~v “ H0~r (9)

Abbiamo quindi trovato che la costante di Hubble misurata al tempo t e

Hptq “9aptq

aptq(10)

7

Page 9: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

la velocita di recessione e quindi una velocita apparente dovuta all’espansionedell’universo, ovvero ad una variazione del fattore di scala aptq.

Supponiamo di passare ad un osservatore O1 qualsiasi che si trova a ~xO1 “

aptq~rO1 rispetto a noi. La galassia precedente che per noi si trova a ~xptq, perl’osservatore O1 si trova ad una posizione ~x 1ptq tale che

~x 1 “ ~x´ ~xO1

~x 1 “ aptq~r ´ aptq~rO1 “ aptq~r 1

~x 1 “ aptq~r 1 (11)

ovvero anche l’osservatore O1 osserva l’espansione dell’universo e una velocitadi recessione delle galassie.

Il redshift cosmologico. Vediamo di capire adesso qual e l’originedel redshift cosmologico. Consideriamo due osservatori comoventi al tempot la cui separazione e dr sempre in coordinate comoventi. La velocita diallontanamento dovuta all’espansione e dv “ Hptqaptqdr; il tempo impiegatodalla luce a viaggiare dall’uno all’altro e dt “ aptqdrc. Il fattore di scalaentra in gioco perche dobbiamo sempre considerare le distanze “proprie”al tempo t non le distanze comoventi che valgono al tempo t “ t0. Gliosservatori “vedono” la legge di Hubble e misurano un redshift dλλ “ dz “dvc. Si ottiene

λ“

dv

c“Hptq

captqdr “

Hptq

captq

cdt

aptq“

9a

adt

λ“

da

a(12)

la cui soluzione e λpaq “ Ca, con C costante. La luce e stata emessa conλ “ λe per t “ te, a “ ae, e osservata con λ “ λoss per toss “ t0, a “ aoss “ 1:imponendo queste condizioni si ottiene C “ λoss e quindi λe “ apteqλoss.Ricordando che p1` zq “ λossλe si ottiene infine

1` z “1

ae(13)

ovvero il redshift cosmologico altro non e che il fattore di scala della radiazio-ne quando e stata emessa, ed e dovuto all’espansione dell’universo: e come sela lunghezza d’onda dei fotoni venisse “stirata” dall’espansione dell’universo(figura 4).

Cosa si espande? Prima di procedere oltre cerchiamo di rispondere aduna domanda molto importante. Se lo spazio si espande, si espandono anchele galassie, gli atomi e noi stessi? In realta, lo spazio si espande ma non

8

Page 10: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

4.3 Consequences of the Friedmann Expansion

155lecting the vacuum energy density. However, thereare very strong observational indications that in fact! > 0.

• Models with "m +"! = 1, i.e., K = 0. Such flatmodels are preferred by the so-called inflationarymodels, which we will briefly discuss further below.

A special case is the Einstein–de Sitter model, "m = 1,"! = 0. For this model, t0 = 2/(3H0) ! 6.7 h"1 #109 yr.

For many world models, t0 is larger than the age ofthe oldest globular clusters, so they are compatible withthis age determination. The Einstein–de Sitter model,however, is compatible with stellar ages only if H0 isvery small, considerably smaller than the value of H0derived from the HST Key Project discussed in Sect. 3.6.Hence, this model is ruled out by observations.

It is believed that the values of the cosmologicalparameters are now quite well known. We list them herefor later reference without any further discussion. Theirdetermination will be described in the course of thischapter and in Chap. 8. The values are approximately

"m $ 0.3 ; "! $ 0.7 ; h $ 0.7 . (4.35)

4.3.2 RedshiftThe Hubble law describes a relation between the red-shift, or the radial component of the relative velocity,and the distance of an object from us. Furthermore,(4.6) specifies that any observer is experiencing a localHubble law with an expansion rate H(t) which dependson the cosmic epoch. We will now derive a relationbetween the redshift of a source, which is directly ob-servable, and the cosmic time t or the scaling factor a(t),respectively, at which the source emitted the light wereceive today.

To do this, we consider a light ray that reaches us to-day. Along this light ray we imagine fictitious comovingobservers. The light ray is parametrized by the cosmictime t, and is supposed to have been emitted by thesource at epoch te. Two comoving observers along thelight ray with separation dr from each other see theirrelative motion due to the cosmic expansion accordingto (4.6), dv = H(t) dr, and they measure it as a redshiftof light, d#/# = dz = dv/c. It takes a time dt = dr/c for

the light to travel from one observer to the other. Fur-thermore, from the definition of the Hubble parameter,a = da/dt = H a, we obtain the relation dt = da/(H a).Combining these relations, we find

d#

#= dv

c= H

cdr = H dt = da

a. (4.36)

The relation d#/# = da/a is now easily integrated sincethe equation d#/da = #/a obviously has the solution# = Ca, where C is a constant. That constant is deter-mined by the wavelength #obs of the light as observedtoday (i.e., at a = 1), so that

#(a) = a #obs (4.37)

(see Fig. 4.10). The wavelength at emission was there-fore #e = a(te)#obs. On the other hand, the redshift zis defined as (1+ z) = #obs/#e. From this, we finallyobtain the relation

1+ z = 1a

(4.38)

between the observable z and the scale factor a which islinked via (4.34) to the cosmic time. The same relationcan also be derived by considering light rays in GR.

The relation between redshift and the scale factor is ofimmense importance for cosmology because, for mostsources, redshift is the only distance information thatwe are able to measure. If the scale factor is a mono-tonic function of time, i.e., if the right-hand side of(4.31) is different from zero for all a % [0, 1], then z isalso a monotonic function of t. In this case, which cor-responds to the Universe we happen to live in, a, t, andz are equally good measures of the distance of a sourcefrom us.

