Informatica Generale II:Modellistica ambientale

Obiettivi del corso

• Acquisire la capacità di analizzare in modo formale problemi reali e di costruirne modelli

• Acquisire la capacità di usare alcuni strumenti informatici per la modellazione:• fogli elettronici• pacchetti software per la System Dynamics

• Vensim PLE (www.vensim.com)• Stella - ithink (www.hps-inc.com)

(Umberto Eco, “Il nome della rosa”)

(William ShakespeareThe Tragedy of Hamlet, Prince of Denmark)

There are more things in heaven and earth, Horatio,Than are dreamt of in your philosophy.

• Strumenti di apprendimentola costruzione di un modello è un processo a due vie: da un lato i nostri modelli mentali e dall'altro la realtà in una continua interazione attraverso un processo di confronto. Inoltre l'apprendimento ha anche una caratteristica partecipatoria: procede attraverso il coinvolgimento di diversi attori

• Strumenti decisionaliconsentono di analizzare e proporre azioni organizzate per modificare la situazione corrente e produrre la soluzione voluta

Modelli

Processo di modellazione

Costruzione del modelloProblema Soluzioni

ApprendimentoPartecipazione

I modelli che considereremo non sono modelli predittivi

Linguaggi per rappresentare modelli

• Espressività: capacità di rappresentare situazioni diverse e complesse

• Potenza: rigore e precisione nella descrizione; efficacia ed utilizzabilità del modello

Il sistema e i suoi confini

Sistema

Realtà esternaConfini del Sistema

Che cosa è?

E questo?

Modelli

• Modelli statici

• Ci aiutano a comprendere il comportamento di un sistema in condizioni di riposo/equilibrio: ad esempio il calcolo di una struttura, oppure la determinazione del punto di equilibrio fra offerta e domanda in un mercato

• Modelli dinamici

• Ci aiutano a capire come un sistema si evolve nel tempo: ad esempio la crescita di una popolazione, oppure il diffondersi di una epidemia

Andamenti

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60

Crescita

0

20

40

60

80

100

120

140

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57

Oscillazioni

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50 60

Decrescita

Passi della modellazione

• Individuazione delle variabili chiave ed analisi del loro andamento (si tratta delle variabili, spesso una sola, da cui è partita la presa di coscienza dell’esistenza di un problema)

• Individuazione degli elementi più rilevanti del sistema in esame e delle variabili che li rappresentano, o comunque ad essi associate.

• Individuazione delle relazioni fra le diverse variabili, con particolare riferimento a relazioni causali.

• Individuazione delle principali catene, o anelli, causali.

• Livelli o variabili di stato

• Flussi

• Variabili ausiliarie

Dinamica dei Sistemi

Un semplice esempio:la dinamica di una popolazione

• livello: popolazione (numerosità)

• flussi: numero di nascite e di morti nell’unità di tempo (ad esempio all’anno)

• variabili ausiliarie: (tasso di nascita e tasso di mortalità)

Livelli e flussi

Popolazione

Nascite

Morti

Popolazione: P(t)Natalità: NMortalità: MNascite: NxP(t)Morti: MxP(t)

dP (t)dt

= N × P (t) − M × P (t) = (N − M) × P (t)

dP (t)dt

− (N − M) × P (t) = 0

e−(N−M)t × dP (t)dt

− (N − M) × e−(N−M)t × P (t) = 0

d

dt(P (t) × e−(N−M)t) = 0

∫ t

o

d

ds(P (s) × e−(N−M)s)ds = 0

∫ t

o

d

ds(P (s) × e−(N−M)s)ds = 0

(P (t) × e−(N−M)t − P (0) = 0

P (t) = P (0) × e(N−M)t

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60

N > M N < M

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50 60

Discretizzazione:P (t + ∆t) = P (t) + P (t)(N − M)∆t

=B4+B4*($C$4-$D$4)/1000 Crescita della popolazione

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

5,000

0 20 40 60 80 100 120

(∆t = 1)

0 0.5 1

P (t)

P (t + 1)

P (t + 0.5)

P (t + 1)

P (t + 1) = P (t) + P (t)(N − M) = P (t)(1 + N − M)

P (t + 0.5) = P (t) + P (t)(N − M)0.5 = P (t)(1 + 0.5(N − M))

P (t + 1) = P (t + 0.5)(1 + 0.5(N − M)) = P (t)(1 + 0.5(N − M))2

∆t = 1 ∆t = 0.5

Livelli e Flussi

Livello(t + ∆t) = Livello(t)+

(FlussoInput(t) − FlussoOutput(t))∆t

Il modello Preda-PredatoreIl modello Preda-Predatore è stato sviluppato dal matematico italiano Vito Volterra (1860-1940) per studiare un fenomeno che era stato evidenziato dallo zoologo Umberto D'Ancona.

Analizzando le statistiche relative alla pesca nel nord dell'Adriatico, D’Ancona aveva osservato che durante gli ultimi anni della prima guerra mondiale e negli anni immediatamente seguenti si era verificato un sostanziale aumento della percentuale dei predatori (Selaci) pescati. L’unica circostanza che appariva collegabile a questo incremento era la diminuzione dell'attività di pesca causata dalle attività belliche.

Le variabili di livello

Prede(t + ∆t) = Prede(t) + (Nascite Prede(t) − Morti Prede(t))∆t

Predatori(t + ∆t) = Predatori(t)+

(Nascite Predatori(t) − Morti Predatori(t))∆t

Prede

Predatori

Nascite Prede Morti Prede

Nascite Predatori Morti Predatori

Le variabili di flusso

Nascite Prede(t) = A · Prede(t)

Morti Predatori(t) = C · Predatori(t) + Predatori Pescati(t)

Morti Prede(t) = Prede Catturate(t) + Prede Pescate(t)

Nascite Predatori(t) = D · Incontri Prede Predatori(t)

Le variabili ausiliarie

Prede Catturate(t) = B · Incontri Prede Predatori(t)

Incontri Prede Predatori(t) = Prede(t) · Predatori(t)

Prede Pescate(t) = ε · Prede(t)

Predatori Pescati(t) = ε · Predatori(t)

Il modello completo

Prede

Predatori

Nascite Prede Morti Prede

Nascite Predatori Morti Predatori

A

B

D

Prede CatturatePrede Pescate

Predatori Pescati

Incontri Prede Predatoriepsilon

C

Andamento delle popolazioni

400,000

600

300,000450

200,000300

100,000150

00

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Time (Week)

Prede : Predatori1RKPredatori : Predatori1RK