INTEGRAZIONE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE CON n < m (CASO 2) CASO 2C: DENOMINATORE DI SECONDO GRADO

In questo caso dobbiamo studiare il segno del discriminante del trinomio di secondo grado

ax2+bx+c si presenteranno tre casi:

1. ∆>0 2. ∆ = 0 3. ∆<0

CASO 1 : Il denominatore è di secondo grado. Discriminante positivo: ∆>0 Se ∆>0, il trinomio

ax2+bx+c ha due radici reali e distinte, x1 e x2. Possiamo perciò scrivere:

La tecnica di integrazione consiste nel trovare due numeri A e B per i quali:

In questo modo, la funzione originaria viene scomposta nella somma di frazioni, dette FRATTI SEMPLICI, i cui integrali sono immediati.

IN GENERALE, SE ∆>0 1) Si scompone il denominatore ax2+bx+c = a (x-x1) (x-x2) 2) si scrive la frazione data come SOMMA di frazioni con denominatore di primo grado

3) si calcola la somma delle due frazioni al secondo membro; 4) si determinano A e B risolvendo il sistema le cui equazioni si ottengono uguagliando tra loro i coefficienti della x e i termini noti; 5) si risolve l’integrale

Esempio 1 Calcoliamo

Cominciamo calcolando il discriminante del denominatore:

∆= b2-4ac = 9-8 = 1 >0 Il trinomio ammette quindi due radici reali e distinte x1 e x2 x1 = 1

x2 = 2 Risulta quindi x2-3x-2 = (x-1) (x-2) Dobbiamo ora determinare due numeri A e B per i quali sia vero che

Perché i due membri dell’uguaglianza scritta risultino uguali, dobbiamo calcolare il m.c.d del secondo membro. Otteniamo:

I denominatori sono uguali, per cui devono essere uguali anche i numeratori. Deve cioè essere x= (A+B) x -2A – B i due polinomi sono uguali se hanno lo stesso coefficiente di x e lo stesso termine noto. Deve quindi essere soddisfatto il seguente sistema:

Risolvendo il sistema troviamo :

L’integrale da risolvere diventa quindi:

Ovvero

Siamo ritornati al caso 2, in cui il denominatore è di PRIMO GRADO, e che sappiamo calcolare facilmente. In conclusione abbiamo:

CASO 2 : Il denominatore è di secondo grado. Discriminante nullo: ∆= 0 Se ∆=0, il trinomio

ax2+bx+c ha una sola radice, ovvero il trinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio. In questo caso, la tecnica di integrazione consiste nel trovare due numeri A e B per i quali:

In questo modo, la funzione originaria viene scomposta nella somma di frazioni, dette FRATTI SEMPLICI, i cui integrali sono immediati

ESEMPIO 1 Vogliamo calcolare il seguente integrale :

Riconosciamo immediatamente che il termine al denominatore è il QUADRATO DI UN BINOMIO :

x2-6x+9 = (x-3)2 Esso ha quindi una sola radice, x= 3

Per poter risolvere il nostro integrale, dobbiamo quindi trovare due numeri A e B per i quali sia vero che :

Perché anche i numeratori siano uguali, deve essere:

Ovvero: x+2 = Ax + (B – 3A) Deve quindi essere soddisfatto il sistema seguente:

Ovvero:

Il nostro integrale diventa quindi:

Per a i earità de ’i tegra e, possiamo scrivere:

Possiamo anche non ricorrere alla scomposizione precedente ma ragionare in maniera diversa Esempio 2 Vogliamo calcolare

Riconosciamo che il trinomio al denominatore è lo sviluppo del quadrato di un binomio, che sappiamo avere discriminante nullo. Risulta cioè :

9x2 + 6x+1 = (3x +1)2 Possiamo quindi scrivere

ESEMPIO 3 Calcoliamo

Il denominatore è lo sviluppo del quadrato di un binomio. Abbiamo cioè

Esempio 4 Calcoliamo

Il denominatore è lo sviluppo del quadrato di un binomio: x2-4x+4 = (x-2)2

Siccome D(x2-4x+4) = 2x-4

Possiamo lavorare sul numeratore per fare in modo che vi compaia la derivata del denominatore, sommando e sottraendo 1. Abbiamo così :

Per la i earità de ’i tegra e possiamo spezzare ’u timo i tegra e i due parti:

Di entrambi sappiamo calcolare facilmente la primitiva. Otteniamo così:

CASO 3 : IL DENOMINATORE È DI SECONDO GRADO. DISCRIMINANTE NEGATIVO : ∆< 0 In questo caso, il trinomio

ax2 + bx + c è irriducibile La tecnica di integrazione in questa situazione prevede due “sottocasi”, a seconda della funzione che compare al numeratore. - se il NUMERATORE della funzione da integrare è un NUMERO (cioè ha grado zero) allora si riconduce l’integrale, con la tecnica del COMPLETAMENTO DEL QUADRATO, alla forma:

arcta

Che deriva direttamente da quella per il calcolo dell’arcotangente di funzioni composte:

arcta

IN PRATICA:

per calcolare

Quando ∆≺0 - si raccoglie il coefficiente di x2:

- si scrive il denominatore nella forma: (x + h)2 + k2; -calcoliamo infine l’integrale

arcta

NOTA: Per questo tipo di integrali, sussiste la seguente formula:

∆arcta

∆

Possiamo infatti decomporre il trinomio al denominatore nella forma:

∆

Di conseguenza, l’integrale dato diventa:

∆

Raccogliendo -∆ tra i termini tra parentesi quadre otteniamo

∆

∆

∆

∆ ∆

∆

∆

Per ricondurci alla derivata dell’arcotangente, dobbiamo avere al denominatore, tra

parentesi quadre, 1+x2, per cui dobbiamo elevare al quadrato ed estrarre la radice da -∆. Abbiamo così, riportando (-∆)/4a al numeratore:

∆

∆

∆

∆

∆ ∆

∆

∆

∆

∆

∆ arcta

∆

∆arcta

∆

Se riuscite a memorizzarla, vi risulterà molto utile! - Il numeratore e un polinomio di primo grado, cioè l’integrale è del tipo:

Se il NUMERATORE della funzione da integrare è di PRIMO GRADO, allora scriveremo la funzione integranda come SOMMA DI DUE ADDENDI, uno avente al numeratore la derivata del denominatore (per ricondurci all’integrale di una funzione logaritmica) ed uno avente al numeratore un numero (per ricondurci all’integrale dell’arcotangente)

VEDIAMO ORA COME PROCEDERE CON ALCUNI ESEMPI ESEMPIO 1 : DENOMINATORE IRRIDUCIBILE, NUMERO AL NUMERATORE Vogliamo calcolare il seguente integrale:

Calcoliamo il discriminante della funzione al denominatore: ∆= b2-4ac = 9-16 = -7 < 0

Non possiamo quindi applicare nessuno dei metodi precedenti, essendo il denominatore irriducibile. Proviamo quindi a scrivere il denominatore come SOMMA di DUE QUADRATI, utilizzando la tecnica del completamento del quadrato. Consideriamo i primi due termini che compaiono al denominatore:

x2+3x Per completare il quadrato, dobbiamo inserire un terzo numero che, moltiplicato per il primo e per due, ci dia 3x, ovvero 3/2 Abbiamo cioè

x2 + 3x + (3/2)2 = x2 + 3x + 9/4 = (x+3/2)2

Dobbiamo quindi sommare e sottrarre al denominatore della funzione integranda 9/4. Otteniamo così

Possiamo cioè scrivere il denominatore della funzione integranda come :

Per ricondurci alla forma

arcta

Dobbiamo scrivere 7/4 come quadrato. Dobbiamo quindi elevare al quadrato ed estrarre la radice quadrata. Otteniamo così:

Possiamo ora calcolare la primitiva della funzione integranda. Otteniamo cioè, con m = 3/2 e

arcta

arcta

arcta

ESEMPIO 2: DENOMINATORE IRRIDUCIBILE, NUMERATORE DI PRIMO GRADO Vediamo come procedere nel caso in cui il denominatore della funzione integranda abbia discriminante negativo e al numeratore compaia un binomio di primo grado Vogliamo calcolare

Per il discriminante del denominatore abbiamo: ∆= b2-4ac = 4-12 = -8 < 0 Da quanto appreso dalla teoria, in questo caso dobbiamo cercare di riscrivere la funzione integranda come SOMMA DI DUE ADDENDI, di cui uno abbia al numeratore la derivata del de omi atore e ’a tro ave te UN NUMERO a umeratore. Calcoliamo la derivata del denominatore: D (x2+2x + 3) = 2x+2 Per ottenere al numeratore la derivata del denominatore devo quindi moltiplicare e dividere per 2 :

“Dividiamo” ora e a somma di due umeri, per otte ere a derivata de de omi atore. Dobbiamo cioè scrivere : 10 = 2 + 8 Per ottenere al denominatore 2x+2 Il nostro integrale diventa:

Separiamo ora i due integrali :