Fig. 4.10. Due to cosmic expansion, photons are redshifted,i.e., their wavelength, as measured by a comoving observer,increases with the scale factor a. This sketch visualizes thiseffect as a standing wave in an expanding box

Figura 4: I fotoni sono spostati verso il ross (redshifted) a seguito dell’espansionedell’universo: la loro lunghezza d’onda aumenta col fattore di scala a. Questoeffetto e qui rappresentato da un’onda stazionaria in una scatola in espansione.

si espandono le “molecole del gas cosmico” ovvero della materia distribuitanell’universo. Gli atomi, la Terra, le stelle non si espandono perche sonotenuti insieme da forze elettriche e gravitazionali. E una galassia?

Consideriamo una galassia come un sistema sferico di massa MG e raggioRG. Il suo potenziale gravitazionale e » GMGRG e la velocita di fugavf “ p2GMGRGq

12. Inserendo i dati per la nostra galassia (MG „ 1011 Md,RG „ 10 kpc) si ottiene vfc „ 10´3. D’altra parte, il punto della nostragalassia a distanza RG dal centro dovrebbe seguire l’espansione di Hubblecon una velocita vc “ H0RGc » 2ˆ10´6, trascurabile rispetto alla velocitadi fuga. Questo significa che possiamo effettivamente considerare le galassiecome le molecole del gas cosmico che pervade l’universo.

Per conoscere l’espansione dell’universo dobbiamo quindi conoscere ilfattore di scala aptq.

3 Il modello di universo

Consideriamo un universo omogeneo e isotropo in espansione uniforme riem-pito di gas cosmico con densita ρptq al tempo t. Consideriamo una superficiesferica di raggio r in coordinate comoventi; il suo raggio al tempo t e pertantoxptq “ aptqr. La massa M racchiusa nella sfera e

Mpxq “4

3πxptq3ρptq “

4

3πr3aptq3ρptq (14)

9

Page 11: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

questa massa si deve conservare, e se identifichiamo con ρ0 la densita al tempoattuale t “ t0, ne risulta immediatamente che

ρptq “ ρ0aptq´3

Mpxq “4

3πr3ρ0 (15)

Consideriamo adesso una particella o galassia sulla superficie della sfera diraggio x (particella comovente, ovvero che rimane ferma nella sua posizione esegue l’espansione), e soggetta alla forza di gravita della massaMpxq pertantola sua equazione di moto e semplicemente

:xptq “ ´GMpxq

x2“ ´

4πG

3

ρ0 r3

x2(16)

ovvero sostituendo x “ aptqr, :x “ :aptqr otteniamo infine l’equazione per aptq

:aptq “ ´4πG

3

ρ0

aptq2“ ´

4πG

3ρptqaptq (17)

questa equazione puo essere facilmente integrata moltiplicando membro a

membro per 2 9aptq ottenendo

9a2“

8πG

3

ρ0

a´Kc2

“8πG

3ρptqaptq2 ´Kc2 (18)

dove Kc2 e la costante di integrazione. Da notare che se moltiplichiamomembro a membro per r22 otteniamo

vptq2

2´GMpxq

xptq“ ´Kc2 r

2

2(19)

che significa che l’energia cinetica e l’energia potenziale sono costanti sullasuperficie della sfera di raggio x: questa e proprio l’equazione di conservazionedell’energia.

Si noti come K sia proporzionale all’energia totale della particella como-vente per cui determina la storia dell’espansione ovvero il comportamento diaptq:

• K ă 0, il secondo membro dell’equazione 19 e sempre positivo; siccomeadesso 9apt0q “ H0 ą 0, significa che 9aptq rimarra sempre positivo,ovvero l’universo si espande per sempre;

• K “ 0, poiche H0 ą 0, l’universo si espande per sempre come nel casoprecedente ma adesso 9aptq Ñ 0 per tÑ 8.

10

Page 12: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

• K ă 0, il secondo membro dell’equazione 19 si annulla quando a “amax “ p8πGρ0qp3Kc

2q. Per questo valore di a si ha 9aptq “ 0: l’e-spansione si arresta e in seguito si trasforma in una contrazione per cuil’universo collassa nuovamente.

Nel caso speciale in cui K “ 0, la densita attuale ρ0 assume un valore partico-lare detto densita critica che si puo ottenere dall’equazione per 9aptq ponendot “ t0, apt0q “ 1, 9apt0q “ H0

ρcr “3H2

0

8πG“ 9.2ˆ 10´30 g cm´3 (20)

ρcr e una densita caratteristica per l’universo attuale. Pertanto e utile espri-mere la densita attuale riscalandola con la densita critica:

Ω0 “ρ0

ρcr(21)

Analogamente a prima, si puo valutare l’equazione per 9aptq ponendo t “ t0,apt0q “ 1, 9apt0q “ H0 e ricavare K ottenendo

K “H2

0

c2pΩ0 ´ 1q

Quindi, K ą 0 corrisponde a Ω0 ą 1, K “ 0 a Ω0 “ 1 e K ă 0 a Ω0 ă 1.Ω0, parametro di densita, e uno dei parametri cosmologici fondamentali.

