Ing Gabriele Canini

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Meccatronica Applicata

Applicazioni Matematiche e tecnologie delle

macchine automaticheIng Gabriele Canini

KPL Packaging spa

Meccatronica Applicata

Ing Gabriele Canini

Applicazioni matematiche a casi industriali nelle macchine automatiche

1) Come fare poca fatica (ottimizzazione risorse software e computazionali)

- interpolazione leggi di moto polinomiali

2) Come spendere meno (ottimizzazione costi attuatori) - dimensionamento ottimo trasmissione cinematica

Meccatronica Applicata : Interpolazione Polinomiale

Ing Gabriele Canini

ATTUATORE TRASMISSIONE CARICO

MOTORE RIDUTT

1 : n

T. CINGHIA

Z1 : Z2

NASTRO, M. TRASLANTE

Dx

Y

Ci interessa descrivere la legge di moto del mezzo operativo Y rispetto ad un master di macchina X


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r1

r2

rKrN

X

Y

0 360 [°]1 [ciclo]

slave

master

012

23

34

45

5)( )1.1 PXPXPXPXPXPXY

6 g.d.v : 1in ,1,1,1 e 0in ,0,0,0 XAVYXAVYservono 6 g.d.l che possono essere fissati nei 6 coeff di un polinomio di 5° gradoY

rK

X0X 1X

0Y

1Y

0V0A

1V1A


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012

23

34

45

5)( PXPXPXPXPXPXY

Y

rK

X0X 1X

0Y

1Y

0V0A

1V1A

Dati i vincoli geometrici nei punti

bisogna determinare i coefficienti

del polinomio interpolante

]1,1,1 ,0,0,0[ AVYAVY

],,,,,[ 012345 PPPPPP

]1,0[per )( XXXXY

]1,0[ XX


Ing Gabriele Canini

012

23

34

45

5 000000)0( )5.1 PXPXPXPXPXPYXY

012

23

34

45

5)( )2.1 PXPXPXPXPXPXY

122

33

44

5 2345)( )3.1 PXPXPXPXPdXdYXV

232

43

5 261220)( )4.1 PXPXPXPdXdVXA

Vincoli in 0X

122

33

44

5 020304050)0( )6.1 PXPXPXPXPVXV 23

24

35 20601202000 )7.1 PXPXPXPA)A(X

012

23

34

45

5 111111)1( )8.1 PXPXPXPXPXPYXY Vincoli in 1X

122

33

44

5 121314151)1( )9.1 PXPXPXPXPVXV 23

24

35 21611212011 )10.1 PXPXPXPA)A(X


Ing Gabriele Canini

Le eq. 1.5) – 1.10) possono essere riscritte in forma matriciale

00216112120

0112131415

111111

00206012020

0102030405

100000

111000

)11.1

0

1

2

3

4

5

23

234

2345

23

234

2345

PPPPPP

XXX

XXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXX

AVYAVY

166616 )12.1 PHB


Ing Gabriele Canini

00216112120

0112131415

111111

00206012020

0102030405

100000

111000

)11.1

0

1

2

3

4

5

23

234

2345

23

234

2345

PPPPPP

XXX

XXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXX

AVYAVY

166616 )12.1 PHB1666

116 )13.1

BHP

Risolvendo il sistema 1.11) o 1.12) di ordine 6x6 si ricava il vettore dei coefficienti del polinomio in funzione dei vincoli geometrici .

La soluzione deve essere SIMBOLICA e non Numerica perché :

16 P16 B

1) La precisione della soluzione peggiora tanto più la matrice è mal condizionata.

H0)det( H


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3) Normalmente i computer di macchina non dispongono di librerie matriciali, (questo non è un vero ostacolo)

2) Poiché al cambiare del formato di macchina cambiano i vincoli del profilo di moto (da a ) è meglio assegnare in forma chiusa i coefficienti del polinomio così da adattarli a qualunque situazione e non avere errori numerici

B B


Ing Gabriele Canini

Serve un’alternativa ASTUTA !!

Il sistema 6x6

non si riesce ad invertire agevolmente a mano (ore di lavoro e alto rischio di sbagliare).