Dobbiamo ora “ avorare” su seco do i tegra e per rico durci a ’i tegra e de ’arcota ge te. Notiamo che

x2+2x + 3 = x2+2x + 1 + 2 = (x+1)2 + 2

Per ottenere un integrale del tipo

arcta

Dobbiamo quindi elevare al quadrato ed estrarre la radice da 2. Il secondo integrale diventa quindi:

E possiamo ca co are a sua primitiva, co ed m Rimettiamo insieme i vari risultati ottenuti:

arcta

Notiamo che a ’argome to de ogaritmo ma ca i va ore asso uto. I questo caso NON SERVE, perché sappiamo che i tri omio è sempre positivo i ℝ ESEMPIO 3: Calcoliamo

Calcoliamo il discriminante del denominatore: ∆ = 1-4 = - ≺ Come abbiamo visto, dobbiamo fare in modo che al numeratore compaia la derivata del denominatore D(x2+x+1) = 2x+1 Innanzi tutto moltiplichiamo e dividiamo per 2:

Per ottenere ora 2x +1 devo sommare e sottrarre 5 al numeratore:

Possiamo così scrivere:

Possiamo ora separare i due i tegra i ’i tegra e otte uto:

Il primo integrale ha come primitiva il logaritmo del denominatore. Il secondo integrale invece è del tipo su cui abbiamo ragionato nel caso precedente e dobbiamo ricondurlo a ’arcota ge te.

Notiamo che, per ottenere il quadrato di un binomio, dobbiamo sommare e sottrarre ¼. In questo modo abbiamo

x2+x+1/4= (x+1/2)2

Lavora do so o su ’ultimo integrale abbiamo:

Per ottenere un integrale della forma

arcta

Dobbiamo elevare al quadrato ed estrarre la radice da ¾. Otteniamo così

arcta

In conclusione, abbiamo:

arcta

RICAPITOLANDO Dagli esempi ricaviamo che, in generale, per calcolare un integrale del tipo

- lavoriamo sul numeratore per farvi comparire la derivata del denominatore -scriviamo poi ’i tegra e come somma di due i tegra i:

Il primo integrale ha come primitiva il logaritmo della funzione al denominatore mentre dobbiamo ricondurre il secondo integrale alla forma

arcta

ESERCIZI SVOLTI DENOMINATORE DI SECONDO GRADO

⇨ DISCRIMINANTE POSITIVO Risolviamo insieme il seguente integrale

Dalla scomposizione dei polinomi sappiamo che : x

2-5x+4 = (x-1) (x-4)

per cui possiamo cercare i due coefficienti A e B per i quali sia vero che

Uguagliando i denominatori otteniamo: 1 = A(x-4) + B (x-1) 1 = Ax -4A + Bx –B 1 = (A+B)x + (-4A – B) Ovvero A+ B = 0 -4A – B = 1 -3A = 1 Da cui

A = -1/3 B = 1/3 Il nostro integrale diventa quindi la somma di due integrali immediati:

Ora provate voi

:

DENOMINATORE DI SECONDO GRADO CON DISCRIMINANTE NULLO Calcoliamo insieme il seguente integrale

Riconosciamo subito che al denominatore abbiamo il quadrato di un binomio, per cui cerchiamo una scomposizione del tipo:

Uguagliando i denominatori otteniamo: 1 = A(x+5) + B 1 = Ax +5A + B Da cui A = 0 -5A + B = 1 B = 1 Il nostro integrale diventa quindi

Calcoliamo i seguenti integrali

:

:

:

DENOMINATORE DI SECONDO GRADO CON DISCRIMINANTE NEGATIVO Calcoliamo il seguente integrale

Scomponiamo il denominatore- Raccogliamo la x ed otteniamo: x3+4x = x(x2+4) Dobbiamo quindi cercare una scomposizione del tipo:

Uguagliando i denominatori otteniamo: A (x2+4) + x (Bx+C) = 1 A x2 +4A +B x2 +Cx = 1 Da cui A+B = 0 B = -1/4 C = 0 4A = 1 A = ¼ Otteniamo quindi :

Risolviamo immediatamente il primo integrale mentre per risolvere il secondo dobbiamo far comparire al numeratore la derivata del denominatore: D (x2+4) = 2x Dobbiamo cioè moltiplicare e dividere per 2 il secondo integrale:

CALCOLA I SEGUENTI INTEGRALI (NUMERATORE DI GRADO ZERO)

arcta

arcta

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DISCRIMINANTE NEGATIVO CON NUMERATORE È DI GRADO MAGGIORE DI ZERO