4 Modifiche apportate dalla Relativita Gene-

rale

L’approccio che abbiamo seguito fino ad ora e puramente Newtoniano e,anche se porta al risultato corretto, non e fisicamente appropriato. In par-ticolare abbiamo applicato il Teorema di Gauss per il campo gravitazionalead una distribuzione infinita di massa, cosa non corretta. L’approccio cor-retto richiede l’utilizzo della Relativita Generale. L’assunzione di universoomogeneo, isotropo ed in espansione uniforme porta a scrivere una metrica,detta di Friedmann, Robertson e Walker, in cui compare come incognita ilfattore di scala aptq. Utilizzando la metrica FRW con le equazioni di campodi Einstein, si ottengono due equazioni per aptq di cui una e l’equazione 18gia trovata nel caso Newtoniano. In particolare, si trova che le modifiche piuimportanti apportate dalla relativita sono:

11

Page 13: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

• l’equivalenza tra materia ed energia conseguenza della Relativita Spe-ciale (energia a riposo di una particella, E “ mc2) comporta che nonc’e solo la materia a contribuire a ρ nell’equazione di moto. In parti-colare, la densita ρ e da considerarsi in realta come densita di massaequivalente alla densita di energia ε “ ρc2, ed e per questo che tuttii contributi a ε contribuiscono alla gravita. Per esempio la radiazio-ne cosmica di fondo che permea l’universo avra una certa densita dienergia εrad che contribuira alla densita di energia totale.

• Le equazioni della Relativita Generale formulate inizialmente da Ein-stein non prevedevano una soluzione stazionaria per l’universo. Poichela legge di Hubble non era ancora stata scoperta, Einstein credevafermamente all’universo stazionario e pertanto introdusse un termineaddizionale Λ nelle equazioni di campo per poter ottenere una soluzionestazionaria. Λ prende il nome di costante cosmologica.

• La Relativita Generale mostra il vero significato di espansione dell’uni-verso: come abbiamo detto si tratta di una vera espansione dello spazio.In particolare il redshift cosmologico non e dovuto all’effetto Dopplerma proprio all’espansione dello spazio.

Poiche le soluzioni delle equazioni per aptq dipendono principalmente dalladensita di energia, dobbiamo considerare un’equazione dell’energia. Durantel’espansione dell’universo, il gas cosmico deve effettuare una trasformazioneadiabatica: in effetti ci possono essere scambi di energia tra vari elementi divolume di gas ma questi devono essere a bilancio nullo altrimenti si creerebbeuno squilibro tra la densita di energia in due punti dello spazio violandol’omogeneita e l’isotropia dell’universo. L’equazione dell’energia deve esserepertanto quella che caratterizza le trasformazioni adiabatiche

dU “ ´pdV (22)

ovverodU

da“ ´p

dV

da(23)

poiche V “ aptq3Vc con Vc volume in coordinate comoventi, si ha U “ εV “Vc aptq

3 ε ottenendo infine

d

da

aptq3 ε‰

“ ´pd

daraptq εs

da“ ´3

ε` p

a(24)

12

Page 14: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Le equazioni che si ottengono dalla Relativita Generale sono pertanto equi-valenti a

9a2“

8πG

3ρa2

´Kc2`

1

3Λa2 (25)

da“ ´3

ε` p

a(26)

dove abbiamo sostituito ε0c2 a ρ0 (ε0 e la densita totale di energia per t “ t0)

ed e comparso il termine legato alla costante cosmologica Λ. Si noti come,derivando rispetto al tempo la prima equazione per ottenere :a, il termine conG diviene negativo (ovvero di segno opposto rispetto a :a) mentre il terminecon Λ resta positivo: il primo e il termine di forza gravitazionale, attrattivo,mentre il secondo e l’effetto della costante cosmologica che corrisponde aduna forza repulsiva.

Vediamo adesso il legame tra la densita di energia e la pressione per lecomponenti principali dell’universo e come queste variano durante l’espan-sione.

Materia (non relativistica). La pressione e quella del gas perfetto, pm “c2sρm (il pedice m indica la materia non relativistica) ma poiche in condizioni

normali c2s ! c2, allora relativisticamente parlando pm “ 0. I cosmologi chia-

mano questa componente polvere. Considerando che εm “ ρmc2, l’equazione

per la conservazione dell’energia e

dρmda

“ ´3ρma

(27)

questa equazione e facilmente risolvibile per separazione delle variabili e lasoluzione e

ρm “ ρ0a´3 (28)

dove abbiamo imposto la condizione che ρ “ ρ0 per t “ t0. Questa e larelazione gia trovata con la semplice condizione di conservazione della mas-sa. Ricordiamo che abbiamo rinormalizzato la densita di massa al momentoattuale usando il parametro

Ω0 “ρ0

ρcr“

8πG

3H20

ρ0 (29)

Radiazione e Materia Ultrarelativistica. Se consideriamo radiazione omateria ultrarelativistica come i neutrini o particelle simili (kBT " mc2),l’equazione di stato e

pr “1

3εr “

1

3ρrc

2 (30)

13

Page 15: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Se sostituiamo nell’equazione per la conservazione dell’energia otteniamo

dεrda

“ ´4εra

(31)

la cui soluzione eεr “ ε0a

´4 (32)

dove abbiamo imposto la condizione che ε “ ε0 per t “ t0. Analogamente aprima il parametro di densita di radiazione e

Ωr,0 “ρr,0ρcr

“8πGρr,0

3H20

(33)

con ρr,0 “ ε0c2.

Se consideriamo che la radiazione cosmica di fondo e un perfetto corponero allora sappiamo che la sua densita di energia e

εr “4σBc

T 4“ εr,0 a

´4“

4σBc

T 40 a

´4 (34)

con T0 temperatura attuale della radiazione cosmica di fondo. Si ottieneinfine la variazione della temperatura della radiazione cosmica di fondo colfattore di scala

T “ T0 a´1 (35)

o, analogamente, col redshift

T “ T0p1` zq (36)

Costante cosmologica ed energia del vuoto. La costante cosmologi-ca corrisponde ad una energia del vuoto che ha un effetto repulsivo rispet-to all’effetto attrattivo della gravita; ovvero l’energia del vuoto tende a farespandere l’universo rispetto all’attrazione gravitazionale che tende a farlocontrarre. Si trova che l’equazione di stato dell’energia del vuoto e

pv “ ´ρvc2 (37)

dove la densita di materia equivalente e data da

ρv “εvc2“

Λ

8πG(38)