Tanto meno aiutano i risolutori simbolici tipo Maple V o Mathematica perché non forniscono espressioni semplificate (sparano 40 pag di calcoli da ridurre a posteriori manualmente)

00216112120

0112131415

111111

00206012020

0102030405

100000

111000

)11.1

0

1

2

3

4

5

23

234

2345

23

234

2345

PPPPPP

XXX

XXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXX

AVYAVY


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ALTERNATIVA :Traslando il punto di inizio del ramo rk nell’origine si risolvono immediatamente 3 g.d.l ed il sistema totale si riduce ad un problema 3x3

),Y(X 00 ),( 00

Y

rK

X0X 1X

0Y

1Y

0V0A

1V1A

spazio originale

rK

1x

1y

0V0A

1V1A

y

x00

spazio traslato

012

23

34

45

5)( )16.1]1 ,0[con 0 )15.1]1,0[con 0 )14.1

pxpxpxpxpxpxyYYYYYyXXXXXx


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0xInfatti calcolando i vincoli di spazio, velocità ed accelerazione nel punto master si ottengono immediatamente i primi 3 coeff. di grado più basso del nuovo polinomio interpolante nello spazio traslato:

],,[ 012 ppp )(xy

rK

1x

1y

0V0A

1V1A

y

x00Vincoli in 0x

012

23

34

45

50)0( )17.1 pxpxpxpxpxpy

122

33

44

5 23450)0( )18.1 pxpxpxpxpVv

232

43

5 2612200)0( )19.1 pxpxpxpAa

00 p 01 Vp

20

2Ap


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Scrivendo le equazioni di vincolo nel punto e combinandole con le 1.17)-1.18)-1.19) si ottiene il sistema ridotto ad un 3x3

1xx

16112120131415111

21

)12(1)11(1

)20.13

4

5

23

234

345

2

12

012

2

ppp

xxxxxxxxx

pApxpV

pxpxpy

Il sistema 3x3 si risolve agevolmente a mano e porta ad espressioni semplici facilmente implementabili in qualunque calcolatore di controllo di una macchina automatica

133313 )1.20.1 PGC


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L’algoritmo per i coeff. del polinomio 5° grado traslato :

011 )22.1 011 )21.1

YYyXXx

traslazione

2/0 )25.1 0 )24.1

0 )23.1

2

1

0

ApVp

p

coeff. di grado

0,1,2

21 )28.1)12(1 )27.1

)11(1 )26.1

23

124

012

25

pAbpxpVb

pxpxpyb

variabili ausiliare (colonna termini noti)

)12/()12161( )31.1)1/()15171( )30.1 )12/()20181( )29.1

554

235

454

234

354

233

xbxbxbpxbxbxbpxbxbxbp

coeff. di grado 3,4,5

Dati i vincoli geometrici nei punti ]1,1,1 ,0,0,0[ AVYAVY ]1,0[ XX


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Per calcolare il polinomio interpolante nel dominio originale si trasla all’indietro il polinomio interpolante così ottenuto

0)(

)(

0 ]1,0[ 5

0

Yxy Y(X)

xpxy

XXxXXX

k

kk

Questa soluzione è molto comoda da implementare con cicli di calcolo iterativi nei computer della macchina automatica

Successivamente si itera il metodo a tutti i rami della legge di moto


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Y

rK

X0X 1X

0Y

1Y

0V

1V

spazio originale

rK

1x

1y

0V

1V

y

x00

spazio traslato

012

23

3)( )34.1]1 ,0[con 0 )33.1]1,0[con 0 )32.1

pxpxpxpxyYYYYYyXXXXXx

Polinomio di 3° Grado : I vincoli sono solo in posizione e velocità (no accelerazione) nei punti . Applicando il solito criterio della traslazione :

]1,1 ,0,0[ VYVY]1,0[ XX


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L’algoritmo per i coeff. del polinomio 3° grado traslato :

011 )36.1 011 )35.1

YYyXXx

traslazione

0 )38.1 0 )37.1

1

0

Vpp

coeff. di grado 0,1

12

013

1 )40.1 )1(1 )39.1

pVbpxpyb

variabili ausiliare

)1/()21( )42.1 )1/()13( )41.1

3323

2232

xbxbpxxbbp

coeff. di grado 2,3

Dati i vincoli geometrici nei punti ]1,1 ,0,0[ VYVY ]1,0[ XX

0)(

)( , 0 ]1,0[ 3

0

Yxy Y(X)

xpxyXXxXXXk

kk

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