Applicando l’equazione di conservazione dell’energia si ottiene

dεvda

“ 0 (39)

14

Page 16: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

ovvero εv “ ρvc2 “ cost. come si deve avere per una energia del vuoto, ovvero

associata (probabilmente) a fluttuazioni quantistiche nel vuoto. Il parametrodi densita e

ΩΛ “ρvρcr

“Λ

3H20

(40)

5 L’equazione di espansione

Se consideriamo la definizione della densita di energia del vuoto e quindi diρv vediamo che l’equazione 25 per 9a la possiamo scrivere nella forma cheavevamo trovato con la trattazione Newtoniana

9a2“

8πG

3ρa2

´Kc2 (41)

con ρ che rappresenta relativisticamente tutte le componenti che contribui-scono all’energia ovvero

ρptq “ ρmptq ` ρrptq ` ρv

“ ρ0a´3` ρ0,ra

´4` ρv

“ ρcrpΩ0a´3` Ωr,0a

´4` ΩΛq (42)

sostituendo nell’eq. 41 si ottiene

9a2“ H2

0

ˆ

Ω0

a`

Ω0,r

a2` ΩΛa

2

˙

´Kc2 (43)

valutandola per t “ t0 e ricordando che apt0q “ 1, 9apt0q “ H0, si ottiene

K “H2

0

c2pΩ0 ` Ω0,r ` ΩΛ ´ 1q (44)

ovvero il tipo di evoluzione di aptq che abbiamo visto dipendeva dal segnodi K dipende dal segno di pΩ0 ` Ω0,r ` ΩΛ ´ 1q. L’equazione che regolal’espansione di aptq e infine

9a2“ H2

0

Ω0

ˆ

1

a´ 1

˙

` Ωr,0

ˆ

1

a2´ 1

˙

` ΩΛpa2´ 1q ` 1

(45)

oppure, ricordando Hptq “ 9aa,

Hptq2 “ H20

Ω0a´3` Ωr,0a

´4` ΩΛ ` a

´2p1´ Ω0 ´ Ωr,0 ´ ΩΛq

(46)

Nel contesto della Relativita Generale K rappresenta la curvatura dell’uni-verso:

15

Page 17: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

152

4. Cosmology I: Homogeneous Isotropic World Models

Fig. 4.6. Two-dimensional analogies for the three possiblecurvatures of space. In a universe with positive curvature(K > 0) the sum of the angles in a triangle is larger than

180!, in a universe of negative curvature it is smaller than180!, and in a flat universe the sum of angles is exactly180!

speculated in Sect. 4.2.1, the order of magnitude ofthe curvature radius is c/H0 according to (4.30).

• If K < 0, the space is called hyperbolic – the two-dimensional analogy would be the surface of a saddle(see Fig. 4.6).

Hence GR provides a relation between the curvatureof space and the density of the Universe. In fact, thisis the central aspect of GR which links the geometryof spacetime to its matter content. However, Einstein’stheory makes no statement about the topology of space-time and, in particular, says nothing about the topologyof the Universe.4 If the Universe has a simple topology,it is finite in the case of K > 0, whereas it is infinite ifK " 0. However, in both cases it has no boundary (com-pare: the surface of a sphere is a finite space withoutboundaries).

With (4.29) and (4.30), we finally obtain theexpansion equation in the form

!aa

"2

= H2(t)

= H20

#a#4(t)!r +a#3(t)!m

+a#2(t)(1#!m #!")+!"

$.

(4.31)

4The surface of a cylinder is also considered a flat space, like a plane,because the sum of angles in a triangle on a cylinder is also 180!.But the surface of a cylinder obviously has a topology different froma plane; in particular, closed straight lines do exist – walking ona cylinder in a direction perpendicular to its axis, one will return tothe starting point after a finite amount of time.

4.3 Consequencesof the Friedmann Expansion

The cosmic expansion equations imply a number of im-mediate consequences, some of which will be discussednext. In particular, we will first demonstrate that theearly Universe must have evolved out of a very denseand hot state called the Big Bang. We will then linkthe scaling factor a to an observable, the redshift, andexplain what the term “distance” means in cosmology.

4.3.1 The Necessity of a Big BangThe terms on the right-hand side of (4.31) each havea different dependence on a:

• For very small a, the first term dominates and theUniverse is radiation dominated then.

• For slightly larger a ! aeq, the dust (or matter) termdominates.

• If K $= 0, the third term, also called the curvatureterm, dominates for larger a.

• For very large a, the cosmological constantdominates if it is different from zero.

The differential equation (4.31) in general cannot besolved analytically. However, its numerical solution fora(t) poses no problems. Nevertheless, we can analyzethe qualitative behavior of the function a(t) and therebyunderstand the essential aspects of the expansion his-tory. From the Hubble law, we conclude that a(t0) > 0,i.e., a is currently an increasing function of time. Equa-

Figura 5: Analogie bidimensionali per le geometrie permesse con i diversi valoridi K. Per K ą 0 si ha una geometria sferica (chiusa), per K ă 0 si ha unageometria iperbolica (aperta) e per K “ 0 si ha la geometria Euclidea (piana).

• K “ 0, la geometria e piatta, ovvero corrisponde alla geometria Eucli-dea che ben conosciamo;

• K ą 0, la geometria e sferica (chiusa) e 1?K rappresenta il raggio di

curvatura dell’universo;

• K ă 0, la geometria e iperbolica (aperta);

la figura 5 mostra le analogie bidimensionali per le geometrie determinatedal segno di K.

L’equazione dell’espansione puo essere risolta numericamente per deter-minare aptq ma e opportuno capire quando i vari termini dominano. Consi-deriamo innanzitutto il rapporto tra la densita di materia e di radiazione

ρmptq

ρrptq“

ρ0 a´3

ρr,0 a´4“

Ω0

Ωr,0

a (47)

sostituendo il valore di ρr,0 “ εr,0c2 “ σBT

40 4c e ρ0 “ Ω0H

20p8πGq si

ottiene infineρmptq

ρrptq“

3c3H20 Ω0

32πGσB T 40

aptq (48)

sostituendo i valori H0 “ 70 km s´1 Mpc´1, T0 “ 2.738 K si ottiene

ρmptq

ρrptq“

Ω0

Ωr,0

aptq “ 1.9ˆ 104 Ω0 aptq (49)

come vedremo Ω0 “ 0.3, pertanto per t “ t0, si ha ρ0ρr,0 " 1 ovvero almomento attuale la materia domina la gravita rispetto alla radiazione. Peroc’e stato un momento aeq in cui la densita di materia e di radiazione eranoequivalenti

aeq “Ωr,0

Ω0

“5.2ˆ 10´5

Ω0

(50)

16

Page 18: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

206 7 The Friedman World Models

to zero as a tends to infinity. It has a particularly simple variation of a(t) withcosmic epoch,

a =!

tt0

"2/3

! = 0, (7.24)

where the present age of the world model is t0 = (2/3)H!10 .

Some solutions of (7.21) are displayed in Fig. 7.2 which shows the well-knownrelation between the dynamics and geometry of the Friedman world models with" = 0. The abscissa in Fig. 7.2 is in units of H!1

0 and so the slope of the relationsat the present epoch, a = 1, is always 1. The present age of the Universe is given bythe intersection of each curve with the line a = 1.

Another useful result is the function a(t) for the empty world model, #0 = 0,a(t) = H0t, ! = !(H0/c)2. This model is sometimes referred to as the Milne

Fig. 7.2. The dynamics of the classical Friedman models with #" = 0 characterised by thedensity parameter #0 = $0/$c. If #0 > 1, the Universe collapses to a = 0 as shown; if#0 < 1, the Universe expands to infinity and has a finite velocity of expansion as a tends toinfinity. In the case #0 = 1, a = (t/t0)2/3 where t0 = (2/3)H!1

0 . The time axis is given interms of the dimensionless time H0t. At the present epoch a = 1 and in this presentation, thethree curves have the same slope of 1 at a = 1, corresponding to a fixed value of Hubble’sconstant at the present day. If t0 is the present age of the Universe, then H0t0 = 1 for #0 = 0,H0t0 = 2/3 for #0 = 1 and H0t0 = 0.57 for #0 = 2

216 7 The Friedman World Models

Fig. 7.5. The dynamics of spatially flat world models, !0 +!" = 1, with different combina-tions of !0 and !". The abscissa is plotted in units of H!1

0 . The dynamics of these modelscan be compared with those shown in Fig. 7.2 which have !" = 0

7.4.1 The Deceleration Parameter

Just as Hubble’s constant H0 measures the expansion rate of the Universe at thepresent epoch, so we can define the present deceleration of the Universe a(t0). Itis conventional to define the deceleration parameter q0 to be the dimensionlessdeceleration at the present epoch through the expression

q0 = !!

aaa2

"

t0

. (7.61)

Substituting a = 1, a = H0 at the present epoch into the dynamical equation (7.40),we find

q0 = !0

2! !" . (7.62)

Equation (7.62) represents the present competition between the decelerating effectof the attractive force of gravity and the accelerating effect of the repulsive darkenergy. Substituting the favoured values of !0 = 0.3 and !" = 0.7 (see Chaps. 8and 15), we find q0 = !0.55, showing that the Universe is accelerating at the presentepoch because of the dominance of the dark energy.

Figura 6: Soluzioni dell’equazione di espansioni per modelli senza costantecosmologica (sinistra) e con costante cosmologica ma Ω0 ` ΩΛ “ 1.

prima di quel momento dominava la radiazione.Pertanto, tornando all’equazione dell’espansione,

Hptq2 “ H20

Ω0a´3` Ωr,0a

´4` ΩΛ ` a

´2p1´ Ω0 ´ Ωr,0 ´ ΩΛq

(51)

si trova che:

• per a ă aeq domina la radiazione, l’equazione e

9a2“H2

0 Ωr,0

a2(52)

integrando per separazione di variabili e considerando il caso in cui9a ą 0 si ha

aptq “ p2H0Ωr,0q t12 (53)

ricordando che aeq “ Ωr,0Ω0 si ottiene che il passaggio dalla fasedominata dalla radiazione alla fase dominata dalla materia avviene per

teq “Ωr,0

2Ω20H0

“ 4.0ˆ 106 yr (54)

con Ω0 “ 0.3, ovvero dopo quattro milioni di anni.

• Per a ą aeq domina la materia, e per a ! 1 l’equazione e

9a2“H2

0 Ω0

a(55)

17

Page 19: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

integrando per separazione di variabili e considerando il caso in cui9a ą 0 si ha

2

3

apt0q32´ aptq32

“ H0Ω120 pt0 ´ tq (56)

imponendo che ap0q “ 0 si ottiene t0 “´

32H0Ω120

¯´1

ovvero

aptq “ Ω130

ˆ

3

2H0t

˙23

(57)

• Nell’epoca attuale (a „ 1) la radiazione e trascurabile e l’equazione e

9a2“ H2

0

Ω0

ˆ

1

a´ 1

˙

` ΩΛpa2´ 1q ` 1

(58)

possibili soluzioni di questa equazione sono mostrate in figura 6 e sonoottenute numericamente. Si noti come l’eta attuale dell’universo siha quando a “ 1, con ovviamente 9a ą 0. Nella fase iniziale in cuia " 1 la soluzione numerica e ben approssimata dalla soluzione trovataprecedentemente.Una soluzione analitica sempre valida si ha per Ω0 “ 1 e ΩLambda “ 0(modello di Einstein-de Sitter): in questo caso

aptq “

ˆ

3

2H0t

˙23

(59)

come nel caso dominato dalla materia (a meno del fattore Ω130 che a

adesso e pari a 1) e l’eta dell’universo e

t0 “2

3H0

“ 9.3 Gyr (60)

Si noti come 1H0 “ 14.0 Gyr ha le dimensioni di un tempo (tempo diHubble) ed e il tempo scala tipico che caratterizza l’eta dell’universo.Un’altra semplice soluzione analitica si ha per Ω0 “ 0 ΩΛ “ 0 ovverol’universo vuoto di Milne:

aptq “ H0t (61)

in cui l’espansione avviene ad un tasso costante e t0 “ 1H0.

• Per a " 1 domina l’energia oscura e l’equazione e

9a2“ H2

0 ΩΛ a2 (62)

18

Page 20: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

4.3 Consequences of the Friedmann Expansion

153tion (4.31) shows that a(t) > 0 for all times, unless theright-hand side of (4.31) vanishes for some value of a:the sign of a can only switch when the right-hand sideof (4.31) is zero. If H2 = 0 for a value of a > 1, theexpansion will come to a halt and the Universe will rec-ollapse afterwards. On the other hand, if H2 = 0 fora value a = amin with 0 < amin < 1, then the sign of aswitches at amin. At this epoch, a collapsing Universechanges into an expanding one.

Which of these alternatives describes our Uni-verse depends on the density parameters. We find thefollowing classification (also see Fig. 4.7):

• If ! = 0, then H2 > 0 for all a ! 1, whereas thebehavior for a > 1 depends on "m:– if "m ! 1 (or K ! 0, respectively), H2 > 0 for

all a: the Universe will expand for all times.This behavior is expected from the Newtonianapproach because if K ! 0, the kinetic energy inany spherical shell is larger than the modulus ofthe potential energy, i.e., the expansion velocityexceeds the escape velocity and the expansionwill never come to a halt.

– If "m > 1 (K > 0), H2 will vanish fora = amax = "m/("m "1). The Universe willhave its maximum expansion when the scalefactor is amax and will recollapse thereafter. InNewtonian terms, the total energy of any spher-ical shell is negative, so that it is gravitationallybound.

• In the presence of a cosmological constant ! > 0,the discussion becomes more complicated:– If "m < 1, the Universe will expand for all a > 1.– However, for "m > 1 the future behavior of a(t)

depends on "!: if "! is sufficiently small,a value amax exists at which the expansion comesto a halt and reverses. In contrast, if "! is largeenough the Universe will expand forever.

– If "! < 1, then H2 > 0 for all a ! 1.– However, if "! > 1, it is in principle possible

that H2 = 0 for an a = amin < 1. Such mod-els, in which a minimum value for a existed inthe past, can be excluded by observations (seeSect. 4.3.2).

With the exception of the last case, which can be ex-cluded, we come to the conclusion that a must haveattained the value a = 0 at some point in the past, at

Fig. 4.7. Classification of cosmological models. The straightsolid line connects flat models (i.e., those without spatial cur-vature, "m +"! = 1) and separates open (K < 0) and closed(K > 0) models. The nearly horizontal curve separates mod-els that will expand forever from those that will recollapse inthe distant future. Models in the upper left corner have an ex-pansion history where a has never been close to zero and thusdid not experience a Big Bang. In those models, a maximumredshift for sources exists, which is indicated for two cases.Since we know that "m > 0.1, and sources at redshift > 6have been observed, these models can be excluded

least formally. At this instant the “size of the Universe”formally vanished. As a # 0, both matter and radiationdensities diverge so that the density in this state musthave been singular. The epoch at which a = 0 and theevolution away from this state is called the Big Bang.It is useful to define this epoch (a = 0) as the originof time, so that t is identified with the age of the Uni-verse, the time since the Big Bang. As we will show,the predictions of the Big Bang model are in impressiveagreement with observations. The expansion history forthe special case of a vanishing vacuum energy densityis sketched in Fig. 4.8 for three values of the curvature.

To characterize whether the current expansion of theUniverse is decelerated or accelerated, the decelerationparameter

q0 := "a a/a2 (4.32)

is defined where the right-hand side has to be evaluatedat t = t0. With (4.19) and (4.31) it follows that

q0 = "m/2""! . (4.33)

Figura 7: Tipi di soluzioni (e di geometrie) al variare di Ω0 (Ωm) e ΩΛ. I modelli”loitering” sono quelli che ammettono una soluzione asintotica stazionaria, ovverosono proprio quelli che voleva ottenere Einstein introducendo Λ.

separando le variabili e scegliendo 9a ą 0 si ottiene

aptq “ eH0Ω12Λ pt´t0q (63)

ovvero un’espansione esponenziale guidata dall’energia oscura. t0 esempre l’eta attuale dell’universo.

Non entreremo nel dettaglio delle soluzioni possibili per i vari valori di Ω0,ΩΛ e Ωr,0; quest’ultimo oltretutto e importante solo nelle prime fasi dell’uni-verso, quando a ! 1. I vari tipi di possibili soluzioni sono mostrati in figura7; nella prossima sezione saranno discussi i allori dei parametri cosmologicicome ricavati dalle osservazioni. Quando ΩΛ ą 0 l’universo si espande sempreperche quando a " 1 il termine repulsivo di energia oscura domina. I modelli“loitering” sono quelli che ammettono una soluzione asintotica stazionaria,ovvero sono proprio quelli che voleva ottenere Einstein introducendo Λ.

Con l’eccezione di pochi casi particolari possiamo concludere che a deveaver avuto il valore a “ 0 a qualche istante in passato che noi abbiamoscelto come origine dell’asse dei tempi. Per t “ 0 le dimensioni dell’universo

19

Page 21: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

formalmente svaniscono e, considerando l’espressione di ρptq, sia la densitadi materia che di radiazione diventano infinite; anche la temperatura dellaradiazione diventa infinita. Lo stato in cui a “ 0 prende il nome di “BigBang”. Lo stato di a “ 0 si raggiunge per t ą 0 anche nei modelli in cuiΩΛ “ 0 e Ω0 ą 1: in questo caso l’universo ricollassa alla singolarita inizialee si parla di “Big Crunch”.

6 I valori dei parametri cosmologici

Il parametro di densita Ω0 contiene il contributo di tutta la materia, sia quellavisibile che quella oscura. Se si considera tutta la materia in stelle ed il gasintergalattico (come quello negli ammassi rivelato nei raggi X), ovvero tuttala materia che viene rivelata dalla sua emissione e.m., si arriva ad un valoreΩb » 0.04. Se si considera la materia oscura nelle galassie e soprattuttoquella presente negli ammassi di galassie si arriva ad una stima complessivaper la materia di Ω0 “ Ωb ` ΩDM » 0.3. Pertanto, solo una piccola frazionee materia rivelata per la sua emissione e questa e la materia barionica ovverocostituita da barioni (p, n). Come vedremo tra poco, la materia oscura nonpuo essere materia ordinaria (barionica).

Per ottenere misure di Ω0 e ΩΛ e necessario misurare i flussi di candelestandard oppure le dimensioni di “lunghezze standard”. Nel primo caso simisurano i flussi osservati di sorgenti la cui luminosita e nota indipenden-temente, nel secondo caso si misurano le dimensioni angolari (sul cielo) distrutture le cui dimensioni fisiche sono note indipendentemente. Utilizzandola metrica di Friedmann-Robertson-Walker e possibile definire una grandezzaDL, detta distanza di luminosita, funzione del redshift z della sorgente, e deiparametri cosmologici (Ω0, ΩΛ e H0) tale che il flusso osservato (bolometrico,ovvero NON per unita di banda) e

DL “ DLpz;H0,Ω0,ΩΛq

F “L

4πD2L

(64)

con L luminosita della sorgente. Ovviamente per piccoli redshift (z ! 1) ladistanza di luminosita tende alla classica distanza D. Pertanto, osservan-do delle candele standard e confrontandone flusso e luminosita di possonovincolare i parametri cosmologici.

Analogamente, e possibile definire una grandezza DA, detta distanza an-golare, tale che le dimensioni di una sorgente di lunghezza ` sul piano del

20

Page 22: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

cielo siano

DA “ DApz;H0,Ω0,ΩΛq “DL

p1` zq2

θ “`

DA

(65)

Anche in questo caso per piccoli redshift (z ! 1) la distanza angolare tendealla classica distanza D.

Per quanto appena detto, DL » D per z ! 1, misure con le candelestandard a basso redshift permettono soltanto di misurare la costante diHubble H0: di solito si utilizzano le variabili Cefeidi (caratterizzate da unarelazione periodo luminosita).

Recentemente, utilizzando come candele standard le Supernovae di tipoIa (nane bianche in sistemi binari che superano il limite di Chandrasekharper accrescimento dalla compagna), e stato possibile vincolare contempora-neamente Ω0 e ΩΛ trovando per la prima volta l’evidenza osservativa perΩΛ ‰ 0 ovvero per l’esistenza della costante cosmologica (figura 8).

Lo studio delle fluttuazioni della radiazioni cosmica di fondo fornisce deivincoli soprattutto sulla geometria dello spazio ovvero su Ω0`ΩΛ dalle scalesulle quali si osservano le fluttuazioni (figura 9) ma anche su Ωb ovvero sulladensita di massa barionica: infatti le fluttuazioni della radiazione cosmica difondo tracciano proprio le fluttuazioni di densita della materia barionica.

Infine, la figura 10 mostra come sia possibile vincolare Ω0 e ΩΛ combi-nando tutte queste osservazioni. Sono anche indicati i vari tipi di modellicosmologici determinati dai valori di Ω0 e ΩΛ. Combinando tutte le misurepiu recenti su cefeidi, ammassi, supernovae, radiazione cosmica di fondo (dalsatellite Planck) e struttura a grande scala delle galassie e possibile ottenere ivalori dei parametri cosmologici riportati in tabella 1. Si noti come la geome-tria dell’universo sia piatta Ω0`ΩΛ “ 1 e come, dallo studio delle fluttuazionidella radiazione cosmica di fondo, sia possibile vincolare la densita di massanei barioni a Ωb » 0.05 mentre la densita di massa totale e Ω0 » 0.3: questae la conferma definitiva che gran parte della materia non e barionica.

7 La storia termica dell’universo

A seguito dell’interazione materia radiazione (principalmente causata dalloscattering Thomson), la temperatura della materia barionica e uguale allatemperatura della radiazione per z Ç 400, ovvero per tempi cosmici inferioria circa 40 milioni di anni dal Big Bang („ 0.03% dell’eta dell’universo). Co-me abbiamo visto la temperatura della radiazione decresce con l’espansione

21

Page 23: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Figura 8: Diagramma schematico magnitudine osservata - redshift, che mostral’evidenza per Λ ą 0 dalle supernovae di tipo Ia (punti con barra d’errore). Lariga grigia sotto i punti mostra dove dovrebbero trovarsi i dati se ΩΛ “ 0 e Ω0 “ 1,ovvero se l’universo fosse piatto senza costante cosmologica. La linea nera invecemostra il best fit con universo piatto Ω0 ` ΩΛ “ 1 ma ΩΛ “ 0.7 e Ω0 “ 0.3.

dell’universo, ovvero cresce andando indietro nel tempo:

T “T0

aptq“ T0 p1` zq (66)

con T0 temperatura attuale (T0 » 2.738K). La radiazione ha una distribu-zione di corpo nero, per cui alla temperatura T esistono fotoni con un ampiospettro di energia attorno al valor medio kT . Pertanto e facile intuire come,andando indietro nel tempo, la temperatura sia stata cosı alta da aver potu-to dissociare la materia nelle sue componenti fondamentali. Questo fatto emostrato in figura 11 dove di devono notare alcune epoche importanti.

• Epoca della Ricombinazione. Quando l’eta dell’universo era del-l’ordine di „ 106 anni, la radiazione era cosı calda da riuscire a ionizza-

22

Page 24: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Figura 9: Schematizzazione di come le scale angolari su cui si osservano lefluttuazioni della radiazione cosmica di fondo dipendono dalla geometria dellospazio.

re l’idrogeno (13.6 eV), il costituente principale della materia barionica(„ 90% degli atomi): per cui a epoche piu remote l’universo era comple-tamente ionizzato. Percorrendo questa fase di transizione nel verso deltempo, si capisce come per t „ 106 yr l’universo “ricombini” e diventineutro. Alla ricombinazione i fotoni ricevono il loro “ultimo scatte-ring” con gli elettroni: la radiazione cosmica di fondo che osserviamoadesso e proprio la radiazione emessa in questa fase e raffreddata fino a„ 3 K dall’espansione dell’universo. Nella fase precedente alla ricombi-nazione, l’universo e totalmente ionizzato e quindi otticamente spessoper scattering Thomson: la ricombinazione costituisce una vero e pro-pria barriera nel senso che non e possibile osservare oggetti piu distantiutilizzando la radiazione elettromagnetica. Quindi la ricombinazionecostituisce per noi un vero e proprio orizzonte.

• Transizione Epoca Radiazione - Epoca Materia. Poco primadella Ricombinazione, l’universo effettua la transizione tra la fase in cui

23

Page 25: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Figura 10: Contorni di confidenza nel piano Ω0, ΩΛ ottenuti combinando le osser-vazioni sugli ammassi di galassie (marrone), le supernovae Ia (blue) e la fluttua-zioni della radiazione cosmica di fondo (verde). Il punto rosso rappresenta i valoripiu probabili indicati da tutte queste osservazioni.

e dominato dalla radiazione, alla fase in cui e dominato dalla materia.

• Nucleosintesi. Intorno ai 100 s dopo il Big Bang la radiazione e suf-ficientemente calda da poter spezzare i legami nucleari: tutti i nucleipesanti vengono decomposti in protoni e neutroni. Visto secondo il ver-so del tempo, in questa fase si ha la nucleosintesi, ovvero da protoni eneutroni si passa alla formazione di nuclei piu pesanti. La nucleosintesiavviene in modo “esplosivo” ovvero nell’arco di circa 300 secondi e giaterminata. A causa del fatto che non esistono nuclei stabili con A “ 5,

24

Page 26: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Tabella 1: Valori dei parametri cosmologici ottenuti combinando le osservazionidella radiazione cosmica di fondo del satellite Planck (ESA) con le osservazioniesistenti di cefeidi, supernove, ammassi e struttura delle galassie su grande scala.

Parametro Valore

H0 [ km s´1 Mpc´1] 67.8˘ 0.8Ω0 0.305˘ 0.004ΩDM 0.257˘ 0.004Ωb 0.0476˘ 0.0005ΩΛ 0.692˘ 0.01Ω0 ` ΩΛ 1.00˘ 0.01Eta dell’Universo [Gyr] 13.80˘ 0.04

e A “ 8 non si riescono a sintetizzare elementi giu pesanti di 7Li e 7Be.La nucleosintesi e una prova fondamentale del modello cosmologico:predice che l’abbondanza in massa di 4He sia attorno al 25%, valoreosservato e non spiegabile con le reazioni nucleari all’interno delle stes-se. Inoltre le abbondanze osservate di deuterio (D), 3He e 7Li, elementidistrutti all’interno delle stelle e quindi prodotti solo dalla nucleosin-tesi permettono di vincolare la densita di massa dei barioni: infatti leloro abbondanze come predette dal modello di nucleosintesi cosmolo-gica dipendono significativamente da Ωb. Si trova Ωb » 0.05 in ottimoaccordo con la misura totalmente indipendente dalle fluttuazioni delfondo cosmico.

• Fasi precedenti. Procedendo a ritroso nel tempo, si raggiunge lafase dell’annichilazione di elettroni e positroni, ovvero la fase in cui laradiazione era cosı calda da produrre coppie e´, e` dallo scatteringfotone-fotone. Andando ancora indietro nel tempo l’universo e cosıdenso e caldo da essere otticamente spesso ai neutrini e si ha una faseanaloga alla ricombinazione: quando saremo in grado di utilizzare ineutrini per le osservazioni vedremo un fondo cosmico di neutrini chesi origina in questa fase. Andando ancora indietro nel tempo si arrivaall’annichilazione tra barione e antibarione: in questa fase l’antimateriae stata totalmente distrutta e, grazie ad una piccola asimmetria nelrapporto tra barioni e antibarioni (109+1 barioni per 109 antibarioni!)e rimasta solo la materia. In fasi ancora precedenti si entra in un regime

25

Page 27: Introduzione alla Cosmologia - INAF · Introduzione alla Cosmologia Introduzione all’Astro sica AA 2013/2014 Prof. Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia Universit

Summary of the Thermal History of the Universe

This diagram summarises the keyepochs in the thermal history of theUniverse. The key epochs are

• The epoch of recombination.• The epoch of equality of matter

and radiation.

27

Figura 11: Storia termica dell’universo.

in cui la fisica e poco conosciuta e si spera che LHC ricreera le condizionifisiche dell’universo primordiale per poterle studiare in dettaglio.

26